تعليقات

التماثل ، ومكافحة التماثل ، والتناظر كسر الثاني


في العمود السابق ، وجدنا فاصلًا لا مفر منه في التناظر: 0 لا يمكن أن يكون له معكوس مضاعف ، على الرغم من أن معكوسه الإضافي ، أي عكسه ، هو نفسه. ثم صادفنا سؤالًا أساسيًا وطبيعيًا ومنطقيًا: ما قدرة حلقة الكسور Q ، + ، 0 ، ×، 1 ، distributivañ حل المعادلات ، لأن تمثيلها الهندسي متماثل ويملأ الخط بشكل أفضل؟

من وجهة نظر هندسية مهمة ، تحتل الكسور بشكل متناظر الخط الإقليدي ، ولكن كما أدركت فيثاغورس ، هناك بعض الوصلات منخفضة الطول التي ينبغي حملها مع البوصلة إلى نقطة على الخط الإقليدي.

كان فيثاغورس لحل المعادلة س2 = 2! يوجد مثلث مستطيل من الأطواق مقاس 1 يحتوي على الوصل ، وهو ليس كسراً ، أي أنه لا توجد أعداد صحيحة. ص و ف مثل هذا ص/ف = ¸. مع البوصلة العقلية ، ربما تخيلت فيثاغورس أن نقطة ما على الخط الإقليدي ستكون على مسافة ¸ من نقطة O.

وبالتالي ، هناك عدد لا حصر له من الأرقام غير المنطقية ، أي ليست كسور ، ولكن لا يزال من الممكن استيعابها على الخط الإقليدي ، تدخل في الاعتبار. لقد أوضح لنا جورج كانتور ، حوالي عام 1800 ، أن الكمية اللانهائية من اللاعقلانيين أكبر بكثير من الكمية اللانهائية للكسور. للمهتمين بهذا ، درسنا بالفعل في الأعمدة السابقة سبب وجود أنواع لا نهائية من اللانهاية.

بالعودة إلى الأرقام الحقيقية ، كيف سنتصورها؟ من خلال التمثيل العشري اللانهائي ، نقوم بالتمييز التالي: أولئك الذين يكون توسعهم العشري غير دوري (غير عقلاني) وأولئك الذين يكون توسعهم العشري دوريًا (الكسور أو العقلانية). يطلق على المخلوق الجديد "مجموعة من الأرقام الحقيقية" أو ببساطة R.

على سبيل المثال ، 1 = 100000 ... 0000 ... علينا فقط أن نهتم بشكل خاص: يمكننا أيضًا كتابة 1 = 0.999999 ... 9999 ...! التفسير بسيط: العدد على اليمين ليس أقل من 1 لأنه يحتوي على 9 لانهائية وبالتالي يتجاوز أي واحد أقل من 1. من ناحية أخرى ، إنه ليس أكبر من 1 ، بالطبع. لذلك ، يمكن أن يكون مساوياً لـ 1. لتجنب الغموض في التمثيل اللانهائي للأماكن العشرية ، سوف نتفق على أنه سيتم استبدال الأصفار المتتالية اللانهائية بـ infinites 9 بتخفيض وحدة في المربع قبل الصفر الأول يتكرر إلى ما لا نهاية. ومع ذلك ، لجعل الإضافات والضرب ، قد نستخدم أي تمثيل.

على سبيل المثال ، يمكن استبدال 1.39000 ... 000 ... بسعر 1.38999 ... 999 ...! بهذه الطريقة ، يكون لكل رقم حقيقي تمثيل عشري واحد لا نهائي. الرقم 2 له التمثيل 1999 ... 999 ... ، والرقم 2 لديه التمثيل 20999 ... 999 ... ، وهلم جرا.

يجب ألا ننسى أن بعض البديهيات المنطقية ضرورية لتحقيقنا. على سبيل المثال ، استخدمنا للتو البديهية منها ال لا أصغر من ب وليس أكبر من بثم ال = ب.

هذا التوصيف الأنيق للأرقام الحقيقية بالأماكن العشرية اللانهائية يجعلنا ملتزمين بالتأكيد بـ "اللانهاية". لا توجد وسيلة للتخلص منه ، والآن ، لماذا يجب علينا؟ كان غاليليو مرعوبًا (مثل كثيرين غيره) من اللانهاية الرياضية ، ونصحتنا بتجنب ذلك ، لكن هذا هو الماء الماضي.

نصل بعد ذلك إلى المستوى العقلي للأعداد الحقيقية: ar ، + ، 0 ، ×، 1 ، التوزيع. كيف سنضيف رقمين بأرقام عشرية لا حصر لها ، قل ¸ + ¹؟

لا يمكننا القول إننا ببساطة نضيف المنازل العشرية المقابلة. هناك مشكلة: لا يوجد مربع أخير من ¸ و ¹ ، على سبيل المثال.

تخيل ذلك ، على الرغم من أنه غير موجود ، ولكن العدد غير المنطقي موجود. لكن لماذا؟ حسنا ، بالمناسبة!

لا يزال يتعين علينا شرح كيف سنضيف ، أو نضرب ، رقمين مع المنازل العشرية اللانهائية. نحن نعرف بالفعل كيفية القيام بذلك مع الكسور.

على سبيل المثال ،

0,4999… 999… + 0,333… 333… = 0,5 + 1/3 = ½ + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 = 0,8333… 333…

ومع ذلك ، في حالة ¸ + ¹ ، فإن النكتة أكثر خطورة. حسنًا ، دعنا نفعل ذلك: لنفترض أن هذا المبلغ موجود ، أي أنه رقم حقيقي ، وبالتالي له تمثيله العشري بلا حدود. في أي حساب يتضمن هذه الأرقام ، سيتم أيضًا افتراض جميع خصائص حلقة الكسر ، وهذا كل شيء ، دعنا نلمس القارب!

إذا هدد شخص ما بالتخلف عن الركب ، فيمكننا أن نقول هذا: في الواقع ، بإرادة كبيرة وصبر ، يمكننا اكتشاف المنازل العشرية الأولى من ¸ + ¹. على سبيل المثال ، مثل ¸ = 1،4 ... و ¹ = 2،2 ... ، لدينا ¸ + ¹ = 3 ، ... لا يمكننا بعد أن نقول ما هي المرتبة الأولى بعد الفاصلة ، ولكن بالتأكيد المكان العشري لوحدات كاملة من ¸ + ¹ is 3. لإيجاد المكان العشري التالي ، يجب أن نعرف ما هو المكان العشري الثاني بعد فاصلة ¸ و ¹. لن تكون هناك مشكلة في ذلك ، سنقضي الوقت والطاقة فقط. لذلك لم نترك الكافرين في هذه اللعبة.

تحاول اللعبة التي سنواصل لعبها معرفة إلى أي مدى يمكن لعقل Hoss أن يذهب مع هذه التركيبات الافتراضية. كان أفضل ما شغل خط الإقليدية مع غير عقلاني. في الواقع ، لقد تم ملء الآن تماما. تغطي إمكانية وجود المنازل العشرية اللانهائية لكل رقم حقيقي أي فتحة في الخط الإقليدي. من الآن فصاعدًا ، سوف نتخيل دائمًا الخط الإقليدي على أنه شيء مستمر ، بدون ثقوب. بمعنى آخر ، بين رقمين حقيقيين ، يوجد رقم ثالث ، وبالتالي هناك عدد لانهائي ، أكثر بكثير من عدد الكسور!

نظرًا لأن كل رقم عقلاني ¹ له معكوس مضاعف في حلقة الكسور ، فإننا نقول إن الحلقة عبارة عن جسم. جسم الكسور q ، + ، 0 ، ×، 1 ، distributivañ امتدت لتشمل الأعداد الحقيقية ÁR ، + ، 0 ، ×، 1 ، التوزيع. الحقيقة الأساسية هي أن معادلات الشكل سن = الحيث ال هو جزء إيجابي ، جاءوا لديهم حلول غير عقلانية الطريق ال1 / نهذا هو الجذر نمن ال ال. كما هو الحال مع حالة الجذر التربيعي ، أي جذر ن-عدد من العقلاني غير السلبي يأتي إلى حيز الوجود ، في كثير من الأحيان كرقم غير عقلاني. المنازل العشرية لانهائية من ال1 / ن يمكن اكتشافه بصبر من خلال التقريب كما في ¸ = 1.414 ...

ومع ذلك ، لا يمكنك استخدام هذه الاستراتيجية لحل المعادلة س2 = -1. سنحتاج إلى ترك الخط الإقليدي لاستيعاب أعداد جديدة من شأنها حل هذا النوع من المعادلات. نبدأ بفرضية وجود عدد أنا يرضي هذه المعادلة. وبالتالي، أنا2 = -1. بما أننا نريد الحفاظ على جميع خصائص مجموعة الأعداد الحقيقية ، علينا أن نعترف بعكس ذلك أنا وهو -أناوجميع المضاعفات الأخرى لـ أنا في الطريق واحسرتاهحيث ال إنه رقم حقيقي.

تدخل الأرقام المركبة كإستراتيجية لحل المعادلات مثل س2 = -الكائن ال رقم حقيقي إيجابي.

العودة إلى الأعمدة

<


فيديو: كتاب الرياضيات. التناظر 1. الرابعة ابتدائي. درس 46 (شهر نوفمبر 2021).