بالتفصيل

ليونارد يولر


في فترة ما يقرب من 100 عام ، والتي تلت عام 1650 ، سقطت نظرية الأعداد نائمة. تميزت هذه الفترة بتطور لا يوصف في العلوم بسبب ظهور حساب التفاضل والتكامل وتطوره المسمى "التحليل الرياضي" من قبل إيساك نيوتن (1646-1716) ، جوتفريد فيلهلم لايبنيز (1646-1716) ، عائلة برنولي (يعقوب ، 1655- 1705 ؛ يوهان الأول ، 1667-1748 ؛ نيكولاس الثاني ، 1687-1759 ؛ دانيال 1700-1792) ، وليونهارد يولر (1707-1783).

في أواخر القرن السادس عشر ، افتتح العالم الإيطالي غاليليو غاليلي العلوم بالمعنى الحديث للكلمة ، حيث كان أول من أجرى تجارب بطريقة منظمة ومنتظمة ، على افتراض أن الطبيعة تطيع القوانين الرياضية ، وبالتالي اكتشاف بعض القوانين الطبيعية التي وضعت رياضيا.

اتبع غاليليو مفهوم الفلاسفة في اليونان القديمة ، وبالتالي ، بالنسبة له ، الرياضيات تعني الهندسة الإقليدية ، في حين أن العلم يعني "الفلسفة الطبيعية". تحت هذا الرأي تم حل المشكلات الرياضية بطريقة هندسية ، أي تم البحث عن حلول من حيث الإنشاءات الهندسية.

ولكن بحلول عصر غاليليو ، كانت الجبر قد دخلت بالفعل إلى أوروبا. طورها الفلاسفة الإسلاميون الفارسيون ، الذين تعلموا بدورهم من علماء الرياضيات الهنود ، كلمة الجبر مشتقة من الجبر العربية ("لربطها معًا") وتم تلخيص هذا المفهوم في العملية التالية:

تقليل عدد الكميات غير المعروفة المرتبطة بالمشكلة المراد حلها ثم ربطها معًا في نظام يسمى المعادلة ، والخطوة التالية هي العثور على حل المعادلة.”.

لقد كان الأمر يعود إلى الفيلسوف والرياضيات الرائعة رينيه ديكارت لتوحيد الهندسة والجبر. وهكذا ، فإن المفاهيم المختلفة التي تم إنشاؤها لحل المشكلات الرياضية التي جاءت من ثقافات مختلفة أدت إلى واحدة من أعظم اختراعات الرياضيات:

"الهندسة التحليلية".

تألفت الهندسة التحليلية من طريقة جعلت المعادلات الجبرية "مرئية" كأشكال هندسية. على سبيل المثال ، المعادلة س + ذ = 1 ، الآن لديها تمثيل هندسي ، أي تم تمثيل المعادلة بيانيا بخط.

يتوافق التمثيل الرسومي لمعادلة جبرية مع كيان هندسة. لم يعد الخط موجودًا على متن طائرة إقليدس ، ولكن على الطائرة الديكارتية التي وضعها ديكارت. وبالمثل ، المعادلات التي تنطوي على س و ذ يتوافق مع منحنيات الطائرة الديكارتية. على سبيل المثال ، إلى المعادلة س2 + ذ2 = 1 تقابل في الطائرة الديكارتية محيط الوسط عند الأصل (0،0) ونصف قطر الوحدة.

سمح اختراع ديكارت لجاليليو بصياغة قوانين الميكانيكا التي اكتشفها ، جبريًا وهندسيًا. ومع ذلك ، بقيت مشكلة واحدة: كيف تجد معادلة تصف حركة جسم متحرك بسرعات متفاوتة ، متسارعة أو متسارعة؟ أي أن جاليليو ومعاصريه لم يتمكنوا من التعبير حسابيًا عن السرعة الدقيقة للجسم مع التسارع في أي لحظة ، لأن السرعة تغيرت في كل لحظة.

لقد كان الأمر يعود إلى عبقرية العلوم الكلاسيكية إسحاق نيوتن ، وعالم الرياضيات والفيلسوف الألماني غوتفريد فيلهلم ليبنيز ، لحل هذه المسألة التي ابتليت بها علماء الرياضيات والفلاسفة لمدة عشرين قرنًا من السلاطين الإغريق.

بشكل مستقل ، اخترع نيوتن وليبنيز ، بعد قرن من غاليليو ، طريقة عبقرية من شأنها وضع حد لهذه المسألة. ولد التفاضل والتكامل حساب التفاضل والتكامل من شأنه أن يكون واحدا من أعظم الإنجازات الفكرية في العالم الغربي.

لطالما لعبت طرق التحليل الرياضي دورًا أساسيًا في البحث في نظرية الأعداد. ترجع أصول هذه الشراكة بين التحليل ونظرية الأعداد إلى عمل أويلر ، وقد طورها عالم الرياضيات L. P. G. Dirichlet (1805-1859).

كان ليونارد يولر أحد أعظم علماء الرياضيات في كل العصور. نشر ما يقرب من 500 مقالة في حياته وظهر ما يقرب من 350 مقالة بعد وفاته. على الرغم من أنه كان أعمى في عين واحدة عندما كان شابًا ، وكان أعمى تمامًا في الستين ، فقد عمل في جميع مجالات الرياضيات والفيزياء تقريبًا. بالإضافة إلى ذلك ، كتب كتبًا بارزة عن الجبر وعلم المثلثات وحساب التفاضل والتكامل والميكانيكا والديناميات وحساب التباين والاختلال وعلم الفلك والمدفعية والبصريات وغيرها.

كان لأبحاثه الأصلية دور فعال في رياضيات القرن الثامن عشر والتاسع عشر بسبب إبداعه وإلهامه وقدرته المبدعة على توحيد وتنظيم جميع المعارف المنتجة حتى الآن.

كان أويلر أول عالم رياضيات يطبق أفكار التحليل على مشاكل نظرية الأعداد. في الواقع ، كما لوحظ لاحقًا ، كان يستخدم تقنيات نظرية الوظيفة المعقدة. بهذه الطريقة ، هاجمت مشكلتين أساسيتين في نظرية الأعداد.

إن المشكلة الأولى في نظرية الأعداد التي طبقت فيها أويلر الأساليب التحليلية تتعلق بالحلول الكاملة للمعادلات. لتحديد الحلول الصحيحة لمعادلة خطية ، ابتكر أويلر طريقة أصبحت تُعرف باسم طريقة إنشاء وظائف.

أثبتت طريقة توليد الوظائف عبقريًا إلى درجة أنها أدت إلى إنشاء طريقة هاردي-ليتلوود-رامانوجان سيركل ، والتي أدى تطورها بدوره إلى إحدى الطرق الأساسية لنظرية تحليل الأعداد المعاصرة: المبالغ المثلثية للفينوغرادوف (طريقة المبالغ المثلثية). أدت هذه الفكرة إلى إنشاء فرع لنظرية الأعداد التحليلية المعروفة باسم "نظرية الأعداد المضافة".

تتعلق المشكلة الأخرى بسلوك تسلسل الرقم الأولي في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. قدم أويلر عرضًا جديدًا لنظرية إقليدس حول وجود أعداد أولية لا نهائية تستند إلى حجج تحليلية. أثبتت فكرة أويلر أنها مثمرة للغاية وأعطت دفعة لتطوير خط مهم من البحث في نظرية الأعداد التحليلية: "نظرية الأعداد المضاعفة".

الصيغة

اكتشف من قبل أويلر في عام 1735 تقريبًا.

كان أويلر سعيدًا لإظهار الحقيقة الغامضة المتمثلة في أن هذا المبلغ يرتبط بالعدد . في الواقع ، تمثل الهوية أعلاه قيمة خاصة يتم حسابها في فئة من الوظائف تسمى وظائف zeta.

لاحظ أنه إذا أثبتنا أن z يعرف الدالة ، فعندئذ

.

أظهر أويلر أن لكل رقم حقيقي الصورة > 1 ، السلسلة

تحديد الوظيفة

اسمه وظيفة زيتا.

أوضح أويلر وجود عدد لا حصر له من الأعداد الأولية باستخدام الخصائص التحليلية لهذه الوظيفة. هناك علاقة بين وظيفة Zeta ومجموعة الأعداد الأولية التي تسمى منتج Euler. منتج Euler هو تعبير تحليلي للعامل الفردي للأعداد الصحيحة كمنتج للأعداد الأولية:

لـ s> 1 ، حيث يتم أخذ المنتج على اليمين لجميع الأعداد الأولية.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن منتج Euler يعني ، على وجه الخصوص ، ذلك

ل s> 1.

أثبتت وظيفة Zeta التي أدخلتها أويلر أنها واحدة من أهم الشخصيات في نظرية الأعداد ، حيث أنها تحتوي على خصائص حسابية ثمينة. يقول بعض علماء الرياضيات في كثير من الأحيان أن نظرية الأعداد هي دراسة وظائف زيتا.

في القرن التاسع عشر ، حدد عالم الرياضيات برنارد ريمان وظيفة زيتا في مجموعة من الأعداد المركبة ، وبسبب إسهاماته العديدة والأساسية في دراسة هذه الوظيفة ، يُعرف اليوم باسم "وظيفة ريمان زيتا".

بدأت رحلة جديدة مع ريمان. وقدم التخمين يسمى ريمان فرضية الذي حتى يومنا هذا هو واحد من أكبر التحديات التي تواجه علماء الرياضيات الأكثر اشراقا. فرضية ريمان ستكون موضوع الأعمدة التالية.

العودة إلى الأعمدة

<


فيديو: العالم ليونارد أويلر (ديسمبر 2021).