مقالات

4.3: رسم بياني مع اعتراضات - رياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • تحديد x- و y- تقاطع على الرسم البياني
  • أوجد قطعتي x و y من معادلة خط مستقيم
  • ارسم خطًا باستخدام التقاطع

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. حل: (3 cdot 0 + 4y = −2 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.2.13.

التعرف على x- و ذ- اعتراضات على الرسم البياني

يمكن تمثيل كل معادلة خطية بخط فريد يوضح جميع حلول المعادلة. لقد رأينا أنه عند رسم خط ما برسم النقاط ، يمكنك استخدام أي ثلاثة حلول للرسم البياني. هذا يعني أن شخصين يرسمان الخط قد يستخدمان مجموعات مختلفة من ثلاث نقاط.

للوهلة الأولى ، قد لا يبدو سطراهم متماثلين ، حيث سيكون لديهم نقاط مختلفة مسماة. ولكن إذا تم تنفيذ كل العمل بشكل صحيح ، فيجب أن تكون الخطوط متطابقة تمامًا. إحدى طرق التعرف على أنهما في الواقع نفس الخط هي النظر إلى المكان الذي يتقاطع فيه الخط مع x- المحور و ذ- المحور. هذه النقاط تسمى يعترض من الخط.

مفاهيم الخط

النقاط التي يتقاطع فيها الخط مع x- المحور و ذ- يسمى المحور اعتراض خط.

لنلقِ نظرة على الرسوم البيانية للخطوط في الشكل ( PageIndex {1} ).

أولاً ، لاحظ مكان تقاطع كل من هذه الخطوط مع المحور x السالب. راجع الشكل ( PageIndex {1} ).

جدول ( PageIndex {1} )
شكليقطع الخط المحور السيني عند:زوج مرتب من هذه النقطة
الشكل (أ)3(3,0)
الشكل (ب)4(4,0)
الشكل (ج)5(5,0)
الشكل (د)0(0,0)

هل تشاهد النمط؟

لكل صف ، ملف ذ- تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع x- المحور صفر. النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع x- المحور له الشكل (أ ، 0) ويسمى x- اعتراض خط. ال x- يحدث التقاطع عندما تكون y صفرًا. الآن ، دعونا نلقي نظرة على النقاط التي تتقاطع فيها هذه الخطوط مع ذ- المحور. راجع الجدول ( PageIndex {2} ).

جدول ( PageIndex {2} )
شكليقطع الخط المحور السيني عند:زوج مرتب من هذه النقطة
الشكل (أ)6(0,6)
الشكل (ب)−3(0,−3)
الشكل (ج)−5(0,5)
الشكل (د)0(0,0)

ما هو النمط هنا؟

في كل صف ، ملف x- تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع ذ- المحور صفر. النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع ذ- المحور له الشكل (0 ، ب) ويسمى ذ- اعتراض من الخط. ال ذ- يحدث التقاطع عندما يكون x صفرًا.

ال x- تقاطع هو النقطة (أ ، 0) حيث يتقاطع الخط مع x- المحور.

ال ذ- التقاطع هو النقطة (0 ، ب) حيث يتقاطع الخط مع ذ- المحور.

تمرين ( PageIndex {1} )

أعثر على x- و ذ- اعتراضات على كل رسم بياني.

إجابه

(أ) يتقاطع الرسم البياني مع x- المحور عند النقطة (4،0). ال x- التقاطع (4،0).
يتقاطع الرسم البياني مع ذ- المحور عند النقطة (0،2). ال ذ- التقاطع (0،2).

(ب) يتقاطع الرسم البياني مع x- المحور عند النقطة (2،0). ال x- التقاطع (2،0)
يتقاطع الرسم البياني مع ذ- المحور عند النقطة (0، −6). ال ذ- التقاطع (0، −6).

(ج) يتقاطع الرسم البياني مع x- المحور عند النقطة (−5،0). ال x- التقاطع (−5،0).
يتقاطع الرسم البياني مع ذ- المحور عند النقطة (0، −5). ال ذ- التقاطع (0، −5).

تمرين ( PageIndex {2} )

أعثر على x- و ذ- اعتراضات على الرسم البياني.

إجابه

x- اعتراض: (2،0) ؛ ذ- التقاطع: (0، −2)

تمرين ( PageIndex {3} )

أعثر على x- و ذ- اعتراضات على الرسم البياني.

إجابه

x- الاعتراض: (3،0) ، ذ- اعتراض: (0،2)

أعثر على x- و ذ- اعتراضات من معادلة الخط

مع الاعتراف بأن x- تقاطع يحدث عندما ذ هو صفر وأن ذ- اعتراض عندما يحدث x يساوي صفرًا ، يعطينا طريقة لإيجاد تقاطعات خط من معادلته. لتجد ال x- اعترض ، دع y = 0 وحل من أجل x. لتجد ال ذ- تقاطع، دع x = 0 وحل من أجل ذ.

ص- تداخلات من معادلة خط

استخدم معادلة الخط. لايجاد:

  • ال x- قطع الخط ، دع y = 0 وحل من أجل x.
  • ال ذ- قطع الخط ، دع x = 0 وحل من أجل y.

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد تقاطعات 3x + y = 12.

إجابه

x- التقاطع: (4،0) ، ذ- اعتراض: (0،12)

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد تقاطعات x + 4y = 8.

إجابه

x- التقاطع: (8،0) ، ذ- اعتراض: (0،2)

تمرين ( PageIndex {8} )

أوجد تقاطعات 3x – 4y = 12.

إجابه

x- التقاطع: (4،0) ، ذ- التقاطع: (0، −3)

تمرين ( PageIndex {9} )

أوجد تقاطعات 2x – 4y = 8.

إجابه

x- التقاطع: (4،0) ، ذ- التقاطع: (0، −2)

رسم خط باستخدام التقاطع

لرسم معادلة خطية بيانيًا عن طريق رسم النقاط ، تحتاج إلى إيجاد ثلاث نقاط تمثل إحداثياتها حلولًا للمعادلة. يمكنك استعمال ال x- و ذ- اعتراض نقطتين من النقاط الثلاث الخاصة بك. ابحث عن نقاط التقاطع ، ثم ابحث عن نقطة ثالثة لضمان الدقة. تأكد من محاذاة النقاط - ثم ارسم الخط. غالبًا ما تكون هذه الطريقة هي أسرع طريقة لرسم خط.

التمرين ( PageIndex {10} ): كيفية رسم خط باستخدام التقاطعات

رسم بياني –x + 2y = 6 باستخدام التقاطعات.

إجابه

تمرين ( PageIndex {11} )

رسم بياني x – 2y = 4 باستخدام نقاط التقاطع.

إجابه

تمرين ( PageIndex {12} )

رسم بياني –x + 3y = 6 باستخدام التقاطعات.

إجابه

فيما يلي تلخيص لخطوات رسم معادلة خطية باستخدام التقاطع.

رسم معادلة خطية باستخدام التداخلات.

  1. أعثر على x- و ذ- اعتراضات الخط.
    • دع y = 0 وحل من أجل x
    • دع x = 0 وحل من أجل y.
  2. أوجد الحل الثالث للمعادلة.
  3. ارسم النقاط الثلاث وتحقق من ترتيبها.
  4. ارسم الخط.

تمرين ( PageIndex {13} )

رسم بياني 4x – 3y = 12 باستخدام التقاطع.

إجابه

أوجد التقاطع ونقطة ثالثة.

ندرج النقاط في Table ( PageIndex {7} ) ونعرض الرسم البياني أدناه.

4 س − 3 ص = 12
xذ(س ، ص)
30(3,0)
0−4(0,−4)
64(6,4)
جدول ( PageIndex {7} )

تمرين ( PageIndex {14} )

رسم بياني 5x – 2y = 10 باستخدام التقاطع.

إجابه

تمرين ( PageIndex {15} )

رسم بياني 3x – 4y = 12 باستخدام التقاطع.

إجابه

تمرين ( PageIndex {16} )

رسم بياني y = 5x باستخدام نقاط التقاطع.

إجابه

هذا الخط له تقاطع واحد فقط. إنها النقطة (0،0).

لضمان الدقة نحتاج إلى رسم ثلاث نقاط. منذ x- و ذ- الاعتراضات هي نفس النقطة التي نحتاجها اثنين المزيد من النقاط لرسم الخط.

راجع الجدول ( PageIndex {8} ).

ص = 5 س
xذ(س ، ص)
(0,0)
(1,5)
−1−5(−1,−5)
جدول ( PageIndex {8} )

ارسم النقاط الثلاث ، وتحقق من أنها تصطف ، وارسم الخط.

تمرين ( PageIndex {17} )

رسم بياني y = 4x باستخدام التقاطع.

إجابه

تمرين ( PageIndex {18} )

رسم بياني y = −x التقاطع.

إجابه

المفاهيم الرئيسية

  • أعثر على x- و ذ- اعتراضات من معادلة الخط
    • استخدم معادلة الخط لإيجاد x- قطع الخط ، دع y = 0 وحل من أجل x.
    • استخدم معادلة الخط لإيجاد ذ- قطع الخط ، دع x = 0 وحل من أجل ذ.
  • ارسم معادلة خطية باستخدام التقاطع
    1. أعثر على x- و ذ- اعتراضات الخط.
      دع y = 0 وحل من أجل x.
      دع x = 0 وحل من أجل ذ.
    2. أوجد الحل الثالث للمعادلة.
    3. ارسم النقاط الثلاث ثم تحقق من أنها تصطف.
    4. ارسم الخط.
  • استراتيجية لاختيار الطريقة الأكثر ملاءمة لرسم خط:
    • ضع في اعتبارك شكل المعادلة.
    • إذا كان يحتوي على متغير واحد فقط ، فهو خط رأسي أو أفقي.
      س = أ هو خط عمودي يمر عبر x- المحور في
      y = b هو خط أفقي يمر عبر ذ- المحور ب.
    • إذا ذ معزول على جانب واحد من المعادلة ، الرسم البياني عن طريق رسم النقاط.
    • اختر أي ثلاث قيم لـ x ثم حل المقابل ذ- القيم.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ax + by = c ، فأوجد نقاط التقاطع. أعثر على x- و ذ- يعترض ثم النقطة الثالثة.

قائمة المصطلحات

اعتراض خط
النقاط التي يتقاطع فيها الخط مع x- المحور و ذ- يسمى المحور تقاطعات الخط.
x- تقاطع
النقطة (أ ، 0) حيث يتقاطع الخط مع x- المحور ال x- يحدث التقاطع عندما تكون y صفرًا.
ذ-تقاطع
النقطة (0 ، ب) حيث يتقاطع الخط مع ذ- المحور ال ذ- يحدث التقاطع عندما يكون x صفرًا.

س: يمكن لـ U. Dascu oIT Ier eapeTISCS ، إجراء الدفعات الشهرية! 7. شركة مساعدة متحركة أعطت مايك.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: بسّط التعبير. اكتب إجابتك في صورة كسر صغير. لا يوجد رصيد للإجابات العشرية. (32.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: أوجد متجه الإحداثيات [س] ب في س بالنسبة للأساس المعطى ب = 3 3 ب ، ب 2 - 7

ج: انقر لرؤية الجواب

س: 6. أي من المعادلات الواردة أدناه هي الوظيفة التكميلية أو حل المتجانسة.

ج: صاغ معادلة الخصائص (D ^ 2 + 2D + 5) وتساوي الصفر للعثور على الجذور. وشكل مكمل f.

س: حدد فترات المجال التي تكون فيها الوظيفة الموضحة على اليمين متصلة. سيلي.

ج: الحل موضح أدناه في الخطوة التالية:

س: 4. (أ) دعنا يكون أساسًا متعامدًا للفراغ الجزئي ثلاثي الأبعاد لـ Rº ، ودع.

ج: بالنسبة إلى (أ) ، لاحظ ذلك أن يكون أساسًا متعامدًا. نعلم أن u = b1-2b2 + b3-2b4 an.

س: أنا بحاجة ماسة للإجابة في 20 دقيقة

ج: ابحث عن أساس V ثم ستجد الإحداثيات

س: الرجاء الإجابة على السؤال رقم 2 مع تفاصيل حول كيفية القيام بذلك. من فضلك اجعل خط اليد مقروءا عند الكتابة.

ج: نحن مخولون بحل سؤال واحد فقط ، يرجى إعادة نشر الأسئلة المتبقية المحددة


خطوط الرسم البياني باستخدام الاعتراضات - المشكلة 2

عند إعطاء معادلة لخط في صيغة الميل والمقطع (y = mx + b) ، يمكنك بسهولة العثور على تقاطع y لأن قيمة "b" تمثل المكان الذي سيتقاطع فيه الخط مع المحور y. لإيجاد تقاطع x، ساوي y ب 0 وحل من أجل x. ستكون النتيجة هي إحداثيات x للتقاطع x (إحداثي y للتقاطع x هو 0).

لقد طُلب مني رسم هذه المعادلة بالرسم البياني باستخدام الاعتراضات. هذه المعادلة مكتوبة بصيغة y يساوي mx زائد b مما يخبرني أنني أعرف بالفعل الجزء المقطوع من y لأنه في صيغة y يساوي mx زائد b ، يمثل b تقاطع y. أعلم أنني سأحصل على تقاطع y لـ 0 لـ x و -4 لـ y. لقد قمت بالفعل بنصف المشكلة. لقد وجدت بالفعل تقاطع y. ومع ذلك ، فإن العثور على تقاطع x يكون أصعب قليلاً عندما تعمل بهذه الصيغة من المعادلة.

تذكر أنه لإيجاد نقطة تقاطع لـ x ، فأنت تريد التعويض في y يساوي 0 ، لذلك سأحصل على تعويض في y يساوي 0 ، لذا سيكون لدي 0 يساوي 3x ناقص 4 والآن علي إيجاد قيمة x . أضف 4 إلى كلا الطرفين واقسم على 3 ، لذا سيكون لدي x يساوي 4/3. سيكون اعتراض x الخاص بي (4 / 3،0). هذان هما نقطتي الاعتراض ، النقطتان المنفصلتان اللتان سأستخدمهما لرسم هذا الخط على الرسم البياني الخاص بي.

أولاً ، دعنا نحصل على تقاطع y هناك. 0 ، 4 تعني صفر جانب إلى جانب ، ثم لأسفل 4 على المحور ص. ثم هذه النقطة (4 / 3.0) صعبة بعض الشيء لأنها كسر. سأكون تقريبًا 4/3 أكثر قليلاً من 1 ، تقنيًا 11/3 ، لكن أيا كان ، لدي هذه المربعات الصغيرة ، سأبذل قصارى جهدي للذهاب 11/3 في الإيجابي الاتجاه ، شيء من هذا القبيل.

عندما ترسم خطًا بيانيًا ، فمن الأفضل أن يكون لديك مسطرة في متناول يدك حتى تكون دقيقًا. تأكد من أن المسطرة تمر عبر النقاط بأفضل طريقة يمكنك رسم الخط الذي يربط بينها ، ثم أخيرًا ، تأكد من وضع الأسهم على نقاطك ، واسمح لي في نهايات خطك لإظهار أن الخط يستمر إلى الأبد وإلى الأبد بنفس المنحدر.

إذا أعطيت يا شباب معادلة في صيغة y يساوي mx زائد b وطُلب منك رسمها بيانيًا باستخدام نقاط التقاطع ، فإن أول شيء عليك فعله هو أن تتذكر أن تقاطع y هو جزء من y = mx + معادلة ب ، ولكن لإيجاد تقاطع س ، عليك أن تزيد من الرياضيات قليلاً. بمجرد حصولك على هاتين النقطتين ، ثبتهما هناك ، واربطهما وستكون في طريقك.


الدرس 11

قم بتوسيع الصورة

فيما يلي رسم بياني للدالة (w ) المحددة بواسطة (w (x) = (x + 1.6) (x-2) ). ثلاث نقاط على الرسم البياني مسماة.

أوجد قيم (a و b و c و d و e ) و (f ). كن مستعدًا لشرح أسبابك.

11.2: مقارنة رسمين بيانيين

ضع في اعتبارك وظيفتين معرفتين بواسطة (f (x) = x (x + 4) ) و (g (x) = x (x-4) ).

أكمل جدول القيم لكل دالة. ثم حدد (x ) - تداخلات ورأس كل رسم بياني. كن مستعدًا لشرح كيف تعرف.

ارسم النقاط من الجداول على نفس المستوى الإحداثي. (ضع في اعتبارك استخدام ألوان أو علامات مختلفة لكل مجموعة من النقاط حتى تتمكن من التمييز بينها.)

بعد ذلك ، قم ببعض الملاحظات حول كيفية مقارنة الرسمين البيانيين.

قم بتوسيع الصورة

11.3: ما الذي نحتاجه لرسم رسم بياني؟

  1. يتم إعطاء الدوال (f ) و (g ) و (h ). توقع (x ) -التداخلات و (x ) -تنسيق رأس كل دالة.
    معادلة (س ) - التداخلات (س ) - تنسيق الرأس
    (و (س) = (س + 3) (س -5) )
    (ز (س) = 2 س (س -3) )
    (ح (س) = (س + 4) (4-س) )
  2. استخدم تقنية الرسوم البيانية لرسم الوظائف (f ) و (g ) و (h ). استخدم الرسوم البيانية للتحقق من توقعاتك.
  3. ارسم رسمًا بيانيًا يمثل التعبير ((x-7) (x + 11) ) والذي يُظهر (x )-intercepts والرأس. فكر في كيفية إيجاد التنسيق (y ) للرأس. كن مستعدًا لشرح أسبابك.

يتم إعطاء الدالة التربيعية (f ) بواسطة (f (x) = x ^ 2 + 2x + 6 ).

  1. ابحث عن (f ( text-2) ) و (f (0) ).
  2. ما هو (x ) - تنسيق رأس منحنى هذه الدالة التربيعية؟
  3. هل يحتوي الرسم البياني على أي مفاصل (س )؟ اشرح أو أظهر كيف تعرف.

ملخص

تتم كتابة الوظيفة (f ) المعطاة بواسطة (f (x) = (x + 1) (x-3) ) في شكل عامل. تذكر أن هذا النموذج مفيد في العثور على أصفار الوظيفة (حيث يكون للوظيفة القيمة 0) وإخبارنا بالتقاطعات (x ) على الرسم البياني الذي يمثل الوظيفة.

هنا رسم بياني يمثل (f ). يظهر 2 (س ) -مداخل في (س = نص -1 ) و (س = 3 ).

إذا استخدمنا -1 و 3 كمدخلات لـ (f ) ، فما هي المخرجات؟

قم بتوسيع الصورة

نظرًا لأن المدخلات -1 و 3 ينتجان ناتجًا بقيمة 0 ، فإنهما يمثلان أصفار الوظيفة (f ). ولأن كلا قيمتي (x ) تحتويان على 0 لقيمة (y ) ، فإنها تعطينا أيضًا (x ) - تداخلات الرسم البياني (النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع (x ) - المحور ، والتي تحتوي دائمًا على (y ) -منسق من 0). لذلك ، فإن أصفار الدالة لها نفس قيم (x ) - إحداثيات مفاهيم الرسم البياني للدالة (x ).

يمكن أن تساعدنا الصيغة المحللة إلى عوامل أيضًا في تحديد رأس الرسم البياني ، وهي النقطة التي تصل فيها الدالة إلى أدنى قيمة لها. لاحظ أن (x ) - منسق الرأس هو 1 ، وأن 1 يقع في منتصف المسافة بين -1 و 3. بمجرد أن نعرف (x ) - تنسيق الرأس ، يمكننا إيجاد (y ) - قم بالتنسيق من خلال تقييم الوظيفة: (f (1) = (1 + 1) (1-3) = 2 ( text-2) = text-4 ). إذن ، يكون الرأس عند ((1 ، نص -4) ).

عندما تكون دالة تربيعية في شكل قياسي ، يكون التقاطع (y ) واضحًا: (y ) -منسق هو المصطلح الثابت (c ) في (ax ^ 2 + bx + c ). لإيجاد تقاطع (y ) من النموذج المعامل ، يمكننا تقييم الوظيفة عند (x = 0 ) ، لأن التقاطع (y ) هو النقطة التي يكون للرسم البياني قيمة إدخال فيها 0. (و (0) = (0 + 1) (0-3) = (1) ( نص -3) = نص -3 ).

لا يخضع اسم وشعار الرياضيات التوضيحية لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز استخدامهما بدون موافقة كتابية مسبقة وصريحة من الرياضيات التوضيحية.

يتضمن هذا الكتاب صورًا ذات ملكية عامة أو صورًا مرخصة بشكل علني محمية بحقوق الطبع والنشر لأصحابها. تظل الصور المرخصة بشكل علني خاضعة لشروط التراخيص الخاصة بكل منها. راجع قسم إحالة الصورة لمزيد من المعلومات.


لإيجاد تقاطع x في معادلة ، دع y = 0 ، ثم حل من أجل x. إحداثيات تقاطع x ستكون (x، 0)

أوجد تقاطع x و y للخط 6x + 3y = 18.

كيف تجد التقاطع العمودي؟

أوجد تقاطع x و y بواسطة الرسم البياني

الآن ، يمكن إيجاد تقاطعات x و y من خلال النظر إلى الرسوم البيانية أيضًا.

حاول ملاحظة الرسم البياني أدناه وابحث عن تقاطعات x و y.

كيف تجد تقاطع x؟

هنا ، تقاطع x هو المكان الذي يقطع فيه الخط المحور x. إنه عند -4 ، لذا فإن تقاطع x هو (-4،0)

الآن تقاطع y هو النقطة التي يقطع فيها المحور y.

إنه يعبر المحور y عند 6 لذا فإن تقاطع y يكون (0،6)

رسم الخط عن طريق حساب تقاطع x و y عند إعطاء المعادلة.

يمكننا أيضًا رسم الخطوط عن طريق حساب التقاطعات. دعونا نرى هذا المفهوم باستخدام مثال.

ارسم التمثيل البياني 5x + 3y = 15 بإيجاد تقاطع x و y.

يتم تقاطع x عن طريق ضبط y = 0

يتم تقاطع Y عن طريق ضبط x = 0 في المعادلة

ارسم نقطتي التقاطع x و y ثم ارسم خطًا

الحالات التي لا يوجد فيها تقاطع س وتقاطع ص

ضع في اعتبارك الآن أن تقاطعات x و y ليست أرقامًا ولكنها أزواج مرتبة. لنفترض أن قيمة تقاطع x هي 2 مكتوبة كـ (2،0). بالإضافة إلى ذلك ، لا تحتوي كل الرسوم البيانية على تقاطعات أفقية ورأسية. على سبيل المثال:

لا يحتوي الخط الأفقي الموضح أعلاه على تقاطع x. إنه يحتوي فقط على تقاطع y بالشكل (0 ، -2).

الآن دعونا نرى حالة لا يوجد فيها تقاطع y

يحتوي الخط العمودي الموضح أعلاه على نقطة تقاطع x (3،0) ولا يوجد تقاطع مع y.

الآن ، الحالة التي يكون فيها x intercept و y intercept هي نفس النقاط ، أي origin

رسم بيانيًا بعد إيجاد تقاطع x و y: y = -2x.

لإيجاد تقاطع x ، ضع y = 0

إذن ، الجزء المقطوع من x وتقاطع y هما في الواقع نفس النقطتين ، الأصل. نحتاج الآن إلى نقطة أخرى لرسم الخط الذي يختار أي قيمة لـ x وتحديد قيمة 5

إذا أخذنا x على أنها 1 ، فسنحصل على y = -2

إذا أخذنا x كـ -1 ، فسنحصل على y = 2

استخدم الآن هذه الأزواج المرتبة لرسم الخط (0،0) ، (- 1،2) (1 ، -2) لرسم الخط البياني


11.3 الرسوم البيانية مع الاعتراضات

كل معادلة خطية لها خط فريد يمثل جميع حلول المعادلة. عند رسم خط برسم نقاط ، يمكن لكل شخص يقوم برسم الخط اختيار أي ثلاث نقاط ، لذلك قد يستخدم شخصان يرسمان الخط مجموعات مختلفة من النقاط.

للوهلة الأولى ، قد يبدو سطراهم مختلفين لأنه سيكون لديهم نقاط مختلفة مسماة. ولكن إذا تم تنفيذ كل العمل بشكل صحيح ، فستكون السطور متطابقة تمامًا. إحدى طرق التعرف على أنهما في الواقع نفس الخط هي التركيز على المكان الذي يتقاطع فيه الخط مع المحاور. كل من هذه النقاط تسمى تقاطع للخط.

اعتراضات الخط

كل من النقاط التي يعبر عندها خط المحور السيني ومحور المحور الصادي تسمى تقاطعًا للخط.

لنلق نظرة على الرسم البياني للخطوط الموضحة في الشكل 11.14.

أولاً ، لاحظ مكان تقاطع كل من هذه الخطوط مع x- المحور:

شكل: يقطع الخط المحور السيني عند: زوج مرتب من هذه النقطة
42 3 (3,0)
43 4 (4,0)
44 5 (5,0)
45 0 (0,0)

لكل صف ، ملف ص- تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع س- المحور صفر. النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع س- يحتوي المحور على الشكل (أ ، 0) (أ ، 0) ويسمى x- تقاطع من الخط. ال س- يحدث التقاطع عندما تكون y صفرًا.

الآن ، لنلقِ نظرة على النقاط التي تتقاطع فيها هذه الخطوط مع المحور y.

شكل: يتقاطع الخط مع المحور الصادي عند: زوج مرتب لهذه النقطة
42 6 (0,6)
43 -3 (0,-3)
44 -5 (0,-5)
45 0 (0,0)

س- اعتراض و ص- اعتراض خط

مثال 11.23

حل

يتقاطع الرسم البياني مع x- المحور عند النقطة (4 ، 0). ال x- التقاطع هو (4 ، 0).
يتقاطع الرسم البياني مع ذ- المحور عند النقطة (0 ، 2). ال ذ- التقاطع هو (0، 2).
يتقاطع الرسم البياني مع x- المحور عند النقطة (2 ، 0). ال x- التقاطع هو (2، 0)
يتقاطع الرسم البياني مع ذ- المحور عند النقطة (0، ،6). ال ذ- التقاطع هو (0، −6).
يتقاطع الرسم البياني مع x- المحور عند النقطة (−5، 0). ال x- التقاطع هو (−5، 0).
يتقاطع الرسم البياني مع ذ- المحور عند النقطة (0، ،5). ال ذ- التقاطع هو (0، −5).

أوجد التقاطع من معادلة خط

أعثر على x و ذ من معادلة الخط

مثال 11.24

أوجد تقاطعات 2 س + ص = 6 2 س + ص = 6

حل

للعثور على تقاطع x ، دع y = 0 y = 0:

للعثور على تقاطع y ، دع x = 0 x = 0:

الاعتراضات هي النقاط (3 ، 0) (3 ، 0) و (0 ، 6) (0 ، 6).

أوجد النقاط التي تقاطعها: 3 س + ص = 12 3 س + ص = 12

أوجد نقاط التقاطع: x + 4 y = 8 x + 4 y = 8

مثال 11.25

أوجد تقاطعات 4 x −3 y = 12. 4 س −3 ص = 12.

حل

الاعتراضات هي النقاط (3 ، 0) (−3 ، 0) و (0 ، −4). (0 ، −4).

أوجد تقاطعات الخط المستقيم: 3 x −4 y = 12. 3 س −4 ص = 12.

أوجد تقاطعات الخط المستقيم: 2 x −4 y = 8. 2 س −4 ص = 8.

رسم خط باستخدام التقاطع

لرسم معادلة خطية بالرسم البياني للنقاط ، يمكنك استخدام نقاط التقاطع كنقطتين من النقاط الثلاث. ابحث عن نقطتي التقاطع ، ثم نقطة ثالثة للتأكد من الدقة ، وارسم الخط. غالبًا ما تكون هذه الطريقة هي أسرع طريقة لرسم خط.

مثال 11.26

حل

- س + 2 ص = 6 - س + 2 (0) = 6 - س = 6 س = −6 - س + 2 ص = 6 - س + 2 (0) = 6 - س = 6 س = −6

- س + 2 ص = 6 0 + 2 ص = 6 2 ص = 6 ص = 3 - س + 2 ص = 6 0 + 2 ص = 6 2 ص = 6 ص = 3

ابحث عن النقطة الثالثة. سنستخدم x = 2 ، x = 2 ،

- س + 2 ص = 6 2 + 2 ص = 6 2 ص = 8 ص = 4 - س + 2 ص = 6 2 + 2 ص = 6 2 ص = 8 ص = 4

الحل الثالث للمعادلة هو (2 ، 4). (2 ، 4).

لخص النقاط الثلاث في الجدول ثم ارسمها على رسم بياني.

هل النقاط تصطف؟ نعم ، لذا ارسم خطًا بين النقاط.

ارسم الخط المستقيم باستخدام نقاط التقاطع: x −2 y = 4. س −2 ص = 4.

ارسم الخط المستقيم باستخدام نقاط التقاطع: - x + 3 y = 6. - س + 3 ص = 6.

كيف

ارسم خطًا باستخدام التقاطع.

مثال 11.27

حل

أوجد التقاطع ونقطة ثالثة.

نسرد النقاط ونعرض الرسم البياني.

ارسم الخط المستقيم باستخدام نقاط التقاطع: 5 x −2 y = 10. 5 س −2 ص = 10.

ارسم الخط المستقيم باستخدام نقاط التقاطع: 3 x −4 y = 12. 3 س −4 ص = 12.

مثال 11.28

حل

هذا الخط له اعتراض واحد فقط! إنها النقطة (0 ، 0). (0 ، 0).

لضمان الدقة ، نحتاج إلى رسم ثلاث نقاط. نظرًا لأن نقاط التقاطع هي نفس النقطة ، نحتاج إلى نقطتين أخريين لرسم الخط البياني. كما هو الحال دائمًا ، يمكننا اختيار أي قيم لـ x و x ، لذلك سنترك x x تساوي 1 1 و 1. −1.

تنظيم النقاط في الجدول.

ارسم النقاط الثلاث ، وتحقق من أنها تصطف ، وارسم الخط.

رسم بيانيًا باستخدام نقاط التقاطع: y = 4 x. ص = 4 س.

رسم بيانيًا باستخدام نقاط التقاطع: y = - x. ص = - س.

اختر الطريقة الأكثر ملاءمة لرسم خط

بينما يمكننا رسم أي معادلة خطية برسم النقاط ، فقد لا تكون دائمًا الطريقة الأكثر ملاءمة. يوضح هذا الجدول ستة من المعادلات التي رسمناها في هذا الفصل ، والطرق التي استخدمناها لرسمها.

ما هو شكل المعادلة الذي يمكن أن يساعدنا في اختيار الطريقة الأكثر ملاءمة لرسم خطها؟

لاحظ أنه في المعادلتين # 1 و # 2 ، ذ معزولة في أحد طرفي المعادلة ، ومعاملها هو 1. وجدنا نقاطًا بالتعويض عن قيم x على الجانب الأيمن من المعادلة ثم التبسيط للحصول على المقابل ص- القيم.

لكل من المعادلتين رقم 3 ورقم 4 متغير واحد فقط. تذكر أنه في هذا النوع من المعادلات تكون قيمة ذلك المتغير ثابتًا ولا تعتمد على قيمة المتغير الآخر. تحتوي المعادلات من هذا النموذج على رسوم بيانية عبارة عن خطوط عمودية أو أفقية.

يؤدي هذا إلى الإستراتيجية التالية لاختيار الطريقة الأكثر ملاءمة لرسم خط.


4.3: رسم بياني مع اعتراضات - رياضيات

هناك طريقة أخرى لرسم دالة خطية وهي استخدام ميلها م، وتقاطع ص.

دعونا ننظر في الوظيفة التالية.

المنحدر هو [اللاتكس] dfrac <1> <2> [/ اللاتكس]. نظرًا لأن الميل موجب ، فنحن نعلم أن الرسم البياني سينحرف لأعلى من اليسار إلى اليمين. ال ص-التقاطع هو النقطة على الرسم البياني عندما تكون [اللاتكس] س = 0 [/ لاتكس]. يتقاطع الرسم البياني مع ذ-المحور عند [اللاتكس] (0 ، 1) [/ اللاتكس]. الآن نعرف المنحدر و ذ-تقاطع. يمكننا أن نبدأ الرسم البياني عن طريق رسم النقطة [لاتكس] (0 ، 1) [/ لاتكس] نحن نعلم أن المنحدر يرتفع فوق الركض ، [لاتكس] م = دفراك < نص> < نص> [/ لاتكس]. من مثالنا ، لدينا [latex] m = dfrac <1> <2> [/ latex] ، مما يعني أن الارتفاع هو [latex] 1 [/ latex] والتشغيل هو [latex] 2 [/ latex] . لذا بدءًا من ذ- intercept [latex] (0، 1) [/ latex] ، يمكننا رفع [latex] 1 [/ latex] ثم تشغيل [latex] 2 [/ latex] ، أو تشغيل [latex] 2 [/ latex] ثم ارتفاع [لاتكس] 1 [/ لاتكس]. نكرر ذلك حتى نحصل على بضع نقاط ، ثم نرسم خطًا عبر النقاط كما هو موضح في الرسم البياني أدناه.

ملاحظة عامة: تفسير رسومي للدالة الخطية

في المعادلة [اللاتكس] f left (x right) = mx + b [/ latex]

  • ب هل ذ- تقاطع الرسم البياني ويشير إلى النقطة (0 ، ب) حيث يتقاطع الرسم البياني مع ذ-محور.
  • م هو ميل الخط ويشير إلى الإزاحة الرأسية (الارتفاع) والإزاحة الأفقية (الجري) بين كل زوج متتالي من النقاط. تذكر صيغة المنحدر:

تعبر جميع الدوال الخطية المحور y ومن ثم يكون لها تقاطعات y. (ملحوظة: لا يحتوي الخط العمودي الموازي للمحور y على تقاطع y ، ولكنه ليس دالة.)

الكيفية: بالنظر إلى معادلة دالة خطية ، قم برسم الدالة باستخدام امتداد ذ- التقاطع والانحدار.

  1. قم بتقييم الدالة عند قيمة إدخال تساوي صفرًا لإيجاد ص-تقاطع.
  2. حدد الميل باعتباره معدل تغير قيمة الإدخال.
  3. ارسم النقطة التي يمثلها ص-تقاطع.
  4. استخدم [اللاتكس] dfrac < text> < نص> [/ لاتكس] لتحديد نقطتين أخريين على الأقل على الخط.
  5. ارسم الخط الذي يمر عبر النقاط.

مثال

الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = - dfrac <2> <3> x + 5 [/ latex] باستخدام ص-اعتراض ومنحدر.

قيم الدالة عند [latex] x = 0 [/ latex] للعثور على ص-تقاطع. قيمة المخرجات عندما تكون [latex] x = 0 [/ latex] هي [latex] 5 [/ latex] ، لذا فإن الرسم البياني سيتخطى ذ-المحور في [اللاتكس] (0 ، 5) [/ اللاتكس].

وفقًا لمعادلة الوظيفة ، يكون ميل الخط [اللاتكس] - dfrac <2> <3> [/ اللاتكس]. يخبرنا هذا أنه لكل انخفاض رأسي في & # 8220rise & # 8221 من وحدات [اللاتكس] –2 [/ latex] ، تزيد & # 8220run & # 8221 بمقدار [لاتكس] 3 [/ لاتكس] وحدات في الاتجاه الأفقي. يمكننا الآن إنشاء رسم بياني للدالة من خلال رسم قيمة ذ- اعتراض في الرسم البياني أدناه. من القيمة الأولية [لاتكس] (0 ، 5) [/ لاتكس] ننتقل لأسفل [لاتكس] 2 [/ لاتكس] وحدات وإلى اليمين [لاتكس] 3 [/ لاتكس] وحدات. يمكننا تمديد الخط إلى اليسار واليمين عن طريق التكرار ، ثم رسم خط يمر بالنقاط.

يميل الرسم البياني لأسفل من اليسار إلى اليمين ، مما يعني أن ميله سالب كما هو متوقع.

جربها

في الفيديو التالي ، نعرض مثالًا آخر لكيفية رسم دالة خطية برسم تقاطع y والميل.

سنعرض في المثال الأخير كيفية رسم دالة خطية أخرى باستخدام الميل وتقاطع y.

مثال

الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = - dfrac <3> <4> x + 6 [/ latex] باستخدام المنحدر وتقاطع y.

ميل هذه الوظيفة هو [اللاتكس] - dfrac <3> <4> [/ اللاتكس] وتقاطع y هو [اللاتكس] (0،6) [/ اللاتكس] يمكننا بدء الرسم البياني عن طريق رسم تقاطع y والعد التنازلي ثلاث وحدات واليمين [لاتكس] 4 [/ لاتكس] وحدات. ستكون المحطة الأولى [اللاتكس] (4،3) [/ اللاتكس] ، والمحطة التالية ستكون [اللاتكس] (0،8) [/ اللاتكس].


11.2: مقارنة رسمين بيانيين (15 دقيقة)

نشاط

في هذا النشاط ، يستمر الطلاب في فهم ملاحظاتهم السابقة حول العلاقة بين الشكل المعامل للتعبير التربيعي و (x ) - مفاهيم الرسم البياني الخاص به. يدرسون تعبيرين متشابهين للغاية: (x (x + 4) ) و (x (x-4) ). يقيمون كل منها بقيم (س ) مختلفة. يتم اختيار التعبيرات بحيث يمكن للطلاب تحويل تركيزهم من الأرقام إلى العمليات ، مع مراعاة الدقة (MP6) على طول الطريق.

يلاحظ الطلاب أنه بالنسبة إلى (x (x + 4) ) ، فإن قيم (x ) التي تنتج ناتج 0 هي 0 و -4 ، وبالنسبة إلى (x (x-4) ) ، فإن هذه القيم هي 0 4. هذا يساعد في تفسير سبب كون إشارات (س ) - تقاطع معاكسة للإشارات الموجودة في العوامل. في وحدة قادمة ، سيقومون بتطوير هذا الفهم جبريًا ، من حيث خاصية المنتج الصفري. في الوقت الحالي ، يكفي التحقق من التداخلات من خلال تقييم التعبير التربيعي عند القيم المتوقعة والتحقق من أن المخرجات تساوي 0.

يلاحظ الطلاب أيضًا ، من خلال البحث عن الانتظام في التفكير المتكرر ، أنه يمكن تحديد الموقع الأفقي لرأس الرسم البياني بمجرد معرفة التداخلات (x ): فهي بالضبط في منتصف المسافة بين التقاطع (MP8). يشير هذا إلى أن التعبير التربيعي في شكل عامل يمكن أن يساعدنا على "رؤية" كلاً من (x ) - إحداثيات تقاطع (x ) و (x ) - تنسيق رأس الرسم البياني. قد يلاحظ بعض الطلاب أن الموقع الأفقي للرأس يمكن تحديده باستخدام نقطة المنتصف بين أي نقطتين لهما نفس (y ) -التنسيق لأن الرسوم البيانية لها تناظر انعكاس عبر خط عمودي عبر الرأس.

أثناء عمل الطلاب ، ابحث عن أولئك الذين يستخدمون الجدول لتحديد تداخلات (س ) ، بدلاً من رسم النقاط أولاً. ادعُ هؤلاء الطلاب لمشاركة استراتيجيتهم أثناء التجميع.

في هذا النشاط ، يقوم الطلاب بتعميم العلاقة بين الأصفار على الرسم البياني للدالة والشكل المعامل للوظيفة ، لذا فإن التكنولوجيا ليست أداة مناسبة.

إطلاق

اعرض للجميع لمشاهدة المعادلات التي تحدد (f ) و (g ).

استطلع رأي الفصل لجمع بعض التوقعات حول الرسوم البيانية التي تمثل الوظيفتين وعرض النتائج ليراها الجميع:

رتب الطلاب في مجموعات من 2. اطلب من الشركاء تقسيم العمل على السؤال الأول (مع شخص واحد يقوم بتحليل الوظيفة (f ) والشخص الآخر يحلل الوظيفة (g )) ثم العمل معًا لرسم النقاط والتوضيح ملاحظات في السؤال الأخير.

إذا لزم الأمر ، ذكر الطلاب أن رأس الرسم البياني هو النقطة التي يغير فيها الرسم البياني اتجاهه من الزيادة إلى النقصان ، أو من التناقص إلى الزيادة.

نظرًا لأن هذا النشاط مصمم بحيث يكتمل بدون تقنية ، اطلب من الطلاب وضع أي أجهزة بعيدًا.

إذا رغبت في ذلك ، قم بتوزيع أقلام الرصاص الملونة بحيث يتمكن كل طالب من الوصول إلى لونين مختلفين لإنشاء الرسوم البيانية الخاصة بهم في السؤال الأخير.

ضع في اعتبارك وظيفتين معرفتين بواسطة (f (x) = x (x + 4) ) و (g (x) = x (x-4) ).

أكمل جدول القيم لكل دالة. ثم حدد (x ) - تداخلات ورأس كل رسم بياني. كن مستعدًا لشرح كيف تعرف.


شاهد الفيديو: رسم مجموعة بيانات في مخطط واحد بالاكسل 2016 (شهر نوفمبر 2021).