مقالات

1.2: بسذاجة - الرياضيات


دعونا نبدأ بالحديث بشكل غير رسمي عن الهياكل الرياضية واللغات الرياضية.

ليس هناك شك في أنك عملت مع النماذج الرياضية في العديد من دورات الرياضيات السابقة ، على الرغم من أنه في جميع الاحتمالات لم يتم الإشارة إليك في ذلك الوقت. على سبيل المثال ، إذا كنت قد درست دورة في الجبر الخطي ، فلديك بعض الخبرة مع ( mathbb {R} ^ 2 ) و ( mathbb {R} ^ 3 ) و ( mathbb {R} ^ n ) كأمثلة للمسافات المتجهة. تعلمت في هندسة المدرسة الثانوية أن الطائرة هي "نموذج" لبديهيات الهندسة في إقليدس. ربما تكون قد أخذت فصلًا في الجبر المجرد ، حيث رأيت عدة أمثلة من المجموعات: الأعداد الصحيحة تحت الجمع ، ومجموعات التقليب ، ومجموعة المصفوفات (n times n ) المقلوبة مع عملية ضرب المصفوفة كلها أمثلة على المجموعات - هم "نماذج" لبديهيات المجموعة. كل هذه النماذج أو الهياكل الرياضية. تستخدم هياكل مختلفة لأغراض مختلفة.

لنفترض أننا نفكر في بنية رياضية معينة ، على سبيل المثال ( mathbb {R} ^ 3 ) ، مجموعة ثلاثية مرتبة من الأعداد الحقيقية. إذا حاولنا القيام بهندسة إقليدية مستوية في ( mathbb {R} ^ 3 ) ، فإننا نفشل فشلاً ذريعًا ، لأن الافتراض الموازي (على سبيل المثال) خاطئ في هذه البنية. من ناحية أخرى ، إذا أردنا إجراء الجبر الخطي في ( mathbb {R} ^ 3 ) ، فكل شيء جيد وجيد ، كما يمكننا التفكير في نقاط ( mathbb {R} ^ 3 ) كمتجهات ودع العدديات تكون أعدادًا حقيقية. إذن ، فإن البديهيات الخاصة بمساحة متجه حقيقية تكون كلها صحيحة عند تفسيرها في ( mathbb {R} ^ 3 ). سنقول أن ( mathbb {R} ^ 3 ) هو نموذج لبديهيات فضاء متجه ، في حين أنه ليس نموذجًا لبديهيات إقليدس للهندسة.

كما لاحظت بلا شك ، قدمت مناقشتنا نوعين منفصلين من الأشياء التي تدعو للقلق. أولاً ، هناك النماذج الرياضية ، التي يمكنك التفكير فيها على أنها عوالم رياضية ، أو بناءات. تتضمن الأمثلة على ذلك ( mathbb {R} ^ 3 ) ، ومجموعة متعددة الحدود من الدرجة 17 ، ومجموعة المصفوفات 3 × 2 ، والخط الحقيقي. لقد تحدثنا أيضًا عن بديهيات الهندسة ومساحات المتجهات ، وهذان شيئان مختلفان. دعونا نناقش هذه المسلمات للحظة.

فقط لأغراض التوضيح ، دعونا نلقي نظرة على بعض البديهيات التي تنص على أن (V ) هو فضاء متجه حقيقي. تم سردها هنا بشكل غير رسمي بلغة أكثر رسمية:

إضافة المتجه تبادلية: ( left ( forall u in V right) left ( forall v in V right) u + v = v + u ).

يوجد متجه صفري: ( يسار ( موجود 0 في V يمين) يسار ( forall v in V right) v + 0 = v ).

مرة واحدة يكون أي شيء هو نفسه: ( left ( forall v in V right) 1v = v ).

لا تقلق إذا لم تكن اللغة الرسمية مألوفة لك في هذه المرحلة ؛ يكفي أن نلاحظ أن هناك هو لغة رسمية. لكن دعنا نشير إلى بعض الأشياء التي ربما قبلتها دون سؤال. علامة الجمع الموجودة في البديهيتين الأوليين ليست هي نفسها علامة الجمع التي كنت تستخدمها عندما تعلمت إضافة الصف الأول. أو بالأحرى هو هو نفس العلامة ولكن أنت تفسر هذا التوقيع بشكل مختلف. إذا كانت مساحة المتجه قيد الدراسة هي ( mathbb {R} ^ 3 ) ، فأنت تعلم أنه فيما يتعلق بأول بديهيتين ، فإن الإضافة هي إضافة متجهة. وبالمثل ، فإن 0 في البديهية الثانية ليس الرقم الحقيقي 0 ؛ بدلا من ذلك ، هو المتجه الصفري. أيضًا ، فإن الضرب في البديهية الثالثة الذي يُشار إليه من خلال تجاور 1 و (v ) هو الضرب القياسي لمساحة المتجه ، وليس مضاعفة الدرجة الثالثة.

لذلك يبدو أننا يجب أن نكون قادرين على النظر إلى بعض الرموز في لغة رسمية معينة ثم أخذ تلك الرموز وربطها بطريقة ما ببنية رياضية. ستؤدي التفسيرات المختلفة للرموز إلى استنتاجات مختلفة فيما يتعلق بحقيقة البيان الرسمي. على سبيل المثال ، إذا أخذنا بديهية التبديل أعلاه وعملنا مع المسافة (V ) كونها ( mathbb {R} ^ 3 ) ولكن فسرنا العلامة (+ ) على أنها تعني حاصل الضرب التبادلي بدلاً من إضافة المتجه ، نرى أن البديهية لم تعد صحيحة ، لأن الضرب التبادلي ليس تبادليًا.

هذه ، إذن ، هي أهدافنا التالية: تقديم اللغات الرسمية ، وإعطاء تعريف رسمي للبنية الرياضية ، ومناقشة الحقيقة في تلك الهياكل. سيأتي الجمال لاحقًا.


1.2: بسذاجة - الرياضيات

المحاضر الدكتور نيل دونالدسون
مكتب RH 472
ساعات العمل المكتبية MW 11-12 + 1-2
Email [email protected]
أوقات المحاضرة MWF 10am SH 174

معيد كاي وي تشاو
أوقات المناقشة MW 9am HIB 110
مكتب / ساعات RH 440V / Tu 2-3 + Th 2–4
Email [email protected]

نص المقرر الدراسي والمناهج تغطي الدورة المتطلبات المسبقة اللازمة لدراسة شاملة لحساب التفاضل والتكامل: نحن نغطي الأرقام ، والاكتمال ، والتسلسل ، والبرهان ، والسلسلة ، والوظائف المستمرة. تم تقديم العديد من هذه الموضوعات na & iumlvely في الرياضيات 2 أ / ب وتم التطرق إليها في الرياضيات 13: نحن هنا إثبات كل شىء!

نص الدورة التحليل الأولي: نظرية حساب التفاضل والتكامل بواسطة كينيث روس
الكتاب هو ليس مطلوب --- ستتم طباعة أسئلة وملاحظات الواجب المنزلي ونشرها على صفحة الواجب المنزلي - على الرغم من أن نفس الكتاب يغطي أيضًا 140B ، لذا يوصى به إذا كنت ستحضر هذا الفصل.
للحصول على منهج أكثر تفصيلاً بما في ذلك الأقسام التي يتم تناولها يوميًا والتقييمات ، انقر هنا

    سيتم تعيين معظم الأسابيع وتجميعها في المناقشة. سيتم إسقاط واجب منزلي واحد.
  • سيتم إعطاء ستة اختبارات قصيرة في فصول المناقشة. سيفترضون عمومًا معرفة الواجب المنزلي المقدم في ذلك الأسبوع. سيتم تجاهل اختبار واحد. ستجرى الواجبات المنزلية والاختبارات بشكل عام خلال الأربعاء نقاش.
  • منتصف الفصل الدراسي: خلال وقت الفصل العادي يوم الجمعة 1 نوفمبر
  • الامتحان النهائي: في الفصل الدراسي المعتاد الاثنين 9 ديسمبر ، 10: 30-12: 30. سيكون الامتحان شاملاً.

في فصول الرياضيات ، لا يتخذ المدرسون القرارات المتعلقة بقوائم الانتظار ، والإضافات ، والإسقاط ، وتغييرات النجاح / عدم التمرير. راجع هنا للحصول على معلومات حول كيفية التنقل في النظام. بشكل أساسي ، لديك حتى نهاية الأسبوع 2 لإكمال جميع عمليات الإضافة والقطرات وتغييرات الدرجات ، وكل ذلك يتم عبر الإنترنت.


قانون الأعداد الكبيرة

استند هذا السؤال إلى نهج ساذج في المقامرة. التالي ، من عام 2000 ، يقوم على نظرية الاحتمالات. (طُرحت الأسئلة بلغة إنجليزية غير كاملة ، وسأعيد ذكرها كما أفهمها ، وأصحح تفسيرًا خاطئًا في النسخة المؤرشفة. لقد فهمها الدكتور TWE بشكل صحيح.)

أجاب الدكتور TWE ، مغطى العديد من التفسيرات المحتملة لـ & # 8220result & # 8221:

التحقق من حسابه ، وبالتالي تأكيد ما كان يقصده ، أحصل على احتمال رمي واحد على الأقل ستة على ثلاثة أحجار نرد ليكون مكملًا للتدحرج بلا ست: ( displaystyle 1 & # 8211 frac <5 ^ 3> <6 ^ 3> = 42.1٪ ). في المرة القادمة سأناقش هذا أكثر.

أكد الطبيب TWE حسابه ، ثم أوضح ما يعنيه هذا القانون ، ولا يعني:

الشيء المهم هنا هو أن الأشياء & # 8220average & # 8221 على المدى الطويل ، بحيث تحصل على 6 على الأقل من 42.1٪ من القوائم ، ولكن ليس لأنه في أي وقت هناك فرصة أكبر للتعويض المتوسط ​​& # 8212 يحدث فقط لأن هناك وقتًا طويلاً للقيام بذلك. لا يرجع السبب في ذلك إلى أن الأحداث الماضية لها أي تأثير على الأحداث المستقبلية ، مما يجعلها تتماشى مع & # 8220averages & # 8221.

لمزيد من المعلومات عن قانون الأعداد الكبيرة ، انظر


رياضيات Topcoders

لقد رأيت عددًا من المنافسين يشكون من أنهم محرومون بشكل غير عادل لأن العديد من مشكلات التشفير العلوي تكون حسابية للغاية. أنا شخصياً أحب الرياضيات ، وبالتالي فأنا متحيز في هذه المسألة. ومع ذلك ، أعتقد بشدة أن المسائل يجب أن تحتوي على الأقل على بعض الرياضيات ، لأن الرياضيات وعلوم الكمبيوتر غالبًا ما يسيران جنبًا إلى جنب. من الصعب تخيل عالم يمكن أن يوجد فيه هذان المجالان دون أي تفاعل مع بعضهما البعض. في هذه الأيام ، يتم إجراء قدر كبير من الرياضيات التطبيقية على أجهزة الكمبيوتر مثل حل أنظمة كبيرة من المعادلات وتقريب الحلول للمعادلات التفاضلية التي لا توجد لها صيغة مغلقة. تُستخدم الرياضيات على نطاق واسع في أبحاث علوم الكمبيوتر ، فضلاً عن كونها مطبقة بكثافة على خوارزميات الرسم البياني ومجالات رؤية الكمبيوتر.

تناقش هذه المقالة النظرية والتطبيق العملي لبعض التركيبات الرياضية الأكثر شيوعًا. الموضوعات التي يتم تناولها هي: الأعداد الأولية ، GCD ، الهندسة الأساسية ، القواعد ، الكسور والأعداد المركبة.

الأعداد الأولية

يكون الرقم أوليًا إذا كان لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. على سبيل المثال ، 2 و 3 و 5 و 79 و 311 و 1931 كلها أعداد أولية ، بينما 21 ليس عددًا أوليًا لأنه قابل للقسمة على 3 و 7. لمعرفة ما إذا كان الرقم n عددًا أوليًا يمكننا ببساطة التحقق مما إذا كان يقسم أي أرقام أدناه هو - هي. يمكننا استخدام عامل المعامل (٪) للتحقق من القابلية للقسمة:

يمكننا جعل هذا الرمز يعمل بشكل أسرع من خلال ملاحظة أننا نحتاج فقط إلى التحقق من القابلية للقسمة لقيم i التي تقل أو تساوي الجذر التربيعي لـ n (نسمي هذا m). إذا قسمت n عددًا أكبر من m ، فستكون نتيجة هذا القسمة أقل من m ، وبالتالي فإن n ستقسم رقمًا أصغر أو يساوي m. تحسين آخر هو إدراك أنه لا توجد أعداد أولية أكبر من 2. بمجرد أن نتحقق من أن n ليس حتى يمكننا زيادة قيمة i بمقدار 2. يمكننا الآن كتابة الطريقة النهائية للتحقق مما إذا كان الرقم أوليًا :

لنفترض الآن أننا أردنا إيجاد جميع الأعداد الأولية من 1 إلى 100000 ، فسيتعين علينا استدعاء الطريقة المذكورة أعلاه 100000 مرة. سيكون هذا غير فعال للغاية لأننا سنكرر نفس الحسابات مرارًا وتكرارًا. في هذه الحالة ، من الأفضل استخدام طريقة تُعرف باسم غربال إراتوستينس. سيولد غربال إراتوستينس جميع الأعداد الأولية من 2 إلى رقم معين ن. يبدأ بافتراض أن جميع الأعداد أولية. ثم يأخذ الرقم الأولي الأول ويزيل كل مضاعفاته. ثم يطبق نفس الطريقة على العدد الأولي التالي. يستمر هذا حتى تتم معالجة جميع الأرقام. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك إيجاد الأعداد الأولية في النطاق من 2 إلى 20. نبدأ بكتابة جميع الأرقام لأسفل:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 هو أول عدد أولي. نقوم الآن بشطب جميع مضاعفاته ، أي كل رقم ثاني:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
الرقم التالي غير المشطوب هو 3 ، وبالتالي فهو الثاني. نقوم الآن بشطب جميع مضاعفات 3 ، أي كل رقم ثالث من 3:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
جميع الأعداد المتبقية أولية ويمكننا إنهاء الخوارزمية بأمان. يوجد أدناه رمز الغربال:

في الطريقة أعلاه ، نقوم بإنشاء مصفوفة أولية منطقية تخزن البدائية لكل رقم أقل من يساوي n. إذا كان العدد الأولي [i] صحيحًا ، فإن الرقم i هو عدد أولي. تعثر الحلقة الخارجية على العدد الأولي التالي بينما تزيل الحلقة الداخلية جميع مضاعفات العدد الأولي الحالي.

القاسم المشترك الأكبر (GCD) لرقمين a و b هو أكبر عدد يقسم بالتساوي إلى كل من a و b. بسذاجة يمكننا أن نبدأ من أصغر رقمين ونعمل في طريقنا إلى الأسفل حتى نجد رقمًا يقسم إلى كلاهما:

على الرغم من أن هذه الطريقة سريعة بما يكفي لمعظم التطبيقات ، إلا أن هناك طريقة أسرع تسمى خوارزمية إقليدس. تتكرر خوارزمية إقليدس على العددين حتى يتم العثور على باقي الرقم 0. على سبيل المثال ، لنفترض أننا نريد إيجاد GCD لـ 2336 و 1314. نبدأ بالتعبير عن الرقم الأكبر (2336) بدلالة الرقم الأصغر (1314) بالإضافة إلى الباقي:
2336 = 1314 × 1 + 1022
نفعل نفس الشيء الآن مع 1314 و 1022:
1314 = 1022 × 1 + 292
نواصل هذه العملية حتى نصل إلى باقي 0:
1022 = 292 × 3 + 146
292 = 146 × 2 + 0
آخر الباقي غير الصفري هو GCD. إذن ، GCD 2336 و 1314 هو 146. يمكن تشفير هذه الخوارزمية بسهولة كدالة تكرارية:

باستخدام هذه الخوارزمية ، يمكننا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين. على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و 9 هو 18 لأن الرقم 18 هو أصغر رقم يقسم كلا 6 و 9. إليك رمز طريقة المضاعف المشترك الأصغر:

كملاحظة أخيرة ، يمكن استخدام خوارزمية إقليدس لحل معادلات ديوفانتاين الخطية. هذه المعادلات لها معاملات عدد صحيح وهي بالشكل:
الفأس + ب = ج

الهندسة

تطلب منا المشاكل أحيانًا إيجاد تقاطع المستطيلات. هناك عدة طرق لتمثيل المستطيل. بالنسبة للطائرة الديكارتية القياسية ، تتمثل إحدى الطرق الشائعة في تخزين إحداثيات الزوايا السفلية اليسرى والعليا اليمنى.

افترض أن لدينا مستطيلين R1 و R2. لنفترض أن (x1، y1) هو موقع الزاوية اليسرى السفلية من R1 و (x2، y2) يكون موقع الزاوية اليمنى العلوية. وبالمثل ، لنفترض أن (x3، y3) و (x4، y4) هي مواقع الزاوية الخاصة بـ R2. سيكون تقاطع R1 و R2 عبارة عن مستطيل R3 يكون ركنه السفلي الأيسر عند (max (x1، x3)، max (y1، y3)) والزاوية العلوية اليمنى عند (min (x2، x4)، min (y2 ، ذ 4)). إذا كان max (x1، x3) & gt min (x2، x4) أو max (y1، y3) & gt min (y2، y4) فإن R3 غير موجود ، أي لا يتقاطع R1 و R2. يمكن أن تمتد هذه الطريقة إلى التقاطع بأكثر من بعدين كما هو موضح في CuboidJoin (SRM 191 ، Div 2 Hard).

غالبًا ما يتعين علينا التعامل مع المضلعات التي تحتوي رؤوسها على إحداثيات صحيحة. تسمى هذه المضلعات المضلعات الشبكية. في البرنامج التعليمي الخاص به حول مفاهيم الهندسة ، يقدم lbackstrom طريقة رائعة لإيجاد مساحة مضلع شبكي بالنظر إلى رؤوسه. لنفترض الآن أننا لا نعرف الموضع الدقيق للرؤوس وبدلاً من ذلك حصلنا على قيمتين:
ب = عدد النقاط الشبكية على حدود المضلع
أنا = عدد النقاط الشبكية في داخل المضلع
بشكل مثير للدهشة ، يتم تحديد مساحة هذا المضلع من خلال:
المساحة = B / 2 + I - 1
تسمى الصيغة أعلاه نظرية بيك بسبب جورج ألكسندر بيك (1859 - 1943). من أجل إظهار أن نظرية بيك تنطبق على جميع المضلعات الشبكية ، يتعين علينا إثباتها في 4 أجزاء منفصلة. في الجزء الأول نوضح أن النظرية تنطبق على أي مستطيل شبكي (مع جوانب موازية للمحور). نظرًا لأن المثلث القائم الزاوية هو ببساطة نصف مستطيل ، فليس من الصعب جدًا إظهار أن النظرية تنطبق أيضًا على أي مثلث قائم الزاوية (مع جوانب موازية للمحور). الخطوة التالية هي النظر في المثلث العام ، والذي يمكن تمثيله على شكل مستطيل به بعض المثلثات القائمة الزاوية مقطوعة من أركانه. أخيرًا ، يمكننا أن نبين أنه إذا كانت النظرية صحيحة لأي مضلعين شبكيين يتشاركان جانبًا مشتركًا ، فستحتفظ أيضًا بالمضلع الشبكي ، الذي يتم تشكيله عن طريق إزالة الجانب المشترك. الجمع بين النتيجة السابقة وحقيقة أن كل مضلع بسيط هو اتحاد مثلثات يعطينا النسخة النهائية من نظرية بيك. تكون نظرية Pick's مفيدة عندما نحتاج إلى إيجاد عدد النقاط الشبكية داخل مضلع كبير.

هناك صيغة أخرى تستحق التذكر وهي صيغة أويلر للشبكات متعددة الأضلاع. الشبكة متعددة الأضلاع عبارة عن مضلع بسيط مقسم إلى مضلعات أصغر. تسمى المضلعات الصغيرة الوجوه ، وتسمى جوانب الوجوه بالحواف وتسمى رؤوس الوجوه الرؤوس. ثم تنص صيغة أويلر على ما يلي:
V - E + F = 2 ، أين
V = عدد الرؤوس
E = عدد الحواف
F = عدد الوجوه
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مربعًا به كلا القطرين مرسومين. لدينا V = 5 و E = 8 و F = 5 (السطح الخارجي للمربع هو أيضًا وجه) وهكذا V - E + F = 2.

يمكننا استخدام الاستقراء لإظهار أن صيغة أويلر تعمل. يجب أن نبدأ الاستقراء بـ V = 2 ، لأن كل رأس يجب أن يكون على حافة واحدة على الأقل. إذا كان V = 2 ، فهناك نوع واحد فقط من الشبكات المضلعة الممكنة. له رأسان متصلان بعدد E من الحواف. هذه الشبكة متعددة الأضلاع لها أوجه E (E - 1 "في المنتصف" و 1 "في الخارج"). إذن V - E + F = 2 - E + E = 2. نفترض الآن أن V - E + F = 2 صحيح لجميع 2 & lt = V & lt = n. لنفترض أن V = n + 1. اختر أي رأس w بشكل عشوائي. افترض الآن أن w تم ربطه ببقية الشبكة بواسطة G edges. إذا أزلنا w وكل هذه الحواف ، فسيكون لدينا شبكة بها رؤوس n ، وحواف E - G و F - G + 1 وجوه. من افتراضنا ، لدينا:
(ن) - (E - G) + (F - G + 1) = 2
وبالتالي (ن + 1) - E + F = 2
نظرًا لأن V = n + 1 ، لدينا V - E + F = 2. ومن ثم وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فقد أثبتنا معادلة أويلر.

القواعد

من المشكلات الشائعة جدًا التي يواجهها منافسو topcoder أثناء التحديات التحويل من التمثيلات الثنائية والعشرية وإليها (من بين أمور أخرى).

إذن ماذا تعني قاعدة العدد في الواقع؟ سنبدأ بالعمل على الأساس القياسي (العشري). ضع في اعتبارك الرقم العشري 4325. يرمز 4325 إلى 5 + 2 x 10 + 3 x 10 x 10 + 4 x 10 x 10 x 10. لاحظ أن "قيمة" كل رقم ناتج يزيد بمقدار 10 عندما ننتقل من اليمين إلى اليسار.

تعمل الأعداد الثنائية بطريقة مماثلة. تتكون فقط من 0 و 1 و "قيمة" كل رقم تزداد بمعامل 2 كلما انتقلنا من اليمين إلى اليسار. على سبيل المثال ، يرمز الرقم 1011 في النظام الثنائي إلى 1 + 1 x 2 + 0 x 2 x 2 + 1 x 2 x 2 x 2 = 1 + 2 + 8 = 11 في النظام العشري. لقد حولنا للتو عددًا ثنائيًا إلى رقم عشري. الأمر نفسه ينطبق على القواعد الأخرى. هذا هو الكود الذي يحول الرقم n في الأساس b (2 & lt = b & lt = 10) إلى رقم عشري:

سيسعد مستخدمو Java بمعرفة أنه يمكن أيضًا كتابة ما سبق على النحو التالي:
عودة عدد صحيح. تحليل Int (& quot & quot + n، b)
التحويل من رقم عشري إلى رقم ثنائي بنفس السهولة. لنفترض أننا أردنا تحويل 43 من النظام العشري إلى النظام الثنائي. في كل خطوة من خطوات الطريقة نقسم 43 على 2 ونحفظ الباقي. القائمة النهائية للباقي هي التمثيل الثنائي المطلوب:
43/2 = 21 + الباقي 1
21/2 = 10 + الباقي 1
10/2 = 5 + الباقي 0
5/2 = 2 + الباقي 1
2/2 = 1 + الباقي 0
1/2 = 0 + الباقي 1
إذن ، 43 في النظام العشري يساوي 101011 في النظام الثنائي. من خلال تبديل جميع تكرارات 10 مع b في طريقتنا السابقة ، نقوم بإنشاء وظيفة تحول من رقم عشري n إلى رقم في الأساس b (2 & lt = b & lt = 10):

إذا كانت القاعدة b أعلى من 10 ، فيجب علينا استخدام أحرف غير رقمية لتمثيل الأرقام التي لها قيمة 10 وأكثر. يمكننا أن نجعل "أ" يرمز إلى 10 ، و "ب" يرمز إلى 11 وهكذا. سيتم تحويل الكود التالي من رقم عشري إلى أي قاعدة (حتى الأساس 20):

يوجد في Java بعض الاختصارات المفيدة عند التحويل من التمثيل العشري إلى التمثيلات الشائعة الأخرى ، مثل الثنائي (الأساس 2) والثماني (الأساس 8) والسداسي العشري (الأساس 16):
عدد صحيح. إلى BinaryString (n)
عدد صحيح. إلى OctalString (n)
عدد صحيح. إلى HexString (n)

الكسور والأعداد المركبة

يمكن رؤية الأعداد الكسرية في العديد من المسائل. ربما يكون الجانب الأكثر صعوبة في التعامل مع الكسور هو إيجاد الطريقة الصحيحة لتمثيلها. على الرغم من أنه من الممكن إنشاء فئة كسور تحتوي على السمات والطرق المطلوبة ، فإنه يكفي لمعظم الأغراض تمثيل الكسور كمصفوفات مكونة من عنصرين (أزواج). الفكرة هي أننا نخزن البسط في العنصر الأول والمقام في العنصر الثاني. سنبدأ بضرب كسرين أ وب:

تعد إضافة الكسور أكثر تعقيدًا إلى حد ما ، حيث يمكن فقط جمع الكسور التي لها نفس المقام معًا. أولًا ، علينا إيجاد المقام المشترك للكسرين ثم استخدام الضرب لتحويل الكسور بحيث يكون لكلاهما المقام المشترك. القاسم المشترك هو رقم يمكن أن يقسم كلا المقامين وهو ببساطة المضاعف المشترك الأصغر (المعرّف سابقًا) للمقامين. على سبيل المثال ، لنضيف 4/9 و 1/6. المضاعف المشترك الأصغر لـ 9 و 6 هو 18. وبالتالي لتحويل الكسر الأول ، نحتاج إلى ضربه في 2/2 وضرب الكسر الثاني في 3/3:
4 / 9 + 1 / 6 = ( 4 * 2 )/( 9 * 2 ) + ( 1 * 3 )/( 6 * 3 ) = 8 / 18 + 3 / 18
بمجرد أن يكون للكسرين نفس المقام ، نجمع البسطين لنحصل على الناتج النهائي وهو 11/18. الطرح مشابه جدًا ، إلا أننا نطرح في الخطوة الأخيرة:
4 / 9 - 1 / 6 = 8 / 18 - 3 / 18 = 5 / 18
هذا هو الكود لإضافة كسرين:

أخيرًا ، من المفيد معرفة كيفية اختزال الكسر إلى أبسط صورة. أبسط شكل من أشكال الكسر يحدث عندما يكون GCD للبسط والمقام يساوي 1. ونفعل هذا على النحو التالي:

باستخدام نهج مماثل يمكننا تمثيل الأعداد الخاصة الأخرى ، مثل الأعداد المركبة. بشكل عام ، الرقم المركب هو رقم على شكل a + ib ، حيث a و b حقيقيان و i هو الجذر التربيعي لـ -1. على سبيل المثال ، لإضافة رقمين مركبين m = a + ib و n = c + id ، نقوم ببساطة بتجميع المصطلحات بالمثل:
م + ن
= (أ + ب) + (ج + معرف)
= (أ + ج) + أنا (ب + د)
إن ضرب عددين مركبين يماثل ضرب عددين حقيقيين ، باستثناء أننا يجب أن نستخدم حقيقة أن i ^ 2 = -1:
م * ن
= (أ + ب) * (ج + معرف)
= ac + iad + ibc + (i ^ 2) bd
= (ac - bd) + i (ad + bc)
من خلال تخزين الجزء الحقيقي في العنصر الأول والجزء المعقد في العنصر الثاني من المصفوفة المكونة من عنصرين ، يمكننا كتابة رمز يقوم بإجراء الضرب أعلاه:

استنتاج

في الختام ، أود أن أضيف أنه لا يمكن للمرء أن يرتقي إلى قمة تصنيفات التشفير العلوي دون فهم التركيبات الرياضية والخوارزميات الموضحة في هذه المقالة. ربما يكون أحد الموضوعات الأكثر شيوعًا في المسائل الرياضية هو موضوع الأعداد الأولية. يتبع هذا عن كثب موضوع القواعد ، ربما لأن أجهزة الكمبيوتر تعمل بنظام ثنائي وبالتالي يحتاج المرء إلى معرفة كيفية التحويل من ثنائي إلى عشري. مفاهيم GCD و LCM شائعة في كل من الرياضيات البحتة وكذلك المسائل الهندسية. أخيرًا ، لقد قمت بتضمين الموضوع الأخير ليس لفائدته في مسابقات topcoder ، ولكن لأنه يوضح وسيلة لمعالجة أرقام معينة.


محتويات

يتم الإشارة إلى المحدد إما عن طريق det أو بواسطة الأشرطة الرأسية حول المصفوفة. على سبيل المثال،

تحرير الخصائص الأولى

هذا ينطبق بشكل مشابه إذا كان العمودين متماثلين. وعلاوة على ذلك،

إذا كانت إدخالات المصفوفة أرقامًا حقيقية ، فيمكن استخدام المصفوفة A لتمثيل خريطتين خطيتين: واحدة تعين متجهات الأساس القياسي إلى صفوف A ، والأخرى ترسمها على أعمدة A. في كلتا الحالتين ، تشكل صور متجهات الأساس متوازي أضلاع يمثل صورة مربع الوحدة تحت التعيين. متوازي الأضلاع المحدد بواسطة صفوف المصفوفة أعلاه هو الذي له رءوس عند (0 ، 0) ، (أ, ب) , (أ + ج, ب + د) ، و (ج, د) ، كما هو موضح في الرسم التخطيطي المصاحب.

القيمة المطلقة لـ ميلاديقبل الميلاد هي مساحة متوازي الأضلاع ، وبالتالي تمثل عامل المقياس الذي يتم من خلاله تحويل المناطق بواسطة A. (متوازي الأضلاع المكون من أعمدة A هو بشكل عام متوازي أضلاع مختلف ، ولكن نظرًا لأن المحدد متماثل فيما يتعلق بالصفوف والأعمدة ، فستكون المنطقة هي نفسها.)

تصبح القيمة المطلقة للمحدد مع العلامة هي منطقة موجهة متوازي الأضلاع. المنطقة الموجهة هي نفس المساحة المعتادة ، باستثناء أنها سالبة عندما تدور الزاوية من الأول إلى الثاني الذي يحدد متوازي الأضلاع في اتجاه عقارب الساعة (وهو عكس الاتجاه الذي يمكن أن يحصل عليه المرء لمصفوفة الهوية).

لعرض ذلك ميلاديقبل الميلاد هي المنطقة الموقعة ، يمكن للمرء أن يعتبر مصفوفة تحتوي على متجهين ش ≡ (أ, ب) و الخامس ≡ (ج, د) تمثل جوانب متوازي الأضلاع. يمكن التعبير عن المنطقة الموقعة كـ |ش| |الخامس| الخطيئة θ للزاوية θ بين المتجهات ، التي هي ببساطة القاعدة مضروبة في الارتفاع ، طول المتجه مضروبًا في المكون العمودي للآخر. بسبب الجيب ، هذه بالفعل المنطقة الموقعة ، ومع ذلك يمكن التعبير عنها بشكل أكثر ملاءمة باستخدام جيب التمام للزاوية التكميلية لمتجه عمودي ، على سبيل المثال ش ⊥ = (−ب, أ) ، بحيث يكون |ش ⊥ | |الخامس| كوس θ ′ ، والتي يمكن تحديدها بواسطة نمط المنتج القياسي ليكون مساويًا له ميلاديقبل الميلاد :

وبالتالي فإن المحدد يعطي عامل القياس والاتجاه الناجم عن التعيين الذي يمثله أ. عندما يكون المحدد مساويًا لواحد ، فإن التعيين الخطي المحدد بواسطة المصفوفة يكون متساوي المساحة ويحافظ على الاتجاه.

الكائن المعروف باسم مقسم يرتبط بهذه الأفكار. في 2D ، يمكن تفسيره على أنه قطعة مستوية موجهة يتكون من تخيل متجهين لكل منهما أصل (0 ، 0) وإحداثيات (أ, ب) و (ج, د). حجم Bivector (المشار إليها بواسطة (أ, ب) ∧ (ج, د) ) هل المنطقة الموقعة، وهو أيضًا المحدد ميلاديقبل الميلاد . [2]

المحدد يعطي التوقيع نالحجم البُعدي لهذا المتوازي ، det (A) = ± vol (P) ، > (P) ،> وبالتالي يصف بشكل عام ملف ن- عامل القياس الحجمي الأبعاد للتحول الخطي الناتج عن أ. [3] (تُظهر العلامة ما إذا كان التحويل يحافظ على الاتجاه أو يعكسه.) على وجه الخصوص ، إذا كان المحدد صفرًا ، فإن هذا الشكل المتوازي يكون حجمه صفرًا وليس بالكامل ن- الابعاد مما يدل على ان ابعاد الصورة أ اقل من ن. هذا يعني ذاك أ ينتج تحويلًا خطيًا ليس على أو واحد لواحد ، وبالتالي لا يمكن عكسه.

في التكملة ، أ هي مصفوفة مربعة مع ن من الصفوف و ن الأعمدة ، بحيث يمكن كتابتها كـ

محدد أ يرمز له det (أ) ، أو يمكن الإشارة إليه مباشرة من حيث إدخالات المصفوفة بكتابة أشرطة التضمين بدلاً من الأقواس:

هناك طرق مكافئة مختلفة لتحديد محدد مصفوفة مربعة أ، أي واحد له نفس عدد الصفوف والأعمدة: يمكن تحديد المحدد من خلال صيغة لايبنيز ، وهي صيغة صريحة تتضمن مبالغ منتجات من إدخالات معينة في المصفوفة. يمكن أيضًا وصف المحدد بأنه الوظيفة الفريدة اعتمادًا على إدخالات المصفوفة التي تفي بخصائص معينة. يمكن أيضًا استخدام هذا النهج لحساب المحددات عن طريق تبسيط المصفوفات المعنية.

تحرير صيغة لايبنيز

ال صيغة لايبنيز لمحدد مصفوفة 3 × 3 ما يلي:

قاعدة Sarrus هي ذاكري لهذه الصيغة: مجموع حاصل ضرب ثلاثة خطوط قطرية من الشمال الغربي إلى الجنوب الشرقي لعناصر المصفوفة ، مطروحًا منه مجموع منتجات ثلاثة خطوط قطرية من الجنوب الغربي إلى الشمال الشرقي من العناصر ، عند كتابة نسخ أول عمودين من المصفوفة بجانبها كما في الرسم التوضيحي:

هذا المخطط لحساب محدد مصفوفة 3 × 3 لا ينتقل إلى أبعاد أعلى.

ن × ن المصفوفات تحرير

يتم أيضًا كتابته بشكل أكثر إيجازًا باستخدام تدوين Pi كـ

باستخدام هذه المفاهيم ، يكون تعريف المحدد باستخدام صيغة لايبنيز

مجموع يتضمن جميع التباديل ، حيث يكون كل مجموع ناتجًا عن إدخالات المصفوفة ، مضروبًا بعلامة اعتمادًا على التباديل.

ثم يقرأ مجموع المصطلحات الستة في العمود الثالث

هذا يعيد الصيغة أعلاه لأن رمز Levi-Civita هو صفر إذا كانت المؤشرات i 1، ...، i n < displaystyle i_ <1>، dots، i_> لا تشكل التقليب. [4] [5]

توصيف المحدد تحرير

يمكن وصف المحدد بالخصائص الرئيسية الثلاثة التالية. لتوضيح ذلك ، من المناسب اعتبار n × n < displaystyle n times n> -matrix أ باعتبارها مكونة من أعمدتها n < displaystyle n> ، لذلك يشار إليها باسم

  1. det (I) = 1 حيث I هي مصفوفة هوية.
  2. المحدد هو متعدد الخطوط: إذا كان يالعمود العاشر من المصفوفة A < displaystyle A> مكتوب كمجموعة خطية a j = r ⋅ v + w = r cdot v + w> من متجهين عمودينالخامس و ث وعدد ص، ثم محدد أ يمكن التعبير عنه كتركيب خطي مشابه: | أ | = | أ 1 ، ... ، أ ي - 1 ، ص ⋅ ت + ث ، أ ي + 1 ، ... ، أ ن | = ص ⋅ | أ 1 ، ... ، ت ، ... أ ن | + | أ 1 ، ... ، ث ، ... ، أ ن | | A | & amp = < big |> a_ <1> ، النقاط ، a_، r cdot v + w، a_، النقاط ، أ_| & amp = r cdot | a_ <1>، dots، v، dots a_| + | a_ <1>، dots، w، dots، a_| النهاية>>
  3. المحدد هو بالتناوب: عندما يتطابق عمودين في المصفوفة ، يكون محددها 0: | أ 1 ، ... ، ت ، ... ، ت ، ... ، أ ن | = 0. ، dots، v، dots، v، dots، a_|=0.>

إذا تم تحديد المحدد باستخدام صيغة Leibniz على النحو الوارد أعلاه ، فيمكن إثبات هذه الخصائص الثلاثة عن طريق الفحص المباشر لتلك الصيغة. يتعامل بعض المؤلفين أيضًا مع المحدد مباشرةً باستخدام هذه الخصائص الثلاث: يمكن إظهار أن هناك وظيفة واحدة بالضبط يتم تعيينها لأي n × n < displaystyle n times n> -matrix أ رقم يتوافق مع هذه الخصائص الثلاث. [6] يوضح هذا أيضًا أن هذا النهج الأكثر تجريدًا للمُحدد ينتج عنه نفس التعريف الذي يستخدمه معادلة لايبنيز.

لرؤية ذلك ، يكفي توسيع المحدد من خلال التعددية الخطية في الأعمدة إلى مجموعة خطية (ضخمة) من محددات المصفوفات حيث يكون كل عمود متجه أساس قياسي. هذه المحددات هي إما 0 (حسب الخاصية 9) أو ± 1 (حسب الخصائص 1 و 12 أدناه) ، لذا فإن التركيبة الخطية تعطي التعبير أعلاه من حيث رمز Levi-Civita. على الرغم من أن هذا التوصيف أقل تقنيًا في المظهر ، إلا أنه لا يمكن أن يحل محل صيغة Leibniz تمامًا في تحديد المحدد ، لأنه بدونها لا يكون وجود وظيفة مناسبة أمرًا واضحًا. [ بحاجة لمصدر ]

عواقب فورية تحرير

هذه القواعد لها عدة عواقب أخرى:

  • المحدد هو وظيفة متجانسة ، أي ،
  • يؤدي تبادل أي زوج من الأعمدة في مصفوفة إلى ضرب محددها في −1. هذا يتبع من كون المحدد متعدد الخطوط ومتناوب (الخواص 2 و 3 أعلاه):
  • إذا كان من الممكن التعبير عن بعض الأعمدة كمجموعة خطية من آخر الأعمدة (أي أن أعمدة المصفوفة تشكل مجموعة تابعة خطيًا) ، المحدد هو 0. كحالة خاصة ، يتضمن ذلك: إذا كان بعض الأعمدة بحيث تكون جميع إدخالاتها صفرًا ، فإن محدد تلك المصفوفة هو 0.
  • إضافة مضاعف عددي لعمود واحد إلى اخر العمود لا يغير قيمة المحدد. هذا هو نتيجة تعدد الخطوط وكونها بديلاً: من خلال تعدد الخطوط ، يتغير المحدد بواسطة مضاعف محدد مصفوفة بعمودين متساويين ، والذي يكون المحدد هو 0 ، نظرًا لأن المحدد يتناوب.
  • إذا كانت A < displaystyle A> عبارة عن مصفوفة مثلثة ، أي a i j = 0 < displaystyle a_= 0> ، عندما تكون i & gt j < displaystyle i & gtj> أو ، بدلاً من ذلك ، عندما تكون i & lt j < displaystyle i & ltj> ، فإن محددها يساوي حاصل ضرب الإدخالات القطرية:

مثال تحرير

هذه الخصائص المميزة ونتائجها المذكورة أعلاه مهمة من الناحية النظرية ، ولكن يمكن استخدامها أيضًا لحساب محددات المصفوفات الخرسانية. في الواقع ، يمكن تطبيق إزالة Gaussian لإحضار أي مصفوفة إلى شكل مثلث علوي ، والخطوات في هذه الخوارزمية تؤثر على المحدد بطريقة مسيطر عليها. يوضح المثال الملموس التالي حساب محدد المصفوفة A < displaystyle A> باستخدام هذه الطريقة:

أضف العمود الثاني إلى الأول

أضف 3 أضعاف العمود الثالث إلى الثاني

تبديل أول عمودين

الجمع بين هذه المساواة يعطي | أ | = - | هـ | = - 18 3 ⋅ (- 1) = 54.

تبديل التحرير

يمكن إثبات ذلك من خلال فحص صيغة Leibniz. [7] هذا يعني أنه في جميع الخصائص المذكورة أعلاه ، يمكن استبدال كلمة "عمود" بكلمة "صف" طوال الوقت. على سبيل المثال ، عرض ملف ن × ن المصفوفة على أنها مكونة من ن من الصفوف ، المحدد هو ن-دالة خطية.

تحرير مجموعات المصفوفة والتعدد

وبالتالي فإن المحدد هو أ خريطة مضاعفة، على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفات المربعة A < displaystyle A> و B < displaystyle B> ذات الحجم المتساوي ، فإن محدد منتج المصفوفة يساوي حاصل ضرب محدداتها:

det (A B) = det (A) det (B)

على وجه الخصوص ، لا تزال هذه الخاصية لمنتجات وعكسات المصفوفات ذات المحددات غير الصفرية (على التوالي ، المحدد واحد). وبالتالي ، فإن مجموعة هذه المصفوفات (ذات الحجم الثابت n ) تشكل مجموعة تعرف باسم المجموعة الخطية العامة GL n _> (على التوالي ، مجموعة فرعية تسمى المجموعة الخطية الخاصة SL n ⊂ GL n _ مجموعة فرعية اسم التشغيل _>. بشكل أكثر عمومية ، تشير كلمة "خاص" إلى المجموعة الفرعية لمجموعة مصفوفة أخرى من مصفوفات مصفوفة واحدة محددة. تشمل الأمثلة المجموعة المتعامدة الخاصة (التي إذا ن هي 2 أو 3 تتكون من جميع مصفوفات التدوير) ، والمجموعة الوحدوية الخاصة.

The Cauchy–Binet formula is a generalization of that product formula for rectangular matrices. This formula can also be recast as a multiplicative formula for compound matrices whose entries are the determinants of all quadratic submatrices of a given matrix. [9] [10]

Laplace expansion Edit

which is called the Laplace expansion along the i th row. For example, the Laplace expansion along the first row ( i = 1 ) gives the following formula:

Laplace expansion can be used iteratively for computing determinants, but this approach is inefficient for large matrices. However, it is useful for computing the determinants of highly symmetric matrix such as the Vandermonde matrix

This determinant has been applied, for example, in the proof of Baker's theorem in the theory of transcendental numbers.

Adjugate matrix Edit

Thus the adjugate matrix can be used for expressing the inverse of a nonsingular matrix:

Block matrices Edit

If the blocks are square matrices of the same size further formulas hold. For example, if C and D commute (i.e., C D = D C ), then there holds [13]

Sylvester's determinant theorem Edit

Sylvester's determinant theorem states that for A, an m × ن matrix, and B, an ن × m matrix (so that A و B have dimensions allowing them to be multiplied in either order forming a square matrix):

where أناm و أنان are the m × m و ن × ن identity matrices, respectively.

From this general result several consequences follow.

  1. For the case of column vector ج and row vector ص, each with m components, the formula allows quick calculation of the determinant of a matrix that differs from the identity matrix by a matrix of rank 1: det ( I m + c r ) = 1 + r c . >+cr ight)=1+rc.>
  2. More generally, [15] for any invertible m × m matrix X, det ( X + A B ) = det ( X ) det ( I n + B X − 1 A ) , >+BX^<-1>A ight),>
  3. For a column and row vector as above: det ( X + c r ) = det ( X ) det ( 1 + r X − 1 c ) = det ( X ) + r adj ⁡ ( X ) c . c ight)=det(X)+r,operatorname (X),c.>
  4. For square matrices A and B of the same size, the matrices A B and B A have the same characteristic polynomials (hence the same eigenvalues).

Sum Edit

Eigenvalues and characteristic polynomial Edit

The determinant is closely related to two other central concepts in linear algebra, the eigenvalues and the characteristic polynomial of a matrix. Let A be an n × n -matrix with complex entries with eigenvalues λ 1 , λ 2 , … , λ n ,lambda _<2>,ldots ,lambda _> . (Here it is understood that an eigenvalue with algebraic multiplicity μ occurs μ times in this list.) Then the determinant of A is the product of all eigenvalues,

The product of all non-zero eigenvalues is referred to as pseudo-determinant.

The characteristic polynomial is defined as [18]

A Hermitian matrix is positive definite if all its eigenvalues are positive. Sylvester's criterion asserts that this is equivalent to the determinants of the submatrices

Trace Edit

The trace tr(A) is by definition the sum of the diagonal entries of A and also equals the sum of the eigenvalues. Thus, for complex matrices A ,

Here exp( A ) denotes the matrix exponential of A , because every eigenvalue λ of A corresponds to the eigenvalue exp( λ ) of exp( A ). In particular, given any logarithm of A , that is, any matrix L satisfying

the determinant of A is given by

For example, for ن = 2 , ن = 3 , and ن = 4 , respectively,

cf. Cayley-Hamilton theorem. Such expressions are deducible from combinatorial arguments, Newton's identities, or the Faddeev–LeVerrier algorithm. That is, for generic n , detA = (−1) ن ج0 the signed constant term of the characteristic polynomial, determined recursively from

c n = 1 c n − m = − 1 m ∑ k = 1 m c n − m + k tr ⁡ ( A k ) ( 1 ≤ m ≤ n ) . =1

In the general case, this may also be obtained from [20]

where the sum is taken over the set of all integers kل ≥ 0 satisfying the equation

The formula can be expressed in terms of the complete exponential Bell polynomial of ن arguments سل = −(ل – 1)! tr(A ل ) as

This formula can also be used to find the determinant of a matrix A I J with multidimensional indices أنا = (i1, i2و. أناص) and J = (j1, j2و. jص) . The product and trace of such matrices are defined in a natural way as

An important arbitrary dimension n identity can be obtained from the Mercator series expansion of the logarithm when the expansion converges. If every eigenvalue of A is less than 1 in absolute value,

where أنا is the identity matrix. More generally, if

is expanded as a formal power series in s then all coefficients of s m for m & GT ن are zero and the remaining polynomial is det(أنا + sA) .

Upper and lower bounds Edit

For a positive definite matrix A , the trace operator gives the following tight lower and upper bounds on the log determinant

with equality if and only if A = أنا . This relationship can be derived via the formula for the KL-divergence between two multivariate normal distributions.

These inequalities can be proved by bringing the matrix A to the diagonal form. As such, they represent the well-known fact that the harmonic mean is less than the geometric mean, which is less than the arithmetic mean, which is, in turn, less than the root mean square.

Derivative Edit

By the Leibniz formula shows that the determinant of real (or analogously for complex) square matrices is a polynomial function from R n × n ^> to R > . In particular, it is everywhere differentiable. Its derivative can be expressed using Jacobi's formula: [21]

Expressed in terms of the entries of A , these are

Yet another equivalent formulation is

Historically, determinants were used long before matrices: A determinant was originally defined as a property of a system of linear equations. The determinant "determines" whether the system has a unique solution (which occurs precisely if the determinant is non-zero). In this sense, determinants were first used in the Chinese mathematics textbook The Nine Chapters on the Mathematical Art (九章算術, Chinese scholars, around the 3rd century BCE). In Europe, solutions of linear systems of two equations were expressed by Cardano in 1545 by a determinant-like entity. [22]

Determinants proper originated from the work of Seki Takakazu in 1683 in Japan and parallely of Leibniz in 1693. [23] [24] [25] [26] Cramer (1750) stated, without proof, Cramer's rule. [27] Both Cramer and also Bezout (1779) were led to determinants by the question of plane curves passing through a given set of points. [28]

Vandermonde (1771) first recognized determinants as independent functions. [24] Laplace (1772) gave the general method of expanding a determinant in terms of its complementary minors: Vandermonde had already given a special case. [29] Immediately following, Lagrange (1773) treated determinants of the second and third order and applied it to questions of elimination theory he proved many special cases of general identities.

Gauss (1801) made the next advance. Like Lagrange, he made much use of determinants in the theory of numbers. He introduced the word "determinant" (Laplace had used "resultant"), though not in the present signification, but rather as applied to the discriminant of a quantic. [30] Gauss also arrived at the notion of reciprocal (inverse) determinants, and came very near the multiplication theorem.

The next contributor of importance is Binet (1811, 1812), who formally stated the theorem relating to the product of two matrices of m columns and ن rows, which for the special case of m = ن reduces to the multiplication theorem. On the same day (November 30, 1812) that Binet presented his paper to the Academy, Cauchy also presented one on the subject. (See Cauchy–Binet formula.) In this he used the word "determinant" in its present sense, [31] [32] summarized and simplified what was then known on the subject, improved the notation, and gave the multiplication theorem with a proof more satisfactory than Binet's. [24] [33] With him begins the theory in its generality.

(Jacobi 1841) used the functional determinant which Sylvester later called the Jacobian. [34] In his memoirs in Crelle's Journal for 1841 he specially treats this subject, as well as the class of alternating functions which Sylvester has called alternants. About the time of Jacobi's last memoirs, Sylvester (1839) and Cayley began their work. Cayley 1841 introduced the modern notation for the determinant using vertical bars. [35] [36]

The study of special forms of determinants has been the natural result of the completion of the general theory. Axisymmetric determinants have been studied by Lebesgue, Hesse, and Sylvester persymmetric determinants by Sylvester and Hankel circulants by Catalan, Spottiswoode, Glaisher, and Scott skew determinants and Pfaffians, in connection with the theory of orthogonal transformation, by Cayley continuants by Sylvester Wronskians (so called by Muir) by Christoffel and Frobenius compound determinants by Sylvester, Reiss, and Picquet Jacobians and Hessians by Sylvester and symmetric gauche determinants by Trudi. Of the textbooks on the subject Spottiswoode's was the first. In America, Hanus (1886), Weld (1893), and Muir/Metzler (1933) published treatises.

Cramer's rule Edit

Linear independence Edit

Orientation of a basis Edit

The determinant can be thought of as assigning a number to every sequence of ن vectors in ص ن , by using the square matrix whose columns are the given vectors. For instance, an orthogonal matrix with entries in ص ن represents an orthonormal basis in Euclidean space. The determinant of such a matrix determines whether the orientation of the basis is consistent with or opposite to the orientation of the standard basis. If the determinant is +1, the basis has the same orientation. If it is −1, the basis has the opposite orientation.

More generally, if the determinant of A is positive, A represents an orientation-preserving linear transformation (if A is an orthogonal 2 × 2 or 3 × 3 matrix, this is a rotation), while if it is negative, A switches the orientation of the basis.

Volume and Jacobian determinant Edit

For a general differentiable function, much of the above carries over by considering the Jacobian matrix of f. For

the Jacobian matrix is the ن × ن matrix whose entries are given by the partial derivatives

Its determinant, the Jacobian determinant, appears in the higher-dimensional version of integration by substitution: for suitable functions f and an open subset U من ص ن (the domain of f), the integral over f(U) of some other function φ : ص نص m is given by

The Jacobian also occurs in the inverse function theorem.

Determinant of an endomorphism Edit

The above identities concerning the determinant of products and inverses of matrices imply that similar matrices have the same determinant: two matrices A و B are similar, if there exists an invertible matrix X such that A = X −1 BX . Indeed, repeatedly applying the above identities yields

The determinant is therefore also called a similarity invariant. The determinant of a linear transformation

for some finite-dimensional vector space V is defined to be the determinant of the matrix describing it, with respect to an arbitrary choice of basis in V. By the similarity invariance, this determinant is independent of the choice of the basis for V and therefore only depends on the endomorphism تي.

Square matrices over commutative rings Edit

The above definition of the determinant using the Leibniz rule holds works more generally when the entries of the matrix are elements of a commutative ring R , such as the integers Z > , as opposed to the field of real or complex numbers. Moreover, the characterization of the determinant as the unique alternating multilinear map that satisfies det ⁡ ( I ) = 1 (I)=1> still holds, as do all the properties that result from that characterization. [41]

The determinant being multiplicative, it defines a group homomorphism

holds. In other words, the displayed commutative diagram commutes.

For example, the determinant of the complex conjugate of a complex matrix (which is also the determinant of its conjugate transpose) is the complex conjugate of its determinant, and for integer matrices: the reduction modulo m of the determinant of such a matrix is equal to the determinant of the matrix reduced modulo m (the latter determinant being computed using modular arithmetic). In the language of category theory, the determinant is a natural transformation between the two functors GL n _> and ( − ) × > . [43] Adding yet another layer of abstraction, this is captured by saying that the determinant is a morphism of algebraic groups, from the general linear group to the multiplicative group,

Exterior algebra Edit

Determinants as treated above admit several variants: the permanent of a matrix is defined as the determinant, except that the factors sgn ⁡ ( σ ) (sigma )> occurring in Leibniz's rule are omitted. The immanant generalizes both by introducing a character of the symmetric group S n > in Leibniz's rule.

Determinants for finite-dimensional algebras Edit

This definition proceeds by establishing the characteristic polynomial independently of the determinant, and defining the determinant as the lowest order term of this polynomial. This general definition recovers the determinant for the matrix algebra A = Mat n × n ⁡ ( F ) _(F)> , but also includes several further cases including the determinant of a quaternion,

the norm [ disambiguation needed ] N L / F : L → F :L o F> of a field extension, as well as the Pfaffian of a skew-symmetric matrix and the reduced norm of a central simple algebra, also arise as special cases of this construction.

Infinite matrices Edit

For matrices with an infinite number of rows and columns, the above definitions of the determinant do not carry over directly. For example, in the Leibniz formula, an infinite sum (all of whose terms are infinite products) would have to be calculated. Functional analysis provides different extensions of the determinant for such infinite-dimensional situations, which however only work for particular kinds of operators.

The Fredholm determinant defines the determinant for operators known as trace class operators by an appropriate generalization of the formula

Another infinite-dimensional notion of determinant is the functional determinant.

Operators in von Neumann algebras Edit

For operators in a finite factor, one may define a positive real-valued determinant called the Fuglede−Kadison determinant using the canonical trace. In fact, corresponding to every tracial state on a von Neumann algebra there is a notion of Fuglede−Kadison determinant.

Related notions for non-commutative rings Edit

For matrices over non-commutative rings, multilinearity and alternating properties are incompatible for ن ≥ 2 , [47] so there is no good definition of the determinant in this setting.

For square matrices with entries in a non-commutative ring, there are various difficulties in defining determinants analogously to that for commutative rings. A meaning can be given to the Leibniz formula provided that the order for the product is specified, and similarly for other definitions of the determinant, but non-commutativity then leads to the loss of many fundamental properties of the determinant, such as the multiplicative property or that the determinant is unchanged under transposition of the matrix. Over non-commutative rings, there is no reasonable notion of a multilinear form (existence of a nonzero bilinear form [ clarify ] with a regular element of ص as value on some pair of arguments implies that ص is commutative). Nevertheless, various notions of non-commutative determinant have been formulated that preserve some of the properties of determinants, notably quasideterminants and the Dieudonné determinant. For some classes of matrices with non-commutative elements, one can define the determinant and prove linear algebra theorems that are very similar to their commutative analogs. Examples include the q-determinant on quantum groups, the Capelli determinant on Capelli matrices, and the Berezinian on supermatrices (i.e., matrices whose entries are elements of Z 2 _<2>> -graded rings). [48] Manin matrices form the class closest to matrices with commutative elements.

Determinants are mainly used as a theoretical tool. They are rarely calculated explicitly in numerical linear algebra, where for applications like checking invertibility and finding eigenvalues the determinant has largely been supplanted by other techniques. [49] Computational geometry, however, does frequently use calculations related to determinants. [50]

Decomposition methods Edit

For example, LU decomposition expresses A as a product

det ( A ) = ε det ( L ) ⋅ det ( U ) .

Further methods Edit

In addition to the complexity of the algorithm, further criteria can be used to compare algorithms. Especially for applications concerning matrices over rings, algorithms that compute the determinant without any divisions exist. (By contrast, Gauss elimination requires divisions.) One such algorithm, having complexity O ⁡ ( n 4 ) (n^<4>)> is based on the following idea: one replaces permutations (as in the Leibniz rule) by so-called closed ordered walks, in which several items can be repeated. The resulting sum has more terms than in the Leibniz rule, but in the process several of these products can be reused, making it more efficient than naively computing with the Leibniz rule. [53] Algorithms can also be assessed according to their bit complexity, i.e., how many bits of accuracy are needed to store intermediate values occurring in the computation. For example, the Gaussian elimination (or LU decomposition) method is of order O ⁡ ( n 3 ) (n^<3>)> , but the bit length of intermediate values can become exponentially long. [54] By comparison, the Bareiss Algorithm, is an exact-division method (so it does use division, but only in cases where these divisions can be performed without remainder) is of the same order, but the bit complexity is roughly the bit size of the original entries in the matrix times n . [55]

If the determinant of A and the inverse of A have already been computed, the matrix determinant lemma allows rapid calculation of the determinant of A + uv T , where u و v are column vectors.


There Is No Such Thing as ‘White’ Math

JackGarner March 5, 2021 at 8:05 pm

Thank you all at Winter Watch for allowing me to Vent, for understanding my Passion for US. Please bear with me, as I have much to say.

Wow, it now appears that anything difficult to learn and/or has any normal challenge to at all, it is deemed systematic white racism by “The Great Awokening”. Supposing waking up for the Awoke every morning is sometimes hard, too so maybe the Awoke should just permanently sleep-in, and we Patriotic Americans will take care of the rest of US.

Complaining, Executive-level Public Corruption, and it’s easy way out (Crime) have now Cocktailed unclean hands on a large enough scale to have created its own Economy, separate from US/Ours. It was all clearly staged and put into play by the Democrat Party Leadership’s Clandestine Political Arena – Their Deep State. Though, none of US wanted or want to see any violence, “The Great Awokening and Democrat Party Leadership” are, without question, intentionally inciting violence, trying desperately to make it happen, just like a False-Flag Op to gain the necessary public support to maintain Absolute Power for Communist-China’s next move, via JOETUS.

Never mind US, Right! It’s just Common Sense 101 (God’s Gravity), and the S is about to HTF. Sad, but true. Never thought I’d see these days, but they are clearly upon US All.

My 31-year career as a private contractor was filled with Great Respect for FBI and our US Intelligence Community, and there is absolutely no shortage of evidence to prove it. As for now, our Country needs the FBI and our Intelligence Community more than ever before. So they had better Cocktail-Up for US American Citizens, and once and for All, stop this living-breathing-metastasizing Democrat Party Leadership Deep-State Coup deTat’ of our US Government, of our Country, of US All. Our FBI and Intelligence Community swore to defend our Constitutional Rights against Enemies, Both Foreign and Domestic. And so far, None of US are giving up our Constitutional Rights as US Citizens to JOETUS, the Democrat Party Leadership, or to their Deep-State.

I have seen and survived much in my over 60 years of life, and have always worked the right side of the fence, never the Dark-Side I will go to my grave in knowing so. And, FBI and some in the Intelligence Community know it. I started losing trust in FBI when in 2009, they admonished me, and now I know why (for getting far too close to exposing the Clintons-Obama-Joe Biden). None of US Patriotic Americans want any violence at all, as we entrusted in our FBI and Intelligence Community to protect US from it. Nor did any of US True Trump Supporters, paying close attention to his end message of Transparency, Truth and Justice, want any violence. Nor do I – in any way – have any intent to incite any violence, never have, and never will.

On another note, with the exception of a few Heroic FBI Agents still on the job, most of the FBI I knew of years ago have retired, many because they served their time well and saw what was coming in 2008 – those Agents were and still are Good Men and Women. They honored their Service Commitments and Protected US Well. As for the rest of you newer Agents, please remember what you stand for. This should make some sense to you As my Father, the Colonel once told me at the young age of 10 (just after a 4-year old Muslim boy was sacrificed and another Good, Decent Moderate-Muslim Friend was Murdered in front of US 12 Americans being held hostage in the Middle-East for 4 hours that day), “Son, pull yourself up by your bootstraps, know we love you, and you’re going to be alright, as long as you get up and move forward with me again. Walk with me, Son. We’re here for a reason – these people need our help.” We 12 Americans physically fought off terrorists that day and the US Navy Sixth Fleet and US Marines aboard that 1969 Med-Flotilla backed up the 4 Israeli-Trained Commandos who saved US.

What say you FBI, our Intelligence Community? Who do you Serve & Protect? As long as you do what it Right and Just, we will always support you. Keeping you All in Prayer, as well, and let God’s Gravity handle the rest.

The Evergreen State College -BLM problem like.( BLM members were pissed off when Soros didn’t pay them as he said he would , for them to make a huge mess…)
Here the aim is to make stupid average people easy to tell what to do and what to think, plus making people watch this while they buy guillotines or do anything else that they do not want us to notice.


Physics Buzz

An interwebs firestorm has been raging recently about a Numberphile video that makes the astounding claim that if you add up all the positive whole numbers from one to infinity, the result will be -1/12. To write it out more concisely

1+2+3+4+ . . . = -1/12 , (where the three dots indicate all the rest of the positive numbers up to infinity)

If you haven't seen the video, take a look - it's short.


Renowned science writer and astronomer Phil Plait (Bad Astronomy) blogged about the video recently, calling it "simply the most astonishing math you'll ever see." The post led to a Twitter and comment storm, fueled both by people bowled over by the calculation and a much larger number of people convinced it was nothing short of mathematical fraud.The passionate response he got to his post led Plait to write a follow up piece, partly in self defense, and partly as penance for his various mathematical sins as pointed out by his readers.

Clearly, only a fool would consider defending this absurd calculation after the reception Plait got.

I'm not going to follow Plait's example of trying to explain the math that goes into the calculation. But I will point out that many of the problems that commenters and Twitterers latched onto are irrelevant if you look at the more elaborate discussion in the Numberphile's extra footage. In the much longer second video, they come to the same reviled result as in the first video, except that they use an approach first written down by Leonhard Euler.

If you dislike the initial video, you really should watch this one to see if it sways you at all.

That's much better, isn't it? I'm sure it's not perfect, but the flaws are beyond my mathematical abilities to recognize.

In any case I'm willing to believe 1+2+3+4+ . . . = -1/12 is a mathematically legitimate thing to write down for the following three reasons.

1. Euler, who was one of the greatest mathematicians of all time, proved the equation for real numbers.

2. Another great mathematician, Bernhard Riemann, generalized Euler's approach to include complex numbers, and came up with the same equation.

3. My favorite mathematician, the self-taught genius Srinivasa Ramanujan, rediscovered the equation and stood by it, even though he realized that he might be thought be mad for making the claim, writing in a letter to mathematician G.H. Hardy, "I told him that the sum of an infinite number of terms of the series: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = 𕒵/12 under my theory. If I tell you this you will at once point out to me the lunatic asylum as my goal."

So, counting the Numberphiles' somewhat dubious derivation, there are at least four ways to prove that the sum of all the positive integers equals -1/12. And as far as I know, there's no way to prove that it doesn't equal -1/12.*

If you don't believe any of these people, then there's nothing I can do, mathematically speaking, to change your mind. I mean these guys are among the greatest. What could I add that would improve on their proofs?

But, Obviously 1+2+3+4+ . . . = -1/12 Doesn't Really Mean Anything - Right?

Of the mathematicians and physicists I've talked to about it, several of them are willing to accept that it's possible to derive the equation, but insist that it's meaningless. They tell me, if I understand them correctly, that it's some sort of numeric fluke that can't possibly have any consequences in the real world. There's just no way to add positive numbers together get a negative result in reality, especially when the numbers you're adding are getting larger and larger. In effect, it's nothing more than an artifact that results from a method that makes sense when applied to complex variables or other series, but not for the sum of positive integers. To think otherwise would be nuts, right?

The problem is, they're wrong (or so a number of physicists have told me). The equation 1+2+3+4+ . . . = -1/12 is vital for describing the real world.

As the Numberphile people point out, the dreaded equation pops up in many places in physics. They specifically note it's appearance in a string theory textbook (see page 22 in this Google book). But that's only one example and, depending on how you feel about string theory, among the least convincing ones. What's much more compelling is the fact that this sort of equation is integral to Quantum Electrodynamics (QED).

QED is the theory that explains the interaction between charged particles like electrons and protons. Along with neutrons, electrons and protons make up atoms, which in turn make up molecules and everything built of them. In other words, QED essentially describes much of the physical world we live in. And it does it extremely well. QED calculations for the spin of the electron have been confirmed to better than one part in ten trillion - making QED just about the most precise and successful theory of all time.

If QED is correct (and it appears to be the most correct theory yet developed, if experimental confirmation is a reasonable way to judge correctness), then I would argue that the things that go into QED calculations must be just as correct. Doing QED calculations requires using 1+2+3+4+ . . . = -1/12, so the equation is at least as correct as QED theory itself.

In fact, the Wikipedia page on a QED phenomenon known as the Casimir Effect shows a derivation of the effect that includes an even more audacious equation involving the sum of the cubes of the natural numbers up to infinity. Specifically, calculating the effect involves using the equation


1^3+2^3+3^3 +4^3+ . . . = 1/120, (where the notation 2^3 means 2x2x2)

(In the Wikipedia article, they have an equation that looks like this , but the stuff on the left hand side is just another way of writing 1^3+2^3+3^3 +4^3+ . . .)

The number on the right is positive this time, but it's ten times smaller than 1/12, even though each of the terms in the sum is much bigger than the corresponding terms in the equation 1 + 2 + 3 + 4 + . . . = 𕒵/12 (except for the first term, of course, since 1^3 = 1). Both equations come from the same sort of derivation, so it's not surprising that they are both seemingly incredible and ridiculous. But if you believe in QED and the Casimir Effect, how can you not believe the pieces that go into them?

Maybe It's Just a Trick

One response I've gotten after querying my more mathematically savvy friends is that the equations are nifty tricks, and nothing more, to get rid of infinities in QED and produce the correct finite answers. I guess that's possible, but you would have to be one heck of a mathamagician to come up with a trick resulting in accuracy of a part in ten trillion.

It's even more impressive when you consider that the QED predictions came before the experiments that measured things like the electron spin to fourteen decimal places. It's one thing to design a trick to rationalize a number you already know. It's a whole other matter to come up with a trick that gives you the answers in advance of the experiment. In that case, it's not a trick, it's simply a very good theory.

Maybe It's Not Necessary, Just Handy

One final possibility that I can think of is that the equations are not really necessary for doing QED calculations, and that instead there is a correct and intelligible approach that gives answers without using nonsense like 1 + 2 + 3 + 4 + . . . = 𕒵/12 or 1^3+2^3+3^3 +4^3+ . . . = 1/120.

I can't imagine why physicists would rather rely on trickery than doing things correctly, so I tend to dismiss the idea that some sort of mathematical conspiracy is behind it all. If it turns out that it's possible to have physical theories that describe the real world as well as QED does without relying these equations, then we might as well use those theories and forget the whole controversy.

So What's Really Wrong?

If you accept that Euler, Riemann, and Ramanujan did things properly when they found 1 + 2 + 3 + 4 + . . . = 𕒵/12, and if you accept that it and related equations are necessary to describe the real world, then how can you not accept that the equation is true? And yet, many people still claim that there's something wrong. It doesn't make sense. It's so counter intuitive that the phrase "counter intuitive" seems far too weak a description. It's an alien, freakish, mind f----.

But that's OK. Some things are true without being conceivable. This is just the most recent example I can think of. Pythagoras and and his followers apparently committed human sacrifice because they couldn't handle the idea of irrational numbers. For centuries, ancient mathematicians struggled with unsolvable problems because they didn't know that pi is a transcendental number. And today, there are still things about quantum mechanics that defy intuitive understanding - the whole point of Schrodinger's Cat is to illustrate the absurdity of quantum superposition. But just because people didn't intuitively grasp those things, it didn't change the fact the the square root of 2 is irrational, that pi's transcendental nature means it's impossible to square the circle, and that particles can become quantum mechanically entangled just like Schrodinger's Cat.

Yes, there's a problem with 1 + 2 + 3 + 4 + . . . = 𕒵/12. But I suspect the problem is with us and our failure to understand infinity. Why shouldn't an infinite sum of numbers going to infinity add up to a finite (and negative!) number? I don't really know what infinity means anyway, so I can't think of any way to object to a statement that includes not one but TWO infinities in it.

You might as well ask me why a bandersnatch of numbers going to bandersnatch add up to -1/12. But if you're able to mathematically sum a bandersnatch of bandersnatches, and then use that sum to describe the real world and predict the outcomes of real world experiments I have no choice but it seems unreasonable not to believe your bandersnatch math.


1.2: Naïvely - Mathematics

1.2.7 Non - commutativity of rules substitution

Let us look at the last of the 3 definitions of < f > in the above example. It implies that any input object has to be replaced by its Sine. Naively, this would mean that we should have obtained Sine-s of all our expressions, but this did not happen. The point is that the sequential rule application is non-commutative: first of all, the way rules are applied is such that once the first rule that applies is found, only this rule is applied, and other possibly matching rules are not tried on a given (sub)expression, in a single "run" of the rule application. Second, if several rules match an expression, the first applied rule rewrites it so that (some) of other rules don't match it any more. Therefore, the result depends on the order in which the rules are applied. Mathematica applies rules to expressions sequentially. Since the rule with the Sine function was defined last, it should mean that it has a chance to apply only to inputs whose form did not match patterns in the first two rules.


We must evaluate any exponents before we add, subtract, multiply or divide. For example, in the expression 2 3 + 3 × 2 2 2^3 + 3 imes 2^2 2 3 + 3 × 2 2 , we could obtain a variety of different answers if we changed the order of operations.

The correct ordering requires the evaluation of exponents first, which gives the following: 2 3 + 3 × 2 2 = 8 + 3 × 4 = 8 + 12 = 20 2^3 + 3 imes 2^2 = 8 + 3 imes 4 = 8 + 12 = 20 2 3 + 3 × 2 2 = 8 + 3 × 4 = 8 + 1 2 = 2 0 , which is now correct.

What is 3 2 × 2 + 4 3 3^2 imes 2 + 4^3 3 2 × 2 + 4 3 ?

Following the correct order of operations, we see that we must evaluate the exponents first. This gives 3 2 × 2 + 4 3 = 9 × 2 + 64 = 18 + 64 = 82. □ 3^2 imes 2 + 4^3 = 9 imes 2 + 64 = 18+64 = 82. _square 3 2 × 2 + 4 3 = 9 × 2 + 6 4 = 1 8 + 6 4 = 8 2 . □ ​


Schreier-Sims Algorithm

To describe the Schreier-Sims algorithm, we use the following notations:

  • is some subset represented in the computer’s memory
  • is a subgroup of
  • جي acts on the set

Let us pick some random element and consider its orbit under جي. From the theory of group actions, we have

where is the isotropy group of k. Now it is easy to compute the orbit of k: we start by setting the orbit to be the singleton <k>, then expand it by letting elements of A act on elements of this set. The process stops if we can’t add any more elements via this iteration. A more detailed algorithm will be provided later.

Thus, if we could effectively obtain a set of generators for , our task would be complete since we could recursively apply the process to . [Or so it seems: there’ll be a slight complication.]

For that, we pick a set U of representatives for the left cosets as follows. For each , we pick some element which maps , and for j = k we pick the identity. To facilitate this process, we use a data structure called a Schreier vector.


2 Answers 2

I'm not sure about the bonus but here's the best you can do for the main part

Proof that this is the best

Ignore the first equation and consider the sum of both sides of the other four equations. This gives us that the sum of fourteen distinct positive integers is equal to $4N$ . The sum of fourteen distinct positive integers is at least $105$ so we have $4N geq 105$ or $N geq 26.25$ . Hence $N geq 27$

Lower bound for the bonus

Let's say we use the same reasoning to try to obtain a lower bound and there are $n$ equations. Then ignoring the first equation we will have $frac<2>$ distinct positive integers on the left hand side which sum to $(n-1)N$ . The smallest possible value of the sum of $frac<2>$ distinct positive integers is $frac<(n^2+n-2)(n^2+n)><8>$ so we have that $ N geq frac<(n^2+n-2)(n^2+n)> <8(n-1)>= frac<8>$ or, since we know it is an integer $N geq leftlceil frac <8> ight ceil$

Improving this bound for larger $n$ (credit to Greg Martin in the comments for this idea)

If we ignore roughly the first $frac<3>$ equations and just consider the rest then we'll have roughly $frac<4n^2 + 3n><9>$ positive integers on the left hand side which sum to $frac<2nN><3>$ and since the sum of the first $frac<4n^2 + 3n><9>$ positive integers is $frac<(4n^2 + 3n)(4n^2+3n+9)><162>$ we obtain $ frac<2nN> <3>geq frac<(4n^2 + 3n)(4n^2+3n+9)><162>$ or $ N geq frac<16n^3+24n^2+45n+27> <108>> frac<4n^3><27>$ Greg Martin found the cutoff point $frac<2n><3>$ by optimization.
Already at $n=6$ we see this bound take over where the value of $frac<16n^3+24n^2+45n+27><108>$ is $42.75$ but for my original bound it's $42$ .

The OIES entry for the sequence A047837 calls this "Honaker's triangle problem" and says that the optimal $N$ is conjectured to equal:

(sequence A047873), where $T(n)=n(n+1)/2$ , the $n$ -th triangular number. The OIES entry refers to the book The Zen of Magic Squares, Circles and Stars by Clifford A. Pickover, who attributes the problem to math teacher and author G.L. Honaker, Jr. Pickover gives the same expression (in simplified form) as a lower bound on the sum $M$ :

(This is equal to the above expression at the maximal value of $r=lfloor n/3 floor+1$ .) This bound is credited to Mike Keith and Judson McCraine, who conjecture this bound is exact and have verified it "for all $n$ up to several hundred" (the OEIS says $n<365$ ). Unfortuately the trail of references ends here, as Pickover cites personal communication with Keith.

Note that the bound can be derived using the method described by hexomino, as shown below.

The triangle with $n$ rows has $T(n)$ entries, and similarly the portion of the triangle above row $r$ (i.e. up to row $r-1$ ) has $T(r-1)$ entries. Therefore the trapezoid from rows $r$ to $n$ has $k=T(n)-T(r-1)$ entries. مجموع الإدخالات يساوي مجموع الصف $ N $ مضروبًا في عدد الصفوف ، $ n- (r-1) = n-r + 1 $. نظرًا لأن هذه الإدخالات يجب أن تكون مميزة ، يجب ألا يقل مجموعها عن مجموع الأعداد الصحيحة الأولى $ k $ ، وهو $ T (k) = T (T (n) -T (r-1)) $. جمع هذه النتائج معًا:

نظرًا لأن هذا ينطبق على أي $ r في [1، n] $ ، يمكننا أن نأخذ الحد الأقصى على $ r $ كحد أدنى لـ $ n $ (وبما أن $ N $ عدد صحيح ، يمكننا اعتبار الحد الأقصى نحن سوف). التعبير تكعيبي بالدولار r $ ومشتق من:

المشتق له جذور في:

المشتق هو قطع مكافئ متجه لأسفل ، لذا فإن التعبير يتناقص قبل الجذر الأول ، ويزداد بين الجذور ويتناقص بعد الجذر الثاني. ومع ذلك ، يحدث الجذر الأول عندما يتزايد $ r & lt0 $ لذلك بالنسبة للنطاق الذي نهتم به ، فإن التعبير يزداد قبل الجذر الموجب ويتناقص بعد ذلك. هذا يعني أن الحد الأقصى لـ $ r in mathbbيحدث $ بالقيمة الموجبة $ r ^ * $ ، والحد الأقصى لـ $ r in mathbbسيحدث $ عند الأرضية أو السقف $ r ^ * $.

يمكننا استخدام هذا بالإضافة إلى $ a & lt sqrt$ ، لربط حد الجذر التربيعي في التعبير لأمثل $ r $:

أخيرًا ، إذا أخذنا $ n ge 1 $ ، ثم $ frac <1> <2n + 1> le frac <1> <3> $ ، لذلك يمكننا ربط:

من هذا يمكننا تحديد القيمة المثلى لـ $ r in mathbb$ هو واحد من $ lfloor (n + 2) / 3 r فلور = lceil n / 3 rceil $ أو $ lceil n / 3 rceil + 1 $. لتحديد أي منها ، نحتاج إلى النظر في ثلاث حالات:

$ تبدأ n & amp = 3k & amp lceil n / 3 rceil & amp = k n & amp = 3k + 1 & amp lceil n / 3 rceil & amp = k + 1 n & amp = 3k + 2 & amp lceil n / 3 rceil & amp = ك + 1 نهاية $

لكل من هذه الحالات ، حدين $ n $ هما:

$ تبدأ <| c | c | c |> hline n & amp N (r = lceil n / 3 rceil) & amp N (r = lceil n / 3 rceil + 1) hline 3k & amp 4k ^ 3 + 2k ^ 2 + k & amp 4k ^ 3 + 2k ^ 2 + frac <5> <4> k + frac <1> <4> hline 3k + 1 & amp 4k ^ 3 + 6k ^ 2 + 4k + 1 & amp 4k ^ 3 + 6k ^ 2 + frac <13> <4> k + frac <3> <4> hline 3k + 2 & amp 4k ^ 3 + 10k ^ 2 + frac <37> <4> k + 3 & amp 4k ^ 3 + 10k ^ 2 + 9k + 3 hline end $

بالنسبة للحالة $ n = 3k $ ، يكون العمود الأيمن ($ r = lceil n / 3 rceil + 1 $) أكبر ، بينما بالنسبة للاثنين الآخرين يكون العمود الأيسر أكبر ($ r = lceil n / 3 rceil $). مع ذلك ، لاحظ أن $ lceil n / 3 rceil = lfloor n / 3 rfloor $ عندما $ n $ قابل للقسمة على 3 ، و $ lceil n / 3 rceil = lfloor n / 3 rfloor + 1 $ عندما يكون $ n $ غير قابل للقسمة على 3 ، لذلك يمكن تبسيط كلتا الحالتين إلى:


شاهد الفيديو: lineair programmeren (ديسمبر 2021).