مقالات

6.2: مشاكل الربيع 2 - الرياضيات


الاهتزازات الحرة مع التخميد

في هذا القسم نأخذ في الاعتبار حركة الجسم في نظام كتلة الربيع مع التخميد. نبدأ بحركة غير إجبارية ، وبالتالي فإن معادلة الحركة هي

[ label {eq: 6.2.1} my '' + cy '+ ky = 0. ]

افترض الآن أن الجسم قد تم إزاحته من حالة الاتزان وإعطاء سرعة ابتدائية. يقترح الحدس أنه إذا كانت قوة التخميد ضعيفة بما فيه الكفاية ، فإن الحركة الناتجة ستكون متذبذبة ، كما في الحالة غير المثبطة التي تم النظر فيها في القسم السابق ، بينما إذا كانت قوية بما فيه الكفاية ، فقد يتحرك الكائن ببطء نحو وضع التوازن دون الوصول إليه على الإطلاق. سنقوم الآن بتأكيد هذه الأفكار البديهية رياضيًا. المعادلة المميزة للمعادلة المرجع {eq: 6.2.1} هي

[السيد ^ 2 + كر + ك = 0. لا يوجد رقم ]

جذور هذه المعادلة

[ label {eq: 6.2.2} r_1 = {- c- sqrt {c ^ 2-4mk} over2m} quad text {and} quad r_2 = {-c + sqrt {c ^ 2- 4mk} over2m}. ]

رأينا في القسم 5.2 أن شكل حل المعادلة المرجع {eq: 6.2.1} يعتمد على ما إذا كان (c ^ 2-4mk ) موجبًا أم سالبًا أم صفرًا. سننظر الآن في هذه الحالات الثلاث.

حركة ضعيفة

نقول أن الحركة ناقص إذا (c < sqrt {4mk} ). في هذه الحالة (r_1 ) و (r_2 ) في المعادلة المرجع {eq: 6.2.2} عبارة عن اتحادات معقدة ، نكتبها كـ

[r_1 = - {c over2m} -i omega_1 quad text {and} quad r_2 = - {c over2m} + i omega_1، nonumber ]

أين

[ omega_1 = { sqrt {4mk-c ^ 2} over2m}. لا يوجد رقم ]

الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 6.2.1} في هذه الحالة هو

[y = e ^ {- ct / 2m} (c_1 cos omega_1 t + c_2 sin omega_1 t). لا يوجد رقم ]

بالطريقة المستخدمة في القسم 6.1 لاشتقاق شكل السعة والطور لإزاحة كائن في حركة توافقية بسيطة ، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

[ label {eq: 6.2.3} y = Re ^ {- ct / 2m} cos ( omega_1 t- phi)، ]

أين

[R = sqrt {c_1 ^ 2 + c_2 ^ 2} ، quad R cos phi = c_1 ، quad text {and} quad R sin phi = c_2. لا يوجد رقم ]

يُطلق على العامل (Re ^ {- ct / 2m} ) في المعادلة المرجع {eq: 6.2.3} الوقت - سعة متفاوتة من الحركة ، الكمية ( omega_1 ) تسمى تردد، و (T = 2 pi / omega_1 ) (وهي فترة دالة جيب التمام في المعادلة المرجع {eq: 6.2.3} تسمى شبه فترة. يظهر الرسم البياني النموذجي للمعادلة المرجع {eq: 6.2.3} في الشكل ( PageIndex {1} ). كما هو موضح في هذا الشكل ، يتأرجح الرسم البياني لـ (y ) بين المنحنيات الأسية المتقطعة (y = pm Re ^ {- ct / 2m} ).

الحركة المفرطة

نقول أن الحركة مفرط إذا (c> sqrt {4mk} ). في هذه الحالة ، تكون أصفار (r_1 ) و (r_2 ) الخاصة بكثير الحدود المميزة حقيقية ، مع (r_1

[y = c_1e ^ {r_1t} + c_2e ^ {r_2t}. لا يوجد رقم ]

مرة أخرى ( lim_ {t to infty} y (t) = 0 ) كما في حالة underdamped ، لكن الحركة ليست متذبذبة ، لأن (y ) لا يمكن أن يساوي صفرًا لأكثر من قيمة واحدة من (t ) ما لم (c_1 = c_2 = 0 ). (تمرين 6.2.23.)

الحركة المخففة بشكل حاسم

نقول أن الحركة مثبط بشكل خطير إذا (c = sqrt {4mk} ). في هذه الحالة (r_1 = r_2 = -c / 2m ) والحل العام للمعادلة المرجع {eq: 6.2.1} هو

[y = e ^ {- ct / 2m} (c_1 + c_2t). لا يوجد رقم ]

مرة أخرى ( lim_ {t to infty} y (t) = 0 ) والحركة غير متذبذبة ، نظرًا لأن (y ) لا يمكن أن يساوي صفرًا لأكثر من قيمة واحدة لـ (t ) ما لم (c_1 = c_2 = 0 ). (تمرين 6.2.22).

مثال ( PageIndex {1} )

لنفترض أن وزن (64 ) رطل يمتد زنبركًا (6 ) بوصات في حالة توازن وأن نقطة القيادة توفر قوة تخميد مقدارها (ج ) رطل لكل قدم / ثانية من السرعة.

  1. اكتب معادلة حركة الكائن وحدد قيمة (ج ) التي تضعف الحركة بشكل حاسم.
  2. أوجد الإزاحة (y ) لـ (t> 0 ) إذا كانت الحركة مبللة بشكل حاسم وكانت الشروط الأولية (y (0) = 1 ) و (y '(0) = 20 ).
  3. أوجد الإزاحة (y ) لـ (t> 0 ) إذا كانت الحركة مبللة بشكل كبير وكانت الشروط الأولية (y (0) = 1 ) و (y '(0) = - 20 ) .

الحل أ

هنا (م = 2 ) الرخويات و (ك = 64 / .5 = 128 ) رطل / قدم. لذلك فإن معادلة الحركة المرجع {eq: 6.2.1} هي

[ label {eq: 6.2.4} 2y '+ cy' + 128y = 0. ]

المعادلة المميزة هي

[2r ^ 2 + cr + 128 = 0 ، nonumber ]

الذي له جذور

[r = {- c pm sqrt {c ^ 2-8 cdot128} over4}. لا يوجد رقم ]

لذلك فإن التخميد أمر بالغ الأهمية إذا

[c = sqrt {8 cdot128} = 32 mbox {lb - sec / ft}. لا يوجد رقم ]

الحل ب

ضبط (c = 32 ) في المعادلة المرجع {eq: 6.2.4} وإلغاء إنتاج العامل المشترك (2 )

[y '+ 16y + 64y = 0. لا يوجد رقم]

المعادلة المميزة هي

[r ^ 2 + 16r + 64y = (r + 8) ^ 2 = 0. لا يوجد رقم]

ومن ثم ، فإن الحل العام

[ label {eq: 6.2.5} y = e ^ {- 8t} (c_1 + c_2t). ]

التفريق بين هذا ينتج

[ label {eq: 6.2.6} y '= - 8y + c_2e ^ {- 8t}. ]

( PageIndex {2} ) فرض الشروط الأولية (y (0) = 1 ) و (y '(0) = 20 ) في المعادلتين الأخيرتين يوضح أن (1 = c_1 ) و (20 = -8 + ج_2 ). ومن ثم ، فإن حل مشكلة القيمة الأولية هو

[y = e ^ {- 8t} (1 + 28t). لا يوجد رقم ]

لذلك يقترب الكائن من التوازن من الأعلى كـ (t to infty ). لا يوجد تذبذب.

الحل ج

فرض الشروط الأولية (y (0) = 1 ) و (y '(0) = - 20 ) في المعادلة المرجع {eq: 6.2.5} والمعادلة المرجع {eq: 6.2.6} (1 = c_1 ) و (- 20 = -8 + c_2 ). ومن ثم ، فإن حل مشكلة القيمة الأولية هذه هو

[y = e ^ {- 8t} (1-12t). لا يوجد رقم ]

لذلك يتحرك الكائن إلى أسفل من خلال التوازن مرة واحدة فقط ، ثم يقترب من التوازن من الأسفل كـ (t to infty ). مرة أخرى ، ليس هناك تذبذب. تم رسم حلول هاتين المسألتين الأوليتين في الشكل ( PageIndex {2} ).

مثال ( PageIndex {2} )

أوجد إزاحة الكائن في المثال ( PageIndex {1} ) إذا كان ثابت التخميد (c = 4 ) lb – sec / ft وكانت الشروط الأولية (y (0) = 1.5 ) قدم و (y '(0) = - 3 ) قدم / ثانية.

حل

مع (c = 4 ) ، تصبح معادلة الحركة المرجع {eq: 6.2.4}

[ label {eq: 6.2.7} y '+ 2y' + 64y = 0 ]

بعد إلغاء العامل المشترك 2. المعادلة المميزة

[r ^ 2 + 2r + 64 = 0 بلا رقم ]

له جذور مترافقة معقدة

[r = {- 2 pm sqrt {4-4 cdot64} over2} = - 1 pm3 sqrt7i. لا يوجد رقم]

لذلك فإن الحركة ناقصة التخميد والحل العام للمعادلة ref {eq: 6.2.7} هو

[y = e ^ {- t} (c_1 cos3 sqrt7t + c_2 sin3 sqrt7t). لا يوجد رقم]

التفريق بين هذا ينتج

[y '= - y + 3 sqrt7e ​​^ {- t} (- c_1 sin3 sqrt7t + c_2 cos3 sqrt7t). لا يوجد رقم]

ينتج عن فرض الشروط الأولية (y (0) = 1.5 ) و (y '(0) = - 3 ) في المعادلتين الأخيرتين (1.5 = c_1 ) و (- 3 = -1.5 + 3 sqrt7c_2 ). ومن ثم ، فإن حل مشكلة القيمة الأولية هو

[ label {eq: 6.2.8} y = e ^ {- t} left ({3 over2} cos3 sqrt7t- {1 over2 sqrt7} sin3 sqrt7t right). ]

سعة الدالة بين قوسين هي

[R = sqrt { left ( frac {3} {2} right) ^ {2} + left ( frac {1} {2 sqrt {7}} right) ^ {2}} = sqrt { frac {9} {4} + frac {1} {4 cdot 7}} = sqrt { frac {64} {4 cdot 7}} = frac {4} { sqrt {7}} nonumber ]

لذلك يمكننا إعادة كتابة المعادلة ref {eq: 6.2.8} بالشكل

[y = {4 over sqrt7} e ^ {- t} cos (3 sqrt7t- phi)، nonumber ]

أين

[ cos phi = {3 over2R} = {3 sqrt7 over8} quad text {and} quad sin phi = - {1 over2 sqrt7R} = - {1 over8}. لا يوجد رقم]

لذلك ( phi cong -0.125 ) راديان.

مثال ( PageIndex {3} )

دع ثابت التخميد في المثال ( PageIndex {1} ) يكون (c = 40 ) lb – sec / ft. أوجد الإزاحة (y ) لـ (t> 0 ) إذا (y (0) = 1 ) و (y '(0) = 1 ).

حل

مع (c = 40 ) ، تقلل معادلة الحركة المرجع {eq: 6.2.4} إلى

[ label {eq: 6.2.9} y '+ 20y' + 64y = 0 ]

بعد إلغاء العامل المشترك 2. المعادلة المميزة

[r ^ 2 + 20r + 64 = (r + 16) (r + 4) = 0 nonumber ]

له الجذور (r_1 = -4 ) و (r_2 = -16 ). لذلك فإن الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 6.2.9} هو

[ label {eq: 6.2.10} y = c_1e ^ {- 4t} + c_2e ^ {- 16t}. ]

التفريق بين هذا ينتج

[y '= - 4e ^ {- 4t} -16c_2e ^ {- 16t}. لا يوجد رقم]

تشير المعادلتان الأخيرتان والظروف الأولية (y (0) = 1 ) و (y '(0) = 1 ) إلى ذلك

[ start {array} {rlrl} c_1 & + & c_2 & = 1 -4c_1 & - & 16c_2 & = 1. نهاية {مجموعة} غير رقم ]

حل هذا النظام هو (c_1 = 17/12 ) ، (c_2 = -5 / 12 ). الاستعاضة عنها في المعادلة ref {eq: 6.2.10}

[y = {17 over12} e ^ {- 4t} - {5 over12} e ^ {- 16t} nonumber ]

كحل لمشكلة القيمة الأولية المحددة (الشكل ( PageIndex {3} )).

الاهتزازات القسرية مع التخميد

الآن نعتبر حركة كائن في نظام كتلة زنبركية مع التخميد ، تحت تأثير دالة التأثير الدوري (F (t) = F_0 cos omega t ) ، بحيث تكون معادلة الحركة

[ label {eq: 6.2.11} my '' + cy '+ ky = F_0 cos omega t. ]

في القسم 6.1 نظرنا في هذه المعادلة مع (c = 0 ) ووجدنا أن الإزاحة الناتجة (y ) افترضت قيمًا كبيرة بشكل تعسفي في حالة الرنين (أي عندما ( omega = omega_0 = sqrt) {كم})). هنا سنرى أنه في ظل وجود التخميد ، تظل الإزاحة محدودة للجميع (t ) ، والظروف الأولية لها تأثير ضئيل على الحركة مثل (t to infty ). في الواقع ، سنرى أنه بالنسبة إلى (t ) كبير ، يتم تقريب الإزاحة تقريبًا بواسطة دالة في النموذج

[ label {eq: 6.2.12} y = R cos ( omega t- phi)، ]

حيث تعتمد السعة (R ) على (م ) و (ج ) و (ك ) و (F_0 ) و ( أوميغا ). نحن مهتمون بالسؤال التالي:

سؤال

على افتراض أن (م ) ، (ج ) ، (ك ) ، و (F_0 ) ثابتة ، ما قيمة! ينتج أكبر سعة (R ) في المعادلة المرجع {eq: 6.2.12} ، وما هي السعة الأكبر؟

للإجابة على هذا السؤال ، يجب علينا حل المعادلة المرجع {eq: 6.2.11} وتحديد (R ) بدلالة (F_0 و omega_0 و omega ) و (c ). يمكننا الحصول على حل معين للمعادلة المرجع {eq: 6.2.11} بطريقة المعاملات غير المحددة. بما أن ( cos omega t ) لا يفي بالمعادلة التكميلية

[my '' + cy '+ ky = 0 ، nonumber ]

يمكننا الحصول على حل معين للمعادلة المرجع {eq: 6.2.11} في النموذج

[ label {eq: 6.2.13} y_p = A cos omega t + B sin omega t. ]

التفريق بين هذا ينتج

[y_p '= quad omega (-A sin omega t + B cos omega t) nonumber ]

و

[y_p '' = - omega ^ 2 (A cos omega t + B sin omega t). لا يوجد رقم ]

من المعادلات الثلاث الأخيرة ،

[my '_ p + cy'_p + ky_p = (- m omega ^ 2A + c omega B + kA) cos omega t + (-m omega ^ 2 Bc omega A + kB) sin أوميغا ر ، عدد ]

لذلك (y_p ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 6.2.11} إذا

[ start {array} {lll} (km omega ^ 2) A + quad c omega B & = F_0 -c omega A quad + (km omega ^ 2) B & = 0. end { مجموعة} عدد ]

حل لـ (A ) و (B ) واستبدال النتائج في المعادلة المرجع {eq: 6.2.13} عوائد

[y_p = {F_0 over (km omega ^ 2) ^ 2 + c ^ 2 omega ^ 2} left [(km omega ^ 2) cos omega t + c omega sin omega t right]، nonumber ]

التي يمكن كتابتها في شكل السعة والطور كما

[ label {eq: 6.2.14}٪ springsteady y_p = {F_0 over sqrt {(km omega ^ 2) ^ 2 + c ^ 2 omega ^ 2}} cos ( omega t- phi) ، ]

أين

[ label {eq: 6.2.15} cos phi = {km omega ^ 2 over sqrt {(km omega ^ 2) ^ 2 + c ^ 2 omega ^ 2}} quad text {and} quad sin phi = {c omega over sqrt {(km omega ^ 2) ^ 2 + c ^ 2 omega ^ 2}}. ]

لمقارنة هذا مع الاهتزاز القسري غير المخمد الذي أخذناه في الاعتبار في القسم 6.1 ، من المفيد الكتابة

[ label {eq: 6.2.16} km omega ^ 2 = m left ({k over m} - omega ^ 2 right) = m ( omega_0 ^ 2- omega ^ 2)، ]

حيث ( omega_0 = sqrt {k / m} ) هو التردد الزاوي الطبيعي للحركة التوافقية البسيطة غير المخمدة لجسم كتلته (م ) على زنبرك ثابت (ك ). استبدال المعادلة المرجع {eq: 6.2.16} في المعادلة المرجع {eq: 6.2.14} عوائد

[ label {eq: 6.2.17} y_p = {F_0 over sqrt {m ^ 2 ( omega ^ 2_0- omega ^ 2) ^ 2 + c ^ 2 omega ^ 2}} cos ( أوميغا t- phi). ]

حل مشكلة القيمة الأولية

['' + cy '+ ky = F_0 cos omega t، quad y (0) = y_0، quad y' (0) = v_0، nonumber ]

هو من الشكل (y = y_c + y_p ) ، حيث (y_c ) له أحد الأشكال الثلاثة

[ begin {align} y_c & = e ^ {- ct / 2m} (c_1 cos omega_1t + c_2 sin omega_1t) ، y_c & = e ^ {- ct / 2m} (c_1 + c_2t) ، y_c & = c_1e ^ {r_1t} + c_2e ^ {r_2t} ، (r_1، r_2 <0). end {align} nonumber ]

في جميع الحالات الثلاث ( lim_ {t to infty} y_c (t) = 0 ) لأي اختيار من (c_1 ) و (c_2 ). لهذا السبب نقول أن (y_c ) هو ملف مكون عابر من الحل (ص ). يتم تحديد سلوك (y ) لكبير (t ) بواسطة (y_p ) ، والذي نسميه مكون الحالة المستقرة ذ). وبالتالي ، بالنسبة إلى (t ) كبيرة ، فإن الحركة تشبه الحركة التوافقية البسيطة عند تردد القوة الخارجية.

سعة (y_p ) في المعادلة المرجع {eq: 6.2.17} هي

[ label {eq: 6.2.18} R = {F_0 over sqrt {m ^ 2 ( omega ^ 2_0- omega ^ 2) ^ 2 + c ^ 2 omega ^ 2}}، ]

وهو محدود للجميع ( أوميغا ) ؛ وهذا يعني أن وجود التخميد يحول دون ظاهرة الرنين التي واجهناها في دراسة الاهتزازات غير المخمدة تحت وظيفة التأثير الدوري. سنجد الآن قيمة ( omega _ { max} ) ( omega ) التي تم تكبير (R ) لها. هذه هي قيمة ( omega ) التي لها وظيفة

[ rho ( omega) = m ^ 2 ( omega ^ 2_0- omega ^ 2) ^ 2 + c ^ 2 omega ^ 2 nonumber ]

في مقام المعادلة المرجع {eq: 6.2.18} يصل إلى أدنى قيمته. بإعادة كتابة هذا كـ

[ label {eq: 6.2.19} rho ( omega) = m ^ 2 ( omega ^ 4_0 + omega ^ 4) + (c ^ 2-2m ^ 2 omega ^ 2_0) omega ^ 2، ]

يمكنك أن ترى أن ( rho ) دالة متزايدة بشكل صارم لـ ( omega ^ 2 ) إذا

[c ge sqrt {2m ^ 2 omega ^ 2_0} = sqrt {2mk}. لا يوجد رقم ]

(تذكر أن ( omega ^ 2_0 = k / m )). لذلك ( omega _ { max} = 0 ) إذا كانت هذه المتباينة صحيحة. من المعادلة المرجع {eq: 6.2.15} ، يمكنك أن ترى أن ( phi = 0 ) إذا ( omega = 0 ). في هذه الحالة ، يتم تقليل المعادلة المرجع {eq: 6.2.14} إلى

[y_p = {F_0 over sqrt {m ^ 2 omega ^ 4_0}} = {F_0 over k}، nonumber ]

وهو ما يتوافق مع قانون هوك: إذا تعرضت الكتلة لقوة ثابتة (F_0 ) ، فيجب أن يقترب إزاحتها من ثابت (y_p ) بحيث (ky_p = F_0 ). افترض الآن (c < sqrt {2mk} ). ثم ، من المعادلة المرجع {eq: 6.2.19} ،

[ rho '( omega) = 2 omega (2m ^ 2 omega ^ 2 + c ^ 2-2m ^ 2 omega ^ 2_0)، nonumber ]

و ( omega _ { max} ) هي قيمة ( omega ) التي يساوي التعبير بين قوسين الصفر ؛ هذا هو،

[ omega _ { max} = sqrt { omega ^ 2_0- {c ^ 2 over2m ^ 2}} = sqrt {{k over m} left (1- {c ^ 2 over2km} حق)}. لا يوجد رقم ]

(لمعرفة أن ( rho ( omega _ { max}) ) هو الحد الأدنى لقيمة ( rho ( omega) ) ، لاحظ أن ( rho '( omega) <0 ) إذا ( omega < omega _ { max} ) و ( rho '( omega)> 0 ) if ( omega> omega _ { max} ).) استبدال ( omega = omega _ { max} ) في المعادلة المرجع {eq: 6.2.18} والتبسيط يوضح أن السعة القصوى (R _ { max} ) هي

[R _ { max} = {2mF_0 over c sqrt {4mk-c ^ 2}} quad text {if} quad c < sqrt {2mk}. لا يوجد رقم ]

نلخص نتائجنا على النحو التالي.

نظرية ( PageIndex {1} )

لنفترض أننا نعتبر السعة (R ) لمكون الحالة المستقرة لحل

['' + cy '+ ky = F_0 cos omega t nonumber ]

كدالة لـ ( أوميغا ).

  1. إذا (c ge sqrt {2mk} ) ، فإن السعة القصوى هي (R _ { max} = F_0 / k ) ويتم تحقيقها عندما ( omega = omega _ { max} = 0 ).
  2. إذا (c < sqrt {2mk} ) ، فإن السعة القصوى هي

[ label {eq: 6.2.20} R _ { max} = {2m F_0 over c sqrt {4mk-c ^ 2}}، ]

ويتم تحقيقه عندما

[ label {eq: 6.2.21} omega = omega _ { max} = sqrt {{k over m} left (1- {c ^ 2 over 2km} right)}. ]

لاحظ أن (R _ { max} ) و ( omega _ { max} ) دالات مستمرة لـ (c ) ، لـ (c ge0 ) ، منذ المعادلة المرجع {eq: 6.2. 20} والمعادلة المرجع {eq: 6.2.21} اختزل إلى (R _ { max} = F_0 / k ) و ( omega _ { max} = 0 ) if (c = sqrt {2km } ).


شاهد الفيديو: 10 أشياء يفعلها كريستيانو رونالدو لا يقدر ميسي على فعلها!! (شهر نوفمبر 2021).