مقالات

2.5: النجوم والحانات - الرياضيات


يفتش!

افترض أن لديك عددًا من مكعبات روبيك المتطابقة لتوزيعها على أصدقائك. تخيل أنك تبدأ بصف واحد من المكعبات.

  1. أوجد عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها توزيع المكعبات المتوفرة:
    1. لديك 3 مكعبات لتعطيها لشخصين.
    2. لديك 4 مكعبات لتعطيها لشخصين.
    3. لديك 5 مكعبات لتعطيها لشخصين.
    4. لديك 3 مكعبات لتعطيها لثلاثة أشخاص.
    5. لديك 4 مكعبات لتعطيها لثلاثة أشخاص.
    6. لديك 5 مكعبات لتعطيها لثلاثة أشخاص.
  2. ضع تخمينًا حول عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها توزيع 7 مكعبات على 4 أشخاص. يشرح.
  3. ماذا لو طُلب من كل شخص الحصول عليه مرة على الأقل مكعب؟ كيف ستتغير إجاباتك؟

ضع في اعتبارك مشكلة العد التالية:

لديك 7 ملفات تعريف ارتباط تمنحها لأربعة أطفال. كم عدد الطرق التي يمكنك القيام بها؟

توقف لحظة لتفكر في كيفية حل هذه المشكلة. قد تفترض أنه من المقبول إعطاء الطفل أي ملفات تعريف الارتباط. أيضًا ، جميع ملفات تعريف الارتباط متطابقة ولا يهم الترتيب الذي تقدم به ملفات تعريف الارتباط.

قبل حل المشكلة ، إليك إجابة خاطئة: قد تخمن أن الإجابة يجب أن تكون (4 ^ 7 ) لأنه لكل ملف من ملفات تعريف الارتباط السبعة ، هناك 4 خيارات للأطفال يمكنك منحهم ملف تعريف الارتباط. هذا معقول ، لكنه خاطئ. لمعرفة السبب ، ضع في اعتبارك بعض النتائج المحتملة: يمكننا تعيين ملفات تعريف الارتباط الستة الأولى للطفل "أ" ، وملف تعريف الارتباط السابع للطفل "ب". وهناك نتيجة أخرى ستخصص أول ملف تعريف ارتباط للطفل "ب" وملفات تعريف الارتباط الستة المتبقية للطفل "أ". في إجابة (4 ^ 7 ). لكن بالنسبة لمشكلة العد لدينا ، كلا النتيجتين متماثلتان حقًا - يحصل الطفل "أ" على ستة ملفات تعريف ارتباط والطفل "ب" يحصل على ملف تعريف ارتباط واحد.

كيف تبدو النتائج في الواقع؟ كيف يمكننا تمثيلهم؟ تتمثل إحدى الطرق في كتابة نتيجة كسلسلة من أربعة أرقام مثل هذا:

تبدأ {المعادلة *} 3112 ، النهاية {المعادلة *}

والتي تمثل النتيجة التي يحصل فيها الطفل الأول على 3 ملفات تعريف ارتباط ، ويحصل الطفل الثاني والثالث على ملف تعريف ارتباط واحد ، ويحصل الطفل الرابع على 2 من ملفات تعريف الارتباط. تمثيل بهذه الطريقة ، الترتيب الذي تحدث به الأرقام مهم. 1312 نتيجة مختلفة ، لأن الطفل الأول يحصل على ملف تعريف ارتباط واحد بدلاً من 3. يمكن أن يكون كل رقم في السلسلة أي عدد صحيح بين 0 و 7. لكن الإجابة ليست (7 ^ 4 text {.} ) نحن تحتاج إلى مجموع من الأرقام لتكون 7.

هناك طريقة أخرى لتمثيل النتائج وهي كتابة سلسلة من سبعة أحرف:

تبدأ {المعادلة *} mbox {ABAADCD} ، النهاية {المعادلة *}

والذي يمثل أن ملف تعريف الارتباط الأول يذهب إلى الطفل A ، ويذهب ملف تعريف الارتباط الثاني إلى الطفل B ، ويذهب ملف تعريف الارتباط الثالث والرابع إلى الطفل A ، وهكذا. في الواقع ، هذه النتيجة مطابقة للنتيجة السابقة - يحصل A على 3 ملفات تعريف ارتباط ، ويحصل B و C على 1 لكل منهما ، ويحصل D على 2. ويمكن أن يكون كل حرف من الأحرف السبعة في السلسلة أيًا من الأحرف الأربعة المحتملة (واحد لكل طفل) ، ولكن عدد هذه السلاسل ليس (4 ^ 7 text {،} ) لأن الأمر هنا يفعل ليس شيء. في الواقع ، هناك طريقة أخرى لكتابة نفس النتيجة وهي

ابدأ {المعادلة *} mbox {AAABCDD}. نهاية {المعادلة *}

سيكون هذا هو التمثيل المفضل للنتيجة. نظرًا لأنه يمكننا كتابة الأحرف بأي ترتيب ، فقد نكتبها أيضًا مرتب حسب الحروف الأبجدية أجل لأغراض العد. إذن سنكتب كل الحروف A أولًا ، ثم كل B وهكذا.

فكر الآن في كيفية تحديد مثل هذه النتيجة. كل ما نحتاجه حقًا هو تحديد موعد التبديل من حرف إلى آخر. فيما يتعلق بملفات تعريف الارتباط ، نحتاج إلى تحديد عدد ملفات تعريف الارتباط التي نتوقف عن منحها للطفل الأول ونبدأ في إعطاء ملفات تعريف الارتباط للطفل الثاني. وبعد ذلك ، كم عددًا ننتقل إلى الطفل الثالث؟ وبعد كم ننتقل إلى الرابع؟ إذن هناك طريقة أخرى لتمثيل النتيجة وهي كما يلي:

تبدأ {المعادلة *} *** | * | * | ** end {المعادلة *}

ثلاثة ملفات تعريف ارتباط تذهب إلى الطفل الأول ، ثم نتبدل ونعطي ملف تعريف ارتباط واحدًا للطفل الثاني ، ثم ننتقل من واحد إلى الطفل الثالث ، ثم نبدل اثنين إلى الطفل الرابع. لاحظ أننا بحاجة إلى 7 نجوم و 3 أشرطة - نجمة واحدة لكل ملف تعريف ارتباط ، وشريط واحد لكل مفتاح تبديل بين الأطفال ، لذا فإن عدد البارات أقل من عدد الأطفال (لسنا بحاجة إلى التبديل بعد الطفل الأخير - لقد انتهينا) .

لماذا فعلنا كل هذا؟ بسيط: لحساب عدد الطرق لتوزيع 7 ملفات تعريف ارتباط على 4 أطفال ، كل ما علينا فعله هو حساب العدد النجوم والحانات الرسوم البيانية هناك. لكن أ مخطط النجوم والأشرطة هي مجرد سلسلة من الرموز وبعض النجوم وبعض الأشرطة. إذا استخدمنا الأرقام 0 و 1 بدلاً من النجوم والأشرطة ، فسيكون ذلك مجرد سلسلة صغيرة. نحن نعرف كيف نحسب هؤلاء.

قبل أن نشعر بالحماس الشديد ، يجب أن نتأكد من ذلك حقًا أي سلسلة (في حالتنا) 7 نجوم و 3 أشرطة تتوافق مع طريقة مختلفة لتوزيع ملفات تعريف الارتباط على الأطفال. على وجه الخصوص ، ضع في اعتبارك سلسلة مثل هذه:

تبدأ {المعادلة *} | *** || **** النهاية {المعادلة *}

هل هذا يتوافق مع توزيع ملفات تعريف الارتباط؟ نعم. يمثل التوزيع الذي يحصل فيه الطفل "أ" على 0 من ملفات تعريف الارتباط (لأننا انتقلنا إلى الطفل "ب" قبل أي نجوم) ، ويحصل الطفل "ب" على ثلاثة ملفات تعريف ارتباط (ثلاث نجوم قبل الشريط التالي) ، ويحصل الطفل "ج" على 0 ملفات تعريف ارتباط (لا توجد نجوم قبل الشريط التالي) ويحصل الطفل D على 4 ملفات تعريف الارتباط المتبقية. بغض النظر عن كيفية ترتيب النجوم والأشرطة ، يمكننا توزيع ملفات تعريف الارتباط بهذه الطريقة. أيضًا ، نظرًا لأي طريقة لتوزيع ملفات تعريف الارتباط ، يمكننا تمثيل ذلك باستخدام مخطط النجوم والأشرطة. على سبيل المثال ، التوزيع الذي يحصل فيه الطفل "أ" على 6 ملفات تعريف ارتباط والطفل "ب" على ملف تعريف ارتباط واحد له الرسم البياني التالي:

ابدأ {المعادلة *} ****** | * || نهاية {المعادلة *}

بعد كل هذا العمل ، نحن مستعدون أخيرًا للعد. تتوافق كل طريقة لتوزيع ملفات تعريف الارتباط مع مخطط نجوم وأشرطة مكون من 7 نجوم و 3 أشرطة. إذن هناك 10 رموز ، ويجب أن نختار 3 منها لتكون أشرطة. هكذا:

start {equation *} mbox {يوجد} {10 Choose 3} mbox {طرق لتوزيع 7 ملفات تعريف ارتباط على 4 أطفال.} end {equation *}

أثناء وجودنا فيه ، يمكننا أيضًا الإجابة على سؤال ذي صلة: كم عدد الطرق المتاحة لتوزيع 7 ملفات تعريف ارتباط على 4 أطفال بحيث يحصل كل طفل على ملف تعريف ارتباط واحد على الأقل؟ ماذا يمكنك أن تقول عن مخططات النجوم والأشرطة المقابلة؟ يجب أن تبدأ المخططات وتنتهي بنجمة واحدة على الأقل (بحيث يحصل الأطفال "أ" و "د" على ملفات تعريف الارتباط ، كما لا يمكن أن يكون هناك شريطان متجاوران (حتى لا يتم تخطي الأطفال "ب" و "ج"). طريقة واحدة للتأكد من ذلك هي وضع القضبان في الفراغات فقط ما بين النجوم. مع 7 نجوم ، هناك 6 نقاط بين النجوم ، لذلك يجب أن نختار 3 من تلك النقاط الستة لملئها بالقضبان. وبالتالي هناك ({6 اختر 3} ) طرق لتوزيع 7 ملفات تعريف ارتباط على 4 أطفال مع إعطاء ملف تعريف ارتباط واحد على الأقل لكل طفل.

هناك طريقة أخرى (وأكثر عمومية) للتعامل مع هذه المشكلة المعدلة وهي إعطاء كل طفل ملف تعريف ارتباط واحد. الآن يمكن توزيع ملفات تعريف الارتباط الثلاثة المتبقية على الأطفال الأربعة دون قيود. لذلك لدينا 3 نجوم و 3 أشرطة ليصبح المجموع 6 رموز ، 3 منها يجب أن تكون أشرطة. لذلك نرى مرة أخرى أن هناك ({6 Choose 3} ) طرقًا لتوزيع ملفات تعريف الارتباط.

يمكن استخدام النجوم والأشرطة في عد المشاكل بخلاف الأطفال وملفات تعريف الارتباط. وفيما يلي بعض الأمثلة على ذلك:

مثال ( PageIndex {1} )

تقدم سلسلة البيتزا الرياضية المفضلة لديك 10 طبقات. كم عدد البيتزا التي يمكنك صنعها إذا سمح لك بـ 6 طبقات؟ لا يهم ترتيب الطبقة ولكن الآن يُسمح لك بالتكرار. لذا فإن بيتزا واحدة محتملة هي النقانق الثلاثية والأناناس المزدوج والبصل.

حل

نحصل على 6 طبقات (عد التكرارات المحتملة). قم بتمثيل كل من هذه الطبقة كنجمة. فكر في النزول في القائمة واحدًا تلو الآخر: ترى الأنشوجة أولاً ، ثم انتقل إلى النقانق التالية. أنت تقول نعم للسجق 3 مرات (استخدم 3 نجوم) ، ثم قم بالتبديل إلى القمة التالية في القائمة. استمر في التخطي حتى تصل إلى الأناناس ، والتي تقول نعم لمرتين. مفتاح آخر وأنت في البصل. تقول نعم مرة واحدة. ثم تستمر في التبديل حتى تصل إلى آخر قمة ، ولا تقل نعم مرة أخرى أبدًا (بما أنك سبق أن قلت نعم 6 مرات. هناك 10 طبقات للاختيار من بينها ، لذلك يجب أن ننتقل من التفكير في احتلال المرتبة الأولى إلى 9 مرات التالية. هذه هي القضبان.

الآن بعد أن أصبحنا واثقين من أن لدينا العدد الصحيح من النجوم والأشرطة ، نجيب على السؤال ببساطة: هناك 6 نجوم و 9 أشرطة ، أي 15 رمزًا. نحتاج إلى اختيار 9 منها لتكون بارات ، لذلك هناك عدد ممكن من البيتزا

ابدأ {المعادلة *} {15 اختر 9}. نهاية {المعادلة *}


2018 AMC 10A مشاكل / مشكلة 11

متي معيار عادل يتم إلقاء النرد على الوجه ، وهو احتمال أن يكون مجموع الأرقام على الوجوه العلوية هو يمكن كتابتها كـ أين هو عدد صحيح موجب. ما هو ?


نشرت من قبل

PRESH TALWALKAR

أدير قناة MindYourDecisions على YouTube ، التي تضم أكثر من مليون مشترك و 200 مليون مشاهدة. أنا أيضًا مؤلف كتاب The Joy of Game Theory: مقدمة في التفكير الاستراتيجي والعديد من الكتب الأخرى المتوفرة على Amazon.

(كما قد تتوقع ، تنتقل روابط كتبي إلى قوائمها على Amazon. بصفتي مساعد Amazon ، أكسب من عمليات الشراء المؤهلة. وهذا لا يؤثر على السعر الذي تدفعه.)

على سبيل التاريخ ، بدأت مدونة Mind Your Decisions في عام 2007 لمشاركة القليل من الرياضيات والتمويل الشخصي والأفكار الشخصية ونظرية الألعاب. لقد كانت رحلة رائعة! أشكر كل من شارك في عملي ، وأنا ممتن جدًا للتغطية في الصحافة ، بما في ذلك جوائز Shorty و The Telegraph و Freakonomics والعديد من المنافذ الشعبية الأخرى.

درست الاقتصاد والرياضيات في جامعة ستانفورد.

يسأل الناس غالبًا كيف أصنع مقاطع الفيديو. مثل العديد من مستخدمي YouTube ، أستخدم برامج شهيرة لإعداد مقاطع الفيديو الخاصة بي. يمكنك البحث عن البرامج التعليمية لبرامج الرسوم المتحركة على YouTube لمعرفة كيفية إنشاء مقاطع الفيديو. كن مستعدًا - الرسوم المتحركة تستغرق وقتًا طويلاً وقد تكون البرامج باهظة الثمن!

لا تتردد في إرسال بريد إلكتروني إليّ [email & # 160protected]. لقد تلقيت الكثير من رسائل البريد الإلكتروني التي قد لا أرد عليها ، لكنني أحفظ جميع الاقتراحات الخاصة بالألغاز / موضوعات الفيديو.

كتبي

إذا قمت بالشراء من خلال هذه الروابط ، فقد يتم تعويضي عن عمليات الشراء التي تمت على Amazon. بصفتي شريكًا في Amazon ، أكسب من عمليات الشراء المؤهلة. هذا لا يؤثر على السعر الذي تدفعه.

مانع قراراتك عبارة عن مجموعة من 5 كتب:

متعة نظرية اللعبة يوضح كيف يمكنك استخدام الرياضيات للتفكير في منافسيك. (تم تقييمه بـ 4.2 / 5 نجوم على 200 تقييم)


40 مفارقات في المنطق والاحتمالية ونظرية اللعبة يحتوي على نتائج مثيرة للفكر وغير بديهية. (تم تقييمه 4.1 / 5 نجوم في 30 تعليقًا)


وهم اللاعقلانية: كيفية اتخاذ قرارات ذكية والتغلب على التحيز هو كتيب يشرح الطرق العديدة التي ننحاز بها بشأن اتخاذ القرار ويقدم تقنيات لاتخاذ قرارات ذكية. (تم تقييمه بـ 4/5 نجوم في 17 تعليقًا)


أفضل حيل الرياضيات العقلية يعلم كيف يمكنك أن تبدو عبقريًا في الرياضيات من خلال حل المشكلات في رأسك (تم تقييمه 4.2 / 5 نجوم على 57 تقييمًا)


اضرب الأرقام برسم الخطوط هذا الكتاب هو دليل مرجعي لمقطع الفيديو الخاص بي الذي يحتوي على أكثر من مليون مشاهدة حول طريقة هندسية لمضاعفة الأرقام. (تم تقييمه 4.1 / 5 نجوم في 23 تعليقًا)


اهتم بألغازك عبارة عن مجموعة من كتب "ألغاز الرياضيات" الثلاثة ، المجلدات 1 و 2 و 3. تتضمن موضوعات الألغاز الموضوعات الرياضية بما في ذلك الهندسة والاحتمالات والمنطق ونظرية الألعاب.

الرياضيات الألغاز حجم 1 تتميز بألغاز وألغاز كلاسيكية مع حلول كاملة لمشاكل العد والهندسة والاحتمالات ونظرية اللعبة. تم تصنيف المجلد 1 4.4 / 5 نجوم على 75 مراجعة.

الرياضيات حجم اللغز 2 هو كتاب تكملة به مشاكل أكبر. (تم تقييمه 4.3 / 5 نجوم في 21 تعليقًا)

الرياضيات حجم اللغز 3 هي الثالثة في السلسلة. (تم تقييمه 4.3 / 5 نجوم في 17 تعليقًا)

كيندل غير محدود

غالبًا ما يرسل لي المعلمون والطلاب من جميع أنحاء العالم رسائل إلكترونية بخصوص الكتب. نظرًا لأن التعليم يمكن أن يكون له تأثير كبير ، أحاول جعل الكتب الإلكترونية متاحة على نطاق واسع قدر الإمكان وبأقل سعر ممكن.

حاليًا يمكنك قراءة معظم كتبي الإلكترونية من خلال برنامج "Kindle Unlimited" من أمازون. مدرج في الاشتراك ، ستتمكن من الوصول إلى ملايين الكتب الإلكترونية. لست بحاجة إلى جهاز Kindle: يمكنك تثبيت تطبيق Kindle على أي هاتف ذكي / جهاز لوحي / كمبيوتر / إلخ. لقد جمعت روابط لبرامج في بعض البلدان أدناه. يرجى التحقق من موقع أمازون المحلي الخاص بك لمعرفة مدى التوفر وشروط البرنامج.

بضائع

احصل على كوب وقميص والمزيد في الموقع الرسمي للبضائع: اهتم بقراراتك في Teespring.


توزيع التفاح: واحد على الأقل لكل منهما

المشكلة التالية لها القليل من التطور.

ما ناقشناه حتى الآن سمح باحتمال أن تكون بعض الجرار فارغة. ماذا لو رفضنا ذلك؟

من الواضح أن التفاح (الذي لا يمكن تمييزه) سيتم تمثيله بالنجوم ، والأطفال (الذي يمكن تمييزه على الأرجح) هم الحاويات. أخذ الدكتور أنتوني هذا أولاً:

تبدو هذه نفس الفكرة ، لكن شيئًا مختلفًا. رأى الدكتور ميتلدورف أن الشرح الإضافي سيكون مفيدًا:

لدينا نفس التمثيل كما كان من قبل ، ولكن مع المطلب الجديد بأنه لا يمكن لأي طفل أن يكون خالي الوفاض ، يجب أن نطلب عدم وجود عمودين متجاورين. يجب أن تكون مفصولة بالنجوم. لذا بدلاً من مجرد وضع الأشرطة بحرية في أي مكان ، نفكر الآن في الفجوات بين النجوم ، ونضع شريطًا واحدًا فقط (إن وجد) في كل فجوة. بالنسبة إلى 8 نجوم و 4 جرارات (3 أشرطة) ، يمكننا وضع قضبان في أي من المساحات السبعة بين النجوم (وليس في الخارج ، لأن ذلك سيترك جرة فارغة):

هذا يتوافق مع الترتيب:

تؤدي هذه الطريقة إلى الصيغة العامة (لـ (b ) كرات في (u ) الجرار ، مرة أخرى ، حيث نضع (u-1 ) أشرطة في (b-1 ) فجوات) $ <إختر> نص <أو> <إختر>.$

مرة أخرى ، يمكننا التحقق من عملنا إما من خلال سرد جميع الاحتمالات فعليًا ، أو من خلال تخيل القيام بذلك واستخدام بعض الاختصارات:


2.5: النجوم والحانات - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نستخدم مبدأ التضمين والاستبعاد لتعداد المجموعات.

أذكر مبدأ الشمول والاستبعاد لمجموعتين:

في هذا القسم ، سنعمم هذا على المجموعات ، ولكن أولاً ، دعنا نوسعها من مجموعتين إلى ثلاث مجموعات.

إثبات اعتبارها مجموعة واحدة وكمجموعة ثانية وتطبيق مبدأ التضمين والاستبعاد لمجموعتين. لدينا: بعد ذلك ، استخدم مبدأ التضمين والاستبعاد لمجموعتين في المصطلح الأول ، وقم بتوزيع التقاطع عبر الاتحاد في الفصل الدراسي الثالث للحصول على: الآن ، استخدم مبدأ الاستبعاد لمجموعتين في المصطلح الرابع للحصول على: أخيرًا ، المجموعة في المصطلح الأخير عادلة ، لذلك لدينا الشكل النهائي لمبدأ التضمين والاستبعاد لثلاث مجموعات:

نقوم الآن بتوسيع قانون De Morgan إلى ثلاث مجموعات.

الإثبات باستخدام قانون De Morgan لمجموعتين يؤدي إلى النتيجة مرتين:

يستخدم المثال التالي قانون De Morgan (لثلاث مجموعات) جنبًا إلى جنب مع قاعدة المكملات ومبدأ التضمين والاستبعاد (لثلاث مجموعات).

اسمح أن تكون مجموعة كلمات المرور التي لا تحتوي على أي أرقام ، فلنكن مجموعة كلمات المرور التي لا تحتوي على أي رموز خاصة وليكن مجموعة كلمات المرور التي لا تحتوي على أي أحرف كبيرة. نظرًا لأن كلمات المرور الخاصة بنا يجب أن تحتوي على رقم ورمز خاص وحرف كبير ، فإننا نبحث. وفقًا لقانون De Morgan (لثلاث مجموعات) ، ثم وفقًا لقاعدة المكملات ، حيث توجد مجموعة من جميع كلمات المرور الممكنة بدون قيود. بدمج المعادلتين أعلاه مع مبدأ التضمين والاستبعاد (لثلاث مجموعات) ، لدينا كل من المصطلحات الموجودة على الجانب الأيمن يمكن حسابها باستخدام المبدأ الأساسي للعد. نظرًا لوجود 70 حرفًا مختلفًا إجمالاً مع 10 أرقام و 8 رموز خاصة و 26 حرفًا كبيرًا ، في الختام ، فإن عدد كلمات المرور المقبولة هو

عدد العناصر في هو عدد التباديل للرموز MATH ، I ، S ، F ، U ، N. بما أن هذا هو 6 رموز مميزة ،. عدد العناصر في هو عدد التباديل للرموز M ، A ، T ، H ، IS ، F ، U ، N. بما أن هذا هو 8 رموز مميزة ،. عدد العناصر في هو عدد التباديل للرموز M ، A ، T ، H ، I ، S ، FUN. نظرًا لأن هذا هو 7 رموز مميزة ،. عدد العناصر في هو عدد التباديل للرموز MATH، IS، F، U، N. بما أن هذا هو 5 رموز مميزة ،. عدد العناصر في هو عدد التباديل للرموز MATH، I، S، FUN. بما أن هذا هو 4 رموز مميزة ،. عدد العناصر في هو عدد التباديل للرموز M ، A ، T ، H ، IS ، FUN. نظرًا لأن هذا عبارة عن 6 رموز مميزة ، فإن. عدد العناصر في هو عدد التباديل للرموز MATH، IS، FUN. نظرًا لأن هذا عبارة عن 3 رموز مميزة ، فإن. عدد العناصر في هو. ومن ثم ، فإن العدد الإجمالي لطرق تبديل الأحرف في عبارة MATH IS FUN والتي لا تتضمن أيًا من الكلمات MATH أو IS أو FUN هو

لاحظ أننا في حساباتنا استفدنا من حقيقة أن مجموعات معينة لديها نفس عدد العناصر.

بالنسبة لأربع مجموعات ، ينص مبدأ التضمين والاستبعاد على ما يلي:

في هذه المرحلة ، أصبح عدد المصطلحات كبيرًا جدًا ، لذا يفضل استخدام تدوين الجمع:

الآن ، يعطي مبدأ التضمين والاستبعاد (لأربع مجموعات): نظرًا لأن الشروط في المتغيرات الأربعة هي نفسها () ، فإن عدد العناصر في كل تقاطع لعدد معين من المجموعات سيكون متساويًا. وهكذا ، بالنسبة لستة تقاطعات من هذا النموذج لأربعة تقاطعات من هذا الشكل و. لذلك،

نحن الآن جاهزون لتوضيح وإثبات الحالة العامة لمبدأ الشمول والاستبعاد.

إثبات سنثبت الاقتراح عن طريق الاستقراء على عدد المجموعات ،. تم إثبات الحالة الأساسية في القسم 2.1. بالنسبة لفرضية الاستقراء ، نفترض أن النتيجة صحيحة لعدد معين من المجموعات. ثم نرغب في إظهار أن النتيجة صحيحة بالنسبة للمجموعات. سنفعل ذلك بطريقة مشابهة للطريقة التي بدأنا بها هذا القسم ، وحصلنا على مبدأ الاستبعاد والتضمين لثلاث مجموعات كنتيجة لنتيجة مجموعتين. وبالتالي ، فإننا نعتبر اتحاد المجموعات الأولى مجموعة واحدة ونحصل عليها: في الفصل الأخير ، يمكننا توزيع التقاطع على النقابات للحصول على اتحاد مجموعات: يمكننا تطبيق فرضية الاستقراء على عدد العناصر في هذا الاتحاد ، مع ملاحظة أننا حصلنا على إدخال هذا مرة أخرى في المعادلة الأولى ، وتطبيق فرضية الاستقراء على المصطلح الأول في تلك المعادلة ، نحصل على

نقدم الآن دليلًا ثانيًا ، باستخدام حجة العد المستخدمة في إثبات حالة المجموعة.

إثبات (برهان اندماجي)
لنفترض أن هذا عنصر من مجموعات ،. نحتاج إلى إظهار أن الصيغة المقترحة تمثل مرة واحدة بالضبط. سنقوم بتحليل المحاسبة لكل مصطلح على حدة. المصطلح الأول لمبدأ التضمين والاستبعاد هو وهذا المصطلح يمثل أوقاتًا محددة ، نظرًا لأنه عنصر من المجموعات في المجموع. لاحظ هذا أيضًا. المصطلح الثاني لمبدأ التضمين والاستبعاد هو وهذا المصطلح يمثل المرات بالضبط منذ أن تكون في ، يجب أن تكون كلتا المجموعتين من بين المجموعات التي تحتوي على. وبالمثل ، فإن المصطلح الثالث لمبدأ التضمين والاستبعاد هو وهذا المصطلح يمثل الأوقات بالضبط. أخيرًا ، يتضمن مصطلح مبدأ التضمين والاستبعاد تقاطعات المجموعات. في هذا المصطلح ، يتم احتسابه مرات. تحتوي المصطلحات المتبقية من معادلة التضمين والاستبعاد على أكثر من التقاطعات ، وبالتالي لن يتم حسابها على الإطلاق (أو صفر مرة). إجمالاً ، يتم حساب عدد المرات بواسطة صيغة التضمين والاستبعاد من نظرية ذات الحدين مع واستبدال ومع وعلى التوالي ، لدينا هكذا حسابات معادلة التضمين والاستبعاد بالطريقة ، حسب الرغبة.


الحل 4 (Alcumus Solution 1)

يجب أن يكون مجموع عدد الأنواع الثلاثة من ملفات تعريف الارتباط ستة. مجموعات الأعداد الصحيحة التي مجموعها ستة هي يحدد كل طلب لكل مجموعة من هذه المجموعات تشكيلة مختلفة من ملفات تعريف الارتباط. هناك 3 طلبات لكل مجموعة هناك 6 طلبات لكل مجموعة لا يوجد سوى طلب واحد لـ . لذلك فإن العدد الإجمالي للتشكيلات لستة ملفات تعريف الارتباط هو .


ملاحظات الرياضيات

يرجى إلقاء نظرة على ما يدور حوله هذا البرنامج. إنه عمل جماعي وحل المشكلات والمرح وبناء الصداقة وغيرها الكثير. غالبية الطلاب الذين التقينا بهم في Mathcounts Nationals ذهبوا جميعًا إلى الكليات الأكثر اختيارًا وهم يزدهرون هناك.

Prime & # 8211 رقم لا يمكن تقسيمه على أي أرقام بخلاف 1 ونفسه.

العوامل & # 8211 جميع الأعداد الصحيحة التي يمكن أن تقسم بالتساوي رقمًا معينًا

تحليل & # 8211 تحليل أي رقم إلى مكوناته الأولية

العامل المشترك الأكبر (GCF) & # 8211 هو أكبر رقم وهو عامل من رقمين أو أكثر

المضاعف / المقام المشترك الأصغر (LCM) & # 8211 أصغر رقم وهو مضاعف رقمين أو أكثر.

Prime نسبيًا & # 8211 رقمين مع GCF من 1

العدد الأولي ، كما هو مذكور في قائمة التعريفات المفيدة ، هو رقم لا يمكن تقسيمه على أي رقم بخلاف 1 ونفسه. أصغر عدد أولي هو 2. [أو ، كما يدعي البعض ، أغرب عدد أولي.]

الأعداد الصحيحة التي ليست أولية تسمى مركب. أصغر رقم مركب هو 4.

1 هو الاستثناء: لا يعتبر عددًا أوليًا ولا عددًا مركبًا.

بالنظر إلى مخطط للأعداد الصحيحة 2-100 ، يمكن التعرف على الأعداد الأولية بسهولة:

أسهل ما يمكنك فعله هو إلقاء نظرة على أصغر الأعداد الأولية & # 8211 وهي 2 ، 3 ، 5 ، 7 & # 8211 وشطب جميع مضاعفاتها من المخطط.

الأرقام الأكثر شيوعًا التي يخطئ فيها الأعداد الأولية هي 51 و 57 و 91. الأولين (51 و 57) كما يمكن توضيحه من خلال جمع الأرقام ، يقبلان القسمة على 3 ، بينما 91 يساوي 7x13.

لتقرير ما إذا كان الرقم أوليًا أم لا ، خذ جذره التربيعي وحاول قسمة العدد الأصلي على جميع الأعداد الأولية الأقل من الجذر التربيعي. إذا لم يكن قابلاً للقسمة على أي منهم ، فإن الرقم هو عدد أولي.


منهج التخطيط

اتصالات معايير الدولة الأساسية المشتركة

ELA / محو الأمية

  • RI.5.1 - الاقتباس بدقة من النص عند شرح ما يقوله النص صراحة وعند استخلاص الاستدلالات من النص. (5-ESS1-1) ، (5-PS2-1)
  • RI.5.7 - الاعتماد على معلومات من مصادر مطبوعة أو رقمية متعددة ، مما يدل على القدرة على تحديد إجابة لسؤال بسرعة أو حل مشكلة بكفاءة. (5-ESS1-1)
  • RI.5.8 - اشرح كيف يستخدم المؤلف الأسباب والأدلة لدعم نقاط معينة في النص ، مع تحديد الأسباب والأدلة التي تدعم النقطة (النقاط). (5-ESS1-1)
  • RI.5.9 - تكامل المعلومات من عدة نصوص حول نفس الموضوع من أجل الكتابة أو التحدث عن الموضوع عن علم. (5-ESS1-1) ، (5-PS2-1)
  • SL.5.5 - قم بتضمين مكونات الوسائط المتعددة (مثل الرسومات والصوت) والعروض المرئية في العروض التقديمية عندما يكون ذلك مناسبًا لتعزيز تطوير الأفكار أو الموضوعات الرئيسية. (5-ESS1-2)
  • W.5.1 - كتابة مقالات رأي في مواضيع أو نصوص ، مع دعم وجهة نظر بالأسباب والمعلومات. (5-ESS1-1) ، (5-PS2-1)

الرياضيات

  • 5.G.A.2 - تمثيل مشاكل العالم الحقيقي والرياضيات من خلال رسم نقاط بيانية في الربع الأول من المستوى الإحداثي ، وتفسير قيم تنسيق النقاط في سياق الموقف. (5-ESS1-2)
  • 5.NBT.A.2 - اشرح الأنماط في عدد أصفار المنتج عند ضرب رقم في قوى 10 ، وشرح الأنماط في موضع الفاصلة العشرية عندما يتم ضرب الرقم العشري أو قسمة أس 10. قوى 10. (5-ESS1-1)
  • MP.2 - العقل بشكل تجريدي وكمي. (5-ESS1-1) ، (5-ESS1-2)
  • MP.4 - نموذج مع الرياضيات. (5-ESS1-1) ، (5-ESS1-2)

نموذج تخطيط الدورة

الزوار لأول مرة


الإذن

يبيع متجر الحلويات 4 أنواع من المعجنات. كم عدد المجموعات المتميزة المكونة من 7 معجنات يمكن للمرء أن يشتريها؟

7,0,0,0
0,0,7,0 يمكننا أن نرى أن الترتيب مهم لأنهم يحددون كل مجموعة فريدة. لذا إذا كان الأمر يتعلق بالأمر ، فيجب أن يكون التقليب.
لقد مررت بطريقة النجوم والقضبان. لكن أريد أن أعرف أن المبلغ على بيرمو أو كومبو؟

عضو النخبة

دكتور بيترسون

عضو النخبة

يبيع متجر الحلويات 4 أنواع من المعجنات. كم عدد المجموعات المتميزة المكونة من 7 معجنات يمكن للمرء أن يشتريها؟

7,0,0,0
0،0،7،0 يمكننا أن نرى أن الترتيب مهم لأنهم يحددون كل مجموعة فريدة. لذا إذا كان الأمر يتعلق بالأمر ، فيجب أن يكون التقليب.
لقد مررت بطريقة النجوم والقضبان. لكن أريد أن أعرف أن المبلغ على بيرمو أو كومبو؟

يرجى إظهار كيف أنت تقوم بتطبيق النجوم والقضبان. ماذا تعني النجوم والأشرطة في نموذجك للمشكلة؟

ما هي الطريقة التي يؤثر بها الطلب في وصفك؟

أريد أن أرى ما تقوم بتطبيق تبديل أو تركيبة لالتي يجب أن تجيب على السؤال لك. هناك طريقتان مختلفتان يمكنك من خلالهما وصف ذلك ، والتي يمكن أن تتضمن إما التباديل أو التوليفات. اكتب مرة أخرى بإجابتك ، وسأوضح لك ما أعنيه. لكني أريد أن أبدأ بكل ما تعلمته على وجه التحديد.

سوموجيت

عضوية كاملة

بادئ ذي بدء ، لا أعرف كيفية تطبيق النجوم والأشرطة في problemn.

ما هي الطرق الممكنة للترتيب؟
C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
كما نرى أهمية طلب الكعك. إذا لم يكن الطلب مهمًا ، فيجب اعتبار الترتيبات الثلاثة الأولى واحدة.
الترتيب يعني التقليب.
الآن اثبت خطأ منطقى باستخدام شرح مفصل بسيط

التكعيبية

عضوية كاملة

تحتاج إلى معرفة عدد الطرق التي يمكن من خلالها ترتيب النجوم والأشرطة في منشور PKA.

قد تكون الطرق الأخرى (المطابقة لأمثلةك): -

كم عدد النجوم هناك؟ كم عدد الحانات؟ هل يمكنك حساب إجمالي المجموعات الممكنة الآن؟

سوموجيت

عضوية كاملة

أخبرني أولاً ما هو الخطأ هنا؟

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
كما نرى أهمية طلب الكعك. إذا لم يكن الطلب مهمًا ، فيجب اعتبار الترتيبات الثلاثة الأولى واحدة.
الترتيب يعني التقليب.

عضو النخبة

سوموجيت

عضوية كاملة

pka
أخبرني أولاً ما هو الخطأ هنا؟

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
كما نرى أهمية طلب الكعك. إذا لم يكن الطلب مهمًا ، فيجب اعتبار الترتيبات الثلاثة الأولى واحدة.
الترتيب يعني التقليب.

دكتور بيترسون

عضو النخبة

أخبرني أولاً ما هو الخطأ هنا؟

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
كما نرى أهمية طلب الكعك. إذا لم يكن الطلب مهمًا ، فيجب اعتبار الترتيبات الثلاثة الأولى واحدة.
الترتيب يعني التقليب.

أولاً ، بما أنك قلت & quot لقد مررت بطريقة النجوم والأعمدة ، & quot ؛ افترضت أنك تعرف كيفية استخدامها ، وربما حاولت القيام بذلك. أنت لا تستخدم الطريقة ، وهي الطريقة المناسبة. الشيء الرئيسي الخطأ هنا هو أنك لا تفعل أي شيء بعد لحلها. ما هي الإجابة التي حصلت عليها في طريقك؟

ترتيب الأنواع مهم ، لكن طلب الكعك الفردي داخل النوع ليس كذلك. لذلك لا يمكنك استخدام التباديل أو التوليفات العادية هنا مباشرةً.

إليك كيفية تطبيق طريقة النجوم والأشرطة هنا: إذا أشرنا إلى الكعك بعلامة * ، ووضعناها في مربعات تمثل الأنواع ، فسيتم تمثيل أمثلتك الأربعة بواسطة

أين | هو فاصل بين الصناديق.

تجاهل المساحة الفارغة ، هذا هو:

عضو النخبة

التكعيبية

عضوية كاملة

يمكنك أن تفعل ذلك طريق طويل إذا كنت تريد حقا أن. ستحصل على نفس الإجابة. لكن آمل أن يقنعك ذلك تحويل المشكلة في الأشرطة والمشارب أسرع بكثير والنتيجة متكافئة.

اختر دائمًا c1 c2 ≥ c3 c4 للحفاظ على هذه المجموعات فريدة عند تبديلها.

سوموجيت

عضوية كاملة

يمكنك أن تفعل ذلك طريق طويل إذا كنت تريد حقا أن. ستحصل على نفس الإجابة. لكن آمل أن يقنعك ذلك تحويل المشكلة في الأشرطة والمشارب أسرع بكثير والنتيجة متكافئة.

اختر دائمًا c1 c2 ≥ c3 c4 للحفاظ على هذه المجموعات فريدة عند تبديلها.

سوموجيت

عضوية كاملة

يمكنك أن تفعل ذلك طريق طويل إذا كنت تريد حقا أن. ستحصل على نفس الإجابة. لكن آمل أن يقنعك ذلك تحويل المشكلة في الأشرطة والمشارب أسرع بكثير والنتيجة متكافئة.

اختر دائمًا c1 c2 ≥ c3 c4 للحفاظ على هذه المجموعات فريدة عند تبديلها.

التكعيبية

عضوية كاملة

إذا كتبت المجموعات المتعددة ، فلديك
2 من '1'
1 من '0'
1 من "5"

التبديلات = 4! / (2! * 1! * 1!) = 4! / 2! = 12 أو مدرج.
0115 , 1150
0151 , 1501
0511 , 1510
1015 , 5011
1051 , 5101
1105 , 5110

سوموجيت

عضوية كاملة

إذا كتبت المجموعات المتعددة ، فلديك
2 من '1'
1 من '0'
1 من "5"

التبديلات = 4! / (2! * 1! * 1!) = 4! / 2! = 12 أو مدرج.
0115 , 1150
0151 , 1501
0511 , 1510
1015 , 5011
1051 , 5101
1105 , 5110

التكعيبية

عضوية كاملة

لقد سألت عن السطر & quot5 1 1 0 & quot. هذا يعني أن c1 = 5 ، c2 = 1 ، c3 = 1 ، c4 = 0 تعني 5 كعكات من النوع & quotc1 & quot ، كعكة واحدة من النوع & quotc2 & quot ، كعكة واحدة من النوع & quotc3 & quot ، ولا كعكات من النوع & quotc4 & quot

هناك 12 طريقة يمكن من خلالها استخدام هذه الكميات نفسها لشراء الكعك. على سبيل المثال ، إحدى الطرق الأخرى هي & quot0151 & quot - & gt NO كعكات من النوع & quotc1 & quot ، كعكة واحدة من النوع & quotc2 & quot ، و 5 كعكات من النوع & quotc3 & quot ، وكعكة واحدة من النوع & quotc4 & quot.

سوموجيت

عضوية كاملة

لقد سألت عن السطر & quot5 1 1 0 & quot. هذا يعني أن c1 = 5 ، c2 = 1 ، c3 = 1 ، c4 = 0 تعني 5 كعكات من النوع & quotc1 & quot ، كعكة واحدة من النوع & quotc2 & quot ، كعكة واحدة من النوع & quotc3 & quot ، ولا كعكات من النوع & quotc4 & quot

هناك 12 طريقة يمكن من خلالها استخدام هذه الكميات نفسها لشراء الكعك. على سبيل المثال ، إحدى الطرق الأخرى هي & quot0151 & quot - & gt NO كعكات من النوع & quotc1 & quot ، كعكة واحدة من النوع & quotc2 & quot ، و 5 كعكات من النوع & quotc3 & quot ، وكعكة واحدة من النوع & quotc4 & quot.

التكعيبية

عضوية كاملة

أنت تجيب على السؤال ، وكم عدد الطرق التي يمكنني بها شراء 3 أنواع من الكيكات من 4 أنواع كيك & quot.

ولكن لإجراء الحساب في المنشور رقم 11 ، فإن السؤال هو: كيف يمكنني شراء 5 كعكات من نوع واحد من الكيك ، إلى جانب كعكة من نوع مختلف ، وكعكة من نوع مختلف آخر & quot.

إذا كنت لا تفهم هذا ، فأوصيك بالسعي للحصول على بعض الدروس وجهًا لوجه من شخص ما.

دكتور بيترسون

عضو النخبة

ذكر اثنان منا مجموعات متعددة. هذا هو ما في هذه الحالة (5،1،1،0) أنها ليست مجموعة تعمل من أجلها طريقة التقليب القياسية.

إذا رأيت مشاكل تطلب عدد الكلمات التي يمكنك تكوينها من كلمة ذات أحرف مكررة ، مثل جيد ، فهذا ما عليك القيام به هنا. الصيغة هي ( displaystyle frac) حيث ( displaystyle n ) هو العدد الإجمالي للأحرف و ( displaystyle n_i ) هو عدد النسخ من نفس الشيء أنامن أصل الرسالة ك أحرف مميزة. تم توضيح ذلك في المنشور رقم 14.

سوموجيت

عضوية كاملة

ذكر اثنان منا مجموعات متعددة. هذا هو ما في هذه الحالة (5،1،1،0) أنها ليست مجموعة تعمل من أجلها طريقة التقليب القياسية.

إذا رأيت مشاكل تطلب عدد الكلمات التي يمكنك تكوينها من كلمة ذات أحرف مكررة ، مثل جيد ، فهذا ما عليك القيام به هنا. الصيغة هي ( displaystyle frac) حيث ( displaystyle n ) هو العدد الإجمالي للأحرف و ( displaystyle n_i ) هو عدد النسخ من نفس الشيء أنامن أصل الرسالة ك أحرف مميزة. تم توضيح ذلك في المنشور رقم 14.

فهمت ما تقوله. 5،1،1،0
أنت تقول بسبب تكرار 2 1 ، فأنت بحاجة إلى قسمة 2 حقيقة من جميع طرق الحقائق الأربع.
لكن في 5،1،1،0 اثنان من الكيكتين مختلفتين. مثل 5 من c1 1 من c2 1 من c3

وفي 5،0،1،1 5 من الكعكة الأولى ، صفر من الكعكة 2 ، واحدة من الكعكة 3 ، واحدة من الكعكة 4.
هم من كعكات مختلفة.

هل تقول أن: 5،0،1،1 & amp 0،5،1،1
هذان الترتيبان الفريدان يشملان تكرار c3 و c4 في كلتا الحالتين؟


هل يمكن لأي شخص أن يشرح من فضلك طريقة & # x27Stars و Bars & # x27 لحساب عدد الترتيبات مع التكرار؟

لنفترض & # x27s أنني أريد تحديد عدد الحلول الممكنة التي يمكن استيفاء هذه المعادلة بها.

x ليست سوى أعداد صحيحة غير سالبة.

حسنًا ، يمكنني توصيل هذه الأشياء بالصيغة الرائعة اللطيفة والحصول على الإجابة ولكني لا أفعل حقًا احصل على كيف تعمل صيغة النجوم والأشرطة. ارموني بكرة كبح مع عدم مساواة أو قيد مختلف وأنا & # x27m في حيرة. كيف أتعامل مع هذه المشاكل؟

ربما يمكنك العثور على شرح مرئي عبر الإنترنت.

يمكنني تقديم دليل بدون نجوم وبارات. أولاً ، أذكر I & # x27ll النظرية: باستخدام k & gt0، n & gt = 0 ، توجد C (n + k-1، k-1) k-tuples (x1. xk) في Z k مرضية x1. xk & gt = 0 و x1 +. + xk = n.

أنا & # x27ll حث على n + k ، مع الحالات الأساسية n = 0 أو k = 1. When n=0, there's only solution (0,0. 0), and C(0+k-1,k-1) = 1. When k=1, there's only solution (n), and C(n+1-1,1-1) = 1.

Then with n>0 and k>1 break the solutions into two cases, x1=0, or x1>0. In the first case, solutions (0,x2,x3. xk) correspond to solutions (x2,x3. xk) of the same problem with n and k-1, and inductively there are C(n+k-2,k-2) solutions. In the second case, solutions (x1,x2. xk) correspond to solutions (x1-1,x2. xk) of the problem with n-1 and the same k, so C(n+k-2,k-1) solutions.

Using Pascal's recurrence for binomial coefficients,

This is beautifully done however I wouldn't be able to do any proofs by induction until. six more weeks. :-)

Bookmarked and will refer to it once I get to the point of being allowed to use induction on tests.

Here is an "easy" proof for stars and bars.

First, let us represent the equation sum(k-tuple X)=n (xi >= 0 is integer) in graphical form: n objects placed in k boxes.

And again, let's represent that in a different way: as stars (objects) and bars (separations between boxes) in a sequence. As an example, with k = 4 and n = 5, we have 3 bars and 5 stars:
**||**|*
This represents 2 objects in the first box, 0 in the second, 2 in the third, and 1 in the fourth.

We can count the number of possible orderings of stars and bars assuming both stars and bars are distinct: (n + k - 1)!
This is simply because there are (n) + (k - 1) distinct objects.
However, neither stars nor bars are distinct, so to get the number of possible orderings of stars and bars, we need to divide this ordering by (n)! and (k - 1)!, which are the number of orders of distinct stars and bars respectively.

Thus, the number of orderings of stars and bars, and thus the number of solutions to the equation, is (n + k - 1)!/(n)!(k - 1)!, which is equal to C(n + k - 1, k - 1).


شاهد الفيديو: تصوير القمر والنجم عن قرب إبداع بالتصوير.. تبارك الله أحسن الخالقين (شهر نوفمبر 2021).