مقالات

14.2: الفهرس - الرياضيات


14.2: الفهرس - الرياضيات

عندما يكون لدينا نظام من المعادلات الخطية حيث تكون إحدى المعادلات بالصيغة y = text <[stuff]> أو x = text <[stuff]> ، يمكننا حلها جبريًا باستخدام تقنية تسمى الاستبدال. الفكرة الأساسية هي استبدال متغير بتعبير يساوي (لذا فإن التعبير يشبه البديل عن المتغير). على سبيل المثال ، لنبدأ بالنظام:

بما أننا نعلم أن y = 5x ، فيمكننا التعويض بـ 5x عن y في المعادلة 2x - y = 9 ،

ثم حل المعادلة لـ x ،

يمكننا إيجاد y باستخدام أي من المعادلتين. باستخدام الأول: y = 5 boldcdot text-3. وبالتالي

هو الحل لهذا النظام. يمكننا التحقق من ذلك من خلال النظر إلى الرسوم البيانية للمعادلات في النظام:

متأكد بما فيه الكفاية! يتقاطعان عند ( text-3، text-15).

لم نكن نعرف ذلك في ذلك الوقت ، لكننا في الواقع كنا نستخدم التبديل في الدرس الأخير أيضًا. في هذا الدرس ، نظرنا إلى النظام

يبدأ ص = 2 س + 6 ص = نص -3 س - 4 نهاية

وعوضنا 2x + 6 عن y في المعادلة الثانية لنحصل على 2x + 6 = text-3x-4. عد وتحقق بنفسك!


2010 الدرس 14- وظائف الرياضيات

الدالات الرياضية في برمجة VB هي دوال تعالج رقمًا واحدًا أو أكثر وتعيد قيمة. ليست هناك وظائف مختلفة في الرياضيات. على الرغم من أنه يمكننا إنشاء وظائف رياضية مخصصة ، إلا أنه يمكننا توفير الوقت باستخدام درجات وظائف الرياضيات المضمنة في Visual Basic 2010.

14.1 وظيفة Abs

تُرجع الدالة Abs القيمة المطلقة لرقم معين. بناء الجملة هو

* تشير الكلمة الأساسية Math هنا إلى أن وظيفة Abs تنتمي إلى فئة الرياضيات. ومع ذلك ، لا تنتمي جميع وظائف الرياضيات إلى فئة الرياضيات.

14.2 وظيفة Exp

المصاريف لرقم x هي القيمة الأسية لـ x ، أي e x.

مثال 14.1

14.3 وظيفة الإصلاح

تقطع الدالة Fix الجزء العشري من رقم موجب وتُرجع أكبر عدد صحيح أصغر من الرقم. ومع ذلك ، عندما يكون الرقم سالبًا ، فإنه سيعيد أصغر عدد صحيح أكبر من الرقم. على سبيل المثال ، Fix (9.2) = 9 لكن Fix (-9.4) = - 9

مثال 14.2

14.4 وظيفة Int

Int هي دالة تقوم بتحويل رقم إلى عدد صحيح عن طريق اقتطاع الجزء العشري ، ويكون العدد الصحيح الناتج هو أكبر عدد صحيح أصغر من الرقم. على سبيل المثال

14.5 وظيفة السجل

وظيفة السجل هي الوظيفة التي تُرجع اللوغاريتم الطبيعي لرقم. على سبيل المثال ، السجل (10) = 2.302585

مثال 14.3

* سيتم عرض لوغاريتم num1 على الملصق 1

14.6 وظيفة Rnd ()

ترجع الدالة Rnd قيمة عشوائية بين 0 و 1. غالبًا ما تحتاج الأرقام العشوائية إلى التحويل إلى أعداد صحيحة في البرمجة. على سبيل المثال ، إذا كنا نرغب في الحصول على إخراج عشوائي من 6 أعداد صحيحة تتراوح من 1 إلى 6 ، مما يجعل البرنامج يتصرف مثل النرد الافتراضي ، نحتاج إلى تحويل الأرقام العشوائية إلى أعداد صحيحة باستخدام الصيغة Int (Rnd * 6) +1 .

مثال 14.4

في هذا المثال ، ستنشئ Int (Rnd * 6) عددًا صحيحًا عشوائيًا بين 0 و 5 لأن الدالة Int تقطع الجزء العشري من الرقم العشوائي وتعيد عددًا صحيحًا. بعد إضافة 1 ، ستحصل على رقم عشوائي بين 1 و 6 في كل مرة تنقر فيها على زر الأمر. على سبيل المثال ، لنفترض أن الرقم العشوائي الذي تم إنشاؤه هو 0.98 ، بعد ضربه في 6 ، يصبح 5.88 ، وباستخدام دالة العدد الصحيح Int (5.88) ستحول الرقم إلى 5 ، وبعد إضافة 1 ستحصل على 6.

14.7 وظيفة الجولة

تقرب الدالة Round رقمًا إلى عدد معين من المنازل العشرية. الصيغة هي Round (n، m) مما يعني تقريب رقم n إلى م منازل عشرية. على سبيل المثال،

مثال 14.5

* تشير الكلمة الأساسية Math إلى أن وظيفة Round تنتمي إلى فئة Math.


الدرس 14

الغرض من Math Talk هذا هو استنباط الاستراتيجيات والتفاهمات التي يمتلكها الطلاب لاستخدام الأدوات لمقارنة الزوايا. تساعد هذه المفاهيم الطلاب على تطوير الطلاقة وستكون مفيدة لاحقًا في هذا الدرس عندما يحتاج الطلاب إلى أن يكونوا قادرين على مقارنة الزوايا أو إعادة إنتاجها بدقة لرسم أشكال متناوبة.

إطلاق

اعرض مشكلة واحدة في كل مرة. امنح الطلاب وقتًا هادئًا للتفكير في كل مشكلة واطلب منهم إعطاء إشارة عندما يكون لديهم إجابة واستراتيجية. احتفظ بجميع المشاكل معروضة طوال فترة الحديث. اتبع بمناقشة الفصل بأكمله. لا بأس إذا لم تتغلب على جميع المشاكل الأربع.

أي زوج من الزوايا يبدو متطابقًا لكل شكل؟ كيف يمكنك التحقق؟

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

وصف: & ltp & gtA شكل مكون من 3 دوائر متطابقة ، كل منها به دائرة أصغر من أنصاف أقطار مختلفة بالداخل. تقع النقطتان H في الدائرة L و K على الدائرة ، وتقع النقطة G خارج الدائرة ولها زاوية مركزية L H G. لها دائرة أصغر حيث تقع النقطتان Q و R على دائرة نصف قطرها HR والزاوية المركزية QH R. على الدائرة B النقطتان C و O على الدائرة ، والنقطة A خارج الدائرة ولها زاوية مركزية AB C. تحتوي على دائرة أصغر حيث تقع النقطتان P و N على دائرة نصف قطرها NB والزاوية المركزية NB P. على الدائرة E النقطتان W و V تقعان على الدائرة ، وتقع النقطتان D و F خارج الدائرة ولديهما زاوية مركزية DE F .لديه نقطة أصغر حيث تقع النقطتان T و U على الدائرة بنصف قطر TE والزاوية المركزية TE U. يتم رسم الحبال QR و LK على دائرة صغيرة H ، وترسم الحبال PN و CO على الدائرة B ، وترسم الحبال TU و WV على الدائرة E. & lt / p & gt

استجابة الطالب

يمكن للمعلمين الذين لديهم عنوان بريد إلكتروني صالح للعمل النقر هنا للتسجيل أو تسجيل الدخول للوصول المجاني إلى رد الطلاب.

توليف النشاط

اطلب من الطلاب مشاركة استراتيجياتهم لكل مشكلة. سجل واعرض ردودهم ليراها الجميع. لإشراك المزيد من الطلاب في المحادثة ، ضع في اعتبارك أن تسأل:

  • "من يمكنه إعادة صياغة تفكير ( تسطير < hspace <.5in >> )" بطريقة مختلفة؟ "
  • "هل كان لدى أي شخص نفس الإستراتيجية ولكن سيشرحها بشكل مختلف؟"
  • "هل حل أي شخص المشكلة بطريقة مختلفة؟"
  • "هل يريد أي شخص إضافة إلى استراتيجية ( تسطير < hspace <.5in >> ) 's؟"
  • "هل توافق أم لا؟ لماذا؟"

لاحظ أن قياس الزوايا يختلف عن إثبات تطابقها بسبب محدودية أدوات القياس. تأكد من أن جميع الطلاب مرتاحون عند استخدام المنقلة لقياس الزوايا.

إذا لم يذكر الطلاب ، فلا داعي لإحضار الأقواس أو الأوتار أو المثلثات المتطابقة. إذا قام الطلاب بقياس الأوتار أو أطوال الأقواس لمقارنة الزوايا ، فأكد أن الدوائر المستخدمة لتحديد الأقواس أو الأوتار يجب أن تكون بنفس الحجم.


مشروع ستاكس

الاقتراح 94.14.2. اسمحوا $ mathcalيكون مكدسًا جبريًا أعلى من $ S $.

فئة $ mathit( رياضيات_ رياضيات ) $ هي فئة أبيلية Grothendieck. وبالتالي ، فإن $ mathit( رياضيات_ رياضيات ) $ لديه حقن كافية وكل الحدود.

عامل التضمين $ mathit( رياضيات_ رياضيات ) to textit( رياضيات_ رياضيات ) $ له حق ملحق 1

مثل كل حزمة شبه متماسكة $ mathcal$ تعيين المرافقة $ Q ( mathcal) إلى الرياضيات$ هو تماثل.

دليل. هذا الإثبات هو تكرار للإثبات في حالة المخططات ، انظر الخصائص ، الاقتراح 28.23.4 وحالة المسافات الجبرية ، انظر خصائص المسافات ، الاقتراح 64.32.2. ننصح القارئ بقراءة أي من هذه البراهين أولاً.

الجزء (1) يعني $ mathit( رياضيات_ رياضيات ) يحتوي $ (a) على كل colimits ، (b) colimits المفلترة دقيقة ، و (c) به مولد ، انظر الحقن ، القسم 19.10. بواسطة Lemma 94.14.1 colimits في $ mathit( رياضيات_ X) $ موجود ويتفق مع colimits في $ textit( رياضيات_ X) $. حسب الوحدات على المواقع ، فإن Lemma 18.14.2 colimits المفلترة هي بالضبط. ومن ثم (أ) و (ب) عقد.

اختر عرضًا تقديميًا $ mathcal = [U / R] $ بحيث يكون $ (U، R، s، t، c) $ مجموعة سلسة في الفراغات الجبرية وعلى وجه الخصوص $ s $ و $ t $ هي أشكال مسطحة للمسافات الجبرية. بواسطة Lemma 94.14.1 أعلاه لدينا $ mathit( رياضيات_ رياضيات ) = mathit(U، R، s، t، c) $. بواسطة Groupoids في Spaces ، Lemma 76.13.2 توجد مجموعة $ T $ وعائلة $ ( mathcal_ ر) _$ من الحزم شبه المتماسكة على $ mathcal$ مثل أن كل حزمة شبه متماسكة على $ mathcal$ هو colimit الموجه لأغزته الفرعية المتشابهة مع أحد $ mathcal_ t $. وهكذا $ bigoplus _ t mathcal_ t $ هو منشئ $ mathit( رياضيات_ X) $ ونستنتج أن (ج) يحمل. التأكيدات على الحدود والحقن موجودة في أي فئة من فئات Grothendieck abelian ، انظر Injectives، Theorem 19.11.7 and Lemma 19.13.2.

إثبات رقم (2). لإنشاء $ Q $ نستخدم الإجراء العام التالي. إعطاء كائن $ mathcal$ من $ textit( رياضيات_ رياضيات ) $ نحن نعتبر الممثّل

يحول هذا المنظف colimits إلى حدود ، وبالتالي يمكن تمثيله ، انظر Injectives، Lemma 19.13.1. وبالتالي توجد حزمة شبه متماسكة $ Q ( mathcal) $ والتشابه الجنائزي $ mathop < mathrm> nolimits _ mathcal ( رياضيات، mathcal) = mathop < mathrm> nolimits _ mathcal ( رياضياتس ( mathcal)) $ مقابل $ mathcal$ في $ mathit( رياضيات_ رياضيات ) $. بواسطة Yoneda lemma (Categories، Lemma 4.3.5) البناء $ mathcal leadsto Q ( mathcal) $ جنائزية بـ $ mathcal$. من خلال البناء ، يعتبر $ Q $ ملحقًا صحيحًا لمحول التضمين. حقيقة أن $ Q ( mathcal) إلى الرياضيات$ هو تماثل عند $ mathcal$ is شبه متماسك هو نتيجة رسمية لحقيقة أن عامل التضمين $ mathit( رياضيات_ رياضيات ) to textit( رياضيات_ رياضيات ) $ مخلص تمامًا. $ مربع $


مصداقية وصلاحية واستجابة النسخة الفرنسية من الاستبيان الإعاقة السريعة لاضطرابات الذراع والكتف واليد في الكتف

قمنا بتقييم موثوقية وصلاحية واستجابة النسخة الفرنسية القصيرة من مقياس إعاقة الذراع والكتف واليد / أعراض (F-QuickDASH-D / S) في المرضى الذين يعانون من اضطرابات الكتف. استخرجنا ردود عنصر QuickDASH من الردود على استبيان DASH الكامل الذي أكمله 153 مريضًا. بالإضافة إلى جمع البيانات الديموغرافية والسريرية ، تم تسجيل التقييم الذاتي لأنشطة الحياة اليومية (ADL) ، ونطاق الحركة النشط (ROM) ، وقياس قوة الاختطاف (القوة) باستخدام المقياس الثابت. كان معامل كرونباخ ألفا 0.89. كان معامل الارتباط داخل الصف 0.94 ، مما يشير إلى موثوقية اختبار-إعادة اختبار ممتازة. ارتباط درجة F-QuickDASH-D / S بنتائج F-DASH-D / S (r = 0.96) ، الإعاقة (r = 0.79) ، ADL (r = -0.73) ، الألم أثناء الأنشطة (r = 0.63) ، القوة (r = -0.58) ، الألم عند الراحة (r = 0.57) و ROM (r = -0.51) تشير إلى صلاحية البناء الجيدة. حدد التحليل العاملي عاملين يمثلان 59.1٪ من التباين. كانت استجابة F-QuickDASH-D / S ممتازة ، مع متوسط ​​استجابة معياري وقيم حجم تأثير 1.09 و 1.23 على التوالي. تتميز F-QuickDASH-D / S بالموثوقية الجيدة وبناء الصلاحية والاستجابة. تشير العلاقة القوية بين درجتها ودرجات مقياس DASH-D / S كاملة الطول إلى أن QuickDASH-D / S قد يكون المقياس المفضل لأنه أسهل في الاستخدام.


حزم Debian Edu Mathematics

AlgoBox هو مساعد لإنشاء الخوارزمية وتنفيذها ، يستهدف طلاب المدارس الثانوية الفرنسية. يعتمد على منطق تعليمي (التعلم من خلال الهياكل المنطقية بدلاً من تكديس سطور التعليمات البرمجية).

Cantor هو تطبيق يسمح لك باستخدام تطبيقاتك الرياضية المفضلة من داخل واجهة ورقة عمل أنيقة. يوفر حوارات للمساعدة في المهام الشائعة ويسمح لك بمشاركة أوراق العمل الخاصة بك مع الآخرين.

يدعم كانتور العديد من التطبيقات الرياضية كخلفية (متوفرة في حزم خارجية):

  • نظام الجبر الحاسوبي Maxima (cantor-backend-maxima)
  • مشروع R للحوسبة الإحصائية (cantor-backend-r)
  • برنامج الرياضيات سيج (cantor-backend-sage)
  • أوكتاف (كانتور-خلفية-أوكتاف)
  • Python (cantor-backend-python3)
  • Scilab (cantor-backend-scilab)
  • كالكولاتي! (cantor-backend-qalculate)
  • لوا (كانتور باكيند لوا)
  • جوليا (جوليا كانتور باكيند)

هذه الحزمة جزء من وحدة تعليم كيدي.

استنادًا إلى C.a.R. (البوصلة والمسطرة) ، CaRMetal يشمل جميع وظائفه - أو تقريبًا. يقترح نهجًا مختلفًا عن وجهة نظر الواجهة الرسومية.

يمكن تغيير إنشاءات المسطرة والبوصلة عن طريق سحب إحدى نقاط البناء الأساسية. يتبع البناء على الفور. يمكن للطالب التحقق من صحة البناء واكتساب رؤية جديدة.

يمكن أن تساعد مسارات النقاط والإنشاءات المتحركة في فهم العلاقات الهندسية. يمكن استخدام المسارات كأشياء جديدة لاستكشافها.

مع وحدات الماكرو الخاصة بـ C.a.R. أصبحت الإنشاءات المعقدة للغاية ممكنة. وحدات الماكرو هي أيضًا طريقة لتنظيم التفكير الهندسي.

إخفاء تفاصيل البناء واستخدام الألوان يجعل قراءة الإنشاءات أوضح. في C.a.R. يمكن أيضًا اختزال الخطوط والدوائر إلى النقاط ذات الصلة.

الحسابات الحسابية والحلول العددية والمنحنيات والوظائف تتجاوز الإنشاءات الكلاسيكية. من الممكن أيضًا إنشاء ثلاثي الأبعاد باستخدام وحدات ماكرو متقدمة.

يمكن استكشاف أشكال هندسية أخرى ، زائدية أو إهليلجية.

لقطات أخرى لحزمة carmetal
إصدارURL
3.5.2 + dfsg-1.1https://screenshots.debian.net/shrine/screenshot/18331/simage/large-1f8e66b88d19c8ed408b6518a493c04e.png

حزمة لإعادة تنظيم فروع القائمة من أجل الحصول على هيكل سهل الاستخدام للمعلمين والطلاب.

GeoGebra - это система динамической геометрии. ы можете делать построения с точками، векторами، линиями، коническими сечениями، амакже уснкзд. С другой стороны ، уравнения و координаты могут быть ведены напрямую.

Обеспечена поддержка многих геометрических построений، а также поддержка многих элементарных инструментов، основанных на дифференциальном и интегральном исчислении (производные، соприкасающаяся окружность.).

айлы GeoGebra могут быть кспортированы во множество других ворматов или представлены виде интены.

Geomview - то интерактивная геометрическая программа، которая предназначена для математических иследований. В астности، geomview может показывать предметы как в гиперболическом и сферическом пространстве، тостранстве، тостранстве، тостранстве.

Geomview الصفحة الرئيسية большое количество независимо контролируемых объектов и камер. Возможен интерактивный контроль за движением، внешними факторами (включая освещение، затемнение и материалы)، выбор уровня редактирования - объекта، ребра или вершины، сохранение изображения в формате SGI или ريندر مان RIB، добавление и удаление объектов непосредственно с помощью мыши، панели управления и клавиатурных комбинаций . Внешние программы могут управлять нужными аспектами просмотра (включая продолжительное изменение геометрии или контролирование движения определённых объектов) одновременно с интерактивным контролем всего остального.


14. اللحظات والتوازن

• العزم الناتج للقوى على الجسم حول جميع النقاط يجب أن يكون صفراً.

في بعض الأحيان يكون حل المشكلة أكثر ملاءمة باستخدام اللحظات فقط.

طول الشعاع المنتظم 8 م وكتلته 60 كجم. يتم تعليقه بواسطة حبلين ، كما هو موضح في الرسم البياني أدناه.

أوجد الشد في كل حبل.

يوضح الرسم التخطيطي القوى المؤثرة على الحزمة.

خذ لحظات حول النقطة التي يعمل فيها T1 على إعطاء:

خذ لحظات حول النقطة التي يعمل فيها T2 لإعطاء:

أخيرًا للتوازن الرأسي ، نحتاج إلى displaystyle <_<1>>+<_ <2>> = 588 ، والتي يمكن استخدامها للتحقق من التوترات. في هذه الحالة لدينا:

شعاع كتلته 50 كجم وطوله 5 م ، يرتكز على دعامتين كما هو موضح في الشكل. أوجد مقدار قوة رد الفعل التي تمارسها كل دعامة.

أوجد الكتلة القصوى التي يمكن وضعها على طرفي الحزمة إذا كانت ستبقى في حالة اتزان.

يوضح الرسم التخطيطي القوى المؤثرة على الحزمة.

أخذ لحظات حول النقطة التي يعطي فيها تأثير R1:

displaystyle start & amp 2 مرات <_ <2>> = 1 textrm <.> 5 times 490 & amp <_ <2>> = frac <1 textrm <.> 5 times 490> <2> = 367 textrm <.> 5 = 368 text end

أخذ لحظات حول النقطة التي يعطي فيها تأثير R2:

displaystyle start & amp 2 مرات <_ <1>> = 0 textrm <.> 5 times 490 & amp <_ <1>> = frac <0 textrm <.> 5 times 490> <2> = 122 textrm <.> 5 = 123 text end

للتوازن العمودي نحتاج displaystyle <_<1>>+<_ <2>> = 490 ، والتي يمكن استخدامها للتحقق من التوترات. في هذه الحالة لدينا:

ضع في اعتبارك أولاً الكتلة الأكبر التي يمكن وضعها في الطرف الأيسر من الحزمة. يوضح الرسم البياني أدناه القوة الإضافية التي يجب أخذها في الاعتبار الآن. عند استخدام أقصى كتلة ممكنة ، displaystyle <_<2>>=0 .

أخذ لحظات حول النقطة التي يعطي فيها تأثير R1:

displaystyle start & amp 1 times mg = 1 textrm <.> 5 times 490 & amp m = frac <1 textrm <.> 5 times 490> <9 textrm <.> 8> = 75 text النهاية

وبالمثل بالنسبة للكتلة الموضوعة على الطرف الأيمن من الشعاع:

displaystyle start & amp 2 times mg = 0 textrm <.> 5 times 490 & amp m = frac <0 textrm <.> 5 times 490> <2g> = 12 textrm <.> 5 text النهاية

ومن ثم فإن أكبر كتلة يمكن وضعها على طرفي العارضة هي 12.5 كجم.

يميل سلم طوله 3 م وكتلته 20 كجم على جدار رأسي أملس بحيث تكون الزاوية بين الأرض الأفقية والسلم 60 displaystyle <> ^ circ.

أ) أوجد مقدار الاحتكاك وقوى التفاعل العادية التي تعمل على السلم ، إذا كان في حالة توازن.

ب) أوجد أدنى قيمة لمعامل الاحتكاك بين السلم والأرض.

يوضح الرسم التخطيطي القوى المؤثرة على السلم

أ) النظر في القوى الأفقية يعطي:

بالنظر إلى القوى الرأسية يعطي:

أخذ لحظة حول قاعدة السلم يعطي:

displaystyle F = S ، قوة الاحتكاك لها حجم displaystyle 56 textrm <.> 6 text .

ب) باستخدام عدم المساواة الاحتكاك ،

displaystyle F le mu R يعطي:

displaystyle start & amp frac <196> <2 tan 60 <> ^ circ> le mu times 196 & amp mu ge frac <1> <2 tan 60 <> ^ circ> & amp mu ge 0 textrm <.> 289 text <(to 3sf)> end


نظرية الأعداد: في السياق والتفاعل

هناك العديد من الأسئلة الشيقة التي يمكن للمرء أن يطرحها حول مجموع المربعات التي لم نتطرق إليها حتى. كل منها جدير جدًا بالدراسة المستقلة من قبل الطلاب الجامعيين ، كما أنها مثالية لاستكشاف الكمبيوتر.

القسم الفرعي 14.2.1 جمع المزيد من المربعات

حقيقة 14.2.1. مجموع ثلاثة مربعات.

يمكن كتابة عدد صحيح موجب كمجموع ثلاثة المربعات إذا وفقط إذا حدث ذلك ليس لها شكل منتج حتى في ضعف قوة الفردية الرقم المطابق لسبعة مقياس ثمانية.

دليل .

سوف نتخطى الدليل ، لكننا انظر التمرين 14.4.4 والتمرين 14.4.6.

قد يعتقد المرء في هذه المرحلة أنه حتى مجموع المربعات العشوائي قد لا يمثل كل رقم ، لكن لدينا هذه النتيجة (انظر أيضًا التمرين 14.4.7) ، التي حدسها صديقنا القديم Bachet أولاً.

حقيقة 14.2.2. نظرية لاجرانج الأربعة.

يمكن كتابة أي عدد صحيح غير سالب كمجموع أربعة مربعات.

دليل .

توجد براهين جبرية تستخدم حقائق مشابهة للحقيقة 14.1.8 ، وأيضًا براهين هندسية تستخدم (Minkowkskian ، راجع الملاحظة 13.4.1) أفكارًا مشابهة لتلك الموجودة في القسم الفرعي 13.4.4. كلا النوعين من الإثبات مثيران للاهتمام ، لأنه من ناحية ، يمكن أن يستخدم البرهان الجبري امتداد الأعداد المركبة المسماة 2 ، بينما يُظهر البرهان الهندسي من ناحية أخرى أن الأفكار الهندسية يمكن أن تعمل في أكثر من بعدين.

يمكن للمرء أن يعمم بعدة طرق.

مثال 14.2.3.

على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يسأل كيف عديدة الطرق التي يمكن للمرء أن يكتب بها عددًا كمجموع من ثلاثة ، أربعة ، إلخ. في التمرين 13.7.7 عرّفنا (r_2 (n) ) بإعطاء عدد من طرق الكتابة (n ) كمجموع من مربعين ، ستكون الوظائف المكافئة هنا (r_k (n) ) لـ (n geq 1 text <.> ) في هذه الحالة ، يمكن ذكر نظرية المربع الأربعة أعلاه بشكل أكثر إيجازًا

ولكن بشكل عام ، قد يرغب المرء في أن يكون قادرًا على حساب هذا ، أو إعطاء حدود له كدالة لـ (n text <.> ) إذا كنت لا تستطيع الانتظار لمعرفة المزيد عن نوع الأشياء المعروفة عنها (r_k (n) text <،> ) راجع النظرية 25.8.1.

القسم الفرعي 14.2.2 ما وراء المربعات

هناك اتجاهات أخرى يمكن للمرء أن يعمم بها أسئلتنا. على سبيل المثال:

السؤال 14.2.4.

ما هي الأرقام التي يمكن كتابتها كمجموع ...

لقد أتضح أن أي يمكن كتابة العدد في صورة مجموع تسعة مكعبات على الأكثر. في النصف الأول من القرن العشرين ، أثبت عالم الرياضيات الأمريكي إل إي ديكسون ذلك ، وبمساعدة جداول كبيرة جدًا تم إنشاؤها يدويًا بواسطة بعض مساعديه (قبل ظهور الحاسوب الرقمي!) أظهر أن كل رقم باستثناء (23 ) و (239 ) يمكن تمثيله بثمانية مكعبات أو أقل!

بالتناوب ، يمكن للمرء أن يحافظ على عدد القوى كما هو ، لكن مع تغيير القوى.

السؤال 14.2.5.

ما هي الأرقام التي يمكن كتابتها كمجموع ...

يجب ألا يتردد القارئ في استكشاف هذا الأمر في التمرين 14.4.8. لاحظ أن إجابات القوى الفردية ستكون مختلفة تمامًا إذا سمح أحدهم بأرقام سالبة! للحصول على مثال حديث للنظرية التي تعمل بحسابات ضخمة ، راجع هذا المقال حول كتابة (33 ) كمجموع من ثلاثة مكعبات 3.

حان الوقت الآن لتذكر مناقشاتنا في القسم 3.4 ، المشار إليها في الملاحظة 13.1.4. في هذه الحالة ، كنا نبحث بشكل أساسي عن حلول صحيحة لـ

في الواقع ، قمنا بتمييز هذه الثلاثيات (x ، y ، z ) في نظرية 3.4.6.

لكن يمكننا إعادة تفسير هذا على أنه سؤال في هذا السياق - متى يكون ملف مربع ممتاز مجموع مربعين؟ في هذه الحالة ، يمكن أن يكون السؤال السابق أكثر تخصصًا:

السؤال 14.2.6.

يمكن كتابة المكعبات في صورة مجموع مكعبين؟

يمكن كتابة القوى الرابعة كمجموع اثنين من القوى الرابعة؟

ماذا عن (n ) القوى ال؟ ما هي الحلول (عدد صحيح) هناك لهذا؟

في العادة ، بصفتي مؤلفًا ، سأرسل الآن للقارئ لاستكشاف بعض هذه الأسئلة في التمرين 14.4.9. ومع ذلك ، كما رأينا في التمرين 3.6.17 (انظر المناقشة في Corollary 3.4.13) ، أثبت Fermat بالفعل أنه بخلاف الحلول التافهة (مثل كتابة (0 ^ 4 + (- 1) ^ 4 = 1 ^ 4 ) )) لم تكن هناك حلول في الحالة (n = 4 text <.> ) هذه أبسط حالة للحقيقة 14.2.7. أويلر تقريبا أثبتت نفس العبارة لـ (n = 3 text <،> ) لكنها قدمت افتراضًا خفيًا - نفس الافتراض الذي سنبحثه قريبًا في مناقشة الحقيقة 15.3.5 (كما هو الحال هناك ، انظر [E.4.14] للحصول على دليل صحيح ).

هناك مجال ضخم (نظرية الأعداد الجبرية) نشأ من هذا ، لكننا لن نتعمق فيه أكثر. إذا كنت تتذكر المناقشة الواردة في القسم الفرعي 11.6.4 ، فقد اتضح أن Germain قد حقق في الأصل (n ) في الحالة التي يكون فيها أحد الأرقام المعروفة الآن باسم Germain primes (استدعاء القسم الفرعي 11.6.4) ، والكثير من المجال تطورت نظرية الأعداد الجبرية من متابعة هذا السؤال في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. أخيرًا في عام 1995 ، أثبت أندرو وايلز ، جنبًا إلى جنب مع تلميذه السابق ريتشارد تايلور ، النتيجة التالية من خلال تحقيق عميق للغاية (من بين أشياء أخرى) للمنحنيات الإهليلجية (تذكر الإشارة الموجزة في القسم 3.5).

حقيقة 14.2.7. نظرية فيرما الأخيرة.

بالنسبة إلى (n & gt2 text <،> ) لا توجد ثلاثة أعداد صحيحة موجبة (x ، y ، z ) بحيث

دليل .

Hanc marginis exiguitas non caperet.

القسم الفرعي 14.2.3 مشكلة وارنج

طلب عالم الرياضيات الإنجليزي إدوارد وارينج تعميمًا شائنًا لهذه الأسئلة المتعلقة بمجموع القوى ، والتي لا تزال مجالًا نشطًا للبحث يسمى. النتيجة الأكثر أهمية مذهلة حقًا.

حقيقة 14.2.8. نظرية هيلبرت وارنج.

لكل قوة عدد صحيح موجب (م نص <،> ) يوجد رقم (ز (م) ) بحيث كل يمكن كتابة عدد صحيح غير سالب كمجموع (g (m) ) (m ) th.

حتى أن هناك صيغة محتملة

تم التحقق من هذا من أجل (م ) لملايين عديدة ، ومن المتوقع أن يكون صحيحًا دائمًا. يشير ديكسون المذكور أعلاه إلى أن هذه الصيغة تم تخمينها لأول مرة من قبل نجل أويلر ، يوهان ألبريشت.


14.2: الفهرس - الرياضيات

ربيع 2015 - كريس بينر

ملاحظة: تشير الأرقام إلى الجبر المجرد Dummit & amp Foote ، الطبعة الثالثة.

HW1. 9.2: 2. 9.3:1,2,4. 9.4:1 ب ، 2 ب ، 6 أ ، 8. 9.5:2. إما 9.4:4 أو 9.5:3.
HW2. 11.1:1,2,3,4,6,8,9. 11.2:1 ، 11 أب.
HW3. 11.2: 2،8،10،11 ج ، 12. 11.3: 1,2,3,4.
HW4. 11.4: 2. 10.1: 1,4,5,6,7,8,9,10,11.
HW5. 10.2: 4,5,6,9,10,11. 10.3: 3,4,5,7,12,13.
HW6. 10.3: 18,19. 12.1: 2,3,4,5,6,7,8,11.
HW7. 13.1: 2,3,4. 13.2: 3,4,5,7,10,13,14. 13.4: 1.
HW8. 13.3: 1,5. 13.4: 2,3,4,5,6. 13.5: 8. 14.1: 4.
HW9. 14.1: 2,3,5. 14.3: 1,2,4,5. 14.4: 2,6.
HW10. 14.2: 1,2,3,4,10,14. 14.6: 17,20.
HW11. 14.6: 2abd، 4،5. 14.7: 2.
HW12. 12.2: 7,9,10,11. 12.3: 1,6,9.


الرياضيات 730 الواجبات المنزلية خريف 2014

HW1: 0.3:15 ج. 1.1:1,6,9,12,13,22,25,28. 1.4:10.
HW2: 2.1:1cd، 4،6،7،8،11. 1.2:1 ب ، 3. 1.3:2,3,19.
HW3: 2.2:3,7. 2.4:5،14bd. 1.6:2,7,11,17,18,19.
HW4: 2.3:3 ، 10 ، 12 ج ، 13 ، 15. 2.4:15،16 قبل الميلاد ، 18. 2.5:9,12. 3.2:6.
HW5: 3.1:3,24,34,36,39,41,42. 3.2:4,5,8,18,23.
HW6: 3.1:17,20,37,38. 3.2:10,11. 3.3:3,4,7. 3.5:4.
HW7: 3.4:2,4. 3.5:12. 4.6:2. 5.1:1,10,14. 5.2:2 أ ب ، 3 أ ب ، 7 ، 10.
HW8: 1.7:14,15. 4.3:2 أ ، 3 أ ، 5 ، 6 ، 30. 4.1:1.6 ج. 4.2:3 أ ، 14.
HW9: 4.5:5,7,13,16,18,19. 7.1:1،5cef ، 6ce ، 15،21.
HW10: 7.1:7 ، 11 ، 13 ب ، 16 ، 18. 7.2:3 ج ، 4. 7.3:1 ، 2 ، 4 ، 12 ب ، 17 أ.
HW11: 7.3:7،8abc، 10abcef، 19،24،29. 7.4:7,9,10,15,16,30.
HW12: 9.1:4,5,6,13. 9.2:5 ، 6 أب. 7.5:3. 7.6:3. 8.1:3,9. 8.2:5. 8.3:5.

الجسر الرباعي (جسر بروم) دبلن:


شاهد الفيديو: كيف كان امتحان الرياضيات لطلبة التوجيهي (شهر نوفمبر 2021).