مقالات

16.3: دور الجبر لبيانات Mulitplex - الرياضيات


لنفترض أننا كنا نبحث في مصفوفة واحدة حول من كان أصدقاء من. من الطرق الواضحة لوصف ما نراه هو تصنيف كل زوج على أنهما "أصدقاء" أو "ليسوا أصدقاء". ولكن الآن ، دعنا نوسع تحليلنا خطوة أخرى (أو ننظر إلى مسارات بطول 2). الآن يمكن وصف كل زوج من الممثلين بأنه صديق ، وليس صديق ، أو صديق صديق ، أو صديق غير صديق ، أو غير صديق صديق ، أو غير صديق لغير صديق. إذا أردنا النظر في مسارات بطول ثلاثة ... حسنًا ، تحصل على الفكرة.

إن فكرة "دور الجبر" هي فهم العلاقات بين الجهات الفاعلة على أنها تحقيق "للمركبات" الممكنة منطقيًا لعلاقات أطوال مسارات مختارة. في أغلب الأحيان في تحليلات الشبكة ، نركز على مسار الطول الأول (هناك ممثلان متصلان أم لا). ولكن ، في بعض الأحيان يكون من المفيد وصف رسم بياني بأنه يحتوي على أنواع أكثر تعقيدًا من العلاقات (صديق صديق ، وليس صديق صديق ، وما إلى ذلك). يمكن الحصول على قوائم من هذه الأنواع من العلاقات عن طريق أخذ منتجات المصفوفات المنطقية (أي 0 * 0 = 0 ، 0 * 1 = 0 ، 1 * 0 = 0 ، و 1 * 1 = 1). عند تطبيقها على مصفوفة مفردة ، نرفع المصفوفة إلى قوة (نضربها في نفسها) ونأخذ حاصل الضرب المنطقي ؛ تولد النتيجة مصفوفة تخبرنا ما إذا كانت هناك علاقة بين كل زوج من العقد بطول مسار يساوي القوة. أي ، لمعرفة ما إذا كان كل زوج من الممثلين مرتبطين بعلاقة "صديق صديق" ، فإننا نأخذ مربع الناتج المنطقي لمصفوفة الصداقة.

يمكن تطبيق هذه الطريقة (الأنيقة ، ولكن الغامضة) لإيجاد "العلاقات المركبة" على بيانات تعدد الإرسال كطريقة لتحديد أنواع العلاقات الموجودة في الرسم البياني متعدد الإرسال. ال تحويل> نصف مجموعة يمكن استخدام الخوارزمية لتحديد هذه الأنواع النوعية الأكثر تعقيدًا من العلاقات بين العقد.

يسهل على معظم الناس فهم هذا بمثال أكثر من فهمه في الملخص. لذلك دعونا نجري فحصًا موسعًا إلى حد ما لبيانات Knoke لكل من المعلومات وعلاقات المال.

إذا نظرنا إلى العلاقات المباشرة فقط ، فهناك نوعان: يمكن ربط المنظمات بالمعلومات ؛ يمكن ربط المنظمات بالمال. ماذا لو اعتبرنا العلاقات من خطوتين (ما يسمى "أطوال الكلمات" في دور الجبر)؟ بالإضافة إلى العلاقات الأصلية ، هناك الآن أربع علاقات أخرى:

  • عندما نضاعف مصفوفة المعلومات من خلال تحويلها ونأخذ منتجات Boolean ، فإننا نحدد الروابط مثل "إرسال معلومات إلى عقدة ترسل المعلومات إلى ..."
  • عندما نضرب مصفوفة الأموال في تحويلها ونأخذ المنتجات المنطقية ، فإننا نحدد الرابط: "إرسال الأموال إلى العقدة التي ترسل الأموال إلى ..."
  • عندما نضرب مصفوفة المعلومات في مصفوفة المال ، فإننا نحدد العلاقة: "إرسال المعلومات إلى العقدة التي ترسل الأموال إلى ..."
  • عندما نضرب مصفوفة الأموال في مصفوفة المعلومات ، فإننا نحدد العلاقة: "إرسال الأموال إلى عقدة ترسل المعلومات إلى ..."

هذه العلاقات الأربعة الجديدة (المكونة من خطوتين) بين العقد هي "كلمات" بطول اثنين ، أو "مركبات".

من الممكن ، بالطبع ، الاستمرار في التعقيد إلى أطوال أكبر. في معظم التحليلات الاجتماعية التي تحتوي على نوعين فقط من الروابط ، نادرًا ما تكون الأطوال الأطول ذات مغزى جوهري. مع وجود المزيد من أنواع الروابط ، يمكن أن يصبح عدد أنواع العلاقات المركبة كبيرًا جدًا بسرعة كبيرة.

الأداة تحويل> نصف مجموعة يحسب جميع أنواع العلاقات المركبة الممكنة منطقيًا حتى طول الكلمة (أي مسافة الشبكة) التي يحددها المستخدم. ينتج ملف سجل يحتوي على "خريطة" لأنواع العلاقات ، كما نرى في الشكل 16.9. كما أنه ينتج ، في ملف منفصل ، مصفوفات تجاور لكل نوع من أنواع العلاقات (الشكلان 16.10 و 16.11).

الشكل 16.9: نصف مجموعات من الكلمات ذات الطول 2 لشبكات المال والمعلومات Knoke

يخبرنا الناتج أنه كانت هناك علاقتان (المعلومات والمال). كانت هذه "المولدات" التي تم استخدامها لإنشاء الأنواع. تم إنشاء ستة علاقات مركبة محتملة لطول الكلمة 2 (تم تحديده أسفل الجانب الأيسر). العلاقات 1 و 2 هي معلومات وأموال بشكل فردي - المصفوفات الأصلية. العلاقة 3 هي مركب من المعلومات مع نفسها ؛ العلاقة أربعة هي مركب المعلومات مع المال ، إلخ. الأرقام (3 ، 4 ، 5 ، 6) هي ببساطة أدلة إلى أي مصفوفة في ملف الإخراج تشير إلى أي علاقة.

من هذه "الأنواع" الجديدة من العلاقات (التي هي مركبات داخل وبين نوعي الروابط) يمكننا إنشاء مصفوفات تجاور جديدة توضح أزواج الجهات الفاعلة التي ينضم إليها كل نوع معين من العلاقات. يتم تقديم هذه كسلسلة من مصفوفات الجوار ، كما هو موضح في الشكل 16.10 وتستمر في الشكل 16.11.

شكل 16.10: جداول العلاقات للشكل 16.9 (الجزء 1)

المصفوفة 1 هي ببساطة مصفوفة المعلومات الأصلية ؛ المصفوفة 2 هي مصفوفة المال الأصلية. المصفوفة 3 هي مركب المعلومات مع المعلومات - أي الجهات الفاعلة مرتبطة بعلاقة "ترسل Ego معلومات إلى شخص يرسل معلومات إلى Alter"؟

شكل 16.11: جداول العلاقات للشكل 16.9 (الجزء 2)

المصفوفة 4 هي مركب النقود مع نفسها ، أو "Ego ترسل الأموال إلى شخص يرسل المال إلى Alter".

المصفوفتان 5 و 6 هي ، في بعض النواحي ، الأكثر إثارة للاهتمام. في حين أن تبادل المعلومات للحصول على المعلومات والمال مقابل المال من الطرق الواضحة التي يمكن من خلالها دمج الشبكة ، فمن الممكن أيضًا أن يتم دمج الجهات الفاعلة من خلال العلاقات التي تشمل كل من "التفاح" و "البرتقال". وهذا يعني أنني قد أرسل أموالاً وأتلقى معلومات ؛ يمكنني إرسال المعلومات والحصول على المال.

لقد أثبت جبر الدور أنه ذو قيمة خاصة في دراسة علاقات القرابة ، حيث يتم تسجيل العلاقات عبر الأجيال (الوالدين / الأبناء) في مصفوفة واحدة ويتم تسجيل العلاقات داخل الجيل في أخرى. المركبات المختلفة (مثل "ابن الطفل" ، "ابن الأخ") بسهولة إلى حد ما تحمل المصطلحات ذات المعنى في علاقات القرابة.


الوعي بالنمط والبنية في التطور الرياضي المبكر

وجهت الأبحاث التربوية الحديثة الانتباه المتزايد إلى التطوير الهيكلي للتفكير الرياضي للطلاب الصغار. الجبر المبكر ، والتفكير الضربي ، والهيكلة المكانية هي ثلاثة مجالات مركزية لهذا البحث. هناك أدلة متزايدة على أن الوعي بالبنية الرياضية أمر بالغ الأهمية للكفاءة الرياضية بين الأطفال الصغار. الغرض من هذه الورقة هو اقتراح بنية جديدة ، الوعي بالنمط والبنية الرياضية (AMPS) ، والتي يمكن قياسها بشكل موثوق عبر المفاهيم الرياضية ، وترتبط بالفهم الرياضي العام. نحن نقدم أدلة داعمة مستمدة من دراسة 103 من طلاب الصف الأول.

هذه معاينة لمحتوى الاشتراك ، والوصول عبر مؤسستك.


أمثلة

تعديل OFDM على هوائيين

OFDM- يعدل مدخلات معبأة بالكامل على هوائيين إرسال.

بدء معلمات الإدخال وتوليد بيانات عشوائية وإجراء تشكيل OFDM.

تطبيق OFDM تعيين الحاملات الفرعية الفارغة

يطبق التشكيل OFDM مع تخصيص موجات فرعية فارغة.

تهيئة معلمات الإدخال وإنشاء بيانات عشوائية.

تعدل QAM البيانات. أداء تعديل OFDM.

أداء تعديل OFDM المتغيرة البادئة الدورية لكل رمز

نفذ تشكيل OFDM لإدخال إشارة بيانات مجال تردد متغير طول البادئة الدورية المطبقة على كل رمز.

تهيئة معلمات الإدخال وإنشاء بيانات عشوائية.

تعدل QAM البيانات. أداء تعديل OFDM.

تطبيق OFDM على إشارة QPSK مضاعفة مكانيًا على هوائيين

تطبيق التشكيل OFDM على إشارة QPSK التي يتم إرسالها مكانيًا عبر هوائيين إرسال.

تهيئة معلمات الإدخال وإنشاء بيانات عشوائية لكل هوائي.

يعدل QPSK البيانات بشكل فردي لكل هوائي. أداء تعديل OFDM.

تعديل OFDM مع التعبئة الخالية والتعليمية

إدخال البيانات بتعديل OFDM ، مع تحديد التعبئة الصفرية والتجريبية.

قم بتهيئة معلمات الإدخال ، وتحديد مواقع الموجات الحاملة الفرعية الفارغة والدليلة. توليد بيانات عشوائية وإجراء تعديل OFDM.


1. الدافع & # 8211 لماذا تعلم الجبر الخطي؟

أود أن أقدم 4 سيناريوهات لعرض أهمية تعلم الجبر الخطي ، إذا كنت تتعلم علوم البيانات والتعلم الآلي.

السيناريو 1:

ماذا ترى عندما تنظر إلى الصورة أعلاه؟ على الأرجح قلت زهرة ، أوراق - ليس صعبًا جدًا. ولكن ، إذا طلبت منك كتابة هذا المنطق حتى يتمكن الكمبيوتر من فعل الشيء نفسه من أجلك & # 8211 ، فستكون مهمة صعبة للغاية (على أقل تقدير).

لقد تمكنت من التعرف على الزهرة لأن الدماغ البشري قد مر ملايين السنين من التطور. لا نفهم ما يدور في الخلفية حتى نتمكن من معرفة ما إذا كان اللون في الصورة أحمر أم أسود. لقد قمنا بطريقة ما بتدريب أدمغتنا على أداء هذه المهمة تلقائيًا.

لكن جعل الكمبيوتر يقوم بالمهمة نفسها ليس بالمهمة السهلة ، وهو مجال نشط للبحث في التعلم الآلي وعلوم الكمبيوتر بشكل عام. لكن قبل أن نعمل على تحديد السمات في صورة ما ، دعونا نفكر في سؤال معين - كيف تخزن الآلة هذه الصورة؟

ربما تعلم أن أجهزة الكمبيوتر اليوم مصممة لمعالجة 0 و 1 فقط ، فكيف يمكن لصورة مثل أعلاه ذات سمات متعددة مثل اللون أن يتم تخزينها في جهاز كمبيوتر؟ يتم تحقيق ذلك من خلال تخزين شدة البكسل في بنية تسمى مصفوفة. بعد ذلك ، يمكن معالجة هذه المصفوفة لتحديد الألوان وما إلى ذلك.

لذا فإن أي عملية تريد تنفيذها على هذه الصورة من المحتمل أن تستخدم الجبر الخطي والمصفوفات في النهاية الخلفية.

السيناريو 2:

إذا كنت معتادًا إلى حد ما على مجال علوم البيانات ، فربما تكون قد سمعت عن العالم & # 8220XGBOOST & # 8221 & # 8211 ، وهي خوارزمية يستخدمها الفائزون في مسابقات علوم البيانات بشكل متكرر. يقوم بتخزين البيانات الرقمية في شكل مصفوفة لإعطاء تنبؤات. إنه يمكّن XGBOOST من معالجة البيانات بشكل أسرع وتقديم نتائج أكثر دقة. علاوة على ذلك ، ليس XGBOOST فقط ولكن العديد من الخوارزميات الأخرى تستخدم المصفوفات لتخزين البيانات ومعالجتها.

السيناريو 3:

التعلم العميق- تستخدم الكلمة الطنانة الجديدة في المدينة المصفوفات لتخزين المدخلات مثل الصورة أو الكلام أو النص لإعطاء حل متطور لهذه المشاكل. يتم أيضًا تخزين الأوزان التي تعلمتها الشبكة العصبية في المصفوفات. يوجد أدناه تمثيل رسومي للأوزان المخزنة في مصفوفة.

السيناريو 4:

هناك مجال آخر نشط للبحث في التعلم الآلي وهو التعامل مع النص والتقنيات الأكثر شيوعًا المستخدمة هي حقيبة الكلمات ومصفوفة وثيقة المصطلحات وما إلى ذلك. كل هذه التقنيات بطريقة متشابهة جدًا تخزن عدد الكلمات (أو شيء مشابه) في المستندات وتخزينها عدد الترددات في نموذج Matrix لأداء مهام مثل التحليل الدلالي وترجمة اللغة وتوليد اللغة وما إلى ذلك.

لذا ، ستفهم الآن أهمية الجبر الخطي في التعلم الآلي. لقد رأينا صورة أو نصًا أو أي بيانات بشكل عام تستخدم المصفوفات لتخزين البيانات ومعالجتها. يجب أن يكون هذا دافعًا كافيًا لتصفح المادة أدناه لتبدأ في الجبر الخطي. هذا دليل طويل نسبيًا ، لكنه يبني الجبر الخطي من الألف إلى الياء.


أثناء النسخ ، يتم نسخ تسلسل قاعدة الحمض النووي إلى تسلسل مرنا مجاني. يسرد جدول الكودون مثل الجدول الموضح أدناه الأحماض الأمينية المشفرة بواسطة ثلاثيات معينة من قواعد mRNA. خضع جزء من الحمض النووي لطفرة تم فيها تغيير أحد النوكليوتيدات. التسلسل الأصلي كان ACG والتسلسل الجديد هو ACA. استخدم جدول الكودون لتحديد ما إذا كانت هذه الطفرة ستسبب تغييرًا في النمط الظاهري للكائن الحي أم لا.

ج: نعم ، سيتغير النمط الظاهري للكائن الحي لأن حمض أميني جديد سيتم ترميزه.

B. نعم ، سيتغير النمط الظاهري للكائن الحي لأن أي تغيير في تسلسل الحمض النووي سيؤدي إلى تغيير في النمط الظاهري.

ج. على الرغم من تغيير تسلسل الحمض النووي ، فإن التسلسل لا يزال يرمز لنفس الحمض الأميني ، لذلك لن يحدث أي تغيير في النمط الظاهري.

D. من المستحيل تحديد ما إذا كان التغيير في النمط الظاهري سيحدث باستخدام تسلسل الحمض النووي فقط.


3010 الظل

القياس الشائع المستخدم لوصف الحساب النمطي بسيط إلى حد ما. كل ما على المرء أن يفعله هو النظر إلى الساعة التناظرية. على سبيل المثال ، إذا كانت الساعة 11 صباحًا وأردت معرفة الوقت الذي ستكون فيه خلال أربع ساعات ، فنحن نعلم غريزيًا أن الإجابة هي 3 مساءً. هذا حساب معياري ، أي 11 + 4 = 3 mod 12. هذا مفهوم مهم في العالم المدفوع بالتكنولوجيا الذي نعيش فيه. في أي وقت يتم فيه شراء منتج على الإنترنت ، يلعب التشفير دورًا. ال بقية من هذه الورقة (المقصود بكل تأكيد التورية) سيصف كيف يلعب الحساب النمطي القديم دورًا مهمًا للغاية في مجتمع اليوم & # 8217s.

تاريخ الحساب النمطي

كان أول نشر معروف للحساب المعياري في القرن الثالث قبل الميلاد في الكتاب عناصركتبه إقليدس. في كتابه ، لم يقم فقط بإضفاء الطابع الرسمي على أساسيات الحساب ، بل أثبت ذلك أيضًا. في ما يُعرف باسم Euclids Lemma ، يذكر أنه إذا قسم عدد أولي ناتج رقمين مختلفين (x و y) ، فيجب أن يقسم الرقم الأولي أيضًا أحد الأرقام (إما x أو y) ، ولكن يمكن أيضًا أن يقسم يكون كلاهما. بين القرنين الثالث والخامس ، تصف ورقة نشرها صن تزو عملية حسابية معيارية تُعرف باسم نظرية الباقي الصينية. هذه النظرية هي أساسًا أساس أنظمة التشفير الحديثة RSA الموجودة في كل موقع ويب مصرفي / تجارة إلكترونية. يستخدم مجموعة متطابقة من المفاتيح لإنتاج نفس القيمة العددية. تخيل لو كان هناك قفل على باب يمكن لمفتاحين مختلفين فتحهما وفتحهما ، فهذه هي أساسًا طريقة عمل نظرية الباقي الصينية.

الحساب النمطي الحديث

لوحة زيتية لعالم الرياضيات والفيلسوف كارل فريدريش جاوس بقلم جي بيرمان (1824-1908). المجال العام.

اكتشف كارل فريدريش جاوس الحساب النمطي الذي نستخدمه اليوم في عام 1801.

يشتهر Gauss بالعديد من الاكتشافات عبر مجموعة متنوعة من المجالات في العلوم والرياضيات. اقتراح غاوس من كتابه الاكتشافات الحسابية ، يعرّف الحساب النمطي بالقول أن أي عدد صحيح N ينتمي إلى واحد فئة المخلفات عند القسمة على رقم M. فئة المخلفات يمثله الباقي ، والذي يمكن أن يكون من 0 إلى M-1. يتم الحصول على الباقي بقسمة N على M. نظرًا لهذه الحقيقة ، لاحظ Gauss أن رقمين يختلفان في مضاعف M متماثلان فئة المخلفات. ثم يناقش دور الأعداد السالبة في الحساب النمطي. وفيما يلي مقتطفات من كتابه:

& # 8220 معام عادةً ما تكون m موجبة ، ولكن لا توجد صعوبة كبيرة في السماح بالنفي نماذج (الصفوف modulo m و -m هي نفسها). بالنسبة للمعامل الصفري ، سيكون هناك عدد لا نهائي من فئات المخلفات ، كل منها يحتوي على عنصر واحد فقط. [لا يلزم عدم السماح بذلك.] & # 8221

دور الحساب النمطي اليوم

تم تسمية تشفير RSA على اسم أولئك الذين اخترعوه ، رون ريفيست ، عدي شامير ، وليونارد أدلمان (تم الحصول على RSA من أسمائهم الأخيرة). RSA هي العملية التي يمكن من خلالها تمرير المعلومات بين طرفين دون أن يتمكن شخص آخر من اعتراض الرسالة. كان بيرت كاليسكي أحد المساهمين الرئيسيين في تشفير RSA منذ الثمانينيات. أود أن أبدأ بمقطع من ورقة بيرت كاليسكي بعنوان "رياضيات نظام تشفير المفتاح العام RSA":

& # 8220 البيانات الحساسة المتبادلة بين المستخدم وموقع الويب تحتاج إلى تشفير لمنع الكشف عنها أو تعديلها من قبل أطراف غير مصرح لها. يجب أن يتم التشفير بطريقة تجعل فك التشفير ممكنًا فقط بمعرفة مفتاح فك تشفير سري. يجب أن يكون مفتاح فك التشفير معروفًا فقط من قبل الأطراف المخولة. & # 8221

هذا وصف عالي المستوى لكيفية عمل تشفير RSA. يُطلق عليه أيضًا تشفير المفتاح العام ، لأنه يمكن لأي شخص الحصول على نسخة من مفتاح التشفير وهو متاح للعامة ، ولكن لا يمكن الحصول على مفتاح فك التشفير. هذا يجعل تشفير RSA طريقة آمنة لتمرير البيانات بين الفرد وموقع الويب.

عرض مبسط لتشفير RSA. المجال العام.

إجراء هذا الحساب (تشفير وفك تشفير النص) بسيط إلى حد ما. مع الفهم الأساسي للحساب النمطي يمكن تحقيقه. أولاً ، يجب إنتاج مفتاح عام وخاص باتباع الخطوات التالية:

  1. قم بتوليد أعداد أولية كبيرة ، p و q (يجب أن تكون هذه مئات الأرقام)
  2. احسب المعامل n ، n = p × q
  3. احسب المجموع الكلي = (p-1) × (q-1)
  4. اختر حرف "e" & gt 1 الذي يمثل رئيسًا أوليًا مشتركًا مع المجموع الكلي
  5. اختر "d" بحيث يكون d × e = 1 mod total

بمجرد اكتمال هذه الخطوات ، يتم إنشاء مفتاح عمومي (ن ، هـ) ومفتاح خاص (ن ، د). يمكن توزيع المفتاح العام على أي شخص ، ولكن يجب الحفاظ على أمان المفتاح الخاص. من السهل ملاحظة أنه بدون الحساب النمطي ، سيكون من السهل تمييز هذه الخوارزمية. يمكن للمرء أن يولد أزواجًا من الأرقام العشوائية حتى يتم العثور على زوج ، عند ضربهما معًا ، سيساوي المقياس n الموجود في الخطوة الثانية أعلاه. من هناك ، سيكون من السهل العثور على جميع الأعداد في نفس الوقت مع العدد الكلي في الخطوة الثالثة. ثم يأتي دور الحساب النمطي ، لأنه يسمح لأزواج لا نهائية من الأرقام بإيفاء القيد المذكور في الخطوة الخامسة ، لكنه لن يسمح للمستخدم بفك تشفير الرسالة. بمعنى آخر ، 11 + 4 = 3 تعديل 12 ، ولكن أيضًا 11 + 16 = 3 تعديل 12. هذا يجعل من المستحيل تحديد الرقم الأصلي (يمكن أن يكون 4 أو يمكن أن يكون 16 ، أو أي مضاعف آخر لـ 12 ).

بمجرد إنشاء المفاتيح ، يصبح من السهل تشفير النص وفك تشفيره. لتشفير رسالة "م" ، بالنظر إلى المفتاح العام (ن ، هـ) الذي تم إنشاؤه أعلاه:

"C" إذن هي الرسالة المشفرة التي يتم تمريرها إلى الطرف الآخر.

لفك تشفير الرسالة "C" التي تم إنشاؤها أعلاه ، كل ما هو مطلوب هو عكس عملية التشفير:

لنقم بعمل مثال لتوضيح التعليمات المذكورة أعلاه (ملاحظة: سنستخدم عوامل أولية صغيرة لأن الرياضيات أبسط).

  1. حدد p و q التي هي أولية
    1. ف = 11
    2. س = 3
    1. أصغر قيمة تُعد جريمة coprime حتى 20 هي 3 لأن 3 هو أصغر رقم لا يمكن أن يقسم 20 بالتساوي ، لذا فإن "e" = 3
    1. باستخدام الخوارزمية الإقليدية نحصل على د = 7

    لنفترض الآن أننا نريد تشفير الرسالة "4." للقيام بذلك ، نحتاج إلى معرفة المفتاح العام ، وهو في حالتنا (n = 33 ، e = 3). كل ما علينا فعله هو حساب:

    يمكننا تمرير 31 (c = 31) إلى موقع الويب ، والذي سيفك تشفيره بعد ذلك باستخدام المفتاح الخاص (33 ، 7):

    لقد تم "تمرير" رسالتنا بنجاح من مكان إلى آخر.

    بدون عمل علماء الرياضيات السابقين ، لن تكون هذه العملية ممكنة. يلعب الحساب النمطي دورًا مهمًا في حياتنا اليومية ولا نلاحظه حتى. أعتقد أنه مفهوم رياضي مذهل ويوفر نظرة عميقة لعالم نظرية الأعداد. حتى اليوم ، هناك أجهزة كمبيوتر تحاول باستمرار معرفة كيفية تحليل الأعداد الأولية الكبيرة دون نجاح. لا أعرف ما إذا كان تشفير RSA سيصمد أمام اختبار الزمن ، لكنه الآن أفضل ما لدينا.


    مجلة SIAM على الأنظمة الديناميكية التطبيقية

    لقد تم الاعتراف بأن العديد من الأنظمة الديناميكية المعقدة في العالم الحقيقي تتطلب وصفًا من حيث شبكات تعدد الإرسال ، حيث تنتمي مجموعة من العقد المشتركة والمتصلة بشكل متبادل إلى طبقات شبكة متميزة وتلعب دورًا مختلفًا في كل طبقة. على الرغم من التقدم الذي تم إحرازه مؤخرًا نحو الاستدلال المستند إلى البيانات للشبكات أحادية الطبقة ، فإن إعادة بناء الأنظمة المعقدة بهيكل متعدد الإرسال يظل مفتوحًا إلى حد كبير. في هذه الورقة ، قمنا بصياغة إطار عمل لتقدير الاحتمالية القصوى على أساس المجال المتوسط ​​لمعالجة هذه المشكلة. بطريقة ملموسة ، نقوم بإعادة بناء فئة من أنظمة الشبكة المزدوجة النموذجية التي تستضيف فئتين من ديناميكيات الانتشار ، ونوضح أنه يمكن إعادة بناء هياكل كلتا الطبقتين في وقت واحد من بيانات السلاسل الزمنية. بالإضافة إلى التحقق من صحة الإطار باستخدام الشبكات المزدوجة التجريبية والاصطناعية ، نقوم بإجراء تحليل مفصل لتوضيح تأثيرات معلمات الشبكة والديناميكيات على دقة إعادة البناء والمتانة.


    يُعرِّف Mark H. Ashcraft القلق من الرياضيات بأنه "شعور بالتوتر أو الخوف أو الخوف الذي يتعارض مع أداء الرياضيات" (2002 ، ص 1). [1] نشأت الدراسة الأكاديمية للقلق من الرياضيات في الخمسينيات من القرن الماضي ، حيث قدمت ماري فيدس غوف المصطلح رهاب الرياضيات لوصف المشاعر الشبيهة بالرهاب لدى الكثيرين تجاه الرياضيات. [2] تم تطوير أول مقياس لقياس القلق من الرياضيات بواسطة ريتشاردسون وسوين في عام 1972. [ بحاجة لمصدر ] منذ هذا التطور ، قام العديد من الباحثين بفحص القلق من الرياضيات في دراسات تجريبية. [1] أجرى Hembree [3] (1990) تحليلًا تلويًا لـ 151 دراسة تتعلق بالقلق من الرياضيات. حدد أن القلق من الرياضيات مرتبط بضعف الأداء الرياضي في اختبارات التحصيل في الرياضيات وأن القلق من الرياضيات مرتبط بالمواقف السلبية المتعلقة بالرياضيات. يقترح Hembree أيضًا أن القلق من الرياضيات مرتبط ارتباطًا مباشرًا بتجنب الرياضيات.

    يقترح Ashcraft [1] (2002) أن طلاب الرياضيات القلقين للغاية سيتجنبون المواقف التي يتعين عليهم فيها إجراء حسابات رياضية. لسوء الحظ ، يؤدي تجنب الرياضيات إلى تقليل الكفاءة والتعرض وممارسة الرياضيات ، مما يجعل الطلاب أكثر قلقًا وغير مستعدين للرياضيات لتحقيق ذلك. في الكلية والجامعة ، يأخذ طلاب الرياضيات القلقون عددًا أقل من دورات الرياضيات ويميلون إلى الشعور بالسلبية تجاه الرياضيات. في الواقع ، وجدت أشكرافت أن العلاقة بين القلق من الرياضيات والمتغيرات مثل الثقة والتحفيز سلبية بشدة.

    وفقًا لشار ، [4] نظرًا لأن القلق من الرياضيات يمكن أن يتسبب في تجنب الرياضيات ، تنشأ معضلة تجريبية. على سبيل المثال ، عندما يقوم طالب شديد القلق من الرياضيات بأداء مخيب للآمال في سؤال رياضي ، فقد يكون ذلك بسبب القلق من الرياضيات ، أو نقص الكفاءة في الرياضيات بسبب تجنب الرياضيات. قرر أشكرافت أنه من خلال إجراء اختبار يصبح أكثر تحديًا رياضيًا بشكل متزايد ، فقد لاحظ أنه حتى الأفراد القلقين للغاية من الرياضيات يقومون بعمل جيد في الجزء الأول من الاختبار لقياس الأداء. ومع ذلك ، في الجزء الأخير والأكثر صعوبة من الاختبار ، كانت هناك علاقة سلبية أقوى بين الدقة والقلق من الرياضيات.

    وفقًا لبحث وجد في جامعة شيكاغو بواسطة Sian Beilock ومجموعتها ، فإن القلق من الرياضيات لا يتعلق فقط بكونك سيئًا في الرياضيات. بعد استخدام فحوصات الدماغ ، أكد العلماء أن التوقع أو التفكير في حل الرياضيات يسبب في الواقع قلقًا من الرياضيات. أظهرت فحوصات الدماغ أن منطقة الدماغ التي يتم تشغيلها عندما يعاني شخص ما من القلق من الرياضيات تتداخل مع نفس المنطقة من الدماغ حيث يتم تسجيل الأذى الجسدي. [5] ويظهر تريزيس وريف [6] [7] أن قلق الطلاب من الرياضيات يمكن أن يتقلب طوال مدة فصل الرياضيات.

    تمت دراسة تأثير القلق من الرياضيات على أداء الرياضيات في كثير من الأدبيات الحديثة. لا يفتقر الشخص المصاب بالقلق من الرياضيات بالضرورة إلى القدرة في الرياضيات ، بدلاً من ذلك ، لا يمكنه الأداء بكامل طاقته بسبب الأعراض المتداخلة لقلقه. [٨] يتجلى القلق من الرياضيات في مجموعة متنوعة من الطرق ، بما في ذلك الأعراض الجسدية والنفسية والسلوكية ، والتي يمكن أن تؤدي جميعها إلى تعطيل الأداء الرياضي للطالب. [9] غالبًا ما يُعتقد أن الارتباط السلبي القوي بين القلق الشديد من الرياضيات وانخفاض التحصيل يرجع إلى تأثير القلق من الرياضيات على الذاكرة العاملة. ذاكرة العمل ذات سعة محدودة ، وعند حل المشكلات الرياضية ، يتم تخصيص جزء كبير من هذه السعة لحل المشكلات. ومع ذلك ، في الأفراد الذين يعانون من القلق من الرياضيات ، يتم شغل الكثير من هذه المساحة من خلال الأفكار المقلقة ، مما يضر بقدرة الفرد على الأداء. [10] بالإضافة إلى ذلك ، فإن الاعتماد المتكرر في المدارس على الاختبارات عالية المخاطر والوقت المحدد ، حيث يميل الطلاب إلى الشعور بقلق أكبر ، يمكن أن يؤدي إلى انخفاض تحصيل الأفراد القلقين من الرياضيات. [11] تظهر نتائج برنامج التقييم الدولي للطلاب (PISA) أن الطلاب الذين يعانون من قلق شديد من الرياضيات يظهرون درجات في الرياضيات تقل بمقدار 34 نقطة عن الطلاب الذين لا يعانون من قلق الرياضيات ، أي ما يعادل سنة كاملة من الدراسة. [12] توضح هذه النتائج الصلة الواضحة بين القلق من الرياضيات وانخفاض مستويات التحصيل ، مما يشير إلى أن التخفيف من القلق بشأن الرياضيات قد يؤدي إلى تحسن ملحوظ في تحصيل الطلاب.

    تم كتابة مقياس تصنيف للقلق بشأن الرياضيات في عام 1972 من قبل ريتشاردسون وسوين. [13] عرّف ريتشاردسون وسوين القلق الرياضي بأنه "مشاعر التخوف والتوتر فيما يتعلق بالتلاعب بالأرقام واستكمال المشكلات الرياضية في سياقات مختلفة". [14] قدم ريتشاردسون وسوين MARS (مقياس تقييم القلق من الرياضيات) في عام 1972. تُترجم الدرجات المرتفعة في اختبار MARS إلى قلق شديد من الرياضيات. قدم المؤلفون البيانات المعيارية ، بما في ذلك متوسط ​​درجة 215.38 مع انحراف معياري قدره 65.29 ، تم جمعها من 397 طالبًا ردوا على إعلان عن علاج العلاج السلوكي للقلق من الرياضيات. [15] لموثوقية الاختبار-إعادة الاختبار ، تم استخدام معامل بيرسون لحظية المنتج وتم حساب درجة 0.85 ، والتي كانت مواتية وقابلة للمقارنة مع الدرجات الموجودة في اختبارات القلق الأخرى. تحقق ريتشاردسون وسوين من صحة بناء هذا الاختبار من خلال مشاركة النتائج السابقة من ثلاث دراسات أخرى كانت مشابهة جدًا للنتائج التي تم تحقيقها في هذه الدراسة. أداروا أيضًا اختبار القدرات التفاضلية ، وهو اختبار رياضيات مدته 10 دقائق متضمنًا مسائل بسيطة إلى معقدة.

    كان حساب معامل الارتباط اللحظي للمنتج بين اختبار MARS ودرجات اختبار القدرات التفاضلية −0.64 (p & lt .01) ، مما يشير إلى أن درجات MARS الأعلى تتعلق بدرجات اختبار الرياضيات المنخفضة و "نظرًا لأن القلق الشديد يتداخل مع الأداء ، وضعف ينتج عن الأداء قلقًا ، وهذه النتيجة تقدم دليلًا على أن MARS يقيس القلق من الرياضيات ". [16] كان هذا الاختبار مخصصًا للاستخدام في تشخيص القلق من الرياضيات ، واختبار فعالية مناهج مختلفة لعلاج القلق من الرياضيات وربما تصميم تسلسل هرمي للقلق لاستخدامه في علاجات إزالة التحسس. [15] يعتبر اختبار MARS ذا أهمية لأولئك الذين يهتمون بإرشاد علم النفس [17] ويستخدم الاختبار بغزارة في أبحاث القلق من الرياضيات. وهي متوفرة في عدة إصدارات متفاوتة الطول [18] وتعتبر سليمة من الناحية النفسية. [19] غالبًا ما يتم إجراء اختبارات أخرى لقياس الأبعاد المختلفة للقلق من الرياضيات ، مثل مقياس مواقف إليزابيث فينيما وجوليا شيرمان لفينيما شيرمان (FSMAS). يقيم FSMAS تسعة مجالات محددة باستخدام مقاييس من نوع ليكرت: الموقف تجاه النجاح ، والرياضيات كمجال للذكور ، وموقف الأم ، وموقف الأب ، وموقف المعلم ، والثقة في تعلم الرياضيات ، والقلق من الرياضيات ، ودافع العاطفة ، وفائدة الرياضيات. [20] على الرغم من إدخال أحدث الأجهزة ، يبدو أن استخدام اختبار MARS هو المعيار التعليمي لقياس القلق من الرياضيات بسبب خصوصيته واستخدامه الغزير. [21]

    في حين أن هناك أوجه تشابه شاملة فيما يتعلق باكتساب مهارات الرياضيات ، أظهر الباحثون أن قدرات الأطفال الرياضية تختلف باختلاف البلدان. في كندا ، يحصل الطلاب على درجات أقل بكثير في حل المشكلات والعمليات الرياضية مقارنة بالطلاب في كوريا والهند وسنغافورة. الباحثون [ من الذى؟ ] أجرى مقارنات شاملة بين البلدان ، وقرر أنه في بلدان مثل تايوان واليابان ، يركز الآباء بشكل أكبر على الجهد بدلاً من القدرة الفكرية الفطرية للفرد في النجاح المدرسي. من خلال التركيز بشكل أكبر على الجهد بدلاً من القدرة الفكرية الفطرية ، فإنهم يساعدون أطفالهم على تطوير عقلية النمو. [٢٢] يعتقد الأشخاص الذين يطورون عقلية النمو أن كل شخص لديه القدرة على تنمية قدراته الفكرية والتعلم من أخطائه ويصبح متعلمًا أكثر مرونة. علاوة على ذلك ، يميل الآباء في هذه البلدان إلى وضع توقعات ومعايير أعلى لأطفالهم. في المقابل ، يقضي الطلاب وقتًا أطول في أداء الواجبات المنزلية ويقدرون الواجبات المنزلية أكثر من الأطفال الأمريكيين. [23]

    هناك اختلاف آخر في القدرات الرياضية غالبًا ما يتم استكشافه في البحث يتعلق بالتفاوتات بين الجنسين. كان هناك بحث لفحص الاختلاف بين الجنسين في الأداء في الاختبارات الموحدة عبر مختلف البلدان. أظهر بيلر وجافني أن الأطفال في سن التاسعة تقريبًا لا يظهرون فرقًا ثابتًا بين الجنسين فيما يتعلق بمهارات الرياضيات. ومع ذلك ، في 17 من أصل 20 دولة تم فحصها في هذه الدراسة ، كان الأولاد في سن 13 عامًا يميلون إلى تحقيق درجات أعلى من الفتيات. علاوة على ذلك ، غالبًا ما يتم تصنيف الرياضيات على أنها قدرة ذكورية نتيجة لذلك ، فغالبًا ما يكون لدى الفتيات ثقة منخفضة في قدراتهن في الرياضيات. [24] هذه الصور النمطية الجنسانية يمكن أن تعزز الثقة المنخفضة لدى الفتيات ويمكن أن تسبب القلق من الرياضيات حيث أظهرت الأبحاث أن الأداء في اختبارات الرياضيات الموحدة يتأثر بثقة الفرد. [25] ونتيجة لذلك ، يحاول المعلمون القضاء على هذه الصورة النمطية من خلال تعزيز الثقة في الرياضيات لدى جميع الطلاب لتجنب القلق من الرياضيات. [26]

    تُفهم مبادئ الرياضيات بشكل عام في سن مبكرة يمكن للأطفال في مرحلة ما قبل المدرسة فهم غالبية المبادئ التي يقوم عليها العد. في رياض الأطفال ، من الشائع أن يستخدم الأطفال العد بطريقة أكثر تعقيدًا عن طريق جمع وطرح الأرقام. بينما يميل أطفال رياض الأطفال إلى استخدام أصابعهم للعد ، سرعان ما يتم التخلي عن هذه العادة واستبدالها باستراتيجية أكثر دقة وفعالية يبدأ الأطفال في إجراء عمليات الجمع والطرح عقليًا في سن السادسة تقريبًا. عندما يبلغ الأطفال سن الثامنة تقريبًا ، يمكنهم استرجاع إجابات المعادلات الرياضية من الذاكرة. من خلال التعليمات المناسبة ، يكتسب الأطفال الذين يعملون بشكل طبيعي هذه المهارات الرياضية الأساسية ويكونون قادرين على حل المشكلات الرياضية الأكثر تعقيدًا من خلال تدريب أكثر تعقيدًا. [26] (Kail & amp Zolner، 2005).

    غالبًا ما يتم استكشاف أساليب التدريس عالية المخاطر لاكتساب فهم أفضل للقلق من الرياضيات. يقترح جولدينج ورولاند وباربر [27] (2002) أن هناك روابط بين افتقار المعلم إلى المعرفة بالموضوع والقدرة على تخطيط المواد التعليمية بشكل فعال. تشير هذه النتائج إلى أن المعلمين الذين ليس لديهم خلفية كافية في الرياضيات قد يواجهون صعوبات في تطوير خطط الدروس الشاملة لطلابهم. وبالمثل ، يُظهر بحث لاتورنر [28] (2002) أن المعلمين الحاصلين على شهادات في الرياضيات من المرجح أن يكونوا شغوفين وملتزمين بتدريس الرياضيات أكثر من أولئك الذين ليس لديهم شهادة. ومع ذلك ، يختلف أولئك الذين ليس لديهم شهادة في التزامهم بالمهنة اعتمادًا على إعداد الدورات الدراسية.

    علاوة على ذلك ، قامت دراسة أجراها Kawakami و Steele و Cifa و Phills و Dovidio [29] (2008) بفحص المواقف تجاه الرياضيات والسلوك أثناء امتحانات الرياضيات. درست الدراسة أثر التدريب المكثف في تعليم النساء مقاربة الرياضيات. أظهرت النتائج أن النساء اللواتي تم تدريبهن على الاقتراب من الرياضيات بدلاً من تجنبها أظهرن موقفًا ضمنيًا إيجابيًا تجاه الرياضيات. كانت هذه النتائج متوافقة فقط مع النساء منخفضة في التعرف الأولي مع الرياضيات. تم تكرار هذه الدراسة مع النساء اللائي تم تشجيعهن على الاقتراب من الرياضيات أو اللائي تلقين تدريبًا محايدًا. كانت النتائج متسقة وأظهرت أن النساء اللواتي تعلمن مقاربة الرياضيات كان لهن موقف إيجابي ضمني وأكملن مشاكل في الرياضيات أكثر من النساء اللواتي تعلمن مقاربة الرياضيات بطريقة محايدة.

    Johns, Schmader, and Martens [30] (2005) conducted a study in which they examined the effect of teaching stereotype threat as a means of improving women's math performance. The researchers concluded that women tended to perform worse than men when problems were described as math equations. However, women did not differ from men when the test sequence was described as problem solving or in a condition in which they learned about stereotype threats. This research has practical implications. The results suggested that teaching students about stereotype threat could offer a practical means of reducing its detrimental effects and lead to an improvement in a girl's performance and mathematical ability, leading the researchers to conclude that educating female teachers about stereotype threat can reduce its negative effects in the classroom.

    According to Margaret Murray, female mathematicians in the United States have almost always been a minority. Although the exact difference fluctuates with the times, as she has explored in her book Women Becoming Mathematicians: Creating a Professional Identity in Post-World War II America, "Since 1980, women have earned over 17 percent of the mathematics doctorates. [In The United States]". [31] The trends in gender are by no means clear, but perhaps parity is still a way to go. Since 1995, studies have shown that the gender gap favored males in most mathematical standardized testing as boys outperformed girls in 15 out of 28 countries. However, as of 2015 the gender gap has almost been reversed, showing an increase in female presence. This is being caused by women's steadily increasing their performance on math and science testing and enrollment, but also from males' losing ground at the same time. This role reversal can largely be associated with the gender normative stereotypes that are found in the Science, technology, engineering, and mathematics (STEM) field, deeming "who math is for" and "who STEM careers are for". These stereotypes can fuel mathematical anxiety that is already present among young female populations. [32] Thus parity will take more work to overcome mathematical anxiety and this is one reason why women in mathematics are role models for younger women.

    Causes Edit

    Students often develop mathematical anxiety in schools, often as a result of learning from teachers who are themselves anxious about their mathematical abilities in certain areas. Typical examples of areas where mathematics teachers are often incompetent or semi-competent include fractions, (long) division, algebra, geometry "with proofs", calculus, and topology. In many countries, would-be math teachers are required only to obtain passing grades of 51% in mathematics exams, so that a math student who has failed to understand 49% of the math syllabus throughout his or her education can, and often does, become a math teacher. His or her fears and lack of understanding then pass naturally to his or her students.

    According to John Taylor Gatto, as expounded in several lengthy books, [33] [ الصفحة المطلوبة ] modern Western schools were deliberately [ dubious – discuss ] designed during the late 19th century to create an environment which is ideal for fostering fear and anxiety, and for preventing or delaying learning. Many who are sympathetic to Gatto's thesis regard his position as unnecessarily extreme. [34] Diane Ravitch, former assistant secretary of education during the George H.W. Bush administration, agrees with Gatto up to a point, conceding that there is an element of social engineering (i.e. manufacture of compliant citizenry) in the construction of the American education system, [34] which prioritizes conformance over learning.

    The role of attachment has been suggested as having an impact in the development of the anxiety. [35] Children with an insecure attachment style were more likely to demonstrate the anxiety.

    Math is usually taught as a right and wrong subject and as if getting the right answer were paramount. In contrast to most subjects, mathematics problems almost always have a right answer. Additionally, the subject is often taught as if there were a right way to solve the problem and any other approaches would be wrong, even if students got the right answer. When learning, understanding the concepts should be paramount, but with a right/wrong approach to teaching math, students are encouraged not to try, not to experiment, not to find algorithms that work for them, and not to take risks. "Teachers benefit children most when they encourage them to share their thinking process and justify their answers out loud or in writing as they perform math operations. . With less of an emphasis on right or wrong and more of an emphasis on process, teachers can help alleviate students' anxiety about math". [36]

    While teaching of many subjects has changed from rote memorization to the current Constructivist approach, math is frequently taught with a rote learning behaviorist approach. هذا هو،

    • A problem set is introduced
    • A solution technique is introduced
    • Practice problems are repeated until mastery is achieved

    Constructivist theory says the learning and knowledge is the student's creation, yet rote learning and a right/wrong approach to teaching math ensures that it is external to the student.

    Solutions Edit

    There have been many studies that show parent involvement in developing a child's educational processes is essential. A student's success in school is increased if their parents are involved in their education both at home and school (Henderson & Map, 2002). [37] As a result, one of the easiest ways to reduce math anxiety is for the parent to be more involved in their child's education. In addition, research has shown that a parent's perception on mathematics influences their child's perception and achievement in mathematics (Yee & Eccles, 1988). [38] This means that if a parent makes it apparent that they do not enjoy mathematics or that they are not good at mathematics, this can influence the way in which their child views mathematics.

    Furthermore, studies by Herbert P. Ginsburg, Columbia University, show the influence of parents' and teachers' attitudes on "'the child's expectations in that area of learning.'. It is less the actual teaching and more the attitude and expectations of the teacher or parents that count". This is further supported by a survey of Montgomery County, Maryland students who "pointed to their parents as the primary force behind the interest in mathematics". [39]

    Claudia Zaslavsky [39] contends that math has two components. The first component, commonly focused on in many schools, is to calculate the answer. This component also has two subcomponents, namely the answer and the process or method used to determine the answer. Focusing more on the process or method enables students to make mistakes, but not 'fail at math'. The second component is to understand the mathematical concepts that underlay the problem being studied. ". and in this respect studying mathematics is much more like studying, say, music or painting than it is like studying history or biology."

    Amongst others supporting this viewpoint is the work of Dr. Eugene Geist, Associate Professor at Ohio University – Athens, Ohio and an early childhood education specialist. [40] Dr. Geist's recommendations include focusing on the concepts rather than the right answer and letting students work on their own and discuss their solutions before the answer is given. Emphasis is given that young people hate to be wrong and hate situations where they can be embarrassed by being wrong.

    National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1989, 1995b) suggestions for teachers seeking to prevent math anxiety include:

    • Accommodating for different learning styles
    • Creating a variety of testing environments
    • Designing positive experiences in math classes
    • Refraining from tying self-esteem to success with math
    • Emphasizing that everyone makes mistakes in mathematics
    • Making math relevant
    • Letting students have some input into their own evaluations
    • Allowing for different social approaches to learning mathematics
    • Emphasizing the importance of original, quality thinking rather than rote manipulation of formulas

    Hackworth (1992) [41] suggests that the following activities can help in reducing and mitigating mathematical anxiety:

    • Discuss and write about math feelings
    • Become acquainted with good math instruction, as well as study techniques
    • Recognize what type of information needs to be learned
    • Be an active learner, and create problem-solving techniques
    • Evaluate your own learning
    • Develop calming/positive ways to deal with fear of math, including visualization, positive messages, relaxation techniques, frustration breaks
    • Use gradual, repeated success to build math confidence in students

    Math (and Statistics) Therapy is a combination of coaching and counseling, provided for adults by people with credentials in both counseling and math education. In Math Therapy the reasons for anxiety are addressed, as well as the mathematical skills which are lacking. New coping skills are introduced and practiced, so that fear, distaste or other negative emotions do not block math (or statistics) learning.

    There are several anxiety reducing techniques that teachers can teach their children and practice periodically throughout the year. Teachers will need to learn these techniques and encourage the students to practice them at home and to use them prior to testing or when feeling anxious during math class.

    Several studies have shown that relaxation techniques can be used to help alleviate anxiety related to mathematics. In her workbook Conquering Math Anxiety, Cynthia Arem offers specific strategies to reduce math avoidance and anxiety. One strategy she advocates for is relaxation exercises and indicates that by practicing relaxation techniques on a regular basis for 10–20 minutes students can significantly reduce their anxiety. [42]

    Dr. Edmundo Jacobson's Progressive Muscle Relaxation taken from the book Mental Toughness Training for Sports, Loehr (1986) can be used in a modified form to reduce anxiety as posted on the website HypnoGenesis. [43]

    Visualization has also been used effectively to help reduce math anxiety. Arem has a chapter that deals with reducing test anxiety and advocates the use of visualization. In her chapter titled Conquer Test Anxiety (Chapter 9) she has specific exercises devoted to visualization techniques to help the student feel calm and confident during testing. [44]

    Studies have shown students learn best when they are active rather than passive learners. [45]

    The theory of multiple intelligences suggests that there is a need for addressing different learning styles. Math lessons can be tailored for visual/spatial, logical/mathematics, musical, auditory, body/kinesthetic, interpersonal and intrapersonal and verbal/linguistic learning styles. This theory of learning styles has never been demonstrated to be true in controlled trials. Studies show no evidence to support tailoring lessons to an individual students learning style to be beneficial. [46]

    New concepts can be taught through play acting, cooperative groups, visual aids, hands on activities or information technology. [47] To help with learning statistics, there are many applets found on the Internet that help students learn about many things from probability distributions to linear regression. These applets are commonly used in introductory statistics classes, as many students benefit from using them. [ البحث الأصلي؟ ] [ من الذى؟ ]

    Active learners ask critical questions, such as: Why do we do it this way, and not that way؟ Some teachers may find these questions annoying or difficult to answer, and indeed may have been trained to respond to such questions with hostility and contempt, designed to instill fear. Better teachers respond eagerly to these questions, and use them to help the students deepen their understanding by examining alternative methods so the students can choose for themselves which method they prefer. This process can result in meaningful class discussions. Talking is the way in which students increase their understanding and command of math. [48] Teachers can emphasize the importance of original thinking rather than rote manipulation of formulas. This can be done through class conversations. Teachers can give students insight as to why they learn certain content by asking students questions such as "what purpose is served by solving this problem?" and "why are we being asked to learn this?" [49]

    Reflective journals help students develop metacognitive skills by having them think about their understanding. According to Pugalee, [50] writing helps students organize their thinking which helps them better understand mathematics. Moreover, writing in mathematics classes helps students problem solve and improve mathematical reasoning. When students know how to use mathematical reasoning, they are less anxious about solving problems.

    However, there is still a large part of school math teaching which consists of "mass-produced" memorization, repetition, and mechanically performed operations. Times tables are one example, wherein rote learning is essential to mathematics performance. When a student fails to learn the times tables at a young age, they can experience math anxiety later, when all the students' classmates can remember the tables but they cannot.

    Children learn best when math is taught in a way that is relevant to their everyday lives. Children enjoy experimenting. To learn mathematics in any depth, students should be engaged in exploring, conjecturing, and thinking, as well as in rote learning of rules and procedures. [51]


    Prediction intervals for the response variables

    Let us now use the predict method to obtain prediction intervals for the reponse variables. As we did not obtain an approximate distribution for the response variable, we obtain the prediction intervals by simulation, which is computationally intensive.

    To obtain prediction intervals, one must set the interval argument to “prediction” since the default type of prediction is already “response”. It is also possible to change the significance level by entering the level argument, which defaults to 0.95 , to change the number of mean and prediction parameters generated by setting the nsim_pred argument to the desired value, the default is 100, and to change the number of response variables ذ generated for each pair of mean and precision parameters by setting the nsim_pred_y to the desired value, the default is 100.

    For example, we will consider nsim_pred = 50 and nsim_pred_y = 50 to avoid long computations in our example:

    Notice that the intervals are now much wider.

    We will now use the above matrix to create a plot of the fitted values against the math variable along with their prediction intervals using R’s base graphics:


    استنتاج

    There is a lot more to talk about here, but I was able to put together a simple beamforming example for my team. You can see from this example that one can "point" the response curve of the antenna in specific direction with just a bit of matrix math. Note that the antenna beam patterns have a main "lobe" and side "lobes." In a later post, I will discuss how to reduce the amplitude of the sidelobes.

    10 Responses to Beamforming Math

    Thanks for your clear explanation.
    I have questions please: I am a bit confused between two things. In this explanation you showed that the received signal by the first antenna and the second is only different by the time of arrival. While, when MIMO is used, it is assumed that each antenna has independent channel. For example for 1*2, the two channels are independent from each other and so that SIMO offers gain. The second question is, in 1*2 example, the received signal by each antenna is processed alone, then the decoded signals (after channel decoding) are combined. While, in beamforming they are delayed to be summed up before performing any process.

    Thanks in advance.
    يعتبر
    عبد الله

    Hi, I wasn't able to find a follow up on sidelobe amplitude reduction? I would greatly appreciate a link.

    There is so much to write about and so little time . I can provide you a good sonar presentation that discusses applying "shading" to the antenna elements to reduce sidelobes. The sonar, radar, and wireless math is identical. Just google beamforming, shading, sidelobes.


    شاهد الفيديو: امتحان مصر دور اول جبر للصف الثالث الثانوي فيديو12017 (شهر نوفمبر 2021).