مقالات

6.4: الحجم - الرياضيات


دعنا نعيد زيارة صديقنا والي من "المنطقة والمحيط" ونستخدم جانبًا آخر من فناء منزله لتقديم مفهوم أربعة حجمالخامس. كم عدد ياردة مكعبة من المياه يجب استخدامها لملء البركة (بافتراض اليمين إلى الأعلى).

مثلما فعلنا مع المساحة (عد مربعات الوحدة) ، بـ أربعة حجمالخامس سنعد مكعبات الوحدات. ما هو حجم مكعب الوحدة؟ دعونا نلقي نظرة على الشكل 1:

إيجاد حجم المكعب

الشكل 1. الحجم = 1 ياردة × 1 ياردة × ياردة = 1 ياردة مكعبة

الشكل على اليسار عبارة عن مكعب (جميع الجوانب متساوية الطول). على وجه الخصوص ، نظرًا لأن طول جميع الأضلاع 1 ، يُطلق على هذا المكعب اسم مكعب الوحدة.

نعرف مساحة القاعدة من عملنا السابق (1 ياردة × 1 ياردة أو 1 ياردة مربعة). سنأخذ هذه المنطقة ونوسعها عموديًا بارتفاع 1 ياردة حتى يصبح حجمنا

الحجم = 1 ياردة × 1 ياردة × ياردة = 1 ياردة مكعبة

كيف يساعد هذا والي؟ حسنًا ، إذا كان بإمكانه حساب عدد مكعبات الوحدة في حوض السباحة الخاص به ، فيمكنه تحديد حجم الماء اللازم لملء البركة.

مثال موجه

ملء بركة والي

الشكل 2. الحجم = الطول × العرض × الارتفاع أو V = LWH

إذا ملأنا حوض السباحة بمكعبات الوحدة ، فيمكننا ملء 25 مكعبًا بطول الطول ، و 2 على طول العرض ، و 2 على طول الارتفاع. سيعطينا ذلك 25 × 2 × 2 = 100 وحدة مكعب أو:

الحجم = 25 ياردة × 2 ياردة × 2 ياردة = 100 ياردة مكعبة

الصيغ الصريحة لأنواع المواد الصلبة المستطيلة المستخدمة في القسم السابق هي كما يلي:

شكلمقدار
شبل طول الضلع إل
صندوق بأطراف بطول إل, دبليو, ح

ملاحظات على الحجم

  • مقدار هو قياس ثلاثي الأبعاد يمثل مقدار المساحة داخل شكل مغلق ثلاثي الأبعاد.
  • لإيجاد الحجم ، احسب عدد مكعبات الوحدة داخل شكل معين.
  • إذا كانت هناك وحدات ، فقم بتضمين الوحدات في النتيجة النهائية. ستكون الوحدات دائمًا ثلاثية الأبعاد (أي قدم مكعب ، ياردة مكعبة ، أميال مكعبة ، إلخ ...)

مثال 1

ابحث عن حجم كل شكل أدناه.

  1. صندوق بجوانب بطول 2 قدم و 3 قدم ، قدم.

حجم اسطوانة دائرية

الشكل 3.

هل يمكننا استخدام ما نعرفه عن مساحة الدائرة لصياغة حجم العلبة (وتسمى أيضًا a اسطوانة)؟ ألق نظرة على الشكل 3.

الدائرة الأساسية مظللة. إذا أخذنا مساحة تلك الدائرة (أ = أ = πص2) وتمديده من خلال الارتفاع ح، فإن حجم العلبة سيكون:

الخامس = πص2ح.

مثال 2

أوجد حجم الأسطوانة الموضح أدناه.

حجم الأشكال الأخرى

يوضح الرسم البياني أدناه أحجام بعض الأشكال الهندسية الأساسية الأخرى.

شكلمقدار
جسم كروى
مخروط
هرم

مثال 3

أوجد حجم كرة نصف قطرها 5 أمتار.

حل

مثال 4

حدد حجم كل مما يلي. قم بتضمين رسم للشكل بالمعلومات المضمنة. عرض كل العمل. كما في الأمثلة ، إذا تم تضمين الوحدات ، فيجب أن تكون الوحدات موجودة في النتيجة النهائية. استخدم 3.14 لـ π وقم بتقريب الإجابات لأعشار حسب الحاجة.

  1. أوجد حجم مكعب طول ضلعه 3.25 مترًا.
  2. أوجد حجم صندوق طول أضلاعه 4 أقدام 6 أقدام في 6 أقدام.
  3. أوجد حجم علبة نصف قطرها 4.62 سم ​​وارتفاعها 10 سم.
  4. أوجد حجم كرة قطرها ١٢ ياردة.

حل

  1. 34.3 م3 أو 34.3 متر مكعب
  2. 60 قدم3 أو 60 قدم مكعب
  3. 670.2 سم3 أو 670.2 سم مكعب
  4. 904.3 ياردة3 أو 904.3 ياردة مكعبة

مثال 5

تطبيقات الحجم

إذا شربت المشروبات الغازية من 5 علب قطر كل منها 4 بوصات وارتفاعها 5 بوصات ، فكم عدد البوصات المكعبة من الصودا التي شربتها؟ استخدم 3.14 من أجل π وقريبًا لأعشار.

حل

314.0 بوصة3 (مدور)

الزوايا

الزوايا، تقاس غالبًا بـ درجات، قم بقياس مقدار الدوران أو "القوس" بين مقاطع الخط المتقاطعة. نحتاج إلى فهم ما هي الزاوية قبل الانتقال إلى الموضوع التالي. انظر بعض الأمثلة والمصطلحات أدناه.


EM4 في المنزل

ضرب وقسمة الكسور العشرية على قوى العدد 10

التطبيق: تحويل القياسات في النظام المتري

العمل مع البيانات في مخططات الخط

قياس الحجم عن طريق الإزاحة

تقدير المنتجات العشرية وخواصها

ضرب الكسور العشرية

فتح الرد: جمع الأموال

قسمة الكسور العشرية على أعداد صحيحة

قسمة الكسور العشرية على الكسور العشرية

التطبيق: تقدير وقت رد الفعل الخاص بك

الرياضيات اليومية لأولياء الأمور: ما تحتاج إلى معرفته لمساعدة طفلك على النجاح

مشروع الرياضيات في مدرسة جامعة شيكاغو

مطبعة جامعة شيكاغو


مساحة ومحيط المثلثات

عندما تحيط بمثلث بمستطيل ، يمكنك أن ترى أن مساحة المثلث هي نصف مساحة المستطيل. يمكنك تحويل المثلث إلى جانب مناسب كقاعدة ، إذا لزم الأمر. إذن ، صيغة المنطقة هي 1 /2 ب x ح، أين ب هي قاعدة المثلث (طول المستطيل) و ح هو ارتفاع المثلث (عرض المستطيل).

لإيجاد المحيط ، قس أطوال الأضلاع الثلاثة واجمعها معًا.

مثال

المثلث 1 مطابق للمثلث 2. المثلث 3 مطابق للمثلث 4

.

محيط المثلث يساوي 7 + 10 + 12.2 ، أو 29.2 قدمًا


تطوير محرك اللعبة

أسس تطوير محرك اللعبة هي سلسلة كتب جديدة يكتبها حاليًا إريك لينجيل. تغطي مجلداته الأربعة أساسيات تطوير محرك اللعبة في مجالات واسعة من الرياضيات ، والتصيير ، والنماذج ومواد أمبير ، والفيزياء.

المجلد 1: الرياضيات
تاريخ النشر: سبتمبر 2016
رقم ال ISBN: 978-0-9858117-4-7
200 صفحة & ثور بالألوان الكاملة & غلاف ثور ناعم

يوفر المجلد الأول ، المعروف باسم FGED1 ، مقدمة مفصلة للرياضيات المستخدمة من قبل مبرمجي محركات الألعاب الحديثة. يغطي الكتاب موضوعات الجبر الخطي (المتجهات والمصفوفات) والتحويلات والهندسة بطريقة تقليدية. ويلي ذلك مقدمة لجبر جراسمان والجبر الهندسي ، حيث يمكن العثور على فهم أعمق جنبًا إلى جنب مع تفسيرات لماذا بعض أجزاء الرياضيات التقليدية ليست صحيحة تمامًا.

يوجد أدناه جدول المحتويات الكامل. يتضمن الكتاب 49 رقمًا و 36 قصاصة رمز و 62 تمرينًا و 327 معادلة مرقمة.

الفصل 1: المتجهات والمصفوفات

  • 1.1 أساسيات المتجهات
  • 1.2 عمليات المتجهات الأساسية
    • 1.2.1 الحجم والضرب العددي
    • 1.2.2 الجمع والطرح
    • 1.4.1 الجمع والطرح والضرب العددي
    • 1.4.2 ضرب المصفوفة
    • 1.5.1 المنتج النقطي
    • 1.5.2 عبر المنتج
    • 1.5.3 حاصل الضرب القياسي الثلاثي
    • 1.7.1 مصفوفات الهوية
    • 1.7.2 المحددات
    • 1.7.3 المصفوفات الأولية
    • 1.7.4 الحساب العكسي
    • 1.7.5 انعكاسات المصفوفات الصغيرة
    • 2.1 تنسيق المساحات
      • 2.1.1 مصفوفات التحول
      • 2.1.2 التحويلات المتعامدة
      • 2.1.3 تكوين التحويل
      • 2.2.1 دوران حول محور إحداثي
      • 2.2.2 دوران حول محور تعسفي
      • 2.7.1 أساسيات الرباعية
      • 2.7.2 تناوب مع الرباعية
      • 3.1 شبكات المثلث
      • 3.2 النواقل العادية
        • 3.2.1 حساب المتجهات العادية
        • 3.2.2 تحويل النواقل العادية
        • 3.3.1 الخطوط البارامترية
        • 3.3.2 المسافة بين نقطة وخط
        • 3.3.3 المسافة بين سطرين
        • 3.4.1 المستويات الضمنية
        • 3.4.2 المسافة بين نقطة ومستوى
        • 3.4.3 الانعكاس من خلال الطائرة
        • 3.4.4 تقاطع الخط والمستوى
        • 3.4.5 تقاطع المستويات الثلاثة
        • 3.4.6 تقاطع مستويين
        • 3.4.7 طائرات التحويل
        • 3.5.1 الخطوط الضمنية
        • 3.5.2 الصيغ المتجانسة
        • 3.5.3 خطوط التحويل

        الفصل 4: الجبر المتقدم

        • 4.1 الجبر جراسمان
          • 4.1.1 منتج إسفين
          • 4.1.2 المنقسمات
          • 4.1.3 التفاهات
          • 4.1.4 البنية الجبرية
          • 4.1.5 المكملات
          • 4.1.6 مضادات الفيروسات
          • 4.1.7 المنتج المضاد للإبطاء
          • 4.2.1 الخطوط
          • 4.2.2 الطائرات
          • 4.2.3 الانضمام والتعرف
          • 4.2.4 تقاطع الخط
          • 4.2.5 مسافة الطائرة
          • 4.2.6 الملخص والتنفيذ
          • 4.4.1 المنتج الهندسي
          • 4.4.2 قسم المتجهات
          • 4.4.3 دوارات

          المجلد 2: التقديم
          تاريخ النشر: يوليو 2019
          رقم ال ISBN: 978-0-9858117-5-4
          412 صفحة وثور بالألوان الكاملة وغطاء ثور ناعم

          يستكشف FGED2 موضوع العرض في الوقت الفعلي في محركات الألعاب الحديثة. يقدم الكتاب مقدمة مفصلة لعلم الألوان ، وبنية العالم ، والإسقاطات ، والتظليل ، ومصادر الضوء ، والظلال ، والضباب ، وطرق الرؤية. ويلي ذلك مناقشات مستفيضة حول مجموعة متنوعة من تقنيات العرض المتقدمة التي تشمل التأثيرات الحجمية والتظليل الجوي والإغلاق المحيط وضبابية الحركة واستخراج السطح المتساوي.

          يوجد أدناه جدول المحتويات الكامل. يتضمن الكتاب 138 رقمًا و 82 قصاصة رمز و 52 تمرينًا و 424 معادلة مرقمة.

          الفصل الخامس: معالجة الرسومات

          • 5.1 بكسل
          • 5.2 علم الألوان
            • 5.2.1 مساحة ألوان CIE RGB
            • 5.2.2 مساحة الألوان CIE XYZ
            • 5.2.3 مساحة ألوان sRGB
            • 5.4.1 تنسيق المساحات
            • 5.4.2 تحويل التسلسل الهرمي
            • 5.4.3 تحويلات الرأس
            • 5.5.1 المعالجة الهندسية
            • 5.5.2 معالجة البكسل
            • 5.5.3 عمليات المخزن المؤقت للإطار

            الفصل 6: الإسقاطات

            • 6.1 عرض Frustum
            • 6.2 الاستيفاء الصحيح للمنظور
            • 6.3 مصفوفات الإسقاط
              • 6.3.1 مصفوفات الإسقاط المنظوري
              • 6.3.2 مصفوفات الإسقاط اللانهائي
              • 6.3.3 دقة العمق المتوقعة
              • 6.3.4 الإسقاطات الهجائية
              • 6.3.5 استخراج طائرة فروستم
              • 7.1 تقديم الأساسيات
                • 7.1.1 الإنارة
                • 7.1.2 معادلة التقديم
                • 7.4.1 إحداثيات الملمس
                • 7.4.2 رسم الخرائط التقليدية للنسيج
                • 7.4.3 رسم خرائط نسيج المكعب
                • 7.6.1 بناء الخرائط العادي
                • 7.6.2 التقديم مع الخرائط العادية
                • 7.6.3 مزج الخرائط العادية
                • 7.8.1 بناء خريطة الأفق
                • 7.8.2 التقديم باستخدام خرائط الأفق
                • 7.8.3 تخطيط الانسداد المحيط

                الفصل الثامن: الإضاءة والظلال

                • 8.1 مصادر الضوء
                  • 8.1.1 أضواء نقطة
                  • 8.1.2 سبوت لايت
                  • 8.1.3 الأضواء اللانهائية
                  • 8.2.1 مستطيل مقصي
                  • 8.2.2 حدود العمق
                  • 8.3.1 خرائط الظل ثنائية الأبعاد
                  • 8.3.2 خرائط ظل المكعب
                  • 8.3.3 خرائط الظل المتتالية
                  • 8.3.4 إزاحة عمق الظل
                  • 8.4.1 تقديم الخوارزمية
                  • 8.4.2 اختيار المتغير
                  • 8.4.3 أحجام الظل
                  • 8.4.4 التحسينات
                  • 8.5.1 الامتصاص والتشتت
                  • 8.5.2 ضباب بنصف المسافة

                  الفصل التاسع: الرؤية والانسداد

                  • 9.1 قطع المضلع
                  • 9.2 قطع متعدد السطوح
                  • 9.3 مجلدات ملزمة
                    • 9.3.1 المجالات المحيطة
                    • 9.3.2 الصناديق المحيطة
                    • 9.4.1 مناطق الرؤية
                    • 9.4.2 رؤية المجال
                    • 9.4.3 صندوق الرؤية
                    • 9.7.1 المناطق والبوابات
                    • 9.7.2 المناطق الخفيفة

                    الفصل 10: التقديم المتقدم

                    • 10.1 الشارات
                    • 10.2 اللوحات الإعلانية
                      • 10.2.1 لوحات إعلانية كروية
                      • 10.2.2 لوحات إعلانية أسطوانية
                      • 10.2.3 ألواح البولي
                      • 10.2.4 التشذيب
                      • 10.4.1 الهالات
                      • 10.4.2 مهاوي
                      • 10.5.1 عازلة الانسداد
                      • 10.5.2 عدم وضوح العمق
                      • 10.6.1 الغلاف الجوي العازلة
                      • 10.6.2 عينة عشوائية
                      • 10.6.3 تشتت متباين الخواص
                      • 10.6.4 التنفيذ
                      • 10.7.1 مخزن السرعة
                      • 10.7.2 المعالجة اللاحقة للصور
                      • 10.8.1 مكعبات الزحف
                      • 10.8.2 القطبية المفضلة
                      • 10.8.3 التنفيذ

                      المجلد 3: النماذج والمواد أمبير
                      رقم ال ISBN: 978-0-9858117-6-1
                      لون كامل وغطاء ثور ناعم
                      يتم تحديد الطول

                      فيما يلي قائمة بالموضوعات المخطط تغطيتها في المجلد الثالث.

                      • منحنيات B & eacutezier
                      • ب- الخطوط
                      • النماذج الهرمية
                      • يتحول
                      • السلخ
                      • منتج هندسي مضاد
                      • عوامل التشغيل الرباعي المتجانسة
                      • الحركة إلى الأمام
                      • الكينماتيكا العكسية
                      • أشجار الرسوم المتحركة
                      • التظليل المادي
                      • نظرية الميكروفاسيت
                      • انعكاس فرينل
                      • حركة المقذوفات
                      • أنظمة الجسيمات
                      • توزيعات عشوائية

                      المجلد 4: الفيزياء
                      رقم ال ISBN: 978-0-9858117-7-8
                      لون كامل وغطاء ثور ناعم
                      يتم تحديد الطول

                      فيما يلي قائمة بالموضوعات المخطط تغطيتها في المجلد الرابع.


                      مشاكل حجم الكلمة



                      الأمثلة والحلول ومقاطع الفيديو وأوراق العمل والألعاب والأنشطة لمساعدة طلاب الجبر على تعلم كيفية حل مشاكل الكلمات التي تتضمن الحجم.

                      حجم المنشور المستطيل: مشكلة كلامية
                      مثال:
                      يحتوي ماريو على حوض للأسماك بمنشور مستطيل أيمن مع قاعدة مقاس 15.6 سم × 7 سم. ويمتلئ قاع الخزان بالرخام ويملأ الخزان بالماء حتى ارتفاع 6.4 سم. عند إزالة الكرات ، ينخفض ​​منسوب الماء إلى ارتفاع ٥.٩ سم. ما هو حجم الماء الذي أزاحته الكريات؟

                      جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

                      نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


                      6.4: الحجم - الرياضيات

                      صيغ مفيدة لرياضيات الغاز

                      حساب الأجواء المطلقة
                      ATA = (D / 33) +1
                      في الصيغة أعلاه D = العمق
                      لحساب الغلاف الجوي في الضغط المطلق عند 125 ، يتم إجراء الرياضيات كما هو موضح أدناه:

                      ________________________________________

                      حساب الحد الأقصى لعمق التشغيل
                      MOD = (PPO2 / FO2 & times33) -33
                      PPO2 هو الحد الأقصى للضغط الجزئي للأكسجين الذي نريده أثناء الغوص.
                      FO2 هي النسبة المئوية للأكسجين في المزيج. على سبيل المثال ، يتم التعبير عن EAN32 كـ .32
                      لحساب MOD لـ EAN32 ، تتم الرياضيات كما هو موضح أدناه:
                      MOD = (1.4 / (. 32) & times33) -33
                      MOD = 111 fsw
                      أقصى عمق تشغيل (MOD) لـ EAN32 هو 111 قدمًا من مياه البحر.

                      ________________________________________


                      حساب أفضل مزيج لأقصى عمق
                      أفضل مزيج = 1.4 / ata
                      لحساب أفضل مزيج لعمق أقصى يبلغ 125 قدمًا ، تتم الرياضيات كما هو موضح أدناه:
                      أفضل مزيج = 1.4 / 4.78
                      أفضل مزيج = .29
                      عندئذٍ سيكون EAN29 هو أفضل مزيج ينتج حدًا أقصى من PPO2 يبلغ 1.4 ata عند 125 قدمًا في الثانية.
                      ________________________________________

                      حساب خط الأساس لأسطوانات SCUBA


                      يعد حساب خط الأساس لخزانات الغوص مهمًا جدًا لتخطيط الغاز. هناك حاجة إلى متغيرين. الحجم المقدر للخزانات والضغط المقدر. على سبيل المثال الضغط المنخفض (LP) 85 يحتوي على 85 قدم مكعب
                      (وهو حجمها المقنن) عند ملؤها إلى 2640 رطل / بوصة مربعة (وهو ضغطها المقدر). في المعادلة أدناه نضرب في 2 لأننا نستخدم دبابات مزدوجة. نضرب في 100 للتعبير عن خط الأساس بوحدات 100 رطل لكل بوصة مربعة.
                      خط الأساس = ((الحجم المقدر) / (الضغط المقدر)) & مرات 2 & 100
                      خط الأساس = (85/2640) & مرات 2 & 100
                      خط الأساس = 6.4 قدم مكعب لكل 100 رطل لكل بوصة مربعة
                      يعني خط الأساس البالغ 6.4 أن لكل 100 رطل لكل بوصة مربعة مستخدمة = 6.4 قدم مكعب من الغاز.
                      ________________________________________
                      حساب عمق المخدر المكافئ (END)
                      بالنسبة لعمق معين باستخدام trimix ، فإن END هو العمق الذي تتوقع عنده نفس التخدير إذا كنت تغوص بالهواء.
                      النهاية = [(1-fHe) X (D + 33)] -33
                      fHe = جزء الهيليوم في الخليط
                      مثال: ما هي النهاية عند 240 قدمًا عند الغوص 17/45؟
                      النهاية = [(1-.45) X (240 + 33)] -33
                      النهاية = [(.55) X (273)] - 33
                      النهاية = 117 قدمًا من مياه البحر
                      بمعنى آخر ، الغطس 17/45 على ارتفاع 240 قدمًا له نفس التأثير المخدر لهواء الغوص على ارتفاع 117 قدمًا.


                      حساب عمق الهواء المكافئ (EAD)
                      EAD هو عمق معدل على طاولات الهواء عند الغوص في EANx. يعتمد EAD على إيجاد العمق الذي يكون فيه الهواء له نفس الضغط الجزئي للنيتروجين (PN2) مثل مزيج EANx. يحتوي EANx على نيتروجين أقل من الهواء ، لذا فإن EAD أقل من العمق الفعلي. احسب EAD بالصيغة أدناه.
                      EAD = [(1-fO2) X (D + 33)] / (. 79) - 33
                      مثال: ما هو EAD لـ EAN32 عند 100 fsw؟
                      EAD = [(1-.32) X (100 + 33)] / (. 79) -33
                      EAD = [(.68) X (133)] / (. 79) - 33
                      EAD = 81 fsw
                      ________________________________________
                      حساب الضغط الجزئي للغاز في العمق
                      هذه عملية من خطوتين. الخطوة الأولى هي حساب الحد الأقصى لـ ata للغوص.
                      الخطوة الثانية هي ضرب ata X جزء الغاز الذي نريد معرفة الضغط الجزئي له.
                      مثال: ما هو الضغط الجزئي للأكسجين في EAN32 عند 100 قدم؟
                      الخطوة الأولى: ata = (D / 33) +1
                      آتا = (100/33) +1
                      آتا = 4.03
                      الخطوة الثانية: PPO2 = 4.03 ata X .32
                      PPO2 = 1.28 ata
                      بعبارة أخرى ، الضغط الجزئي للأكسجين عند 100 قدم أثناء تنفس EAN32 هو 1.28 أتا (الأجواء المطلقة)

                      ________________________________________


                      حساب معدل استهلاك الهواء السطحي (SAC)

                      يعد حساب معدل SAC عملية متعددة الخطوات وحساب معدل SAC عدة مرات في ظل ظروف غوص متفاوتة ومستويات الراحة وأعباء العمل مطلوب للحصول على متوسط ​​معدل SAC بحيث يصبح رقمًا صالحًا للاستخدام بالنسبة لك.
                      احسب متوسط ​​ata للغوص.
                      احسب حجم الغاز المستخدم أثناء الغوص.
                      سجل مدة الغوص.
                      SAC = ((حجم الغاز المستخدم) / (وقت الغوص)) X متوسط ​​ata من الغوص

                      مثال: استخدم الغواص 1000 رطل / بوصة مربعة من مجموعة مزدوجة 104 (مصنفة عند 2640 رطل / بوصة مربعة) على مدى 40 دقيقة على عمق 70 قدمًا. يظهر حساب معدل SAC أدناه.
                      SAC = (78 & divide40) /3.12

                      SAC = 0.625 قدم مكعب / دقيقة
                      في المثال أعلاه افترضنا ملف تعريف مربع لذلك كان ata هو نفسه متوسط ​​ata. إذا كنا نقوم بغوص متعدد المستويات ، فسنحتاج إلى الحصول على متوسط ​​العمق من جهاز الكمبيوتر الخاص بنا أو جهاز ضبط الوقت السفلي.


                      * لاحظ أنه تم استخدام العديد من الصيغ المذكورة أعلاه لحساب معدل SAC.


                      6.4 قوة السحب وسرعة المحطة

                      قوة أخرى مثيرة للاهتمام في الحياة اليومية هي قوة السحب على جسم ما عندما يتحرك في سائل (إما غاز أو سائل). تشعر بقوة السحب عندما تحرك يدك عبر الماء. قد تشعر به أيضًا إذا حركت يدك أثناء هبوب رياح قوية. كلما حركت يدك بشكل أسرع ، زادت صعوبة تحريكها. تشعر بقوة سحب أصغر عندما تميل يدك بحيث يمر الجانب فقط في الهواء - لقد قللت من مساحة يدك التي تواجه اتجاه الحركة.

                      سحب القوات

                      مثل الاحتكاك ، فإن قوة السحب دائمًا تعارض حركة الجسم. على عكس الاحتكاك البسيط ، تتناسب قوة السحب مع بعض وظائف سرعة الجسم في ذلك السائل. هذه الوظيفة معقدة وتعتمد على شكل الجسم وحجمه وسرعته والسوائل الموجودة فيه. بالنسبة لمعظم الأجسام الكبيرة مثل راكبي الدراجات والسيارات والكرات الأساسية التي لا تتحرك ببطء شديد ، فإن حجم قوة السحب FDFD يتناسب مع مربع سرعة الجسم. يمكننا كتابة هذه العلاقة رياضيًا بالصيغة F D ∝ v 2. و د ∝ الخامس 2. عند الأخذ بعين الاعتبار العوامل الأخرى ، تصبح هذه العلاقة

                      قوة السحب

                      أين ج هو معامل السحب ، أ هي مساحة الجسم التي تواجه السائل ، و ρ ρ هي كثافة السائل.

                      يسعى الرياضيون ومصممي السيارات إلى تقليل قوة السحب لتقليل أوقات السباق (الشكل 6.29). يمكن للتشكيل الديناميكي الهوائي للسيارة أن يقلل من قوة السحب وبالتالي يزيد من المسافة المقطوعة بالغاز في السيارة.

                      قيمة معامل السحب ج يتم تحديده تجريبيا ، عادة باستخدام نفق الرياح (الشكل 6.30).

                      يمكن أن يعتمد معامل السحب على السرعة ، لكننا نفترض أنها ثابتة هنا. يسرد الجدول 6.2 بعض معاملات السحب النموذجية لمجموعة متنوعة من الكائنات. لاحظ أن معامل السحب هو كمية بلا أبعاد. عند السرعات على الطرق السريعة ، يتم استخدام أكثر من 50٪ و 50٪ من قوة السيارة للتغلب على مقاومة الهواء. تبلغ سرعة الانطلاق الأكثر كفاءة في استهلاك الوقود حوالي 70-80 كم / ساعة (حوالي 45-50 ميل / ساعة). لهذا السبب ، خلال أزمة النفط في السبعينيات في الولايات المتحدة ، تم ضبط السرعات القصوى على الطرق السريعة عند حوالي 90 كم / ساعة (55 ميل / ساعة).

                      موضوع ج
                      الطائرة 0.05
                      تويوتا كامري 0.28
                      فورد فوكس 0.32
                      سيارة هوندا سيفيك 0.36
                      فيراري تستاروسا 0.37
                      دودج رام بيك أب 0.43
                      جسم كروى 0.45
                      هامر H2 SUV 0.64
                      القفز بالمظلات (القدم أولا) 0.70
                      دراجة 0.90
                      لاعب القفز بالمظلات (أفقي) 1.0
                      لوحة مسطحة دائرية 1.12

                      يجري بحث كبير في عالم الرياضة لتقليل السحب. يتم إعادة تصميم الدمامل الموجودة على كرات الجولف ، وكذلك الملابس التي يرتديها الرياضيون. يرتدي المتسابقون على الدراجات وبعض السباحين والعدائين بدلات داخلية كاملة. ارتدت الأسترالية كاثي فريمان بدلة كاملة للجسم في أولمبياد سيدني 2000 وفازت بميدالية ذهبية في سباق 400 متر. ارتدى العديد من السباحين في أولمبياد بكين 2008 بدلات (سبيدو) ربما أحدثت فرقًا في تحطيم العديد من الأرقام القياسية العالمية (الشكل 6.31). يحلق معظم السباحين (وراكبي الدراجات) شعر الجسم. يمكن أن يكون لمثل هذه الابتكارات تأثير تقطيع أجزاء من الألف من الثانية في السباق ، مما يحدث أحيانًا فرقًا بين الميدالية الذهبية والميدالية الفضية. إحدى النتائج هي أنه يجب تطوير إرشادات دقيقة ودقيقة باستمرار للحفاظ على سلامة الرياضة.

                      السرعة النهائية

                      تحدث بعض المواقف المثيرة للاهتمام المرتبطة بقانون نيوتن الثاني عند النظر في تأثيرات قوى السحب على جسم متحرك. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك أن لاعب القفز بالمظلات يسقط في الهواء تحت تأثير الجاذبية. القوتان المؤثرتان عليه هما قوة الجاذبية وقوة السحب (تجاهل قوة الطفو الصغيرة). تظل قوة الجاذبية الهابطة ثابتة بغض النظر عن السرعة التي يتحرك بها الشخص. ومع ذلك ، مع زيادة سرعة الشخص ، يزداد حجم قوة السحب حتى يصبح حجم قوة السحب مساويًا لقوة الجاذبية ، مما ينتج عنه صافي قوة مقدارها صفر. تعني القوة الصافية الصفرية أنه لا يوجد تسارع ، كما هو موضح في قانون نيوتن الثاني. في هذه المرحلة ، تظل سرعة الشخص ثابتة ونقول إن الشخص قد وصل إلى سرعته النهائية (v T). (ت). نظرًا لأن F D F D يتناسب مع مربع السرعة ، يجب أن يتحرك لاعب القفز المظلي الأثقل بسرعة أكبر لكي تساوي F D F D وزنه. دعونا نرى كيف يعمل هذا من الناحية الكمية.

                      باستخدام معادلة قوة السحب ، لدينا

                      نحاول إيجاد السرعة

                      هذا يعني أن لاعب القفز بالمظلات بكتلة 75 كجم يحقق سرعة نهائية تبلغ حوالي 350 كم / ساعة أثناء السفر في وضع الرأس أولاً ، مما يقلل من المساحة وسحبه. في وضع النسر المنتشر ، قد تنخفض هذه السرعة النهائية إلى حوالي 200 كم / ساعة مع زيادة المنطقة. تصبح هذه السرعة النهائية أصغر بكثير بعد فتح المظلة.

                      مثال 6.17

                      السرعة النهائية للاعب القفز بالمظلات

                      إستراتيجية

                      حل

                      دلالة

                      أوجد السرعة النهائية لقافز مظلي وزنه 50 كجم يسقط بطريقة النسر المنتشر.

                      يقدم حجم الجسم الذي يسقط في الهواء تطبيقًا آخر مثيرًا للاهتمام لسحب الهواء. إذا سقطت من فرع شجرة ارتفاعه 5 أمتار ، فمن المحتمل أن تتأذى - وربما تكسر العظام. ومع ذلك ، فإن السنجاب الصغير يفعل ذلك طوال الوقت دون أن يصاب بأذى. أنت لا تصل إلى سرعة نهائية في مثل هذه المسافة القصيرة ، لكن السنجاب يصل إليها.

                      الاقتباس التالي المثير للاهتمام حول حجم الحيوان والسرعة النهائية مأخوذ من مقال كتبه عالم الأحياء البريطاني ج.ب.س هالدين عام 1928 بعنوان "في الحجم المناسب".

                      "بالنسبة للفأر وأي حيوان أصغر ، [الجاذبية] لا تمثل عمليا أي مخاطر. يمكنك إسقاط الماوس أسفل عمود منجم تبلغ مساحته ألف ياردة ، وعند وصوله إلى القاع ، يتعرض لصدمة طفيفة ويمشي بعيدًا ، بشرط أن تكون الأرض ناعمة إلى حد ما. يقتل فأر ، ورجل محطم ، ويتناثر حصان. لأن المقاومة المقدمة للحركة عن طريق الهواء تتناسب مع سطح الجسم المتحرك. اقسم طول الحيوان وعرضه وارتفاعه على عشرة ، يتم تقليل وزنه إلى جزء من الألف ، ولكن سطحه لا يتجاوز المائة. لذا فإن مقاومة السقوط في حالة الحيوان الصغير أكبر نسبيًا بعشر مرات من القوة الدافعة ".

                      لا يصمد الاعتماد التربيعي الموضح أعلاه لسحب الهواء على السرعة إذا كان الجسم صغيرًا جدًا أو يسير ببطء شديد أو في وسط أكثر كثافة من الهواء. ثم نجد أن قوة السحب تتناسب طرديًا مع السرعة فقط. هذه العلاقة معطاة بموجب قانون ستوكس.

                      قانون ستوكس

                      بالنسبة لجسم كروي يسقط في وسط ، تكون قوة السحب هي

                      تقدم الكائنات الحية الدقيقة وحبوب اللقاح وجزيئات الغبار أمثلة جيدة على قانون ستوكس. نظرًا لأن كل من هذه الأجسام صغيرة جدًا ، نجد أن العديد من هذه الأجسام تتحرك دون مساعدة إلا بسرعة ثابتة (نهائية). يمكن أن تكون السرعات النهائية للبكتيريا (حجم حوالي 1 ميكرومتر) 1 ميكرومتر) حوالي 2 ميكرومتر / ثانية. 2 ميكرومتر / ثانية. للتحرك بسرعة أكبر ، تسبح العديد من البكتيريا باستخدام سوط (عضيات على شكل ذيول صغيرة) تعمل بمحركات صغيرة مدمجة في الخلية.

                      إذا قارنا الحيوانات التي تعيش على الأرض بتلك الموجودة في الماء ، يمكنك أن ترى كيف أثر السحب على التطور. يتم تنظيم الأسماك والدلافين وحتى الحيتان الضخمة في الشكل لتقليل قوى السحب. الطيور مبسطة ، والأنواع المهاجرة التي تطير لمسافات طويلة غالبًا ما يكون لها سمات خاصة مثل الأعناق الطويلة. قطعان الطيور تطير على شكل رأس حربة حيث يشكل القطيع نمطًا انسيابيًا (الشكل 6.32). في البشر ، أحد الأمثلة المهمة على التبسيط هو شكل الحيوانات المنوية ، والتي يجب أن تكون فعالة في استخدامها للطاقة.

                      تفاعلي

                      في عروض المحاضرات ، نقوم بقياسات قوة السحب على كائنات مختلفة. يتم وضع الأشياء في تيار هواء موحد تم إنشاؤه بواسطة مروحة. احسب رقم رينولدز ومعامل السحب.

                      حساب التفاضل والتكامل لقوى الاحتكاك المعتمدة على السرعة

                      أين ب هو ثابت تعتمد قيمته على أبعاد وشكل الجسم وخصائص السائل ، و الخامس هي سرعة الجسم. حالتان يمكن أن تمثلهما هذه المعادلة قوة الاحتكاك وهما زورق آلي يتحرك عبر الماء وجسم صغير يسقط ببطء عبر سائل.

                      دعونا نفكر في سقوط الجسم عبر سائل. يوضح الشكل 6.33 مخطط الجسم الحر لهذا الكائن مع الاتجاه الإيجابي لأسفل. يعطي قانون نيوتن الثاني في الاتجاه الرأسي المعادلة التفاضلية

                      يمكننا إيجاد سرعة الجسم بدمج المعادلة التفاضلية لـ الخامس. أولاً ، نعيد ترتيب الحدود في هذه المعادلة للحصول عليها


                      6.4: الحجم - الرياضيات

                      النتيجة: SS6.3 - إظهار فهم للمضلعات المنتظمة وغير المنتظمة بما في ذلك:

                      · تصنيف أنواع المثلثات

                      · مقارنة أطوال الأضلاع

                      · مقارنة قياسات الزاوية

                      · التفريق بين المضلعات المنتظمة وغير المنتظمة

                      · تحليل التطابق

                      يمكنني شرح العلاقة بين أطوال الأضلاع في المضلع المنتظم.

                      يمكنني شرح العلاقة بين الزوايا في المضلع المنتظم.

                      فيديو يوتيوب

                      ما هي الإستراتيجية التي يمكنك استخدامها لتذكر الفرق بين محدب ، مقعر ، غير منتظم وغير مضلع؟


                      التفاضل والتكامل المنسق

                      كيف يتم حساب كتلة جسم متفاوت الكثافة؟

                      ما هو مركز كتلة الجسم ، وكيف يتم استخدام التكاملات المحددة لحسابه؟

                      تساعدنا دراسة وحدات التكامل ومتغير التكامل على فهم معنى التكامل المحدد. على سبيل المثال ، إذا كانت (v (t) ) هي سرعة جسم يتحرك على طول محور ، مقاسة بالأقدام في الثانية ، و (t ) يقيس الوقت بالثواني ، فإن كلا من التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان و

                      تحتوي على وحدات معطاة من ناتج وحدات (v (t) ) و (t text <:> )

                      وهكذا ، يقيس ( int_a ^ b v (t) ، dt ) التغيير الكلي في موضع الجسم المتحرك بالأقدام.

                      سيكون تحليل الوحدة مفيدًا بشكل خاص لنا فيما يلي.

                      مثال 6.46

                      في كل من السيناريوهات التالية ، نأخذ في الاعتبار توزيع كمية على طول المحور.

                      افترض أن الدالة (c (x) = 200 + 100 e ^ <- 0.1x> ) تمثل كثافة حركة المرور على طريق مستقيم ، مقاسة بالسيارات لكل ميل ، حيث (x ) هو عدد الأميال شرق تقاطع رئيسي ، والنظر في التكامل المحدد

                      ما هي وحدات المنتج (c (x) cdot Delta x text <؟> )

                      ما هي وحدات التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان لها

                      قم بتقييم التكامل المحدد ( int_0 ^ 2 c (x) ، dx = int_0 ^ 2 left (200 + 100 e ^ <- 0.1x> right) ، dx ) واكتب جملة واحدة لشرح معنى القيمة التي تجدها.

                      على رف بطول 6 أقدام مملوء بالكتب ، تقوم الوظيفة (ب ) بتوزيع وزن الكتب بالجنيه لكل بوصة ، حيث (س ) هو عدد البوصات من الطرف الأيسر لرف الكتب . دع (B (x) ) تُعطى بالقاعدة (B (x) = 0.5 + frac <1> <(x + 1) ^ 2> text <.> )

                      ما هي وحدات المنتج (B (x) cdot Delta x text <؟> )

                      ما هي وحدات التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان لها

                      احسب التكامل المحدد ( int_ <0> ^ <72> B (x) ، dx = int_0 ^ <72> left (0.5 + frac <1> <(x + 1) ^ 2> right ) ، dx ) واكتب جملة واحدة لشرح معنى القيمة التي تجدها.

                      بما أن (c (x) ) يحتوي على وحدات من السيارات لكل ميل ، و ( Delta x ) به وحدات من الأميال ، فإن (c (x) cdot Delta x ) به وحدات من السيارات.

                      من الإجابة إلى الجزء السابق ، يحتوي (c (x) cdot Delta x ) على وحدات من السيارات ، لذا سيكون المجموع والتكامل هو مجموع الأشياء بوحدات السيارات ، وبالتالي يحتوي أيضًا على وحدات من السيارات.

                      استخدام قاعدة الأس للتكامل:

                      وهذا يدل على وجود 581 سيارة على امتداد ميلين من الطريق.

                      بما أن (B (x) ) يحتوي على وحدات جنيه لكل بوصة ، و ( Delta x ) به وحدات من البوصة ، فإن (B (x) cdot Delta x ) به وحدات جنيه.

                      من الإجابة إلى الجزء السابق ، (B (x) cdot Delta x ) بها وحدات أرطال ، لذا سيكون المجموع والتكامل هو مجموع الأشياء بوحدات الجنيهات ، وبالتالي يكون لها أيضًا وحدات جنيه.

                      باستخدام قاعدة القوة ، نحصل على ذلك

                      وهذا يدل على وجود 36.986 رطلاً من الكتب على رف الكتب البالغ 72 بوصة.

                      كثافة القسم الفرعي

                      ال كتلة من كائن ، يقاس عادةً بالوحدات المترية مثل الجرامات أو الكيلوجرامات ، هو مقياس لكمية المادة في الكائن. ال كثافة كائن يقيس توزيع الكتلة لكل وحدة حجم. على سبيل المثال ، إذا كان لبنة كتلة 3 كجم وحجمها 0.002 م (^ 3 نص <،> ) فإن كثافة الطوب تكون

                      كمثال آخر ، تبلغ كثافة كتلة الماء 1000 كجم / م (^ 3 نص <.> ) توضح كل من هذه العلاقات المبدأ العام التالي.

                      صيغة الكثافة

                      لكائن ذي كثافة ثابتة (د نص <،> ) بكتلة (م ) وحجم (V نص <،> )

                      لكن ماذا يحدث عندما تكون الكثافة غير ثابتة؟

                      تذكرنا الصيغة (m = d cdot V ) بمعادلتين أخريين استخدمناهما في عملنا: لجسم يتحرك في اتجاه ثابت ، المسافة = المعدل ( cdot ) الوقت ، و المستطيل ، تُعطى مساحته بواسطة (A = l cdot w text <.> ) هذه الصيغ تثبت عندما تكون الكميات الأساسية المعنية ، مثل معدل تحرك الجسم وارتفاع المستطيل ، ثابت. عندما لا تكون هذه الكميات ثابتة ، فقد لجأنا إلى التكامل المحدد للمساعدة. من خلال العمل مع الشرائح الصغيرة التي تكون فيها كمية الفائدة (مثل السرعة) ثابتة تقريبًا ، يمكننا استخدام تكامل محدد لجمع القيم على القطع.

                      على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا وظيفة سرعة غير سالبة ليست ثابتة ، خلال فترة زمنية قصيرة ( Delta t text <،> ) نعلم أن المسافة المقطوعة تقريبًا (v (t) Delta t ) بما أن (v (t) ) ثابت تقريبًا في فترة زمنية صغيرة. وبالمثل ، إذا كنا نفكر في المنطقة الواقعة تحت دالة غير سالبة (f ) التي تتغير قيمتها ، في فترة قصيرة ( Delta x text <،> ) تكون المنطقة الواقعة أسفل المنحنى تقريبًا مساحة مستطيل ارتفاعه (f (x) ) وعرضه ( Delta x text <:> ) (f (x) Delta x text <.> ) يتم تمثيل كلا المبدأين بصريا في الشكل 6.47.

                      الشكل 6.47 على اليسار ، تقدير مقدار صغير من المسافة المقطوعة ، (v (t) Delta t text <،> ) وعلى اليمين ، مساحة صغيرة أسفل المنحنى ، (f (x) Delta س نص <.> )

                      بطريقة مماثلة ، إذا كانت كثافة كائن ما غير ثابتة ، فيمكننا استخدام تكامل محدد لحساب الكتلة الكلية للجسم. سنركز على المشكلات التي تختلف فيها الكثافة في بُعد واحد فقط ، لنقل على طول محور واحد.

                      مثال 6.48

                      دعنا نفكر في شريط رفيع بطول (ب ) يكون نهايته اليسرى في الأصل ، حيث (س = 0 نص <،> ) ونفترض أن الشريط له مساحة مقطعية ثابتة تبلغ 1 سم (^ 2 نص <.> ) ندع ( rho (x) ) تمثل دالة كثافة الكتلة للشريط ، مقاسة بالجرام لكل سنتيمتر مكعب. وهذا يعني أنه بالنظر إلى الموقع (x text <،> ) ( rho (x) ) يخبرنا تقريبًا عن مقدار الكتلة التي سيتم العثور عليها في شريحة بعرض سنتيمتر واحد من الشريط عند (x text <.> )

                      الشكل 6.49 شريط رفيع من مساحة المقطع العرضي الثابتة 1 سم (^ 2 ) بوظيفة الكثافة ( rho (x) ) g / cm (^ 3 text <.> )

                      حجم شريحة رفيعة من شريط العرض ( Delta x text <،> ) كما هو موضح في الشكل 6.49 ، هو مساحة المقطع العرضي مرات ( Delta x text <.> ) منذ ذلك الحين لكل مقطع عرضي مساحة ثابتة 1 سم (^ 2 نص <،> ) ويترتب على ذلك أن حجم الشريحة هو (1 Delta x ) سم (^ 3 نص <.> ) ولأن الكتلة هي حاصل ضرب الكثافة والحجم ، نلاحظ أن كتلة هذه الشريحة تقريبية

                      لذلك ، الكتلة الكلية للشريط تقاس بمجموع ريمان المقابل (والتكامل الذي يقارب)

                      (كالعادة ، مجموع ريمان تقريبي ، بينما التكامل سيكون الكتلة الدقيقة.)

                      في المثال أعلاه ، أصبح حساب كتلة القضيب أسهل من خلال حقيقة أن القضيب له مساحة مقطعية ثابتة. هذا يعني أن حجم أي شريحة رفيعة كان تقريبًا

                      بشكل منفصل عن قيمة (x text <،> ) مما سمح لنا باستنتاج أن كتلة الشريحة الرقيقة في (x ) كانت تقريبًا ( rho (x) cdot Delta x text < g> text <.> ) بشكل عام ، قد يختلف حجم الشرائح الرفيعة أيضًا مع (x text <.> ) في هذه الحالات ، إذا (A (x) ) يعطي مساحة المقطع العرضي عند (x text <،> ) ثم يكون حجم الشريحة الرفيعة عند (x ) تقريبًا (A (x) Delta x ) وبالتالي كتلة ستكون الشريحة تقريبًا ( rho (x) cdot A (x) Delta x text <.> ) من هذا التعبير ، ننتقل إلى تكامل محدد بالطريقة المعتادة للوصول إلى التالي.

                      حساب الكتلة باستخدام تكامل محدد

                      For an object whose mass is distributed along a single axis according to the function ( ho(x) ) and whose cross-sectional area at (x ) is given by the function (A(x) ext<,>) the total mass (M ) of the object between (x = a ) and (x = b ) is

                      Before embarking on an example, we require a short aside on units. The formula above implicitly assumes that the object in question is three-dimensional, since its cross sections have منطقة (A(x) ) and therefore its thin slices have volume (A(x) Delta x approx A(x), dx ext<.>) However, we can and often will consider mass and density in one- and two-dimensional settings. In these cases, cross sections don't have area, but rather they are points (in the one-dimensional case) or lengths (in the two-dimensional one). To avoid clashing with the usual convention that density is mass per unit volume, or (frac ext<,>) we leave the formula above in terms of three-dimensional objects, albeit with the caveat that for some problems terms like "area" and "volume" must be interpreted in context.

                      Example 6.50

                      Consider the triangle below, which has density given by ( ho(x) = 2x ext< g/cm>^ <2>) for (0 leq x leq 4 ext<.>) That is, the density of the triangle along a vertical slice at (x ) is (2x ext< g/cm>^ <2> ext<.>)

                      Figure 6.51 A triangle with density function ( ho(x) = 2x ext< g/cm>^ <2> ext<.>)

                      We'll compute the total mass (M ) of the triangle using a definite integral. To accomplish this, we first find the height of a vertical cross section at (x ) for (0 leq x leq 4 ext<.>) The equations of the lines representing the top and bottom edges of the triangle are (y = -frac<2>+2 ) and (y = frac<2>-2 ext<>) therefore, the height of a vertical cross section at (x ) is

                      Thus the mass of a thin slice at (x ) is

                      which evaluates to (frac<64><3> ext < g> ext<.>)

                      Calculating Mass using a Definite Integral

                      For an object of constant cross-sectional area whose mass is distributed along a single axis according to the function ( ho(x)) (whose units are units of mass per unit of length), the total mass, (M ext<,>) of the object between (x = a) and (x = b) is given by

                      Example 6.52

                      Consider the following situations in which mass is distributed in a non-constant manner.

                      Suppose that a thin rod with constant cross-sectional area of 1 cm(^2) has its mass distributed according to the density function ( ho(x) = 2e^<-0.2x> ext<,>) where (x) is the distance in cm from the left end of the rod, and the units of ( ho(x)) are g/cm. If the rod is 10 cm long, determine the exact mass of the rod.

                      Consider the cone that has a base of radius 4 m and a height of 5 m.

                      Picture the cone with the center of its base at the origin and think of the cone as a solid of revolution.

                      Write and evaluate a definite integral whose value is the volume of the cone.

                      Next, suppose that the cone has uniform density of 800 kg/m(^3 ext<.>) What is the mass of the solid cone?

                      Now suppose that the cone's density is not uniform, but rather that the cone is most dense at its base. In particular, assume that the density of the cone is uniform across cross sections parallel to its base, but that in each such cross section that is a distance (x) units from the origin, the density of the cross section is given by the function ( ho(x) = 400 + frac<200><1+x^2> ext<,>) measured in kg/m(^3 ext<.>) Determine and evaluate a definite integral whose value is the mass of this cone of non-uniform density. Do so by first thinking about the mass of a given slice of the cone (x) units away from the base remember that in such a slice, the density will be essentially constant.

                      Let a thin rod of constant cross-sectional area 1 cm(^2) and length 12 cm have its mass be distributed according to the density function ( ho(x) = frac<1><25>(x-15)^2 ext<,>) measured in g/cm. Find the exact location (x) at which to cut the bar so that the two pieces will each have identical mass.

                      Remember that (M = int_a^b ho(x) , dx ext<.>)

                      Think about slices: what's the volume of a slice? what's the mass of a slice?

                      Consider (int_0^b ho(x) , dx ext<.>)

                      (M = 0.1 - 0.1e^ <-4>approx 0.0981684) grams.

                      (V = int_<0>^ <5>pi (4 - frac<4><5>x)^2 , dx = frac<80pi> <3>approx 83.7758 mbox^3 ext<.>)

                      (M = int_<0>^ <5>(400 + frac<200><1+x^2>) cdot pi (4-frac<4><5>x)^2 , dx ) (= frac<32><5>pi(25015 - 5 ln(17576) + 72 an^<-1>(5) approx 33597.4664 mbox)

                      Since the mass, (M ext<,>) is given by (M = int_a^b ho(x) , dx ext<,>) it follows that

                      and hence (M = 0.1 - 0.1e^ <-4>approx 0.0981684) grams.

                      Consider the cone that has a base of radius 4 m and a height of 5 m.

                      With the cone having its base centered at the origin and being a solid of revolution about the (x)-axis, the cone is generated by the line (y = 4 - frac<4><5>x ext<.>) Using the disk method, it follows that the cone's volume is

                      If the cone has uniform density 800 kg/m(^3 ext<,>) we know that the cone's mass is the product of its density and volume, and thus

                      If the cone has non-uniform density, but is uniform across cross sections parallel to its base such that in each cross section a distance (x) units from the origin has its density given by ( ho(x) = 400 + frac<200><1+x^2>) kg/m(^3 ext<,>) we naturally consider slices of the cone that are perpendicular to the (x)-axis. For each such slice, the radius is (r(x) = 4 - frac<4><5>x ext<,>) which makes the volume of the slice

                      Since the density is constant on the slice with value ( ho(x) = 400 + frac<200><1+x^2> ext<,>) it follows that the mass of the slice is

                      Using a definite integral to let (Delta x o 0) and add up the values of all of the slices, we thus find the mass of the cone with this density distribution to be

                      The total mass of the bar is given by (M = int_<0>^ <12>frac<1><25>(x-15)^2 , dx = frac<1116><25> ext<.>) To find where to cut the bar in two so that the two pieces have equal mass, we have to determine the value of (b) such that

                      Since (int_<0>^ frac<1><25>(x-15)^2 , dx = frac<1><75>( (b-15)^3 - (-15)^3 ) ext<,>) we need to have (b) satisfy the equation

                      Thus, ((b-15)^3 - (-15)^3 = 75 cdot frac<558> <25>= 3 cdot 558 = 1674 ext<,>) so ((b-15)^3 = 1675 - 3375 = -1700 ext<.>) It follows that (b-15 = sqrt[3] <-1700>approx -11.9348 ext<,>) so (b approx 3.0652 ext<.>)

                      Subsection Radial Density

                      In some 2D or 3D objects, density depends on distance from a center point. In this case, we will apply the principle from the previous section (that mass is the integral of density), but must make a slight adjustment to account for the fact that layers of the same thickness will have different volumes depending on their distance from the center.

                      Example 6.53

                      Consider a 1 meter long metal pipe covered with a layer of insulation. How would we find the total mass of the pipe? We would need to add up the masses of the metal and the insulation, and these masses can be found by taking density times volume:

                      But note that the density of the layer depends on its distance from the center: close to the center of the pipe, the hollow core of the pipe has 0 density, at a radius of (r_1) the metal pipe has a high density, and at a radius of (r_2) the insulation has a low density. Let us use ( ho(r)) to denote the density as a function of distance (r) from the center.

                      Next, to get (V_< ext>) we can use approximate volume as circumference times thickness times length, so (V approx (2pi r_i)(Delta r)(1 ext< meter>)=(2pi r_i)(Delta r) ext<.>) Thus the mass of a single layer is approximately

                      Summing both layers, we get that

                      is the total mass of the pipe.

                      We can generalize the formula we found in the previous example to any object for which density depends on radius. That more general formula is

                      where ( ho(r)) is the density of the object a distance of (r_i) from the center.

                      Similar to the earlier applications in this chapter: we will take the limit as (Delta r ightarrow 0 ext<,>) and doing so turns the sum into an integral.

                      Calculating Mass using a Definite Integral for Radially Symmetric Objects

                      For a 2D disk (respectively, 3D cylinder), if the density of the object depends only on the distance from the center point (respectively, center axis) according to the function ( ho(r) ext<,>) then the mass per unit length (respectively, mass of the object) is given by the formula

                      where (R) is the outer radius of the object.

                      Note that this formula is almost identical to the one we use for calculating mass of an object with constant cross-sectional area, except that this formula incorporates a factor of (2 pi r) (the circumference of a circle) inside the integral.

                      Example 6.54

                      After an oil spill, scientists measure that the concentration of oil depends on the distance from the source according to the function ( ho(r)=150 e^<-r^2>) where (r) is in miles, and ( ho(r)) is in barrels per square mile. If the spill has reached a maximum radius of 5 miles, how much oil was spilled?

                      Set up the integral like for the mass of a disk, then integrate. To evaluate the integral use the (u)-substitution (u=-r^2 ext<.>)

                      Since the density depends on the radius, we will use the mass of a disk formula (displaystyle int_<0>^R ho(r)(2pi r), dr ext<.>)

                      For us, the maximum radius is (R=5) miles, so the total amount of oil is

                      Example 6.55

                      The 2D region bounded by (y=6-x ext<,>) (x=0 ext<,>) (x=3 ext<,>) and (y=0) (pictured below), is rotated around the (x)-axis to make a solid of revolution.

                      Figure 6.56 The 2D region before it is rotated around the (x)-axis.

                      When this object is carved out of material, its density depends on the distance from the (x)-axis according to ( ho_(r)=9-r ext<.>)

                      Fix a value of (x) in the interval ([0,3] ext<.>) Set up and evaluate the integral to find ( ho_(x) ext<,>) the mass per unit length of the circular cross-section at that (x)-value. (Your answer will be in terms of (x ext<.>))

                      Use your answer to the previous question and the techniques in the Calculating Mass using a Definite Integral section to find the total mass of the object.

                      Each cross-section is a disk with outer radius (y=6-x ext<.>)

                      Since we have circular cross-sections and their density only depends on the distance to the center of the circle (which is the (x)-axis), we will integrate as we do for a disk. Note that our outer radius depends on the (x)-value, and in fact, the outer radius is (y=6-x ext<.>) Therefore,

                      What we found in the previous part is the mass per unit length, so just as in "Calculating Mass using a Definite Integral", we simply need to integrate ( ho_(x)) from the endpoints (a=0) to (b=3 ext<:>)

                      Example 6.57

                      Suppose that a circular city's population density is given by ( ho(r)=1000-100r ext<,>) where (r) is the distance from the city's center in miles and ( ho(r)) is in units of people per square mile. If the city has a radius of 6 miles, find the population of the city.

                      Set up the integral like for the mass of a disk, then integrate.

                      Since the density depends on the radius, we will use the mass of a disk formula (displaystyle int_<0>^R ho(r)(2pi r), dr ext<.>)

                      For us, the maximum radius is (R=6) miles, so the total population is

                      Example 6.58

                      When the density of a spherical object only depends on the distance from the center, the formula for the object's mass is

                      which is identical to the formula for a circular object, except that the circumference of a circle ((C=2pi r)) is replaced by the surface area of a sphere ((A=4pi r^2)).

                      The earth is denser near its core. Suppose that the density of the earth was given by ( ho(r)=(-0.0016)r+13 ) where (r) has units of kilometers and ( ho) is in trillions of kilograms per cubic kilometer (in more normal units, (1 ext< trillion >frac=1 frac)).

                      The earth has a radius of approximately 6300 kilometers. Find the total mass of the earth.

                      The volume of a sphere is (V=frac 43 pi R^3 ext<.>) Find the volume of the earth, and calculate the average density of the earth. (Average density is the total mass divided by total volume.)

                      Goofus sees that at the center of the earth, the density is ( ho(0)=13 ext<,>) and at the surface the density is ( ho(6300)=2.92 ext<,>) and therefore concludes that the average density of the earth is (frac<13+2.92><2>=7.96 ext<.>) Is Goofus correct? If he is not, explain why his calculation is incorrect.

                      The earth's inner core has a radius of 1200 kilometers. Find the average density of the earth's inner core.

                      What percent of the earth's mass is in the inner core? What percent of the earth's volume is in the inner core?

                      Set up and evaluate the integral given by the equation

                      Use the volume formula to get the volume, then divide mass by volume to get the average density.

                      Perform the same calculations as parts (a.) and (b.) but for the smaller radius.

                      Divide your answers to the previous parts.

                      The mass of the earth is roughly (5.7 imes 10^ <12>) trillions of kilograms.

                      The volume of the earth is (V=1.05 imes 10^<12>) cubic kilometers. Its average density is (5.44) trillions of kilograms per cubic kilometer.

                      The density is (11.56 ) trillion kilograms per cubic kilometer.

                      Approximately (1.47 \%) of the earth's mass is in the inner core.

                      Approximately (0.689 \%) of the earth's volume is in the inner core.

                      We must take the integral:

                      so the mass of the earth is roughly (5.7 imes 10^ <12>) trillions of kilograms.

                      The volume formula for a sphere says that the volume of the earth is (V=frac<4><3>pi (6300)^3=1.05 imes 10^<12>) cubic kilometers. Therefore, its average density is (displaystyle frac<5.7 imes 10^<12>><1.05 imes 10^<12>>=5.44) trillions of kilograms per cubic kilometer.

                      Goofus is incorrect. His calculation is wrong because he is not taking into account the factor of (r^2) inside the integral, which counts the lower-density parts on the outside of the earth more than the higher-density parts near the center. For instance, his average treated innermost 1 kilometer of the earth as having the same volume as the outermost 1 kilometer of earth, even though the latter is much larger in terms of volume.

                      We will essentially repeat our calculations from parts (a.) and (b.), except with 1200 as the maximum radius instead of 6300. Therefore, the volume of the inner core is (V=frac<4><3>pi (1200)^3=7.24 imes 10^<9>) cubic killometers, and the mass is

                      so the density is ((8.37 imes 10^<10>)/(7.24 imes 10^<9>)=11.56 ) trillion kilograms per cubic kilometer.

                      In the previous parts, we saw that the mass of the inner core was (8.37 imes 10^<10>) and the mass of the whole earth was (5.7 imes 10^<12> ext<,>) so dividing gives that approximately (1.47 \%) of the earth's mass is in the inner core.

                      In the previous parts, we saw that the volume of the inner core was (7.24 imes 10^<9>) and the volume of the whole earth was (1.05 imes 10^<12> ext<,>) so dividing gives that approximately (0.689 \%) of the earth's volume is in the inner core.

                      Subsection Weighted Averages

                      The concept of an average is a natural one, and one that we have used repeatedly as part of our understanding of the meaning of the definite integral. If we have (n) values (a_1 ext<,>) (a_2 ext<,>) (ldots ext<,>) (a_n ext<,>) we know that their average is given by

                      and for a quantity being measured by a function (f) on an interval ([a,b] ext<,>) the average value of the quantity on ([a,b]) is

                      As we continue to think about problems involving the distribution of mass, it is natural to consider the idea of a موزون average, where certain quantities involved are counted more in the average.

                      A common use of weighted averages is in the computation of a student's GPA, where grades are weighted according to credit hours. Let's consider the scenario in Table6.59.

                      class grade grade points credits
                      chemistry ب + 3.3 5
                      calculus A- 3.7 4
                      history B- 2.7 3
                      psychology B- 2.7 3

                      If all of the classes were of the same weight (i.e., the same number of credits), the student's GPA would simply be calculated by taking the average

                      But since the chemistry and calculus courses have higher weights (of 5 and 4 credits respectively), we actually compute the GPA according to the weighted average

                      The weighted average reflects the fact that chemistry and calculus, as courses with higher credits, have a greater impact on the students' grade point average. Note particularly that in the weighted average, each grade gets multiplied by its weight, and we divide by the sum of the weights.

                      In the following example, we explore further how weighted averages can be used to find the balancing point of a physical system.

                      Example 6.60

                      For quantities of equal weight, such as two children on a teeter-totter, the balancing point is found by taking the average of their locations. When the weights of the quantities differ, we use a weighted average of their respective locations to find the balancing point.

                      Suppose that a shelf is 6 feet long, with its left end situated at (x = 0 ext<.>) If one book of weight 1 lb is placed at (x_1 = 0 ext<,>) and another book of weight 1 lb is placed at (x_2 = 6 ext<,>) what is the location of (overline ext<,>) the point at which the shelf would (theoretically) balance on a fulcrum?

                      Now, say that we place four books on the shelf, each weighing 1 lb: at (x_1 = 0 ext<,>) at (x_2 = 2 ext<,>) at (x_3 = 4 ext<,>) and at (x_4 = 6 ext<.>) Find (overline ext<,>) the balancing point of the shelf.

                      How does (overline) change if we change the location of the third book? Say the locations of the 1-lb books are (x_1 = 0 ext<,>) (x_2 = 2 ext<,>) (x_3 = 3 ext<,>) and (x_4 = 6 ext<.>)

                      Next, suppose that we place four books on the shelf, but of varying weights: at (x_1 = 0) a 2-lb book, at (x_2 = 2) a 3-lb book, at (x_3 = 4) a 1-lb book, and at (x_4 = 6) a 1-lb book. Use a weighted average of the locations to find (overline ext<,>) the balancing point of the shelf. How does the balancing point in this scenario compare to that found in (b)?

                      What happens if we change the location of one of the books? Say that we keep everything the same in (d), except that (x_3 = 5 ext<.>) How does (overline) change?

                      What happens if we change the weight of one of the books? Say that we keep everything the same in (d), except that the book at (x_3 = 4) now weighs 2 lbs. How does (overline) change?

                      Experiment with a couple of different scenarios of your choosing where you move one of the books to the left, or you decrease the weight of one of the books.

                      Write a couple of sentences to explain how adjusting the location of one of the books or the weight of one of the books affects the location of the balancing point of the shelf. Think carefully here about how your changes should be considered relative to the location of the balancing point (overline) of the current scenario.

                      Find the average location.

                      Note that you are averaging 4 locations.

                      If the book at location (x_1) weighs 2 pounds, it's like there are two books at (x_1 ext<,>) so (2x_1) must play a role in the average.

                      Compare the effects of moving locations left and adding weight to the left of the balancing point.


                      6.4 Green’s Theorem

                      In this section, we examine Green’s theorem, which is an extension of the Fundamental Theorem of Calculus to two dimensions. Green’s theorem has two forms: a circulation form and a flux form, both of which require region د in the double integral to be simply connected. However, we will extend Green’s theorem to regions that are not simply connected.

                      Put simply, Green’s theorem relates a line integral around a simply closed plane curve ج and a double integral over the region enclosed by ج. The theorem is useful because it allows us to translate difficult line integrals into more simple double integrals, or difficult double integrals into more simple line integrals.

                      Extending the Fundamental Theorem of Calculus

                      Recall that the Fundamental Theorem of Calculus says that

                      When we have a potential function (an “antiderivative”), we can calculate the line integral based solely on information about the boundary of curve ج.

                      Green’s theorem takes this idea and extends it to calculating double integrals. Green’s theorem says that we can calculate a double integral over region د based solely on information about the boundary of د. Green’s theorem also says we can calculate a line integral over a simple closed curve ج based solely on information about the region that ج encloses. In particular, Green’s theorem connects a double integral over region د to a line integral around the boundary of د.

                      Circulation Form of Green’s Theorem

                      The first form of Green’s theorem that we examine is the circulation form. This form of the theorem relates the vector line integral over a simple, closed plane curve ج to a double integral over the region enclosed by ج. Therefore, the circulation of a vector field along a simple closed curve can be transformed into a double integral and vice versa.

                      Green’s Theorem, Circulation Form

                      يترك د be an open, simply connected region with a boundary curve ج that is a piecewise smooth, simple closed curve oriented counterclockwise (Figure 6.33). Let F = 〈 P , Q 〉 F = 〈 P , Q 〉 be a vector field with component functions that have continuous partial derivatives on د. ثم،

                      Notice that Green’s theorem can be used only for a two-dimensional vector field F. إذا F is a three-dimensional field, then Green’s theorem does not apply. حيث

                      this version of Green’s theorem is sometimes referred to as the tangential form of Green’s theorem .

                      The proof of Green’s theorem is rather technical, and beyond the scope of this text. Here we examine a proof of the theorem in the special case that د is a rectangle. For now, notice that we can quickly confirm that the theorem is true for the special case in which F = 〈 P , Q 〉 F = 〈 P , Q 〉 is conservative. In this case,

                      because the circulation is zero in conservative vector fields. By Cross-Partial Property of Conservative Fields, F satisfies the cross-partial condition, so P y = Q x . P y = Q x . لذلك،

                      which confirms Green’s theorem in the case of conservative vector fields.

                      دليل

                      Let’s now prove that the circulation form of Green’s theorem is true when the region د is a rectangle. يترك د be the rectangle [ a , b ] × [ c , d ] [ a , b ] × [ c , d ] oriented counterclockwise. Then, the boundary ج من د consists of four piecewise smooth pieces C 1 , C 1 , C 2 , C 2 , C 3 , C 3 , and C 4 C 4 (Figure 6.34). We parameterize each side of د كما يلي:

                      By the Fundamental Theorem of Calculus,

                      To prove Green’s theorem over a general region د, we can decompose د into many tiny rectangles and use the proof that the theorem works over rectangles. The details are technical, however, and beyond the scope of this text.

                      Example 6.38

                      Applying Green’s Theorem over a Rectangle

                      Calculate the line integral

                      حل

                      يترك د be the rectangular region enclosed by ج (Figure 6.35). By Green’s theorem,

                      تحليل

                      If we were to evaluate this line integral without using Green’s theorem, we would need to parameterize each side of the rectangle, break the line integral into four separate line integrals, and use the methods from Line Integrals to evaluate each integral. Furthermore, since the vector field here is not conservative, we cannot apply the Fundamental Theorem for Line Integrals. Green’s theorem makes the calculation much simpler.

                      Example 6.39

                      Applying Green’s Theorem to Calculate Work

                      Calculate the work done on a particle by force field

                      حل

                      يترك ج denote the circle and let د be the disk enclosed by ج. The work done on the particle is

                      As with Example 6.38, this integral can be calculated using tools we have learned, but it is easier to use the double integral given by Green’s theorem (Figure 6.36).

                      Checkpoint 6.34

                      Use Green’s theorem to calculate line integral

                      In the preceding two examples, the double integral in Green’s theorem was easier to calculate than the line integral, so we used the theorem to calculate the line integral. In the next example, the double integral is more difficult to calculate than the line integral, so we use Green’s theorem to translate a double integral into a line integral.

                      Example 6.40

                      Applying Green’s Theorem over an Ellipse

                      Calculate the area enclosed by ellipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (Figure 6.37).

                      حل

                      يترك ج denote the ellipse and let د be the region enclosed by ج. Recall that ellipse ج can be parameterized by

                      These two integrals are not straightforward to calculate (although when we know the value of the first integral, we know the value of the second by symmetry). Instead of trying to calculate them, we use Green’s theorem to transform ∬ D d A ∬ D d A into a line integral around the boundary ج.

                      Therefore, the area of the ellipse is π a b . π a b .

                      It’s worth noting that if F = 〈 P , Q 〉 F = 〈 P , Q 〉 is any vector field with Q x − P y = 1 , Q x − P y = 1 , then the logic of the previous paragraph works. وبالتالي. Equation 6.14 is not the only equation that uses a vector field’s mixed partials to get the area of a region.

                      Checkpoint 6.35

                      Find the area of the region enclosed by the curve with parameterization r ( t ) = 〈 sin t cos t , sin t 〉 , 0 ≤ t ≤ π . r ( t ) = 〈 sin t cos t , sin t 〉 , 0 ≤ t ≤ π .

                      Flux Form of Green’s Theorem

                      Green’s Theorem, Flux Form

                      يترك د be an open, simply connected region with a boundary curve ج that is a piecewise smooth, simple closed curve that is oriented counterclockwise (Figure 6.38). Let F = 〈 P , Q 〉 F = 〈 P , Q 〉 be a vector field with component functions that have continuous partial derivatives on an open region containing د. ثم،

                      Because this form of Green’s theorem contains unit normal vector ن, it is sometimes referred to as the normal form of Green’s theorem .

                      دليل

                      Example 6.41

                      Applying Green’s Theorem for Flux across a Circle

                      يترك ج be a circle of radius ص centered at the origin (Figure 6.39) and let F ( x , y ) = 〈 x , y 〉 . F ( x , y ) = 〈 x , y 〉 . Calculate the flux across ج.

                      حل

                      Example 6.42

                      Applying Green’s Theorem for Flux across a Triangle

                      يترك س be the triangle with vertices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , and ( 0 , 3 ) ( 0 , 3 ) oriented clockwise (Figure 6.40). Calculate the flux of F ( x , y ) = 〈 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 〉 = 〈 x 2 + e y , x + y 〉 F ( x , y ) = 〈 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 〉 = 〈 x 2 + e y , x + y 〉 across س.

                      حل

                      To calculate the flux without Green’s theorem, we would need to break the flux integral into three line integrals, one integral for each side of the triangle. Using Green’s theorem to translate the flux line integral into a single double integral is much more simple.

                      Checkpoint 6.36

                      Example 6.43

                      Applying Green’s Theorem for Water Flow across a Rectangle

                      حل

                      يترك ج represent the given rectangle and let د be the rectangular region enclosed by ج. To find the amount of water flowing across ج, we calculate flux ∫ C v ⋅ N ds . ∫ C v ⋅ N ds . Let P ( x , y ) = 5 x + y P ( x , y ) = 5 x + y and Q ( x , y ) = x + 3 y Q ( x , y ) = x + 3 y so that v = ( P , Q ) . v = ( P , Q ) . Then, P x = 5 P x = 5 and Q y = 3 . Q y = 3 . By Green’s theorem,

                      Therefore, the water flux is 80 m 2 /sec.

                      Recall that if vector field F is conservative, then F does no work around closed curves—that is, the circulation of F around a closed curve is zero. In fact, if the domain of F is simply connected, then F is conservative if and only if the circulation of F around any closed curve is zero. If we replace “circulation of F” with “flux of F,” then we get a definition of a source-free vector field. The following statements are all equivalent ways of defining a source-free field F = 〈 P , Q 〉 F = 〈 P , Q 〉 on a simply connected domain (note the similarities with properties of conservative vector fields):

                      Example 6.44

                      Finding a Stream Function

                      حل

                      To find a stream function for F, proceed in the same manner as finding a potential function for a conservative field. يترك g be a stream function for F. Then g y = y , g y = y , which implies that

                      To confirm that g is a stream function for F, note that g y = y = P g y = y = P and − g x = − x = Q . − g x = − x = Q .

                      Checkpoint 6.37

                      Find a stream function for vector field F ( x , y ) = 〈 x sin y , cos y 〉 . F ( x , y ) = 〈 x sin y , cos y 〉 .

                      Example 6.45

                      Satisfying Laplace’s Equation

                      حل

                      Checkpoint 6.38

                      Is the function f ( x , y ) = e x + 5 y f ( x , y ) = e x + 5 y harmonic?

                      Green’s Theorem on General Regions

                      Green’s theorem, as stated, applies only to regions that are simply connected—that is, Green’s theorem as stated so far cannot handle regions with holes. Here, we extend Green’s theorem so that it does work on regions with finitely many holes (Figure 6.43).

                      Before discussing extensions of Green’s theorem, we need to go over some terminology regarding the boundary of a region. يترك د be a region and let ج be a component of the boundary of د. We say that ج هو positively oriented if, as we walk along ج in the direction of orientation, region د is always on our left. Therefore, the counterclockwise orientation of the boundary of a disk is a positive orientation, for example. Curve ج هو negatively oriented if, as we walk along ج in the direction of orientation, region د is always on our right. The clockwise orientation of the boundary of a disk is a negative orientation, for example.

                      يترك د be a region with finitely many holes (so that د has finitely many boundary curves), and denote the boundary of د by ∂ D ∂ D (Figure 6.44). To extend Green’s theorem so it can handle د, we divide region د into two regions, D 1 D 1 and D 2 D 2 (with respective boundaries ∂ D 1 ∂ D 1 and ∂ D 2 ) , ∂ D 2 ) , in such a way that D = D 1 ∪ D 2 D = D 1 ∪ D 2 and neither D 1 D 1 nor D 2 D 2 has any holes (Figure 6.44).

                      Assume the boundary of د is oriented as in the figure, with the inner holes given a negative orientation and the outer boundary given a positive orientation. The boundary of each simply connected region D 1 D 1 and D 2 D 2 is positively oriented. إذا F is a vector field defined on د, then Green’s theorem says that

                      Therefore, Green’s theorem still works on a region with holes.

                      Therefore, we arrive at the equation found in Green’s theorem—namely,

                      The same logic implies that the flux form of Green’s theorem can also be extended to a region with finitely many holes:

                      Example 6.46

                      Using Green’s Theorem on a Region with Holes

                      أين د is the annulus given by the polar inequalities 1 ≤ r ≤ 2 , 1 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ 2 π . 0 ≤ θ ≤ 2 π .

                      حل

                      Although د is not simply connected, we can use the extended form of Green’s theorem to calculate the integral. Since the integration occurs over an annulus, we convert to polar coordinates:

                      Example 6.47

                      Using the Extended Form of Green’s Theorem

                      حل

                      Case 1: ج Does Not Encompass the Origin

                      In this case, the region enclosed by ج is simply connected because the only hole in the domain of F is at the origin. We showed in our discussion of cross-partials that F satisfies the cross-partial condition. If we restrict the domain of F just to ج and the region it encloses, then F with this restricted domain is now defined on a simply connected domain. حيث F satisfies the cross-partial property on its restricted domain, the field F is conservative on this simply connected region and hence the circulation ∮ C F · d r ∮ C F · d r is zero.

                      Case 2: ج Does Encompass the Origin

                      be a parameterization of C 1 . C 1 . ثم،

                      Therefore, ∫ C F · d s = − 2 π . ∫ C F · d s = − 2 π .

                      Student Project

                      Measuring Area from a Boundary: The Planimeter

                      Imagine you are a doctor who has just received a magnetic resonance image of your patient’s brain. The brain has a tumor (Figure 6.47). How large is the tumor? To be precise, what is the area of the red region? The red cross-section of the tumor has an irregular shape, and therefore it is unlikely that you would be able to find a set of equations or inequalities for the region and then be able to calculate its area by conventional means. You could approximate the area by chopping the region into tiny squares (a Riemann sum approach), but this method always gives an answer with some error.

                      Instead of trying to measure the area of the region directly, we can use a device called a rolling planimeter to calculate the area of the region exactly, simply by measuring its boundary. In this project you investigate how a planimeter works, and you use Green’s theorem to show the device calculates area correctly.

                      A rolling planimeter is a device that measures the area of a planar region by tracing out the boundary of that region (Figure 6.48). To measure the area of a region, we simply run the tracer of the planimeter around the boundary of the region. The planimeter measures the number of turns through which the wheel rotates as we trace the boundary the area of the shape is proportional to this number of wheel turns. We can derive the precise proportionality equation using Green’s theorem. As the tracer moves around the boundary of the region, the tracer arm rotates and the roller moves back and forth (but does not rotate).

                      يترك ج denote the boundary of region د, the area to be calculated. As the tracer traverses curve ج, assume the roller moves along the ذ-axis (since the roller does not rotate, one can assume it moves along a straight line). Use the coordinates ( x , y ) ( x , y ) to represent points on boundary ج, and coordinates ( 0 , Y ) ( 0 , Y ) to represent the position of the pivot. As the planimeter traces ج, the pivot moves along the ذ-axis while the tracer arm rotates on the pivot.


                      شاهد الفيديو: حساب الحجم. الرياضيات. القياس والبيانات (ديسمبر 2021).