مقالات

6: تطبيقات التكامل - الرياضيات


خريطة النص هذه قيد الإنشاء حاليًا ... يرجى التحلي بالصبر معنا.


هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين في جميع أنحاء العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


لحسن الحظ ، فإن Integrand متساوية ، لذلك لدينا

لإيجاد هذا ، سنحسب التكامل

حيث $ Gamma_R $ هو نصف دائرة نصف قطر $ R $ في النصف العلوي من المستوى ، $ C_R $ ، جنبًا إلى جنب مع قطعة الخط بين $ z = -R $ و $ z = R $ على المحور الحقيقي.

نحتاج إلى إظهار أن التكامل الذي يزيد عن $ C_R $ يختفي كـ $ R إلى infty $. في الواقع ، تعطي متباينة المثلث

حيث $ L (C_R) $ هو طول $ C_R $. من هذا قد نستنتج ذلك

يتم حساب التكامل الموجود على اليسار من خلال نظرية المخلفات. مقابل $ R & GT 1 دولار لدينا

حيث $ zeta $ هو الجذر السادس البدائي للوحدة و $ omega = e ^$. لاحظ أن هذا يرجع إلى أن $ omega $ و $ zeta omega $ و $ zeta ^ 2 omega $ هي الأعمدة الوحيدة للتكامل وداخل $ Gamma_R $. يمكن حساب مجموع البقايا مباشرة ، ونجد ذلك


1. تطبيقات لا يتجزأ إلى أجل غير مسمى


قطار عالي السرعة [مصدر الصورة]

من التطبيقات المفيدة جدًا لحساب التفاضل والتكامل الإزاحة والسرعة والتسارع.

تذكر (من المشتق كمعدل تغيير فوري) أنه يمكننا إيجاد تعبير له ● السرعة عن طريق التفريق بين التعبير عن الإزاحة:

وبالمثل ، يمكننا إيجاد المقدار الخاص بـ التسريع عن طريق اشتقاق التعبير عن السرعة ، وهذا يعادل إيجاد المشتق الثاني للإزاحة:

ويترتب على ذلك (بما أن التكامل هو العملية المعاكسة للتفاضل) أن الحصول على الإزاحة، `s` من كائن في الوقت` t` (بالنظر إلى التعبير عن السرعة ، `v`) سنستخدم:

وبالمثل ، فإن ● السرعة من كائن في الوقت `t` مع تسريع` a` ، يتم الحصول عليه من خلال:

مثال 1

تبدأ السيارة من السكون عند `s = 3 " m "` من الأصل ولها تسارع في الوقت `t` معطى بواسطة` a = 2t-5 "ms" ^ - 2`. أوجد سرعة السيارة وإزاحتها عند `t = 4 " s "`.


7. العمل بواسطة قوة متغيرة باستخدام التكامل

العمل (دبليو) تقوم به بقوة ثابتة (F) العمل على جسم بتحريكه لمسافة (د) اعطي من قبل:

مثال على الشغل الذي تقوم به قوة ثابتة

تزن التفاحة حوالي `1 & quotN & quot`. إذا رفعت التفاحة `1 & quotm & quot` فوق طاولة ، تكون قد أنجزت ما يقرب من` 1 & quotNewton meter (Nm) & quot` من العمل.


حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الفصل 6 تطبيق المشتقات

حلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الفصل 6 تطبيقات المشتقات: يجب على الطلاب الذين يستعدون لامتحانات لوحة الفصل 12 و JEE (الرئيسي والمتقدم) إنهاء الكتب المدرسية للرياضيات NCERT تمامًا. يجب أن تفهم النظرية الكامنة وراء كل مفهوم ثم حل الأسئلة في نهاية كل فصل. بمجرد الانتهاء من المنهج بأكمله ومراجعته. يجب أن تذهب من خلال الحلول لكل سؤال. في هذه المقالة ، سنزودك بحلول NCERT للفصل 12 الرياضيات الفصل 6 - تطبيقات المشتقات.

الفصل 12 الرياضيات الفصل 6 حلول NCERT - تطبيقات المشتقات

تم تصميم حلول NCERT للرياضيات للصف 12 الفصل 6 - تطبيقات المشتقات من قبل كبار المعلمين وذوي الخبرة. راجعهم واحصل على فكرة واضحة حول كيفية التعامل مع المشكلات حتى تتمكن من حلها بأكثر الطرق فعالية.

المواضيع والمواضيع الفرعية التي يتضمنها باب تطبيقات المشتقات هي كالتالي:


المشتقات العكسية

ثلاثة أمثلة لنوع من المشاكل التي تنشأ في سياقات مختلفة هي التالية: ابحث عن دالة التكلفة C (x) إذا كانت التكلفة الهامشية C '(x) معروفة ، أوجد السكان P (t) لمستعمرة بيولوجية إذا كان المعدل P' (ص) عند معرفة السكان يتغيرون ، أوجد الإزاحة s (t) لجسم ما في الوقت t إذا كانت السرعة v (t) = s '(r) معروفة.
لاحظ أن كل هذه المشكلات تشترك في نفس التنسيق الأساسي: للعثور على f (x) ، معطى f '(x). يتم حل كل هذه المشكلات عن طريق التباين. مثال أولي من الأعمال هو حالة الشركة المصنعة التي تحدد ذلك خلال فترة الإنتاج الأولية. تزداد التكلفة الحدية للإنتاج خطيًا وتعطيها C '(x) = 2x. سنحاول إيجاد دالة التكلفة المقابلة C (x) التي من أجلها C '(x) = 2x. على الرغم من عدم وجود إجراءات تحليلية لإيجاد مثل C (x) ، يجب أن يكون واضحًا أن دالة التكلفة C (x) = x 2 ستعطينا التكلفة الهامشية المعروفة C '(x) = 2x. لكن وظائف التكلفة الأخرى ستعمل أيضًا. على سبيل المثال،

وفي الواقع لأي رقم أ ،


وبالتالي ، فإن أي دالة تكلفة في النموذج C (x) = x 2 + a ستعطي الإيرادات الحدية المرغوبة C '(x) = 2x هناك حاجة إلى مزيد من المعلومات لتحديد قيمة محددة لـ a. سنعود إلى هذا في لحظة. تسمى العملية التي ندرسها الآن عدم التمايز. في الإعداد العام ، يمكن ذكرها على النحو التالي:

تعريف
لوظيفة معينة f (x) ، وظيفة g مثل ذلك


يسمى مشتق عكسي لـ f. تسمى عملية إيجاد مثل هذه الوظيفة g التمايز المضاد. يفضل بعض علماء الرياضيات تسمية هذه العملية بالتكامل غير المحدود ، أو ببساطة التكامل لأسباب ستتضح في الأقسام اللاحقة.

في مثالنا التمهيدي ، كل من وظائف التكلفة x 2 ، x 2 + 1 ، و x 2 + 10 هي مشتق عكسي لـ f (x) = 2x علاوة على ذلك ، C (x) = x 2 + a هي مشتق عكسي لـ f ( س) = 2x لأي اختيار من أ. بشكل عام ، عندما تكون g (x) مشتق عكسي لـ f (x) ، يكون g (x) + a لأي رقم a ، حيث

من الممكن إثبات النتيجة التالية الأقوى:

إذا كانت g هي أي مشتق عكسي لـ f ، فيجب أن يكون لكل مشتق عكسي آخر الشكل g (x) + a لبعض الأرقام a.
وبالتالي ، يمكننا التفكير في g (x) + a باعتبارها المشتق العكسي الأكثر عمومية لـ f. وبالتالي ، فإن المشتق العكسي الأكثر عمومية لـ f ليس دالة واحدة بل فئة من الوظائف g (x) + a التي تعتمد على a.

قدم عالم الرياضيات الألماني جوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716) التدوين

(اقرأ كـ & quotthe antiderivative of f & quot or & quotthe forefinite Integration of f & quot) لتمثيل المشتق العكسي الأكثر عمومية لـ f. وبالتالي ، إذا كانت g هي أي مشتق عكسي لـ f ، فعندئذٍ لأي رقم a.

مثال 2

مثال 3


غالبًا ما يُطلق على الرقم أ الذي ينشأ في عدم التمايز & "ثابت تعسفي". & quot (لأسباب ستتضح لاحقًا ، يُطلق عليه أيضًا & quotstant of Integantation. & quot) في الأمثلة لدينا استخدمنا الحرف أ لتعيين هذا الثابت ، ولكن من الناحية العملية ، يتم استخدام c عادةً. (استخدمنا الحرف أ بدلا من ج للتوضيح الأولي الذي يتضمن التكلفة منذ أن تم استخدام c للإشارة إلى التكلفة.) يقدم لنا المثال التالي نظرة ثاقبة على أهمية هذا الثابت التعسفي.

افترض أنه خلال المراحل الأولى من الإنتاج ، تكون التكلفة الحدية لإنتاج سلعة ما هي C '(x) = 2x دولار لكل وحدة. هذه المرة ، افترض أن الشركة المصنعة تعرف أيضًا أن التكلفة الثابتة للإنتاج ، C (0) ، هي 500 دولار. أوجد دالة التكلفة المقابلة C (x).

لقد رأينا بالفعل أن أي دالة تكلفة لهذه التكلفة الحدية يجب أن تكون بالصيغة C (x) = x 2 + a لبعض الثابت a. حيث

لدينا = 500. وهكذا ، فإن دالة التكلفة تعطى بواسطة C (x) = x 2 + 500

من هذا المثال ، نرى أن الثابت التعسفي c هو التكلفة الثابتة للإنتاج. إن معرفة التكلفة الحدية فقط لا يمكن أن يخبرنا أن التكلفة الثابتة هي التكلفة الثابتة وهي معلومات إضافية. سيكون لكل من وظائف التكلفة المقابلة للتكلفة الحدية C '(x) = 2x النموذج

النتيجتان التاليتان مفيدتان جدًا في تقييم المشتقات العكسية. هنا ، تشير n إلى رقم حقيقي و c ثابت تكامل.

لاحظ أن القاعدة (2) تنطبق على n! = - 1. وتغطي القاعدة (3) الحالة التي تكون فيها n = -1. للتحقق من القاعدة (2) ، نستخدم التعريف (1) على النحو التالي:


6: تطبيقات التكامل - الرياضيات

تسمح لنا التكاملات بحل المشكلات التي تتضمن تراكم التغيير خلال فترة. سوف نستكشف كيفية إيجاد التكاملات من الرسم البياني وكيفية تفسير معناها في السياق.

13 - 14 يناير

الدرس 26

يمكن تقريب المنطقة الواقعة أسفل المنحنى (التكامل) باستخدام Riemann Sums.

15 - 16 يناير

الدرس 27

التكامل المحدد هو المساحة الدقيقة أسفل منحنى خلال فترة زمنية محددة. يمكن تمثيل التكاملات المحددة بحدود مجموع Riemann Sums والعكس بالعكس.

21 - 22 يناير

الدرس 28

تسمح لنا النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بربط التفاضل والتكامل. سوف نتعلم خصائص التكاملات والتقنيات الأساسية لمكافحة التمايز.

29 - 30 يناير

الدرس 29

توفر قواعد التفاضل الأساس لإيجاد المشتقات العكسية. سنستمر في البحث عن طرق لإيجاد المشتقات العكسية باستخدام التعويض وتطبيقها على التكاملات غير المحددة ، وهي تكاملات بدون حدود تكامل.

31 يناير - 3 فبراير

الدرس 30

سوف نتعلم كيفية استخدام القسمة المطولة وإكمال المربع لإيجاد التكاملات.

4-5 فبراير

نظرة عامة على تقييم الوحدة السادسة

الدرس 25 - 26 اختبار نقاط التفتيش

3 نقاط التقييم. غير مسموح بالآلات الحاسبة.

21 - 22 يناير

الدرس 27 - 28 اختبار نقاط التفتيش

3 نقاط التقييم. غير مسموح بالآلات الحاسبة.

31 يناير - 3 فبراير

الدرس 29 - 30 اختبار نقاط التفتيش

3 نقاط التقييم. غير مسموح بالآلات الحاسبة.

6 - 7 فبراير

وحدة 6 GRASP

الوحدة السادسة ، راجع مستند GRASP المرتبط أدناه

6 - 7 فبراير

مراجعة الوحدة السادسة

سيتم تقديم حزمة مراجعة واختبار الممارسة للوحدة السادسة

10-11 فبراير

امتحان الوحدة السادسة

لن تكون اختبارات الوحدة هي MCQ و FRQ بنمط AP. سيتم الكشف عن التنسيق خلال يوم مراجعة الوحدة السادسة.

12-13 فبراير

الدرس 25

من 13 إلى 14 يناير

المواضيع

6.1 & # 8211 استكشاف تراكمات التغيير
6.5 & # 8211 تفسير سلوك وظائف التراكم التي تنطوي على المنطقة

تفاهمات دائمة

CHA-4
تسمح لنا التكاملات المحددة بحل المشكلات التي تتضمن تراكم التغيير خلال فترة.

FUN-5
تربط النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بين التفاضل والتكامل.

أهداف

CHA-4.A
فسر معنى المناطق المرتبطة بالرسم البياني لمعدل التغيير في السياق.

FUN-5.A
تمثيل دوال التراكم باستخدام تكاملات محددة.

المعرفة الأساسية

CHA-4.A.1
مساحة المنطقة الواقعة بين الرسم البياني لوظيفة معدل التغيير والمحور x تعطي تراكم التغيير.

CHA-4.A.2
في بعض الحالات ، يمكن تقييم تراكم التغيير باستخدام الهندسة.

CHA-4.A.3
إذا كان معدل التغيير موجبًا (سلبيًا) خلال فترة ، فإن التغيير المتراكم يكون موجبًا (سلبيًا).

CHA-4.A.4
وحدة مساحة المنطقة المحددة بواسطة معدل التغيير هي وحدة معدل التغيير مضروبة في وحدة المتغير المستقل.

FUN-5.A.3
توفر التمثيلات الرسومية والرقمية والتحليلية واللفظية للدالة f معلومات حول الوظيفة g المحددة على أنها تكامل f (t) dt من a إلى x.

جدول أعمال

(مجموعات) استفسار POGIL

(صف دراسي) مناقشة الاستفسار والملاحظات

(المجموعات / الفصل) أسئلة مستوى AP

(فردي) تذكرة الخروج والواجبات المنزلية

موارد

الواجب المنزلي

الدرس 26

من 15 إلى 16 يناير

المواضيع

6.2 & # 8211 تقريب المناطق بمجموع ريمان

تفاهمات دائمة

ليم -5
يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام الطرق الهندسية والرقمية.

أهداف

ليم -5
تقريب تكامل محدد باستخدام الطرق الهندسية والعددية.

المعرفة الأساسية

LIM-5.A.1
يمكن تقريب التكاملات المحددة للوظائف التي يتم تمثيلها بيانيًا ورقميًا وتحليليًا ولفظيًا.

LIM-5.A.2
يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام مجموع Riemann الأيسر ، أو مجموع Riemann الأيمن ، أو مجموع نقاط الوسط Riemann ، أو تقريب المجموع شبه المنحرف يمكن حسابه باستخدام أقسام موحدة أو غير منتظمة.

LIM-5.A.3
يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق عددية ، مع أو بدون تقنية.

LIM-5.A.4
اعتمادًا على سلوك الوظيفة ، قد يكون من الممكن تحديد ما إذا كان تقريب تكامل محدد هو تقدير أقل أو مبالغًا لقيمة التكامل المحدد.

جدول أعمال

(صف دراسي) مراجعة الواجب المنزلي وخلاصة الدرس 25

(مجموعات) الدرس 26 نشاط POGIL

(صف دراسي) الدرس 26 أسئلة مستوى AP

موارد

الواجب المنزلي

الدرس 27 (L 25-26 اختبار!)

من 21 إلى 22 يناير

المواضيع

6.3 & # 8211 مجموع ريمان ، تدوين التلخيص ، والتدوين المتكامل المحدد

تفاهمات دائمة

ليم -5
يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام الطرق الهندسية والرقمية.

أهداف

ليم -5 ب
فسر الحالة المحددة لمجموع ريمان على أنها جزء لا يتجزأ من المبلغ المحدد.

ليم -5
تمثيل الحالة المحددة لمجموع ريمان كتكامل محدد.

المعرفة الأساسية

LIM-5.B.1
يمكن تفسير الحد التقريبي لمجموع ريمان على أنه تكامل محدد.

LIM-5.B.2
مجموع Riemann ، الذي يتطلب قسمًا من الفاصل الزمني I ، هو مجموع المنتجات ، كل منها هو قيمة الوظيفة عند نقطة في فاصل زمني فرعي مضروبًا في طول تلك الفاصل الزمني الفرعي للقسم.

LIM-5.C.1
التكامل المحدد للدالة المستمرة f على الفاصل الزمني [a ، b] ، يُشار إليه بواسطة baf (x) dx ، هو حد مجموع Riemann حيث تقترب عروض الفترات الفرعية من 0. أي حيث n هو عدد الفترات الفرعية ، xi هو عرض ith subinterval ، و x * i قيمة في iith subinterval.

LIM-5.C.2
يمكن ترجمة التكامل المحدد إلى حد مجموع Riemann ذي الصلة ، ويمكن كتابة حد مجموع Riemann باعتباره تكاملًا محددًا.

جدول أعمال

(صف دراسي) مراجعة الواجب المنزلي والأسئلة

(فردي) الدرس 25 & # 8211 26 اختبار نقاط التفتيش

(صف دراسي) تلخيص مجموع ريمان وحدود أمثلة موجّهة لمجموع ريمان


6: تطبيقات التكامل - الرياضيات

1.1 التكاملات البسيطة غير المحددة

التكامل غير المحدود ، المعروف أيضًا باسم التمايز المضاد ، هو عكس عملية التمايز. بالنظر إلى الدالة f ، يمكن للمرء أن يجد دالة F مثل F '= f.

يعد العثور على المشتقات العكسية عملية مهمة في التفاضل والتكامل. يتم استخدامه كطريقة للحصول على المنطقة الواقعة تحت منحنى وللحصول على العديد من المعادلات الفيزيائية والكهربائية التي يستخدمها العلماء والمهندسون كل يوم. على سبيل المثال ، معادلة التيار عبر مكثف هي

، حيث أنا موجود بالأمبير ، C هي السعة في فاراد ، V هي الجهد بالفولت و t الوقت بالثواني. للحصول على مجهول (مثل V) ، يجب على المرء استخدام التكامل للحصول على جهد في فترة زمنية معينة.

بينما يوجد تكامل حقيقي بين حد معين ، فإن أخذ التكامل غير المحدد هو ببساطة عكس التفاضل بنفس الطريقة التي يعكس بها القسمة الضرب. بدلاً من وجود مجموعة من القيم الحدودية ، لا يجد المرء إلا معادلة تنتج التكامل بسبب التفاضل دون الحاجة إلى استخدام القيم للحصول على إجابة محددة.

افترض أن لدينا المعادلة f (x) = 3x 2. نرغب في إيجاد معادلة F (x) بحيث تكون F '(x) = 3x 2. إحدى الطرق التي يمكن استخدامها هي قاعدة الأس من التفاضل العكسي للحصول على F (x) = x 3. ومع ذلك ، ليس هذا هو الجواب الوحيد. تذكر أنه عند اشتقاق ثابت ، تكون النتيجة صفرًا (0). لذلك ، يمكن أن تكون الوظيفة أيًا مما يلي:

كما رأينا ، إذا كان أحدهم يميز كل واحدة من المعادلات ، فإن النتيجة تصبح هي نفسها: F (x) = 3x 2. من الواضح أن هناك قدرًا غير محدود من النتائج التي يمكن للمرء الحصول عليها ، وكلها تختلف حسب الثابت - ثابت التكامل (C). إذا كانت F هي المشتق العكسي لـ f ، فإن (F + C) هي المشتق العكسي لـ f. يتم تلخيص ذلك في المعادلة التالية:

النظرية 1: المشتقات العكسية تختلف بواسطة ثابت

إذا كانت F مشتقة عكسية للدالة المستمرة f ، فيجب أن يكون لأي مشتق عكسي آخر الشكل

يشير هذا إلى أن مشتقتين لهما نفس الوظيفة يختلفان في قيمة ثابت التكامل ، والذي يمكن أن يكون صفرًا. الدليل: إذا كانت F و G كلاهما مشتقات عكسية لـ f ، فإن F '= f و G' و f وتنص نظرية الفرق الثابت على أن G (x) - F (x) = C ، لذلك G (x) = F (x ) + ج.

قبل تجربة بعض الأمثلة ، من الضروري تحديد بعض قواعد التكامل الأساسية التي تسمح للمرء بأخذ المشتقة العكسية للدالة التفاضلية. يسرد الرسم البياني التالي القواعد الأساسية. ستتبع طرق أكثر تعقيدًا.


حكم الاختلاف

ال حكم الاختلاف يخبرنا كيف يجب علينا تكامل الدوال التي تتضمن اختلافًا بين حدين أو أكثر. إنها في الأساس نفس قاعدة الجمع لأنها تخبرنا أنه يجب علينا تكامل كل حد في المجموع بشكل منفصل. الاختلاف الوحيد هو أن الترتيب الذي تظهر به المصطلحات أمر بالغ الأهمية ، ويجب عدم تغييره. يمكننا أن نذكر هذه القاعدة رسميًا على النحو التالي:

لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أننا نريد إيجاد التكامل غير المحدد لدالة كثيرة الحدود ƒ (x) = 4x & thinsp3 - 18x - 7. عند تطبيق قاعدة المجموع ، نحصل على:

& int(4x & thinsp3 - 18x - 7) دx = & int4x & thinsp3 دx - & int18x دx - & int7 دx
& int (6x & thinsp2 + 8x + 10) دx = x & thinsp4 - 9x & thinsp2 - 7x + ج

قواعد الجمع والفرق هي في الأساس نفس القاعدة. إذا أردنا تكامل دالة تحتوي على مجموع وفرق عدد من المصطلحات ، فإن النقاط الرئيسية التي يجب تذكرها هي أنه يجب علينا تكامل كل مصطلح على حدة ، والحرص على الحفاظ على الترتيب الذي تظهر به المصطلحات. لا تتغير علامة زائد أو ناقص أمام كل مصطلح. بدلاً من ذلك ، يمكنك التفكير في الدالة على أنها مجموع عدد من المصطلحات الموجبة والسالبة ، وتطبيق قاعدة الجمع فقط. الطلب إذن غير مهم - ما عليك سوى أن تضع في اعتبارك علامة كل مصطلح.


شاهد الفيديو: مادة الرياضيات للصف الثالث الثانوي. درس تطبيقات على التكامل - المساحات (شهر نوفمبر 2021).