مقالات

5.4: الحركة في الفضاء - الرياضيات


لقد رأينا الآن كيفية وصف المنحنيات في المستوى وفي الفضاء ، وكيفية تحديد خصائصها ، مثل طول القوس والانحناء. لدينا الآن كل الأدوات التي نحتاجها ؛ في هذا القسم ، نجمع هذه الأفكار معًا وننظر في كيفية استخدامها.

متجهات الحركة في الطائرة وفي الفضاء

تستخدم نقطة البداية وظائف ذات قيمة متجهة لتمثيل موضع كائن كدالة زمنية. يمكن تطبيق كل المواد التالية إما على منحنيات في المستوى أو على منحنيات الفضاء. على سبيل المثال ، عندما ننظر إلى مدار الكواكب ، فإن المنحنيات التي تحدد هذه المدارات تقع جميعها في مستوى لأنها بيضاوية الشكل. ومع ذلك ، فإن الجسيم الذي يسير على طول الحلزون يتحرك على منحنى في ثلاثة أبعاد.

التعريف: السرعة ، السرعة ، والتسارع

لنفترض أن ( vec r (t) ) دالة ذات قيمة متجهة قابلة للتفاضل مرتين للمعلمة (t ) التي تمثل موضع الكائن كدالة للوقت.

يتم إعطاء متجه السرعة ( vec v (t) ) للكائن بواسطة

[ text {Velocity} ، = vec v (t) = vec r ′ (t). التسمية {Eq1} ]

يتم تعريف متجه التسارع ( vec a (t) ) على أنه

[ text {Acceleration} ، = vec a (t) = vec v ′ (t) = vec r ″ (t). التسمية {Eq2} ]

ال سرعة يعرف بأنه

[ mathrm {Speed} ، = v (t) = ‖ vec v (t) ‖ = ‖ vec r ′ (t) ‖ = dfrac {ds} {dt}. التسمية {Eq3} ]

نظرًا لأن ( vec { mathbf r} (t) ) يمكن أن يكون في بعدين أو ثلاثة أبعاد ، يمكن أن تحتوي هذه الوظائف ذات القيمة المتجهة على مكونين أو ثلاثة مكونات. في بعدين ، نحدد ( vec { mathbf r} (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} ) وفي ثلاثة أبعاد ( vec r (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} + z (t) hat { mathbf k} ). ثم يمكن كتابة السرعة والعجلة والسرعة كما هو موضح في الجدول التالي.

الجدول ( PageIndex {1} ): صيغ الموضع ، والسرعة ، والتسارع ، والسرعة
كميةبعدينثلاثة أبعاد
موضع ( vec { mathbf r} (t) = x (t) قبعة { mathbf i} + y (t) قبعة { mathbf j} ) ( vec { mathbf r} (t) = x (t) hat { mathbf i} + y (t) hat { mathbf j} + z (t) hat { mathbf k} )
سرعة ( vec { mathbf v} (t) = x ′ (t) قبعة { mathbf i} + y ′ (t) قبعة { mathbf j} ) ( vec { mathbf v} (t) = x ′ (t) قبعة { mathbf i} + y ′ (t) قبعة { mathbf j} + z ′ (t) hat { mathbf k } )
التسريع ( vec { mathbf a} (t) = x ″ (t) قبعة { mathbf i} + y ″ (t) قبعة { mathbf j} ) ( vec { mathbf a} (t) = x ″ (t) قبعة { mathbf i} + y ″ (t) قبعة { mathbf j} + z ″ (t) hat { mathbf k } )
سرعة ( | vec { mathbf v} (t) | = sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} ) ( | vec { mathbf v} (t) | = sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2+ (z ′ (t)) ^ 2} )

مثال ( PageIndex {1} ): دراسة الحركة على طول القطع المكافئ

يتحرك جسيم في مسار مكافئ محدد بواسطة الدالة ذات القيمة المتجهة ( vec { mathbf r} (t) = t ^ 2 hat { mathbf i} + sqrt {5 − t ^ 2} hat { mathbf j} ) ، حيث (t ) يقيس الوقت بالثواني.

  1. أوجد السرعة والعجلة والسرعة كوظائف زمنية.
  2. ارسم المنحنى مع متجه السرعة في الوقت (t = 1 ).

حل

  1. نستخدم المعادلات ref {Eq1} و ref {Eq2} و ref {Eq3}:

    [ start {align *} vec { mathbf v} (t) & = vec { mathbf r} ′ (t) = 2t hat { mathbf i} - dfrac {t} { sqrt { 5-t ^ 2}} hat { mathbf j} vec { mathbf a} (t) & = vec { mathbf v} ′ (t) = 2 hat { mathbf i} −5 (5 − t ^ 2) ^ {- frac {3} {2}} hat { mathbf j} || vec { mathbf v} (t) || & = || vec { mathbf r} ′ (t) || & = (2t) ^ 2 + left (- dfrac {t} { sqrt {5-t ^ 2}} right) ^ 2 & = sqrt {4t ^ 2 + dfrac {t ^ 2} {5-t ^ 2}} & = sqrt { dfrac {21t ^ 2-4t ^ 4} {5-t ^ 2}}. النهاية {محاذاة *} ]

  2. يمثل الرسم البياني لـ ( vec { mathbf r} (t) = t ^ 2 hat { mathbf i} + sqrt {5 − t ^ 2} hat { mathbf j} ) جزءًا من القطع المكافئ (الشكل ( PageIndex {1} )). متجه السرعة عند (t = 1 ) هو

    [ vec { mathbf v} (1) = vec { mathbf r} ′ (1) = 2 (1) hat { mathbf i} - frac {1} { sqrt {5-1 ^ 2}} hat { mathbf j} = 2 hat { mathbf i} - frac {1} {2} hat { mathbf j} ]

    ومتجه التسارع عند (t = 1 ) هو

    [ vec { mathbf a} (1) = vec { mathbf v} ′ (1) = 2 hat { mathbf i} −5 (5 - 1 ^ 2) ^ {- 3/2} قبعة { mathbf j} = 2 hat { mathbf i} - frac {5} {8} hat { mathbf j}. ]

    لاحظ أن متجه السرعة مماس للمسار ، كما هو الحال دائمًا.

تمرين ( PageIndex {1} )

يتحرك الجسيم في مسار محدد بواسطة دالة القيمة المتجهية ( vec r (t) = (t ^ 2−3t) ، hat { mathbf i} + (2t − 4) ، hat { mathbf j} + (t + 2) ، hat { mathbf k} ) ، حيث (t ) يقيس الوقت بالثواني وأين تقاس المسافة بالأقدام. أوجد السرعة والعجلة والسرعة كوظائف زمنية.

تلميح

استخدم المعادلات ref {Eq1} و ref {Eq2} و ref {Eq3}.

إجابه

[ start {align *} vec v (t) = vec {r} '(t) & = (2t-3) ، hat { mathbf i} +2 ، hat { mathbf j } + ، hat { mathbf k} vec a (t) & = vec v ′ (t) = 2 ، hat { mathbf i} end {align *} ]

[|| vec {r} ′ (t) || = sqrt {(2t-3) ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {4t ^ 2-12t + 14} ]

وحدات السرعة والسرعة هي قدم لكل ثانية ، ووحدات التسارع هي قدم لكل ثانية تربيع.

للحصول على فهم أفضل لمتجهات السرعة والتسارع ، تخيل أنك تقود على طريق متعرج. إذا لم تقم بإدارة عجلة القيادة ، فستستمر في خط مستقيم وتهرب من الطريق. تعطي السرعة التي تسافر بها عند الركض خارج الطريق ، إلى جانب الاتجاه ، متجهًا يمثل سرعتك ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

ومع ذلك ، فإن حقيقة أنه يجب عليك إدارة عجلة القيادة للبقاء على الطريق تشير إلى أن سرعتك تتغير دائمًا (حتى لو لم تكن سرعتك) لأن سرعتك اتجاه يتغير باستمرار لإبقائك على الطريق. عندما تستدير إلى اليمين ، يشير متجه التسارع أيضًا إلى اليمين. عندما تستدير إلى اليسار ، يشير متجه التسارع إلى اليسار. يشير هذا إلى أن متجهات السرعة والتسارع تتغير باستمرار ، بغض النظر عما إذا كانت سرعتك الفعلية تختلف (الشكل ( PageIndex {3} )).

مكونات متجه التسريع

يمكننا دمج بعض المفاهيم التي تمت مناقشتها في Arc Length and Curvature مع متجه التسارع لاكتساب فهم أعمق لكيفية ارتباط هذا المتجه بالحركة في المستوى وفي الفضاء. تذكر أن متجه ظل الوحدة ( vec T ) والمتجه العادي للوحدة ( vec N ) يشكلان مستوى متذبذبًا في أي نقطة (P ) على المنحنى المحدد بواسطة دالة ذات قيمة متجهة ( vec {r} (t) ). توضح النظرية التالية أن متجه التسارع ( vec {a} (t) ) يقع في المستوى المتذبذب ويمكن كتابته كمجموعة خطية من وحدة الظل والمتجهات العادية للوحدة.

Theorem ( PageIndex {1} ): مستوى متجه التسريع

يقع متجه التسارع ( vec {a} (t) ) لكائن يتحرك على طول منحنى تتبعه دالة قابلة للتفاضل مرتين ( vec {r} (t) ) في المستوى الذي تشكله الوحدة ناقل الظل ( vec T (t) ) والمتجه العادي للوحدة الرئيسية ( vec N (t) ) إلى (C ). علاوة على ذلك،

[ vec {a} (t) = v '(t) vec {T} (t) + [v (t)] ^ 2 kappa vec {N} (t) ]

هنا ، (v (t) = | vec v (t) | ) هي سرعة الكائن و ( kappa ) هو انحناء (C ) تتبعه ( vec {ص} (ر) ).

دليل

لأن ( vec {v} (t) = vec {r} ′ (t) ) و ( vec {T} (t) = dfrac { vec {r} ′ (t)} {| | vec {r} ′ (t) ||} ) ، لدينا ( vec v (t) = || vec {r} ′ (t) || vec {T} (t) = v (ر) vec {T} (t) ).

الآن نفرق هذه المعادلة:

[ vec {a} (t) = vec {v} ′ (t) = dfrac {d} {dt} left (v (t) vec {T} (t) right) = v ′ (t) vec {T} (t) + v (t) vec {T} ′ (t) ]

منذ ( vec {N} (t) = dfrac { vec {T} ′ (t)} {|| vec {T} ′ (t) ||} ) ، نعلم ( vec { T} ′ (t) = || vec {T} ′ (t) || vec {N} (t) ) ، لذلك

[ vec {a} (t) = v ′ (t) vec {T} (t) + v (t) || vec {T} ′ (t) || vec {N} (t) . ]

صيغة الانحناء هي ( kappa = dfrac {|| vec {T} '(t) ||} {|| vec {r}' (t) ||} ) ، لذا ( vec {T} '(t) = kappa || vec {r}' (t) || = kappa v (t) ).

هذا يعطي ( vec {a} (t) = v ′ (t) vec {T} (t) + kappa (v (t)) ^ 2 vec {N} (t). )

(ميدان)

يُشار إلى معاملات ( vec {T} (t) ) و ( vec {N} (t) ) باسم المكون المماسي للتسارع و ال المكون الطبيعي للتسارع، على التوالى. نكتب (a_ vec {T} ) للإشارة إلى المكون العرضي و (a_ vec {N} ) للإشارة إلى المكون العادي.

Theroem ( PageIndex {2} ): المكونات المماسية والعادية للتسريع

لنفترض أن ( vec {r} (t) ) دالة ذات قيمة متجهة تشير إلى موضع الكائن كدالة للوقت. إذن ( vec {a} (t) = vec {r} ′ ′ (t) ) هو متجه التسارع. يتم إعطاء المكونات العرضية والعادية للتسريع (a_ vec {T} ) و (a_ vec {N} ) من خلال الصيغ

[a _ { vec {T}} = vec a cdot vec {T} = dfrac { vec {v} cdot vec {a}} {|| vec {v} ||} التسمية {Eq1B} ]

و

[a_ vec {N} = vec a cdot vec N = dfrac {|| vec v times vec a ||} {|| vec v ||} = sqrt {|| vec a || ^ 2 - { left (a _ { vec {T}} right) ^ 2}}. التسمية {Eq2B} ]

هذه المكونات مرتبطة بالصيغة

[ vec {a} (t) = a_ vec {T} vec {T} (t) + a_ vec {N} vec {N} (t). التسمية {Eq3B} ]

هنا ( vec {T} (t) ) هو متجه ظل الوحدة للمنحنى المحدد بواسطة ( vec {r} (t) ) ، و ( vec {N} (t) ) هو المتجه العادي للوحدة للمنحنى المحدد بواسطة ( vec {r} (t) ).

يُطلق على المكون الطبيعي للتسارع أيضًا اسم عنصر الجاذبية للتسارع أو في بعض الأحيان مكون شعاعي للتسارع. لفهم التسارع المركزي ، افترض أنك تسافر في سيارة على مسار دائري بسرعة ثابتة. ثم ، كما رأينا سابقًا ، يشير متجه التسارع إلى مركز المسار في جميع الأوقات. بصفتك متسابقًا في السيارة ، تشعر بسحب نحو في الخارج من المسار لأنك تدور باستمرار. يعمل هذا الإحساس في الاتجاه المعاكس لتسارع الجاذبية. وينطبق الشيء نفسه على المسارات غير الدائرية. السبب هو أن جسمك يميل إلى التحرك في خط مستقيم ويقاوم القوة الناتجة عن التسارع التي تدفعه نحو الجانب. لاحظ أنه عند النقطة (B ) في الشكل ( PageIndex {4} ) ، يشير متجه التسارع إلى الخلف. هذا لأن السيارة تتباطأ مع دخولها في المنحنى.

توفر متجهات الوحدة العرضية والعادية في أي نقطة معينة على المنحنى إطارًا مرجعيًا في تلك النقطة. المكونات العرضية والعادية للتسارع هي إسقاطات متجه التسارع على ( vec T ) و ( vec N ) ، على التوالي.

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن مكونات التسريع

يتحرك جسيم في مسار محدد بواسطة دالة القيمة المتجهية ( vec {r} (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf i} + (2t − 3) ، hat { mathbf j } + (3t ^ 2−3t) ، hat { mathbf k} ) ، حيث (t ) يقيس الوقت بالثواني والمسافة تقاس بالأقدام.

  1. ابحث عن (a_ vec {T} ) و (a_ vec {N} ) كوظائف في (t ).
  2. ابحث عن (a_ vec {T} ) و (a_ vec {N} ) في الوقت (t = 2 ).

حل

  1. [ vec {v} (t) = vec {r} (t) = 2t ، hat { mathbf i} +2 ، hat { mathbf j} + (6t-3) ، قبعة { mathbf k} ]
    [ vec {a} (t) = vec {v} '(t) = 2 ، hat { mathbf i} +6 ، hat { mathbf k} ]
    [ begin {align *} a _ { vec {T}} & = dfrac { vec {v} cdot vec {a}} {|| vec {v} ||} & = dfrac {(2t ، hat { mathbf i} +2 ، hat { mathbf j} + (6t-3) ، hat { mathbf k}) cdot (2 ، hat { mathbf i} +6 ، hat { mathbf k})} {|| 2t ، hat { mathbf i} + 2 ، hat { mathbf j} + (6t-3) ، hat { mathbf k} ||} & = dfrac {4t + 6 ( 6t-3)} { sqrt {(2t) ^ 2 + 2 ^ 2 + (6t-3) ^ 2}} & = dfrac {40t-18} {40t ^ 2 - 36t + 13} end {محاذاة *} ]

    ثم نطبق المعادلة المرجع {Eq2B}:

    [ begin {align *} a_ vec {N} & = sqrt {|| vec {a} || ^ 2-a _ { vec {T}}} & = sqrt {|| 2 ، hat { mathbf i} +6 ، hat { mathbf k} || ^ 2 - left ( dfrac {40t-18} { sqrt {40t ^ 2-36 + 13}} right ) ^ 2} & = sqrt {4 + 36- dfrac {(40t-18) ^ 2} {40t ^ 2-36t + 13}} & = sqrt { dfrac {40 (40t ^ 2-36 طن + 13) - (1600 طن ^ 2-1440 طن + 324)} {40 طن ^ 2-36 طن + 13}} & = sqrt { dfrac {196} {40t ^ 2-36t + 13}} = dfrac {14} { sqrt {40t ^ 2-36t + 13}} end {align *} ]

  2. [ begin {align *} a _ { vec {T}} (2) & = dfrac {40 (2) -18} { sqrt {40 (2) ^ 2 - 36 (2) +13}} & = dfrac {80-18} { sqrt {160-72 + 13}} & = dfrac {62} { sqrt {101}} a _ { vec {N}} (2 ) & = dfrac {14} { sqrt {40 (2) ^ 2 -36 (2) +13}} & = dfrac {14} { sqrt {160-72 + 13}} = dfrac {140} { sqrt {101}}. end {align *} ] وحدات التسارع هي قدم في الثانية تربيع ، وكذلك وحدات العجلة العادية والماسية.

تمرين ( PageIndex {2} )

يتحرك كائن في مسار محدد بواسطة دالة قيمة المتجه ( vec r (t) = 4t ، hat { mathbf i} + t ^ 2 ، hat { mathbf j} ) ، حيث (t ) يقيس الوقت بالثواني.

  1. ابحث عن (a_ vec {T} ) و (a_ vec {N} ) كوظائف في (t ).
  2. ابحث عن (a_ vec {T} ) و (a_ vec {N} ) في الوقت (t = −3 ).
تلميح

استخدم المعادلات المرجع {Eq1B} و المرجع {Eq2B}

إجابه

أ. [ start {align *} a_ vec {T} & = dfrac { vec v (t) cdot vec a (t)} {|| vec v (t) ||} = dfrac { vec r '(t) cdot vec r' '(t)} {|| vec r' (t) ||} & = dfrac {(4 ، hat { mathbf i} + 2t ، hat { mathbf j}) cdot (2 ، hat { mathbf j})} {|| 4 ، hat { mathbf i} + 2t ، hat { mathbf j} ||} & = dfrac {4t} { sqrt {4 ^ 2 + (2t) ^ 2}} & = dfrac {2t} { sqrt {2 + t ^ 2}} end { محاذاة *} ]
[ begin {align *} a_ vec {N} & = sqrt {|| vec a || ^ 2-a_ vec {T} ^ 2} & = sqrt {|| 2 ، hat { mathbf j} || ^ 2 - left ( dfrac {2t} { sqrt {2 + t ^ 2}} right) ^ 2} & = sqrt {4 - dfrac {4t ^ 2} {2 + t ^ 2}} end {align *} ]

ب. [ begin {align *} a_ vec {T} (- 3) & = dfrac {2 (-3)} { sqrt {2 + (- 3) ^ 2}} & = dfrac { -6} { sqrt {11}} end {align *} ]
[ begin {align *} a_ vec {N} (- 3) & = sqrt {4 - dfrac {4 (-3) ^ 2} {2 + (- 3) ^ 2}} & = sqrt {4- dfrac {36} {11}} & = sqrt { dfrac {8} {11}} & = dfrac {2 sqrt {2}} { sqrt {11 }} end {align *} ]

حركة المقذوفات

الآن دعونا نلقي نظرة على تطبيق وظائف المتجهات. على وجه الخصوص ، دعنا نفكر في تأثير الجاذبية على حركة الجسم أثناء انتقاله عبر الهواء ، وكيف يحدد المسار الناتج لذلك الجسم. فيما يلي نتجاهل تأثير مقاومة الهواء. تُعرف هذه الحالة ، عندما يتحرك الجسم بسرعة ابتدائية ولكن بدون قوى مؤثرة عليه بخلاف الجاذبية ، باسم حركة المقذوفات. يصف حركة الأشياء من كرات الجولف إلى كرات البيسبول ، ومن الأسهم إلى كرات المدفع.

نحتاج أولاً إلى اختيار نظام إحداثيات. إذا كنا نقف عند أصل نظام الإحداثيات هذا ، فسنختار المحور الموجب (ص ) ليكون لأعلى ، والسالب (ص )-المحور لأسفل ، والإيجابي (س )-أن يكون المحور للأمام (أي بعيدًا عن قاذف الجسم) يكون تأثير الجاذبية في اتجاه هبوطي ، لذلك يخبرنا قانون نيوتن الثاني أن القوة المؤثرة على الجسم الناتجة عن الجاذبية تساوي كتلة الجسم مضروبة في العجلة الناتجة عن الجاذبية ، أو ( vec F_g = m vec a ) ، حيث يمثل ( vec F_g ) القوة الناتجة عن الجاذبية و ( vec a = -g ، hat { mathbf j} ) يمثل التسارع الناتج عن الجاذبية على سطح الأرض. تبلغ قيمة (g ) في نظام القياس الإنجليزي 32 قدمًا / ثانية تقريبًا2 ويبلغ حوالي 9.8 م / ثانية2 في النظام المتري. هذه هي القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم. نظرًا لأن الجاذبية تعمل في اتجاه هبوطي ، فيمكننا كتابة القوة الناتجة عن الجاذبية بالصيغة ( vec F_g = −mg ، hat { mathbf j} ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).

يخبرنا قانون نيوتن الثاني أيضًا أن (F = m vec {a} ) ، حيث يمثل ( vec a ) متجه التسارع للكائن. يجب أن تكون هذه القوة مساوية لقوة الجاذبية في جميع الأوقات ، لذلك نعرف ذلك

[ begin {align *} vec F & = vec F_g m vec {a} & = -mg ، hat { mathbf j} vec {a} & = -g ، قبعة { mathbf ي}. النهاية {محاذاة *} ]

والآن نستخدم حقيقة أن متجه التسارع هو أول مشتق لمتجه السرعة. لذلك ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة الأخيرة في الصورة

[ vec v '(t) = -g ، hat { mathbf j} ]

بأخذ المشتقة العكسية لكل جانب من هذه المعادلة نحصل عليها

[ vec v (t) = int -g ، hat { mathbf j} ؛ dt = -gt ، hat { mathbf j} + vec C_1 ]

لبعض المتجهات الثابتة ( vec C_1 ). لتحديد قيمة هذا المتجه ، يمكننا استخدام سرعة الجسم في وقت محدد ، على سبيل المثال في الوقت (t = 0 ). نسمي هذه السرعة السرعة الأولية: ( vec v (0) = vec v_0 ). لذلك ، ( vec v (0) = - g (0) ، hat { mathbf j} + vec C_1 = vec v_0 ) و ( vec C_1 = vec v_0 ). هذا يعطي متجه السرعة كـ ( vec v (t) = - gt ، hat { mathbf j} + vec v_0 ).

بعد ذلك نستخدم حقيقة أن السرعة ( vec {v} (t) ) هي مشتق من الموضع ( vec {s} (t) ). هذا يعطي المعادلة

[ vec s '(t) = - gt ، hat { mathbf j} + vec {v} _0. ]

يؤدي أخذ المشتقة العكسية لكلا طرفي هذه المعادلة إلى

[ start {align *} vec s (t) & = int -gt ، hat { mathbf j} + vec {v} _0 ؛ dt & = - dfrac {1} { 2} gt ^ 2 ، hat { mathbf j} + vec {v} _0 + vec {C} _2 end {align *} ]

مع متجه ثابت آخر غير معروف ( vec {C} _2 ). لتحديد قيمة ( vec {C} _2 ) ، يمكننا استخدام موضع الكائن في وقت معين ، على سبيل المثال في الوقت (t = 0 ). نسمي هذا الموقف الوضعية الأولية: ( vec {s} (0) = vec {s} _0 ). لذلك ، ( vec {s} (0) = - (1/2) g (0) ^ 2 ، hat { mathbf j} + vec {v} _0 (0) + vec {C} _2 = vec {s} _0 ). هذا يعطي موضع الكائن في أي وقت كما

[ vec {s} (t) = - 12gt ^ 2 ، hat { mathbf j} + vec {v} _0 t + vec {s} _0. ]

دعونا نلقي نظرة فاحصة على السرعة الابتدائية والموضع الأولي. على وجه الخصوص ، لنفترض أن الكائن قد تم طرحه لأعلى من الأصل بزاوية ( theta ) إلى الأفقي ، بسرعة أولية ( vec {v} _0 ). كيف يمكننا تعديل النتيجة السابقة لتعكس هذا السيناريو؟ أولاً ، يمكننا أن نفترض أنه تم إلقاؤه من الأصل. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكننا نقل الأصل إلى النقطة التي تم إلقاؤها فيها. لذلك ، ( vec {s} _0 = vec {0} ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {6} ).

يمكننا إعادة كتابة متجه السرعة الابتدائية بالصيغة ( vec {v} _0 = v_0 cos theta ، hat { mathbf i} + v_0 sin theta ، hat { mathbf j} ) . ثم تصبح معادلة دالة الموضع ( vec {s} (t) )

[ start {align *} vec {s} (t) & = - dfrac {1} {2} gt ^ 2 ، hat { mathbf j} + v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + v_0 t sin theta ، hat { mathbf j} & = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + v_0 t sin theta ، قبعة { mathbf j} - dfrac {1} {2} gt ^ 2 ، hat { mathbf j} & = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + left ( v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right) ، hat { mathbf j}. النهاية {محاذاة *} ]

يمثل معامل ( hat { mathbf i} ) المكون الأفقي لـ ( vec {s} (t) ) وهو المسافة الأفقية للكائن من الأصل في الوقت (t ). تسمى القيمة القصوى للمسافة الأفقية (تقاس على نفس الارتفاع الأولي والنهائي) النطاق (R ). يمثل معامل ( hat { mathbf j} ) المكون الرأسي لـ ( vec {s} (t) ) وهو ارتفاع الكائن في الوقت (t ). أقصى قيمة للمسافة العمودية هي الارتفاع (ح ).

مثال ( PageIndex {3} ): حركة قذيفة مدفع

خلال احتفال بعيد الاستقلال ، أطلقت قذيفة مدفعية من مدفع على جرف باتجاه الماء. المدفع موجه بزاوية 30 درجة فوق المستوى الأفقي والسرعة الأولية لقذيفة المدفع 600 قدم / ثانية. الجرف 100 قدم فوق الماء (الشكل ( PageIndex {7} )).

  1. أوجد أقصى ارتفاع لقذيفة المدفع.
  2. كم من الوقت سيستغرق وصول قذيفة المدفع إلى البحر؟
  3. إلى أي مدى ستضرب قذيفة المدفع الماء بعيدًا عن البحر؟

حل

نستخدم المعادلة

[ vec {s} (t) = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + left (v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right ) ، قبعة { mathbf j} ]

مع ( theta = 30 ^ circ ) و (g = 32 dfrac { text {ft}} { text {sec} ^ 2} ) و (v_0 = 600 dfrac { text {قدم}} { نص {ثانية} ^ 2} ). ثم تصبح معادلة الموضع

[ begin {align *} vec {s} (t) & = 600 t ( cos 30 ^ circ) ، hat { mathbf i} + left (600t sin30 ^ circ - dfrac {1} {2} (32) t ^ 2 right) ، hat { mathbf j} & = 300t sqrt {3} ، hat { mathbf i} + left (300t - 16t ^ 2 right) ، hat { mathbf j} end {align *} ]

  1. تصل قذيفة المدفع إلى أقصى ارتفاع لها عندما يكون المكون الرأسي لسرعتها صفرًا ، لأن قذيفة المدفع لا ترتفع ولا تهبط عند تلك النقطة. متجه السرعة هو

    [ start {align *} vec {v} (t) & = vec s '(t) & = 300 sqrt {3} ، hat { mathbf i} + (300-32t) ، hat { mathbf j} end {align *} ]

    لذلك ، يُعطى المكون الرأسي للسرعة بالتعبير (300−32t ). جعل هذا المقدار يساوي صفر وحل من أجل ر يعطي (t = 9.375 ) ثانية. يتم تحديد ارتفاع قذيفة المدفع في هذا الوقت من خلال المكون الرأسي لمتجه الموقع ، والذي تم تقييمه عند (t = 9.375 ).

    [ begin {align *} vec {s} (9.375) = 300 (9.375) sqrt {3} ، hat { mathbf i} + (300 (9.375) −16 (9.375) ^ 2) ، hat { mathbf j} = 4871.39 ، hat { mathbf i} +1406.25 ، hat { mathbf j} end {align *} ]

    لذلك ، يبلغ الحد الأقصى لارتفاع المدفع 1406.39 قدمًا فوق المدفع ، أو 1506.39 قدمًا فوق مستوى سطح البحر.
  2. عندما تهبط قذيفة المدفع في الماء ، تكون 100 قدم تحت المدفع. لذلك ، فإن المكون الرأسي لمتجه الموقع يساوي 100. ضبط المكون الرأسي لـ ( vec s (t) ) يساوي −100 والحل ، نحصل عليه

    [ start {align *} 300t-16t ^ 2 & = -100 16t ^ 2-300t-100 & = 0 4t ^ 2-75-25 & = 0 t & = dfrac {75 pm sqrt {(- 75) ^ 2} -4 (4) (- 25)} {2 (4)} & = dfrac {75 pm sqrt {6025}} {8} & = dfrac {75 pm 5 sqrt {241}} {8} end {align *} ]

    القيمة الموجبة لـ (t ) التي تحل هذه المعادلة هي تقريبًا 19.08. لذلك ، تضرب قذيفة المدفع الماء بعد حوالي 19.08 ثانية.
  3. لإيجاد المسافة إلى البحر ، نقوم ببساطة باستبدال الإجابة من الجزء (ب) في ( vec {s} (t) ):

    [ start {align *} vec s (19.08) & = 300 (19.08) sqrt {3} ، hat { mathbf i} + left (300 (19.08) −16 (19.08) ^ 2 right) ، hat { mathbf j} & = 9914.26 ، hat { mathbf i} −100.7424 ، hat { mathbf j} end {align *} ]

    لذلك ، اصطدمت الكرة بالماء على بعد حوالي 9914.26 قدمًا من قاعدة الجرف. لاحظ أن المكون الرأسي لمتجه الموقع قريب جدًا من -100 ، مما يخبرنا أن الكرة اصطدمت بالماء. لاحظ أن 9914.26 قدمًا ليس النطاق الحقيقي للمدفع لأن قذيفة المدفع تهبط في المحيط في موقع أسفل المدفع. يمكن تحديد مدى المدفع من خلال معرفة مدى بُعد المدفع عندما يكون ارتفاعه 100 قدم فوق الماء (نفس ارتفاع المدفع).

تمرين ( PageIndex {3} )

يطلق رامي سهامًا بزاوية 40 درجة فوق الأفقي بسرعة أولية 98 م / ثانية. ارتفاع الرامي 171.5 سم. أوجد المسافة الأفقية التي يقطعها السهم قبل أن يصطدم بالأرض.

تلميح

تحتاج معادلة متجه الموقع إلى حساب ارتفاع رامي السهام بالأمتار.

إجابه

967.15 م

يبقى سؤال أخير: بشكل عام ، ما هي أقصى مسافة يمكن للقذيفة أن تقطعها ، بالنظر إلى سرعتها الأولية؟ لتحديد هذه المسافة ، نفترض إطلاق المقذوف من مستوى الأرض ونرغب في العودة إلى مستوى الأرض. بعبارة أخرى ، نريد تحديد معادلة النطاق. في هذه الحالة ، تكون معادلة حركة المقذوفات

[ vec {s} = v_0 t cos theta ، hat { mathbf i} + left (v_0t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 right) ، قبعة { mathbf j}. ]

ضبط المكون الثاني على مساوٍ للصفر وحل من أجل (t ) ينتج

[ begin {align *} v_0 t sin theta - dfrac {1} {2} gt ^ 2 & = 0 t left (v_0 sin theta - dfrac {1} {2} gt يمين) & = 0 نهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، إما (t = 0 ) أو (t = dfrac {2v_0 sin theta} {g} ). نحن مهتمون بالقيمة الثانية لـ (t ) ، لذلك نستبدلها بـ ( vec {s} (t) ) ، مما يعطي

[ begin {align *} vec {s} left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) & = v_0 left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} يمين) cos theta ، hat { mathbf i} + left (v_0 left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) sin theta - dfrac {1} {2 } g left ( dfrac {2v_0 sin theta} {g} right) ^ 2 right) ، hat { mathbf j} & = left ( dfrac {2v_0 ^ 2 sin theta cos theta} {g} right) ، hat { mathbf i} & = dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} ، hat { mathbf i}. النهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي ، فإن التعبير عن مدى المقذوف الذي تم إطلاقه بزاوية ( theta ) هو

[R = dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} ، hat { mathbf i}. ]

المتغير الوحيد في هذا التعبير هو ( theta ). لتعظيم المسافة المقطوعة ، خذ مشتق المعامل أنا فيما يتعلق ( theta ) وضبطها على الصفر:

[ begin {align *} dfrac {d} {d theta} left ( dfrac {v_0 ^ 2 sin2 theta} {g} right) & = 0 dfrac {2v_0 ^ 2 cos2 theta} {g} & = 0 theta = 45 ^ circ end {align *} ]

هذه القيمة لـ ( theta) ) هي أصغر قيمة موجبة تجعل المشتق يساوي صفرًا. لذلك ، في حالة عدم وجود مقاومة الهواء ، فإن أفضل زاوية لإطلاق قذيفة (لتعظيم النطاق) هي بزاوية 45 درجة. يتم تحديد المسافة التي يقطعها

[ vec {s} left ( dfrac {2v_0 sin 45 ^ circ} {g} right) = dfrac {v_0 ^ 2 sin 90 ^ circ} {g} ، hat { mathbf i} = dfrac {v_0 ^ 2} {g} ، hat { mathbf i} ]

لذلك ، فإن نطاق زاوية 45 درجة هو ( frac {v_0 ^ 2} {g} ) وحدات.

قوانين كبلر

خلال أوائل القرن السابع عشر ، كان يوهانس كيبلر قادرًا على استخدام البيانات الدقيقة بشكل مذهل من معلمه تايكو براهي لصياغة قوانينه الثلاثة لحركة الكواكب ، والتي تُعرف الآن باسم قوانين كبلر لحركة الكواكب. تنطبق هذه القوانين أيضًا على أجسام أخرى في النظام الشمسي تدور حول الشمس ، مثل المذنبات (على سبيل المثال ، مذنب هالي) والكويكبات. الاختلافات في هذه القوانين تنطبق على الأقمار الصناعية في مدار حول الأرض.

نظرية ( PageIndex {2} ): قوانين كبلر لحركة الكواكب

  1. مسار أي كوكب حول الشمس بيضاوي الشكل ، حيث يقع مركز الشمس عند بؤرة واحدة للقطع الناقص (قانون القطع الناقص).
  2. خط مرسوم من مركز الشمس إلى مركز كوكب يكتسح مساحات متساوية في فترات زمنية متساوية (قانون المساحات المتساوية) (الشكل ( PageIndex {8} )).
  3. نسبة مربعات فترات أي كوكبين تساوي نسبة مكعبات أطوال المحاور المدارية شبه الرئيسية (قانون التناغم).

يعتبر قانون كبلر الثالث مفيدًا بشكل خاص عند استخدام الوحدات المناسبة. خاصه، 1 وحدة فلكية يُعرّف على أنه متوسط ​​المسافة من الأرض إلى الشمس ، ويُعرف الآن بأنه 149.597.870.700 مترًا أو ما يقرب من 93.000.000 ميل. لذلك نكتب 1 A.U. = 93.000.000 ميل. نظرًا لأن الوقت الذي تستغرقه الأرض للدوران حول الشمس هو عام واحد ، فإننا نستخدم سنوات الأرض لوحدات زمنية. ثم ، استبدال 1 سنة لفترة الأرض و 1 A.U. بالنسبة لمتوسط ​​المسافة إلى الشمس ، يمكن كتابة قانون كبلر الثالث على النحو التالي

[T_p ^ 2 = D_p ^ 3 ]

لأي كوكب في النظام الشمسي ، حيث (T_P ) هي فترة ذلك الكوكب المقاسة بسنوات الأرض و (D_P ) هي متوسط ​​المسافة من هذا الكوكب إلى الشمس مقاسة بالوحدات الفلكية. لذلك ، إذا عرفنا متوسط ​​المسافة من كوكب إلى الشمس (بالوحدات الفلكية) ، فيمكننا بعد ذلك حساب طول عامه (بسنوات الأرض) ، والعكس صحيح.

تمت صياغة قوانين كبلر بناءً على ملاحظات براهي ؛ ومع ذلك ، لم يتم إثباتها رسميًا حتى تمكن السير إسحاق نيوتن من تطبيق التفاضل والتكامل. علاوة على ذلك ، تمكن نيوتن من تعميم قانون كبلر الثالث على الأنظمة المدارية الأخرى ، مثل القمر الذي يدور حول كوكب. ينطبق قانون كبلر الثالث الأصلي فقط على الأجسام التي تدور حول الشمس.

دليل

دعنا الآن نثبت قانون كبلر الأول باستخدام حساب الدوال ذات القيمة المتجهة. نحتاج أولاً إلى نظام إحداثيات. لنضع الشمس في أصل نظام الإحداثيات ونترك الدالة ذات القيمة المتجهية ( vec {r} (t) ) تمثل موقع الكوكب كدالة للوقت. أثبت نيوتن قانون كبلر باستخدام قانونه الثاني للحركة وقانون الجاذبية الكونية. يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني للحركة كـ ( vec {F} = m vec {a} ) ، حيث يمثل ( vec {F} ) القوة الكلية المؤثرة على الكوكب. يمكن كتابة قانونه الخاص بالجاذبية العامة بالصيغة ( vec {F} = - dfrac {GmM} {|| vec {r} || ^ 2} cdot dfrac { vec {r}} { || vec {r} ||} ) ، مما يشير إلى أن القوة الناتجة عن جاذبية الشمس تتجه مرة أخرى نحو الشمس ، ولها المقدار ( dfrac {GmM} {|| vec {r} || ^ 2} ) (الشكل ( PageIndex {9} )).

وضع هاتين القوتين متساويتين مع بعضهما البعض ، وباستخدام حقيقة أن ( vec a (t) = vec v ′ (t) ) ، نحصل عليها

[m vec v ′ (t) = - frac {GmM} {‖ vec r‖ ^ 2} ⋅ frac { vec r} {‖ vec r‖}، ]

والتي يمكن إعادة كتابتها كـ

[ dfrac {d vec v} {dt} = - dfrac {GM} {|| vec r || ^ 3} vec {r}. ]

توضح هذه المعادلة أن المتجهين (d vec {v} / dt ) و ( vec r ) متوازيان ، لذلك (d vec {v} / dt times vec {r} = vec 0 ). بعد ذلك ، دعونا نفرق ( vec {r} times vec {v} ) فيما يتعلق بالوقت:

[ dfrac {d} {dt} ( vec {r} times vec {v}) = dfrac {d vec {r}} {dt} مرات vec v + vec {r} مرات dfrac {d vec {v}} {dt} = vec {v} times vec {v} + vec {0} = vec {0}. التسمية {Eq10} ]

هذا يثبت أن ( vec {r} times vec {v} ) هو متجه ثابت ، والذي نسميه ( vec C ). نظرًا لأن ( vec r ) و ( vec v ) كلاهما عمودي على ( vec C ) لجميع قيم (t ) ، يجب أن تقع في مستوى عمودي على ( vec C ). لذلك ، فإن حركة الكوكب تكمن في مستوى.

بعد ذلك نحسب التعبير (d vec {v} / dt times vec C ):

[ dfrac {d vec {v}} {dt} times vec {C} = - dfrac {GM} {|| vec {r} || ^ 3} vec {r} times ( vec {r} times vec {v}) = - dfrac {GM} {|| vec r || ^ 3} [( vec {r} cdot vec {v}) vec {r } - ( vec {r} cdot vec {r}) vec {v}]. التسمية {Eq11} ]

المساواة الأخيرة في المعادلة المرجع {Eq10} مأخوذة من صيغة الضرب الثلاثي (مقدمة إلى المتجهات في الفضاء). نحتاج إلى تعبير لـ ( vec {r} cdot vec {v} ). لحساب هذا ، نفرق ( vec {r} cdot vec {r} ) فيما يتعلق بالوقت:

[ dfrac {d} {dt} ( vec {r} cdot vec {r}) = dfrac {d vec {r}} {dt} cdot vec {r} + vec {r } cdot dfrac {d vec {r}} {dt} = 2 vec {r} cdot dfrac {d vec {r}} {dt} = 2 vec {r} cdot vec { الخامس}. التسمية {Eq12} ]

منذ ( vec {r} cdot vec {r} = || vec r || ^ 2 ) ، لدينا أيضًا

[ dfrac {d} {dt} ( vec {r} cdot vec {r}) = dfrac {d} {dt} || vec {r} || ^ 2 = 2 || vec {r} || dfrac {d} {dt} || vec {r} ||. التسمية {Eq13} ]

بدمج المعادلة المرجع {Eq12} والمعادلة المرجع {Eq13} ، نحصل على

[ start {align *} 2 vec {r} cdot vec {v} & = 2 || vec {r} || dfrac {d} {dt} || vec {r} || vec {r} cdot vec {v} & = || vec {r} ‖ dfrac {d} {dt} || vec {r} ||. نهاية {محاذاة *} تسمية {Eq14} ]

استبدال هذا في المعادلة المرجع {Eq11} يعطينا

[ begin {align} dfrac {d vec {v}} {dt} times vec {C} & = - dfrac {GM} {|| vec {r} || ^ 3} [( vec {r} cdot vec {v}) vec {r} - ( vec {r} cdot vec {r}) vec {v}] nonumber & = - dfrac {GM } {|| vec {r} || ^ 3} left [|| vec {r} left ( dfrac {d} {dt} || vec {r} || right) vec { r} - || vec {r} || ^ 2 vec {v} right] nonumber & = -GM left [ dfrac {1} {|| vec {r} || ^ 2 } left ( dfrac {d} {dt} || vec {r} || right) vec {r} - dfrac {1} {|| vec {r} ||} vec {v } right] nonumber & = GM left [ dfrac { vec {v}} {|| vec {r} ||} - dfrac { vec {r}} {|| vec { r} || ^ 2} left ( dfrac {d} {dt} || vec {r} || right) right]. تسمية {Eq15} نهاية {محاذاة} ]

ومع ذلك،

[ start {align *} dfrac {d} {dt} dfrac { vec {r}} {|| vec {r} ||} & = dfrac { frac {d} {dt} ( vec {r}) || vec {r} || - vec {r} frac {d} {dt} || vec {r} || } {|| vec {r} || ^ 2} & = dfrac { frac {d vec {r}} {dt}} {|| vec {r} ||} - dfrac { vec {r}} {|| vec {r} || ^ 2} dfrac {d} {dt} || vec {r} || & = dfrac { vec {v}} {|| vec {r} ||} - dfrac { vec {r}} {|| vec {r} || ^ 2} dfrac { د} {dt} || vec {r} ||. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، تصبح المعادلة المرجع {Eq15}

[ dfrac {d vec {v}} {dt} times vec {C} = GM left ( dfrac {d} {dt} dfrac { vec {r}} {|| vec { r} ||} يمين). ]

نظرًا لأن ( vec {C} ) متجه ثابت ، يمكننا دمج كلا الجانبين والحصول على

[ vec {v} times vec {C} = GM dfrac { vec {r}} {|| vec {r} ||} + vec {D}، ]

حيث ( vec D ) متجه ثابت. هدفنا هو إيجاد حل لـ (|| vec {r} || ). لنبدأ بحساب ( vec {r} cdot ( vec {v} times vec {C} ):

[ vec {r} cdot ( vec {v} times vec {C} = GM dfrac {|| vec {r} || ^ 2} {|| vec {r} ||} + vec {r} cdot vec {D} = GM || vec {r} || + vec {r} cdot vec {D}. ]

ومع ذلك ، ( vec {r} cdot ( vec {v} times vec {C}) = ( vec {r} times vec {v}) cdot vec {C} ) ، وبالتالي

[( vec {r} times vec {v}) cdot vec {C} = GM || vec {r} || + vec {r} cdot vec {D}. ]

منذ ( vec {r} times vec {v} = vec {C} ) ، لدينا

[|| vec {C} || ^ 2 = GM || vec {r} || + vec {r} cdot vec {D}. ]

لاحظ أن ( vec {r} cdot vec {D} = || vec {r} || || vec {D} || cos theta ) ، حيث ( theta ) هي الزاوية بين ( vec {r} ) و ( vec {D} ). لذلك،

[|| vec {C} || ^ 2 = GM || vec {r} || + || vec {r} || || vec {D} || cos ثيتا ]

حل لـ (|| vec {r} || ) ،

[|| vec {r} || = dfrac {|| vec {C} || ^ 2} {GM + || vec {D} || cos theta} = dfrac {|| vec {C} || ^ 2} {GM } يسار ( dfrac {1} {1 + e cos theta} right). ]

حيث (e = || vec {D} || / GM ). هذه هي المعادلة القطبية للمخروط مع التركيز على الأصل ، والتي أنشأناها لتكون الشمس. إنه قطع زائد إذا (e> 1 ) ، أو قطع مكافئ إذا (e = 1 ) ، أو قطع ناقص إذا (e> 1 ). نظرًا لأن الكواكب لها مدارات مغلقة ، فإن الاحتمال الوحيد هو القطع الناقص. ومع ذلك ، في هذه المرحلة ، تجدر الإشارة إلى وجود المذنبات القطعية. هذه هي الأشياء التي تمر عبر النظام الشمسي بسرعات أكبر من أن يتم حصرها في مدار حول الشمس. عندما يمرون بالقرب من الشمس بدرجة كافية ، فإن مجال الجاذبية للشمس ينحرف المسار بدرجة كافية بحيث يصبح المسار زائديًا.

(ميدان)

يمكن تعديل قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب ليناسب حالة جسم واحد في مدار حول جسم آخر غير الشمس ، مثل القمر حول الأرض. في هذه الحالة ، يصبح قانون كبلر الثالث

[P ^ 2 = dfrac {4 pi ^ 2 a ^ 3} {G (m + M)} ، label {Eq30} ]

أين م هي كتلة القمر و م هي كتلة الأرض ، أ يمثل طول المحور الرئيسي للمدار الإهليلجي ، و ص يمثل الفترة.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام قانون كبلر الثالث للمدارات غير المتمركزة

إذا كانت كتلة القمر (7.35 ضرب 10 ^ {22} ) كجم ، فإن كتلة الأرض (5.97 ضرب 10 ^ {24} ) كجم ، (G = 6.67 ضرب 10 ^ {−11} text {m} / text {kg} cdot text {sec} ^ 2 ) ، ومدة القمر 27.3 يومًا ، فلنجد طول المحور الرئيسي لمدار القمر حول الأرض.

حل

من المهم أن تكون متسقًا مع الوحدات. نظرًا لأن ثابت الجاذبية العام يحتوي على ثوانٍ في الوحدات ، فإننا نحتاج أيضًا إلى استخدام الثواني لفترة القمر:

[27.3 ؛ text {days} times dfrac {24 ؛ text {hr}} {1 ؛ text {day}} times dfrac {3600 ؛ text {esc}} {1 ؛ نص {ساعة}} = 2،358،720 ؛ نص {ثانية} ]

استبدل جميع البيانات في المعادلة المرجع {Eq30} وحل من أجل (أ ):

[ begin {align *} (2،358،720sec) ^ 2 & = dfrac {4 pi ^ 2a ^ 3} { left (6.67 times 10 ^ {- 11} frac {m} { text {kg } times text {sec} ^ 2} right) (7.35 times 10 ^ {22} text {kg} + 5.97 times 10 ^ {24} text {kg})} 5.563 times 10 ^ {12} & = dfrac {4 pi ^ 2a ^ 3} {(6.67 times 10 ^ {- 11} text {m} ^ 3) (6.04 times 10 ^ {24})} ( 5.563 times 10 ^ {12}) (6.67 times 10 ^ {- 11} text {m} ^ 3) (6.04 times 10 ^ {24}) & = 4 pi ^ 2 a ^ 3 a ^ 3 & = dfrac {2.241 times 10 ^ {27}} {4 pi ^ 2} text {m} ^ 3 a & = 3.84 times 10 ^ 8 text {m} & almost 384000 ، text {km}. النهاية {محاذاة *} ]

تحليل

وفقًا لموقع solarsystem.nasa.gov ، يبلغ متوسط ​​المسافة الفعلية من القمر إلى الأرض 384.400 كيلومتر. تم حساب ذلك باستخدام عاكسات تركها رواد فضاء أبولو على القمر في الستينيات.

تمرين ( PageIndex {4} )

تيتان هو أكبر قمر لكوكب زحل. تبلغ كتلة تيتان تقريبًا (1.35 ضرب 10 ^ {23} كجم ). تبلغ كتلة زحل تقريبًا (5.68 ضرب 10 ^ {26} ) كجم. يستغرق تيتان حوالي 16 يومًا للدوران حول زحل. استخدم هذه المعلومات ، جنبًا إلى جنب مع ثابت الجاذبية العام (G = 6.67 × 10 ^ {- 11} text {m} / text {kg} cdot text {sec} ^ 2 ) لتقدير المسافة من تيتان إلى زحل.

تلميح

تأكد من توافق الوحدات الخاصة بك ، ثم استخدم المعادلة المرجع {Eq30}.

إجابه

[a almost 1.224 times 10 ^ 9 text {m} = 1،224،000 text {km} ]

مثال ( PageIndex {5} ): مذنب هالي

نعود الآن إلى بداية الفصل ، والتي تناقش حركة مذنب هالي حول الشمس. ينص قانون كبلر الأول على أن مذنب هالي يتبع مسارًا إهليلجيًا حول الشمس ، مع التركيز على الشمس كأحد بؤرة القطع الناقص. تبلغ فترة مذنب هالي 76.1 سنة تقريبًا ، اعتمادًا على مدى قربه من كوكب المشتري وزحل أثناء مروره عبر النظام الشمسي الخارجي. دعونا نستخدم (T = 76.1 ) سنة. ما متوسط ​​المسافة بين مذنب هالي والشمس؟

حل

باستخدام المعادلة (T ^ 2 = D ^ 3 ) مع (T = 76.1 ) ، نحصل على (D ^ 3 = 5791.21 ) ، لذلك (D حوالي 17.96 ) A.U. يبلغ هذا تقريبًا (1.67 مرات 10 ^ 9 ) ميل.

السؤال الطبيعي الذي يجب طرحه هو: ما هي المسافة القصوى (الأوج) والدنيا (الحضيض الشمسي) من مذنب هالي إلى الشمس؟ الانحراف اللامركزي لمدار مذنب هالي هو 0.967 (المصدر: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary...cometfact.html). تذكر أن صيغة الانحراف المركزي للقطع الناقص هي (e = c / a ) ، حيث أ هو طول محور نصف التخصص و ج هي المسافة من المركز إلى أي من البؤرة. لذلك ، (0.967 = c / 17.96 ) و (c حوالي 17.37 ) A. طرح هذا من أ يعطي مسافة الحضيض (p = a − c = 17.96−17.37 = 0.59 ) A. وفقًا للمركز الوطني لبيانات علوم الفضاء (المصدر: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary...cometfact.html) ، فإن مسافة الحضيض لمذنب هالي هي 0.587 A.U. لحساب مسافة الأوج ، نضيف

[P = أ + ج = 17.96 + 17.37 = 35.33 ؛ نص {A.U.} ]

هذا تقريبًا (3.3 مرات 10 ^ 9 ) ميل. متوسط ​​المسافة من بلوتو إلى الشمس هو 39.5 A.U. (المصدر: http://www.oarval.org/furthest.htm) ، لذلك يبدو أن مذنب هالي يبقى داخل مدار بلوتو.

الإبحار في منعطف مشروط

ما هي السرعة التي يمكن أن تتحرك بها سيارة السباق من خلال منعطف دائري دون انزلاق أو اصطدام الحائط؟ يمكن أن تعتمد الإجابة على عدة عوامل:

  • وزن السيارة
  • الاحتكاك بين الإطارات والطريق ؛
  • نصف قطر الدائرة
  • "انحدار" الدور.

في هذا المشروع ، نحقق في هذا السؤال الخاص بسيارات السباق NASCAR في بريستول موتور سبيدواي في تينيسي. قبل النظر في هذا المسار على وجه الخصوص ، نستخدم وظائف المتجهات لتطوير الرياضيات والفيزياء اللازمة للإجابة على أسئلة مثل هذا.

سيارة ذات كتلة (م ) تتحرك بسرعة زاوية ثابتة ( omega ) حول منحنى دائري نصف قطر (R ) (الشكل ( PageIndex {9} )). ينحني المنحنى بزاوية ( theta ). إذا كان ارتفاع السيارة عن الأرض هو (ح ) ، فسيتم تحديد موضع السيارة في الوقت (t ) من خلال الوظيفة ( vec r (t) = ).

  1. أوجد دالة السرعة ( vec {v} (t) ) للسيارة. أظهر أن ( vec {v} ) مماس للمنحنى الدائري. هذا يعني أنه بدون وجود قوة لإبقاء السيارة في المنحنى ، فإن السيارة ستنطلق منها.
  2. بيّن أن سرعة السيارة ( أوميغا ر ). استخدم هذا لإظهار أن ((2 pi 4) / | vec {v} | = (2 pi) / omega ).
  3. أوجد التسارع ( vec {a} ). بيّن أن هذا المتجه يشير إلى مركز الدائرة وأن ( | vec {a} | = R omega ^ 2 ).
  4. القوة المطلوبة لإنتاج هذه الحركة الدائرية تسمى قوة الجاذبية، ويشار إليها ( vec {F} _ {cent} ). تشير هذه القوة إلى مركز الدائرة (وليس باتجاه الأرض). أظهر ذلك ( | vec {F} _ {cent} | = left (m | vec {v} | ^ 2 right) / R ).

أثناء تحرك السيارة حول المنحنى ، تؤثر عليه ثلاث قوى: الجاذبية ، والقوة التي يبذلها الطريق (هذه القوة متعامدة مع الأرض) ، وقوة الاحتكاك (الشكل ( PageIndex {10} )). نظرًا لأن وصف قوة الاحتكاك الناتجة عن الإطارات والطريق معقد ، فإننا نستخدم تقديرًا تقريبيًا لقوة الاحتكاك. افترض أن ( vec {f} = mu vec {N} ) لبعض الثوابت الموجبة ( mu ). الثابت ( mu ) يسمى معامل الاحتكاك.

دع (v_ {max} ) يشير إلى السرعة القصوى التي يمكن للسيارة بلوغها خلال المنحنى دون انزلاق. بمعنى آخر ، (v_ {max} ) هي أسرع سرعة يمكن للسيارة أن تتنقل بها في المنعطف. عندما تسير السيارة بهذه السرعة ، يكون مقدار قوة الجاذبية

[ | vec {F} _ {cent} | = dfrac {m (v_ {max}) ^ 2} {R}. ]

تتناول الأسئلة الثلاثة التالية تطوير معادلة تربط السرعة (v_ {max} ) بالزاوية المصرفية ( theta ).

  1. أظهر ذلك ( vec {N} cos theta = m vec g + vec {f} sin theta ). استنتج أن ( vec {N} = (m vec g) / ( cos theta− mu sin theta) ).
  2. قوة الجاذبية المركزية هي مجموع القوى في الاتجاه الأفقي ، حيث تشير قوة الجاذبية إلى مركز المنحنى الدائري. اظهر ذلك

    [ vec {F} _ {cent} = vec {N} sin theta + vec {f} cos theta. ]

    استنتج ذلك

    [ vec {F} _ {cent} = dfrac { sin theta + mu cos theta} {cos theta− mu sin theta} m vec g. ]

  3. أظهر أن ((v _ { text {max}}) ^ 2 = (( sin theta + mu cos theta) / ( cos theta− mu sin theta)) gR ). استنتج أن السرعة القصوى لا تعتمد فعليًا على كتلة السيارة.
    الآن بعد أن أصبح لدينا معادلة تتعلق بالسرعة القصوى للسيارة وزاوية التعامل ، أصبحنا في وضع يسمح لنا بالإجابة على أسئلة مثل تلك التي طُرحت في بداية المشروع.
    بريستول موتور سبيدواي هو مسار قصير من NASCAR في بريستول ، تينيسي. المسار له الشكل التقريبي الموضح في الشكل ( PageIndex {11} ). كل طرف من نهايات المسار نصف دائري تقريبًا ، لذلك عندما تدور السيارات ، فإنها تتحرك على طول منحنى دائري تقريبًا. إذا سلكت السيارة المسار الداخلي وسرعت على طول الجزء السفلي من المنعطف 1 ، فإن السيارة تتحرك على طول نصف دائرة نصف قطرها حوالي 211 قدمًا بزاوية حد 24 درجة. إذا قررت السيارة أن تأخذ المسار الخارجي والسرعات على طول الجزء العلوي من المنعطف 1 ، فإن السيارة تتحرك على طول نصف دائرة بزاوية حد 28 درجة. (يحتوي المسار على زاوية متغيرة للبنوك).

معامل الاحتكاك للإطار العادي في الظروف الجافة حوالي 0.7. لذلك ، نفترض أن معامل إطار NASCAR في الظروف الجافة يبلغ حوالي 0.98.

قبل الإجابة على الأسئلة التالية ، لاحظ أنه من الأسهل إجراء الحسابات من حيث القدم والثواني ، ثم تحويل الإجابات إلى أميال في الساعة كخطوة أخيرة.

  1. في الظروف الجافة ، ما السرعة التي يمكن أن تتحرك بها السيارة في أسفل المنعطف دون انزلاق؟
  2. في الظروف الجافة ، ما السرعة التي يمكن أن تتحرك بها السيارة عبر قمة المنعطف دون انزلاق؟
  3. في الظروف الرطبة ، يمكن أن يصبح معامل الاحتكاك منخفضًا حتى 0.1. إذا كان الأمر كذلك ، فما مدى سرعة انتقال السيارة في أسفل المنعطف دون انزلاق؟
  4. افترض أن السرعة المقاسة لسيارة تسير على طول الحافة الخارجية للانعطاف هي 105 ميل في الساعة. قدر معامل الاحتكاك لإطارات السيارة.

المفاهيم الرئيسية

  • إذا كان ( vec {r} (t) ) يمثل موضع كائن في الوقت ر، ثم يمثل ( vec {r} '(t) ) السرعة و ( vec {r} ′ ′ (t) ) يمثل تسارع الجسم في الوقت المناسب ر. مقدار متجه السرعة هو السرعة.
  • يشير متجه التسارع دائمًا إلى الجانب المقعر من المنحنى المحدد بواسطة ( vec {r} (t) ). المكونات العرضية والعادية للتسارع (a_ vec {T} ) و (a_ vec {N} ) هي إسقاطات متجه التسارع على مماس الوحدة ومتجهات الوحدة العادية على المنحنى.
  • تصف قوانين كبلر الثلاثة لحركة الكواكب حركة الأجسام في مدار حول الشمس. يمكن تعديل قانونه الثالث ليصف حركة الأجسام في المدار حول الأجرام السماوية الأخرى أيضًا.
  • كان نيوتن قادرًا على استخدام قانون الجاذبية العام الخاص به جنبًا إلى جنب مع قانونه الثاني للحركة وحساب التفاضل والتكامل لإثبات قوانين كبلر الثلاثة.

المعادلات الرئيسية

  • سرعة [ vec {v} (t) = vec {r} ′ (t) nonumber ]
  • التسريع [ vec {a} (t) = vec {v} ′ (t) = vec {r} ′ ′ (t) nonumber ]
  • سرعة [v (t) = || vec {v} (t) || = || vec {r} ′ (t) || = dfrac {ds} {dt} nonumber ]
  • عنصر مماسي للتسارع [a _ { vec {T}} = vec {a} cdot vec {T} = dfrac { vec {v} cdot vec {a}} {|| vec v ||} لا يوجد رقم]
  • المكون الطبيعي للتسارع [a _ { vec {N}} = vec {a} cdot vec {N} = dfrac {|| vec {v} times vec {a} ||} {|| vec {v} ||} = sqrt {|| vec {a} || ^ 2 - a _ { vec {T}} } لا يوجد رقم]

قائمة المصطلحات

ناقلات التسارع
المشتق الثاني لمتجه الموقع
قوانين كبلر لحركة الكواكب
ثلاثة قوانين تحكم حركة الكواكب والكويكبات والمذنبات في مدار حول الشمس
المكون الطبيعي للتسارع
معامل المتجه العادي للوحدة ( vec N ) عند كتابة متجه التسريع كمجموعة خطية من ( vec T ) و ( vec N )
حركة المقذوفات
حركة جسم بسرعة ابتدائية ولكن لا توجد قوة مؤثرة عليه بخلاف الجاذبية
المكون المماسي للتسارع
معامل متجه ظل الوحدة ( vec T ) عند كتابة متجه التسارع كمجموعة خطية من ( vec T ) و ( vec N )
متجه السرعة
مشتق متجه الموقع

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • حرره بول سيبرغر

الفضاء الإقليدي - الرياضيات والحوسبة

يبحث هذا الموقع في الرياضيات وكيف يمكن حسابها. يبدو أن اسم موقع "EuclideanSpace" مناسب لأن إقليدس قام بواحدة من أولى المحاولات لتوثيق وتصنيف الرياضيات المعروفة في ذلك الوقت. نحن نعلم الآن ، من خلال نظريات Kirt G & oumldel ، أنه لا توجد طريقة محددة لتصنيف الرياضيات ، لذا فإن المنظمة هنا تعسفية في بعض النواحي وتعكس اهتماماتي الخاصة.

يسمح شريط التنقل العلوي باختيار مناطق الموضوعات الرئيسية ، ويمكنك بعد ذلك التنقل لأسفل عبر التسلسل الهرمي.

الرسوم المتحركة والعرض ثلاثي الأبعاد والنظرية الأخرى ذات الصلة بالثلاثي الأبعاد.

كتابة الألعاب دروس للأشخاص الذين يعرفون لغة الكمبيوتر ويريدون البدء في كتابة الألعاب.

بناء نموذج تعليمي للأشخاص الذين بدأوا في استخدام أدوات النمذجة ثلاثية الأبعاد.

حيثما أستطيع ، قمت بوضع روابط إلى أمازون للكتب ذات الصلة بالموضوع.

قد يحتوي هذا الموقع على أخطاء. لا تستخدم للأنظمة الهامة.

حقوق النشر (c) 1998-2021 Martin John Baker - جميع الحقوق محفوظة - سياسة الخصوصية.


تعليق IM

هذه المهمة مستوحاة من اشتقاق صيغة الحجم للكرة. إذا تم وضع كرة نصف قطرها 1 في أسطوانة نصف قطرها 1 وارتفاعها 2 ، فإن الحجم غير المشغول بالكرة يساوي حجم "المخروط ذو القيلولة المزدوجة" مع رأس في مركز الكرة والقواعد متساوية على قواعد الاسطوانة. يمكن ملاحظة ذلك عن طريق تقطيع الشكل الموازي لقاعدة الأسطوانة وملاحظة مناطق الشرائح الحلقية التي تتكون من أجزاء من الحجم داخل الاسطوانة ولكن في الخارج الكرة هي نفسها مناطق شرائح المخروط ذو القيلولة المزدوجة (وتطبيق مبدأ كافاليري). هذه الحقيقة السحرية حول الشرائح هي مظهر من مظاهر نظرية فيثاغورس. نراه يعمل في الجزء 6 من هذه المهمة. الأجزاء الأخرى من المهمة عبارة عن تمارين في التصور ثلاثي الأبعاد ، والتي تبني الحس المكاني الضروري للعمل في الجزء السادس بفهم. يتم استخدام التصور المطلوب هنا في حساب التفاضل والتكامل ، فيما يتعلق بإجراءات حساب الأحجام من خلال إجراءات التقطيع المختلفة.

مقدم من جيمس مادن نيابة عن المشاركين في معهد معلمي الرياضيات والعلوم في لويزيانا على الطريق المنحدر.


2. تراث العصور القديمة

2.1 الفراغ

السؤال الأكثر أهمية الذي يشكل وجهات نظر القرن السابع عشر حول طبيعة المكان والزمان والحركة هو ما إذا كان الفراغ الحقيقي أو الفراغ ممكنًا أم لا ، أي مكان خالٍ من الجسم من أي نوع (بما في ذلك المواد النادرة مثل الهواء). نظرية الذرية القديمة ، التي يعود تاريخها على الأقل إلى فيلسوف ما قبل سقراط ديموقريطس (القرن الخامس قبل الميلاد) ، أكدت أن هذا ليس ممكنًا فحسب ، بل إنه موجود في الواقع بين فواصل الأجزاء الصغيرة غير القابلة للتجزئة من المادة ويمتد بلا حدود إلى ما لا نهاية. . بعد أفلاطون ، رفض أرسطو إمكانية وجود فراغ ، مدعيا أن الفراغ ، بالتعريف ، ليس شيئًا ، وما هو لا شيء لا يمكن أن يوجد.

2.2 مذاهب أرسطو

وفقًا لأرسطو ، الكون عبارة عن مادة مكتملة ، محدودة المدى ، يحدها المجال الخارجي للنجوم الثابتة. أبعد من ذلك ، لا يوجد فراغ ، أي أماكن فارغة ، لأنه ، كما يعرّف أرسطو & lsquoplace & rsquo ، يكون مكان الشيء هو الأبعد من & ldquothe الحد الداخلي الثابت لما يحتويه. & rdquo وبالتالي ، نظرًا لعدم وجود حدود خارج الكرة السماوية الخارجية ، لا توجد أماكن أو مساحة خارجه.

الوقت ، وفقًا لأرسطو ، هو مجرد مقياس للحركة ، حيث يعني "بالحركة & lsquomotion" التغيير من أي نوع ، بما في ذلك التغيير النوعي. من أجل تحديد توحيد الوقت ، أي فكرة الفواصل الزمنية المتساوية ، كان أرسطو يسترشد بالممارسة الفلكية ، التي قدمت في العصور القديمة أكثر المقاييس العملية والدقة للوقت.حدد حركة موحدة مع معدل حركة النجوم الثابتة ، وهو اختيار وجد له تبريرًا ديناميكيًا في فيزياءه السماوية.

& ldquoLocal & rdquo الحركة ليست سوى نوع واحد من الحركة ، أي تغيير المكان. لقد عرّف الحركة ، بشكل عام ، على أنها تحقيق الإمكانية ، وهي فكرة سادت في القرن السابع عشر لتكون غامضة لدرجة أنها إما عديمة الفائدة أو لا معنى لها. ومع ذلك ، فيما يتعلق بالحركة المحلية ، لا توجد صعوبة فيما يتعلق بما يشكل الحركة الحقيقية أو المطلقة لجسم في كون محدود مركزية الأرض. في الواقع ، تتحرك المواد الأولية في عالم ما دون القمر (الأرض والهواء والنار والماء) من تلقاء نفسها إما لأعلى أو لأسفل ، أي باتجاه المركز أو بعيدًا عن المركز بطبيعتها. يتكون العالم السماوي ، بدءًا من مدار القمر ، من شبكة متداخلة من المجالات السماوية تتكون من عنصر خامس (الأثير) ، والتي بحكم طبيعتها تميل إلى حركة دائرية حول مركز الكون (أي المركز من الارض). إذا تم اعتبار حركة هذه المادة مقياسًا للوقت ، فإن الكرات السماوية تدور بالضرورة بشكل موحد. نظرًا لأن الحركة الصافية للكرة المضمنة هي مجموع حركتها الطبيعية التي يتم فرضها على الحركات الطبيعية للكرات التي يتم تضمينها فيها ، وبما أن محاور الدوران يتم وضعها بشكل عام عند زوايا مختلفة قليلاً من أجل تفسير سبب لا تتحرك الشمس على خط الاستواء السماوي ولا تتحرك الكواكب والقمر بشكل صارم على مسير الشمس (أي مسار الشمس مقابل النجوم الثابتة) ، وحركات القمر والكواكب وحتى الشمس ليست بالضرورة زي موحد. ومع ذلك ، نظرًا لأن كرة النجوم الثابتة غير مضمنة في أي كرة سماوية أخرى متحركة ، فإن حركة النجوم الثابتة هي بحكم الواقع مقياس كل حركة.

الاقتراحات التي تم الحديث عنها حتى الآن كلها طبيعي حركات المواد في الأسئلة ، والحركات التي يسببها الجسم هي جوهر جوهره. على النقيض من ذلك ، فإن الحركات الأخرى ، التي يكون فيها سبب الحركة خارجيًا وليس داخليًا للجسد ، أدرج أرسطو تحت مفهوم عنيف اقتراح. الحركة العنيفة المطلوبة لاستمرارها التطبيق المستمر لسبب خارجي.

2.3 ابتكارات القرن السادس عشر

على الرغم من أن آراء أرسطو هيمنت على السكولاستية في العصور الوسطى ، إلا أن هناك اهتمامًا متجددًا بالذرية في أوائل القرن السابع عشر. بصرف النظر عن العوامل العامة مثل عصر النهضة والإنسانية والإصلاح ، فقد جعلته ابتكارات محددة في القرن السادس عشر جذابة. على الرغم من أن تقديم كوبرنيكوس لنظام هيليو ثابت كان مدفوعًا بالالتزام الصارم بديناميكيات أرسطو في الكرات السماوية ، إلا أنه أثار تساؤلات في فيزياء الأرض. أدت ملاحظات جاليليو التلسكوبية لسطح القمر واكتشافه للأقمار التي تدور حول كوكب المشتري إلى التشكيك في التمييز بين الأرض والسماوية. علاوة على ذلك ، فإن رؤية وفرة من النجوم الجديدة ، بلا نهاية على ما يبدو ، توحي بأن الكون قد يكون في الواقع بلا حدود.

2.4 تشارلتون وإحياء المذهب الذري في القرن السابع عشر

ممثل مهم لإحياء النظرية الذرية وما يصاحبها من وجهات نظر فيما يتعلق بالفراغ هو والتر تشارلتون فسيولوجيا إيبيكور جاسندو تشارلتونيانا: أو فابريك للعلوم الطبيعية ، بناءً على فرضية الذرات ، & ldquo أسسها أبيقور ، وأصلحها بيتروس جاسندوس ، وزادها والتر شارلتون و rdquo، والتي ظهرت باللغة الإنجليزية عام 1654 ، بعد اثني عشر عامًا من ولادة نيوتن. إنه نص أصبح نيوتن مألوفًا به عندما كان طالبًا جامعيًا ، ويمكن العثور على بعض الأطروحات الأساسية المتعلقة بالزمان والمكان والتي تم طرحها لاحقًا في Principia والعديد من المخطوطات غير المنشورة بيد نيوتن في شارلتون. وتشمل هذه:

  • أن الزمان والمكان كيانان حقيقيان على الرغم من أنهما لا يتناسبان مع الفئات التقليدية للمادة أو الحادث (أي خاصية مادة ما) ،
  • ذلك الوقت و ldquoflow [s] إلى الأبد في نفس المضمون الهادئ والمتساوي ، & rdquo بينما تخضع حركة جميع الأجسام & ldquo التسارع أو التخلف أو التعليق & rdquo ،
  • هذا الوقت يختلف عن أي مقياس له ، على سبيل المثال ، الحركة السماوية أو اليوم الشمسي ،
  • هذا الفضاء هو & ldquoabs تمامًا غير قابل للحركة & rdquo وغير مادي ،
  • أن الأجسام ، أو الأبعاد الجسدية و rdquo موجودة في كل مكان و ldquo موجودة ومتوافقة مع & ldquoDimensions & rdquo أجزاء المساحة التي تشغلها ،
  • هذا الفضاء المتميز عن الجسد كان موجودًا قبل أن يخلق الله العالم وأن وجود الله كلي الوجود هو وجوده الحرفي في كل مكان ، و
  • هذه الحركة هي ترجمة أو هجرة الجسد من مكان ، كجزء ثابت من الفضاء ، إلى آخر.

إن حجج شارلتون حول آرائه المتعلقة بالوقت لها نفس المضمون مثل تلك التي قدمها نيوتن في مبادئ. في تناقض ملحوظ ، على الرغم من ذلك ، فإن تلك المساحة الفارغة والهائلة وغير القابلة للتغيير مختلفة تمامًا. يناشد شارلتون شرح بعض الظواهر مثل الندرة والتكثيف ، والاختلافات في & ldquodegrees of Gravity & rdquo في الأجسام ، والطرق العديدة التي يمكن للأجسام من خلالها التداخل على المستوى الجزئي من حيث القابلية للذوبان والامتصاص والتكثف والتفاعلات الكيميائية المتنوعة. ومع ذلك ، لا يقدم شارلتون مصطلحات & ldquorelative & rdquo time ، و ldquorelative & rdquo ، أو الأماكن & ldquorelative & rdquo ، ولا يثير القلق في أي مكان فيما يتعلق بالحركة الحقيقية (المطلقة) مقابل الحركة النسبية فقط. الغريب ، على الرغم من أن شارلتون يذكر وينتقد ديكارت فيما يتعلق بأمور أخرى ، لم يتم ذكر حقيقة أن ديكارت ، قبل عقد من الزمن ، قد اقترح تفسيرات ، بالتفصيل أو في الخطوط العريضة ، لهذه الأنواع من الظواهر وفقًا لنظام الطبيعة التي يمتلئ فيها العالم تمامًا بالمادة والتي لا يمكن أن يوجد فيها مكان متميز عن الجسد. يمكن القول بحق أن ديكارت هو مؤسس المدرسة الرئيسية الأخرى لفلسفة & ldquomechancal & rdquo في القرن السابع عشر ، والتي وقفت في معارضة مباشرة للنزعة الذرية بشأن مسألة إمكانية حدوث فراغ ، والتي تكيفت مع المذاهب الأرسطية حول الطبيعة. من الوقت والمكان والحركة إلى العالم الجديد.


5.4: الحركة في الفضاء - الرياضيات

يقدم الجدول التالي إحداثيات جسيم يتحرك عبر الفضاء على طول منحنى سلس. أوجد السرعات المتوسطة للفترات الزمنية 0 1 و 0.5 1 و 1 2 و 1 1.5. قدِّر سرعة وسرعة الجسيم عند t = 1.

ر x ذ ض
0.0 2.7 9.8 3.7
0.5 3.5 7.2 3.3
1.0 4.5 6.0 3.0
1.5 5.9 6.4 2.8
2.0 7.3 7.8 2.7

يوضح الشكل مسار الجسيم الذي يتحرك مع متجه الموضع r & # x2061 t في الوقت t.

  1. ارسم متجهًا يمثل متوسط ​​سرعة الجسيم خلال الفترة الزمنية 2 & leq t & leq 2.4.
  2. ارسم متجهًا يمثل متوسط ​​سرعة الجسيم خلال الفترة الزمنية 1.5 & leq t & leq 2
  3. اكتب تعبيرًا عن متجه السرعة v & # x2061 2.
  4. ارسم تقريبًا لمتجه السرعة v & # x2061 2 وقدِّر سرعة الجسيم عند t = 2.

أوجد السرعة والتسارع والسرعة للإلكترون باستخدام دالة الموضع

ارسم مسار الإلكترون وارسم متجهات السرعة والتسارع من أجل t = 0.

أوجد السرعة والتسارع والسرعة للإلكترون باستخدام دالة الموضع

ارسم مسار الإلكترون وارسم متجهات السرعة والتسارع من أجل t = 0.

يتم إعطاء وظيفة موضع النيوترينو بواسطة

متى تكون السرعة عند الحد الأدنى؟

لذا فإن السرعة هي v & # x2061 t = 8 & InvisibleTimes t 2 & ناقص 64 & InvisibleTimes t + 281.

الوظيفة الموجودة تحت علامة الجذر هي القطع المكافئ ، وقيمتها الدنيا عند القمة t = 4.


ما هو الزمكان؟

نسيج الزمكان هو نموذج مفاهيمي يجمع بين الأبعاد الثلاثة للفضاء والبعد الرابع للزمن. وفقًا لأفضل النظريات الفيزيائية الحالية ، يشرح الزمكان التأثيرات النسبية غير العادية التي تنشأ من السفر بالقرب من سرعة الضوء وكذلك حركة الأجسام الضخمة في الكون.

من اكتشف الزمكان؟

ساعد الفيزيائي الشهير ألبرت أينشتاين في تطوير فكرة الزمكان كجزء من نظريته النسبية. قبل عمله الرائد ، كان لدى العلماء نظريتان منفصلتان لشرح الظواهر الفيزيائية: تصف قوانين إسحاق نيوتن للفيزياء حركة الأجسام الضخمة ، بينما أوضحت النماذج الكهرومغناطيسية لجيمس كليرك ماكسويل خصائص الضوء ، وفقًا لوكالة ناسا.

لكن التجارب التي أجريت في نهاية القرن التاسع عشر أشارت إلى أن هناك شيئًا مميزًا بشأن الضوء. أظهرت القياسات أن الضوء ينتقل دائمًا بنفس السرعة ، بغض النظر عن السبب. وفي عام 1898 ، تكهن عالم الفيزياء والرياضيات الفرنسي هنري بوانكار وإيكوت أن سرعة الضوء قد تكون حدًا لا يمكن تجاوزه. في نفس الوقت تقريبًا ، كان باحثون آخرون يفكرون في إمكانية تغير الأجسام في الحجم والكتلة ، اعتمادًا على سرعتها.

جمع أينشتاين كل هذه الأفكار معًا في نظريته للنسبية الخاصة عام 1905 ، والتي افترضت أن سرعة الضوء ثابتة. لكي يكون هذا صحيحًا ، يجب دمج المكان والزمان في إطار واحد تآمر للحفاظ على سرعة الضوء واحدة لجميع المراقبين.

سيقيس الشخص في صاروخ فائق السرعة الوقت اللازم للتحرك بشكل أبطأ وأن تكون أطوال الأجسام أقصر مقارنةً بالشخص الذي يسافر بسرعة أبطأ بكثير. ذلك لأن المكان والزمان نسبيان - فهما يعتمدان على سرعة المراقب. لكن سرعة الضوء أكثر جوهرية من أي منهما.

لم يكن الاستنتاج القائل بأن الزمكان هو نسيج واحد هو الذي توصل إليه أينشتاين بنفسه. جاءت هذه الفكرة من عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي ، الذي قال في ندوة عام 1908 ، "من الآن فصاعدًا الفضاء بمفرده ، والوقت بمفرده ، محكوم عليهما بالتلاشي إلى مجرد ظلال ، ولن يحافظ سوى نوع من الاتحاد بين الاثنين على حقيقة مستقلة . "

لا يزال الزمكان الذي وصفه معروفًا باسم Minkowski space-time ويعمل كخلفية للحسابات في كل من نظرية النسبية والحقل الكمومي. يصف الأخير ديناميكيات الجسيمات دون الذرية على أنها حقول ، وفقًا لعالم الفيزياء الفلكية والكاتب العلمي إيثان سيجل.

كيف يعمل الزمكان

في الوقت الحاضر ، عندما يتحدث الناس عن الزمكان ، فإنهم غالبًا ما يصفونه بأنه يشبه صفيحة من المطاط. يأتي هذا أيضًا من أينشتاين ، الذي أدرك أثناء تطويره لنظرية النسبية العامة أن قوة الجاذبية كانت بسبب منحنيات في نسيج الزمكان.

الأجسام الضخمة - مثل الأرض أو الشمس أو أنت - تخلق تشوهات في الزمكان تؤدي إلى ثنيها. هذه المنحنيات ، بدورها ، تقيد الطرق التي يتحرك بها كل شيء في الكون ، لأن الأشياء يجب أن تتبع مسارات على طول هذا الانحناء الملتوي. الحركة بسبب الجاذبية هي في الواقع حركة على طول التقلبات والانعطافات في الزمكان.

قامت بعثة ناسا تسمى Gravity Probe B (GP-B) بقياس شكل دوامة الزمكان حول الأرض في عام 2011 ووجدت أنها تتوافق بشكل وثيق مع تنبؤات أينشتاين.

لكن الكثير من هذا لا يزال صعبًا على معظم الناس أن يلفوا رؤوسهم. على الرغم من أنه يمكننا مناقشة الزمكان على أنه مشابه لصفيحة مطاطية ، فإن التشابه ينهار في النهاية. الصفيحة المطاطية ثنائية الأبعاد ، بينما الزمكان رباعي الأبعاد. لا تمثل الورقة مجرد تشوهات في الفضاء ، ولكنها أيضًا تلتوي في الوقت المناسب. المعادلات المعقدة المستخدمة في تفسير كل هذا صعبة حتى على الفيزيائيين للعمل معها.

كتب عالم الفيزياء الفلكية بول سوتر لموقع شقيقة Live Science ، Space.com: "صنع أينشتاين آلة جميلة ، لكنه لم يترك لنا دليل مستخدم". "فقط لتوضيح هذه النقطة ، تكون النسبية العامة معقدة للغاية لدرجة أنه عندما يكتشف شخص ما حلاً للمعادلات ، يحصل على الحل الذي يحمل اسمه ويصبح شبه أسطوري في حد ذاته."

ما لا يعرفه العلماء حتى الآن

على الرغم من تعقيدها ، تظل النسبية هي أفضل طريقة لتفسير الظواهر الفيزيائية التي نعرفها. ومع ذلك ، يعرف العلماء أن نماذجهم غير مكتملة لأن النسبية لا تزال غير متوافقة تمامًا مع ميكانيكا الكم ، والتي تشرح خصائص الجسيمات دون الذرية بدقة متناهية ولكنها لا تتضمن قوة الجاذبية.

تعتمد ميكانيكا الكم على حقيقة أن الأجزاء الصغيرة التي يتكون منها الكون منفصلة أو مكمَّمة. لذا فإن الفوتونات ، الجسيمات التي يتكون منها الضوء ، تشبه قطعًا صغيرة من الضوء تأتي في حزم مميزة.

تكهن بعض المنظرين أنه ربما يأتي الزمكان نفسه أيضًا في هذه الأجزاء الكمية ، مما يساعد على جسر النسبية وميكانيكا الكم. اقترح باحثون في وكالة الفضاء الأوروبية مهمة المختبر الدولي لعلم الفلك بأشعة جاما للاستكشاف الكمي للزمان والمكان (GrailQuest) ، والتي ستطير حول كوكبنا وإجراء قياسات فائقة الدقة للانفجارات البعيدة والقوية التي تسمى انفجارات أشعة جاما والتي يمكن أن تكشف عن قرب طبيعة الزمكان.

لن يتم إطلاق مثل هذه المهمة لمدة عقد ونصف على الأقل ، ولكن إذا تم ذلك ، فربما تساعد في حل بعض أكبر الألغاز المتبقية في الفيزياء.

مصادر إضافية

  • اقرأ المزيد عن الزمكان لأينشتاين على مسبار الجاذبية ب.
  • يشرح بول سوتر سبب صحة نظرية النسبية لأينشتاين لموقع ProfoundSpace.org.
  • شاهد: "هل المكان والزمان وهم؟" من PBS Space Time.

تم تحديث هذه المقالة في 20 مايو 2021 بواسطة محرر مرجع Live Science كيمبرلي هيكوك.

حول تعليق SJB ، إذا كان تكوين الزمكان نتيجة لما يسمى بحدث BB - كما يعتبره العديد من العلماء- ، فإن "النسيج الموجود مسبقًا" الذي حدث فيه لا يمكن أن يكون له طبيعة مكانية أو زمنية. من الأفضل أن تكون "شبكة سالبة" - لنقول أنه لا يوجد مكان للزمان حيث يكون ظهور تفرد مبدئي صفري D (نقطة مع وجود مكاني أولي) قد نشأ في نهاية المطاف (ربما بسبب تلك "تقلبات الكثافة" من الشبكة البدائية التي اقترحها Jimdodds).

إن "الانكشاف" الفرعي للفردة 0D الأولية إلى واقع 1D ​​(خطي) ثم إلى 2D (مستوي) وكون ثلاثي الأبعاد (حجمي) من شأنه أن يعني التواجد المتداخل لعامل الوقت في كل خطوة لإنتاج ما يلي جديد البعد ، "الوقت" هو دائما البعد التالي غير المكاني.

في الواقع المكاني ثلاثي الأبعاد المألوف لدينا ، يكون الوقت إذن هو البعد الرابع - كما يُنظر إليه عادةً - حيث تتكشف "الحقيقة" من خلاله.

نعم محير العقل. مع الأخذ في الاعتبار أيضًا في عام 1952 كتب أينشتاين ، "الأجسام المادية ليست في الفضاء ، ولكن هذه الأجسام ممتدة مكانيًا. بهذه الطريقة يفقد مفهوم "الفضاء الفارغ" معناه ".
لذا فإن الأجسام المادية ممتدة مكانيًا رباعية الأبعاد ، كما قالjimdodds "تقلبات الكثافة" ، تعكس حقيقة أن ما تقيسه تجارب فيزياء الطاقة العالية CERN LHC في الواقع هو تركيزات ضغط كثافة الطاقة الكهرومغناطيسية رباعية الأبعاد. تمامًا كما ساعد التعرف على أنماط الذكاء الاصطناعي بشكل مشهور في اكتشاف بوزون هيغز من خلال التعرف على كثافة طاقة نمط التصادم.

أقترح أزمة الكم نشأت ماريا سبيروبولو التجريبية في CERN LHC التي ذكرت في عام 2014 (انظر الساعة 20:32) من حقيقة أن النموذج القياسي للفيزياء (SM) يصمم تركيزات كثافة طاقة نمط التصادم كجسيمات نقطة رياضية صفرية الأبعاد (0D) - والتي لا تقدم أي شيء. محتوى المعلومات نحو تكرار الكون 4D الزمكان. أزمة الكم هي الخصائص الفيزيائية رباعية الأبعاد التي تم ملاحظتها والتي يتم تخمينها لتكون خفية ذات أبعاد غير معروفة أو خواص آلية الغشاء - والتي تظل غير مكتشفة عند مستويات طاقة LHC.

ما هو الزمكان؟ حسنًا ، يمكننا فقط قياس الزمكان رباعي الأبعاد بالنسبة لتركيزات كثافة الطاقة (كثافة الكتلة). أي تركيزات هي نفسها كثافة طاقة ممتدة مكانيًا رباعية الأبعاد وتكاملات كثافة الكتلة. لذلك 4D جديدة ممتدة مكانيًا نموذج غير قياسي ستكون هناك حاجة إلى تكامل كثافة الطاقة وكثافة الكتلة لحل أزمة الكم ، حيث وجد أليساندرو فيدريتزي وماسيميليانو برويتي أن الواقع الموضوعي غير موجود ، تظهر التجارب الكمية.
تمامًا كما أشار بول سوتر في أين توجد كل "الجسيمات الصغيرة" التي يمكن أن تشرح ما هو الخطأ في الكون؟ :"أو ، بشكل أكثر إحباطًا ، أنها غير موجودة. وهذا يعني أن هذه المخلوقات - جنبًا إلى جنب مع شركائها الفائقين - هم في الحقيقة مجرد أشباح يحلم بها علماء الفيزياء المحمومون ، وما نحتاجه في الواقع هو إطار جديد تمامًا لحل بعض المشاكل البارزة في الفيزياء الحديثة ".

"الشخص في صاروخ فائق السرعة سيقيس الوقت اللازم للتحرك بشكل أبطأ وأطوال الأجسام تكون أقصر مقارنةً بالشخص الذي يسافر بسرعة أبطأ بكثير."

اممم ، هذا مجرد خطأ واضح (أو ربما تم التعبير عنه بشكل سيء). سيقيس هذان الشخصان تدفقهما للوقت وأطوال الأشياء من حولهما بطريقة طبيعية تمامًا لكل منهما. ومع ذلك ، عند مراقبة بعضهم البعض ، سيقيس كل مراقب وقت مرور الآخر بمعدل أبطأ ، ويتم ضغط الأطوال على سفن بعضهم البعض في اتجاه الحركة ، بالنسبة لأنفسهم. كلما زادت الحركة النسبية ، زاد التأثير الملحوظ.

تم وصف الزمكان في موقع Po Theory potheory.com

The Po Theory هي نظرية جديدة للفيزياء تقدم قضايا أساسية ، من بين أمور أخرى ، بناء الزمكان وتصف خصائص الزمكان ، على سبيل المثال اضمحلاله (التوسع) مما أدى إلى توليد الوقت. في The Po Theory ، هناك العديد من النماذج التي تصف بنية المادة ، على سبيل المثال نموذج توليد الجسيمات ، نموذج توليد كتلة الجسيمات (الطاقة) ، نموذج الهيكل البريون ، إلخ. جميع هذه النماذج مدعومة بمعادلات رياضية تصف خصائص الجسيمات مثل نصف قطر الجسيم ، وكتلته ، والوقت المميز المرتبط بالجسيم ، ووقت الحياة ، والمدى من التفاعل. تعطي نظرية Po ، على سبيل المثال ، صيغة لحساب نصف قطر الإلكترون أو كتلته أو شحنته الكهربائية.

تصف نظرية بو المجموعات المعروفة وغير المعروفة حتى الآن من الجسيمات الأولية والأساسية ، وهي أجسام عبارة عن ثقوب سوداء - انهيار ، بما في ذلك انهيار الكون والكون الحيوي. يصف التفاعلات - القوى التي تتحكم في هذه الجسيمات والأشياء. يوضح الارتباطات بين معلمات هذه الجسيمات والثوابت الفيزيائية ، والتناظر بين التفاعلات ، وقبل كل شيء يحدد الجسيم الأساسي - انهيار Po. الجسيم هو أصغر انهيار وجسيم أساسي مع أعلى كتلة بين الجسيمات الأولية ، وهو جزء من كل من بلانكون والجسيمات الأساسية والأولية ، وهو "اللبنة الأساسية" للمادة.

تم تقديم نظرية Po في كتاب: "Po Theory. From the small part to the BiUniverse"، www.potheory.com أو www.teoriapo.pl
النسخة البولندية
https://drive.google.com/file/d/1-2LF-htgDbanPKLP5qpFoUFDPnEBGtYK/view؟usp=drivesdk
النسخة الإنجليزية
https://drive.google.com/file/d/1qTNhhqrgtuK63P06Fa3IhktYQg3YdsIA/view؟usp=drivesdk

أنا لست خبيرًا في الرياضيات كثيرًا. تلقيت رسالة نصية يومية من ديباك تشوبرا في ذلك اليوم حيث قال:

في الأفق الكوني ، على بعد 42 مليار سنة ضوئية ، يتمدد الفضاء أسرع من سرعة الضوء وتختفي المجرات. - ديباكي

لذلك كنت أفكر أنه سيكون المكان الذي قد تكون فيه الحياة الأبدية منذ وقتها الماضي. كيف ستبدو الحياة بسرعة تفوق سرعة الضوء؟ مثل الإله ، هذا ما.


نموذج فضاء الولاية من المعادلة التفاضلية

ضع في اعتبارك السلسلة التالية من دائرة RLC. إنه يحتوي على جهد دخل ، $ v_i (t) $ والتيار المتدفق عبر الدائرة هو $ i (t) $.

يوجد عنصرا تخزين (محث ومكثف) في هذه الدائرة. لذا ، فإن عدد متغيرات الحالة يساوي اثنين ومتغيرات الحالة هذه هي التيار المتدفق خلال المحرِّض ، $ i (t) $ والجهد عبر المكثف ، $ v_c (t) $.

من الدائرة ، جهد الخرج ، $ v_0 (t) $ يساوي الجهد عبر المكثف ، $ v_c (t) $.

ضع KVL حول الحلقة.

الجهد عبر المكثف -

ميّز المعادلة أعلاه فيما يتعلق بالوقت.

يمكننا ترتيب المعادلات التفاضلية ومعادلة المخرجات في الشكل القياسي لنموذج الفضاء الحكومي ،


العلم: ميكانيكا المدارات

قوانين كبلر ورسكووس لحركة الكواكب

بينما لاحظ كوبرنيكوس بحق أن الكواكب تدور حول الشمس ، كان كبلر هو من حدد مداراتها بشكل صحيح. في سن السابعة والعشرين ، أصبح كبلر مساعدًا لعالم فلك ثري ، تايكو براهي ، الذي طلب منه تحديد مدار المريخ. لقد جمع براهي ملاحظات فلكية مدى الحياة ، والتي ، عند وفاته ، انتقلت إلى أيدي كبلر ورسكووس. (لقد حجب براهي ، الذي كان لديه نموذجه الخاص بالكون المتمركز حول الأرض ، الجزء الأكبر من ملاحظاته عن كيبلر جزئيًا على الأقل لأنه لم يرغب في أن يستخدمها كبلر لإثبات صحة نظرية كوبرنيكوس.) وباستخدام هذه الملاحظات ، وجد كبلر أن تتبع مدارات الكواكب ثلاثة قوانين.

مثل العديد من الفلاسفة في عصره ، كان لدى كبلر اعتقاد صوفي بأن الدائرة هي شكل الكون و rsquos المثالي ، وأنه كتعبير عن النظام الإلهي ، يجب أن تكون الكواكب ومداراتها دائرية. لسنوات عديدة ، كافح من أجل جعل ملاحظات Brahe & rsquos لحركات المريخ تتطابق مع مدار دائري.

في النهاية ، لاحظ كبلر أن خطًا وهميًا مرسومًا من كوكب إلى الشمس اجتاحت مساحة متساوية من الفضاء في أوقات متساوية ، بغض النظر عن مكان الكوكب في مداره. إذا قمت برسم مثلث من الشمس إلى موقع كوكب و rsquos عند نقطة زمنية واحدة وموقعه في وقت محدد لاحقًا و mdashsay ، 5 ساعات ، أو يومين و mdashs ، فإن مساحة هذا المثلث هي نفسها دائمًا ، في أي مكان في المدار. لكي يكون لكل هذه المثلثات نفس المنطقة ، يجب أن يتحرك الكوكب بسرعة أكبر عندما يكون بالقرب من الشمس ، ولكن بشكل أبطأ عندما يكون بعيدًا عن الشمس.

أدى هذا الاكتشاف (الذي أصبح قانون Kepler & rsquos الثاني للحركة المدارية) إلى إدراك ما أصبح قانون Kepler & rsquos الأول: أن الكواكب تتحرك في شكل بيضاوي (دائرة مضغوطة) مع الشمس في نقطة تركيز واحدة ، معادلة من المركز.

يوضح قانون Kepler & rsquos الثالث أن هناك علاقة رياضية دقيقة بين كوكب ومسافة rsquos من الشمس ومقدار الوقت المستغرق يدور حول الشمس. كان هذا القانون هو الذي ألهم نيوتن ، الذي وضع ثلاثة قوانين خاصة به لشرح سبب تحرك الكواكب كما تفعل.

قوانين نيوتن ورسكووس للحركة

إذا كانت قوانين Kepler & rsquos تحدد حركة الكواكب ، فإن قوانين Newton & rsquos تحدد الحركة. بالتفكير في قوانين Kepler & rsquos ، أدرك نيوتن أن كل حركة ، سواء كانت مدار القمر حول الأرض أو تفاحة تسقط من شجرة ، تتبع نفس المبادئ الأساسية. & ldquo إلى نفس التأثيرات الطبيعية ، & rdquo كتب ، يجب على ldquowe ، قدر الإمكان ، تحديد الأسباب نفسها. & rdquo قام الفيزيائي ستيفن هوكينج بكتابة أسباب مختلفة لأنواع مختلفة من الحركة. من خلال توحيد كل الحركات ، حوّل نيوتن المنظور العلمي إلى البحث عن أنماط كبيرة وموحدة في الطبيعة. أوجز نيوتن قوانينه في كتاب Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (& ldquoMathematical Principles of Natural Philosophy & rdquo) الذي نُشر عام 1687.

القانون الأول: يثابر كل جسم في حالة الراحة أو الحركة المنتظمة في خط صحيح ، ما لم يكن مجبرًا على تغيير تلك الحالة بفعل القوى المؤثرة عليه.

من حيث الجوهر ، فإن الجسم المتحرك لن يغير السرعة أو الاتجاه ، ولن يبدأ الجسم الثابت في الحركة ، ما لم تؤثر عليه قوة خارجية. يتلخص القانون بانتظام في كلمة واحدة: القصور الذاتي.

القانون الثاني. إن تغيير الحركة يتناسب دائمًا مع القوة المحركة المؤثرة ويتم إجراؤه في اتجاه الخط الأيمن الذي تتأثر فيه تلك القوة.

قانون نيوتن ورسكووس الثاني هو الأكثر تمييزًا في شكله الرياضي ، المعادلة الأيقونية: F = ma. يتم تحديد قوة القوة (F) من خلال مقدار تغييرها للحركة (التسارع ، أ) لجسم مع بعض الكتلة (م).

القانون الثالث. لكل فعل دائمًا رد فعل متساوٍ: أو أن الأفعال المتبادلة لجسدين على بعضهما البعض دائمًا متساوية وموجهة إلى أجزاء متناقضة.

كما وصف نيوتن نفسه: & ldquo إذا ضغطت على حجر بإصبعك ، فإن الإصبع يضغط أيضًا بالحجر. & rdquo

الجاذبية

ضمن صفحات Principia ، قدم نيوتن أيضًا قانونه للجاذبية العامة كدراسة حالة لقوانين الحركة الخاصة به. تمارس كل المادة قوة ، أطلق عليها اسم الجاذبية ، تسحب كل المواد الأخرى نحو مركزها. تعتمد قوة القوة على كتلة الجسم: للشمس جاذبية أكبر من الأرض ، والتي بدورها تمتلك جاذبية أكبر من التفاحة. أيضا ، القوة تضعف مع المسافة. تتأثر الأجسام البعيدة عن الشمس بجاذبيتها.

أوضح قوانين نيوتن ورسكووس للحركة والجاذبية رحلة الأرض ورسكووس السنوية حول الشمس. ستتحرك الأرض بشكل مستقيم للأمام عبر الكون ، لكن الشمس تمارس سحبًا مستمرًا على كوكبنا. تعمل هذه القوة على انحناء مسار الأرض و rsquos نحو الشمس ، وتسحب الكوكب إلى مدار بيضاوي الشكل (دائري تقريبًا). جعلت نظرياته أيضًا من الممكن شرح المد والجزر والتنبؤ به. يتم إنشاء ارتفاع وانخفاض مستويات مياه المحيطات عن طريق سحب الجاذبية للقمر أثناء دورانه حول الأرض.

أينشتاين والنسبية

ظلت الأفكار الموضحة في قوانين نيوتن ورسكووس للحركة والجاذبية العالمية دون منازع لما يقرب من 220 عامًا حتى قدم ألبرت أينشتاين نظريته عن النسبية الخاصة في عام 1905. اعتمدت نظرية نيوتن ورسكووس على افتراض أن الكتلة والوقت والمسافة ثابتة بغض النظر عن مكان قياسها. .

تتعامل نظرية النسبية مع الزمان والمكان والكتلة على أنها أشياء مائعة يحددها إطار مرجعي للمراقب و rsquos. كل منا يتحرك عبر الكون على الأرض في إطار مرجعي واحد ، لكن رائد الفضاء في مركبة فضائية سريعة الحركة سيكون في إطار مرجعي مختلف.

ضمن إطار مرجعي واحد ، فإن قوانين الفيزياء الكلاسيكية ، بما في ذلك قوانين نيوتن و rsquos ، صحيحة. لكن قوانين Newton & rsquos يمكن أن تشرح الاختلافات في الحركة والكتلة والمسافة والوقت التي تنتج عندما يتم ملاحظة الأشياء من إطارين مرجعيين مختلفين تمامًا. لوصف الحركة في هذه المواقف ، يجب على العلماء الاعتماد على نظرية أينشتاين و rsquos النسبية.

في السرعات البطيئة وعلى المقاييس الكبيرة ، ومع ذلك ، فإن الاختلافات في الوقت والطول والكتلة التي تنبأت بها النسبية صغيرة بما يكفي بحيث تبدو ثابتة ، ولا تزال قوانين نيوتن ورسكوس سارية. بشكل عام ، القليل من الأشياء تتحرك بسرعة كافية لنلاحظ النسبية. بالنسبة للأقمار الصناعية الكبيرة بطيئة الحركة ، لا تزال قوانين نيوتن ورسكووس تحدد المدارات. لا يزال بإمكاننا استخدامها لإطلاق أقمار صناعية لرصد الأرض والتنبؤ بحركتها. يمكننا استخدامها للوصول إلى القمر والمريخ وأماكن أخرى خارج الأرض. لهذا السبب ، يرى العديد من العلماء أن قوانين أينشتاين ورسكوس للنسبية العامة والخاصة ليست كبديل لقوانين نيوتن و rsquos للحركة والجاذبية العامة ، ولكن باعتبارها تتويجًا كاملًا لفكرته.


7. ما هي الحركة

في ال الميتافيزيقيا، يجادل أرسطو بأنه إذا كان هناك تمييز بين الاحتمالية والواقعية على الإطلاق ، فلا بد من التمييز بين نوعين من الاحتمالية. الرجل ذو البصر ولكن عينيه مغمضتين يختلف عن الأعمى مع أن كلاهما لا يبصر. الرجل الأول لديه القدرة على الرؤية ، وهو ما ينقصه الرجل الثاني. ثم هناك إمكانات بالإضافة إلى الوقائع في العالم. ولكن عندما يفتح الرجل عينيه ، هل فقد القدرة على الرؤية؟ من الواضح أنه ليس أثناء رؤيته ، فإن قدرته على الرؤية لم تعد مجرد إمكانية ، بل هي إمكانية تم توظيفها. توجد احتمالية الرؤية أحيانًا كنشاط أو في العمل ، وأحيانًا غير نشط أو كامن. لكن يبدو أن هذا المثال لا يقربنا من فهم الحركة ، لأن الرؤية هي مجرد واحدة من تلك الأنشطة التي ليست حركة. دعونا نفكر ، إذن ، في قدرة الرجل على المشي عبر الغرفة. عندما يكون جالسًا أو واقفًا أو مستلقيًا ، تكون قدرته على المشي كامنة ، مثل مشهد الرجل وعيناه مغمضتان ، ومع ذلك ، فإن هذه القدرة لها وجود حقيقي ، مما يميز الرجل المعني عن الرجل المعوق إلى حد وجوده. فقدت كل إمكانياتها على المشي. عندما يسير الرجل عبر الغرفة ، يتم تفعيل قدرته على المشي. ولكن بينما هو يسير ، ما حدث لقدرته على يكون في الجانب الآخر من الغرفة ، والذي كان خفيًا أيضًا قبل أن يبدأ في المشي؟ إنها أيضًا إمكانية تم تفعيلها بفعل المشي. بمجرد وصوله إلى الجانب الآخر من الغرفة ، تم تحقيق إمكانية وجوده في روس & # 8217 بمعنى المصطلح ، ولكن أثناء سيره ، فإن احتمال وجوده على الجانب الآخر من الغرفة ليس كامنًا فحسب ، ولم يتم إلغاؤها بعد ، بواقع بالمعنى الضعيف ، ما يسمى بالواقعية في ذلك الجانب الآخر من الغرفة بينما يسير ، فإن احتمال وجوده على الجانب الآخر من الغرفة هو في الواقع مجرد احتمال. إن حقيقة إمكانية أن تكون على الجانب الآخر من الغرفة ، مثل تلك الإمكانية فقط ، ليست أكثر أو أقل من المشي عبر الغرفة.

سيتم تطبيق تحليل مماثل على أي حركة مهما كانت. إن نمو الجرو ليس تحقيقًا لقدرته على أن يكون كلبًا ، ولكن حقيقة هذه الإمكانية كإمكانية. إن سقوط القلم الرصاص هو حقيقة إمكانية وجوده على الأرض ، في الواقع كما يلي: الاحتمالية أن تكون على الأرض. في كل حالة تكون الحركة مجرد احتمال رابعًا الفعلي والواقعي qua القدره. وبالتالي المعنى الذي نعطيه للكلمة انتليتشيا لا يتعارض مع استخداماته الأخرى: فالحركة تشبه الحيوان من حيث أنها تبقى تمامًا كما هي تمامًا عبر الزمن. لم يعد المشي عبر الغرفة حركة حيث يتم اتخاذ الخطوة الأخيرة أكثر من أي نقطة سابقة. كل حركة هي كل معقد ، وحدة ثابتة تنظم أجزاء مختلفة ، مثل المواضع المختلفة التي يمر من خلالها قلم الرصاص الساقط. كأجزاء من حركة القلم ، فإن هذه الأوضاع ، على الرغم من أنها متميزة ، تعمل بشكل متماثل في الاستمرارية المرتبة التي تحددها احتمالية وجود القلم على الأرض. تتواجد الأشياء إلى الحد الذي تكون فيه أو تكون جزءًا من الكيانات المحددة ، بحيث تكون وسيلة لتكون شيئًا ، والتغيير موجود لأنه دائمًا أو جزء من بعض الإمكانات المحددة ، في العمل ويتجلى في العالم كتغيير .


5.2 فرض

إذا مارسنا نفس القوة على عدة أجسام ذات كتلة مختلفة ، فسنلاحظ تسارعات مختلفة. على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يرمي كرة بيسبول بشكل أكبر (وأسرع) من كرة من نفس الحجم مصنوعة من الرصاص. وحدة القوة هي نيوتن (N) ، ويتم تعريف القوة البالغة 1 نيوتن بأنها القوة التي تنتج تسارعًا قدره 1 م / ث 2 عند تطبيقها على جسم كتلته 1 كجم. إذا طبقنا قوة تساوي 2 نيوتن ، فإن العجلة المقابلة هي 2 م / ث 2.

أظهرت التجارب أن القوة متجه. يمكن إظهار ذلك بإثبات أن للقوة مقدارًا واتجاهًا. لنفترض أننا نطبق قوة مقدارها 3 نيوتن على الجسم القياسي (كتلة 1 كجم). يتم تطبيق القوة بحيث يكون التسارع الناتج 3 م / ث 2 لأعلى (اتجاه y موجب). بالإضافة إلى ذلك ، نطبق قوة مقدارها 4 نيوتن في الاتجاه الأفقي (يتم تطبيق هذه القوة بحيث يتسارع الجسم القياسي بعجلة 4 م / ث 2 في اتجاه المحور س الموجب إذا كانت هذه هي القوة الوحيدة مطبق). الوضع موضح في الشكل 5.1. إذا كانت كلتا القوتين تعملان على الكتلة القياسية في وقت واحد ، يتم قياس تسارع الجسم ليكون 5 م / ث 2 ، ويتزامن اتجاه العجلة مع اتجاه مجموع القوة المتجهية للقوتين. القوة الكلية هي 5 نيوتن وتساوي مقدار متجه مجموع القوتين (إذا افترضنا أن اتجاه القوة يساوي اتجاه العجلة). نستنتج أن القوة في الواقع متجه وأن القوة والعجلة المقابلة لها نفس الاتجاه.

الشكل 5.1. تسارع الجسم القياسي تحت تأثير قوتين.

يعتمد التسارع الناتج عن قوة معينة على كتلة الجسم. إن تسارع جسم بضعف كتلة الكتلة القياسية تحت تأثير قوة معينة هو نصف تسارع الكتلة القياسية بسبب نفس القوة. تلخص القائمة التالية ما تعلمناه حتى الآن عن القوات:

2. القوة المؤثرة على جسم ما تنتج تسارعًا. اتجاه التسارع هو نفس اتجاه القوة المطبقة.

3. بالنسبة لقوة معينة ، فإن التسارع الناتج لجسم كتلته ضعف الكتلة القياسية ، هو نصف تسارع الكتلة القياسية تحت تأثير نفس القوة.

تم تلخيص الاستنتاجات في قانون نيوتن الثاني:'

حيث [Sigma] F هو مجموع متجه لجميع القوى المؤثرة على جسم كتلته m ، وهو التسارع الناتج (ملاحظة: يشمل المجموع القوى الخارجية فقط). إذا قمنا بتحليل كل من القوة والتسارع إلى مكوناتهما الفردية على طول المحور x و y و z ، فإننا نحصل على العلاقات التالية:

يتضمن قانون نيوتن الثاني بيانًا رسميًا لقانون نيوتن الأول: إذا لم تكن هناك قوة صافية تؤثر على جسم ([Sigma] F = 0 N) فإن التسارع يساوي صفرًا (وسرعة الجسم ثابتة).

يدفع طالب زلاجة محملة كتلتها 240 كجم لمسافة 2.3 متر فوق سطح بحيرة متجمدة عديم الاحتكاك. يبذل قوة أفقية تساوي 130 نيوتن. إذا بدأت المزلقة من السكون ، فما سرعتها النهائية؟

الشكل 5.2. تنسيق مشكلة نموذج النظام 5-1.

هذه مشكلة ذات بعد واحد. يتم تعريف نظام الإحداثيات بحيث يتزامن الأصل مع موضع الزلاجة في الوقت t = 0 s ، ويتم تطبيق القوة في الاتجاه الإيجابي (انظر الشكل 5.2). نظرًا لأن القوة ثابتة ، فإن العجلة الناتجة هي أيضًا ثابتة ، ويمكن حسابها بتطبيق قانون نيوتن الثاني:

يتم تطبيق التسارع الثابت فقط على مسافة d (= 2.3 م). في نظام الإحداثيات المختار ، يمكن كتابة معادلة الحركة على النحو التالي:

من هذه المعادلة ، يمكن حساب الوقت الذي قطعت فيه المزلجة مسافة d:

وسرعة المزلجة في ذلك الوقت تساوي

في حرب شد ذات بعدين ، يسحب أليكس وبيتي وتشارلز حبالًا مربوطة بإطار سيارة. الحبال تصنع زوايا كما هو موضح في الشكل 5.3 ، وهي منظر من الأعلى. أليكس يسحب بقوة Fأ = 220 N وتشارلز بقوة Fج = 170 نيوتن بأي قوة يجب أن تسحبها بيتي من أجل إبقاء الإطار ثابتًا؟

نظرًا لأن الإطار ثابت ، يجب أن تكون القوة الكلية على الإطار صفرًا. هذا يعني أيضًا أن القوة الكلية على طول اتجاه x و y يجب أن تكون صفرًا:

استبدال القيم المعروفة لـ Fأ، Fج و [ثيتا] في المعادلة الأولى ، يمكننا حساب [phi]:

بالتعويض عن هذه القيمة لـ [phi] في المعادلة الثانية يمكننا حساب Fب:

الشكل 5.3. نموذج مخطط القوة 5-2.


5.4: الحركة في الفضاء - الرياضيات

الهواء مادة فيزيائية لها وزن. لها جزيئات تتحرك باستمرار. يتم إنشاء ضغط الهواء من خلال حركة الجزيئات. يمتلك الهواء المتحرك قوة ترفع الطائرات الورقية والبالونات لأعلى ولأسفل. الهواء عبارة عن خليط من غازات مختلفة مثل الأكسجين وثاني أكسيد الكربون والنيتروجين. كل الأشياء التي تطير تحتاج إلى هواء. يمتلك الهواء القدرة على دفع وسحب الطيور والبالونات والطائرات الورقية والطائرات.

في عام 1640 ، اكتشف Evagelista Torricelli أن الهواء له وزن. عند تجربة قياس الزئبق ، اكتشف أن الهواء يضغط على الزئبق.

استخدم فرانشيسكو لانا هذا الاكتشاف للبدء في التخطيط لمنطاد في أواخر القرن السابع عشر. لقد رسم منطادًا على الورق يستخدم فكرة أن الهواء له وزن. كانت السفينة عبارة عن كرة مجوفة من شأنها إخراج الهواء منها. بمجرد إزالة الهواء ، سيكون للكرة وزن أقل وستكون قادرة على الطفو في الهواء. سيتم ربط كل من الكرات الأربعة بهيكل يشبه القارب ثم تطفو الآلة بأكملها. لم يتم تجربة التصميم الفعلي أبدًا.

يتمدد الهواء الساخن وينتشر ويصبح أخف من الهواء البارد. عندما يمتلئ البالون بالهواء الساخن ، فإنه يرتفع لأن الهواء الساخن يتمدد داخل البالون. عندما يبرد الهواء الساخن ويخرج من البالون يعود البالون إلى الأسفل.

كيف ترفع الأجنحة الطائرة

يتم تشكيل أجنحة الطائرة لجعل الهواء يتحرك بشكل أسرع فوق الجزء العلوي من الجناح. عندما يتحرك الهواء بشكل أسرع ، ينخفض ​​ضغط الهواء. إذن فالضغط على قمة الجناح أقل من الضغط على قاع الجناح. يخلق الاختلاف في الضغط قوة على الجناح ترفع الجناح لأعلى في الهواء.

إليك محاكاة كمبيوتر بسيطة يمكنك استخدامها لاستكشاف كيفية رفع الأجنحة.

قوانين الحركة

اقترح السير إسحاق نيوتن ثلاثة قوانين للحركة عام 1665. تساعد قوانين الحركة هذه في شرح كيفية تحليق الطائرات.

1. إذا كان الجسم لا يتحرك ، فلن يبدأ في التحرك من تلقاء نفسه. إذا كان جسم ما يتحرك ، فلن يتوقف أو يغير اتجاهه ما لم يدفعه شيء ما.


2. الأشياء سوف تتحرك أبعد وأسرع عندما يتم دفعها بقوة أكبر.


3. عندما يتم دفع جسم في اتجاه واحد ، هناك دائمًا مقاومة من نفس الحجم في الاتجاه المعاكس.

قوى الطيران

أربع قوى طيران

السيطرة على طيران الطائرة

كيف تطير الطائرة؟ دعونا نتظاهر بأن أذرعنا أجنحة. إذا وضعنا جناحًا لأسفل وجناحًا واحدًا لأعلى ، فيمكننا استخدام اللفافة لتغيير اتجاه الطائرة. نحن نساعد على قلب الطائرة عن طريق الانحناء نحو جانب واحد. إذا رفعنا أنفنا ، مثلما يمكن للطيار أن يرفع مقدمة الطائرة ، فإننا نرفع درجة حرارة الطائرة. تتحد كل هذه الأبعاد معًا للتحكم في طيران الطائرة. يمتلك طيار الطائرة ضوابط خاصة يمكن استخدامها لتحليق الطائرة. توجد أذرع وأزرار يمكن للطيار دفعها لتغيير الانحراف ، ودرجة الانحراف ، وتدحرج الطائرة.

لدحرجة الطائرة يمينًا أو يسارًا ، يتم رفع الجنيحات على أحد الأجنحة وخفضها من الجانب الآخر. يرتفع الجناح ذو الجنيح المنخفض بينما يسقط الجناح ذو الجنيح المرتفع.

الملعب يجعل الطائرة تنزل أو تتسلق.يقوم الطيار بضبط المصاعد الموجودة على الذيل لجعل الطائرة تنزل أو تتسلق. تسبب خفض المصاعد في سقوط مقدمة الطائرة ، مما أدى إلى هبوط الطائرة. يؤدي رفع المصاعد إلى صعود الطائرة.

ياو هو دوران الطائرة. عندما تدور الدفة إلى جانب واحد ، تتحرك الطائرة يسارًا أو يمينًا. أنف الطائرة موجه في نفس اتجاه الدفة. يتم استخدام الدفة والجنيحات معًا لعمل انعطاف

كيف يتحكم الطيار في الطائرة؟

اضغط على شاشة الرادار، ال مكتشف الاتجاه، ال مؤشر الارتفاع و ال وحدة التحكم في الخانق أجزاء من قمرة القيادة للحصول على عرض أكثر تفصيلاً.

يستخدم الطيار عدة أدوات للتحكم في الطائرة.

يتحكم الطيار في قوة المحرك باستخدام دواسة الوقود. يؤدي الضغط على دواسة الوقود إلى زيادة القوة ، كما يؤدي سحبها إلى تقليل القوة.

الجنيحات ترفع وتخفض الأجنحة. يتحكم الطيار في دحرجة الطائرة عن طريق رفع جنيح أو الآخر بعجلة تحكم. يؤدي تدوير عجلة التحكم في اتجاه عقارب الساعة إلى رفع الجنيح الأيمن وتقليل الجنيح الأيسر ، مما يؤدي إلى تحريك الطائرة إلى اليمين.

صورة طائرة في لفة

تعمل الدفة على التحكم في انعراج الطائرة. يقوم الطيار بتحريك الدفة إلى اليسار واليمين باستخدام دواسات يمنى ويسرى. يؤدي الضغط على دواسة الدفة اليمنى إلى تحريك الدفة جهة اليمين. هذا ينحرف الطائرة إلى اليمين. عند استخدامها معًا ، يتم استخدام الدفة والجنيحات لقلب الطائرة.

تستخدم المصاعد الموجودة في قسم الذيل للتحكم في انحدار الطائرة. يستخدم الطيار عجلة تحكم لرفع وخفض المصاعد بتحريكها للأمام إلى الخلف. يؤدي خفض المصاعد إلى هبوط مقدمة الطائرة ويسمح للطائرة بالهبوط. عن طريق رفع المصاعد ، يمكن للطيار رفع الطائرة.

صورة الملعب المستوي

يقوم قائد الطائرة بدفع الجزء العلوي من دواسات الدفة لاستخدام الفرامل . يتم استخدام الفرامل عندما تكون الطائرة على الأرض لإبطاء الطائرة والاستعداد لإيقافها. يتحكم الجزء العلوي من الدفة اليسرى في الفرامل اليسرى ويتحكم الجزء العلوي من الدواسة اليمنى في الفرامل اليمنى.

إذا نظرت إلى هذه الحركات معًا ، يمكنك أن ترى أن كل نوع من الحركة يساعد في التحكم في اتجاه ومستوى الطائرة عندما تطير.

حاجز الصوت

يتكون الصوت من جزيئات الهواء التي تتحرك. يندفعون معًا ويتجمعون معًا لتشكيل موجات صوتية. تنتقل الموجات الصوتية بسرعة حوالي 750 ميلاً في الساعة عند مستوى سطح البحر. عندما تنتقل طائرة بسرعة الصوت ، تتجمع موجات الهواء معًا وتضغط الهواء أمام الطائرة لمنعها من التحرك للأمام. يتسبب هذا الضغط في تكوين موجة صدمة أمام الطائرة.

من أجل السفر أسرع من سرعة الصوت ، يجب أن تكون الطائرة قادرة على اختراق موجة الصدمة. عندما تتحرك الطائرة عبر الموجات ، فإنها تجعل الموجات الصوتية تنتشر وهذا يخلق ضوضاء عالية أو صوت عالي . تحدث الطفرة الصوتية بسبب التغيير المفاجئ في ضغط الهواء. عندما تتحرك الطائرة أسرع من الصوت ، فإنها تسافر بسرعة تفوق سرعة الصوت. طائرة تسير بسرعة الصوت تسافر بسرعة Mach 1 أو حوالي 760 ميل بالساعة. ماخ 2 ضعف سرعة الصوت.

أنظمة الطيران

اتصلت في بعض الأحيان سرعات الطيران ، كل نظام هو مستوى مختلف من سرعة الطيران.

كانت معظم الطائرات الأولى قادرة على الطيران فقط بهذا المستوى من السرعة. لم تكن المحركات المبكرة قوية كما هي اليوم. ومع ذلك ، لا يزال هذا النظام يستخدم حتى اليوم من قبل الطائرات الأصغر. ومن الأمثلة على هذا النظام غبار المحاصيل الصغيرة التي يستخدمها المزارعون لحقولهم ، وطائرات الركاب ذات المقعدين والأربعة ، والطائرات المائية التي يمكن أن تهبط على الماء.

تحتوي هذه الفئة على معظم الطائرات التجارية المستخدمة اليوم لنقل الركاب والبضائع. السرعة أقل بقليل من سرعة الصوت. المحركات اليوم أخف وزنًا وأكثر قوة ويمكنها السفر بسرعة مع حمولات كبيرة من الأشخاص أو البضائع.

الأسرع من الصوت (760-3500 ميلا في الساعة - 1 ماخ - 5 ماخ).

760 ميل بالساعة هي سرعة الصوت. وتسمى أيضًا MACH 1. يمكن لهذه الطائرات أن تطير بسرعة تصل إلى 5 أضعاف سرعة الصوت. الطائرات في هذا النظام لديها محركات عالية الأداء مصممة خصيصا. وهي مصممة أيضًا بمواد خفيفة الوزن لتوفير مقاومة أقل. الكونكورد هو مثال على نظام الطيران هذا.

فرط سرعة الصوت (3500-7000 ميلا في الساعة - من 5 إلى 10 ماخ).

تتحرك الصواريخ بسرعات تفوق سرعتها من 5 إلى 10 أضعاف سرعة الصوت عند دخولها المدار. مثال على مركبة تفوق سرعتها سرعة الصوت هي X-15 ، التي تعمل بالصواريخ. مكوك الفضاء هو أيضا مثال على هذا النظام. تم تطوير مواد جديدة ومحركات قوية للغاية للتعامل مع هذا المعدل من السرعة.


شاهد الفيديو: المستوى الثالث فضاء الرياضيات التقويم التشخيصي صفحة 6 (شهر نوفمبر 2021).