مقالات

9: نظم المعادلات والمتباينات - الرياضيات


في هذا الفصل ، سوف نتحرى عن المصفوفات وعكساتها ، والطرق المختلفة لاستخدام المصفوفات لحل أنظمة المعادلات. أولاً ، سوف ندرس أنظمة المعادلات من تلقاء نفسها: الخطية وغير الخطية ، ثم الكسور الجزئية.

  • 9.0: مقدمة لنظم المعادلات وعدم المساواة
    في هذا الفصل ، سوف نتحرى عن المصفوفات وعكساتها ، والطرق المختلفة لاستخدام المصفوفات لحل أنظمة المعادلات. أولاً ، سوف ندرس أنظمة المعادلات من تلقاء نفسها: الخطية وغير الخطية ، ثم الكسور الجزئية. لن نكسر أي رموز سرية هنا ، لكننا سنضع الأساس للدورات المستقبلية.
  • 9.1: أنظمة المعادلات الخطية: متغيرين
    يتكون نظام المعادلات الخطية من معادلتين أو أكثر تتكون من متغيرين أو أكثر بحيث يتم النظر في جميع المعادلات في النظام في وقت واحد. حل نظام المعادلات الخطية في متغيرين هو أي زوج مرتب يحقق كل معادلة على حدة. تُصنف أنظمة المعادلات على أنها مستقلة بحل واحد ، أو تعتمد على عدد لا حصر له من الحلول ، أو غير متوافقة مع عدم وجود حل.
  • 9.2: أنظمة المعادلات الخطية: ثلاثة متغيرات
    https://math.libretexts.org/TextMaps/Algebra_Textmaps/Map٪3A_Elementary_Algebra_(OpenStax)/11٪3A_Systems_of_Equations_and_Inequations/11.3٪3A_Systems_of_Linear_Equations٪3Aables_Three_V
  • 9.3: أنظمة المعادلات غير الخطية والمتباينات - متغيرين
    في هذا القسم ، سننظر في تقاطع القطع المكافئ والخط ، والدائرة والخط ، والدائرة والقطع الناقص. تشبه طرق حل أنظمة المعادلات غير الخطية تلك الخاصة بالمعادلات الخطية.
  • 9.4: الكسور الجزئية
    حلل نسبة كثيرات الحدود بكتابة الكسور الجزئية. قم بحل الكسور بمسح الكسور ، وتوسيع الجانب الأيمن ، وتجميع المصطلحات المتشابهة ، ووضع معاملات مقابلة متساوية مع بعضها البعض ، ثم إعداد نظام معادلات وحلها. يجب أن يفسر التحلل مع العوامل الخطية المتكررة عوامل المقام في القوى المتزايدة. يحتاج التحلل بعامل تربيعي غير قابل للاختزال غير متكرر إلى بسط خطي فوق العامل التربيعي.
  • 9.5: المصفوفات وعمليات المصفوفة
    لحل أنظمة المعادلات ، يمكننا استخدام مصفوفة ، وهي مصفوفة مستطيلة من الأرقام. الصف في المصفوفة هو مجموعة من الأرقام المحاذاة أفقيًا. العمود في المصفوفة هو مجموعة من الأرقام المحاذاة رأسيًا. كل رقم هو إدخال ، يسمى أحيانًا عنصر ، في المصفوفة. المصفوفات (الجمع) مضمنة في [] أو () ، وعادة ما يتم تسميتها بأحرف كبيرة.
  • 9.6: حل الأنظمة بإزالة Gaussian
    يمكن أن تعمل المصفوفة كجهاز لتمثيل وحل نظام المعادلات. للتعبير عن نظام في شكل مصفوفة ، نستخرج معاملات المتغيرات والثوابت ، وتصبح هذه هي مدخلات المصفوفة. نستخدم خطًا رأسيًا لفصل إدخالات المعامل عن الثوابت ، مع استبدال علامات التساوي بشكل أساسي. عندما يتم كتابة نظام بهذه الصيغة ، فإننا نسميها مصفوفة مُعزَّزة.
  • 9.7: حل الأنظمة ذات الانعكاسات
    تسمى المصفوفة التي لها معكوس ضربي المصفوفة المعكوسة. فقط المصفوفة المربعة قد يكون لها معكوس ضربي ، حيث أن الانعكاس شرط. ليست كل المصفوفات المربعة لها معكوس. سننظر في طريقتين لإيجاد معكوس مصفوفة 2 × 2 وطريقة ثالثة يمكن استخدامها في كل من مصفوفتين 2 × 2 و 3 × 3.
  • 9.8: حل الأنظمة بقاعدة كرامر
    في هذا القسم ، سوف ندرس استراتيجيتين أخريين لحل أنظمة المعادلات. المحدد هو رقم حقيقي يمكن أن يكون مفيدًا جدًا في الرياضيات لأنه يحتوي على تطبيقات متعددة ، مثل حساب المساحة والحجم والكميات الأخرى. هنا ، سنستخدم المحددات للكشف عما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس باستخدام إدخالات مصفوفة مربعة لتحديد ما إذا كان هناك حل لنظام المعادلات. قاعدة كرامر لحل نظام المعادلات في متغيرين وثلاثة متغيرات.
  • 9.E: أنظمة المعادلات وعدم المساواة (تمارين)

9: نظم المعادلات والمتباينات - الرياضيات

حل نظام معادلتين خطيتين وتحقق من الحل:

حل نظام معادلتين خطيتين بمتغيرات في البسط والمقام ، تحقق من الحل وحدد شروط القابلية للحل:

حل نظام ثلاث معادلات خطية وتحقق من الحل:

حل نظام من أربع معادلات خطية وتحقق من الحل:

حل نظام المعادلة الخطية والتربيعية:

حل نظام المتباينات الخطية بمتغير واحد:

حل نظام المتباينات الخطية بمتغيرين:


9: نظم المعادلات والمتباينات - الرياضيات

في هذا الفصل سوف نلقي نظرة على أحد الموضوعات القياسية في أي فصل من صفوف الجبر. تعد القدرة على حل المعادلات و / أو عدم المساواة مهمة للغاية ويتم استخدامها مرارًا وتكرارًا في كل من هذه الفئة وفي الفئات اللاحقة. سنغطي مجموعة متنوعة من موضوعات الحل في هذا الفصل والتي يجب أن تغطي معظم المعادلات / عدم المساواة / التقنيات الأساسية التي تشارك في الحل.

فيما يلي قائمة مختصرة بالمواد التي تم تناولها في هذا الفصل.

مجموعات الحلول والحلول - في هذا القسم نقدم بعض الرموز والأفكار الأساسية المستخدمة في حل المعادلات وعدم المساواة. نحدد حلول المعادلات والمتباينات ومجموعات الحلول.

المعادلات الخطية - في هذا القسم نعطي عملية لحل المعادلات الخطية ، بما في ذلك المعادلات ذات التعبيرات المنطقية ، ونوضح العملية بعدة أمثلة. بالإضافة إلى ذلك ، نناقش الدقة التي ينطوي عليها حل المعادلات التي غالبًا ما يغفلها الطلاب.

تطبيقات المعادلات الخطية - في هذا القسم نناقش عملية حل التطبيقات بشكل عام على الرغم من أننا سنركز فقط على المعادلات الخطية هنا. سنعمل على تطبيقات في التسعير ومشاكل المسافة / السعر ومشاكل معدل العمل ومشاكل الاختلاط.

المعادلات التي تحتوي على أكثر من متغير واحد - في هذا القسم سننظر في حل المعادلات التي تحتوي على أكثر من متغير واحد فيها. ستحتوي هذه المعادلات على متغيرات متعددة وسيُطلب منا حل معادلة أحد المتغيرات. هذا شيء سيُطلب منا القيام به على أساس منتظم إلى حد ما.

المعادلات التربيعية ، الجزء الأول - في هذا القسم سنبدأ في البحث في حل المعادلات التربيعية. على وجه التحديد ، سنركز على حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل وخاصية الجذر التربيعي في هذا القسم.

المعادلات التربيعية ، الجزء الثاني - في هذا القسم سنستمر في حل المعادلات التربيعية. سنستخدم إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية في هذا القسم ونستخدم ذلك لاشتقاق الصيغة التربيعية. الصيغة التربيعية هي طريقة سريعة تتيح لنا حل أي معادلة تربيعية بسرعة.

المعادلات التربيعية: ملخص - في هذا القسم سنلخص الموضوعات من القسمين الأخيرين. سنقدم إجراءً لتحديد الطريقة التي يجب استخدامها في حل المعادلات التربيعية وسنقوم بتعريف المميز الذي سيسمح لنا بتحديد نوع الحلول التي سنحصل عليها من حل المعادلة التربيعية بسرعة.

تطبيقات المعادلات التربيعية - في هذا القسم سوف نعيد النظر في بعض التطبيقات التي رأيناها في قسم التطبيق الخطي ، هذه المرة فقط سوف تتضمن حل معادلة من الدرجة الثانية. يتم تضمين أمثلة في مشاكل المسافة / الأسعار ومشاكل معدل العمل.

المعادلات المختزلة إلى الصيغة التربيعية - ليست كل المعادلات في ما نعتبره عمومًا معادلات تربيعية. ومع ذلك ، يمكن تحويل بعض المعادلات ، مع الاستبدال المناسب ، إلى معادلة من الدرجة الثانية. تسمى هذه الأنواع من المعادلات التربيعية في الشكل. في هذا القسم سنحل هذا النوع من المعادلات.

المعادلات ذات الجذور التربيعية - سنناقش في هذا القسم كيفية حل المعادلات ذات الجذور التربيعية فيها. كما سنرى ، سنحتاج إلى توخي الحذر الشديد مع الحلول المحتملة التي نحصل عليها لأن العملية المستخدمة في حل هذه المعادلات يمكن أن تؤدي إلى قيم ليست في الواقع حلولًا للمعادلة.

المتباينات الخطية - في هذا القسم سنبدأ في حل المتباينات. سنركز على حل المتباينات الخطية في هذا القسم (كلا المتباينات المفردة والمزدوجة). سنقدم أيضًا تدوين الفاصل.

عدم المساواة متعدد الحدود - في هذا القسم سنستمر في حل التفاوتات. ومع ذلك ، في هذا القسم نبتعد عن التفاوتات الخطية وننتقل إلى حل التفاوتات التي تتضمن كثيرات الحدود من الدرجة 2 على الأقل.

عدم المساواة العقلانية - نواصل حل التفاوتات في هذا القسم. سنقوم الآن بحل المتباينات التي تتضمن تعبيرات عقلانية ، على الرغم من أننا سنرى أن العملية هنا متطابقة إلى حد كبير مع العملية المستخدمة عند حل المتباينات مع كثيرات الحدود.

معادلات القيمة المطلقة - في هذا القسم سنقدم تعريفًا هندسيًا ورياضيًا للقيمة المطلقة. سننتقل بعد ذلك إلى حل المعادلات التي تتضمن قيمة مطلقة. سنعمل أيضًا على مثال يتضمن قيمتين مطلقتين.


نظم المتباينات الخطية

يتكون نظام المتباينات الخطية في متغيرين من متباينتين خطيتين على الأقل في نفس المتغيرات. حل المتباينة الخطية هو الزوج المرتب الذي يمثل حلًا لجميع المتباينات في النظام ، ويمثل الرسم البياني للمتباينة الخطية الرسم البياني لجميع حلول النظام.

ارسم نظام المتباينات

ارسم خطًا واحدًا في الوقت في نفس مستوى الإحداثي وقم بتظليل نصف المستوى الذي يحقق المتباينة.

منطقة الحل التي تقاطع أنصاف المستويات تظهر في ظل أغمق

عادةً ما تكون منطقة الحل فقط مظللة مما يسهل معرفة المنطقة التي تمثل منطقة الحل


المعادلات وعدم المساواة.

المعادلة عبارة عن بيان للمساواة بين تعبيرين ، وغالبًا ما يُنظر إليه على أنه سؤال يسأل عن قيم المتغيرات التي تكون التعبيرات على كلا الجانبين متساوية في الواقع. هذه القيم هي حلول المعادلة. في المقابل ، تكون الهوية صحيحة بالنسبة لجميع قيم المتغيرات ، غالبًا ما يتم تطوير الهويات عن طريق إعادة كتابة تعبير في شكل مكافئ.

تشكل حلول المعادلة في متغير واحد مجموعة من الأرقام ، تشكل حلول المعادلة في متغيرين مجموعة من أزواج الأرقام المرتبة ، والتي يمكن رسمها في مستوى الإحداثيات. تشكل معادلتان أو أكثر و / أو عدم المساواة نظامًا. يجب أن يفي حل مثل هذا النظام بكل معادلة وعدم مساواة في النظام.

يمكن حل المعادلة غالبًا عن طريق الاستنتاج المتتالي منها معادلة أبسط أو أكثر. على سبيل المثال ، يمكن إضافة نفس الثابت لكلا الجانبين دون تغيير الحلول ، لكن تربيع كلا الجانبين قد يؤدي إلى حلول غريبة. تتضمن الكفاءة الإستراتيجية في الحل التطلع إلى التلاعب المثمر وتوقع طبيعة وعدد الحلول.

بعض المعادلات ليس لها حلول في نظام رقمي معين ، ولكن لها حل في نظام أكبر. على سبيل المثال ، حل x + 1 = 0 عدد صحيح ، وليس عددًا صحيحًا حل 2x + 1 = 0 هو رقم نسبي ، وليس عددًا صحيحًا في الحلول x 2 - 2 = 0 أعداد حقيقية وليست أعدادًا نسبية وحلول x 2 + 2 = 0 هي أعداد مركبة وليست أعدادًا حقيقية.

يمكن استخدام تقنيات الحل نفسها المستخدمة لحل المعادلات لإعادة ترتيب الصيغ. على سبيل المثال ، صيغة مساحة شبه منحرف ، أ = ((ب1+ب2)/2)حيمكن حلها من أجل ح باستخدام نفس العملية الاستنتاجية. يمكن حل عدم المساواة من خلال التفكير في خصائص عدم المساواة. تستمر العديد من خصائص المساواة ، ولكن ليس كلها ، في الحفاظ على عدم المساواة ويمكن أن تكون مفيدة في حلها.

وصلات للوظائف والنمذجة. يمكن للتعبيرات تحديد الوظائف ، والتعبيرات المكافئة تحدد نفس الوظيفة. يؤدي السؤال عن وجود وظيفتين لهما نفس القيمة لنفس المدخلات إلى معادلة توضح الدالتين تسمح بإيجاد حلول تقريبية للمعادلة. يعد تحويل الوصف اللفظي إلى معادلة أو عدم مساواة أو نظام من هذه مهارة أساسية في النمذجة.


حل المعادلات والمتباينات

يتضمن حل المعادلات وعدم المساواة إيجاد قيمة (أو قيم) المتغير (المتغيرات) التي تجعل البيانات الرياضية صحيحة. تُستخدم خصائص الجمع والضرب للمعادلات والمتباينات ، وكذلك خصائص الأعداد الحقيقية ، لتبسيط المعادلة / عدم المساواة قدر الإمكان ، قبل صياغة مجموعة الحلول للمتغير المعني.

حل المعادلات الخطية في متغير واحد ، أي المعادلات التي تتعامل مع التعبيرات الجبرية التي لها متغير واحد مع الأس واحد ، هو أبسط حل من أجلها.

السابق.
2 س + 3 = 7
2 س + 3 + (-3) = 7 + (-3)
2 س = 4
(0.5) 2 س = (0.5) 4
س = 2

السابق.
4 س + 5 = -15
4x + 5 + (-5) = -15 + (-5)
4x = -20
¼ (4x) = ¼ (-20)
س = -5

عندما تتضمن المعادلة كسورًا ، من المفيد ضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر لجميع الكسور:

حيث LCD (القاسم المشترك الأدنى) لـ 4 و 5 و 8 هي 40

30 س + 32 = 35
30x + 32-32 = 35-32
30 س = 3
س = 3/30 = 1/10

عندما تحتوي المعادلة على كسور عشرية ، من المفيد ضرب طرفي المعادلة في أقل قوة 10 التي تحول جميع الأعداد العشرية إلى أعداد صحيحة:

السابق.
2.5x - 3.2 = 12.5
2.5x - 3.2 + 3.2 = 12.5 + 3.2
2.5x = 15.7

بضرب كل طرف في 10 ، نحصل على

تشبه عملية حل المتباينات عملية حل المعادلات ، فيما عدا تطبيق خواص مضافة وضرب مختلفة.

السابق.
2x - 3 GT5
2x - 3 + 3 & gt 5 + 3
2x & GT8
½ (2x) & GT ½ (8)
x & GT 4
مجموعة الحل هي

السابق.
-3x - 4 و 8
-3 س - 4 + 4 و 8 + 4
-3x & lt 12
-1/3 (-3x) و GT -1/3 (12)

(لاحظ التغيير في عدم المساواة من & lt إلى & gt)
x & gt -4

السابق.
1/3 × -3 / 4 & لتر 1/2
1/3 × (12) -3 / 4 (12) & لتر 1/2 (12)

حيث تكون شاشة LCD للأرقام 2 و 3 و 4 هي 12

4 × - 9 & لتر 6
4 س - 9 + 9 & 6 + 9
4x & لتر 15
x & lt 15/4

إذا كانت المعادلة أو عدم المساواة تتضمن قيمًا مطلقة ، فإن حلها سيشمل حل معادلتين أو متباينات.

(1) | الفأس + ب | = k تعادل ax + b = k أو ax + b = -k.

السابق.
| 2x + 1 | = 5
2 س + 1 = 5 أو 2 س + 1 = -5
2 س = 4
2 س = -6
س = 2 أو س = -3
مجموعة الحلول هي <2، -3>.

(2) | الفأس + ب | & lt k يساوي -k & lt ax + b & lt k ، حيث k & gt 0.

مجموعة الحلول هي الفترة الزمنية (-3 ، 5/3).

(3) | الفأس + ب | & gt k يساوي ax + b & gt k أو ax + b & lt -k ، حيث k & gt 0.

السابق. | 2x - 1 | & GT 3
2x - 1 & gt 3 أو 2x - 1 & lt -3
2x & gt 4 أو 2x & lt -2
x & gt 2 أو x & lt -1


نظم المعادلات وعدم المساواة

إنها تمطر (أنظمة) القطط والكلاب! تقدم الوحدة الخامسة في دورة من تسعة أجزاء أنظمة المعادلات وعدم المساواة في سياق الحيوانات الأليفة. يستخدم العلماء أنظمة عدم المساواة لتمثيل القيود داخل المواقف ثم إنشاء وحل المشكلات العالمية التي تؤدي إلى أنظمة المعادلات.

المفاهيم
علامات إضافية
أفكار تعليمية
  • راجع رسم المعادلات الخطية
  • قم بعمل اتصال بين الرسوم البيانية للمتباينات ذات المتغير الواحد والمتغير
اعتبارات الفصل
النواة المشتركة & # x000A انقر فوق أحد المعرفات لرؤية المزيد من الموارد التي تتناول هذا المعيار. & # x000A

& # x000AB كن عضوًا 'data-html =' true 'data-placement =' top 'data-title = "CC Designed Help & ltbutton data-رفض =' popover 'data-target =' # cc-help-popover-1058400 'href = '#' & gt & amptimes & lt / a & gt "data-trigger = 'focus' rel = 'popover' tabIndex = '0'>

ابدأ تجربتك المجانية

وفر الوقت واكتشف منهجًا جذابًا لفصلك الدراسي. تمت مراجعته وتقييمه من قبل المعلمين المعتمدين الموثوق بهم.


المثال العملي 14: طبيعة الجذور

لأي قيمة (قيم) لـ (ك ) ستكون جذور (6x ^ 2 + 6 = 4kx ) حقيقية ومتساوية؟

فسر السؤال

لكي تكون الجذور حقيقية ومتساوية ، نحتاج إلى إيجاد قيمة (قيم) (k ) مثل ( Delta = 0 ).

تأكد من أن المعادلة في الشكل القياسي (ax ^ 2 + bx + c = 0 )

حدد المعاملات المطلوب تعويضها في صيغة المميز

[a = 6 qquad b = -4k qquad c = 6 ]

اكتب الصيغة والقيم البديلة

لكي تكون الجذور حقيقية ومتساوية ( Delta = 0 ).

تحقق من كلا الإجابتين عن طريق التعويض مرة أخرى في المعادلة الأصلية

بالنسبة إلى (ك = 3 ): ابدأ 6x ^ 2-4 (3) x + 6 & amp = 0 6x ^ 2-12x + 6 & amp = 0 x ^ 2-2x + 1 & amp = 0 (x-1) (x-1) & amp = 0 (x-1) ^ 2 & amp = 0 text س & أمبير = 1 نهاية

نرى أنه بالنسبة إلى (k = 3 ) ، فإن المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية ومتساوية (x = 1 ).

بالنسبة إلى (ك = - 3 ): ابدأ 6x ^ 2-4 (-3) x + 6 & amp = 0 6x ^ 2 + 12x + 6 & amp = 0 x ^ 2 + 2x + 1 & amp = 0 (x + 1) (x + 1 ) & amp = 0 (x + 1) ^ 2 & amp = 0 text س & أمبير = -1 نهاية

نرى أنه بالنسبة إلى (k = -3 ) ، فإن المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية ومتساوية (x = -1 ).

اكتب الإجابة النهائية

أن تكون جذور المعادلة التربيعية حقيقة و مساو، (ك = 3 ) أو (ك = -3 ). ()


النشاط التعاوني

في هذا النشاط التعاوني ، أستخدم خريطة خارج هذا الموقع مع ورقة التعليمات الخاصة بي. لقد غيرت بعض التفاوتات المستخدمة في النشاط والأسئلة التي يجب على الطلاب إكمالها. لقد قمت بتعديل ورقة العمل لاستخدام خريطة الكنز فقط. أعطي كل زوج من الطلاب أو مجموعة من 3 إذا لزم الأمر ، خريطة كنز. أعطي كل طالب إرشادات حول نشاط الخريطة ، وأعلن أن توقعي هو أن يقوم كل طالب بعرض العمل وتقديم الأسئلة التي تمت الإجابة عليها من ورقة التعليمات. يجب على كل زوج أو مجموعة وضع جميع أسماء الأعضاء على الخريطة وإكمال حل عدم المساواة من خلال الرسم البياني باستخدام أقلام الرصاص الملونة على خريطة الكنز. يتوفر مثال أحد الطلاب على نشاط الكنز في موارد هذا الدرس.

في النشاط التعاوني ، جميع المتباينات لها نتائج أكبر من أو أقل ، وبالتالي لا تعتبر أي من النقاط الموجودة على السطور حلولاً. استخدم بعض طلابي أقلام تحديد ، ولكن كان من الصعب تحديد التقاطع ، لذلك ينصح باستخدام أقلام الرصاص الملونة.

فيما يلي بعض الأخطاء الشائعة أثناء هذا النشاط التعاوني:

  1. تم رسم المنحدر بشكل غير صحيح.
  2. تم رسم تقاطع y بشكل غير صحيح.
  3. التظليل على الجانب الخطأ من الخط.
  4. يتم إجراء الجبر بشكل غير صحيح عند استخدام العمليات العكسية لحل y ، أو عدم تغيير اتجاه الإشارة عند الضرب أو القسمة على سالب.
  5. تم إجراء الرياضيات بشكل غير صحيح للتحقق من النقطة كحل.

سينتقد الطلاب نتائج الطلاب الآخرين ويتبادلون التفكير من أجل تكوين إجماع حول الموقع الصحيح للكنز في ملاحظات الزملاء. سينضم الطلاب إلى مجموعات أخرى ويقدمون الملاحظات ويقومون بالتصحيحات بناءً على المهارات المذكورة أعلاه. سأساعد الطلاب غير القادرين على الاتفاق ، وسأستخدم طرح الأسئلة لمساعدتهم على مواصلة المضي قدمًا في كفاحهم الإنتاجي.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الجهة المعينة الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


9: نظم المعادلات والمتباينات - الرياضيات

بعد دراسة هذا القسم ستتمكن من:

1. حل المعادلات على شكل x + b = c باستخدام مبدأ الجمع.

2. استخدام مبدأ الجمع

عندما نستخدم علامة التساوي (=) ، فإننا نشير إلى أن تعبيرين متساويان في القيمة. هذا يسمى معادلة. على سبيل المثال ، x + 5 = 23 معادلة. باختيار إجراءات معينة ، يمكنك الانتقال خطوة بخطوة من معادلة معينة إلى المعادلة x = بعض الأرقام. الرقم هو حل المعادلة.

& emsp & emsp أحد الإجراءات الأولى المستخدمة في حل المعادلات له تطبيق في عالمنا اليومي. افترض أننا وضعنا صندوقًا حجمه 10 كيلوغرامات على جانب واحد من الأرجوحة وحجر 10 كيلوغرام على الجانب الآخر. إذا كان مركز الصندوق على نفس المسافة من نقطة التوازن مثل مركز الحجر ، فإننا نتوقع التوازن. لا يبدو الصندوق والحجر متماثلين ، لكنهما لهما نفس القيمة في الوزن. إذا أضفنا وزنًا رصاصيًا يبلغ 2 كيلوغرام إلى مركز وزن كل جسم في نفس الوقت ، فلا يزال يتعين على الأرجوحة أن تتوازن. النتائج متساوية.

& emsp & emsp هناك مبدأ مشابه في الرياضيات. يمكننا أن نقولها بكلمات مثل هذه.

إذا تمت إضافة نفس الرقم إلى طرفي المعادلة ، فإن النتائج على كل جانب متساوية في القيمة.

يمكننا إعادة صياغتها في الرموز بهذه الطريقة.

للأرقام الحقيقية أ ، ب ، ج إذا كانت أ = ب ثمات + ح = ب + إيك

نظرًا لأننا أضفنا نفس المقدار 5 إلى كلا الجانبين ، فإن لكل جانب قيمة متساوية.

يمكننا استخدام مبدأ الجمع لحل المعادلة.

مثال 1 حل ل x . & emsp & emsp x + 16 = 20

x + 16 + (-16) = 20 + (-16) & emsp & emsp استخدم مبدأ الإضافة لإضافة -16 إلى كلا الجانبين.

& emsp & emsp لقد وجدنا للتو حل المعادلة. ال المحلول هي قيمة المتغير الذي يجعل المعادلة صحيحة. ثم نقول أن القيمة 4 في مثالنا تفي بالمعادلة. يمكننا بسهولة التحقق من أن الرقم 4 هو حل عن طريق استبدال هذه القيمة في المعادلة الأصلية. هذه الخطوة تسمى تدقيق الحل.

الشيك. & emsp & emsp x + 16 = 20

& emsp & emsp عندما تظهر نفس القيمة على جانبي علامة التساوي ، نسمي المعادلة ب هوية. نظرًا لأن طرفي المعادلة في الشيك لهما نفس القيمة ، فإننا نعلم أن المعادلة الأصلية قد تم حلها بشكل صحيح. لقد وجدنا الحل.

& emsp & emsp عندما تحاول حل هذه الأنواع من المعادلات ، ستلاحظ أنه يجب عليك إضافة رقم معين إلى كلا طرفي المعادلة. ما هو الرقم للاختيار؟ انظر إلى الرقم الموجود في نفس الجانب من المعادلة مع x ، أي الرقم المضاف إلى x. ثم فكر في الرقم الذي هو العكس في تسجيل الدخول. هذا يسمى المعكوس الجمعي من العدد. المعكوس الجمعي للعدد 16 هو -16. المعكوس الجمعي للعدد -3 هو 3. الرقم المراد إضافته إلى طرفي المعادلة هو بالضبط هذا المعكوس الجمعي.

& emsp & emspIt لا يهم أي جانب من المعادلة يحتوي على المتغير. قد يكون الحد x على اليمين أو اليسار. في المثال التالي ، سيكون الحد x على اليمين.

مثال 2 حل ل x . & emsp & emsp 14 = x- 3

14 + 3 = x-3 +3 & emsp & emsp أضف 3 إلى كلا الجانبين ، لأن 3 هو معكوس الجمع -3. سيؤدي هذا إلى حذف -3 على اليمين وعزل x.

الشيك. & emsp & emsp 14 = x-3

& emsp & emsp قبل إضافة رقم إلى كلا الجانبين ، يجب عليك دائمًا تبسيط المعادلة. يوضح المثال التالي كيف أن الجمع بين الأرقام عن طريق الجمع بشكل منفصل ، على جانبي المعادلة و [مدش] يبسط المعادلة.

مثال 3 حل ل x . & emsp & emsp 15 + 2 = 3 + x + 2

17+ (-5) = x + 5 + (- 5) & emsp & emsp أضف القيمة -5 إلى كلا الجانبين ، نظرًا لأن -5 هو معكوس مضاف لـ 5.

12 = x & emsp & emsp تبسيط. قيمة x هي 12.

الشيك. & emsp & emsp 15 + 2 = 3 + x + 2

& emsp & emsp & emsp & emsp 15 + 2 ≟ 3 + 12 + 2 & emsp & emsp استبدل x في 12 في المعادلة الأصلية.

& emsp & emsp في المثال 3 أضفنا -5 إلى كل جانب. يمكنك طرح 5 من كل جانب والحصول على نفس النتيجة. ناقشنا في درس سابق كيف أن طرح 5 يماثل إضافة سالب 5. هل ترى لماذا؟

& emsp & emsp يمكننا تحديد ما إذا كانت القيمة هي الحل لمعادلة باتباع نفس الخطوات المستخدمة للتحقق من الإجابة. استبدل القيمة المراد اختبارها للمتغير في المعادلة الأصلية. سنحصل على هوية إذا كانت القيمة هي الحل.

مثال 4 هل x = 10 حل المعادلة -15 + 2 = x-3؟ إذا لم يكن كذلك ، فابحث عن الحل.

نعوض بـ 10 عن x في المعادلة ونرى ما إذا كنا سنحصل على متطابقة.

-13 & ne 7 & emsp & emsp هذا ليس صحيحًا. إنها ليست هوية.

وبالتالي ، فإن x = 10 ليس هو الحل. الآن نأخذ المعادلة الأصلية ونحلها لإيجاد الحل.

-13 + 3 = x-3 + 3 & emsp & emsp أضف 3 إلى كلا الجانبين. 3 هو المعكوس الجمعي للعدد -3.

تحقق لمعرفة ما إذا كانت x = -10 هي الحل. كانت القيمة x = 10 غير صحيحة بسبب خطأ في التسجيل. يجب أن نكون حريصين بشكل خاص على كتابة الإشارة الصحيحة لكل رقم عند حل المعادلات.

مثال 5 أوجد قيمة x التي تحقق المعادلة 1/5 + x = & ناقص 1/10 + 1/2

& emsp & emspT لدمج الكسور ، يجب أن تحتوي الكسور على قواسم مشتركة. المقام المشترك الأصغر (LCD) للكسور هو 10.

(1 * 2) / (5 * 2) + x = & ناقص 1/10 + (1 * 5) / (2 * 5) & emsp & emsp قم بتغيير كل كسر إلى كسر مكافئ بمقام 10.

2/10 + x = & ناقص 1/10 + 5/10 & emsp & emsp هذه معادلة مكافئة.

2/10 + x = 4/10 & emsp & emsp تبسيط عن طريق الإضافة.

2/10 + (- 2/10) + x = 4/10 + (- 2/10) & emsp & emsp أضف المعكوس الجمعي 2/10 لكل جانب

x = 1/5 & emsp & emsp بسّط الإجابة.

الشيك. نعوض بـ 1/5 عن x في المعادلة الأصلية ونرى ما إذا كنا نحصل على متطابقة.

1/5 + 1/5 ≟ & ناقص 1/10 + 1/2 & emsp & emsp استبدال 1/5 لـ x

مبدأ الضرب

بعد دراسة هذا القسم ، ستتمكن من:

1. حل المعادلات بالصيغة 1 / ax = b.

2. حل المعادلات على شكل ax = b.

حل معادلات النموذج 1 / فأس = ب

يسمح لنا مبدأ الإضافة بإضافة نفس الرقم إلى طرفي المعادلة. ماذا سيحدث إذا ضربنا طرفي المعادلة في نفس العدد؟ على سبيل المثال ، ماذا سيحدث إذا ضربنا كل جانب من جوانب المعادلة في 3؟

& emsp & emsp للإجابة على هذا السؤال ، دع & rsquos نعود إلى مثالنا البسيط عن الصندوق والحجر على أرجوحة متوازنة. إذا ضاعفنا عدد الأوزان على كل جانب ثلاث مرات (نضرب كل جانب في 3) ، فلا يزال يجب أن تتوازن الأرجوحة. تظل قيمة & lsquo & lsquoweight & rsquo & rsquo من كل جانب متساوية.

يمكننا القول بهذا المبدأ بالكلمات.

مبدأ الضرب
إذا تم ضرب طرفي المعادلة في نفس الرقم ، فسيتم ضرب النتائج في كل منهما
الجانب متساو في القيمة.

في الرموز يمكننا إعادة صياغة مبدأ الضرب بهذه الطريقة.
|
للأعداد الحقيقية a ، b ، c wihc # 0 ifa @ = b thenca = cb |

دعونا نلقي نظرة على معادلة حيث سيكون من المفيد ضرب كل جانب من جوانب المعادلة في 3.

مثال 1 حل ل x . & emsp & emsp 1 / 3x = -15

نعلم أن (3) (1/3) = 1. سنضرب طرفي المعادلة في 3 ، لأننا نريد عزل المتغير x.

(3) (1 / 3x) = 3 (-15) & emsp & emsp اضرب كل جانب من جوانب المعادلة في 3 منذ (3) (1/3) = 1.

الشيك. & emsp & emsp 1/3 (-45) ≟ -15 & emsp & emsp استبدال -45 لـ x في المعادلة الأصلية.

& emsp & emsp لاحظ أنه يمكن كتابة 1 / 5x كـ x / 5. لحل المعادلة س / 5 = 3 ، يمكننا ضرب كل جانب من طرفي المعادلة في 5. جربها. ثم تحقق من الحل الخاص بك.

حل معادلات النموذج الفأس = ب

يمكننا أن نرى أن استخدام مبدأ الضرب لضرب كل جانب من جوانب المعادلة في 1/2 هو نفس قسمة كل جانب من جوانب المعادلة على 2. وبالتالي ، يبدو أن مبدأ الضرب سيسمح لنا بتقسيم كل جانب من جوانب المعادلة على أي رقم حقيقي غير صفري. هل هناك مثال حقيقي لهذه الفكرة؟

& emsp & emsp لنعد & rsquos إلى مثالنا البسيط للصندوق والحجر على أرجوحة متوازنة. لنفترض أننا سنقطع الجسمين إلى نصفين (بحيث تم تقسيم مقدار وزن كل منهما على 2). ثم نعيد الأشياء إلى نفس الأماكن على الأرجوحة. الأرجوحة ستظل متوازنة. تظل قيمة & lsquo & lsquoweight & rsquo & rsquo من كل جانب متساوية.

بالكلمات يمكننا أن نقول هذا المبدأ على النحو التالي:

مبدأ التقسيم
إذا تم تقسيم طرفي المعادلة على نفس العدد غير الصفري ، فسيتم حساب النتائج
كل جانب متساوي في القيمة.

ملحوظة: نضع قيدًا على العدد الذي نقسم عليه. نحن لا يمكن أن تقسم بنسبة صفر. نقول أن التعبيرات مثل 2/0 لم يتم تعريفها. وبالتالي فإننا نقصر المقسوم عليه على أعداد غير صفرية. يمكننا إعادة صياغة مبدأ القسمة بهذه الطريقة.

أ ب
للأعداد الحقيقية أ ، ب ، ج حيث ج

مثال 2 حل ل x . & emsp & emsp 5x = 125

(5x) / 5 = 125/5 & emsp & emsp اقسم كلا الجانبين على 5.

x = 25 & emsp & emsp تبسيط. & emsp & emsp الحل هو 25.

الشيك. & emsp & emsp 5x = 125

& emsp & emsp بالنسبة للمعادلات ذات الشكل ax = b (رقم مضروب في x يساوي رقمًا آخر) ، نحل المعادلة باختيار قسمة كلا الجانبين على رقم معين. ما هو الرقم للاختيار؟ ننظر إلى جانب المعادلة الذي يحتوي على x. نلاحظ العدد المضروب في x. نقسم على هذا الرقم. يخبرنا مبدأ القسمة أنه لا يزال بإمكاننا الحصول على معادلة حقيقية بشرط أن نقسم على هذا الرقم على كلا الجانبين من المعادلة.

& emsp & emsp قد يكون حل المعادلة كسرًا صحيحًا أو كسرًا غير صحيح.

مثال 3 حل ل x . & emsp & emsp 4x = 38

(4x) / 4 = 38/4 & emsp & emsp اقسم كلا الجانبين على 4.

س = 19/2 & emsp & emsp تبسيط. الحل هو 19/2.

& emsp & emsp إذا تركت الحل ككسر ، فسيكون من الأسهل التحقق من هذا الحل في المعادلة الأصلية.

الشيك: & emsp & emsp 4x = 38 & emsp & emsp استبدل x بـ 19/2.

& emsp & emsp في المثالين 2 و 3 قمنا بقسمة الرقم مضروبًا في x (معامل x). يتم اتباع هذا الإجراء بغض النظر عما إذا كانت علامة ذلك الرقم موجبة أم سلبية.

مثال 4 حل ل x . & emsp & emsp -3x = 48

(-3x) / - 3 = 48 / -3 & emsp & emsp اقسم كلا الجانبين على -3.

& emsp & emsp قد يكون معامل x 1 أو -1. قد تضطر إلى إعادة كتابة المعادلة بحيث يكون معامل 1 أو -1 واضحًا. بالممارسة ، قد تكون قادرًا على & ldquosee & rsquo & rsquo المعامل دون إعادة كتابة المعادلة فعليًا.

مثال 5 حل ل x . & emsp & emsp -x = -24

-1x = -24 & emsp & emsp أعد كتابة المعادلة. -1x هو نفس -x. الآن المعامل -1 واضح.

(-1x) / - 1 = -24 / -1 & emsp & emsp قسّم كلا الجانبين على -1

استخدم مبادئ الجمع والضرب معًا

بعد دراسة هذا القسم ستتمكن من:

1. حل المعادلات على شكل ax + b = c.

2. حل المعادلات التي يظهر فيها المتغير على طرفي المعادلة.

3. حل المعادلات ذات الأقواس.

حل معادلات النموذج الفأس + ب = ج

لحل العديد من المعادلات ، يجب علينا استخدام مبدأ الجمع ومبدأ الضرب.

مثال 1 حل من أجل x وتحقق من الحل الخاص بك. & emsp & emsp 5x +3 = 18

5x + 3 + (-3) = 18+ (-3) & emsp & emsp أضف -3 لكلا الجانبين باستخدام مبدأ الإضافة.

(5x) / 5 = 15/5 & emsp & emsp اقسم كلا الجانبين على 5 باستخدام مبدأ القسمة.

الشيك. & emsp & emsp 5 (3) +3 ≟ 18

الشيك. & emsp & emsp 15 + 3 ≟ 18

متغير على جانبي المعادلة

يظهر المتغير في بعض الحالات على طرفي المعادلة. نود إعادة كتابة المعادلة بحيث تظهر جميع المصطلحات التي تحتوي على المتغير في جانب واحد. للقيام بذلك ، نطبق مبدأ الإضافة على مصطلح المتغير.

مثال 2 حل ل x . & emsp & emsp 9x = 6x + 15

9x + (-6x) = 6x + (-6x) + 15 & emsp & emsp أضف -6x إلى كلا الجانبين. لاحظ أن 6x + (-6x) تلغي المتغير الموجود على الجانب الأيمن.

3x = 15 & emsp & emsp اجمع المصطلحات المتشابهة.

(3x) / 3 = 15/3 & emsp & emsp اقسم كلا الجانبين على 3.

& emsp & emsp العديد من المسائل لها شروط متغيرة وشروط ثابتة على جانبي المعادلة. سترغب في الحصول على كل الحدود المتغيرة في جانب وكل الحدود الثابتة على الجانب الآخر.

مثال 3 حل من أجل x وتحقق من الحل. 9 س + 3 = 7 س -2.

9x + (-7x) + 3 = 7x + (-7x) - 2 & emsp & emsp أضف -7x إلى كلا طرفي المعادلة.

2x + 3+ (-3) = -2 + (-3) & emsp & emsp أضف -3 إلى كلا الجانبين.

(2x) / 2 = -5 / 2 & emsp & emsp اقسم كلا الجانبين على 2.

الشيك. & emsp & emsp 9x + 3 = 7x -2

الشيك. & emsp & emsp 9 (-5/2) +3 ≟ 7 (-5/2) -2 & emsp & emsp استبدل x ب & ناقص 5/2.

الشيك. & emsp & emsp & ناقص 45/2 + 6/2 & ناقص 35 / 2-4 / 2 & emsp & emsp التغيير إلى كسور مكافئة ذات مقام مشترك.

&emsp&emspIn our next example we will study equations that need simplifying before any other steps are taken. Where it is possible, you should first collect like terms on one or both sides of the equation. The variable terms can be collected on the right side or the left side. In this example we will collect all the x terms on the right side.

EXAMPLE 4 Solve for x. &emsp&emsp 5x + 26 -6 = 9x + 12x

5x + 20 = 21x &emsp&emsp Combine like terms.

5x + (-5x) + 20 = 21x + (-5x) &emsp&emsp Add -5x to both sides.

20 = 16x &emsp&emsp Combine like terms.

20/16 =(16x)/16 &emsp&emsp Divide both sides by 16

5/4=x &emsp&emsp(Don&rsquot forget to reduce the resulting fraction.)

&emsp&emspAll the equations we have been studying so far are called first-degree equations.
This means the variable terms are not squared (such as x^2 or y^2 ) or some higher power. It is possible to solve equations with x^2 and y^2 terms by the same methods we have used so far. If x^2 or y^2 terms appear, try to collect them on one side of the equation. If the squared term drops out, you may solve it as a first-degree equation using the methods discussed in this section.

EXAMPLE 5 Solve for y . &emsp&emsp 5y^2 + 6y -2 = -y + 5y^2 + 12

5y^2-5y^2 + 6y -2 = -y + 5y^2-5y^2 + 12 &emsp&emspSubtract 5y^2 from both sides.

6y -2=-y+12 &emsp&emsp Combine, since 5y^2-5y^2 = 0 .

6y+y-2=-y+y+12 &emsp&emsp Add y to each side.

7y-2+2=12+2 &emsp&emsp Add 2 to each side.

(7y)/7 = 14/7 &emsp&emsp Divide each side by 7.

y=2 &emsp&emsp Simplify. &emsp&emspThe solution is 2 .

Solving Equations with Parentheses

The equations that you just solved are simpler versions of equations that we will now discuss. These equations contain parentheses. If the parentheses are first removed, the problems then become just like those encountered previously. We use the distributive property to remove the parentheses.

EXAMPLE 6 Solve for x and check your solution. 4(x + 1)- 3(x-3) = 25

4x +4-3x+9 = 25 &emsp&emsp Multiply by 4 and -3 to remove parentheses. Be careful of the signs. Remember (-3)(-3) = 9 .

&emsp&emspAfter removing the parentheses, it is important to collect like terms on each side of the equation. Do this before going on to isolate the variable.

x + 13 = 25 &emsp&emsp Collect like terms.

x+ 13-13 = 25-13 &emsp&emspAdd -13 to both sides to isolate the variable.

x = 12 &emsp&emsp The solution is 12 .

الشيك. &emsp&emsp 4(12+1)-3(12-3) ≟ 25 &emsp&emsp Replace x by 12 .

&emsp&emsp &emsp&emsp 4(13)-3(9) ≟ 25 &emsp&emspCombine numbers inside parentheses.

&emsp&emspIn problems that involve decimals, great care should be taken. In some steps you will be multiplying decimal quantities, and in other steps you will be adding them.

EXAMPLE 7 Solve for x . 0.3(1.2x-3.6) = 4.2x-16.44

0.36x-1.08 = 4.2x -16.44 &emsp&emsp Remove parentheses.

0.36x-0.36x-1.08 = 4.2x-0.36x-16.44 &emsp&emsp Subtract 0.36x from both sides.

-1.08 = 3.84x -16.44 &emsp&emsp Collect like terms.

-1.08 + 16.44 = 3.84x-16.44 + 16.44 &emsp&emsp Add 16.44 to both sides.

15.36/3.84=(3.84x)/3.84 &emsp&emspDivide both sides by 3.84 .

EXAMPLE 8 Solve for z and check. 2(3z-5) + 2 = 4z -3(2z + 8)

6z-10 + 2 = 4z-6z-24 &emsp&emsp Remove parentheses.

6z- 8 = -2z-24 &emsp&emsp Collect like terms.

6z-8 + 2z = -2z + 2z-24 &emsp&emsp Add 2z to each side.

8z-8 +8 = -24+ 8 &emsp&emsp Add 8 to each side.

(8z)/8=-16/8 &emsp&emsp Divide each side by 8 .

z=-2 &emsp&emsp Simplify. The solution is -2 .

الشيك. &emsp&emsp 2[3(-2)-5] +2 ≟ 4(-2) -3[2(-2) + 8] &emsp&emsp Replace z by -2 .

Equations with Fractions

After studying this section, you will be able to:

1. Solve equations with fractions.

Solving Equations with Fractions

Equations with fractions can be rather difficult to solve. This difficulty is simply due to the extra care we usually have to use when computing with fractions. The actual equation solving procedures are the same, with fractions or without. To avoid unnecessary work, we transform the given equation with fractions to an equivalent equation that does not contain fractions. How do we do this? We multiply each side of the equation by the lowest common denominator of all the fractions contained in the equation. We then use the distributive property so that the LCD is multiplied by each term of the equation.

EXAMPLE 1 Solve for x . &emsp&emsp 1/4x-2/3=5/12x

First we find that the LCD = 12 .

12(1/4x-2/3)=12(5/12x) &emsp&emspMultiply each side by 12

(12/1)(1/4)(x)-(12/1)(2/3)=(12/1)(5/12)(x) &emsp&emsp Use the distributive property.

3x + (-3x)-8 = 5x + (-3x) &emsp&emsp Add -3x to each side.

&minus 8/2=(2x)/2 &emsp&emspDivide each side by 2 .

الشيك.&emsp&emsp 1/4(-4)-2/3 ≟ 5/12(-4)

&emsp&emspIn Example 1 we multiplied each side of the equation by the LCD. It is common practice to immediately go to the second Step and multiply each term by the LCD, rather

EXAMPLE 2 Solve for x . &emsp&emsp (x+5)/7=x/4+1/2

x/7+5/7=x/4+1/2 &emsp&emspFirst we write as separate fractions

(28)(x/7)+(28)(5/7)=(28)(x/4)+(28)(1/2) &emsp&emspWe observe that the LCD is 28 , so we multiply each term by 28 .

4x-4x + 20 = 7x-4x + 14 &emsp&emsp Add -4x to both sides.

20 = 3x + 14 &emsp&emsp Collect like terms.

20-14=3x + 14- 14 &emsp&emspAdd -14 to both sides.

6/3=(3x)/3 &emsp&emsp Divide both sides by 3 .

&emsp&emspIf a problem contains both parentheses and fractions, it is best to remove the parentheses first. Many students find it is helpful to have a written procedure to follow in solving these more involved equations.

Procedure to Solve Linear Equations

2. If fractions exist, multiply all terms on both sides by the lowest common denominator of all the fractions.

3. Collect like terms if possible. Simplify numerical work if possible.

4. Add or subtract terms on both sides of the equation to get all terms with the variable on one side of the equation.

5. Add or subtract a value on both sides of the equation to get all terms not containing the variable on the other side of the equation.

6. Divide both sides of the equation by the coefficient of the variable.

7. Simplify the solution (if possible).

Let&rsquos use each step in solving this example.

EXAMPLE 3 Solve for x and check your solution. 1/3(x-2)= 1/5(x+4)+2

Step 1 &emsp&emsp x/3-2/3=x/5+4/5+2 &emsp&emspRemove parentheses.

Step 2 &emsp&emsp 15(x/3)-15(2/3) = 15(x/5) +15(4/5) +15(2) &emsp&emsp Multiply by the LCD, 15 .

Step 3 &emsp&emsp 5x-10 = 3x + 12 + 30 &emsp&emsp Simplify.

Step 4 &emsp&emsp 5x-3x-10 = 3x-3x + 42 &emsp&emsp Add -3x to both sides.

Step 5 &emsp&emsp 2x-10+ 10 = 42+ 10 &emsp&emsp Add 10 to both sides.

Step 6 &emsp&emsp (2x)/2=52/2 &emsp&emsp Divide both sides by 2 .

Step 7 &emsp&emsp x = 26 &emsp&emsp Simplify the solution.

Step 8 الشيك. &emsp&emsp 1/3(26-2) ≟ 1/5(26 +4)+2 &emsp&emsp Replace x by 26 .

&emsp&emspIt should be remembered that not every step will be needed in each problem. You can combine some steps as well, as long as you are consistently obtaining the correct solution. However, you are encouraged to write out every step as a way of helping you to avoid careless errors.

&emsp&emspIt is important to remember that when we write decimals these numbers are really fractions written in a special way. Thus, 0.3 = 7 and 0.07 = 745. It is possible to take a linear equation containing decimals and to multiply each term by the appropriate value to obtain integer coefficients.

Formulas

After studying this section, you will be able to:

1. Solve formulas for a specified variable.

Solving for a Specified Variable in a Formula

Formulas are equations with one or more variables that are used to describe real world situations. The formula describes the relationship that exists among the variables. For example, in the formula d = rt , distance ( d ) is related to the rate of speed ( r ) and to time ( t ). We can use this formula to find distance if we know the rate and time. Sometimes, however, we are given the distance and the rate, and we are asked to find the time.

EXAMPLE 1 Joseph drove a distance of 156 miles at an average speed of 52 miles per hour. How long did it take Joseph to make the trip?

d= rt &emsp&emsp Use the distance formula.

156 = 52t &emsp&emsp Substitute the known values for the variables.

156/52=52/52t &emsp&emspDivide both sides of the equation by 52 to solve for t.

It took Joseph 3 hours to drive 156 miles at 52 miles per hour.

&emsp&emspIf we have many problems that ask us to find the time given the distance and rate, it may be worthwhile to rewrite the formula in terms of time.

EXAMPLE 2 Solve for t . &emsp&emsp d=rt

d/r=(rt)/r &emsp&emspWe want to isolate t . Therefore, we are dividing both sides of the equation by the coefficient of t , which is r .

d/r=t &emsp&emsp You have solved for the variable indicated.

&emsp&emspA simple first degree equation with two variables can be thought of as the equation of a line. It is often useful to solve for y in order to make graphing the line easier.

EXAMPLE 3 Solve for y . &emsp&emsp 3x-2y = 6

-2y = 6-3x &emsp&emsp We want to isolate the term containing y , so we subtract 3x from both sides.

(-2y)/(-2)= (6-3x)/(-2) &emsp&emspDivide both sides by the coefficient of y .

y=6/-2+(-3x)/-2 &emsp&emspRewrite the fraction.

y= 3/2x-3 &emsp&emsp Simplify and regroup.

This is known as the slope-intercept form of the equation of a line.

&emsp&emspOur procedure for solving a first-degree equation can be rewritten to give us a procedure for solving a formula for a specified variable.

Procedure to Solve a Formula for a Specified Variable

2. If fractions exist, multiply all terms on both sides by the LCD of all the fractions.

3. Collect like terms or simplify if possible.

4. Add or subtract terms on both sides of the equation to get all terms with the desired variable on one side of the equation.

5. Add or subtract the appropriate quantity to get all terms that do not have the desired variable on the other side of the equation.

6. Divide both sides of the equation by the coefficient of the desired variable.

EXAMPLE 4 A trapezoid is a four-sided figure with two parallel sides. If the parallel sides are a and b and the altitude is h , the area is given by

Solve this equation for a .

A=(ha)/2+(hb)/2 &emsp&emspRemove the parentheses.

2(A) = 2((ha)/2)+2((hb)/2) &emsp&emsp Multiply all terms by LCD of 2 .

2A-hb = ha &emsp&emsp We want to isolate the term containing a . Therefore, we subtract hb from both sides.

(2A-hb)/h= (ha)/h &emsp&emspDivide both sides by h (the coefficient of a ).

(2A-hb)/h=a &emsp&emspThe solution is obtained.

Note: Although the solution is in simple form, it could be written in an alternative way. Since

we could have (2A)/h-b = a as an alternative way of writing the answer.

Write and Graph Inequalities

After studying this section, you will be able to:

1. Interpret an inequality statement.

2. Graph an inequality on a number line.

Inequality Statements

We frequently speak of one value being greater than or less than another value. We say that &lsquo&lsquo 5 is less than 7 &rsquo&rsquo or &lsquo&lsquo 9 is greater than 4 .&rsquo&rsquo These relationships are called inequalities. We can write inequalities in mathematics by using symbols. We use the symbol < to represent the words &lsquo&lsquois less than.&rsquo&rsquo We use the symbol > to represent the words &lsquo&lsquois greater than.&rsquo&rsquo

Note. &lsquo&lsquo 5 is less than 7 &rsquo&rsquo and &lsquo&lsquo 7 is greater than 5 &rsquo&rsquo have the same meaning. Similarly, 5 <7 and 7 > 5 have the same meaning. They represent two equivalent ways of describing the same relationship between the two numbers 5 and 7 .

&emsp&emspWe can illustrate the concept of inequality graphically if we examine a number line.

We say that one number is greater than another if it is to the right of the other on the number line. Thus 7 > 5 , since 7 is to the right of 5 .

&emsp&emspWhat about negative numbers? We can say &lsquo&lsquo -1 is greater than -3 &rdquo and write it in symbols -1 > -3 because we know that -1 lies to the right of -3 on the number line.

EXAMPLE 1 Replace the question mark with the symbol < or > in each statement.

(a) 3>-1 &emsp&emsp Use >, since 3 is to the right of -1 .

(b) -2< 1 &emsp&emspUse <, since -2 is to the left of 1 . (Or equivalently, we could say that 1 is to the right of -2 .)

(c) -3 > -4 &emsp&emspSince -3 is to the right of -4 .

Graphing an Inequality on a Number Line

Sometimes we will use an inequality to express the relationship between a variable and a number. x > 3 means that x could have the value of any number greater than 3 . This can be pictured on the number line in a graph as follows:

Note that the open circle at 3 suggests that we do not include the point for the number 3 .

&emsp&emspSimilarly, we could represent graphically x < -2 as follows:

&emsp&emspSometimes a variable will be either greater than or equal to a certain number. In the statement &ldquo x is greater than or equal to 3 ,&rsquo&rsquo we are implying that x could have the value of 3 or any number greater than 3 . We write this as x >= 3 . We represent it graphically as follows:

Note that the closed circle at 3 suggests that we فعل include the point for the number 3 .

&emsp&emspSimilarly, we could represent graphically x <= -2 as follows:

&mdash&mdash t+. et Ht HH HH
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

EXAMPLE 2 State each mathematical relationship in words and then illustrate it graphically.

(a) We state that &lsquo&lsquo x is less than -2 .&rdquo

(b) We can state that &lsquo&lsquo -3 is less than x &rsquo&rsquo or, an equivalent statement, &lsquo&lsquo x is greater than -3 .&rsquo&rsquo Be sure you see that -3 < x is equivalent to x > -3 . Although both ways are correct, we usually write the variable first in a simple linear inequality containing a variable and a numerical value.

(c) We state that &lsquo&lsquo x is less than or equal to -6 .&rdquo

&emsp&emspThere are many everyday situations involving an unknown value and an inequality. We can translate these situations into algebraic statements. This is the first step in solving word problems using inequalities.

EXAMPLE 3 Translate each English statement into an algebraic statement.

(a) The police on the scene said that the car was traveling greater than 80 miles per hour (use the variable s for speed).

(b) The owner of the trucking company said that the payload of a truck must never exceed 4500 pounds (use the variable p for payload).

(a) Since the speed must be greater than 80 we have s > 80 .

(b) If the payload of the truck can never exceed 4500 pounds, then the payload must be always less than or equal to 4500 pounds. Thus we write p <= 4500 .

Solve Inequalities

After studying this section, you will be able to:

Solving Inequalities

The possible values that make an inequality true are called its solutions. Thus, when we solve an inequality, we are finding الكل the values that make it true. To solve an inequality, we simplify it to the point where we can clearly see the possible values for the variable. We&rsquove solved equations by adding, subtracting, multiplying, and dividing a particular value on both sides of the equation. Here we do similar operations with inequalities, with one important exception. We&rsquoll show some examples so that you can see the operations we can do with inequalities just as with equations.

&emsp&emspWe will first examine the pattern that takes place when we perform a given operation on both sides of an inequality.

Note that we avoided multiplying or dividing by a negative number !

&emsp&emspNow let us examine what would happen if we did multiply or divide by a negative number. We start with an original, true inequality. We want to get a new, also true inequality.

What is the correct inequality sign? Since -6 is to the right of -10 , we know the new inequality should be -6 > -10 , if we wish the statement to remain true. Notice how we reverse the direction of the inequality from < (less than) to > (greater than). We would thus obtain the new inequality -6 > -10 . Thus

The < sign we started with ( 3 < 5 ) is reversed to > ( -6 >-10 ). A similar reversal takes place in the following example.

Notice that we do the arithmetic with signed numbers just as we always do. But the new inequality has its inequality sign reversed (from that of the original inequality). Whenever both sides of an inequality are multiplied or divided by a negative quantity, the direction of the inequality is reversed.

Procedure for Solving Inequalities
| You may use the same procedures to solve inequalities that you did to solve equa-
tions except that the direction of an inequality is reversed if you multiply or divide
both sides by a negative number.

EXAMPLE 3 Solve and graph 3x + 7 >= 13 .

3x +7-7>=13-7 &emsp&emsp Subtract 7 from both sides.

(3x)/3>=6/3 &emsp&emsp Divide both sides by 3 .

x>=2 &emsp&emsp Simplify. Note the direction of the inequality is not changed, since we have divided by a positive number.

The graphical representation is en ee
&mdash2 -Il 0 I 2 3 4

EXAMPLE 4 Solve and graph 5- 3x > 7 .

5-5-3x>7-5 &emsp&emsp Subtract 5 from both sides.

(-3x)/-3<2/-3 &emsp&emspDivide by -3 , and reverse the inequality, since both sides are divided by negative 3 .

x< -2/3 &emsp&emsp Note the direction of the inequality.

The graphical representation is Ht Ht
-1_2_1 0 l
3 3

Just like equations, some inequalities contain parentheses and fractions. The initial steps to solve these inequalities will be the same as those used to solve equations with parentheses and fractions. When the variable appears on both sides of the inequality, it is advisable to collect the x terms on the left side of the inequality symbol.

EXAMPLE 5 Solve and graph &minus (13x)/2<=x/2-15/8

(8)((-13x)/2)<=(8)(x/2)-(8)(15/8) &emsp&emspMultiply all terms by LCD = 8 . We do ليس reverse the direction of the inequality symbol since we are multiplying by a positive number, 8.

-52x-4x <= 4x-15-4x &emsp&emspAdd -4x to both sides.

-56x <= -15 &emsp&emspCombine like terms.

(-56x)/56>= -15/-56 &emsp&emspDivide both sides by -56 . We reverse the direction of the inequality when we divide both sides by a negative number.

The graphical representation is 0 15 28 l
56 56
. ]

The most common error students make in solving inequalities is forgetting to reverse the direction of the inequality symbol when multiplying or dividing by a negative number.


شاهد الفيديو: طريقة سحرية في حل نظام المعادلات الخطية (شهر نوفمبر 2021).