مقالات

13.6: أنظمة الانتشار والتفاعل - الرياضيات


أخيرًا ، أود أن أعرض أنظمة التفاعل-الانتشار، فئة معينة من النماذج الميدانية المستمرة التي تمت دراستها على نطاق واسع. إنها نماذج ميدانية مستمرة تتكون معادلاتها فقط شروط رد الفعل و شروط الانتشار، كما هو مبين أدناه:

[ dfrac { جزئي {f_1}} { جزئي {t}} = R_1 (f_1، f_2، ...، f_n) + D_1∇ ^ {2} f_1 label {(13.53)} ]

[ dfrac { جزئي {f_2}} { جزئي {t}} = R_2 (f_1، f_2، ...، f_n) + D_2∇ ^ {2} f_2 label {(13.54)} ]

[ vdots ]

[ dfrac { جزئي {f_n}} { جزئي {t}} = R_n (f_1، f_2، ...، f_n) + D_n∇ ^ {2} f_n label {(13.55)} ]

تصف مصطلحات التفاعل ( (R_i (...) )) الديناميكيات المحلية فقط ، دون أي مشتقات مكانية متضمنة. شروط الانتشار ( (D_i∇ ^ {2} f_i )) تقتصر بشكل صارم على Laplacian لمتغير الحالة نفسه. لذلك ، فإن أي معادلات تتضمن حركة مكانية غير منتشرة (على سبيل المثال ، انجذاب كيميائي) ليست أنظمة انتشار تفاعل.

هناك العديد من الأسباب التي جعلت أنظمة نشر التفاعل خيارًا شائعًا بين صانعي النماذج الرياضية للظواهر المكانية والزمانية. أولاً ، الفصل الواضح بين الديناميكيات غير المكانية والديناميكيات المكانية يجعل مهام النمذجة والمحاكاة سهلة حقًا. ثانيًا ، إن قصر الحركة المكانية على الانتشار فقط يجعل من السهل جدًا توسيع أي نماذج ديناميكية غير مكانية موجودة إلى نماذج موزعة مكانيًا. ثالثًا ، يوفر الهيكل الخاص لمعادلات الانتشار والتفاعل اختصارًا سهلاً في تحليل الاستقرار (ستتم مناقشته في الفصل التالي). وأخيرًا ، على الرغم من بساطة شكلها الرياضي ، يمكن أن تُظهر أنظمة التفاعل-الانتشار ديناميكيات مكانية-زمانية معقدة وغنية بشكل لافت للنظر. بسبب هذه الخصائص ، تم استخدام أنظمة انتشار التفاعل على نطاق واسع لنمذجة التنظيم الذاتي للأنماط المكانية. حتى أن هناك تطبيقات برمجية متخصصة متاحة تمامًا لمحاكاة أنظمة نشر التفاعل3.

تمرين ( PageIndex {1} )

قم بتوسيع النماذج غير المكانية التالية إلى نماذج موزعة مكانيًا كنظم تفاعل-انتشار عن طريق إضافة شروط الانتشار. ثم قم بمحاكاة سلوكهم في بايثون.

  • حركة البندول (مكافئ (6.2.1)): هذا يخلق نموذجًا مكانيًا لمذبذبات غير خطية مقترنة محليًا.
  • نموذج حساس - مصاب - متعافي (SIR) (تمرين 7.1.3): هذا يخلق نموذجًا مكانيًا للديناميات الوبائية.

في ما يلي ، سنراجع بعض أنظمة الانتشار والتفاعل المعروفة للحصول على لمحة عن العالم الغني والمتنوع لديناميكياتها.

تشكيل نمط تورينج

كما ذكرنا في بداية هذا الفصل ، كانت نماذج PDE التي صممها آلان تورينج من بين أولى أنظمة التفاعل-الانتشار التي تم تطويرها في أوائل الخمسينيات من القرن الماضي [44]. نسخة خطية بسيطة من معادلات تورينج هي كما يلي:

[ dfrac { جزئي {u}} { جزئي {t}} = a (u-h) + b (v-k) + D_ {u} Delta ^ {2} u label {13.56} ]

[ dfrac { جزئي {u}} { جزئي {t}} = c (u-h) + d (v-k) + D_ {u} Delta ^ {2} u label {13.57} ]

تمثل متغيرات الحالة (u ) و (v ) تركيزات من نوعين كيميائيين. (أ ، ب ، ج ، ) و (د ) هي معلمات تحدد سلوك شروط التفاعل ، بينما (ح ) و (ك ) ثوابت. أخيرًا ، (D_u ) و (D_v ) ثوابت انتشار.

إذا تم تجاهل شروط الانتشار ، فمن السهل إظهار أن هذا النظام لديه نقطة توازن واحدة فقط ، ( (u_eq ، v_eq) = (h ، k) ). يمكن أن تكون نقطة التوازن هذه مستقرة للعديد من قيم المعلمات من أجل (أ ، ب ، ج ، ) و (د ). كان الأمر الأكثر إثارة للدهشة في استنتاجات تورينج هو أنه ، حتى بالنسبة لنقاط التوازن المستقرة هذه ، قد يؤدي إدخال أبعاد مكانية وشروط انتشار إلى المعادلات إلى زعزعة التوازن ، وبالتالي قد ينظم النظام ذاتيًا تلقائيًا في نمط غير متجانس. هذا يسمي عدم الاستقرار الناجم عن الانتشار أو تورينج عدم الاستقرار. تظهر نتيجة محاكاة العينة في الشكل 13.6.1.

فكرة عدم الاستقرار الناجم عن الانتشار غير بديهية تمامًا. عادةً ما يُعتبر الانتشار قوة عشوائية تدمر أي بنية في فوضى متجانسة ، ولكن في هذا النموذج المعين ، الانتشار هو مفتاح التنظيم الذاتي! ما الذي يجري؟ الحيلة هي أن هذا النظام يحتوي على معاملي انتشار مختلفين ، (D_u ) و (D_v ) ، ويلعب الاختلاف بينهما دورًا رئيسيًا في تحديد استقرار حالة النظام. سيتم مناقشة هذا بمزيد من التفصيل في الفصل التالي.

هناك شيء واحد يحتاج إلى اهتمام خاص عندما تكون على وشك محاكاة معادلات تورينج للتفاعل والانتشار. يتطلب تشكيل نمط تورينج اضطرابات عشوائية صغيرة (ضوضاء) لتكون موجودة في التكوين الأولي للنظام ؛ وإلا فلن تكون هناك طريقة للديناميكيات لكسر التناظر المكاني لإنشاء أنماط غير متجانسة. في غضون ذلك ، يجب أن تكون هذه الاضطرابات الأولية صغيرة بما يكفي بحيث لا تسبب على الفور عدم استقرار رقمي في المحاكاة. فيما يلي نموذج لرمز لمحاكاة تشكيل نمط تورينج بمستوى مقترح للاضطرابات الأولية ، باستخدام إعدادات المعلمة الموضحة في الشكل 13.6.1:

تبدأ هذه المحاكاة من ضبط أولي ((u (x، y)، v (x، y)) ≈ (1،1) = (h، k) ) ، وهي حالة التوازن المتجانسة للنظام التي ستكون مستقرة بدون شروط الانتشار. قم بتشغيل المحاكاة لترى كيف أن الأنماط تنظم نفسها تلقائيًا!

تمرين ( PageIndex {2} )

قم بإجراء عمليات محاكاة لتشكيل نمط تورينج باستخدام العديد من إعدادات المعلمات المختلفة ، وناقش كيفية تأثير اختلافات المعلمات (خاصة بالنسبة لثوابت الانتشار) على الديناميكيات الناتجة.

تمرين ( PageIndex {3} )

حدد نموذج تجميع قوالب الوحل Keller-Segel (المعادل (13.4.13) و (13.4.14)) (على الرغم من أن هذا النموذج ليس نظامًا لنشر التفاعل ، إلا أن هذا هو الوقت المثالي لك للعمل في هذا التمرين لأنك يمكن استخدام الكود 13.8). قم بتطبيق كود المحاكاة الخاص بها في Python ، وقم بإجراء عمليات محاكاة باستخدام (µ = 10 ^ {- 4} ) ، (D = 10 ^ {- 4} ) ، (f = 1 ) ، و (k = 1 ) ، مع تغيير (χ ) كمعامل تحكم يتراوح من (0 ) إلى (10 ​​^ {- 3} ). استخدم (أ = 1 ) و (ج = 0 ) كشرطين أوليين في كل مكان ، مع إضافة اضطرابات عشوائية صغيرة إليهم.

رد فعل بيلوسوف-زابوتينسكي

ال تفاعل بيلوسوف-زابوتينسكي، أو تفاعل بي زد باختصار ، عائلة من التفاعلات الكيميائية المتذبذبة اكتشفت لأول مرة بواسطة الكيميائي الروسي بوريس بيلوسوف في الخمسينيات ثم حللها الكيميائي الروسي الأمريكي أناتول زابوتينسكي في الستينيات. أحد الاختلافات الشائعة لهذا التفاعل هو بشكل أساسي أكسدة حمض المالونيك ( (CH_ {2} (COOH) _ {2} )) بواسطة محلول برومات حمضي ، ومع ذلك تُظهر هذه العملية سلوكًا تذبذبًا غير خطي أو طولًا كبيرًا من الوقت قبل الوصول في النهاية إلى التوازن الكيميائي. الآلية الكيميائية الفعلية معقدة للغاية ، وتتضمن حوالي 30 مادة كيميائية مختلفة. علاوة على ذلك ، إذا تم وضع هذا المحلول الكيميائي في طبق بتري ضحل ، فإن التذبذب الكيميائي يبدأ في مراحل مختلفة في مواقع مختلفة. سيؤدي التفاعل بين التفاعل وانتشار المواد الكيميائية على الفضاء إلى التنظيم الذاتي لموجات السفر الديناميكية (الشكل ( فهرس الصفحة {2} )) ، تمامًا مثل تلك الموجودة في نموذج CA للوسائط المثيرة في القسم 11.5 .

نموذج رياضي مبسط يسمى "أوريغونيتور" كان من بين أوائل الذين وصفوا ديناميكيات تفاعل BZ في شكل بسيط [50]. تم اقتراحه في الأصل كنموذج غير مكاني مع ثلاثة متغيرات حالة ، ولكن تم تبسيط النموذج لاحقًا بحيث يحتوي على متغيرين فقط ثم تم توسيعه ليشمل المجالات المكانية [51]. فيما يلي معادلات "Oregonator" المبسطة:

[ start {align} epsilon { dfrac { جزئي {u}} { جزئي {t}}} & = u (1-u) - dfrac {uq} {u + q} fv + D_ { u} Delta ^ {2} u label {(13.58)} [4pt] dfrac {∂v} {∂t} & = uv + D_ {u} Delta ^ {2} v label {( 13.59)} end {align} ]

هنا ، يمثل (u ) و (v ) تركيزات نوعين كيميائيين. إذا قمت بفحص شروط التفاعل لهذه المعادلات بعناية ، فستلاحظ أن وجود المادة الكيميائية له تأثير إيجابي على كل من (u ) و (v ) ، بينما وجود المادة الكيميائية (v ) له تأثير سلبي على كليهما. لذلك ، تسمى هذه المواد الكيميائية "المنشط" و "المانع" على التوالي. شوهدت أيضًا تفاعلات مماثلة بين المنشط والمثبط في تشكيل نمط تورينج ، لكن نظام تفاعل BZ يُظهر تذبذبًا كيميائيًا غير خطي. هذا يسبب تشكيل موجات السفر. في بعض الأحيان يمكن أن تشكل هذه الموجات حلزونات إذا تم كسر التناظر المكاني بواسطة عوامل عشوائية. تظهر نتيجة محاكاة العينة في الشكل 13.6.3.

تمرين ( PageIndex {5} )

تنفيذ كود محاكاة لنموذج "Oregonator" لتفاعل BZ في Python. ثم قم بإجراء عمليات المحاكاة باستخدام العديد من إعدادات المعلمات المختلفة ، وناقش نوع الظروف المطلوبة لإنتاج موجات متنقلة.

تشكيل نمط جراي سكوت

المثال النهائي هو نموذج جراي سكوت، وهو نظام آخر معروف جيدًا للتفاعل-الانتشار تمت دراسته ونشره بواسطة جون بيرسون في التسعينيات [52] ، استنادًا إلى نموذج التفاعل الكيميائي الذي طوره بيتر جراي وستيف سكوت في الثمانينيات [53 ، 54 ، 55]. معادلات النموذج هي كما يلي:

[ dfrac {∂u} {∂t} = F (1-u) -uv ^ {2} + D_ {u} Delta ^ {2} u label {(13.60)} ]

[ dfrac {∂v} {∂t} = - (F + k) v + uv ^ {2} + D_ {u} Delta ^ {2} v label {(13.61)} ]

تفترض شروط رد الفعل لهذا النموذج ما يلي تفاعل التحفيز الذاتي (على سبيل المثال ، تفاعل كيميائي يعمل فيه المتفاعل نفسه كمحفز):

[u + 2v rightarrow 3v label {(13.62)} ]

يأخذ هذا التفاعل جزيءًا واحدًا من (u ) ويحوله إلى جزيء واحد من (v ) ، بمساعدة جزيئين آخرين من (v ) (وبالتالي ، التحفيز الذاتي). يتم تمثيل هذا بالمصطلح الثاني في كل معادلة. في غضون ذلك ، يتم تجديد (u ) باستمرار من المصدر الخارجي حتى 1 (المصطلح الأول من المعادلة الأولى) بمعدل التغذية (F ) ، بينما تتم إزالة (v ) باستمرار من النظام في معدل أسرع قليلاً من تجديد (u ) ( (F + k ) الذي يظهر في المصطلح الأول من المعادلة الثانية). (F ) و (ك ) هي المعلمات الرئيسية لهذا النموذج.

من السهل إظهار أنه إذا تم تجاهل مصطلحات الانتشار ، فإن هذا النظام لديه دائمًا نقطة توازن عند ((u_ {eq}، v_ {eq}) = (1،0) ) (وهو ثابت لأي موجب (F ) و (ك )). ومع ذلك ، من المثير للدهشة أن هذا النموذج قد يُظهر ديناميكيات غريبة للغاية وذات مظهر بيولوجي إذا تم وضع أنماط مكانية معينة في التوازن أعلاه. سلوكياتها غنية بشكل مذهل ، بما في ذلك نمو "الخلايا" وانقسامها وموتها إذا تم اختيار قيم المعلمات والظروف الأولية بشكل مناسب. انظر الشكل 13.6.4 لترى فقط عينات قليلة من دينامياته المدهشة!

تمرين ( PageIndex {5} )

قم بتنفيذ كود محاكاة لنموذج Gray-Scott في Python. ثم قم بإجراء عمليات محاكاة باستخدام العديد من إعدادات المعلمات المختلفة وناقش كيفية تأثير المعلمات على الأنماط الناتجة.

الشكل ( PageIndex {4} ): (الصفحة التالية) نماذج من الأنماط التي تم إنشاؤها بواسطة نموذج Gray-Scott مع (D_u = 2 × 10 ^ {- 5} ) و (D_v = 10 ^ {- 5} ). يتم رسم تركيز المادة الكيميائية (u) بتدرج الرمادي (أكثر إشراقًا = أكبر ، فقط في هذه الصورة). الوقت الدودة الحلزونية فلوريدا من اليسار إلى اليمين. تظهر قيم المعلمات لـ (F ) و (ك ) أعلى كل نتيجة محاكاة. الشروط الأولية هي التوازن المتجانس ((u ، v) = (1،0) ) في كل مكان في الفضاء ، باستثناء المركز حيث يتم عكس الحالة المحلية بحيث ((u ، v) = (0 ، 1) ).

3على سبيل المثال ، تحقق من جاهز (https://code.google.com/p/reaction-diffusion/).


معادلة التفاعل والانتشار

حيث $ u = u (x، t) = (u_1، ldots، u_n) $، $ Delta $ هو عامل لابلاس في المتغيرات المكانية $ x $ ، $ D $ عبارة عن مصفوفة قطرية غير سالبة وغير صفرية ، و $ f $ دالة من مجال في $ mathbf R ^ n $ إلى $ mathbf R ^ n $. تمت أيضًا دراسة العديد من التعميمات لهذه المعادلات ، مثل النتيجة عندما يعتمد $ f $ أيضًا على مشتقات $ u $ من الدرجة الأولى $ x $ ، عندما يتم استبدال عامل التشغيل $ Delta $ بآخر ، ربما غير خطي أو عوامل التشغيل أو عندما لا تكون المصفوفة $ D $ قطرية. إذا ظهرت شروط إضافية من الدرجة الأولى في النظام كنموذج لتأثيرات النقل بالحمل الحراري ، يُطلق على النظام أحيانًا معادلة التفاعل والتأخير والانتشار.

تنشأ مثل هذه المعادلات كنماذج لظواهر طبيعية متنوعة [a1] ، لكن جذورها الأكثر طبيعية تكمن في دراسة الأنظمة الكيميائية: قد تمثل مكونات المتجه $ u $ تركيزات الأنواع الكيميائية الموجودة ، المصطلح $ D يمثل Delta u $ النقل المنتشر لهذه الأنواع ، ربما من خلال محلول كيميائي ، ويمثل $ f (u) $ إنتاج أو تدمير الأنواع الناتجة عن التفاعلات فيما بينها (إذا كانت معدلات كل هذه التفاعلات معروفة ، كوظائف لـ $ u $ ، ثم يمكن تدوين الصيغة الصريحة لـ $ f $).

غالبًا ما يقتصر المتغير $ x $ على المجال $ Omega $ بحدود $ جزئي Omega $ ، ثم يتم البحث عن الحلول التي تفي بشروط حدية معينة على $ جزئي Omega $. هذه بشكل عام من النموذج

حيث $ جزئي / جزئي nu $ هو المشتق العادي لـ $ جزئي Omega $ و $ a_i $ و $ b_i $ ليس كلاهما صفرًا (ما لم يكن $ u_i $ غير "منتشر") ، و $ h_i $ هو وظيفة معينة. مرة أخرى ، تكثر التعميمات ، مثل شروط الحدود غير الخطية.

المشاكل المحددة ذات الأهمية هي: 1) مشكلة القيمة الأولية ، حيث يتم إعطاء $ u (x، 0) $ و $ u (x، t) $ من أجل $ t geq0 $ ii) المشكلة الثابتة ، في البحث عن الحلول المستقلة عن $ t $ و iii) مشكلة الموجة المتنقلة ، حيث يتم البحث عن حلول $ u (x، t) = U (x-ct) $ Omega = mathbf R $ والحلول الخاصة بها $.

نظرًا لارتباطاتهم القوية بالعلوم التطبيقية والعدد المحدود من الخصائص المهمة المشتركة بين جميع أعضاء هذه الفئة غير العملية من الأنظمة ، فإن زخم البحث في هذا المجال يأتي أكثر من عرض الأنظمة كنماذج لظواهر طبيعية محددة ، وليس من الاهتمام فيهم من أجل مصلحتهم. قد يكون الدافع النموذجي ، على سبيل المثال ، هو التساؤل عما إذا كان نظامًا معينًا ، يتم فيه صياغة تأثيرات طبيعية محددة ، سيكون له حلول تعكس بعض الظواهر الطبيعية المعروفة ذات الاهتمام والتي أسبابها غير معروفة بشكل كامل. ثم يبحث المرء عن وجود واستقرار حلول النظام المعني التي لها خصائص مماثلة للظاهرة المعنية.

فيما يتعلق بمشكلة القيمة الأولية 1) ، فإن نظرية المجموعات شبه التحليلية ، والتي تعتمد في هذا السياق على عامل التشغيل $ D Delta $ كونه قطاعيًا ، قد تم تطويره كواحد من الأساليب الأكثر استخدامًا للوجود والتفرد [a2]. استخدمت دراسة الحلول الثابتة 2) مجموعة متنوعة من الأساليب ، مثل إعادة صياغة المشكلة كمشكلة نقطة ثابتة لرسم خرائط في مساحة وظيفية مناسبة واستخدام طرق الدرجة الطوبولوجية. في الحالة التي يكون فيها $ n = 1 $ أو النظام به خصائص رتيبة معينة ، فإن الطرق التي تعتمد على الحلول العلوية والسفلية (راجع طريقة الدالات العلوية والسفلية) توفر بدائل أسهل (انظر [a1] و [a3] ، على سبيل المثال).

يمكن النظر إلى مشكلة الموجة المتنقلة iii) على أنها تسعى إلى المعامل $ c $ الذي يوجد له اتصال بين نقطتين حرجتين لنظام المعادلات التفاضلية العادية الناتجة عن الاستبدال $ u = U (x-ct) $. من الأدوات الرئيسية في هذا الصدد مؤشر كونلي القوي [a4] ، [a3]. فيما يلي بعض الطرق الأخرى التي تم ابتكارها مؤخرًا مذكورة.

يمكن النظر إلى نظرية أنظمة نشر التفاعل على أنها تتضمن كل نظرية الأنظمة التفاضلية العادية المستقلة $ du / dt = f (u) $ (راجع النظام الذاتي) ، لأنه عندما يتم فرض شروط حدود نيومان المتجانسة ، فإن حلول النظام الأخير يشكل تلقائيًا الحلول المستقلة $ x $ لأنظمة التفاعل-الانتشار المقابلة. ولكن ، بالطبع ، تظهر أيضًا حلول ذات خصائص مكانية مذهلة ، وفي الواقع ، يعد الهيكل المكاني المحتمل للحلول أحد الجوانب الأكثر بحثًا في كثير من الأحيان.

فيما يلي بعض من أفضل الأمثلة المدروسة لأنظمة التفاعل-الانتشار.

أ) معادلة فيشر العددية

[a5] ، [a6] ، حيث يحتوي $ f $ على صفرين بالضبط. نشأت هذه المعادلة في الأصل فيما يتعلق بعلم الوراثة السكانية.

ب) معادلة الانتشار القياسي ثنائي الاستقرار ، [a7] ، [a6] ، [a8] ، من نفس الشكل ولكن حيث يحتوي $ f $ على ثلاثة أصفار بسيطة بالضبط وسالب بين الأولين. تحتوي هذه المعادلة أيضًا على روابط مع علم الوراثة السكانية ، ولكن معرفة خصائصها أكثر أهمية فيما يتعلق بالدور الذي تلعبه كجزء مكون لأنظمة أكثر تعقيدًا.

ج) نظام FitzHugh – Nagumo

حيث يحتوي $ f $ على الخصائص المذكورة في b) (انظر المراجع في [a3] و [a9] لهذا والتعميمات). إنه تبسيط للأنظمة ذات الترتيب الأعلى مثل نظام هودجكين-هكسلي ، والذي يظهر كنماذج لنقل الإشارات على المحاور العصبية وفي أنسجة القلب.

د) نموذج الانتشار الحراري في نظرية المفاعلات الكيميائية والاحتراق [أ 10] ، [أ 11]. في هذا النموذج ، يمثل $ u = (u_0، ldots، u_n) $، $ u_0 $ درجة الحرارة ، وتمثل المكونات الأخرى لـ $ u $ تركيزات الأنواع الكيميائية ، ومكونات $ f $ مُعطاة بواسطة

يكون التجميع فوق جميع التفاعلات التي تحدث في المادة (تتم فهرسة هذه التفاعلات بواسطة $ l $) هنا ، $ m_l $ أحادي (حركة جماعية) في $ u_1 ، ldots ، u_n $ مناسب لتفاعل $ l $ -th ، $ b_l $ هو "ثابت التفاعل" لهذا التفاعل ، والأرقام $ a_$ هي "معاملات القياس المتكافئ" ، مع تحديد كمية الأنواع $ j $ (أو الحرارة ، في حالة $ j = 0 $) المنتجة أو المستهلكة في التفاعل $ l $.

في جميع الأمثلة المذكورة أعلاه ، فإن وجود واستقرار حلول الموجة المتنقلة له أهمية قصوى وفي الحالة د) ، فإن الحلول الأخرى المرتبة مكانيًا أو زمنيًا مهمة أيضًا.

في العديد من التطبيقات ، تظهر الحلول ذات الخصائص الأمامية أو السطحية [a9]. على سبيل المثال ، قد يوجد سطح متحرك في مساحة $ 3 $ حيث تتعرض بعض مكونات $ u $ لتغييرات جذرية. تشكل هذه التغييرات طبقة داخلية على السطح المعني. لقد تم دراستها في سياق معادلات مجال الطور (نظام انتشار التفاعل مع غير قطري $ D $) ، حيث يمثلون واجهات طور ، للمعادلة ثنائية الاستقرار ، ومعادلات FitzHugh-Nagumo وتعميماتهم ، التي قد تمثل فيها تغيرات في الطور ، أو تغيرات في الخصائص الكهروكيميائية للأنسجة العصبية أو القلب ، أو تغيرات في الحالة الكيميائية للوسط.

يعد استقرار الموجات في بُعد فضائي واحد للأنظمة ذات $ n & gt1 $ مجالًا أكثر صعوبة في التحقيق من وجودها. تم إنجاز الكثير من العمل هنا من أجل معادلات FitzHugh – Nagumo [a12]. تم تطوير تقنية جديدة مؤخرًا ، وهي مؤشر الاستقرار لكل من J. Alexander و R. Gardner و C. Jones [a13] ، على عدد من مشكلات موجة السفر.

بالنسبة لحلول الموجات المتحركة والثابتة ذات الواجهات (انظر أعلاه) ، تم تطوير تقنية تسمى طريقة SLEP لدراسة أسئلة الاستقرار (انظر [a4] والمراجع الواردة فيها).

بالنسبة إلى FitzHugh – Nagumo والأنظمة ذات الصلة ، فإن أهم الحلول النمطية في بعدين فضائيين هي الحلزونات الدوارة ، والتي تكون سائدة للغاية ويبدو أنها هياكل مستقرة للغاية لهذا والعديد من النماذج الأخرى للوسائط المثيرة. على الرغم من الاهتمام الكبير بهذه الحلول الدوارة والعدد الكبير من الأوراق التي ولدها المفهوم (انظر المراجع في [أ 9]) ، فإن أساسها الرياضي لا يزال بدائيًا. توجد ظواهر مماثلة في ثلاثة أبعاد: الهياكل التي تدور حول منحنيات في الفضاء ، تسمى خيوط ، والتي هي نفسها تهاجر وفقًا لقوانين تقريبية معينة. يتمثل أحد التحديات المهمة للمستقبل في فهم أفضل (وتوفير أساس رياضي ثابت) للصلات بين هذه الأنماط المكانية الديناميكية وقوانين حركتها ، من ناحية ، والمعادلات التفاضلية الجزئية الأساسية من ناحية أخرى.


النظرية الرياضية البديلة لظواهر عدم التوازن

6.3.2 نظرية الإلقاء

ناقشنا في القسم 4.4.3 عدة أسباب لتقسيم كثافة تدفق الطاقة يه في المتجهين q ∘ ∗ و w ∘ ∗. في ظل شرط أنه حتى في فيزياء الاستمرارية ، يشير مفهوم معدل العمل w ∘ ∗ إلى أي تغيير في محتوى المعلومات كخاصية للمادة ، يمكن قياس w ∘ ∗ عن طريق تغيير الشكل الذي يواجهه كل عنصر حجم متناهي الصغر دτ. يحدث مثل هذا التأثير من خلال جميع التفاعلات بين دτ والمناطق المحيطة بها ، ولكن بشكل أساسي عن طريق تأثيرات التدفق. على وجه الخصوص ، فإن الضغط المحلي كخاصية مترافقة طبيعية لـ دτ هي القوة الدافعة لتغيرات الشكل.

في هذا السياق ، لا بد من التأكيد على أن الضغط ص* في السؤال لا يجب أن تؤخذ لكمية التوازن للحالة. بالإضافة إلى عنصر الحجم دτ يخضع أيضًا لضغوط القص التبديدية التي يتم التعبير عنها تقليديًا بواسطة تدرجات السرعة المحلية.

لا يمكن أن يكون هناك أي شك في أن الظواهر التي لا رجعة فيها تتحكم في تفاصيل أنماط التدفق. وينطبق الشيء نفسه على شروط الحدود المحددة بشكل خاص. ومع ذلك ، نظرًا لأنه تم إثباته حتى في الحالة المحدودة لمعادلة أويلر للحركة ، فإن التأثير الرئيسي على طوبولوجيا مجال التدفق ينبع من التوزيعات المكانية للضغط المحلي وسرعة التدفق بالإضافة إلى تفاعلهما المتبادل.

لهذا السبب من المناسب أن تتحلل (6.44) إلى قسمين

حيث ، وفقًا لـ (6.42) ، يتضمن تعريف معدل العمل ضغط عدم التوازن ص*. قد نتخيل مؤقتا الضغط ص* ككمية لا تخضع لمعادلة الحالة التي يشيع استخدامها في الممارسة.

إدخال موتر الضغط اللزج τ*، المحددة بالرجوع إلى كثافة تدفق الزخم Jأنا والضغط ص*، يؤدي إلى استنتاج مهم من (6.40): كلا الكميتين Jأنا و ص* تظهر في مصطلحين مضافين في القوس الثالث من مصطلح المعادلة هذا ، والذي يمكن تعديله عن طريق هويات الموتر (6.38) على النحو التالي:

هذه النتيجة مع (6.41) و (6.44) تؤدي إلى الهوية

هذا ما يسمى نظرية التبديد يمتد أيضًا إلى ما وراء تطبيقه على أنظمة مجال الجسم أحادية الطور متعددة المكونات ، لأن بنية (6.4) تشير إلى أنه بالنسبة لفئات الأنظمة الأخرى ، يجب فقط بناء كثافات الإنتاج ذات الصلة.

تلخص هذه النظرية بطريقة مميزة كل كثافة التدفق والإنتاج الناشئة في معادلة التوازن ذات الصلة. لكن النتيجة الأكثر لفتًا للانتباه تتعلق بوضوح بحقيقة أن كل خصائص الظواهر غير المتوازنة تنتج مجموع صفري. من الواضح أن النظرية تشير إلى نوعين من التأثيرات التبديدية. الأول يأخذ في الاعتبار كثافات التدفق التي تحدث jض جنبا إلى جنب مع التدرجات المقابلة ∇ζضأين ζض لتقف على المتغيرات المكثفة المخصصة ل ض وتتميز بشرطها ζض ≥ 0. يشمل التأثير الثاني جميع كثافات الإنتاج التي تحدث بالفعل σض. من وجهة نظر رياضية ، من المعقول النظر في ثلاث حجج بارزة:

تجنب أي تفاعلات كيميائية ، أو انتشار ، أو تدفقات مشتتة ، قد يتم تقليل النظام المعني بحيث تختفي جميع المصطلحات في (6.47) بشكل متماثل ، أو سيظل هناك مصطلحان مميزان بعلامات معاكسة.

هناك عنصر واحد على الأقل من (6.47) لا يمكن أبدًا إيقافه عن طريق الإجراءات المقبولة لتحقيق العملية دون إسقاط العناصر الأخرى الموجودة في نفس الوقت.

بالإضافة إلى تعريف نوعي التأثيرات التبادلية المذكورة أعلاه ، من المفيد التمييز بينهما بعلامات مختلفة.

فيما يتعلق بمعادلة جيبس ​​الرئيسية ρ D e ∗ ρ = D p ∗ - p f ⋅ v + ∑ j = 3 r ζ z، j ρ D z j ، فلنقم بإضفاء الطابع الرسمي على الحجة (3) وفقًا للاتفاقية

والتي من المفترض أن تكون صالحة لجميع المتغيرات المحددة ض في الحسبان. منخفض ي يعود الى ص المتغيرات ويسمح لنا بتمييز نوعين من العناصر المتعلقة بالتبدد لكل محدد ض. يحتاج كل عنصر من النوع الأول (6.48) إلى جمع فوق الرمز السفلي ي النوع الثاني لا. القيم ي = 1 و ي = 2 من الرمز المنخفض تتعلق بالضغط ص* والقوة الميدانية المحددة F، والتي لا تقدم أي مساهمة صريحة في التبديد.

يوجد مثال مهم لعنصر النوع الأول (6.48) 1، المعروف باسم عدم المساواة لدي بوندر (بريغوجين وديفاي ، 1962 ، ص 71). للحالة الخاصة للنظام المغلق التي تتحقق من خلال تلاشي كثافات التدفق المنتشر يي، ستصبح

حيث V. ص هي سرعة صرد الفعل. حدد De Donder هذه الكمية لأول مرة بالإشارة إلى متغير التقدم λص ل صرد الفعل:

وفقًا للمعادلة (6.35) ، تكون كثافة الإنتاج الكيميائي Гي ل يالأنواع التي توافق على مصطلح الحمل الحراري ρدωي إذا تم إغلاق النظام. عن طريق المعادلتين (5.52) و (5.53) ، العلاقة المباشرة

ثم يمكن الحصول عليها بين Гي للجميع ي وكثافة التقارب أالخامس ، ص: = ρaص للجميع ص.

إجمالي الإنتاج ، الناجم عن التفاعلات الكيميائية التي تحدث في وقت واحد لكل وحدة زمنية ، يساوي المجموع على المنتجات ، والتي تتكون كل منها من سرعة صرد الفعل وكثافة التقارب المعينة. وينطبق الشيء نفسه على المجموع على جميع المكونات المعنية التي تتكون من المنتجات ، كل منها يتكون الآن من كثافة الإنتاج الكيميائي لـ يالمكون الخامس والإمكانات الكيميائية المخصصة لكل وحدة كتلة. قد يحدث اقتران رد الفعل جنبًا إلى جنب مع أحداث التغذية الراجعة ويتم تمثيلها رياضيًا من خلال إمكانية تمييز بعض مصطلحات المجموع بعلامات معاكسة مقارنة بـ (6.51).

هناك إمكانية بديلة في دراسة تفاصيل ديناميكيات التفاعل الكيميائي. وجد Guldberg و Waage من خلال تحليل تجريبي أن تركيزات الأنواع المتفاعلة يمكن أن تكون مرتبطة بسرعات التفاعل المقابلة. "حتى عند تطبيقه على التفاعلات المعقدة التي تتضمن خطوات وسيطة وأنواع عابرة ، فإن هذا النهج التجريبي يتفوق في توضيح آليات التفاعل التي يمكن أن يُطلق عليها الإجراء الشامل القانون الأول للحركية الكيميائية" (Garfinkle ، 1992 ، ص 282).

في الآونة الأخيرة ، طريقة واعدة ، ما يسمى ب نهج المسار الطبيعي ، تم تطويره بواسطة Garfinkle ، الذي درس تقدم تفاعل كيميائي متكافئ متجانس في نظام متساوي الحرارة مغلق. لقد عمل على الأشكال الكيميائية للديناميكا الحرارية بطريقة تتفق مع قوانين الديناميكا الحرارية ، وبالتالي ، بشكل مستقل عن الاعتبارات الميكانيكية. يتم الآن وصف التفاعلات وسرعاتها بنجاح من حيث معدل التغيير في الوظيفة الديناميكية الحرارية المناسبة ، معدل اضمحلال التقارب أتلفزيون عند درجة حرارة موحدة وحجم ثابت. ردًا على عمل Garfinkle ، تم إعداد مراجعة نقدية بواسطة Hjelm-Feel و Brauman و Ross في عام 1990. ووجدوا أن معدل اضمحلال التقارب Åتلفزيون يعتمد بشكل مباشر على آليات التفاعل المعنية ، على عكس ملاحظة Garfinkle المستندة إلى التحليل التجريبي المباشر (Garfinkle ، 1992 ، ص 283). بتلخيص دراساته المكثفة ، أكد Garfinkle تأكيده على وجود مسار تفاعل فريد عبر النطاق الكامل للملاحظة التجريبية المستقلة عن أي آليات تفاعل. علاوة على ذلك ، ذكر أن "ارتباط البيانات الممتاز الملحوظ يسمح بحساب سرعة التفاعل الديناميكي الحراري التي تتوافق مع سرعة التفاعل الميكانيكي التي تحددها الحركية بناءً على فهم آلية التفاعل. تم التوصل إلى اتفاق ممتاز بين سرعات التفاعل هذه على مدى الملاحظات التجريبية ”(Garfinkle، 1992، p. 299).

عبارات مثل (6.48) أو (6.51) ميتافيزيقية لأنها تستند إلى نظرية عالمية لا يمكن إثباتها أبدًا بعدد محدود من البيانات. وينطبق الشيء نفسه على الحالة التي يفترض فيها عدم المساواة (6.48) لإضفاء الطابع الرسمي على القانون الثاني للديناميكا الحرارية. في هذا السياق ، من اللافت للنظر أن الجزء الثاني من (6.48) يشير إلى العلاقة المعروفة بين الاتجاه المحدد لأي كثافة تدفق يض والاتجاه اللاحق للتدرج المعين ∇ζض. هذا هو المعنى الأعمق للملاحظة العامة أن تدفقات الحرارة لا يمكن أن تتدفق في اتجاه زيادة درجة الحرارة. من الغريب أن هذه الملاحظة نادراً ما تُذكر فيما يتعلق بالصياغة الرياضية للقانون الثاني.

على الرغم من أن كثافة إنتاج الانتروبيا تخضع لنفس عدم المساواة (6.48) 1 كما هو الحال مع كثافات الإنتاج الأخرى ، لا يزال هناك اختلاف جوهري فيما يتعلق بالحجة (2) المذكورة أعلاه: بالاتفاق مع الخبرة ، يُفترض أن كثافة إنتاج الانتروبيا a هي كثافة الإنتاج الوحيدة التي يجب أن توجد دائمًا في العمليات الحقيقية. يمكن التلاعب بجميع الآخرين ، على الأقل من حيث المبدأ ، بطريقة تميل قيمها الخاصة إلى الصفر. ومع ذلك ، يجب أن ننتبه إلى الاحتمالات المختلفة لخلق التبديد من خلال بعض العمليات الخفية. التفاعلات الكيميائية المجمدة هي مثال بارز.

لتقدير الدور الخاص لكثافة إنتاج الانتروبيا σ ، يجب أن تكمل قاعدة أخرى نظرية التبديد بأجزائها (6.47) و (6.48):

هذا القانون المحدد هو بالفعل جزء أساسي من النظرية الرياضية المقدمة هنا ويشير إلى جميع مصطلحات التبديد باستثناء المصطلح تي*σ نفسها. الأهمية الأساسية لـ (6.52) هي أننا قد نتزاوج تنص على من التوازن لهؤلاء العمليات يفترض أنه لا يتبدد. هذا مهم بشكل خاص لكل من الحالة الخاصة للتوازن الحركي والحالة في حالة السكون المحددة بواسطة (6.19).

تستحق النظريتان (6.44) و (6.47) المستمدة من البديهيات العامة للنظرية البديلة التعليق خاصة فيما يتعلق بـ تمديد الديناميكا الحرارية التي لا رجعة فيها (EIT). يتميز EIT بمعادلة معدل مخصصة عادة لجبس ،

من المفترض أن تكون صالحة لنظام أحادي الطور متعدد المكونات لا رجعة فيه (الاتحاد الأوروبي ، 1986 ، ص 217). الوظيفة العامة المقابلة يو(س,الخامس ، نأنا، ϕأنا α) يشير إلى الطاقة الداخلية يو بحكم التعريف ، باتباع فكرة Meixner (راجع Garcia-Colin and Uribe ، 1991 ، ص 111). العلاقة ذات الصلة بين كثافة إنتاج الانتروبيا σ والمساهمات المشتتة التي يمثلها التدفق ϕأنا α من الأنواع أنا ومقارنته المحتملة X α i = T ∂ S / ∂ Φ i α يعطى بالتعبير

حيث خصائص الشد Λأنا α هي الشروط التمثيلية المبددة للنظام المعني. يتعلق مجموع الأعداد الصحيحة α (التي تعمل من 1 إلى 4) بترتيب موجه إلى التدرجات المميزة التالية:

على الرغم من وجود تشابه شكلي بين التعبير عن α والمعادلة (6.47) ، فمن الواضح أن الاختلافات المفاهيمية مهمة. تشتق النظريتان (6.44) و (6.47) من المعادلة (4.54) المطبقة على نظام مجال جسم أحادي الطور متعدد المكونات. ينتج هذا Pfaffian من معادلة جيبس ​​الأساسية Г (ه, ف ، ص ، S ، V ، Nأنا) = 0 ويشير إلى إجمالي الطاقة ه للنظام قيد النظر. الطاقة الداخلية يو يمكن تحديده رسميًا بواسطة المعادلة (6.16) ، بشرط أن يكون الحل الكامل عبر Г (ه ، ف ، ص ، .س، الخامس ، نأنا) = 0 متاح. وبالتالي ، فإن النظرية البديلة تؤدي إلى نتيجة غير متسقة مع العلاقتين المذكورتين أعلاه كبيانات تمثيلية لـ EIT.

في الشكلية التي تمر اقتصاداتها بمرحلة انتقالية ، لا يرتبط النهج النظري بإجمالي الطاقة E. بشرط أن يشير EIT إلى أفكار ومفاهيم جيبسي ، ه تم إنشاؤه حصريًا من خلال مجموعة كاملة من المتغيرات الشاملة ، والتي تعمل كإحداثيات لمساحة جيبس ​​المقابلة. الممارسة الشائعة لفصل مساهمات الطاقات الحركية والمحتملة عن ه يشير إلى نفس النتيجة بالنسبة للطاقة الداخلية يو أما بالنسبة لل E. بافتراض يو كدالة M-G للنظام ، إذن يو لا يمكن الاعتماد على خصائص مثل اللحظات ϕ i α ، والتي لا تنتمي إلى متغيرات الحالة الشاملة حسب التعريف (راجع Eu ، 1986 ، ص 215).


قسم الرياضيات والإحصاء ، جامعة ولاية ميسيسيبي ، ولاية ميسيسيبي ، MS 39762 ، الولايات المتحدة الأمريكية

تم الاستلام أبريل 2020 مراجع يوليو 2020 نشرت ديسمبر 2020 الوصول المبكر سبتمبر 2020

تتناول هذه المقالة وجود حل ضعيف لمشكلة الحدود الأولية لنظام الانتشار المتقاطع الذي ينشأ في دراسة نمو سكان خليتين. يرجع التحدي الرياضي إلى حقيقة أن مصفوفة المعامل غير متماثلة وتتدهور بمعنى أن محددها هو $ 0. يتم تأسيس تأكيد الوجود من خلال استكشاف حقيقة أن الكثافة السكانية الإجمالية تفي بمعادلة الوسائط المسامية.

مراجع:

M. Bertsch ، M.E Gurtin and D. Hilhorst ، حول تفاعل المجموعات السكانية التي تتفرق لتجنب الازدحام: حالة سرعات التشتت المتساوية ، الشرج غير الخطي., 11 (1987) ، 493-499. دوى: 10.1016 / 0362-546X (87) 90067-8. منحة جوجل

M. Bertsch ، M.E Gurtin ، D. Hilhorst and L.A Peletier ، حول تفاعل المجموعات السكانية التي تتفرق لتجنب الازدحام: الحفاظ على الفصل ، J. الرياضيات. مادة الاحياء, 23 (1985) ، 1-13. دوى: 10.1007 / BF00276555. منحة جوجل

F. Bubba ، B. Perthame ، C. Pouchol and M. Schmidtchen ، Hele-Shaw بحدود نظام من معادلتين للتفاعل (cross-) الانتشار للأنسجة الحية ، قوس. رشيد ميكانيكي. شرجي., 236 (2020) ، 735-766. دوى: 10.1007 / s00205-019-01479-1. منحة جوجل

H. Byrne و M.AJ Chaplain ، نمذجة دور التصاق الخلية الخلوية في نمو وتطور الأورام السرطانية ، النمذجة الرياضية والحاسوبية, 24 (1996) ، 1-17. دوى: 10.1016 / S0895-7177 (96) 00174-4. منحة جوجل

H. Byrne and D. Drasdo ، النماذج الفردية والمستمرة لنمو مجموعات الخلايا: مقارنة ، مجلة البيولوجيا الرياضية, 58 (2009) ، 657-687. دوى: 10.1007 / s00285-008-0212-0. منحة جوجل

J.A Carrillo، S. Fagioli، F. Santambrogio and M. Schmidtchen، Splitting schemes & amp؛ ampeparation in reaction- (cross-) الانتشار أنظمة ، SIAM J. Math. شرجي., 50 (2018) ، 5695-5718. دوى: 10.1137 / 17M1158379. منحة جوجل

X. Chen ، E. S. Daus and A. Jüngel ، تحليل الوجود العالمي لنظم السكان عبر الانتشار لأنواع متعددة ، قوس. حصة تموينية. ميكانيكي. شرجي., 227 (2018) ، 715-747. دوى: 10.1007 / s00205-017-1172-6. منحة جوجل

X. Chen و A. Jüngel ، متى يكون لأنظمة الانتشار المتقاطع بنية إنتروبيا؟ arXiv: 1908.06873 ، [math.AP] ، 2019. الباحث العلمي من Google

إ. ديبينديتو ، معادلات القطع المكافئ المنحلة، Springer-Verlag ، نيويورك ، 1993. doi: 10.1007 / 978-1-4612-0895-2. منحة جوجل

إل سي إيفانز ، طرق التقارب الضعيفة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، CBMS # 74 ، American Mathematical Society ، 1990. الطبعة الثالثة ، 2002. doi: 10.1090 / cbms / 074. منحة جوجل

جلبارج و إن إس ترودينجر ، المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الدرجة الثانية، Springer-Verlag، Berlin، 1983. doi: 10.1007 / 978-3-642-61798-0. منحة جوجل

M.E Gurtin and A.C Pipkin ، ملاحظة حول تفاعل السكان الذين يتفرقون لتجنب الازدحام ، تطبيق ربع سنوي. رياضيات., 42 (1984) ، 87-94. دوى: 10.1090 / qam / 736508. منحة جوجل

P. Gwiazda ، B. Perthame و A. Świerczewska-Gwiazdak ، نموذج قطعي - مكافئ لنمو الأنسجة ، بالاتصالات المعادلات التفاضلية الجزئية, 44 (2019) ، 1605-1618. دوى: 10.1080 / 03605302.2019.1650064. منحة جوجل

أ.Jüngel ، طريقة الحدود عن طريق الانتروبيا لأنظمة الانتشار المتقاطع ، اللاخطية, 28 (2015) ، 1963-2001. دوى: 10.1088 / 0951-7715 / 28/6/1963. منحة جوجل

لاديزينسكايا ، في.أ.سولونيكوف ون.ن.أورالسيفا ، المعادلات الخطية وشبه الخطية من النوع المكافئ، تران. رياضيات. الدراسات ، المجلد. 23، AMS، Providence، RI، 1968. الباحث العلمي من Google

T. Lorenzi ، A. Lorz و B. Perthame ، على الواجهات بين مجموعات الخلايا ذات القدرات الحركية المختلفة ، النماذج الحركية والمتعلقة, 10 (2017) ، 299-311. دوى: 10.3934 / كرم 20107012. منحة جوجل

J. Simon، Compact مجموعات في الفضاء $ L ^ p (0، TB) $، آن. حصيرة. بورا أبل., 146 (1987) ، 65-96. دوى: 10.1007 / BF01762360. منحة جوجل

ر. تمام ، معادلات نافيير ستوكس: النظرية والتحليل العددي، AMS Chelsea Publishing، Providence، RI، 2001. doi: 10.1090 / chel / 343. منحة جوجل

مراجع:

M. Bertsch ، M.E Gurtin and D. Hilhorst ، حول تفاعل المجموعات السكانية التي تتفرق لتجنب الازدحام: حالة سرعات التشتت المتساوية ، الشرج غير الخطي., 11 (1987) ، 493-499. دوى: 10.1016 / 0362-546X (87) 90067-8. منحة جوجل

M. Bertsch ، M.E Gurtin ، D. Hilhorst and L.A Peletier ، حول تفاعل المجموعات السكانية التي تتفرق لتجنب الازدحام: الحفاظ على الفصل ، J. الرياضيات. مادة الاحياء, 23 (1985) ، 1-13. دوى: 10.1007 / BF00276555. منحة جوجل

F. Bubba ، B. Perthame ، C. Pouchol and M. Schmidtchen ، Hele-Shaw بحدود نظام من معادلتين للتفاعل (cross-) الانتشار للأنسجة الحية ، قوس. رشيد ميكانيكي. شرجي., 236 (2020) ، 735-766. دوى: 10.1007 / s00205-019-01479-1. منحة جوجل

H. Byrne and M.AJ Chaplain ، نمذجة دور التصاق الخلية الخلوية في نمو وتطور السرطانات ، النمذجة الرياضية والحاسوبية, 24 (1996) ، 1-17. دوى: 10.1016 / S0895-7177 (96) 00174-4. منحة جوجل

H. Byrne and D. Drasdo ، النماذج الفردية والمستمرة لنمو مجموعات الخلايا: مقارنة ، مجلة البيولوجيا الرياضية, 58 (2009) ، 657-687. دوى: 10.1007 / s00285-008-0212-0. منحة جوجل

J.A Carrillo، S. Fagioli، F. Santambrogio and M. Schmidtchen، Splitting schemes & amp؛ ampeparation in reaction- (cross-) الانتشار أنظمة ، SIAM J. Math. شرجي., 50 (2018) ، 5695-5718. دوى: 10.1137 / 17M1158379. منحة جوجل

X. Chen ، E. S. Daus and A. Jüngel ، تحليل الوجود العالمي لنظم السكان عبر الانتشار لأنواع متعددة ، قوس. حصة تموينية. ميكانيكي. شرجي., 227 (2018) ، 715-747. دوى: 10.1007 / s00205-017-1172-6. منحة جوجل

X. Chen و A. Jüngel ، متى يكون لأنظمة الانتشار المتقاطع بنية إنتروبيا؟ arXiv: 1908.06873 ، [math.AP] ، 2019. الباحث العلمي من Google

إ. ديبينديتو ، معادلات القطع المكافئ المنحلة، Springer-Verlag ، نيويورك ، 1993. doi: 10.1007 / 978-1-4612-0895-2. منحة جوجل

إل سي إيفانز ، طرق التقارب الضعيفة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، CBMS # 74 ، American Mathematical Society ، 1990. الطبعة الثالثة ، 2002. doi: 10.1090 / cbms / 074. منحة جوجل

جلبارج و إن إس ترودينجر ، المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الدرجة الثانية، Springer-Verlag، Berlin، 1983. doi: 10.1007 / 978-3-642-61798-0. منحة جوجل

M.E Gurtin and A.C Pipkin ، ملاحظة حول تفاعل السكان الذي يتشتت لتجنب الازدحام ، تطبيق ربع سنوي. رياضيات., 42 (1984) ، 87-94. دوى: 10.1090 / qam / 736508. منحة جوجل

P. Gwiazda ، B. Perthame و A. Świerczewska-Gwiazdak ، نموذج قطعي - مكافئ لنمو الأنسجة ، بالاتصالات المعادلات التفاضلية الجزئية, 44 (2019) ، 1605-1618. دوى: 10.1080 / 03605302.2019.1650064. منحة جوجل

A. Jüngel ، طريقة boundedness-by-entropy لأنظمة الانتشار المتقاطع ، اللاخطية, 28 (2015) ، 1963-2001. دوى: 10.1088 / 0951-7715 / 28/6/1963. منحة جوجل

أ.ليديزينكاجا ، في.أ.سولونيكوف ون.ن.أورالسيفا ، المعادلات الخطية وشبه الخطية من نوع القطع المكافئ، تران. رياضيات. الدراسات ، المجلد. 23، AMS، Providence، RI، 1968. الباحث العلمي من Google

T. Lorenzi ، A. Lorz و B. Perthame ، على الواجهات بين مجموعات الخلايا ذات القدرات الحركية المختلفة ، النماذج الحركية والمتعلقة, 10 (2017) ، 299-311. دوى: 10.3934 / كرم 20107012. منحة جوجل

J. Simon، Compact مجموعات في الفضاء $ L ^ p (0، TB) $، آن. حصيرة. بورا أبل., 146 (1987) ، 65-96. دوى: 10.1007 / BF01762360. منحة جوجل

ر. تمام ، معادلات نافيير ستوكس: النظرية والتحليل العددي، AMS Chelsea Publishing، Providence، RI، 2001. doi: 10.1090 / chel / 343. منحة جوجل

أنوتيدا مادزفاموس ، راكيل باريرا. الزخرفة التي يسببها نمو المجال لأنظمة الانتشار والتفاعل مع الانتشار المتقاطع الخطي. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - ب، 2018 ، 23 (7): 2775-2801. دوى: 10.3934 / dcdsb.2018163

أنوتيدا مادزفاموس ، حسيني نداكو ، راكيل باريرا. تحليل الاستقرار لنماذج التفاعل-الانتشار على المجالات المتطورة: تأثيرات الانتشار المتبادل. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة، 2016 ، 36 (4): 2133-2170. دوى: 10.3934 / dcds.2016.36.2133

هيديكي موراكاوا. علاقة بين الانتشار المتقاطع وانتشار التفاعل. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - S.، 2012 ، 5 (1): 147-158. دوى: 10.3934 / dcdss.2012.5.147

كوسوكي كوتو ويوشيو يامادا. على أنظمة الحد لبعض النماذج السكانية ذات الانتشار المتبادل. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - ب، 2012 ، 17 (8): 2745-2769. دوى: 10.3934 / dcdsb.2012.17.2745

مايكل وينكلر وداريوس وروزسيك. مقدمة: تحليل أنظمة الانتشار المتقاطع. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - S.، 2020 ، 13 (2): i-i. دوى: 10.3934 / dcdss.20202i

مصطفى بن دحمان ، كينيث إتش كارلسن. تحليل فئة من أنظمة الانتشار والتفاعل المتدهورة ونموذج المجال البدائي لأنسجة القلب. الشبكات والوسائط غير المتجانسة، 2006 ، 1 (1): 185-218. دوى: 10.3934 / nhm.2006.1.185

هيديكي موراكاوا. حد التفاعل السريع لأنظمة الانتشار والتفاعل. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - S.، 2021 ، 14 (3): 1047-1062. دوى: 10.3934 / dcdss.2020405

روبرت ستيفن كانتريل ، شينرو كاو ، كينج يونج لام ، تيان شيانغ. نموذج PDE للافتراس الداخلي مع الانتشار المتقاطع. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - ب، 2017 ، 22 (10): 3653-3661. دوى: 10.3934 / dcdsb.2017145

يوان لو ، وي مينج ني ، يابينج وو. حول الوجود العالمي لنظام الانتشار المتقاطع. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة، 1998 ، 4 (2): 193-203. دوى: 10.3934 / dcds.1998.4.193

يوان لو ، وي مينج ني ، شوجي يوتسوتاني. تشكيل النمط في نظام الانتشار المتقاطع. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة، 2015 ، 35 (4): 1589-1607. دوى: 10.3934 / dcds.2015.35.1589

ماكسيم بريدن ، كريستيان كوهن ، سينزيا سوريسينا. على تأثير الانتشار المتقاطع في تشكيل النمط. مجلة الديناميات الحسابية، 2021 ، 8 (2): 213-240. دوى: 10.3934 / jcd.2021010

Oleksiy V. Kapustyan، Pavlo O. Kasyanov، José Valero. انتظام عوامل الجذب العالمية لأنظمة انتشار التفاعل مع ما لا يزيد عن النمو التربيعي. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - ب، 2017 ، 22 (5): 1899-1908. دوى: 10.3934 / dcdsb.2017113

تشينغ شان تشو ، يونغ تاو تشانغ ، روي تشاو ، تشينغ ني. الطرق العددية لأنظمة الانتشار والتفاعل القاسية. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - ب، 2007 ، 7 (3): 515-525. دوى: 10.3934 / dcdsb.2007.7.515

لوران ديسفيليتس ، كليمنس فيلنر. طرق الانتروبيا لأنظمة التفاعل-الانتشار. منشورات المؤتمر، 2007 ، 2007 (خاص): 304-312. دوى: 10.3934 / proc.2007.2007.304

A. Dall'Acqua. حلول إيجابية لفئة من أنظمة نشر التفاعل. الاتصالات على التحليل البحت والتطبيقي، 2003 ، 2 (1): 65-76. دوى: 10.3934 / CPaa.2003.2.65

يانشيا وو ، يابينغ وو. وجود موجات متنقلة مع طبقات انتقالية لبعض أنظمة الانتشار المتقاطع المتدهورة. الاتصالات على التحليل البحت والتطبيقي، 2012 ، 11 (3): 911-934. دوى: 10.3934 / cpaa.2012.11.911

زينج صن ، خوسيه أ.كاريلو ، تشي وانغ شو. طريقة Galerkin غير مستمرة عالية المستوى ومستقرة من الانتروبيا لأنظمة تدفق التدرج عبر الانتشار. النماذج الحركية وذات الصلة، 2019 ، 12 (4): 885-908. دوى: 10.3934 / كرم.2019033

يوان لو ، سالومي مارتينيز ، وي مينج ني. على 3 دولارات مرات 3 دولارات لوتكا-فولتيرا أنظمة المنافسة مع الانتشار المتبادل. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة، 2000 ، 6 (1): 175-190. دوى: 10.3934 / dcds.2000.6.175

يابينغ وو ، تشيان شو. وجود وهيكل حالات ثابتة شائكة كبيرة لأنظمة المنافسة S-K-T مع الانتشار المتقاطع. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة، 2011 ، 29 (1): 367-385. دوى: 10.3934 / dcds.2011.29.367

ديتر بوث ، ميشيل بيير. الحد الآني لأنظمة الانتشار والتفاعل مع تفاعل سريع لا رجوع فيه. الأنظمة الديناميكية المنفصلة والمستمرة - S.، 2012 ، 5 (1): 49-59. دوى: 10.3934 / dcdss.2012.5.49


حل تحليلي للديناميكيات غير الخطية لنظام انتشار التفاعل-الاشتعال الذاتي باستخدام طريقة التحلل Adomian المعدلة

تمت دراسة نموذج رياضي لديناميكيات الاشتعال الذاتي لنظام التفاعل-الانتشار في هذا البحث. يتم استخدام طريقة تحليلية تقريبية (طريقة تحلل Adomian المعدلة) لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية في حالة الحالة المستقرة. تم اشتقاق التعبيرات التحليلية لتركيزات مفاعل الغاز ودرجة الحرارة لرقم لويس (Le) والمعلمات

. علاوة على ذلك ، في هذا العمل ، تم الإبلاغ أيضًا عن المحاكاة العددية للمشكلة باستخدام برنامج MATLAB. لوحظ وجود اتفاق بين النتائج التحليلية والرقمية.

1 المقدمة

الظواهر الديناميكية اللاخطية في عملية الاحتراق هي مجال نشط للبحث التجريبي والنظري. يمكن اعتبار النماذج الرياضية التي تصف هذه الظاهرة على أنها أنظمة ديناميكية غير خطية. تم تطوير التوصيف الديناميكي لمثل هذه النماذج بواسطة Continillo et al. [1]. تؤدي المحاكاة العددية التفصيلية للاشتعال الذاتي لمخزونات الفحم إلى مراقبة الأنظمة الثابتة. لاستقصاء هذه الظاهرة بشكل أفضل ، تمت مناقشة نموذجين مبسّطين للمعلمات الموزعة يشتملان على التوصيل الحراري والانتشار الشامل وتفاعل أرينيوس الكيميائي الطارد للحرارة بخطوة واحدة. تم حل كلا المعادلتين النموذجيتين باستخدام مخططات الفروق المحدودة المباشرة [2]. تمثل مشكلة الاشتعال التلقائي لمخزونات الفحم تحديًا بالنسبة للآثار المتعلقة بالسلامة وتعقيدها النظري: يحدث تفاعل الاحتراق التلقائي في طبقة من الوقود الصلب ، بينما يحدث التدفق ، مدفوعًا بالحمل الحراري الطبيعي الناتج عن بداية التدرجات الحرارية داخل الكومة ، يحدث. تشتعل مخزونات الفحم ذاتيًا عندما يولد تفاعل الفحم مع الأكسجين الموجود في الغلاف الجوي حرارة ، أي لا يتم إزالتها بكفاءة تجاه المحيط الخارجي [3]. Continillo et al. [4 ، 5] قاموا بتحليل الاحتراق الذاتي لأكوام الفحم في غياب الحمل الحراري الطبيعي. الظواهر الثلاثة الرئيسية في الاشتعال الذاتي لمخزون الفحم هي الحمل الحراري والتفاعل والانتشار. من ناحية أخرى ، Continillo et al. [6] درس السلوك الديناميكي لكومة الفحم ثنائية الأبعاد أيضًا عن طريق حساب الحمل الحراري الطبيعي. كجزء من دراسة شاملة للتسخين الذاتي لمخزونات الفحم ، تم تطوير نموذج رياضي بسيط. على حد علمنا ، لا توجد تعبيرات تحليلية صارمة لمفاعل الغاز (

) لجميع القيم الممكنة للمعلمات في ظل ظروف الحالة المستقرة. الغرض من هذا البحث هو استنباط تعبيرات تحليلية تقريبية لتركيز الغاز المتفاعل ودرجة الحرارة باستخدام طريقة التحلل Adomian المعدلة.

2. الصياغة الرياضية لمشكلة القيمة الحدية

المعادلات التفاضلية غير الخطية هي تلك الخاصة بنموذج ديناميكي ذو معلمة موزعة للتفاعل غير المتجانس في طبقة أحادية البعد. ينتشر المتفاعل الغازي عبر وسيط التفاعل ويحدث تفاعل كيميائي طارد للحرارة من خطوة واحدة من الدرجة الأولى. يعتمد معدل التفاعل على درجة الحرارة من خلال أرينيوس الأسي. معادلة معدل أرينيوس عبارة عن تعبير رياضي يربط معدل ثابت لتفاعل كيميائي بالقيمة الأسية لدرجة الحرارة. المعادلات غير الخطية النموذجية في شكل بلا أبعاد هي [1]

أين هو تركيز مفاعل الغاز ، درجة الحرارة ، Le هو رقم لويس (النسبة بين الكتلة وانتشار الحرارة) ، هو حرارة التفاعل عديم الأبعاد ، هو معامل ثيل الحراري (نسبة المقياس الزمني للحد الأقصى آلية النقل إلى النطاق الزمني لحركية التفاعل الجوهري [7]) ، وهي طاقة التنشيط عديمة الأبعاد (الحد الأدنى من الطاقة بين الجزيئات المتفاعلة من أجل التصادمات الفعالة بينها). شروط الحدود

في حالة الحالة المستقرة ، تصبح المعادلات

3. الحل التحليلي للديناميكيات اللاخطية لنظام الانتشار الذاتي للتفاعل تحت حالة ثابتة باستخدام طريقة التحلل Adomian المعدلة

في السنوات الأخيرة ، تم إيلاء الكثير من الاهتمام لتطبيق طريقة التحلل الآدومي لحل النماذج العلمية المختلفة [8]. يؤدي التعديل الفعال لطريقة التحلل Adomian القياسية لحل مشكلة القيمة الأولية في معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية إلى إنتاج MADM. يوفر MADM بدون خطي أو اضطراب أو تحول أو تقديري حلاً تحليليًا من حيث سلسلة طاقة لا نهائية متقاربة بسرعة مع شروط قابلة للحساب بسهولة. أظهرت النتائج أن معدل تقارب طريقة التحلل Adomian المعدل أعلى من طريقة التحلل Adomian القياسية [9-13]. باستخدام هذه الطريقة (انظر الملحق أ) ، نحصل على تعبير تحليلي تقريبي لتركيز الغاز المتفاعل () ودرجة الحرارة () (انظر الملحق ب) على النحو التالي:

4. المحاكاة العددية

كما تم حل معادلة الانتشار اللاخطي (3) لشرط الحدود (4) عدديًا. لقد استخدمنا الدالة pdex1 في برنامج MATLAB لحل مشاكل القيمة الأولية للمعادلات التفاضلية غير الخطية عدديًا. تمت مقارنة هذا الحل العددي بنتائجنا التحليلية في الأشكال 1-4. عند المقارنة ، فإنه يعطي اتفاقًا مرضيًا لجميع قيم المعلمات التي لا أبعاد لها , , و . يتم تقديم برنامج MATLAB أيضًا في الخوارزمية 1.

وظيفة pdex4
م = 0
س = لينسبيس (0،1)
ر = لينسبيس (0،100000)
sol = pdepe (m، @ pdex4pde، @ pdex4ic، @ pdex4bc، x، t)
u1 = sol (. 1)
u2 = سول (. 2)
الشكل
المؤامرة (x ، u1 (النهاية ، :))
العنوان ("u1 (x، t)")
xlabel ("المسافة x")
ylabel ("u1 (x، 2)")
%––––––––––––––––––––––––––––––––––
الشكل
المؤامرة (x ، u2 (النهاية ، :))
العنوان ("u2 (x، t)")
xlabel ("المسافة x")
ylabel ("u2 (x، 2)")
%––––––––––––––––––––––––––––––––––
وظيفة


مقابل تنسيق مكاني بلا أبعاد x باستخدام (5) لـ Le = 0.233 ،

= 13.6 ، وقيم مختلفة من


مقابل تنسيق مكاني بلا أبعاد باستخدام (6) لـ Le = 0.233 ،

= 13.6 ، وقيم مختلفة من


مقابل تنسيق مكاني بلا أبعاد x باستخدام (5) لـ Le = 0.233 ،

= 1000 ، وقيم مختلفة من


مقابل تنسيق مكاني بلا أبعاد x باستخدام (6) لـ Le = 0.233 ،

= 1000 ، وقيم مختلفة من

5. مناقشة

تمثل المعادلتان (5) و (6) أبسط شكل من التعبيرات التحليلية التقريبية لتركيز الغاز المتفاعل ودرجة الحرارة لجميع قيم المعلمات

, , , و . رقم Thiele (الحراري) هو نسبة سماكة الطبقة (إل) والانتشار الحراري (). تمثل المعادلة (5) التعبير التحليلي التقريبي الجديد لتركيز الغاز المتفاعل. تمت مقارنة الحل العددي مع النتائج التحليلية الواردة في الأشكال 1-4. تمثل هذه الأرقام ملامح التركيز التحليلي والعددي لمفاعل الغاز ودرجة الحرارة لقيم مختلفة من المعلمات , , و . يمثل الشكل 1 التركيز بدون أبعاد مقابل التنسيق المكاني بلا أبعاد لـ

. يُستنتج من الشكل أن قيمة النقصان عندما تزداد قيمة الطبقة أو سمكها. يوضح الشكل 2 التركيز بدون أبعاد مقابل التنسيق المكاني بلا أبعاد ونستنتج أن درجة الحرارة الخالية من الأبعاد تزداد مع زيادة قيم سماكة الطبقة. يمثل الشكل 3 التركيز بدون أبعاد مقابل التنسيق المكاني بلا أبعاد لقيم. يُستنتج من الشكل أن قيمة النقصان عندما تزداد قيمة طاقة التنشيط عديمة الأبعاد (). يوضح الشكل 4 درجة الحرارة بلا أبعاد مقابل الإحداثيات المكانية بلا أبعاد لقيم الزيادات في درجة الحرارة بلا أبعاد مع زيادة قيم طاقة التنشيط عديمة الأبعاد (). من الشكلين 2 و 4 ، يتضح أن القيمة القصوى للتركيز عديم الأبعاد هي 1 وأن ​​درجة الحرارة تصل إلى أقصى قيمتها عند التنسيق المكاني

. يؤكد الشكل 5 النتائج الواردة في الأشكال من 1 إلى 4.


(أ)
(ب)
(ج)
(د)
(أ)
(ب)
(ج)
(د)

مقابل تنسيق مكاني بلا أبعاد

، (ب) التركيز الطبيعي ثلاثي الأبعاد لمفاعل الغاز

مقابل تنسيق مكاني بلا أبعاد

وطاقة التنشيط بلا أبعاد

، (ج) درجة الحرارة الطبيعية ثلاثية الأبعاد

مقابل تنسيق مكاني بلا أبعاد

، و (د) درجة الحرارة الطبيعية ثلاثية الأبعاد

مقابل تنسيق مكاني بلا أبعاد

وطاقة التنشيط بلا أبعاد

تتم مقارنة نتائجنا التحليلية مع النتائج العددية للتركيز الخالي من الأبعاد في الجدول 1. الحد الأقصى للخطأ النسبي بين النتائج التحليلية ونتائج المحاكاة للتركيز هو 1.3٪. أيضًا في الجدول 2 ، تتم مقارنة نتائجنا التحليلية مع النتائج العددية لدرجة الحرارة الخالية من الأبعاد. لوحظ اتفاق مرض. الحد الأقصى للخطأ النسبي في هذه الحالة هو 0.4٪.


معلومة اضافية

ملاحظة الناشر

تظل Springer Nature محايدة فيما يتعلق بالمطالبات القضائية في الخرائط المنشورة والانتماءات المؤسسية.

يتم دعم XP Cui جزئيًا من قبل National Science Foundation Grant ATD-1222718 وجامعة كاليفورنيا ، Riverside AES-CE RSAP A01869 ZB Yang مدعوم جزئيًا من المعهد الوطني للعلوم الطبية العامة منحة GM100130 JP Shi مدعومة جزئيًا من قبل National Science Foundation Grant DMS -1715651 QY Shi مدعوم جزئيًا من قبل مجلس المنح الدراسية الصيني.


تحليل التشعب لأنظمة انتشار التفاعل على الأسطح التعسفية

في هذا البحث ، نقدم تقنيات حسابية لدراسة تأثير هندسة السطح على تشكيل الأنماط البيولوجية. على وجه الخصوص ، نقوم بدراسة أنظمة انتشار التفاعل غير الخطي (RD) المكونة من عنصرين على الأسطح العشوائية. نحن نبني على التقنيات القياسية للتحليل الخطي وغير الخطي لأنظمة RD ونوسعها لتعمل على شبكات واسعة النطاق للأسطح العشوائية. على وجه الخصوص ، نستخدم تقنيات طيفية لتحليل الاستقرار الخطي لتوصيف وتكوين الأنماط الناشئة عن التجانس بشكل مباشر. نقوم بتطوير تنفيذ باستخدام طرق العناصر المحدودة السطحية والتحليل الرقمي الذاتي لمشغل لابلاس-بلترامي على الشبكات السطحية. بالإضافة إلى ذلك ، نصف تقنية لاستكشاف حلول معادلات RD غير الخطية باستخدام الاستمرارية العددية. هنا ، نقدم نهجًا متعدد الحلول يسمح لنا بتتبع فروع الحل للمعادلات غير الخطية بكفاءة حتى بالنسبة للشبكات واسعة النطاق. أخيرًا ، نوضح عمل إطار العمل الخاص بنا لنظامي RD مع تطبيقات في تكوين الأنماط البيولوجية: نموذج Brusselator الذي تم استخدامه لنمذجة تطوير الأنماط على أطراف النبات النامية ، ونموذج كيميائي لتشكيل أنماط تصبغ الجلد. بينما تم استخدام هذه النماذج سابقًا في أشكال هندسية بسيطة ، فإن إطارنا يسمح لنا بدراسة تأثير الأشكال الهندسية التعسفية على الأنماط الناشئة.

الكلمات الدالة: تحليل التشعب تتبع الفروع عبر الانتشار أنظمة واسعة النطاق تحليل الاستقرار الخطي تحليل الاستقرار الهامشي نهج متعدد الشبكات غير الخطية تشكيلات نمط التفاعل انتشار التفاعل السطحي FEMs.


مشروع ستاكس

بالنظر إلى فئة مثلثة وفئة فرعية مثلثة ، يمكننا إنشاء فئة مثلثة أخرى من خلال أخذ "حاصل القسمة". يستخدم البناء الترجمة. يشبه هذا حاصل قسمة فئة أبليان بواسطة فئة فرعية Serre ، انظر Homology ، القسم 12.10. قبل أن نقوم بالبناء الفعلي ، نناقش بإيجاز حبات المسامير الدقيقة.

التعريف 13.6.1. اسمحوا $ mathcalتكون فئة مسبقة التثليث. نقول فئة فرعية كاملة مسبقة التثليث $ mathcal'$ من $ mathcal$ هو مشبع إذا كان كلما كان $ X oplus Y $ متشابهًا مع كائن $ mathcal'$ ثم $ X $ و $ Y $ متماثلان لكائنات $ mathcal'$.

تسمى الفئة الفرعية المثلثة المشبعة أحيانًا أ فئة فرعية كثيفة مثلثة. في بعض المراجع ، يتم استخدام هذا فقط للفئات الفرعية الكاملة المثلثة (وأحيانًا يتم كتابة التعريف بحيث يشير إلى الصرامة). هناك فكرة أخرى ، أن épaisse فئة فرعية مثلثة. التعريف هو ذلك معطى مخطط تبادلي

حيث يكون السطر الثاني مثلثًا مميزًا و $ S $ و $ T $ متشابه لكائنات $ mathcal'$ ، ثم أيضًا $ X $ و $ Y $ متماثلان لكائنات $ mathcal"$. اتضح أن هذا يعادل التشبع (هذا أساسي ويمكن العثور عليه في [مشتق من ريكارد]) ومفهوم الفئة المشبعة أسهل في العمل معه.

Lemma 13.6.2. دع $ F: mathcal إلى الرياضياتيكون $ ممولًا دقيقًا للفئات سابقة التثليث. اسمحوا $ mathcal'' يكون $ الفئة الفرعية الكاملة لـ $ mathcal$ مع الأشياء

ثم $ mathcal'' $ عبارة عن فئة فرعية كاملة مشبعة مسبقًا مثلثة من $ mathcal$. إذا $ mathcal$ فئة مثلثة ، ثم $ mathcal'' $ فئة فرعية مثلثة.

دليل. من الواضح أن $ mathcalتم الاحتفاظ بـ '' $ تحت $ [1] $ و $ [- 1] $. إذا كان $ (X، Y، Z، f، g، h) $ مثلث مميز من $ mathcal$ و $ F (X) = F (Y) = 0 دولار ، ثم أيضًا $ F (Z) = 0 $ مثل $ (F ​​(X) ، F (Y) ، F (Z) ، F (f) ، F (g)، F (h)) $ مميز. ومن ثم يمكننا تطبيق Lemma 13.4.16 لمعرفة ذلك $ mathcal'' $ فئة فرعية مُثلثة مسبقًا (على التوالي فئة فرعية مثلثة إذا $ mathcal$ فئة مثلثة). التأكيد النهائي للتشبع يتبع من $ F (X) oplus F (Y) = 0 Rightarrow F (X) = F (Y) = 0 $. $ مربع $

ثم $ mathcal'$ عبارة عن فئة فرعية مشبعة مسبقًا ومثلثة تمامًا من $ mathcal$. إذا $ mathcal$ فئة مثلثة ، ثم $ mathcal'$ فئة فرعية مثلثة.

دليل. من الواضح أن $ mathcal'$ محجوز تحت $ [1] $ و $ [- 1] $. إذا كان $ (X، Y، Z، f، g، h) $ مثلث مميز من $ mathcal$ و $ H (X [n]) = H (Y [n]) = 0 $ لكل $ n $ ، ثم أيضًا $ H (Z [n]) = 0 $ لكل $ n $ بالتسلسل الدقيق الطويل (13.3.5.1). ومن ثم يمكننا تطبيق Lemma 13.4.16 لمعرفة ذلك $ mathcal'$ عبارة عن فئة فرعية مسبقة المثلث (على التوالي فئة فرعية مثلثة إذا $ mathcal$ فئة مثلثة). التأكيد على التشبع يتبع من

للجميع $ n in mathbf$. $ مربع $

كل منها عبارة عن فئة فرعية مشبعة مسبقًا مثلثة كاملة من $ mathcal$. إذا $ mathcal$ عبارة عن فئة مثلثة ، ثم كل فئة فرعية مثلثة.

دليل. دعونا نثبت هذا مقابل $ mathcal_ H ^ <+> $. من الواضح أنه تم الاحتفاظ بها تحت $ [1] $ و $ [- 1] $. إذا كان $ (X، Y، Z، f، g، h) $ مثلث مميز من $ mathcal$ و $ H (X [n]) = H (Y [n]) = 0 $ للجميع $ n ll 0 $ ، ثم أيضًا $ H (Z [n]) = 0 $ للجميع $ n ll 0 $ بالتسلسل الدقيق الطويل (13.3.5.1). ومن ثم يمكننا تطبيق Lemma 13.4.16 لمعرفة ذلك $ mathcal_ H ^ <+> $ فئة فرعية مُثلثة مسبقًا (على التوالي فئة فرعية مثلثة إذا $ mathcal$ فئة مثلثة). التأكيد على التشبع يتبع من

للجميع $ n in mathbf$. $ مربع $

التعريف 13.6.5. اسمحوا $ mathcalأن تكون فئة مثلثة (قبل).

دع $ F: mathcal إلى الرياضيات$ كن ممتلئًا دقيقًا. ال نواة $ F $ هي الفئة الفرعية المثلثة المشبعة بالكامل (مسبقًا) الموصوفة في Lemma 13.6.2.

يُشار إلى هذه أحيانًا $ mathop < mathrm> (F) $ or $ mathop < mathrm> (H) $.

إثبات اللمة التالية يستخدم TR4.

Lemma 13.6.6. اسمحوا $ mathcalيكون فئة مثلثة. اسمحوا $ mathcal'مجموعة فرعية رياضياتيكون فئة فرعية كاملة مثلثة. جلس

إذن $ S $ هو نظام مضاعف متوافق مع البنية المثلثة على $ mathcal$. في هذه الحالة ما يلي متكافئ

$ S $ هو نظام مضاعف مشبع ،

$ الرياضيات'$ فئة فرعية مثلثة مشبعة.

دليل. لإثبات التأكيد الأول ، يتعين علينا إثبات أن MS1 و MS2 و MS3 و MS5 و MS6 تمسك بهما.

إثبات MS1. من الواضح أن الهويات موجودة في $ S $ لأن $ (X، X، 0، 1، 0، 0) $ مميز لكل كائن $ X $ من $ mathcal$ ولأن $ كائن من $ mathcal"$. لنفترض أن $ f: X to Y $ و $ g: Y to Z $ يكونان أشكالًا قابلة للتكوين متضمنة في $ S $. اختر المثلثات المميزة $ (X، Y، Q_1، f، p_1، d_1) $، $ (X، Z، Q_2، g circ f، p_2، d_2) $، and $ (Y، Z، Q_3، g، p_3 ، د_3) $. من خلال الافتراض ، نعلم أن $ Q_1 $ و $ Q_3 $ متماثلان لكائنات $ mathcal"$. بواسطة TR4 نعلم أن هناك مثلثًا مميزًا $ (Q_1، Q_2، Q_3، a، b، c) $. منذ $ mathcal'$ عبارة عن فئة فرعية مثلثة نستنتج أن $ Q_2 $ متماثل مع كائن $ mathcal"$. ومن ثم $ g circ f in S $.

إثبات MS3. لنفترض أن $ a: X to Y $ يكون تحولًا ودع $ t: Z to X $ يكون عنصرًا في $ S $ بحيث يكون $ a circ t = 0 $. لإثبات LMS3 ، يكفي العثور على $ s in S $ بحيث يكون $ s circ a = 0 $ ، مقارنة بإثبات Lemma 13.5.3. اختر مثلثًا مميزًا $ (Z ، X ، Q ، t ، g ، h) $ باستخدام TR1 و TR2. نظرًا لأن $ a circ t = 0 $ نراه بواسطة Lemma 13.4.2 ، فهناك شكل تحويل $ i: Q to Y $ بحيث أن $ i circ g = a $. أخيرًا ، باستخدام TR1 مرة أخرى ، يمكننا اختيار المثلث $ (Q ، Y ، W ، i ، s ، k) $. هذه صورة

منذ $ t في S $ ، نرى أن $ Q $ متماثل مع كائن $ mathcal"$. ومن ثم $ s in S $. أخيرًا ، $ s circ a = s circ i circ g = 0 $ as $ s circ i = 0 $ بواسطة Lemma 13.4.1. نستنتج أن LMS3 يحمل. إثبات RMS3 مزدوج.

إثبات MS5. يتبع كمثلثات مميزة و $ mathcal'$ مستقرة تحت الترجمات

إثبات MS6. افترض أنك أعطيت مخططًا تبادليًا

مع $ s ، s ' in S $. من خلال الاقتراح 13.4.23 يمكننا تمديد هذا إلى مخطط تسعة مربعات. نظرًا لأن $ s ، s '$ هي عناصر $ S $ ، نرى أن $ X' '، Y' '$ متماثلان لكائنات $ mathcal"$. منذ $ mathcal'$ عبارة عن فئة فرعية كاملة مثلثة ، نرى أن $ Z' '$ هو أيضًا متماثل لكائن $ mathcal"$. من هنا فإن التحويل من $ Z to Z '$ هو عنصر $ S $. هذا يثبت MS6.

MS2 هو نتيجة رسمية لـ MS1 و MS5 و MS6 ، انظر Lemma 13.5.2. ينتهي هذا برهان التأكيد الأول على اللمة.

لنفترض أن $ S $ مشبع. (في ما يلي سنستخدم دوران المثلثات المميزة دون ذكر المزيد.) دع $ X oplus Y $ يكون كائنًا متماثلًا لكائن $ mathcal"$. ضع في اعتبارك التحويل إلى $ f: 0 to X $. التركيب to X to X oplus Y $ هو عنصر $ S $ مثل $ (0، X oplus Y، X oplus Y، 0، 1، 0) $ هو مثلث مميز. التركيب $ Y [-1] to 0 to X $ هو عنصر $ S $ مثل $ (X، X oplus Y، Y، (1، 0)، (0، 1)، 0) $ هو مثلث مميز ، انظر Lemma 13.4.11. ومن ثم ، فإن to X $ هو عنصر $ S $ (حيث $ S $ مشبع). وبالتالي ، فإن $ X $ يتشابه مع كائن $ mathcal'$ حسب الرغبة.

أخيرًا ، افترض $ mathcal'$ فئة فرعية مثلثة مشبعة. يترك

أن تكون أشكالًا قابلة للتكوين لـ $ mathcal$ مثل أن $ fg ، gh in S $. سنقوم ببناء صورة للأشياء كما في الرسم البياني أدناه.

اختر أولاً المثلثات المميزة $ (W، X، Q_1) $، $ (X، Y، Q_2) $، $ (Y، Z، Q_3) $ $ (W، Y، Q_ <12>) $، $ (X) ، Z، Q_ <23>) $. قم بالإشارة إلى $ s: Q_2 to Q_1 [1] $ التركيبة $ Q_2 to X [1] to Q_1 [1] $. قم بتدوين $ t: Q_3 to Q_2 [1] $ التركيبة $ Q_3 to Y [1] to Q_2 [1] $. بواسطة TR4 المطبقة على التركيبة $ W to X to Y $ والتركيب $ X to Y to Z $ توجد مثلثات مميزة $ (Q_1، Q_ <12>، Q_2) $ و $ (Q_2، Q_ < 23>، Q_3) $ التي تستخدم الأشكال $ s $ و $ t $. الكائنان $ Q_ <12> $ و $ Q_ <23> $ متماثلان لكائنات $ mathcalيفترض أن '$ as $ W to Y $ و $ X to Z $ في $ S $. ومن ثم فإن $ s [1] t $ هو عنصر $ S $ حيث يتم إغلاق $ S $ في ظل التركيبات والتحولات. لاحظ أن $ s [1] t = 0 $ مثل $ Y [1] to Q_2 [1] to X [2] $ صفر ، راجع Lemma 13.4.1. ومن ثم فإن $ Q_3 [1] oplus Q_1 [2] $ متماثل مع كائن $ mathcal$ ، راجع Lemma 13.4.11. من خلال الافتراض على $ mathcalاستنتجنا أن $ Q_3 $ و $ Q_1 $ متماثلان لكائنات $ mathcal"$. بالنظر إلى المثلث المميز $ (Q_1، Q_ <12>، Q_2) $ نستنتج أن $ Q_2 $ هو أيضًا متماثل لكائن $ mathcal"$. بالنظر إلى المثلث المميز $ (X، Y، Q_2) $ نستنتج أخيرًا أن $ g in S $. (يتبع ذلك أيضًا $ h ، f in S $ ، لكننا لسنا بحاجة إلى هذا.) $ square $

التعريف 13.6.7. اسمحوا $ mathcalيكون فئة مثلثة. اسمحوا $ mathcalيكون فئة فرعية كاملة مثلثة. نحدد ال فئة الحاصل $ mathcal/ رياضيات$ بالصيغة $ mathcal/ رياضيات = S ^ <-1> mathcal$ ، حيث $ S $ هو النظام المضاعف لـ $ mathcalيرتبط $ بـ $ mathcal$ عبر Lemma 13.6.6. دالة الترجمة $ Q: mathcal إلى الرياضيات/ رياضيات$ يسمى حاصل القسمة في هذه الحالة.

لاحظ أن حاصل القسمة $ Q: mathcal إلى الرياضيات/ رياضيات$ هو عامل تحويل دقيق للفئات المثلثة ، راجع الاقتراح 13.5.5. الملكية العامة لهذا البناء هي التالية.

Lemma 13.6.8. اسمحوا $ mathcalأن تكون فئة مثلثة. اسمحوا $ mathcalتكون فئة فرعية كاملة مثلثة من $ mathcal$. دع $ Q: mathcal إلى الرياضيات/ رياضيات$ كن ممتلئ الحاصل.

إذا كان $ F: mathcal إلى الرياضيات'$ هو ممول دقيق في فئة مسبقة التثليث $ mathcal'$ مثل هذا $ mathcal مجموعة فرعية mathop < mathrm> (F) $ إذًا يوجد عامل فريد $ F ': mathcal/ رياضيات إلى الرياضيات'$ مثل أن $ F = F' circ Q $ و $ F '$ هو عامل تحويل دقيق أيضًا.

دليل. هذه اللمة تتبع Lemma 13.5.6. وبالتحديد ، إذا كان $ f: X to Y $ هو شكل من أشكال $ mathcal$ مثل هذا المثلث المميز $ (X، Y، Z، f، g، h) $ يكون الكائن $ Z $ متماثلًا مع كائن $ mathcal$ ، ثم $ H (f) $ ، resp. $ F (f) $ هو تماثل في ظل افتراضات (1) ، على التوالي. (2). تم حذف التفاصيل. $ مربع $

يمكن وصف نواة حاصل القسمة على النحو التالي.

Lemma 13.6.9. اسمحوا $ mathcalيكون فئة مثلثة. اسمحوا $ mathcalيكون فئة فرعية كاملة مثلثة. نواة حاصل القسمة $ Q: mathcal إلى الرياضيات/ رياضيات$ هي الفئة الفرعية الكاملة تمامًا لـ $ mathcal$ الذي تكون أغراضه

بمعنى آخر ، إنها أصغر فئة فرعية مثلثة مشبعة كاملة تمامًا من $ mathcal$ يحتوي على $ mathcal$.

دليل. لاحظ أولاً أن النواة هي تلقائيًا فئة فرعية مثلثة كاملة تحتوي على ملخصات لأي من كائناتها ، راجع Lemma 13.6.2. وصف كائناتها يتبع من التعريفات وجزء Lemma 13.5.7 (4). $ مربع $

اسمحوا $ mathcalأن تكون فئة مثلثة. في هذه المرحلة ، لدينا إنشاءات تحث على الحفاظ على الخرائط بين

مجموعة الأنظمة المضاعفة المرتبة جزئيًا $ S $ في $ mathcal$ متوافق مع الهيكل المثلث ، و

المجموعة المرتبة جزئياً من الفئات الفرعية المثلثة الكاملة $ mathcal مجموعة فرعية رياضيات$.

وبالتحديد ، يتم إعطاء الإنشاءات بواسطة $ S mapsto mathcal(S) = mathop < mathrm> (س: رياضيات إلى S ^ <-1> mathcal) $ و $ mathcal mapsto S ( mathcal) $ حيث $ S ( mathcal) $ هو المجموعة المضاعفة لـ (13.6.6.1) أي ،

لاحظ أنه ليس صحيحًا أن هذه العمليات معكوسة بشكل متبادل.

Lemma 13.6.10. اسمحوا $ mathcalيكون فئة مثلثة. العمليات الموصوفة أعلاه لها الخصائص التالية

$ S ( mathcal(S)) $ هو "تشبع" $ S $ ، أي أنه أصغر نظام مضاعف مشبع في $ mathcal$ يحتوي على $ S $ و

$ الرياضيات(S ( mathcal)) $ هو "تشبع" $ mathcal$ ، أي ، هو أصغر فئة فرعية مثلثة مشبعة كاملة تمامًا من $ mathcal$ يحتوي على $ mathcal$.

على وجه الخصوص ، تحدد الإنشاءات الخرائط العكسية المتبادلة بين مجموعة (مرتبة جزئيًا) من أنظمة الضرب المشبعة في $ mathcalمتوافق مع الهيكل المثلث على $ mathcal$ والمجموعة (مرتبة جزئيًا) من الفئات الفرعية المثلثة المشبعة الكاملة تمامًا من $ mathcal$.

دليل. أولاً ، لنبدأ بفئة فرعية كاملة مثلثة $ mathcal$. ثم $ mathcal(S ( mathcal)) = mathop < mathrm> (س: رياضيات إلى الرياضيات/ رياضيات) $ وبالتالي (2) هو محتوى Lemma 13.6.9.

بعد ذلك ، افترض أن $ S $ هو نظام مضاعف في $ mathcalمتوافق مع التثليث على $ mathcal$. ثم $ mathcal(S) = mathop < mathrm> (س: رياضيات إلى S ^ <-1> mathcal) $. ومن ثم (باستخدام Lemma 13.4.9 في الفئة المترجمة)

في تدوين الفئات ، Lemma 4.27.21. البيان الختامي لتلك اللمة ينهي الإثبات. $ مربع $

Lemma 13.6.11.2 تحديث دع $ H: mathcal to mathcal $ يكون وظيفيًا متماثلًا من فئة مثلثة $ mathcal$ لفئة أبيلية $ mathcal $ ، راجع التعريف 13.3.5. الفئة الفرعية $ mathop < mathrm> (H) $ من $ mathcal$ عبارة عن فئة فرعية مثلثة مشبعة كاملة تمامًا من $ mathcal$ التي يكون نظامها الضرب المشبع المقابل (انظر Lemma 13.6.10) هو المجموعة

عوامل المنحنى $ H $ من خلال معامل الحاصل $ Q: mathcal إلى الرياضيات/ mathop < mathrm> (H) $.

دليل. الفئة $ mathop < mathrm> (H) $ فئة فرعية مثلثة مشبعة كاملة تمامًا من $ mathcal$ بواسطة Lemma 13.6.3. المجموعة $ S $ عبارة عن نظام مضاعف مشبع متوافق مع البنية المثلثة بواسطة Lemma 13.5.4. تذكر أن نظام الضرب المقابل لـ $ mathop < mathrm> (H) $ هي المجموعة

من خلال التسلسل الطويل الدقيق المتسلسل ، انظر (13.3.5.1) ، من الواضح أن $ f $ عنصر من هذه المجموعة إذا وفقط إذا كان $ f $ عنصرًا من $ S $. أخيرًا ، تحليل العوامل $ H $ إلى $ Q $ هو نتيجة لـ Lemma 13.6.8. $ مربع $


طريقة النواة عالية الترتيب لمعادلات الانتشار والتفاعل-الانتشار على الأسطح

نقدم في هذا البحث طريقة نواة عالية المستوى لحل المعادلات التفاضلية الجزئية للانتشار والتفاعل والانتشار العددي (PDEs) على الأسطح الملساء المغلقة والمضمنة في ( mathbb^ د ). للأسطح ثنائية الأبعاد المضمنة في ( mathbb^ 3 ) ، فقد حظيت هذه الأنواع من المشاكل باهتمام متزايد في علم الأحياء والكيمياء ورسومات الكمبيوتر لنمذجة أشياء مثل انتشار المواد الكيميائية على الخلايا أو الأغشية البيولوجية ، وتشكيلات الأنماط في علم الأحياء ، والمذبذبات الكيميائية غير الخطية في الوسائط المثيرة ، وتخطيطات النسيج . تعتمد طريقة kernel الخاصة بنا على وظائف الأساس الشعاعي وتستخدم نهجًا شبه منفصل (أو طريقة الخطوط) حيث يتم تقريب مشغلي مشتقات السطح التي تظهر في PDEs باستخدام التجميع. تتطلب الطريقة فقط عقدًا في مواقع "مبعثرة" على السطح والمتجهات العادية المقابلة على السطح. بالإضافة إلى ذلك ، فإنه لا يعتمد على أي مقاييس سطحية ويتجنب أي أنظمة إحداثيات جوهرية ، وبالتالي لا يعاني من أي تشوهات في الإحداثيات أو تفردات.نحن نقدم تقديرات الخطأ لمشغلي المشتقات السطحية التقريبية القائمة على النواة وندرس رقميًا دقة واستقرار الطريقة. يتم أيضًا تقديم تطبيقات للأنظمة غير الخطية المختلفة من أجهزة PDE التي تنشأ في علم الأحياء والكيمياء.

هذه معاينة لمحتوى الاشتراك ، والوصول عبر مؤسستك.


تخصيص

لوصف مشكلة انتشار التفاعل في NEURON ، ابدأ بتحميل مكتبة rxd:

ثم أجب عن الأسئلة الثلاثة: أين ومن وكيف.

أين

نبدأ بتحديد المجال ، أي أين تحدث الديناميكيات؟ بالنسبة للعديد من عمليات محاكاة الفيزيولوجيا الكهربية ، فإن المجالات ذات الصلة الوحيدة هي غشاء البلازما أو الأحجام المجاورة له مباشرة على كلا الجانبين ، لأن هذه هي المناطق المسؤولة عن توليد جهد الفعل. على النقيض من ذلك ، تتمتع نماذج بيولوجيا الخلية بديناميكيات تمتد لمجموعة أكثر تنوعًا من المواقع. بالإضافة إلى المناطق الثلاث السابقة ، غالبًا ما تلعب الشبكة الإندوبلازمية (ER) والميتوكوندريا والغلاف النووي أدوارًا رئيسية.

تُستخدم فئة rxd.Region لوصف المجال:

في أبسط استخدام لها ، تأخذ rxd.Region ببساطة لغة Python القابلة للتكرار (مثل قائمة أو قائمة أقسام h) لكائنات القسم h. في هذه الحالة ، يكون المجال هو الجزء الداخلي من الأقسام ، لكن التركيزات لأي نوع تم إنشاؤه في مثل هذا المجال ستكون متاحة فقط من خلال كائن rxd.Species وليس من خلال HOC أو NMODL.

مثال: المنطقة في جميع الأقسام:

مثال: المنطقة في أقسام قليلة فقط:

إذا كانت المنطقة التي تصفها تتطابق مع المجال الموجود على الجزء الداخلي المباشر للغشاء ، فقم بتعيين nrn_region = 'i' ، على سبيل المثال

يزداد التركيز في هذه المناطق عندما يتقاطع جزيء من الأنواع محل الاهتمام من خارج الغشاء إلى الداخل عبر آلية NMODL أو kschan. إذا تم تسمية نوع في مثل هذه المنطقة ca ، فيمكن قراءة تركيزاته وتعيينها عبر متغير النطاق NEURON و NMODL.

أيضًا: بالنسبة للمنطقة الواقعة خارج الغشاء مباشرةً (مساحة Frankenhaeuser-Hodgkin) ، استخدم nrn_region = 'o'. للحصول على انتشار كامل خارج الخلية ثلاثي الأبعاد ، حدد المنطقة باستخدام rxd. لمعرفة المزيد عن الانتشار خارج الخلية في NEURON ، راجع Newton et al. ، 2018 أو البرنامج التعليمي للانتشار خارج الخلية.

تتوفر العديد من الأشكال الهندسية البديلة ، بما في ذلك: rxd.membrane ، rxd.inside (هذا هو الإعداد الافتراضي) ، rxd.Shell (المستخدم في مثال الانتشار الشعاعي قريبًا) ، rxd.FractionalVolume (المستخدم في مثال موجة الكالسيوم) ، rxd. FixedCrossSection و rxd.FixedPerimeter.

من هم الممثلين؟ غالبًا ما تكون أنواعًا كيميائية (بروتينات ، أيونات) ، وأحيانًا تكون متغيرات حالة (مثل متغير بوابة) ، وفي أوقات أخرى تكون المعلمات التي تختلف في جميع أنحاء المجال جهات فاعلة رئيسية. يمكن وصف هذه الثلاثة باستخدام فئة rxd.Species:

على الرغم من أننا نقدم أيضًا معلمة rxd.State و rxd. للحالة الثانية والثالثة على التوالي. في الوقت الحالي ، هذه مرادفات دقيقة لـ rxd ، الأنواع الموجودة لتعزيز وضوح رمز النموذج ، ولكن من المحتمل أن يتغير هذا في المستقبل (بحيث لا يمكن تغيير الحالات إلا بمرور الوقت عبر كائنات rxd.Rate وكائنات rxd. لن يشغل مساحة في مصفوفة التكامل.)

ملحوظة: يجب أن تتطابق الرسوم مع الرسوم المحددة في ملفات NMODL لنفس الأيون ، إن وجدت.

تعتبر معلمة المناطق إلزامية وهي إما منطقة rxd واحدة أو منطقة متكررة منها ، وتحدد المنطقة (المناطق) التي تحتوي على الأنواع.

اضبط d = على معامل الانتشار لأنواعك ، إن وجد.

حدد خيارًا للوسيطة name = keyword للسماح لمتغيرات الحالة هذه بالتعيين إلى متغيرات النطاق NEURON / NMODL إذا كانت المنطقة nrn_region هي "i" أو "o".

حدد الشروط الأولية عبر الوسيطة الأولية = الكلمة الأساسية. اضبط ذلك إما على ثابت أو دالة تأخذ عقدة (معرّفة أدناه ، وانظر أيضًا هذا المثال).

مثال: لتعيين التركيزات على 47 عند h.finitialize (init_v):

ملحوظة: من أجل الاتساق مع بقية NEURON ، يُفترض أن تكون وحدات التركيز بوحدة ملي مولار. تتضمن العديد من نماذج بيولوجيا الخلية تركيزات بترتيب ميكرومتر من الكالسيوم غالبًا ما يكون أصغر. إلى جانب الحاجة إلى أن تكون متسقة بشأن الوحدات ، فإن هذا له آثار على تكامل الخطوات المتغيرة والذي افتراضيًا له تفاوت مطلق قدره (10 ^ <-3>) أو 1 ميكرومتر. لمعالجة هذا الأمر ، استخدم atolscale للإشارة إلى أنه يجب تحجيم التسامح للمتغير المقابل ، على سبيل المثال

ملحوظة: الأولي هي أيضًا خاصية للأنواع / المعلمة / الولاية ويمكن تغييرها في أي وقت ، كما في:

تحذير: قبل NEURON 7.7 ، كان هناك خطأ في الدعم الأولي: إذا كان الأولي = لا شيء والاسم = لا شيء ، فلن يتغير التركيز في h.finitialize () اللاحقة. السلوك المقصود هو أن هذا سيعيد ضبط التركيز إلى 0.

كيف يتفاعلون؟ تتفاعل الأنواع عبر تفاعل كيميائي واحد أو أكثر. الفئة الأساسية المستخدمة لتحديد التفاعلات هي rxd.

هنا تصف lhs و rhs مخطط التفاعل ويتم التعبير عنها باستخدام المجاميع الحسابية لمضاعفات الأعداد الصحيحة للأنواع. على سبيل المثال ، يمكن كتابة تفاعل لا رجوع فيه لتكوين كلوريد الكالسيوم:

حيث ca و cl هما مثيلات الأنواع rxd.Species و kf معدل التفاعل. نظرًا لأنه لم يتم تحديد custom_dynamics ، فهذا رد فعل جماعي ونظرًا لأن المواد المتفاعلة تحتوي kf على وحدات تبلغ 1 / (مللي ثانية ميكرومتر 2). هذا يتوافق مع نظام المعادلات التفاضلية:

بينما يمكننا أحيانًا تجاهل التفاعلات العكسية نظرًا لوجود حاجز طاقة مرتفع لها ، تشير قوانين الفيزياء إلى أن جميع التفاعلات في الواقع قابلة للعكس. وبالتالي ، فإن المواصفات الأكثر دقة لتفاعل فعل جماعي لكلوريد الكالسيوم تتضمن معدل تفاعل رجعي كيلو بايت هنا بوحدات 1 / مللي ثانية:

بينما يعمل تأثير الكتلة جيدًا للتفاعلات الأولية ، غالبًا ما يكون هذا غير عملي لنمذجة الديناميكيات داخل الخلايا حيث يحتمل أن يكون هناك العديد من التفاعلات الأولية التي تقود التفاعل الذي يمكن ملاحظته. في هذه الحالة ، ننتقل غالبًا إلى النماذج الظاهراتية ، مثل حركية Michelis-Menten أو معادلة Hill. للإشارة إلى هذه في NEURON ، قم بتعيين custom_dynamics = True وحدد المعدلات الأمامية والخلفية كالصيغة المقابلة ، على سبيل المثال

لاحظ أن استخدام حركية Michaelis-Menten للتفاعلات الأنزيمية مناسب فقط في ظل ظروف معينة ، مثل أن تركيز الإنزيم منخفض بالنسبة لتركيز الركيزة.


مراجع

  • 1. A. Caicedo ، F. W. Cruz ، R. Limeira and A. Viana ، معادلة لوجستية منتشرة ذات مصادر مركزة وغير محلية ، رياضيات. طرق تطبيق. علوم.40(16) (2018) 5975-5985. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 2. S. Carillo، V. Valente and G.Vergara Caffarelli، A linear viscoelasticity problem with a single memory kernel: an being and uniqueness result معادلات التكامل التفاضلي26(9-10) (2013) 1115-1125. منحة جوجل
  • 3. S. Carillo، V. Valente and G.Vergara Caffarelli، Heat conduction with memory: A single kernel problem، Evol. يساوي نظرية التحكم3(3) (2014) 399-410. كروسريف ، الباحث العلمي من Google
  • 4. ج. م. تشادام و هـ. م. ين ، معادلة انتشار مع تفاعلات كيميائية موضعية ، بروك. ادنبره الرياضيات. شركة (2)37(1) (1993) 101-118. كروسريف ، الباحث العلمي من Google
  • 5. C. Y. Chan و H. Y. Tian ، انفجار متعدد الأبعاد بسبب مصدر غير خطي مركّز ، J. الرياضيات. شرجي. تطبيق295(1) (2004) 174–190. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 6. C. Y. Chan و H. Y. Tian ، معيار انفجار متعدد الأبعاد بسبب مصدر غير خطي مركّز ، تطبيق رياضيات. بادئة رسالة.19(3) (2006) 298-302. كروسريف ، الباحث العلمي من Google
  • 7. C. Y. Chan و P. Tragoonsirisak ، مشكلة تبريد متعددة الأبعاد بسبب مصدر غير خطي مركّز في ℝ N ، الشرج غير الخطي.69(5-6) (2008) 1494-1514. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 8.MF de Almeida و L.CF Ferreira ، التشابه الذاتي والتماثلات والسلوك المقارب في فضاءات Morrey لمعادلة موجة كسرية ، معادلات التكامل التفاضلي25(9-10) (2012) 957-976. منحة جوجل
  • 9. M. F. de Almeida and A. Viana ، حلول مماثلة لمعادلة الحرارة فائقة الانتشار مع التدرج اللاخطي ، إلكترون. J. المعادلات التفاضلية2016(250) (2016) 1-20. منحة جوجل
  • 10. دي أندرادي وآخرون. ، المعادلات التفاضلية الجزئية شبه الخطية: الحلول العالمية ، اللاخطية الحرجة ونتائج المقارنة ، توبول. طرق الشرج اللاخطي.45(2) (2015) 439-467. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 11. دي أندرادي وأ. فيانا ، معادلات تفاضلية متكاملة مع تطبيقات على معادلة لوحية مع ذاكرة ، رياضيات. نشر.289(17-18) (2016) 2159-2172. كروسريف ، الباحث العلمي من Google
  • 12. دي أندرادي وأ. فيانا ، على معادلة الانتشار والتفاعل الجزئي ، Z. Angew. رياضيات. فيز.68(3) (2017) مقالة 59 ، 11 صفحة كروسريف ، الباحث العلمي من Google
  • 13. K. Deng و H. A. Levine ، دور الدعاة الحرجين في نظرية التفجير: التكملة ، J. الرياضيات. شرجي. تطبيق243(1) (2000) 85-126. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 14.W Desch و R. Grimmer ، خصائص تنعيم معادلات فولتيرا التكاملية التفاضلية الخطية ، SIAM J. Math. شرجي.20(1) (1989) 116-132. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 15. M. Ferreira and N. Vieira ، الحلول الأساسية لمشغلي موجة الانتشار الجزئي والقطع المكافئ ديراك ، J. الرياضيات. شرجي. تطبيق447(1) (2017) 329–353. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 16. L. C.F Ferreira and E.J. Villamizar-Roa ، معادلة حرارية نصف خطية ذات مصدر غير خطي وبيانات أولية غير مستمرة ، رياضيات. طرق تطبيق. علوم.34 (2011) 1910-1919. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 17. فوجيتا ، حول تفجير حلول مشكلة كوشي من أجل u t = Δ u + u 1 + α ، J. فاك. علوم. جامعة. طائفة طوكيو. أنا13 (1966) 109-124. منحة جوجل
  • 18.فوكودا و آر.سوزوكي ، سلوك التفجير لمعادلة حرارية غير خطية بمصدر موضعي في كرة ، J. المعادلات التفاضلية218(2) (2005) 273-291. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 19. C. Giorgi و V. Pata ، السلوك المقارب لمعادلة الحرارة غير الخطية الزائدية مع الذاكرة ، تطبيق المعادلات التفاضلية غير الخطية NoDEA.8(2) (2001) 157–171. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 20. L. Grafakos، تحليل فورييه الكلاسيكي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد. 249 (سبرينغر ، 2008). منحة جوجل
  • 21. د. هنري ، النظرية الهندسية للمعادلات شبه الخطية ، مذكرات محاضرات في الرياضيات ، المجلد. 840 (سبرينغر فيرلاغ ، 1980). منحة جوجل
  • 22. H. Hirata و C.Miao ، تقديرات الزمكان للتدفق الخطي والتطبيق على بعض المعادلات التفاضلية التكاملية غير الخطية المقابلة لمشتق زمني كسري ، حال. المعادلات التفاضلية7(2) (2002) 217-236. منحة جوجل
  • 23. B. Hu، نظريات التفجير للمعادلات شبه الخطية ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات (سبرينغر ، 2011). كروسريف ، الباحث العلمي من Google
  • 24. B. Hu and H.-M. يين ، على الأسس الحرجة لمعادلة الحرارة مع حالة الحدود غير الخطية ، آن. إنست. H. بوانكاريه13(6) (1996) 707-732. ISI ، الباحث العلمي من Google
  • 25. J. Kemppainen، J. Siljander، V. Vergara and R. Zacher، Decay Estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in ℝ d، رياضيات. آن.366(3-4) (2016) 941-979. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 26. A. A. Kilbas، H. M. Srivastava and J.J. Trujillo، نظرية وتطبيقات المعادلات التفاضلية الكسرية ، دراسات الرياضيات في شمال هولندا ، المجلد. 204 (إلسفير ، 2006). منحة جوجل
  • 27. م. كيران وآخرون. ، عدم وجود حلول عالمية لنظام معادلات الانتشار الجزئي ، اكتا أب. رياضيات.133 (2014) 235 - 248. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 28. A.N. Kochubei ، مشكلة كوشي لمعادلات موجة الانتشار الجزئي ذات المعاملات المتغيرة ، تطبيق شرجي.93(10) (2014) 2211-2242. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 29. H. A. Levine و L.E Payne ، نظريات عدم الوجود لمعادلة الحرارة مع شروط الحدود غير الخطية ومعادلة الوسط المسامي إلى الوراء في الوقت المناسب ، J. المعادلات التفاضلية16 (1974) 319–334. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 30. Y. Luchko و F. Mainardi و Y. Povstenko ، سرعة الانتشار القصوى للحل الأساسي لمعادلة موجة الانتشار الجزئي ، حاسوب. رياضيات. تطبيق66(5) (2013) 774-784. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 31. F. Mainardi، حساب التفاضل والتكامل الكسري والأمواج في اللزوجة الخطية (مطبعة إمبريال كوليدج ، 2010). الرابط ، الباحث العلمي من Google
  • 32. J.Peng and K. Li ، سمة جديدة لمشغل الحل لمشكلة Cauchy المجردة الكسرية ، J. الرياضيات. شرجي. تطبيق385 (2012) 786-796. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 33. J. Prüss، المعادلات التكاملية التطورية والتطبيقات ، دراسات في الرياضيات ، المجلد. 87 (بيركاوسر ، 1993). كروسريف ، الباحث العلمي من Google
  • 34. W. R. Schneider and W. Wyss ، الانتشار الجزئي ومعادلات الموجة ، J. الرياضيات. فيز.30(1) (1989) 134–144. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 35. S. Snoussi ، S. Tayachi و F. B. Weissler ، حلول عالمية متشابهة ذاتيًا من معادلة حرارة نصف خطية عامة ، رياضيات. آن.321(1) (2001) 131-155. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 36. R.-N. وانغ ، د. تشين و T.-J. Xiao ، مجردة مشاكل Cauchy الجزئية مع المشغلين القطاعيين تقريبًا ، J. المعادلات التفاضلية252(1) (2012) 202-235. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 37. S. Wang ، J. Yin and Y. Ke ، المعادلة المتوسطة المسامية ذات المصدر غير الخطي المركز ، تطبيق شرجي.91(1) (2012) 141-156. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 38. F. B. Weissler ، وجود وعدم وجود حلول عالمية لمعادلة حرارية نصف خطية ، إسرائيل J. الرياضيات.38 (1981) 29-40. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 39. X. Yang و Z. Zhou ، مشاكل التفجير لمعادلة الحرارة مع حالة حدود Neumann المحلية غير الخطية ، J. المعادلات التفاضلية261(5) (2016) 2738-2783. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل
  • 40. Q.-G. تشانغ و H.-R. الشمس ، التفجير والوجود العالمي لحلول مشاكل كوشي لمعادلة الانتشار الجزئي الزمني ، توبول. طرق الشرج اللاخطي.46(1) (2015) 69-92. كروسريف ، آي إس آي ، الباحث العلمي من جوجل

كن مصدر إلهام من هؤلاء كتب رياضيات جديدة للإلهام وأحدث المعلومات في مجال البحث الخاص بك!


شاهد الفيديو: الرياضيات: نحو التناسبيةالعلاقات العددية (شهر نوفمبر 2021).