مقالات

2.4: التوزيع الطبيعي - الرياضيات


هناك العديد من أنواع التوزيعات (الأشكال) المختلفة للبيانات الكمية. في القسم 1.5 نظرنا إلى الرسوم البيانية المختلفة ووصفنا أشكالها بأنها متناظرة ومنحرفة إلى اليسار ومنحرفة إلى اليمين. هناك توزيع خاص متماثل الشكل يسمى التوزيع الطبيعي. يبدو وكأنه جرس ، لذلك يطلق عليه أحيانًا منحنى الجرس. تتمثل إحدى خصائص التوزيع الطبيعي في أنه متماثل حول المتوسط. هناك خاصية أخرى تتعلق بنسبة البيانات التي تقع ضمن انحرافات معيارية معينة للمتوسط. تُعرَّف هذه الخاصية على أنها القاعدة التجريبية.

القاعدة التجريبية: بالنظر إلى مجموعة البيانات التي يتم توزيعها بشكل طبيعي تقريبًا:

ما يقرب من 68٪ من البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط.

ما يقرب من 95٪ من البيانات يقع ضمن انحرافين معياريين عن المتوسط.

ما يقرب من 99.7٪ من البيانات يقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط.

لتصور هذه النسب ، انظر الشكل التالي.

ملاحظة: القاعدة التجريبية صحيحة فقط للتوزيعات العادية تقريبًا.

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام القاعدة التجريبية

افترض أن فصلك قد أجرى اختبارًا وكان متوسط ​​الدرجة 75٪ والانحراف المعياري 5٪. إذا كانت درجات الاختبار تتبع توزيعًا طبيعيًا تقريبًا ، فأجب عن الأسئلة التالية:

  1. ما هي نسبة الطلاب الذين حصلوا على درجات بين 65 و 85؟
  2. ما هي النسبة المئوية للطلاب الذين حصلوا على درجات تتراوح بين 65 و 75؟
  3. ما هي نسبة الطلاب الذين حصلوا على درجات بين 70 و 80؟
  4. ما هي النسبة المئوية للطلاب الذين حصلوا على درجات أعلى من 85؟

لحل كل من هذه الأمور ، سيكون من المفيد رسم المنحنى الطبيعي الذي يتبع هذا الموقف. المتوسط ​​هو 75 ، وبالتالي فإن المركز 75. الانحراف المعياري هو 5 ، لذلك لكل سطر فوق المتوسط ​​أضف 5 ولكل سطر أسفل المتوسط ​​طرح 5. يبدو الرسم البياني كما يلي:

  1. من الرسم البياني يمكننا أن نرى أن 95٪ من الطلاب حصلوا على درجات بين 65 و 85.
  2. الدرجات من 65 إلى 75 هي نصف مساحة الرسم البياني من 65 إلى 85. بسبب التناظر ، هذا يعني أن النسبة المئوية لـ 65 إلى 85 هي ½ من 95٪ ، أي 47.5٪.
  3. من الرسم البياني يمكننا أن نرى أن 68٪ من الطلاب حصلوا على درجات بين 70 و 80.
  4. لهذه المشكلة نحن بحاجة إلى القليل من الرياضيات. إذا نظرت إلى المنحنى بأكمله ، فستقول أن 100٪ من جميع درجات الاختبار تقع تحته. لذلك بسبب التناظر ، تقع 50٪ من درجات الاختبار في المنطقة فوق المتوسط ​​و 50٪ من درجات الاختبار تقع في المنطقة التي تقع تحت المتوسط. نعلم من الجزء ب أن النسبة من 65 إلى 75 هي 47.5٪. بسبب التناظر ، فإن النسبة من 75 إلى 85 هي أيضًا 47.5٪. لذا فإن النسبة المئوية فوق 85 هي 50٪ - 47.5٪ = 2.5٪.

عندما ننظر إلى مثال ( PageIndex {1} ) ، ندرك أن الأرقام الموجودة على المقياس لا تقل أهمية عن عدد الانحرافات المعيارية التي يمثلها الرقم عن المتوسط. كمثال ، الرقم 80 هو انحراف معياري واحد عن المتوسط. الرقم 65 هو 2 انحراف معياري عن المتوسط. ومع ذلك ، 80 فوق المتوسط ​​و 65 أقل من المتوسط. لنفترض أننا أردنا معرفة عدد الانحرافات المعيارية للرقم 82 عن المتوسط. كيف لنا أن نفعل ذلك؟ كانت الأرقام الأخرى أسهل لأنها كانت عددًا صحيحًا من الانحرافات المعيارية عن المتوسط. نحن بحاجة إلى طريقة لتحديد هذا. سنستخدم علامة z (تُعرف أيضًا باسم z-value أو الدرجة المعيارية) لقياس عدد الانحرافات المعيارية لقيمة البيانات عن المتوسط. يتم تعريف هذا على أنه:

z- النتيجة: (z = dfrac {x- mu} { sigma} )

حيث (س ) = قيمة البيانات (النتيجة الأولية)

(z ) = قيمة معيارية (درجة z أو قيمة z)

( مو ) = متوسط ​​السكان

( سيجما ) = الانحراف المعياري للسكان

ملاحظة: تذكر أن z-score هي دائمًا عدد الانحرافات المعيارية لقيمة البيانات عن متوسط ​​التوزيع.

افترض أن قيمة البيانات لها درجة z تبلغ 2.13. هذا يخبرنا شيئين. أولاً ، تقول أن قيمة البيانات أعلى من المتوسط ​​، لأنها موجبة. ثانيًا ، يخبرنا أنه يتعين عليك إضافة أكثر من انحرافين معياريين للمتوسط ​​للوصول إلى هذه القيمة. نظرًا لأن معظم البيانات (95٪) تقع ضمن انحرافين معياريين ، فإن أي شيء خارج هذا النطاق يعتبر قيمة غريبة أو غير عادية. تقع الدرجة المعيارية البالغة 2.13 خارج هذا النطاق ، لذا فهي قيمة غير معتادة. كمثال آخر ، افترض أن قيمة البيانات لها درجة z -1.34. يجب أن تكون قيمة البيانات هذه أقل من المتوسط ​​، نظرًا لأن درجة z سالبة ، وتحتاج إلى طرح أكثر من انحراف معياري واحد من المتوسط ​​للوصول إلى هذه القيمة. نظرًا لأن هذا يقع ضمن انحرافين معياريين ، فهي قيمة عادية.

ان قيمة غير عادية لديه درجة z < أو z -score> 2

أ القيمة المعتادة لديه درجة z بين و 2 ، أي (- 2 <درجة z <2 ).

قد تواجه درجات موحدة في تقارير الاختبارات الموحدة أو اختبارات السلوك كما ذكرنا سابقًا.

مثال ( PageIndex {2} ): حساب Z-Scores

افترض أن فصلك قد أجرى اختبارًا ، وكان متوسط ​​الدرجة 75٪ والانحراف المعياري 5٪. إذا كانت درجات الاختبار تتبع توزيعًا طبيعيًا تقريبًا ، فأجب عن الأسئلة التالية:

  1. إذا حصل الطالب على 87 في الاختبار ، فما هي الدرجة المعيارية لذلك الطالب وماذا تعني؟

( مو = 75 ) ، ( سيجما = 5 ) ، و (س = 87 )

(z = dfrac {x- mu} { sigma} )

(= dfrac {87-75} {5} )

(=2.40)

هذا يعني أن الدرجة 87 هي أكثر من انحرافين معياريين فوق المتوسط ​​، وبالتالي فهي تعتبر درجة غير عادية.

  1. إذا حصل الطالب على 73 في الاختبار ، فما هي الدرجة المعيارية لذلك الطالب وماذا تعني؟

( مو = 75 ) ، ( سيجما = 5 ) ، و (س = 73 )

(z = dfrac {x- mu} { sigma} )

(= dfrac {73-75} {5} )

(=-0.40)

هذا يعني أن درجة 73 أقل من نصف الانحراف المعياري تحت المتوسط. تعتبر درجة عادية أو عادية.

  1. إذا حصل الطالب على 54 في الاختبار ، فما هي الدرجة المعيارية لذلك الطالب وماذا تعني؟

( مو = 75 ) ، ( سيجما = 5 ) ، و (س = 54 )

(z = dfrac {x- mu} { sigma} )

(= dfrac {54-75} {5} )

(=-4.20)

يعني أن الدرجة 54 هي أكثر من أربعة انحرافات معيارية أقل من المتوسط ​​، وبالتالي فهي تعتبر درجة غير عادية.

  1. إذا حصلت طالبة على درجة z 1.43 ، فما الدرجة الفعلية التي حصلت عليها في الاختبار؟

( مو = 75 ) ، ( سيجما = 5 ) ، و (ض = 1.43 )

تتضمن هذه المشكلة القليل من الجبر. لا تقلق ، الأمر ليس بهذه الصعوبة. نظرًا لأنك تبحث الآن عن x بدلاً من z ، أعد ترتيب حل المعادلة لـ x على النحو التالي:

(z = dfrac {x- mu} { sigma} )

(z cdot sigma = dfrac {x- mu} { إلغاء { sigma}} cdot إلغاء { سيجما} )

(ض سيجما = س - مو )

(z sigma + mu = x - إلغاء { mu} + إلغاء { mu} )

(س = ض سيغما + مو )

الآن ، يمكنك استخدام هذه الصيغة لإيجاد x عندما يكون لديك z.

(س = ض سيغما + مو )

(س = 1.43 cdot 5 + 75 )

(س = 7.15 + 75 )

(س = 82.15 )

وبالتالي ، فإن الدرجة المعيارية البالغة 1.43 تقابل درجة اختبار فعلية تبلغ 82.15٪.

  1. إذا حصل الطالب على درجة z -2.34 ، فما الدرجة الفعلية التي حصل عليها في الاختبار؟

( مو = 75 ) ، ( سيجما = 5 ) ، و (ض = -2.34 )

استخدم صيغة x من الجزء d من هذه المشكلة:

(س = ض سيغما + مو )

(س = -2.34 cdot 5 + 75 )

(س = -11.7 + 75 )

(س = 63.3 )

وبالتالي ، فإن الدرجة المعيارية البالغة -2.34 تتوافق مع درجة اختبار فعلية تبلغ 63.3٪.

الملخص المكون من خمسة أرقام للتوزيع الطبيعي

بالنظر إلى القاعدة التجريبية ، 99.7٪ من جميع البيانات تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط. هذا يعني أن تقريب القيمة الدنيا في التوزيع الطبيعي هو المتوسط ​​ناقص ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري ، وللحد الأقصى هو المتوسط ​​زائد ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري. في التوزيع الطبيعي ، يكون المتوسط ​​والوسيط هما نفس الشيء. أخيرًا ، يمكن تقريب الربع الأول بطرح 0.67448 ضعف الانحراف المعياري من المتوسط ​​، ويمكن تقريب الربع الثالث بإضافة 0.67448 ضعف الانحراف المعياري إلى المتوسط. كل هذه معًا تعطي ملخصًا مكونًا من خمسة أرقام.

في التدوين الرياضي ، الملخص المكون من خمسة أرقام للتوزيع العادي بمتوسط والانحراف المعياري على النحو التالي:

ملخص من خمسة أرقام لتوزيع عادي

(دقيقة = مو - 3 سيغما )

(Q_ {1} = mu - 0.67448 سيغما )

(med = mu )

(Q_ {3} = mu + 0.67448 سيغما )

(ماكس = مو + 3 سيغما )

مثال ( PageIndex {3} ): حساب الملخص المكون من خمسة أرقام لتوزيع عادي

افترض أن فصلك قد أجرى اختبارًا وكان متوسط ​​الدرجة 75٪ والانحراف المعياري 5٪. إذا كانت درجات الاختبار تتبع توزيعًا طبيعيًا تقريبًا ، فابحث عن ملخص مكون من خمسة أرقام.

المتوسط ​​هو ( mu = 75 ٪ ) والانحراف المعياري هو ( سيجما = 5 ٪ ). وبالتالي ، فإن الملخص المكون من خمسة أرقام لهذه المشكلة هو:

(دقيقة = 75 - 3 (5) = 60 ٪ )

(Q_ {1} = 75 - 0.67448 (5) تقريبًا 71.6 ٪ )

(متوسط ​​= 75 ٪ )

(Q_ {3} = 75 + 0.67448 (5) تقريبًا 78.4 ٪ )

(الحد الأقصى = 75 + 3 (5) = 90 ٪ )


شاهد الفيديو: حل اختبارات سابقة واسئلة خارجية لدرس التوزيع الطبيعي المعياري (شهر نوفمبر 2021).