مقالات

3.1: المعادلات الخطية من الدرجة الثانية - الرياضيات


المعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية العامة من الرتبة الثانية هي

$$
F (x ، u ، Du ، D ^ 2u) = 0 ،
$$
حيث (n ) و (u: Omega subset mathbb {R} mapsto mathbb {R} ^ 1 ) و (Du equiv nabla u ) و (u ) لجميع المشتقات الثانية. يتم إعطاء الدالة (F ) ومنتظمة بشكل كافٍ فيما يتعلق بوسائطها (2n + 1 + n ^ 2 ).

في هذا القسم ننظر في القضية
ابدأ {المعادلة}
التسمية {linsecond}
sum_ {i، k = 1} ^ na ^ {ik} (x) u_ {x_ix_k} + f (x، u، nabla u) = 0.
نهاية {المعادلة}
المعادلة خطي إذا
$$
f = sum_ {i = 1} ^ nb ^ i (x) u_ {x_i} + c (x) u + d (x).
$$
فيما يتعلق بالتصنيف الجزء الرئيسي
$$
sum_ {i، k = 1} ^ n a ^ {ik} (x) u_ {x_ix_k}
$$
يلعب الدور الأساسي. لنفترض (u in C ^ 2 ) ، إذن يمكننا أن نفترض ، دون قيود العمومية ، أن (a ^ {ik} = a ^ {ki} ) ، منذ ذلك الحين
$$
sum_ {i، k = 1} ^ n a ^ {ik} u_ {x_ix_k} = sum_ {i، k = 1} ^ n (a ^ {ik}) ^ star u_ {x_ix_k} ،
$$
أين
$$
(a ^ {ik}) ^ star = frac {1} {2} (a ^ {ik} + a ^ {ki}).
$$
ضع في اعتبارك السطح الفائق ( mathcal {S} ) في (n ) معرّف ضمنيًا بواسطة ( chi (x) = 0 ) ، ( nabla chi not = 0 ) ، انظر الشكل 3.1. 1

الشكل 3.1.1: المشعب الأولي ( mathcal {S} )

افترض أنه تم إعطاء (u ) و ( nabla u ) في ( mathcal {S} ).

مشكلة: هل يمكننا حساب جميع المشتقات الأخرى لـ (u ) في ( mathcal {S} ) باستخدام المعادلة التفاضلية ( المرجع {linsecond} ) والبيانات المقدمة؟

سنجد إجابة إذا عيّننا ( mathcal {S} ) على مستوى فائق ( mathcal {S} _0 ) عن طريق تعيين
ابدأ {eqnarray *}
lambda_n & = & تشي (x_1، ldots، x_n)
lambda_i & = & lambda_i (x_1، ldots، x_n)، i = 1، ldots، n-1،
نهاية {eqnarray *}
للوظائف ( lambda_i ) مثل ذلك
$$
det frac { جزئي ( lambda_1، ldots، lambda_n)} { جزئي (x_1، ldots، x_n)} not = 0
$$
خمارة). من المفترض أن (i ) و (i ) منتظمان بدرجة كافية. مثل هذا التعيين ( lambda = lambda (x) ) موجود ، انظر التمرين.

خرائط التحويل أعلاه ( mathcal {S} ) إلى مجموعة فرعية من المستوي الفائق المحدد بواسطة ( lambda_n = 0 ) ، انظر الشكل 3.1.2.

الشكل 3.1.2: تحويل متعدد مسطح ( mathcal {S} )

سنكتب المعادلة التفاضلية في هذه الإحداثيات الجديدة. هنا نستخدم اصطلاح أينشتاين ، أي أننا نضيف مصطلحات بمؤشرات متكررة. حيث
$$
u (x) = u (x ( lambda)) =: v ( lambda) = v ( lambda (x)) ،
$$
حيث (x = (x_1، ldots، x_n) ) و ( lambda = ( lambda_1، ldots، lambda_n) ) ، نحصل على
ابدأ {eqnarray}
تسمية {معروف}
u_ {x_j} & = & v _ { lambda_i} frac { جزئي lambda_i} { جزئي x_j} ،
u_ {x_jx_k} & = & v _ { lambda_i lambda_l} frac { جزئي lambda_i} { جزئي x_j} frac { جزئي lambda_l} { جزئي x_k} + v _ { lambda_i} frac { جزئي ^ 2 lambda_i} { جزئية x_j جزئية x_k}. غير رقم
نهاية {eqnarray}
ثم يتم إعطاء المعادلة التفاضلية ( ref {linsecond}) في الإحداثيات الجديدة بواسطة
$$
a ^ {jk} (x) frac { جزئي lambda_i} { mathcal {S} _0 = 0.
$$
بما أن (v _ { lambda_k} ( lambda_1، ldots، lambda_ {n-1}، 0) ) ، (n ) ، معروفة ، انظر ( المرجع {معروف}) ، يتبع ذلك (v _ { lambda_k lambda_l} ) ، (l = 1 ، ldots ، n-1 ) ، معروفة في ( mathcal {S} _0 ). وهكذا نعرف جميع المشتقات الثانية (v _ { lambda_i lambda_j} ) على ( mathcal {S} _0 ) باستثناء الوحيد (v _ { lambda_n lambda_n} ).

نتذكر أنه شريطة أن يكون (v ) منتظمًا بدرجة كافية ،
$$
v _ { lambda_k lambda_l} ( lambda_1، ldots، lambda_ {n-1}، 0)
$$
هو حد
$$
frac {v _ { lambda_k} ( lambda_1، ldots، lambda_l + h، lambda_ {l + 1}، ldots، lambda_ {n-1}، 0) -
v _ { lambda_k} ( lambda_1، ldots، lambda_l، lambda_ {l + 1}، ldots، lambda_ {n-1}، 0)} {h}
$$
مثل (ح إلى 0 ).

ثم يمكن كتابة المعادلة التفاضلية كـ
$$
sum_ {j، k = 1} ^ na ^ {jk} (x) frac { جزئي lambda_n} { جزئي x_j} frac { جزئي lambda_n} { جزئي x_k} v _ { lambda_n lambda_n } = mbox {terms known on} mathcal {S} _0.
$$
ويترتب على ذلك أنه يمكننا حساب (v _ { lambda_n lambda_n} ) إذا
ابدأ {المعادلة}
تسمية {nonchar}
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x) chi_ {x_i} chi_ {x_j} not = 0
نهاية {المعادلة}

على ( mathcal {S} ). هذا شرط للمعادلة المحددة وللسطح المحدد ( mathcal {S} ).

تعريف. المعادلة التفاضلية
$$
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x) chi_ {x_i} chi_ {x_j} = 0
$$
يطلق عليه معادلة تفاضلية مميزة المرتبطة بالمعادلة التفاضلية المحددة ( المرجع {linsecond}).

إذا كان ( chi ) ، ( nabla chi not = 0 ) ، هو حل المعادلة التفاضلية المميزة ، فإن السطح المحدد بواسطة ( chi = 0 ) يسمى سطح مميز.

ملاحظة. الشرط ( ref {nonchar}) مُرضٍ لكل ( chi ) مع ( nabla chi not = 0 ) إذا كانت المصفوفة التربيعية ((a ^ {ij} (x)) ) هو تعريف موجب أو سالب لكل (x in Omega ) ، وهو ما يعادل خاصية أن جميع قيم eigenvalues ​​تختلف عن الصفر ولها نفس العلامة. يتبع ذلك نظرًا لوجود ( lambda (x)> 0 ) بحيث ، في حالة أن المصفوفة ((a ^ {ij}) ) محددة ،
$$
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x) zeta_i zeta_j ge lambda (x) | zeta | ^ 2
$$
للجميع ( zeta in mathbb {R} ). هنا وفي ما يلي نفترض أن المصفوفة ((a ^ {ij}) ) حقيقية ومتماثلة.

يتبع توصيف المعادلة التفاضلية ( المرجع {linsecond}) من علامات القيم الذاتية لـ ((a ^ {ij} (x)) ).

تعريف. يُقال أن المعادلة التفاضلية ( ref {linsecond}) من اكتب (( alpha، beta، gamma) ) في (x in Omega ) إذا كانت ( alpha ) قيم eigenvalues ​​لـ ((a ^ {ij}) (x) ) موجبة ، ( beta ) قيم eigenvalues ​​سلبية و ( gamma ) قيم eigenvalues ​​هي صفر ( ( alpha + بيتا + جاما = n )).
على وجه الخصوص ، تسمى المعادلة

بيضاوي الشكل إذا كان من النوع ((n ، 0،0) ) أو من النوع ((0 ، n ، 0) ) ، أي أن جميع قيم eigenvalues ​​مختلفة عن الصفر ولها نفس العلامة ،
قطع مكافئ إذا كانت من النوع ((n-1،0،1) ) أو من النوع ((0، n-1،1) ) ، أي أن قيمة eigenvalue هي صفر وكل الآخرين يختلفون عن الصفر ولها نفس العلامة ،
القطعي إذا كان من النوع ((n-1،1،0) ) أو من النوع ((1، n-1،0) ) ، أي أن جميع قيم eigenvalues ​​مختلفة عن الصفر وقيمة eigenvalue واحدة لها علامة أخرى من كل الآخرين.

ملاحظات:

1. وفقًا لهذا التعريف ، هناك أنواع أخرى بخلاف المعادلات الإهليلجية أو القطع المكافئ أو الزائدي.

2. التصنيف يعتمد بشكل عام على (x in Omega ). مثال على ذلك معادلة تريكومي التي تظهر في نظرية التدفقات العابرة للصوت ،
$$
yu_ {xx} + u_ {yy} = 0.
$$
هذه المعادلة ناقصة الشكل إذا (y> 0 ) ، ومكافئ إذا (y = 0 ) وزائدي لـ (y <0 ).

أمثلة:

المثال 3.1.1:

ال معادلة لابلاس في ( mathbb {R} ^ 3 ) هو ( مثلث u = 0 ) ، حيث
$$
مثلث u: = u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz}.
$$
هذه المعادلة ناقصة لأن لكل متنوع ( mathcal {S} ) مُعطى بواسطة ( {(x، y، z): chi (x، y، z) = 0 } ) ، حيث ( chi ) هي وظيفة اعتباطية منتظمة بدرجة كافية مثل ( nabla chi not = 0 ) ، جميع مشتقات (u ) معروفة في ( mathcal {S} ) ، بشرط ( u ) و ( nabla u ) معروفان في ( mathcal {S} ).

المثال 3.1.2:

ال معادلة الموجة (u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz} ) ، حيث (u = u (x، y، z، t) ) قطعي. مثل هذا النوع يصف تذبذبات الهياكل الميكانيكية ، على سبيل المثال.

المثال 3.1.3:

ال معادلة حرارية (u_t = u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz} ) ، حيث (u = u (x، y، z، t) ) ، هو
قطع مكافئ. يصف ، على سبيل المثال ، انتشار الحرارة في مجال.

المثال 3.1.4:

ضع في اعتبارك أن المعاملات (الحقيقية) (a ^ {ij} ) في المعادلة ( ref {linsecond}) هي { it ثابت}. نتذكر أن المصفوفة (A = (a ^ {ij}) ) متماثلة ، أي (A ^ T = A ). في هذه الحالة ، يؤدي التحويل إلى المحور الأساسي إلى شكل طبيعي يكون من خلاله تصنيف المعادلة واضحًا. دع (U ) تكون المصفوفة المتعامدة المرتبطة ، إذن
$$
U ^ TAU = left ( start {array} {llcl}
lambda_1 & 0 & cdots & 0
0 & lambda_2 & cdots & 0
... & ... & ...\
0 & 0 & cdots & lambda_n
نهاية {مجموعة} يمين).
$$
هنا (U = (z_1، ldots، z_n) ) ، حيث (z_l ) ، (l = 1 ، ldots ، n ) ، هو نظام متعامد من المتجهات الذاتية إلى القيم الذاتية ( lambda_l ).

اضبط (y = U ^ Tx ) و (v (y) = u (Uy) ) ، ثم
ابدأ {المعادلة}
التسمية {hauptachs}
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} u_ {x_ix_j} = sum_ {i = 1} ^ n lambda_iv_ {y_iy_j}.
نهاية {المعادلة}


تصنيف النقاط الحرجة للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية

أعطيت معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية:

.. ويطلب مني تصنيف النقاط الحرجة كنقاط مستقرة أو غير مستقرة أو سرج.

يعد العثور على النقاط الحرجة مهمة سهلة بالنسبة للمعادلة (المعادلات) التفاضلية من الدرجة الأولى ، سواء المعادلة الفردية أو نظام المعادلات. ومع ذلك ، لم أفعل ذلك مطلقًا بالنسبة للمعادلات من الدرجة الثانية أو الأعلى.

لدي فكرة عن كيفية حلها ولكني لست متأكدًا من صحة النهج. هل أنا محق في القول أنني بحاجة إلى تقسيم المعادلة التفاضلية الفردية إلى معادلتين تفاضليتين وإعادة تسمية المصطلحات ذات الصلة؟ القيام بذلك في المعادلة أعلاه يعطي:

بعد ذلك ، أتبع نفس العملية مثل البدء بمجموعة من معادلتين تفاضليتين من الدرجة الأولى. أي ، قم بتعيين $ dot_1 $ و $ dot_2 $ إلى $ ، وحل من أجل تقاطع $ x_1 $ و $ x_2 $ لإيجاد النقاط الثابتة. سيتم بعد ذلك تحديد طبيعة النقاط الثابتة من خلال حساب تتبع ومحدِّد اليعقوبي في النقاط الثابتة المحددة.


سلسلة حلول المعادلات الخطية من الدرجة الثانية

مشكلتي هي أنه بعد ضرب الدوال أمام y ، y '، y' ، يتم جمع كل شيء من n = 0 إلى ∞ لكن الأسس على x لا تتطابق. على سبيل المثال ، يبدو أحد المصطلحات مثل ∑ (n + 1) (n + 2) a n + 2 x n + 2. لا يمكنني فقط إجراء التحويل j = n + 2 ، مما يجعله

لأنه بعد ذلك لدي هؤلاء مرتق أ-2،أ-1 أن يفسد كل شيء. بعبارة أخرى ، أريد جمع كل شيء من n = 0 إلى و يتم تلخيص x n فقط. ثم يمكنني معرفة علاقة التكرار ، ونصف قطر التقارب ، وما إلى ذلك ، يتم تقدير الاقتراحات.

في مشكلة أخرى ، تمكنت من الوصول إلى الهدف

لكي تتحقق هذه المعادلة لجميع x ، يجب أن يكون معامل كل قوة x صفرًا ، ومن ثم استنتج أن

أحاول الآن اكتشاف علاقة التكرار.

لا أدري. هل هذا يبدو صحيحا؟ أنا فقط أحاول معرفة ذلك في رأسي. لنفترض أن هذا صحيح ، فماذا أفعل بعد ذلك بـ a2 ك + 1 الاشياء - كما تعلمون ، أ1،أ3،أ5.


7.1 المعادلات الخطية من الدرجة الثانية

عند العمل مع المعادلات التفاضلية ، عادة ما يكون الهدف هو إيجاد حل. بمعنى آخر ، نريد إيجاد دالة (أو وظائف) تحقق المعادلة التفاضلية. تختلف التقنية التي نستخدمها لإيجاد هذه الحلول ، اعتمادًا على شكل المعادلة التفاضلية التي نعمل بها. المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية لها العديد من الخصائص المهمة التي يمكن أن تساعدنا في تحديد طريقة الحل التي يجب استخدامها. في هذا القسم ، ندرس بعض هذه الخصائص والمصطلحات المرتبطة بها.

المعادلات الخطية المتجانسة

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية

لاحظ أن ذ وتظهر مشتقاته بشكل بسيط نسبيًا. يتم ضربهم بوظائف x، لكنهم لا يرفعون إلى أي قوى هم أنفسهم ، ولا يتكاثرون معًا. كما نوقش في مقدمة المعادلات التفاضلية ، يُقال أن معادلات الدرجة الأولى ذات الخصائص المتشابهة خطية. وينطبق الشيء نفسه على المعادلات من الدرجة الثانية. لاحظ أيضًا أن جميع المصطلحات في هذه المعادلة التفاضلية تشتمل على أي منهما ذ أو أحد مشتقاته. لا توجد شروط تنطوي فقط على وظائف x. معادلات مثل هذه ، حيث يحتوي كل مصطلح ذ أو أحد مشتقاته تسمى متجانسة.

ليست كل المعادلات التفاضلية متجانسة. ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

تعريف

المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية تكون خطية إذا كان من الممكن كتابتها بالشكل

وسائط

قم بزيارة هذا الموقع لمعرفة المزيد عن المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية.

لاحظ أن المعادلات قد لا تُعطى دائمًا في شكل قياسي (النموذج الموضح في التعريف). قد يكون من المفيد إعادة كتابتها في هذا الشكل لتقرير ما إذا كانت خطية ، أو ما إذا كانت المعادلة الخطية متجانسة.

مثال 7.1

تصنيف معادلات الدرجة الثانية

صنف كل من المعادلات التالية على أنها خطية أو غير خطية. إذا كانت المعادلة خطية ، فحدد أيضًا ما إذا كانت متجانسة أو غير متجانسة.

حل

وسائط

قم بزيارة هذا الموقع الذي يناقش المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية.

صنف كل من المعادلات التالية على أنها خطية أو غير خطية. إذا كانت المعادلة خطية ، فحدد أيضًا ما إذا كانت متجانسة أو غير متجانسة.

لاحقًا في هذا القسم ، سنرى بعض التقنيات لحل أنواع معينة من المعادلات التفاضلية. قبل أن نصل إلى ذلك ، دعونا نتعرف على كيفية تصرف حلول المعادلات التفاضلية الخطية. في كثير من الحالات ، يعتمد حل المعادلات التفاضلية على عمل تخمينات مستنيرة حول الشكل الذي قد يبدو عليه الحل. معرفة كيف تتصرف أنواع الحلول المختلفة سيكون مفيدًا.

مثال 7.2

التحقق من الحل

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة

بالنظر إلى هذه المعادلة ، لاحظ أن دوال المعامل متعددة الحدود ، مع وجود قوى أعلى لـ x x مرتبطة بمشتقات ذات رتبة أعلى لـ y. ذ. بيّن أن y = x 3 y = x 3 حل لهذه المعادلة التفاضلية.

حل

على الرغم من أن إيجاد أي حل للمعادلة التفاضلية أمر مهم ، إلا أن علماء الرياضيات والمهندسين غالبًا ما يرغبون في تجاوز الاكتشاف واحد حل المعادلة التفاضلية لإيجاد الكل حلول المعادلة التفاضلية. بعبارة أخرى ، نريد إيجاد حل عام. تمامًا كما هو الحال مع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ، يعطي الحل العام (أو مجموعة الحلول) مجموعة الحلول الكاملة للمعادلة التفاضلية. يتمثل أحد الاختلافات المهمة بين معادلات الدرجة الأولى والمعادلات من الدرجة الثانية في أنه مع المعادلات من الدرجة الثانية ، نحتاج عادةً إلى إيجاد حلين مختلفين للمعادلة لإيجاد الحل العام. إذا وجدنا حلين ، فإن أي مجموعة خطية من هذين الحلين هي أيضًا حل. نذكر هذه الحقيقة على أنها النظرية التالية.

مبدأ التراكب

يتم ترك إثبات نظرية مبدأ التراكب هذا كتدريب.

مثال 7.3

التحقق من مبدأ التراكب

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

حل

إذن ، y (x) = 4 e - x + e 5 x y (x) = 4 e - x + e 5 x هو حل.

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

لسوء الحظ ، لإيجاد الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، لا يكفي إيجاد أي حلين ثم الجمع بينهما. ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

اتضح أنه لإيجاد الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، علينا إيجاد حلين مستقلين خطيًا. نحدد هذا المصطلح هنا.

تعريف

في هذا الفصل ، نختبر عادةً مجموعات من وظيفتين فقط للاستقلالية الخطية ، مما يسمح لنا بتبسيط هذا التعريف. من منظور عملي ، نرى أن وظيفتين تعتمدان خطيًا إذا كانت إحداهما تساوي صفرًا أو إذا كانتا مضاعفات ثابتة لبعضهما البعض.

بعد ذلك ، نوضح أنه إذا كانت هناك وظيفتان تعتمدان خطيًا ، فإما أن تكون إحداهما صفرًا أو تكون مضاعفات ثابتة لبعضها البعض. افترض أن f 1 (x) f 1 (x) و f 2 (x) f 2 (x) مستقلتان خطيًا. ثم ، هناك ثوابت ، ج 1 ج 1 ، ج 2 ، ج 2 ، وليس كلاهما صفر ، مثل هذا

للجميع x على مدى فترة الاهتمام. ثم،

لذا فإن إحدى الدالتين هي نفسها صفر. افترض الآن c 1 ≠ 0. ص 1 0. ثم،

ونلاحظ أن الدوال هي مضاعفات ثابتة لبعضها البعض.

الاعتماد الخطي على وظيفتين

مثال 7.4

اختبار الاعتماد الخطي

حدد ما إذا كانت أزواج الوظائف التالية تعتمد خطيًا أم مستقلة خطيًا.

حل

حدد ما إذا كانت أزواج الدوال التالية مرتبطة خطيًا أم مستقلة خطيًا: f 1 (x) = e x، f 1 (x) = e x، f 2 (x) = 3 e 3 x. و 2 (س) = 3 هـ 3 س.

إذا تمكنا من إيجاد حلين مستقلين خطيًا لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، فيمكننا دمجهما لإيجاد الحل العام. تم ذكر هذه النتيجة رسميًا في النظرية التالية.

حل عام لمعادلة متجانسة

عندما نقول أن مجموعة الوظائف هي الحل العام لمعادلة تفاضلية ، فإننا نعني أن (1) كل تعبير عن هذا النموذج هو حل و (2) يمكن كتابة كل حل للمعادلة التفاضلية بهذا الشكل ، مما يجعل هذا نظرية قوية للغاية. إذا تمكنا من إيجاد حلين مستقلين خطيًا لمعادلة تفاضلية ، فقد وجدنا ذلك بشكل فعال الكل حلول المعادلة التفاضلية - بيان رائع تمامًا. الدليل على هذه النظرية خارج نطاق هذا النص.

مثال 7.5

كتابة الحل العام

حل

معادلات الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

الآن بعد أن أصبح لدينا شعور أفضل بالمعادلات التفاضلية الخطية ، سنركز على حل معادلات الدرجة الثانية للصيغة

نظرًا لأن جميع المعاملات عبارة عن ثوابت ، فمن المحتمل أن تكون الحلول عبارة عن دوال بمشتقات تعد مضاعفات ثابتة لنفسها. نحتاج إلى إلغاء جميع المصطلحات ، وإذا كان أخذ المشتق يقدم مصطلحًا ليس مضاعفًا ثابتًا للدالة الأصلية ، فمن الصعب أن نرى كيف يتم إلغاء هذا المصطلح. الدوال الأسية لها مشتقات هي مضاعفات ثابتة للدالة الأصلية ، لذلك دعونا نرى ما يحدث عندما نجرب حلًا بالصيغة y (x) = e λ x ، y (x) = e λ x ، حيث λ λ (الحرف الصغير الحرف اليوناني لامدا) ثابت بعض الشيء.

نسمي هذا المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية.

تعريف

المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية a y ″ + b y ′ + c y = 0 a y ″ + b y ′ + c y = 0 هي a 2 + b λ + c = 0. أ λ 2 + ب λ + ج = 0.

تعتبر المعادلة المميزة مهمة جدًا في إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية من هذا الشكل. يمكننا حل المعادلة المميزة إما بالتحليل أو باستخدام الصيغة التربيعية

هذا يعطي ثلاث حالات. تحتوي المعادلة المميزة على (1) جذور حقيقية مميزة (2) جذر حقيقي واحد متكرر أو (3) جذور مترافقة معقدة. نحن نعتبر كل من هذه الحالات على حدة.

جذور حقيقية مميزة

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور حقيقية مميزة λ 1 1 و 2 ، λ 2 ، فإن e 1 x e 1 x و e 2 x e λ 2 x هما حلان مستقلان خطيًا للمثال 7.1 ، والحل العام معطى بواسطة

جذر حقيقي واحد متكرر

تكون الأمور أكثر تعقيدًا إذا كانت المعادلة المميزة لها جذر حقيقي متكرر ، λ. λ. في هذه الحالة ، نعلم أن e λ x e λ x هو حل للمعادلة 7.1 ، لكنه حل واحد فقط ونحتاج إلى حلين مستقلين خطيًا لتحديد الحل العام. قد نميل إلى تجربة دالة بالصيغة k e λ x ، k e λ x ، أين ك هي بعض الثوابت ، لكنها لن تكون مستقلة خطيًا عن e λ x. ه λ س. لذلك ، لنجرب x e λ x x e λ x باعتباره الحل الثاني. أولاً ، لاحظ أنه بالصيغة التربيعية ،

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة 7.1 ، نرى ذلك

الجذور المترافقة المعقدة

لقد واجهنا الدوال الأسية ذات الأسس المعقدة في وقت سابق. إحدى الأدوات الرئيسية التي استخدمناها للتعبير عن هذه الدوال الأسية من حيث الجيب وجيب التمام كانت صيغة أويلر ، التي تخبرنا أن

بالعودة إلى الحل العام ، لدينا

بتطبيق صيغة أويلر مع المطابقات cos (- x) = cos x cos (- x) = cos x و sin (- x) = - sin x، sin (- x) = - sin x ، نحصل على

كحل ذي قيمة حقيقية للمعادلة 7.1. وبالمثل ، إذا اخترنا c 1 = - i 2 c 1 = - i 2 و c 2 = i 2 ، c 2 = i 2 ، فإن المصطلح الأول هو صفر ونحصل على

كحل ثاني ذي قيمة حقيقية مستقل خطيًا للمعادلة 7.1.

بناءً على ذلك ، نرى أنه إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور مترافقة معقدة α ± β i ، α ± β i ، فسيتم إعطاء الحل العام للمعادلة 7.1 بواسطة

ملخص النتائج

يمكننا حل المعادلات التفاضلية الخطية والمتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة من خلال إيجاد جذور المعادلة المميزة المرتبطة بها. يختلف شكل الحل العام ، اعتمادًا على ما إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور حقيقية ومميزة ، جذر حقيقي واحد ، متكرر أو جذور مترافقة معقدة. تم تلخيص الحالات الثلاث في الجدول 7.1.

جذور المعادلة المميزة الحل العام للمعادلة التفاضلية
جذور حقيقية مميزة ، λ 1 λ 1 و λ 2 2 y (x) = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x y (x) = c 1 e λ 1 x + c 2 e 2 x
جذر حقيقي متكرر ، λ λ y (x) = c 1 e λ x + c 2 x e x y (x) = c 1 e λ x + c 2 x e x
الجذور المترافقة المعقدة α ± β i α ± β i y (x) = e α x (c 1 cos β x + c 2 sin β x) y (x) = e α x (c 1 cos β x + c 2 sin β x)

استراتيجية حل المشكلات

استراتيجية حل المشكلات: استخدام المعادلة المميزة لحل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

مثال 7.6

حل معادلات الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

أوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية. أعط إجاباتك كوظائف لـ x.

حل

لاحظ أن كل هذه المعادلات معطاة بالفعل في الشكل القياسي (الخطوة 1).

نقطة تفتيش 7.6

أوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية:

مشاكل القيمة الأولية ومشاكل القيمة الحدودية

حتى الآن ، وجدنا حلولاً عامة للمعادلات التفاضلية. ومع ذلك ، غالبًا ما تُستخدم المعادلات التفاضلية لوصف الأنظمة الفيزيائية ، وعادة ما يعرف الشخص الذي يدرس هذا النظام المادي شيئًا عن حالة هذا النظام في نقطة زمنية واحدة أو أكثر. على سبيل المثال ، إذا كانت المعادلة التفاضلية ذات المعامل الثابت تمثل مدى ضغط ممتص الصدمات للدراجات النارية ، فقد نعلم أن الراكب يجلس بثبات على دراجته النارية في بداية السباق ، الوقت t = t 0. ر = ر 0. هذا يعني أن النظام في حالة توازن ، لذا y (t 0) = 0 ، y (t 0) = 0 ، وضغط ممتص الصدمات لا يتغير ، لذلك y ′ (t 0) = 0. ص ′ (ر 0) = 0. باستخدام هذين الشرطين الأوليين والحل العام للمعادلة التفاضلية ، يمكننا إيجاد محدد حل المعادلة التفاضلية التي تحقق كلا الشرطين الأوليين. تُعرف هذه العملية باسم حل مشكلة القيمة الأولية. (تذكر أننا ناقشنا مشاكل القيمة الأولية في مقدمة المعادلات التفاضلية.) لاحظ أن المعادلات من الدرجة الثانية لها ثابتين تعسفيتين في الحل العام ، وبالتالي فإننا نحتاج إلى شرطين أوليين للعثور على حل مشكلة القيمة الأولية.

يهتم علماء الرياضيات والعلماء والمهندسون بفهم الظروف التي بموجبها يكون لمشكلة القيمة الأولية أو مشكلة القيمة الحدية حلًا فريدًا. على الرغم من أن المعالجة الكاملة لهذا الموضوع تتجاوز نطاق هذا النص ، إلا أنه من المفيد معرفة أنه في سياق المعادلات ذات المعامل الثابت من الدرجة الثانية ، فإن مشاكل القيمة الأولية مضمونة للحصول على حل فريد ما دام اثنان يتم توفير الشروط الأولية. ومع ذلك ، فإن مشاكل القيمة الحدية لا يتم التصرف فيها بشكل جيد. حتى عند معرفة شرطين حدوديين ، فقد نواجه مشاكل القيمة الحدية مع حلول فريدة أو العديد من الحلول أو لا يوجد حل على الإطلاق.

مثال 7.7

حل مشكلة القيمة الأولية

حل مسألة القيمة الأولية التالية: y ″ + 3 y ′ - 4 y = 0، y ″ + 3 y ′ - 4 y = 0، y (0) = 1، y (0) = 1، y ′ (0 ) = −9. ص ′ (0) = −9.


3.1: المعادلات الخطية من الدرجة الثانية - الرياضيات

ماجستير 201 الرياضيات - الثالث (3-1-0-8)

الأعداد المركبة والخصائص الأولية. وظائف معقدة - الحدود والاستمرارية والتفاضل. معادلات كوشي-ريمان. الوظائف التحليلية والتوافقية. وظائف الابتدائية. مضادات المشتقات وتكاملات المسار (الكنتور). نظرية كوشي- جورسات. صيغة كوشي المتكاملة ، نظرية موريرا. نظرية ليوفيل ، النظرية الأساسية للجبر ومبدأ المعامل الأقصى. سلسلة تايلور. سلسلة الطاقة. سلسلة التفردات ولوران. نظرية بقايا كوشي وتطبيقاتها. تحولات موبيوس.

حلول المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى لتصنيف PDEs من الدرجة الأولى الخطية وغير الخطية لطريقة PDEs من الدرجة الثانية من خصائص حدود الخصائص ومسائل القيمة الأولية (نوع Dirichlet و Neumann) التي تتضمن معادلة الموجة ومعادلة التوصيل الحراري ومعادلات لابلاس وحلولها بطريقة فصل المتغيرات (الإحداثيات الديكارتية) مشاكل القيمة الحدية الأولية في الإحداثيات غير المستطيلة. Laplace و Laplace المعكوس يحولان الخصائص ، حل التلافيف من ODE و PDE بواسطة سلسلة تحويل Laplace Fourier ، تكامل Fourier يحولات Fourier ، محلول تحويل الجيب وجيب التمام لـ PDE بواسطة تحويل فورييه.

1. جي دبليو براون و آر في تشرشل ، المتغيرات والتطبيقات المعقدة، الطبعة السابعة ، ماك جراو هيل ، 2004.

2. آي. ن. سنيدون ، عناصر المعادلات التفاضلية الجزئية، ماكجرو هيل ، 1957.

3. S. L. Ross ، المعادلات التفاضلية، الطبعة الثالثة ، وايلي إنديا ، 1984.

1 - تي نيدهام ، التحليل المرئي المركب، مطبعة جامعة أكسفورد ، 1999.

2. جي إتش ماثيوز و آر دبليو هويل ، التحليل المركب للرياضيات والهندسة، الطبعة الثالثة ، ناروزا ، 1998.

3. S. J. Farlow، المعادلات التفاضلية الجزئية للعلماء والمهندسين، منشورات دوفر ، 1993.

4. ر. هابرمان ، الابتدائية تطبيق المعادلات التفاضلية الجزئية مع سلسلة فورييه ومسألة القيمة الحدية، الطبعة الرابعة ، برنتيس هول ، 1998.


طرق حل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ذات معاملات متغيرة

حيث y هي دالة غير معروفة للمتغير x ، و A و B و C هي ثوابت. إذا كانت A = 0 ، تصبح هذه معادلة خطية من الدرجة الأولى ، والتي يمكن فصلها في هذه الحالة ، ولذا فنحن نعرف بالفعل كيفية حلها. لذلك سننظر في الحالة A 0. إذا أردنا ، يمكننا القسمة على A والحصول على المعادلة المكافئة

حيث b = B / A و c = C / A (هذا إذا لم يكن لدينا شيء أفضل لنفعله ، ومثل المعامل الأول يساوي 1)

الخطي ذو المعاملات الثابتة يعني أن كل حد في الجانب الأيسر من المعادلة هو ثابت في y أو مشتق من y. يعني التجانس أننا نستبعد المعادلات مثل

والتي يمكن حلها ، في بعض الحالات المهمة ، من خلال امتداد الأساليب التي سندرسها هنا. هنا سنحل فقط الحالة التي يكون فيها الجانب الأيمن f (x) مطابقًا للصفر. تعني كلمة متجانسة أيضًا أن الدالة الثابتة y = 0 هي دائمًا حل للمعادلة.

نحن نعلم الآن أننا نتوقع درجتين من الحرية في حل هذه المعادلة من الدرجة الثانية ، أي أن مجموعة الحلول العامة يجب أن تحتوي على ثابتين تعسفيتين. نحن نسمي عائلة الحلول العامة باختصار الحل العام. هذا يعني أنه لإيجاد الحل العام ، علينا إيجاد وظيفتين مستقلتين y = f1 (x) و y = f2 (x) وهما حلان ، ثم الحل العام سيكون

y = C1 & middot f1 (x) + C2 & middot f2 (x). الآن إذا كان y = f1 (x)

و y = f2 (x) حلين بالفعل ، يمكن للمرء التحقق من ذلك عن طريق التعويض بأن y = C1 & middot f1 (x) + C2 & middot f2 (x) سيكونان حلاً. من الصعب التأكد من حقيقة أن جميع الحلول من هذا الشكل (أي أننا لم نفوت أي حل) ، ولكنها مع ذلك صحيحة. لاحظ أننا بالطبع نحتاج إلى f1 (x) و f2 (x) ليكونا مستقلين. ماذا يعني أن تكون وظيفتان مستقلتان؟ هذا يعني أن أحدهما لا يساوي ثابتًا مضروبًا في الآخر. على سبيل المثال ، الوظائف f1 (x) = e x

و f2 (x) = 2e x ليست مستقلة ، لأن f2 (x) = 2 & middot f1 (x). من ناحية أخرى ، على سبيل المثال ، الدالتان g1 (x) = e x و g2 (x) = e 2x مستقلتان (على الرغم من أننا لم نثبت ذلك ، يبدو من الواضح بشكل حدسي أنهما مستقلتان).

1.2 بيان المشكلة

ستحاول الدراسة حل المشكلات التالية:

y & Prime + y & prime = 0 و x2y & Prime + y & Prime + xy = 0 باستخدام سلسلة الطاقة وطريقة Frobenius

1.3 هدف وأهداف الدراسة

الهدف الرئيسي من العمل البحثي هو تحديد طرق حل المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة. الأهداف المحددة الأخرى للدراسة هي:

  1. لتحديد الحل حول أصل المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية المتجانسة وغير المتجانسة ذات المعاملات المتغيرة
  2. لتحديد الحل في نقاط أخرى
  3. للتحقيق في العوامل التي تؤثر على طرق حل المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة
  4. لتحديد الاختلاف في كفاءة طرق حل المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة

1.4 أهمية الدراسة

إن دراسة طرق حل المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة ستكون ذات فائدة كبيرة لقسم الرياضيات بمعنى أن الدراسة ستحدد الحل حول أصل المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية المتجانسة وغير المتجانسة مع المتغير المعاملات ، والحل في نقاط أخرى ، والاختلاف في كفاءة طرق حل المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة. ستكون الدراسة بمثابة مستودع للمعلومات للباحثين الآخرين الذين يرغبون في إجراء بحث مماثل حول الموضوع أعلاه. ستساهم الدراسة في جسم الأدبيات الموجودة حول حل المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة

1.5 نطاق الدراسة

ستركز دراسة طرق حل المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة على طريقتين (حل سلسلة الطاقة لـ DE وطريقة Frobenius.

1.6 تعريف المصطلحات

ODE: المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية: المعادلة التفاضلية هي معادلة رياضية تربط بعض الوظائف بمشتقاتها


3.1: المعادلات الخطية من الدرجة الثانية - الرياضيات

وصف المقرر: مقدمة للمفاهيم الأساسية للمعادلات التفاضلية الجزئية من خلال أمثلة ملموسة مثل معادلات لابلاس والحرارة والموجة والمعادلات الخطية وغير الخطية من الدرجة الأولى.
ينصب التركيز على اشتقاق معادلات الحل "الصريحة" وفهم الخصائص الأساسية للحل. تختلف هذه الدورة عن الدورة القياسية لـ PDEs لطلاب المرحلة الجامعية العليا ،
والتي تستخدم بشكل أساسي فصل المتغيرات وسلسلة فورييه. يؤهل هذا المساق طلاب الدراسات العليا في قسم الرياضيات لامتحان تأهيلي كتابي.

معلومات الاتصال: المكتب: MATH 714
رقم الهاتف: 4-2719
بريد إلكتروني: [email protected]

مكان وزمان المحاضرة: TR 12:00 - 1:15 pm، 215 MATH

ساعات العمل: TR 1: 45-2: 45pm ، أو عن طريق تحديد موعد

كتاب مدرسي: (كل ما يلي محفوظ في مكتبة الرياضيات.)

النص الرئيسي:
[E] المعادلات التفاضلية الجزئية ، بقلم لورانس سي إيفانز ، الطبعة الثانية

المرجعي:
[J] المعادلات التفاضلية الجزئية ، بقلم فريتز جون.

المتطلبات الأساسية: معرفة جيدة "عملية" بحساب المتجهات والجبر الخطي والتحليل الرياضي. يعد المسار السابق للمعادلات التفاضلية العادية مفيدًا.
(في بوردو ، يتم تدريس هذه المواد في MA 265 و 266 و 351 و 353 و 303 و 304 و 366 و 510 و 511 و 440 + 442 و 504).

الواجب المنزلي: سيتم تعيين الواجبات المنزلية تقريبًا كل أسبوعين. سيتم تعيينهم تدريجياً مع تقدم الدورة. يرجى الرجوع إلى إعلان الدورة أدناه.

الامتحانات: الامتحان النصفي: الخميس 23 مارس 2017 الساعة 8:00 - 10:00 مساءً ، رياضيات 175
الامتحان النهائي: سيتم الإعلان عنها لاحقًا

سياسة التقدير: واجبات منزلية (35٪) امتحان نصفي (25٪) امتحان نهائي (40٪)

من المتوقع أن تلتزم بالصدق الأكاديمي على أعلى مستوى. أي شكل من أشكال الغش سيؤدي تلقائيًا إلى درجة F ،
بالإضافة إلى أي إجراء تأديبي آخر ، يعتبر مناسبًا.

بالطبع مخطط:
ستغطي الدورة معظم [E] الفصل 2 (النقل ، لابلاس ، معادلات الحرارة والموجة) وأقسام مختارة من الفصل 3 (معادلة الدرجة الأولى غير الخطية)
والفصل 4 (مفاهيم "متنوعة" وطرق الحلول).

تقدم الدورة والإعلان: (يجب عليك الرجوع إلى هذا القسم بانتظام ، لمعرفة الواجبات المنزلية والمواد الإضافية والإعلانات.)

10 يناير (الثلاثاء):
[E ، الفصل. 1] مقدمة في الترميز
[E ، الملحق C.2] نظرية الاختلاف (Gauss-Green) ، تكامل أبعاد أعلى حسب الأجزاء.

12 يناير (الخميس):
اشتقاق المعادلات السطحية الصغرى.
[E ، Sec 2.1] معادلة تفاضلية جزئية خطية من الدرجة الأولى ذات معاملات ثابتة.

17 يناير (الثلاثاء):
[E، Sec 7.2.5] تصنيف المعادلات من الدرجة الثانية.
[E, 2.2.1] Radially symmetric and fundamental solutions of Laplace equation, Poisson's equation

Jan 19 (Thursday): [E, 2.2.2] Mean-value formulas.

Jan 24 (Tuesday): [E, 2.2.3 a, b] Properties of harmonic functions

Homework 1, due in class or before 4pm Tuesday, Jan 24.
(Slide your homework under the door in case I am not there.)
Solution to Homework 1

Jan 26 (Thursday): [E, 2.2.3 c] Local estimates on harmonic functions

Jan 31 (Tuesday): [E, 2.2.3 c] Local estimates on harmonic functions (Analyticity, Harnack's inequality)

Feb 2 (Thursday): [E, 2.2.4] Green's function

Feb 7 (Tuesday): [E, 2.2.4] Green's functions and Poisson's formula for the half plane

Feb 9 (Thursday): E, 2.2.4] Green's functions and Poisson's formula for balls

Homework 2, due in class or before 4pm Tuesday, Feb 14.
(Slide your homework under the door in case I am not there.)
Solution to Homework 2

Feb 14 (Tuesday): [E, 2.2.5] Energy method

Homework 3, due in class or before 4pm Thursday, Feb. 23.
(Slide your homework under the door in case I am not there.)
Solution to Homework 3

Feb 16 (Thursday): [E, 2.3.1] Heat equation/fundamental solutions

Feb 21 (Tuesday): [E, 2.3.1 c] Non-homogeneous equation/Duhamel's formula

Feb 23 (Thursday): Maximum principle and uniqueness

Homework 4 , due in class or before 4pm Thursday, March 9.
(Slide your homework under the door in case I am not there.)


6. Non-Absoluteness of Truth in Second-Order Logic

Absoluteness is one of the most important concepts of logic. It was used already in 1939 by Gödel in his analysis of the hierarchy of constructible sets (1939 [1990: 46]) towards proving the consistency of the Continuum Hypothesis. It is briefly mentioned by Gödel three years earlier in connection with the notion of computability (1936 [1986: 397]).

Intuitively speaking, a concept is absolute if its meaning is independent of the formalism used, or in other words, if its meaning in the formal sense is the same as its meaning in the &ldquoreal world&rdquo. This may sound very vague and inexact. However, absoluteness has a perfectly exact technical definition in set theory.

Recall that a set أ يسمى transitive if every element of an element of أ هو عنصر من أ. A transitive model is a model ((M,in)) such that م is transitive. By the Mostowski Collapsing Lemma (Mostowski 1949) every well-founded model ((M,E)) of the Axiom of Extensionality is isomorphic to a transitive model. A basic property of transitive models ((M,in)) is that if (a,bin M), then (Mmodels asubseteq b) if and only if (asubseteq b). (If all elements of أ that are in م يكون في ب then all elements of أ يكون في ب, as by transitivity of م, elements of أ are necessarily elements of م.) We could express this by saying that the formula (xsubseteq y) is absolute in transitive models. More generally, we say that a formula (phi(x_1,ldots,x_n)) of the first order language of set theory is مطلق relative to ZFC if there is a finite (Tsubseteq FC) such that for all transitive models ((M,in)) of تي and all (a_1,ldots,a_nin M) we have

This definition of absoluteness is equivalent to the following more syntactic condition (Feferman & Kreisel 1966): there are a (Sigma_1)-formula (exists y,psi(y,x_1,ldots,x_n)) and a (Pi_1)-formula (forall y, heta(y,x_1,ldots,x_n)) such that

[FCvdashforall x_1ldotsforall x_n(phi(x_1,ldots,x_n)leftrightarrow exists y,psi(y,x_1,ldots,x_n)) ]

[FCvdashforall x_1ldotsforall x_n(phi(x_1,ldots,x_n)leftrightarrow forall y, heta(y,x_1,ldots,x_n)). ]

In such a case we say that (phi(x_1,ldots,x_n)) is (Delta_1^< ext>).

For first order logic it can be proved that &ldquo(mmmodels_sphi)&rdquo is an absolute property of (mm), س and (phi) relative to ZFC. In fact, this is true even if ZFC is replaced by the weaker Kripke-Platek set theory KP (see Barwise 1972a). The usual Tarski Truth Definition of first order logic can be written in (Delta_1^< ext>) form. For second-order logic the propositions &ldquo(phi) is a second-order formula&rdquo, &ldquo(mm) is an إل-structure&rdquo and &ldquoس is an assignment&rdquo are all absolute relative to ZFC as well, but &ldquo(mmmodels_sphi)&rdquo is not, as we shall now see. This is a crucial property of second-order logic. One may consider it a weakness, if one thinks of absoluteness as a desirable property, or a strength, if one takes non-absoluteness as a sign of expressive power. Whether a weakness or not, it is an important feature of second-order logic and a dominating topic in discussions about it. Second-order logic is, however, not the only non-absolute logic. For example, (L(Q_1)) (see the entry on generalized quantifiers) and (L_) (see then entry on infinitary languages) are non-absolute, while (L(Q_0)) and (L_) are absolute. The reason why (L(Q_0)) is absolute is essentially that the property of a set being infinite is absolute in transitive models of ZFC. Although the set of sentences of (L_) may vary from one transitive model of ZFC to another, the truth of a sentence of (L_) in a model is absolute in transitive models of ZFC essentially because the truth has a simple inductive definition which only refers to subformulas of the sentence and elements of the model.

Recall the definition of the sentence ( heta_< extrm>(P,R)) in §5.3, which says that the interpretations of the predicates ص و ص have the same cardinality. Cardinality is not an absolute property. Two sets (even two ordinals) can be of different cardinality in one transitive model of ZFC and of the same cardinality in a transitive extension. It is easy to see that &ldquo(mmmodels_s heta_< extrm>(P,R))&rdquo is not absolute relative to ZFC. Essentially, the reason is that two sets have the same cardinality if there is a bijection between them. In a small transitive set it may happen that the sets are there but the bijection manifesting their equicardinality is not. The bijection may be one obtained by the method of forcing. Or the lack of the bijection may be the result of applying the Downward Löwenheim-Skolem Theorem [6] .

A more serious case of non-absoluteness is the sentence ( heta_< extrm>) of §5.3. The sentence ( heta_< extrm>) of the empty vocabulary has a model if and only if the Continuum Hypothesis is true. If (Tsubseteq FC) is finite, then there are countable transitive models (Msubseteq M') such that one, say م, satisfies CH and the other, in this case (M'), does not (by Cohen 1966). في م the sentence ( heta_< extrm>) has a model (ma), that is, (Mmodels extrm<&ldquo>mamodels heta_< extrm> extrm<&rdquo>). In (M') the same sentence has no models, in particular (M' otmodels extrm<&ldquo>mamodels heta_< extrm> extrm<&rdquo>). Thus the property of a model satisfying a second-order sentence is not absolute relative to ZFC. Even the property of a second-order sentence نأخذ a model is not absolute relative to ZFC, because in م the sentence ( heta_< extrm>) has a model but in (M') not. For first order logic the property of a sentence of having a model is co-re and therefore arithmetical. Arithmetical properties are always absolute relative to ZFC. The situation is similar if the Continuum Hypothesis is replaced by the Axiom of Choice (see §5.4).

The CH and the AC are central questions of set theory and subjects of continuing debate. While the AC is mostly accepted as an axiom, and is part of the ZFC axiom system, the CH is widely considered an open problem. There are even suggestions (e.g., Feferman 1999) that it cannot be solved by any axiom system with the kind of general acceptance that ZFC has. The formalist position in the foundations of mathematics goes further and maintains that the question, what the truth value of CH is, is meaningless. Both CH and its negation are consistent with ZFC, assuming ZFC itself is consistent. According to the formalist position the status of CH has been solved with this. The semantics of second-order logic depending on these hard questions of set theory puts second-order logic into the same &ldquobasket&rdquo with set theory. Criticism of set theory becomes criticism of second-order logic and vice versa.

Another indication of the dependence of second-order logic on set theory as the metatheory is the result of Barwise to the effect that the existence of the Hanf number of second-order logic is not provable in set theory without a highly complex use of the Replacement Axiom (for details, see Barwise 1972b).


3.1: Linear Equations of Second Order - Mathematics

A linear second-order ODE has the form:

On any interval where S(t) is not equal to 0, the above equation
can be divided by S(t) to yield

The equation is called homogeneous if f(t)=0. Otherwise, it is called
nonhomogeneous.

A second-order differential equation is accompanied by initial conditions
or boundary conditions. Initial conditions are in the form y(t_0)=y_0 and
y'(t_0)=y'_0. Boundary conditions might be of the form: y(t_0)=a and y(t_1)=b.

For the initial value problem, the existence and uniqueness theorem states
that if p(t), q(t) and f(t) are continuous on some interval (a,b) containing t_0,
then there exists a unique solution y(t) to the ode in the whole interval (a,b).

Procedure for Solving Linear Second-Order ODE

The procedure for solving linear second-order ode has two steps
(1) Find the general solution of the homogeneous problem:

According to the theory for linear differential equations, the general
solution of the homogeneous problem is

where C_1 and C_2 are constants and y_1 and y_2 are any two
linearly independent solutions to the homogeneous equation.

(2) Find a particular solution of the nonhomogeneous problem:

The particular solution is any solution of the nonhomogeneous
problem and is denoted y_p(t).

The general solution of the full nonhomogeneous problem is

The key point to note is that all possible solutions to a linear second-order
ode can be obtained from two linearly independent solutions to the
homogeneous problem and any particular solution.

Here is an example. Consider the ode

The homogeneous equation is

It can be shown that y_1=exp(-t) and y_2=exp(-2t) are solutions to the
homogeneous equation. Plug these expressions into the ode and verify!

A particular solution of the nonhomogeneous equation is exp(t). لذلك،
the general solution of the ode is

where C_1 and C_2 are constants.

Two functions are linearly independent if they are not multiples of each other.
For example, exp(-t) and exp(-2t) are linear independent. On the other
hand, t+3 and 7t+21 are linearly dependent since the latter is 7 times the former.

Techniques for Solving Homogeneous Linear Second-Order ODE

Certain classes of homogeneous linear second-order ode can be solved
analytically. We will consider two classes:

Techniques for Determining a Particular Solution

There are two principal techniques for determining a particular solution:


5. Linear Equation of the Second Order with Variable Coefficients – Differential Equations

أين P, Q, R are the real valued functions of x defined on an interval أنا is called a linear equation of the second order with variable coefficients.

There is no known general method to solve such an equation. We discuss below three methods which are useful in the solution of second order linear equations with variable coefficients.

  1. Change of the dependent variable when part of the complementary function is known.
  2. Change of the dependent variable and removal of the first derivative or reduction to normal form.
  3. Change of the independent variable.

General solution of Eq. (5.1) in forms of a given or known solution of the complementary function.

Be the general solution of Eq. (5.1) where ش(x) is a solution of the reduced equation i.e.

This is a linear equation in الخامس.

Substituting this value of الخامس in (5.2) we get

Since this includes the known solution ذ = ش(x) and it contains two arbitrary constants, it is the general solution of (5.1).

5.1 TO FIND THE INTEGRAL IN C.F. BY INSPECTION, i.e. TO FIND A SOLUTION OF

نحن لدينا

الخصومات ذ = ه x is a solution of (5.8) if 1 + ص +س = 0

الخصومات ذ = x is a solution of (5.8) if ص + Qx = 0

ذ = x 2 is a solution of (5.8) if 2 + 2Px + Qx 2 = 0

The above results can be summarized as follows

  1. ذ = هx is a part of C.F if 1 + ص + س = 0
  2. ذ = ه-x is a part of C.F if 1 - ص + س = 0
  3. ذ = همكس is a part of C.F if م 2 + mP + س = 0
  4. ذ = x is a part of C.F if ص + Qx = 0
  5. ذ = x 2 is a part of C.F if 2 +2 Px + Qx 2 = 0
  6. ذ = xم is a part of C.F if م (م-1)+ Pmx + Qx 2 = 0

Example 5.1.1 يحل

حل The given solution is

مقارنة مع

ذ = ه 2x is a part of the C.F of the Eq. (5.9)

وضع

The general solution of (5.9) is

Example 5.1.2 يحل

حل Writing the differential equation in the standard form

Here 1+ ص + س = 0, so ذ = ه x that is party of the CF

Separating the variables and integrating

أو

The complete solution of (5.10) is

Example 5.1.3 يحل

حل Writing the equation in the standard form

هنا

ذ = x is a part of the C. F. of (5.11)

The complete solution of (5.11) is

Example 5.1.4 يحل given that ذ = cot x is a solution.

حل وضع ذ = الخامس سرير نقال x, ,

The given differential equation becomes

The complete solution of the given equation is

Example 5.1.5 يحل

حل هنا ص + Qx = 0. وبالتالي ذ = x is a solution of the equation

أستعاض ذ = vx and hence و

The given differential equation becomes

أستعاض ص ل يصبح هذا

This is a linear equation with integrating factor

Hence the complete solution is

Example 5.1.6 يحل

given that ذ = x is a solution.

حل أستعاض ذ = vx، نحن نحصل

أستعاض ص ل ، نحن نحصل

Example 5.1.7 يحل

حل هنا ذ = ه 2x is a solution of the equation

أستعاض ذ = هاء 2x and hence

The given differential equation becomes

أستعاض ص ل this equation becomes

This is a linear equation with the integrating factor ه 2x (x+2) -1

Hence the complete solution is

Example 5.1.8 يحل given that is a complementary function.

حل أستعاض

The given equation reduces to

وضع the equation becomes

This is a linear equation and the integrating factor is

Example 5.1.9 يحل

حل Here sum of the coefficients is zero. وبالتالي، ه x is a solution. أستعاض ذ = هاء x we get

يترك there the equation becomes

This is a linear equation. Its integrating factor is

حل Dividing by x, the given equation in the standard form is

أين

حيث , ذ = ه x is a part of the C. F. of (5.12).

أستعاض ذ = هاء x in (5.12) it reduces to

which is a linear equation in ص. The integrating factor is

The general solution of (5.12) is

Example 5.1.11 يحل

حل Dividing by x, the given equation in the standard form is

أين , , ص = x 2

حيث

أستعاض ذ = هاء -x in (5.16) it reduces to

This is a linear equation in ص.

Hence the general solution of (5.16) is

حل Dividing by x 2 the given equation in the standard form is

أين

حيث

ذ = x is a part of the C. F. of (5.20).

أستعاض ذ = vx in (5.20) it reduces to

From (5.21) and (5.22) we get

This is a linear equation

Integrating

∴ The general solution of (5.20) is ذ= vx

بمعنى آخر.

Example 5.1.13 يحل

حل The standard form of the given equation is

هنا

ذ = x is a part of the C.F. of (5.24)

وضع in (5.24)

∴ The complete solution of (5.24) is

EXERCISE 5.1

Solve the following differential equations:

Ans:

Ans:

Ans:

Ans:

Ans:

5.2 GENERAL SOLUTION OF by changing the dependent variable and removing the first derivative (Reduction to Normal form)

Substituting in (5.25) rearranging the terms

على المدى will disappear if we choose such that

Substituting (5.29) and (5.30) into (5.28) we get

، يسمى normal form of (5.25).

After obtaining الخامس from (5.31) the general solution of (5.25) is ذ = uv أين .

Example 5.2.1 يحل

Comparing with the standard equation

يترك

إذا ذ = uv, Eq. (5.32) reduces to the normal form

Substituting these value in (5.33) we get

The general solution of (5.34) is

Hence the general solution of (5.32) is

Example 5.2.2 يحل

Comparing (5.35) with the standard equation we have

To remove the first derivative choose

If we take ذ = uv, Eq. (5.35) reduces to

Example 5.2.3 يحل

حل The given equation, in the standard form, is

هنا ص = x 3 , , ص = 0

To remove the first derivative choose

If we take y = uv Eq. (5.38) reduces to the normal from

Substituting these values in (5.39) we get

Hence the complete solution of the differential equation is

Example 5.2.4 يحل

حل The given equation may be written in the form

هنا

Hence

The transformed equation is

The general solution of the given equation is

Example 5.2.5 يحل

حل هنا ,

The transformed equation is

This is a homogeneous linear equation and its solution is

The general solution of the given equation is

Example 5.2.6 يحل

حل On simplification the given equation becomes

The reduced equation is

whose solution is

Example 5.2.7 يحل

حل هنا ص = −4x, س = 4x 2 -1

Hence the transformed equation is

The solution of this equation is

The complete primitive of the given equation is

EXERCISE 5.2

Ans:

Ans:

Ans:

Ans:

Ans:

Ans:

Ans:

Ans:

5.3 GENERAL SOLUTION OF by changing the independent variable

The differential equation is

Let the independent variable x be changeد ل ض أين ض = ض(x).

Dividing by we can write it as

أين

هنا ص1, س1, ص1 are functions of x, which can be changed into functions of ض استخدام ض = ض(x). Then we have to choose ض لهذا السبب ص1 = 0 أو س = أ 2 (constant).

Case 1 إذا ص1 = 0 we have

Case 2 إذا س1 = أ 2 then from (5.43) we have

Here we have to take ± sign to make real.

Usually we can take أ 2 = 1 or take أ 2 such that Thus we get the value of ض.

In this case ص1 should either be zero or constant. Then only Eq. (5.41) can be solved.

Example 5.3.1 يحل

حل Putting the equation in the standard form

هنا

Substituting these values in (5.47) we get

The complete solution of Eq. (5.48) is

Example 5.3.2 يحل

حل Putting the equation in the standard form

هنا

إختر ض مثل ذلك

Discarding the – sign, we get

و

Substituting these values in (5.50)

The complete solution of (2.49) is

Example 5.3.3 يحل


شاهد الفيديو: مثال على حل المعادلات الخطية 1. الرياضيات. نظام المعادلات (شهر نوفمبر 2021).