مقالات

4.2: المتسلسلة المثلثية - الرياضيات


4.2.1 المهام الدورية والدافع

كحافز لدراسة سلسلة فورييه ، افترض أن لدينا المشكلة

[x '' + omega ^ 2_0 x = f (t)، ]

لبعض الوظائف الدورية (و (ر) ). لقد حللنا بالفعل

[x '' + omega ^ 2_0 x = F_0 cos ( omega t). ]

تتمثل إحدى طرق حل (4.2.1) في تحليل (f (t) ) كمجموع من جيب التمام (والجيب) ثم حل العديد من المشكلات في النموذج (4.2.2). ثم نستخدم مبدأ التراكب ، لتلخيص كل الحلول التي حصلنا عليها لإيجاد حل لـ (4.2.1).

قبل أن نبدأ ، دعونا نتحدث أكثر قليلاً بالتفصيل عن الوظائف الدورية. يقال أن الوظيفة تكون دورية بنقطة (P ) إذا (f (t) ) للجميع (t ). للإيجاز ، سنقول (f (t) ) هو (P - ) دوري. لاحظ أن الوظيفة الدورية (P - ) هي أيضًا (2P - ) دورية ، (3P - ) دورية وما إلى ذلك. على سبيل المثال ، ( cos (t) ) و ( sin (t) ) هي (2 pi - ) دورية. وكذلك الحال بالنسبة ( cos (kt) ) و ( sin (kt) ) لجميع الأعداد الصحيحة (k ). الوظائف الثابتة هي مثال متطرف. إنها دورية لأي فترة (تمرين).

عادة سنبدأ بدالة (f (t) ) محددة في فاصل زمني ([-L، L] ) وسنرغب في التمديد بشكل دوري لجعلها (2L - ) وظيفة دورية. نقوم بهذا الامتداد بتعريف دالة جديدة (F (t) ) مثل (t ) في ([-L ، L] ) ، (F (t) = f (t) ) . بالنسبة إلى (t ) في ([L، 3L] ) ، نحدد (F (t) = f (t-2L) ) ، لـ (t ) in ([-3L، -L ] ) ، (F (t) = f (t + 2L) ) ، وهكذا. افترضنا أن (f (-L) = f (L) ). يمكن أن نبدأ أيضًا بـ (f ) المحدد فقط في الفاصل الزمني نصف المفتوح ((-L ، L] ) ثم حدد (f (-L) = f (L) ).

مثال ( PageIndex {1} ):

حدد (f (t) = 1-t ^ 2 ) في ([- 1، 1] ). الآن قم بالتمديد بشكل دوري إلى دالة ذات دورتين. انظر الشكل 4.2.

الشكل 4.2: التمديد الدوري للدالة (1-t ^ 2 ).

يجب أن تكون حريصًا على التمييز بين (f (t) ) وامتداده. من الأخطاء الشائعة افتراض أن صيغة (f (t) ) تنطبق على امتدادها. قد يكون الأمر محيرًا عندما تكون صيغة (f (t) ) دورية ، ولكن ربما تكون مع فترة مختلفة.

تمرين ( PageIndex {1} ):

حدد (f (t) = cos t ) في ([ dfrac {- pi} {2}، dfrac { pi} {2}] ). خذ الامتداد الدوري ( pi - ) وارسم الرسم البياني الخاص به. كيف يمكن مقارنتها بالرسم البياني لـ ( cos t )؟

4.2.2 تحلل المنتج الداخلي والمتجه الذاتي

لنفترض أن لدينا مصفوفة متماثلة ، أي (A ^ T = A ). قلنا من قبل أن المتجهات الذاتية لـ (A ) تكون متعامدة. هنا تعني كلمة متعامد أنه إذا كان ( vec {v} ) و ( vec {w} ) متجهان متمايزان (وليسا مضاعفات بعضهما البعض) متجهات ذاتية لـ (A ) ، إذن ( اليسار langle vec {v} ، vec {w} right rangle = 0 ). في هذه الحالة ، يكون المنتج الداخلي ( left langle vec {v}، vec {w} right rangle ) هو المنتج النقطي ، والذي يمكن حسابه كـ ( vec {v} ^ T vec {w} ).

لتحلل المتجه ( vec {v} ) من حيث المتجهات المتعامدة المتبادلة ( vec {w} _1 ) و ( vec {w} _2 ) نكتب

[ vec {v} = a_1 vec {w} _1 + a_2 vec {w} _2. ]

لنجد صيغة (a_1 ) و (a_2 ). أولا دعونا نحسب

[ left langle vec {v} ، vec {w} _1 right rangle = left langle a_1 vec {w} _1 + a_2 vec {w} _2، vec {w} _1 يمين rangle = a_1 left langle vec {w} _1، vec {w} _1 right rangle + a_2 left langle vec {w} _2، vec {w} _1 right rangle = a_1 left langle vec {w} _1 ، vec {w} _1 right rangle. ]

لذلك،

[a_1 = dfrac { left langle vec {v}، vec {w} _1 right rangle} { left langle vec {w} _1، vec {w} _1 right rangle }. ]

بصورة مماثلة

[a_2 = dfrac { left langle vec {v}، vec {w} _2 right rangle} { left langle vec {w} _2، vec {w} _2 right rangle }. ]

ربما تتذكر هذه الصيغة من حساب التفاضل والتكامل المتجه.

مثال ( PageIndex {2} )

اكتب ( vec {v} = left [ start {array} {c} 2 3 end {array} right] ) كمجموعة خطية من ( vec {w} _1 = left [ start {array} {c} 1 -1 end {array} right] ) and ( vec {w} _2 = left [ begin {array} {c} 1 1 نهاية {مجموعة} يمين] ).

لاحظ أولاً أن ( vec {w} _1 ) و ( vec {w} _2 ) متعامدان مثل ( left langle vec {w} _1، vec {w} _2 right rangle = 1 (1) + (- 1) 1 = 0 ). ثم

[a_1 = dfrac { left langle vec {v}، vec {w} _1 right rangle} { left langle vec {w} _1، vec {w} _1 right rangle } = dfrac {2 (1) +3 (-1)} {1 (1) + (- 1) (- 1)} = dfrac {-1} {2} ، a_2 = dfrac { يسار langle vec {v} ، vec {w} _2 يمين rangle} { left langle vec {w} _2 ، vec {w} _2 right rangle} = dfrac {2 + 3 } {1 + 1} = dfrac {5} {2}. ]

لذلك

[ left [ start {array} {c} 2 3 end {array} right] = dfrac {-1} {2} left [ begin {array} {c} 1 - 1 end {array} right] + dfrac {5} {2} left [ begin {array} {c} 1 1 end {array} right]. ]

4.2.3 المتسلسلة المثلثية

بدلاً من تحليل المتجه من حيث المتجهات الذاتية للمصفوفة ، سنحلل دالة من حيث الدوال الذاتية لمشكلة قيمة ذاتية معينة. مشكلة القيمة الذاتية التي سنستخدمها لسلسلة فورييه هي

[x '' + lambda x = 0، ~~~~ x (- pi) = x ( pi) ~~~~ x '(- pi) = x' ( pi). ]

لقد حسبنا سابقًا أن الدوال الذاتية هي (1، cos (kt)، sin (kt) ). أي أننا نريد أن نجد تمثيلاً لوظيفة دورية (2 pi - ) (f (t) ) كـ

[f (t) = dfrac {a_0} {2} + sum ^ { infty} _ {n = 1} a_n cos (nt) + b_n sin (nt). ]

هذه السلسلة تسمى سلسلة فورييه2 أو السلسلة المثلثية لـ (f (t) ). نكتب معامل الدالة الذاتية (1 ) كـ ( dfrac {a_0} {2} ) للراحة. يمكننا أيضًا التفكير في (1 = cos (0t) ) ، بحيث نحتاج فقط إلى إلقاء نظرة على ( cos (kt) ) و ( sin (kt) ).

بالنسبة للمصفوفات ، نريد إيجاد إسقاط (f (t) ) على الفضاء الجزئي الناتج عن الوظائف الذاتية. لذلك سنريد تحديد منتج داخلي للوظائف. على سبيل المثال ، للعثور على (a_n ) نريد حساب ( left langle f (t) ، cos (nt) right rangle ). نحدد المنتج الداخلي على أنه

[ left langle f (t)، g (t) right rangle = int ^ { pi} _ {- pi} f (t) g (t) dt. ]

مع هذا التعريف للمنتج الداخلي ، رأينا في القسم السابق أن وظائف eigenfunctions ( cos (kt) ) (بما في ذلك دالة eigenfunction الثابتة) ، و ( sin (kt) ) متعامدة بمعنى أن

[ left langle cos (mt) ، cos (nt) right rangle = 0 ~~~~ { rm {for}} ~ m neq n، left langle sin (mt ) ، sin (nt) right rangle = 0 ~~~~ { rm {for}} ~ m neq n ، left langle sin (mt) ، cos (nt) right rangle = 0 ~~~~ { rm {for ~ all}} ~ m { rm {~ and ~}} n. ]

حسب حساب التفاضل والتكامل الأولي لـ (n = 1،2،3 ، ldots. ) لدينا ( left langle cos (nt) ، cos (nt) right rangle = pi ) و ( اليسار langle الخطيئة (nt) ، الخطيئة (nt) اليمين rangle = pi ). بالنسبة للثابت ، نحصل على ذلك ( يسار langle 1 ، 1 يمين rangle = 2 pi ). يتم إعطاء المعاملات بواسطة

[a_n = dfrac { left langle f (t)، cos (nt) right rangle} { left langle cos (nt)، cos (nt) right rangle} = dfrac {1} { pi} int ^ { pi} _ {- pi} f (t) cos (nt) dt، b_n = dfrac { left langle f (t)، sin ( nt) right rangle} { left langle sin (nt)، sin (nt) right rangle} = dfrac {1} { pi} int ^ { pi} _ {- pi } f (t) sin (nt) dt. ]

قارن هذه التعبيرات بمثال البعد المحدود. بالنسبة لـ (a_0 ) نحصل على صيغة مماثلة

[a_0 = 2 dfrac { left langle f (t)، 1 right rangle} { left langle 1، 1 right rangle} dfrac {1} { pi} int ^ { pi} _ {- pi} f (t) dt. ]

دعونا نتحقق من الصيغ باستخدام خصائص التعامد. افترض للحظة أن

[f (t) = frac {a_0} {2} + sum ^ infty_ {n = 1} a_n cos (nt) + b_n sin (nt). ]

ثم بالنسبة لـ (m geq 1 ) لدينا

[ left langle f (t) ، cos (mt) right rangle = left langle frac {a_0} {2} + sum ^ infty_ {n = 1} a_n cos (nt) + b_n sin (nt) ، cos (mt) right rangle = frac {a_0} {2} left langle 1 ، cos (mt) right rangle + sum ^ infty_ { n = 1} a_n left langle cos (nt) ، cos (mt) right rangle + b_n left langle sin (nt) ، sin (mt) right rangle = a_m يسار langle cos (mt) ، cos (mt) يمين rangle. ]

ومن هنا ، (a_m = frac { left langle f (t) ، cos (mt) right rangle} { left langle cos (mt) ، cos (mt) right rangle}). )

تمرين ( PageIndex {2} ):

قم بحساب (a_0 ) و (b_m ).

مثال ( PageIndex {3} ):

خذ الوظيفة

[f (t) = t ]

لـ (t ) في ((- pi، pi] ). قم بتمديد (f (t) ) بشكل دوري واكتبه كسلسلة فورييه. تسمى هذه الوظيفة مسننة.

الشكل 4.3: الرسم البياني لوظيفة سن المنشار.

يتم إعطاء مؤامرة الوظيفة الدورية الممتدة في الشكل 4.3. دعونا نحسب المعاملات.

حل

نبدأ بـ (a_0 ) ،

[a_0 = frac {1} { pi} int ^ pi _ {- pi} tdt = 0. ]

سنستخدم غالبًا النتيجة من التفاضل والتكامل التي تنص على أن تكامل دالة فردية على فترة متماثلة هو صفر. تذكر أن الوظيفة الفردية هي دالة ( varphi (t) ) مثل ( varphi (-t) = - varphi (t) ). على سبيل المثال ، الوظائف (t ، sin t ) ، أو (المهم بالنسبة لنا) (t cos (nt) ) كلها وظائف فردية. هكذا

[a_n = frac {1} { pi} int ^ pi _ {- pi} t cos (nt) dt = 0. ]

دعونا ننتقل إلى (b_n ). هناك حقيقة أخرى مفيدة من التفاضل والتكامل وهي أن تكامل دالة زوجية في فترة متماثلة يساوي ضعف تكامل نفس الدالة على نصف الفترة. استدعاء دالة زوجية هو دالة ( varphi (t) ) مثل ( varphi (-t) = varphi (t) ). على سبيل المثال (t sin (nt) ) زوجي.

[b_n = frac {1} { pi} int ^ pi _ {- pi} t sin (nt) dt = frac {2} { pi} int ^ pi_ {0} t sin (nt) dt = frac {2} { pi} left ( left [ frac {-t cos (nt)} {n} right] ^ pi_ {t = 0} + frac {1} {n} int ^ pi_ {0} cos (nt) dt right) = frac {2} { pi} left ( frac {- pi cos ( n pi)} {n} +0 right) = frac {-2 cos (n pi)} {n} = frac {2 (-1) ^ {n + 1}} {n }. ]

لقد استخدمنا حقيقة ذلك

[ cos (n pi) = (- 1) ^ n = left { start {array} {c} 1 ~~~~ { rm {~ if ~}} n { rm {~ حتى ، ~}} -1 ~~~~ { rm {~ if ~}} n { rm {~ odd. ~}} end {array} right. ]

السلسلة ، لذلك ،

[ sum ^ infty_ {n = 1} frac {2 (-1) ^ {n + 1}} {n} sin (nt). ]

دعونا نكتب أول 3 توافقيات من السلسلة من أجل (f (t) ).

[2 sin (t) - sin (2t) + frac {2} {3} sin (3t) + cdots ]

يتم إعطاء مؤامرة هذه المصطلحات الثلاثة الأولى من السلسلة ، جنبًا إلى جنب مع مؤامرة من أول 20 حدًا في الشكل 4.4.

الشكل 4.4: التوافقيات الثلاثة الأولى (الرسم البياني الأيسر) و 20 (الرسم البياني الأيمن) لوظيفة سن المنشار.

مثال ( PageIndex {4} ):

خذ الوظيفة

[f (t) = left { start {array} {cc} 0 & ~~~~ { rm {~ if ~}} - pi

قم بمد (f (t) ) بشكل دوري واكتبه كسلسلة فورييه. تظهر هذه الوظيفة أو متغيراتها غالبًا في التطبيقات وتسمى الوظيفة الموجة المربعة.

الشكل 4.5: الرسم البياني لوظيفة الموجة المربعة.

يتم إعطاء مؤامرة الوظيفة الدورية الممتدة في الشكل 4.5. الآن نحسب المعاملات. لنبدأ بـ (a_0 )

[a_0 = frac {1} { pi} int ^ pi _ {- pi} f (t) dt = frac {1} { pi} int ^ pi_ {0} pi dt = بي. ]

التالي،

[a_n = frac {1} { pi} int ^ pi _ {- pi} f (t) cos (nt) dt = frac {1} { pi} int ^ pi_ {0 } pi cos (nt) dt = 0. ]

وأخيرا

[b_n = frac {1} { pi} int ^ pi _ {- pi} f (t) sin (nt) dt = frac {1} { pi} int ^ pi_ {0} pi sin (nt) dt = left [ frac {- cos (nt)} {n} right] _ {t = 0} ^ { pi} = frac { 1- cos ( pi n)} {n} = frac {1 - (- 1) ^ n} {n} = left { begin {array} {c} frac {2} {n} ~~~~ { rm {~ if ~}} n { rm {~ غريب ، ~}} 0 ~~~~ { rm {~ if ~}} n { rm {~ هو ~ حتى. ~}} end {array} right. ]

سلسلة فورييه هي

[ frac { pi} {2} + sum ^ { infty} _ {n = 1 ~ n ~ rm {odd}} frac {2} {n} sin (nt) + sum ^ { infty} _ {k = 1} frac {2} {2k-1} sin ((2k-1) t). ]

دعونا نكتب أول 3 توافقيات من السلسلة من أجل (f (t) ).

[ frac { pi} {2} +2 sin (t) + frac {2} {3} sin (3t) + cdots ]

يتم إعطاء مؤامرة هذه الثلاثة الأولى وأيضًا من أول 20 مصطلحًا من السلسلة في الشكل 4.6.

الشكل 4.6: التوافقيات الثلاثة الأولى (الرسم البياني الأيسر) و 20 (الرسم البياني الأيمن) لوظيفة الموجة المربعة.

لقد تجنبنا حتى الآن مسألة التقارب. على سبيل المثال ، إذا كانت (f (t) ) هي دالة الموجة المربعة ، فإن المعادلة

[f (t) = frac { pi} {2} + sum_ {k = 1} ^ { infty} frac {2} {2k-1} sin ((2k-1) t). ]

هي فقط مساواة لمثل (t ) حيث (f (t) ) مستمر. أي أننا لا نحصل على مساواة لـ (t = - pi ، 0 ، pi ) وجميع الانقطاعات الأخرى لـ (f (t) ). ليس من الصعب أن نرى أنه عندما يكون (t ) عددًا صحيحًا مضاعفًا لـ ( pi ) (والذي يتضمن جميع نقاط التوقف) ، إذن

[ frac { pi} {2} + sum_ {k = 1} ^ { infty} frac {2} {2k-1} sin ((2k-1) t) = frac { pi } {2}. ]

نعيد تعريف (f (t) ) في ([- pi ، pi] ) كـ

[f (t) = left { start {array} {cc} 0 & ~~~~ { rm {~ if ~}} - pi

ويمتد بشكل دوري. السلسلة تساوي هذا الممتد (f (t) ) في كل مكان ، بما في ذلك الانقطاعات. بشكل عام لن نقلق بشأن تغيير قيم الدالة في عدة نقاط (عدد محدود).

سنقول المزيد عن التقارب في القسم التالي. ومع ذلك ، دعونا نذكر بإيجاز تأثير الانقطاع. دعونا نكبر بالقرب من عدم الاستمرارية في الموجة المربعة. علاوة على ذلك ، دعونا نرسم أول 100 توافقيات ، انظر الشكل 4.7. ستلاحظ أنه على الرغم من أن السلسلة تعد تقريبًا جيدًا بعيدًا عن الانقطاعات ، إلا أن الخطأ (التجاوز) بالقرب من الانقطاع عند (t = pi ) لا يبدو أنه يصبح أصغر. يُعرف هذا السلوك بظاهرة جيبس. تصبح المنطقة التي يكون فيها الخطأ كبيرًا ، ومع ذلك ، كلما زاد عدد المصطلحات في السلسلة التي نأخذها.

الشكل 4.7: ظاهرة جيبس ​​في العمل.

يمكننا أن نفكر في وظيفة دورية على أنها "إشارة" كونها تراكب للعديد من إشارات التردد النقي. على سبيل المثال ، يمكننا التفكير في الموجة المربعة كنغمة لتردد أساسي معين. سيكون ، في الواقع ، تراكبًا للعديد من النغمات النقية المختلفة للترددات التي تعد مضاعفات التردد الأساسي. من ناحية أخرى ، فإن الموجة الجيبية البسيطة هي فقط النغمة النقية. إن أبسط طريقة لإصدار صوت باستخدام الكمبيوتر هي الموجة المربعة ، ويختلف الصوت كثيرًا عن النغمات النقية اللطيفة. إذا كنت قد لعبت ألعاب فيديو من ثمانينيات القرن الماضي أو نحو ذلك ، فقد سمعت كيف تبدو الموجات المربعة.


تبسيط إلى تعبير مثلثي واحد: 2 sin (pi / 4) 2 cos (pi / 4)

تعثرت في هذا حتى بعد البحث عن حل عبر الإنترنت:

تبدو مألوفة ، مثل خطيئة الزاوية المزدوجة

الخطيئة ((2 (pi / 4) = 2 sin (pi / 4) cos (pi / 4)

إذن الخطيئة (pi / 2) = 2 sin (pi / 4) cos (pi / 4)

تشير الخطوة الأخيرة الموضحة إلى ذلك

2 خطيئة (بي / 2) = 2 sin (pi / 4) 2 cos (pi / 4)

إذن ، الجزء الأخضر الداكن جزء من صيغة الزاوية المزدوجة

2 sin θ = cos θ - sin (2θ) إعادة ذلك. يا إلهي ، عقلي مقلي اليوم. أعتقد أن احتساب 1/2 يأتي بعد ذلك بطريقة أو بأخرى؟ سيكون موضع تقدير أي مساعدة.

دكتور بيترسون

عضو النخبة

تعثرت في هذا حتى بعد البحث عن حل عبر الإنترنت:

تبدو مألوفة ، مثل خطيئة الزاوية المزدوجة

الخطيئة ((2 (pi / 4) = 2 sin (pi / 4) cos (pi / 4)

إذن الخطيئة (pi / 2) = 2 sin (pi / 4) cos (pi / 4)

تشير الخطوة الأخيرة الموضحة إلى ذلك

2 خطيئة (بي / 2) = 2 sin (pi / 4) 2 cos (pi / 4)

إذن ، الجزء الأخضر الداكن جزء من صيغة الزاوية المزدوجة

2 sin θ = cos θ - sin (2θ) إعادة ذلك. يا إلهي ، عقلي مقلي اليوم. أعتقد أن احتساب 1/2 يأتي بعد ذلك بطريقة أو بأخرى؟ سيكون موضع تقدير أي مساعدة.

الجزء الأخضر هو إجابه. لقد ضاعفت معادلة الزاوية المزدوجة بشكل أساسي لتحصل على 2 sin (pi / 2) = 2 sin (pi / 4) 2 cos (pi / 4).

لكن لماذا بعد ذلك طرحت cosθ؟ سيكون هذا صالحًا إذا تمت إضافته ، لكنك لا تتراجع عمليه الضرب بواسطة طرح.

علاوة على ذلك ، ليست هناك حاجة للتراجع عن أي شيء! ما بدأت به هو الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه ، وقد أظهرت أنه يساوي الجانب الأيسر ، وبالتالي فإن الجانب الأيسر هو الإجابة المبسطة: 2 sin (pi / 2). ما الجواب الذي قدمه هذا الموقع؟ أليس كذلك؟

وإذا لم تذكر المشكلة الأصلية التي تعمل عليها بالفعل ، فهل يمكنك اقتباسها لنا بالضبط؟ يجب أن أقول ، & quot ؛ تعبير مثلثي & quot يبدو أنه لا ينبغي أن يكون هناك معامل خارج الإجابة ، وهو أمر لا يمكن أن يحدث هنا بقدر ما أستطيع رؤيته ويبدو أن الرقم 2 في المنتصف غريب بالنسبة للتعبير كما هو معطى.

رياضيات

عضو جديد

مرحبًا دكتور بيترسون ، شكرًا لك على ردك. آسف على أي لبس. لفرز البدء في المسألة ، يعطينا التعبير & quot2 sin (2x) = 2 sin (x) 2 cos (x) & quot ثم يطلب منا & quots التبسيط إلى تعبير مثلثية واحد & quot

بالنسبة إلى وجهة نظرك ، أعتقد أنهم قصدوا الانتقال من تعبيرين مثلثيين (2sinxCosx) إلى واحد ، وأنه لا بأس في الحصول على معامل.

والمشكلة هي مشكلة فردية لذا فإن الحل في نهاية الكتاب هو بالفعل

يُظهر الحل عبر الإنترنت معظم العمل ، ولكن ليس كل ذلك لأن الشخص الذي يقوم بحلها بالطبع يعتبر أمرًا مفروغًا منه أنك تعرف ما يفكر فيه.

على أي حال ، سؤالي حول ما قلته & quot في الأساس ، لقد ضاعفت صيغة الزاوية المزدوجة & quot. كيف حصلوا على 2 أمام الخطيئة (pi / 2) و 2 أمام cos

انظر ، أنا أتبع الحل فقط فيما يتعلق بهذه النقطة:

الخطيئة (pi / 2) = 2 sin (pi / 4) cos (pi / 4)

حتى الآن لا يوجد معامل 2 على الجانب الأيسر ، NOR قبل cos. أرى أن هذه صيغة زاوية مزدوجة مع x = pi / 4 ، لذلك أصبحت الزاوية المزدوجة & quothidden & quot في الجانب الأيسر. Pi / 2 هي (2 (pi / 4)

الخطوة التالية تجعل المعامل 2 يظهر على الجانب الأيسر وعلى الجانب الأيمن قبل جيب التمام. يرجى ملاحظة اللون البرتقالي & quot2 & quot. لوطي.

2 الخطيئة (باي / 2) = 2 خطيئة (باي / 4) 2 كوس (بي / 4)

إذن ، بضرب الطرف الأيسر في 2. نضرب جيب التمام في الطرف الأيمن (وليس الخطيئة) في 2؟

2 الخطيئة (2 س) = 2 خطيئة (س) 2 كوس (س)

لماذا ضرب الطرف الأيسر في 2 يجعل 2 يظهر أمام جيب التمام في الطرف الأيمن؟ أفضل ما يمكنني تخمينه هو أنه تحول؟ 2 sin x تضاعف السعة؟ و. ليس لدي أي فكرة .. أنا فقط أخمن. ليس لدي أي فكرة عن كيفية ارتباط cos x على الجانب الأيمن بتحويل السعة.

تحرير: ربما في مكان ما في إثبات صيغة الزاوية المزدوجة؟ الذي سأذهب إليه

تحرير رقم 2: ماذا ثلاث مرات صيغة الزاوية المزدوجة تفعل؟ هذا؟ 3 الخطيئة (2 س) = 2 خطيئة (س) 3 كوس (س)؟


لقطات


التكامل بالتعويض المثلثي

اعتمادًا على الدالة التي نحتاج إلى تكاملها ، يمكننا استخدام هذا التعبير المثلثي كتعويض لتبسيط التكامل:

مثال 1: ابحث عن التكامل $ displaystyle int << frac <> << sqrt <<<^<2>>+16>>>>>>$?

إذا أعدنا كتابة التعبير داخل التكامل كـ $ displaystyle sqrt <<<^ <2>> +16 >> = sqrt <<<<< (4) >> ^ <2>> + <^ <2> >>> $ ثم نرى أن لدينا الشكل الثاني أعلاه وهو:

لذلك سوف نستبدل $ displaystyle x = 4 tan theta $ ونحصل على $ displaystyle dx = 4 << sec> ^ <2>> theta d theta $

الهويات المثلثية المفيدة التي سنستخدمها هي $ displaystyle << sec> ^ <2>> theta = 1 + << tan> ^ <2>> theta $

$ displaystyle sqrt << 16 <<< sec >> ^ <2>> ثيتا >> = 4 sec theta $

استبدال $ displaystyle 4 sec theta $ and $ displaystyle dx = 4 << sec> ^ <2>> theta d theta $ في التكامل المحدد:

الآن نكتب الإجابة بدلالة x.

$ displaystyle tan theta = frac<4>$

بالتعويض ، نحصل على الإجابة النهائية:

مثال 2: ابحث عن التكامل $ displaystyle int << sqrt << 4 <^ <2>> -9 >>>> dx $؟

إذا أعدنا كتابة التعبير داخل التكامل كـ $ displaystyle sqrt << 4 <^ <2>> -9 >> = sqrt <<<<< (2x) >> ^ <2>> - <<< (3) >> ^ <2> >>> $ ثم نرى أن لدينا الشكل الثالث أعلاه هو:

لذلك سنقوم $ displaystyle x = frac <3> <2> sec theta $ and $ displaystyle dx = frac <3> <2> sec theta tan theta d theta $

الهويات المثلثية المفيدة التي سنستخدمها $ displaystyle << tan> ^ <2>> theta = << sec> ^ <2>> theta -1 $

ثم سيكون لدينا $ displaystyle sqrt << 4 <^ <2>> -9 >> = sqrt << 4 <<< ( frac <3> <2> sec theta) >> ^ <2>> -9 >> $

$ displaystyle sqrt <<<<< tan >> ^ <2>> theta >> = tan theta $

استبدال $ displaystyle x = frac <3> <2> sec theta $ and $ displaystyle dx = frac <3> <2> sec theta tan theta d theta $ في التكامل المحدد:

$ displaystyle frac <3> <2> int <<<<< tan >> ^ <2> >>> theta sec theta d theta = frac <3> <2> int < <(<<< sec >> ^ <2>> ثيتا -1) >> ثانية ثيتا د ثيتا = $

$ displaystyle frac <3> <4> ( sec theta tan theta - ln ( sec theta + tan theta) + C $

الآن نكتب الإجابة بدلالة x.

$ displaystyle sec theta = frac <<2x>> <3> $ أو ($ displaystyle cos theta = frac <3> <<2x>> $)


التسلسل والمتسلسلات & # 8211 أسئلة الممارسة

س 1. لنفترض أن α ، β هي جذور x 2 + k x + 1 = 0 و γ ، δ هي جذور x 2 + x + k = 0.

(أ) إذا كانت α و β و γ و في تسلسل حسابي ، فابحث عن الفرق المشترك لهذه المتتالية الحسابية بدلالة k ،

(ب) إذا كانت α و β و γ و في تسلسل هندسي ، فأوجد النسبة الشائعة لهذا التسلسل الهندسي بدلالة k.

س 2. إذا كان الحد الثالث من المتتابعة الهندسية هو 3 ، فأوجد حاصل ضرب أول 5 حدود؟

س 3. مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية مع المصطلح الأول x يساوي 3. أظهر أن - 6 & lt x & lt 0.

س 4. أوجد معامل x 49 في كثير الحدود p (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3). . . . . . . . . . . . (x - 50).

س 5. إذا كان S 1 ، S 2 ، S 3 ،. . . . . . . . . . . . ، S n هي مجموع السلاسل الهندسية اللانهائية التي تكون حدودها الأولى 2 ، 3 ، 4 ،. . . . . . . . . . (ن - 1) ونسبها المشتركة

1 3 ، 1 4 ، 1 5 ،. . . . . . . . . . ، 1 n على التوالي ، أوجد قيمة S 1 + S 2 + S 3 +. . . . . . . . . . . . . + S 2 ن.

س 6. أوجد حدود c إذا 1 ، log b a ، log c b ، - 24 log a c متتابعة حسابية.

س 7. أوجد قيمة x إذا كانت ln (3 x - 1) ، ln (3 x + 1) ، ln (3 x + 1 - 1) في تسلسل حسابي.

س 8. أوجد مجموع n حدًا من المتسلسلة: 3 2 + 5 4 + 9 8 + 17 16 +. . . . . . . . . . .

س 9. ln a - ln 2 b، ln 2 b - ln 3 c، ln 3 c - ln a في تسلسل حسابي. إذا أ ، ب ، ج

في تسلسل هندسي ، أظهر أن أ = 9 ج 4.

س 10. مجموع متتابعين حسابيين لهما n

حيث في النسبة 3 ن: (2 ن - 1). أوجد نسبة حدي 23 rd.

س 11. بيّن أن مجموع حد n من المتسلسلة 2 + 8 3 + 26 9 + 80 27 + 242 81 +. . . . . . . . . هو 3 ن - 3 2 + 1 2 × 3 ن - 1.

س 12. إذا كانت S = 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 +. . . . . . . . . . . . ∞ ، ثم أوجد قيمة 0. 5 سجل 3 S.

س 13. أوجد قيم a و b و c if

س 11-1 س - 1 = 1 + أ س + ب س 2 + ج س 3 +. . . . . . . . . . . . + x 10 حيث أ ، ب ، ج.

س 14. إذا كانت a و b و c هي الحدود m t h و n t h و p t h على التوالي من متتالية حسابية وأيضًا متتالية هندسية ، فقم بتوضيح أن قيمة a b - c b c - a c a - b تساوي 1.

س 15. إذا كانت x ، y ، z هي على التوالي p t h ، q t h ، r t h من متوالية هندسية ، فقم بتوضيح أن قيمة q - r ln x + r - p ln y + p - q ln z تساوي صفرًا.

س 16. (أ) للتقدم الهندسي حد ثانٍ وهو 12 ومجموع ما لا نهاية هو 54. أوجد القيم المحتملة للحد الأول من التقدم. [4 درجات]

(ب) الحد n من التقدم هو p + q n ، حيث p و q ثوابت ، و S n هو مجموع أول n حد.
(ط) ابحث عن تعبير بدلالة p و q و n من أجل S n. [3 درجات]

(2) إذا كان S 4 = 40 و S 6 = 72 ، فأوجد قيمتي p و q. [درجتان]

س 17. تسلسل أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ،. . . . . يتم تعريفه بواسطة

أ 1 = 1 أ ن + 1 = ك أ ن + 1 أ ن ، ن ≥ 1

حيث k ثابت موجب.
(أ) اكتب التعابير الخاصة بـ 2 و 3 بدلالة k ، مع إعطاء إجابتك في أبسط صورة. (3 درجات)

إذا كانت ∑ r = 1 3 a r = 10
(ب) أوجد قيمة دقيقة لـ k. (3 درجات)

س 18. تخطط شركة ، التي تنتج 140 دراجة كل أسبوع ، لزيادة إنتاجها.
يجب زيادة عدد الدراجات المنتجة بمقدار d كل أسبوع ، بدءًا من 140 في الأسبوع 1 ، إلى 140 + d في الأسبوع 2 ، إلى 140 + 2 d في الأسبوع 3 وهكذا ، حتى تنتج الشركة 206 في الأسبوع 12.
(أ) أوجد قيمة د. (درجتان)
بعد الأسبوع 12 ، تخطط الشركة لمواصلة صنع 206 دراجة كل أسبوع.
(ب) أوجد العدد الإجمالي للدراجات التي سيتم تصنيعها في أول 52 أسبوعًا بدءًا من الأسبوع الأول بما في ذلك (5 درجات)

س 19. أول ثلاثة حدود في المتوالية الهندسية هي 7 k - 5 ، 5 k - 7 ، 2 k + 10 حيث k ثابت.
(أ) بيّن أن 11 ك 2-130 ك + 99 = 0 (4 درجات)
بالنظر إلى أن k ليس عددًا صحيحًا ،
(ب) أظهر أن k = 9 11 (درجتان)
لهذه القيمة k ،
(ج) (1) تقييم الحد الرابع من التسلسل ، مع إعطاء إجابتك في صورة كسر دقيق.
(2) تقييم مجموع البنود العشرة الأولى من التسلسل. (6 درجات)

س 20. تسلسل u 1 ، u 2 ، u 3 ،. . . . . . . يتم تعريفه بواسطة u 1 = 7 ، u n + 1 = u n + 15.
يُشار إلى مجموع أول n حد من هذا التسلسل بواسطة S n. شروط المتتالية الثانية v 1، v 2، v 3،. . . . . . تشكل تقدمًا هندسيًا مع الحد الأول 1.2 والنسبة المشتركة 1.2.
(ط) أظهر أن u 3 + v 3 = 38. 728. [درجتان]
(2) أظهر أن S 70 = 36715. [3 درجات]
(iii) أوجد أكبر قيمة لـ p مثل v p & lt S 70. [3 درجات]
(4) أوجد أكبر قيمة لـ q بحيث يكون S q & lt v 70. [4 درجات]

س 21. الحدود الثلاثة الأولى من المتتالية مُعطاة بـ 5 x + 8 ، - 2 x + 1 ، x - 4
(أ) عندما تكون x = 11 ، أظهر أن المصطلحات الثلاثة الأولى تشكل بداية متوالية هندسية ، واذكر قيمة النسبة المشتركة.

(ب) إذا كان التسلسل بأكمله هندسيًا لـ x = 11
(1) اذكر سبب وجود مجموع ما لا نهاية للسلسلة المرتبطة
(2) احسب هذا المجموع إلى ما لا نهاية.

(ج) توجد قيمة ثانية لـ x تعطي أيضًا تسلسلًا هندسيًا.
لهذا التسلسل الثاني
(1) أظهر أن x 2-8 x - 33 = 0
(2) أوجد المصطلحات الثلاثة الأولى
(3) حدد قيمة S 2 n وبرر إجابتك.

22. للمتتابعة الهندسية حد أول 80 ونسبة مشتركة 1 3.
(أ) لهذا التسلسل ، احسب:
(i) الحد 7 t h [درجتان]
(2) مجموع ما لا نهاية للسلسلة الهندسية المرتبطة. [درجتان]
الحد الأول من هذه المتتابعة الهندسية يساوي الحد الأول من المتتابعة الحسابية.
مجموع الحدود الخمسة الأولى لهذه المتتابعة الحسابية هو 240.
(ب) (ط) أوجد الاختلاف المشترك لهذا التسلسل. [درجتان]
(2) اكتب تعبيرًا عن الحد التاسع وتبسيطه. [علامة واحدة]
لنفترض أن S n تمثل مجموع أول n حد من هذه المتتابعة الحسابية.
(ج) أوجد قيم n التي يكون S n = 144. [3 درجات]

23. (أ) ثلاثة حدود متتالية فى متوالية حسابية هى 3 e - p، 5، 3 e p. أوجد القيم الممكنة لـ p. أعط إجاباتك بشكل دقيق.

(ب) أثبت أنه لا توجد قيمة محتملة لـ q حيث تكون 3 e - q، 5، 3 e q شروطًا متتالية للتتابع الهندسي.


هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين في جميع أنحاء العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


4.2: المتسلسلة المثلثية - الرياضيات


بما أن $ displaystyle (المجاور) ^ 2 + (المقابل) ^ 2 = (الوتر) ^ 2 longrightarrow $ $ (المجاور) ^ 2 + (x) ^ 2 = (2) ^ 2 longrightarrow المجاور = sqrt <4-x ^ 2> longrightarrow $ $ cos theta = displaystyle <المجاور over hypotenuse> = displaystyle < sqrt <4-x ^ 2> over 2> $ ثم $ displaystyle <2 theta + 2 sin theta cos theta> + C = 2 arcsin Big ( frac <2> Big) + 2 cdot displaystyle cdot displaystyle < sqrt <4-x ^ 2> over 2> $ = displaystyle 2 arcsin Big ( frac <2> Big) + frac <1> <2> x cdot sqrt <4-x ^ 2> + C $ عند استخدام طريقة استبدال حساب المثلثات ، سنستخدم دائمًا أحد الأساليب الثلاثة المعروفة التالية هويات حساب المثلثات:

        • (I) $ 1 - sin ^ 2 theta = cos ^ 2 theta $
        • (II) $ 1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta $ and
        • (III) $ ثانية ^ 2 ثيتا - 1 = tan ^ 2 theta $
        • 1.) $ displaystyle = sin x + C $
        • 2.) $ displaystyle < int sin x ، dx> = - cos x + C $
        • 3.) $ displaystyle = tan x + C $
        • 4.) $ displaystyle = - cot x + C $
        • 5.) $ displaystyle = sec x + C $
        • 6.) $ displaystyle = - csc x + C $
        • 7.) $ displaystyle = ln | ثانية x | + C $
        • 8.) $ displaystyle = ln | الخطيئة x | + C $
        • 9.) $ displaystyle = ln | ثانية x + tan x | + C $
        • 10.) $ displaystyle = ln | csc x - cot x | + C $

            • أ) $ sin 2x = 2 sin x cos x $
            • B.) $ cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 $ حتى أن $ cos ^ 2 x = displaystyle < frac <1> <2> (1 + cos 2x)> دولار
            • C.) $ cos 2x = 1 - 2 sin ^ 2 x $ so that $ sin ^ 2 x = displaystyle < frac <1> <2> (1 - cos 2x)> $
            • D.) $ cos 2x = cos ^ 2 x - sin ^ 2 x $

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 1.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 2.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 3.

            انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 4.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 5.

            انقر هنا للاطلاع على حل تفصيلي للمشكلة 6.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 7.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 8.

            انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 9.

            انقر هنا للاطلاع على حل تفصيلي للمشكلة 10.

            انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 11.

            انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 12.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 13.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 14.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 15.

            انقر هنا أو هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 16.

            انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 17.

            انقر هنا للعودة إلى القائمة الأصلية لأنواع مختلفة من مشاكل التفاضل والتكامل.

            تعليقاتك وإقتراحاتك مرحب بها. يرجى إرسال أي مراسلات بالبريد الإلكتروني إلى دوان قبة من خلال النقر على العنوان التالي:

            يتم إرسال عبارة "شكرًا لك" الصادقة إلى The MathJax Consortium و Desmos Grapher عبر الإنترنت لجعل إنشاء الرسوم البيانية وصفحة الويب هذه أمرًا ممتعًا وسهلاً.


            التعويض المثلثي

            خذ بعين الاعتبار [ int frac< sqrt <9-x ^ 2 >>. ] للوهلة الأولى ، قد نحاول استبدال $ u = 9-x ^ 2 $ ، لكن هذا سيجعل التكامل أكثر تعقيدًا!

            لنجرب & # 8217s نهجًا مختلفًا:

            يمثل الجذر $ displaystyle sqrt <9-x ^ 2> $ طول قاعدة مثلث قائم الزاوية بارتفاع $ x $ وطول طوله $ 3 $:

            بالنسبة لهذا المثلث ، $ displaystyle sin theta = frac<3> $ ، مما يشير إلى الاستبدال $ x = 3 sin theta $. ثم $ displaystyle theta = arcsin left ( frac<3> right) $ ، حيث نحدد $ - pi / 2 leq theta leq pi / 2 $. لاحظ أن $ dx = 3 cos theta ، d theta $ وأن $ sqrt <9-x ^ 2> = 3 cos theta $.

            مع هذا التغيير في المتغيرات ، [ int frac< sqrt <9-x ^ 2 >> = int frac <3 cos theta ، d theta> <3 cos theta> = int d theta = theta + C = arcsin اليسار ( frac<3> right) + C. ]

            • يعد رسم المثلث مفيدًا جدًا في تحديد الاستبدال الذي يجب إجراؤه. لاحظ ، مع ذلك ، أن الرسم التخطيطي له معنى فقط لـ $ x> 0 $ و $ theta> 0 $.
            • من المهم توخي الحذر بشأن كيفية تعريف الزاوية $ theta $. مع القيود المفروضة على $ theta $ المذكورة في الأمثلة هنا ، نتجنب صعوبات التوقيع حتى عند $ x & lt 0 $.

            هناك نوعان من الاستبدالات المثلثية الأخرى مفيدة في التكاملات ذات الأشكال المختلفة:

            مثال

            لنقم & # 8217s بتقييم [ int frac<>>. ] الجذر $ sqrtيقترح $ مثلثًا بطول الوتر $ x $ وقاعدة الطول $ 2 $:

            بالنسبة لهذا المثلث ، $ displaystyle sec theta = frac<2> $ ، سنحاول الاستبدال $ x = 2 sec theta $. ثم $ displaystyle theta = sec ^ <-1> left ( frac<2> ight)$, where we specify leq heta<pi/2$ or $pileq heta <3pi/2$. Note that $dx=2sec heta an heta , d heta$ and that $sqrt=2 an heta$.

            We may also use a trigonometric substitution to evaluate a واضح integral, as long as care is taken in working with the limits of integration:

            مثال

            We will evaluate [int^1_<-1>frac<(1+x^2)^2>.] The factor $(1+x^2)$ suggests a triangle with base of length $1$ and height $x$:

            For this triangle, $ an heta =x$, so we will try the substitution $x= an heta$. Then $ heta = an^<-1>(x)$, where we specify $-pi/2< heta <pi/2$. Here, $dx=sec^2 heta , d heta$. Also, $sqrt<1+x^2>=sec heta$ so $(1+x^2)^2 = sec^4 heta$.

            There is often more than one way to solve a particular integral. A trigonometric substitution will not always be necessary, even when the types of factors seen above appear. With practice, you will gain insight into what kind of substitution will work best for a particular integral.

            المفاهيم الرئيسية

            Trigonometric substitutions are often useful for integrals containing factors of the form [(a^2-x^2)^n,qquadqquad (x^2+a^2)^n,qquad >qquad (x^2-a^2)^n.] The exact substitution used depends on the form of the integral:


            MathHelp.com

            The tangent is equal to 1 for on the first period. But this exercise wants the answer "in full generality". Obviously, I can't list out all of the solution values, because there are infinitely many of them. So I'll have to use a formula.

            From what I know about the graph of the tangent, I know that the tangent will equal 1 at 45° after every 180° . These solutions for are at 0° + 45°, 180° + 45°, 360° + 45° , and so forth. To give the answer "in full generality", I'll use a formula:

            Now I need to solve for x بحد ذاتها. I'll multiply through by 2 :

            In radians, the solution above would be etc and the general solution would be

            Solve 3tan 3 (x) &ndash 3tan 2 (x) &ndash tan(x) + 1 = 0 in full generality.

            The first equation solves, in the first period, as:

            The second solves, in the first period, as:

            To make the solution "general", I need to state the above solutions formulaically, to account for every period.

            The first solution is 45° more than a multiple of 180° , so (180ن)° + 45° should do. The second solution is 30° more than a multiple of 180° and (because of the "plus / minus") also 30° less than that same multiple, so (180ن)° ± 30° will cover this part.

            Solve on [0, 2&pi)

            When nothing looks like it's going to work, sometimes it helps to put everything in terms of sine and cosine. That process, applied to this equation, gives me:

            That's not a whole lot better. but the first two terms share a common factor of 2 . If I convert the last term to a common denominator with the third term, what will that give me?

            If I factor a 2 from the first two terms and the square root of 3 and a cosine from the second two terms, I'll get:

            Now I can take the common factor out front:

            Whew! That actually worked! Okay, now I need to solve the factors. The first factor solves as:

            This equation is true at x = 60° and, by the symmetry of the tangent curve, also at x = 180° + 60° = 240° . In radians, this is .

            The second factor solves as:

            Cosine takes on this value at x = 30° and, by the symmetry of the cosine curve, also at x = 360° &ndash 30° = 330° . In radians, this is . So my solution is:

            Solve ln(2 &ndash sin 2 (x)) = 0 on 0° & lt x < 360°

            The natural log (well, أي log) is zero when the argument is 1 , so this gives me:

            From what I know of the sine wave, my solution is:

            Solve on [0, 2&pi)

            By nature of logarithms, the equivalent exponential equation is:

            The sine takes on this value at and also at . Then my solution is:

            Expect to need to factor (especially quadratics) in order to solve some trig equations, and also expect to need to use trig identities. Don't be afraid to try different methods sometimes your first impulse doesn't lead anywhere helpful, but your second guess might work fine. And pay particular attention to any oddly complex examples in your textbook, as these may hold hints about what tricks you will need, especially on the next test.

            You can use the Mathway widget below to practice solving trigonometric equations. جرب التمرين الذي تم إدخاله ، أو اكتب التمرين الخاص بك. (Unless you're told to solve "in full generality" remember to include an interval, as shown below.) Then click the button and, for best results, select "Solve over the Interval", to compare your answer to Mathway's.

            Note: The solver can only provide "exact" solutions, and sometimes any solution at all, if you're in radians. Use degrees at your own risk!

            (انقر فوق & quotTap لعرض الخطوات & quot ليتم نقلك مباشرةً إلى موقع Mathway للحصول على ترقية مدفوعة.)


            4.2: The Trigonometric Series - Mathematics

            `Kl0PdY*:$au^lB, ]*Td3oIbS][email protected]'?Idr"-MoRJjZWdo.lS-1UGdTseE4LL0.'=kXu`DN>E'@!u*u=5rJ'n 2Ye3_"m+89hNM8/Oh:RY]-SnK%!4(tg+ZlmkjE!I?%Db(p8mlA,`W?^Pt]#&6"mu79.[sOQUhcKkH( ]&oUI$*0+R([email protected]!X#1B]f+,NQiud72?PZ*,#_`7&ESL6c !#51!B:pU]07bU",_&#j/O uFp5CK7GB-Ahmi9_jftW03.^9=4RNW$1KLB #odB=)C?Q/MDK:1FT+EDX(h#I?tK&Pl%K"G,Q [email protected] WKCL)-Z?ODaLL$SLP'

            N,]p=]iJ''iO O,sk4jjOjS5D,s(=IFt9sGcf,C0]@*F(eHE%URS8'[email protected]=2IV$09H(a_8bD>jS,aDo4OG 2[jRCitfXQidV8c[K+SY_Y%'cD$eWQ7#@&>0s"[email protected][810q`tbuYPoHDM)->-mHT

            $ @)5DE,V)QQ!Me]_aLcUgZ[q$lp'0:P_f%=/QDN!RMV9WdGY9F7`O1iR:s?kgipUc4#S9#S_ s jaKlX3Ys8k]i9JLkh U[X(0EKD.!E-CYk>].+LTQd


            شاهد الفيديو: #دمحمدتركي 19 المحاضرة التاسعة عشرة تفاضل وتكامل الدوال المثلثية تةد محمد تركي YouTube (شهر نوفمبر 2021).