مقالات

6.3: تحليل ثلاثي الحدود للصيغة ax² + bx + c - الرياضيات


أهداف التعلم

  • عامل ثلاثي الحدود من الشكل (ax ^ {2} + bx + c ).
  • حلل ثلاثي الحدود بعامل مشترك.

تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل للصيغة (ax ^ {2} + bx + c )

يمكن أن يكون تحليل القيم الثلاثية للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ) أمرًا صعبًا لأن الحد الأوسط يتأثر بعاملي كل من (a ) و (c ). لتوضيح ذلك ، ضع في اعتبارك ثلاثي الحدود مع عوامل التحليل التالية:

(10x ^ {2} + 17x + 3 = (2x + 3) (5x + 1) )

يمكننا الضرب للتحقق من أن هذا هو العامل الصحيح.

( begin {align} (2x + 3) (5x + 1) & = 10x ^ {2} + 2x + 15x + 3 & = 10x ^ {2} + 17x + 3 quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

كما رأينا من قبل ، فإن حاصل ضرب أول حد من كل ذي حدين يساوي الحد الأول من ثلاثي الحدود. الحد الأوسط من ثلاثي الحدود هو مجموع حاصل ضرب الحدود الخارجية والداخلية للحدين. حاصل ضرب آخر حد من كل ذي حدين يساوي الحد الأخير من ثلاثي الحدود. بصريا ، لدينا ما يلي:

على العموم،

( begin {align} color {Cerulean} {a} color {black} {x ^ {2} +} color {Cerulean} {b} color {black} {x +} color {Cerulean} { c} & = (px + m) (qx + n) & = pqx ^ {2} + pnx + qmx + mn & = color {Cerulean} {pq} color {black} {x ^ { 2} +} color {Cerulean} {(pn + qm)} color {black} {x +} color {Cerulean} {mn} end {align} )

هذا يعطينا ،

[a = pq quad text {and} quad b = pn + qm، quad text {where} quad c = mn ]

باختصار ، عندما يكون المعامل الرئيسي لثلاثي الحدود شيئًا غير (1 ) ، سيكون هناك المزيد الذي يجب مراعاته عند تحديد العوامل باستخدام طريقة التجربة والخطأ. المفتاح يكمن في فهم كيفية الحصول على المدى المتوسط. اضرب ((2x + 5) (3x + 7) ) واتبع تشكيل الحد الأوسط بعناية.

( begin {array} {ccc} {( color {Cerulean} {2x} color {black} {+} color {OliveGreen} {5} color {black} {) (3x + 7) = اللون {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 3x}}} & { underbrace {+ color {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 7 +} color {OliveGreen} { 5} color {black} { cdot 3x}}} & {+ color {OliveGreen} {5} color {black} { cdot 7}} {} & { color {Cerulean} {middle : term}} & {} end {array} )

( begin {align} & = 6x ^ {2} + 14x + 15x + 35 & = 6x ^ {2} + 29x + 35 end {align} )

إذا فكرنا في طريقة FOIL لضرب ذات الحدين ، فإن الحد الأوسط ينتج من مجموع حاصل الضرب الداخلي والمنتج الخارجي. في هذه الحالة (14x + 15x = 29x ) كما هو موضح أدناه:

لهذا السبب ، نحتاج إلى البحث عن حاصل ضرب عاملي الحدين الأول والأخير اللذين يساوي مجموعهما معامل الحد الأوسط. على سبيل المثال ، لتحليل العوامل (6x ^ {2} + 29x + 35 ) ، انظر إلى عوامل (6 ) و (35 ).

( start {array} {ccc} {6 = 1 cdot 6} & { quad} & {35 = 1 cdot 35} {= color {OliveGreen} {2 cdot 3}} & { quad} & {= color {OliveGreen} {5 cdot 7}} end {array} )

التركيبة التي تنتج معامل الحد الأوسط هي (2⋅7 + 3⋅5 = 14 + 15 = 29 ). تأكد من أن الحدود الخارجية لها معاملات (2 ) و (7 ) ، وأن الحدود الداخلية لها معاملات (5 ) و (3 ). استخدم هذه المعلومات لتحليل ثلاثي الحدود:

( begin {align} 6x ^ {2} + 29x + 35 & = (2x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (3x} quad color {Cerulean} {؟} اللون {أسود} {)} & = (2x + 5) (3x + 7) end {align} )

مثال ( PageIndex {1} )

عامل:

(3x ^ {2} + 7x + 2 ).

حل:

نظرًا لأن المعامل الرئيسي والحد الأخير كلاهما أولي ، فهناك طريقة واحدة فقط لتحليل كل منهما.

(3 = 1 cdot 3 quad text {and} quad 2 = 1 cdot 2 )

ابدأ بكتابة عوامل الحد الأول (3x ^ {2} ) على النحو التالي:

(3x ^ {2} + 7x + 2 = (x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (3x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

كلا المصطلحين الأوسط والأخير إيجابي ؛ لذلك ، يتم اختيار عوامل (2 ) كأرقام موجبة. في هذه الحالة ، يكون الخيار الوحيد هو أي تجميع لوضع هذه العوامل.

((x + 1) (3x + 2) quad text {or} quad (x + 2) (3x + 1) )

حدد التجميع الصحيح بضرب كل تعبير.

( start {align} (x + 1) (3x + 2) & = 3x ^ {2} + 2x + 3x + 2 & = 3x ^ {2} + 5x + 2 quad color {red} {x} (x + 2) (3x + 1) & = 3x ^ {2} + x + 6x + 2 & = 3x ^ {2} + 7x + 2 quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

لاحظ أن هذه المنتجات تختلف فقط في شروطها المتوسطة. لاحظ أيضًا أن الحد الأوسط هو مجموع حاصل الضرب الداخلي والخارجي ، كما هو موضح أدناه:

إجابه:

((س + 2) (3 س + 1) )

مثال ( PageIndex {2} )

عامل:

(12x ^ {2} + 38x + 20 ).

حل:

أولاً ، ضع في اعتبارك عوامل الحد الأول والأخير.

( start {array} {ccc} {12 = 1 cdot 12} & { quad} & {20 = 1 cdot 20} {= 2 cdot 6} & { quad} & {= 2 cdot 10} {= 3 cdot 4} & { quad} & {= 4 cdot 5} end {array} )

نبحث عن حاصل ضرب عوامل مجموعها يساوي معامل الحد الأوسط (38 ). للإيجاز ، يتم توضيح عملية التفكير بدءًا من العوامل (2 ) و (6 ). يبدأ التحليل في هذه المرحلة بالمصطلح الأول.

(12x ^ {2} + 38x + 20 = (2x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (6x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

نبحث عن عوامل العدد 20 التي تنتج حدًا متوسطًا 38x مع عوامل العدد 12

( start {array} {lll} {Factors : of : 20} & {Possible} & {factorization} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 1) ( 6x + 20)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 46x}} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 20) (6x + 1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 122x}} { color {Cerulean} {2 cdot 10}} & {(2x + 2) (6x + 10)} & { color { سيرولين} {middle : term Rightarrow 32x}} { color {Cerulean} {2 cdot 10}} & {(2x + 10) (6x + 2)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 64x}} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & {(2x + 4) (6x + 5)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 34x }} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & { color {OliveGreen} {(2x + 5) (6x + 4)}} & { color {OliveGreen} {middle : term Rightarrow 38x} quad color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

هنا ينتج عن المجموعة الأخيرة حد متوسط ​​ (38x ).

إجابه:

((2 س + 5) (6 س + 4) )

مثال ( PageIndex {3} )

عامل:

(10x ^ {2} −23x + 6 ).

حل

أولاً ، ضع في اعتبارك عوامل الحد الأول والأخير.

( start {array} {ccc} {10 = 1 cdot 10} & { quad} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 5} & { quad} & {= 2 cdot 3} نهاية {مجموعة} )

نحن نبحث عن حاصل ضرب عوامل مجموعها يساوي معامل الحد الأوسط (- 23 ). يبدأ التحليل في هذه المرحلة بمجموعتين من الأقواس الفارغة:

(10x ^ {2} -23x + 6 = ( quad) ( quad) )

نظرًا لأن الحد الأخير موجب والحد الأوسط سلبي ، فنحن نعلم أن كلا عاملي الحد الأخير يجب أن يكونا سالبين. نقوم هنا بإدراج جميع التركيبات الممكنة مع عوامل (10x ^ {2} = 2x⋅5x ).

(10x ^ {2} -23x + 6 = (2x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (5x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

( start {array} {ll} {(2x-1) (5x-6)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -17x}} {(2x-6) (5x -1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -32x}} {(2x-2) (5x-3)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -16x}} {(2x-3) (5x-2)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -19x}} end {array} )

لا توجد مجموعة ينتج عنها حد متوسط ​​ (- 23x ). ننتقل بعد ذلك إلى عوامل (10x ^ {2} = 10x⋅x ) وسرد جميع التركيبات الممكنة:

(10x ^ {2} -23x + 6 = (10x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

( start {array} {ll} {(10x-1) (x-6)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -61x}} {(10x-6) (x -1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -162x}} {(10x-2) (x-3)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -32x}} { color {OliveGreen} {(10x-3) (x-2)}} & { color {OliveGreen} {middle : term Rightarrow -23x} quad color {Cerulean} { checkmark}} نهاية {مجموعة} )

ويمكننا أن نكتب

إجابه:

((10x-3) (x-2) ). الاختيار الكامل متروك للقارئ.

يمكننا تقليل الكثير من التخمين الذي ينطوي عليه تحليل العوامل ثلاثية الحدود إذا أخذنا في الاعتبار جميع عوامل المصطلحين الأول والأخير ومنتجاتهما.

مثال ( PageIndex {4} )

عامل:

(5x ^ {2} + 38x-16 ).

حل:

نبدأ بعوامل (5 ) و (16 ).

( start {array} {cc} {} & {16 = 1 cdot 16} {5 = 1 cdot 5} & {= 2 cdot 8} {} & {= 4 cdot 4 } نهاية {مجموعة} )

نظرًا لأن المعامل الرئيسي أساسي ، فيمكننا البدء بما يلي:

(5x ^ {2} + 38x-16 = (x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (5x} quad color {Cerulean} {؟} color {black} { )} )

نبحث عن حاصل ضرب العوامل 5 و 16 التي يمكن أن تضيف إلى 38.

( start {array} {lll} {Factors : of : 16} & {Possible} & {products} { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color { Cerulean} {1} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} {16}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 1 : and : 80} } { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color {Cerulean} {16} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} { 1}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 16 : and : 5}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {2} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} {8}} & { color {OliveGreen} {products Rightarrow : 2 : and : 40} quad color {Cerulean} { checkmark}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {8} : color {black} {and : 5 } cdot color {Cerulean} {2}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 8 : and : 10}} { color {Cerulean} {4 cdot 4}} & {1 cdot color {Cerulean} {4} : color {black} {and : 5} cdot color {Cerulean} {4}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 4 : و : 20}} نهاية {مجموعة} )

نظرًا لأن الحد الأخير سلبي ، يجب أن نبحث عن العوامل ذات الإشارات المعاكسة. هنا يمكننا أن نرى أن المنتجين 2 و 40 يصل مجموعهما إلى 38 إذا كانت لهما علامات معاكسة:

(1 cdot ( color {Cerulean} {- 2} color {black} {) + 5 cdot} color {Cerulean} {8} color {black} {= - 2 + 40 = 38} )

لذلك ، استخدم (- 2 ) و (8 ) كعاملي (16 ) ، مع التأكد من أن المنتجات الداخلية والخارجية هي (- 2x ) و (40x ):

إجابه:

((س + 8) (5 س -2) ). الاختيار الكامل متروك للقارئ.

بعد الكثير من التدريب ، يمكن إجراء العملية الموضحة في المثال السابق عقليًا.

تمرين ( PageIndex {1} )

عامل:

(12 × ^ {2} -31 × 30 )

إجابه

((3x-10) (4x + 3) )

عند إعطاء قيم ثلاثية ذات متغيرات متعددة ، تكون العملية متشابهة.

مثال ( PageIndex {5} )

عامل:

(9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} ).

حل:

ابحث عن عوامل المصطلحين الأول والأخير بحيث يكون مجموع حاصل الضرب الداخلي والخارجي يساوي الحد الأوسط.

( start {array} {cc} {9x ^ {2} = 1x cdot 9x} & {25y ^ {2} = 1y cdot 25y} {= 3x cdot 3x} & {= 5y cdot 5y} نهاية {مجموعة} )

أضف المنتجات التالية للحصول على الحد الأوسط: (3x⋅5y + 3x⋅5y = 30xy ).

( start {align} 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} & = (3x quad) (3x quad) & = (3x + 5y) (3x + 5y) & = (3x + 5y) ^ {2} end {align} )

في هذا المثال ، لدينا ثلاثي حدود مربع كامل. الشيك.

( begin {align} (3x + 5y) ^ {2} & = 9x ^ {2} +2 cdot 3x cdot 5y + 25y ^ {2} & = 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

إجابه:

((3x + 5y) ^ {2} )

تمرين ( PageIndex {2} )

عامل:

(16x ^ {2} −24xy + 9y ^ {2} ).

إجابه

((4x-3y) ^ {2} )

تحليل ثلاثي الحدود مع العوامل المشتركة

من الممارسات الجيدة أن تُستخرج أولاً من الصندوق الأخضر للمناخ ، إذا كان هناك عامل واحد. يؤدي القيام بذلك إلى إنتاج عامل ثلاثي الحدود مع معاملات أصغر. كما رأينا ، تتطلب المعاملات الثلاثية ذات المعاملات الأصغر جهدًا أقل بكثير في التحليل. هذه الخطوة التي يتم التغاضي عنها بشكل شائع تستحق التحديد في وقت مبكر.

مثال ( PageIndex {6} )

عامل:

(12x ^ {2} -27x + 6 ).

حل:

ابدأ بإخراج العامل GCF.

(12x ^ {2} -27x + 6 = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) )

بعد أخذ 3 في الاعتبار ، تكون معاملات ثلاثي الحدود الناتج أصغر وتحتوي على عدد أقل من العوامل.

( start {array} {cc} {4 = color {OliveGreen} {1 cdot 4}} & {2 = color {OliveGreen} {1 cdot 2}} {= 2 cdot 2} & {} end {array} )

بعد بعض التفكير ، يمكننا أن نرى أن المجموعة التي تعطي معامل الحد الأوسط هي (4 (−2) +1 (−1) = - 8−1 = −9 ).

( begin {align} 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 3 (4x quad color {Cerulean} {؟} color {black} {) (x} quad color {Cerulean } {؟} color {black} {)} & = 3 (4x-1) (x-2) end {align} )

الشيك.

( begin {align} 3 (4x-1) (x-2) & = 3 (4x ^ {2} -8x-x + 2) & = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 12x ^ {2} -27x + 6 quad color {Cerulean} { checkmark} end {align} )

العامل (3 ) جزء من الصيغة المحللة إلى عوامل للتعبير الأصلي ؛ تأكد من إدراجه في الإجابة.

إجابه:

(3 (4x-1) (x-2) )

من الممارسات الجيدة العمل باستمرار مع القيم الثلاثية حيث يكون المعامل الرئيسي موجبًا.

مثال ( PageIndex {7} )

عامل:

(- x ^ {2} + 2x + 15 ).

حل

في هذا المثال ، المعامل الرئيسي هو (- 1 ). قبل بدء عملية العوملة ، استخرج (- 1 ):

(- x ^ {2} + 2x + 15 = -1 (x ^ {2} -2x-15) )

في هذه المرحلة ، حلل ثلاثي الحدود المتبقي كالمعتاد ، وتذكر كتابة (- 1 ) كعامل في إجابتك النهائية. لأن (3 + (−5) = −2 ) ، استخدم (3 ) و (5 ) كعوامل (15 ).

( start {align} -x ^ {2} + 2x = 15 & = - 1 (x ^ {2} -2x-15) & = - 1 (x quad) (x quad) & = - (س + 3) (س -5) نهاية {محاذاة} )

إجابه:

(- 1 (س + 3) (س -5) ). الشيك متروك للقارئ.

مثال ( PageIndex {8} )

عامل:

(- 60 أ ^ {2} -5 أ + 30 )

حل

العامل المشترك الأكبر لجميع المصطلحات هو (5 ). ومع ذلك ، في هذه الحالة ، أخرج العامل (- 5 ) لأن هذا ينتج عاملاً ثلاثي الحدود حيث يكون المعامل الرئيسي موجبًا.

(- 60a ^ {2} -5a + 30 = -5 (12a ^ {2} + a-6) )

ركز على عاملي (12 ) و (6 ) اللذين يجتمعان لإعطاء المعامل الأوسط (1 ).

( start {array} {cc} {12 = 1 cdot 12} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 6} & {= color {OliveGreen} {2 cdot 3} } {= color {OliveGreen} {3 cdot 4}} & {} end {array} )

بعد الكثير من التفكير نجد أن (3⋅3−4⋅2 = 9−8 = 1 ). حلل ثلاثي الحدود المتبقي إلى عوامل.

( begin {align} -60a ^ {2} -5a + 30 & = - 5 (12a ^ {2} + a-6) & = - 5 (4a quad) (3a quad) & = -5 (4a + 3) (3a-2) نهاية {محاذاة} )

إجابه:

(- 5 (4a + 3) (3a-2) ). الشيك متروك للقارئ.

تمرين ( PageIndex {3} )

عامل:

(24 + 2x − x ^ {2} ).

إجابه

(- 1 (س − 6) (س + 4) )

التحليل باستخدام طريقة AC

في هذا القسم ، نقوم بتحليل القيم الثلاثية للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ) باستخدام طريقة AC الموصوفة سابقًا.

مثال ( PageIndex {9} )

عامل باستخدام طريقة التيار المتردد:

(18x ^ {2} −21x + 5 ).

حل:

هنا (أ = 18 ، ب = −21 ) ، و (ج = 5 ).

( start {align} ac & = 18 (5) & = 90 end {align} )

حلل إلى عوامل (90 ) وابحث عن العوامل التي مجموعها (- 21 ).

( begin {align} 90 & = 1 (90) & = 2 (45) & = 3 (30) & = 5 (18) & = color {OliveGreen} {6 (15 )} quad color {Cerulean} { checkmark} & = 9 (10) end {align} )

في هذه الحالة ، مجموع العوامل (- 6 ) و (- 15 ) يساوي المعامل الأوسط ، (- 21 ). لذلك (- 21x = −6x − 15x ) ويمكننا الكتابة

(18x ^ {2} color {OliveGreen} {- 21x} color {black} {+ 5 = 18x ^ {2}} color {OliveGreen} {- 6x-15x} color {black} {+ 5 } )

حلل التعبير المكافئ إلى عوامل بالتجميع.

( begin {align} 18x ^ {2} -21x + 5 & = 18x ^ {2} -6x-15x + 5 & = 6x (3x-1) -5 (3x-1) & = ( 3x-1) (6x-5) نهاية {محاذاة} )

إجابه:

((3x-1) (6x-5) )

مثال ( PageIndex {10} )

حلل باستخدام طريقة التيار المتردد: (9x ^ {2} −61x − 14 ).

حل:

هنا (أ = 9 ، ب = -61 ) ، و (ج = -14 ).

نحن عامل (- 126 ) على النحو التالي:

( begin {align} -126 & = 1 (-126) & = color {OliveGreen} {2 (-63)} quad color {Cerulean} { checkmark} & = 3 (-42 ) & = 6 (-21) & = 7 (-18) & = 9 (-14) نهاية {محاذاة} )

مجموع العوامل (2 ) و (- 63 ) يساوي المعامل الأوسط (- 61 ). استبدل (- 61x ) بـ (2x − 63x ):

( begin {align} 9x ^ {2} -61x-14 & = 9x ^ {2} + 2x-63x-14 quad color {Cerulean} {Rearrange : the : terms.} & = 9x ^ {2} -63x + 2x-14 quad color {Cerulean} {Factor : by : grouping.} & = 9x (x-7) +2 (x-7) & = (x -7) (9x + 2) نهاية {محاذاة} )

إجابه:

((س -7) (9 س + 2) ). الشيك متروك للقارئ.

الماخذ الرئيسية

  • إذا كانت ثلاثية الحدود من النموذج (ax ^ {2} + bx + c ) عوامل في حاصل ضرب حدين ، فسيكون معامل الحد الأوسط هو مجموع حاصل ضرب عوامل الحد الأول والأخير.
  • إذا كان لدى ثلاثي الحدود عامل مشترك أكبر ، فمن أفضل الممارسات أن نخرج العامل المشترك الأكبر أولاً قبل محاولة تضمينه في منتج ذي الحدين.
  • إذا كان المعامل الرئيسي لثلاثية الحدود سالبًا ، فمن الأفضل تحليل هذا العامل السالب قبل محاولة تحليل ثلاثي الحدود.
  • يتطلب تحليل القيم الثلاثية للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ) الكثير من الممارسة والصبر. من المهم للغاية أن تأخذ الوقت الكافي لتصبح ماهرًا من خلال ممارسة الكثير من التمارين.

تمرين ( PageIndex {4} ) تحليل العوامل الثلاثية

عامل.

  1. (3x ^ {2} −14x − 5 )
  2. (5x ^ {2} + 7x + 2 )
  3. (2x ^ {2} + 5x − 3 )
  4. (2x ^ {2} + 13x − 7 )
  5. (2x ^ {2} + 9x − 5 )
  6. (7x ^ {2} + 20x − 3 )
  7. (7x ^ {2} −46x − 21 )
  8. (3 س ^ {2} + س − 2 )
  9. (5x ^ {2} + 34x − 7 )
  10. (5x ^ {2} −28x − 12 )
  11. (9x ^ {2} −12x + 4 )
  12. (4x ^ {2} −20x + 25 )
  13. (49x ^ {2} + 14x + 1 )
  14. (25x ^ {2} −10x + 1 )
  15. (2x ^ {2} + 7x + 16 )
  16. (6x ^ {2} −19x − 10 )
  17. (27x ^ {2} + 66x − 16 )
  18. (12x ^ {2} −88x − 15 )
  19. (12y ^ {2} −8y + 1 )
  20. (16y ^ {2} −66y − 27 )
  21. (9x ^ {2} −12xy + 4y ^ {2} )
  22. (25x ^ {2} + 40x + 16 )
  23. (15x ^ {2} −26xy + 8y ^ {2} )
  24. (12a ^ {2} −4ab − 5b ^ {2} )
  25. (4x ^ {2} y ^ {2} + 16xy − 9 )
  26. (20x ^ {2} y ^ {2} + 4xy − 7 )
  27. تُعطى مساحة المستطيل بالدالة (A (x) = 3x ^ {2} −10x + 3 ) ، حيث يقاس (x ) بالأمتار. أعد كتابة هذه الدالة في شكل عامل.
  28. تُعطى مساحة المستطيل بالدالة (A (x) = 10x ^ {2} −59x − 6 ) ، حيث يقاس (x ) بالأمتار. أعد كتابة هذه الدالة في شكل عامل.
إجابه

1. ((س − 5) (3 س + 1) )

3. ((س + 3) (2 س − 1) )

5. ((س + 5) (2 س − 1) )

7. ((س − 7) (7 س + 3) )

9. ((س + 7) (5 س − 1) )

11. ((3x − 2) ^ {2} )

13. ((7x + 1) ^ {2} )

15. رئيس الوزراء

17. ((3 س + 8) (9 س − 2) )

19. ((6y − 1) (2y − 1) )

21. ((3x − 2y) ^ {2} )

23. ((3 س − 4 ص) (5 س − 2 ص) )

25. ((2xy − 1) (2xy + 9) )

27. (A (x) = (3x − 1) (x − 3) )

تمرين ( PageIndex {5} ) تحليل العوامل الثلاثية ذات العوامل المشتركة

عامل.

  1. (6x ^ {2} −20x − 16 )
  2. (45x ^ {2} + 27x − 18 )
  3. (20x ^ {2} −20x + 5 )
  4. (3x ^ {2} + 39x − 90 )
  5. (16x ^ {2} + 26x − 10 )
  6. (54x ^ {2} −15x + 6 )
  7. (45x ^ {2} −45x − 20 )
  8. (90 × ^ {2} + 300 × + 250 )
  9. (40x ^ {2} −36xy + 8y ^ {2} )
  10. (24a ^ {2} ب ^ {2} + 18ab − 81 )
  11. (6x ^ {2} ص ^ {2} + 46xy + 28 )
  12. (2x ^ {5} + 44x ^ {4} + 144x ^ {3} )
  13. (5x ^ {3} −65x ^ {2} + 60x )
  14. (15a ^ {4} b ^ {2} −25a ^ {3} b − 10a ^ {2} )
  15. (6a ^ {4} b + 2a ^ {3} b ^ {2} −4a ^ {2} b ^ {3} )
  16. (20a ^ {3} b ^ {2} −60a ^ {2} b ^ {3} + 45ab ^ {4} )
إجابه

1. (2 (س − 4) (3 س + 2) )

3. (5 (2x − 1) ^ {2} )

5. (2 (8x ^ {2} + 13x − 5) )

7. (5 (3 س − 4) (3 س + 1) )

9. (4 (5x − 2y) (2x − y) )

11. (2 (س ص + 7) (3 س ص + 2) )

13. (5x (x − 12) (x − 1) )

15. (2 أ ^ {2} ب (3 أ − 2 ب) (أ + ب) )

تمرين ( PageIndex {6} ) تحليل العوامل الثلاثية ذات العوامل المشتركة

أخرج العامل (- 1 ) ثم عامل آخر.

  1. (- س ^ {2} −4x + 21 )
  2. (- س ^ {2} + س + 12 )
  3. (- س ^ {2} + 15x − 56 )
  4. (- س ^ {2} + س + 72 )
  5. (- ص ^ {2} + 10 س − 25 )
  6. (- ص ^ {2} −16y − 64 )
  7. (36−9a − a ^ {2} )
  8. (72−6a − a ^ {2} )
  9. (32 + 4x − x ^ {2} )
  10. (200 + 10x − x ^ {2} )
إجابه

1. (- 1 (س − 3) (س + 7) )

3. (- 1 (x − 7) (x − 8) )

5. (- 1 (ص − 5) ^ {2} )

7. (- 1 (أ − 3) (أ + 12) )

9. (- 1 (x − 8) (x + 4) )

تمرين ( PageIndex {7} ) تحليل العوامل الثلاثية ذات العوامل المشتركة

أخرج العامل المشترك السالب أولاً ثم عامله أكثر إن أمكن.

  1. (- 8x ^ {2} + 6x + 9 )
  2. (- 4x ^ {2} + 28x − 49 )
  3. (- 18x ^ {2} −6x + 4 )
  4. (2 + 4x − 30x ^ {2} )
  5. (15 + 39x − 18x ^ {2} )
  6. (90 + 45x − 10x ^ {2} )
  7. (- 2x ^ {2} + 26x + 28 )
  8. (- 18x ^ {3} −51x ^ {2} + 9x )
  9. (- 3x ^ {2} y ^ {2} + 18xy ^ {2} −24y ^ {2} )
  10. (- 16a ^ {4} + 16a ^ {3} b − 4a ^ {2} b ^ {2} )
  11. يتم تحديد ارتفاع المقذوف بالأقدام من خلال الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 80 ) ، حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد الإطلاق. أعد كتابة الدالة المعطاة في صورة محللة إلى عوامل.
  12. يتم تحديد ارتفاع المقذوف بالأقدام من خلال الوظيفة (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 192 ) ، حيث يمثل (t ) عدد الثواني بعد الإطلاق. أعد كتابة الدالة المعطاة في صورة محللة إلى عوامل.
إجابه

1. (- (2x − 3) (4x + 3) )

3. (- 2 (3x − 1) (3x + 2) )

5. (- 3 (2x − 5) (3x + 1) )

7. (- 2 (س − 14) (س + 1) )

9. (- 3y ^ {2} (x − 4) (x − 2) )

11. (ح (ر) = - 16 (ر + 1) (ر − 5) )

تمرين ( PageIndex {8} ) التحليل باستخدام طريقة التيار المتردد

حلل باستخدام طريقة AC.

  1. (2x ^ {2} + 5x − 7 )
  2. (3x ^ {2} + 7x − 10 )
  3. (4x ^ {2} −25x + 6 )
  4. (16x ^ {2} −38x − 5 )
  5. (6x ^ {2} + 23x − 18 )
  6. (8x ^ {2} + 10x − 25 )
  7. (4x ^ {2} + 28x + 40 )
  8. (- 6x ^ {2} −3x + 30 )
  9. (12x ^ {2} −56xy + 60y ^ {2} )
  10. (20x ^ {2} + 80xy + 35y ^ {2} )
إجابه

1. ((س − 1) (2 س + 7) )

3. ((x − 6) (4x − 1) )

5. ((2x + 9) (3x − 2) )

7. (4 (س + 2) (س + 5) )

9. (4 (س − 3 ص) (3 س − 5 ص) )

تمرين ( PageIndex {9} ) مواضيع لوحة المناقشة

  1. قم بإنشاء ثلاثي الحدود الخاص بك بالشكل (ax ^ {2} + bx + c ) هذا العامل. شاركه مع الحل على لوحة المناقشة.
  2. اكتب قائمة الخطوات الخاصة بك لتحليل ثلاثي الحدود للنموذج (ax ^ {2} + bx + c ) وشاركه في لوحة المناقشة.
  3. أنشئ صيغة ثلاثية من الشكل (ax ^ {2} + bx + c ) لا تأخذ في الاعتبار وشاركها مع سبب عدم تأثيرها.
إجابه

1. قد تختلف الإجابات

3. قد تختلف الإجابات


6.3: تحليل ثلاثي الحدود للصيغة ax² + bx + c - الرياضيات

يمكن أن يمثل تحليل العوامل ثلاثية الحدود للصيغة a x 2 + b x + c تحديًا لأن الحد الأوسط يتأثر بعوامل كلاهما أ و ج. لتوضيح ذلك ، ضع في اعتبارك ثلاثي الحدود مع عوامل التحليل التالية:

يمكننا الضرب للتحقق من أن هذا هو العامل الصحيح.

كما رأينا من قبل ، فإن حاصل ضرب أول حد من كل ذي حدين يساوي الحد الأول من ثلاثي الحدود. الحد الأوسط من ثلاثي الحدود هو مجموع حاصل ضرب الحدود الخارجية والداخلية للحدين. حاصل ضرب آخر حد من كل ذي حدين يساوي الحد الأخير من ثلاثي الحدود. بصريا ، لدينا ما يلي:

باختصار ، عندما يكون المعامل الرئيسي لثلاثي الحدود شيئًا غير 1 ، سيكون هناك المزيد الذي يجب مراعاته عند تحديد العوامل باستخدام طريقة التجربة والخطأ. المفتاح يكمن في فهم كيفية الحصول على المدى المتوسط. اضرب (2 x + 5) (3 x + 7) واتبع تشكيل الحد الأوسط بحرص.

إذا فكرنا في طريقة FOIL لضرب ذات الحدين ، فإن الحد الأوسط ينتج من مجموع حاصل الضرب الداخلي والمنتج الخارجي. في هذه الحالة ، 14 × + 15 × = 29 × ، كما هو موضح أدناه:

لهذا السبب ، نحتاج إلى البحث عن حاصل ضرب عاملي الحدين الأول والأخير اللذين يساوي مجموعهما معامل الحد الأوسط. على سبيل المثال ، لتحليل 6 × 2 + 29 × + 35 ، انظر إلى عوامل 6 و 35.

التركيبة التي تنتج معامل الحد الأوسط هي 2 ⋅ 7 + 3 ⋅ 5 = 14 + 15 = 29. تأكد من أن الحدود الخارجية لها معاملات 2 و 7 ، وأن الحدود الداخلية لها معاملات 5 و 3. استخدم هذه المعلومات لتحليل ثلاثي الحدود:

مثال 1: العامل: 3 x 2 + 7 x + 2.

حل: نظرًا لأن المعامل الرئيسي والحد الأخير كلاهما أولي ، فهناك طريقة واحدة فقط لتحليل كل منهما.

ابدأ بكتابة عوامل الفصل الأول 3 × 2 على النحو التالي:

الحد الأوسط والأخير كلاهما موجب ، لذلك يتم اختيار العوامل 2 كأرقام موجبة. في هذه الحالة ، يكون الخيار الوحيد هو أي تجميع لوضع هذه العوامل.

حدد التجميع الصحيح بضرب كل تعبير.

لاحظ أن هذه المنتجات تختلف فقط في شروطها المتوسطة. لاحظ أيضًا أن الحد الأوسط هو مجموع حاصل الضرب الداخلي والخارجي ، كما هو موضح أدناه:

المثال الثاني: العامل: 12 x 2 + 38 x + 20.

حل: أولاً ، ضع في اعتبارك عوامل الحد الأول والأخير.

نحن نبحث عن حاصل ضرب العوامل التي يساوي مجموعها معامل الحد الأوسط ، 38. للإيجاز ، يتم توضيح عملية التفكير بدءًا من العوامل 2 و 6. ويبدأ التحليل في هذه المرحلة بالمصطلح الأول.

نبحث عن عوامل العدد 20 التي تنتج حدًا متوسطًا 38 مع عوامل العدد 12x.

هنا ينتج عن المجموعة الأخيرة حد متوسط ​​قدره 38x.

المثال 3: العامل: 10 x 2-23 x + 6.

حل: أولاً ، ضع في اعتبارك عوامل الحد الأول والأخير.

نحن نبحث عن حاصل ضرب عوامل مجموعها يساوي معامل الحد الأوسط −23. يبدأ التحليل في هذه المرحلة بمجموعتين من الأقواس الفارغة:

نظرًا لأن الحد الأخير موجب والحد الأوسط سلبي ، فنحن نعلم أن كلا عاملي الحد الأخير يجب أن يكونا سالبين. نسرد هنا جميع التركيبات الممكنة مع عوامل 10 x 2 = 2 x ⋅ 5 x.

لا توجد مجموعة ينتج عنها حد متوسط ​​- 23 x. ننتقل بعد ذلك إلى عوامل 10 x 2 = 10 x ⋅ x وسرد جميع التركيبات الممكنة:

الجواب: (10 × - 3) (× - 2). الاختيار الكامل متروك للقارئ.

يمكننا تقليل الكثير من التخمين الذي ينطوي عليه تحليل العوامل ثلاثية الحدود إذا أخذنا في الاعتبار جميع عوامل المصطلحين الأول والأخير ومنتجاتهما.

المثال 4: العامل: 5 x 2 + 38 x - 16.

حل: نبدأ بعوامل 5 و 16.

نظرًا لأن المعامل الرئيسي أساسي ، فيمكننا البدء بما يلي:

نبحث عن حاصل ضرب العوامل 5 و 16 التي يمكن أن تضيف إلى 38.

نظرًا لأن الحد الأخير سلبي ، يجب أن نبحث عن العوامل ذات الإشارات المعاكسة. هنا يمكننا أن نرى أن المنتجين 2 و 40 يصل مجموعهما إلى 38 إذا كانت لهما علامات معاكسة:

لذلك ، استخدم −2 و 8 كعاملين للعدد 16 ، وتأكد من أن النواتج الداخلية والخارجية - 2 × و 40 ×:

الجواب: (س + 8) (5 × - 2). الاختيار الكامل متروك للقارئ.

بعد الكثير من التدريب ، يمكن إجراء العملية الموضحة في المثال السابق عقليًا.

جرب هذا! العامل: 12 × 2 - 31 × - 30.

حل الفيديو

عند إعطاء قيم ثلاثية ذات متغيرات متعددة ، تكون العملية متشابهة.

المثال 5: العامل: 9 x 2 + 30 x y + 25 y 2.

حل: ابحث عن عوامل المصطلحين الأول والأخير بحيث يكون مجموع حاصل الضرب الداخلي والخارجي يساوي الحد الأوسط.

أضف المنتجات التالية للحصول على الحد الأوسط: 3 x ⋅ 5 y + 3 x ⋅ 5 y = 30 x y.

في هذا المثال ، لدينا ثلاثي حدود مربع كامل. الشيك.

جرب هذا! العامل: 16 x 2-24 x y + 9 y 2.

حل الفيديو


تحليل القيم الثلاثية للمربع الكامل

أثناء قيامك بالمزيد من الأسئلة التي تتطلب منك إجراء تحليل ثلاثي الحدود ، قد تصطدم بمثيلات مربعة كاملة. هذه هي ثلاثية الحدود التي تحتوي على كل من المصطلحين "a" و "c" مربعان كاملان و "b" في المنتصف يمثلان ضعف حاصل ضرب المصطلحين الأول والأخير. لذلك ، بعد التحليل ، ستحصل على إجابة إما (أ + ب) ^ 2 أو (أ-ب) ^ 2.

هناك أمثلة جيدة يمكنك استخدامها لمزيد من التدرب على العوملة ثلاثية الحدود. لقد وجدنا بعض الأسئلة التدريبية الممتازة عبر الإنترنت لتجربتها والتي تحافظ على الإجابات مخفية حتى تحوم فوق كلمة "إجابة". هناك أيضًا آلة حاسبة ثلاثية الحدود على الإنترنت عندما يكون لديك معادلة من الدرجة الثانية. يمكن أن يساعدك على تحليل أي ثلاثية على الفور! استخدمه لمساعدتك في التحقق من عملك.


متعدد الحدود إلى عوامل: ax² + bx + c

تساعد هذه الحزمة الطلاب على فهم كيفية تحليل المعادلات التربيعية الأكثر تقدمًا. سيستخدم الطلاب التحليل لإيجاد الحلين (يطلق عليهما أيضًا الجذور أو تقاطع x) لمعادلة تربيعية (والتي يتم رسمها على شكل قطع مكافئ). التحليل هو عملية إيجاد حدين - بالنسبة للمعادلات التربيعية ، ستكون هذه المصطلحات ذات حدين - يمكن ضربهما معًا للحصول على المعادلة التربيعية.

كثير من الطلاب على دراية باستخدام عملية FOIL لمضاعفة القيم ذات الحدين. تحليل المعادلات التربيعية ضروري ، عكس استخدام FOIL لتحويل زوج من ذات الحدين إلى كثير الحدود. على سبيل المثال:

إذا حصلت على المشكلة: $ (x-2) (x + 4) $

يمكنك استخدام FOIL (التي تعني "ضرب المصطلحات الأولى ، ثم المصطلحات الخارجية ، ثم المصطلحات الداخلية ، ثم المصطلحات الأخيرة") للحصول على: $ x ^ 2 + 4x-2x-8 $ ،

والتي يمكن تبسيطها إلى $ x ^ 2 + 2x-8 $

من ناحية أخرى ، إذا أعطيت التعبير $ x ^ 2 + 2x-8 $ وطُلب منك تحليله

(أو إذا تم إعطاؤك $ x ^ 2 + 2x-8 $ = 0 وطلب منك حلها) ،

$ x times x = x ^ 2 $ ، و $ -2 مرات 4 = -8 $ في حين $-2+4=2$,

تبدأ كل صفحة بمشكلات أسهل تزداد صعوبة عندما يعمل الطلاب من خلال الحزمة. أبسط المشاكل في الشكل القياسي. تتطلب المشكلات الأكثر تقدمًا من الطلاب تبسيط المصطلحات المتشابهة والجمع بينها قبل أن يحللوا المشكلة.

بعد حل جميع المشكلات الـ 36 ، يجب أن يشعر الطلاب براحة أكبر عند القيام بهذه المشكلات وأن يكون لديهم فهم واضح لكيفية حلها.


التخصيم

ماذا يحدث عندما نرغب في تغيير معادلة من الصيغة القياسية إلى الصيغة المحللة إلى عوامل؟

هناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لتحويل المعادلة من الصيغة القياسية إلى الصيغة المحللة إلى عوامل. هم انهم:
1. العوملة المشتركة
2. ثلاثي الحدود البسيط
3. فرق المربعات ، و
4. ثلاثي الحدود المعقدة

1. العوملة المشتركة
يجب أن العوملة المشتركة دائما كن أول ما تبحث عنه عندما يكون لديك معادلة في الشكل القياسي. يجب أن تنظر لترى ما إذا كان لكل مصطلح في المعادلة مكون مشابه يمكن تقسيم كل مصطلح إليه بسهولة. يمكن أن يكون العامل المشترك إما متغيرًا (س) أو معاملًا (أي رقم).

مثال 1: حلل التعبير 6x - 12 إلى عوامل.

يمكنك ملاحظة أنه يمكن بسهولة قسمة كل حد على الرقم 6.
6 س - 12 = 6 (س - 2)

مثال 2: حلل التعبير 7 أ & # 178 - 6 أ.

الآن ، كل مصطلح له متغير مشترك ، أ.
7 أ & # 178 - 6 أ = أ (7 أ - 6)

مثال 3: حلل التعبير 3x & # 178 + 9x إلى عوامل.

الآن ، كل من المصطلحات لها شيئين مشتركين: لديهم عامل مشترك 3 ، بالإضافة إلى العامل المشترك x.
3 س & # 178 + 9 س = 3 س (س + 3)

2. ثلاثي الحدود البسيط
تحتوي ثلاثية الحدود البسيطة على 3 مصطلحات ، ويمكن كتابتها بالصيغة y = ax & # 178 + bx + c ، حيث x = 1. أمثلة على ثلاثي الحدود هي y = x & # 178 + 2x + 1 ، y = x & # 178- 6x + 9 ، و y = p & # 178 + 2p - 15.

عند حل ثلاثي بسيط ، يجب أن نجد عددين تعددهما للحد الأخير ، وعددين يضيفان إلى الحد الأوسط. يُطلق على إحدى الطرق الأكثر شيوعًا لحل ثلاثي الحدود البسيط المحاولة و الخطأ، حيث نعوض بقيم مختلفة في عملنا حتى نحصل على الإجابة الصحيحة.

مثال 1: أوجد قيمة y = x & # 178 + 2x + 1.

يجب أن نجد مجموعة من الأعداد التي ستتضاعف لنحصل على 1 (الحد الأخير) ، وهذا سيضيف لنا 2 (الحد الأوسط). ما عددين يتم ضربهما للحصول على الرقم 1؟

خياراتنا هي 1 × 1 و -1 × -1.
لنجرب 1 × 1.
ص = س & # 178 + 2 س + 1
ص = (س + 1) (س + 1)
الآن ، دعنا نستخدم FOIL لمعرفة ما إذا كنا قد استخدمنا الأرقام الصحيحة.

ص = س & # 178 + س + س + 1
ص = س & # 178 + 2 س + 1
نظرًا لأن معادلتنا هي نفسها المعطاة ، فقد وجدنا الإجابة الصحيحة. إذا استخدمنا -1 و -1 ، فسنجد x & # 178 - 2x + 1 هي إجابتنا ، وهي ليست نفس الإجابة التي أعطيت لنا.

مثال 2: أوجد قيمة y = x & # 178 - 3x - 4.
مرة أخرى ، علينا إيجاد العوامل التي نضربها في -4 ونجمعها مع -3.
عوامل العدد -4 هي 2 x -2 و 1 x -4 و -1 x 4.

نظرًا لأننا نستخدم التجربة والخطأ ، فلا يهم أي مجموعة من العوامل نستخدمها أولاً. لنجرب 2 و -2.
ص = (س + 2) (س - 2)
باستخدام FOIL للتحقق من الحل ، نحصل على y = x & # 178-4 ، وهو ليس نفس التعبير الذي ورد في السؤال.

يجب أن نجرب مجموعة أخرى من العوامل. لنجرب 1 و -4.

y = (x + 1) (x - 4) باستخدام FOIL للتوسيع ، نحصل على y = x & # 178 - 3x - 4 ، وهو نفس التعبير الذي قدمناه في الأصل.
وبالتالي ، فإن y = (x + 1) (x - 4) هي الصيغة المحللة إلى عوامل للتعبير y = x & # 178 - 3x - 4.

3. اختلاف المربعات عند العمل مع اختلاف المربعات ، يجب عليك التحقق من ذلك
1. كل مصطلح هو مصطلح مربع و
2. هناك أ ناقص وقع بين المصطلحين.

عند تحليل فرق المربعات ، تضع الجذر التربيعي للحد الأول في بداية كل من الأقواس ، والجذر التربيعي للحد الثاني في نهاية كل من الأقواس. الإشارات بينهما موجبة في المجموعة الأولى من الأقواس ، وسالبة في المجموعة الثانية من الأقواس.
أنه مهم جدا أن العلامات مختلف في كل من الأقواس.

مثال 1: العامل x & # 178-9.

أولاً ، تحقق للتأكد من أن كل من المصطلحات هي مربعات كاملة (x & # 178 و 3 & # 178 في هذه الحالة) ، وتحقق أيضًا للتأكد من أن العلامة بين الاثنين سالبة. نظرًا لأن هذا المقدار يفي بكل من الشيكين ، فإننا نعلم أنه فرق في المربعات.

لاحظ أن الحد الأول بين القوسين هو الجذر التربيعي للحد الأول ، وأن الحد الأخير في كل من القوسين هو الجذر التربيعي للحد الأخير ، وأن هناك علامات مختلفة في كل من القوسين.

مثال 2: العامل 4p & # 178 - 64q & # 178

مرة أخرى ، الجذر التربيعي للحد الأول هو 2p ، والجذر التربيعي للحد الثاني هو 8q. أيضا ، هناك علامة طرح بينهما.

4p & # 178 - 64q & # 178 = (2p + 8q) (2p - 8q)

تتبع الثلاثيات المعقدة نفس القواعد التي تتبعها الثلاثيات البسيطة (انظر أعلاه) ، ولكن المصطلح "أ" في ثلاثي الحدود المركب هو ليس 1. هذا يجعل الأمر أكثر تعقيدًا ، وفي كثير من الأحيان الطريقة المحاولة و الخطأ أو خمن وتحقق سيتعين استخدامها.

أمثلة على ثلاثيات معقدة: 9n & # 178 - 6n + 1، 5x & # 178 + 17x + 6 and 2m & # 178 + 5m - 3. لاحظ أن المصطلح "a" لا يساوي 1 في كل حالة.

مثال 1: العامل 6x & # 178 + 13x - 5.

مرة أخرى ، يجب أن نبحث عن العوامل -5.
-5 × 1 و -1 × 5.

أيضًا ، يجب أن نجد عوامل المصطلح الأول (المصطلح "a").
1 x 6, 2 x 3 [If the "a" term was a negative, we would have to factor out a negative from each term in the trinomial. In other words, do not factor a complex trinomial until the "a" term is positive.]

Now we must randomly choose any two sets of numbers - we are performing guess and check.

Let's try -5 and 1 for the last term, and 1 and 6 for the first term.
(x - 5)(6x + 1)
=6x² - 29x - 5 ---> which is NOT what we want. Try new numbers.

Let's try 2 and 3 for the first term, and 5 and -1 for the second term. (2x + 5)(3x - 1)
=6x² + 13x - 5 ---> which is what we want. This is the solution.

Example 2 :Factor -3x² + 10x - 7.

First, we must rewrite the equation so that the "a" term is positive.

-3x² + 10x - 7
= - [3x² - 10x + 7] ---> notice that the negative is removed, and that brackets are put around the rest of the equation.

Now, find the factors of 3 (1 x 3) and the factors of 7 (7 x 1, and -7 x -1)

Let's use 1 x 3 for the first term (our only choice!), and -7 x -1 for the second term.
- 3x² + 10x - 7
= - [(3x - 7)(x - 1)]
If we were to expand the inside of the square brackets, we would get:
- [3x² - 10x + 7]
and if we were to expand the entire expression, we would get
- 3x² + 10x - 7 --->which is what we want.

Practice Questions
Page #307 #2(column 1), 3(column 2), 4(column 3), 6(odd), 8 a,c, 12.


ثلاثيات

Let us consider the product (x+a)(x+b) and use the distributive property to show how each term of the resulting trinomial is formed. This can help us develop a factoring technique for trinomials.

Notice that the coefficient of the middle term is the sum of أ و ب and the last term is the product of أ و ب.

Example: Factor x²+2x-63

We need to find a pair of integers whose sum is 2 and whose product is -63.

x²+2x-63 = (x+___)(x+___)

The only possible pair of integers is 7 and 9. to get a product of -63 and a sum of 2, the larger number must be positive and the smaller number must be negative.

x²+2x-63 = (x+9)(x+(-7)) = (x+9)(x-7)

Factoring of the form ax²+bx+c

Let us consider factoring trinomials where the coefficient of the squared term is not one. First, let us use an informal trial and error technique that works quite well for some types of trinomials.

Example: Factor 12x²-x-6

First, observe that 12x² can be written as x·12x, 3x·4x, or 2x·6x. Then, since the middle term and the last term of the trinomial is negative, the binomials can be of the form

(3x+2)(4x-3) best suits the expression.

Perfect Square Trinomials

Perfect square trinomials are trinomials that resulted from squaring a binomial. They are easily recognized bby the nature of their terms. For example, 9y²+24y+16 is a perfect square trinomial because the first term is a perfect square, the last term is a perfect square, the middle term is twice the product of the numbers being squared in the first and last terms.

The following trinomials can be factored as indicated.

a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²

Example: Factor x²+14x+49

x²+14x+49=(x+7)(x+7)=(x+7)²

Authors:
Danielle Arriz Tio
Hans Nehru Alfante
John Rey Cueva
IV-St. Helena


A trinomial is a quadratic polynomial (or a polynomial of degree 2) which generally consists of three terms:
$a< x >^ < 2 >+ bx + c,$

where (a eq 0). In many cases a trinomial can be factored or represented as a product of two binomials:
$a< x >^ < 2 >+ bx + c = (px + q)(rx + s).$

The process of factoring of polynomials is essential to the simplification of many algebraic expressions and is a useful tool in solving higher degree equations. This process is widely used in the case of polynomials with integer coefficient. So our online calculator deals with trinomials with integer coefficients only.

The algorithm, used in our factoring trinomials calculator, assumes representation of the trinomial in the form:
$a< x >^ < 2 >+ bx + c = a< x >^ < 2 >+ mx +nx + c,$

where integers (m) and (n) satisfy the following conditions: (m + n = b), (mn = ac.)

Once (m) and (n) are found, we use grouping and the distributive property to finally factor the trinomial.

Related calculators

Check out our other algebra calculators such as Completing the Square Calculator or Perfect Square Calculator.


الجبر الابتدائي

Preface -- pt. I. Foundations : getting ready for algebra -- 1. Operations on real numbers and algebraic expressions -- 1.1. Success in mathematics -- 1.2. The number systems and the real number line -- 1.3. Adding, subtracting, multiplying, and dividing integers -- 1.4. Adding, subtracting, multiplying, and dividing rational numbers expressed as fractions and decimals -- Putting the concepts together (sections 1.2-1.4) -- 1.5. Properties of real numbers -- 1.6. Exponents and the order of operations -- 1.7. Simplifying algebraic expressions -- Chapter 1 activity : the math game -- Chapter 1 review -- Chapter 1 test

pt. II. Developing algebraic skills using one unknown -- 2. Equations and inequalities in one variable -- 2.1. Linear equations : the addition and multiplication properties of equality -- 2.2. Linear equations : using the properties together -- 2.3. Solving linear equations involving fractions and decimals classifying equations -- 2.4. Evaluating formulas and solving formulas for a variable -- Putting the concepts together (sections 2.1-2.4) -- 2.5. Introduction to problem solving : direct translation problems -- 2.6. Problem solving : direct translation problems involving percent -- 2.7. Problem solving : geometry and uniform motion -- 2.8. Solving linear inequalities in one variable -- Chapter 2 activity : pass to the right -- Chapter 2 review -- Chapter 2 test -- 3. Exponents and polynomials -- 3.1. Adding and subtracting polynomials -- 3.2. Multiplying monomials : the product and power rules -- 3.3. Multiplying polynomials -- 3.4. Dividing monomials : the quotient rule and integer exponents -- Putting the concepts together (sections 3.1-3.4) -- 3.5. Dividing polynomials -- 3.6. Applying exponent rules : scientific notation -- Chapter 3 activity : what is the question? -- Chapter 3 review -- Chapter 3 test -- Cumulative review chapters 1-3 -- 4. Factoring polynomials -- 4.1. Greatest common factor and factoring by grouping -- 4.2. Factoring trinomials of the form x² + bx + c -- 4.3. Factoring trinomials of the form ax² + bx + c, a [not equal] 1 -- 4.4. Factoring special products -- 4.5. Summary of factoring techniques -- Putting the concepts together (Sections 4.1-4.5) -- 4.6. Solving polynomial equations by factoring -- 4.7. Modeling and solving problems with quadratic equations -- Chapter 4 activity : which one does not belong? -- Chapter 4 review -- Chapter 4 test -- 5. Rational expressions and equations -- 5.1. Simplifying rational expressions -- 5.2. Multiplying and dividing rational expressions -- 5.3. Adding and subtracting rational expressions with a common denominator -- 5.4. Finding the least common denominator and forming equivalent rational expressions -- 5.5. Adding and subtracting rational expressions with unlike denominators -- 5.6. Complex rational expressions -- Putting the concepts together (sections 5.1-5.6) -- 5.7. Rational equations -- 5.8. Models involving rational equations -- Chapter 5 activity : correct the quiz -- Chapter 5 review -- Chapter 5 test -- Cumulative review chapters 1-5 -- 6. Roots and radicals -- 6.1. Introduction to square roots -- 6.2. Simplifying square roots -- 6.3. Adding and subtracting square roots -- 6.4. Multiplying expressions with square roots -- 6.5. Dividing expressions with square roots -- Putting the concepts together (sections 6.1-6.5) -- 6.6. Solving equations containing square roots -- 6.7. Higher roots and rational exponents -- Chapter 6 activity : working together with radicals -- Chapter 6 review -- Chapter 6 test -- 7. Quadratic equations -- 7.1. Solving quadratic equations using the square root property -- 7.2. Solving quadratic equations by completing the square -- 7.3. Solving quadratic equations using the quadratic formula -- Putting the concepts together (sections 7.1-7.3) -- 7.4. Problem solving using quadratic equations -- 7.5. The complex number system -- Chapter 7 activity : the math game -- Chapter 7 review -- Chapter 7 test -- Cumulative review chapters 1-7

pt. ثالثا. Developing algebraic skills using two unknowns -- 8. Introduction to graphing and equations of lines -- 8.1. The rectangular coordinate system and equations in two variables -- 8.2. Graphing equations in two variables -- 8.3. Slope -- 8.4. Slope-intercept form of a line -- 8.5. Point-slope form of a line -- 8.6. Parallel and perpendicular lines -- Putting the concepts together (sections 8.1-8.6) -- 8.7. Variation -- 8.8. Linear inequalities in two variables -- Chapter 8 activity : graphing practice -- Chapter 8 review -- Chapter 8 test -- 9. Systems of linear equations and inequalities -- 9.1. Solving systems of linear equations by graphing -- 9.2. Solving systems of linear equations using substitution -- 9.3. Solving systems of linear equations using elimination -- Putting the concepts together (sections 9.1-9.3) -- 9.4. Solving direct translation, geometry, and uniform motion problems using systems of linear equations -- 9.5. Solving mixture problems using systems of linear equations -- 9.6. Systems of linear inequalities -- Chapter 9 activity : find the numbers -- Chapter 9 review -- Chapter 9 test -- Cumulative review chapters 1-9 -- 10. Graphs of quadratic equations in two variables and an introduction to functions -- 10.1. Quadratic equations in two variables -- 10.2. Relations -- Putting the concepts together (sections 10.1-10.2) -- 10.3. An introduction to functions -- Chapter 10 activity : discovering shifting -- Chapter 10 review -- Chapter 10 test -- Appendix A. Fractions, decimals, and percents -- Appendix B. Table of square roots -- Appendix C. Geometry review -- Answers to quick check exercises -- Answers to selected exercises -- Applications index -- Subject index -- Photo credits

Access-restricted-item true Addeddate 2019-11-21 07:44:53 Associated-names Struve, Katherine R Boxid IA1701014 Camera Sony Alpha-A6300 (Control) Collection_set printdisabled External-identifier urn:oclc:record:1153322044 Foldoutcount 0 Identifier isbn_9781256135166 Identifier-ark ark:/13960/t75v1qv81 Invoice 1652 Isbn 0131467662
9780131467668
0131468111
9780131468115
013188784X
9780131887848 Lccn 2006041968 Marc_search_attempted 20191230 Ocr ABBYY FineReader 11.0 (Extended OCR) Old_pallet IA14977 Pages 504 Ppi 300 Republisher_date 20191125084039 Republisher_operator [email protected] Republisher_time 1385 Scandate 20191121083321 Scanner station20.cebu.archive.org Scanningcenter cebu Scribe3_search_catalog isbn Scribe3_search_id 9781256135166 Sent_to_scribe station20.cebu.archive.org Tts_version 3.2-rc-2-g0d7c1ed

Class 2 trinomial characteristics

Perfect box

In general, the trinomial of the ax 2 + bx + c is a perfect square if the discriminant is zero that is, if b 2 -4ac = 0, because in this case it will only have one root and can be expressed in the form a (xd) 2 = (√a (xd)) 2 , where d is the root already mentioned.

The polynomial root is a number where the polynomial becomes zero in other words, a number that, by replacing it with x in the polynomial expression, produces zero.

Solvent Formula

The general formula for calculating the second degree polynomial root of the 2 + bx + c form ax is the resolver formula, which states that this root is given by (-b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, where b 2 -4ac is known as discriminant and usually denoted by Δ. From this formula following the ax 2 + bx + c has:

– Two different real roots if Δ> 0.

– Original single root if Δ = 0.

In the following we will consider only trinomials of the form x 2 + bx + c, where obviously c must be a nonzero number (otherwise it will be binomial). This type of Trinomial has certain advantages when factoring and operating it.

Geometric Interpretation

Geometrically, trinomial x 2 + bx + c is a parabola that opens upward and has a point at the point (-b / 2, -b 2 /4 + c) of the Cartesian plane as x 2 + bx + c = (x + b / 2) 2 -b 2 /4 + c.

This parabola crosses the Y axis at points (0, c) and the X axis at points (d 1 , 0) and (d) 2 , 0) then, d 1 and d 2 they are the roots of the trinomial. It can happen that the trinomial has one d root, in this case the only chunk with the X axis is (d, 0).

It could also happen that the trinomial has no real roots, in this case it will not cut the X axis at any point.

For example, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 is a parabolic node at (-3.0), which intersects the Y axis at (0.9) and the axis X at (-3.0).

Trinomial Factorization

A very useful tool when working with polynomials is factoring, which is to express polynomials as a product of factors. In general, given trinomial in the form of x 2 + bx + c, does this have two different roots d 1 and d 2 , can be factored as (xd) 1 ) (xd) 2 ).

If you only have one root d, you can factor it as (xd) (xd) = (xd) 2 , and if it doesn’t have a real root, it remains the same in this case it does not support factorization as a product of factors other than itself.

This means that, knowing the roots of a trinomial from an established form, factorization can be easily expressed, and as already stated, these roots can always be determined using solutions.

However, there are a large number of types of trinomy that can be factored without having to know the roots beforehand, which simplifies the work.

The root can be determined directly from factorization without the need to use the resolver formula this is the polynomial of the form x 2 + (a + b) x + ab. In this case you have:

x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

From this it is easily observed that the roots are -a and -b.

In other words, given trinomial x 2 + bx + c, if there are two numbers u and v such that c = uv and b = u + v, then x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).

That is, given a trinomial x 2 + bx + c, first verify whether there are two numbers multiplied by the independent term (c) and added (or subtracted, depending on the case), give the term that accompanies x (b).

Not with all trinomials in this way this method can be applied where you can’t, you go to resolvent and apply the above mentioned.


Factoring trinomials

Ever have a fit when attempting to understand the different methodologies used to explain factoring trinomials. Well, here is another method that someone came up with and it has been a godsend in my quest to improve successful outcomes. AX² + BX + C

For example: 3x ² + 11x + 8 is a simple but complicated problem which uses a number of trials an error combination.

Let me try to explain how to make this and all other trinomials a less complicated and more enjoyable experience.

Step 1 Take the leading coefficient (3) and multiply it by the constant (8) which gives you 24.
Step 2 get the factors of 24 (the numbers you multiply to get 24)
1 24
2 12
3 8
4 6
Step 3 Now using the last mathematical symbol in the trinomial (+), as yourself….which of these pair of numbers do I add (+) to get the middle term 11? So does 1 + 24 = 11? Does 2 + 12 = 11? Does 3 + 8 = 11? Does 4 + 6 = 11? The solution is 3 and 8 and they must both be positive in order to get a positive 11.

Step 4 Now write the following using the factors 3 and 8.
( X + 3 ) ( X + 8 )
Step 5 Now if we multiply X * X we get X² and we want a 3X² which is the leading term of the trinomial. Now rewrite the expression in step 4 however now we will include the leading coefficient 3.
( X + 3/3 ) ( X + 8/3) the denominator 3 is the leading coefficient of the trinomial.
Step 6 Next ask yourself if the first and last fraction can be reduced to lowest terms? The answer to the first is yes because 3/3=1 but the second fraction cannot be reduced because 8/3=2.66666666 and we don’t want decimals. So the next step requires you to re-write the expression on step 5 and make it look like this: ( X + 1 ) ( 3x + 8 ). Notice that the denominator 3 in the second factor has now become the leading coefficient of the factor. And viola, your solution has been completed.


شاهد الفيديو: الصف التاسع الرياضيات تحليل المقدار ++ 2 (شهر نوفمبر 2021).