مقالات

3.1: عدم المساواة في متغير واحد - الرياضيات


عند التعرف على المجال والنطاق ، تعلمت عن عدم المساواة واستخدام أداة إنشاء المجموعات وتدوين الفاصل الزمني لتمثيلها. هذه العملية مشابهة جدًا لحل المعادلات ، ولكن بدلاً من أن يكون الحل قيمة واحدة ، سيكون الحل متباينة.

لاحظ أنه إذا كانت المتباينة صحيحة ، مثل 2 <5 ، فإن هذه العمليات تؤدي إلى بيان صحيح أيضًا ، تمامًا كما هو الحال مع المعادلات:

إضافة رقم لكلا الجانبين:

2 + 4 <5 + 4 6 <9 صحيح

طرح رقم على كلا الجانبين:

2 - 3 <5 - 3 - 1 <2 صحيح

ضرب رقم موجب في كلا الجانبين:

2 (3) <5 (3) 6 <15 صحيح

القسمة على عدد موجب في كلا الجانبين:

2/2 <5/2 1 <2.5 صحيح

يمكننا استخدام هذه العمليات تمامًا كما هو الحال عند حل المعادلات.

مثال ( PageIndex {1} )

حل [3x + 7 geq 1 nonumber ]

حل

[3x + 7 geq 1 nonumber ]

اطرح 7 من كلا الطرفين

[3x geq - 6 nonumber ]

اقسم كلا الجانبين على 3

[x geq - 2 nonumber ]

تمثل هذه المتباينة مجموعة الحلول. يخبرنا أن جميع الأعداد الأكبر من أو التي تساوي -2 ستحقق المتباينة الأصلية. يمكننا أيضًا كتابة هذا الحل في تدوين الفترة ، مثل ([- 2، infty) ).

لفهم ما يحدث ، يمكننا أيضًا النظر في المشكلة بيانياً. إذا أردنا رسم المعادلة (y = 3x + 7 ) ، فإن حل (3x + 7 geq 1 ) سيتوافق مع السؤال "ما هي قيم (x ) (y geq 1 ) ". لاحظ أن جزء الرسم البياني حيث يكون هذا صحيحًا يتوافق مع (x geq - 2 ).

في حين أن معظم العمليات في حل المتباينات هي نفسها في حل المعادلات ، فإننا نواجه مشكلة عند ضرب أو قسمة كلا الطرفين على رقم سالب. ملاحظة ، على سبيل المثال:

2(-3) < 5(-3) -6 < -15 لا حقيقي

لحساب هذا ، عند الضرب أو القسمة على رقم سالب ، يجب أن نعكس علامة المتباينة.

قواعد حل المتباينات الخطية

  1. يمكنك جمع أو طرح عدد موجب أو سالب على طرفي المتباينة.
  2. يمكنك ضرب أو قسمة طرفي المتباينة على عدد موجب.
  3. يمكنك ضرب أو قسمة طرفي المتباينة على عدد سالب ، لكن يجب عليك عكس اتجاه المتباينة.

مثال ( PageIndex {2} )

حل [12 - 4x <6 nonumber ]

حل

[12 - 4x <6 nonumber ]

اطرح 12 من كلا الطرفين

[- 4x <- 6 nonumber ]

قسّم كلا الطرفين على -4 وعكس اتجاه المتباينة

[x> frac {- 6} {- 4} nonumber ]

تبسيط

[x> frac {3} {2} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} )

حل: [6 + 2x leq 18 + 5x nonumber ]

إجابه

[x geq - 4 nonumber ]

مثال ( PageIndex {3} )

تنفق الشركة 1200 دولار يوميًا على النفقات العامة والعمالة ، وكل عنصر ينتجه يكلف 5 دولارات للمواد. إذا قاموا ببيع العناصر مقابل 15 دولارًا لكل عنصر ، فكم عدد العناصر التي سيحتاجون إلى بيعها كل يوم حتى تكون أرباحهم إيجابية؟

حل

بينما يمكننا حل هذه المشكلة باستخدام المعادلات ، فإنها أيضًا تتناسب مع عدم المساواة ، لأننا نريد أن يكون الربح موجبًا: (P> 0 ).

التكاليف: (C (q) = 1200 + 5q )

الإيرادات: (R (q) = 10q )

الربح: (P (q) = 10q - (1200 + 5q) = 5q - 1200 )

حل (P (q)> 0 ):

[ begin {align *} 5q - 1200 &> 0 5q &> 1200 q &> 240 end {align *} ]

ستحتاج الشركة إلى أقل من 240 عنصرًا يوميًا لتحقيق الربح.

عدم المساواة المركبة

عدم المساواة المركبة هي عدم المساواة التي تتكون من أكثر من جزء واحد. النوع الأكثر شيوعًا يسمى عدم المساواة الثلاثية. يبدو الإصدار الأساسي كما يلي:

[- 1 <3x + 5 <14 nonumber ].

عندما نكتب هذين ، من المهم أن كلا المتراجعتين يشيران في نفس الاتجاه وأن المتباينة "الخارجية" صحيحة أيضًا - في هذه الحالة (- 1 <14 ) صحيحة ، لذلك هذا صحيح. تعبيرات مثل (10 ​​ 5 ) هي ليس تدوين صالح.

الطريقة الأكثر عالمية لحل عدم المساواة الثلاثية هي:

  1. قسّمها إلى متباينتين منفصلتين
  2. حل كل متباينة على حدة
  3. اجمع بين الحلول إن أمكن.

مثال ( PageIndex {4} )

حل [- 1 <- 3x + 5 <14 nonumber ]

حل

أولاً نقسم هذا إلى متباينتين:

[- 1 <- 3x + 5 quad text {and} quad - 3x + 5 <14 nonumber ]

الآن نحل كل:

[- 6 <- 3x quad text {and} quad -3x <9 nonumber ]

[2> x nonumber quad text {and} quad x> - 3 nonumber ]

يمكننا الآن تجميع مجموعات الحلول هذه. الأرقام التي يكون فيها كل من (2> x ) و (x> - 3 ) صحيحًا هي المجموعة:

[2> x> - 3 بلا رقم ]

في حين أن هذا الحل صحيح وصحيح ، فمن الشائع كتابة حل المتباينات الثلاثية مع العدد الأصغر على اليسار. يمكننا إعادة كتابة الحل على النحو التالي:

[- 3

هذا أيضًا له ميزة التوافق بشكل أفضل مع الإجابة في تدوين الفاصل الزمني: ((- 3 ، 2) )

مع هذه المتباينة بالذات ، سيكون من الممكن أيضًا تخطي خطوة تقسيمها ، وبدلاً من ذلك فقط اطرح 5 من "الأجزاء" الثلاثة من المتباينة. ينجح هذا في حل المشكلات البسيطة مثل هذه ، ولكنه قد يفشل إذا كانت المتباينة تحتوي على متغيرات في أكثر من "جزء" من المتباينة.

تمرين ( PageIndex {2} )

حل: [4 leq 2x + 6 <16 nonumber ]

إجابه

[- 1 leq x <5 nonumber ]

في تدوين الفاصل ، هذا هو ([-1 ، 5) ).

قيمه مطلقه

حتى الآن في هذا القسم ، كنا نبحث في المتباينات الخطية. سننتقل الآن إلى عدم المساواة في القيمة المطلقة. دالة القيمة المطلقة هي دالة معرفة متعددة التعريف تتكون من وظيفتين خطيتين.

القيمة المطلقة للدالة

يمكن تعريف دالة القيمة المطلقة على أنها

[f (x) = يسار | x حق | = left { begin {array} {* {20} {c}} x & text {if} & x geq 0 - x & text {if} & x <0 end {array} صحيح. عدد ]

يبدو الرسم البياني للقيمة المطلقة مثل V:

تُستخدم دالة القيمة المطلقة بشكل شائع لتحديد المسافة بين رقمين على خط الأعداد. بالنظر إلى قيمتين (أ ) و (ب ) ، فإن ( يسار | أ - ب يمين | ) سيعطي المسافة ، كمية موجبة ، بين هذه القيم ، بغض النظر عن القيمة الأكبر.

مثال ( PageIndex {5} )

صف جميع القيم (x ) الواقعة على مسافة 4 من الرقم 5.

حل

نريد أن تكون المسافة بين (x ) و 5 أقل من أو تساوي 4. يمكن تمثيل المسافة باستخدام القيمة المطلقة ، مع إعطاء التعبير

[ اليسار | س - 5 الحق | leq 4 عدد غير رقم ]

مثال ( PageIndex {6} )

أفاد استطلاع عام 2010 أن 78٪ من الأمريكيين يعتقدون أن الأشخاص المثليين يجب أن يكونوا قادرين على الخدمة في الجيش الأمريكي ، مع هامش خطأ يبلغ 3٪ [1]. يخبرنا هامش الخطأ إلى أي مدى يمكن أن تكون القيمة الفعلية بعيدة عن قيمة المسح [2]. عبر عن مجموعة القيم الممكنة باستخدام القيم المطلقة.


[1] http://www.pollingreport.com/civil.htm ، تم استرجاعه في 4 أغسطس 2010

[2] من الناحية الفنية ، عادة ما يعني هامش الخطأ أن المساحين واثقون بنسبة 95٪ من أن القيمة الفعلية تقع ضمن هذا النطاق.

حل

بما أننا نريد أن يكون حجم الفرق بين النسبة الفعلية (ع ) والنسبة المئوية المبلغ عنها أقل من 3٪ ،

[ اليسار | ص - 78 حق | leq 3 عدد غير رقم ]

تمرين ( PageIndex {3} )

الطلاب الذين يسجلون في حدود 20 نقطة من 80 سوف يجتازون الاختبار. اكتب هذا في صورة مسافة من 80 باستخدام رمز القيمة المطلقة.

إجابه

استخدام المتغير (p ) للتمرير [ left | {ص - 80} صحيح | leq 20 رقم ]

حل معادلات القيمة المطلقة

لحل معادلة مثل (8 = left | 2x - 6 right | ) ، يمكننا ملاحظة أن القيمة المطلقة ستكون ثمانية إذا كانت الكمية داخل كانت القيمة المطلقة 8 أو -8. يؤدي هذا إلى معادلتين مختلفتين يمكننا حلهما بشكل مستقل:

[ start {align *} 2x - 6 & = 8 2x & = 14 x & = 7 end {align *} ]

أو

[ begin {align *} 2x - 6 & = - 8 2x & = - 2 x & = - 1 end {align *} ]

حلول معادلات القيمة المطلقة

سيكون لمعادلة النموذج ( left | A right | = B ) مع (B geq 0 ) حلول عندما

[A = B quad text {or} quad A = -B nonumber ]

مثال ( PageIndex {7} )

حل: (0 = يسار | 4x + 1 يمين | - 7 )

حل

[0 = يسار | {4x + 1} يمين | - 7 عدد ]

افصل القيمة المطلقة في أحد طرفي المعادلة

[7 = اليسار | {4x + 1} يمين | لا يوجد رقم]

يمكننا الآن تقسيم هذا إلى معادلتين منفصلتين:

[ start {align *} 7 & = 4x + 1 6 & = 4x x & = frac {6} {4} = frac {3} {2} end {align *} ]

أو

[ begin {align *} - 7 & = 4x + 1 - 8 & = 4x x & = frac {- 8} {4} = - 2 end {align *} ]

هناك حلان: (x = frac {3} {2} ) و (x = -2 ).

مثال ( PageIndex {8} )

حل (1 = 4 يسار | س - 2 يمين | + 2 )

حل

عزل القيمة المطلقة على جانب واحد من المعادلة ،

[ ابدأ {محاذاة *} 1 & = 4 يسار | س - 2 الحق | + 2 -1 & = 4 يسار | س - 2 الحق | - frac {1} {4} & = left | س - 2 الحق | النهاية {محاذاة *} ]

في هذه المرحلة ، نلاحظ أن هذه المعادلة ليس لها حلول - فالقيمة المطلقة تُرجع دائمًا قيمة موجبة ، لذلك من المستحيل أن تساوي القيمة المطلقة قيمة سالبة.

تمرين ( PageIndex {4} )

ابحث عن التقاطعات الأفقية والعمودية للدالة (f (x) = - left | {x + 2} right | + 3 )

إجابه

أفقي: ((1،0) ) و ((- 5،0) )

عمودي: ((0،1) )

حل متباينات القيمة المطلقة

عند كتابة عدم المساواة في القيمة المطلقة لوصف مجموعة من القيم ، مثل المتباينة ( left | x - 5 right | leq 4 ) التي كتبناها سابقًا ، فمن المستحسن أحيانًا التعبير عن هذه المجموعة من القيم بدون القيمة المطلقة ، إما باستخدام المتباينات ، أو باستخدام تدوين الفترة.

سوف نستكشف طريقتين لحل عدم المساواة في القيمة المطلقة:

  1. باستخدام الرسم البياني
  2. استخدام قيم الاختبار

مثال ( PageIndex {9} )

حل [ اليسار | {س - 5} الحق | leq 4 عدد غير رقم ]

حل

مع كلا النهجين ، سنحتاج إلى معرفة مكان المقابل أولاً المساواة صحيح. في هذه الحالة ، سنجد أولاً مكان ( left | {x - 5} right | = 4 ). نقوم بذلك لأن القيمة المطلقة هي دالة ودودة لطيفة بدون فواصل ، لذا فإن الطريقة الوحيدة التي يمكن أن تتحول من خلالها قيم الدالة من أقل من 4 إلى أكبر من 4 هي بالمرور حيث القيم متساوية 4. حل ( يسار | {س - 5} حق | = 4 ) ،

[ start {align *} x - 5 & = 4 x & = 9 end {align *} ]

أو

[ start {align *} x - 5 = - 4 x = 1 end {align *} ]

لاستخدام الرسم البياني ، يمكننا رسم الوظيفة (f (x) = left | {x - 5} right | ). لمساعدتنا في معرفة مكان المخرجات 4 ، يمكن أيضًا رسم الخط (g (x) = 4 ).

على الرسم البياني ، يمكننا أن نرى أن قيم مخرجات القيمة المطلقة تساوي 4 في (س = 1 ) و (س = 9 ). بناءً على شكل الرسم البياني ، يمكننا تحديد القيمة المطلقة أقل من أو تساوي 4 بين هاتين النقطتين ، عند (1 leq x leq 9 ). في تدوين الفاصل ، سيكون هذا هو الفاصل ([1،9] ).

كبديل للرسم البياني ، بعد تحديد أن القيمة المطلقة تساوي 4 في (س = 1 ) و (س = 9 ) ، نعلم أن الرسم البياني يمكن أن يتغير فقط من أقل من 4 إلى أكبر من 4 عند هذه القيم. هذا يقسم خط الأعداد إلى ثلاث فترات: (x <1 ، 1 9 ). لتحديد متى تكون الدالة أقل من 4 ، يمكننا اختيار قيمة في كل فترة زمنية ومعرفة ما إذا كان الناتج أقل من أو أكبر من 4.

[ ابدأ {مجموعة} {llll}
text {Interval} & text {Test} x & f (x) & <4 text {or}> 4؟
hline x <1 & 0 & | 0-5 | = 5 & نص {أكبر}
1 س> 9 & 11 & | 11-5 | = 6 & نص {أكبر}
نهاية {مجموعة}
لا يوجد رقم]

نظرًا لأن (1 leq x leq 9 ) هو الفاصل الزمني الوحيد الذي يكون فيه الناتج عند قيمة الاختبار أقل من 4 ، يمكننا استنتاج الحل لـ ( left | {x - 5} right | leq 4 ) هو (1 leq x leq 9 ).

مثال ( PageIndex {10} )

بالنظر إلى الوظيفة (f (x) = - frac {1} {2} left | {4x - 5} right | + 3 ) ، حدد قيم (x ) التي تكون قيم الدالة سالبة.

حل

نحاول تحديد مكان (f (x) <0 ) ، وهو متى (- frac {1} {2} left | {4x - 5} right | + 3 <0 ). نبدأ بعزل القيمة المطلقة:

[- frac {1} {2} اليسار | {4x - 5} صحيح | <- 3 عدد ]

عندما نضرب كلا الطرفين في -2 ، فإنه يعكس عدم المساواة ،

[ اليسار | {4x - 5} صحيح | > 6 عدد ]

بعد ذلك نحل من أجل المساواة ( left | {4x - 5} right | = 6 )

[ begin {align *} 4x - 5 & = 6 4x & = 11 x & = frac {11} {4} end {align *} nonumber ]

أو

[ begin {align *} 4x - 5 & = - 6 4x & = - 1 x & = frac {- 1} {4} end {align *} ]

يمكننا الآن إما اختيار قيم الاختبار أو رسم رسم بياني للدالة لتحديد الفواصل الزمنية التي تكون فيها قيمة الوظيفة الأصلية سالبة. لاحظ أن الشكل الذي يبدو عليه الرسم البياني ليس مهمًا حقًا ، طالما نعلم أنه يتقاطع مع المحور الأفقي عند (x = frac {- 1} {4} ) و (x = frac { 11} {4} ) ، وأن الرسم البياني قد انعكس.

من الرسم البياني للدالة ، يمكننا أن نرى قيم الدالة سالبة على يسار التقاطع الأفقي الأول عند (x = frac {- 1} {4} ) ، وسالب على يمين التقاطع الثاني عند (س = فارك {11} {4} ). هذا يعطينا حل عدم المساواة:

[x < frac {-1} {4} quad text {or} quad x> frac {11} {4} nonumber ]

في تدوين الفاصل الزمني ، سيكون هذا ( left (- infty، frac {- 1} {4} right) cup left ( frac {11} {4}، infty right) )

تمرين ( PageIndex {6} )

حل (- 2 يسار | ك - 4 يمين | leq - 6 )

إجابه

(ك <1 ) أو (ك> 7 ) ؛ في التدوين الفاصل ، سيكون هذا ( يسار (- infty ، 1 يمين) كوب يسار (7 ، infty يمين) )

هناك نهج ثالث لحل عدم المساواة في القيمة المطلقة وهو الصيغة. بينما تعمل ، وأنت مرحب بك لاستخدامها ، فمن الأرجح أنك ستتذكر الأساليب الأخرى.

حلول لمتباينات القيمة المطلقة

لحل ( left | A right |

لحل ( left | A right |> B ) ، حل: (A> B ) أو (A <- B )

مثال ( PageIndex {11} )

حل (3 يسار | س + 4 يمين | - 2 جيك 7 )

حل

نحتاج أن نبدأ بعزل القيمة المطلقة:

[3 اليسار | {x + 4} حق | - 2 geq 7 nonumber ]

أضف 2 إلى كلا الجانبين

[3 اليسار | {x + 4} حق | geq 9 nonumber ]

اقسم كلا الجانبين على 3

[ اليسار | {x + 4} حق | geq 3 nonumber ]

يمكننا الآن تفكيك هذا وحل كل قطعة على حدة:

[ start {align *} x + 4 & geq 3 nonumber x & geq - 1 end {align *} ]

أو

[ start {align *} x + 4 & leq - 3 x & leq - 7 end {align *} ]

في تدوين الفترات ، سيكون هذا ((- infty، -7] cup [-1، infty) ).

موضوعات مهمة في هذا القسم

خصائص دالة القيمة المطلقة

حل معادلات القيمة المطلقة

العثور على اعتراضات

حل عدم المساواة في القيمة المطلقة


عدم المساواة في متغير واحد

في القسمين 1.1 و 2.1 ، رأينا أنه من رقمين مختلفين ، يقع الرسم البياني للرقم الأصغر على يسار الرسم البياني للعدد الأكبر على خط الأعداد. يمكن التعبير عن علاقات الترتيب هذه باستخدام الرموز التالية:

& le تعني "أقل من أو يساوي ،"

& ge تعني "أكبر من أو يساوي".

يمكن كتابة "1 أقل من 3" بالشكل 1 -5.

يمكن كتابة "2 أقل من أو يساوي x" بالشكل 2 & le x.

يمكن كتابة "4 أكبر من أو يساوي y" بالشكل 4 & ge y.

تسمى العبارات التي تتضمن أيًا من الرموز المذكورة أعلاه المتباينات. عدم المساواة مثل

يقال أنها ذات ترتيب معاكس أو معاكسة لأنه في إحدى الحالات يكون العضو الأيسر أقل من العضو الأيمن وفي الحالة الأخرى يكون العضو الأيسر أكبر من العضو الأيمن.

خصائص عدم المساواة

في القسم 3.1 ، رأينا أن معادلة من الدرجة الأولى في متغير واحد لها حل واحد فقط. لكن عدم المساواة من الدرجة الأولى لها عدد لا حصر له من الحلول. على سبيل المثال ، الرسوم البيانية للعدد اللامتناهي من الحلول الصحيحة للمتباينة x> 3 موضحة في الشكل 3.1.

في بعض الأحيان يكون من غير الممكن تحديد حلول لمتباينة معينة بمجرد الفحص. لكن باستخدام الخصائص التالية ، يمكننا تكوين متباينات مكافئة (متباينات لها نفس الحلول) حيث يكون الحل واضحًا من خلال الفحص.

1. إذا تمت إضافة نفس التعبير إلى كل عضو في المتباينة أو طرحه منه ، تكون النتيجة متباينة مكافئة بنفس الترتيب.

a مثال 1 أ. لأن 3 مثال 2 أ. لأن 2 0 ،

5 (ض) مثال 3 أ. لأن 3 5 (-2) أو -6> -10

تنطبق الخصائص الثلاثة المذكورة أعلاه أيضًا على المتباينات بالصيغة أ> ب ، وكذلك حل مثال 4 ، حيث x عدد صحيح.

الحل ضرب كل عضو في 2 (رقم موجب) ، لدينا

ثم نقسم كل عضو على 3 ، نحصل على

الرسم البياني لهذه المتباينة هو

في المثال أعلاه ، كانت جميع المتباينات بنفس الترتيب لأننا طبقنا الخاصية 2 أعلاه فقط. الآن ضع في اعتبارك عدم المساواة التالية.

مثال 5 حل - 3x + 1> 7 ، حيث x عدد صحيح.

إضافة الحل - 1 لكل عضو ، نحصل عليه

الآن نطبق الخاصية 3 ونقسم كل عضو على -3. في هذه الحالة علينا عكس ترتيب المتباينة.

عند حل المسائل الكلامية التي تتضمن متباينات ، نتبع الخطوات الست الموضحة في الصفحة 115 باستثناء كلمة معادلة سيتم استبدالها بكلمة متباينة.


3.1: عدم المساواة في متغير واحد - الرياضيات

تريد أوراق عمل الرياضيات غير محدودة؟ تعرف على المزيد حول برنامج ممارسة الرياضيات عبر الإنترنت.
اطلع على بعض مشاكل ممارسة الرياضيات المدعومة الأخرى.

التعقيد = 5 ، الوضع = 2

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 10 ، الوضع = 2

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 5 ، الوضع = 3

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 6 ، الوضع = 3

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 7 ، الوضع = 3

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 5 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 6 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 7 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 9 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 12 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 15 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

الإجابات

التعقيد = 5 ، الوضع = 1

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 5 ، الوضع = 2

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 10 ، الوضع = 2

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 5 ، الوضع = 3

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 6 ، الوضع = 3

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 7 ، الوضع = 3

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 5 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 6 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 7 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 9 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 12 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.

التعقيد = 15 ، الوضع = 4

يحل.
نماذج الإجابات: v & gt 5، v & ge 6، z & le -3.
النوع: v & gt 5 ، v & gt = 6 ، z & lt = -3.


3.4 الرسم البياني للمتباينات الخطية في متغيرين

لقد تعلمنا سابقًا حل المتباينات بمتغير واحد فقط. سنتعلم الآن عن المتباينات التي تحتوي على متغيرين. على وجه الخصوص سوف ننظر في المتباينات الخطية في متغيرين متشابهين جدًا مع المعادلات الخطية في متغيرين.

المتباينات الخطية في متغيرين لها تطبيقات عديدة. إذا كنت تدير نشاطًا تجاريًا ، على سبيل المثال ، فقد ترغب في أن تكون إيراداتك أكبر من تكاليفك - بحيث يحقق عملك ربحًا.

عدم المساواة الخطية

المتباينة الخطية هي متباينة يمكن كتابتها بأحد الأشكال التالية:

أين أ و ب كلاهما ليس صفرًا.

وبالمثل ، فإن المتباينات الخطية في متغيرين لها العديد من الحلول. أي زوج مرتب (x، y) (x، y) يجعل المتباينة صحيحة عندما نعوض بالقيم هو حل لمتباينة خطية.

حل عدم المساواة الخطية

مثال 3.34

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & gt x + 4: y & gt x + 4:

حل

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & gt x - 3: y & gt x - 3:

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & lt x + 1: y & lt x + 1:

التعرف على العلاقة بين حلول اللامساواة ورسمها البياني

الآن ، سننظر في كيفية ارتباط حلول المتباينة بالرسم البياني لها.

خط الحدود

بالنسبة لعدم المساواة في متغير واحد ، يتم عرض نقطة النهاية بأقواس أو قوس اعتمادًا على ما إذا كان أ مدرج في الحل:

وبالمثل ، بالنسبة لعدم المساواة في متغيرين ، يظهر خط الحدود بخط متصل أو متقطع لتوضيح ما إذا كان الخط متضمنًا في الحل أم لا.

الآن ، دعنا نلقي نظرة على ما وجدناه في المثال 3.34. سنبدأ برسم الخط y = x + 4 ، و y = x + 4 ، ثم نرسم النقاط الخمس التي اختبرناها ، كما هو موضح في الرسم البياني. انظر الشكل 3.12.

في المثال 3.34 وجدنا أن بعض النقاط كانت حلولاً للمتباينة y & gt x + 4 y & gt x + 4 والبعض الآخر لم يكن كذلك.

أي من النقاط التي رسمناها هي حلول للمتباينة y & gt x + 4؟ y & gt x + 4؟

لنأخذ نقطة أخرى فوق خط الحدود ونختبر ما إذا كان هذا حلًا أم لا للمتباينة y & gt x + 4. y & gt x + 4. النقطة (0 ، 10) (0 ، 10) تبدو بوضوح فوق خط الحدود ، أليس كذلك؟ هل هو حل لعدم المساواة؟

أي نقطة تختارها فوق خط الحدود هي حل للمتباينة y & gt x + 4. y & gt x + 4. جميع النقاط فوق خط الحدود هي حلول.

يظهر الرسم البياني لعدم المساواة y & gt x + 4 y & gt x + 4 أدناه.

مثال 3.35

خط الحدود الموضح في هذا الرسم البياني هو y = 2 x - 1. ص = 2 س - 1. اكتب المتباينة الموضحة بالرسم البياني.

حل

بما أن خط الحدود يرسم بخط متصل ، فإن المتباينة تتضمن علامة التساوي.

يوضح الرسم البياني المتباينة y ≥ 2 x - 1. ص ≥ 2 س - 1.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود y = −2 x + 3. ص = −2 س + 3.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود y = 1 2 x - 4. ص = 1 2 س - 4.

مثال 3.36

خط الحدود الموضح في هذا الرسم البياني هو 2 × + 3 ص = 6. 2 س + 3 ص = 6. اكتب المتباينة الموضحة بالرسم البياني.

حل

(قد ترغب في اختيار نقطة على الجانب الآخر من خط الحدود والتحقق من أن 2 x + 3 y & gt 6. 2 x + 3 y & gt 6.)

بما أن خط الحدود مرسوم على هيئة خط متقطع ، فإن المتباينة لا تتضمن علامة يساوي.

توضح المنطقة المظللة حل المتباينة 2 x + 3 y & lt 6. 2 x + 3 y & lt6.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود x - 4 y = 8. س - 4 ص = 8.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود 3 x - y = 6. 3 س - ص = 6.

رسم المتباينات الخطية في متغيرين

الآن بعد أن عرفنا كيف يبدو التمثيل البياني لمتباينة خطية وكيف يرتبط بمعادلة حدية ، يمكننا استخدام هذه المعرفة لرسم بياني لمتباينة خطية معينة.

المثال 3.37

كيفية رسم معادلة خطية في متغيرين

بياني المتباينة الخطية y ≥ 3 4 x - 2. ص ≥ ٣ ٤ س - ٢.

حل

بياني المتباينة الخطية y ≥ 5 2 x - 4. ص ≥ ٥ ٢ س - ٤.

بياني المتباينة الخطية y ≤ 2 3 x - 5. ص ≤ ٢ ٣ س - ٥.

نلخص هنا الخطوات التي نتخذها لرسم بياني لمتباينة خطية.

كيف

ارسم متباينة خطية في متغيرين.

مثال 3.38

بياني المتباينة الخطية x - 2 y & lt 5. x - 2 y & lt5.

حل

تمثل جميع النقاط في المنطقة المظللة ، باستثناء تلك الموجودة على خط الحدود ، حلول x - 2 y & lt 5. x - 2 y & lt5.

بيّن المتباينة الخطية: 2 x - 3 y & lt 6. 2 x - 3 y & lt6.

ارسم المتباينة الخطية: 2 x - y & gt 3. 2 x - y & gt 3.

ماذا لو كان خط الحدود يمر بالأصل؟ بعد ذلك ، لن نتمكن من استخدام (0 ، 0) (0 ، 0) كنقطة اختبار. لا توجد مشكلة - سنختار نقطة أخرى ليست على خط الحدود.

مثال 3.39

ارسم المتباينة الخطية: y ≤ - 4 x. ص ≤ - 4 س.

حل

الآن نحن بحاجة إلى نقطة اختبار. يمكننا أن نرى أن النقطة (1 ، 0) (1 ، 0) ليست على خط الحدود.

كل النقاط في المنطقة المظللة وعلى خط الحدود تمثل حلول y ≤ - 4 x. ص ≤ - 4 س.

ارسم المتباينة الخطية: y & gt - 3 x. y & gt - 3 x.

ارسم المتباينة الخطية: y ≥ −2 x. ص ≥ −2 س.

بعض المتباينات الخطية لها متغير واحد فقط. قد يكون لديهم x لكن لا ذ، أو أ ذ لكن لا x. في هذه الحالات ، سيكون خط الحدود إما خطًا رأسيًا أو أفقيًا.

مثال 3.40

ارسم المتباينة الخطية: y & gt 3. y & gt 3.

حل

لذلك نقوم بتظليل الجانب الذي لا يحتوي على (0 ، 0) (0 ، 0) كما هو موضح في هذا الرسم البياني.

تمثل جميع النقاط في المنطقة المظللة ، باستثناء تلك الموجودة على خط الحدود ، حلول y & gt 3. y & gt 3.

ارسم المتباينة الخطية: y & lt 5. y & lt 5.

ارسم المتباينة الخطية: y ≤ −1. ص ≤ −1.

حل التطبيقات باستخدام المتباينات الخطية في متغيرين

تستخدم العديد من المجالات المتباينات الخطية لنمذجة مشكلة. بينما قد تكون أمثلةنا حول مواقف بسيطة ، فإنها تمنحنا فرصة لبناء مهاراتنا والتعرف على كيفية استخدامها.

مثال 3.41

تعمل هيلاريا في وظيفتين بدوام جزئي من أجل كسب ما يكفي من المال للوفاء بالتزاماتها التي لا تقل عن 240 دولارًا في الأسبوع. وظيفتها في خدمة الطعام تدفع 10 دولارات في الساعة وتدفع وظيفتها في التدريس في الحرم الجامعي 15 دولارًا في الساعة. كم ساعة تحتاج هيلاريا للعمل في كل وظيفة لكسب 240 دولارًا على الأقل؟

حل

ⓐ ندعنا x يكون عدد الساعات التي تعمل بها في الوظيفة في خدمة الطعام واسمحوا لها ذ هو عدد الساعات التي تعمل فيها في التدريس.

تكسب 10 دولارات للساعة في الوظيفة في خدمة الطعام و 15 دولارًا في الساعة من التدريس. في كل وظيفة ، سيعطي عدد الساعات مضروبًا في أجر الساعة المبلغ المكتسب في تلك الوظيفة.

ⓑ لرسم المتباينة ، نضعها في صيغة الميل ـ التقاطع.

بالنسبة إلى Hilaria ، فهذا يعني أنه لكسب 240 دولارًا على الأقل ، يمكنها العمل لمدة 15 ساعة في التدريس و 10 ساعات في وظيفتها للوجبات السريعة ، أو كسب كل أموالها في التدريس لمدة 16 ساعة ، أو كسب كل أموالها أثناء العمل 24 ساعة في الوظيفة في خدمة الطعام.

هيو يعمل في وظيفتين بدوام جزئي. أحدهما في محل بقالة يدفع 10 دولارات للساعة والآخر هو مجالسة الأطفال مقابل 13 دولارًا في الساعة. بين الوظيفتين ، يريد هيو أن يكسب 260 دولارًا على الأقل في الأسبوع. كم عدد الساعات التي يحتاجها هيو للعمل في كل وظيفة لكسب 260 دولارًا على الأقل؟

ⓐ دع x كن عدد الساعات التي يعمل بها في محل البقالة واسمحوا ذ هو عدد الساعات التي يعمل فيها مجالسة الأطفال. اكتب متباينة من شأنها أن تمثل هذا الموقف.

ⓒ ابحث عن ثلاثة أزواج مرتبة (x, ذ) من شأنها أن تكون حلولاً لعدم المساواة. ثم اشرح ما يعنيه ذلك بالنسبة إلى هيو.

تعمل فيرونيكا في وظيفتين بدوام جزئي من أجل كسب ما يكفي من المال للوفاء بالتزاماتها التي لا تقل عن 280 دولارًا في الأسبوع. وظيفتها في المنتجع الصحي النهاري تدفع 10 دولارات للساعة ووظيفة المساعد الإداري في الحرم الجامعي تدفع 17.50 دولارًا للساعة. كم ساعة تحتاج فيرونيكا للعمل في كل وظيفة لكسب 280 دولارًا على الأقل؟

ⓐ دع x كن عدد الساعات التي تعمل فيها في المنتجع الصحي النهاري واسمحوا ذ هو عدد الساعات التي تعمل فيها كمساعد إداري. اكتب متباينة من شأنها أن تمثل هذا الموقف.

ⓒ ابحث عن ثلاثة أزواج مرتبة (x, ذ) من شأنها أن تكون حلولاً لعدم المساواة. ثم اشرح ما يعنيه ذلك بالنسبة لفيرونيكا

وسائط

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع رسم بياني لعدم المساواة الخطية في متغيرين.

القسم 3.4 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

تحقق من حلول لعدم المساواة في متغيرين

في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كان كل زوج مرتب يمثل حلًا لمتباينة معينة.

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & gt x - 1: y & gt x - 1:

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & gt x - 3: y & gt x - 3:

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & lt 3 x + 2: y & lt 3 x + 2:

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & lt - 2 x + 5: y & lt - 2 x + 5:

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة 3 x - 4 y & gt 4: 3 x - 4 y & gt 4:

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة 2 x + 3 y & gt 2: 2 x + 3 y & gt 2:

التعرف على العلاقة بين حلول اللامساواة ورسمها البياني

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في التدريبات التالية.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود ص = 3 س - 4. ص = 3 س - 4.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود ص = 2 س - 4. ص = 2 س - 4.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود y = 1 2 x + 1. ص = 1 2 س + 1.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود y = - 1 3 x - 2. ص = - ١ ٣ س - ٢.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود x + y = 5. س + ص = 5.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود x + y = 3. س + ص = 3.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود 3 x - y = 6. 3 س - ص = 6.

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود 2 x - y = 4. 2 س - ص = 4.

رسم المتباينات الخطية في متغيرين

في التدريبات التالية ، ارسم كل متباينة خطية بيانيًا.

بيّن المتباينة الخطية: y & gt 2 3 x - 1. y & gt 2 3 x - 1.

ارسم المتباينة الخطية: y & lt 3 5 x + 2. ص & lt 3 5 س + 2.

ارسم المتباينة الخطية: y ≤ - 1 2 x + 4. ص ≤ - ١ ٢ س + ٤.

ارسم المتباينة الخطية: y ≥ - 1 3 x - 2. ص ≥ - ١ ٣ س - ٢.

ارسم المتباينة الخطية: x - y ≤ 3. س - ص ≤ 3.

ارسم المتباينة الخطية: x - y ≥ −2. س - ص ≥ −2.

ارسم المتباينة الخطية: 4 x + y & gt - 4. 4 × + ص & GT - 4.

ارسم المتباينة الخطية: x + 5 y & lt - 5. x + 5 ص & lt - 5.

ارسم المتباينة الخطية: 3 x + 2 y ≥ −6. 3 س + 2 ص 6.

ارسم المتباينة الخطية: 4 x + 2 y ≥ −8. 4 س + 2 ص 8.

ارسم المتباينة الخطية: y & gt 4 x. y & gt 4 x.

ارسم المتباينة الخطية: y ≤ −3 x. ص ≤ −3 س.

ارسم المتباينة الخطية: y & lt - 10. y & lt - 10.

ارسم المتباينة الخطية: y ≥ 2. ص ≥ 2.

ارسم المتباينة الخطية: x ≤ 5. س ≤ 5.

ارسم المتباينة الخطية: x ≥ 0. س ≥ 0.

ارسم المتباينة الخطية: x - y & lt4. س - ص & لوت 4.

ارسم المتباينة الخطية: x - y & lt - 3. x - y & lt - 3.

ارسم المتباينة الخطية: y ≥ 3 2 x. ص ≥ ٣ ٢ س.

ارسم المتباينة الخطية: y ≤ 5 4 x. ص ≤ ٥ ٤ س.

ارسم المتباينة الخطية: y & gt - 2 x + 1. y & gt - 2 × + 1.

بياني المتباينة الخطية: y & lt - 3 x - 4. y & lt - 3 × - 4.

ارسم المتباينة الخطية: 2 x + y ≥ −4. 2 س + ص 4.

ارسم المتباينة الخطية: x + 2 y ≤ −2. س + 2 ص ≤ −2.

ارسم المتباينة الخطية: 2 x - 5 y & gt 10. 2 × - 5 ص & GT10.

ارسم المتباينة الخطية: 4 x - 3 y & gt 12. 4 × - 3 ص & GT12.

حل التطبيقات باستخدام المتباينات الخطية في متغيرين

يعمل هاريسون في وظيفتين بدوام جزئي. أحدهما في محطة وقود يدفع 11 دولارًا في الساعة والآخر هو استكشاف أخطاء تقنية المعلومات وإصلاحها مقابل 16.50 دولارًا أمريكيًا للساعة. بين الوظيفتين ، يريد هاريسون أن يكسب ما لا يقل عن 330 دولارًا في الأسبوع. كم عدد الساعات التي يحتاجها هاريسون للعمل في كل وظيفة لكسب 330 دولارًا على الأقل؟

ⓐ دع x يكون عدد الساعات التي يعمل بها في محطة البنزين والسماح ذ يكون عدد (الساعات التي يعمل فيها على استكشاف الأخطاء وإصلاحها. اكتب متباينة من شأنها أن تمثل هذا الموقف.

تحتاج إيلينا إلى كسب 450 دولارًا على الأقل في الأسبوع خلال إجازتها الصيفية لدفع تكاليف الكلية. تعمل في وظيفتين.أحدهما كمدرب سباحة يدفع 9 دولارات للساعة والآخر كمتدرب في مختبر علم الوراثة مقابل 22.50 دولارًا في الساعة. كم عدد الساعات التي تحتاجها إيلينا للعمل في كل وظيفة لكسب 450 دولارًا على الأقل في الأسبوع؟

ⓐ دع x يكون عدد الساعات التي تعمل بها في تعليم السباحة واسمحوا ذ هو عدد الساعات التي تعمل فيها كمتدربة. اكتب متباينة من شأنها أن تمثل هذا الموقف.

أخبر الطبيب لورا أنها بحاجة إلى ممارسة الرياضة بما يكفي لحرق 500 سعرة حرارية كل يوم. تفضل الجري أو ركوب الدراجة وتحرق 15 سعرًا حراريًا في الدقيقة أثناء الجري و 10 سعرات حرارية في الدقيقة أثناء ركوب الدراجة.

ⓐ إذا x هو عدد الدقائق التي تديرها Laura و ذ هو عدد دقائق ركوب الدراجة ، ابحث عن عدم المساواة الذي يمثل الموقف.

ضع قائمة بثلاثة حلول للمتباينة. ما هي الخيارات التي توفرها الحلول لورا؟

تتكون تدريبات Armando من الكيك بوكسينغ والسباحة. أثناء ممارسة الكيك بوكسينغ ، يحرق 10 سعرات حرارية في الدقيقة ويحرق 7 سعرات حرارية في الدقيقة أثناء السباحة. يريد أن يحرق 600 سعر حراري كل يوم.

ⓐ إذا x هو عدد الدقائق التي سيحضرها Armando و ذ هو عدد الدقائق التي يسبح فيها ، ابحث عن عدم المساواة التي ستساعد أرماندو في إنشاء تمرين لليوم.

ضع قائمة بثلاثة حلول للمتباينة. ما هي الخيارات التي توفرها الحلول Armando؟

تمارين الكتابة

اشرح لماذا ، في بعض الرسوم البيانية للتباينات الخطية ، يكون خط الحدود صلبًا ولكن في الرسوم البيانية الأخرى يكون متقطعًا.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ على مقياس من 1 إلى 10 ، كيف تقيم إتقانك لهذا القسم في ضوء ردودك على قائمة التحقق؟ كيف يمكنك تحسين هذا؟

بصفتنا أحد شركاء Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/3-4-graph-linear-inequities-in-two-variables

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    أوراق عمل المتباينات

    هل تبحث عن أوراق عمل مجانية للرياضيات تساعد طلابك على تطوير مهارات الرياضيات في الحياة الواقعية وإتقانها؟ ستعرف أوراق عمل الجبر أدناه طلابك على حل عدم المساواة. نظرًا لأنهم يتخذون نهجًا تدريجيًا لحل عدم المساواة ، فسوف يمارسون أيضًا مهارات الجبر الأساسية الأخرى مثل استخدام العمليات العكسية لحل المعادلات.

    ابدأ فصلك الدراسي بورقة العمل 1 ، والتي تتميز بعدم المساواة الأساسية التي يمكن حلها في خطوة واحدة وتركز ببساطة على الأرقام الموجبة. بينما يمارس طلابك كل ورقة عمل متتالية ، يتم تقديم عدم المساواة متعددة الخطوات جنبًا إلى جنب مع بعض الأرقام السالبة. بحلول الوقت الذي يكمل فيه طلابك هذه السلسلة من أوراق عمل الجبر المجانية ، سيعرفون وقت عكس رموز عدم المساواة وحلول الرسم البياني والتحقق من حلولهم جميعًا بأنفسهم!

    ورقة عمل حل المتباينات 1 & # 8211 فيما يلي ورقة عمل مكونة من اثني عشر مشكلة تعرض عدم مساواة بسيطة من خطوة واحدة. استخدم العمليات العكسية أو الرياضيات الذهنية لحلها x.
    ورقة عمل حل المتباينات 1 RTF
    ورقة عمل حل المتباينات 1 PDF
    قم بمعاينة ورقة العمل 1 لحل المتباينات في المستعرض الخاص بك
    عرض الإجابات

    ورقة عمل حل المتباينات 2 & # 8211 فيما يلي ورقة عمل مكونة من اثني عشر مشكلة تعرض عدم مساواة بسيطة من خطوة واحدة. استخدم العمليات العكسية أو الرياضيات الذهنية لحلها x.
    ورقة عمل حل المتباينات 2 RTF
    ورقة عمل حل المتباينات 2 PDF
    قم بمعاينة ورقة العمل 2 لحل المتباينات في المستعرض الخاص بك
    عرض الإجابات

    ورقة عمل حل المتباينات 3 & # 8211 فيما يلي ورقة عمل مكونة من اثني عشر مشكلة تعرض عدم المساواة من خطوتين. استخدم العمليات العكسية أو الرياضيات الذهنية لحلها x.
    ورقة عمل حل المتباينات 3 RTF
    ورقة عمل حل المتباينات 3 PDF
    قم بمعاينة ورقة عمل حل المتباينات 3 في المستعرض الخاص بك
    عرض الإجابات

    ورقة عمل حل المتباينات 4 & # 8211 فيما يلي ورقة عمل مكونة من اثني عشر مشكلة تعرض عدم المساواة في خطوة واحدة. استخدم العمليات العكسية أو الرياضيات الذهنية لحلها x.
    ورقة عمل حل المتباينات 4 RTF
    ورقة عمل حل المتباينات 4 PDF
    قم بمعاينة ورقة العمل 4 لحل المتباينات في المستعرض الخاص بك
    عرض الإجابات

    ورقة عمل حل المتباينات 5 & # 8211 فيما يلي ورقة عمل مكونة من اثني عشر مشكلة تعرض عدم المساواة من خطوتين. استخدم العمليات العكسية أو الرياضيات الذهنية لحلها x.
    ورقة عمل حل المتباينات 5 RTF
    ورقة عمل حل المتباينات 5 PDF
    قم بمعاينة ورقة عمل حل المتباينات 5 في المستعرض الخاص بك
    عرض الإجابات


    3.1 الرسم البياني للمعادلات الخطية في متغيرين

    تمامًا مثل الخرائط التي تستخدم نظام الشبكة لتحديد المواقع ، يتم استخدام نظام الشبكة في الجبر لإظهار العلاقة بين متغيرين في نظام إحداثيات مستطيل. يسمى نظام الإحداثيات المستطيلة أيضًا بـ س ص- الطائرة أو "المستوى الإحداثي".

    يتكون نظام الإحداثيات المستطيلة من خطي أرقام متقاطعين ، أحدهما أفقي والآخر عمودي. خط الأعداد الأفقي يسمى x-محور. خط الرقم العمودي يسمى ذ-محور. تقسم هذه المحاور المستوى إلى أربع مناطق تسمى الأرباع. يتم تحديد الأرباع بأرقام رومانية ، تبدأ من أعلى اليمين وتتقدم بعكس اتجاه عقارب الساعة. انظر الشكل 3.2.

    في نظام الإحداثيات المستطيلة ، يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب. الرقم الأول في الزوج المرتب هو x-تنسيق النقطة ، والرقم الثاني هو ذ-تنسيق النقطة. تعني عبارة "الزوج المرتب" أن الترتيب مهم.

    زوج مرتب

    ما هو الزوج المرتب للنقطة التي يتقاطع عندها المحاور؟ عند هذه النقطة يكون كلا الإحداثيين صفراً ، وبالتالي يكون الزوج المرتب (0 ، 0). (0 ، 0). النقطة (0 ، 0) (0 ، 0) لها اسم خاص. يطلق عليه الأصل.

    الأصل

    عندما يكون أحد الإحداثيات صفرًا ، فإن النقطة تقع على أحد المحاور. في الشكل 3.4 ، تكون النقطة (0 ، 4) (0 ، 4) على ذ-المحور والنقطة (−2 ، 0) (−2 ، 0) تقع على x-محور.

    النقاط على المحاور

    النقاط مع أ ذ- منسق يساوي 0 على x-المحور ولها إحداثيات (أ ، 0). (أ ، 0).

    النقاط ذات الامتداد x- منسق يساوي 0 على ذ-محور ولها إحداثيات (0 ، ب). (0 ، ب).

    مثال 3.1

    ارسم كل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيلة وحدد الربع الذي تقع فيه النقطة:

    حل

    ارسم كل نقطة في نظام إحداثيات مستطيل وحدد الربع الذي تقع فيه النقطة:
    ⓐ ( −2 , 1 ) ( −2 , 1 ) ⓑ ( −3 , −1 ) ( −3 , −1 ) ⓒ ( 4 , −4 ) ( 4 , −4 ) ⓓ ( −4 , 4 ) ( −4 , 4 ) ⓔ ( −4 , 3 2 ) ( −4 , 3 2 )

    ارسم كل نقطة في نظام إحداثيات مستطيل وحدد الربع الذي تقع فيه النقطة:
    ⓐ ( −4 , 1 ) ( −4 , 1 ) ⓑ ( −2 , 3 ) ( −2 , 3 ) ⓒ ( 2 , −5 ) ( 2 , −5 ) ⓓ ( −2 , 5 ) ( −2 , 5 ) ⓔ ( −3 , 5 2 ) ( −3 , 5 2 )

    علامات x-تنسيق و ذ-تؤثر على موقع النقاط. ربما لاحظت بعض الأنماط أثناء رسمك للنقاط في المثال السابق. يمكننا تلخيص أنماط إشارات الأرباع بهذه الطريقة:

    الأرباع

    حتى الآن ، كانت جميع المعادلات التي قمت بحلها معادلات ذات متغير واحد فقط. في كل حالة تقريبًا ، عندما تحل المعادلة ، يكون لديك حل واحد بالضبط. لكن يمكن أن تحتوي المعادلات على أكثر من متغير واحد. يمكن أن تكون المعادلات ذات المتغيرين بالصيغة A x + B y = C. أ س + ب ص = ج. معادلة من هذا الشكل تسمى المعادلة الخطية في متغيرين.

    معادلة خط مستقيم

    فيما يلي مثال على معادلة خطية في متغيرين ، x و ذ.

    النموذج القياسي للمعادلة الخطية

    المعادلة الخطية في النموذج القياسي عندما يتم كتابتها A x + B y = C. أ س + ب ص = ج.

    المعادلات الخطية لها عدد لا نهائي من الحلول. لكل رقم يتم استبداله x هناك مقابل ذ القيمة. هذا الزوج من القيم هو حل للمعادلة الخطية ويمثله الزوج المرتب (س ، ص). (س ، ص). عندما نستبدل هذه القيم x و ذ في المعادلة ، تكون النتيجة عبارة صحيحة ، لأن القيمة على الجانب الأيسر تساوي القيمة الموجودة على الجانب الأيمن.

    حل معادلة خطية في متغيرين

    المعادلات الخطية لها عدد لا نهائي من الحلول. يمكننا رسم هذه الحلول في نظام إحداثيات المستطيل. ستصطف النقاط بشكل مثالي في خط مستقيم. نقوم بتوصيل النقاط بخط مستقيم للحصول على الرسم البياني للمعادلة. نضع الأسهم على طرفي كل جانب من الخط للإشارة إلى أن الخط يستمر في كلا الاتجاهين.

    الرسم البياني هو تمثيل مرئي لجميع حلول المعادلة. إنه مثال على القول المأثور "الصورة تساوي ألف كلمة". الخط يظهر لك الكل حلول تلك المعادلة. كل نقطة على الخط هي حل للمعادلة. وكل حل لهذه المعادلة يقع على هذا الخط. هذا الخط يسمى الرسم البياني للمعادلة. نقاط ليس على الخط ليست حلولا!

    رسم بياني لمعادلة خطية

    التمثيل البياني للمعادلة الخطية A x + B y = C A x + B y = C هو خط مستقيم.

    • كل نقطة على الخط هي حل للمعادلة.
    • كل حل لهذه المعادلة هو نقطة على هذا الخط.

    مثال 3.2

    لكل زوج مرتب ، قرر:

    ⓐ هل الزوج المرتب حل المعادلة؟

    حل

    استبدل x- و ذ- القيم في المعادلة للتحقق مما إذا كان الزوج المرتب هو حل المعادلة.


    ⓐ هل الزوج المرتب حل المعادلة؟
    ⓑ هل النقطة على الخط؟

    ⓐ هل الزوج المرتب حل المعادلة؟
    ⓑ هل النقطة على الخط؟

    ارسم معادلة خطية برسم النقاط

    هناك عدة طرق يمكن استخدامها لرسم معادلة خطية. الطريقة الأولى التي سنستخدمها تسمى نقاط الرسم ، أو طريقة الرسم النقطي. نجد ثلاث نقاط إحداثياتها حلول للمعادلة ثم نرسمها في نظام إحداثيات مستطيل. من خلال ربط هذه النقاط في خط ، لدينا الرسم البياني للمعادلة الخطية.

    مثال 3.3

    كيفية رسم معادلة خطية برسم النقاط

    ارسم المعادلة y = 2 x + 1 y = 2 x + 1 برسم النقاط.

    حل

    ارسم المعادلة برسم النقاط: y = 2 x - 3. ص = 2 س - 3.

    ارسم المعادلة برسم النقاط: y = −2 x + 4. ص = −2 س + 4.

    يتم تلخيص الخطوات التي يجب اتخاذها عند رسم معادلة خطية عن طريق رسم النقاط هنا.

    كيف

    ارسم معادلة خطية برسم النقاط.

    1. الخطوة الأولى. أوجد ثلاث نقاط إحداثياتها تمثل حلولًا للمعادلة. تنظيمهم في جدول.
    2. الخطوة 2. ارسم النقاط في نظام إحداثيات مستطيل. تحقق من أن النقاط في خط واحد. إذا لم يفعلوا ذلك ، تحقق بعناية من عملك.
    3. الخطوة 3. ارسم الخط من خلال النقاط الثلاث. قم بتمديد الخط لملء الشبكة ووضع الأسهم على طرفي الخط.

    صحيح أن تحديد خط ما يتطلب نقطتين فقط ، ولكن من الجيد استخدام ثلاث نقاط. إذا قمت برسم نقطتين فقط وكانت إحداهما غير صحيحة ، فلا يزال بإمكانك رسم خط ولكنه لن يمثل حلول المعادلة. سيكون الخط الخطأ.

    إذا استخدمت ثلاث نقاط ، وواحدة غير صحيحة ، فلن تتراصف النقاط. يخبرك هذا بوجود خطأ ما وتحتاج إلى التحقق من عملك. انظر إلى الفرق بين هذه الرسوم التوضيحية.

    مثال 3.4

    ارسم المعادلة: y = 1 2 x + 3. ص = 1 2 س + 3.

    حل


    ارسم النقاط ، وتحقق من أنها تصطف ، وارسم الخط.

    ارسم المعادلة: y = 1 3 x - 1. ص = ٣ ١ س - ١.

    ارسم المعادلة: y = 1 4 x + 2. ص = ٤ ١ س + ٢.

    رسم بياني للخطوط الرأسية والأفقية

    بعض المعادلات الخطية لها متغير واحد فقط. قد يكون لديهم فقط x و لا ذ، أو فقط ذ بدون x. هذا يغير كيفية عمل جدول للقيم للحصول على النقاط لرسمها.

    ارسم النقاط من الجدول واربطها بخط مستقيم. لاحظ أننا رسمنا خطًا رأسيًا بالرسم البياني.

    في هذا الشكل ، قمنا برسم خط أفقي يمر عبر ذ-المحور في 4.

    خطوط عمودية وأفقية

    أ خط عمودي هو الرسم البياني لمعادلة بالصيغة x = a. س = أ.

    أ خط أفقي هو الرسم البياني لمعادلة بالصيغة y = b. ص = ب.

    مثال 3.5

    حل

    المعادلة لها متغير واحد فقط ، x، و x تساوي دائمًا 2. نقوم بإنشاء جدول حيث x دائمًا 2 ثم أدخل أي قيم لـ ذ. الرسم البياني عبارة عن خط عمودي يمر عبر x-المحور 2.

    ارسم المعادلات بيانيًا: ⓐ x = 5 x = 5 y = −4. ص = −4.

    ارسم المعادلات بيانيًا: ⓐ x = −2 x = −2 ⓑ y = 3. ص = 3.

    ما الفرق بين المعادلتين ص = 4 س ص = 4 س وص = 4؟ ص = 4؟

    مثال 3.6

    حل

    نلاحظ أن المعادلة الأولى بها المتغير x، في حين أن الثانية لا. نصنع جدول نقاط لكل معادلة ثم نرسم الخطوط. يتم عرض الرسمين البيانيين.

    ارسم المعادلات بنفس نظام إحداثيات المستطيل: y = −4 x y = −4 x و y = −4. ص = −4.

    ارسم المعادلات بنفس نظام إحداثيات المستطيل: y = 3 y = 3 و y = 3 x. ص = 3 س.

    تجد x- و ذ- اعتراضات

    يمكن تمثيل كل معادلة خطية بخط فريد يوضح جميع حلول المعادلة. لقد رأينا أنه عند رسم خط ما برسم النقاط ، يمكنك استخدام أي ثلاثة حلول للرسم البياني. هذا يعني أن شخصين يرسمان الخط قد يستخدمان مجموعات مختلفة من ثلاث نقاط.

    للوهلة الأولى ، قد لا يبدو سطراهم متماثلين ، حيث سيكون لديهم نقاط مختلفة مسماة. ولكن إذا تم تنفيذ كل العمل بشكل صحيح ، فيجب أن تكون الخطوط متطابقة تمامًا. إحدى طرق التعرف على أنهما في الواقع نفس الخط هي النظر إلى المكان الذي يتقاطع فيه الخط مع x-المحور و ذ-محور. تسمى هذه النقاط تقاطعات الخط.

    اعتراضات الخط

    النقاط التي يتقاطع فيها الخط مع x-المحور و ذ- يسمى المحور اعتراضات الخط.

    دعونا نلقي نظرة على الرسوم البيانية للخطوط.

    أولاً ، لاحظ مكان تقاطع كل من هذه الخطوط مع x-محور. انظر الجدول 3.4.

    الآن ، دعونا نلقي نظرة على النقاط التي تتقاطع فيها هذه الخطوط مع ذ-محور.

    شكل يتقاطع الخط
    ال x-المحور في:
    زوج مرتب
    لهذه النقطة
    يتقاطع الخط
    ال ص-المحور عند:
    زوج مرتب
    لهذه النقطة
    الشكل (أ) 3 ( 3 , 0 ) ( 3 , 0 ) 6 ( 0 , 6 ) ( 0 , 6 )
    الشكل (ب) 4 ( 4 , 0 ) ( 4 , 0 ) −3 −3 ( 0 , −3 ) ( 0 , −3 )
    الشكل (ج) 5 ( 5 , 0 ) ( 5 , 0 ) −5 −5 ( 0 , 5 ) ( 0 , 5 )
    الشكل (د) 0 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 0 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )
    الشكل العام أ (أ ، 0) (أ ، 0) ب (0 ، ب) (0 ، ب)

    لكل سطر ، ملف ذ-تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع x- المحور صفر. النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع x-المحور له الشكل (أ ، 0) (أ ، 0) ويسمى x- تقاطع من الخط. ال x-تقاطع يحدث عندما ذ هو صفر.

    في كل سطر ، ملف x-تنسيق النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع ذ- المحور صفر. النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع ذ-المحور له الشكل (0 ، ب) (0 ، ب) ويسمى تقاطع ص من الخط. ال ذ-تقاطع يحدث عندما x هو صفر.

    X- اعتراض و ذ- اعتراض خط

    مثال 3.7

    أعثر على x- و ذ-التقاطع على كل رسم بياني مبين.

    حل

    أعثر على x- و ذ- اعتراضات على الرسم البياني.

    أعثر على x- و ذ- اعتراضات على الرسم البياني.

    مع الاعتراف بأن x-تقاطع يحدث عندما ذ هو صفر وأن ذ-تقاطع يحدث عندما x يساوي صفرًا ، يعطينا طريقة لإيجاد تقاطعات خط من معادلته. لتجد ال x-تقاطع ، دع y = 0 y = 0 وحل من أجل x. لتجد ال ذ-تقاطع ، دع x = 0 x = 0 وحل من أجل ذ.

    أعثر على x- و ذ-مقاطع من معادلة الخط

    استخدم معادلة الخط. لايجاد:

    مثال 3.8

    أوجد تقاطعات 2 س + ص = 8. 2 س + ص = 8.

    حل

    أوجد نقاط التقاطع: 3 س + ص = 12. 3 س + ص = 12.

    أوجد نقاط التقاطع: x + 4 y = 8. س + 4 ص = 8.

    رسم خط باستخدام التقاطع

    لرسم معادلة خطية بالرسم البياني للنقاط ، تحتاج إلى إيجاد ثلاث نقاط إحداثياتها هي حلول للمعادلة. يمكنك استعمال ال س- و ص- تعترض على أنها نقطتين من النقاط الثلاث الخاصة بك. ابحث عن نقاط التقاطع ، ثم ابحث عن نقطة ثالثة لضمان الدقة. تأكد من محاذاة النقاط - ثم ارسم الخط. غالبًا ما تكون هذه الطريقة هي أسرع طريقة لرسم خط.

    مثال 3.9

    كيفية رسم خط باستخدام التقاطع

    حل

    رسم بيانيًا باستخدام نقاط التقاطع: x - 2 y = 4. س - 2 ص = 4.

    رسم بيانيًا باستخدام نقاط التقاطع: - x + 3 y = 6. - س + 3 ص = 6.

    يتم هنا تلخيص خطوات رسم معادلة خطية باستخدام التقاطعات.

    كيف

    ارسم معادلة خطية باستخدام التقاطع.

    مثال 3.10

    حل

    أوجد التقاطع ونقطة ثالثة.



    نسرد النقاط في الجدول ونعرض الرسم البياني.

    ارسم باستخدام نقاط التقاطع: 5 x - 2 y = 10. ٥ س - ٢ ص = ١٠.

    ارسم باستخدام نقاط التقاطع: 3 x - 4 y = 12. 3 س - 4 ص = 12.

    عندما يمر الخط عبر الأصل ، فإن ملف x- اعتراض و ذ-التقاطع هي نفس النقطة.

    مثال 3.11

    حل

    تم تلخيص النقاط الثلاث الناتجة في الجدول.

    ارسم النقاط الثلاث ، وتحقق من أنها تصطف ، وارسم الخط.

    رسم بيانيًا باستخدام نقاط التقاطع: y = 4 x. ص = 4 س.

    ارسم نقاط التقاطع: y = - x. ص = - س.

    القسم 3.1 تمارين

    مع التدريب يأتي الإتقان

    نقاط الرسم في نظام الإحداثيات المستطيلة

    في التدريبات التالية ، ارسم كل نقطة في نظام إحداثيات مستطيل وحدد الربع الذي تقع فيه النقطة.

    في التدريبات التالية ، حدد لكل زوج مرتب

    ⓐ هل الزوج المرتب هو حل المعادلة؟ ⓑ هي النقطة على الخط؟

    ارسم معادلة خطية برسم النقاط

    في التدريبات التالية ، رسم بيانيًا عن طريق رسم النقاط.

    رسم بياني للخطوط الرأسية والأفقية

    في التدريبات التالية ، ارسم كل معادلة بيانيًا.

    في التمارين التالية ، ارسم كل زوج من المعادلات بيانيًا في نفس نظام إحداثيات المستطيل.

    تجد س- و ص-اعتراضات

    في التمارين التالية ، ابحث عن ملف x- و ذ- مفاهيم على كل رسم بياني.

    في التمارين التالية ، ابحث عن تقاطعات كل معادلة.

    رسم خط باستخدام التقاطع

    في التدريبات التالية ، ارسم رسمًا بيانيًا باستخدام الاعتراضات.

    الممارسة المختلطة

    في التدريبات التالية ، ارسم كل معادلة بيانيًا.

    تمارين الكتابة

    اشرح كيف ستختار ثلاثة x- القيم لعمل جدول لرسم الخط y = 1 5 x - 2. ص = ٥ ١ س - ٢.

    ما الفرق بين معادلات الخط الرأسي والخط الأفقي؟

    هل تفضل استخدام طريقة رسم النقاط أو الطريقة باستخدام التقاطعات لرسم المعادلة 4 س + ص = −4؟ 4 س + ص = −4؟ لماذا ا؟

    هل تفضل استخدام طريقة رسم النقاط أم الطريقة باستخدام التقاطعات لرسم المعادلة y = 2 3 x - 2؟ ص = 2 3 س - 2؟ لماذا ا؟

    الاختيار الذاتي

    ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

    ⓑ إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

    بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

    مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك أن تطلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

    لا ، لا أفهم. هذه علامة تحذير ويجب عليك معالجتها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك في أقرب وقت ممكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.

    بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

    هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

      إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

    • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
      • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
      • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
      • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
      • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
      • المكان: هيوستن ، تكساس
      • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
      • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/3-1-graph-linear-equations-in-two-variables

      © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


      3.1: عدم المساواة في متغير واحد - الرياضيات

      غالبًا ما يكون من المرغوب فيه أو حتى ضروريًا استخدام أكثر من متغير لنمذجة موقف في العديد من المجالات. في هذه الحالة ، نكتب ونحل نظام معادلات للإجابة على أسئلة حول الموقف.


      إذا كان لنظام المعادلات الخطية حل واحد على الأقل ، فإنه يكون متسقًا. إذا لم يكن لدى النظام حلول ، فهو غير متسق. إذا كان النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول ، فإنه يعتمد. وإلا فهو مستقل.


      تصف المعادلة الخطية في ثلاثة متغيرات المستوى وهي معادلة مكافئة للمعادلة


      حيث A و B و C و D أرقام حقيقية و A و B و C و D ليست كلها صفراً.


      حل نظام المعادلات التالي من أجل x و y و z:


      سنوضح لك كيفية حل نظام المعادلات هذا بثلاث طرق مختلفة:


      1) الاستبدال ، 2) الحذف 3) المصفوفات


      تتضمن عملية الاستبدال عدة خطوات:


      الخطوة 1: قم بحل أحد المتغيرات في إحدى المعادلات. لا فرق بين المعادلة والمتغير الذي تختاره. لنحل من أجل x في المعادلة (1).


      الخطوة 2: استبدل هذه القيمة بـ x في المعادلتين (2) و (3). سيؤدي هذا إلى تغيير المعادلتين (2) و (3) إلى معادلات في المتغيرين y و z. قم باستدعاء المعادلتين المتغيرين (4) و (5) على التوالي.

      3 س -5 ص +2 ض = -8
      = -8
      =
      = -56
      9 ض -15 ص + 48-35 ص +14 ض = -56
      -50 ص +23 ض = -104
      50 ص -23 ض = 104 (4)
      5 × +3 ص -7 ض = 0
      = 0
      =
      = 0
      15 ض -25 ص + 80 + 21 ص -49 ض = 0
      -4 ص -34 ض = -80
      2 ص +17 ض = 40 (5)

      الخطوة 3: حل المعادلة (5) من أجل y.

      الخطوة 4: استبدل قيمة y هذه في المعادلة (4). سيعطيك هذا معادلة في z. حل من أجل z.


      الخطوة 5: استبدل قيمة z هذه في المعادلة (6) وحلها من أجل y.


      الخطوة 7: استبدل 3 بـ y و 2 عن z في المعادلة (1) وحل من أجل x.

      الخطوة 8: تحقق من الحلول:


      تتضمن عملية الحذف عدة خطوات: أولاً ، يمكنك تقليل ثلاث معادلات إلى معادلتين بمتغيرين ، ثم إلى معادلة واحدة بمتغير واحد.


      الخطوة 1: حدد المتغير الذي تريد حذفه. لا فرق أي واحد تختار. دعونا نحذف y أولاً.


      الخطوة 4: اضرب طرفي المعادلة (4) في -29 وأضف المعادلة المحولة (4) إلى المعادلة (5) لإنشاء المعادلة (6) بمتغير واحد فقط.


      الخطوة 6: عوض بـ 1 عن x في المعادلة (5) وحل من أجل z.


      الخطوة 7: عوض بـ 1 عن x و 2 عن z في المعادلة (1) وحل من أجل y.


      عملية استخدام المصفوفات هي في الأساس اختصار لعملية الحذف. يمثل كل صف من المصفوفة معادلة ويمثل كل عمود معاملات أحد المتغيرات.


      الخطوة 1: قم بإنشاء مصفوفة من ثلاثة صفوف من أربعة أعمدة باستخدام المعاملات وثابت كل معادلة.


      تشير الخطوط الرأسية في المصفوفة إلى علامات المساواة بين طرفي كل معادلة. يحتوي العمود الأول على معاملات x ، ويحتوي العمود الثاني على معاملات y ، ويحتوي العمود الثالث على معاملات z ، ويحتوي العمود الأخير على الثوابت.


      نريد تحويل المصفوفة الأصلية


      لأنه يمكنك بعد ذلك قراءة المصفوفة على أنها x = a و y = b و z = c ..


      الخطوة 2: نعمل مع العمود 1 أولاً. اضرب الصف 1 في لتكوين صف جديد 1.


      الخطوة 3: سنكمل الآن بالعمود 1. نريد أصفارًا في الخلية 21 والخلية 31. نحقق ذلك بإضافة -3 مرات الصف 1 إلى الصف 2 لتشكيل صف 2 جديد وإضافة -5 مرات الصف 1 إلى الصف 3 لتشكيل صف جديد 3.


      الخطوة 4: دعنا الآن نعمل مع العمود 2 ، نريد الرقم 1 في الخلية 22. نقوم بذلك بضرب الصف 2 في تكوين صف جديد 2.


      الخطوة 5: لإكمال عملنا مع الصف 2 ، نريد أصفارًا في الخلية 12 والخلية 32. نحقق ذلك بإضافة مرات الصف 2 إلى الصف 1 للصف 1 الجديد ، وإضافة مرات الصف 2 إلى الصف 3 للصف 3 الجديد .


      الخطوة 6: لنعمل الآن في العمود 3. نريد أولاً الرقم 1 في الخلية 33. يمكننا القيام بذلك عن طريق ضرب الصف 3 في تكوين صف 3 جديد.

      إذا كنت ترغب في العودة إلى صفحة المشكلة ، انقر فوق مشكلة.

      إذا كنت ترغب في مراجعة الحل للمشكلة التالية ، فانقر فوق مشكلة

      إذا كنت ترغب في العودة إلى بداية نظام ثلاثة في ثلاثة من المعادلات ، انقر فوق مثال.


      الخطوة 1: ابدأ دائمًا بعزل المتغير اللونy على الجانب الأيسر من المتباينة.

      هذه هي الرموز الأربعة لعدم المساواة:

      • أكثر من & GT
      • أكبر من أو يساوي جنرال الكتريك
      • أقل من & lt
      • اقل او يساوي جنيه

      الخطوة 2: تغيير عدم المساواة إلى رمز المساواة. في الوقت الحالي ، سوف تتعامل مع خط.

      الخطوه 3: ارسم خط الحدود من الخطوة 2 في المستوى XY-. فيما يلي الطرق الثلاث الشائعة التي يمكنك استخدامها لرسم خط. لا يهم أي واحد تختاره لا & # 8217t.

      في هذه الخطوة ، تقوم بإنشاء خط الحدود الذي يفصل أو يقطع المستوى XY- إلى منطقتين.

      • يستخدم متقطع أو خط منقط إذا كانت لديك رموز عدم المساواة الصارمة التي هي & gt و & lt.
      • يستخدم خط الصلبة إذا كان لديك رموز عدم مساواة غير صارمة وهي ge و le. تحتوي هذه الرموز على مكون & # 8220equal & # 8221.

      الخطوة الرابعة: الخطوة الأخيرة هي تظليل جانب واحد أو منطقة من خط الحدود.

      • ظلل الجانب العلوي من خط الحدود إذا كان لديك رموز عدم المساواة & gt أو ge.
      • ظلل الجانب السفلي من خط الحدود إذا كان لديك رموز عدم المساواة & lt أو le.

      الخطوة الخامسة: استخدم هذه الخطوة الاختيارية للتحقق أو التحقق مما إذا كنت قد قمت بتظليل جانب خط الحدود بشكل صحيح.

      • اختر نقطة الاختبار تقع في المنطقة المظللة. النقطة في الشكل اللونغادر( حق) .
      • قم بتوصيل قيم colorس و اللونy مأخوذة من نقطة الاختبار إلى المتباينة الأصلية ، ثم نبسطها.
      • إذا تبين أن عدم المساواة عبارة صحيحة ، فهذا يعني أن الرسم البياني الخاص بك للتباين صحيح تمامًا! بخلاف ذلك ، أعد فحص عملك لأنه ربما تكون قد قمت بتظليل المنطقة الخطأ.

      يوجد أدناه الرسم البياني للتباين y & gt x + 1.

      الخطوة 1: عدم المساواة بالفعل بالشكل الذي نريده. أي أن المتغير y معزول في الجانب الأيسر من المتباينة.

      الخطوة 2: تغيير عدم المساواة إلى المساواة. إذن ، y & gt x + 1 تصبح y = x + 1.

      الخطوة 3: قم الآن برسم y = x + 1. استخدم الطريقة التي تفضلها عند رسم خط. بالإضافة إلى ذلك ، نظرًا لأن المتباينة الأصلية أكبر تمامًا من الرمز ، Large < color& GT> ، سنقوم برسم خط الحدود كخط منقط.

      الخطوة 4: المتباينة الأصلية هي y & gt x + 1. يشير رمز أكبر من أننا سنظلل المنطقة أو المنطقة العلوية.

      الخطوة 5: للتحقق مما إذا كنا قد قمنا بذلك بشكل صحيح ، دع & # 8217s تختار أي نقاط على المنطقة المظللة. افترض أننا اخترنا لون يسار (<- 3،2> يمين). الآن ، نعوض بإحداثيات نقطة الاختبار بالمتباينة الأصلية ونوجدها.

      يسار (<- 3،2> يمين) Rightarrow x = - 3 ، ، ، y = 2

      نعم! لقد نجحنا في رسم المتباينة large < colory & gtx + 1>.


      3.1: عدم المساواة في متغير واحد - الرياضيات

      عدم المساواة المركبة

      · حل المتباينات المركبة في شكل أو والتعبير عن الحل بيانيا.

      · حل المتباينات المركبة في شكل و والتعبير عن الحل بيانيا.

      · حل المتباينات المركبة في الصورة أ & lt x & lt ب.

      · تحديد الحالات التي لا يوجد حل لها.

      في كثير من الأحيان ، تكمن الحلول بين كميتين ، بدلاً من الاستمرار إلى ما لا نهاية في اتجاه واحد. على سبيل المثال ، يسمى ضغط الدم الانقباضي (الرقم العلوي) الذي يتراوح بين 120 و 139 ملم زئبق بارتفاع ضغط الدم الحدودي. يمكن وصف ذلك باستخدام متباينة مركبة ، ب & اللفتنانت 139 و ب & gt 120. يتم ضم التفاوتات المركبة الأخرى بكلمة "or".

      عندما يتم ضم اثنين من المتباينات بواسطة الكلمة و، حل المتباينة المركبة يحدث عندما على حد سواء عدم المساواة صحيحة في نفس الوقت. إنه التداخل أو التقاطع بين الحلول لكل متباينة. عندما يتم ضم المتباينتين بالكلمة أو، حل المتباينة المركبة يحدث عندما إما من عدم المساواة صحيح. الحل هو الجمع أو الاتحاد بين الحلين الفرديين.

      حل ورسم المتباينات المركبة في شكل "أو"

      دعونا نلقي نظرة فاحصة على عدم المساواة المركبة الذي يستخدم أو للجمع بين اثنين من المتباينات. على سبيل المثال، x & GT 6 أو س & لتر 2. حل هذه المتباينة المركبة هو جميع قيم x بحيث x هو إما أكبر من 6 أو x أقل من 2. يمكنك إظهار ذلك بيانياً عن طريق وضع الرسوم البيانية لكل منها عدم المساواة معًا على نفس خط الأعداد.

      يحتوي الرسم البياني على دائرة مفتوحة عند الرقم 6 وسهم أزرق على اليمين ودائرة أخرى مفتوحة عند 2 وسهم أحمر على اليسار. في الواقع ، الأجزاء الوحيدة التي لا تمثل حلاً لهذه المتباينة المركبة هي النقطتان 2 و 6 وجميع النقاط الواقعة بين هاتين القيمتين على خط الأعداد. كل شيء آخر على الرسم البياني هو حل لهذه المتباينة المركبة.

      دعونا نلقي نظرة على مثال آخر على أو عدم المساواة المركبة x & GT 3 أو x ≤ 4. الرسم البياني ل x & gt 3 دائرة مفتوحة في 3 وسهم أزرق مرسوم إلى اليمين ليحتوي على جميع الأرقام الأكبر من 3.

      الرسم البياني لـ x ≤ 4 لديه دائرة مغلقة عند 4 وسهم أحمر على اليسار ليحتوي على جميع الأعداد الأصغر من 4.

      ما الذي تلاحظه في الرسم البياني الذي يجمع بين هاتين المتباينتين؟

      نظرًا لأن هذا التفاوت المركب هو أو بيان ، يشمل جميع الأرقام في كل حل من الحلول ، وهي في هذه الحالة جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد. (منطقة الخط الأكبر من 3 وأقل من أو تساوي 4 موضحة باللون الأرجواني لأنها تقع في كلا التمثيلين الأصليين). حل المتباينة المركبة x & GT 3 أو x ≤ 4 هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية!

      قد تحتاج إلى حل واحدة أو أكثر من المتباينات قبل تحديد حل المتباينة المركبة ، كما في المثال أدناه.

      3x - 1 و 8 أو x - 5 و GT 0

      حل كل متباينة بعزل المتغير.

      اكتب كلاً من حلي المتباينات كمركب باستخدام أو.

      يمكن عرض حل هذه المتباينة المركبة بيانياً.

      تذكر تطبيق خصائص عدم المساواة عند حل المتباينات المركبة. المثال التالي يتضمن القسمة على سالب لعزل متغير.

      2ذ + 7 & lt 13 أو3 سنوات - 2 10

      حل كل متباينة على حدة.

      تنعكس علامة عدم المساواة بالقسمة على رقم سالب.

      حيث ذ يمكن أن تكون أقل من 3 أو أكبر من أو تساوي 4 ، ذ يمكن أن يكون أي رقم.

      الحل هو كل الأعداد الحقيقية.

      يعرض خط الأعداد هذا مجموعة حلول ذ & lt 3 أو ذ ≥ 4.

      حل من أجل ض.

      5z - 3 & GT −18 أو −2ض - 1 و GT 15

      حل كل متباينة على حدة.

      يعرض خط الأعداد هذا مجموعة حلول ض & GT - 3 أو ض & lt - 8.

      ح + 3 و GT 12 أو 3 – 2ح & GT 9

      أ) ح & lt 3 أو ح & GT - 3

      ب) ح & GT 9 أو ح & GT - 3

      ج) ح & GT - 9 أو ح & lt 3

      د) ح & GT 9 أو ح & lt - 3

      أ) ح & lt 3 أو ح & GT - 3

      غير صحيح. لحل المتباينة ح + 3 & gt 12 ، اطرح 3 من كلا الجانبين لتحصل على ح & gt 9. عندما تقسم طرفي المتباينة على رقم سالب ، اعكس علامة المتباينة للحصول على h & lt - 3 لحل المتباينة الثانية. والجواب الصحيح هو ح & GT 9 أو ح & lt - 3.

      ب) ح & GT 9 أو ح & GT - 3

      غير صحيح. لحل المتباينة 3 - 2ح & gt 9 ، اطرح 3 من كلا الطرفين ثم اقسم على - 2. عندما تقسم طرفي متباينة على رقم سالب ، اعكس علامة عدم المساواة للحصول على ح & lt - 3. الإجابة الصحيحة هي ح & GT 9 أو ح & lt - 3.

      ج) ح & GT - 9 أو ح & lt 3

      غير صحيح. تحقق من بعض القيم لـ ح التي تكون أكبر من - 9 ولكنها أقل من 3 ، ومعرفة ما إذا كانت تجعل عدم المساواة صحيحًا. على سبيل المثال ، إذا استبدلت ح = 2 في كل متباينة ، تحصل على بيانات خاطئة: 2 + 3 & GT 9 3-2 (2) & GT9. الإجابة الصحيحة هي ح & GT 9 أو ح & lt - 3.

      د) ح & GT 9 أو ح & lt - 3

      صيح. حل كل متباينة ل حتجد ذلك ح & GT 9 أو ح & lt - 3.

      حل ورسم المتباينات المركبة في شكل "و"

      حل متباينة مركبة تتكون من متراجعتين مرتبطتين بالكلمة و هو تقاطع حلول كل متباينة. بمعنى آخر ، يجب أن تكون كلتا العبارتين صحيحة في نفس الوقت. الحل ل و المتباينة المركبة هي جميع الحلول التي تشترك فيها المتباينة. من الناحية الرسومية ، يمكنك التفكير في الأمر حيث يتداخل الرسمان البيانيان.

      فكر في مثال عدم المساواة المركبة: x & اللفتنانت 5 وx ≥ - 1. يظهر الرسم البياني لكل متباينة فردية بالألوان.

      منذ كلمة و يربط بين المتراجعتين ، فإن الحل هو تداخل الحلين. هذا هو المكان الذي تكون فيه كلتا العبارتين صحيحة في نفس الوقت.

      حل هذه المتباينة المركبة موضح أدناه.

      لاحظ أنه في هذه الحالة ، يمكنك إعادة الكتابة x ≥ - 1 و x & lt 5 كـ - 1 ≤ x & lt 5 نظرًا لأن الحل يقع بين - 1 و 5 ، بما في ذلك - 1. تقرأ - 1 ≤ x & lt 5 كـ "x أكبر من أو يساوي - 1 و أقل من 5." يمكنك إعادة كتابة ملف و بيان بهذه الطريقة فقط إذا كانت الإجابة ما بين رقمين.


      أسئلة

      قم بتسجيل الدخول للتحرير أو التعيين للطلاب.

      ما القيم التي تمثل حلول المعادلة 0 = (س - 3) 2-1؟

      قد يكون الطلاب قد حللوا المعادلة الناتجة للعثور على المصطلحات الصحيحة ولكنهم قاموا بتعيين عملية إضافة غير صحيحة لكل منها. ثم عند إيجاد الحلول ، كانت النتيجة قيمة عدد صحيح غير صحيح للمصطلح. من الممكن أيضًا أن يقوم الطلاب بتعيين العمليات بشكل صحيح ضمن العوامل ولكنهم لم يكملوا الخطوات النهائية للعثور على الحلول بشكل صحيح. قد يحتاج الطلاب إلى دعم في فهم معنى حلول المعادلة التربيعية والخطوات المطلوبة للعثور عليها.

      قد يكون الطلاب قد ربطوا بشكل غير صحيح ثابت ذات الحدين في المعادلة المعطاة مع حلول المعادلة. قد يحتاج الطلاب إلى دعم في فهم تعريف ومفهوم حلول المعادلة التربيعية والخطوات المطلوبة للعثور عليها.

      قد يكون الطلاب قد حللوا المعادلة الناتجة للعثور على المصطلحات الصحيحة ولكنهم قاموا بتعيين عملية إضافة غير صحيحة لكل منها. ثم عند إيجاد الحلول ، كانت النتيجة قيمة عدد صحيح غير صحيح للمصطلح. من الممكن أيضًا أن يقوم الطلاب بتعيين العمليات بشكل صحيح ضمن العوامل ولكنهم لم يكملوا الخطوات النهائية للعثور على الحلول بشكل صحيح. قد يحتاج الطلاب إلى دعم في فهم معنى حلول المعادلة التربيعية والخطوات المطلوبة للعثور عليها.

      حلل الطلاب العوامل بشكل صحيح لحل المعادلة المعطاة واستخدموا هذه العوامل لإيجاد حل بشكل صحيح.

      قد يكون الطلاب قد ربطوا بشكل غير صحيح ثابت ذات الحدين في المعادلة المعطاة مع حلول المعادلة. قد يحتاج الطلاب إلى دعم في فهم معنى حلول المعادلة التربيعية والخطوات المطلوبة للعثور عليها.

      حلل الطلاب العوامل بشكل صحيح لحل المعادلة المعطاة واستخدموا هذه العوامل لإيجاد حل بشكل صحيح.

      أي معادلة لها نفس الحلول مثل (س - 5) 2 = 9؟

      طبق الطلاب بشكل غير صحيح الأس 2 في إنهاء عملية إكمال المربع على المصطلحات داخل ذات الحدين لإنتاج معادلة لا تعادل المعادلة المعطاة. قد يحتاج الطلاب إلى دعم لفهم سبب احتياج الأس ذات الحدين وتوزيع المضاعفات على ذات الحدين إلى عمليات مختلفة.

      عند إكمال خطوات إعادة كتابة المعادلة المحددة ، قد يكون الطلاب قد دمجوا بشكل غير صحيح شروط المعامل المؤدية إلى معادلة غير مكافئة. قد يحتاج الطلاب إلى دعم لفهم سبب إمكانية دمج بعض المصطلحات أثناء ممارسة إضافية مع مضاعفة كثيرات الحدود.

      عند إكمال خطوات إعادة كتابة المعادلة المحددة ، قد يكون الطلاب قد جمعوا بشكل غير صحيح المصطلحات الثابتة المؤدية إلى معادلة غير مكافئة. قد يحتاج الطلاب إلى ممارسة المشكلات التي تتضمن تتبع العلامات السلبية أثناء الحساب من أجل دعم التطبيق الفعال لقواعد العمليات الرياضية واستخدامها في تبسيط كثيرات الحدود.

      أنهى الطلاب بشكل صحيح عملية إكمال المربع عن طريق تربيع المعطاة ذات الحدين وتطبيق خاصية الطرح للمساواة لإنتاج معادلة مكافئة.


      شاهد الفيديو: أنا إنسان... دعوة للمساواة وعدم التمييز (شهر نوفمبر 2021).