مقالات

7.2: الخصائص التبادلية والترابطية (الجزء الأول)


مهارات التطوير

  • استخدم الخصائص التبادلية والرابطية
  • تقييم التعبيرات باستخدام الخصائص التبادلية والرابطية
  • تبسيط التعبيرات باستخدام الخصائص التبادلية والرابطية

كن مستعدا!

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. تبسيط: 7y + 2 + y + 13. إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع المثال 2.3.10.
  2. اضرب: ( dfrac {2} {3} cdot 18 ). إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 4.3.10.
  3. ابحث عن عكس 15. إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع المثال 3.1.3.

في الأقسام القليلة التالية ، سوف نلقي نظرة على خصائص الأعداد الحقيقية. ستصف العديد من هذه الخصائص الأشياء التي تعرفها بالفعل ، ولكنها ستساعد في إعطاء أسماء للخصائص وتعريفها رسميًا. بهذه الطريقة سنتمكن من الرجوع إليها واستخدامها أثناء حل المعادلات في الفصل التالي.

استخدم الخصائص التبادلية والارتباطية

فكر في جمع رقمين ، مثل 5 و 3.

[ start {split} 5 & + 3 qquad 3 + 5 & ؛ 8 كواد كواد 8 نهاية {تقسيم} ]

النتائج هي نفسها. 5 + 3 = 3 + 5

لاحظ أن الترتيب الذي نضيف به لا يهم. وينطبق الشيء نفسه عند ضرب 5 و 3.

[ start {split} 5 & cdot 3 qquad ؛ 3 cdot 5 & 15 qquad quad 15 end {split} ]

مرة أخرى ، النتائج هي نفسها! 5 • 3 = 3 • 5. الترتيب الذي نضرب به لا يهم. توضح هذه الأمثلة الخصائص التبادلية للجمع والضرب.

التعريف: الخصائص التبادلية

الخاصية التبادلية للإضافة: إذا كان a و b رقمين حقيقيين ، فإن a + b = b + a

خاصية تبادلية الضرب: إذا كان a و b عددًا حقيقيًا ، فعندئذٍ a • b = b • a

الخصائص التبادلية لها علاقة بالطلب. إذا قمت بتغيير ترتيب الأرقام عند الجمع أو الضرب ، فإن النتيجة هي نفسها.

مثال ( PageIndex {1} ):

استخدم الخصائص التبادلية لإعادة كتابة التعبيرات التالية: (أ) −1 + 3 = _____ (ب) 4 • 9 = _____

حل

(أ) 1 + 3 = _____

استخدم الخاصية التبادلية للإضافة لتغيير الترتيب.−1 + 3 = 3 + (−1)

(ب) 4 • 9 = _____

استخدم الخاصية التبادلية للضرب لتغيير الترتيب.4 • 9 = 9 • 4

تمرين ( PageIndex {1} ):

استخدم الخصائص التبادلية لإعادة كتابة التعبيرات التالية: (أ) −4 + ​​7 = _____ (ب) 6 • 12 = _____

الإجابة أ

(-4+7=7+(-4))

الجواب ب

(6 cdot 12 = 12 cdot 6 )

تمرين ( PageIndex {2} ):

استخدم الخصائص التبادلية لإعادة كتابة التعبيرات التالية: (أ) 14 + (-2) = _____ (ب) 3 (-5) = _____

الإجابة أ

(14+(-2)=-2+14)

الجواب ب

(3(-5)=(-5) 3)

ماذا عن الطرح؟ هل الترتيب مهم عندما نطرح الأرقام؟ هل 7 - 3 تعطي نفس النتيجة مثل 3 - 7؟

[ start {split} 7 & - 3 qquad 3 - 7 & ؛ 4 qquad quad -4 & quad 4 neq -4 end {split} ]

النتائج ليست هي نفسها. 7 - 3 3 - 7

نظرًا لأن تغيير ترتيب الطرح لا يؤدي إلى نفس النتيجة ، يمكننا القول إن عملية الطرح ليست تبادلية. دعونا نرى ما يحدث عندما نقسم رقمين. هل القسمة تبادلية؟

[ begin {split} 12 & div 4 qquad 4 div 12 & dfrac {12} {4} qquad quad dfrac {4} {12} & ؛ 3 qquad qquad dfrac {1} {3} & quad ؛ 3 neq dfrac {1} {3} end {split} ]

النتائج ليست هي نفسها. إذن 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12

نظرًا لأن تغيير ترتيب التقسيم لم يعط نفس النتيجة ، فإن القسمة ليست تبادلية.

الجمع والضرب تبادلي. الطرح والقسمة ليسا تبادليين.

افترض أنه طُلب منك تبسيط هذا التعبير.

[7 + 8 + 2]

كيف ستفعل ذلك وماذا ستكون إجابتك؟

قد يعتقد بعض الناس أن 7 + 8 تساوي 15 ثم 15 + 2 تساوي 17. قد يبدأ الآخرون بـ 8 + 2 يساوي 10 ثم 7 + 10 يساوي 17.

كلا الطريقتين تعطي نفس النتيجة ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ). (تذكر أن الأقواس عبارة عن رموز مجمعة تشير إلى العمليات التي يجب إجراؤها أولاً).

الشكل ( PageIndex {1} )

عند إضافة ثلاثة أرقام ، لا يؤدي تغيير تجميع الأرقام إلى تغيير النتيجة. يُعرف هذا باسم الخاصية الترابطية للإضافة.

نفس المبدأ ينطبق على الضرب أيضًا. لنفترض أننا نريد إيجاد قيمة التعبير التالي:

[5 cdot dfrac {1} {3} cdot 3 ]

يؤدي تغيير تجميع الأرقام إلى نفس النتيجة ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

الشكل ( PageIndex {2} )

عند ضرب ثلاثة أرقام ، فإن تغيير تجميع الأرقام لا يغير النتيجة. يُعرف هذا باسم الخاصية المرتبطة بالضرب.

إذا ضربنا ثلاثة أرقام ، فلن يؤثر تغيير التجميع على المنتج. ربما تعرف هذا ، لكن المصطلحات قد تكون جديدة بالنسبة لك. توضح هذه الأمثلة الخصائص النقابية.

التعريف: الخصائص الترابطية

الخاصية الترابطية للجمع: إذا كانت أ ، ب ، ج أعداد حقيقية ، إذن (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)

الخاصية المرتبطة بالضرب: إذا كانت a و b و c أعدادًا حقيقية ، إذن (أ • ب) • ج = أ • (ب • ج)

مثال ( PageIndex {2} ):

استخدم الخصائص الترابطية لإعادة كتابة ما يلي: (أ) (3 + 0.6) + 0.4 = __________ (b) ( left (−4 cdot dfrac {2} {5} right) cdot 15 ) = __________

حل

(أ) (3 + 0.6) + 0.4 = __________

قم بتغيير التجميع.(3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4)

لاحظ أن 0.6 + 0.4 يساوي 1 ، لذا ستكون الإضافة أسهل إذا قمنا بالتجميع كما هو موضح على اليمين.

(ب) ( left (−4 cdot dfrac {2} {5} right) cdot 15 ) = __________

قم بتغيير التجميع.(3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4)

لاحظ أن ( dfrac {2} {5} cdot 15 ) تساوي 6. سيكون الضرب أسهل إذا قمنا بالتجميع كما هو موضح على اليمين.

تمرين ( PageIndex {3} ):

استخدم الخصائص الترابطية لإعادة كتابة ما يلي: (أ) (1 + 0.7) + 0.3 = __________ (ب) (−9 • 8) • ( dfrac {3} {4} ) = __________

الإجابة أ

((1+0.7)+0.3=1+(0.7+0.3))

الجواب ب

((- 9 cdot 8) cdot frac {3} {4} = - 9 يسار (8 cdot frac {3} {4} right) )

التمرين ( PageIndex {4} ):

استخدم الخصائص الترابطية لإعادة كتابة ما يلي: (أ) (4 + 0.6) + 0.4 = __________ (ب) (−2 • 12) • ( dfrac {5} {6} ) = __________

الإجابة أ

((4+0.6)+0.4=4+(0.6+0.4))

الجواب ب

((- 2 cdot 12) cdot frac {5} {6} = - 2 left (12 cdot frac {5} {6} right) )

إلى جانب استخدام الخصائص الترابطية لتسهيل العمليات الحسابية ، سنستخدمها غالبًا لتبسيط التعبيرات باستخدام المتغيرات.

مثال ( PageIndex {3} ):

استخدم الخاصية الترابطية في الضرب لتبسيط: 6 (3x).

حل

قم بتغيير التجميع.(6 • 3) x
اضرب الأقواس.18 ضعفًا

لاحظ أنه يمكننا ضرب 6 • 3 ، لكن لا يمكننا ضرب 3 • x بدون وجود قيمة لـ x.

تمرين ( PageIndex {5} ):

استخدم الخاصية الترابطية في الضرب لتبسيط التعبير المعطى: 8 (4x).

إجابه

(32 × )

تمرين ( PageIndex {6} ):

استخدم الخاصية الترابطية في الضرب لتبسيط التعبير المعطى: −9 (7y).

إجابه

(- 63y )

تقييم التعبيرات باستخدام الخاصيتين التبادلية والرابطية

يمكن للخصائص التبادلية والربطية أن تسهل تقييم بعض التعبيرات الجبرية. نظرًا لأن الترتيب لا يهم عند إضافة أو ضرب ثلاثة حدود أو أكثر ، يمكننا إعادة ترتيب المصطلحات وإعادة تجميعها لتسهيل عملنا ، كما توضح الأمثلة العديدة التالية.

مثال ( PageIndex {4} ):

احسب قيمة كل تعبير عند x = ( dfrac {7} {8} ). (أ) x + 0.37 + (- x) (ب) x + (- x) + 0.37

حل

(أ) س + 0.37 + (- س)

عوّض ( dfrac {7} {8} ) عن x.$$ textcolor {red} { dfrac {7} {8}} + 0.37 + left (- textcolor {red} { dfrac {7} {8}} right) $$
تحويل الكسور إلى الكسور العشرية.0.875 + 0.37 + (-0.875)
أضف اليسار إلى اليمين.1.245 - 0.875
طرح او خصم.0.37

(ب) x + (- x) + 0.37

عوّض ( dfrac {7} {8} ) عن x.$$ textcolor {red} { dfrac {7} {8}} + left (- textcolor {red} { dfrac {7} {8}} right) + 0.37 $$
أضف الأضداد أولاً.0.37

ما هو الفرق بين الجزء (أ) والجزء (ب)؟ فقط الترتيب تغير. بواسطة الخاصية التبادلية للجمع ، x + 0.37 + (- x) = x + (- x) + 0.37. لكن ألم يكن الجزء (ب) أسهل بكثير؟

تمرين ( PageIndex {7} ):

احسب قيمة كل تعبير عند y = ( dfrac {3} {8} ): (أ) y + 0.84 + (- y) (b) y + (- y) + 0.84.

الإجابة أ

(0.84)

الجواب ب

(0.84)

التمرين ( PageIndex {8} ):

احسب قيمة كل تعبير عند f = ( dfrac {17} {20} ): (أ) f + 0.975 + (- f) (b) f + (- f) + 0.975.

الإجابة أ

(0.975)

الجواب ب

(0.975)

لنفعل مرة أخرى ، هذه المرة بالضرب.

مثال ( PageIndex {5} ):

قم بتقييم كل تعبير عندما n = 17. (أ) ( dfrac {4} {3} left ( dfrac {3} {4} n right) ) (b) ( left ( dfrac {4 } {3} cdot dfrac {3} {4} right) n )

حل

(أ) ( dfrac {4} {3} يسار ( dfrac {3} {4} n يمين) )

استبدل 17 بـ n.$$ dfrac {4} {3} left ( dfrac {3} {4} cdot textcolor {red} {17} right) $$
اضرب الأقواس أولاً.$$ dfrac {4} {3} left ( dfrac {51} {4} right) $$
اضرب مرة أخرى.$$17$$

(ب) ( left ( dfrac {4} {3} cdot dfrac {3} {4} right) n )

استبدل 17 بـ n.$$ left ( dfrac {4} {3} cdot dfrac {3} {4} right) textcolor {red} { cdot 17} $$
تتضاعف. حاصل ضرب المعاملة بالمثل هو 1.$$ (1) cdot 17 $$
اضرب مرة أخرى.$$17$$

ما هو الفرق بين الجزء (أ) والجزء (ب) هنا؟ فقط المجموعة تغيرت. حسب الخاصية الترابطية للمضاعفة ، ( dfrac {4} {3} left ( dfrac {3} {4} n right) = left ( dfrac {4} {3} cdot dfrac {3 } {4} right) n ). من خلال اختيار كيفية تجميع العوامل بعناية ، يمكننا تسهيل العمل.

التمرين ( PageIndex {9} ):

قيم كل تعبير عندما يكون p = 24. (a) ( dfrac {5} {9} left ( dfrac {9} {5} p right) ) (b) ( left ( dfrac {5 } {9} cdot dfrac {9} {5} right) ص )

الإجابة أ

(24)

الجواب ب

(24)

التمرين ( PageIndex {10} ):

قم بتقييم كل تعبير عندما q = 15. (a) ( dfrac {7} {11} left ( dfrac {11} {7} q right) ) (b) ( left ( dfrac {7 } {11} cdot dfrac {11} {7} right) q )

الإجابة أ

(15)

الجواب ب

(15)


إضافة الفاصلة العائمة ليست بالضرورة ترابطية. إذا قمت بتغيير الترتيب الذي تضيف به الأشياء ، فقد يؤدي ذلك إلى تغيير النتيجة.

الورقة القياسية حول هذا الموضوع هي ما يجب أن يعرفه كل عالم كمبيوتر عن حساب النقاط العائمة. يعطي المثال التالي:

منطقة رمادية أخرى تتعلق بتفسير الأقواس. بسبب أخطاء التقريب ، فإن قوانين الجبر الترابطية لا تنطبق بالضرورة على أرقام الفاصلة العائمة. على سبيل المثال ، التعبير (x + y) + z له إجابة مختلفة تمامًا عن x + (y + z) عندما تكون x = 1e30 و y = -1e30 و z = 1 (تكون 1 في الحالة الأولى ، و 0 في الحالة الأخيرة ).

ما هو مرجح ، مع الأجهزة والبرامج الشائعة حاليًا ، هو:

قام المترجم بترميز .7 كـ 0x1.6666666666666p-1 (هذا هو الرقم السداسي العشري 1.6666666666666 مضروبًا في 2 إلى القوة -1) ، .2 كـ 0x1.999999999999ap-3 ، و .1 كـ 0x1.999999999999ap-4. كل من هؤلاء هو الرقم الذي يمكن تمثيله في الفاصلة العائمة والأقرب إلى الرقم العشري الذي كتبته.

لاحظ أن كل من ثوابت الفاصلة العائمة السداسية العشرية يحتوي على 53 بتًا بالضبط في دلالة و (جزء "الكسر" ، غالبًا ما يُسمى بشكل غير دقيق الجزء العشري). الرقم السداسي العشري للدلالة وله "1" وثلاثة عشر رقمًا سداسيًا عشريًا إضافيًا (أربعة بتات لكل منها ، إجمالي 52 ، 53 بما في ذلك "1") ، وهو ما يوفره معيار IEEE-754 ، لعوم ثنائي 64 بت- أرقام النقاط.

دعنا نضيف الأرقام لـ .7 و .2: 0x1.6666666666666p-1 و 0x1.999999999999ap-3. أولاً ، قم بقياس الأس للرقم الثاني لمطابقة الأول. للقيام بذلك ، سنضرب الأس في 4 (نغير "p-3" إلى "p-1") ونضرب الدلالة في 1/4 ، لنحصل على 0x0.66666666666668p-1. ثم أضف 0x1.6666666666666p-1 و 0x0.66666666666668p-1 ، مع إعطاء 0x1.ccccccccccccc8p-1. لاحظ أن هذا الرقم يحتوي على أكثر من 53 بتًا في الدلالة: "8" هو الرقم 14 بعد النقطة. لا يمكن للفاصلة العائمة إرجاع نتيجة بهذا العدد الكبير من البتات ، لذلك يجب تقريبها إلى أقرب رقم يمكن تمثيله. في هذه الحالة ، يوجد رقمان قريبان بشكل متساوٍ ، 0x1.cccccccccccccp-1 و 0x1.ccccccccccccdp-1. عندما يكون هناك رابط ، يتم استخدام الرقم الذي يحتوي على صفر في الجزء السفلي من المعنى. "c" زوجي و "d" أمر فردي ، لذلك يتم استخدام "c". النتيجة النهائية للإضافة هي 0x1.cccccccccccp-1.

بعد ذلك ، أضف رقم .1 (0x1.999999999999ap-4) إلى ذلك. مرة أخرى ، قمنا بالتدرج لجعل الأسس متطابقة ، لذا يصبح 0x1.999999999999ap-4 هو 0x.33333333333334p-1. ثم أضف ذلك إلى 0x1.cccccccccccccp-1 ، مع إعطاء 0x1.fffffffffffff4p-1. تقريب ذلك إلى 53 بت يعطي 0x1.fffffffffffffp-1 ، وهذه هي النتيجة النهائية لـ .7 + .2 + .1.

الآن ضع في اعتبارك .7 + .1 + .2. بالنسبة إلى .7 + .1 ، أضف 0x1.6666666666666p-1 و 0x1.999999999999ap-4. أذكر أنه تم تحجيم الأخير إلى 0x.33333333333334p-1. ثم يكون المجموع الدقيق هو 0x1.99999999999994p-1. تقريب ذلك إلى 53 بت يعطي 0x1.9999999999999p-1.

ثم أضف الرقم .2 (0x1.999999999999ap-3) ، والذي تم تغيير حجمه إلى 0x0.66666666666668p-1. المجموع الدقيق هو 0x2.00000000000008p-1. يتم دائمًا تحجيم أهمية النقطة العائمة لتبدأ بالرقم 1 (باستثناء الحالات الخاصة: صفر ، ولانهاية ، وأرقام صغيرة جدًا في أسفل النطاق القابل للتمثيل) ، لذلك نقوم بتعديل هذا إلى 0x1.00000000000004p0. أخيرًا ، نقرب إلى 53 بتًا ، لنحصل على 0x1.0000000000000p0.

وبالتالي ، نظرًا للأخطاء التي تحدث عند التقريب ، تُرجع .7 + .2 + .1 0x1.fffffffffffffffp-1 (أقل بقليل من 1) ، وترجع .7 + .1 + .2 0x1.0000000000000p0 (بالضبط 1).


سلسلة الضرب: توضيح خصائص الأعداد باستخدام المصفوفات

سواء تم تدريسها رسميًا في المدرسة أم لا ، فإن الخصائص التي تنطبق على الأرقام في العمليات يواجهها الأطفال أثناء تعلمهم للرياضيات. يوفر الفهم السليم لهذه الخصائص أساسًا جيدًا لتطوير العمليات ، بما في ذلك الحساب الذهني. تأتي عملية الإضافة بسهولة لمعظم الأطفال ، لكن العمل مع الضرب يتطلب تفكيرًا أكثر تطورًا وبالتالي يحتاج عادةً إلى مزيد من الدعم. إن نمذجة خصائص الأرقام التي تتضمن الضرب باستخدام مجموعة من الأشياء لا تسمح فقط للأطفال بتمثيل تفكيرهم بمواد ملموسة ، ولكنها يمكن أن تساعد الأطفال أيضًا على تكوين صور ذهنية مفيدة لدعم الذاكرة والاستدلال.

خاصية التبديل

القسمة هي العملية العكسية للضرب

من بين العمليات الأربع ، يعتبر التقسيم هو الأكثر إزعاجًا للطلاب الصغار. يميل الفهم الكامل للقسم إلى التأخر كثيرًا عن العمليات الأخرى. بالنسبة للعديد من الأطفال ، يتم تقليص فرص استكشاف المفهوم باستخدام المواد الخرسانية جيدًا قبل أن يدركوا العلاقات بين التقسيم والعمليات الأربع الأخرى. يمكن توضيح إحدى هذه العلاقات ، وهي العلاقة العكسية بين القسمة والضرب ، بشكل فعال باستخدام المصفوفات.

يكشف المزيد من الاستكشاف للمصفوفة عن طريقتين أخريين للتعبير عن العلاقات العكسية: $ 5 times3 = 15 $ و $ 15 div 3 = 5 $. يمكن تكييف مشاكل الكلمات لوصف هذه العمليات وإبراز أوجه التشابه والاختلاف بين التعبيرات الأربعة التي تم نمذجتها بواسطة المصفوفة الواحدة.

خاصية التوزيع للضرب على الجمع

هذا العنوان الطويل إلى حد ما لا يسمي فقط إحدى الخصائص الأساسية التي تحكم نظام الأرقام لدينا ، بل إنه يسمي أيضًا استراتيجية عقلية مخترعة شخصيًا يستخدمها كثير من الناس بانتظام. غالبًا ما يتم تطبيق هذه الاستراتيجية عندما نحاول تذكر إحدى حقائق الضرب القليلة التي يصعب تذكرها لأسباب مختلفة. على سبيل المثال ، هل يبدو هذا النوع من التفكير مألوفًا؟

"أعرف أن 7 دولارات times7 $ هي 49 دولارًا.
أحتاج إلى حصتين أخريين من 7 دولارات ، وهو 14 دولارًا.
لذلك إذا أضفت 49 دولارًا و 14 دولارًا. التي تجعل 63 دولارًا.
أه نعم! 7 دولارات مرات 9 = 63 دولارًا. "

من الناحية الرمزية ، يمكن تمثيل هذه العملية كـ.

يبدأ 7 مرات 9 & = & 7 مرات (7 + 2) & = & (7 مرات 7) + (7 مرات 2) & = & 49 + 14 & = & 63 النهاية


حاسبة الملكية التبادلية

عندما لا يؤدي التغيير في ترتيب المعاملات إلى تغيير نتيجة العملية ، فإن ذلك يسمى الخاصية التبادلية. تستند العديد من البراهين الرياضية إلى هذا القانون وهي خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية. المعطى أدناه هو حاسبة الخاصية التبادلية عبر الإنترنت والتي تساعدك في العمليات التبادلية للجمع والطرح والضرب والقسمة. ما عليك سوى إدخال المدخلات ، وستقوم خاصية التبادل للآلة الحاسبة الإضافية بتحديث النتيجة.

عندما لا يؤدي التغيير في ترتيب المعاملات إلى تغيير نتيجة العملية ، فإن ذلك يسمى الخاصية التبادلية. تستند العديد من البراهين الرياضية إلى هذا القانون وهي خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية. المعطى أدناه هو حاسبة الخاصية التبادلية عبر الإنترنت والتي تساعدك في العمليات التبادلية للجمع والطرح والضرب والقسمة. ما عليك سوى إدخال المدخلات ، وستقوم خاصية التبادل للآلة الحاسبة الإضافية بتحديث النتيجة.


تعريف الملكية النقابية

مثال 3: الجبرية (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) & - نعم ، التعبيرات الجبرية هي أيضًا ترابطية للجمع

أمثلة من الخاصية الترابطية لعملية الضرب

مثال 4 مثال 5

مثال 6: الجبرية (أ & ثور ب) & bullc = (a & bull b) & bullc & ndash نعم ، التعبيرات الجبرية مرتبطة أيضًا بعملية الضرب

أمثلة غير من الممتلكات النقابية

قسم (غير ترابطي)

ربما يكون التقسيم مثالاً تعلم أنه ليس ترابطيًا بشكل حدسي. يجب أن تساعدك الأمثلة أدناه في معرفة كيف أن القسمة ليست ترابطية.


7.2: الخصائص التبادلية والترابطية (الجزء الأول)

إذا كنت ترغب في مراجعة الرسوم التوضيحية والصور ذات الصلة ، يرجى متابعة القراءة.

يمكنك النقر فوق أي صورة لتكبيرها والتمرير لجميع الصور الأخرى.

تكملة مجموعة.

هذا مثال جديد - إذا كان لدينا مجموعة عالمية من U = <1،2،3،4،5،6،7،8،9،10> ، والمجموعة A ، وهي مجموعة أخرى ، حيث A = <1،2،3،4،5> ، ما هي المجموعة الجديدة التي تسمى A & # 8217؟ تمثل A & # 8217 جميع العناصر الموجودة في U ولكنها غير موجودة في المجموعة A.

إذا رسمنا U كمستطيل ورسمنا المجموعة أ داخل ذلك المستطيل. إذا رسمنا دائرة حول A ، فإن A & # 8217 يسمى مكملات A. تكملة المجموعة هي العناصر غير الموجودة في المجموعة A ، فهي موجودة في U.

اتحاد وتقاطع مجموعة.

موضوع الاتحاد والتقاطع موضوع معروف. تقاطع مجموعتين هو مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى كلتا المجموعتين.

للمجموعة التي تسمى P = <1،2،3،4،5،6،7،8،9،10>.

لمجموعة أخرى تسمى Q = <2،4،6،8،9،10،12،14،16،18،20>.

يعني تقاطع المجموعتين العناصر المشتركة بين المجموعتين وهما ، 2 و 4 و amp 6 و amp 8 و amp10.

P ∩ Q ، الكائنات التي تنتمي إلى المجموعة P والمجموعة Q ، والرموز قريبة من الحرف n. بينما الاتحاد مشابه للحرف U.

تعريف الاتحاد هو مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى أي من المجموعتين أو كلتيهما. سنكتب كل العناصر التي لا تتكرر.
P ∪ Q ، ستتضمن 1،2،3،4،5،6،7،8،9،10،12،14،16،18،20.

كيفية استخدام مخطط فين؟

باستخدام مخطط فين ، برسم كل مجموعة في دائرة وفحص العناصر المشتركة للتقاطع. سيمكننا ذلك من إجراء تحقيق في العلاقات في شكل رسم بياني.

مثال آخر ، إذا كان لدينا P = <3،6،9،12،15،18> و Q = <2،4،6،8،10،12>. إذا استخدمنا قلم التمييز للعناصر المشتركة بين المجموعتين ، فإن القيم هي (6 ، 12). يمكن التعبير عن هذا كـ P ∩ Q ، أو تقاطع المجموعتين P و Q. إذا رسمنا المجموعة p في دائرة ، فإنها تحتوي على عناصر 3،6،9،12،15،18.

نرسم العناصر المشتركة (6 ، 12) على الحافة اليمنى. نرسم عناصر Q في دائرة أخرى. ما هي عناصر P المتبقية التي لم يتم تضمينها في التقاطع؟

العناصر هي 3،9،15،18. بينما العناصر المتبقية من Q هي (2،4،8،10).

للتعبير الآخر ، 6 هو جزء من المنطقة المحاطة بالتقاطع بين P و Q. تظهر المنطقة المغلقة 6 و 12.

إذن ، من الصحيح أن الرقم 6 ينتمي إلى تقاطع P و Q. لكن 8 لا ينتمي إلى هذا التقاطع. هو مكتوب في هذا الرمز 8 b∉P ∩ Q أو تقاطع P و Q.

بينما بالنسبة لعلاقة الاتحاد للمجموعة الشاملة U ، يتم رسمها على شكل مستطيل. داخل المستطيل ، يمكننا رسم دائرتين لـ P و Q. وبذلك يتم تضمين جميع عناصر كل من P و Q.

مثال محلول # 10.

R = <2،10،28>. مطلوب تقاطع بين P و Q ، أو P∩ R

& amp Q∩ R و P∩ R. ما هي العناصر المشتركة بين P و Q؟

هذه العناصر هي (3،27). بينما بين Q∩ R ، هذه العناصر هي (2 ، 28 ، 10). مجموع العناصر الثلاثة. بينما بين P و R ، لا يوجد شيء. ثم يمكننا التعبير عن هذا التقاطع بين P و R.

P∩ R = Ø. أو Ø. يطلق عليه مجموعة منفصلة ، مما يعني أن هذه المجموعات غير مرتبطة ببعضها البعض.

الخصائص التراكمية والترابطية والتوزيعية للمجموعة.

موضوع جديد هو تبادلي وترابطي وتوزيعي

خصائص المجموعة. يمكن التعبير عن العلاقة التبادلية كـ A∩ B = B∩A.

يمكن عكس الترتيب بين A و B. لكن ضع في اعتبارك أن كلاً من الجانب الأيسر والجانب الأيمن عبارة عن تقاطعات وأن كلاهما في الحالة الثانية عبارة عن اتحادات.

بينما بالنسبة للعلاقة الترابطية إذا كان لدينا ثلاث مجموعات A & ampB & ampC ، فمن الضروري عمل اتحاد بين هذه المجموعات. يمكن كتابة هذا على النحو التالي: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩C. الخاصية التوزيعية هي المزيج. الخلط بين الاتحاد والتقاطع.

يطلق عليه التوزيع A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C. علاقة أخرى وهي A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) C

لقد ناقشنا التراكمي ، يليه الترابطي وهذا التوزيعي

ضع قانون الهوية.

هناك بند جديد وهو قانون الهوية المحدد. العلاقة الأولى هي A ∪A = A. العلاقة الثانية هي A ∩A = A. العلاقة الثالثة هي A∪Ø = A. هذا بيان صحيح. بينما A ∩Ø = Ø. موضوع مجموعة الطاقة إذا قمنا بتعيين A = A = <1،2،3،4>. ما هي المجموعة الفرعية؟

هناك الكثير إذا كان الجمع بين المجموعات الفرعية على النحو التالي:
يتم تحديد الأرقام الأربعة الأولى ، من 1 إلى 4. ، ثم حدد <1،2> & amp <1،3> <1،4> وحدد أيضًا <1> ، <2> ، <3> ، <4> ، ثم & amp حدد نفس ترتيب المجموعة <1،2،3،4> ، <1،2> & amp <1،3> & amp ، (1،4> ، مجموعة أخرى <1،2،3> <1،3 ، 4> ، كم عدد التحديدات حتى الآن ، لدينا إجمالي 10 تحديدات.

بدءًا من الرقم 2 ، <2،3> ، <2،4>. بدءًا من الرقم 3 ، <3،4> ، ثم حدد Ø. العدد الإجمالي للاختيارات = 5 + 5 + 6 = 16. في النهاية ، إذا كان لدينا مجموعة.

إجمالي عدد المجموعات الفرعية التي يمكن إنشاؤها = عدد العناصر المرفوعة إلى أس 2 أو 4 & # 2154 = 16. اصنع كقوة 2 ، وهذا هو سبب استخدام التعبير عن مجموعة الطاقة ، لأن 4 ^ 2 = 16.

إذا كانت مجموعة واحدة تحتوي على ثلاثة عناصر على سبيل المثال ، فإن عدد المجموعات الفرعية = 3 ^ 2 = 9.

أزواج مرتبة.

العنصر الجديد وهو الزوج المرتب ، للإحداثيات الديكارتية x و y ، نرسم المحور x أولاً ثم نرسم المحور y. إذا كانت لدينا النقطة A ذات الإحداثيات (5،2).
الزوج المرتب هو تسلسل ترتيب المحاور نذهب إلى المساحات الخمس اليمنى ، ثم نخرج مسافتين. هنا التسلسل مهم.

يسمى هذا الزوج المرتب ، ويعني هذا الزوج اثنين. إذا اخترنا (5،2) ، فسيتم ذلك

إعطاء نقطة أخرى وليس النقطة A. المجموعة A ، مع العناصر مجموعة ب مع العناصر سيتم اعتباره متساويًا إذا كان a = c و b = d.

يمكن استخدام الزوج المرتب لحل المعادلات ، على سبيل المثال المعطى. بالنسبة إلى معين (x-3 ، y-2) ، المعطى = set <4،5>.

منتج ديكارتي من مجموعتين.

المنتج الديكارتي لمجموعتين. إذا ضربنا مجموعتين في بعضنا البعض ، فسيتم كتابتها على هيئة A تقاطع B.

يتم إنشاء زوج جديد بإحداثيات x و y ، بحيث تكون x جزءًا من A و y جزء من B. على سبيل المثال ، إذا كانت المجموعة A عبارة عن زوج مرتب <7،8> ، بينما المجموعة B هي إحداثيات أخرى هي <2،4،6>. مطلوب للعثور على AxB. بعد ترتيب العمليات ، يمكننا كتابة ، (7،2) ، (7،4) ، (7،6) & amp (8،2) ، (8،4) ، (8،6). إنها نتيجة AXB. في النهاية ، لدينا 6 أزواج مرتبة.

تتكون المجموعة أ من عنصرين. تتكون المجموعة ب من ثلاثة عناصر. ثم AXB = 2 & # 2153 = 6.

يمكننا استخدام جدول لعمل حاصل الضرب الاتجاهي لـ AxB ، عن طريق تعيين عنصر A في العمود الأول ، أثناء كتابة عناصر b في العمود الثاني والثالث والرابع ، في مثالنا هناك ثلاثة عناصر للمجموعة B.

بدءًا من 2 ، ستكون المجموعة الفرعية الأولى 2 مع قيمة العمود الثاني لـ b ، ثم نفس 2 ، ستكون مع العمود الثالث من b وأخيراً 2 ستكون مع العمود الأخير من العنصر b.

ثم ننتقل إلى الصف الثاني ، حيث لدينا 3 ، ثم ندمج مع 2 ، مرة أخرى مع 4 ، وفي النهاية يتم دمج 2 مع 6. يتم عرض الإجابة النهائية في صورة الشريحة التالية.

مثال آخر للمنتج الديكارتي المكون من مجموعتين.

مثال آخر ، جزء من الجزء المرتب معطى ومطلوب الحصول على A x B من حيث الزوج المرتب المحدد ، ثلاث مجموعات فرعية. إذا كانت A و B مجموعتين

يتكون المحور B من 6 عناصر ، مما يعني أن إحدى المجموعات تتكون من 3 عناصر ، بينما تتكون المجموعة الأخرى من عنصرين. منذ 2 & # 2153 = 6.

أعطيت ثلاثة عناصر فقط لمنتج AxB. مطلوب للحصول على العناصر الكاملة لـ AxB و AxA. من العناصر المعطاة نسمي هذه العناصر (a1، b1)، (a2، b2) و (a3، b3)

المصطلحات الثلاثة الأولى هي & # 8217s ، لذلك يمكن كتابة المجموعة A على أنها A = <2،3،4>. ثم يجب أن يكون b مكونًا من عنصرين فقط ، نظرًا لأن المحور B = 6 ، يمكن كتابة هذه العناصر كـ B = <5،7> ، لا يمكن أن تكون b ثلاثة عناصر ، يتم تكرار 7.

ثم AxB = <(2،5) (2،7)، (3،5) (3،7)، (4،3)، (4،7)> ، كل زوج مرتب يختلف عن الأزواج الأخرى.

مرة أخرى ، استخدم الجدول لتسهيل تقدير الناتج المتقاطع لـ AxB.

استخدام الجدول لتسهيل تقدير الناتج المتقاطع لـ AxA.

N مجموعات.

N- مجموعات ، عندما يكون لدينا ثلاثة إحداثيات: x ، y ، z. نريد إظهار نقطة في الفضاء ، لذا نحتاج إلى ثلاثة إحداثيات.

بالنسبة للنقطة في الفضاء ، مع الإحداثيات (a1 ، a2a3) ، ستتبع الترتيب الذي نبدأ به بـ a1 في اتجاه المحور x ، ثم تكون المسافة المستخدمة هي a2 في اتجاه y ، وأخيرًا a3 في z direction.3 مجموعات.

يمكن تمثيل هذا بواسطة متجه من الأصل يشير إلى النقطة.

R3 هو موضوع الجبر الخطي. Rn في الفضاء n. R3 هي مجموعة كل القبائل المرتبة للأعداد الحقيقية.

R1 هو متجه في اتجاه x يمكن تعريفه أيضًا على أنه مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية في الفضاء 1.

R2 هو متجه في الفراغ 2 (x & ampy) ، مكتوب كمربع R. تعريفه على أنه مجموعة جميع الأزواج المرتبة ، التعريف مختلف قليلاً عن التعريف الأول لـ R1 ، والذي يتكون من جميع الأرقام الحقيقية. يمكن أن تكون R2 أرقامًا موجبة أو سالبة ، ويمكن تمثيل R2 بالعديد من الخيارات.

سيكون المتجه في الاتجاه (س ، ص). يتم تقديم مصطلح جديد وهو R4 ، حتى يمكن تمثيل R3 بالرسوم البيانية.

تُظهر الصورة التالية تعريفًا للمتجهات في Rn مقتبسًا من كتيب الأستاذ رون لارسون.

تعريف الفضاء المتجه.

تعريف R4 ، مجموعة من كل المربعات الرباعية المرتبة من الأعداد الحقيقية. الأرقام ، يمكن كتابة النقطة في R4 كـ (a1، a2، a3، a4).

بالنسبة لـ Rn أو المتجه في الفضاء ، يمكن تمثيل النقطة بـ (a1 ، a2 ، a3 ، & # 8230. a) ، وتسمى n-tuples. بالنسبة للرباعية R4 ، عدد العمليات التي يمكن إجراؤها هي 10 عمليات كما سنرى من كتاب الجبر الخطي الأولي

العملية الأولى هي الإغلاق تحت الإضافة ، والعملية الثانية هي الخاصية التبادلية u + v = v + u ، والعملية الثالثة هي u (v + w) = u + (v + w) ، U + Ø = U ، هوية مضافة.

u + (- U) = 0 ، المعكوس الجمعي ، Cu في V ، حيث c ثابت. C (u + v) = Cu + Cv ، كخاصية توزيع.

(C + d) U = cu + du. خاصية التوزيع ، C (du) = Cdu.1 * (u) = u. هذه هي العمليات

تم حل المشكلة في R4.

مثالنا لـ R4 ، تم إعطاء تفاصيل النقاط ، سنقوم بالعملية U + v + w ، والتي ستعطي (0،4،6،2).


متعددات الحدود

أي مجموعة واحدة من العوامل ، مثل

يسمى أ مصطلح. إذا كان المصطلح لا يحتوي على متغيرات ، كما في

ثم يسمى المصطلح أ ثابت.

أ متعدد الحدود هو مجموع أو اختلاف الحدود ، حيث الأسس على المتغيرات هي الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال،

متعددة الحدود. لاحظ أن كثيرة الحدود يمكن أن تحتوي على أي عدد من المصطلحات (بولي هي البادئة اليونانية لكلمة "كثير").

إذا كانت كثيرة الحدود لها مصطلح واحد فقط ، فإننا نسميها أحادية (أحادية هي البادئة اليونانية لكلمة "واحد").

إذا كانت كثيرة الحدود لها حدان بالضبط ، فإننا نسميها ذات الحدين (bi هي البادئة اليونانية لـ "اثنين").

إذا كان كثير الحدود يحتوي على ثلاثة مصطلحات بالضبط ، فإننا نسميها ثلاثي الحدود (ثلاثي هي البادئة اليونانية لـ "ثلاثة").

تتم كتابة كثيرات الحدود في متغير واحد بشكل عام بقوى المتغير التنازلية.

أي مجموعة من العوامل في مصطلح يسمى معامل في الرياضيات او درجة من العوامل المتبقية في المصطلح. على سبيل المثال ، في 3xy ، 3 هو معامل xy ، و x هو معامل 3y ، و y هو معامل 3x ، و 3x هو معامل y. في 3xy ، الرقم 3 يسمى المعامل العددي. في مصطلح مثل xy أو x2 ، يُفهم المعامل العددي على أنه 1.

3x 2 لها معامل عددي 3
معامل 2xy 2 عددي 2
x 4 لها معامل عددي 1.

في المصطلح الذي يحتوي على متغير واحد فقط ، يسمى الأس على المتغير الدرجة العلمية من المصطلح. تعتبر درجة المصطلح الثابت 0.

مثال 3 3x 2 من الدرجة الثانية
2y 3 من الدرجة الثالثة
4z من الدرجة الأولى (الأس على z هو 1)
1 لديه درجة 0.

درجة كثير الحدود في متغير واحد هي درجة المصطلح الأعلى درجة.

2x + 1 من الدرجة الأولى
3y 2 - 2y + 4 من الدرجة الثانية
y 5 - 3y 2 + y من الدرجة الخامسة.


حدد خصائص الأعداد المنطقية مع إعطاء مثال واحد لكل منها.

بالنسبة إلى عددين منطقيين ، يقول x و y ، فإن نتائج عمليات الجمع والطرح والضرب تعطي عددًا نسبيًا. يمكننا القول إن الأعداد النسبية مغلقة في إطار الجمع والطرح والضرب. على سبيل المثال:

بالنسبة للأرقام المنطقية ، يكون الجمع والضرب تبادليًا.

قانون الجمع التبادلي: أ + ب = ب + أ

قانون الضرب التبادلي: أ × ب = ب × أ

تتبع الأعداد النسبية الخاصية الترابطية للجمع والضرب.

افترض أن x و y و z منطقيان ، ثم للإضافة: x + (y + z) = (x + y) + z

للضرب: x (yz) = (xy) z.

مثال: 1/2 + (1/4 + 2/3) = (1/2 + 1/4) + 2/3

وفي حالة الضرب

1/2 × (1/4 × 2/3) = (1/2 × 1/4) × 2/3

تنص خاصية التوزيع على أنه إذا كان a و b و c ثلاثة أعداد نسبية ، إذن

مثال: 1/2 x (1/2 + 1/4) = (1/2 x 1/2) + (1/2 x 1/4)

RHS = (1/2 × 1/2) + (1/2 × 1/4) = 3/8

حدد خصائص الأعداد المنطقية مع إعطاء مثال واحد لكل منها.

ما هي الخصائص الهامة للأعداد المنطقية؟

الخصائص الرئيسية هي: الملكية التبادلية ، والترابطية ، والتوزيعية ، والإغلاق.

ماذا او ما هو كوموتاتلقد قمت دعمerties ?

في الرياضيات ، تكون العملية الثنائية تبادلية إذا كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير النتيجة. إنها خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية ، وتعتمد عليها العديد من البراهين الرياضية.

الصيغة الواردة في الشكل 1

ماذا او ما هو ترابطي دعمerties ?

في الرياضيات ، الخاصية الترابطية هي خاصية لبعض العمليات الثنائية ، مما يعني أن إعادة ترتيب الأقواس في التعبير لن يغير النتيجة. في المنطق الافتراضي ، تعتبر الترابطية قاعدة صالحة لاستبدال التعبيرات في البراهين المنطقية.

الصيغة الواردة في الشكل 2

ماذا او ما هو وزعت الخصائصالذباب ?

"التوزيع" يعني تقسيم شيء ما أو إعطاء حصة أو جزء من شيء ما. وفقًا لخاصية التوزيع ، فإن ضرب مجموع اثنين أو أكثر من الإضافات في رقم سيعطي نفس النتيجة مثل ضرب كل إضافة على حدة في الرقم ثم جمع حاصل الضرب معًا.

القاعدة معطاة في الشكل 3

ما هي خصائص الإغلاق؟

يُقال أن المجموعة التي يتم إغلاقها بموجب عملية أو مجموعة عمليات تفي بخاصية الإغلاق. غالبًا ما يتم تقديم خاصية الإغلاق كبديهية ، والتي تسمى عادةً بديهية الإغلاق. على سبيل المثال ، يتم إغلاق مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية تحت عملية الجمع ، لكن مجموعة الأعداد الفردية ليست كذلك.

القاعدة معطاة في الشكل 4

إذا هو - هي هو متعاون ل أنت ومن بعد من فضلك إتبع أنا و علامة أنا مثل قائمة الدماغ.

40 شكرا 40 شكرا

10 شكرا 15 شكرا


الأعداد الحقيقية: أساسيات الجبر

كثيرا ما يقال أن الرياضيات هي لغة العلم. إذا كان هذا صحيحًا ، فإن جزءًا أساسيًا من لغة الرياضيات هو الأرقام. حدث أول استخدام للأرقام منذ 100 قرن في الشرق الأوسط لإحصاء العناصر أو تعدادها. Farmers, cattlemen, and tradesmen used tokens, stones, or markers to signify a single quantity—a sheaf of grain, a head of livestock, or a fixed length of cloth, for example. Doing so made commerce possible, leading to improved communications and the spread of civilization.

Three to four thousand years ago, Egyptians introduced fractions. They first used them to show reciprocals. Later, they used them to represent the amount when a quantity was divided into equal parts.

But what if there were no cattle to trade or an entire crop of grain was lost in a flood? How could someone indicate the existence of nothing? From earliest times, people had thought of a “base state” while counting and used various symbols to represent this null condition. However, it was not until about the fifth century A.D. in India that zero was added to the number system and used as a numeral in calculations.

Clearly, there was also a need for numbers to represent loss or debt. In India, in the seventh century A.D., negative numbers were used as solutions to mathematical equations and commercial debts. The opposites of the counting numbers expanded the number system even further.

Because of the evolution of the number system, we can now perform complex calculations using these and other categories of real numbers. In this section, we will explore sets of numbers, calculations with different kinds of numbers, and the use of numbers in expressions.

Classifying a Real Number

The numbers we use for counting, or enumerating items, are the natural numbers: 1, 2, 3, 4, 5, and so on. We describe them in set notation as

where the ellipsis (…) indicates that the numbers continue to infinity. The natural numbers are, of course, also called the counting numbers. Any time we enumerate the members of a team, count the coins in a collection, or tally the trees in a grove, we are using the set of natural numbers. The set of whole numbers is the set of natural numbers plus zero: < 0 , 1 , 2 , 3 , . >.

The set of integers adds the opposites of the natural numbers to the set of whole numbers: < . , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . >.

It is useful to note that the set of integers is made up of three distinct subsets: negative integers, zero, and positive integers. In this sense, the positive integers are just the natural numbers. Another way to think about it is that the natural numbers are a subset of the integers.

The set of rational numbers is written as < m n | m and n are integers and n ≠ 0 >.

Notice from the definition that rational numbers are fractions (or quotients) containing integers in both the numerator and the denominator, and the denominator is never 0. We can also see that every natural number, whole number, and integer is a rational number with a denominator of 1.

Because they are fractions, any rational number can also be expressed in decimal form. Any rational number can be represented as either:

    a terminating decimal: 15 8 = 1.875 ,

We use a line drawn over the repeating block of numbers instead of writing the group multiple times.

Write each of the following as a rational number.

Write a fraction with the integer in the numerator and 1 in the denominator.

Write each of the following as a rational number.

Write each of the following rational numbers as either a terminating or repeating decimal.

Write each fraction as a decimal by dividing the numerator by the denominator.

(or 3.0), a terminating decimal

Write each of the following rational numbers as either a terminating or repeating decimal.

Irrational Numbers

At some point in the ancient past, someone discovered that not all numbers are rational numbers. A builder, for instance, may have found that the diagonal of a square with unit sides was not 2 or even 3 2 ,

but was something else. Or a garment maker might have observed that the ratio of the circumference to the diameter of a roll of cloth was a little bit more than 3, but still not a rational number. Such numbers are said to be irrational because they cannot be written as fractions. These numbers make up the set of irrational numbers. Irrational numbers cannot be expressed as a fraction of two integers. It is impossible to describe this set of numbers by a single rule except to say that a number is irrational if it is not rational. So we write this as shown.

Determine whether each of the following numbers is rational or irrational. If it is rational, determine whether it is a terminating or repeating decimal.

This can be simplified as

is a rational number. Next, simplify and divide.

is rational and a repeating decimal.

This cannot be simplified any further. Therefore,

is a rational number. Simplify and divide.

is rational and a terminating decimal.

is not a terminating decimal. Also note that there is no repeating pattern because the group of 3s increases each time. Therefore it is neither a terminating nor a repeating decimal and, hence, not a rational number. It is an irrational number.

Determine whether each of the following numbers is rational or irrational. If it is rational, determine whether it is a terminating or repeating decimal.

  1. rational and repeating
  2. rational and terminating
  3. irrational
  4. rational and repeating
  5. irrational

أرقام حقيقية

Given any number n, we know that n is either rational or irrational. It cannot be both. The sets of rational and irrational numbers together make up the set of real numbers. As we saw with integers, the real numbers can be divided into three subsets: negative real numbers, zero, and positive real numbers. Each subset includes fractions, decimals, and irrational numbers according to their algebraic sign (+ or –). Zero is considered neither positive nor negative.

The real numbers can be visualized on a horizontal number line with an arbitrary point chosen as 0, with negative numbers to the left of 0 and positive numbers to the right of 0. A fixed unit distance is then used to mark off each integer (or other basic value) on either side of 0. Any real number corresponds to a unique position on the number line.The converse is also true: Each location on the number line corresponds to exactly one real number. This is known as a one-to-one correspondence. We refer to this as the real number line as shown in [link].

Classify each number as either positive or negative and as either rational or irrational. Does the number lie to the left or the right of 0 on the number line?

is negative and rational. It lies to the left of 0 on the number line.

is positive and irrational. It lies to the right of 0.

is negative and rational. It lies to the left of 0.

is negative and irrational. It lies to the left of 0.

is a repeating decimal so it is rational and positive. It lies to the right of 0.

Classify each number as either positive or negative and as either rational or irrational. Does the number lie to the left or the right of 0 on the number line?

  1. positive, irrational right
  2. negative, rational left
  3. positive, rational right
  4. negative, irrational left
  5. positive, rational right

Sets of Numbers as Subsets

Beginning with the natural numbers, we have expanded each set to form a larger set, meaning that there is a subset relationship between the sets of numbers we have encountered so far. These relationships become more obvious when seen as a diagram, such as [link].

The set of natural numbers includes the numbers used for counting: < 1 , 2 , 3 , . >.

The set of whole numbers is the set of natural numbers plus zero: < 0 , 1 , 2 , 3 , . >.

The set of integers adds the negative natural numbers to the set of whole numbers: < . , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . >.

The set of rational numbers includes fractions written as < m n | m and n are integers and n ≠ 0 >.

The set of irrational numbers is the set of numbers that are not rational, are nonrepeating, and are nonterminating: < h | h is not a rational number >.

Classify each number as being a natural number (ن), whole number (دبليو), integer (أنا), rational number (Q), and/or irrational number (Q′).

Classify each number as being a natural number (ن), whole number (دبليو), integer (أنا), rational number (Q), and/or irrational number (Q′).

Performing Calculations Using the Order of Operations

When we multiply a number by itself, we square it or raise it to a power of 2. For example, 4 2 = 4 ⋅ 4 = 16.

We can raise any number to any power. In general, the exponential notation a n

means that the number or variable a

is read as the nth power of a ,

is called the base and n

is called the exponent. A term in exponential notation may be part of a mathematical expression, which is a combination of numbers and operations. For example, 24 + 6 ⋅ 2 3 − 4 2

is a mathematical expression.

To evaluate a mathematical expression, we perform the various operations. However, we do not perform them in any random order. نحن نستخدم ال order of operations. This is a sequence of rules for evaluating such expressions.

Recall that in mathematics we use parentheses ( ), brackets [ ], and braces < >to group numbers and expressions so that anything appearing within the symbols is treated as a unit. Additionally, fraction bars, radicals, and absolute value bars are treated as grouping symbols. When evaluating a mathematical expression, begin by simplifying expressions within grouping symbols.

The next step is to address any exponents or radicals. Afterward, perform multiplication and division from left to right and finally addition and subtraction from left to right.

Let’s take a look at the expression provided.

There are no grouping symbols, so we move on to exponents or radicals. The number 4 is raised to a power of 2, so simplify 4 2

Next, perform multiplication or division, left to right.

Lastly, perform addition or subtraction, left to right.

Therefore, 24 + 6 ⋅ 2 3 − 4 2 = 12.

For some complicated expressions, several passes through the order of operations will be needed. For instance, there may be a radical expression inside parentheses that must be simplified before the parentheses are evaluated. Following the order of operations ensures that anyone simplifying the same mathematical expression will get the same result.

Operations in mathematical expressions must be evaluated in a systematic order, which can be simplified using the acronym PEMDAS:

ص(arentheses)* * *

م(ultiplication) and د(ivision)* * *

أ(ddition) and س(ubtraction)

Given a mathematical expression, simplify it using the order of operations.

  1. Simplify any expressions within grouping symbols.
  2. Simplify any expressions containing exponents or radicals.
  3. Perform any multiplication and division in order, from left to right.
  4. Perform any addition and subtraction in order, from left to right.

Use the order of operations to evaluate each of the following expressions.

  1. ( 3 ⋅ 2 ) 2 − 4 ( 6 + 2 )
  2. 5 2 − 4 7 − 11 − 2
  3. 6 − | 5 − 8 | + 3 ( 4 − 1 )
  4. 14 − 3 ⋅ 2 2 ⋅ 5 − 3 2
  5. 7 ( 5 ⋅ 3 ) − 2 [ ( 6 − 3 ) − 4 2 ] + 1
  1. ( 3 ⋅ 2 ) 2 − 4 ( 6 + 2 ) = ( 6 ) 2 − 4 ( 8 ) Simplify parentheses = 36 − 4 ( 8 ) Simplify exponent = 36 − 32 Simplify multiplication = 4 Simplify subtraction
  2. 5 2 - 4 7 − 11 − 2 = 5 2 − 4 7 − 9 Simplify grouping symbols (radical) = 5 2 − 4 7 − 3 Simplify radical = 25 − 4 7 − 3 Simplify exponent = 21 7 − 3 Simplify subtraction in numerator = 3 − 3 Simplify division = 0 Simplify subtraction

Note that in the first step, the radical is treated as a grouping symbol, like parentheses. Also, in the third step, the fraction bar is considered a grouping symbol so the numerator is considered to be grouped.

In this example, the fraction bar separates the numerator and denominator, which we simplify separately until the last step.

Use the order of operations to evaluate each of the following expressions.

  1. 5 2 − 4 2 + 7 ( 5 − 4 ) 2
  2. 1 + 7 ⋅ 5 − 8 ⋅ 4 9 − 6
  3. | 1.8 − 4.3 | + 0.4 15 + 10
  4. 1 2 [ 5 ⋅ 3 2 − 7 2 ] + 1 3 ⋅ 9 2
  5. [ ( 3 − 8 ) 2 − 4 ] − ( 3 − 8 )

Using Properties of Real Numbers

For some activities we perform, the order of certain operations does not matter, but the order of other operations does. For example, it does not make a difference if we put on the right shoe before the left or vice-versa. However, it does matter whether we put on shoes or socks first. The same thing is true for operations in mathematics.

Commutative Properties

ال commutative property of addition states that numbers may be added in any order without affecting the sum.

We can better see this relationship when using real numbers.

Similarly, the commutative property of multiplication states that numbers may be multiplied in any order without affecting the product.

Again, consider an example with real numbers.

It is important to note that neither subtraction nor division is commutative. For example, 17 − 5

Associative Properties

ال associative property of multiplication tells us that it does not matter how we group numbers when multiplying. We can move the grouping symbols to make the calculation easier, and the product remains the same.

ال associative property of addition tells us that numbers may be grouped differently without affecting the sum.

This property can be especially helpful when dealing with negative integers. Consider this example.

Are subtraction and division associative? Review these examples.

As we can see, neither subtraction nor division is associative.

Distributive Property

ال distributive property states that the product of a factor times a sum is the sum of the factor times each term in the sum.

This property combines both addition and multiplication (and is the only property to do so). Let us consider an example.

Note that 4 is outside the grouping symbols, so we distribute the 4 by multiplying it by 12, multiplying it by –7, and adding the products.

To be more precise when describing this property, we say that multiplication distributes over addition. The reverse is not true, as we can see in this example.

A special case of the distributive property occurs when a sum of terms is subtracted.

For example, consider the difference 12 − ( 5 + 3 ) .

We can rewrite the difference of the two terms 12 and ( 5 + 3 )

by turning the subtraction expression into addition of the opposite. So instead of subtracting ( 5 + 3 ) ,

This seems like a lot of trouble for a simple sum, but it illustrates a powerful result that will be useful once we introduce algebraic terms. To subtract a sum of terms, change the sign of each term and add the results. With this in mind, we can rewrite the last example.

Identity Properties

ال identity property of addition states that there is a unique number, called the additive identity (0) that, when added to a number, results in the original number.

ال identity property of multiplication states that there is a unique number, called the multiplicative identity (1) that, when multiplied by a number, results in the original number.

For example, we have ( −6 ) + 0 = −6

There are no exceptions for these properties they work for every real number, including 0 and 1.

Inverse Properties

ال inverse property of addition states that, for every real number أ, there is a unique number, called the additive inverse (or opposite), denoted−أ, that, when added to the original number, results in the additive identity, 0.

the additive inverse is 8, since ( −8 ) + 8 = 0.

ال inverse property of multiplication holds for all real numbers except 0 because the reciprocal of 0 is not defined. The property states that, for every real number أ, there is a unique number, called the multiplicative inverse (or reciprocal), denoted 1 a ,

that, when multiplied by the original number, results in the multiplicative identity, 1.

the reciprocal, denoted 1 a ,

The following properties hold for real numbers أ, ب، و c.

إضافة عمليه الضرب
خاصية التبديل a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a
Associative Property a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) c
Distributive Property a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Identity Property There exists a unique real number called the additive identity, 0, such that, for any real number أ a + 0 = a There exists a unique real number called the multiplicative identity, 1, such that, for any real number أ a ⋅ 1 = a
Inverse Property Every real number a has an additive inverse, or opposite, denoted –a, such that a + ( − a ) = 0 Every nonzero real number أ has a multiplicative inverse, or reciprocal, denoted 1 a , such that a ⋅ ( 1 a ) = 1

Use the properties of real numbers to rewrite and simplify each expression. State which properties apply.

  1. 3 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4
  2. ( 5 + 8 ) + ( −8 )
  3. 6 − ( 15 + 9 )
  4. 4 7 ⋅ ( 2 3 ⋅ 7 4 )
  5. 100 ⋅ [ 0.75 + ( −2.38 ) ]
  1. 3 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ ( 6 + 4 ) Distributive property = 3 ⋅ 10 Simplify = 30 Simplify
  2. ( 5 + 8 ) + ( −8 ) = 5 + [ 8 + ( −8 ) ] Associative property of addition = 5 + 0 Inverse property of addition = 5 Identity property of addition
  3. 6 − ( 15 + 9 ) = 6 + [ ( −15 ) + ( −9 ) ] Distributive property = 6 + ( −24 ) Simplify = −18 Simplify
  4. 4 7 ⋅ ( 2 3 ⋅ 7 4 ) = 4 7 ⋅ ( 7 4 ⋅ 2 3 ) Commutative property of multiplication = ( 4 7 ⋅ 7 4 ) ⋅ 2 3 Associative property of multiplication = 1 ⋅ 2 3 Inverse property of multiplication = 2 3 Identity property of multiplication
  5. 100 ⋅ [ 0.75 + ( − 2.38 ) ] = 100 ⋅ 0.75 + 100 ⋅ ( −2.38 ) Distributive property = 75 + ( −238 ) Simplify = −163 Simplify

Use the properties of real numbers to rewrite and simplify each expression. State which properties apply.

  1. ( − 23 5 ) ⋅ [ 11 ⋅ ( − 5 23 ) ]
  2. 5 ⋅ ( 6.2 + 0.4 )
  3. 18 − ( 7 −15 )
  4. 17 18 + [ 4 9 + ( − 17 18 ) ]
  5. 6 ⋅ ( −3 ) + 6 ⋅ 3
  1. 11, commutative property of multiplication, associative property of multiplication, inverse property of multiplication, identity property of multiplication
  2. 33, distributive property
  3. 26, distributive property
  4. 4 9 ,

commutative property of addition, associative property of addition, inverse property of addition, identity property of addition

Evaluating Algebraic Expressions

So far, the mathematical expressions we have seen have involved real numbers only. In mathematics, we may see expressions such as x + 5 , 4 3 π r 3 ,

5 is called a ثابت because it does not vary and x is called a عامل because it does. (In naming the variable, ignore any exponents or radicals containing the variable.) An algebraic expression is a collection of constants and variables joined together by the algebraic operations of addition, subtraction, multiplication, and division.

We have already seen some real number examples of exponential notation, a shorthand method of writing products of the same factor. When variables are used, the constants and variables are treated the same way.

In each case, the exponent tells us how many factors of the base to use, whether the base consists of constants or variables.

Any variable in an algebraic expression may take on or be assigned different values. When that happens, the value of the algebraic expression changes. To evaluate an algebraic expression means to determine the value of the expression for a given value of each variable in the expression. Replace each variable in the expression with the given value, then simplify the resulting expression using the order of operations. If the algebraic expression contains more than one variable, replace each variable with its assigned value and simplify the expression as before.


2 Answers 2

The modulus operation as you have it is certainly not commutative: the output is dictated by the second term. E.g., $ 7\% 3 = 1$ (because the remainder when dividing $7$ by $3$ is $1$), but $3\%7 = 3$ (because the remainder when dividing $3$ by $7$ is $3$).

It is also not associative: $(7\%5)\%3 = 2\%3 = 2$, but $7\%(5\%3) = 7\%2 = 1$.

It does not really distribute either, but it does have a similar property. Namely, $(x+y)\% a = Bigl((x\%a)+(y\%a)Bigr) \%a.$ (For example, $(2+2)\%3 = 4\%3 = 1$, but $(2\%3)+(2\%3) = 2+2 = 4$, so you need to take the modulus operation again to get equality.

You can make substitutions. If $x\%a = b$, then for any polynomial expression with integer coefficients, $p(x)$ on $x$, we have that $p(x)\%a = p(b)\%a$.

The modulus operation is clumsy in general. What you really want to use is congruences (also known as modular arithmetic) instead, which are much better behaved and allow for much (but not all) of the usual manipulations that we are used to.

نعم. Assume $ m h_1 = (a^2 c_1 + a c_2 + c_3 mod a) $

then $ m: mod a!::$ $ m: h_1 equiv a^2 c_1 + a c_2 + c_3:$

thus $ m a c_2 + c_3equiv h_1 - a^2 c_1:$

thus $ m a(a c_2 + c_2) + c_4 equiv a ( h_1 - a^2 c_1) + c_4$

thus $ m ((a c_2 + c_2) + c_4 mod a) = (( h_1 - a^2 c_1) + c_4 mod a)$

Generally, as here, it is inconvenient to perform arithmetic using only normal forms (such as least equivalence class reps). Instead, convert to general equivalence classes, use general modular arithmetic and, if need be, convert back to normal forms reps only at the end of the computation. For example, to compute $ m:1/2: mod: 2n!+!1:$ it is easier to choose any even rep of $1,:$ for example $ m:2n!+!2equiv 1,:$ hence $ m:1/2equiv (2n!+!2)/2equiv n!+!1.$

This is familiar from fraction arithmetic. It'd be inconvenient to have to do all fraction arithmetic only with fractions in normal form (= lowest terms). For example, when adding fractions it is convenient to scale them to have a common denominator, then do the addition on these non-lowest term fractions, then, if need be, normalize the result to lowest terms.


The Associative Property in Math

According to the associative property, the addition or multiplication of a set of numbers is the same regardless of how the numbers are grouped. The associative property involves three or more numbers. The parentheses indicate the terms that are considered one unit. The groupings are within the parenthesis—hence, the numbers are associated together.

In addition, the sum is always the same regardless of how the numbers are grouped. Likewise, in multiplication, the product is always the same regardless of the grouping of the numbers. Always handle the groupings in the brackets first, according to the order of operations.


شاهد الفيديو: ضرب الكسور للصف السادس (شهر نوفمبر 2021).