مقالات

2.9: التعريف الدقيق للحد


لقد تقدمت الآن من التعريف غير الرسمي للغاية للحد في مقدمة هذا الفصل إلى الفهم الحدسي للحد. فهم هذا التعريف هو المفتاح الذي يفتح الباب لفهم أفضل لحساب التفاضل والتكامل.

قياس القرب

قبل ذكر التعريف الرسمي للحد ، يجب أن نقدم بعض الأفكار الأولية. تذكر أن المسافة بين النقطتين أ وب على خط الأعداد مُعطاة بواسطة | (أ − ب ) |.

  • يمكن تفسير العبارة (| f (x) −L | <ε ) على النحو التالي: المسافة بين (f (x) ) و L أقل من (ε ).
  • يمكن تفسير العبارة (0 <| x − a | <δ ) على النحو التالي: (x ≠ a ) والمسافة بين (x ) و (a ) أقل من (δ ) .

من المهم أيضًا النظر إلى المعادلات التالية للقيمة المطلقة:

  • العبارة (| f (x) −L | <ε ) تعادل العبارة (L − ε
  • العبارة (0 <| x − a | <δ ) تعادل العبارة (a − δ

مع هذه التوضيحات ، يمكننا أن نقول الرسمي تعريف إبسيلون دلتا للحد.

التعريف: إن Eتعريف psilon-Delta للحد

دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) عبر فاصل زمني مفتوح يحتوي على ملف. دع L يكون رقمًا حقيقيًا. ثم

[ displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ]

إذا ، لكل (ε> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) ، مثل إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε ).

قد يبدو هذا التعريف معقدًا نوعًا ما من وجهة نظر رياضية ، ولكن يصبح من الأسهل فهمه إذا قسمناه عبارة تلو عبارة. البيان نفسه يتضمن شيئًا يسمى أ مُحدِّد عالمي (لكل (> 0 )) ، يعد ملف الكمي الوجودي (يوجد (δ> 0 )) ، وأخيراً ، أ عبارة شرطية (إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε) ). دعونا نلقي نظرة على الجدول ، الذي يكسر التعريف ويترجم كل جزء.

تعريفترجمة
1. لكل (> 0 ) ،1. لكل مسافة موجبة (ε ) من (L ) ،
2. يوجد (δ> 0 ) ،2. توجد مسافة موجبة (δ ) من (أ ) ،
3. مثل هذا3. مثل هذا
4. إذا كان (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε ).4. إذا كانت x أقرب من (δ ) إلى (a ) و (x ≠ a ) ، فإن (f (x) ) أقرب من (ε ) إلى (L ) .

يمكننا الحصول على معالجة أفضل لهذا التعريف من خلال النظر إلى التعريف هندسيًا. يوضح الشكل القيم المحتملة لـ (δ ) للعديد من الاختيارات (ε> 0 ) لوظيفة معينة (f (x) ) ، ورقم a ، والحد الأقصى L عند a. لاحظ أنه عندما نختار قيمًا أصغر لـ ε (المسافة بين الوظيفة والحد) ، يمكننا دائمًا العثور على (δ ) صغيرًا بدرجة كافية بحيث إذا اخترنا قيمة x ضمن (δ ) من a ، ثم تكون قيمة (f (x) ) ضمن (ε ) من الحد L.

الشكل ( PageIndex {1} ): تُظهر هذه الرسوم البيانية القيم المحتملة لـ (δ ) ، بالنظر إلى الاختيارات الأصغر على التوالي لـ ε.

ملاحظات الجبر

من الحقائق الجبرية المهمة للقيم المطلقة التي ستحتاجها للبراهين مع تعريف epsilon-delta للحدود:

(| p |

حقيقة الجبر لعدم المساواة هي:

إذا كان (a> 0 ) و (b> 0 ) فإن (a frac {1} {b} )

يوضح المثال ( PageIndex {1} ) كيف يمكنك استخدام هذا التعريف لإثبات بيان حول حد دالة معينة عند قيمة محددة.

مثال ( PageIndex {1} ): إثبات بيان حول حدود دالة معينة

أثبت أن ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

حل

دع (ε> 0 ).

يبدأ الجزء الأول من التعريف "لكل (ε> 0 )." هذا يعني أنه يجب علينا إثبات أن كل ما يلي صحيح بغض النظر عن القيمة الإيجابية لـ ε المختارة. من خلال ذكر "Let (ε> 0 )" ، فإننا نشير إلى نيتنا للقيام بذلك.

اختر (δ = frac {ε} {2} ). لماذا نختار هذا؟ الشرح التالي.

يستمر التعريف بعبارة "يوجد (δ> 0 ). إن عبارة "يوجد" في بيان رياضي هي دائمًا إشارة لمطاردة الزبال. بمعنى آخر ، يجب أن نذهب ونبحث عن (δ ). إذن ، من أين بالضبط أتى (δ = frac {ε} {2} )؟

نحن نعالج المشكلة من وجهة نظر جبرية. هذه هي "رسومات الشعار المبتكرة للتحليل" لاكتشاف القيمة التي يجب استخدامها من أجل (δ ).

تحليل

بما أننا نريد في النهاية | ( (2x + 1) −3 | <ε ) ، نبدأ بمعالجة هذا التعبير: | ( (2x + 1) −3 ) | <يعادل | (2x−) 2 | <ε ) ، والذي بدوره يعادل (- ε <2x − 2 <) (انظر ملاحظة الجبر أعلاه) وهو ما يعادل (- frac {ε} {2}

شكل ( PageIndex {2} ) يوضح إعداد epsilon-delta الخاص بنا:

الشكل ( PageIndex {2} ): يوضح إعدادنا epsilon-delta لـ ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

بعد إزالة جميع الملاحظات ، إليك نسخة نهائية من الإثبات:

دع (ε> 0 ).

اختر (= ε / 2 ).

افترض (0 <| x − 1 | <δ ).

بعبارات أخرى:

(0 <| x − 1 | < frac {ε} {2} ) ،

لذلك (- frac {ε} {2}

ثم (- ε <2x − 2 <ε )

ثم | (2x − 2 | <ε ) ،

ثم | ( (2x + 1) −3 ) | <ε

وبالتالي ، إذا (0 <| x − 1 | <δ ) ، إذن | ( (2x + 1) −3 ) | <ε.

لذلك ، من خلال تعريف الحد ، ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

تلخص إستراتيجية حل المشكلات التالية نوع الدليل الذي عملنا فيه مثال ( PageIndex {1} ).

إستراتيجية حل المشكلات: إثبات ذلك ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) لوظيفة محددة (f (x) )

  1. لنبدأ الإثبات بالعبارة التالية: دعنا (ε> 0 ).
  2. بعد ذلك ، نحتاج إلى الحصول على خيارنا لـ (δ ) (استخدم رسم الشعار المبتكر للتحليل). رسم الشعار المبتكر للتحليل عبارة عن عمل خدش تم إجراؤه للعثور على خيارنا لـ (δ ) ضعها دائمًا في صفحة منفصلة ، أو في مربع مكتوب عليه "Scratch Work". اكتب البيان التالي ، واملأ الفراغ باختيارنا المكتشف لـ δ: اختر (δ = ) _______.
  3. يجب أن تكون العبارة التالية في الإثبات (في هذه المرحلة ، نملأ القيمة المعطاة لـ a): افترض (0 <| x − a | <δ ).
  4. بدءًا من (0 <| x − a | <δ ) ، استخدم اختيارنا (δ ) والجبر لتؤدي إلى (| f (x) −L | <ε ) ، حيث (f ( x) ) و L هما وظيفتنا (f (x) ) والحدود L.
  5. هذا يظهر (ويجب أن تذكر) إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε ).
  6. نختتم برهاننا بالعبارة التالية: إذن ، من خلال تعريف الحد ، ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ).

مثال ( PageIndex {2} ): إثبات بيان حول حد

أكمل الدليل على أن ( displaystyle lim_ {x → −1} (4x + 1) = - 3 ) بملء الفراغات.

يترك _____.

اختر (δ = ) _______.

افترض (0 <) | (س ) −_______ | (<δ ).

بمعنى آخر ، | (س ) −_______ | (<) _______ ، ثم _______________ ثم ________________ ثم _______________ ... ثم __________ (<).

وبالتالي ، إذا ____________________________ ، إذن ________________.

لذلك ، من خلال _______________________________ _____________________________.

حل

نبدأ بملء الفراغات حيث يتم تحديد الاختيارات بواسطة التعريف. وهكذا لدينا

دع ε (> 0 ).


عمل خدش:

اختر (δ ) = ؟؟.

إليك رسم الشعار المبتكر للتحليل:

نريد (| 4x + 1 - (- 3) | ) أن يكون أقل من (ε ) ، إذا (0 <) | (x - (- 1) ) | (<δ ) ).

لذلك ، قمنا بتعيين (| 4x + 1 - (- 3) | <ε ) وعبثنا للحصول على (x - (- 1) ) داخل القيمة المطلقة.

(| 4x + 1 - (- 3) | <ε ) يعني (- ε <4x + 4 <ε ) (- frac {ε} {4}

وهكذا نرى أنه يجب علينا اختيار (δ = frac {ε} {4} ).

نكمل الآن الكتابة النهائية للإثبات:


دع ε (> 0 ).

اختر (δ = frac {ε} {4} ).

افترض (0 <) | (x - (- 1) ) | (<δ ) (أو ما يعادله ، (0 <) | (x + 1 ) | (<δ ) .)

بعبارات أخرى:

(0 <| x + 1 | < frac {ε} {4} ) ،

لذلك (- frac {ε} {4}

ثم (- ε <4x + 4 <)

ثم | (4x + 4 | <ε ) ،

ثم | ( (4x + 1) - (- 3) ) | <ε

وبالتالي ، إذا (0 <| س - (- 1) | <δ ) ، إذن | ( (4x + 1) - (- 3) ) | <ε.

لذلك ، من خلال تعريف الحد ، ( displaystyle lim_ {x → -1} (4x + 1) = - 3 ).

( PageIndex {1} )

أكمل الدليل على أن ( displaystyle lim_ {x → 2} (3x − 2) = 4 ) بملء الفراغات. (لم يتم كتابة رسم الشعار المبتكر للتحليل في الدليل الفعلي.)

يترك _______.

اختر (δ ) = _______.

افترض (0 <) | (x - ) ____ | (<) ____.

بمعنى آخر ، | (س ) −_______ | (<) _______ ، ثم _______________ ثم ________________ ثم _______________ ... ثم __________ (<).

وبالتالي ، إذا ____________________________ ، إذن ________________.

لذلك ، من خلال _______________________________ _____________________________.

تلميح

اتبع المخطط التفصيلي في إستراتيجية حل المشكلات التي وضعناها بالكامل في المثال ( PageIndex {2} ).

إجابه

دع ε (> 0 ) ؛ اختر (δ = frac {ε} {3} ) ؛ افترض (0 <| x − 2 | <δ ).

بعبارات أخرى:

(0 <| x - 2 | < frac {ε} {3} ) ،

لذلك (- frac {ε} {3}

ثم (- ε <3x - 6 <)

ثم | (3x - 6 | <ε ) ،

ثم | ( (3x - 2) −4 ) | <ε

وبالتالي ، إذا (0 <| x − 2 | <δ ) ، إذن | ( (3x - 2) −4 ) | <ε.

لذلك ، من خلال تعريف النهاية ، ( displaystyle lim_ {x → 2} 3x − 2 = 4 ).


تعريفات دقيقة للحدود في ما لا نهاية

في وقت سابق ، استخدمنا المصطلحات قريبة بشكل تعسفي ، وكبيرة بشكل تعسفي ، وكبيرة بما يكفي لتعريف الحدود اللانهائية بشكل غير رسمي. على الرغم من أن هذه المصطلحات تقدم وصفًا دقيقًا للحدود عند اللانهاية ، إلا أنها ليست دقيقة رياضيًا. فيما يلي تعريفات أكثر رسمية للحدود عند اللانهاية. ثم ننظر في كيفية استخدام هذه التعريفات لإثبات النتائج التي تنطوي على حدود عند اللانهاية.

التعريف: الحد اللانهائي (رسمي)

نقول أن الوظيفة (f ) لها أ حد عند اللانهاية، إذا كان هناك رقم حقيقي (L ) بحيث يكون للجميع (ε> 0 ) ، يوجد (N> 0 ) بحيث

[| f (x) −L | <ε ]

للجميع (x> N. ) في هذه الحالة نكتب

[ lim_ {x → ∞} f (x) = L ]

الشكل ( PageIndex {3} ): لوظيفة ذات حد عند اللانهاية ، للجميع (x> N ، | f (x) −L | <ε. )

في وقت سابق من هذا القسم ، استخدمنا الدليل الرسومي في الشكل والأدلة العددية في الجدول لاستنتاج أن ( lim_ {x → ∞} ( frac {2 + 1} {x}) = 2 ). هنا نستخدم التعريف الرسمي للنهاية عند اللانهاية لإثبات هذه النتيجة بدقة.

مثال ( PageIndex {3} ):

استخدم التعريف الرسمي للنهاية عند اللانهاية لإثبات أن ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2+ frac {1} {x} = 2 ).

حل

دع (ε> 0. ) دع (N = frac {1} {ε} ). لذلك ، بالنسبة للجميع (x> N ) ، لدينا

[| 2+ frac {1} {x} −2 | = | frac {1} {x} | = frac {1} {x} < frac {1} {N} = ε ]

لذلك ، ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2+ frac {1} {x} = 2 ).

( PageIndex {2} )

استخدم التعريف الرسمي للنهاية عند اللانهاية لإثبات أن ( displaystyle lim_ {x → ∞} 3− frac {1} {x ^ 2} = 3 ).

تلميح

دعونا (N = frac {1} { sqrt {ε}} ).

إجابه

دعونا (ε> 0. ) دعنا (N = frac {1} { sqrt {ε}} ). لذلك ، لدينا جميع (x> N ، )

(∣3− frac {1} {x ^ 2} −3∣ = frac {1} {x ^ 2} < frac {1} {N ^ 2} = ε )

لذلك ، ( displaystyle lim_ {x → ∞} (3− frac {1} {x ^ 2}) = 3.)

نوجه انتباهنا الآن إلى تعريف أكثر دقة للنهاية اللانهائية.

التعريف: حد لانهائي عند اللانهاية (رسمي)

نقول أن الوظيفة (f ) لها امتداد حد لانهائي في اللانهاية واكتب

( displaystyle lim_ {x → f} f (x) = ∞ )

إذا كان للجميع (M> 0 ، ) يوجد (N> 0 ) من هذا القبيل

(و (س)> م )

لجميع (x> N ) (انظر الشكل).

نقول أن للدالة حد سالب لانهائي عند ما لا نهاية ونكتبها

( displaystyle lim_ {x → f} f (x) = - ∞ )

إذا كان للجميع (M <0 ) ، يوجد (N> 0 ) من هذا القبيل

(و (س) <م )

للجميع (x> N ).

وبالمثل ، يمكننا تعريف الحدود على أنها (x → −∞. )

الشكل ( PageIndex {4} ): لوظيفة ذات حد لانهائي عند اللانهاية ، لجميع (x> N ، f (x)> M. )

هنا نستخدم التعريف الرسمي للنهاية اللانهائية لإثبات ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞ ).

مثال ( PageIndex {4} ):

استخدم التعريف الرسمي للنهاية اللانهائية لإثبات ذلك ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞. )

تحليل رسومات الشعار المبتكرة: بالنسبة لبعض (M> 0 ) ، نحتاج إلى (N ) بحيث إذا (x> N ) ، نحصل على (x ^ 3> M ).

ابدأ بـ (x ^ 3> M ) ، وحل من أجل (x ). (x> sqrt [3] {M} ). لذا ، طالما (x> sqrt [3] {M} ) ، ثم (x ^ 3> M ). لذا اختر (N = sqrt [3] {M} ).

دليل:

دع (M> 0. ) اختر (N = sqrt [3] {M} ). ثم ، بالنسبة للجميع (x> N ) ، لدينا

(x ^ 3> N ^ 3 = ( sqrt [3] {M}) ^ 3 = M. )

لذلك ، من خلال تعريف الحد ، ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞ ).

( PageIndex {3} )

استخدم التعريف الرسمي للنهاية اللانهائية لإثبات ذلك ( displaystyle lim_ {x → ∞} 3x ^ 2 = ∞. )

تلميح

دعونا (N = sqrt { frac {M} {3}} ).

إجابه

دع (M> 0. ) دع (N = sqrt { frac {M} {3}}) ). ثم ، بالنسبة لجميع (x> N ، ) لدينا

(3x ^ 2> 3N ^ 2 = 3 ( sqrt { frac {M} {3}}) ^ 22 = frac {3M} {3} = M )


حدود من جانب واحد

مثلما اكتسبنا أولاً فهمًا بديهيًا للحدود ثم انتقلنا إلى تعريف أكثر صرامة للحدود ، فإننا الآن نعيد النظر في الحدود أحادية الجانب. للقيام بذلك ، نقوم بتعديل تعريف epsilon-delta للحد لإعطاء تعريفات epsilon-delta الرسمية للحدود من اليمين واليسار عند نقطة ما. تتطلب هذه التعريفات تعديلات طفيفة فقط من تعريف الحد. في تعريف الحد من اليمين ، تحل المتباينة (0

تعريف

حد من اليمين: دع تعريف (f (x) ) عبر فاصل زمني مفتوح من النموذج ((a، b) ) حيث (a

[ lim_ {x → a ^ +} f (x) = L ]

إذا كان لكل (ε> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) ، مثل إذا (0

الحد من اليسار: دع (f (x) ) يتم تعريفه عبر فاصل زمني مفتوح من النموذج ((b، c) ) حيث (b

[ lim_ {x → c ^ -} f (x) = L ]

إذا كان لكل (ε> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) بحيث إذا (−δ

مثال ( PageIndex {5} ): إثبات بيان حول حد من اليمين

اثبت ذلك

[lim_ {x → 4 ^ +} sqrt {x − 4} = 0. ]

حل

دع ε> 0.

اختر (δ = ε ^ 2 ). نظرًا لأننا نريد في النهاية (∣ sqrt {x − 4} −0∣ <ε ) ، فإننا نتعامل مع هذه المتباينة للحصول على ( sqrt {x − 4} <ε ) أو ، بشكل مكافئ ، (0

افترض (0

( PageIndex {4} )

ابحث عن (δ ) المقابل لـ (ε ) لإثبات أن ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} sqrt {1 − x} = 0 ).

تلميح

ارسم الرسم البياني واستخدم المثال كدليل للحل.

إجابه

(δ = ε ^ 2 )

حدود لانهائية

نختتم عملية تحويل أفكارنا البديهية لأنواع مختلفة من الحدود إلى تعريفات رسمية صارمة من خلال اتباع تعريف رسمي للحدود اللانهائية. للحصول على ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ) ، نريد أن تصبح قيم الدالة (f (x) ) أكبر وأكبر كلما اقتربت x من a. بدلاً من المطلب الذي (| f (x) −L | <ε ) لـ () صغير بشكل تعسفي عندما (0 <| x δ a | <δ ) لصغير بما يكفي (δ ) ، نريد (f (x)> M ) للإيجابية الكبيرة بشكل تعسفي M عندما (0 <| x − a | <δ ) لصغير بما يكفي (δ ). يوضح الشكل هذه الفكرة من خلال إظهار قيمة (δ ) لقيم أكبر متتالية لـ M.

الشكل ( PageIndex {5} ): هذه الرسوم البيانية ترسم قيم (δ ) لـ M لتظهر أن ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ).

تعريف

دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) في فاصل مفتوح يحتوي على ملف. ثم ، لدينا حد لانهائي

[ lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ]

إذا كان لكل (M> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) بحيث إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (f (x)> M ).

دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) في فاصل مفتوح يحتوي على ملف. ثم لدينا حد سالب لانهائي

[ lim_ {x → a} f (x) = - ∞ ]

إذا كان لكل (M> 0 ) ، يوجد (δ> 0 ) بحيث إذا (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (f (x) <- M ).

مواضيع متقدمة

فيما يلي بعض المشاكل الأكثر تعقيدًا باستخدام التعريف الدقيق للنهاية. لا تتردد في إلقاء نظرة عليها ؛ ومع ذلك ، لا يلزمك معرفة الموضوعات المتبقية في هذا القسم.


في الأمثلة ( PageIndex {1} ) و ( PageIndex {2} ) ، كانت البراهين واضحة إلى حد ما ، نظرًا لأن الوظائف التي كنا نعمل بها كانت خطية. في المثال ، نرى كيفية تعديل البرهان ليلائم وظيفة غير خطية.

مثال ( PageIndex {6} ): إثبات بيان حول حدود دالة تربيعية

أثبت أن ( displaystyle lim_ {x → −1} (x ^ 2−2x + 3) = 6. )

حل

دعنا نستخدم مخططنا من استراتيجية حل المشكلات:

1. اسمحوا (ε> 0 ).

2. اختر (δ = min ) { (1، ε / 5 )}. قد يبدو اختيار (δ ) غريبًا للوهلة الأولى ، ولكن تم الحصول عليه من خلال إلقاء نظرة على عدم المساواة النهائي المطلوب: ∣ ((x ^ 2−2x + 3) −6 ) ∣ (<ε ). هذه المتباينة تعادل (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <ε ). في هذه المرحلة ، يكون إغراء اختيار (δ = frac {ε} {x − 3} ) أمرًا قويًا للغاية. لسوء الحظ ، يجب أن يعتمد اختيارنا لـ (δ ) على ε فقط وليس متغيرًا آخر. إذا استطعنا استبدال (| x − 3 | ) بقيمة عددية ، فيمكن حل مشكلتنا. هذا هو المكان الذي يلعب فيه افتراض (δ≤1 ). اختيار (δ≤1 ) هنا تعسفي. كان بإمكاننا استخدام أي رقم موجب آخر بنفس السهولة. في بعض البراهين ، قد يكون من الضروري عناية أكبر في هذا الاختيار. الآن ، منذ (δ≤1 ) و (| x + 1 | <1 ) ، يمكننا إظهار ذلك (| x − 3 | <5 ). وبالتالي ، (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <| x + 1 | ⋅5 ). في هذه المرحلة ، ندرك أننا نحتاج أيضًا إلى (δ≤ε / 5 ). لذلك نختار (δ = min ) { (1، ε / 5 )}.

3. افترض (0 <| x + 1 | <δ ). هكذا،

[| x + 1 | <1 ] و [| x + 1 | < frac {ε} {5}. ]

منذ (| x + 1 | <1 ) ، قد نستنتج أن (- 1

[∣ (x ^ 2−2x + 3) −6∣ = | x + 1 | ⋅ | x − 3 | < frac {ε} {5} ⋅5 = ε. ]

لذلك،

[ displaystyle lim_ {x → −1} (x ^ 2−2x + 3) = 6. ]

( PageIndex {5} )

أكمل الدليل على أن ( displaystyle lim_ {x → 1} x ^ 2 = 1 ).

دع (ε> 0 ) ؛ اختر (δ = min ) { (1، ε / 3 )} ؛ افترض (0 <| x − 1 | <δ ).

منذ (| x − 1 | <1 ) ، قد نستنتج أن (- 1

تلميح

استخدم المثال كدليل.

إجابه

(∣x ^ 2−1∣ = | x − 1 | ⋅ | x + 1 |

إثبات قوانين الحد

نوضح الآن كيفية استخدام تعريف epsilon-delta للحد لإنشاء دليل صارم على أحد قوانين الحد. ال عدم المساواة في المثلث تُستخدم في نقطة رئيسية في الإثبات ، لذلك نراجع أولاً هذه الخاصية الرئيسية ذات القيمة المطلقة.

تعريف

ال عدم المساواة في المثلث ينص على أنه إذا كان a و b عبارة عن أرقام حقيقية ، فعندئذٍ (| a + b | ≤ | a | + | b | ).

دليل

نثبت قانون الحد التالي: إذا ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) و ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = M ) ، إذن (displaystyle lim_ {x → a} (f (x) + g (x)) = L + M).

دع (ε> 0 ).

اختر (δ_1> 0 ) بحيث إذا (0 <| x − a | <_1 ) ، ثم (| f (x) −L |

اختر (δ_2> 0 ) بحيث إذا (0 <| x − a | <δ_2 ) ، ثم (| g (x) −M |

اختر (δ = min ) { (δ_1، δ_2 )}.

افترض (0 <| x − a | <δ ).

هكذا،

(0 <| x − a | <δ_1 ) و (0 <| x − a | <_2 ).

لذلك،

(| (f (x) + g (x)) - (L + M) | = | (f (x) −L) + (g (x) −M) | )

(≤ | و (س) −L | + | ز (س) − م | )

(< frac {ε} {2} + frac {ε} {2} = ε ).

نستكشف الآن ما يعنيه عدم وجود حد. الحد ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) غير موجود إذا لم يكن هناك رقم حقيقي L له ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) . وبالتالي ، بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية L، ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ≠ L ). لفهم ما يعنيه هذا ، ننظر إلى كل جزء من تعريف ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) مع العكس. وترد ترجمة التعريف في الجدول.

تعريفعكس
1. يوجد (ε> 0 ) بحيث
2. يوجد (δ> 0 ) ، لذلك2. لكل (δ> 0 ) ،
3. إذا كان (0 <| x − a | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε ).3. يوجد x مرضي (0 <| x − a | <δ ) بحيث (| f (x) −L | ≥ε ).

أخيرًا ، قد نذكر ما يعنيه عدم وجود حد. الحد ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) غير موجود إذا كان لكل رقم حقيقي L يوجد عدد حقيقي (ε> 0 ) بحيث يكون للجميع (δ> 0 ) ، هناك x مرضي (0 <| x − a | <δ ) ، بحيث يكون (| f (x) −L | ≥ε ). دعنا نطبق هذا في المثال لتوضيح عدم وجود حد.

مثال ( PageIndex {7} ): إظهار عدم وجود حد

بيّن أن ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ) غير موجود. يظهر الرسم البياني لـ (f (x) = | x | / x ) هنا:

حل

افترض أن L مرشح للحد. اختر (= 1/2 ).

دع (δ> 0 ). إما (L≥0 ) أو (L <0 ). إذا كان (L≥0 ) ، فدع (س = −δ / 2 ).

هكذا،

(| س − 0 | = ∣− فارك {δ} {2} −0∣ = فارك {δ} {2} <δ )

و

(∣ frac {∣− frac {δ} {2} ∣} {- frac {δ} {2}} - L∣ = | −1 − L | = L + 1≥1> frac {1 } {2} = ε ).

من ناحية أخرى ، إذا (L <0 ) ، فدع (س = δ / 2 ). هكذا،

(| س − 0 | = ∣ فارك {δ} {2} −0∣ = فارك {δ} {2} <δ )

و

(∣ frac {∣ frac {δ} {2} ∣} { frac {δ} {2}} - L∣ = | 1 − L | = | L | + 1≥1> frac {1} {2} = ε ).

وبالتالي ، لأي قيمة لـ L ، ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ≠ L. )

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن تحويل الفكرة البديهية للحد إلى تعريف رياضي صارم يعرف باسم تعريف إبسيلون دلتا للحد.
  • يمكن استخدام تعريف إبسيلون-دلتا لإثبات عبارات حول الحدود.
  • يمكن تعديل تعريف epsilon-delta للحدود من جانب واحد.

قائمة المصطلحات

تعريف إبسيلون دلتا للحد
( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) إذا كان لكل (ε> 0 ) وجود (δ> 0 ) بحيث إذا (0 <| x−) أ | <δ ) ، ثم (| f (x) −L | <ε )
عدم المساواة في المثلث
إذا كان a و b أي رقمين حقيقيين ، فإن (| a + b | ≤ | a | + | b | )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


استخدم التعريف الدقيق للنهاية لإثبات الحدود التالية. حدد علاقة بين e وd تضمن وجود الحد. lim x = 0 (تلميح: استخدم الهوية Vx؟ = xl.) xS0

help_outline

نسخ الصورةقريب

استخدم التعريف الدقيق للنهاية لإثبات الحدود التالية. حدد علاقة بين e وd تضمن وجود الحد. lim x = 0 (تلميح: استخدم الهوية Vx؟ = xl.) xS0


س: إن التكاليف الثابتة التي يتكبدها مختبر أبحاث جيني صغير هي 200000 دولار في السنة. التكاليف المتغيرة.

ج: بالنظر إلى التكلفة السنوية = 300000 دولار أمريكي التكلفة الثابتة = 200000 دولار أمريكي تكلفة متغيرة = 60٪ × 300000 = 180 ألف دولار أمريكي

س: يرتفع منطاد الهواء الساخن عموديًا. من نقطة على مستوى الأرض على بعد 125 قدمًا من النقطة المباشرة.

ج: ضع في اعتبارك الشكل المعطى ، حيث يمثل x صعود البالون. اعتبر أصغر الحق ر.

س: لديك 600 قدم من السياج لإحاطة قطعة أرض مستطيلة على حدود نهر. إذا كنت لا تفعل ذلك.

ج: هناك شكل يوضح قطعة أرض مستطيلة مع نهر على جانب واحد مع سياج.

س: استخدم خصائص الحدود للعثور على الحد المشار إليه (كما هو موضح). قد يكون من الضروري إعادة كتابة البريد.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: في التدريبات 25-28 ، قم بتقييم التكامل في الصورة a sin (u (x)) + C foran اختيار مناسب لـ u (.

س: حل المعادلة اللوغاريتمية 3 + 4 ln (2x) = 15.

س: مناطق المناطق أوجد مساحة المناطق التالية.

أ: مساحة المنطقة التي يحدها f والمحور x والخطوط الرأسية x = a و x = b هي ، A = ∫abf (x) dx

س: أوجد الضلع المفقود من x ، قرب إجابتك لأقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر

س: التفريق بين الدوال اللوغاريتمية والأسية؟

ج: الدوال اللوغاريتمية: تكون الوظيفة اللوغاريتمية على شكل y = logax. على سبيل المثال log416 ، 2log2.


ما & # 8217s بالدقة؟

عند تحديد دقة طريقة ما ، فإننا مهتمون بقدرة الطريقة على تحقيق نتائج متسقة. تقيس الدقة مدى قرب الاتفاق بين القيم المقاسة التي تم الحصول عليها من خلال تكرار القياسات على نفس الأشياء أو الأشياء المماثلة في ظل ظروف محددة.

ماذا يعني ذلك؟

هناك دائمًا بعض الاختلاف عمليًا في النتائج المقاسة مقارنة بالقيم الحقيقية. يتكون من خطأ منهجي (تحيز) وخطأ عشوائي. الدقة تقيس الخطأ العشوائي. في بروتوكول ANOVA ، يتم تقسيمه إلى ثلاثة مكونات

  1. الدقة أثناء التشغيل (أو التكرار) يقيس تباين النتائج في الحالة التي يتم فيها قياس العينات المكررة في ظل ظروف متطابقة. هذا هو أدنى مستوى من عدم الدقة يمكن للمقايسة تحقيقه في الممارسة الروتينية لتركيز معين. التباين في نتائج التشغيل الفردي ناتج أساسًا عن أشياء عشوائية تحدث داخل الأداة ، مثل تباين الأحجام الماصة للعينة والكاشف.
  1. الدقة بين اليوم يقيس نتيجة الاختلاف التي تحدث بين الأيام. قد تختلف النتائج بين الأيام نتيجة المعايرات والتغيرات في الرطوبة وما إلى ذلك.

من هذه المكونات الثلاثة ، يمكنك الحصول على تقدير لـ الدقة داخل المختبر يصف دقة القياس في ظل ظروف التشغيل المعتادة. تتوافق الدقة داخل المختبر تقريبًا مع ما يمكن تقديره من خلال سلسلة من قياسات مراقبة الجودة الداخلية.

إذا سيطرت بعض مكونات الدقة المذكورة أعلاه على النتائج ، فقد تتمكن من تتبع السبب وراء ذلك ، وفي بعض الأحيان تحسينه. لهذا فإن يمكن أن يكون مخطط Levey-Jennings أداة قيمة لأنها تصور الاتجاهات في مجموعة البيانات.

مجموعة بيانات نموذجية مع انخفاض النتائج قرب نهاية الأسبوع (قد تكون النتائج ذات الاتجاه الواحد ضعيفة الدقة بين اليوم)

على اليمين يمكنك رؤية أمثلة لمجموعات بيانات من ثلاثةه خيالي بروتوكولات ANOVA تستمر لمدة أربعة أسابيع. الأول يظهر دقة ضعيفة أثناء التشغيل ، والثاني لديه اختلافات بين سلسلة الصباح وبعد الظهر (دقة ضعيفة بين الجري) ، والثالث له نتائج تتدهور من يوم لآخر خلال أسبوع العمل ويستيقظ مرة أخرى بعد عطلة نهاية الأسبوع (ضعيف بين- دقة اليوم).

هذه نوع من الحالات القصوى لتظهر لك ما يمكن أن يخبرك به الرسم البياني. في الحياة الواقعية ، تكون التأثيرات أقل وضوحًا ، ولكن إذا كنت تعرف دورات عمل الأدوات ونوع العينات التي يتم تشغيلها في أي أيام ومن يقوم بأداء ، وما إلى ذلك ، يمكنك مراجعة الرسوم البيانية لمعرفة ما إذا كانت هذه الأشياء مرئية تأثير أم لا.

كيف أقيس الدقة؟

لأغراض التحقق ، نوصي باتباع CLSI EP05-A3. للتحقق ، يكفي إجراء أخف ، ويمنحك EP15-A3 إرشادات حول ذلك. لا تحتاج & # 8217t إلى العديد من العينات ، لكنك تحتاج إلى قياسها عدة مرات.

قد يكون من المدهش أنه يمكنك الحصول على نتائج جيدة من الدقة في التشغيل من خلال بضع عينات فقط ومضاعفات يومية. المفتاح هو أنه يجب عليك استخدام عينات مع تركيزات التحليل ذات الصلة. عند إنشاء أو التحقق من دقة طريقة نوعية ، يجب أن تكون العينة قرب حد الكشف (LoD). بالنسبة للطرق الكمية ، يجب عليك تصميم المستويات بحيث يمكنك تقييم الدقة عليها تركيزات عالية ومنخفضة وبالقرب من نقطة القرار الطبي، مما يعني أن ثلاث عينات غالبًا ما تكون كافية.

إذا أجريت دراسة تحقق ANOVA لمدة 20 يومًا مع سلسلتين يوميتين ونسختين مكررتين ، فستحصل على 40 زوجًا مكررًا من كل عينة يمكن استخدامها لحساب الدقة أثناء التشغيل. يعكس تقسيم القياسات إلى عدة أيام وعمليات التشغيل معلمات التشغيل المعتادة بشكل أفضل ، مما يمنح مزيدًا من المصداقية للقيمة التي تم الحصول عليها كدقة أثناء التشغيل. بالإضافة إلى ذلك ، لديك 40 مرة لاستخدامها في تقييم الدقة بين الجري ، والنتائج من 20 يومًا لاستخدامها في تقييم الدقة بين اليوم.

لماذا تفعل كل شيء في دراسة واحدة؟

عندما تستخدم نفس نتائج القياس للحصول على قيم لكل مكون من مكونات الدقة ، فإن كل هذه النتائج تتأثر بنفس العشوائية. هذا يجعل هذه المكونات مستقل إحصائيا من بعضها البعض. هذا يعني أنه يمكنك مقارنتها ، ومن الممكن أيضًا حساب الدقة داخل المختبر منها كمجموع المربعات.

إنه يشبه نوعًا ما لعب لعبة رمي السهام ومحاولة اكتشاف مدى أدائك الجيد. قد يكون تحديد مكونات الدقة المختلفة في إعدادات القياس المختلفة يشبه إلى حد ما وجود لوحة سهام بخطوط مستقيمة بحيث يمكنك تحديد موضع سهم في بُعد واحد فقط. إذا قمت بإدارة dartboard بين جولات اللعبة ، فستحصل على معلومات حول قيم الإحداثيات x و y ، ولكن لن تكون هناك طريقة مفيدة لدمج هذه المعلومات.

على اليسار: قياس موضع السهم في بُعد واحد فقط في كل جولة لعب. على اليمين: استخدام لوحة سهام مناسبة.

وبالمثل ، بما أنك تفضل لعب السهام باستخدام لوحة سهام مناسبة ، يرجى إثبات الدقة باستخدام بروتوكول ANOVA المناسب.


حساب التفاضل والتكامل APEX

نبدأ دراستنا عن حدود من خلال النظر في الأمثلة التي توضح المفاهيم الأساسية التي سيتم شرحها أثناء تقدمنا.

الشكل 1.1.1. مفهوم الحد

ضع في اعتبارك الوظيفة (y = frac < sin (x)> text <.> ) عندما يكون (x ) بالقرب من القيمة 1 ، ما القيمة (إن وجدت) القريبة (y )؟

في حين أن سؤالنا لم يتم تشكيله بدقة (ما الذي يشكل "بالقرب من القيمة 1"؟) ، لا يبدو من الصعب العثور على الإجابة. قد يفكر المرء أولاً في إلقاء نظرة على رسم بياني لهذه الوظيفة لتقريب قيم (y ) المناسبة. ضع في اعتبارك الشكل 1.1.3 ، حيث (y = frac < sin (x)>) رسم بياني. بالنسبة لقيم (x ) بالقرب من 1 ، يبدو أن (y ) يأخذ قيمًا بالقرب من (0.85 text <.> ) في الواقع ، عندما يكون (x = 1 text <،> ) ثم (y = frac < sin (1)> <1> حوالي 0.84 نص <،> ) لذلك من المنطقي أنه عندما يكون (x ) "قريبًا" 1 ، (y ) سيكون "بالقرب" (0.84 نص <.> )

ضع في اعتبارك هذه الوظيفة نفسها مرة أخرى بقيمة مختلفة لـ (x text <.> ) عندما يكون (x ) بالقرب من (0 text <،> ) ما هي القيمة (إن وجدت) (y ) قرب؟ بالنظر إلى الشكل 1.1.4 ، يمكن للمرء أن يرى أنه يبدو أن (y ) يأخذ قيمًا بالقرب من (1 text <.> ) ولكن ماذا يحدث عندما (x = 0 text <؟> ) نحن لديك

التعبير (0/0 ) ليس له قيمة كما هو. لا يعطي هذا التعبير أي معلومات حول ما يحدث مع الوظيفة القريبة. لا يمكننا معرفة كيف يتصرف (y ) بالقرب من (x = 0 ) لهذه الوظيفة ببساطة عن طريق السماح (x = 0 text <.> )

إيجاد حد يستلزم فهم كيفية تصرف دالة بالقرب من قيمة معينة لـ (x text <.> ) قبل المتابعة ، سيكون من المفيد إنشاء بعض الرموز. لنفترض (y = f (x) text <> ) أي ، دع (y ) يكون دالة (x ) لبعض الوظائف (f text <.> ) التعبير "the يصف حد (y ) حيث (x ) يقترب من (1 ) "عددًا ، يُشار إليه غالبًا باسم (L text <،> ) الذي (y ) يقترب من (x ) ) يقترب (1 نص <.> ) نكتب كل هذا بصيغة

هذا ليس تعريفًا كاملاً (سيأتي في القسم التالي) هذا تعريف زائف سيسمح لنا باستكشاف فكرة الحد.

أعلاه ، حيث (f (x) = sin (x) / x text <،> ) اقتربنا

(نحن تقريبي هذه الحدود ، ومن ثم استخدمت الرمز " ( almost )" ، لأننا نعمل مع التعريف الزائف للحد ، وليس التعريف الفعلي.)

الشكل 1.1.5. التحقيق ( sin (x) / x )

بمجرد أن نحصل على التعريف الحقيقي للنهاية ، سنجد حدودًا تحليليا أي باستخدام مجموعة متنوعة من الأدوات الرياضية بالضبط. في الوقت الحالي ، سنفعل تقريبي يحد على حد سواء بيانيا وعدديا. يمكن أن يوفر الرسم البياني لوظيفة تقديرًا تقريبيًا جيدًا ، على الرغم من عدم الدقة في كثير من الأحيان. يمكن أن توفر الطرق العددية تقريبًا أكثر دقة. لقد قربنا بالفعل من الحدود بيانياً ، لذلك نوجه انتباهنا الآن إلى التقريبات العددية.

جرب مرة أخرى ( lim_ frac < sin (x)> text <.> ) لتقريب هذا الحد عدديًا ، يمكننا إنشاء جدول بقيم (x ) و (f (x) ) حيث يكون (x ) "قريبًا" (1 text < .> ) يتم ذلك في الشكل 1.1.6.

لاحظ أنه بالنسبة لقيم (x ) بالقرب من (1 text <،> ) لدينا ( sin (x) / x ) بالقرب من (0.841 text <.> ) The (x = 1 ) تم تضمين الصف ، لكننا نشدد على حقيقة أننا عند النظر في الحدود ، فنحن كذلك ليس معني بقيمة الوظيفة عند تلك القيمة المعينة (x ) فنحن نهتم فقط بقيم الوظيفة عندما يكون (x ) قرب 1.

(س ) ( الخطيئة (س) / س )
0.9 0.870363
0.99 0.844471
0.999 0.841772
1 0.841471
1.001 0.841170
1.01 0.838447
1.1 0.810189
الشكل 1.1.6. قيم ( sin (x) / x ) مع (x ) بالقرب من (1 )

الآن تقريبي ( lim_ frac < sin (x)>) عدديا. لقد قربنا بالفعل قيمة هذا الحد كـ (1 ) بيانياً في الشكل 1.1.4. يوضح الشكل 1.1.7 قيمة ( sin (x) / x ) لقيم (x ) بالقرب من (0 text <.> ) تظهر عشرة أماكن بعد العلامة العشرية لتمييز مدى القرب إلى (1 ) قيمة ( sin (x) / x ) يحصل كما يأخذ (x ) قيمًا قريبة جدًا من (0 text <.> ) نقوم بتضمين (x = 0 ) ولكن مرة أخرى نؤكد أننا لا نهتم بقيمة وظيفتنا عند (x = 0 text <،> ) فقط على سلوك الوظيفة قرب (0 نص <.> )

(س ) ( الخطيئة (س) / س )
-0.1 0.9983341665
-0.01 0.9999833334
-0.001 0.9999998333
0 غير معرف
0.001 0.9999998333
0.01 0.9999833334
0.1 0.9983341665
الشكل 1.1.7. Values of (sin(x)/x) with (x) near (0)

This numerical method gives confidence to say that (1) is a good approximation of (lim_ frac ext<>) that is,

Later we will be able to prove that the limit is exactly (1 ext<.>)

We now consider several examples that allow us explore different aspects of the limit concept.

Example 1.1.8 . Approximating the value of a limit.

Use graphical and numerical methods to approximate

To graphically approximate the limit, graph

on a small interval that contains (3 ext<.>) To numerically approximate the limit, create a table of values where the (x) values are near (3 ext<.>) This is done in Figure 1.1.9 and Figure 1.1.10, respectively.

(x) (frac<6x^2-19x+3>)
(2.9) (0.29878)
(2.99) (0.294569)
(2.999) (0.294163)
3 not defined
(3.001) (0.294073)
(3.01) (0.293669)
(3.1) (0.289773)
Figure 1.1.10 . Numerically approximating a limit in Example 1.1.8

The graph shows that when (x) is near (3 ext<,>) the value of (y) is very near (0.3 ext<.>) By considering values of (x) near (3 ext<,>) we see that (y=0.294) is a better approximation. The graph and the table imply that

This example may bring up a few questions about approximating limits (and the nature of limits themselves).

If a graph does not produce as good an approximation as a table, why bother with it?

How many values of (x) in a table are “enough?” In the previous example, could we have just used (x=3.001) and found a fine approximation?

Graphs are useful since they give a visual understanding concerning the behavior of a function. Sometimes a function may act “erratically” near certain (x) values which is hard to discern numerically but very plain graphically (see Example 1.1.22). Since graphing utilities are very accessible, it makes sense to make proper use of them.

Since tables and graphs are used only to approximate the value of a limit, there is not a firm answer to how many data points are “enough.” Include enough so that a trend is clear, and use values (when possible) both less than and greater than the value in question. In Example 1.1.8, we used both values less than and greater than (3 ext<.>) Had we used just (x=3.001 ext<,>) we might have been tempted to conclude that the limit had a value of (0.3 ext<.>) While this is not far off, we could do better. Using values “on both sides of 3” helps us identify trends.

Example 1.1.11 . Approximating the value of a limit.

Graphically and numerically approximate the limit of (f(x)) as (x) approaches (0 ext<,>) where

Again we graph (f(x)) and create a table of its values near (x=0) to approximate the limit. Note that this is a piecewise defined function, so it behaves differently on either side of (0 ext<.>) Figure 1.1.12 shows a graph of (f(x) ext<,>) and on either side of (0) it seems the (y) values approach (1 ext<.>) Note that (f(0)) is not actually defined, as indicated in the graph with the open circle.

(x) (f(x))
(-0.1) (0.9)
(-0.01) (0.99)
(-0.001) (0.999)
(0.001) (0.999999)
(0.01) (0.9999)
(0.1) (0.99)
Figure 1.1.13 . Numerically approximating a limit in Example 1.1.11

Figure 1.1.13 shows values of (f(x)) for values of (x) near (0 ext<.>) It is clear that as (x) takes on values very near (0 ext<,>) (f(x)) takes on values very near (1 ext<.>) It turns out that if we let (x=0) for either “piece” of (f(x) ext<,>) (1) is returned this is significant and we'll return to this idea later.

The graph and table allow us to say that (lim_f(x) approx 1 ext<>) in fact, we are probably very sure it equals 1.

Subsection 1.1.1 Identifying When Limits Do Not Exist

Figure 1.1.14 . Video introduction for Subsection 1.1.1

A function may not have a limit for all values of (x ext<.>) That is, we cannot say (lim_f(x)=L) (where (L) is some real number) for all values of (c ext<,>) for there may not be a number that (f(x)) is approaching. There are three common ways in which a limit may fail to exist.

The function (f(x)) may approach different values on either side of (c ext<.>)

The function may grow without upper or lower bound as (x) approaches (c ext<.>)

The function may oscillate as (x) approaches (c) without approaching a specific value.

We'll explore each of these in turn.

Example 1.1.15 . Different Values Approached From Left and Right.

Explore why (lim_ f(x)) does not exist, where

A graph of (f(x)) around (x=1) and a table are given in Figures Figure 1.1.16 and Figure 1.1.17, respectively. It is clear that as (x) approaches (1 ext<,>) (f(x)) does not seem to approach a single number. Instead, it seems as though (f(x)) approaches two different numbers. When considering values of (x) less than (1) (approaching (1) from the left), it seems that (f(x)) is approaching (2 ext<>) when considering values of (x) greater than (1) (approaching (1) from the right), it seems that (f(x)) is approaching (1 ext<.>) Recognizing this behavior is important we'll study this in greater depth later. Right now, it suffices to say that the limit does not exist since (f(x)) is approaching two مختلف values as (x) approaches (1 ext<.>)

(x) (f(x))
(0.9) (2.01)
(0.99) (2.0001)
(0.999) (2.000001)
(1.001) (1.001)
(1.01) (1.01)
(1.1) (1.1)
Figure 1.1.17 . Values of (f(x)) near (x=1) in Example 1.1.15
Example 1.1.18 . The Function Grows Without Bound.

Explore why (lim_ frac<1><(x-1)^2>) does not exist.

A graph and table of (f(x) = frac<1><(x-1)^2>) are given in Figure 1.1.19 and Figure 1.1.20, respectively. Both show that as (x) approaches (1 ext<,>) (f(x)) grows larger and larger.

(x) (f(x))
(0.9) (100 ext<.>)
(0.99) (10000 ext<.>)
(0.999) (1. imes 10^6)
(1.001) (1. imes 10^6)
(1.01) (10000 ext<.>)
(1.1) (100 ext<.>)
Figure 1.1.20 . Values of (f(x)) near (x=1) in Example 1.1.18

We can deduce this on our own, without the aid of the graph and table. If (x) is near 1, then ((x-1)^2) is very small, and:

Since (f(x)) is not approaching a single number, we conclude that

Figure 1.1.21 . Video presentation for Examples 1.1.15–1.1.18
Example 1.1.22 . The Function Oscillates.

Explore why (lim_sin(1/x)) does not exist.

Two graphs of (f(x) = sin(1/x)) are given in Figure 1.1.23. Figure 1.1.23.(a) shows (f(x)) on the interval ([-1,1] ext<>) notice how (f(x)) seems to oscillate near (x=0 ext<.>) One might think that despite the oscillation, as (x) approaches (0 ext<,>) (f(x)) approaches (0 ext<.>) However, Figure 1.1.23.(b) zooms in on (sin(1/x) ext<,>) on the interval ([-0.1,0.1] ext<.>) Here the oscillation is even more pronounced. Finally, in Figure 1.1.24, we see (sin(1/x)) evaluated for values of (x) near (0 ext<.>) As (x) approaches (0 ext<,>) (f(x)) does not appear to approach any value.

Figure 1.1.23 . Observing that (f(x)=sin(1/x)) has no limit as (x o0) in Example 1.1.22
(x) (sin(1/x))
(0.1) (-0.544021)
(0.01) (-0.506366)
(0.001) (0.82688)
(0.0001) (-0.305614)
(1. imes 10^<-5>) (0.0357488)
(1. imes 10^<-6>) (-0.349994)
(1. imes 10^<-7>) (0.420548)
Figure 1.1.24 . Observing that (f(x)=sin(1/x)) has no limit as (x o0) in Example 1.1.22

It can be shown that in reality, as (x) approaches 0, (sin(1/x)) takes on all values between (-1) and (1) infinitely many times! Because of this oscillation, (lim_sin(1/x)) does not exist.

Subsection 1.1.2 Limits of Difference Quotients

We have approximated limits of functions as (x) approached a particular number. We will consider another important kind of limit after explaining a few key ideas.

Figure 1.1.25 . Video introduction to Subsection 1.1.2

Let (f(x)) represent the position function, in feet, of some particle that is moving in a straight line, where (x) is measured in seconds. Let's say that when (x=1 ext<,>) the particle is at position (10) ft., and when (x=5 ext<,>) the particle is at (20) ft. Another way of expressing this is to say

Since the particle traveled (10) feet in (4) seconds, we can say the particle's was (2.5) ft/s. We write this calculation using a “quotient of differences,” or, a :

This difference quotient can be thought of as the familiar “rise over run” used to compute the slopes of lines. In fact, that is essentially what we are doing: given two points on the graph of (f ext<,>) we are finding the slope of the secant line through those two points. See Figure 1.1.26.

Now consider finding the average speed on another time interval. We again start at (x=1 ext<,>) but consider the position of the particle (h) seconds later. That is, consider the positions of the particle when (x=1) and when (x=1+h ext<.>) The difference quotient (excluding units) is now

Let (f(x) = -1.5x^2+11.5x ext<>) note that (f(1)=10) and (f(5) = 20 ext<,>) as in our discussion. We can compute this difference quotient for all values of (h) (even negative values!) except (h=0 ext<,>) for then we get “0/0,” the indeterminate form introduced earlier. For all values (h eq 0 ext<,>) the difference quotient computes the average velocity of the particle over an interval of time of length (h) starting at (x=1 ext<.>)

For small values of (h ext<,>) i.e., values of (h) close to (0 ext<,>) we get average velocities over very short time periods and compute secant lines over small intervals. See Figure 1.1.27. This leads us to wonder what the limit of the difference quotient is as (h) approaches (0 ext<.>) That is,

As we do not yet have a true definition of a limit nor an exact method for computing it, we settle for approximating the value. While we could graph the difference quotient (where the (x)-axis would represent (h) values and the (y)-axis would represent values of the difference quotient) we settle for making a table. See Figure 1.1.28. The table gives us reason to assume the value of the limit is about (8.5 ext<.>)

(h) (frac)
(-0.5) (9.25)
(-0.1) (8.65)
(-0.01) (8.515)
(0.01) (8.485)
(0.1) (8.35)
(0.5) (7.75)
Figure 1.1.28 . The difference quotient evaluated at values of (h) near (0) Figure 1.1.29 . Video examples for difference quotients: once with direct computation, and then by simplifying first

Proper understanding of limits is key to understanding calculus. With limits, we can accomplish seemingly impossible mathematical things, like adding up an infinite number of numbers (and not get infinity) and finding the slope of a line between two points, where the “two points” are actually the same point. These are not just mathematical curiosities they allow us to link position, velocity and acceleration together, connect cross-sectional areas to volume, find the work done by a variable force, and much more.

In the next section we give the formal definition of the limit and begin our study of finding limits analytically. In the following exercises, we continue our introduction and approximate the value of limits.

Exercises 1.1.3 Exercises

Terms and Concepts

In your own words, what does it mean to “find the limit of (f(x)) as (x) approaches 3”?


Accuracy refers to the &ldquotruth&rdquo of the analysis. It depends on the standards used and the spectral processing and corrections applied to the raw data. It is an absolute description.

Precision refers to the reproducibility of the measurement of the X-ray counts in the EDS spectrum. It depends on the number of X-rays in the spectrum and the statistics related to that number. Measurement of precision allows comparison of analyses from different grains, different analysis sessions or different studies. It is a relative description.

The minimum detection limit is the concentration corresponding to a peak that can just be distinguished statistically from background fluctuations. This is generally taken to be a peak height equal to three times the standard deviation of the background count. This will vary between different elements and analytical lines, and for the same element in different matrixes. For routine EDS analysis, the detection limits are about 1000 ppm or 0.1 wt%.

شكل: Detection limits for EDS and WDS microanalysis.

Random and systematic errors

Experimental uncertainty is due to random and systematic errors.

Random errors are statistical fluctuations, in either direction, in the measured data due to the limitations of the measurement device.

Systematic errors are reproducible inaccuracies that are consistently in the same direction and are likely to be caused by an error in the experimental setup, e.g., incorrect reading of accelerating voltage or beam current.

In EDS analysis, sources of error may be related to the sample, the microscope, the EDS detector and the data reduction software.

Errors related to the sample include

  1. The sample is not homogeneous &ndash only one phase should be intersected in the interaction volume

شكل: How a non-homogeneous sample can affect quantitative analysis.

شكل: The build-up of electrons on the surface of a non-conducting sample can deflect the primary electron beam and change the effective kV of the analysis system.

شكل: An insulating sample can be made conductive by coating the surface with a conductive material and by creating a conductive path from the surface of the sample to ground with either conductive paint or conductive tape.

شكل: Contamination of the surface of the sample can result in inaccurate analyses as X-rays are generated from both the sample and surface contaminants.

Errors related to the microscope include

  1. Incorrect reading of accelerating voltage.
  2. Instability of the beam &ndash the beam current يجب be stable while the X-ray spectrum is being collected.
  3. Incorrect setting of working distance.

Errors related to the EDS detector system include

  1. Incorrect setting of takeoff angle.
  2. Incorrect setting of detector-sample geometry.
  3. Instability of detector electronics.
  4. Build up of ice or contamination on the detector window.

Errors related to data processing

  1. Insufficient counts in the X-ray spectrum to overcome statistical fluctuations.
  2. Background subtraction routines.
  3. Matrix correction models.
  4. Correction of spectral artifacts.
  5. Correction for overlapping peaks, i.e. spectral deconvolution.

Accuracy and precision

Care must be taken to minimize the potential errors in the analysis system. The accuracy of the analysis depends on the sum of all the errors. It can only be defined by reference to standards. A well-characterized standard should be analysed in every analysis session to verify the analysis conditions.

It is difficult to quantify all sources of errors for EDS analysis. The combined errors limit the precision of EDS analysis to ±2% relative for major components.


Sampling, detection, identification and quantification of genetically modified organisms (GMOs)

Arne Holst-Jensen , in Food Toxicants Analysis , 2007

5.7 Detection and quantification limits

The limits of detection (LOD) and quantification (LOQ) are defined as the lowest concentration of the analyte that can be reliably detected and quantified, respectively. Usually the LOD and LOQ refer to the limits associated with 95% probability of obtaining a correct result. For quantitative analyses this also needs to be associated with an acceptable uncertainty range, e.g. the obtained analytical estimate E must not deviate more than E/2 from the true value.

The LOD and LOQ of analytical methods may refer to absolute and relative values, depending on the type of methodology and attribute [ 61 , 62 ]. For conventional chemical analyses, relative values apply because the detectability/quantifiability is related to the number of attributes and the analytical volume. Notably, however, with PCR methodology in principle every PFU will form the basis for amplification, i.e. every PFU is by definition detectable/quantifiable. Therefore, for PCR based methods, the LOD/LOQ is more correctly referred to as absolute values, i.e. the lowest nominal number of attributes per analysed subvolume v that can be reliably detected and quantified, respectively. As described above in section 5.6.4 , the nominal value one is associated with approximately 30% negative rate. From a Poisson distribution model, the nominal value associated with less than 5% negative rate is approximately five [ 61 ]. This implies that the LOD of PCR based methods can not be less than five copies of the attribute (the target sequence). The LOQ is more difficult to estimate, because it is dependent on the acceptable uncertainty range. Data from validation studies suggest that the LOQ of PCR methods may be approximately 100 copies of the attribute, if the maximum uncertainty range is 25% to 50% with a 95% confidence range.

Most stakeholders refer to relative quantities rather than absolute quantities. Therefore, it is desirable to be able to provide relative LOD and LOQ estimates in addition to absolute values. This can be done for any purified DNA solution by establishing the absolute concentration of haploid genomes of the relevant ingredient species PFUTaxon (cf. section 5.1 ) and divide the absolute LOD/LOQ of the GM derived attribute by PFUTaxon. For more detail, the reader is referred to [ 62 ].


1. Globalization in the History of Ideas

The term globalization has only become commonplace in the last three decades, and academic commentators who employed the term as late as the 1970s accurately recognized the novelty of doing so (Modelski 1972). At least since the advent of industrial capitalism, however, intellectual discourse has been replete with allusions to phenomena strikingly akin to those that have garnered the attention of recent theorists of globalization. Nineteenth and twentieth-century philosophy, literature, and social commentary include numerous references to an inchoate yet widely shared awareness that experiences of distance and space are inevitably transformed by the emergence of high-speed forms of transportation (for example, rail and air travel) and communication (the telegraph or telephone) that dramatically heighten possibilities for human interaction across existing geographical and political divides (Harvey 1989 Kern 1983). Long before the introduction of the term globalization into recent popular and scholarly debate, the appearance of novel high-speed forms of social activity generated extensive commentary about the compression of space.

Writing in 1839, an English journalist commented on the implications of rail travel by anxiously postulating that as distance was &ldquoannihilated, the surface of our country would, as it were, shrivel in size until it became not much bigger than one immense city&rdquo (Harvey 1996, 242). A few years later, Heinrich Heine, the émigré German-Jewish poet, captured this same experience when he noted: &ldquospace is killed by the railways. I feel as if the mountains and forests of all countries were advancing on Paris. Even now, I can smell the German linden trees the North Sea&rsquos breakers are rolling against my door&rdquo (Schivelbusch 1978, 34). Another German émigré, the socialist theorist Karl Marx, in 1848 formulated the first theoretical explanation of the sense of territorial compression that so fascinated his contemporaries. In Marx&rsquos account, the imperatives of capitalist production inevitably drove the bourgeoisie to &ldquonestle everywhere, settle everywhere, and establish connections everywhere.&rdquo The juggernaut of industrial capitalism constituted the most basic source of technologies resulting in the annihilation of space, helping to pave the way for &ldquointercourse in every direction, universal interdependence of nations,&rdquo in contrast to a narrow-minded provincialism that had plagued humanity for untold eons (Marx 1848, 476). Despite their ills as instruments of capitalist exploitation, Marx argued, new technologies that increased possibilities for human interaction across borders ultimately represented a progressive force in history. They provided the necessary infrastructure for a cosmopolitan future socialist civilization, while simultaneously functioning in the present as indispensable organizational tools for a working class destined to undertake a revolution no less oblivious to traditional territorial divisions than the system of capitalist exploitation it hoped to dismantle.

European intellectuals have hardly been alone in their fascination with the experience of territorial compression, as evinced by the key role played by the same theme in early twentieth-century American thought. In 1904, the literary figure Henry Adams diagnosed the existence of a &ldquolaw of acceleration,&rdquo fundamental to the workings of social development, in order to make sense of the rapidly changing spatial and temporal contours of human activity. Modern society could only be properly understood if the seemingly irrepressible acceleration of basic technological and social processes was given a central place in social and historical analysis (Adams 1931 [1904]). John Dewey argued in 1927 that recent economic and technological trends implied the emergence of a &ldquonew world&rdquo no less noteworthy than the opening up of America to European exploration and conquest in 1492. For Dewey, the invention of steam, electricity, and the telephone offered formidable challenges to relatively static and homogeneous forms of local community life that had long represented the main theatre for most human activity. Economic activity increasingly exploded the confines of local communities to a degree that would have stunned our historical predecessors, for example, while the steamship, railroad, automobile, and air travel considerably intensified rates of geographical mobility. Dewey went beyond previous discussions of the changing temporal and spatial contours of human activity, however, by suggesting that the compression of space posed fundamental questions for democracy. Dewey observed that small-scale political communities (for example, the New England township), a crucial site for the exercise of effective democratic participation, seemed ever more peripheral to the great issues of an interconnected world. Increasingly dense networks of social ties across borders rendered local forms of self-government ineffective. Dewey wondered, &ldquoHow can a public be organized, we may ask, when literally it does not stay in place?&rdquo (Dewey 1927, 140). To the extent that democratic citizenship minimally presupposes the possibility of action in concert with others, how might citizenship be sustained in a social world subject to ever more astonishing possibilities for movement and mobility? New high-speed technologies attributed a shifting and unstable character to social life, as demonstrated by increased rates of change and turnover in many arenas of activity (most important perhaps, the economy) directly affected by them, and the relative fluidity and inconstancy of social relations there. If citizenship requires some modicum of constancy and stability in social life, however, did not recent changes in the temporal and spatial conditions of human activity bode poorly for political participation? How might citizens come together and act in concert when contemporary society&rsquos &ldquomania for motion and speed&rdquo made it difficult for them even to get acquainted with one another, let alone identify objects of common concern? (Dewey 1927, 140).

The unabated proliferation of high-speed technologies is probably the main source of the numerous references in intellectual life since 1950 to the annihilation of distance. The Canadian cultural critic Marshall McLuhan made the theme of a technologically based &ldquoglobal village,&rdquo generated by social &ldquoacceleration at all levels of human organization,&rdquo the centerpiece of an anxiety-ridden analysis of new media technologies in the 1960s (McLuhan 1964, 103). Arguing in the 1970s and 1980s that recent shifts in the spatial and temporal contours of social life exacerbated authoritarian political trends, the French social critic Paul Virilio seemed to confirm many of Dewey&rsquos darkest worries about the decay of democracy. According to his analysis, the high-speed imperatives of modern warfare and weapons systems strengthened the executive and debilitated representative legislatures. The compression of territory thereby paved the way for executive-centered emergency government (Virilio 1977). But it was probably the German philosopher Martin Heidegger who most clearly anticipated contemporary debates about globalization. Heidegger not only described the &ldquoabolition of distance&rdquo as a constitutive feature of our contemporary condition, but he linked recent shifts in spatial experience to no less fundamental alterations in the temporality of human activity: &ldquoAll distances in time and space are shrinking. Man now reaches overnight, by places, places which formerly took weeks and months of travel&rdquo (Heidegger 1950, 165). Heidegger also accurately prophesied that new communication and information technologies would soon spawn novel possibilities for dramatically extending the scope of virtual reality: &ldquoDistant sites of the most ancient cultures are shown on film as if they stood this very moment amidst today&rsquos street traffic&hellipThe peak of this abolition of every possibility of remoteness is reached by television, which will soon pervade and dominate the whole machinery of communication&rdquo (Heidegger 1950, 165). Heidegger&rsquos description of growing possibilities for simultaneity and instantaneousness in human experience ultimately proved no less apprehensive than the views of many of his predecessors. In his analysis, the compression of space increasingly meant that from the perspective of human experience &ldquoeverything is equally far and equally near.&rdquo Instead of opening up new possibilities for rich and multi-faceted interaction with events once distant from the purview of most individuals, the abolition of distance tended to generate a &ldquouniform distanceless&rdquo in which fundamentally distinct objects became part of a bland homogeneous experiential mass (Heidegger 1950, 166). The loss of any meaningful distinction between &ldquonearness&rdquo and &ldquodistance&rdquo contributed to a leveling down of human experience, which in turn spawned an indifference that rendered human experience monotonous and one-dimensional.


Rounding Calculator

Rounding a number involves replacing the number with an approximation of the number that results in a shorter, simpler, or more explicit representation of said number based on specific rounding definitions. For example, if rounding the number 2.7 to the nearest integer, 2.7 would be rounded to 3.

Rounding Methods

There are various rounding definitions that can be used to round a number. The calculator defaults to rounding to the nearest integer, but settings can be changed to use other rounding modes and levels of precision. All the rounding modes the calculator is capable of are described below.

This rounding method is one of the more common rounding methods used. It means rounding values that are halfway between the chosen rounding precision up. For example, when rounding to the ones place:

When the value being rounded is negative, the definition is somewhat ambiguous. Some round -5.5 to -5, some round to -6. We agree here the "up" can be thought of as rounding values that are halfway towards the bigger or more positive value. For example, when rounding to the ones place:

Rounding half down is similar to rounding half up, except that it means rounding values that are halfway between the chosen rounding precision down, rather than up. For example, when rounding to the ones place:

In the case of negative numbers, same as rounding half up, the definition is ambiguous. We agree here rounding half down can be thought of as rounding values that are halfway towards the smaller or more negative value. For example, when rounding to the ones place:

Rounding up, sometimes referred to as "taking the ceiling" of a number means rounding up towards the nearest integer. For example, when rounding to the ones place, any non-integer value will be rounded up to the next highest integer, as shown below:

In the case of negative numbers, rounding up means rounding a non-integer negative number to its next closest, more positive integer. على سبيل المثال:

Rounding down, sometimes referred to as "taking the floor" of a number means rounding down towards the nearest integer. For example, when rounding to the ones place, any non-integer value will be rounded down to the next lowest integer, as shown below:

In the case of negative numbers, rounding down means rounding a non-integer negative number to its next nearest, more negative integer. على سبيل المثال:

Rounding half to even can be used as a tie-breaking rule since it does not have any biases based on positive or negative numbers or rounding towards or away from zero, as some of the other rounding methods do. For this method, half values are rounded to the nearest even integer. على سبيل المثال:

Rounding half to odd is similar to rounding half to even (above), and can be used as a tie-breaking rule. For this method, half values are rounded to the nearest odd integer. على سبيل المثال:

Round half away from zero:

Rounding half away from zero can be used as a tie-breaking rule, and means exactly as the phrase describes: rounding half values away from zero. It has no biases towards positive or negative numbers, but does have a bias away from zero. Another way to think about this rounding method is to round a half value towards the next integer closer to positive or negative infinity based on whether the value is positive or negative, respectively. على سبيل المثال:

Round half towards zero:

Rounding half towards zero is similar to rounding half away from zero, except that it rounds in the opposite direction. It has no biases towards positive or negative numbers, but does have a bias towards zero. The method means that half values will be rounded towards the next integer that is closer to zero than it is to positive or negative infinity. على سبيل المثال:

Rounding to fractions

Rounding to fractions involves rounding a given value to the nearest multiple of the chosen fraction. For example, rounding to the nearest 1/8:

This can be particularly useful in the context of engineering, where fractions are widely used to describe the size of components such as pipes and bolts.


Understanding the Limits of a Digital Scale's Accuracy

Any digital scale by necessity does some amount of rounding up or down of weights – while often a minor and insignificant issue, under certain circumstances it can have enormous significance for weighing drugs and tapering. Therefore, before implementing a taper using a digital scale, it’s essential to do some preliminary calculations to see if the planned taper might push against the limits of the digital scale’s accuracy.

  1. Determine the typical weight of the drug powder or beads that will be used during the taper.
  2. Based on the planned rate and schedule, calculate the size of the cuts for the planned taper. (See "Doing Calculations for a Taper".)
  3. Consult the digital scale’s technical guide to be certain of its readability and precision. The readability is the smallest amount of changes in weight that the scale is able to display and, as a general rule, the precision is half the readability.
  4. Determine if the weight of the drug and/or the weight of the planned cuts will come too close to the limits of the scale’s accuracy. Generally, measuring cuts that are less than ten times the scale’s readability could become very unreliable when trying to achieve tapering consistency. This becomes even more problematic as the initial starting weight of the drug comes closer to the lower limit of what the scale can measure.

مناقشة: Consider a scale that weighs up to a maximum of 100g, has a readability of 0.001g or 1mg, and precision of half that, or 0.5mg. This means that when the scale reads 0.001g or reads a change that is only 1mg in size, such as a cut that lowers the weight from 0.069mg to 0.068mg, the scale is actually rounding up or rounding down. So when the scale reads 0.002g, the actual weight could be as high as 0.0024g or as low as 0.0015g, or anywhere from 2.4mg to 1.5mg. While the difference between 50.0024g and 50.0015g may not be significant, this same difference can become very significant during drug tapering that involves weighing amounts that are close to the lower end of what the scale can measure: A 20mg weight of powder could actually be as much as 20.4mg or as little as 19.5mg – which is already about a 5% difference in possible drug amounts before even making a cut. Even more seriously, while aiming for 2mg in weight of drug powder, a person could end up taking exactly 2mg one day, then 1.5mg the next day and 2.4mg the next day – so in effect the person will on the first day be taking their intended dose, then unknowingly decreasing that drug dose by 25% the next day, then unknowingly increasing that dose by 60% the next day, and so on. (For more information about using digital scales and calculating error rates and levels of accuracy, this article on mixing concrete and pigments is instructive.)

Layperson tips if a taper plan pushes against the limits of a digital scale’s accuracy


شاهد الفيديو: تعريف النهايات ابسلون دلتا (شهر نوفمبر 2021).