مقالات

1.6: الرسوم البيانية للوظائف - الرياضيات


قلنا في القسم السابق أنه يمكن وصف العلاقات جبريًا باستخدام المعادلات. الفكرة الرئيسية لهذا القسم هي

مبدأ الرسوم البيانية الأساسية

الرسم البياني للمعادلة هو مجموعة النقاط التي تحقق المعادلة. أي أن النقطة ((س ، ص) ) موجودة على الرسم البياني للمعادلة إذا وفقط إذا استوفى (س ) و (ص ) المعادلة.

مثال ( PageIndex {1} ):

رسم بياني (f (x) = x ^ 2 - x - 6 )

حل

للتحقق ، استبدلنا (x = 2 ) و (y = -1 ) في المعادلة ومعرفة ما إذا كانت المعادلة قد استوفيت.

[ start {array} {rclr} (2) ^ 2 + (- 1) ^ 3 & stackrel {؟} {=} & 1 & 3 & neq & 1 & end {array} ]

ومن ثم ، ((2 ، -1) ) هو ليس على الرسم البياني لـ (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ).

يمكننا قضاء ساعات في التخمين والتحقق بشكل عشوائي لمعرفة ما إذا كانت النقاط موجودة على الرسم البياني للمعادلة. تم تحديد نهج أكثر منهجية في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} ):

رسم بياني (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ).

حل

لتوليد نقاط بكفاءة على الرسم البياني لهذه المعادلة ، نحل أولاً من أجل (y )

[ start {array} {rclr} x ^ 2 + y ^ 3 & = & 1 & y ^ 3 & = & 1 - x ^ 2 & sqrt [3] {y ^ 3} & = & sqrt [3] {1 - x ^ 2} & y & = & sqrt [3] {1 - x ^ 2} & end {array} ]

نستبدل الآن القيمة بـ (x ) ، ونحدد القيمة المقابلة (y ) ، ونرسم النقطة الناتجة ، ((x ، y) ). على سبيل المثال ، نعوض عن (x = -3 )

[y = sqrt [3] {1 - x ^ 2} = sqrt [3] {1 - (-3) ^ 2} = sqrt [3] {- 8} = - 2، ]

لذا فإن النقطة ((- 3 ، -2) ) على الرسم البياني. بالاستمرار بهذه الطريقة ، نقوم بإنشاء جدول نقاط على الرسم البياني للمعادلة. ثم يتم رسم هذه النقاط في المستوى كما هو موضح أدناه.

[ start {array} {| r || c | c |} hline x & y & (x، y) hline -3 & -2 & (-3، -2) hline - 2 & - sqrt [3] {3} & (-2، - sqrt [3] {3}) hline -1 & 0 & (-1، 0) hline 0 & 1 & (0 ، 1) hline 1 & 0 & (1، 0) hline 2 & - sqrt [3] {3} & (2، - sqrt [3] {3}) hline 3 & -2 & (3، -2) hline end {array} ]

تذكر أن هذه النقاط لا تشكل سوى ( textbf {sampling} ) نقاط صغيرة على الرسم البياني لهذه المعادلة. للحصول على فكرة أفضل عن شكل الرسم البياني ، يمكننا رسم المزيد من النقاط حتى نشعر بالراحة عند "ربط النقاط". سيؤدي القيام بذلك إلى منحنى مشابه للمنحنى الموضح أدناه في أقصى اليسار.

لا تقلق إذا لم تحصل على كل الانحناءات والمنحنيات الصغيرة بشكل صحيح (- ) حساب التفاضل والتكامل هو المكان الذي يحتل فيه فن الرسم البياني الدقيق مركز الصدارة. في الوقت الحالي ، سوف نستقر مع نهجنا الساذج "التوصيل والمؤامرة" في الرسم البياني. إذا كنت تشعر أن كل هذه الحسابات والتخطيط المملة تحتك ، فيمكنك الوصول إلى آلة حاسبة للرسوم البيانية ، وإدخال الصيغة كما هو موضح أعلاه ، والرسم البياني.

من بين جميع النقاط الموجودة على الرسم البياني للمعادلة ، فإن الأماكن التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحاور تحمل أهمية خاصة. هذه تسمى يعترض من الرسم البياني. تأتي الاعتراضات في نوعين مختلفين: (x ) - الاعتراضات و (y ) - الاعتراضات. تم تعريفها أدناه.

ملاحظة: افترض أن الرسم البياني للمعادلة معطى.

  • النقطة التي يلتقي عندها الرسم البياني بمحور (س ) - تسمى تقاطع الرسم البياني (س ).
  • النقطة التي يلتقي عندها الرسم البياني مع (ص ) - المحور تسمى (ص ) - تقاطع الرسم البياني.

في مثالنا السابق ، كان للرسم البياني تقاطعان (x ) - ، ((- 1،0) ) و ((1،0) ) ، وواحد (y ) - اعتراض ، (( 0،1) ). يمكن أن يحتوي الرسم البياني للمعادلة على أي عدد من الاعتراضات ، بما في ذلك لا شيء على الإطلاق! نظرًا لأن (س ) - تكمن الاعتراضات على محور (س ) - ، يمكننا العثور عليها عن طريق تعيين (ص = 0 ) في المعادلة. وبالمثل ، نظرًا لأن (y ) - تكمن الاعتراضات على محور (y ) - ، يمكننا العثور عليها عن طريق ضبط (x = 0 ) في المعادلة. ضع في اعتبارك ، اعتراضات نقاط وبالتالي يجب كتابتها كأزواج مرتبة. كي تختصر،

ملاحظة: خطوات البحث عن تقاطعات الرسم البياني للمعادلة

إعطاء معادلة تتضمن (x ) و (y ): index {intercept! موقع}

  • دائمًا ما يكون للاعتراضات (س ) الشكل ((س ، 0) ) ؛ للعثور على (x ) - تقاطعات الرسم البياني ، اضبط (y = 0 ) وحل من أجل (x ).
  • (ص ) - دائمًا ما يكون للاعتراضات الشكل ((0 ، ص) ) ؛ للعثور على (y ) - تقاطعات الرسم البياني ، اضبط (x = 0 ) وحل من أجل (y ).

هناك حقيقة أخرى ربما تكون قد لاحظتها عن الرسم البياني في المثال السابق وهي أنه يبدو متماثلًا حول المحور (y ) -. لإثبات ذلك فعليًا من الناحية التحليلية ، نفترض أن ((x، y) ) هي نقطة عامة على الرسم البياني للمعادلة. أي أننا نفترض (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ). كما تعلمنا في القسم 1.2.1 ، فإن النقطة المتماثلة إلى ((س ، ص) ) حول (ص ) - هي ((- س ، ص) ). لإظهار أن الرسم البياني متماثل حول محور (ص ) - ، نحتاج إلى إظهار أن ((- س ، ص) ) موجود على الرسم البياني عندما يكون ((س ، ص) ). بعبارة أخرى ، نحن بحاجة إلى إظهار ((- x ، y) ) يحقق المعادلة (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ) عندما يقوم ((x، y) ) بذلك. يعطي الاستبدال

[ start {array} {rclr} (-x) ^ 2 + (y) ^ 3 & stackrel {؟} {=} & 1 & x ^ 2 + y ^ 3 & stackrel { checkmark} {=} & 1 & end {array} ]

عندما استبدلنا ((- x، y) ) في المعادلة (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ) ، حصلنا على المعادلة الأصلية مرة أخرى عندما قمنا بالتبسيط. هذا يعني أن ((- x، y) ) يفي بالمعادلة وبالتالي على الرسم البياني. بهذه الطريقة ، يمكننا التحقق مما إذا كان الرسم البياني لمعادلة معينة يمتلك أيًا من التناظرات التي تمت مناقشتها في القسم المرجع {CartesianPlane}. النتائج ملخصه في الاسفل.

ملاحظة: خطوات اختبار ما إذا كان الرسم البياني للمعادلة يمتلك تناظرًا

لاختبار الرسم البياني لمعادلة التناظر الفهرس {التناظر! اختبار معادلة لـ}

  • حول المحور (ص ): استبدل ((- س ، ص) ) في المعادلة وقم بالتبسيط. إذا كانت النتيجة معادلة للمعادلة الأصلية ، يكون الرسم البياني متماثلًا حول محور (ص ).
  • حول المحور (x ): استبدل ((x، -y) ) في المعادلة وقم بالتبسيط. إذا كانت النتيجة مكافئة للمعادلة الأصلية ، يكون الرسم البياني متماثلًا حول محور (س ).
  • حول الأصل: استبدل ((- x، -y) ) في المعادلة وقم بالتبسيط. إذا كانت النتيجة معادلة للمعادلة الأصلية ، يكون الرسم البياني متماثلًا حول الأصل.

الاعتراضات والتناظر هما أداتان يمكن أن تساعدنا في رسم الرسم البياني للمعادلة بشكل تحليلي ، كما يتضح في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {1} ):

ابحث عن تقاطعات (x ) - و (y ) - (إن وجدت) للرسم البياني لـ ((x-2) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). اختبار التناظر. ارسم نقاطًا إضافية حسب الحاجة لإكمال الرسم البياني.

حل

للبحث عن (x ) - الاعتراضات ، قمنا بتعيين (y = 0 ) وحل:

[ start {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & (x-2) ^ 2 + 0 ^ 2 & = & 1 & (x-2 ) ^ 2 & = & 1 & sqrt {(x-2) ^ 2} & = & sqrt {1} & mbox {extract square root} x - 2 & = & pm 1 & x & = & 2 pm 1 & x & = & 3، 1 & end {array} ]

نحصل على textbf {two} إجابات لـ (x ) والتي تتوافق مع textbf {two} (x ) - التقاطع: ((1،0) ) و ((3،0) ). نحول انتباهنا إلى (y ) - الاعتراضات ، نضع (x = 0 ) ونحل:

[ start {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & (0-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & 4 + y ^ 2 & = & 1 & y ^ 2 & = & -3 & end {array} ]

نظرًا لعدم وجود عدد حقيقي مربعات لرقم سالب (هل تتذكر السبب؟) ، فنحن مضطرون لاستنتاج أن الرسم البياني به textbf {no} (y ) - اعتراضات.

رسم البيانات التي لدينا حتى الآن ، نحصل عليها

بالانتقال إلى التناظر ، يمكننا على الفور استبعاد احتمال أن يكون الرسم البياني متماثلًا حول محور (ص ) أو الأصل. إذا كان الرسم البياني يمتلك أيًا من هذه التماثلات ، فإن حقيقة وجود ((1،0) ) على الرسم البياني تعني أن ((- 1،0) ) يجب أن يكون على الرسم البياني. (لماذا؟) بما أن ((- 1،0) ) سيكون تقاطعًا آخر (x ) - (ووجدنا كل ذلك) ، لا يمكن للرسم البياني أن يحتوي على محور (y ) - أو تناظر الأصل. التناظر الوحيد المتبقي للاختبار هو التناظر حول محور (س ). لتحقيق هذه الغاية ، نعوض ((x، -y) ) في المعادلة ونبسطها

[ start {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & (x-2) ^ 2 + (-y) ^ 2 & stackrel {؟} {= } & 1 & (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel { checkmark} {=} & 1 & end {array} ]

نظرًا لأننا حصلنا على معادلتنا الأصلية ، فإننا نعلم أن الرسم البياني متماثل حول محور (س ). هذا يعني أنه يمكننا قطع وقت `` التوصيل والتخطيط '' إلى النصف: كل ما يحدث أسفل (x ) - ينعكس المحور فوق (x ) - المحور ، والعكس صحيح. وفقًا لما فعلناه في المثال السابق ، نحصل عليه

زوجان من الملاحظات بالترتيب. أولاً ، من الممكن تمامًا اختيار قيمة لـ (x ) لا تتوافق مع نقطة على الرسم البياني. على سبيل المثال ، في المثال السابق ، إذا حللنا (y ) كما هو معتاد لدينا ، فسنحصل على:

[y = pm sqrt {1- (x-2) ^ 2}. ]

عند استبدال (x = 0 ) في المعادلة ، سنحصل عليها

[y = pm sqrt {1 - (0-2) ^ 2} = pm sqrt {1 - 4} = pm sqrt {-3}، ]

وهو ليس رقمًا حقيقيًا. هذا يعني أنه لا توجد نقاط على الرسم البياني ذات إحداثي (س ) - (0 ). عندما يحدث هذا ، ننتقل ونحاول نقطة أخرى. هذا عيب آخر لنهج "المكونات والمؤامرة" في معادلات الرسوم البيانية. لحسن الحظ ، سنخصص الكثير مما تبقى من هذا الكتاب لتطوير تقنيات تتيح لنا رسم مجموعات كاملة من المعادلات بسرعة. حاشية سفلية {بدون استخدام آلة حاسبة ، إذا كنت تستطيع تصديق ذلك!} ثانيًا ، من المفيد توضيح ما كان من الممكن أن يحدث لو اختبرنا المعادلة في المثال الأخير للتناظر حول المحور (ص ). استبدال ((- س ، ص) ) في عوائد المعادلة

[ start {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & (-x-2) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel {؟} {=} & 1 & ((-1) (x + 2)) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel {؟} {=} & 1 & (x + 2) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel { ؟} {=} & 1. & end {array} ]

هذه المعادلة الأخيرة ليست ( textbf {تظهر} ) مكافئة لمعادلتنا الأصلية. ومع ذلك ، لكي ( textbf {prov} ) ليس متماثلًا حول (y ) - المحور ، نحتاج إلى إيجاد نقطة ((x، y) ) على الرسم البياني الذي انعكاسه ((- x ، y) ) ليست كذلك. يناسب (x ) - التقاطع ((1،0) ) هذه الفاتورة بشكل جيد ، لأنه إذا استبدلنا ((- 1،0) ) في المعادلة ، نحصل على

[ start {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel {؟} {=} & 1 & (-1-2) ^ 2 + 0 ^ 2 & neq & 1 & 9 & neq & 1. & end {array} ]

هذا يثبت أن ((- 1،0) ) ليس على الرسم البياني.


الرسوم البيانية والوظائف

تم تصميم هذا الدرس لتعريف الطلاب بوظائف الرسوم البيانية. يمكن القيام بهذه الأنشطة بشكل فردي أو في فرق مكونة من أربعة طلاب. اسمح لمدة 2-3 ساعات من وقت الفصل للدرس بأكمله إذا تم الانتهاء من جميع الأجزاء في الفصل.

أهداف

  • تم تقديم وظائف التآمر على مستوى الإحداثيات الديكارتية
  • لقد شهدت عدة فئات من الوظائف ، بما في ذلك الخطوط والقطوع المكافئة

المعايير الموجهة:

  • الوظائف والعلاقات
    • يوضح الطالب الفهم المفاهيمي للوظائف أو الأنماط أو التسلسلات بما في ذلك تلك الممثلة في مواقف العالم الحقيقي.
    • يوضح الطالب التفكير الجبري.
    • الوظائف والعلاقات
      • يوضح الطالب الفهم المفاهيمي للوظائف أو الأنماط أو التسلسلات بما في ذلك تلك الممثلة في مواقف العالم الحقيقي.
      • يوضح الطالب التفكير الجبري.
      • التعبيرات والمعادلات
        • تحليل وحل المعادلات الخطية وأزواج المعادلات الخطية المتزامنة.
        • تحديد وتقييم ومقارنة الوظائف.
        • استخدم الدوال لنمذجة العلاقات بين الكميات.
        • وظائف البناء
          • قم ببناء دالة تشكل علاقة بين كميتين
          • بناء وظائف جديدة من الوظائف الحالية
          • بناء ومقارنة النماذج الخطية والتربيعية والأسية وحل المشكلات
          • الجبر
            • تمثيل وتحليل المواقف والتراكيب الرياضية باستخدام الرموز الجبرية
            • الجبر
              • تمثيل وتحليل المواقف والتراكيب الرياضية باستخدام الرموز الجبرية
              • فهم الأنماط والعلاقات والوظائف
              • استخدم النماذج الرياضية لتمثيل وفهم العلاقات الكمية
              • الجبر
                • هدف الكفاءة 4: سيستخدم المتعلم العلاقات والوظائف لحل المشكلات.
                • الجبر
                  • هدف الكفاءة 4: سيستخدم المتعلم العلاقات والوظائف لحل المشكلات.
                  • العدد والعمليات والقياس والهندسة وتحليل البيانات والاحتمالية والجبر
                    • هدف الكفاءة 5: سوف يفهم المتعلم ويستخدم العلاقات والوظائف الخطية.
                    • الجبر
                      • هدف الكفاءة 4: سوف يفهم المتعلم ويستخدم العلاقات والوظائف الخطية.
                      • هدف الكفاءة 5: سوف يفهم المتعلم ويستخدم العلاقات والوظائف الخطية.
                      • الجبر
                        • سيُظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للأنماط الرقمية ، والرموز باعتبارها تمثيلات كمية غير معروفة ، والمواقف التي تظهر زيادة بمرور الوقت.
                        • الجبر
                          • المعيار 4-3: سيُظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للأنماط الرقمية وغير الرقمية ، وتمثيل العلاقات الرياضية البسيطة ، وتطبيق الإجراءات للعثور على قيمة المجهول.
                          • المعيار 4-6: سيُظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا لتأثير طرق جمع البيانات ، والرسم البياني المناسب للبيانات الفئوية أو العددية ، وتحليل النتائج المحتملة لحدث بسيط.
                          • المعيار 4-4: سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم العلاقة بين الأشكال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، واستخدام التحويلات لتحديد التطابق ، وتمثيل الموقع والحركة داخل الربع الأول من نظام الإحداثيات .
                          • المعيار 4-4: سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم العلاقة بين الأشكال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، واستخدام التحويلات لتحديد التطابق ، وتمثيل الموقع والحركة
                          • الجبر
                            • سيُظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للعلاقات النسبية.
                            • الجبر
                              • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم المعادلات وعدم المساواة والوظائف الخطية.
                              • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم العلاقات بين متغيرين داخل مجتمع أو عينة واحدة.
                              • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم نظرية فيثاغورس استخدام الأزواج والمعادلات والاعتراضات والتقاطعات المرتبة لتحديد النقاط والخطوط في مستوى إحداثيات وتأثير تمدد في مستوى إحداثيات.
                              • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم نظرية فيثاغورس استخدام الأزواج والمعادلات والاعتراضات والتقاطعات المرتبة لتحديد النقاط والخطوط في مستوى إحداثيات وتأثير التمدد
                              • الجبر الابتدائي
                                • معيار EA-1: سوف يفهم الطالب ويستخدم العمليات الرياضية لحل المشكلات ، والتفكير والإثبات ، والتواصل ، والتواصل ، والتمثيل.
                                • معيار EA-3: سيظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للعلاقات والوظائف.
                                • معيار EA-4: سيظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا لإجراءات كتابة وحل المعادلات الخطية وعدم المساواة.
                                • المعيار EA-5: سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم الرسوم البيانية وخصائص المعادلات الخطية وعدم المساواة.
                                • المعيار EA-6: سيظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للعلاقات والوظائف التربيعية.
                                • الجبر
                                  • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للوظائف وأنظمة المعادلات وأنظمة عدم المساواة الخطية.
                                  • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم المعادلات التربيعية ونظام الأرقام المركب.
                                  • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم التعبيرات الجبرية والوظائف غير الخطية.
                                  • الهندسة
                                    • 4.15.b سيصف الطالب أقصر مسافة بين نقطتين على سطح مستو.
                                    • 4.16 سيقوم الطالب بتحديد ورسم تمثيلات للخطوط التي توضح التقاطع والتوازي والعمودية.
                                    • 4.15.b
                                    • 4.16
                                    • الاحتمال والاحصاء
                                      • 7.17 سيقوم الطالب ، في ظل حالة المشكلة ، بجمع وتحليل وعرض وتفسير البيانات ، باستخدام مجموعة متنوعة من الأساليب الرسومية ، بما في ذلك توزيعات التردد ، ومخططات الخطوط التكرارية ، والمخططات الجذعية والورقية ، ومخططات الصندوق والشعيرات ومخططات الانتشار.
                                      • 7.17 سيقوم الطالب ، في حالة وجود مشكلة ، بجمع البيانات وتحليلها وعرضها وتفسيرها باستخدام مجموعة متنوعة من الأساليب الرسومية ، بما في ذلك
                                      • الأنماط والوظائف والجبر
                                        • 8.14 أ سيقوم الطالب بوصف العلاقات والوظائف وتمثيلها باستخدام الجداول والرسوم البيانية والقواعد و
                                        • 8.16 يرسم الطالب معادلة خطية في متغيرين ، في المستوى الإحداثي ، باستخدام جدول من الأزواج المرتبة.
                                        • 8.14 إرادة الطالب
                                        • 8.16 يرسم الطالب معادلة خطية في متغيرين ، في المستوى الإحداثي ، باستخدام a
                                        • الجبر الثاني
                                          • AII.10 سوف يبحث الطالب ويصف من خلال استخدام الرسوم البيانية العلاقات بين حل المعادلة وصفر دالة وتقاطع x للرسم البياني وعوامل التعبير متعدد الحدود.
                                          • AII.18 سيحدد الطالب المقاطع المخروطية (دائرة ، قطع ناقص ، قطع مكافئ ، قطع زائد) من معادلاته. بالنظر إلى المعادلات في شكل (ح ، ك) ، سيقوم الطالب برسم الرسوم البيانية للمقاطع المخروطية ، باستخدام التحويلات.
                                          • AII.20 سيقوم الطالب بتحديد وإنشاء وحل المشكلات العملية التي تتضمن التباين العكسي ومجموعة من الاختلافات المباشرة والعكسية.
                                          • AII.10
                                          • AII.18
                                          • AII.20

                                          محاذاة الكتب المدرسية:

                                          • السابع
                                            • [الوحدة 1 - البحث والإنقاذ] القسم 4: نماذج الوظائف
                                              • سبب المحاذاة: يُعد درس الرسوم البيانية والدوال متابعة جيدة لدرس مقدمة إلى الدوال ، ويتماشى أيضًا مع هذا القسم من النص ، من خلال البناء على الرسم البياني للوظائف. هذا واحد يتعمق في المفردات والجبر من الوظائف. قد يستغرق هذا الدرس بعض الوقت إذا تم إكماله معًا في الفصل ، ولكن يمكن لبعض الطلاب التنقل فيه بشكل مستقل في وقت أقصر.
                                              • [الوحدة 3 - سر وادي بلاكتيل] القسم 2: المعادلات والرسوم البيانية
                                                • سبب المحاذاة: هذا درس مفصل عن وظائف الرسوم البيانية. هناك اقتراحات للمناقشة ومفردات وورقة عمل نشاط رسم بياني تم إعدادها بالفعل للتدريب. يتناسب هذا الدرس مع نشاط Graphit.

                                                متطلبات الطالب

                                                • علم الحساب: يجب أن يكون الطالب قادرًا على:
                                                  • إجراء العمليات الحسابية الصحيحة والكسرية
                                                  • نقاط مؤامرة على نظام الإحداثيات الديكارتية
                                                  • اقرأ إحداثيات نقطة من الرسم البياني
                                                  • العمل مع التعبيرات الجبرية البسيطة
                                                  • إجراء عمليات التلاعب الأساسية بالماوس مثل الإشارة والنقر والسحب
                                                  • استخدم متصفحًا لتجربة الأنشطة

                                                  اعداد المعلم

                                                  • الوصول إلى المتصفح
                                                  • قلم رصاص وورقة رسم بياني
                                                  • نسخ من المواد التكميلية للأنشطة:
                                                    • ورقة عمل نشاط الرسم البياني

                                                    الشروط الاساسية

                                                    وظائف ثابتةالوظائف التي تظل كما هي بغض النظر عن ما يفعله المتغير تسمى الدوال الثابتة
                                                    الثوابتفي الرياضيات ، الأشياء التي لا تتغير تسمى ثوابت. الأشياء التي تغيرت تسمى المتغيرات.
                                                    خطة تنسيقمستوى محدد بنقطة كنقطة أصل ، وبعض الطول المحدد كوحدة مسافة ، وخطين متعامدين يتقاطعان عند الأصل ، مع تحديد اتجاه موجب وسالب في كل خط. تقليديا ، تسمى الخطوط x (مرسومة من اليسار إلى اليمين ، مع اتجاه إيجابي إلى يمين الأصل) و y (مرسومة من أسفل إلى أعلى ، مع اتجاه إيجابي لأعلى من الأصل). يتم تحديد إحداثيات نقطة من خلال مسافة هذه النقطة من الخطوط ، ويتم تحديد علامات الإحداثيات من خلال ما إذا كانت النقطة في الاتجاه الموجب أو السالب من الأصل
                                                    إحداثياتزوج فريد من الأرقام المرتبة يحدد نقطة على مستوى الإحداثيات. يحدد الرقم الأول في الزوج المرتب الموضع فيما يتعلق بالمحور السيني بينما يحدد الرقم الثاني الموضع على المحور الصادي
                                                    وظيفةالدالة f للمتغير x هي قاعدة تخصص لكل رقم x في مجال الوظيفة عددًا واحدًا f (x). كلمة "واحدة" في هذا التعريف مهمة للغاية
                                                    رسم بيانيتمثيل مرئي للبيانات يعرض العلاقة بين المتغيرات ، وعادة ما يتم عرضه على محوري x و y.
                                                    أرقام سالبةالأعداد الأصغر من الصفر. في الرسم البياني ، الأرقام الموجودة على يسار الصفر. يتم تمثيل الأرقام السالبة بوضع علامة الطرح (-) أمام الرقم

                                                    مخطط الدرس

                                                    ذكّر الطلاب بما تم تعلمه في الدروس السابقة والذي سيكون وثيق الصلة بهذا الدرس و / أو اجعلهم يبدأون في التفكير في الكلمات والأفكار الواردة في هذا الدرس. يمكنك طرح الأسئلة التالية:

                                                    • هل يمكن لأحد أن يخبرني ما هي الوظيفة؟
                                                    • هل سيقدم لي أحدهم مثالاً على الوظيفة؟
                                                    • هل سيقدم لي أحدهم مثالاً على شيء لا يمثل وظيفة؟

                                                    دع الطلاب يعرفون ما الذي سيفعلونه ويتعلمونه اليوم. قل شيئًا كهذا:

                                                    • اليوم ، الفصل ، سوف نتعلم المزيد عن الوظائف.
                                                    • سنستخدم أجهزة الكمبيوتر لمعرفة المزيد عن الوظائف ، ولكن من فضلك لا تشغل أجهزة الكمبيوتر الخاصة بك حتى أطلب منك ذلك. أريد أن أريكم القليل عن هذا النشاط أولاً.
                                                    • اطلب من الطلاب محاولة رسم النقاط لعدة وظائف بسيطة للتأكد من أن لديهم بعض المهارة في التخطيط اليدوي. حتى إذا كانت الآلات الحاسبة للرسم البياني متوفرة ، اطلب من الطلاب رسم النقاط على ورق الرسم البياني - هذه مهارة من المهم التدرب عليها يدويًا. فيما يلي بعض الوظائف التي قد يتم تعيينها:
                                                    • تدرب على مهارات التخطيط الوظيفي للطلاب من خلال جعلهم يتحققون من عملهم من النشاط السابق عن طريق رسم نفس الوظائف باستخدام أداة الرسم البياني.
                                                    • اطلب من الطلاب التحقيق في وظائف النموذج y = _____ x + ____ باستخدام Graph Sketcher Tool لتحديد أنواع الوظائف التي تأتي من هذا النموذج ، وما الذي يحدثه تغيير كل ثابت للوظيفة. تأكد من جعلهم يتتبعون ما يحاولون وتسجيل فرضياتهم وملاحظاتهم.
                                                    • اربط هذه الرسوم البيانية بالدرس الخاص بالدوال الخطية لتوضيح الأساس المنطقي للمصطلحين م = ميل و ب = تقاطع في الصيغة.
                                                    • قد ترغب في إعادة الفصل معًا لمناقشة النتائج. بمجرد السماح للطلاب بمشاركة ما وجدوه ، قم بتلخيص نتائج الدرس.

                                                    مخطط بديل

                                                    • استبدل جميع أنشطة Graph Sketcher بأنشطة الرسم البياني للحاسبة. ملاحظة: اعتمادًا على حاسبة الرسوم البيانية ، قد تضطر إلى قضاء بعض الوقت الإضافي في مناقشة تعيين نطاقات النافذة.
                                                    • استبدل جميع أنشطة Graph Sketcher بأنشطة Simple Plot. الرسم البسيط هو نشاط تخطيط النقاط ، والذي يتطلب أن يقوم الطلاب بإنشاء جداول قيم للوظائف قبل التخطيط.
                                                    • قصر التحقيقات على الوظائف ذات عملية واحدة كما هو الحال في درس الآلة الوظيفية و / أو الوظائف الخطية كما في درس الدوال الخطية.

                                                    المتابعة المقترحة

                                                    بعد هذه المناقشات والأنشطة ، سيكون لدى الطلاب خبرة أكبر في الوظائف والرسوم البيانية. يوضح الدرس التالي ، قراءة الرسوم البيانية ، للطلاب أنه يمكن استخدام الرسوم البيانية لنقل الكثير من المعلومات حول موقف معين.


                                                    تعديل المواصفات

                                                    الوردة هي مجموعة النقاط في الإحداثيات القطبية المحددة بواسطة المعادلة القطبية

                                                    أو في الإحداثيات الديكارتية باستخدام المعادلات البارامترية

                                                    يمكن أيضًا تحديد الورود باستخدام وظيفة الجيب. [3] منذ ذلك الحين

                                                    نظرًا لأنه يتم تحديدها باستخدام دالة جيب التمام أو الجيب ، عادةً ما يتم التعبير عن الورود على أنها إحداثيات قطبية (بدلاً من الإحداثيات الديكارتية) الرسوم البيانية لأشباه الجيوب التي لها تردد زاوية k وسعة التي تحدد الإحداثي الشعاعي (r) بالنظر إلى الزاوية القطبية (θ) (على الرغم من أنه عندما يكون k رقمًا منطقيًا ، يمكن التعبير عن منحنى الوردة بالديكارتي إحداثيات حيث يمكن تحديدها كمنحنيات جبرية [4]).

                                                    الخصائص العامة تحرير

                                                    ترتبط الورود ارتباطًا مباشرًا بخصائص أشباه الجيوب التي تحددها.

                                                    تحرير بتلات

                                                    • تتكون الرسوم البيانية من الورود من بتلات. البتلة هي الشكل الذي يتكون من الرسم البياني لنصف دورة للجيوب الأنفية التي تحدد الوردة. (الدورة هي جزء من الجيب الذي يمثل فترة واحدة T = 2 π / k < displaystyle T = 2 pi / k> طويلة وتتكون من نصف دورة موجبة ، وهي المجموعة المستمرة من النقاط حيث r ≥ 0 < displaystyle r geq 0> وهو T / 2 = π / k < displaystyle T / 2 = pi / k> طويل ، ونصف الدورة السالب هو النصف الآخر حيث r ≤ 0 .)
                                                      • شكل كل بتلة هو نفسه لأن الرسوم البيانية لنصف الدورات لها نفس الشكل. يتم إعطاء الشكل من خلال نصف دورة موجبة مع قمة عند (أ ، 0) محدد بواسطة r = a cos ⁡ (k θ) (التي يحدها فاصل الزاوية - T / 4 ≤ θ ≤ T / 4 ). البتلة متماثلة حول المحور القطبي. جميع البتلات الأخرى عبارة عن دوران لهذه البتلة حول القطب ، بما في ذلك تلك الخاصة بالورود المحددة بواسطة دالة الجيب مع نفس القيم لـ < displaystyle a> و k < displaystyle k>. [5]
                                                      • تمشيا مع قواعد رسم النقاط في الإحداثيات القطبية ، لا يمكن رسم نقطة في نصف دورة سالبة بزاوية قطبية لأن إحداثياتها الشعاعية r < displaystyle r> سالبة. يتم رسم النقطة بإضافة π < displaystyle pi> راديان إلى الزاوية القطبية بإحداثيات شعاعية | ص | . وبالتالي ، يمكن أن تتزامن نصف الدورات الموجبة والسالبة في الرسم البياني للوردة. بالإضافة إلى ذلك ، يتم تسجيل الورود في الدائرة r = a < displaystyle r = a>.
                                                      • عندما تكون الفترة T < displaystyle T> للجيوب الأنفية أقل من أو تساوي 4 π < displaystyle 4 pi> ، يكون شكل البتلة عبارة عن حلقة مغلقة مفردة. يتم تكوين حلقة مفردة لأن الفاصل الزمني للزاوية للمخطط القطبي هو 2 π < displaystyle 2 pi> والعرض الزاوي لنصف الدورة أقل من أو يساوي 2 π < displaystyle 2 pi>. عندما T & gt 4 π (أو | k | & lt 1/2 ) يمكن رؤية قطعة نصف دورة على أنها تصاعد من القطب في المزيد أكثر من دائرة واحدة حول القطب حتى يصل الرسم البياني إلى الدائرة المنقوشة حيث تدور الحلزونات مرة أخرى إلى القطب ، وتتقاطع مع نفسها وتشكل حلقة واحدة أو أكثر على طول الطريق. وبالتالي ، تشكل كل بتلة حلقتين عند 4 π & lt T ≤ 8 π (or 1/4 ≤ | k | & lt 1/2 ) ، 3 حلقات عند 8 π & lt T ≤ 12 π (or 1/6 ≤ | k | & lt 1/4 ) ، إلخ. تمت ملاحظة الورود ذات البتلة الواحدة ذات الحلقات المتعددة من أجل k = 1/3 ، k = 1/5 ، k = 1/7 ، إلخ. (انظر الشكل في قسم المقدمة.)
                                                      • لن تتقاطع بتلات الوردة مع بعضها البعض عندما يكون التردد الزاوي k < displaystyle k> عددًا صحيحًا غير صفري وإلا فإن البتلات تتقاطع مع بعضها البعض.

                                                      التماثل تحرير

                                                      تعرض جميع الورود شكلًا واحدًا أو أكثر من أشكال التناظر نظرًا للخصائص الأساسية المتماثلة والدورية لأشباه الجيوب.


                                                      بريكالس

                                                      ما هو الرقم المنطقي؟ ما هي الأعداد التي لها جذور تربيعية منطقية؟ التمثيل العشري لللاعقلانية. ما هو الرقم الحقيقي؟

                                                      ما هي الوظيفة؟ المجال والنطاق.
                                                      تدوين وظيفي. الحجة.
                                                      دالة دالة.

                                                      الرسم البياني للدالة. & oumlrinate أزواج من وظيفة. ارتفاع المنحنى عند x.

                                                      الوظيفة الثابتة. وظيفة الهوية.
                                                      دالة القيمة المطلقة. القطع المكافئ.
                                                      دالة الجذر التربيعي. دالة التكعيبية.
                                                      وظيفة متبادلة.

                                                      المتغيرات مقابل الثوابت.
                                                      تعريف كثير الحدود في x.
                                                      درجة المصطلح وكثير الحدود.
                                                      المعامل الرئيسي.
                                                      الشكل العام لكثيرات الحدود.
                                                      المجال والمدى.

                                                      معادلة كثيرة الحدود. جذور كثير الحدود.
                                                      تقاطع x و y للرسم البياني.
                                                      العلاقة بين الجذور والتداخلات.

                                                      تعريف المنحدر. المنحدر الإيجابي والسلبي. الخط المستقيم له ميل واحد فقط.
                                                      "نفس المنحدر" و "المتوازي". خطوط متعامدة.
                                                      يحدد المنحدر ونقطة واحدة خطاً مستقيماً.

                                                      معادلة الدرجة الأولى. الرسم البياني لمعادلة من الدرجة الأولى: خط مستقيم.
                                                      نموذج الميل والمقطع وإثباته.

                                                      المعادلة التربيعية: الحل بالتحليل إلى عوامل.
                                                      جذر مزدوج. المتباينات التربيعية.
                                                      مجموع وحاصل الجذور.

                                                      حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع. الصيغة التربيعية.

                                                      نظرية العامل. النظرية الأساسية في الجبر. نظرية جذر الأعداد الصحيحة. أزواج مترافقة.

                                                      مقعر للأعلى ، مقعر للأسفل.

                                                      التفكير في المحور السيني. التفكير في المحور الصادي. انعكاس من خلال الأصل.

                                                      التناظر بالنسبة لمحور y. التناظر فيما يتعلق بالأصل. اختبار التناظر.
                                                      وظائف فردية وزوجية.

                                                      تعريف الترجمة.
                                                      معادلة الدائرة.
                                                      رأس القطع المكافئ.
                                                      يمتد ويتقلص عمودي.

                                                      التفردات. وظيفة متبادلة.
                                                      الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية.

                                                      تعريف العاكسات. بناء المعكوس.
                                                      الرسم البياني لدالة عكسية.

                                                      نظام اللوغاريتمات المشتركة.
                                                      نظام اللوغاريتمات الطبيعية.
                                                      قوانين اللوغاريتمات الثلاثة.
                                                      تغيير القاعدة.

                                                      العلاقات العكسية.
                                                      المعادلات الأسية واللوغاريتمية.
                                                      إنشاء لوغاريتم واحد من مجموع.

                                                      المبدأ الأساسي للعد.
                                                      تمثيلات عاملية.
                                                      توزيع ذو حدين.


                                                      مجموعة الواجبات المنزلية الثامنة (3 / 12،15)

                                                      ليوم الجمعة. 3/18: اقرأ القسم 3.3. (لن يتم اختبار هذا. سنناقش الرسوم البيانية اللانهائية ، فقط لرؤية الاختلافات الغريبة.)

                                                      موضوع إضافي ليوم الجمعة. 3/18: الرسوم البيانية خط. (هذا ليس في الكتاب. لن يكون في الاختبار الثاني ولكن من المحتمل أن يكون في الاختبار الثالث.)

                                                      مجموعة المشاكل ح

                                                      H1. (أ) ابحث عن الرسم البياني E الذي يحتوي على دائرة Eulerian ولكن لا توجد دورة Hamilton.
                                                      (ب) أوجد الرسم البياني H الذي يحتوي على دورة هاميلتون ولكن لا توجد دائرة أويلريان.

                                                      H2. أنتج تحليل الشكل 3.2.8 إلى عاملين اثنين ، باستخدام طريقة إثبات النظرية 3.1.4.

                                                      H3. يثبت أن K.ص يمكن أن تتحلل إلى p - 1 مسارات P1، ص2و. صص -1 لجميع قيم p ، وليس فقط القيم الزوجية التي تنطبق عليها النظرية 2.3.4.

                                                      H4. للطلاب الطموحين ، أثبت بصرامة:
                                                      Lemma H4. في الرسم الكاذب G ، إذا كان هناك ممر بنقطتي النهاية a و b ، فهناك مسار بنقطتي النهاية a و b.

                                                      1. الرسم البياني Petersen ، الشكل. 1.1.13 ،
                                                      2. الرسم البياني عشروني الوجوه I في الشكل. 1.2.5 ،
                                                      3. الشكل 2.3.4 ،
                                                      4. الرسم البياني توت ، الشكل 2.3.5.
                                                      1. الرسم البياني Petersen ، الشكل. 1.1.13 ،
                                                      2. الشكل 2.3.6 ،
                                                      3. الشكل 2.3.7 ،
                                                      4. الرسم البياني Gr & oumltzsch ، الشكل 2.1.6.

                                                      H7. (اختياري: مشكلة البحث.) نعلم أن بعض الرسوم البيانية المكعبة يمكن أن تتحلل إلى P.3 الرسوم البيانية الفرعية (على سبيل المثال ، الأشكال 2.4.1-2) ، والبعض الآخر لا يمكن (على سبيل المثال ، الشكل 2.2.6). المثال المقابل (الشكل 2.2.6) له جسر ، في الواقع له ثلاثة جسر. هل يجب أن يكون لكل مثال مضاد جسر؟ أي ، هل يمكننا القول أن كل رسم بياني مكعب متصل وليس له جسور يمكن أن يتحلل إلى P3 الرسوم البيانية الفرعية؟

                                                      مجموعة الواجبات المنزلية التاسعة ومجموعة المشكلات I (3/30)

                                                      ليوم الجمعة. 4/1: اقرأ النشرات حول الأشكال الآلية للرسم البياني (Aut) والرسوم البيانية الخطية (LG).

                                                      شكل على. 4/4: قراءة المذاهب. 4.1 و 4.2.

                                                      هل للمناقشة الثلاثاء. 4/5:
                                                      ## LG.2 ، LG.3 ، LG.4 ## Aut.1 ، Aut.2.
                                                      الطائفة. 4.1 ، ## 1 ، 2 ، 4 ، 6.
                                                      الطائفة. 4.2 ، ## 2 (أ) ، 3.
                                                      # I1 (أ).

                                                      هل للمناقشة الأربعاء. 4/6:
                                                      # LG.9 # Aut.4.
                                                      الطائفة. 4.1 ، ## 7 ، 8.
                                                      الطائفة. 4.2 ، ## 2 (ب) ، 4 ، 6.
                                                      # I2 (أ).

                                                      يدا في الجمعة. 4/8:
                                                      ## LG.7 ، LG.10 # Aut.5.
                                                      الطائفة. 4.1 ، ## 3 ، 5.
                                                      الطائفة. 4.2 ، ## 1 ، 2 (ج).
                                                      ## I1 (ب) ، I2 (ب) (I2 (b) مؤجل إلى HW X).

                                                      مجموعة المشاكل أنا

                                                      أنا 1. يتعلق هذا السؤال بإثبات النظرية 4.1.2 * (أي الحالة الأساسية k = 2 من نظرية توران). يتم إعطاؤك الرسم البياني `` البداية '' G للإثبات ، والذي لا يحتوي على مثلث.
                                                      (ط) أنشئ الرسم البياني الجديد H في إثبات النظرية 4.1.2 *. ما هي x و W الخاصة بك؟
                                                      (2) قارن درجات الرؤوس في G و H.
                                                      (3) قارن qجي و qح. أيهما أكبر؟ لماذا هذا مهم لإثبات النظرية؟
                                                      (4) قارن H بأكبر رسم بياني خالٍ من المثلثات على نفس عدد الرؤوس. كيف يتشابهون؟

                                                      (أ) لـ G = Gأ, the Petersen graph with one vertex deleted. (See below.)
                                                      (b) For G = G7, shown below.

                                                      I2. The uniqueness of the maximum graph in Theorems 4.1.2* and 4.1.2 is not proved in the book.
                                                      (a) Prove uniqueness in Theorem 4.1.2*.
                                                      (b) Prove uniqueness in Theorem 4.1.2.

                                                      Homework Set X (4/5, 8)

                                                      Read Sect. 8.1 and Sect. 9.1. The proof of Theorem 9.1.7 is optional. The most interesting thing about the proof of Theorem 9.1.6 is that it uses Turán's Theorem!

                                                      Do for discussion Tues. 4/12:
                                                      Sect. 8.1, ## 1-5, 7, 10.
                                                      ## J1, J6.

                                                      Do for discussion Wed. 4/13:
                                                      Sect. 8.1, ## 8, 9, 12, 13.
                                                      Sect. 9.1, ## 3, 4, 8, 12, 13.
                                                      ## J3, J4(a, c, d).

                                                      Hand in Fri. 4/15:
                                                      Sect. 8.1, ## 6, 11.
                                                      Sect. 9.1, # 1, 7, 11.
                                                      ## J2, J4(b, e), J5.
                                                      ## Aut.6, LG.6.
                                                      # I2(b) (postponed from HW IX).

                                                      If you didn't already give them to me, HAND IN PROBLEMS
                                                      I2(b), Aut.6, LG.6
                                                      by Thurs. 4/28, 5:00, at latest.
                                                      I will return the graded problems on Friday. (Leave them in my mailbox in the math office or under my door.)

                                                      Definitions and Corrections

                                                      • In Sect. 9.1, p. 180 and Exercise 9.1.11: Kuratowski's Theorem means the combination of Theorems 9.1.1 and 9.1.2 (although 9.1.1 is relatively easy and is not the part he's famous for).
                                                      • In Sect. 9.1, p. 180: A simple drawing must also satisfy
                                                        d) no edge passes through any vertex.

                                                      Problem Set J

                                                      J1. Let G be the Grötzsch graph (Fig. 2.1.6).
                                                      (a) Prove &chi(G) = 4.
                                                      (b) Is G critical?

                                                      J2. Find &chi'(Z) where Z is the graph of Fig. 2.3.1.

                                                      J3. Show that the graph of Fig. 9.1.16 is nonplanar.

                                                      J4. Planar or nonplanar? Prove it!
                                                      (a) Fig. 9.1.19.
                                                      (b) Fig. 9.1.18.
                                                      (c) Fig. 9.1.17.
                                                      (d) Fig. 9.2.1, left.
                                                      (e) Fig. 9.2.1, right.

                                                      J5. Prove that K3,3 is the unique 4-cage.

                                                      J6. Compare the lower bound p(g) on the order of a g-cage (Theorem 4.2.A) to the actual order of every known g-cage given in the book. Which cages have order equal to p(g)? Which have order greater than p(g)? What does it mean when a g-cage has order > p(g)?

                                                      Homework Set XI (4/15)

                                                      Read for Tues. 4/19: Sects. 8.2 and 8.3. (This is a lot for me to discuss on 4/15. Study carefully and come in Tuesday with many questions.)

                                                      Do for discussion Tues. 4/26:
                                                      Sect. 8.2, ## 3, 4.
                                                      Sect. 8.3, ## 2, 3.
                                                      Sect. 9.1, ## 5, 6, 14.
                                                      ## K1, K3(a).

                                                      Do for discussion Wed. 4/27:
                                                      Sect. 8.3, ## 4, 7.
                                                      ## K2(a,b), K3(b), K4.

                                                      Hand in Fri. 4/29:
                                                      Sect. 9.1, # 15.
                                                      Sect. 8.2, ## 5, 6.
                                                      ## K2(c), K3(c), Aut.9.

                                                      Definitions and Corrections

                                                      • Exercise 8.2.6: Assume G is connected. [My mistake. More interesting if not.]
                                                      • Definition for Exercise 8.3.7: A plane triangulation is a plane graph in which every region is a triangle.

                                                      TEST III will be on Tuesday, May 3.

                                                      Problem Set K

                                                      K1. Prove that cr(P) &ge 2, where P is the Petersen graph.

                                                      K2. (a) Prove that, if p &ge 11, then Kص has no decomposition into two planar graphs.
                                                      (b) Can K8 be decomposed into two planar graphs?
                                                      (c) Prove: if p &ge 17, then Kص cannot be decomposed into three planar graphs.

                                                      K3. Do both (i) and (ii) for
                                                      (a) Fig. 2.3.6.
                                                      (b) Fig. 4.2.4.
                                                      (c) Fig. 1.3.3.

                                                      (ii) Find the crossing number. If you can't calculate it exactly, find out as much as you can about it. For instance, is it = 0 or > 0? Is it = 1? = 2? &ge 2? &ge 3? Can you find any upper bound?

                                                      K4. Write a complete proof of the 6-Color Theorem: Every planar graph can be colored in 6 colors. (Hint: Try induction on the number of vertices.)

                                                      Homework Set XII (5/3, 9)

                                                      Read for Wed. 5/4 and Fri. 5/6: Sects. 8.4, 9.2.

                                                      Do for discussion Mon. 5/9:
                                                      Sect. 8.4, ## 1, 2, 4, 7.
                                                      Sect. 9.2, ## 2, 3.
                                                      ## L2(a), L3(a), L6.

                                                      Do for discussion Tues. 5/10:
                                                      Sect. 8.4, ## 5, 8, 9.
                                                      Sect. 9.2, ## 6, 7.
                                                      ## L5, L8.

                                                      Hand in Wed. 5/11:
                                                      Sect. 8.4, ## 3, 6, 11.
                                                      Sect. 9.2, # 4.
                                                      ## L1, L1', L2(b), L3(b-d), L7, L9.
                                                      Hint for L1': Study the second proof of Theorem 9.1.4.
                                                      NOTE: There are really too many hand-in problems. The more important ones are 9.2.4, L1, L1', L2(b), L3(b), L7.

                                                      Definitions and Corrections

                                                      • Exercise 8.4.9 should read: Find the smallest graph that is planar and regular of degree 3 and has a plane drawing where every edge has the same geometric length.
                                                      • See the announcements page for more.

                                                      Problem Set L

                                                      We define the girth of a forest (such as a tree) to be infinity. Then the girth of a graph is always &ge 3.

                                                      L1.
                                                      (a) Prove Theorem G. If G is a planar graph and has girth &ge g, and if p &ge 3, then q &le [g/(g-2)](p-2).
                                                      (b) [ADDED 5/9] What does this say if g = 3?
                                                      (c) [ADDED 5/9] What does this say if G is bipartite?

                                                      L1'. [ADDED 5/9]
                                                      (a) Prove Theorem CR. If G is a graph (not necessarily planar) and has girth &ge g, and if p &ge 3, then cr(G) &ge q - [g/(g-2)](p-2).
                                                      (b) What does this say if g = 3?
                                                      (c) What does this say if G is bipartite?

                                                      L1'' [ADDED 5/11] (This was proved in class, I think. I did prove the case g = 3 in class on 5/6. Feel free to use this theorem if it helps you.)
                                                      Theorem SPL. If G is a graph (not necessarily planar) and has girth &ge g, and if p &ge 3, then &sigma(G) &ge [(g-2]/g] q - (p-2).

                                                      L2. Use Theorem G to solve:
                                                      (a) Find cr(P), P = Petersen graph.
                                                      (b) Find cr(H), H = Heawood graph (Fig. 4.2.4).

                                                      L3. Use Theorem G to do (a, b, d).
                                                      (a) Prove: A cubic graph with girth g = 6 cannot be planar.
                                                      (b) Prove: A cubic graph with g &ge 6 cannot be planar.
                                                      (c) Can a cubic graph with g = 5 be planar?
                                                      (d) Find a lower bound on cr(G) when G is cubic and has girth 6.

                                                      L4. Prove that cr(K6 - edge) = 2.

                                                      L5. Find &theta(P), where P is the Petersen graph.

                                                      L6. Prove that &theta(Kن) &ge ceiling[(n+2)/6] for all n &ge 1.

                                                      L7. Let c(G) = the number of cycles in the graph G.
                                                      (a) Prove Theorem M: If c(G) < min(c(K5), c(K3,3)), then G is planar. (Hint: Use Kuratowski's theorem.)
                                                      (b) Evaluate the minimum in Theorem M.
                                                      (c) Use (b) to solve Exercise 8.1.3. (If you didn't solve (b), just prove the minimum in (b) is > 3 that should be enough for Exercise 8.1.3.)

                                                      L8. Let H = Heawood graph, Fig. 4.2.4.
                                                      (a) Prove &sigma(H) &ge 2. (Hint: One way is to use Theorem G.)
                                                      (b) We know &sigma(H) &le 3. Decide whether &sigma(H) = 2 or 3.

                                                      L9. Prove &sigma(P) &ge 2, where P = Petersen graph. (Thus &sigma(P) = 2, by Exercise 9.3.4.)

                                                      Homework Set XIII (5/11)

                                                      For Wed.-Fri. 5/11-23: Read Sect. 9.3 (a continuation of splitting number, in the dual graph) and Sect. 10.3, pp. 225-227, pp. 228(bottom)-229, Theorem 10.3.3.

                                                      Do for discussion Wed. 5/11:
                                                      # M1.

                                                      Do for discussion Fri. 5/13:
                                                      Review problems:
                                                      Sect. 9.3, ## 2-5.
                                                      Sect. 10.3, # 1.
                                                      New material (graphs in surfaces):
                                                      Sect. 10.3, ## 7, 9.
                                                      # M2, M3 (at your discretion I tend to prefer M3).

                                                      Terminology

                                                      • "Embedding" a graph is the technical term for drawing it without crossings or any other self-intersection.
                                                      • In Sect. 10.3 they often say "circuit of a rotation". What they mean is a region of an embedding of the graph in a surface. "Rotations" are a technical tool that I will avoid. I'll explain this in class.
                                                      • See the announcements page for the Euler formulas for graphs embedded in multiple tori.
                                                      • Here are pages with diagrams for T1 (the torus) and T2 (the double torus), or both T1 and T2, that you can use for drawing graphs.

                                                      Problem Set M

                                                      Problem M1 is basic. The others are for those who enjoy embedding graphs on surfaces (as I do it's recreational math).

                                                      M1. Try to embed non-planar complete graphs in the torus. Start with K5 (naturally), and if you succeed, try K6 and then K7 and then .

                                                      M2. The same as # M1, for the double torus.
                                                      Use theorems in Section 10.3 to decide where to stop embedding in the double torus.

                                                      M3. Try to embed non-planar complete bipartite graphs in the torus. Start with K3,3 (naturally), and if you succeed, try K3,4 and then K3,5 and K4,4 &ndash and then (we're getting into summer plans here) .
                                                      Use theorems in Section 10.3 to decide where to stop embedding in the torus. Go to homework index | announcements | course information | syllabus.


                                                      THE EQUATION AND GRAPH OF A STRAIGHT LINE

                                                      That is called an equation of the first degree . It is called that because the highest exponent is 1.

                                                      A solution to that equation will be any values of x and y that will make the equation -- that statement -- true.

                                                      To find a solution, simply let x have any value you please. The equation will then determine the value of y .

                                                      For example, if we let x = 0, then

                                                      The pair (0, 6) solves that equation.

                                                      Or, if we choose x = 3, then

                                                      The pair (3, 12) also solves that equation. In fact, when there are two unknowns, x and y , but only one equation that relates them, then there is no limit to the number of solutions.

                                                      Since we typically first choose the value of x , we call x the independent variable . y will be the dependent variable, because its value will depend on the value we have chosen for x .

                                                      Problem 1. Find three solutions to the first degree equation y = x + 5.

                                                      To see the answer, pass your mouse over the colored area.
                                                      To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload").
                                                      Do the problem yourself first!

                                                      Problem 2. Which of the following ordered pairs solve this equation:

                                                      (0, &minus4) and (1, &minus1). Because when x and y have those values, the equation is true.

                                                      The graph of a first degree equation

                                                      Since there are two variables, x and y , then will it be possible, on the x-y plane, to draw a "picture" of all the solutions to that equation?

                                                      First, to find a few solutions, complete this table. That is, calculate the value of y that corresponds to each value of x :

                                                      x y = 2 x + 1
                                                      0 1
                                                      1 3
                                                      2 5
                                                      &minus1 &minus1

                                                      Now plot those ordered pairs as coördinates on the plane:

                                                      We see that all those solutions lie on a straight line. In fact, every pair ( x , y ) that solves that equation will be the coördinates of a point on that line. On that line, every coördinate pair is

                                                      That line, therefore, is called the graph of the equation y = 2 x + 1. And y = 2 x + 1 is called the equation of that line.

                                                      The graph of an equation, in other words, is the graph of its solutions. It is the picture of those values of ( x , y ) that make the equation -- that statement -- true.

                                                      Every first degree equation -- where 1 is the highest exponent -- has as its graph a straight line. (We prove that in Topics in Precalculus .)
                                                      For that reason, an equation of the first degree is called a linear equation.

                                                      a) An equation of the form y = ax + b has what graph?

                                                      A straight line. This is a linear equation.

                                                      b) An equation of the form A x + B y + C = 0 has what graph?

                                                      A straight line. This is a linear equation. The capital letters are a convention for indicating integer coefficients.

                                                      Problem 4. What characterizes a linear equation?

                                                      1 is the highest exponent.

                                                      Problem 5. Which of the following are linear equations?

                                                      a) y = 4 x &minus 5 b) 2 x &minus 3 y + 8 = 0 c) y = x ² &minus 2 x + 1
                                                      d) 3 x + 1 = 0 e) y = 6 x + x 3 f) y = 2

                                                      Problem 6.

                                                      a) Name the coördinates of any three points on the line whose equation is

                                                      (Choose any number for x the equation will then determine the value of y .)

                                                      a) Which of these ordered pairs solves the equation y = 5 x &minus 6 ?

                                                      (You have to test each pair.)

                                                      b) Which of those are points on the graph of y = 5 x &minus 6 ?

                                                      a) (&minus2, &minus3) is on the line whose equation is x + y = 5.

                                                      b) (2, 3) is on the line whose equation is x + y = 5.

                                                      A constant is a symbol whose value does not change. The symbols 2, 5, , are constants.

                                                      The beginning letters of the alphabet a, b, c , are typically used as arbitrary constants , to which numerical values may be assigned while the letters x , y , z , are typically used to denote variables. For example, if we write

                                                      we mean that a , b , c are numbers, and that x and y are variables.

                                                      Problem 9. The arbitrary constants a and b . Each of the following has the form y = ax + b . What number is a and what number is b ?

                                                      a) y = 2 x + 3. a = 2, b = 3. b) y = x &minus 4. a = 1, b = &minus4.
                                                      c) y = &minus x + 1. a = &minus1, b = 1. d) y = 5 x . a = 5, b = 0.
                                                      e) y = &minus2. a = 0, b = &minus2. f) y = &minus4 x &minus 5. a = &minus4, b = &minus5.

                                                      Please make a donation to keep TheMathPage online.
                                                      Even $1 will help.


                                                      مثال

                                                      In the following example, graph-I has two edges 'cd' and 'bd'. Its complement graph-II has four edges.

                                                      Note that the edges in graph-I are not present in graph-II and vice versa. Hence, the combination of both the graphs gives a complete graph of 'n' vertices.

                                                      ملحوظة &minus A combination of two complementary graphs gives a complete graph.

                                                      If 'G' is any simple graph, then

                                                      |E(G)| + |E(' G - ')| = |E(Kن)|, where n = number of vertices in the graph.


                                                      1.6: Graphs of Functions - Mathematics

                                                      If you like this Site about Solving Math Problems, please let Google know by clicking the +1 button. If you like this Page, please click that +1 button, too.

                                                      ملحوظة: If a +1 button is dark blue, you have already +1'd it. Thank you for your support!

                                                      (If you are not logged into your Google account (ex., gMail, Docs), a login window opens when you click on +1 . Logging in registers your "vote" with Google. Thank you!)

                                                      ملحوظة: Not all browsers show the +1 button.

                                                      Home Page

                                                      Site Map

                                                      Search This Site

                                                      Free Math Help

                                                      Math Symbols (all)

                                                      Operations Symbols

                                                      Relation Symbols

                                                      • Proportional To
                                                      • نسبة
                                                      • Equal Sign
                                                      • Not Equal
                                                      • Not Equal to
                                                      • Greater Than
                                                      • Less Than
                                                      • Much Greater Than
                                                      • Much Less Than
                                                      • Greater Than or Equal
                                                      • Less Than or Equal to
                                                      • Approximately Equal
                                                      • Similar To
                                                      • Congruent

                                                      Grouping Symbols

                                                      Set Notation Symbols

                                                      • Set Braces
                                                      • Null Set
                                                      • Element of a Set
                                                      • NOT Element of a Set
                                                      • "Proper" Subset (left) - 1st format
                                                      • NOT Proper Subset (left)
                                                      • "Proper" or "Improper" Subset (left)
                                                      • "Proper" Subset (left) - 2nd format
                                                      • "Proper" Subset (right) - 1st format
                                                      • "Proper" or "Improper" Subset (right)
                                                      • "Proper" Subset (right) - 2nd format
                                                      • UNION of Two Sets
                                                      • INTERSECTION of Two Sets
                                                      • Specialized Set Notations

                                                      Miscellaneous Symbols

                                                      حاسبات

                                                      Math & Numbers

                                                      • Overview of Real Numbers
                                                      • Comparing Two Integers on a Number Line
                                                      • Comparing Two Decimals on a Number Line
                                                      • Comparing Two Fractions on a Number Line
                                                      • Comparing Two Fractions Without Using a Number Line
                                                      • Comparing Two Numbers using Percents
                                                      • Comparing Two Different Units of Measurement
                                                      • Comparing Numbers which have a Margin of Error
                                                      • Comparing Numbers which have Rounding Errors
                                                      • Comparing Numbers from Different Time Periods
                                                      • Comparing Numbers computed with Different Methodologies

                                                      Properties of Numbers

                                                      • Associative Property
                                                      • خاصية التبديل
                                                      • Distributive Property
                                                      • Identity Property
                                                      • Inverse Property
                                                      • Closure & Density Property
                                                      • Equivalence Relationships
                                                      • Equivalence Properties
                                                      • Equivalence Examples
                                                      • Trichotomy Property of Inequality
                                                      • Transitive Property of Inequality
                                                      • Reversal Property of Inequality
                                                      • Additive Property of Inequality
                                                      • Multiplicative Property of Inequality
                                                      • Exponents and Roots Properties of Inequality

                                                      Exponents, Radicals, & Roots

                                                      • Raising numbers to a Power
                                                      • Multiplying Numbers With Exponents
                                                      • Dividing Numbers With Exponents
                                                      • Distributive Property of Exponents
                                                      • Negative Exponents
                                                      • Zero Exponent
                                                      • Exponent Videos & Free Resources
                                                      • Adding & Subtracting Radicals
                                                      • Multiplying Radicals
                                                      • Dividing Radicals
                                                      • Rationalize the Denominator
                                                      • Fractional Exponents & Radicals
                                                      • Simplifying Radicals
                                                      • Calculate Square Root Without Using a Calculator
                                                      • Calculate Roots Using Equations
                                                      • Radical Videos & Free Resources

                                                      Privacy Policy

                                                       Example Problems  -  Geometric      Sequence

                                                       Example Problems  -  Arithmetic      Sequence

                                                       Example Problems  -  Rationalize the      Denominator

                                                       Example Problems  -  Quadratic      Equations

                                                       Example Problems  -  Work Rate      Problems

                                                       Example Problems  -  statistics      

                                                      +1 Solving-Math-Problems

                                                      If you like this Site about Solving Math Problems, please let Google know by clicking the +1 button. If you like this Page, please click that +1 button, too.

                                                      ملحوظة: If a +1 button is dark blue, you have already +1'd it. Thank you for your support!

                                                      (If you are not logged into your Google account (ex., gMail, Docs), a login window opens when you click on +1 . Logging in registers your "vote" with Google. Thank you!)

                                                      ملحوظة: Not all browsers show the +1 button.


                                                      SOLUTION: f(x) and g(x) and (f of g) functions just confuse me. Please help me solve this equation: Given the functions f(x)=2x/x-3 and g(x)=x-2 find a formula, in simplest form, for (f o g


                                                      It means first find the value of g(x), then plug that as the variable into f(x).


                                                      That's the only value given for g(x), in other words there's no x to plug into g(x) to spit out a number. So substitute x-2 into f(x).

                                                      If you need help understanding math so you can solve these problems yourself, then one on one online tutoring is the answer ($30/hr). If you need faster solutions with guaranteed detailed answers, then go with personal problem solving ($3.50-$5.50 per problem). Contact me at [email protected]

                                                      You can put this solution on YOUR website!
                                                      f(x) and g(x) and (f of g) functions just confuse me.
                                                      Please help me solve this equation: Given the functions f(x)=(2x)/(x-3)
                                                      and g(x)=x-2 find a formula, in simplest form, for f०g(x).
                                                      f(x)=2x/(x-3) and g(x)=x-2 find a formula, in simplest form, for (f०g)(x).


                                                      Centimeter Graph Paper, Set Four

                                                      Three styles of the centimeter graph paper are shown in the image below.

                                                      1. Centimeter Graph Paper
                                                      2. Divided Centimeter Graph Paper with mm tic-marks - The centimeter cell is divided and the dividing line, which is at the 5mm mark, has mm hatch marks. The hatch marks are called Tic-Marks in the image
                                                      3. Centimeter Graph Paper with mm lines - Centimeter graph paper that is divided with light gray millimeter lines. This paper has a light gray appearance when printed, see image below.

                                                      Furthermore, each style of centimeter graph paper has one of these features -

                                                      1. No Numbers
                                                      2. Numbered Lines (numbered lines are pictured in the image above)
                                                      3. Numbered Cells

                                                      All styles feature a black line at the 5th centimeter in each direction. Each centimeter graph paper in this group has a 17cm x 24cm grid.


                                                      شاهد الفيديو: Math show. الرسوم البيانية العملية. الصف الثامن (شهر نوفمبر 2021).