مقالات

7.3: رسوم بيانية للدوال المثلثية الأخرى


مهارات التطوير

  • تحليل الرسم البياني لـ (y = tan x ).
  • اختلافات الرسم البياني لـ (y = tan x ).
  • تحليل الرسوم البيانية لـ (y = sec x ) و (y = csc x ).
  • أشكال الرسم البياني لـ (y = sec x ) و (y = csc x ).
  • تحليل الرسم البياني لـ (y = cot x ).
  • أشكال الرسم البياني لـ (y = cot x ).

نعلم أنه يمكن استخدام دالة الظل لإيجاد مسافات ، مثل ارتفاع مبنى أو جبل أو سارية علم. ولكن ماذا لو أردنا قياس التكرارات المتكررة للمسافة؟ تخيل ، على سبيل المثال ، سيارة شرطة متوقفة بجوار مستودع. سوف ينتقل الضوء الدوار من سيارة الشرطة عبر جدار المستودع على فترات منتظمة. إذا كان الإدخال هو الوقت ، فسيكون الناتج هو المسافة التي يقطعها شعاع الضوء. شعاع الضوء يكرر المسافة على فترات منتظمة. يمكن استخدام وظيفة الظل لتقريب هذه المسافة. ستكون هناك حاجة إلى خطوط مقاربة لتوضيح الدورات المتكررة عندما تعمل الحزمة موازية للجدار لأنه ، على ما يبدو ، يمكن أن يبدو شعاع الضوء ممتدًا إلى الأبد. يوضح الرسم البياني لوظيفة الظل بوضوح الفترات المتكررة. في هذا القسم ، سوف نستكشف الرسوم البيانية لدوال المماس والدوال المثلثية الأخرى.

تحليل الرسم البياني لـ (y = tan x )

سنبدأ بمخطط دالة الظل ، ونرسم النقاط كما فعلنا مع دالتي الجيب وجيب التمام. أذكر ذلك

[ tan ، x = dfrac { sin ، x} { cos ، x}. لا يوجد رقم]

فترة دالة الظل هي ( pi ) لأن الرسم البياني يكرر نفسه على فترات زمنية من (ك بي ) حيث (ك ) ثابت. إذا قمنا بالرسم البياني لدالة الظل على (- frac { pi} {2} ) إلى ( frac { pi} {2} ) ، فيمكننا رؤية سلوك الرسم البياني في دورة واحدة كاملة. إذا نظرنا إلى أي فترة زمنية أكبر ، فسنرى أن خصائص الرسم البياني تتكرر.

يمكننا تحديد ما إذا كان الظل دالة فردية أو زوجية باستخدام تعريف الظل.

[ begin {align *} tan (-x) & = dfrac { sin (-x)} { cos (-x)} qquad text {تعريف الظل} & = dfrac { - sin ، x} { cos ، x} qquad text {الجيب دالة فردية ، وجيب التمام زوجي} & = - dfrac { sin ، x} { cos ، x} qquad text {حاصل الدالة الفردية والزوجية هو فردي} & = - tan ، x qquad text {تعريف الظل} end {align *} ]

لذلك ، الظل هو دالة فردية. يمكننا تحليل السلوك الرسومي لوظيفة الظل بشكل أكبر من خلال النظر إلى قيم بعض الزوايا الخاصة ، كما هو موضح في الجدول ( PageIndex {1} ).

جدول ( PageIndex {1} )
(س ) (- dfrac { pi} {2} ) (- dfrac { pi} {3} ) (- dfrac { pi} {4} ) (- dfrac { pi} {6} )0 ( dfrac { pi} {6} ) ( dfrac { pi} {4} ) ( dfrac { pi} {3} ) ( dfrac { pi} {2} )
( تان س )غير معرف (- sqrt {3} )(–1) (- dfrac { sqrt {3}} {3} )0 ( dfrac { sqrt {3}} {3} )1 ( sqrt {3} )غير معرف

ستساعدنا هذه النقاط في رسم التمثيل البياني الخاص بنا ، لكننا نحتاج إلى تحديد سلوك الرسم البياني حيث يكون غير معرّف. إذا نظرنا عن كثب إلى القيم عند ( frac { pi} {3}

جدول ( PageIndex {2} )
(س )1.31.51.551.56
( تان س )3.614.148.192.6

مع اقتراب (x ) من ( dfrac { pi} {2} ) ، تصبح مخرجات الدالة أكبر وأكبر. نظرًا لأن (y = tan ، x ) دالة فردية ، نرى الجدول المقابل للقيم السالبة في Table ( PageIndex {3} ).

جدول ( PageIndex {3} )
(س )−1.3−1.5−1.55−1.56
( تان س )−3.6−14.1−48.1−92.6

يمكننا أن نرى أنه مع اقتراب (x ) من (- frac { pi} {2} ) ، تصبح المخرجات أصغر وأصغر. تذكر أن هناك بعض قيم (س ) التي ( كوس ، س = 0 ). على سبيل المثال ، ( cos left ( frac { pi} {2} right) = 0 ) و ( cos left ( frac {3 pi} {2} right) = 0 ). عند هذه القيم ، تكون وظيفة الظل غير محددة ، لذا فإن الرسم البياني لـ (y = tan ، x ) به انقطاعات عند (x = frac { pi} {2} ) و ( frac {3 pi} {2} ). عند هذه القيم ، يحتوي الرسم البياني للماس على خطوط مقاربة عمودية. يمثل الشكل ( PageIndex {1} ) الرسم البياني لـ (y = tan ، x ). الظل موجب من (0 ) إلى ( frac { pi} {2} ) ومن ( pi ) إلى ( frac {3 pi} {2} ) ، المقابل لـ الأرباع الأول والثالث من دائرة الوحدة.

الشكل ( PageIndex {1} ): رسم بياني لدالة الظل

أشكال الرسوم البيانية لـ (y = tan ، x )

كما هو الحال مع وظائف الجيب وجيب التمام ، فإن دالة الظل يمكن وصفها بمعادلة عامة.

[y = A tan (Bx) nonumber ]

يمكننا تحديد الامتدادات والضغطات الأفقية والرأسية باستخدام قيم (A ) و (B ). يمكن تحديد الامتداد الأفقي عادةً من فترة الرسم البياني. مع الرسوم البيانية المماسية ، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد امتداد رأسي باستخدام نقطة على الرسم البياني.

لأنه لا توجد قيم قصوى أو أدنى لدالة الظل ، المصطلح السعة لا يمكن تفسيره كما هو الحال بالنسبة لوظائف الجيب وجيب التمام. بدلا من ذلك ، سوف نستخدم العبارة عامل التمدد / الضغط عند الإشارة إلى الثابت (أ ).

ميزات الرسم البياني لـ (y = A tan (Bx) )

  • عامل التمدد هو (| A | ).
  • النقطة هي (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  • المجال هو جميع الأرقام الحقيقية (x ) ، حيث (x ≠ dfrac { pi} {2 | B |} + dfrac {π} {| B |} k ) مثل (k ) هو عدد صحيح.
  • النطاق ((- infty، infty) ).
  • تظهر الخطوط المقاربة عند (x = dfrac { pi} {2 | B |} + dfrac {π} {| B |} k ) حيث (k ) عدد صحيح.
  • (y = A tan (Bx) ) دالة فردية.

رسم بياني لفترة واحدة لوظيفة Tangent ممتدة أو مضغوطة

يمكننا استخدام ما نعرفه عن خصائص دالة الظل لرسم رسم بياني سريع لأي دالة ظل ممتدة و / أو مضغوطة من النموذج (f (x) = A tan (Bx) ). نحن نركز على واحد فترة من الوظيفة بما في ذلك الأصل ، لأن الخاصية الدورية تمكننا من تمديد الرسم البياني إلى بقية مجال الوظيفة إذا أردنا. مجالنا المحدود هو الفاصل الزمني ( left (- dfrac {P} {2}، dfrac {P} {2} right) ) والرسم البياني به خطوط مقاربة عمودية عند ( pm dfrac {P } {2} ) حيث (P = dfrac { pi} {B} ). في ( left (- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right) ) ، سيظهر الرسم البياني من الخط المقارب الأيسر عند (x = - dfrac { pi} {2} ) ، عبر الأصل ، واستمر في الزيادة مع اقترابها من الخط المقارب الصحيح عند (x = dfrac { pi} {2} ). لجعل الدالة تقترب من الخطوط المقاربة بالسرعة الصحيحة ، نحتاج أيضًا إلى ضبط المقياس الرأسي عن طريق تقييم الدالة فعليًا لنقطة واحدة على الأقل يمر بها الرسم البياني. على سبيل المثال ، يمكننا استخدام

[f left ( dfrac {P} {4} right) = A tan left (B dfrac {P} {4} right) = A tan left (B dfrac { pi} {4B} right) = A nonumber ]

لأن ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ).

Howto: بالنظر إلى الوظيفة (f (x) = A tan (Bx) ) ، رسم فترة واحدة.

  1. حدد عامل التمدد (| A | ).
  2. حدد ب وحدد النقطة ، (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  3. ارسم خطوطًا مقاربة عمودية عند (x = - dfrac {P} {2} ) و (x = dfrac {P} {2} ).
  4. بالنسبة إلى (A> 0 ) ، يقترب الرسم البياني من الخط المقارب الأيسر عند قيم الإخراج السالبة والخط المقارب الأيمن عند قيم الإخراج الإيجابية (عكس (A <0 )).
  5. ارسم النقاط المرجعية على ( left ( dfrac {P} {4} ، A right) ) ، ((0،0) ) ، و ( left (- dfrac {P} {4} ، −A right) ) ، وارسم الرسم البياني من خلال هذه النقاط.

مثال ( PageIndex {1} ): رسم ظل مضغوط

ارسم رسمًا بيانيًا لدورة واحدة للدالة (y = 0.5 tan left ( dfrac { pi} {2} x right) ).

حل

أولاً ، نحدد (أ ) و (ب ).

الشكل ( PageIndex {2} )

نظرًا لأن (A = 0.5 ) و (B = dfrac { pi} {2} ) ، يمكننا إيجاد عامل التمدد / الضغط والنقطة. النقطة هي ( dfrac { pi} { dfrac { pi} {2}} = 2 ) ، لذلك تكون الخطوط المقاربة عند (x = ± 1 ). في فترة ربع سنة من الأصل ، لدينا

[ begin {align *} f (0.5) & = 0.5 tan left ( dfrac {0.5 pi} {2} right) & = 0.5 tan left ( dfrac { pi} { 4} right) & = 0.5 end {align *} ]

هذا يعني أن المنحنى يجب أن يمر بالنقاط ((0.5،0.5) ) و ((0،0) ) و ((- 0.5، −0.5) ). نقطة الانعطاف الوحيدة هي نقطة الأصل. يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) الرسم البياني لدورة واحدة من الدالة.

الشكل ( PageIndex {3} )

( PageIndex {1} )

ارسم رسمًا بيانيًا لـ (f (x) = 3 tan left ( dfrac { pi} {6} x right) ).

إجابه

الشكل ( PageIndex {4} )

رسم بياني لفترة واحدة من دالة الظل المحولة

الآن يمكننا رسم أ دالة الظل إذا تم تمديده أو ضغطه ، فسنضيف تحولًا رأسيًا و / أو أفقيًا (أو طوريًا). في هذه الحالة ، نضيف (C ) و (D ) إلى الشكل العام لوظيفة الظل.

[f (x) = A tan (Bx − C) + D nonumber ]

يختلف الرسم البياني لوظيفة الظل المحولة عن وظيفة الظل الأساسية ( tan x ) بعدة طرق:

Howto: بالنظر إلى الوظيفة (y = A tan (Bx − C) + D ) ، ارسم الرسم البياني لفترة واحدة.

  1. عبر عن الوظيفة الواردة بالصيغة (y = A tan (Bx − C) + D ).
  2. التعرف على تمتد / ضغط العامل (| A | ).
  3. حدد (B ) وحدد الفترة (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  4. حدد (C ) وحدد تحول الطور ( dfrac {C} {B} ).
  5. ارسم الرسم البياني (y = A tan (Bx) ) مقلوبًا إلى اليمين بمقدار ( dfrac {C} {B} ) وأعلى بمقدار (D ).
  6. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث عند (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  7. ارسم أي ثلاث نقاط مرجعية وارسم الرسم البياني من خلال هذه النقاط.

مثال ( PageIndex {2} ): التمثيل البياني لفترة واحدة لدالة الظل المحولة

ارسم فترة واحدة من الدالة (y = −2 tan ( pi x + pi) −1 ).

حل

  • الخطوة 1. تمت كتابة الوظيفة بالفعل بالصيغة (y = A tan (Bx − C) + D ).
  • الخطوة 2.(A = −2 ) ، لذا فإن عامل التمدد هو (| A | = 2 ).
  • الخطوه 3. (B = pi ) ، لذا فإن النقطة هي (P = dfrac { pi} {| B |} = dfrac { pi} {pi} = 1 ).
  • الخطوة 4. (C = - pi ) ، لذا فإن تحول الطور هو (CB = dfrac {- pi} { pi} = - 1 ).
  • الخطوة 5-7. الخطوط المقاربة موجودة على (x = - dfrac {3} {2} ) و (x = - dfrac {1} {2} ) والنقاط المرجعية الثلاث الموصى بها هي ((- 1.25،1) ) و ((- 1 ، −1) ) و ((- 0.75 ، −3) ). يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {5} ).

الشكل ( PageIndex {5} )

تحليل

لاحظ أن هذه دالة تناقص لأن (A <0 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

كيف سيبدو الرسم البياني في المثال ( PageIndex {2} ) مختلفًا إذا صنعنا (A = 2 ) بدلاً من (- 2 )؟

إجابه

سوف ينعكس عبر السطر (y = −1 ) ، ليصبح دالة متزايدة.

Howto: بالنظر إلى الرسم البياني لدالة الظل ، حدد الامتدادات الأفقية والرأسية.

  1. أوجد النقطة (P ) من التباعد بين الخطوط المقاربة العمودية المتتالية أو x- اعتراضات.
  2. اكتب (f (x) = A tan left ( dfrac { pi} {P} x right) ).
  3. حدد نقطة ملائمة ((x، f (x)) ) على الرسم البياني المعطى واستخدمها لتحديد (A ).

مثال ( PageIndex {3} ): تحديد الرسم البياني لمماس ممتد

ابحث عن صيغة للدالة المرسومة في الشكل ( PageIndex {6} ).

الشكل ( PageIndex {6} ): دالة ظل ممتدة

حل

الرسم البياني له شكل دالة الظل.

  • الخطوة 1. تمتد إحدى الدورات من (- 4 ) إلى (4 ) ، لذا فإن الفترة هي (P = 8 ). منذ (P = dfrac { pi} {| B |} ) ، لدينا (B = dfrac {π} {P} = dfrac { pi} {8} ).
  • الخطوة 2. يجب أن تأخذ المعادلة الشكل (f (x) = A tan left ( dfrac { pi} {8} x right) ).
  • الخطوه 3. لإيجاد الامتداد العمودي (A ) ، يمكننا استخدام النقطة ((2،2) ). [ begin {align *} 2 & = A tan left ( dfrac { pi} {8} cdot 2 right) & = A tan left ( dfrac { pi} {4} يمين) نهاية {محاذاة *} ]

لأن ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ) ، (A = 2 ).

سيكون لهذه الوظيفة صيغة (f (x) = 2 tan left ( dfrac { pi} {8} x right) ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ابحث عن صيغة للدالة في الشكل ( PageIndex {7} ).

الشكل ( PageIndex {7} )

إجابه

(ز (س) = 4 تان (2 س) )

تحليل الرسوم البيانية لـ (y = sec x ) و (y = csc x )

تم تعريف القاطع من خلال الهوية المتبادلة (sec ، x = dfrac {1} { cos x} ). لاحظ أن الوظيفة غير محددة عندما يكون جيب التمام (0 ) ، مما يؤدي إلى خطوط مقاربة عمودية في ( dfrac { pi} {2} ) ، ( dfrac {3 pi} {2} ) إلخ. نظرًا لأن جيب التمام لا يزيد أبدًا عن (1 ) في القيمة المطلقة ، فإن القاطع ، كونه مقلوبًا ، لن يكون أبدًا أقل من (1 ) في القيمة المطلقة.

يمكننا رسم بياني (y = sec x ) بملاحظة الرسم البياني لدالة جيب التمام لأن هاتين الدالتين مقلوبتان لبعضهما البعض. راجع الشكل ( PageIndex {8} ). يظهر الرسم البياني لجيب التمام كموجة برتقالية متقطعة حتى نتمكن من رؤية العلاقة. عندما ينخفض ​​الرسم البياني لوظيفة جيب التمام ، يزداد الرسم البياني لوظيفة القاطع. عندما يزداد الرسم البياني لوظيفة جيب التمام ، ينخفض ​​الرسم البياني لوظيفة القاطع. عندما تكون دالة جيب التمام صفراً ، يكون القاطع غير معرّف.

يحتوي الرسم البياني القاطع على خطوط مقاربة عمودية عند كل قيمة (س ) حيث يتقاطع الرسم البياني لجيب التمام مع (س ) - المحور ؛ نعرضها في الرسم البياني أدناه بخطوط عمودية متقطعة ، لكننا لن نعرض جميع الخطوط المقاربة صراحةً في جميع الرسوم البيانية اللاحقة التي تتضمن القاطع وقاطع التمام.

لاحظ أنه نظرًا لأن جيب التمام دالة زوجية ، فإن القاطع هو أيضًا دالة زوجية. وهذا هو ، ( ثانية (−x) = ثانية س ).

الشكل ( PageIndex {8} ): رسم بياني للدالة القاطعة ، (f (x) = sec x = dfrac {1} { cos x} )

كما فعلنا مع دالة الظل ، سنشير مرة أخرى إلى الثابت (| A | ) كعامل التمدد ، وليس السعة.

ميزات الرسم البياني لـ (y = A sec (Bx) )

  • عامل التمدد هو (| A | ).
  • النقطة هي ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • المجال هو (x ≠ dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  • النطاق هو ((- ∞، - | A |] ∪ [| A |، ∞) ).
  • تظهر الخطوط المقاربة العمودية عند (x = dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  • لا يوجد سعة.
  • (y = A sec (Bx) ) دالة زوجية لأن جيب التمام دالة زوجية.

على غرار القاطع ، فإن ملف قاطع التمام يتم تعريفه من خلال الهوية المتبادلة ( csc x = dfrac {1} { sin x} ). لاحظ أن الوظيفة غير محددة عندما يكون الجيب (0 ) ، مما يؤدي إلى خط مقارب عمودي في الرسم البياني عند (0 ) ، ( pi ) ، وما إلى ذلك نظرًا لأن الجيب لا يزيد أبدًا عن (1) ) بالقيمة المطلقة ، فإن قاطع التمام ، كونه مقلوبًا ، لن يكون أبدًا أقل من (1 ) في القيمة المطلقة.

يمكننا رسم بياني (y = csc x ) بملاحظة الرسم البياني لوظيفة الجيب لأن هاتين الدالتين مقلوبتان لبعضهما البعض. راجع الشكل ( PageIndex {7} ). يظهر الرسم البياني للجيب كموجة برتقالية متقطعة حتى نتمكن من رؤية العلاقة. عندما ينخفض ​​الرسم البياني لوظيفة الجيب ، يزداد الرسم البياني لوظيفة قاطع التمام. حيث يزداد الرسم البياني لوظيفة الجيب ، فإن الرسم البياني لـ دالة قاطع التمام النقصان.

يحتوي الرسم البياني لجيب التمام على خطوط مقاربة عمودية عند كل قيمة (س ) حيث يتقاطع الرسم البياني الجيبي مع (س ) - المحور ؛ نعرضها في الرسم البياني أدناه بخطوط عمودية متقطعة.

لاحظ أنه نظرًا لأن الجيب دالة فردية ، فإن دالة قاطع التمام هي أيضًا دالة فردية. وهذا هو ، ( csc (−x) = - csc x ).

الرسم البياني لقاطع التمام ، الموضح في الشكل ( PageIndex {9} ) ، مشابه للرسم البياني للقاطع.

الشكل ( PageIndex {9} ): الرسم البياني لدالة قاطع التمام ، (f (x) = csc x = frac {1} { sin x} )

أشكال الرسوم البيانية لـ (y = sec x ) و (y = csc x )

بالنسبة للإصدارات المُزاحة و / أو المضغوطة و / أو الممتدة من الدوال القاطعة وقاطع التمام ، يمكننا اتباع طرق مماثلة لتلك التي استخدمناها في الظل والظل. أي أننا نحدد الخطوط المقاربة العمودية ونقيم أيضًا وظائف بضع نقاط (تحديدًا القيم القصوى المحلية). إذا أردنا رسم فترة واحدة فقط ، فيمكننا اختيار الفاصل الزمني لهذه الفترة بأكثر من طريقة. إجراء القاطع مشابه جدًا ، لأن متطابقة الوظيفة المشتركة تعني أن الرسم البياني القاطع هو نفسه الرسم البياني لقاطع التمام الذي انزاح نصف فترة إلى اليسار. يمكن تطبيق الانزياحات الرأسية والطورية على دالة قاطع التمام بنفس الطريقة التي تطبق بها الدوال القاطعة والدوال الأخرى ، وتصبح المعادلات كما يلي.

[y = A sec (Bx − C) + D ]

[y = A csc (Bx − C) + D ]

ميزات الرسم البياني لـ (y = A sec (Bx − C) + D )

  • عامل التمدد هو (| A | ).
  • النقطة هي ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • المجال هو (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  • النطاق هو ((- ∞، - | A |] ∪ [| A |، ∞) ).
  • تظهر الخطوط المقاربة العمودية عند (x = dfrac {C} {B} + dfrac {π} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  • لا يوجد سعة.
  • (y = A sec (Bx) ) دالة زوجية لأن جيب التمام دالة زوجية.

كيف: إعطاء دالة على شكل (y = A sec (Bx) ) ، رسم بيانيًا لفترة واحدة

  1. عبر عن الوظيفة الواردة بالصيغة (y = A sec (Bx) ).
  2. حدد عامل التمدد / الضغط (| A | ).
  3. حدد (B ) وحدد النقطة (P = dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4. ارسم الرسم البياني لـ (y = A cos (Bx) ).
  5. استخدم العلاقة المتبادلة بين (y = cos ، x ) و (y = sec ، x ) لرسم مخطط (y = A sec (Bx) ).
  6. ارسم الخطوط المقاربة.
  7. ارسم أي نقطتين مرجعيتين وارسم الرسم البياني من خلال هذه النقاط.

سؤال وجواب: هل يؤثر التحول الرأسي والتمدد / الضغط على نطاق القاطع؟

نعم. نطاق (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) هو ((-، - | A | + D] ∪ [| A | + D، ∞) ).

Howto: إعطاء دالة على شكل (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) ، رسم بيانيًا لفترة واحدة.

  1. عبر عن الوظيفة الواردة بالصيغة (y = A sec (Bx − C) + D ).
  2. حدد عامل التمدد / الضغط (| A | ).
  3. حدد (B ) وحدد النقطة ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4. حدد (C ) وحدد تحول الطور ( dfrac {C} {B} ).
  5. ارسم الرسم البياني لـ (y = A sec (Bx) ). لكن انقلها إلى اليمين بمقدار ( dfrac {C} {B} ) وأعلى بمقدار (D ).
  6. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث عند (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.

مثال ( PageIndex {5} ): رسم شكل بياني لوظيفة القاطع

رسم بيانيًا لفترة واحدة من (y = 4 sec left ( dfrac { pi} {3x} - dfrac { pi} {2} right) +1 ).

حل

  • الخطوة 1. عبر عن الوظيفة الواردة بالصيغة (y = 4 sec left ( dfrac { pi} {3x} - dfrac { pi} {2} right) +1 ).
  • الخطوة 2. عامل التمدد / الضغط هو (| A | = 4 ).
  • الخطوه 3. الفترة

[ begin {align *} dfrac {2 pi} {| B |} & = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {3}} & = 2 pi cdot dfrac {3} { pi} & = 6 end {align *} ]

  • الخطوة 4. تحول المرحلة

[ begin {align *} dfrac {C} {B} & = dfrac { dfrac { pi} {2}} { dfrac { pi} {3}} & = dfrac { pi} {2} cdot dfrac {3} { pi} & = 1.5 end {align *} ]

  • الخطوة الخامسة. ارسم الرسم البياني (y = A sec (Bx) ) ، لكن انقله إلى اليمين بمقدار ( dfrac {C} {B} = 1.5 ) وأعلى بمقدار (D = 6 ).
  • الخطوة 6. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث في (x = 0 ) ، (x = 3 ) ، و (x = 6 ). يوجد حد أدنى محلي عند ((1.5،5) ) وحد أقصى محلي عند ((4.5، −3) ). يوضح الشكل ( PageIndex {12} ) الرسم البياني.

الشكل ( PageIndex {12} )

تمرين ( PageIndex {5} )

ارسم فترة واحدة من (f (x) = - 6 sec (4x + 2) −8 ).

إجابه

الشكل ( PageIndex {13} )

سؤال وجواب: تم ​​إعطاء مجال ( csc ، x ) ليكون all (x ) بحيث (x ≠ k pi ) لأي عدد صحيح (k ). هل سيكون مجال (y = A csc (Bx − C) + D ) (x ≠ dfrac {C + k pi} {B} )؟

نعم. تتبع النقاط المستبعدة للمجال الخطوط المقاربة العمودية. توضح مواقعها التحول الأفقي والضغط أو التوسع الذي ينطوي عليه التحول إلى مدخلات الوظيفة الأصلية.

Howto: إعطاء دالة على شكل (y = A csc (Bx) ) ، رسم بيانيًا لفترة واحدة.

  1. عبر عن الوظيفة الواردة بالصيغة (y = A csc (Bx) ).
  2. (| أ | ).
  3. حدد (B ) وحدد النقطة (P = dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4. ارسم مخطط (y = A sin (Bx) ).
  5. استخدم العلاقة المتبادلة بين (y = sin ، x ) و (y = csc ، x ) لرسم مخطط (y = A csc (Bx) ).
  6. ارسم الخطوط المقاربة.
  7. ارسم أي نقطتين مرجعيتين وارسم الرسم البياني من خلال هذه النقاط.

مثال ( PageIndex {6} ): رسم شكل بياني لدالة قاطع التمام

ارسم فترة واحدة من (f (x) = - 3 csc (4x) ).

حل

  • الخطوة 1. تمت كتابة الوظيفة المحددة بالفعل في الشكل العام ، (y = A csc (Bx) ).
  • الخطوة 2. (| A | = | −3 | = 3 ) ، لذا فإن عامل التمدد هو (3 ).
  • الخطوه 3. (B = 4 ) ، لذلك (P = dfrac {2 pi} {4} = dfrac { pi} {2} ). الفترة هي ( dfrac { pi} {2} ) وحدات.
  • الخطوة 4. ارسم الرسم البياني للدالة (g (x) = - 3 sin (4x) ).
  • الخطوة الخامسة. استخدم العلاقة المتبادلة بين دالتي الجيب وقاطع التمام لرسم دالة قاطع التمام.
  • الخطوات 6-7. ارسم ثلاثة خطوط مقاربة في (x = 0 ) و (x = dfrac { pi} {4} ) و (x = dfrac { pi} {2} ). يمكننا استخدام نقطتين مرجعيتين ، الحد الأقصى المحلي عند ( left ( dfrac { pi} {8} ، - 3 right) ) والحد الأدنى المحلي عند ( left ( dfrac {3 pi} {8}، 3 right) ). يوضح الشكل ( PageIndex {14} ) الرسم البياني.

الشكل ( PageIndex {14} )

تمرين ( PageIndex {6} )

ارسم فترة واحدة من (f (x) = 0.5 csc (2x) ).

إجابه

الشكل ( PageIndex {15} )

Howto: إعطاء دالة بالشكل (f (x) = A csc (Bx − C) + D ) ، رسم بيانيًا لفترة واحدة

  1. عبر عن الوظيفة الواردة بالصيغة (y = A csc (Bx − C) + D ).
  2. حدد عامل التمدد / الضغط (| A | ).
  3. حدد (B ) وحدد النقطة ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4. حدد (C ) وحدد تحول الطور ( dfrac {C} {B} ).
  5. ارسم الرسم البياني لـ (y = A csc (Bx) ) ولكن انقله إلى اليمين بمقدار (D ).
  6. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث في (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ) ، حيث (k ) عدد صحيح.

مثال ( PageIndex {7} ): رسم قاطع التمام الممدود عموديًا والمضغوط أفقيًا والمزاح عموديًا

ارسم رسمًا بيانيًا لـ (y = 2 csc left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ). ما هو مجال ونطاق هذه الوظيفة؟

حل

  • الخطوة 1. عبر عن الوظيفة الواردة بالصيغة (y = 2 csc left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ).
  • الخطوة 2. حدد عامل التمدد / الضغط ، (| A | = 2 ).
  • الخطوه 3. النقطة هي ( dfrac {2 pi} {| B |} = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {2}} = 2 pi⋅ dfrac {2} { pi} = 4 ).
  • الخطوة 4. تحول المرحلة هو ( dfrac {0} { dfrac { pi} {2}} = 0 ).
  • الخطوة الخامسة. ارسم الرسم البياني لـ (y = A csc (Bx) ) لكن انقله لأعلى (D = 1 ).
  • الخطوة 6. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث في (x = 0 ) ، (x = 2 ) ، (x = 4 ).

يظهر الرسم البياني لهذه الوظيفة في الشكل ( PageIndex {16} ).

الشكل ( PageIndex {16} ): دالة قاطعة التمام المحولة

تحليل

الخطوط المقاربة العمودية الموضحة في الرسم البياني تشير إلى فترة واحدة من الدالة ، وتظهر الحدود القصوى المحلية في هذه الفترة بالنقاط. لاحظ كيف يرتبط الرسم البياني لقاطع التمام المحول بالرسم البياني لـ (f (x) = 2 sin left ( frac { pi} {2} x right) +1 ) ، كما هو موضح كموجة برتقالية متقطعة .

تمرين ( PageIndex {7} )

بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) = 2 cos left ( frac { pi} {2} x right) +1 ) الموضح في الشكل ( PageIndex {17} ) ، ارسم الرسم البياني من (g (x) = 2 sec left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ) على نفس المحاور.

الشكل ( PageIndex {17} )

إجابه

الشكل ( PageIndex {18} )

تحليل الرسم البياني لـ (y = cot x )

آخر دالة مثلثية نحتاج إلى استكشافها هي ظل التمام. يتم تعريف ظل التمام من خلال الهوية المتبادلة (cot ، x = dfrac {1} { tan x} ). لاحظ أن الوظيفة غير محددة عندما تكون دالة الظل (0 ) ، مما يؤدي إلى خط مقارب عمودي في الرسم البياني عند (0 ) ، ( pi ) ، إلخ. نظرًا لأن ناتج وظيفة الظل هو كل شيء الأعداد الحقيقية ، ناتج دالة ظل التمام هو أيضًا جميع الأعداد الحقيقية.

يمكننا رسم بياني (y = cot x ) بملاحظة الرسم البياني لدالة الظل لأن هاتين الدالتين مقلوبتان لبعضهما البعض. راجع الشكل ( PageIndex {19} ). عندما ينخفض ​​الرسم البياني لوظيفة الظل ، يزداد الرسم البياني لدالة ظل التمام. حيث يزداد الرسم البياني لوظيفة الظل ، ينخفض ​​الرسم البياني لدالة ظل التمام.

يحتوي الرسم البياني cotangent على خطوط مقاربة عمودية عند كل قيمة (x ) حيث ( tan x = 0 ) ؛ نعرضها في الرسم البياني أدناه بخطوط متقطعة. نظرًا لأن ظل التمام هو مقلوب الظل ، فإن ( cot x ) له خطوط مقاربة عمودية في جميع قيم (x ) حيث ( tan x = 0 ) و ( cot x = 0 ) في جميع قيم (x ) حيث ( tan x ) لها خطوط مقاربة عمودية.

الشكل ( PageIndex {19} ): دالة ظل التمام

أشكال الرسوم البيانية لـ (y = cot x )

يمكننا تحويل التمثيل البياني لـ cotangent إلى حد كبير بالطريقة نفسها التي فعلناها مع الظل. تصبح المعادلة كالتالي.

[y = A cot (Bx − C) + D ]

خصائص الرسم البياني لـ (y = A cot (Bx-c) + D )

  • عامل التمدد هو (| A | ).
  • النقطة هي ( dfrac { pi} {| B |} )
  • المجال هو (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح.
  • النطاق هو ((- ∞، - | A |] ∪ [| A |، ∞) ).
  • تظهر الخطوط المقاربة العمودية عند (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ) ، حيث (k ) عدد صحيح.
  • لا يوجد سعة.
  • (y = A cot (Bx) ) هي دالة فردية لأنها حاصل قسمة الدوال الزوجية والفردية (جيب التمام والجيب ، على التوالي)

مثال ( PageIndex {8} ): أشكال الرسوم البيانية لدالة ظل التمام

حدد عامل التمدد ، والفترة ، وانزياح الطور لـ (y = 3 cot (4x) ) ، ثم قم برسم رسم بياني.

حل

  • الخطوة 1. التعبير عن الوظيفة بالصيغة (f (x) = A cot (Bx) ) يعطي (f (x) = 3 cot (4x) ).
  • الخطوة 2. عامل التمدد هو (| A | = 3 ).
  • الخطوه 3. الفترة هي (P = dfrac { pi} {4} ).
  • الخطوة 4. ارسم الرسم البياني لـ (y = 3 tan (4x) ).
  • الخطوة الخامسة. ارسم نقطتين مرجعيتين. نقطتان من هذه النقاط هما ( left ( dfrac { pi} {16}، 3 right) ) و ( left ( dfrac {3 pi} {16}، - 3 right) ).
  • الخطوة 6. استخدم العلاقة المتبادلة لرسم (y = 3 cot (4x) ).
  • الخطوة 7. ارسم الخطوط المقاربة ، (x = 0 ) ، (x = dfrac { pi} {4} ).

يظهر الرسم البياني البرتقالي في الشكل ( PageIndex {20} ) (y = 3 tan (4x) ) ويظهر الرسم البياني الأزرق (y = 3 cot (4x) ).

الشكل ( PageIndex {20} )

Howto: إعطاء دالة ظل التمام المعدلة بالشكل (f (x) = A cot (Bx − C) + D ) ، رسم بيانيًا لفترة واحدة.

  1. عبر عن الوظيفة بالصيغة (f (x) = A cot (Bx − C) + D ).
  2. حدد عامل التمدد (| A | ).
  3. حدد الفترة ، (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  4. حدد تحول الطور ، ( dfrac {C} {B} ).
  5. ارسم الرسم البياني (y = A tan (Bx) ) مقلوبًا إلى اليمين بمقدار ( dfrac {C} {B} ) وأعلى بمقدار (D ).
  6. ارسم الخطوط المقاربة (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ) ، حيث (k ) عدد صحيح.
  7. ارسم أي ثلاث نقاط مرجعية وارسم الرسم البياني من خلال هذه النقاط.

مثال ( PageIndex {9} ): رسم ظل ظل معدل

ارسم رسمًا بيانيًا لدورة واحدة للدالة (f (x) = 4 cot left ( dfrac { pi} {8} x− dfrac { pi} {2} right) −2 ).

حل

  • الخطوة 1. تمت كتابة الوظيفة بالفعل في الشكل العام (f (x) = A cot (Bx − C) + D ).
  • الخطوة 2. (A = 4 ) ، لذا فإن عامل التمدد هو (4 ).
  • الخطوه 3. (B = dfrac { pi} {8} ) ، لذا فإن النقطة هي (P = dfrac { pi} {| B |} = dfrac { pi} { dfrac { pi} { 8}} = 8 ).
  • الخطوة 4. (C = dfrac { pi} {2} ) ، لذا فإن تحول المرحلة هو (CB = dfrac { dfrac { pi} {2}} { dfrac { pi} {8}} = 4 ).
  • الخطوة الخامسة. نرسم (f (x) = 4 tan left ( dfrac { pi} {8} x− dfrac { pi} {2} right) −2 ).
  • الخطوة 6-7. ثلاث نقاط يمكننا استخدامها لتوجيه الرسم البياني هي ((6،2) ) ، ((8 ، −2) ) ، و ((10 ، −6) ). نستخدم العلاقة المتبادلة بين الظل والظل لرسم (f (x) = 4 cot left ( dfrac { pi} {8} x− dfrac { pi} {2} right) −2 ).
  • الخطوة 8. الخطوط المقاربة العمودية هي (س = 4 ) و (س = 12 ).

يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {21} ).

الشكل ( PageIndex {21} ): فترة واحدة لدالة ظل التمام المعدلة

استخدام الرسوم البيانية للدوال المثلثية لحل مشاكل العالم الحقيقي

تمثل العديد من سيناريوهات العالم الحقيقي وظائف دورية ويمكن نمذجتها بواسطة الدوال المثلثية. كمثال ، دعنا نعود إلى السيناريو من افتتاحية القسم. هل سبق لك أن لاحظت الشعاع الناتج عن الضوء الدوار في سيارة شرطة وتساءلت عن حركة شعاع الضوء نفسه عبر الحائط؟ إن السلوك الدوري للمسافة التي يضيئها الضوء كدالة للوقت واضح ، ولكن كيف نحدد المسافة؟ يمكننا استخدام دالة الظل.

مثال ( PageIndex {10} ): استخدام الدوال المثلثية لحل سيناريوهات العالم الحقيقي

لنفترض أن الوظيفة (y = 5 tan ( dfrac { pi} {4} t) ) تحدد المسافة في حركة شعاع الضوء من أعلى سيارة شرطة عبر الحائط حيث (t ) هو الوقت بالثواني و (y ) هو المسافة بالأقدام من نقطة على الحائط مقابل سيارة الشرطة مباشرة.

  1. إيجاد وتفسير عامل التمدد والفترة.
  2. رسم بياني على الفاصل ([0،5] ).
  3. قيم (f (1) ) وناقش قيمة الوظيفة عند هذا الإدخال.

حل

  1. نعلم من الشكل العام لـ (y = A tan (Bt) ) أن (| A | ) هو عامل التمدد و ( dfrac { pi} {B} ) هي الفترة.

الشكل ( PageIndex {22} )

نرى أن عامل التمدد هو (5 ). هذا يعني أن شعاع الضوء سوف يتحرك (5 ) قدم بعد نصف الفترة.

النقطة هي ( dfrac { pi} { tfrac { pi} {4}} = dfrac { pi} {1} ⋅ dfrac {4} { pi} = 4 ). هذا يعني أنه في كل (4 ) ثوانٍ ، يكتسح شعاع الضوء الجدار. تزداد المسافة من النقطة المقابلة لسيارة الشرطة مع اقتراب سيارة الشرطة.

  1. لرسم الدالة ، نرسم خطًا مقاربًا في (t = 2 ) ونستخدم عامل التمدد والفترة. راجع الشكل ( PageIndex {23} )

الشكل ( PageIndex {23} )

  1. الدورة: (f (1) = 5 tan ( frac { pi} {4} (1)) = 5 (1) = 5 ) ؛ بعد (1 ) ثانية ، تحرك شعاع (5 ) قدم من النقطة المقابلة لسيارة الشرطة.

المعادلات الرئيسية

تحولت ، مضغوطة ، و / أو دالة ظل ممتدة (y = A tan (Bx − C) + D )
وظيفة قاطعة تم تغييرها و / أو ضغطها و / أو تمديدها (ص = أ ثانية (ب س − ج) + د )
وظيفة قاطعة التمام المنقولة والمضغوطة و / أو الممتدة (y = A csc (Bx − C) + D )
تحولت و / أو مضغوطة و / أو دالة ظل التمام الممتدة (y = A سرير (Bx − C) + D )

المفاهيم الرئيسية

  • دالة الظل لها فترة (π ).
  • (f (x) = A tan (Bx − C) + D ) ظل مع تمدد / ضغط وانضغاط عمودي و / أو أفقي. راجع المثال ( PageIndex {1} ) ، والمثال ( PageIndex {2} ) ، والمثال ( PageIndex {3} ).
  • القاطع وقاطع التمام كلاهما دالات دورية بفترة (2 pi ). (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) يعطي رسمًا بيانيًا لوظيفة قاطعة متغيرة و / أو مضغوطة و / أو ممتدة. راجع المثال ( PageIndex {4} ) والمثال ( PageIndex {5} ).
  • (f (x) = A csc (Bx − C) + D ) يعطي رسمًا بيانيًا لدالة قاطعة التمام المقلوبة والمضغوطة و / أو الممتدة. راجع المثال ( PageIndex {6} ) والمثال ( PageIndex {7} ).
  • تحتوي وظيفة ظل التمام على فترة ( pi ) وخطوط مقاربة عمودية عند (0، ± pi، ± 2 pi ) ، ....
  • نطاق ظل التمام هو ((−∞ ، ∞) ) ، وتتناقص الوظيفة في كل نقطة في نطاقها.
  • ظل ظل التمام هو صفر عند (± dfrac { pi} {2}، ± dfrac {3 pi} {2} ) ، ....
  • (f (x) = A cot (Bx − C) + D ) هو ظل مع تمدد / ضغط وانضغاط عمودي و / أو أفقي. راجع المثال ( PageIndex {8} ) والمثال ( PageIndex {9} ).
  • يمكن حل سيناريوهات العالم الحقيقي باستخدام الرسوم البيانية للدوال المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {10} ).

7.3 دائرة الوحدة

تبحث عن التشويق؟ ثم فكر في الركوب على سنغافورة فلاير ، أطول عجلة فيريس في العالم. تقع عجلة فيريس في سنغافورة ، وترتفع إلى ارتفاع 541 قدمًا - أي أكثر بقليل من عُشر ميل! توصف بأنها عجلة مراقبة ، يتمتع الدراجون بمناظر خلابة أثناء سفرهم من الأرض إلى القمة ثم نزولًا مرة أخرى بنمط متكرر. في هذا القسم ، سنفحص هذا النوع من الحركة الدوارة حول الدائرة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى تحديد نوع الدائرة أولاً ، ثم وضع تلك الدائرة على نظام إحداثيات. ثم يمكننا مناقشة الحركة الدائرية بدلالة أزواج الإحداثيات.

إيجاد الدوال المثلثية باستخدام دائرة الوحدة

لقد حددنا بالفعل الدوال المثلثية من حيث المثلثات القائمة. في هذا القسم ، سنعيد تعريفهم بدلالة دائرة الوحدة. تذكر أن دائرة الوحدة هي دائرة متمركزة في الأصل بنصف قطر 1 ، كما هو موضح في الشكل 2. الزاوية (بالراديان) التي تقاطعها t t تشكل قوسًا بطول s. س . باستخدام الصيغة s = r t ، s = r t ، ومعرفة أن r = 1 ، r = 1 ، نرى ذلك بالنسبة لدائرة الوحدة ، s = t. ق = ر.

ال س- و ص-تقسم المحاور مستوى الإحداثيات إلى أربعة أرباع تسمى الأرباع. قمنا بتسمية هذه الأرباع لتقليد الاتجاه الذي ستجعله الزاوية الموجبة. الأرباع الأربعة هي المسمى الأول والثاني والثالث والرابع.

دائرة الوحدة

تحديد وظائف الجيب وجيب التمام من دائرة الوحدة

وظائف الجيب وجيب التمام

مثال 1

إيجاد قيم دالة الجيب وجيب التمام

حل

جربه # 1

إيجاد جيب وجيب الزوايا على محور

بالنسبة للزوايا الرباعية ، تقع النقطة المقابلة في دائرة الوحدة على س- أو ذ-محور. في هذه الحالة ، يمكننا بسهولة حساب جيب التمام والجيب من قيم x و y. ذ.

مثال 2

حساب الجيب وجيب التمام على طول المحور

حل

يمكننا بعد ذلك استخدام تعريفنا لجيب التمام والجيب.

جربه # 2

أوجد جيب التمام وجيب الزاوية π. π.

هوية فيثاغورس

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا تعريف الجيب وجيب التمام ، سنتعلم كيف يرتبطان ببعضهما البعض وبدائرة الوحدة. تذكر أن معادلة دائرة الوحدة هي x 2 + y 2 = 1. x 2 + y 2 = 1. لأن x = cos tx = cos t و y = sin t و y = sin t ، يمكننا التعويض عن xx و yy to get cos 2 t + sin 2 t = 1. cos 2 t + sin 2 t = 1. This equation, cos 2 t + sin 2 t = 1 , cos 2 t + sin 2 t = 1 , is known as the Pythagorean Identity . See Figure 7.

We can use the Pythagorean Identity to find the cosine of an angle if we know the sine, or vice versa. However, because the equation yields two solutions, we need additional knowledge of the angle to choose the solution with the correct sign. If we know the quadrant where the angle is, we can easily choose the correct solution.

Pythagorean Identity

The Pythagorean Identity states that, for any real number t , t ,

مثال 3

Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine

حل

Substituting the known value for sine into the Pythagorean Identity,

Because the angle is in the second quadrant, we know the x-value is a negative real number, so the cosine is also negative.

Try It #3

Finding Sines and Cosines of Special Angles

We have already learned some properties of the special angles, such as the conversion from radians to degrees, and we found their sines and cosines using right triangles. We can also calculate sines and cosines of the special angles using the Pythagorean Identity.

Finding Sines and Cosines of 45° 45° Angles

From the Pythagorean Theorem we get

We can then substitute y = x . y = x .

Next we combine like terms.

If we then rationalize the denominators, we get

Finding Sines and Cosines of 30° 30° and 60° 60° Angles

Next, we will find the cosine and sine at an angle of 30° , 30° , or π 6 . π 6 . First, we will draw a triangle inside a circle with one side at an angle of 30° , 30° , and another at an angle of −30° , −30° , as shown in Figure 11. If the resulting two right triangles are combined into one large triangle, notice that all three angles of this larger triangle will be 60° , 60° , as shown in Figure 12.

Because all the angles are equal, the sides are also equal. The vertical line has length 2 y , 2 y , and since the sides are all equal, we can also conclude that r = 2 y r = 2 y or y = 1 2 r . y = 1 2 r . Since sin t = y , sin t = y ,

Using the Pythagorean Identity, we can find the cosine value.

From the Pythagorean Theorem, we get

We have now found the cosine and sine values for all of the most commonly encountered angles in the first quadrant of the unit circle. Table 1 summarizes these values.

Figure 14 shows the common angles in the first quadrant of the unit circle.

Using a Calculator to Find Sine and Cosine

To find the cosine and sine of angles other than the special angles, we turn to a computer or calculator. Be aware: Most calculators can be set into “degree” or “radian” mode, which tells the calculator the units for the input value. When we evaluate cos ( 30 ) cos ( 30 ) on our calculator, it will evaluate it as the cosine of 30 degrees if the calculator is in degree mode, or the cosine of 30 radians if the calculator is in radian mode.

Given an angle in radians, use a graphing calculator to find the cosine.

  1. If the calculator has degree mode and radian mode, set it to radian mode.
  2. Press the COS key.
  3. Enter the radian value of the angle and press the close-parentheses key ")".
  4. اضغط دخول.

Example 4

Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine

حل

Enter the following keystrokes:

تحليل

We can find the cosine or sine of an angle in degrees directly on a calculator with degree mode. For calculators or software that use only radian mode, we can find the sine of 20° , 20° , for example, by including the conversion factor to radians as part of the input:

Try It #4

Identifying the Domain and Range of Sine and Cosine Functions

Now that we can find the sine and cosine of an angle, we need to discuss their domains and ranges. What are the domains of the sine and cosine functions? That is, what are the smallest and largest numbers that can be inputs of the functions? Because angles smaller than 0 0 and angles larger than 2 π 2 π can still be graphed on the unit circle and have real values of x , y , x , y , and r , r , there is no lower or upper limit to the angles that can be inputs to the sine and cosine functions. The input to the sine and cosine functions is the rotation from the positive x-axis, and that may be any real number.

What are the ranges of the sine and cosine functions? What are the least and greatest possible values for their output? We can see the answers by examining the unit circle, as shown in Figure 15. The bounds of the x-coordinate are [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] . The bounds of the ذ-coordinate are also [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] . Therefore, the range of both the sine and cosine functions is [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] .

Finding Reference Angles

We have discussed finding the sine and cosine for angles in the first quadrant, but what if our angle is in another quadrant? For any given angle in the first quadrant, there is an angle in the second quadrant with the same sine value. Because the sine value is the ذ-coordinate on the unit circle, the other angle with the same sine will share the same ذ-value, but have the opposite x-القيمة. Therefore, its cosine value will be the opposite of the first angle’s cosine value.

Likewise, there will be an angle in the fourth quadrant with the same cosine as the original angle. The angle with the same cosine will share the same x-value but will have the opposite ذ-القيمة. Therefore, its sine value will be the opposite of the original angle’s sine value.

Recall that an angle’s reference angle is the acute angle, t , t , formed by the terminal side of the angle t t and the horizontal axis. A reference angle is always an angle between 0 0 and 90° , 90° , or 0 0 and π 2 π 2 radians. As we can see from Figure 17, for any angle in quadrants II, III, or IV, there is a reference angle in quadrant I.

  1. An angle in the first quadrant is its own reference angle.
  2. For an angle in the second or third quadrant, the reference angle is | π − t | | π − t | أو | 180° − t | . | 180° − t | .
  3. For an angle in the fourth quadrant, the reference angle is 2 π − t 2 π − t or 360° − t . 360° − t .
  4. If an angle is less than 0 0 or greater than 2 π , 2 π , add or subtract 2 π 2 π as many times as needed to find an equivalent angle between 0 0 and 2 π . 2 π .

Example 5

Finding a Reference Angle

Find the reference angle of 225° 225° as shown in Figure 18.

حل

Find the reference angle of 5 π 3 . 5 π 3 .

Using Reference Angles

Now let’s take a moment to reconsider the Ferris wheel introduced at the beginning of this section. Suppose a rider snaps a photograph while stopped twenty feet above ground level. The rider then rotates three-quarters of the way around the circle. What is the rider’s new elevation? To answer questions such as this one, we need to evaluate the sine or cosine functions at angles that are greater than 90 degrees or at a negative angle. Reference angles make it possible to evaluate trigonometric functions for angles outside the first quadrant. They can also be used to find ( x , y ) ( x , y ) coordinates for those angles. We will use the reference angle of the angle of rotation combined with the quadrant in which the terminal side of the angle lies.

Using Reference Angles to Evaluate Trigonometric Functions

We can find the cosine and sine of any angle in any quadrant if we know the cosine or sine of its reference angle. The absolute values of the cosine and sine of an angle are the same as those of the reference angle. The sign depends on the quadrant of the original angle. The cosine will be positive or negative depending on the sign of the x-values in that quadrant. The sine will be positive or negative depending on the sign of the ذ-values in that quadrant.

Using Reference Angles to Find Cosine and Sine

Angles have cosines and sines with the same absolute value as their reference angles. The sign (positive or negative) can be determined from the quadrant of the angle.

Given an angle in standard position, find the reference angle, and the cosine and sine of the original angle.


7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

page 531:

problems 5, 12, 17, 29, 33

Possible Classroom Examples:

  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • رسم بياني .
  • رسم بياني .
  • رسم بياني .
  • رسم بياني .
  • رسم بياني .

أمثلة

If sin A  =  9/15, find the other trigonometric ratios

sin  θ  =  Opposite side/hypotenuse side

Opposite side  =  9, Hypotenuse side  =  15

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2 + (Adjacent side) 2

cos A  =  Adjacent  side/hypotenuse side   =  12/15

cosec A   =  Hypotenuse side/Opposite side  =  15/9

sec A  =  H ypotenuse side/Adjacent side   =  15/12

If cos A  =  15/17, find the other trigonometric ratios

cos  θ  =  Adjacent side/hypotenuse side

Adjacent side  =  15, Hypotenuse side  =  17

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2  + (Adjacent side) 2

sin A  =  Opposite  side/hypotenuse side   =  8/17

cosec A   =  Hypotenuse side/Opposite side  =  17/8

sec A  =  H ypotenuse side/Adjacent side   =  17/15

If sec  θ   =  17/8, find the other trigonometric ratios

sec  θ  =  Hypotenuse side/Adjacent side

Hypotenuse side  =  17, Adjacent side  =  8

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2  + (Adjacent side) 2

cosec  θ   =  H ypotenuse side/Opposite side   =  17/15

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

Author’s word

These math lessons has been written especially to meet the requirements of higher grade students. I’ve tried my best to present the work in a clear, simple and easy style so that students may not face any difficulty. Each lesson has solved examples and practice problems with answers.

While adding new topics is an ongoing process, efforts has been made to put the concepts in a logical sequence. In spite of my best efforts to make these lessons error free, some typing errors might have gone unnoticed. I shall be grateful to generous fellows if same are brought to my notice.

Worthy suggestions for improvement of these math lessons are always welcome.

  • All Basic Trigonometric functions
  • All Trigonometric Identities and Formulas
  • Applications of Right triangle Trigonometry
  • Co-terminal Angles
  • De Moivre’s Theorem and nth Roots
  • Degree, Radians and their Conversions
  • Evaluating Trigonometric functions
  • Ferris Wheel problems (applications of trigonometric functions)
  • Graphing Sine and Cosine functions(stretching & shrinking)
  • Graphing Sine and Cosine functions ( vertical & Horizontal Translation)
  • Graphs of other Trigonometric functions (tanx , cotx, secx, cscx)
  • Law of Cosines and its Applications
  • Law of Sines and its Applications
  • Reference Angle
  • SOHCAHTOA rule and word problems.
  • Solving Trigonometric equations
  • Verify Trigonometric Identities
  • Applications of exponential functions (Compound interest)
  • Applications of exponential and logarithmic functions (Population and bacteria growth)
  • Applications of exponential functions (Intensity of earthquakes and sound loudness)
  • Domain and Range of log function
  • Exponential and Logarithmic functions
  • Log Functions and their Inverse
  • Logistic Functions and their graphs
  • Simplify Exponential expressions
  • Simplify logarithmic expressions
  • Solving Exponential Equations
  • Solving Logarithmic equations
  • Transforming and Graphing logarithmic functions

Ferris Wheel problems (applications of trigonometric functions)

Ferris Wheel (applications of trigonometric functions)

One of the most common applications of trigonometric functions is, Ferris wheel, since the up and down motion of a rider follows the shape of sine or cosine graph.

Equations used :

Y = aSin(bx-c)+d or

Y = aCos(bx-c)+d

Formula used :

vertical shift d=(max+min)/2

Example1. A Ferris wheel has a diameter of 30 m with its center 18 m above the ground. It makes one complete rotation every 60 seconds. Assuming rider starts at the lowest point, find the trigonometric function for this situation and graph the function.

Amplitude – radius of the wheel makes the amplitude so amplitude(a) = 30/2 =15.

فترة– Wheel complete one rotation in 60 seconds so period is 60 sec. Using period we can find b value as,

Phase shift– There is no phase shift for this cosine function so no c value.

Vertical shift– Centre of wheel is 18m above the ground which makes the mid line, so d= 18.

Lowest point would be 18-15=3m and highest point would be 18+15= 33m above the ground. So the rider will start from 3m and reach to a height of 33 m in half the period (30 sec) and come back to lowest point (3m) again in 60 secs. So its graph would look like this.

As the graph start from lowest point and the pattern is upside down so we put a negative sign in front of cos. Summing up all the parameters above we get trigonometric function as,

Example2. A water wheel on a paddle boat has a radius of 2 m. The wheel rotates every 30 secs and bottom 0.6m of wheel is submerged in water.

  1. Considering the water surface as x axis , determine the cosine equation of the graph starting from a point at the top of wheel.
  2. Graph the height of a point on the wheel relative to the surface of water, starting from highest point.
  3. How long is the point on wheel under water.

Radius of wheel gives the amplitude so a= 2

Since radius is 2 and bottom point is -0.6, mid line will be at 2-0.6 =1.4m

Combining all the above parameters and considering top point as starting point , we get the cosine equation as,

c) To find the time for wheel under water we need to find x intercepts , intersection of cosine function with y=0(water surface) using graphic calculator. We get the intersection points as x=11.2s and x=18.8s So the total time for wheel underwater is 18.8-11.2 = 6 seconds.

Example3. The earliest sunset occurs at 5:34 PM on Dec. 21 and latest at 11:45 PM on June 21.

  1. Write cosine equation of the graph.
  2. Draw the graph approximating the sunrise time during the year.
  3. What is the sunset time on April 6.
  4. The sunset time is earlier than 8PM for what percentage of the year.

First of all we need to convert time from hour/min to decimal hour form. 5PM is equal to 17 hours and 34 min. are equal to 34/60=0.57 so we get 5:34PM equal to 17.57 hrs.

Same way we get 11:45PM equal to 23.75 hrs. because 11PM is equal to 12+11=23hrs and 45 min = 45/60 =0.75hrs.

Using these maximum and minimum values we get amplitude

For these type of problems, period is taken as 365 days. so,


Starting the graph on Jan1, max. value occurs on 21 June so

c = 31+28+31+30+31+21=172 days

d = (23.75+17.57)/2 = 20.66

Combining all above parameters , we get cosine function as,

This equation can also be written as,

considering 21 Dec. as lowest point.

3) To find sunset time on April6, we find what day of year it is.

So we plug in x as 96 into the equation found in part a.

Converting back 21.46 into decimal hour form we get,

So sunset time on April 6 is 9:28PM.

4) Sunset is earlier than 8PM for days 0 to 68 and then again days 276 to 365. So that total number of days are 157 which are 43 % of the year.

Example 4: The following table gives the average recorded monthly temperature throughout the year.

Write the cosine equation for the graph corresponding to the table given above.

Amplitude, a = [22-(-17)]/2 =39/2 = 19.5

Period = 12 months, here months are used instead of days.

Since the maximum temp. occur in the month of July which is the 7 th month so there is a phase shift of 7.

Vertical shift d =[22+(-17)]/2 = 5/2 =2.5

Combining all the parameters above, we get the final equation as,

Where x represents number of months and y represents approximate temperature.

Practice problems:

1) A Ferris wheel with radius 40 ft complete one revolution every 60 seconds. The lowest point of wheel is 5 m above the ground.

  • Draw the graph of the situation, starting with a person getting on the bottom of the wheel at t=0 seconds.
  • Determine an equation representing the path of the person on Ferris wheel.
  • Determine how high the person will be after riding for 40 seconds.
  • When the person first reach 50 ft.

2) The bottom of a windmill is 8m above the ground, and the top is 22m above the ground. The wheel rotates once every 5 seconds.

3)The average temp. for Regina is hottest at 27 on July 28, and coolest at -16 on January 10.

  • Draw the graph and write the cosine equation for the graph.
  • The average temp. is higher than 23 for how many days.

4)The latest sunrise occurs at 9:10 AM on Dec 21. The earliest occurs at 3:43 AM on June 21. Write the cosine equation for the graph.


7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

The next trig function is the tangent, but that's difficult to show on the unit circle. So let's take a closer look at the sine and cosines graphs, keeping in mind that tan(&theta) = الخطيئة(&theta)/كوس(&theta) .

The tangent will be zero wherever its numerator (the sine) is zero. This happens at 0 , &pi , 2&pi , 3&pi , etc, and at &ndash&pi , &ndash2&pi , &ndash3&pi , etc. Let's just consider the region from &ndash&pi to 2&pi , for now. So the tangent will be zero (that is, it will cross the x-axis) at &ndash&pi , 0 , &pi , and 2&pi .

The tangent will be غير معرف wherever its denominator (the cosine) is zero. Thinking back to when you learned about graphing rational functions, a zero in the denominator means you'll have a vertical asymptote. So the tangent will have vertical asymptotes wherever the cosine is zero: at &ndash&pi/2 , &pi/2 , and 3&pi/2 . Let's put dots for the zeroes and dashed vertical lines for the asymptotes:

Now we can use what we know about sine, cosine, and asymptotes to fill in the rest of the tangent's graph: We know that the graph will never touch or cross the vertical asymptotes we know that, between a zero and an asymptote, the graph will either be below the axis (and slide down the asymptote to negative infinity) or else be above the axis (and skinny up the asymptote to positive infinity). Between zero and &pi/2 , sine and cosine are both positive. This means that the tangent, being their quotient, is positive, so the graph slides up the asymptote: Copyright © Elizabeth Stapel 2010-2011 All Rights Reserved

Between &pi/2 and &pi , sine is positive but cosine is negative. These opposite signs mean that the tangent quotient will be negative, so it will come up the asymptote from below, to meet the x -axis at x = &pi :

Since sine and cosine are periodic, then tangent has to be, as well. A quick check of the signs tells us how to fill in the rest of the graph:

  • &ndash&pi to &ndash&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • &ndash&pi/2 to 0 : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative
  • &pi to 3&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • 3&pi/2 to 2&pi : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative

Now we can complete our graph:

The Tangent Graph

As you can see, the tangent has a period of &pi , with each period separated by a vertical asymptote. The concept of "amplitude" doesn't really apply.

For graphing, draw in the zeroes at x = 0 , &pi , 2&pi , etc, and dash in the vertical asymptotes midway between each zero. Then draw in the curve. You can plot a few more points if you like, but you don't generally gain much from doing so.

If you prefer memorizing graphs, then memorize the above. But I always had trouble keeping straight anything much past sine and cosine, so I used the reasoning demonstrated above to figure out the tangent (and the other trig) graphs. As long as you know your sines and cosines very well, you'll be able to figure out everything else.


تكرر

It is the number of times something happens per unit of time.

Example – there is the sine function which is repeated 4 times between 0 and 1 –

Thus, the frequency is 4. The frequency and period are related to each other –
Frequency = 1 / period
Period = 1 / frequency

Example – 3 sin (100 (t + 0.01))

Here the period is 0.02π, thus the frequency will be 1 / 0.02π = 50π.

Thus, now you are clear with all the terms described and explained above, with examples.


Trigonometric functions

This online calculator computes the values of elementary trigonometric functions, such as sin, cos, tg, ctg, sec, cosec for an angle, which can be set in degrees, radians, or grads.

Trigonometric functions are the set of elementary functions that relates the angles of a triangle to the lengths of the sides of the triangle. They're also called circular functions. See picture.

The trigonometric functions are:
الخطيئة — sine
كوس — cosine
tg — tangent
ctg — cotangent
sec — secant
cosec — cosecant
versin — versine (versed sine)
vercos — vercosine (versed cosine)
haversin — haversed sine
exsec — exsecant
excsc — excosecant

To compute these functions, enter the angle value in the Angle field and get the table of results. The angle can be entered in degrees, radians, grads, minutes, or seconds.


Find the points at which f is discontinuous. At which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither? Sketch the graph of f.

First let us check the continuity at the point x  =  -1

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = -1.

Now let us check the continuity at the point x  =  1

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = 1.

To find a t which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither, we have to draw the number line.

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

Find the points at which f is discontinuous. At which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither? Sketch the graph of f.

First let us check the continuity at the point x  =  0

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = 0.

To find at which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither, we have to draw the number line.

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood, " How to Sketch the Graph and Find Continuity of Functions"

Apart from the stuff given in " How to Sketch the Graph and Find Continuity of Functions" ,   if you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


Trigonometric Function and the Unit Circle

The unit circle is often used to define a trigonometric function, like the versine.

A unit circle has a radius of 1, centered at the origin (0, 0) of the Cartesian plane. Many trigonometric functions are defined in terms of the unit circle, including the sine function, cosine function and tangent function. That’s why trig functions are sometimes called “circular” functions.


شاهد الفيديو: ازاحة التمثيلات البيانيه للدوال المثلثيه للصف العاشر المتقدم والحادي عشر العام (شهر نوفمبر 2021).