مقالات

4.2: نظرية القيمة المتوسطة - الرياضيات


أهداف التعلم

  • اشرح معنى نظرية رول.
  • صف أهمية نظرية القيمة المتوسطة.
  • اذكر ثلاث نتائج مهمة لنظرية القيمة المتوسطة.

ال يعني نظرية القيمة هي واحدة من أهم النظريات في التفاضل والتكامل. نلقي نظرة على بعض الآثار المترتبة عليه في نهاية هذا القسم. أولاً ، لنبدأ بحالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة ، تسمى نظرية رول.

نظرية رول

بشكل غير رسمي ، نظرية رول ينص على أنه إذا كانت مخرجات دالة قابلة للتفاضل (f ) متساوية عند نقاط نهاية الفاصل الزمني ، فيجب أن تكون هناك نقطة داخلية (c ) حيث (f '(c) = 0 ). يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) هذه النظرية.

نظرية رول

لنفترض أن (f ) دالة مستمرة على الفاصل الزمني المغلق ([a، b] ) وقابلة للتفاضل عبر الفاصل الزمني المفتوح ((a، b) ) بحيث (f (a) = f (b ) ). يوجد بعد ذلك واحد على الأقل (c∈ (a، b) ) بحيث (f '(c) = 0. )

دليل

لنفترض (k = f (a) = f (b). ) نحن نعتبر ثلاث حالات:

  1. (و (س) = ك ) للجميع (س∈ (أ ، ب). )
  2. يوجد (x∈ (a، b) ) مثل (f (x)> k. )
  3. يوجد (x∈ (a، b) ) مثل (f (x)

حالة 1: إذا (و (س) = 0 ) للجميع (س∈ (أ ، ب) ) ، إذن (و '(س) = 0 ) للجميع (س∈ (أ ، ب). )

الحالة 2: نظرًا لأن (f ) هي دالة مستمرة على الفاصل الزمني المغلق والمحدود ([أ ، ب] ) ، وفقًا لنظرية القيمة القصوى ، فإن لها حدًا أقصى مطلق. أيضًا ، نظرًا لوجود نقطة (x∈ (a، b) ) مثل (f (x)> k ) ، فإن الحد الأقصى المطلق أكبر من (k ). لذلك ، لا يحدث الحد الأقصى المطلق في أي من نقطتي النهاية. نتيجة لذلك ، يجب أن يحدث الحد الأقصى المطلق عند نقطة داخلية (c∈ (a، b) ). لأن (f ) له حد أقصى عند نقطة داخلية (c ) ، و (f ) قابل للتفاضل في (c ) ، بواسطة نظرية فيرمات ، (f '(c) = 0. )

الحالة 3: الحالة عند وجود نقطة (x∈ (a، b) ) بحيث تكون (f (x)

نقطة مهمة حول نظرية رول هي أن تفاضل الوظيفة (f ) أمر بالغ الأهمية. إذا كان (f ) غير قابل للتفاضل ، حتى عند نقطة واحدة ، فقد لا تصمد النتيجة. على سبيل المثال ، الدالة (f (x) = | x | −1 ) مستمرة على ([- 1،1] ) و (f (−1) = 0 = f (1) ) ، ولكن (f '(c) ≠ 0 ) لأي (c∈ (−1،1) ) كما هو موضح في الشكل التالي.

لنفكر الآن في الدوال التي تفي بشروط نظرية رول ونحسب صراحة النقاط c حيث (f '(c) = 0. )

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام نظرية رول

لكل من الوظائف التالية ، تحقق من أن الوظيفة تفي بالمعايير المنصوص عليها في نظرية Rolle وابحث عن جميع القيم (c ) في الفاصل الزمني المحدد حيث (f '(c) = 0. )

  1. (f (x) = x ^ 2 + 2x ) فوق ([- 2،0] )
  2. (f (x) = x ^ 3−4x ) فوق ([- 2،2] )

حل

نظرًا لأن (f ) كثير حدود ، فهو مستمر وقابل للتفاضل في كل مكان. بالإضافة إلى ذلك ، (f (−2) = 0 = f (0). ) لذلك ، (f ) يلبي معايير نظرية رول. نستنتج أن هناك قيمة واحدة على الأقل (c∈ (−2،0) ) بحيث (f '(c) = 0 ). بما أن (f '(x) = 2x + 2 = 2 (x + 1) ، ) نرى أن (f' (c) = 2 (c + 1) = 0 ) يعني (c = −1 ) كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

ب. كما في الجزء أ. (f ) هو كثير حدود ولذلك فهو مستمر وقابل للاشتقاق في كل مكان. أيضًا ، (f (−2) = 0 = f (2). ) ومع ذلك ، فإن (f ) يلبي معايير نظرية رول. بالتفريق نجد أن (f '(x) = 3x ^ 2−4. ) لذلك ، (f' (c) = 0 ) عندما (x = ± frac {2} { sqrt {3 }} ). تقع كلتا النقطتين في الفاصل الزمني ([- 2،2] ) ، وبالتالي ، تحقق كلتا النقطتين نتيجة نظرية رول كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

تمرين ( PageIndex {1} )

تحقق من أن الدالة (f (x) = 2x ^ 2−8x + 6 ) المحددة عبر الفاصل ([1،3] ) تفي بشروط نظرية رول. أوجد جميع النقاط (c ) التي تضمنها نظرية رول.

تلميح

أوجد جميع القيم (c ) ، حيث (f '(c) = 0 ).

إجابه

(ج = 2 )

نظرية القيمة المتوسطة ومعناها

نظرية رول هي حالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة. في نظرية Rolle ، نعتبر الدوال القابلة للتفاضل (f ) التي تساوي صفرًا عند نقاط النهاية. تعمم نظرية القيمة المتوسطة على نظرية رول من خلال النظر في الوظائف التي ليست بالضرورة صفرًا عند نقاط النهاية. وبالتالي ، يمكننا عرض نظرية القيمة المتوسطة كنسخة مائلة من نظرية رول (الشكل ( PageIndex {5} )). تنص نظرية القيمة المتوسطة على أنه إذا كان (f ) مستمرًا خلال الفاصل الزمني المغلق ([a ، b] ) وقابل للتفاضل عبر الفاصل الزمني المفتوح ((a ، b) ) ، إذن توجد نقطة ( ج∈ (أ ، ب) ) بحيث يكون الخط المماس للرسم البياني (f ) في (ج ) موازٍ للخط القاطع الذي يربط ((أ ، و (أ)) ) و ((ب ، و (ب)). )

يعني نظرية القيمة

دع (f ) مستمرًا خلال الفترة المغلقة ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل عبر الفاصل الزمني المفتوح ((أ ، ب) ). ثم توجد نقطة واحدة على الأقل (c∈ (a، b) ) مثل ذلك

[f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} ]

دليل

يأتي الدليل من نظرية رول من خلال تقديم وظيفة مناسبة تفي بمعايير نظرية رول. ضع في اعتبارك الخط الذي يربط ((a، f (a)) ) و ((b، f (b)). ) بما أن ميل هذا الخط هو

[ frac {f (b) −f (a)} {b − a} ]

ويمر الخط بالنقطة ((أ ، و (أ)) ، ) يمكن كتابة معادلة هذا السطر على النحو التالي

[y = frac {f (b) −f (a)} {b − a} (x − a) + f (a). ]

دع (g (x) ) يشير إلى الفرق الرأسي بين النقطة ((x، f (x)) ) والنقطة ((x، y) ) على هذا الخط. لذلك،

[g (x) = f (x) - left [ frac {f (b) −f (a)} {b − a} (x − a) + f (a) right]. ]

نظرًا لأن الرسم البياني (f ) يتقاطع مع الخط القاطع عند (x = a ) و (x = b ) ، فإننا نرى أن (g (a) = 0 = g (b) ). نظرًا لأن (f ) دالة قابلة للتفاضل على ((أ ، ب) ) ، فإن (ز ) هي أيضًا دالة قابلة للتفاضل على ((أ ، ب) ). علاوة على ذلك ، نظرًا لأن (f ) مستمر على ([أ ، ب] ، ، ز ) مستمر أيضًا فوق ([أ ، ب] ). لذلك ، يلبي (ز ) معايير نظرية رول. وبالتالي ، توجد نقطة (c∈ (a، b) ) بحيث (g '(c) = 0. ) منذ

[g '(x) = f' (x) - frac {f (b) −f (a)} {b − a}، ]

نحن نرى ذلك

[g '(c) = f' (c) - frac {f (b) −f (a)} {b − a}. ]

بما أن (g '(c) = 0، ) نستنتج ذلك

[f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. ]

في المثال التالي ، نوضح كيف يمكن تطبيق نظرية القيمة المتوسطة على الوظيفة (f (x) = sqrt {x} ) عبر الفاصل ([0،9] ). الطريقة هي نفسها للوظائف الأخرى ، على الرغم من أنها في بعض الأحيان تكون لها نتائج أكثر إثارة للاهتمام.

مثال ( PageIndex {2} ): التحقق من تطبيق نظرية القيمة المتوسطة

بالنسبة إلى (f (x) = sqrt {x} ) خلال الفاصل ([0،9] ) ، أظهر أن (f ) يفي بفرضية نظرية القيمة المتوسطة ، وبالتالي يوجد على الأقل قيمة واحدة (c∈ (0،9) ) بحيث تكون (f ′ (c) ) مساوية لمنحدر الخط الذي يربط ((0، f (0)) ) و ((9 ، و (9)) ). ابحث عن هذه القيم التي تضمنها نظرية القيمة المتوسطة.

حل

نعلم أن (f (x) = sqrt {x} ) مستمر على ([0،9] ) وقابل للتفاضل على ((0،9). ) لذلك ، يرضي (f ) فرضيات نظرية القيمة المتوسطة ، ويجب أن توجد قيمة واحدة على الأقل (c∈ (0،9) ) بحيث تكون (f ′ (c) ) مساوية لمنحدر الخط الذي يربط (( 0، f (0)) ) و ((9، f (9)) ) (الشكل). لتحديد قيمة (قيم) (c ) المضمونة ، قم أولاً بحساب مشتق (f ). المشتق (f ′ (x) = frac {1} {(2 sqrt {x})} ). يتم إعطاء ميل الخط الذي يربط ((0، f (0)) ) و ((9، f (9)) ) بواسطة

[ frac {f (9) −f (0)} {9−0} = frac { sqrt {9} - sqrt {0}} {9−0} = frac {3} {9} = frac {1} {3}. لا يوجد رقم]

نريد إيجاد (c ) مثل (f ′ (c) = frac {1} {3} ). أي أننا نريد أن نجد (ج ) مثل ذلك

[ frac {1} {2 sqrt {c}} = frac {1} {3}. لا يوجد رقم]

حل هذه المعادلة لـ (c ) نحصل على (c = frac {9} {4} ). عند هذه النقطة ، يساوي ميل خط المماس ميل الخط الذي يربط بين نقطتي النهاية.

أحد التطبيقات التي تساعد في توضيح نظرية القيمة المتوسطة يتضمن السرعة. على سبيل المثال ، لنفترض أننا قدنا سيارة لمدة ساعة واحدة على طريق مستقيم بمتوسط ​​سرعة 45 ميل في الساعة. دع (s (t) ) و (v (t) ) تدل على موضع السيارة وسرعتها ، على التوالي ، من أجل (0≤t≤1 ) h. بافتراض أن وظيفة الموضع (s (t) ) قابلة للتفاضل ، يمكننا تطبيق نظرية القيمة المتوسطة لاستنتاج أنه في وقت ما (c∈ (0،1) ) ، كانت سرعة السيارة بالضبط

[v (c) = s ′ (c) = frac {s (1) −s (0)} {1−0} = 45 ، ميل في الساعة. لا يوجد رقم]

مثال ( PageIndex {3} ): نظرية القيمة المتوسطة والسرعة

إذا تم إسقاط صخرة من ارتفاع 100 قدم ، فإن موضعها (t ) بعد ثوانٍ من سقوطها حتى تصل إلى الأرض يتم تحديدها من خلال الوظيفة (s (t) = - 16t ^ 2 + 100. )

  1. حدد المدة التي تستغرقها الصخرة قبل أن تصطدم بالأرض.
  2. أوجد السرعة المتوسطة (v_ {avg} ) للصخرة عندما تنطلق الصخرة وتصطدم الصخرة بالأرض.
  3. أوجد الوقت (t ) الذي تضمنه نظرية القيمة المتوسطة عندما تكون السرعة اللحظية للصخرة (v_ {avg}. )

حل

أ. عندما تضرب الصخرة الأرض ، يكون موضعها (s (t) = 0 ). حل المعادلة (- 16t ^ 2 + 100 = 0 ) من أجل (t ) نجد ذلك (t = ± frac {5} {2} sec ). نظرًا لأننا نفكر فقط في (t≥0 ) ، ستصطدم الكرة بالأرض ( frac {5} {2} ) ثانية بعد إسقاطها.

ب. يتم إعطاء متوسط ​​السرعة بواسطة

[v_ {avg} = frac {s (5/2) −s (0)} {5 / 2−0} = frac {1−100} {5/2} = - 40 ، text { قدم / ثانية}. لا يوجد رقم]

ج. يتم الحصول على السرعة اللحظية من خلال مشتق دالة الموضع. لذلك ، نحتاج إلى إيجاد وقت (t ) بحيث (v (t) = s ′ (t) = v_ {avg} = - 40 ) قدم / ثانية. نظرًا لأن (s (t) ) مستمر على الفاصل ([0،5 / 2] ) وقابل للتفاضل عبر الفاصل ((0،5 / 2) ، ) بواسطة نظرية القيمة المتوسطة ، فهناك مضمونة لتكون نقطة (c∈ (0.5 / 2) ) مثل ذلك

[s ′ (c) = frac {s (5/2) −s (0)} {5 / 2−0} = - 40. لا يوجد رقم]

بأخذ مشتق دالة الموضع (s (t) ) ، نجد أن (s ′ (t) = - 32t. ) لذلك ، تقل المعادلة إلى (s ′ (c) = - 32c = - 40. ) حل هذه المعادلة لـ (c ) لدينا (c = frac {5} {4} ). لذلك ، بعد ثانية من سقوط الصخرة ( frac {5} {4} ) ، فإن السرعة اللحظية تساوي متوسط ​​سرعة الصخرة أثناء سقوطها الحر: (- 40 ) قدم / ثانية.

تمرين ( PageIndex {2} )

لنفترض أن كرة قد سقطت من ارتفاع 200 قدم. موقعها في الوقت (t ) هو (s (t) = - 16t ^ 2 + 200. ) أوجد الوقت (t ) عندما تكون السرعة اللحظية للكرة يساوي متوسط ​​سرعتها.

تلميح

أولاً ، حدد المدة التي تستغرقها الكرة لتصل إلى الأرض. ثم أوجد السرعة المتوسطة للكرة من وقت سقوطها حتى اصطدامها بالأرض.

إجابه

( frac {5} {2 sqrt {2}} ) ثانية

النتائج الطبيعية لنظرية القيمة المتوسطة

دعونا الآن نلقي نظرة على ثلاث نتائج طبيعية لنظرية القيمة المتوسطة. هذه النتائج لها نتائج مهمة سنستخدمها في الأقسام القادمة.

عند هذه النقطة ، نعلم أن مشتقة أي دالة ثابتة هي صفر. تسمح لنا نظرية القيمة المتوسطة باستنتاج أن العكس صحيح أيضًا. على وجه الخصوص ، إذا (f ′ (x) = 0 ) للجميع (x ) في بعض الفواصل (I ) ، فإن (f (x) ) ثابت خلال تلك الفترة. قد تبدو هذه النتيجة واضحة بشكل حدسي ، لكن لها آثار مهمة غير واضحة ، ونحن نناقشها قريبًا.

النتيجة الطبيعية 1: وظائف ذات مشتق من الصفر

لنفترض أن (f ) قابلاً للتفاضل خلال فترة (I ). إذا (f ′ (x) = 0 ) للجميع (x∈I ) ، إذن (f (x) = ) ثابت للجميع (x∈I. )

دليل

نظرًا لأن (f ) قابل للتفاضل على (I ) ، يجب أن يكون (f ) مستمرًا على (I ). افترض أن (f (x) ) ليس ثابتًا لكل (x ) في (I ). ثم يوجد (a، b∈I ) ، حيث (a ≠ b ) و (f (a) ≠ f (b). ) اختر التدوين بحيث (a

[ frac {f (b) −f (a)} {b − a} ≠ 0. لا يوجد رقم]

نظرًا لأن (f ) دالة قابلة للتفاضل ، من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، يوجد (c∈ (a ، b) ) مثل

[f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. لا يوجد رقم]

لذلك ، يوجد (c∈I ) مثل (f ′ (c) ≠ 0 ) ، وهو ما يتعارض مع الافتراض بأن (f ′ (x) = 0 ) للجميع (x∈I ) .

من الملاحظة ، يترتب على ذلك أنه إذا كانت هناك وظيفتان لهما نفس المشتق ، فإنهما يختلفان عن طريق ثابت على الأكثر.

النتيجة الطبيعية 2: نظرية الفروق الثابتة

إذا كان (f ) و (g ) قابلين للتفاضل على فاصل زمني (I ) و (f ′ (x) = g ′ (x) ) للجميع (x∈I ) ، إذن (f (x) = g (x) + C ) لبعض الثوابت (C ).

دليل

دع (ح (س) = و (س) ج (س). ) ثم ، (ح ′ (س) = و ′ (س) − ز ′ (س) = 0 ) للجميع (س) ∈I. ) بالنتيجة الطبيعية 1 ، يوجد ثابت (C ) بحيث (h (x) = C ) للجميع (x∈I ). لذلك ، (f (x) = g (x) + C ) للجميع (x∈I. )

النتيجة الطبيعية الثالثة لنظرية القيمة المتوسطة تناقش متى تتزايد الدالة ومتى تتناقص. تذكر أن دالة (f ) تتزايد أكثر من (I ) إذا (f (x_1) f (x_2) ) كلما (x_1

هذه الحقيقة مهمة لأنها تعني أنه بالنسبة لوظيفة معينة (f ) ، إذا كانت هناك وظيفة (F ) مثل (F ′ (x) = f (x) ) ؛ إذن ، الوظائف الأخرى الوحيدة التي لها مشتق يساوي (f ) هي (F (x) + C ) لبعض الثوابت (C ). نناقش هذه النتيجة بمزيد من التفصيل لاحقًا في الفصل.

النتيجة الطبيعية 3: زيادة الوظائف وتقليلها

دع (f ) مستمرًا خلال الفترة المغلقة ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل عبر الفاصل الزمني المفتوح ((أ ، ب) ).

  1. إذا كان (f ′ (x)> 0 ) لكل (x∈ (a، b) ) ، إذن (f ) هي دالة متزايدة على ([a، b]. )
  2. إذا كان (f ′ (x) <0 ) لجميع (x∈ (أ ، ب) ) ، فإن (f ) هي دالة متناقصة على ([أ ، ب]. )

دليل

سوف نثبت أنا ؛ إثبات الثاني. يشابه. افترض أن (f ) ليس دالة متزايدة في (I ). ثم يوجد (أ ) و (ب ) في (أنا ) مثل (أ <ب ) ، ولكن (و (أ) ≥ و (ب) ). نظرًا لأن (f ) دالة قابلة للتفاضل على (I ) ، من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، يوجد (c∈ (a ، b) ) مثل

[f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. لا يوجد رقم]

منذ (f (a) ≥f (b) ) ، نعلم أن (f (b) −f (a) ≤0 ). أيضًا ، يخبرنا (a 0. ) نستنتج ذلك

[f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} ≤0. لا يوجد رقم]

ومع ذلك ، (f ′ (x)> 0 ) لجميع (x∈I ). هذا تناقض ، وبالتالي يجب أن تكون (f ) دالة متزايدة على (I ).

المفاهيم الرئيسية

  • إذا كان (f ) مستمرًا على ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل على ((أ ، ب) ) و (و (أ) = 0 = و (ب) ) ، إذًا يوجد نقطة (c∈ (a، b) ) بحيث (f ′ (c) = 0. ) هذه هي نظرية رول.
  • إذا كان (f ) مستمرًا على ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل على ((أ ، ب) ) ، فهناك نقطة (ج∈ (أ ، ب) ) مثل [f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. nonumber ] هذه هي نظرية القيمة المتوسطة.
  • إذا كان (f '(x) = 0 ) خلال فترة زمنية (I ) ، فإن (f ) ثابت على (I ).
  • إذا كانت وظيفتان قابلتان للتفاضل (f ) و (g ) تفيان (f ′ (x) = g ′ (x) ) على (I ) ، إذن (f (x) = g (x) + C ) لبعض الثوابت (C ).
  • إذا كان (f ′ (x)> 0 ) خلال فترة زمنية (I ) ، فإن (f ) يتزايد أكثر من (I ). إذا (f ′ (x) <0 ) فوق (I ) ، فإن (f ) يتناقص أكثر من (I ).

قائمة المصطلحات

يعني نظرية القيمة

إذا كان (f ) مستمرًا على ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل على ((أ ، ب) ) ، إذن يوجد (ج∈ (أ ، ب) ) مثل (و ′ (ج) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} )

نظرية رول
إذا كان (f ) مستمرًا على ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل على ((أ ، ب) ) ، وإذا كان (و (أ) = و (ب) ) ، فإنه يوجد (c∈ (a، b) ) بحيث (f ′ (c) = 0 )

4.2 نظرية القيمة المتوسطة

تؤكد نظرية القيمة المتوسطة أنه إذا كان $ f $ مستمرًا على $ [a، b] $ وقابل للتفاضل على $ (a، b) $ ، فإنه يوجد على الأقل $ c in (a، b) $ مثل هذا $ > دولار. يمكننا إعادة صياغة الاستنتاج برسوم بيانية على النحو التالي. يجب أن يكون هناك خط مماس للرسم البياني لـ $ f $ والذي يوازي القاطع عبر $ (a، f (a)) $ و $ (b، f (b)) $ مع نقطة التماس بين $ (a) ، (f (a)) $ and $ (b، f (b)) $. على نحو مكافئ ، إذا قمنا عند كل $ c in (a، b) $ ببناء السطر من خلال $ (c، f (c)) $ بالتوازي مع القاطع عبر $ (a، f (a)) $ و $ (b، f (b)) $ ، إذًا يجب أن يكون أحد هذه الأسطر على الأقل مماسًا للرسم البياني لـ $ f $ عند $ (c، f (ج)) $.

يتيح لك تفاعل Sage في هذه الصفحة إدخال تعبير لـ $ f (x) $ وقيم عددية لـ $ a $ و $ b $. يرسم $ f (x) $ على الفاصل الزمني $ [a، b] $ (في الواقع فاصل زمني أكبر قليلاً) والقاطع خلال $ (a، f (a)) $ و $ (b، f (b)) $ . التفاعل يرسم أيضًا خطًا موازيًا لهذا القاطع عبر نقطة $ (c، f (c)) $ حيث يمكنك التحكم في $ c $ باستخدام شريط التمرير $ r $. (تحدد قيمة $ r $ جزء المسافة من $ a $ إلى $ b $ للانتقال من $ a $ [إلى اليمين] للوصول إلى $ c $.) إذا كان $ f $ و $ a $ و $ يستوفي b $ فرضيات نظرية القيمة المتوسطة ، ثم يجب أن يكون هناك موضع منزلق واحد على الأقل يولد مماسًا للرسم البياني لـ $ f $. إذا كنت تدرك حتمية النجاح (ضمن حدود نموذجنا الرقمي) ، فلديك فهم بديهي لنظرية القيمة المتوسطة.


4'2 نظرية القيمة المتوسطة - عرض بوربوينت PPT

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مصدر رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للبحث عن أمثلة على عروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمه لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح ذات الترتيب الأعلى بشكل عام. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


82.6 ملخص

في هذه الوحدة ، تم إثبات نظريات القيمة في التفاضل. في القسم 12.2 ، تم إثبات نظرية رول ، النظرية الأساسية للتحليل الحقيقي. وفقًا لهذه النظرية: إذا كانت f: [a، b] -PR دالة ، متصلة في [a ، bj ، مشتقة في] a ، b [md f (a) = f (b) ، إذن هناك واحدة على الأقل النقطة ج] أ ، ب [مثل أن f '(c) = 0.' تم أيضًا إعطاء الأهمية الهندسية للنظرية. هندسيًا ، على الرسم البياني لـ fu lction f ، توجد نقطة واحدة على الأقل بين نقطتي النهاية ، حيث يكون المماس متوازيًا مع المحور x. باستخدام نظرية رول ، تم إثبات نظرية القيمة المتوسطة لاجرانج في القسم 12.3. تنص على أنه إذا كانت الدالة f: [a، b] - + R متصلة في [a، h] وقابلة للاشتقاق في] a ، b [، هناك

هي على الأقل نقطة واحدة ج في] أ ، ب [على هذا النحو - و (ب) - و (أ) = و '(ج). النتيجة غير المناسبة للنظرية b - a هي أن iff مستمر على [a، b] وقابل للاشتقاق في] a ، b [مع ft (x) = 0 on] a ، b [، إذن f دالة ثابتة في [ أ ، ب]. استنتاج مهم آخر من نظرية - ، هو أن iff مستمر في [a ، b] ومشتق في] a ، b [ثم (i) f يتزايد أو يتناقص في [a ، b] وفقًا لـ fl (.x) 2 0 ، 'dx

] a ، b [(ii) f يتزايد بشكل صارم أو يتناقص بشكل صارم في [a، b] وفقًا لـ f '(x) & ampgt 0 ،' d x € la ، b [أو f '(x).: 0، V x

] أ ، ب [. بتطبيق هذه النتائج ، تم إنشاء بعض التفاوتات في التحليل الحقيقي ، بمساعدة نظرية Rolle ، تم إثبات نظرية كوشي في القسم 12.4. تنص على أنه إذا كانت f و g وظيفتين ، فإنهما ، تيوم [a ، b] إلى R بحيث تكون متصلة في [a ، b] ، مشتقة في] a ، b [و g '(x) + 0 ، V x

] أ ، ب [، ثم يوجد على الأقل

نقطة واحدة ج في] أ ، ب [على هذا النحو

و (ب) - و (أ) = - فل (ج). نظرية القيمة المتوسطة لاجرانج هي g (b) - g (a) g '(c) حالة معينة من نظرية القيمة المتوسطة لـ Cauchy إذا اخترنا fhnction g كـ g (x) = x' d x

[أ ، ب]. يتم إعطاء نظرية أكثر عمومية ، تُعرف باسم نظرية القيمة المتوسطة المعممة في القسم 12.5. لقد رأيت أنه تم تأسيسه أيضًا بمساعدة Rolle's ، Theorem. وفقًا لهذه النظرية ، iff ، g ، 11 تكون ثلاث وظائف من [a، h] إلى R بحيث تكون متصلة في 1٪ b] مشتقة في] a ، b [، ثم توجد عند نقطة التسرب ce] a ، b [ مثل ذلك

$ (x) = (b - a) f (x) - (b - x) f (a) - (x - a) f (b) - (b - a) (x T a) (x - b ) أ حيث يتم تحديد الثابت أ بحيث + (ج) = 0. - هذا يعني (ب - أ) و (ج) - (ل - ج) و (أ) - (ج - أ) و (ب) ) - (ب - أ) (ج - أ) (ج - ب) أ = 0. (2) يُعطى أن f & ampquot مستمر على [a ، b] مما يعني أن f ، f '، f & ampquot متصلة على [ أ ، بل. + (أ) = + (ب) = 0 و 4 قابلة للاشتقاق في [أ ، ب]. لذا جلس C # J sfs جميع شروط نظرية رول في كل من الفترات [أ ، ج] و [ج ، ب] وهكذا يوجد رقمان CI ، c2 على التوالي في] أ ، ج [و] ج ، ب [مثل أن # (كر) = 0 و ج #

'(cz) = 0. مرة أخرى @ (x) = (b - a) fP (x) f (a) - f (b) - (b - a) [2x - (a + b)] J $ وهو مستمر وقابل للاشتقاق في [أ ، ب] وعلى وجه الخصوص في [ج ، ج 2]. أيضا

'(cI) = (b' (c2) = 0. بواسطة نظرية Rolle ، L3 d E] c ،، c2 [مثل أن r #) & ampquot (d) = 0 Now @ '(x) = (b - a) fJ '(x) - (b - a). 2A 1 f (d) = (b - a) f & ampquot (d) - (b - a) 2A = 0 == s- A = -. f & ampquot (d) 2 (3) حيث a & ampquot cl & ampquot d & amplt cz & amp ؛ أمبير ؛ ب والنتيجة التالية من (2) و (3).

هـ 6) هنا f (x) = cos X، x € [O، n / 2]. f مستمر في [O، n / 2] وقابل للاشتقاق في 10، n / 2 [.

من خلال نظرية القيمة المتوسطة لاجرانج ، يوجد pt، c في 10، .rr / 2 [مثل ذلك

2 ie sin c = - n- 2 ie، c = sin- '- E 10، n / 2 [. 7T E 7). هنا f (x) = x '- 3x 2 + 2x لذلك f' (x) = 3x 2-6x + 2

دع q يحل المعادلة ff (c) = f (b) - f (n) - - f (3) - f (O) b-a 3-0

- ، & ampgt نظرًا لأن 0 لا يقع في 10 ، 3 [، تم رفض قيمة c هذه. إذن ، القيمة المطلوبة لـ c التي تقع في 10 ، 3 [هي c = 2.

هـ 8) طبق نظرية لاغرانج للقيمة المتوسطة على الدالة f ، معطاة من خلال f (x) = ax 2 + bx + d3 'E [m، n]. سوف تحصل على c E In ، n [مرضية

f '(c) = f (n) - f (m) (افترض: n & ampgt rn) n-m (an 2 i- bn + d) - (an 2 + bm + d)

  • 2ac i- b = n-m = a (n + m) S b m + n
  • ج =

مما يعني أنه عند x = nl - + n 2 ، يكون الظل للمنحنى المحدد هو لوحة

الوتر الذي ينضم إلى النقاط التي تكون حدودها x = m و x n.

هـ 9) تحديد وظيفة. 4 ، عن طريق تحديد .42 $ (x) = f (a i- hx) + f (a - hx) Y x E [0، I].

نظرًا لأن x يختلف خلال [0 ، 11 ، فإن a - hx يختلف خلال [a - h، a] ويتغير t hx. [a، a t h]. أنا إذن ، Q ، متصلة في [0 ، 11 ومشتقة في 10 ، أنا [. من خلال نظرية القيمة المتوسطة لاجرانج 3 8 (0 & amp ؛ 8 & amp ؛ 1)

هـ 10) ط) ضع في اعتبارك F (x) = tan- 'x - (x - x 3/3)، x 1 0. 1 x 4 F' (x) = --- - (1 - x2) = - I + x2 1 تكساس 2

3. أي tan- 'x & ampgt x - x3 / 3 لـ x & ampgt 0.

ب) ضع في اعتبارك F (x) = e- & ampquot (1 - x) لـ x 1 0 وتابع كما في (i). هـ 11) تفي الدوال المعطاة بفرضية قيمة كوشي المتوسطة للقيمة. -:. '3 .. 8 E] - .rr / 2 ، O [مثل هذا

التي تقع بوضوح في 1-7r / 2،0 [.

. وهكذا 2c = a -I b G = (a t b) / 2. مما يعني أن c هو المتوسط ​​الحسابي لـ a & ampamp b. 'E 13) نجد ج من

الذي يعطي c = 6 6 = a q- & ampquot وهكذا c هو المتوسط ​​الهندسي لـ a و b ، - E 14) نجد c من


4.1 قانون الأعداد الكبيرة الضعيف

4.1.1 نظرية في اللغة الإنجليزية البسيطة

افترض أن لدينا متغير عشوائي (X ). من (X ) ، يمكننا إنشاء تسلسل من المتغيرات العشوائية (X_1، X_2. X_n ) المستقلة والمتشابهة الموزعة (i.i.d.) مستخلصات (X ). بافتراض أن (n ) محدود ، يمكننا إجراء حسابات على هذا التسلسل من الأرقام العشوائية. على سبيل المثال ، يمكننا حساب متوسط ​​التسلسل ( bar_n = فارك <1> مجموع ^ n_X_i ). هذه القيمة هي متوسط ​​العينة - من مجموعة سكانية أوسع بكثير ، قمنا برسم تسلسل محدود من الملاحظات ، وحساب المتوسط ​​عبرها. كيف نعرف أن هذه المعلمة النموذجية ذات مغزى فيما يتعلق بالسكان ، وبالتالي يمكننا أن نستنتج منها؟

تنص WLLN على أن متوسط ​​تسلسل i.i.d. المتغيرات العشوائية تتقارب في الاحتمالية مع القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي حيث أن طول ذلك التسلسل يميل إلى اللانهاية. من خلال "التقارب في الاحتمال" ، فإننا نعني أن احتمال أن يكون الفرق بين متوسط ​​العينة والقيمة المتوقعة للمتغير العشوائي يميل إلى الصفر.

باختصار ، يضمن WLLN أنه مع وجود حجم عينة كبير بما يكفي ، يجب أن يتطابق متوسط ​​العينة تقريبًا مع معلمة السكان الحقيقية. من الواضح أن هذه نظرية قوية لأي تمرين إحصائي: نظرًا لأننا (دائمًا) مقيدون بعينة محدودة ، يضمن WLLN أنه يمكننا الاستدلال من البيانات على شيء ذي معنى عن السكان. على سبيل المثال ، من عينة كبيرة بما يكفي من الناخبين يمكننا تقدير متوسط ​​الدعم لمرشح أو حزب.

بشكل أكثر رسمية ، يمكننا ذكر WLLN على النحو التالي:

حيث ( xrightarrow

) يدل على "التقارب في الاحتمال".

4.1.2 إثبات

لإثبات WLLN ، نستخدم عدم المساواة Chebyshev (CI). وبشكل أكثر تحديدًا ، يتعين علينا أولاً إثبات عدم مساواة متوسط ​​العينة (CISM) لـ Chebyshev ، ثم استخدام CISM لإثبات WLLN. تستند الخطوات التالية إلى الدليل المقدم في Aronow and Miller (2019).

دليل على عدم مساواة تشيبيشيف في العينة يعني. تنص عدم مساواة تشيبيشيف في متوسط ​​العينة (CISM) على ما يلي:

حيث ( بار_n ) هو متوسط ​​العينة لتسلسل (n ) يسحب بشكل مستقل من متغير عشوائي (X ). يذكر استدعاء CI أن (P (| (X- mu) / sigma | geq k) leq frac <1>). للمساعدة في إثبات CISM ، يمكننا إعادة ترتيب الجانب الأيسر من المتباينة بضرب جانبي المتباينة داخل دالة الاحتمال بـ ( sigma ) ، بحيث:

ثم أخيرًا ، دعنا نحدد (k & # 39 = frac< سيغما> ). لذلك:

هذا الدليل مباشر بشكل معقول. يتيح لنا استخدام تعريفنا لـ (k & # 39 ) إعادة ترتيب الاحتمالية داخل CISM لمطابقة شكل عدم المساواة Chebyshev المذكور أعلاه ، مما يسمح لنا بعد ذلك باستنتاج حدود الاحتمال. ثم نستبدل (k & # 39 ) بـ ( frac< sigma> ) ، قم بالتوسيع والتبسيط. تعتمد الحركة التي تمت بين السطر قبل الأخير والخط الأخير على حقيقة أن تباين متوسط ​​العينة يساوي التباين في المتغير العشوائي مقسومًا على حجم العينة (n).

تطبيق CISM على إثبات WLLN. بالنظر إلى أن جميع الاحتمالات غير سالبة و CISM ، يمكننا الآن كتابة:

لاحظ أنه بالنسبة للحد الأول والثالث من عدم المساواة المتعددة ، حيث (n ) يقترب كلا المصطلحين من اللانهاية 0. في حالة الصفر الثابت ، هذا أمر تافه. في المصطلح الأخير ، لاحظ أن (var (X) ) يشير إلى التباين المتأصل في المتغير العشوائي ، وبالتالي فهو ثابت كلما زاد (n ). لذلك ، كلما زاد المقام ، يقترب المصطلح من الصفر.

نظرًا لأن الحد الأوسط محصور بين هاتين الحدين ، فنحن نعلم بحكم التعريف أن هذا المصطلح يجب أن يقترب أيضًا من الصفر. لذلك:

ومن ثم ، تم إثبات WLLN: لأي قيمة لـ (k ) ، فإن احتمال أن يكون الفرق بين متوسط ​​العينة والقيمة المتوقعة أكبر أو يساوي (k ) يتقارب عند الصفر. نظرًا لأن قيمة (k ) تعسفية ، فيمكن تعيينها على شيء صغير جدًا ، بحيث يتقارب متوسط ​​العينة والقيمة المتوقعة في القيمة.


كيفية استخدام نظرية Rolle & # 8217s

مثال على سؤال: استخدم نظرية Rolle & # 8217s للوظيفة التالية:
f (x) = x 2 & # 8211 5x + 4 لقيم x [1 ، 4]

الدالة f (x) = x 2 & # 8211 5x + 4 [1 ، 4]. تم إنشاء الرسم البياني باستخدام حاسبة الرسم البياني لـ HRW.


الخطوة 1: اكتشف ما إذا كانت الوظيفة مستمرة. يمكنك فقط استخدام نظرية Rolle & # 8217s للوظائف المستمرة.

هذه الدالة f (x) = x 2 & # 8211 5x + 4 هي دالة كثيرة الحدود. كثيرات الحدود متصلة لجميع قيم x. (كيفية التحقق من استمرارية الوظيفة).

الخطوة 2: اكتشف ما إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق. إذا لم تكن & # 8217t قابلة للتفاضل ، فيمكنك & # 8217t استخدام نظرية Rolle & # 8217s. أسهل طريقة لمعرفة ما إذا كانت الوظيفة قابلة للاشتقاق هي ببساطة أخذ المشتق. إذا كان بإمكانك أخذ المشتق ، فإنه & # 8217s قابل للتفاضل.
f & رئيس (x) = 2x & # 8211 5

الخطوه 3: تأكد من أن المشتق مستمر، باستخدام نفس القواعد التي استخدمتها للخطوة 1.

إذا كانت الدالة المشتقة غير & # 8217t متصلة ، فيمكنك & # 8217t استخدام نظرية Rolle & # 8217s.

الخطوة الرابعة: عوّض عن قيم x المعطاة في الصيغة الآتية للتحقق من أن النقطتين هي نفس الارتفاع (إذا لم تكن & # 8217t ، فإن Rolle & # 8217s لا ينطبق).

كلتا النقطتين f (1) و f (4) لها نفس الارتفاع ، لذلك يتم تطبيق Rolle & # 8217s.

الخطوة الخامسة: عيّن الصيغة المشتقة الأولى (من الخطوة 2) إلى الصفر من أجل معرفة مكان ميل الدالة & # 8217s هو صفر.

ميل الدالة & # 8217s هو صفر عند x = 2.5.


4.2: نظرية القيمة المتوسطة - الرياضيات

تعد نظرية القيمة المتوسطة واحدة من أهم الأدوات النظرية في حساب التفاضل والتكامل. تنص على أنه إذا تم تعريف f (x) واستمرارها في الفاصل الزمني [أ ، ب] وقابلة للتفاضل في (أ ، ب) ، فحينئذٍ يوجد رقم واحد على الأقل ج في الفاصل الزمني (أ ، ب) (أي أ & lt ج & lt ب) من هذا القبيل

الحالة الخاصة ، عندما تُعرف f (a) = f (b) باسم نظرية رول. في هذه الحالة ، لدينا f '(c) = 0. بمعنى آخر ، توجد نقطة في الفترة (أ ، ب) لها ظل أفقي. في الواقع ، يمكن تحديد نظرية القيمة المتوسطة أيضًا من حيث المنحدرات. في الواقع ، العدد

هو ميل الخط المار عبر (أ ، و (أ)) و (ب ، و (ب)). لذا فإن خاتمة نظرية القيمة المتوسطة تنص على وجود نقطة بحيث يكون خط المماس موازيًا للخط المار عبر (أ ، و (أ)) و (ب ، و (ب)). (انظر الصورة)

مثال. لنفترض أن أ = -1 و ب = 1. نحن لدينا

من ناحية أخرى ، بالنسبة لأي ، لا يساوي 0 ، لدينا

ليس لديه حل في ج. هذا لا يتعارض مع نظرية القيمة المتوسطة ، لأن f (x) ليست متصلة حتى في [-1،1].

ملاحظة. من الواضح أن مشتقة دالة ثابتة تساوي 0. ولكن قد تتساءل عما إذا كانت الدالة ذات مشتق الصفر ثابتة. الجواب نعم. في الواقع ، دع f (x) دالة قابلة للتفاضل في الفترة I ، مع f '(x) = 0 ، لكل منها. ثم بالنسبة لأي أ و ب في I ، تشير نظرية القيمة المتوسطة

لبعض ج بين أ و ب. لذا فإن افتراضنا يعني

وبالتالي f (b) = f (a) لأي a و b في I ، مما يعني أن f (x) ثابت.


مثال 1

حل المثال 1

يتم إعطاء ميل المماس عند النقطة (ج ، و (ج)) بواسطة
f '(x) حيث f' هو المشتق الأول.
The slope of the secant through (1 , f(1)) and (5 , f(5)) is given by
[ f(5) - f(1) ] /(5 - 1)
For the tangent to be parallel to the secant their slope have to be equal hence
f '(c) = [ f(5) - f(1) ] /(5 - 1)
Function f is a polynomial (quadratic) function and is therefore continuous and differentiable of the interval [1 , 5] hence the mean value theorem predicts that there is a least one value of x (= c) such that the above equality is true.
The slope of the tangent is given by the value of the first derivative at x = c.
The first derivative : f ' (x) = - 2 x + 7
slope m 1 of the tangent to the curve at x = c is equal to m 1 = f ' (c) = - 2 c + 7
The slope m 2 of the secant through the points (1 , f(1)) and (5 , f(5)) is given by
م 2 = (f(5) - f(1)) / (5 - 1) = (4 - 0) / ( 4 ) = 1
م 1 = m 2 gives the equation
- 2 c + 7 = 1
c = 3
Check answer graphically
Point of tangency at x = c is given by (3 , f(3)) = (3 , 6)
Equation of tangent:
y - 6 = (x - 3)
y = x + 3
In figure 1 below are shown the graphs of the given function and the graph of the tangent to the curve of f. The tangent and secant have equal slopes and are therefore parallel.

Figure 2. Mean Value Theorem used in example 1

There may be more that one value of x ( = c) that satisfies the mean value theorem, see example 2 below.

مثال 2

Solution to Example 2

Function f is a polynomial function and is therefore continuous and differentiable of the interval [1 , 3] and therefore the mean value theorem predicts that there is at least one value of x ( = c) such that the tangent to the curve of f at x = c and the secant are parallel and therefore their slopes are equal.
slope of tangent
The first derivative : f ' (x) = 3 x 2 - 10 x + 7
The slope m 1 of the tangent at x = c is equal to m 1 = f ' (c) = 3 c 2 - 10 c + 7
The slope m 2 of the secant through the points (0 , f(0)) and (3 , f(3))
م 2 = (f(3) - f(0)) / (3 - 0) = (4 - 1) / (3 - 0) = 1
For the tangent to the curve at x = c and the secant through (0 , f(0)) and (3 , f(3)) to be parallel, their slopes have to be equal.
3 c 2 - 10 c + 7 = 1
which may be written as
3 c 2 - 10 c + 6 = 0
Solve using quadratic formulas to obtain two solutions
ج 1 = (5 - 𕔋) / 3 ≈ 0.78 and c 2 = (5 + 𕔋) / 3 ≈ 2.55
Check answer graphically
In figure 2 below are shown the graphs of the given function and the graph of the two tangents to the curve of f parallel to the secant through the points A(0 , f(0)) and B(3 , f(3)).

Figure 3. Mean Value Theorem used in example 2

More References and links


Mean Value Theorem

The following diagram shows the Mean Value Theorem. Scroll down the page for more examples and solutions on how to use the Mean Value Theorem.

What is the Mean Value Theorem?

يترك F be a function that satisfies the following hypotheses:

  1. F is continuous on the closed interval [أ, ب]
  2. F is differentiable on the open interval (أ, ب)

Then there is a number ج in (أ, ب) such that

How to use the Mean Value Theorem?

Given F(x) = x 3 &ndash x, أ = 0 and ب = 2. Use the Mean Value Theorem to find ج.

حيث F is a polynomial, it is continuous and differentiable for all x, so it is certainly continuous on [0, 2] and differentiable on (0, 2).

By the Mean Value Theorem, there is a number ج in (0, 2) such that

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


A Simple Auxiliary Function for the Mean Value Theorem

Subject classification(s): Real Analysis | Analysis | Calculus | Lines | Analytic Geometry | Geometry and Topology
Applicable Course(s): 4.11 Advanced Calc I, II, & Real Analysis | 3.1 Mainstream Calculus I

A pdf copy of the article can be viewed by clicking below. Since the copy is a faithful reproduction of the actual journal pages, the article may not begin at the top of the first page.

These pdf files are furnished by JSTOR.

Classroom Capsules would not be possible without the contribution of JSTOR.

JSTOR provides online access to pdf copies of 512 journals, including all three print journals of the Mathematical Association of America: The American Mathematical Monthly, College Mathematics Journal, and Mathematics Magazine. We are grateful for JSTOR's cooperation in providing the pdf pages that we are using for Classroom Capsules.

Capsule Course Topic(s):
One-Variable Calculus | Theoretical Issues


شاهد الفيديو: شرح مفكوك تايلور و ماكلورين م أحمد شومان (شهر نوفمبر 2021).