مقالات

3.3.5: حل مسائل المعدل - الرياضيات


درس

دعنا نستخدم أسعار الوحدات مثل المحترفين.

التمرين ( PageIndex {1} ): شبكة 100

كم مظلل في كل واحد؟

التمرين ( PageIndex {2} ): تصنيف البطاقة: هل هي صفقة؟

سيعطيك مدرسك مجموعة من البطاقات التي تعرض عروض مختلفة.

  1. ابحث عن البطاقة (أ) واعمل مع شريكك لتقرير ما إذا كان العرض الموجود على البطاقة (أ) صفقة جيدة. اشرح أو أظهر أسبابك.
  2. بعد ذلك ، قم بتقسيم البطاقات من B إلى E بحيث يكون لديك أنت وشريكك بطاقتان.
    1. قرر بشكل فردي ما إذا كانت بطاقتك صفقات جيدة. اشرح أسبابك.
    2. لكل بطاقة من بطاقاتك ، اشرح لشريكك إذا كنت تعتقد أنها صفقة جيدة ولماذا. استمع إلى تفسيرات شريكك بخصوص بطاقاتهم. إذا كنت لا توافق ، اشرح تفكيرك.
    3. قم بمراجعة أي قرارات بشأن بطاقاتك بناءً على التعليقات الواردة من شريكك.
  3. عندما تتفق أنت وشريكك على البطاقات من B إلى E ، ضع كل البطاقات التي تعتقد أنها صفقة جيدة في كومة واحدة وجميع البطاقات التي تعتقد أنها صفقة سيئة في مكدس آخر. كن مستعدًا لشرح أسبابك.

هل أنت مستعد لأكثر من ذلك؟

حان الوقت لعمل صفقتك الخاصة! اقرأ المعلومات الموجودة على البطاقة F ثم قرر ما ستفرضه إذا كنت كاتبًا. عندما يشير معلمك ، قم بتبادل البطاقات مع مجموعة أخرى وقرر ما إذا كنت ستقبل عرض المجموعة الأخرى أم لا.

ضع في اعتبارك أنك قد تقدم صفقة عادلة أو صفقة غير عادلة ، ولكن الهدف هو تحديد سعر قريب بما يكفي للقيمة التي يجب أن لا تتمكن المجموعة الأخرى من معرفة ما إذا كانت الصفقة التي تقدمها جيدة.

تمرين ( PageIndex {3} ): الأسرع على الإطلاق

أرادت الحيوانات البرية من جميع أنحاء العالم إجراء مسابقة رياضية ، لكن لم يسمح لها أحد بركوب طائرة. قرروا فقط قياس المدى الذي يمكن لكل حيوان أن يركض فيه في دقيقة واحدة وإرسال النتائج إليك لتحديد الفائز.

تقوم بالبحث عن المعلومات التالية حول تحويل وحدات الطول:

1 بوصة = 2.54 سم

حيوانمسافة العدو
أسد امريكي1،408 ياردة
الظباء1 ميل
أرنبة49632 بوصة
كنغر1073 مترا
نعامة1.15 كيلومتر
ذئب امريكى - كايوتى3773 قدم
جدول ( PageIndex {1} )
  1. أي حيوان ركض إلى أبعد حد؟
  2. ما هي تصنيفات الأماكن لجميع الحيوانات؟

ملخص

في بعض الأحيان يمكننا إيجاد واستخدام أكثر من معدل وحدة لحل مشكلة ما.

لنفترض أن محل بقالة يقوم ببيع الجبن المبشور. تُباع حقيبة صغيرة تحتوي على 8 أونصات مقابل 2 دولار. حقيبة كبيرة تحمل 2 كيلوغرام تباع مقابل 16 دولارًا. كيف تعرف أي صفقة أفضل؟

فيما يلي طريقتان مختلفتان لحل هذه المشكلة:

قارن بين الدولارات لكل كيلوغرام.

  • الكيس الكبير ثمنه 8 دولارات للكيلوغرام الواحد لأن (16 div 2 = 8 ).
  • تحتوي الحقيبة الصغيرة على ( frac {1} {2} ) رطل من الجبن ، لأن هناك 16 أونصة في الرطل الواحد ، و (8 div 16 = frac {1} {2} ).
    الحقيبة الصغيرة تكلف 4 دولارات للرطل ، لأن (2 div frac {1} {2} = 4 ). هذا يعادل 8.80 دولارًا أمريكيًا للكيلوغرام الواحد ، لأن الكيلوجرام الواحد يحتوي على حوالي 2.2 رطل ، و (4.00 cdot 2.2 = 8.80 ).

الحقيبة الكبيرة صفقة أفضل ، لأنها تكلف أقل مقابل نفس الكمية من الجبن.

قارن أوقية لكل دولار.

  • مع الحقيبة الصغيرة نحصل على 4 أونصات لكل دولار لأن (8 div 2 = 4 ).
  • الكيس الكبير يحتوي على 2000 جرام من الجبن. كيلوغرام واحد يوجد 1000 جرام و (2 cdot 1000 = 2000 ). وهذا يعني 125 جرامًا لكل دولار لأن (2000 div 16 = 125 ).
    يوجد حوالي 28.35 جرامًا في 1 أونصة ، و (125 div 28.35 حوالي 4.4 ) ، أي حوالي 4.4 أوقية لكل دولار.

الحقيبة الكبيرة صفقة أفضل ، لأنك تحصل على المزيد من الجبن بنفس المبلغ من المال.

هناك طريقة أخرى لحل المشكلة وهي مقارنة أسعار الوحدة لكل كيس بالدولار للأونصة. جربها!

إدخالات المسرد

التعريف: بيس

السرعة هي إحدى الطرق لوصف مدى سرعة تحرك شيء ما. يخبرنا Pace مقدار الوقت الذي يستغرقه الجسم لقطع مسافة معينة.

على سبيل المثال ، يمشي دييغو بسرعة 10 دقائق لكل ميل. تمشي إيلينا بسرعة 11 دقيقة لكل ميل. تمشي إيلينا أبطأ من دييغو ، لأنها تستغرق وقتًا أطول في السفر على نفس المسافة.

التعريف: السرعة

السرعة هي إحدى طرق وصف السرعة التي يتحرك بها شيء ما. تخبر السرعة مقدار المسافة التي يقطعها الجسم في فترة زمنية معينة.

على سبيل المثال ، يمشي تايلر بسرعة 4 أميال في الساعة. تمشي بريا بسرعة 5 أميال في الساعة. تمشي بريا أسرع من تايلر ، لأنها تقطع مسافة أكبر في نفس الوقت.

التعريف: سعر الوحدة

سعر الوحدة هو تكلفة عنصر واحد أو وحدة قياس واحدة. على سبيل المثال ، إذا كان 10 أقدام من سياج ربط السلسلة يكلف 150 دولارًا ، فإن سعر الوحدة هو (150 div 10 ) ، أو 15 دولارًا للقدم.

التعريف: سعر الوحدة

معدل الوحدة هو معدل لكل 1.

على سبيل المثال ، يتشارك 12 شخصًا فطيرتين بالتساوي. معدل الوحدة الواحدة هو 6 أشخاص لكل فطيرة ، لأن (12 div 2 = 6 ). معدل الوحدة الآخر هو ( frac {1} {6} ) فطيرة لكل شخص ، لأن (2 div 12 = frac {1} {6} ).

ممارسة

تمرين ( PageIndex {4} )

هذه العبوة من شرائح الجبن تكلف 2.97 دولار.

ما هي تكلفة الحزمة التي تحتوي على 18 شريحة بنفس سعر الشريحة؟ اشرح أو أظهر أسبابك.

تمرين ( PageIndex {5} )

يمكن لآلة النسخ طباعة 480 نسخة كل 4 دقائق. لكل سؤال ، اشرح أو أظهر أسبابك.

  1. كم عدد النسخ التي يمكنها طباعتها في 10 دقائق؟
  2. قام مدرس بطباعة 720 نسخة. كم من الوقت استغرقت الطباعة؟

تمرين ( PageIndex {6} )

ترتيب هذه الأشياء من الأثقل إلى الأخف.

(ملاحظة: 1 رطل = 16 أوقية ، 1 كيلوجرام ( تقريبًا ) 2.2 رطل ، وطن واحد = 2000 رطل)

العنصروزن
باص المدرسة (9 ) طن
حصان (1،100 ) جنيه
الفيل (5500 ) كيلو جرام
بيانو كبير (15،840 ) أوقية
جدول ( PageIndex {2} )

تمرين ( PageIndex {7} )

يقوم أندريه أحيانًا بقص العشب في عطلة نهاية الأسبوع لكسب أموال إضافية. قبل أسبوعين ، جز العشب في أحد جيرانه لمدة ( frac {1} {2} ) ساعة وكسب 10 دولارات أمريكية. في الأسبوع الماضي ، جز العشب الخاص بعمه لمدة ( frac {3} {2} ) ساعة وحصل على 30 دولارًا أمريكيًا. هذا الأسبوع ، قام بقص العشب في مركز اجتماعي لمدة ساعتين وكسب 30 دولارًا.

ما الوظائف التي تدفع أفضل من غيرها؟ اشرح أسبابك.

(من الوحدة 3.3.1)

تمرين ( PageIndex {8} )

حساب والتعبير عن إجابتك في صورة عشرية.

  1. ( frac {1} {2} cdot 17 )
  2. ( frac {3} {4} cdot 200 )
  3. ((0.2) cdot 40 )
  4. ((0.35) cdot 60 )

(من الوحدة 3.1.1)

تمرين ( PageIndex {9} )

هنا مضلع.

  1. حلل هذا المضلع بحيث يمكن حساب مساحته. جميع القياسات بالسنتيمتر.
  2. احسب مساحتها. نظّم عملك بحيث يمكن أن يتابعه الآخرون.

(من الوحدة 1.5.1)


أوراق عمل مسائل الرياضيات للصف الثالث

تساعد مسائل الكلمات في الرياضيات على تعميق فهم الطالب للمفاهيم الرياضية من خلال ربط الرياضيات بالحياة اليومية.

من الأفضل محاولة أوراق العمل هذه بعد أن يدرس الطالب المهارة الأساسية ، على سبيل المثال ، لا ينبغي محاولة أوراق عمل مشكلة الكلمات الخاصة بـ "الإضافة في الأعمدة" حتى يشعر الطلاب بالراحة مع الإضافة في الأعمدة.

في العديد من مشاكل الكلمات الخاصة بنا ، نقوم بتضمين بيانات زائدة عن قصد ، بحيث يحتاج الطلاب إلى قراءة الأسئلة والتفكير فيها بعناية ، بدلاً من مجرد تطبيق نمط حسابي لحل المشكلات.


الصفحة التالية: فحص واقع الرياضيات

أطلق عليه اسم فحص الواقع الرياضي. فجأة ، يتذكر روستشيك ، واجه الطلاب المنجزون سابقًا فكرة جديدة: أن الرياضيات تتطلب أكثر من التعلم عن ظهر قلب - إنها تتطلب الإبداع ، والعزيمة ، والجمباز الذهني الشاق. يتذكر قائلاً: "لقد تعلموا أن الرياضيات عبارة عن مجموعة من الوجهات وأنهم تعلموا اتباع مجموعة من القواعد للوصول إلى تلك الأماكن". "لم يتعلموا أبدًا كيفية قراءة الخريطة ، أو حتى أن هناك خريطة."

في الواقع ، منهج الرياضيات التقليدي هو تعليم الخوارزميات المنفصلة ، وهي مجموعة من القواعد التي تستخرج إجابة صحيحة ، مثل كيفية إجراء القسمة المطولة ، على سبيل المثال ، أو كيفية استخدام نظرية فيثاغورس. ثم "يتعلم" الطلاب المادة عن طريق القيام بعدد كبير من المسائل المتشابهة. والنتيجة ، كما يقول روسكيزيك ، هي أنه نادرًا ما يُطلب من الطلاب حل مشكلة ليست على دراية كاملة بها. بدلاً من ذلك ، بدأوا يفكرون في الرياضيات كسلسلة من القواعد التي يجب حفظها. المشكلة هي أن الأطفال لا يتعلمون بالضرورة كيفية مهاجمة نوع جديد أو مختلف من المعادلات.

شاهد روستشيك العديد من زملائه الطلاب ، الذين اعتادوا منذ فترة طويلة على أن يكونوا "دراسات سريعة" ، لأنهم توتروا في الرياضيات بعد تجربة ما اعتبروه فشلًا. لقد استقالوا - نقلوا آمالهم وأحلامهم إلى مجال أقل تحديًا من الناحية العددية مثل علم الاجتماع أو التصميم الجرافيكي.

على النقيض من ذلك ، شعر روستشيك بمزيد من الاستعداد عند مواجهة مشكلة لا يعرف كيفية حلها. على الرغم من أنه حضر ما يصفه بأنه مدرسة عامة عادية بدون الكثير من فصول الرياضيات المتقدمة ، فقد شارك في نوادي ومسابقات الرياضيات. في نوادي الرياضيات ، اعتاد على مواجهة مشاكل أصعب ومتعددة الأوجه حيث لم يكن النهج الصحيح واضحًا على الفور.


الإجابة على مشكلات العلامات والملاحظات

استخدم متجر الكمبيوتر معدل ترميز & # xa040٪. & # xa0 ابحث عن سعر بيع لعبة كمبيوتر تكلف بائع التجزئة & # xa0 25 دولارًا.

إذن ، سعر البيع هو 35 دولارًا.

يدفع متجر غولف تاجر الجملة & # xa0 $ 40 & # xa0 مقابل نادٍ معين ، ثم يبيعه إلى لاعب غولف مقابل & # xa0 75 دولارًا. ما هو معدل الترميز؟

إذن ، معدل الزيادة هو 87.5٪

يستخدم المتجر علامة & # xa040٪ & # xa0 على التكلفة. أوجد تكلفة زوج من الأحذية التي تباع بـ & # xa0 $ 63.

البديل 63 لـ S.P و 40 لـ m في (1). & # xa0

إذن ، & # xa0 تبلغ تكلفة زوج من الأحذية 45 دولارًا.

سعر المنتج في الأصل & # xa0 $ 55 & # xa0 يتم تمييزه & # xa025٪ & # xa0off. ما هو سعر البيع؟

استبدل 55 ل.ب و 25 م في (1). & # xa0

إذن ، سعر البيع هو 41.25 دولارًا.

منتج & # xa0 الذي يبيع بانتظام بـ & # xa0 $ 425 & # xa0 تم تمييزه بـ & # xa0 $ 318.75. ما هو معدل الخصم؟

السعر المنخفض المحدد & # xa0 = & # xa0 $ 318.75

قيمة منخفضة ملحوظة & # xa0 = & # xa0425 - 318.75 & # xa0 = & # xa0106.25

معدل تنازلي ملحوظ & # xa0 = & # xa0 (106.25 / 425) & # xa0 ⋅ & # xa0100٪

يتم تمييز المنتج بـ & # xa015٪ سعر البيع هو & # xa0 $ 127.46. ما هو السعر الأصلي؟

سعر البيع (S.P) & # xa0 = & # xa0 (100 - m)٪ & # xa0 ⋅ & # xa0 السعر الأصلي ----- (1)

استبدل 127.46 لـ S.P و 15 لـ m في (1). & # xa0

127.46 / 0.85 & # xa0 = & # xa0 السعر الأصلي & # xa0

إذن ، السعر الأصلي هو 149.95 دولارًا.

تبيع A عنصرًا إلى B بربح 15٪. يبيع B نفس العنصر لـ C بربح 20٪. إذا دفعت C مبلغ 1656 دولارًا مقابل ذلك. ما هو السعر الذي اشترى به "أ" السلعة؟

لنفترض أن x هو سعر التكلفة لـ A. & # xa0

معطى : & # xa0 تكلفة C هي 1656 دولارًا.

إذن ، سعر & # xa0 الذي اشترى به العنصر A هو 1200 دولار. & # xa0

باع السيد لينين كرسي بخسارة 15٪. إذا كان قد باع بمعدل زيادة 10٪ ، لكان قد حصل على 100 دولار إضافية. ما هو سعر تكلفة الكرسي؟ & # xa0

دع x يكون سعر تكلفة الكرسي.

في (2) ، حصل على 100 دولار أكثر من (1).

إذن ، سعر تكلفة الكرسي 400 دولار.

إذا كنت ترغب في الحصول على مزيد من مشاكل التدريب على الترميز والتخفيض ، فالرجاء النقر على الروابط الواردة أدناه. & # xa0

بصرف النظر عن الأشياء الواردة في هذا القسم ، & # xa0 & # xa0 إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


3.3.5: حل مسائل المعدل - الرياضيات

إذا كنت تقرأ هذا ، فلن يتم تعيين المستعرض الخاص بك لتشغيل تطبيقات Java الصغيرة. جرب IE11 أو Safari وأعلن أن الموقع https://www.cut-the-knot.org موثوق به في إعداد Java.

يمكننا الآن تقديم عدة ملاحظات. ليس من المهم من هم الأشخاص الموجودين: الإخوة ، الأخوات ، أو الوحوش. كما أنه ليس من المهم ما إذا كانوا يمتلكون السلع المعنية أو يشترونها أو يمتلكونها. كما أن طبيعة البضاعة غير ضرورية. المهم أن المسألة تتعلق بثلاث كميات ، اثنان منها مجموعها الثالث. إحدى الكميات غير معروفة.

يبدو أن المشكلة تنتمي إلى فئة كاملة من المشاكل المتشابهة: كل المشاكل في تلك الفئة تترجم في اللغة الرياضية إلى معادلة (1). توفر المعادلة (1) بدورها العديد من الملاحظات.

أولاً ، تحتوي المعادلة على عملية حسابية - إضافة. يأتي هذا مباشرة من المشكلة التي تذكر كميتين سويا. ثانيًا ، اسم الكمية غير المعروفة تعسفي تمامًا. الشيء المهم الوحيد هو أننا نتوقع وجود رقم يلبي شروط المشكلة. وجد علماء الرياضيات أنه من الملائم إعطاء الرقم المجهول اسمًا. قدم Fran & ccedilois Vi & egravete (1540-1603) أحرفًا للإشارة إلى المجهول والأرقام الثابتة في المعادلات. أحرف العلة المسماة مجهولة ، الحروف الساكنة المسماة الثوابت. كان Ren & eacute ديكارت (1596-1650) هو أول من استخدم الحروف في نهاية الأبجدية للمجهولين. حتى الآن ، تطور استخدام ديكارت إلى تقليد راسخ.

يسمى الرمز المستخدم للدلالة على كمية غير معروفة (أو الكمية نفسها) أ عامل. هذا لا يبدو صحيحًا لأنه لا يوجد شيء يختلف بالفعل. لكن هذا تقليد آخر ، جزء من الثقافة الرياضية.

الملاحظة الثالثة تتعلق بأجزاء أخرى من المعادلة. إحدى الكميتين الموجودتين على اليسار والكمية الموجودة على اليمين أرقام معطاة. هذه تشكل المشكلة البيانات، العطاء. لحل المعادلة (1) ، نطرح الرقم الموجود على اليسار من طرفي المعادلة. هذا هو أحد المبادئ التي أعلنها إقليدس حتى الآن منذ أكثر من 2000 عام: إذا تم طرح تساوي من يساوي ، فإن الباقي متساوي. التحول يؤدي إلى المعادلة (2). الخطوة التالية هي إجراء الطرح على اليمين. مما ينتج عنه المعادلة (3). المعادلة (3) لها شكل بسيط للغاية: المتغير - المجهول - يساوي ثابتًا. لكن هذا هو بالضبط ما كنا نبحث عنه: قيمة المجهول. تم حل المعادلة.

من المهم أن ندرك أن الخطوات (1) - (3) تحل المعادلة بغض النظر عن القيم المحددة للثابتين التي تظهر في المعادلة. حل معادلة معينة هو مشكلة رياضية في حد ذاته. وبالتالي قد نلاحظ أن مشكلة حل المعادلة (1) تنتمي إلى فئة معينة من المشاكل التي يتم حلها جميعًا بنفس الطريقة ، كما هو موضح في الخطوات (1) - (3). يمكن وصف المعادلة العامة لهذه الفئة على أنها

حيث تشير x إلى متغير أو كمية غير معروفة ، ولكن يُنظر إلى a و b ، على الرغم من عدم تعيين أي قيم محددة ، على أنها ثوابت ، اعتباطيا لكن معطى. (عادة ما تكون الحروف في بداية الأبجدية محجوزة لمثل هذا الاستخدام. كما هو الحال مع أسماء المتغيرات ، نشأ هذا الاصطلاح أيضًا مع Ren & eacute ديكارت.) علاوة على ذلك ، فإن الأسماء "أ" و "ب" اعتباطية مثل الثوابت نفسها. تصف المعادلة B + u = F نفس فئة المعادلات تمامًا مثل (4). لحل (4) ، طبق مبدأ إقليدس للحصول على

وأخيراً نفذ عملية الطرح لإيجاد قيمة x المجهول.

علينا الآن التحقق مما إذا كان الرقم الذي تم الحصول عليه للتو يحل مشكلة الكلمات الأصلية. في واقع الأمر ، قد يحل المشكلة أو لا يحلها. على سبيل المثال ، افترض أن b = 5 و a = 7. ثم x = -2 هو حل المعادلة (4). هل يحل المشكلة التالية؟

اشترت شقيقتان معًا 5 كتب. اشترى أحدهم 7 كتب. كم عدد الكتب التي اشترتها الأخت الأخرى؟

بالطبع يجب أن نعترف بأن شراء كتابين لا معنى له. نتيجة لذلك ، على الرغم من أن x = -2 تحل المعادلة 7 + x = 5 ، فإنها لا تحل مشكلة الكلمات أعلاه. من الواضح أن هذا الأخير ليس لديه حل. هذا واضح تمامًا لمثل هذه المشكلة البسيطة. في الواقع ، ربما لاحظنا في البداية أن كلمة مشكلة ليس لها حلول. يكون الوضع أقل وضوحًا عندما نفكر في مشاكل أكثر تعقيدًا. وبحلول ذلك الوقت ، سيكون من المفيد تطوير عادات مفيدة في حل المشكلات.

قد يساعد الرسم البياني التالي في فهم العلاقات ، المشاكل التي نظرنا إليها تقف مع بعضها البعض.

ال جنرال لواء فئة المشكلة الموصوفة في المعادلة أ + س = ب هي متخصص بواسطة فئة أخرى تضيف قيودًا على الحل المحتمل. مشكلة الكلمة مرتبطة بالفئة الأخيرة. القيود التي واجهناها حتى الآن ضمنية في صياغة مشكلة الكلمة. تسمى هذه القيود متعلق بدلالات الألفاظ.

ملخص

  1. عند ترجمة مشكلة كلمة إلى لغة رياضية ، ابحث عن الأساسيات. يمكن تعديل العناصر غير الضرورية دون التأثير على معنى المشكلة.
  2. المتغير في المعادلة هو مجرد كمية غير معروفة. اسمها تعسفي تمامًا.
  3. فكر في فئة مشكلة تنتمي إليها المشكلة المحددة.
  4. قد تكون المعادلة أقل تقييدًا من المشكلة الأصلية. تحقق من الإجابة مقابل خلفية المشكلة.

مشاكل الكلمات

(هناك العديد من المشكلات الكلامية التي تمت مناقشتها وحلها في هذا الموقع. بدأ البرنامج التعليمي للرياضيات هنا مع اتباع نهج مماثل على عدة أمثلة إضافية.)


موارد لمعدلات وحساب السرعة

معدلات التفاعل في الكيمياء يساعد الطلاب في حساب معدلات التفاعل للتفاعلات الكيميائية.

حساب معدلات التغيير والانحدار للرسم البياني يصف ويشرح عملية إيجاد ميل الدالة ، وبالتالي المعدل. هذا من مركز M. Casco التعليمي ولديه بعض التطبيقات الرياضية الرائعة.
بقلم الدكتور إريك إم باير ، برنامج الجيولوجيا ، كلية المجتمع هايلاين والدكتورة جينيفر إم وينر ، قسم الجيولوجيا ، جامعة ويسكونسن أوشكوش


II. فوائد ومخاطر تدريس الرياضيات من منظور العدالة الاجتماعية

فوائد:

  • التعرف على قوة الرياضيات كأداة تحليلية أساسية لفهم العالم وربما تغييره ، بدلاً من مجرد اعتبار الرياضيات مجموعة من القواعد المنفصلة التي يجب حفظها وتجديدها.
  • الانخراط في التفكير عالي المستوى حول الأفكار الرياضية الكبيرة
  • تعميق فهمهم للقضايا الاجتماعية والاقتصادية على المستويين المحلي والعالمي
  • فهم قوتهم كمواطنين فاعلين في بناء مجتمع ديمقراطي وأن يصبحوا مؤهلين للعب دور أكثر فاعلية في هذا المجتمع
  • كن أكثر تحفيزًا لتعلم الرياضيات
  • المشاركة في مشاريع حل المشكلات المجتمعية الفعلية (وليس النظرية فقط)
  • أجبوا عن هذا السؤال بأنفسهم: & quot لماذا علي أن أعرف هذا؟ & quot
  • تمييز مناهجهم الدراسية بسهولة أكبر
  • إنشاء وحدات وشراكات متعددة التخصصات
  • تعرف على أسر الطلاب والمجتمعات ، وطور الوعي الاجتماعي والثقافي
  • تقييم التعلم بطريقة شاملة وسياقية

المزالق / التحديات:

  • اختبار معياري - بسبب ضغط NCLB ، من الصعب تجنب "التدريس نحو الاختبار". ومع ذلك ، من الممكن إعداد الطلاب لمثل هذه الاختبارات مع الاستمرار في التدريس حول العدالة الاجتماعية.
  • المناهج الإلزامية - يوجد لدى العديد من المدارس كتب مدرسية تتطلب من معلميها استخدامها. هذه معركة محلية ووطنية يجب أن نخوضها مع الإداريين والمسؤولين لدينا. سيكون عليك أن تقرر بنفسك ما إذا كنت على استعداد لتعليم شيء آخر غير ما يُطلب منك تدريسه.
  • الرياضيات الجيدة ليست مثل السياسة الجيدة! - هناك العديد من الكتب المدرسية الجيدة في الرياضيات (على الرغم من وجود الكثير من الجدل حولها) والتي تحتوي على أفكار رائعة حول العمل الجماعي وتنمية المهارات ، وهي موضوعة داخل مشاكل سياقية أكبر ، ولكن ليس لها أي شيء سياسي في مادتها.
  • السياسة الجيدة ليست مثل الرياضيات الجيدة! - من السهل التفكير في أن الوحدة أو الدرس هو درس رائع لمجرد أنه يغطي قضايا مهمة. لكن عليك التأكد من أن الرياضيات نفسها قوية ، وأنها تسمح بنقاط وصول متعددة ، ولديها مجال للاستكشاف والاكتشاف ، وقد تم تطويرها مع وضع المعايير في الاعتبار.
  • الوقت - تستغرق كتابة المناهج الدراسية وقتًا طويلاً. تحلى بالصبر - إنه يستحق العمل.

ما الذي يسبب القلق من الرياضيات؟

تشمل الأسباب الرئيسية للقلق من الرياضيات ما يلي:

الضغط الناجم عن الحدود الزمنية للاختبارات

المواعيد النهائية التي تفرضها الاختبارات الموقوتة على الطلاب تجعلهم يشعرون بالقلق. هذا يقودهم إلى نسيان المفاهيم التي ليس لديهم مشكلة في تذكرها في المنزل. نظرًا لأن هذه الاختبارات يمكن أن يكون لها تأثير سلبي على الدرجات ، فقد تم تأكيد خوف الطالب من الفشل. وهذا يخلق حلقة مفرغة يصعب كسرها.

الخوف من الاحراج العام

تم ربط القلق من الرياضيات أيضًا بالعواطف السلبية من الماضي. إذا تم توبيخ طالب بسبب حصوله على إجابة خاطئة ، فقد يؤدي ذلك إلى تفاقم قلقه. وينطبق الشيء نفسه إذا كان يشعر بالحرج أمام الآخرين.


درس كيف تحل مشاكل معدل العمل (الرسم ، ملء المسابح ، إلخ)

في كثير من الأحيان ، لا يعرف الطلاب كيفية البدء في التعامل مع هذه المشكلات. في الواقع ، إنها بسيطة للغاية بمجرد أن تعرف كيفية إعداد المعادلة المناسبة أو نظام المعادلات. سأعطيك الآن الصيغة الوحيدة الأكثر أهمية التي ستساعدك على حل هذه المشاكل.

الصيغة الأساسية

لنفترض أن لدينا عاملين (أنابيب ، آلات ، إلخ): أ و ب.
يمكن للعامل "أ" إنهاء عمله في X ساعة عند العمل بمفرده.
يمكن للعامل "ب" إنهاء عمله في Y ساعات عند العمل بمفرده
عدد الساعات التي يحتاجونها لإكمال المهمة
عندما كلاهما تعمل في نفس الوقت اعطي من قبل

بمجرد أن "تتسلح" بهذه الصيغة ، سيكون حل هذه المشكلات أمرًا سهلاً للغاية. سنرى بعض الأمثلة أدناه ولكن أولاً ، دعوني أوضح مصدر هذه الصيغة.

من أين تأتي الصيغة؟

بدأنا المشكلة بالافتراضات التالية. هناك عاملان (أنابيب ، آلات ، إلخ) ، A و B. يمكن للعامل A إنهاء المهمة في X ساعة عندما يعمل بمفرده يمكن للعامل B إنهاء نفس الوظيفة في Y ساعة عند العمل بمفرده.

الآن ضع في اعتبارك هذا: إذا كان بإمكان A إنهاء المهمة في X ساعة ، فما هو عمله معدل العمل في الساعة؟ أي ، كم عدد الوظائف التي يمكنه إكمالها في ساعة واحدة؟ من الواضح أنه إذا استغرق X ساعة لإكمال وظيفة ، فيمكنه إكمال الوظائف في الساعة. على سبيل المثال ، إذا كان يحتاج إلى 10 ساعات لإنهاء العمل ، فيمكنه إكمال 1/10 (عُشر) من المهمة في ساعة واحدة. إذا احتاج إلى 30 دقيقة (0.50 ساعة) ، فيمكنه إكمال 1 / 0.50 = وظيفتين في ساعة واحدة. ينطبق نفس المنطق على العامل ب.

ماذا يحدث إذا كانوا يعملون معًا؟ في هذه الحالة علينا إضافة معدل العمل. يخطئ الكثير من الناس في افتراض أنه إذا استغرق A X ساعة ، واستغرق B ساعات Y ، فسيستغرق كلاهما X + Y ساعة. من الواضح أن هذا خطأ ، لأنه يعني أنهم يحتاجون إلى مزيد من الوقت عند العمل معًا أكثر مما يحتاجون إليه عند العمل بمفردهم. لذلك نحن بحاجة إلى جمع معدل عملهم. إذا أكمل "أ" الوظائف في الساعة ، وأكمل "ب" الوظائف في الساعة ، فعند العمل معًا ، يمكنهم إكمال الوظائف في الساعة.
أخيرًا ، نظرًا لأنه يمكنهم إكمال الوظائف في الساعة ، فكم عدد الساعات التي يستغرقونها لإكمال وظيفة واحدة؟ هذا ببساطة هو معكوس الصيغة أعلاه. حتى يتمكنوا من إكمال وظيفة واحدة في ساعات.

ماذا يعني أن العامل يعمل N مرة أسرع من عامل آخر؟

هناك أيضًا بعض الالتباس عندما تنص المشكلة ، على سبيل المثال ، "العامل ب هو ضعف سرعة العامل أ مرتين (العدد = مرتين)". لاحظ أنه إذا عمل شخص ما أسرع مرتين من عمل شخص آخر فإنه يحتاج نصف الوقت اللازم لإنهاء العمل إذا كان يعمل أسرع 4 مرات ، ثم يحتاج إلى ربع الوقت لإنهاء المهمة ، وهكذا. لذلك ، إذا كان X هو عدد الساعات التي يحتاجها العامل A لإنهاء عمل ما ، و Y هي عدد الساعات التي يحتاجها العامل B لإنهاء وظيفة ، فإن العبارة "العامل A يعمل N مرات أسرع من العامل B" يتم "ترجمته" مثل . على سبيل المثال ، إذا كان يعمل مرتين أسرع من B ، إذن

عينة من المشاكل

لنحل المشكلات الثلاث التي بدأت بها باستخدام ما تعلمناه هنا.
1. يمكن للعامل "أ" إنهاء عمله في 3 ساعات. عند العمل في نفس الوقت مع العامل "ب" ، يمكنهم إنهاء العمل في غضون ساعتين. ما هو الوقت الذي يستغرقه العامل "ب" لإنهاء الوظيفة إذا كان يعمل بمفرده؟

ابدأ دائمًا بتحديد المتغيرات. دعنا ندعو X إلى عدد الساعات التي يحتاجها العامل A لإنهاء المهمة ، و Y إلى عدد الساعات التي يحتاجها العامل B لإنهاء المهمة. نعلم بالفعل أن X = 3. ونعلم أيضًا أنه عند العمل في نفس الوقت ، يحتاجون إلى ساعتين. لذلك ، باستخدام الصيغة التي قدمتها لك من قبل:


نستنتج أن B يحتاج إلى 6 ساعات لإكمال المهمة عند العمل بمفرده.


2. يمكن للرسامين "أ" و "ب" طلاء الجدار في غضون 10 ساعات عند العمل في نفس الوقت. يعمل الرسام ب مرتين أسرع من أ. ما المدة التي سيستغرقها كل منهم لطلائه إذا عملوا بمفردهم؟

دعنا نسمي X لعدد الساعات التي يحتاجها الرسام A لإنهاء المهمة ، و Y إلى عدد الساعات التي يحتاجها الرسام B لإنهاء المهمة. نحن نعلم أن "الرسامين A و B يمكنهم طلاء الحائط في غضون 10 ساعات عند العمل في نفس الوقت". باستخدام الصيغة التي قدمتها أعلاه ، هذا يعني أن لدينا المعادلة:

نعلم أيضًا أن "الرسام ب يعمل مرتين أسرع من أ". إذن المعادلة الأخرى هي:

[تذكر ، حقيقة أنه يعمل بسرعة مضاعفة تعني أنه يحتاج إلى نصف الوقت لأداء نفس الوظيفة]
إذن لدينا نظام المعادلات:

إعادة ترتيب المعادلة الأولى:

استبدال المعادلة الثانية بهذه المعادلة:


لذا سيحتاج الرسام أ إلى 30 ساعة لإنهاء الجدار إذا كان يعمل بمفرده. نظرًا لأن الرسام B أسرع مرتين ، فسيحتاج إلى 15 ساعة إذا عمل بمفرده.


3. يملأ حوض سباحة سعة 10،000 لتر بأنبوبين: A و B. يوفر الأنبوب A 1،000 لتر في الساعة. عندما يكون كل من الأنبوبين A و B في وضع التشغيل ، فيمكنهما ملء هذا الحوض في 4 ساعات. كم لترًا في الساعة يمكن للأنابيب B توصيلها؟

لاحظ أن هناك فرقًا مهمًا بين صياغة هذه المشكلة والأخرى. في هذه الحالة ، نحصل على معدل عمل الأنبوب A بدلاً من الوقت الذي يحتاجه لإكمال النشاط. سأقدم الآن حلاً يضع المتغيرات بشكل مختلف قليلاً لكنه يستخدم نفس المبدأ.
دعنا نسمي X لعدد اللترات في الساعة التي يسلمها الأنبوب A و Y إلى عدد اللترات في الساعة التي يسلمها الأنبوب B. لاحظ الفرق مع المشكلتين 1 و 2: أنا أضع المتغيرات لتكون معدلات العمل بدلاً من "وقت إنهاء العمل".
عندما يعمل كلا الأنبوبين ، يمكنهما توصيل لترات في الساعة. لاحظ أننا نجمع معدلات العمل ، تمامًا كما فعلنا في المشكلات السابقة. يجب أن نستخدم الآن المعلومات التي تنص على أنه "عند تشغيل كل من الأنبوبين A و B ، يمكنهما ملء هذا المجمع في 4 ساعات". نظرًا لأن المسبح يحتوي على 10000 لتر ، فإن حقيقة أنه يمكن ملئه في 4 ساعات تعني أنه عند تشغيلهما ، يمكنهما توصيل 10000 لتر كل 4 ساعات أو 10000/4 = 2500 لتر في الساعة. لذلك نحصل على المعادلة:

بما أننا نعلم بالفعل أن X = 1000 ، فإننا نستنتج ذلك يمكن للأنبوب B توصيل 1500 لتر في الساعة.


كما كنت قد خمنت ما إذا كنت قد واجهت مشكلة مع هذا النوع من المشاكل قبل أن تتمثل الصعوبة الرئيسية في تحديد المتغيرات بشكل صحيح وفهم كيفية إضافة معدلات العمل. آمل أن يكون هذا الدرس قد ساعدك في فهم هذه المشكلات بشكل أفضل.


مفاهيم اقتصادية

تستخدم المصطلحات التالية في مناقشة إنتاج وبيع المنتج.

1) إن انتاج هو عدد الوحدات المنتجة.

2) تكلفة إنتاج سلعة تعتمد على العديد من العوامل.

أ) يتم تكبد بعض التكاليف بغض النظر عن المخرجات. هذه هي سعر ثابت.

ب) ال التكلفة المتغيرة هي تلك التكاليف التي تختلف باختلاف الإنتاج. لأي ناتج معين ، فإن ملف متوسط ​​التكلفة المتغيرة هي التكلفة المتغيرة مقسومة على الإنتاج.

ج) إن التكلفة الإجمالية هو مجموع التكلفة الثابتة والتكلفة المتغيرة.

التكلفة الإجمالية = التكلفة الثابتة + (متوسط ​​التكلفة المتغيرة) × الناتج

3) إن إجمالي الإيرادات من بيع سلعة هو سعر البيع مضروبًا في عدد الوحدات المباعة ، وهذا هو إجمالي الدخل من المبيعات.

4) إن ربح هو الفرق بين الإيرادات والتكلفة ،

الربح = الإيرادات - التكلفة.

5) إن نقطة التعادل هي النقطة التي تكون فيها الإيرادات معادلة للتكلفة ، أو الربح المكافئ = 0. يكون الإنتاج مربحًا فقط عندما تكون الإيرادات أكبر من التكلفة.

6) إن متوسط ​​التكلفة الإجمالية ، (أو ، باختصار ، متوسط ​​التكلفة) هو إجمالي التكلفة مقسومًا على الناتج ،

.

مثال 1

إذا كانت التكاليف الثابتة هي 100 دولار أمريكي إذا كان متوسط ​​التكلفة المتغيرة هو 2 دولار أمريكي ، وإذا كان سعر البيع 2.50 دولار أمريكي للوحدة ، فإن:

أ) يتم إعطاء التكلفة الإجمالية لإنتاج وحدات q بواسطة دالة التكلفه

ب) يتم إعطاء الإيرادات من بيع وحدات q بواسطة وظيفة الإيرادات

ج) يتم إعطاء الربح من إنتاج وبيع وحدات q بواسطة وظيفة الربح

د) يتم تحديد نقطة التعادل من خلال حل المعادلة

وهذا موضح أيضًا في الشكل أدناه.

ه) متوسط ​​التكلفة .

مثال 2

في بعض الأحيان يكون متوسط ​​التكلفة المتغيرة غير ثابت. قد يقدم الموردون خصمًا للطلبات الكبيرة ، مما قد يؤدي إلى انخفاض متوسط ​​التكلفة المتغيرة مع زيادة الإنتاج. على سبيل المثال ، إذا كان متوسط ​​التكلفة المتغيرة كذلك ، فإن هذا يتناقص مع زيادة. افترض مرة أخرى أن التكاليف الثابتة لا تزال 100 دولار وأن سعر البيع 2.50 دولار لكل وحدة

أ) دالة التكلفة هي.

ب) وظيفة الإيرادات.

ج) دالة الربح هي

د) يتم تحديد نقطة التعادل عن طريق حل المعادلة التربيعية

نختار الإجابة الإيجابية. لاحظ أن . انظر الشكل أدناه للحصول على حل رسومي.

ه) متوسط ​​التكلفة

مثال 3

من ناحية أخرى ، قد تؤدي زيادة الإنتاج إلى نقص في المواد الخام وبالتالي زيادة تكاليف الإنتاج. في هذه الحالة ، سيزداد متوسط ​​التكلفة المتغيرة. على سبيل المثال ، إذا كان متوسط ​​التكلفة المتغيرة في حين أن التكاليف الثابتة لا تزال 100 دولار وسعر البيع 2.50 دولارًا

أ) دالة التكلفة هي

ب) وظيفة الإيرادات

ج) دالة الربح

د) يتم تحديد نقطة التعادل من خلال حل المعادلة التربيعية

هذا ليس له حل حقيقي ، وليس هناك نقطة التعادل. الرسم البياني أدناه غني بالمعلومات. لاحظ أنه عند سعر بيع يبلغ 2.50 دولار ، يؤدي بيع المزيد والمزيد من المنتجات إلى زيادة خسارتك.

ه)

مثال 4

افترض أن التكلفة الثابتة هي 1000 دولار وأن متوسط ​​التكلفة المتغيرة لإنتاج وحدات q هو. ما الذي يجب أن تحدده كسعر البيع إذا كنت تريد التعادل عندما يكون الإنتاج 800 وحدة؟

أولاً ، حدد دالة التكلفة. . تكلفة إنتاج 800 وحدة هي ومتوسط ​​تكلفة الوحدة. لذلك يجب أن يكون سعر البيع 533.25 دولار. ستكون دالة الإيرادات والتكلفة = الإيرادات عندما q = 800.

الكميات الهامشية

ال التكلفة الحدية هو التغيير في التكلفة الإجمالية الناتج عن إنتاج وحدة إضافية واحدة. عندما يكون الناتج q ، تكون التكلفة الحدية

هذا هو ميل الخط الفاصل بين النقطتين و. يعطي المشتق ، وهو منحدر خط الظل عند ، تقريبًا جيدًا للتغير الدقيق في التكلفة ، ومن المعتاد استخدام المشتق لحساب التكلفة الحدية.

ال هامش الربح هي الإيرادات الإضافية المتأتية من بيع وحدة إضافية واحدة ،

.

كما هو الحال مع دالة التكلفة ، سنستخدم مشتق دالة الإيرادات لتحديد الإيرادات الحدية.

ال الربح الهامشي هو الربح الإضافي الناتج عن بيع وحدة إضافية واحدة ،

.

مرة أخرى ، سنستخدم مشتق دالة الربح لتحديد الربح الهامشي. لاحظ أن هذا هو الفرق بين الإيرادات الحدية والتكلفة الحدية ،

الربح الهامشي = الإيرادات الهامشية - التكلفة الهامشية.

ملاحظة مهمة - إذا كان لدالة الربح حدًا أقصى ، يحدث هذا عندما تكون الإيرادات الحدية = التكلفة الحدية.

نعود إلى الأمثلة. لكل منها ، نحدد التكلفة الحدية والإيرادات والأرباح أيضًا ، ونحدد متى يكون الربح الأقصى.

مثال 5

إذا كانت التكاليف الثابتة هي 100 دولار أمريكي إذا كان متوسط ​​التكلفة المتغيرة هو 2 دولار أمريكي ، وإذا كان سعر البيع 2.50 دولار أمريكي لكل وحدة ، فقد حددنا دالة التكلفة ، والإيرادات من بيع وحدات q هي دالة الإيرادات ، ودالة الربح هي.

أ) التكلفة الحدية. لاحظ في هذه الحالة أن هذا هو بالضبط نفس الكمية وهذا هو نفس متوسط ​​التكلفة المتغيرة لكل وحدة.

ب) الإيرادات الحدية. مرة أخرى ، لاحظ في هذه الحالة أن هذا هو بالضبط نفس الكمية وهذا هو سعر البيع لكل وحدة.

ج) الإيرادات الحدية هي ، وهذا هو الربح لكل وحدة.

د) تتزايد دالة الربح ، وبالتالي فإن دالة الربح ليس لها حد أقصى.

مثال 6

إذا كان متوسط ​​التكلفة المتغيرة ، فإن التكاليف الثابتة هي 100 دولار وأن سعر البيع 2.50 دولار لكل وحدة. ثم تكون دالة التكلفة ، ودالة الإيرادات ، ودالة الربح

أ) احسب التكلفة الحدية باستخدام المشتق. هكذا، . تنخفض التكلفة الحدية مع زيادة الإنتاج. هذا منطقي لأن متوسط ​​التكلفة المتغيرة آخذ في التناقص.

ط) على سبيل المثال ، إذا كانت الكمية المنتجة 60 وحدة ، فإن التكلفة الفعلية لإنتاج وحدة إضافية هي بينما التكلفة الحدية ، المحسوبة باستخدام المشتق ، تعطي. انظر الشكل أدناه.

2) إذا كانت الكمية المنتجة 80 وحدة ، فإن التكلفة الفعلية لإنتاج وحدة إضافية تكون في حين أن التكلفة الحدية ، المحسوبة باستخدام المشتق ، تعطي. انظر الشكل أدناه.

ب) الإيرادات الحدية هي نفسها كما في المثال السابق.

د) نظرًا لأن وظائف الربح تتزايد دائمًا ولا يوجد حد أقصى للربح.

مثال 7

In this example, the average variable cost is , the fixed costs are $100 and the selling price is $2.50. Then the cost function is , the revenue function is and the profit function is .

b) The marginal revenue is the same as previously, .

d) The profit is maximum when (notice that and so this critical value will produce a maximum). Solving

Therefore profit is maximum when the output is 25. The maximum profit is -93.75. In other words, you are still losing money (profit is negative) but this is the least you would use.

Supply and Demand

أ supply curve describes the relationship between the quantity supplied and the selling price. The amount of a good or service that producers plan to sell at a given price during a given period is called the quantity supplied. The quantity supplied is the maximum amount that producers are willing to supply at a given price. Quantity supplied is expressed as an amount per unit of time. For example, if a producer plans to sell 750 units per day at $15 per unit we say that the quantity supplied is 750 unit per day at price $15.

Similarly, the amount of a good or service that consumers plan to buy at a given price during a given period is called the quantity demanded. The quantity demanded is the maximum amount that consumers can be expected to buy at a given price, and it also is expressed as amount per unit of time.

ال equilibrium price is the price at which the quantity demanded equals the quantity supplied. ال equilibrium quantity. is the quantity bought and sold at the equilibrium price. If the curves are graphed on the same coordinate system, the point of intersection is the equilibrium point, and is where supply equals demand. If the price is below equilibrium there will be a shortage and the price will rise, while if the price is above equilibrium there will be a surplus and the price will fall. If the price is at equilibrium it will stay there unless other factors enter to cause changes.

Example 8

Assume that the supply function is and the demand function is . The breakeven point is found by setting equating the two functions and then solving the resulting equation:

This gives the first coordinate the second coordinate is (or, using the demand equation, )

Example 9

We make the following assumptions about supply and demand.

  • The supplier will produce 1000 units when the selling price is $20 per unit and will produce 1500 units if the price is $25 per unit.
  • Consumers will demand 1500 units when the selling price is $20 per unit but that the demand will decrease by 10% if the price increases by 5%.
  • Both supply and demand functions are linear.

Determine the supply function, the demand function and the equilibrium point.

1) To determine the supply function, we use a coordinate system and write the equation of the line through the points (1000,20) and (1500,25).

2) For the demand function, one point is (1500,20). If the price increases 5% to $21, the demand will decrease 10% to 1350. Thus the second point is (1350,21) and we can now determine the demand function.


شاهد الفيديو: رياضيات صف سادسالاحداث المستقلة (شهر نوفمبر 2021).