مقالات

1.3: الدعاة والترميز العلمي


أهداف التعلم

  • قواعد مختلفة للأسس
  • الترميز العلمي

عادةً ما يواجه علماء الرياضيات والعلماء والاقتصاديون أعدادًا كبيرة جدًا وصغيرة جدًا. لكن قد لا يكون من الواضح مدى شيوع مثل هذه الأرقام في الحياة اليومية. على سبيل المثال ، البكسل هو أصغر وحدة ضوء يمكن إدراكها وتسجيلها بواسطة كاميرا رقمية. قد تسجل كاميرا معينة صورة (2،048 ) بكسل × (1،536 ) بكسل ، وهي صورة عالية الدقة. يمكنه أيضًا إدراك عمق اللون (التدرجات اللونية) حتى (48 ) بت لكل إطار ، ويمكنه تصوير ما يعادل (24 ) إطارًا في الثانية. أقصى عدد ممكن من المعلومات المستخدمة لتصوير فيلم رقمي مدته ساعة واحدة ( (3600 ) - ثانية) هو إذن عدد كبير للغاية.

باستخدام الآلة الحاسبة ، ندخل (2،048 × 1 ) ، (536 × 48 × 24 × 3 ) ، (600 ) ، ثم نضغط على ENTER. تعرض الآلة الحاسبة (1.304596316E13 ). ماذا يعني هذا؟ يمثل جزء " (E13 )" من النتيجة الأس (13 ) من عشرة ، لذلك يوجد حد أقصى تقريبًا (1.3 times10 ^ {13} ) بت من البيانات في هذا الفيلم الذي تبلغ مدته ساعة واحدة . في هذا القسم ، نراجع قواعد الأسس أولاً ثم نطبقها على العمليات الحسابية التي تتضمن أعدادًا كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا.

استخدام قاعدة المنتج للأسس

ضع في اعتبارك المنتج (x ^ 3 times x ^ 4 ). كلا الحدين لهما نفس الأساس ، (س ) ، لكنهما مرفوعان إلى أسس مختلفة. قم بتوسيع كل تعبير ، ثم أعد كتابة التعبير الناتج.

[ begin {align *} x ^ 3 times x ^ 4 & = overbrace {x times x times x} ^ { text {3 factor}} times overbrace {x times x times x مرات ×} ^ { نص {4 عوامل}} [4pt] & = overbrace {x times x times x times x times x times x times x} ^ { text {7 عوامل }} [4pt] & = x ^ 7 end {align *} ]

والنتيجة هي أن (x ^ 3 times x ^ 4 = x ^ {3 + 4} = x ^ 7 ).

لاحظ أن أُس المنتج هو مجموع أسس المصطلحات. بمعنى آخر ، عند ضرب التعبيرات الأسية ذات الأساس نفسه ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك ونضيف الأسس. هذه هي قاعدة حاصل الضرب للأسس.

[a ^ m times a ^ n = a ^ {m + n} ]

الآن فكر في مثال بأرقام حقيقية.

(2 ^ 3 times2 ^ 4 = 2 ^ {3 + 4} = 2 ^ 7 )

يمكننا دائمًا التحقق من صحة ذلك عن طريق تبسيط كل تعبير أسي. نجد أن (2 ^ 3 ) هو (8 ) ، (2 ^ 4 ) هو (16 ) ، و (2 ^ 7 ) هو (128 ). حاصل الضرب (8 times16 ) يساوي (128 ) فتكون العلاقة صحيحة. يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب للأسس لتبسيط المقادير التي هي حاصل ضرب عددين أو تعبيرين لهما نفس الأساس لكن الأسس مختلفة.

قاعدة المنتج في الإضافات

لأي رقم حقيقي أ وأرقام طبيعية (م ) و (n ) ، تنص قاعدة حاصل ضرب الأسس على ذلك

[a ^ m times a ^ n = a ^ {m + n} label {prod} ]

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام قاعدة المنتج

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

  1. (t ^ 5 مرات t ^ 3 )
  2. ((- 3) ^ 5 مرات (3) )
  3. (× ^ 2 مرات × ^ 5 مرات × ^ 3 )

حل

استخدم قاعدة الضرب (المعادلة المرجع {المنتج}) لتبسيط كل تعبير.

  1. (t ^ 5 times t ^ 3 = t ^ {5 + 3} = t ^ 8 )
  2. ((- 3) ^ 5 مرات (3) = (- 3) ^ 5 مرات (−3) ^ 1 = (- 3) ^ {5 + 1} = (- 3) ^ 6 )
  3. (× ^ 2 مرات × ^ 5 مرات × ^ 3 )

في البداية ، قد يبدو أنه لا يمكننا تبسيط حاصل ضرب ثلاثة عوامل. ومع ذلك ، باستخدام الخاصية الترابطية للضرب ، ابدأ بتبسيط الأولين.

[x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 = (x ^ 2 times x ^ 5) times x ^ 3 = (x ^ {2 + 5}) times x ^ 3 = x ^ 7 مرات x ^ 3 = x ^ {7 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

لاحظ أننا حصلنا على نفس النتيجة بجمع الأسس الثلاثة في خطوة واحدة.

[x ^ 2 times x ^ 5 times x ^ 3 = x ^ {2 + 5 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

  1. (ك ^ 6 مرات ك ^ 9 )
  2. ( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 4 times left ( dfrac {2} {y} right) )
  3. (t ^ 3 times t ^ 6 times t ^ 5 )
الإجابة أ

(ك ^ {15} )

الجواب ب

( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 5 )

الجواب ج

(t ^ {14} )

استخدام قاعدة حاصل القسمة للأسس

تسمح لنا قاعدة خارج القسمة للأسس بتبسيط التعبير الذي يقسم عددين لهما نفس الأساس لكن الأسس مختلفة. بطريقة مشابهة لقاعدة الضرب ، يمكننا تبسيط تعبير مثل ( dfrac {y ^ m} {y ^ n} ) ، حيث (m> n ). خذ بعين الاعتبار المثال ( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} ). نفذ القسمة بحذف العوامل المشتركة.

[ start {align *} dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y } {y cdot y cdot y cdot y cdot y} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y} {1} & = y ^ 4 end {align *} ]

لاحظ أن أس حاصل القسمة هو الفرق بين الأسس للمقسوم عليه والمقسوم عليه.

[ dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} ]

بمعنى آخر ، عند قسمة التعبيرات الأسية ذات الأساس نفسه ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك ونطرح الأسس.

( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} = y ^ {9−5} = y ^ 4 )

في الوقت الحالي ، يجب أن نكون على دراية بالحالة (m> n ). خلاف ذلك ، يمكن أن يكون الفرق (m-n ) صفرًا أو سالبًا. سيتم استكشاف هذه الاحتمالات قريبا. أيضًا ، بدلاً من تأهيل المتغيرات على أنها غير صفرية في كل مرة ، سنبسط الأمور ونفترض من هنا فصاعدًا أن جميع المتغيرات تمثل أعدادًا حقيقية غير صفرية.

القاعدة المقتطعة من الأسس

لأي رقم حقيقي (أ ) وأرقام طبيعية (م ) و (ن ) ، مثل (م> ن ) ، تنص قاعدة خارج القسمة على أن

[ dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} label {quot} ]

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام قاعدة الحاصل

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} )
  2. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} )
  3. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} )

حل

استخدم قاعدة خارج القسمة (المعادلة ref {quot}) لتبسيط كل تعبير.

  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} = (- 2) ^ {14−9} = (- 2) ^ 5 )
  2. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} = t ^ {23−15} = t ^ 8 )
  3. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} = (z sqrt {2}) ^ {5−1} = (z sqrt {2}) ^ 4 )

تمرين ( PageIndex {2} )

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

  1. ( dfrac {s ^ {75}} {s ^ {68}} )
  2. ( dfrac {(- 3) ^ 6} {- 3} )
  3. ( dfrac {(ef ^ 2) ^ 5} {(ef ^ 2) ^ 3} )
الإجابة أ

(ث ^ 7 )

الجواب ب

((−3)^5)

الجواب ج

((ef ^ 2) ^ 2 )

استخدام قاعدة الأسس

افترض أن التعبير الأسي قد تم رفعه إلى قوة ما. هل يمكننا تبسيط النتيجة؟ نعم. للقيام بذلك ، نستخدم قاعدة الأسس. ضع في اعتبارك التعبير ((x ^ 2) ^ 3 ). يتم ضرب التعبير الموجود داخل الأقواس مرتين لأنه يحتوي على الأس (2 ). ثم يتم ضرب النتيجة ثلاث مرات لأن التعبير بأكمله يحتوي على أس (3 ).

[ start {align *} (x ^ 2) ^ 3 & = (x ^ 2) times (x ^ 2) times (x ^ 2) & = x times x times x times x الأوقات x times x & = x ^ 6 end {align *} ]

أس الإجابة هو حاصل ضرب الأس: ((x ^ 2) ^ 3 = x ^ {2⋅3} = x ^ 6 ). بعبارة أخرى ، عند رفع تعبير أسي إلى قوة ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك وحاصل ضرب الأسس.

[(أ ^ م) ^ n = أ ^ {m⋅n} ]

احرص على التمييز بين استخدامات قاعدة المنتج وقاعدة القوة. عند استخدام قاعدة حاصل الضرب ، يتم رفع المصطلحات المختلفة بنفس الأسس إلى الأس. في هذه الحالة ، تقوم بجمع الأسس. عند استخدام قاعدة القوة ، يتم رفع المصطلح في التدوين الأسي إلى قوة. في هذه الحالة ، تقوم بضرب الأسس.

جدول ( PageIndex {1} )
سيادة المنتجحكم القوة
(5 ^ {3} times 5 ^ {4} = 5 ^ {3 + 4} = 5 ^ {7} ) ((5 ^ 3) ^ 4 = 5 ^ {3 times4} = 5 ^ {12} )
(x ^ {5} times x ^ {2} = x ^ {5 + 2} = x ^ {7} ) ((x ^ 5) ^ 2 = x ^ {5 times2} = x ^ {10} )
((3a) ^ 7 times (3a) ^ {10} = (3a) ^ {7 + 10} = (3a) ^ {17} ) (((3a) ^ 7) ^ {10} = (3a) ^ {7 times10} = (3a) ^ {70} )

قاعدة قوة الإكسبونات

لأي عدد حقيقي a والأعداد الصحيحة الموجبة m و n ، تنص قاعدة الأسس على ذلك

[(a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} label {power} ]

مثال ( PageIndex {3} ): استخدام قاعدة الطاقة

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

  1. ((س ^ 2) ^ 7 )
  2. ((2t) ^ 5) ^ 3 )
  3. (((−3)^5)^{11})

حل

استخدم قاعدة الأس (المعادلة المرجع {القوة}) لتبسيط كل تعبير.

  1. ((س ^ 2) ^ 7 = س ^ {2⋅7} = س ^ {14} )
  2. ((2t) ^ 5) ^ 3 = (2t) ^ {5⋅3} = (2t) ^ {15} )
  3. (((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55})

تمرين ( PageIndex {3} )

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

  1. ((3y) ^ 8) ^ 3 )
  2. ((ر ^ 5) ^ 7 )
  3. ((- ز) ^ 4) ^ 4 )
الإجابة أ

((3 سنوات) ^ {24} )

الجواب ب

(t ^ {35} )

الجواب ج

((- ز) ^ {16} )

استخدام قاعدة الأُس الصفرية

العودة إلى قاعدة حاصل القسمة. لقد وضعنا الشرط الذي (m> n ) بحيث لا يكون الفرق (m − n ) صفرًا أو سالبًا. ماذا سيحدث لو (م = ن )؟ في هذه الحالة ، سنستخدم قاعدة الأس الصفرية للأسس لتبسيط التعبير إلى (1 ). لنرى كيف يتم ذلك ، دعونا نبدأ بمثال.

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = 1 nonumber ]

إذا أردنا تبسيط المقدار الأصلي باستخدام قاعدة خارج القسمة ، فسيكون لدينا

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = t ^ {8−8} = t ^ 0 nonumber ]

إذا ساوينا الإجابتين ، تكون النتيجة (t ^ 0 = 1 ). هذا صحيح بالنسبة لأي رقم حقيقي غير صفري ، أو أي متغير يمثل رقمًا حقيقيًا.

[a ^ 0 = 1 بلا رقم ]

الاستثناء الوحيد هو التعبير (0 ^ 0 ). يظهر هذا لاحقًا في الدورات التدريبية الأكثر تقدمًا ، ولكن في الوقت الحالي ، سنعتبر أن القيمة غير محددة.

القاعدة الصفرية من EXPONENTS

لأي عدد حقيقي غير صفري أ ، تنص قاعدة الأس الصفرية على ذلك

[a ^ 0 = 1 ]

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام قاعدة الأس الصفرية

بسّط كل تعبير باستخدام قاعدة الأس الصفرية.

  1. ( dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} )
  2. ( dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} )
  3. ( dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} )
  4. ( dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} )

حل

استخدم الأس الصفري والقواعد الأخرى لتبسيط كل تعبير.

أ. [ begin {align *} dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} & = c ^ {3-3} & = c ^ 0 & = 1 end {align *} ]

ب. [ begin {align *} dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times dfrac {x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times x ^ { 5-5} & = -3 times x ^ 0 & = -3 times 1 & = -3 end {align *} ]

ج. [ begin {align *} dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {( j ^ 2k) ^ {1 + 3}} && text {استخدام قاعدة المنتج في المقام} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) ^ 4} && text {Simplify} & = (j ^ 2k) ^ {4-4} && text {استخدام قاعدة خارج القسمة} & = (j ^ 2k) ^ 0 && text {Simplify} & = 1 نهاية {محاذاة *} ]

د. [ start {align *} dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} & = 5 (rs ^ 2) ^ {2-2} && text {استخدم حاصل القسمة rule} & = 5 (rs ^ 2) ^ 0 && text {Simplify} & = 5 times1 && text {Use the zero exponent rule} & = 5 && text {Simplify} end {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

بسّط كل تعبير باستخدام قاعدة الأس الصفرية.

  1. ( dfrac {t ^ 7} {t ^ 7} )
  2. ( dfrac {(de ^ 2) ^ {11}} {2 (de ^ 2) ^ {11}} )
  3. ( dfrac {w ^ 4 times w ^ 2} {w ^ 6} )
  4. ( dfrac {t ^ 3 times t ^ 4} {t ^ 2 times t ^ 5} )
الإجابة أ

(1)

الجواب ب

( dfrac {1} {2} )

الجواب ج

(1)

الجواب د

(1)

استخدام قاعدة الأسس السالبة

تحدث نتيجة مفيدة أخرى إذا قمنا بتخفيف الشرط الذي (m> n ) في قاعدة خارج القسمة إلى أبعد من ذلك. على سبيل المثال ، هل يمكننا تبسيط ( dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} )؟ عندما (m

اقسم تعبيرًا أسيًا على تعبير أسي آخر بأس أكبر. استخدم المثال ، ( dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} ).

[ start {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = dfrac {t times t times t} {t times t times t times t times t} & = dfrac {1} {t times t} & = dfrac {1} {h ^ 2} end {align *} ]

إذا أردنا تبسيط المقدار الأصلي باستخدام قاعدة خارج القسمة ، فسيكون لدينا

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = h ^ {3-5} & = h ^ {- 2} end {align *} ]

بتجميع الإجابات معًا ، لدينا (h ^ {- 2} = dfrac {1} {h ^ 2} ). هذا صحيح بالنسبة لأي رقم حقيقي غير صفري ، أو أي متغير يمثل عددًا حقيقيًا غير صفري.

يصبح العامل ذو الأس السالب هو نفس العامل مع الأس الموجب إذا تم نقله عبر شريط الكسر - من البسط إلى المقام أو العكس.

(a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ) و (a ^ n = dfrac {1} {a ^ {- n}} )

لقد أظهرنا أن التعبير الأسي يتم تعريفه عندما يكون (n ) عددًا طبيعيًا ، (0 ) ، أو سالبًا لرقم طبيعي. هذا يعني أنه تم تعريف أي عدد صحيح (n ). أيضًا ، قواعد المنتج وحاصل القسمة وجميع القواعد التي سننظر إليها قريبًا تحتوي على أي عدد صحيح (n ).

القاعدة السلبية للإكساسات

لأي عدد حقيقي غير صفري a وعدد طبيعي n ، تنص القاعدة السالبة للأسس على ذلك

[a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ]

مثال ( PageIndex {5} ): استخدام قاعدة الأس السالب

اكتب كلًا من حاصل القسمة التالي بأساس واحد. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} )
  2. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} )
  3. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} )

حل

  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} = theta ^ {3-10} = theta ^ {- 7} = dfrac {1} { theta ^ 7} )
  2. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} = dfrac {z ^ {2 + 1}} {z ^ 4} = dfrac {z ^ 3} {z ^ 4} = z ^ {3-4} = z ^ {- 1} = dfrac {1} {z} )
  3. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} = (- 5t ^ 3) ^ {4-8} = (- 5t ^ 3) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 5t ^ 3) ^ 4} )

تمرين ( PageIndex {5} )

اكتب كلًا من حاصل القسمة التالي بأساس واحد. اكتب إجابات بأسس موجبة.

  1. ( dfrac {(- 3t) ^ 2} {(- 3t) ^ 8} )
  2. ( dfrac {f ^ {47}} {f ^ {49} times f} )
  3. ( dfrac {2k ^ 4} {5k ^ 7} )
الإجابة أ

( dfrac {1} {(- 3t) ^ 6} )

الجواب ب

( dfrac {1} {f ^ 3} )

الجواب ج

( dfrac {2} {5k ^ 3} )

مثال ( PageIndex {6} ): استخدام قواعد المنتج والحاصل

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. اكتب إجابات بأسس موجبة.

  1. (ب ^ 2 مرات ب ^ {- 8} )
  2. ((- س) ^ 5 مرات (-x) ^ {- 5} )
  3. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} )

حل

  1. (ب ^ 2 مرات ب ^ {- 8} = ب ^ {2-8} = ب ^ {- 6} = dfrac {1} {b ^ 6} )
  2. ((- x) ^ 5 times (-x) ^ {- 5} = (- x) ^ {5-5} = (- x) ^ 0 = 1 )
  3. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} = dfrac {(- 7z) ^ 1} {(- 7z) ^ 5} = (- 7z) ^ {1-5} = (- 7z) ) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )

تمرين ( PageIndex {6} )

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. اكتب إجابات بأسس موجبة.

  1. (t ^ {- 11} مرات t ^ 6 )
  2. ( dfrac {25 ^ {12}} {25 ^ {13}} )
الإجابة أ

(t ^ {- 5} = dfrac {1} {t ^ 5} )

الجواب ب

( dfrac {1} {25} )

إيجاد قوة المنتج

لتبسيط قوة حاصل ضرب تعبيرين أسيين ، يمكننا استخدام قوة قاعدة حاصل الضرب للأسس ، والتي تقسم قوة منتج العوامل إلى حاصل ضرب قوى العوامل. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك ((pq) ^ 3 ). نبدأ باستخدام الخواص الترابطية والتبادلية للضرب لإعادة تجميع العوامل.

[ start {align *} (pq) ^ 3 & = (pq) times (pq) times (pq) & = p times q times p times q times p times q & = p ^ 3 times q ^ 3 end {align *} ]

بمعنى آخر ، ((pq) ^ 3 = p ^ 3 times q ^ 3 ).

قوة قاعدة المنتج من EXPONIONS

لأي عدد حقيقي أ و ب وأي عدد صحيح ن ، فإن قوة قاعدة حاصل الضرب للأسس تنص على ذلك

[(ab) ^ n = a ^ nb ^ n ]

مثال ( PageIndex {7} ): استخدام قوة قاعدة منتج

بسّط كل منتج من المنتجات التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة حاصل الضرب. اكتب إجابات بأسس موجبة.

  1. ((أب ^ 2) ^ 3 )
  2. ((2t) ^ {15} )
  3. ((- 2w ^ 3) ^ 3 )
  4. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )
  5. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 )

حل

استخدم قواعد الضرب والحاصل والتعريفات الجديدة لتبسيط كل تعبير.

أ. ((ab ^ 2) ^ 3 = (a) ^ 3 times (b ^ 2) ^ 3 = a ^ {1 times3} times b ^ {2 times3} = a ^ 3b ^ 6 )

ب. ((2t) ^ {15} = (2) ^ {15} times (t) ^ {15} = 2 ^ {15} t ^ {15} = 32،768t ^ {15} )

ج. ((- 2w ^ 3) ^ 3 = (- 2) ^ 3 times (w ^ 3) ^ 3 = −8 times w ^ {3 times3} = - 8w ^ 9 )

د. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} = dfrac {1} {(- 7) ^ 4 times (z) ^ 4} = dfrac {1} {2401z ^ 4} )

ه. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 = (e ^ {- 2}) ^ 7 times (f ^ 2) ^ 7 = e ^ {- 2 times7} times f ^ {2 times7} = e ^ {- 14} f ^ {14} = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} )

تمرين ( PageIndex {7} )

بسّط كل منتج من المنتجات التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة حاصل الضرب. اكتب إجابات بأسس موجبة.

  1. ((ز ^ 2 س ^ 3) ^ 5 )
  2. ((5 طن) ^ 3 )
  3. ((- 3 سنوات ^ 5) ^ 3 )
  4. ( dfrac {1} {(a ^ 6b ^ 7) ^ 3} )
  5. ((r ^ 3s ^ {- 2}) ^ 4 )
الإجابة أ

(g ^ {10} h ^ {15} )

الجواب ب

(125 طن ^ 3 )

الجواب ج

(- 27 س ^ {15} )

الجواب د

( dfrac {1} {a ^ {18} b ^ {21}} )

الجواب ه

( dfrac {r ^ {12}} {s ^ 8} )

إيجاد قوة حاصل القسمة

لتبسيط قوة خارج قسمة تعبيرين ، يمكننا استخدام قوة قاعدة خارج القسمة ، والتي تنص على أن قوة خارج قسمة العوامل هي حاصل قسمة قوى العوامل. على سبيل المثال ، دعنا نلقي نظرة على المثال التالي.

[(e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} ]

دعونا نعيد كتابة المشكلة الأصلية بشكل مختلف وننظر إلى النتيجة.

[ start {align *} (e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 & = left ( dfrac {f ^ 2} {e ^ 2} right) ^ 7 & = dfrac { و ^ {14}} {e ^ {14}} end {align *} ]

يبدو من الخطوتين الأخيرتين أنه يمكننا استخدام قوة قاعدة حاصل الضرب كقوة لقاعدة خارج القسمة.

[ start {align *} (e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 & = left ( dfrac {f ^ 2} {e ^ 2} right) ^ 7 & = dfrac { (f ^ 2) ^ 7} {(e ^ 2) ^ 7} & = dfrac {f ^ {2 times7}} {e ^ {2 times7}} & = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} end {align *} ]

قوة القاعدة ذات الحصيلة من الأسس

لأي عدد حقيقي أ وب وأي عدد صحيح ن ، فإن قوة خارج القسمة للأسس تنص على ذلك

[ left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} ]

مثال ( PageIndex {8} ): استخدام قوة قاعدة الحاصل

بسّط كل من خارج القسمة التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة خارج القسمة. اكتب إجابات بأسس موجبة.

  1. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 )
  2. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 )
  3. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} )
  4. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 )
  5. ((م ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 )

حل

أ. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 = dfrac {(4) ^ 3} {(z ^ {11}) ^ 3} = dfrac {64} { z ^ {11 times3}} = dfrac {64} {z ^ {33}} )

ب. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 = dfrac {(p) ^ 6} {(q ^ 3) ^ 6} = dfrac {p ^ {1 times6} } {q ^ {3 times6}} = dfrac {p ^ 6} {q ^ {18}} )

ج. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} = dfrac {(- 1) ^ {27}} {(t ^ 2) ^ {27}} = dfrac {-1} {t ^ {2 times27}} = dfrac {-1} {t ^ {54}} = - dfrac {1} {t ^ {54}} )

د. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 = left ( dfrac {j ^ 3} {k ^ 2} right) ^ 4 = dfrac {(j ^ 3) ^ 4} {(k ^ 2) ^ 4} = dfrac {j ^ {3 times4}} {k ^ {2 times4}} = dfrac {j ^ {12}} {k ^ 8} )

ه. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 = left ( dfrac {1} {m ^ 2n ^ 2} right) ^ 3 = dfrac {(1) ^ 3} { (m ^ 2n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {(m ^ 2) ^ 3 (n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {m ^ {2 times3} n ^ {2 times3}} = dfrac {1} {m ^ 6n ^ 6} )

تمرين ( PageIndex {8} )

بسّط كل من خارج القسمة التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة خارج القسمة. اكتب إجابات بأسس موجبة.

  1. ( left ( dfrac {b ^ 5} {c} right) ^ 3 )
  2. ( left ( dfrac {5} {u ^ 8} right) ^ 4 )
  3. ( left ( dfrac {-1} {w ^ 3} right) ^ {35} )
  4. ((p ^ {- 4} q ^ 3) ^ 8 )
  5. ((ج ^ {- 5} د ^ {- 3}) ^ 4 )
الإجابة أ

( dfrac {b ^ {15}} {c ^ 3} )

الجواب ب

( dfrac {625} {u ^ {32}} )

الجواب ج

( dfrac {-1} {w ^ {105}} )

الجواب د

( dfrac {q ^ {24}} {p ^ {32}} )

الجواب ه

( dfrac {1} {c ^ {20} d ^ {12}} )


تبسيط التعبيرات الأسية

تذكر أن لتبسيط التعبير يعني إعادة كتابته عن طريق تمشيط المصطلحات أو الأسس ؛ بمعنى آخر ، لكتابة التعبير بشكل أكثر بساطة بمصطلحات أقل. يمكن دمج قواعد الأسس لتبسيط التعابير.

مثال ( PageIndex {9} ): تبسيط التعبيرات الأسية

بسّط كل تعبير واكتب الإجابة بأسس موجبة فقط.

  1. ((6 م ^ 2 ن ^ {- 1}) ^ 3 )
  2. (17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} )
  3. ( left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2 )
  4. ((- 2a ^ 3b ^ {- 1}) (5a ^ {- 2} ب ^ 2) )
  5. ((x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2}) ^ {- 4} )
  6. ( dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2} )

حل

أ. [ begin {align *} (6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 & = (6) ^ 3 (m ^ 2) ^ 3 (n ^ {- 1}) ^ 3 && text {القوة من قاعدة المنتج} & = 6 ^ 3m ^ {2 times3} n ^ {- 1 times3} && text {The power rule} & = 216m ^ 6n ^ {- 3} && text { قاعدة القوة} & = dfrac {216m ^ 6} {n ^ 3} && text {قاعدة الأس السلبية} end {align *} ]

ب. [ begin {align *} 17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} & = 17 ^ {5-4-3} && text {The product rule} & = 17 ^ {-2} && text {Simplify} & = dfrac {1} {17 ^ 2} text {or} dfrac {1} {289} && text {قاعدة الأس السلبية} end {align *} ]

ج. [ begin {align *} left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2 & = dfrac {(u ^ {- 1} v) ^ 2} {(v ^ {- 1}) ^ 2} && text {قوة قاعدة خارج القسمة} & = dfrac {u ^ {- 2} v ^ 2} {v ^ {- 2}} && text {قوة قاعدة المنتج} & = u ^ {- 2} v ^ {2 - (- 2)} && text {قاعدة خارج القسمة} & = u ^ {- 2} v ^ 4 && text {Simplify} & = dfrac {v ^ 4} {u ^ 2} && text {قاعدة الأس السلبية} end {align *} ]

د. [ start {align *} left (-2a ^ 3b ^ {- 1} right) left (5a ^ {- 2} b ^ 2 right) & = left (-2 times 5 right ) left (a ^ {3} a ^ {- 2} right) left (b ^ {- 1} b ^ {2} right) && text {القوانين التبادلية والترابطية للضرب} & = -10 مرات a ^ {3-2} times b ^ {- 1 + 2} && text {The product rule} & = -10ab && text {Simplify} end {align *} ]

ه. [ begin {align *} left (x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ {- 4} & = left (x ^ 2 sqrt { 2} right) ^ {4-4} && text {قاعدة المنتج} & = left (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ 0 && text {Simplify} & = 1 && text {قاعدة الأس الصفرية} end {align *} ]

F. [ begin {align *} dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2} & = dfrac {(3) ^ 5 times (w ^ 2) ^ 5 } {(6) ^ 2 times (w ^ {- 2}) ^ 2} && text {قوة قاعدة المنتج} & = dfrac {3 ^ 5w ^ {2 times5}} {6 ^ 2w ^ {- 2 times2}} && text {The power rule} & = dfrac {243w ^ {10}} {36w ^ {- 4}} && text {Simplify} & = dfrac {27w ^ {10 - (- 4)}} {4} && text {قاعدة خارج القسمة وتقليل الكسر} & = dfrac {27w ^ {14}} {4} && text {Simplify} نهاية {محاذاة *} ]

استخدام الترميز العلمي

تذكر في بداية القسم أننا وجدنا الرقم (1.3 times10 ^ {13} ) عند وصف أجزاء من المعلومات في الصور الرقمية. تتضمن الأرقام المتطرفة الأخرى عرض شعرة الإنسان ، وهو حوالي (0.00005 ؛ م ) ، ونصف قطر الإلكترون ، وهو حوالي (0.00000000000047 ؛ م ). كيف يمكننا العمل بفعالية في القراءة والمقارنة والحساب بأرقام مثل هذه؟

يُطلق على طريقة الاختزال في كتابة الأعداد الصغيرة جدًا والكبيرة جدًا تدوينًا علميًا ، حيث نعبر عن الأعداد بدلالة الأس (10 ​​). لكتابة رقم بالتدوين العلمي ، انقل الفاصلة العشرية إلى يمين الرقم الأول في الرقم. اكتب الأرقام كرقم عشري بين (1 ) و (10 ​​). قم بحساب عدد الأماكن (n ) التي قمت بنقل العلامة العشرية إليها. اضرب الرقم العشري في (10 ​​) مرفوعًا إلى أس (n ). إذا قمت بتحريك الفاصلة العشرية إلى اليسار كما في عدد كبير جدًا ، فسيكون (n ) موجبًا. إذا نقلت الفاصلة العشرية إلى اليمين كما في عدد كبير صغير ، فإن (n ) تكون سالبة.

على سبيل المثال ، ضع في الاعتبار الرقم (2،780،418 ). حرك العلامة العشرية لليسار حتى تصبح على يمين أول رقم غير صفري ، وهو (2 ).

نحصل على (2.780418 ) بتحريك الفاصلة العشرية (6 ) إلى اليسار. إذن ، أس (10 ​​) هو (6 ) ، وهو موجب لأننا نقلنا الفاصلة العشرية إلى اليسار. هذا ما يجب أن نتوقعه لعدد كبير.

(2.780418 مرات {10} ^ 6 )

العمل بأعداد صغيرة مشابه. خذ ، على سبيل المثال ، نصف قطر الإلكترون ، (0.00000000000047 ؛ م ). نفذ نفس سلسلة الخطوات الموضحة أعلاه ، باستثناء نقل الفاصلة العشرية إلى اليمين.

احرص على عدم تضمين البادئة (0 ) في العد. ننقل الفاصلة العشرية (13 ) إلى اليمين ، لذا فإن الأس (10 ​​) هو (13 ). الأس سالب لأننا نقلنا الفاصلة العشرية إلى اليمين. هذا ما يجب أن نتوقعه لعدد صغير.

(4.7 مرات {10} ^ {- 13} )

الترميز العلمي

يتم كتابة الرقم بالتدوين العلمي إذا كان مكتوبًا بالشكل (أ مرات {10} ^ n ) ، حيث (1≤ | a | <10 ) و (n ) عدد صحيح.

مثال ( PageIndex {10} ): تحويل التدوين القياسي إلى تدوين علمي

كتابة كل عدد في العلمي.

  1. المسافة إلى مجرة ​​المرأة المسلسلة من الأرض: (24.000.000.000.000.000.000.000 ؛ م )
  2. قطر مجرة ​​المرأة المسلسلة: (1،300،000،000،000،000،000،000 ؛ m )
  3. عدد النجوم في مجرة ​​المرأة المسلسلة: (1،000،000،000،000 )
  4. قطر الإلكترون: (0.00000000000094 ؛ م )
  5. احتمالية التعرض للصاعقة في أي سنة منفردة: (0.00000143 )

حل

أ. (24.000.000.000.000.000.000.000 ؛ م ) (22 ) مكان

(2.4 times {10} ^ {22} ؛ m )

ب. (1،300،000،000،000،000،000،000 ؛ م ) (21 ) مكان

(1.3 times {10} ^ {21} ؛ m )

ج. (1،000،000،000،000 ) (12 ) مكان

(1 مرة {10} ^ {12} )

د. (0.00000000000094 ؛ م ) (13 ) مكان

(9.4 times {10} ^ {- 13} ؛ m )

ه. (0.00000143 ) (6 ) أماكن

(1.43 مرات {10} ^ 6 )

تحليل

لاحظ أنه إذا كان الرقم المحدد أكبر من (1 ) ، كما في الأمثلة a-c ، فإن الأس (10 ​​) يكون موجبًا ؛ وإذا كان الرقم أقل من (1 ) ، كما في الأمثلة d – e ، يكون الأس سالبًا.

تمرين ( PageIndex {10} )

كتابة كل عدد في العلمي.

  1. الدين القومي الأمريكي لكل دافع ضرائب (أبريل 2014): ( 152000 دولار )
  2. سكان العالم (أبريل 2014): (7،158،000،000 )
  3. الدخل القومي الإجمالي العالمي (أبريل 2014): ($ 85،500،000،000،000 )
  4. الوقت الذي يستغرقه الضوء للسفر (1 ؛ م: 0.00000000334 ؛ ق )
  5. احتمالية الفوز في اليانصيب (تطابق (6 ) من (49 ) أرقام محتملة): (0.0000000715 )
الإجابة أ

( $ 1.52 مرات {10} ^ 5 )

الجواب ب

(7.158 مرات {10} ^ 9 )

الجواب ج

( 8.55 دولار مرات {10} ^ {13} )

الجواب د

(3.34 مرات {10} ^ {- 9} )

الجواب ه

(7.15 مرات {10} ^ {- 8} )

التحويل من التدوين العلمي إلى التدوين القياسي

لتحويل رقم في التدوين العلمي إلى تدوين قياسي ، ما عليك سوى عكس العملية. انقل المنازل العشرية n إلى اليمين إذا كانت (n ) موجبة أو (n ) أماكن إلى اليسار إذا كانت (n ) سلبية وأضف الأصفار حسب الحاجة. تذكر أنه إذا كانت (n ) موجبة ، فإن قيمة الرقم أكبر من (1 ) ، وإذا كانت (n ) سلبية ، فإن قيمة الرقم أقل من واحد.

مثال ( PageIndex {11} ): تحويل الترميز العلمي إلى تدوين قياسي

تحويل كل رقم في التدوين العلمي إلى التدوين القياسي.

  1. (3.547 مرات {10} ^ {14} )
  2. (- 2 مرة {10} ^ 6 )
  3. (7.91 مرات {10} ^ {- 7} )
  4. (- 8.05 مرات {10} ^ {- 12} )

حل

أ. (3.547 مرات {10} ^ {14} )

(3.54700000000000)

( rightarrow14 ) الأماكن

(354,700,000,000,000)

ب. (- 2 مرة {10} ^ 6 )

(−2.000000)

( rightarrow6 ) الأماكن

(−2,000,000)

ج. (7.91 مرات {10} ^ {- 7} )

(0000007.91)

( rightarrow7 ) الأماكن

(0.000000791)

د. (- 8.05 مرات {10} ^ {- 12} )

(−000000000008.05)

( rightarrow12 ) الأماكن

(−0.00000000000805)

تمرين ( PageIndex {11} )

تحويل كل رقم في التدوين العلمي إلى التدوين القياسي.

  1. (7.03 مرات {10} ^ 5 )
  2. (- 8.16 مرات {10} ^ {11} )
  3. (- 3.9 مرات {10} ^ {- 13} )
  4. (8 مرات {10} ^ {- 6} )
الإجابة أ

(703,000)

الجواب ب

(−816,000,000,000)

الجواب ج

(−0.00000000000039)

الجواب د

(0.000008)

استخدام الترميز العلمي في التطبيقات

يجعل الترميز العلمي ، المستخدم مع قواعد الأس ، الحساب بأعداد كبيرة أو صغيرة أسهل بكثير من القيام بذلك باستخدام التدوين القياسي. على سبيل المثال ، لنفترض أنه طُلب منا حساب عدد الذرات في (1 ؛ L ) من الماء. يحتوي كل جزيء ماء على (3 ) ذرات ( (2 ) هيدروجين و (1 ) أكسجين). يحتوي متوسط ​​قطرة الماء على حوالي (1.32 مرة {10} {21} ) جزيء من الماء و (1 ؛ L ) من الماء يحتوي على (1.22 مرة {10} ^ {4} ) تقريبًا متوسط ​​قطرات. لذلك ، يوجد تقريبًا (3⋅ (1.32 times {10} ^ {21}) ⋅ (1.22 times {10} ^ 4) ≈4.83 times {10} ^ {25} ) في (1 ؛ L ) من الماء. نحن ببساطة نضرب الحدود العشرية ونجمع الأسس. تخيل أنه يتعين عليك إجراء الحساب دون استخدام الرموز العلمية!

عند إجراء العمليات الحسابية باستخدام الرموز العلمية ، تأكد من كتابة الإجابة بالتدوين العلمي المناسب. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المنتج ((7 times {10} ^ 4) ⋅ (5 times {10} ^ 6) = 35 times {10} ^ {10} ). الإجابة ليست بالترميز العلمي الصحيح لأن (35 ) أكبر من (10 ​​). اعتبر (35 ) كـ (3.5 times10 ). هذا يضيف عشرة إلى الأس للإجابة.

((35) times {10} ^ {10} = (3.5 times10) times {10} ^ {10} = 3.5 times (10 times {10} ^ {10}) = 3.5 times { 10} ^ {11} )

مثال ( PageIndex {12} ): استخدام الترميز العلمي

نفذ العمليات واكتب الإجابة في شكل تدوين علمي.

  1. ((8.14 times {10} ^ {- 7}) (6.5 times {10} ^ {10}) )
  2. ((4 مرات {10} ^ 5) ÷ (−1.52 مرات {10} ^ {9}) )
  3. ((2.7 times {10} ^ 5) (6.04 times {10} ^ {13}) )
  4. ((1.2 times {10} ^ 8) ÷ (9.6 times {10} ^ 5) )
  5. ((3.33 times {10} ^ 4) (- 1.05 times {10} ^ 7) (5.62 times {10} ^ 5) )

حلول

أ. [ begin {align *} (8.14 times {10} ^ {- 7}) (6.5 times {10} ^ {10}) & = (8.14 times6.5) ({10} ^ {- 7 } times {10} ^ {10}) text {الخصائص التبادلية والترابطية للضرب} & = (52.91) ({10} ^ 3) text {Product rule of exponents} & = 5.291 times {10} ^ 4 text {التدوين العلمي} end {align *} ]

ب. [ begin {align *} (4 times {10} ^ 5) div (-1.52 times {10} ^ {9}) & = left ( dfrac {4} {- 1.52} right) left ( dfrac {{10} ^ 5} {{10} ^ 9} right) text {الخصائص التبادلية والرابطية للضرب} & almost (-2.63) ({10} ^ {- 4} ) text {Quotient rule of exponents} & = -2.63 times {10} ^ {- 4} text {Scientific notation} end {align *} ]

ج. [ begin {align *} (2.7 times {10} ^ 5) (6.04 times {10} ^ {13}) & = (2.7 times6.04) ({10} ^ 5 times {10} ^ {13}) text {الخصائص التبادلية والترابطية للضرب} & = (16.308) ({10} ^ {18}) text {Product rule of exponents} & = 1.6308 times {10} ^ {18} text {تدوين علمي} نهاية {محاذاة *} ]

د. [ begin {align *} (1.2 times {10} ^ 8) ÷ (9.6 times {10} ^ 5) & = left ( dfrac {1.2} {9.6} right) left ( dfrac {{10} ^ 8} {{10} ^ 5} right) text {الخصائص التبادلية والترابطية للضرب} & = (0.125) ({10} ^ 3) text {Quotient rule of الأس} & = 1.25 مرات {10} ^ 2 text {التدوين العلمي} end {align *} ]

ه. [ begin {align *} (3.33 times {10} ^ 4) (- 1.05 times {10} ^ 7) (5.62 times {10} ^ 5) & = [3.33 times (-1.05) مرات 5.62] ({10} ^ 4 times {10} ^ 7 times {10} ^ 5) & almost (-19.65) ({10} ^ {16}) & = -1.965 مرات {10} ^ {17} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {12} )

نفذ العمليات واكتب الإجابة في شكل تدوين علمي.

  1. ((- 7.5 times {10} ^ 8) (1.13 times {10} ^ {- 2}) )
  2. ((1.24 times {10} ^ {11}) ÷ (1.55 times {10} ^ {18}) )
  3. ((3.72 times {10} ^ 9) (8 times {10} ^ 3) )
  4. ((9.933 مرات {10} ^ {23}) ÷ (2.31 مرات {10} ^ {17}) )
  5. ((- 6.04 times {10} ^ 9) (7.3 times {10} ^ 2) (- 2.81 times {10} ^ 2) )
الإجابة أ

(- 8.475 مرات {10} ^ 6 )

الجواب ب

(8 مرات {10} ^ {- 8} )

الجواب ج

(2.976 times {10} ^ {13} )

الجواب د

(- 4.3 مرات {10} ^ 6 )

الجواب ه

(≈1.24 مرات {10} ^ {15} )

مثال ( PageIndex {13} ): تطبيق الترميز العلمي لحل المشكلات

في نيسان 2014 كان عدد سكان الولايات المتحدة حوالي (308.000.000 ) نسمة. كان الدين القومي حوالي ( 17.547.000.000.000 دولار ). اكتب كل رقم في التدوين العلمي ، مع تقريب الأرقام إلى منزلتين عشريتين ، وإيجاد مقدار الدين لكل مواطن أمريكي. اكتب الإجابة في كل من الرموز العلمية والقياسية.

حل

كان عدد السكان (308،000،000 = 3.08 times {10} ^ 8 ).

كان الدين القومي (17،547،000،000،000≈ $ 1.75 times {10} ^ {13} ).

لمعرفة مقدار الدين على كل مواطن ، قسّم الدين الوطني على عدد المواطنين.

[ begin {align *} (1.75 times {10} ^ {13}) div (3.08 times {10} ^ 8) & = left ( dfrac {1.75} {3.08} right) ({ 10} ^ 5) & almost 0.57 times {10} ^ 5 & = 5.7 times {10} ^ 4 end {align *} ]

كان الدين على كل مواطن في ذلك الوقت حوالي (5.7 دولار مرة {10} ^ 4 ) ، أو (57000 دولار ).

تمرين ( PageIndex {13} )

يحتوي جسم الإنسان المتوسط ​​على حوالي (30.000.000.000.000 ) من كريات الدم الحمراء. تقيس كل خلية تقريبًا طول (0.000008 ؛ م ). اكتب كل رقم في التدوين العلمي وابحث عن الطول الإجمالي إذا تم وضع الخلايا من طرف إلى طرف. اكتب الإجابة في كل من الرموز العلمية والقياسية.

إجابه

عدد الخلايا: (3 مرات {10} ^ {13} ) ؛ طول الخلية: (8 times {10} ^ {- 6} ؛ m )؛ الطول الإجمالي: (2.4 times {10} ^ 8 ؛ m ) أو (240،000،000 ؛ m ).

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع الأسس والتأشير العلمي.

المعادلات الرئيسية

قواعد الأس للأعداد الحقيقية غير الصفرية a و b والأعداد الصحيحة m و n
سيادة المنتج (a ^ m⋅a ^ n = a ^ {m + n} )
قاعدة الحاصل ( dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} )
حكم القوة ((أ ^ م) ^ n = أ ^ {m⋅n} )
قاعدة الأس الصفري (أ ^ 0 = 1 )
حكم سلبي (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} )
قوة قاعدة المنتج ((a⋅b) ^ n = a ^ n⋅b ^ n )
قوة حاصل القسمة ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} )

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن تبسيط حاصل ضرب المقادير الأسية التي لها نفس الأساس بإضافة الأسس. انظر المثال.
  • يمكن تبسيط خواص التعابير الأسية التي لها نفس الأساس بطرح الأسس. انظر المثال.
  • يمكن تبسيط قوى التعابير الأسية التي لها نفس الأساس بضرب الأسس. انظر المثال.
  • يتم تعريف التعبير ذي الأس صفر على أنه 1. انظر المثال.
  • يتم تعريف التعبير ذي الأس السالب بأنه مقلوب. انظر المثال والمثال.
  • قوة منتج من العوامل هي نفس ناتج قوى نفس العوامل. انظر المثال.
  • قوة حاصل قسمة العوامل هي نفسها حاصل قسمة قوى نفس العوامل. انظر المثال.
  • يمكن دمج قواعد التعبيرات الأسية لتبسيط التعبيرات الأكثر تعقيدًا. انظر المثال.
  • يستخدم الترميز العلمي قوى 10 لتبسيط الأعداد الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا. انظر المثال والمثال.
  • يمكن استخدام الترميز العلمي لتبسيط العمليات الحسابية بأرقام كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا. انظر المثال والمثال.

1.3: الدعاة والترميز العلمي

في العلوم ، غالبًا ما نتعامل مع الأرقام التي يمكن أن تختلف باختلاف الكثيرين أوامر من حجم، أي بقوة عشرة. على سبيل المثال ، تبعد الشمس 148،986،000،000 متر (في المتوسط) عن الأرض ، لكن المسافة عبر أحد البروتونات الموجودة في بلازما الشمس حوالي 0.000000000000001 متر. هناك الكثير من الأصفار التي يجب تتبعها والفرق بين هذه الأرقام هائل. الترميز العلمي يسمح لنا بالتعبير عن هذه الأرقام مثل 1.489 × 10 11 م و 1 × 10-15 م ، على التوالي. يجعل الأمور أسهل كثيرا.

راحة قوى العشرة

يظهر الرسم البياني الموجود على اليسار عدة قوى من عشرة ، من 10 9 ل 10 -9 ، وترجماتها إلى عدد صحيح قياسي أو تدوين عشري.

يمكنك التفكير في قوة العشرة على أنها تعليمات حول مكان نقل العلامة العشرية. إذا بدأت بالرقم 1، وهو الرقم الحقيقي 1.0، ومن بعد 10 9 يعني & ينقل العلامة العشرية تسعة أرقام إلى حق واملأ الفراغات بالأصفار. & quot

10 9 = 1,000,000,000

وبالمثل ، بدءًا من 1.0، إذا -9 هي قوة 10 (10 -9 ) ، هذا يعني & quot؛ نقل العلامة العشرية تسع مسافات إلى غادر واملأ (ثمانية) أصفار. & quot

10 -9 = 0.000000001

الشائع النظام المتري يتم سرد البادئات باللون الأرجواني لقوى معينة من عشرة.

تشكل قوى العشرة هذه العمود الفقري للتدوين العلمي. الآن دعونا نلقي نظرة على تشريح عدد مكتوب بالتدوين العلمي.

أوامر من حجم

في العلوم والرياضيات ، تسمى القوة المكونة من عشرة فرق أمر من حجم. على سبيل المثال، 100 (10 2 ) و 1,000,000 (10 6 ) بأربع مرات من حيث الحجم.

فيلم رائع: & quotPowers of Ten & quot

خذ بضع دقائق لمشاهدة هذا الفيلم القصير ، & quotPowers of Ten & quot ، الذي أنتجه عام 1977 مصممين ومعلمين غير عاديين ، تشارلز وراي إيمز. أثناء مشاهدته ، تذكر أنه تم تصويره (نعم FILMed) قبل أن يكون لدينا الكثير من إمكانيات الرسومات الرقمية. في ضوء ذلك ، إنه عمل رائع حقًا ، وسيساعد حقًا في توضيح معنى أوامر الحجم.

نسخة أحدث

إليكم نسخة محدثة من ذلك الفيلم رواه مورغان فريمان. يستحق المشاهدة!

تشريح عدد في التدوين العلمي

يمكننا الآن عمل امتداد بسيط للغاية للقوى العشرة أعلاه لإنشاء ما نسميه الترميز العلمي. يوجد على اليمين مثالان للأرقام في الترميز العلمي.

2.5 × 10 12 يعني أن تأخذ 2.5، انقل الفاصلة العشرية 12 إلى اليمين واملأ الفراغات المفتوحة بالأصفار لتكوينها 2,500,000,000,000 أو 2.5 تريليون. في التدوين العلمي ، يكون الرقم الموجود على اليسار دائمًا رقمًا واحدًا متبوعًا بعلامة عشرية والعدد الصحيح (انظر الأرقام المهمة) للأرقام بعد العلامة العشرية.

-3.2 × 10 -5 يعني أن تأخذ الرقم السالب -3.2، وحرك الفاصلة العشرية 5 منازل إلى اليسار ، وملء الفجوات المفتوحة بالأصفار لعملها -0.000032. لاحظ أن علامة الطرح على يسار 3.2 لا علاقة لها بالأس ، وتشير ببساطة إلى رقم سالب.

نكتب -2.5 تريليون مثل -2.5 × 10 12 .

التدوين العلمي: form

في الترميز العلمي، يكون الرقم الموجود على اليسار دائمًا رقمًا واحدًا متبوعًا بعلامة عشرية والعدد الصحيح (انظر الأرقام المهمة) للأرقام بعد العلامة العشرية.

تحويل الأرقام إلى تدوين علمي

فيما يلي بعض الأمثلة حول كيفية تحويل الأرقام ، كبيرها وصغيرها ، إلى تدوين علمي. هذه إحدى المهام التي قد تضطر إلى القيام بها أكثر من غيرها ، لذا من الجيد أن تتعلمها.

مثال 1: 12.000.000

أولاً ، هناك ملف ضمني (غير معروض ولكن هناك) عشري بعد 12.000.000 وهدفنا هو وضعه بعد الرقم 1 وقبل الرقم 2:

الآن نحسب ببساطة عدد المسافات من اليمين (العلامة العشرية الأصلية) أي:

الآن أصبح من السهل تكوين الرقم في شكل تدوين علمي. إنها 1.2 مع 6 أصفار (يحتل المركز السابع رقم 2):

لاحظ أن الرقم في الترميز العلمي هو في الحقيقة نوع من وصفة لاستعادة رقمنا الأصلي: & quotTake 1.2 وتحريك الخانات العشرية 7 إلى اليمين. & quot عندما نكون تشكيل التدوين العلمي ، فإن الحركة في الاتجاه المعاكس ، ولكن هذا فقط شكل 1.2 × 10 7 في المقام الأول.

مثال 2: 232124.5

هذا المثال مشابه للمثال الأول ، فيما عدا أنه يوجد بالفعل رقم عشري في الرقم الأصلي.

لتحريك العلامة العشرية بين الرقمين 2 و 3 ، سنحتاج إلى تحريكها بخمسة منازل إلى اليسار:

الآن رقمنا في التدوين العلمي هو

في هذه الحالة ، حملنا عددًا كبيرًا من الأرقام من الرقم الأصلي. يجب أن يتم حملها طالما أنها مهمة وفقًا لقواعد الأرقام ذات الدلالة.

مثال 3: 0.000323

هذا هو المثال الأول لدينا لرقم أصغر من واحد. سنرغب في نقل العلامة العشرية بين الرقمين 3 و 2:

هذا يعني تحريك الفاصلة العشرية الأربعة إلى اليمين:

للحصول على رقمنا في التدوين العلمي:

تذكر أن هذا الرقم هو وصفة لاستعادة الرقم الأصلي. تقول ، & quot؛ حرك الفاصلة العشرية الأربعة إلى اليمين ، وملء الفراغات بالأصفار ، للحصول على الرقم الأصلي 0.000323. & quot

مثال 4: - 0.0000044

مثالنا الأخير هو رقم سالب. إذن ، سيكون إصدار الترميز العلمي -4.4 × 10؟ فلنحدد الأس:

هذا يعني تحريك الخانات العشرية الخمسة إلى اليمين:

للحصول على تدويننا العلمي ،

مشاكل الممارسة

حول هذه الأرقام إلى صيغة التدوين العلمي.

حل المشكلة 1

الرقم في الترميز العلمي هو "وصفة" لإعادة بناء الرقم في شكله "الأصلي". هذا واحد ، 1.54 & # 215 10 -3 ، يعني: حرك الفاصلة العشرية ثلاثة منازل إلى اليسار (الأس السالب) ، مع ملء الأصفار ، لاستعادة الشكل الأصلي.

حل المشكلة 2

3 حل المشكلة

حل المشكلة 4

حل المشكلة 5

حل المشكلة 6

7 حل المشكلة

8 حل المشكلة

حل المشكلة 9

ضرب الأعداد في التدوين العلمي

من السهل مضاعفة الأرقام في التدوين العلمي. وهذا في جزء كبير منه سبب استخدامنا له. نحن نستخدم الخاصية التبادلية للضرب ، أي أ · ب = ب · أ، و أ · ب · ج = أ · ج · ب، وما إلى ذلك وهلم جرا.

مثال 5

(2.1 × 10 11) (3.2 × 10 3)

يوجد مفتاحان للقيام بهذا النوع من الضرب. الأول هو أن العملية الوحيدة هناك هي الضرب ، لذلك يمكننا بسهولة إعادة ترتيب هذا التعبير إلى

الآن الضرب الأول هو 2.1 (3.2) = 6.7 (أحرص على عدم استخدام المزيد من الأرقام بعد العلامة العشرية أكثر مما ينبغي). المفتاح الثاني هو أنه عندما نضرب قوى القاعدة نفسها ، فإننا نضيف الأسس فقط. من السهل جدًا معرفة السبب بمثال بسيط مثل (10 3) (10 2):

$ تبدأ (10 ^ 3) (10 ^ 2) & = (10 cdot 10 cdot 10) (10 cdot 10) & = 10 cdot 10 cdot 10 cdot 10 cdot 10 & = 10 ^ 5 & = 10 ^ <3 + 2> النهاية$

مثال 6

(3.21 × 10-12) (9.09 × 10 4)

في هذا المثال، 3.21 × 9.09 = 29.2 لا نحب أن يكون لدينا رقمان قبل العلامة العشرية في الترميز العلمي ، لذلك علينا تعديل الأس للنتيجة في النهاية لإعادته إلى المكان المناسب. أولاً نعيد الترتيب إلى

ثم نضرب الأعداد والقوى العشرة كل على حدة

$ = 29.2 مرات 10 ^ <-12 + 4> = 29.2 مرات 10 ^ <-8> $

الآن علينا نقل العلامة العشرية بمقدار واحد إلى اليسار للحصول على هذا الرقم في صورته الصحيحة. لاحظ أن & quotinstruction & quot 10 -8 تقول لتحريك الفاصلة العشرية 8 منازل إلى اليسار. إذا قمنا بإحدى هذه التحركات في وقت مبكر ، فسيتعين علينا تغيير ذلك & quotinstruction & quot إلى 10-7 ، لذا فإن نتيجتنا هي

خذ دقيقة لتقنع نفسك أن 29.2 × 10 -8 و 2.92 × 10 -7 هما نفس الرقم.

مشاكل الممارسة

اضرب هذه الأرقام وعبر عن النتائج بالتدوين العلمي المناسب:

1. (1.0 × 10 7 )(2.1 × 10 3 ) حل
2. (9.2 × 10 6 )(4.3 × 10 2 ) حل
3. (6.26 × 10 -3 )(3.21 × 10 14 ) حل
4. (6.022 × 10 23 )(1.981 × 10 -19 ) حل
5. (6.022 × 10 23 )(2 × 10 2 ) حل
6. (3.11 × 10 18 )(3.11 × 10 -19 ) حل
7. (4.2822 × 10 3 )(4.2822 × 10 -5 ) حل
8. (2.22 × 10 -4 )(2.22 × 10 -11 ) حل
9. (0.334)(7.1 × 10 -10 ) حل
10. (101,325)(1.981 × 10 -19 ) حل

حل المشكلة 1

حل المشكلة 2

3 حل المشكلة

حل المشكلة 4

حل المشكلة 5

حل المشكلة 6

7 حل المشكلة

8 حل المشكلة

حل المشكلة 9

10 حل المشكلة

قسمة الأعداد بالتدوين العلمي

قسمة رقم في التدوين العلمي على آخر أمر مباشر مثل الضرب. اقسم الأعداد ، ثم اقسم قوى 10 واضرب الاثنين. تذكر أننا عندما نقسم قوى نفس القاعدة ، فإننا نطرح أس المقام من أس البسط. هذا مثال:

هذا مثال على مشكلة قسمة في الترميز العلمي. يمكننا إعادة تجميع الأعداد العشرية وقوى العشرة:

إذن ، كل ما عليك فعله هو قسمة 4.22 على 2.31 وطرح الأسس للقوى العشرة للحصول على النتيجة.

فيما يلي بعض التدريبات.

مشاكل الممارسة

قسّم هذه الأرقام وعبر عن النتائج بالتدوين العلمي المناسب:

حل المشكلة 1

حل المشكلة 2

3 حل المشكلة

حل المشكلة 4

حل المشكلة 5

حل المشكلة 6

الترميز العلمي على الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر: إي

في معظم الآلات الحاسبة ، نقوم بإدخال الترميز العلمي باستخدام زر يسمى EXP أو إي. كلاهما اختصار لـ & quot مرات عشرة أس. & quot

على سبيل المثال ، إذا أردت الدخول 2.48 × 1019 ، على الآلة الحاسبة على اليسار ، أدخل التسلسل & quot2.48 [الثاني] EE19& مثل. على الآلة الحاسبة الموضحة هنا ، إي هي الوظيفة الثانية للفاصلة ( , ) مفتاح.

تم إدخال أربع عمليات حسابية & # 8211 ضربين وقسمين & # 8211 على هذه الآلة الحاسبة. الضرب الأول هو

(2.48 × 10 19) (5.81 × 10 -6)

1.44 × 10 14 .

تحقق مما إذا كان يمكنك متابعة بقية هذه الحسابات.

يمكنك ضبط الآلة الحاسبة لعرض النتائج بالتدوين العلمي إذا كنت ترغب في ذلك. في هذه الآلة الحاسبة يتم استخدام ملف [الوضع] زر.

لاحظ أنه تم عرض النتيجة الثالثة على شكل 4613.333. لم يتم إعداد هذه الآلة الحاسبة لاستخدام الرموز العلمية للأرقام في نطاق 1000.

تحتوي بعض الآلات الحاسبة على وضع مثل ذلك عند الضغط على شيء مثل هاء 4سوف تطبع 10 4 . هذا جميل ، لكنه ليس ضروريًا تمامًا. استخدمه إذا كان لديك وأعجبك.

ملاحظة تاريخية: EE تعني الأس الهندسي. لقد كان اختصارًا للحاسبة تم تطويره في وقت كان معظم مستخدمي الآلة الحاسبة فيه من المهندسين.


التدوين العلمي مع الأسس السلبية

للتعبير عن رقم عشري في التدوين العلمي ، تحتاج إلى استخدام الأس السالب واستخدام رقم بين واحد وعشرة.

الترميز العلمي مع الأسس السالبة & # 8211 مثال 1

على سبيل المثال ، الرقم 000387 مكتوب بالتدوين العلمي كـ 3.87 × 10 -4.

تحديد الأس

إذا كان الرقم الذي حددته هو رقم عشري ، فأنت بحاجة إلى تحريك الفاصلة العشرية إلى اليمين وحساب عدد الأماكن إلى اليسار.

يمكنك حساب المنازل العشرية على اليسار كما هو موضح في الرسم التوضيحي أدناه:

كما ترى في الرسم التوضيحي أعلاه ، تحتاج إلى استخدام رمز علمي بأس سالب لإجابتك 3.87 × 10 -4

مسابقة التدوين العلمي

تعليمات: بالنسبة للأسئلة من 1 إلى 5 ، اكتب الأعداد بالتدوين العلمي باستخدام الأسس السالبة عند الضرورة. للأسئلة من 6 إلى 10 ، اكتب الأعداد كأعداد صحيحة أو كسور عشرية.

ملخص الاختبار

0 من 10 أسئلة اكتملت

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7
  8. 8
  9. 9
  10. 10

معلومة

لقد أكملت بالفعل الاختبار من قبل. ومن ثم لا يمكنك تشغيله مرة أخرى.

يجب عليك تسجيل الدخول أو التسجيل لبدء الاختبار.

يجب عليك إنهاء الاختبار التالي لبدء هذا الاختبار:

نتائج

0 من أصل 10 إجابة صحيحة

لقد وصلت إلى 0 من 0 نقاط ، (0)

فئات

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7
  8. 8
  9. 9
  10. 10
1. سؤال

الجواب: 8.712 × 10 3
يجب أن يكون الرقم قبل علامة الضرب بين 1 و 10 ، لذلك علينا وضع العلامة العشرية ثلاثة منازل على اليسار لنحصل على 8.712. ثم علينا إيجاد قوة عشرة. نظرًا لأننا نقلنا الفاصلة العشرية ثلاثة منازل ، علينا استخدام ثلاثة كأسًا لنحصل على 10 3.
ثم اجمع بين الخطوتين لإجابتك:
8.712 × 10 3

الجواب: 8.712 × 10 3
يجب أن يكون الرقم قبل علامة الضرب بين 1 و 10 ، لذلك علينا وضع العلامة العشرية ثلاثة منازل على اليسار لنحصل على 8.712. ثم علينا إيجاد قوة عشرة. نظرًا لأننا نقلنا الفاصلة العشرية ثلاثة منازل ، علينا استخدام ثلاثة كأسًا لنحصل على 10 3.
ثم اجمع بين الخطوتين لإجابتك:
8.712 × 10 3

2. سؤال

الجواب: 1.9875246 × 10 4
تذكر أن الرقم قبل علامة الضرب يجب أن يكون بين 1 و 10.
نقلنا الفاصلة العشرية بأربعة منازل إلى اليسار لنحصل على 1.9875246.
نظرًا لأننا نقلنا الفاصلة العشرية الأربعة ، فإننا نستخدم 4 على أنها الأس:
1.9875246 × 10 4

الجواب: 1.9875246 × 10 4
تذكر أن الرقم قبل علامة الضرب يجب أن يكون بين 1 و 10.
نقلنا الفاصلة العشرية بأربعة منازل إلى اليسار لنحصل على 1.9875246.
نظرًا لأننا نقلنا الفاصلة العشرية أربع منازل ، فإننا نستخدم 4 على أنها الأس:
1.9875246 × 10 4

3. سؤال

الجواب: 6.872 × 10 -3
في هذه المسألة ، لدينا عدد عشري أقل من 1 ، وكما هو الحال دائمًا ، علينا أن نجعل الرقم الأول بين 1 و 10 ، لذلك علينا استخدام 6.872 كرقم أول.
لقد نقلنا العلامة العشرية إلى اليمين ، لذا علينا استخدام الأس السالب.
تم تحريك العلامة العشرية ثلاث خانات ، وبالتالي فإن الأس هو -3.

الجواب: 6.872 × 10 -3
في هذه المسألة ، لدينا عدد عشري أقل من 1 ، وكما هو الحال دائمًا ، علينا أن نجعل الرقم الأول بين 1 و 10 ، لذلك علينا استخدام 6.872 كرقم أول.
لقد نقلنا العلامة العشرية إلى اليمين ، لذا علينا استخدام الأس السالب.
تم تحريك العلامة العشرية ثلاث خانات ، وبالتالي فإن الأس هو -3.

4. سؤال

الجواب: 7.7686 × 10 11
عندما تضرب هكذا ، عليك أن تضرب الأعداد الموجودة أمام علامات الضرب وتجمع الأسس.
(3.58 × 10 7 )(2.17 × 10 4 ) =
(3.58 × 2.17)(10 7 × 10 4 ) =
7.7686 × 10 7 + 4 =
7.7686 × 10 11

الجواب: 7.7686 × 10 11
عندما تضرب هكذا ، عليك أن تضرب الأعداد الموجودة أمام علامات الضرب وتجمع الأسس.
(3.58 × 10 7 )(2.17 × 10 4 ) =
(3.58 × 2.17)(10 7 × 10 4 ) =
7.7686 × 10 7 + 4 =
7.7686 × 10 11

5. سؤال
  • 0.1940816327 × 10 7
  • 19408216327 × 10 2
  • 1.940816327 × 10 6
  • 19.40816327 × 10 5

الجواب: 1.940816327 × 10 6
عند قسمة رقمين يتم التعبير عنهما في شكل علمي ، عليك قسمة الأرقام الموجودة أمام علامات الضرب وطرح الأسس.
(9.51 × 10 -2 ) ÷ (4.9 × 10 -8 ) =
(9.51 ÷ 4.9) × (10 -2 ÷ 10 -8 ) =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 -2 – -8 =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 -2 + 8 =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 6 =
1.940816327 × 10 6

الجواب: 1.940816327 × 10 6
عند قسمة رقمين يتم التعبير عنهما بالتدوين العلمي ، عليك قسمة الأرقام الموجودة أمام علامات الضرب وطرح الأسس.
(9.51 × 10 -2 ) ÷ (4.9 × 10 -8 ) =
(9.51 ÷ 4.9) × (10 -2 ÷ 10 -8 ) =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 -2 – -8 =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 -2 + 8 =
(9.51 ÷ 4.9) × 10 6 =
1.940816327 × 10 6


الدعاة والترميز العلمي

عادةً ما يواجه علماء الرياضيات والعلماء والاقتصاديون أعدادًا كبيرة جدًا وصغيرة جدًا. لكن قد لا يكون من الواضح مدى شيوع مثل هذه الأرقام في الحياة اليومية. على سبيل المثال ، البكسل هو أصغر وحدة ضوء يمكن إدراكها وتسجيلها بواسطة كاميرا رقمية. قد تسجل كاميرا معينة صورة تبلغ 2048 بكسل × 1536 بكسل ، وهي صورة عالية الدقة للغاية. يمكنه أيضًا إدراك عمق اللون (التدرجات اللونية) حتى 48 بت لكل إطار ، ويمكنه تصوير ما يعادل 24 إطارًا في الثانية. أكبر عدد ممكن من المعلومات المستخدمة لتصوير فيلم رقمي مدته ساعة واحدة (3600 ثانية) هو إذن عدد كبير للغاية.

باستخدام الآلة الحاسبة ، ندخلواضغط على ENTER. تعرض الآلة الحاسبة 1.304596316E13. ماذا يعني هذا؟ يمثل الجزء "E13" من النتيجة الأس 13 من عشرة ، لذلك يوجد حد أقصى تقريبًاأجزاء من البيانات في هذا الفيلم الذي تبلغ مدته ساعة واحدة. في هذا القسم ، نراجع قواعد الأسس أولاً ثم نطبقها على العمليات الحسابية التي تتضمن أعدادًا كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا.

استخدام قاعدة المنتج للأسس

ضع في اعتبارك المنتجكلا المصطلحين لهما نفس الأساس ، x، لكنها تربى على أسس مختلفة. قم بتوسيع كل تعبير ، ثم أعد كتابة التعبير الناتج.

والنتيجة هي أن

لاحظ أن أُس المنتج هو مجموع أسس المصطلحات. بمعنى آخر ، عند ضرب التعبيرات الأسية ذات الأساس نفسه ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك ونضيف الأسس. هذا ال حاصل ضرب الأسس.

الآن فكر في مثال بأرقام حقيقية.

يمكننا دائمًا التحقق من صحة ذلك عن طريق تبسيط كل تعبير أسي. نجد ذلكهو 8هو 16 وهو 128. المنتجيساوي 128 ، لذا فإن العلاقة صحيحة. يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب للأسس لتبسيط المقادير التي هي حاصل ضرب عددين أو تعبيرين لهما نفس الأساس لكن الأسس مختلفة.

قاعدة المنتج للأسس

لأي رقم حقيقيوالأعداد الطبيعيةوتنص قاعدة حاصل الضرب في الأسس على ذلك

باستخدام قاعدة المنتج

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدم قاعدة حاصل الضرب لتبسيط كل تعبير.

في البداية ، قد يبدو أنه لا يمكننا تبسيط حاصل ضرب ثلاثة عوامل. ومع ذلك ، باستخدام الخاصية الترابطية للضرب ، ابدأ بتبسيط الأولين.

لاحظ أننا حصلنا على نفس النتيجة بجمع الأسس الثلاثة في خطوة واحدة.

[/ إجابة مخفية]

جربها

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدام قاعدة حاصل القسمة للأسس

ال قاعدة حاصل الأسس يسمح لنا بتبسيط التعبير الذي يقسم رقمين لهما نفس الأساس لكن الأسس مختلفة. بطريقة مشابهة لقاعدة حاصل الضرب ، يمكننا تبسيط تعبير مثلأينتأمل المثالنفذ القسمة بحذف العوامل المشتركة.

لاحظ أن أس حاصل القسمة هو الفرق بين الأسس للمقسوم عليه والمقسوم عليه.

بمعنى آخر ، عند قسمة التعبيرات الأسية ذات الأساس نفسه ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك ونطرح الأسس.

في الوقت الحالي ، يجب أن نكون على دراية بالحالةخلاف ذلك ، الفرقيمكن أن تكون صفرا أو سالبة. سيتم استكشاف هذه الاحتمالات قريبا. أيضًا ، بدلاً من تأهيل المتغيرات على أنها غير صفرية في كل مرة ، سنبسط الأمور ونفترض من هنا فصاعدًا أن جميع المتغيرات تمثل أعدادًا حقيقية غير صفرية.

قاعدة حاصل الأسس

لأي رقم حقيقيوالأعداد الطبيعيةومثل ذلكتنص قاعدة خارج القسمة للأسس على ذلك

باستخدام قاعدة الحاصل

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدم قاعدة خارج القسمة لتبسيط كل تعبير.

جربها

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدام قاعدة الأسس

افترض أن التعبير الأسي قد تم رفعه إلى قوة ما. هل يمكننا تبسيط النتيجة؟ نعم. للقيام بذلك ، نستخدم ملف حكم قوة الأسس. ضع في اعتبارك التعبيريتم ضرب التعبير الموجود داخل الأقواس مرتين لأنه يحتوي على أس 2. ثم يتم ضرب النتيجة ثلاث مرات لأن التعبير بأكمله يحتوي على أس 3.

أس الإجابة هو حاصل ضرب الأس:بعبارة أخرى ، عند رفع تعبير أسي إلى قوة ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك وحاصل ضرب الأسس.

احرص على التمييز بين استخدامات قاعدة المنتج وقاعدة القوة. عند استخدام قاعدة حاصل الضرب ، يتم رفع المصطلحات المختلفة بنفس الأسس إلى الأس. في هذه الحالة ، تقوم بجمع الأسس. عند استخدام قاعدة القوة ، يتم رفع المصطلح في التدوين الأسي إلى قوة. في هذه الحالة ، تقوم بضرب الأسس.

قاعدة قوة الأسس

لأي رقم حقيقيوأعداد صحيحة موجبةوتنص قاعدة قوة الأسس على ذلك

استخدام قاعدة القوة

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدم قاعدة الأس لتبسيط كل تعبير.

جربها

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

استخدام قاعدة الأس الصفرية للأسس

العودة إلى قاعدة حاصل القسمة. جعلنا الشرط أنبحيث يكون الاختلافلن تكون أبدًا صفرًا أو سالبة. ماذا سيحدث لوفي هذه الحالة ، سنستخدم صفر قاعدة الأسس لتبسيط التعبير إلى 1. لنرى كيف يتم ذلك ، دعونا نبدأ بمثال.

إذا أردنا تبسيط المقدار الأصلي باستخدام قاعدة خارج القسمة ، فسيكون لدينا

إذا ساوينا الإجابتين ، تكون النتيجةهذا صحيح بالنسبة لأي رقم حقيقي غير صفري ، أو أي متغير يمثل رقمًا حقيقيًا.

الاستثناء الوحيد هو التعبيريظهر هذا لاحقًا في الدورات التدريبية الأكثر تقدمًا ، ولكن في الوقت الحالي ، سنعتبر أن القيمة غير محددة.

قاعدة الأس الصفري للأسس

لأي رقم حقيقي غير صفريتنص قاعدة الأس الصفرية على ذلك

استخدام قاعدة الأُس الصفرية

بسّط كل تعبير باستخدام قاعدة الأس الصفرية.

استخدم الأس الصفري والقواعد الأخرى لتبسيط كل تعبير.

  1. & lt& lt / li & gt
  2. & lt& lt / li & gt
  3. & lt& lt / li & gt
  4. & lt& lt / li & gt

جربها

بسّط كل تعبير باستخدام قاعدة الأس صفر.

استخدام قاعدة الأسس السلبية

تحدث نتيجة مفيدة أخرى إذا قمنا بتخفيف الحالةفي قاعدة خارج القسمة إلى أبعد من ذلك. على سبيل المثال ، هل يمكننا التبسيطمتي—هذا هو حيث الاختلافسلبي - يمكننا استخدام القاعدة السالبة للأسس لتبسيط التعبير إلى مقلوبه.

اقسم تعبيرًا أسيًا على تعبير أسي آخر بأس أكبر. استخدم مثالنا ،

إذا أردنا تبسيط المقدار الأصلي باستخدام قاعدة خارج القسمة ، فسيكون لدينا

جمع الإجابات معًا ، لديناهذا صحيح بالنسبة لأي رقم حقيقي غير صفري ، أو أي متغير يمثل عددًا حقيقيًا غير صفري.

يصبح العامل ذو الأس السالب هو نفس العامل بأس موجب إذا تم نقله عبر شريط الكسر - من البسط إلى المقام أو العكس.

لقد أظهرنا أن التعبير الأسييعرف متىهو رقم طبيعي ، 0 ، أو سالب رقم طبيعي. هذا يعني أنيتم تعريفه لأي عدد صحيحأيضًا ، قواعد المنتج وحاصل القسمة وجميع القواعد التي سننظر إليها قريبًا تنطبق على أي عدد صحيح

القاعدة السلبية للأسس

لأي رقم حقيقي غير صفريوالعدد الطبيعيتنص القاعدة السلبية للأسس على ذلك

استخدام قاعدة الأس السالبة

اكتب كلًا من حاصل القسمة التالي بأساس واحد. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

جربها

اكتب كلًا من خارج القسمة التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

استخدام قواعد المنتج والحاصل

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

جربها

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

إيجاد قوة المنتج

لتبسيط قوة حاصل ضرب مقدارين أسيين ، يمكننا استخدام قوة قاعدة منتج الأسس ، الذي يقسم قوة منتج العوامل إلى منتج قوى العوامل. على سبيل المثال ، ضع في اعتباركنبدأ باستخدام الخواص الترابطية والتبادلية للضرب لإعادة تجميع العوامل.

بعبارات أخرى،

قوة قاعدة المنتج للأسس

لأية أرقام حقيقيةووأي عدد صحيحتنص قوة قاعدة حاصل الضرب للأسس على ذلك

استخدام قوة قاعدة المنتج

بسّط كل منتج من المنتجات التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة حاصل الضرب. اكتب إجابات بأسس موجبة.

استخدم قواعد الضرب والحاصل والتعريفات الجديدة لتبسيط كل تعبير.

جربها

بسّط كل منتج من المنتجات التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة حاصل الضرب. اكتب إجابات بأسس موجبة.

إيجاد قوة حاصل القسمة

لتبسيط قوة خارج قسمة مقدارين ، يمكننا استخدام قوة قاعدة حاصل القسمة ، التي تنص على أن قوة حاصل العوامل هي حاصل قسمة قوى العوامل. على سبيل المثال ، دعنا نلقي نظرة على المثال التالي.

دعونا نعيد كتابة المشكلة الأصلية بشكل مختلف وننظر إلى النتيجة.

يبدو من الخطوتين الأخيرتين أنه يمكننا استخدام قوة قاعدة حاصل الضرب كقوة لقاعدة خارج القسمة.

قوة قاعدة حاصل الأسس

لأية أرقام حقيقيةووأي عدد صحيحقوة حاصل قسمة الأسس تنص على ذلك

استخدام قوة قاعدة حاصل القسمة

بسّط كل من خارج القسمة التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة خارج القسمة. اكتب إجابات بأسس موجبة.

جربها

بسّط كل من خارج القسمة التالية قدر الإمكان باستخدام قوة قاعدة خارج القسمة. اكتب إجابات بأسس موجبة.

تبسيط التعبيرات الأسية

تذكر أن لتبسيط تعبير ما يعني إعادة كتابته عن طريق دمج المصطلحات أو الأسس بعبارة أخرى ، لكتابة التعبير بشكل أكثر بساطة بحدود أقل. يمكن دمج قواعد الأسس لتبسيط التعابير.

تبسيط التعبيرات الأسية

بسّط كل تعبير واكتب الإجابة بأسس موجبة فقط.

جربها

بسّط كل تعبير واكتب الإجابة بأسس موجبة فقط.

استخدام الترميز العلمي

تذكر في بداية القسم أننا وجدنا الرقمعند وصف أجزاء من المعلومات في الصور الرقمية. تتضمن الأرقام المتطرفة الأخرى عرض شعرة الإنسان ، والذي يبلغ حوالي 0.00005 م ، ونصف قطر الإلكترون ، وهو حوالي 0.00000000000047 م. كيف يمكننا العمل بفعالية في القراءة والمقارنة والحساب بأرقام مثل هذه؟

يُطلق على طريقة الاختزال لكتابة الأعداد الصغيرة جدًا والكبيرة جدًا تدوينًا علميًا ، حيث نعبر عن الأعداد من حيث الأسس من 10. لكتابة رقم بالتدوين العلمي ، انقل الفاصلة العشرية إلى يمين الرقم الأول في الرقم . اكتب الأرقام كرقم عشري بين 1 و 10. عد عدد الأماكن ن أنك قمت بنقل العلامة العشرية. اضرب الرقم العشري في 10 مرفوعًا إلى أس ن. إذا قمت بتحريك الفاصلة العشرية إلى اليسار كما في عدد كبير جدًا ، فسيكون /> موجبًا. إذا قمت بتحريك الفاصلة العشرية إلى اليمين كما في عدد كبير صغير ، فسيكون /> سالبًا.

على سبيل المثال ، ضع في الاعتبار الرقم 2،780،418. انقل العلامة العشرية إلى اليسار حتى تصبح على يمين أول رقم غير صفري ، وهو 2.

نحصل على 2.780418 بتحريك العلامة العشرية 6 أماكن إلى اليسار. إذن ، أس 10 هو 6 ، وهو موجب لأننا نقلنا الفاصلة العشرية إلى اليسار. هذا ما يجب أن نتوقعه لعدد كبير.

العمل بأعداد صغيرة مشابه. خذ على سبيل المثال نصف قطر الإلكترون 0.00000000000047 م. نفذ نفس سلسلة الخطوات الموضحة أعلاه ، باستثناء نقل الفاصلة العشرية إلى اليمين.

احرص على عدم تضمين الصفر البادئ في العد. ننقل الفاصلة العشرية 13 مرتبة إلى اليمين ، لذلك أس 10 هو 13. الأس سالب لأننا نقلنا الفاصلة العشرية إلى اليمين. هذا ما يجب أن نتوقعه لعدد صغير.

الترميز العلمي

يتم كتابة الرقم بالتدوين العلمي إذا كان مكتوبًا في النموذجأينوهو عدد صحيح.

تحويل التدوين القياسي إلى تدوين علمي

كتابة كل عدد في العلمي.

  1. المسافة إلى مجرة ​​المرأة المسلسلة عن الأرض: 24.000.000.000.000.000.000 م
  2. قطر مجرة ​​المرأة المسلسلة: 1،300،000،000،000،000،000،000 م
  3. عدد النجوم في مجرة ​​المرأة المسلسلة: 1،000،000،000،000
  4. قطر الإلكترون: 0.00000000000094 م
  5. احتمالية الإصابة ببرق في أي سنة واحدة: 0.00000143

تحليل

لاحظ أنه إذا كان الرقم المعطى أكبر من 1 ، كما في الأمثلة a-c ، فإن الأس 10 يكون موجبًا وإذا كان الرقم أقل من 1 ، كما في الأمثلة d – e ، يكون الأس سالبًا.

جربها

كتابة كل عدد في العلمي.

  1. الدين القومي الأمريكي لكل دافع ضرائب (أبريل 2014): 152 ألف دولار
  2. عدد سكان العالم (أبريل 2014): 7،158،000،000
  3. الدخل القومي الإجمالي العالمي (أبريل 2014): 85.500.000.000.000 دولار
  4. زمن انتقال الضوء 1 متر: 0.00000000334 ثانية
  5. احتمالية الفوز في اليانصيب (المباراة 6 من 49 رقمًا محتملاً): 0.0000000715

التحويل من التدوين العلمي إلى التدوين القياسي

لتحويل رقم في التدوين العلمي إلى تدوين قياسي ، ما عليك سوى عكس العملية. انقل العلامة العشريةأماكن على اليمين إذاموجب أوالأماكن على اليسار إذاسلبي وأضف الأصفار حسب الحاجة. تذكر ، إذاموجبة ، قيمة الرقم أكبر من 1 ، وإذاسلبي ، قيمة الرقم أقل من واحد.

تحويل الترميز العلمي إلى تدوين قياسي

تحويل كل رقم في التدوين العلمي إلى التدوين القياسي.

جربها

تحويل كل رقم في التدوين العلمي إلى التدوين القياسي.

استخدام الترميز العلمي في التطبيقات

يجعل الترميز العلمي ، المستخدم مع قواعد الأس ، الحساب بأعداد كبيرة أو صغيرة أسهل بكثير من القيام بذلك باستخدام التدوين القياسي. على سبيل المثال ، افترض أنه طُلب منا حساب عدد الذرات في 1 لتر من الماء. يحتوي كل جزيء ماء على 3 ذرات (2 هيدروجين و 1 أكسجين). يحتوي متوسط ​​قطرة الماء حولهاجزيئات الماء و 1 لتر من الماء تتسعمتوسط ​​قطرات. لذلك ، هناك ما يقرب منذرات في 1 لتر من الماء. نحن ببساطة نضرب الحدود العشرية ونجمع الأسس. تخيل أنه يتعين عليك إجراء الحساب دون استخدام الرموز العلمية!

عند إجراء العمليات الحسابية باستخدام الرموز العلمية ، تأكد من كتابة الإجابة بالتدوين العلمي المناسب. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المنتجالإجابة ليست بالترميز العلمي الصحيح لأن 35 أكبر من 10. ضع في اعتبارك 35 كـهذا يضيف عشرة إلى الأس للإجابة.

استخدام الترميز العلمي

نفذ العمليات واكتب الإجابة في شكل تدوين علمي.

جربها

نفذ العمليات واكتب الإجابة في شكل تدوين علمي.

تطبيق الترميز العلمي في حل المشكلات

في أبريل 2014 ، كان عدد سكان الولايات المتحدة حوالي 308،000،000 شخص. كان الدين القومي حوالي 17.547.000.000.000 دولار. اكتب كل رقم في التدوين العلمي ، مع تقريب الأرقام إلى منزلتين عشريتين ، وإيجاد مقدار الدين لكل مواطن أمريكي. اكتب الإجابة في كل من الرموز العلمية والقياسية.

كان السكان

كان الدين القومي

لمعرفة مقدار الدين على كل مواطن ، قسّم الدين الوطني على عدد المواطنين.

كان الدين لكل مواطن في ذلك الوقت على وشكأو 57000 دولار.

جربها

يحتوي جسم الإنسان المتوسط ​​على حوالي 30.000.000.000.000 من خلايا الدم الحمراء. يبلغ طول كل خلية حوالي 0.000008 م. اكتب كل رقم في التدوين العلمي وابحث عن الطول الإجمالي إذا تم وضع الخلايا من طرف إلى طرف. اكتب الإجابة في كل من الرموز العلمية والقياسية.

عدد الخلايا:طول الخلية:الطول الإجمالي م:م أوم.

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع الأسس والتأشير العلمي.

المعادلات الرئيسية

قواعد الدعاة& lt
للأرقام الحقيقية غير الصفريةووالأعداد الصحيحةو
سيادة المنتج
قاعدة الحاصل
حكم القوة
قاعدة الأس الصفري
حكم سلبي
قوة قاعدة المنتج
قوة قاعدة حاصل القسمة

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن تبسيط حاصل ضرب المقادير الأسية التي لها نفس الأساس بإضافة الأسس. أنظر للشكل).
  • يمكن تبسيط خواص التعابير الأسية التي لها نفس الأساس بطرح الأسس. أنظر للشكل).
  • يمكن تبسيط قوى التعابير الأسية التي لها نفس الأساس بضرب الأسس. أنظر للشكل).
  • يتم تعريف التعبير ذي الأس صفر على أنه 1. انظر (الشكل).
  • يتم تعريف التعبير ذي الأس السالب بأنه مقلوب. انظر (الشكل) و (الشكل).
  • قوة منتج من العوامل هي نفس ناتج قوى نفس العوامل. أنظر للشكل).
  • قوة حاصل قسمة العوامل هي نفسها حاصل قسمة قوى نفس العوامل. أنظر للشكل).
  • يمكن دمج قواعد التعبيرات الأسية لتبسيط التعبيرات الأكثر تعقيدًا. أنظر للشكل).
  • يستخدم الترميز العلمي قوى 10 لتبسيط الأعداد الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا. انظر (الشكل) و (الشكل).
  • يمكن استخدام الترميز العلمي لتبسيط العمليات الحسابية بأرقام كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا. انظر (الشكل) و (الشكل).

تمارين القسم

شفهي

هوكمثليشرح.

لا ، التعبيران ليسا متماثلين. الأس يخبرك بعدد مرات ضرب الأساس. وبالتاليبالضبط مثلوهو 8.بالضبط مثلوهو 9.

متى يمكنك إضافة اثنين من الأس؟

ما هو الغرض من التدوين العلمي؟

إنها طريقة لكتابة أعداد صغيرة جدًا وكبيرة جدًا.

اشرح ما يفعله الأس السالب.

رقمي

للتمارين التالية ، بسّط التعبير المعطى. اكتب إجابات بأسس موجبة.

للتمارين التالية ، اكتب كل تعبير بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر. اكتب إجابات بأسس موجبة.

للتمارين التالية ، اكتب العلامة العشرية بالتدوين العلمي.

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتحويل كل رقم في الترميز العلمي إلى تدوين قياسي.

جبري

للتمارين التالية ، بسّط التعبير المعطى. اكتب إجابات بأسس موجبة.

تطبيقات العالم الحقيقي

للوصول إلى سرعة الهروب ، يجب أن يتحرك الصاروخ بمعدلقدم / دقيقة. أعد كتابة المعدل بالتدوين القياسي.

الدايم هو أنحف عملة في الولايات المتحدة. يقيس سمك الدايمم. أعد كتابة الرقم بالتدوين القياسي.

متوسط ​​المسافة بين الأرض والشمس هو 92.960.000 ميل. أعد كتابة المسافة باستخدام الترميز العلمي.

يتكون تيرابايت من حوالي 1،099،500،000،000 بايت. أعد كتابته بالتدوين العلمي.

كان الناتج المحلي الإجمالي للولايات المتحدة في الربع الأول من عام 2014أعد كتابة الناتج المحلي الإجمالي بالتدوين القياسي.

واحد بيكومتر تقريبًافي. أعد كتابة هذا الطول باستخدام الترميز القياسي.

بلغت قيمة قطاع الخدمات في الاقتصاد الأمريكي في الربع الأول من عام 2012 10،633.6 مليار دولار. أعد كتابة هذا المبلغ في التدوين العلمي.

تقنية

للتمارين التالية ، استخدم حاسبة الرسوم البيانية للتبسيط. قرب الإجابات لأقرب جزء من مائة.

12,230,590,464

ملحقات

للتمارين التالية ، بسّط التعبير المعطى. اكتب إجابات بأسس موجبة.

يستخدم ثابت أفوجادرو لحساب عدد الجسيمات في الخلد.الخلد هو وحدة أساسية في الكيمياء لقياس كمية المادة. الثابت هواكتب ثابت أفوجادرو في التدوين القياسي.

ثابت بلانك هو وحدة قياس مهمة في فيزياء الكم. يصف العلاقة بين الطاقة والتردد. الثابت مكتوب كـاكتب ثابت بلانك في التدوين القياسي.

قائمة المصطلحات

التدوين العلمي هو تدوين مختصر لكتابة أعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا في النموذجأينوهو عدد صحيح

مقدمة

نظرًا لأن علم الفلك هو أحد أقدم العلوم ، فقد طور العديد من التقاليد على مر السنين. في حين أن عالم الفلك لن يتردد للحظة في تطبيق أحدث التقنيات على التلسكوب أو الكمبيوتر ، فإن اللغة ووحدات القياس في هذا المجال تتغير بشكل أبطأ بكثير. لذلك ، عندما تبدأ في استكشاف الكون معنا ، دعنا نقدم لك بعض الكلمات والوحدات والمختصر الذي ستواجهه هنا.

الترميز العلمي

كما تمت مناقشته في البرنامج التعليمي The Scale of the Universe ، فإن الأرقام المهمة في علم الفلك تمتد إلى ما يقرب من 40 مرتبة من حيث الحجم. تأمل كتلة الشمس:

م الشمس = 1.989.000.000.000.000.000.000.000.000.000 جرام

إنه أمر مرهق ، على أقل تقدير ، الاضطرار إلى كتابة كل هذه الأصفار. حتى الكيلوجرامات (تخلص من 3 أصفار) أو الأطنان المترية (تخلص من 6 أصفار) لا تساعد كثيرًا. علاوة على ذلك ، نحن في الحقيقة لا نعرف كتلة الشمس بما يتجاوز دقة الرقم الرابع. كل تلك الأصفار هي مجرد حافظات أماكن ، ولا تحمل أي معلومات مفيدة. لهذا السبب ، يستخدم العلماء اختصارًا يسمى الترميز العلمي للتعبير عن أعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا.
في التدوين العلمي تصبح كتلة الشمس:
M صن = 1.989 × 10 33 جرام.
الرقم فوق العشرة يسمى قوة من عشرة أو الأس، لتقف على عدد المنازل العشرية. إذا كانت موجبة ، كما هو الحال في كتلة الشمس ، فإن الخانات العشرية أمام العلامة العشرية. إذن ، 10 33 تعني "حرك الفاصلة العشرية 33 مرتبة إلى اليمين واملأ الأماكن الفارغة بالأصفار" (أو ، بطريقة أكثر رياضية ، اضرب في عشرة 33 مرة).

لأعداد صغيرة جدًا ، مثل كتلة البروتون ،

م ع + = 0.000000000000000000000001673 جرام
نستخدم قوى سالبة لـ 10. تصبح كتلة البروتون
م ص + = 1.673 × 10-24 جرام
بالنسبة للأسس السالبة ، تكون قوى العدد 10 بعد العلامة العشرية 10-24 تعني "حرك الفاصلة العشرية 24 درجة إلى اليسار واملأها بالأصفار" (أو اقسم على عشرة 24 مرة).

هناك العديد من صفحات الويب الجيدة حول التدوين العلمي. إذا كنت ترغب في القراءة أكثر قليلاً ، فجرّب موقع برامج علم الفلك بجامعة ميريلاند ، مع تمرين على الترميز العلمي وحساب المسافة الفلكية.

الحساب في التدوين العلمي

يعتبر الحساب باستخدام الترميز العلمي بسيطًا إلى حد ما ، ولكنه يتطلب معالجة الأس بشكل منفصل. لنفترض أنك أردت تقدير كتلة مجرتنا درب التبانة. بالأرقام التقريبية ، يوجد حوالي نصف تريليون نجم في مجرة ​​درب التبانة:


مجرة درب التبانة - عد النجوم إذا كان لديك القليل من وقت الفراغ.

بحيث يكون تقدير كتلة درب التبانة هو عدد النجوم ضعف كتلة نجم نموذجي:

مMW N * x Mشمس 5 × 10 11 نجوم. 2 × 10 33 جرام
من أجل إجراء الحساب ، يتم ضرب 2 و 5 معًا و الأس 11 و 33 هي مضاف.

مميغاواط (2.5) × 10 (11 + 33) جرام 10 × 10 44 جرام = 1 × 10 45 جرام

هذا ، بالطبع ، تقدير خام ، خاصة لأننا نعلم الآن أن كتلة درب التبانة تهيمن عليها مادة غير مرئية. القسمة في الترميز العلمي هي مجرد عملية عكسية. لنفترض أنك أردت تقدير عدد ذرات الهيدروجين التي تمثل الشمس. سيكون أحد التقديرات

نح مشمس / مح 2 × 10 33 جرام / 1.67 × 10-24 جرام
الآن نقسم 2 و 1.67 (مرة أخرى هذا تقدير أولي لذا يمكننا أخذ mح 2 × 10-24 جرام) واطرح أس المقسوم عليه (-24) من أس المقسوم (33).

نH (2/2) × 10 (33 - [- 24]) 1 × 10 57
إذا كنت كذلك دقيق جدا يمكنك التحقق من هذه الحسابات بخط اليد.

وحدات القياس

قبل أن يتمكن الأشخاص من مشاركة المعلومات حول العالم المادي ، يحتاجون إلى لغة مشتركة ووحدات قياس قياسية. نظرًا لأن العلم هو هدف إنساني دولي ، فقد وافق العلماء في جميع أنحاء العالم على استخدام مجموعة واحدة من الوحدات عندما يتحدثون مع بعضهم البعض حول عملهم. هذا المعيار العالمي يسمى النظام المتري. لذلك ، عندما يقول العالم "أ" في كاتماندو أن المسافة إلى الشمس هي 150.000.000 كيلومتر ، يعرف العالم B في هلسنكي بالضبط ما يعنيه ذلك. فيما يلي قائمة بالوحدات الأساسية من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) ، المعروف سابقًا باسم المكتب الوطني للمعايير.

يحتوي النظام المتري على بادئات قياسية للإشارة إلى الأحجام النسبية. كما أشرنا أعلاه ، ذكر العالم أ أن المسافة إلى الشمس كانت 150.000.000 كيلومتر. البادئة "kilo" تعني 1000 ، لذا الكيلو متر هو 1،000 متر. يقدم الجدول أدناه بعض أسماء المقاييس المستخدمة في هذه الصفحات وتعريفاتها.

البادئات المترية
اختصار تعريف علمي
الرموز
اختصار تعريف علمي
الرموز
تيرا 1,000,000,000,000 10 12 سنتي .01 10 -2
جيجا 1,000,000,000 10 9 ملي .001 10 -3
ميجا 1,000,000 10 6 مجهري .000001 10 -6
كيلو 1,000 10 3 نانو .000000001 10 -9
ديكا 10 10 1 بيكو .000000000001 10 -12
ديسي .1 10 -1 فيمتو .000000000000001 10 -15

فيما يلي قائمة شاملة بالبادئات من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST).

بعض الأمثلة على كيفية استخدام البادئات المترية:

10 -2 بيديس = 1 حريش
10 -3 فانيليا = 1 ملي فانيلي
10-12 بوو = 1 بيكوبو
10-15 بيسمول = 1 فيمتوبزمول

حتى النظام المتري "القياسي العالمي" له إصدارات مختلفة. يستخدم علماء الفلك نسخة من cgs (السنتيمتر - الجرام - الثانية) ، معدل للمسافات الشاسعة في الكون والكتل الضخمة من الأجسام الفلكية. يتقارب معظم الفيزيائيين حول استخدام إصدار MKS (متر-كيلوغرام- ثانية) أو Systeme Internacionale. طول

لوصف المسافات والأحجام ، نحدد معيار الطول. وحدة الطول cgs هي السنتيمتر ، واختصارها "سم". السنتيمتر ما بين ثلث ونصف بوصة:

كما ترى من الرسم التخطيطي ، فإن السنتيمتر صغير جدًا - وليس وحدة عملية جدًا للمسافات الشاسعة في الكون. إذا اضطر عالم الفلك أ إلى استخدام السنتيمترات ليخبر الفلكي ب عن المسافة إلى الشمس ، فسيبدو الأمر كما يلي:

هناك ثلاث وحدات خاصة للمسافة يستخدمها علماء الفلك. هذه هي الوحدة الفلكية (AU) ، ال سنة ضوئية و ال فرسخ . الوحدة الفلكية هي متوسط ​​المسافة بين الأرض والشمس الموضحة أعلاه.

1 AU = 1.5 × 10 13 سم = 150 مليون كم = 93 مليون ميل = 8.3 "دقائق ضوئية"

أ سنة ضوئية (لي) يبدو كمقياس للوقت ، لكنه طول - المسافة التي يقطعها الضوء في عام واحد (يمكننا استخدام السنة الضوئية كوحدة قياس لأن كل الضوء ينتقل بنفس السرعة ، فهو ثابت أساسي للكون . المزيد عن هذا لاحقًا.) لذلك ، في عام واحد ، يسافر الضوء:

الاسم فرسخ يأتي من تقنية قياس المسافة تسمى المنظر. أقرب نجم ، Alpha Centauri ، يبعد حوالي 1.3 قطعة أو 4 سنوات ضوئية. سنلتزم في الغالب بالسنوات الضوئية في هذه الصفحات ، ولكن قد ترى مسافات نجمية على جهاز الكمبيوتر ، ومسافات في مجرة ​​درب التبانة في كيلوبارسكس (كبك)، والمسافات إلى المجرات الأخرى في ميجا فرسخ (Mpc) ، والمسافات إلى الأشياء الكونية البعيدة جدًا في جيجابارسكس (Gpc).
1 فرسخ = 3.26 سنة ضوئية

بالإضافة إلى وحدات المسافة هذه ، يستخدم علماء الفلك مقياس & Aringngstrom (& Aring) كمقياس للحجم على المقياس الذري.
1 & Aringngstrom = 10-8 سم.
An & Aringngstrom بحجم ذرة الهيدروجين. يستخدم علماء الفلك البصري & Aringngstrom لقياس الأطوال الموجية للضوء. ال نانومتر (nm = 10 -9 m = 10 -7 cm = 10 & Aring) يستخدم أيضًا كمقياس لطول موجة الضوء البصري ، و ميكرومتر أو ميكرون (& Microm = 10 -6 m = 10-4 cm = 10،000 & Aring) يستخدم لوصف أطوال موجات الأشعة تحت الحمراء. كتلة

يعلم الجميع أن رواد الفضاء وزن أقل عندما يمشون على القمر مقارنة بالعودة إلى الأرض. نظرًا لأن القمر أقل كتلة من الأرض ، فإن جاذبيته تكون أصغر. من الضروري أن يكون لديك وحدة لقياس "كمية الأشياء" التي ستكون هي نفسها في كل مكان في الكون. هذه الوحدة من "الأشياء" تسمى الكتلة. لذلك ، يكون وزن رائد الفضاء أقل على القمر ، لكن كتلته / كتلتها هي نفسها تمامًا. في الواقع ، الوزن والكتلة شيئان مختلفان. وزنك هو الجاذبية بينك وبين الأرض. (أو أي كوكب قد تزوره.) كتلتك هي مقياس لقصورك الذاتي ، ومقاومتك للتغيرات في الحركة. هنا شرح جميل للكتلة.

وحدة الكتلة CGS هي غرام. أصغر بكثير من أونصة:

454 جرام = 16 أوقية = 1 باوند

المعيار المحدد للكتلة هو أسطوانة من البلاتين الإيريديوم وزنها 1 كيلوغرام وتقع في المكتب الدولي للأوزان والمقاييس في سيفر بفرنسا. هناك نسخة من المعيار في المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا في بولدر ، ومختبرات وطنية أخرى حول العالم.
هل يجب إعادة تعريف المعيار الدولي للكيلوجرام؟ اقرأ عنها هنا.

يتم استخدام وحدتين أخريين من الكتلة على المقياس الكبير (الفلكي) والمقياس الصغير جدًا (الذري). لقياس الكتل الذرية وحدة الكتلة الذرية (amu) موظف. ال amu يُعرَّف بأنه واحد على اثني عشر كتلة ذرة كربون شائعة:

1 amu = م (12 درجة مئوية) / 12 = 1.66 × 10-24 جرام

أقل بقليل من كتلة البروتون. بالنسبة للنجوم والمجرات وما إلى ذلك ، نستخدم الامتداد الكتلة الشمسية

حيث "" هو الرمز الفلكي القياسي للشمس. تبلغ كتلة مجرتنا درب التبانة حوالي 10 12 م. زمن

  • تعرف على الساعات الذرية.
  • قم بزيارة معرض جولة الساعة الذرية.
  • مزامنة ساعة الكمبيوتر الخاص بك مع ساعة NIST الذرية.
    الساعة الذرية في المعهد الوطني للمعايير والتقنية

يهتم الكثير من علم الفلك والفيزياء الفلكية بفهم توليد الطاقة ومخرجات الطاقة المضيئة من النجوم والمجرات وما إلى ذلك. إرغ . ان إرغ هي كمية الطاقة الموجودة في حركة كتلة 1 جرام تتحرك بسرعة 1 سم / ثانية أو حول الطاقة التي تنفقها ذبابة تقلع من الجدار.

يُطلق على ناتج الضوء من نجم أو مجرة ​​اسمها لمعان تقاس في ergs / ثانية. لمعان شمسنا

في بعض الأحيان يتم اقتباس الطاقات على المستوى الذري / النووي في إلكترون فولت - فولت ، يتم تسريع طاقة الإلكترون من خلال جهد 1 فولت (1 فولت = 1.6 × 10-12 إرج). مستويات الطاقة وطاقات التأين للذرات الشائعة قليلة فولت، كثيرا ما يتم اقتباس طاقات فوتون الأشعة السينية في كيلو إلكترون فولت - keV، وكثيرا ما يتم إعطاء أشعة جاما والطاقات النووية MeV. بسبب معادلة الكتلة والطاقة التي أشار إليها آينشتاين

البروفيسور إتش إي (جين) سميث
كاس 0424 UCSD
9500 جيلمان درايف
لا جولا ، كاليفورنيا 92093-0424


آخر تحديث: 19 تشرين الثاني (نوفمبر) 1999


اضرب واقسم باستخدام الترميز العلمي

يستخدم علماء الفلك أعدادًا كبيرة جدًا لوصف المسافات في الكون وأعمار النجوم والكواكب. يستخدم الكيميائيون أعدادًا صغيرة جدًا لوصف حجم الذرة أو الشحنة الموجودة على الإلكترون. عندما يقوم العلماء بإجراء حسابات بأعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا ، فإنهم يستخدمون الرموز العلمية. يوفر الترميز العلمي طريقة لإجراء العمليات الحسابية دون كتابة الكثير من الأصفار. سنرى كيف تُستخدم خصائص الأس في ضرب وقسمة الأرقام في شكل علمي.

تتضاعف. اكتب الإجابات بالصيغة العشرية: .

استخدم خاصية التبادل لإعادة ترتيب العوامل.
تتضاعف.
غيّر إلى الشكل العشري بتحريك العلامة العشرية إلى منزلتين لليسار.

تتضاعف . اكتب الإجابات بالصيغة العشرية.

تتضاعف . اكتب الإجابات بالصيغة العشرية.

يقسم. اكتب الإجابات بالصيغة العشرية: .

افصل العوامل ، وأعد كتابتها على أنها حاصل ضرب كسرين.
يقسم.
غيّر إلى الشكل العشري بتحريك الفاصلة العشرية الخمسة إلى اليمين.

يقسم . اكتب الإجابات بالصيغة العشرية.

يقسم . اكتب الإجابات بالصيغة العشرية.

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام الأس الصحيح والترميز العلمي:


ملاحظة: هناك الكثير من الأرقام في هذه الصفحة قد يكون من الأسهل قراءتها إذا تمت طباعة المستند.

لماذا نستخدم الترميز العلمي؟

تم تطوير الترميز العلمي من أجل تمثيل الأرقام التي تكون إما كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا بسهولة. فيما يلي مثالين للأعداد الكبيرة والصغيرة. يتم التعبير عنها في شكل عشري بدلاً من الترميز العلمي للمساعدة في توضيح المشكلة:

تحتوي مجرة ​​المرأة المسلسلة (الأقرب إلى مجرة ​​درب التبانة) على ما لا يقل عن 200.000.000.000 نجم.

من ناحية أخرى ، يبلغ وزن جسيم ألفا ، المنبعث من الانحلال الإشعاعي للبلوتونيوم -239 ، 0.000.000.000.000.000.000.000.000.006.645 كيلوجرام.

كما ترى ، قد يكون من الشاق كتابة هذه الأرقام بشكل متكرر. لذلك ، تم تطوير نظام للمساعدة في تمثيل هذه الأرقام بطريقة تسهل قراءتها وفهمها: الترميز العلمي.

ما هو الترميز العلمي؟

باستخدام أحد الأمثلة المذكورة أعلاه ، يمكن كتابة عدد النجوم في مجرة ​​Adromeda على النحو التالي:

هذا العدد الكبير ، 100،000،000،000 هو الذي يسبب المشكلة. لكن هذا مجرد مضاعف للعشرة. في الحقيقة هو عشرة أضعاف نفسه أحد عشر مرة:

10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100،000،000،000

الطريقة الأكثر ملاءمة لكتابة 100،000،000،000 هي 10 11. الرقم الصغير الموجود على يمين العشرة يسمى & # 8220exponent ، & # 8221 أو & # 8220 قوة العشرة. & # 8221 يمثل عدد الأصفار التي تلي الرقم 1.

على الرغم من أننا نعتقد أن الصفر ليس له قيمة ، إلا أن الأصفار يمكن أن تجعل الرقم أكبر أو أصغر بكثير. فكر في الفرق بين 10 دولارات و 100 دولار. يعرف أي شخص يوازن دفتر شيكات أن صفرًا واحدًا يمكن أن يحدث فرقًا كبيرًا في قيمة الرقم. وبنفس الطريقة ، فإن 0.1 (عُشر) من الميزانية العسكرية الأمريكية هي أكثر بكثير من 0.01 (واحد على المائة) من الميزانية. (على الرغم من أن أحدهما ربما يكون مالًا أكثر مما قد يراه معظمنا في دفاتر الشيكات لدينا!)

لذلك نكتب 200.000.000.000 بالتدوين العلمي على النحو التالي:

يقرأ هذا الرقم على النحو التالي: & # 8220 نقطتان صفر في عشرة إلى الحادي عشر. & # 8221

كيف يعمل الترميز العلمي؟

كما قلنا أعلاه ، يشير الأس إلى عدد الأصفار التي تلي 1. لذا:

10 1 = 10
10 2 = 100
10 3 = 1،000 وهكذا.

وبالمثل ، 10 0 = 1 ، لأن الأس صفر يعني أنه لا يوجد أصفار تتبع الرقم 1.

تشير الأسس السالبة إلى قوى سالبة لـ 10 ، والتي يتم التعبير عنها في صورة كسور مع 1 في البسط (في الأعلى) وقوة 10 في المقام (في الأسفل).

وبالتالي:
10 -1 = 1/10
10 -2 = 1/100
10 -3 = 1/1000 وهكذا.

هذا يسمح لنا بالتعبير عن أعداد صغيرة أخرى بهذه الطريقة. على سبيل المثال:

2.5 × 10 -3 = 2.5 × 1/1000 = 0.0025

يمكن التعبير عن كل رقم في الترميز العلمي. في مثالنا الأول ، يجب كتابة 20000000000000 كـ 2.0 × 10 11. من الناحية النظرية ، يمكن كتابته على شكل 20 × 10 10 ، ولكن وفقًا للاتفاقية ، يُكتب الرقم عادةً على أنه 2.0 × 10 11 بحيث يكون الرقم الرئيسي أقل من 10 ، متبوعًا بالعديد من المنازل العشرية حسب الضرورة.

من السهل ملاحظة أن جميع الأشكال المذكورة أعلاه هي مجرد طرق مختلفة لتمثيل نفس الرقم:

200,000,000,000 =
20 × 10 10 (20 × 10،000،000،000)
2.0 × 10 11 (2.0 × 100،000،000،000)
0.2 × 10 12 (.2 × 1،000،000،000،000)

يوضح هذا طريقة أخرى للتفكير في الترميز العلمي: سيخبرك الأس كيف تحرك العلامة العشرية الأس الموجب الفاصلة العشرية إلى اليمين ، بينما تحركها السالب إلى اليسار. لذلك على سبيل المثال:

4.0 × 10 2 = 400 (مكانان على يمين 4)

في حين
4.0 × 10 -2 = 0.04 (مكانان على يسار 4).

لاحظ أن الترميز العلمي يتم التعبير عنه أحيانًا كـ E (للأس) ، كما في 4 E 2 (بمعنى 4.0 × 10 مرفوعًا إلى 2). وبالمثل ، فإن 4 E -2 تعني 4 مرات 10 مرفوعة إلى -2 ، أو = 4 × 10 -2 = 0.04. تسهل طريقة التعبير هذه الكتابة في التدوين العلمي.

في بعض الأحيان لا تكون ميزة التدوين العلمي واضحة على الفور. رقم مثل 340 أسهل بكثير للقراءة في شكل عشري منه في التدوين العلمي:

ماذا عن الرقم 380.000؟ في نهاية عام 1994 ، بلغ مخزون وزارة الطاقة & # 8217s (DOE) من النفايات المشعة عالية المستوى حوالي 378،400 متر مكعب.

الرقم 378400 صغير أيضًا بما يكفي ليكون قابلاً للقراءة. هناك سببان للتعبير عن 378400 في التدوين العلمي بدلاً من الشكل العشري:

حساب: يجعل الترميز العلمي عملية جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد أبسط بكثير.
إنشاء الجداول وقراءتها: لنلق & # 8217s إلى الجدول الذي جاء منه هذا الرقم:

الحجم التراكمي التاريخي والمتوقع لـ HLW المخزن في الخزانات والصناديق والكبسولات ، حسب الموقع (الجدول 2.1 في وزارة الطاقة & # 8217s تقرير قاعدة البيانات المتكاملة 1994 ، وزارة الطاقة / RW-006 ، التنقيح 11)
نهاية السنة التقويمية الحجم ، 10 3 م 3
هانفورد INEL SRS WVDP مجموع
1990 253.6 12.0 131.7 1.2 398.5
1991 256.4 10.4 127.9 1.7 396.5
1992 258.7 11.2 126.9 1.6 398.3
1993 261.7 10.5 129.3 2.0 403.5
1994 238.9 11.0 126.3 2.2 378.4

انظر إلى العمود 6. يحتوي ملصق هذا العمود على وحدات قياسها 10 3 م 3 (1000 متر مكعب). من خلال جعل الوحدات 10 3 م 3 بدلاً من م 3 ، يمكن استخدام الرقم 378.4 بدلاً من 378.400 في الجدول. هذا يجعل الرسم البياني أسهل للقراءة.

جمع وطرح

مفتاح إضافة أو طرح الأرقام في الترميز العلمي هو التأكد من تطابق الأسس. على سبيل المثال،

يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:
(0.2 × 10 3) + (3.0 × 10 3)

الآن يمكنك فقط إضافة 0.2 + 3 والحفاظ على 10 3 سليمة. إجابتك هي 3.2 × 10 3 ، أو 3200. يمكننا التحقق من ذلك بتحويل الأعداد أولًا إلى الصيغة الأكثر شيوعًا.

2 × 10 2 + 3.0 × 10 3 = 200 + 3000 = 3200 = 3.2 × 10 3

لنجرب & # 8217s مثالًا للطرح.
(2.0 × 10 7) & # 8211 (6.3 × 10 5)

يجب إعادة كتابة المشكلة بحيث يكون الأسس متماثلين. حتى نتمكن من الكتابة
(200 × 10 5) & # 8211 (6.3 × 10 5) = 193.7 × 10 5 ،

والتي سيتم كتابتها في الترميز العلمي 1.937 × 10 7.

دع & # 8217s تحقق من خلال العمل بطريقة أخرى:
2 × 10 7 & # 8211 6.3 × 10 5 = 20.000.000 & # 8211 630.000 = 19.370.000 = 1.937 × 10 7

عمليه الضرب:

عند ضرب الأرقام المعبر عنها بالتدوين العلمي ، يمكن ببساطة إضافة الأس معًا. هذا لأن الأس يمثل عدد الأصفار التي تلي الواحد. وبالتالي:

10 1 × 10 2 = 10 × 100 = 1000 = 10 3

للتحقق مما نراه: 10 1 × 10 2 = 10 1 + 2 = 10 3

وبالمثل 10 1 × 10 -3 = 10 1-3 = 10-2 = 0.01

مرة أخرى عندما نتحقق من ذلك ، نرى أن: 10 × 1/1000 = 1/100 = 0.01

انظر إلى مثال آخر:
(4.0 × 10 5) × (3.0 × 10 -1).

يتم ضرب 4 و 3 ، مما يعطينا 12 ، ولكن يتم إضافة الأسين 5 و -1 ، لذا فإن الإجابة هي:
12 × 10 4 أو 1.2 × 10 5

دع & # 8217s تحقق:
(4 × 10 5) × (3 × 10-1) = 400،00 × 0.3 = 123000 = 1.2 × 10 5.

ملاحظة مثيرة للاهتمام: طريقة أخرى لمعرفة أن 10 0 = 1 هي كما يلي:
10 1 × 10 -1 = 10 1-1 = 10 0

قسم:

دعونا نلقي & # 8217s نظرة على مثال بسيط:
(6.0 × 10 8) × (3.0 × 10 5)

لحل هذه المسألة ، قسّم أولًا 6 على 3 لتحصل على 2. ثم ينقل الأس الموجود في المقام إلى البسط وعكس علامته. (تذكر تلك الحيلة الصغيرة من دروس الرياضيات القديمة؟) لذلك ننقل 10 5 إلى البسط بأس سالب ، والذي سيبدو بعد ذلك كما يلي:
2 × 10 8 × 10-5

كل ما تبقى & # 8217s الآن هو حل هذه المشكلة كمسألة ضرب ، تذكر أن كل ما عليك فعله للجزء & # 822010 8 x 10 -5 & # 8221 هو إضافة الأس. إذن الجواب هو:
2.0 × 10 3 أو 2000

سهل ، هاه؟ حسنًا ، حتى الدكتور Egghead يمكنه & # 8217t تعلم مفاهيم جديدة بمجرد قراءتها. فإنه يأخذ القليل من الممارسة. محظوظ بالنسبة لك ، لقد قمنا & # 8217 بتكوين ورقة عمل علمية + إجابات> ورقة عمل حول التدوين العلمي! أنت & # 8217ll ستصدر أرقامًا ضخمة مثل المحترفين في أي وقت من الأوقات! حظا سعيدا!

الموضوع: Classroom. تم النشر في يوليو 2005. آخر تعديل في أبريل ، 2012. قم بتنزيل هذه الصفحة كملف PDF


التدوين العلمي (التدوين الأسي) دروس الكيمياء

(3) تحديد قيمة الأس بناءً على عدد الأماكن التي انتقلت فيها العلامة العشرية بين موضعها في الرقم العشري ومكانها في المعامل

(4) كتابة العدد بصيغة: معامل وضربًا في 10 أس

(1) كتابة المعامل

(2) تحديد طريقة تحريك الفاصلة العشرية بناءً على علامة الأس:

الأس السالب: نقل الفاصلة العشرية إلى اليسار

الأس الموجب: حرك الفاصلة العشرية لليمين

(3) تحديد عدد الأماكن لتحريك الفاصلة العشرية بناءً على حجم (حجم) الأس

(4) انقل الفاصلة العشرية في المعامل إلى العدد الصحيح للأماكن في الاتجاه الصحيح.

من فضلك لا تمنع الإعلانات على هذا الموقع.
لا توجد إعلانات = لا توجد أموال لنا = لا توجد أشياء مجانية لك!

الأعداد الكبيرة والأرقام الصغيرة في التدوين العلمي (التدوين الأسي)

يستخدم الكيميائيون بانتظام بعض الأرقام الكبيرة جدًا ، وفيما يلي بعض الأمثلة:

تخيل أنك تحاول إجراء حسابات تتضمن ثابت Avogadro ، 602000000000000000000000 ، فمن الصعب حقًا تتبع كل هذه الأصفار!
إذا تركت عن طريق الخطأ أحد هذه الأصفار ، فسيكون الرقم الذي تكتبه أصغر بعشر مرات مما كان ينبغي أن يكون.
إذا فقدت اثنين من الأصفار ، فسيكون الرقم 100 مرة ، وهو أصغر مما ينبغي!
إذا فقدت ثلاثة أصفار ، فسيكون الرقم أصغر بمقدار 1000 مرة مما يجب أن يكون.
وهل بدأت ترى نمطًا هنا؟

يمكن اعتبار 602000000000000000000000 ناتجًا لعدد مضروبًا في 10 ، أو 10 × 10 (100) ، أو 10 × 10 × 10 (1000) ، إلخ كما هو موضح أدناه:

الآن إذا كان لدينا طريقة مختصرة لتمثيل كل تلك "& مرات العشرات" ، سيكون لدينا طريقة مفيدة لتتبع كل هذه الأصفار.

حسنًا ، طور علماء الرياضيات هذا اليد القصيرة. يستخدمون رقمًا مرتفعًا صغيرًا على يمين الرقم 10 لإخبارنا بعدد "& 10" s اللازمة لتكوين الرقم.
سنطلق على هذا الرقم الأس.

الرقم "10" هو 1 "وضرب 10" لذا الأس هو "1": 10 1 ، ولكن عادة نكتب 10 فقط.

الرقم "100" هو 1 "وضرب 10 × 10" ،2"& times10s" لذلك الأس هو "2": 10 2 .

الرقم "1000" هو 1 "وضرب 10 × 10 × 10 ، أي"3"& times10s" لذلك الأس هو "3": 10 3 .

الرقم "10000" هو 1 "× 10 × 10 × 10 × 10" ، أي "4"& times10s" لذلك الأس هو "4": 10 4 .

هل ترى نمطًا آخر في الظهور؟
نحن نستبدل كل "0" في الرقم بـ "& times10" ويزيد الأس بمقدار "1".
لذا يمكننا حساب عدد "0" بعد آخر رقم غير صفري في العدد الأصلي لتحديد قيمة الأس.

لذلك يمكننا تمثيل ثابت Avogadro ، 602.000.000.000.000.000.000.000 ، كـ 602 مع 21 "0" بعده على النحو التالي:

602 × 10 21 أسهل بكثير في الكتابة من 602.000.000.000.000.000.000.000 ولكن يمكننا الاستمرار كما هو موضح أدناه:

602 × 10 21 = 60.2 × 10 × 10 21 = 60.2 × 10 22

60.2 × 10 22 = 6.02 × 10 × 10 22 = 6.02 × 10 23

عادة ما نعبر عن ثابت أفوجادرو بـ 6.02 × 10 23.
عندما نمثل الأرقام كرقم صغير بين 0 و 10 (6.02) مضروبًا في 10 إلى قوة رقم آخر (& ضرب 10 23) ، فإننا نسمي هذا الترميز العلمي أو الترميز الأسي.
العدد الصغير بين 0 و 10 (6.02) يسمى المعامل.
تسمى "القوة" التي نرفعها "10" إلى الأس (23 في هذه الحالة).

يعمل الكيميائيون أيضًا مع بعض الأعداد الصغيرة جدًا. على سبيل المثال:

في هذه الحالات نقسم الرقم على 10 ، لنأخذ قطر الذرة كمثال:

والذي ، باستخدام ما تعلمناه أعلاه عن الأسس ، يمكننا أيضًا كتابته على النحو التالي:

لا نعبر عادةً عن الأعداد كقسمة على 10 مرفوعة إلى قوة ما ، بل نكتب الرقم في شكل علمي باستخدام ضرب 10 مرفوعًا إلى قوة ما.
كيف يمكنك تحويل قسمة إلى muliplication؟

علماء الرياضيات لديهم حيلة لهذا أيضًا!
يستخدمون علامة الطرح (-) قبل الرقم الأول من الأس.
وترد أدناه بعض الأمثلة:

لذلك ، باستخدام الترميز العلمي (التدوين الأسي) ، يبلغ قطر الذرة 2 × 10-10 أمتار.
المعامل هو 2
الأس هو -10

للتلخيص ، يستخدم الترميز العلمي عددًا صغيرًا (بين 0 و 10) كمعامل ويضرب هذا الرقم في 10 مرفوعًا إلى أس رقم يسمى الأس.

إذا كان الرقم أكبر من أو يساوي 10 ، فسيكون الأس موجبًا (لكننا لا نكتب علامة +)

إذا كان الرقم بين 1 و 10 ، فسيكون الأس صفر (0)

إذا كان الرقم بين 0 و 1 ، فسيكون الأس سالبًا (نكتب علامة - قبل قيمة الأس)

معامل في الرياضيات او درجة & ضرب 10 - الأس

في بعض الأحيان قد تحتاج إلى تحويل رقم معطى في تدوين علمي (تدوين أسي) إلى رقم نظام عشري.
على سبيل المثال ، قد تحتاج إلى قياس 1.325 × 10 3 جرام من ملح الطعام (كلوريد الصوديوم).
تعرض الشاشة الرقمية على رصيدك الإلكتروني فقط أرقامًا في النظام العشري ، لذلك ستحتاج إلى تحويل 1.325 و 10 3 إلى رقم نظام عشري.
نظرًا لأن الأس موجب (لا توجد علامة ناقص قبل قيمة الأس) ، فإننا نعلم أننا بحاجة إلى ضرب "1.325" في "3" & ضرب 10 "ث ، أي:

في الواقع ، نحن ننقل العلامة العشرية إلى اليمين. عدد الأماكن التي تتحرك فيها الفاصلة العشرية يساوي قيمة الأس:

معامل العلامة العشرية & darr
معامل في الرياضيات او درجة 1 . 3 2 5
نقل العلامة العشرية 3 أماكن إلى اليمين & uarr & rarr
1
& rarr
2
& rarr
3
& darr
رقم النظام العشري 1 3 2 5 .

ماذا لو احتجنا إلى وزن 7.6 × 10-3 جرام من ملح الطعام (كلوريد الصوديوم)؟
نظرًا لأن الأس سالب (علامة ناقص قبل قيمة الأس) ، فإننا نعلم أننا بحاجة إلى قسمة 7.6 على 10 3 ، أو قسمة 7.6 على "3" و 10 "ث ، أي:

7.6 & 10 -3 = 7.6 & قسمة 10 3 = 7.6 & قسمة (10 & 10 & 10 ضرب) = 7.6 & قسمة 1000 = 0.0076

في هذه الحالة ، ننقل الفاصلة العشرية في المعامل إلى اليسار. عدد الأماكن التي يتحرك بها يساوي حجم (حجم) الأس. إذا لم يكن هناك رقم في الموضع الذي تتحرك فيه العلامة العشرية ، نقوم بإدخال "0"

معامل العلامة العشرية & darr
معامل في الرياضيات او درجة 7 . 6
نقل العلامة العشرية 3 أماكن إلى اليسار & darr & لار
3
& لار
2
& لار
1
& uarr
أدخل الأصفار عند الحاجة . 0 0 7 6

تحويل رقم إلى تدوين علمي (تدوين أسي)

يمكننا كتابة أي رقم باستخدام التدوين العلمي (التدوين الأسي) إذا اتبعنا بضع خطوات بسيطة:

حجم (أو حجم) الأس هو ؟

إذا كان الرقم الأصلي 10 أو أكثر ، يكون الأس موجبًا (لا تقم بتضمين علامة +)

إذا كان الرقم الأصلي بين 1 و 10 ، فإن الأس يكون 0

إذا كان الرقم الأصلي بين 0 و 1 ، يكون الأس سالبًا (قم بتضمين علامة -)

أمثلة مجربة على كتابة الأرقام باستخدام الترميز العلمي (التدوين الأسي)

السؤال 1: اكتب الرقم 0.015 باستخدام التدوين العلمي (التدوين الأسي).

حجم (أو حجم) الأس هو 2

إذا كان الرقم الأصلي 10 أو أكثر ، يكون الأس موجبًا (لا تقم بتضمين علامة +)

إذا كان الرقم الأصلي بين 1 و 10 ، فإن الأس يكون 0

إذا كان الرقم الأصلي بين 0 و 1 ، يكون الأس سالبًا (قم بتضمين علامة -)

السؤال 2: اكتب الرقم 256.35 باستخدام التدوين العلمي (التدوين الأسي).

حجم (أو حجم) الأس هو 2

إذا كان الرقم الأصلي 10 أو أكثر ، يكون الأس موجبًا (لا تقم بتضمين علامة +)

إذا كان الرقم الأصلي بين 1 و 10 ، فإن الأس يكون 0

إذا كان الرقم الأصلي بين 0 و 1 ، يكون الأس سالبًا (قم بتضمين علامة -)

السؤال 3: اكتب الرقم 42.06 باستخدام التدوين العلمي (التدوين الأسي).

حجم (أو حجم) الأس هو 1

إذا كان الرقم الأصلي 10 أو أكثر ، يكون الأس موجبًا (لا تقم بتضمين علامة +)

إذا كان الرقم الأصلي بين 1 و 10 ، فإن الأس يكون 0

إذا كان الرقم الأصلي بين 0 و 1 ، يكون الأس سالبًا (قم بتضمين علامة -)

السؤال 4: اكتب الرقم 3.56 باستخدام التدوين العلمي (التدوين الأسي).

حجم (أو حجم) الأس هو 0

إذا كان الرقم الأصلي 10 أو أكثر ، يكون الأس موجبًا (لا تقم بتضمين علامة +)

إذا كان الرقم الأصلي بين 1 و 10 ، فإن الأس يكون 0

إذا كان الرقم الأصلي بين 0 و 1 ، يكون الأس سالبًا (قم بتضمين علامة -)

تحويل الترميز العلمي إلى رقم نظام عشري

استخدم الخطوات التالية لتحويل رقم معطى في تدوين علمي (تدوين أسي) إلى رقم نظام عشري:

الأس الموجب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليمين

الأس = 0: لا تحرك العلامة العشرية

الأس السالب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليسار

أمثلة مجربة على تحويل الأعداد في الترميز العلمي إلى أرقام النظام العشرية

السؤال 1: اكتب 1.23 وضرب 10 3 كرقم نظام عشري.

الأس الموجب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليمين

الأس = 3 موجب (لا توجد علامة سالبة)

الأس = 0: لا تحرك العلامة العشرية

الأس السالب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليسار

الأس = 3 لذا انقل العلامة العشرية 3 منازل إلى اليمين

معامل العلامة العشرية & darr
معامل في الرياضيات او درجة 1 . 2 3
نقل العلامة العشرية 3 أماكن إلى اليمين & uarr & rarr
(1)
& rarr
(2)
& rarr
(3)
& darr
أدخل الأصفار عند الحاجة 1 2 3 0 .

السؤال 2: اكتب 4.76 & ضرب 10 -2 كرقم نظام عشري.

الأس الموجب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليمين

الأس = 0: لا تحرك العلامة العشرية

الأس السالب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليسار

الأس = -2 وبالتالي سالب (علامة ناقص)

الأس = -2 لذا حرك الفاصلة العشرية 2 مكان إلى اليسار

معامل العلامة العشرية & darr
معامل في الرياضيات او درجة 4 . 7 6
نقل العلامة العشرية 2 أماكن إلى اليسار & darr & لار
(2)
& لار
(1)
& uarr
أدخل الأصفار عند الحاجة . 0 4 7 6

السؤال 3: اكتب 5.22 وضرب 10 1 كرقم نظام عشري.

الأس الموجب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليمين

الأس = 1 لذلك موجب (لا توجد علامة سلبية)

الأس = 0: لا تحرك العلامة العشرية

الأس السالب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليسار

الأس = 1 لذا انقل العلامة العشرية بمقدار 1 مكانًا إلى اليمين

معامل العلامة العشرية & darr
معامل في الرياضيات او درجة 5 . 2 2
نقل العلامة العشرية 1 مكان إلى اليمين & uarr & rarr
(1)
& darr
أدخل الأصفار عند الحاجة 5 2 . 2

السؤال 4: اكتب 9.45 & ضرب 10 0 كرقم نظام عشري.

الأس الموجب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليمين

الأس = 0: لا تحرك العلامة العشرية

الأس = 0 لذلك لا نحرك العلامة العشرية

الأس السالب: حرك الفاصلة العشرية إلى اليسار

الأس = 0 لذلك لا تحرك العلامة العشرية

(1) في بعض الأحيان ، يمكن أن تكون الأصفار الموجودة على يسار آخر رقم غير صفري في الرقم مهمة وفي هذه الحالة يجب الاحتفاظ بهذه الأصفار في المعامل.
123450 حيث يكون "0" مهمًا سيتم التعبير عنه بالتدوين العلمي كـ 1.23450 & ضرب 10 5
إذا كان "0" غير مهم ، فسيتم التعبير عن الرقم بالتدوين العلمي كـ 1.2345 & ضرب 10 5

(2) هناك أوقات نريد فيها أن يكون المعامل أقل من 1 أو أكبر من 10.
على سبيل المثال ، إذا أردنا جمع رقمين في التدوين العلمي معًا ، أو إذا أردنا طرح رقم في التدوين العلمي من رقم آخر في التدوين العلمي.
من المفيد أيضًا الاحتفاظ بمعامل أكبر عندما نقوم بالتحويل بين الوحدات.
على سبيل المثال ، التحويل الشائع في الكيمياء هو تحويل الحجم بالملل إلى حجم في L:
25 مل = 25 مل & قسمة 1000 مل / لتر = 25 & قسمة 10 3 لتر = 25 & مرات 10 -3 لتر = 0.025 لتر
بالنسبة للحسابات ، غالبًا ما يكون استخدام 25 × 10 -3 لتر أكثر أمانًا لأنه يتجنب الأخطاء في العمليات الحسابية بسبب وضع الفاصلة العشرية في غير مكانها أو عدد الأصفار.


يتطلب كل تنسيق رقم سلسلة تنسيق للإشارة ليس فقط إلى نوع التنسيق المراد استخدامه ، ولكن أيضًا تفاصيل حسب عدد الكسور العشرية التي سيتم عرضها. في جميع الرموز الرقمية ، يمكن أن تشير سلسلة التنسيق إلى عدد الأرقام المراد عرضها لجزء الكسر من الرقم. على سبيل المثال 0.00 + E0 سيفرض كسرًا عشريًا 2 إذا لزم الأمر أم لا.

سلسلة تنسيق Excel للتدوين الهندسي تشبه الترميز العلمي ، فيما عدا أنها تبدأ بـ 3 تجزئات (#). انظر النموذج أعلاه. التدوين العلمي الحالي في كل من Excel و OOo Calc هو نفسه باستثناء هذه النقطة. كلاهما يستخدم E + للإشارة إلى تدوين الأس. يشير الرقم (الأرقام) بعد ذلك إلى عدد الأرقام المراد استخدامها للأس. على سبيل المثال 0.0 + E000 سيجبر 3 أرقام للأس ، إذا لم يكن هناك حاجة فإنه يصبح مبطنًا بالأصفار. استخدام آخر لسلسلة تنسيق Excel هو أنه ليس فقط التدوين الهندسي العادي ممكنًا ، ولكن أيضًا التدوين في المضاعفات الأخرى. على سبيل المثال #### E + 0 سيتم تنسيقه 153،100 كـ 15.310E + 4.

البديل المذكور هو استبدال F بدلاً من E. في هذه الحالة ، فإن ###. 000E + 00 ستكون مساوية لـ 0.000F + 0.


في كذبة أبريل 2018 ، تم تقديم ترميزين جديدين (Infinity و Brackets). إذا كان اللاعب في مرحلة ما بعد الأبدية عندما دخل الصفحة لأول مرة في كذبة أبريل ، فسيتم تغيير خيار التدوين الخاص به تلقائيًا إلى ما هو الآن تدوين الأقواس. جعله Hevipelle "تدوينًا افتراضيًا جديدًا" ، وقام مؤقتًا بتعيين اسم الترميز على "افتراضي". تم تغيير هذه التغييرات إلى ما هي عليه الآن بعد بضعة أيام. بالإضافة إلى ذلك ، كان لدى كذبة أبريل حدث عشوائي أدى إلى تغيير كل من السمة والترميز إلى السرطان.

في كذبة أبريل 2020 ، تم تغيير كل شيء لمطابقة "COVID-19" ، بالتغييرات التالية:


شاهد الفيديو: الوحدة الاولي - الدرس السادس -الترميز العلمي - الصف الثامن 2020 (شهر نوفمبر 2021).