مقالات

2.4: حساب القسمة - الرياضيات


التفكير بصوت عال

إذا كان المعلم قادرًا على مشاركة 6 تفاحات بين 6 فتيان و 8 برتقالات بين 4 فتيات بالتساوي ، فهل يمكن للمدرس مشاركة 14 فاكهة مع 10 أطفال بالتساوي؟

نظرية: نظرية القسمة 1 (الأساسية)

لنفترض (أ ، ب ، ج في mathbb {Z} ) بحيث (أ + ب = ج ). إذا قسم (d in mathbb {Z _ +} ) أي اثنين من (a، b ) و (c ) ، فإن (d ) يقسم الثالث.

دليل:

دليل:(حسب الحالات)

حالة 1: افترض (د منتصف أ ) و (د منتصف ب ). يجب أن نبين أن (د منتصف ج ).

منذ (d mid a ) و (d mid b ) ، (a = dm ) و (b = dk ) ، بالنسبة للبعض (m ، k in mathbb {Z} ).

ضع في اعتبارك (c = a + b = dm + dk = d (m + k). )

منذ ((m + k) in mathbb {Z} ) ، (d mid c ).

الحالة 2: افترض (د منتصف أ ) و (د منتصف ج ). يجب أن نظهر أن (د منتصف ب ).

منذ (d mid a ) و (d mid c ) ، (a = dm ) و (c = dk ) ، بالنسبة للبعض (m ، k in mathbb {Z} ).

ضع في اعتبارك ، (b = c-a = d (k-m). )

منذ ((ك - م) في mathbb {Z} ) ، (د منتصف ب ).

الحالة 3: افترض (د منتصف ب ) و (د منتصف ج ). سنبين أن (د منتصف أ ).

منذ (d mid b ) و (d mid c ) ، (b = dm ) و (c = dk ) ، مع (m ، k in mathbb {Z} ) .

ضع في اعتبارك (a = c-b = d (k-m). )

منذ ((ك - م) في mathbb {Z} ) ، (د منتصف أ ).

بعد فحص جميع الحالات الممكنة ، بالنظر إلى أ + ب = ج ، ثم إذا قسم (د في mathbb {Z _ +} ) أي اثنين من (أ ، ب ) و (ج ) ، إذن (د ) يقسم الثالث. ( صندوق)

Theorem: Divisibility Theorem II (MULTIPLE) نظرية: نظرية القسمة الثانية (متعددة)

لنفترض (a، b، c in mathbb {Z} ) بحيث (a mid b ). ثم (a mid bc ).

دليل:

لنفترض (a، b، c in mathbb {Z} ) بحيث (a mid b ).

يجب أن نبين أن (a mid bc ).

اعتبر ذلك منذ ملف | ب ، ب = أك ، (ك في mathbb {Z} ).

ضع في اعتبارك أيضًا bc = a (ck).

منذ (ck in mathbb {Z} ) ، أ | قبل الميلاد ( صندوق )

النظرية: حساب القسمة

دعونا (أ ، ب ، ج ، د في mathbb {Z} ). ثم

  1. إذا (أ منتصف ب ) و (أ منتصف ج ) ثم (أ منتصف (ب + ج) ).
  2. إذا (a mid b ) و (a mid c ) ثم (a mid (bc) ).
  3. إذا (a mid b ) و (c mid d ) ثم ((ac) mid (bd) ).
دليل:

إثبات رقم 1:

دعونا (أ ، ب ، ج ، د في mathbb {Z} ).

سنوضح أنه إذا (أ منتصف ب ) و (أ منتصف ج ) ثم (أ منتصف (ب + ج) ).

منذ (a | b ، b = ak ، k in mathbb {Z} ) ومنذ ذلك الحين (a | c ، c = am ، ، m in mathbb {Z} ).

ضع في اعتبارك ، (b + c = a (k + m) ).

منذ (k + m in mathbb {Z} ) ، (a | (b + c) ). ( Box )

إثبات 2:

دعونا (أ ، ب ، ج ، د في mathbb {Z} ).

سنوضح أنه إذا (أ منتصف ب ) و (أ منتصف ج ) ثم (أ منتصف (قبل الميلاد) ).

منذ (a | b ، b = ak ، k in mathbb {Z} ) ومنذ ذلك الحين (a | c ، c = am ، ، m in mathbb {Z} ).

ضع في اعتبارك (bc = a (akm). )

منذ (akm in mathbb {Z} ) ، (a | (bc) ). ( Box )

دليل على 3:

دعونا (أ ، ب ، ج ، د في mathbb {Z} ).

سنوضح أنه إذا (a mid b ) و (c mid d ) ثم ((ac) mid (bd) ).

منذ (a | b ، b = ak ، k in mathbb {Z} ) ومنذ ذلك الحين (a | c ، c = am ، ، m in mathbb {Z} ).

اعتبر (bd = (ak) (cm) = ac (km). )

منذ (km in mathbb {Z} ) ، ((ac) | (bd) ). ( Box )

مثال ( PageIndex {1} ):

لنفترض (a، b، c، d in mathbb {Z} ) مثل (a mid b ) و (c mid d ). هل صحيح دائمًا أن ((أ + ج) منتصف (ب + د) )؟

بمعنى آخر ، إذا كان المعلم قادرًا على مشاركة 6 تفاحات بين 6 فتيان و 8 برتقالات بين 4 فتيات بالتساوي ، فهل يمكن للمدرس مشاركة 14 فاكهة مع 10 أطفال بالتساوي؟

مثال ( PageIndex {2} )

لنفترض أن (أ ) و (ب ) أعداد صحيحة موجبة مثل (7 | (أ + 2 ب + 5) ) و (7 | (ب − 9) ). أثبت أن (7 | (أ + ب). )

حل

دعونا (أ ، ب ∈ ℤ + s.t. 7 ∣ (أ + 2 ب + 5) ) و (7 ∣ (ب -9). )

ضع في اعتبارك (أ + 2 ب + 5 = 7 (م) ، م ∈ ℤ. )

مزيد من النظر (ب -9 = 7 (ك) ، ك في ℤ. )

بعد ذلك ضع في اعتبارك (a + 2b + 5 - (b-9) = 7m-7k. )

(أ + ب + 14 = 7 (م-ك). )

(أ + ب = 7 (م- ك -2) ، م-ك -2 في ℤ. )

وهكذا ، (7 | (أ + ب). □ )


قواعد القسمة على 2 و 5 و 10 (4 أرقام) (أ)

معلمون يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات كاختبارات أو مهام تدريبية أو أدوات تعليمية (على سبيل المثال في العمل الجماعي أو للسقالات أو في مركز التعلم). آباء يمكن أن يعملوا مع أطفالهم لمنحهم مزيدًا من الممارسة ، أو لمساعدتهم على تعلم مهارة رياضيات جديدة أو للحفاظ على مهاراتهم جديدة خلال فترات الراحة المدرسية. الطلاب يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات لإتقان مهارة في الرياضيات من خلال الممارسة ، في مجموعة دراسة أو لتعليم الأقران.

استخدم الأزرار أدناه لطباعة أو فتح أو تنزيل إصدار PDF من ملف قواعد القسمة لـ 2 و 5 و 10 (4 أرقام) (أ) ورقة عمل رياضية. حجم ملف PDF هو 24370 بايت. يتم عرض صور المعاينة للصفحتين الأولى والثانية (إن وجدت). إذا كان هناك المزيد من الإصدارات من ورقة العمل هذه ، فستتوفر الإصدارات الأخرى أسفل صور المعاينة. لمزيد من المعلومات المشابهة ، استخدم شريط البحث للبحث عن بعض أو كل هذه الكلمات الرئيسية: الرياضيات ، القسمة ، القسمة ، القواعد .

ال مطبعة سيبدأ الزر مربع حوار الطباعة الخاص بالمستعرض. ال فتح الزر سيفتح ملف PDF الكامل في علامة تبويب جديدة في متصفحك. ال مدرس سيبدأ الزر في تنزيل ملف PDF الكامل بما في ذلك الأسئلة والأجوبة (إن وجدت). اذا كان طالب علم الزر موجود ، فسيبدأ تنزيل صفحة (صفحات) الأسئلة فقط. قد تتوفر خيارات إضافية عن طريق النقر بزر الماوس الأيمن على زر (أو الضغط على شاشة تعمل باللمس). لا أرى الأزرار!

قواعد القسمة على 2 و 5 و 10 (4 أرقام) (أ) ورقة عمل الرياضيات الصفحة 1 قواعد القسمة على 2 و 5 و 10 (4 أرقام) (أ) ورقة عمل الرياضيات الصفحة 2

قابلية التجزئة

هذا درس كامل مع شروحات وتمارين حول مفهوم القسمة ، وحول العوامل والمقسومات والمضاعفات المخصصة لرياضيات الصف الرابع. يراجع الدرس أيضًا قواعد القابلية للقسمة لـ 2 و 5 و 10.

على سبيل المثال ، 18 & قسمة 3 = 6. لذلك ، 18 يقبل القسمة على 3. أيضا، 18 يقبل القسمة على 6، لأنه يمكننا كتابة القسمة الأخرى 18 وقسمة 6 = 3. لذا ، فإن 18 يقبل القسمة على كل من 6 و 3.

نقول 6 و 3 هي القواسم أو عوامل من 18.

67 & قسمة 4 = 16، R3. ويوجد باقي ، لذا فإن 67 هي ليس يقبل القسمة على 4.

1. قسّم وحدد ما إذا كانت الأرقام قابلة للقسمة على الرقم المحدد.

2. أجب على الأسئلة. قد تحتاج إلى قسمة طويلة.

أ. هل 98 يقبل القسمة على 4؟

ب. هل 603 يقبل القسمة على 7؟

ج. هل 3 من عوامل 1،256؟

إذًا ، بما أن 6 و 7 = 42 ، و 6 و 7 هي عواملمن 42.

نحن نقول 42 من مضاعفات العدد 6، لأن 42 عبارة عن عدد مضروب في 6 ، أي 7 ضرب 6.

إليك حقيقة الضرب: 8 × 9 = 72. إذن ، 8 هي ____________________ من 72 ،
وكذلك 9. كذلك ، 72 هو ____________________ من 8 ، و 72 أيضًا
أ ____________________ من 9. و 72 ____________________ بمقدار 8
وكذلك 9.

أ. هل 5 من عوامل 55؟

ب. هل 8 مقسوم على 45؟

ج. هل 36 من مضاعفات العدد 6؟

د. هو 34 من مضاعفات 7؟

ه. هل 7 عامل من 46؟

F. هل 63 من مضاعفات العدد 9؟

مضاعفات العدد 6 هي كل هذه الأرقام التي نحصل عليها عندما نضرب 6 في أعداد أخرى.
على سبيل المثال ، يمكننا ضرب 0 × 6 ، 7 × 6 ، 11 × 6 ، 109 × 6 ، وهكذا ، والأرقام الناتجة كلها مضاعفات ستة.

في الواقع ، يعطينا نمط التخطي 6 قائمة بمضاعفات 6:

0 ، 6 ، 12 ، 18 ، 24 ، 30 ، 36 ، 42 ، 48 ، 54 ، 60 ، 66 ، 72 ، 78 ، 84 ، وما إلى ذلك.

5. أ. اكتب قائمة بمضاعفات العدد 11 ، بدءًا من 0 وحتى 154 على الأقل.

ب. قم بعمل قائمة بمضاعفات 111 ، بدءًا من 0. اجعلها أطول فترة ممكنة في هذه المساحة!

تسمى الأعداد التي تقبل القسمة على 2 حتى في أعداد.
يتم استدعاء الأرقام التي لا تقبل القسمة على 2 الفردية أعداد.

تنتهي الأعداد الزوجية بـ 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8. كل رقم ثانٍ هو عدد زوجي.

الأعداد التي تنتهي بـ 0 و 5 تقبل القسمة على 5.

6. ضع علامة & ldquox & rdquo إذا كانت الأرقام قابلة للقسمة على 2 أو 5.

الأعداد التي تنتهي بصفر تقبل القسمة على 10.

7. ضع علامة & ldquox & rdquo إذا كانت الأرقام قابلة للقسمة على 2 أو 5 أو 10.

8. أ. اكتب قائمة الأعداد القابلة للقسمة على 2 ، من 0 إلى 60.

هذه أيضًا قائمة بـ ______________________________ من 2.

ب. في القائمة أعلاه ، تسطير تلك الأرقام التي تقبل القسمة على 4.
ماذا تلاحظ؟

ج. في القائمة أعلاه ، اللون تلك الأرقام التي تقبل القسمة على 6.
ماذا تلاحظ؟

د. ما هي الأرقام التي تقبل القسمة على كل من 4 و 6؟

9. أ. اكتب قائمة الأعداد القابلة للقسمة على 3 ، من 0 إلى 60.

هذه أيضًا قائمة بـ ______________________________ من 3.

ب. في القائمة أعلاه ، تسطير تلك الأرقام التي تقبل القسمة على 6.
ماذا تلاحظ؟

ج. في القائمة أعلاه ، اللون تلك الأرقام التي تقبل القسمة على 9.
ماذا تلاحظ؟


10. استخدم القوائم التي قمت بإعدادها في (7) و (8). أوجد الأعداد التي تقبل القسمة عليها على حد سواء 2 و 9.

11. ما هو رقم عامل من كل رقم؟

12. عشرون من مضاعفات العدد 4. وهي أيضًا من مضاعفات الرقم 5. وهي أيضًا من مضاعفات الأربعة
أرقام أخرى. اي واحدة؟

من أنا؟
(تلميح: أنا أقل من 50).

مقسومة على 9 ، أترك الباقي 6.
مقسومًا على 4 ، أترك الباقي من 1.
مقسومًا على 10 ، أترك الباقي من 3.

من أنا؟
(تلميح: أنا أقل من 100.)

أنا من مضاعفات 3 و 4 و 5 و 6.
أنا عامل 120.
مقسومًا على 7 ، أترك الباقي 4.

هذا الدرس مأخوذ من كتاب ماريا ميلر Math Mammoth Division 2 ، ونشر على www.HomeschoolMath.net بإذن من المؤلف. حقوق التأليف والنشر ونسخ ماريا ميلر.

قسم الرياضيات الماموث 2

نص عمل ذاتي التدريس للصف الرابع يغطي القسمة المطولة ، وإيجاد الأجزاء الكسرية مع القسمة ، ومشاكل الكلمات ، والباقي ، والمتوسط ​​، والقسمة.


اختبارات القسمة الأساسية Math

ستساعدك هذه المقالة في التعرف على اختبارات القابلية للقسمة للأرقام من 2 إلى 11.

اختبار القسمة على 2:

إذا كان الرقم الأخير من رقم معين يقبل القسمة على 2 ، فإن الرقم المعطى نفسه قابل للقسمة أيضًا على 2.

مثال: نريد أن نختبر ما إذا كان 278956 يقبل القسمة على 2. يمكننا أن نرى أن الرقم الأخير ، وهو 6 ، قابل للقسمة على 2. وهذا يعني أن الرقم نفسه 278956 قابل للقسمة أيضًا على 2. يمكنك التفكير في أخذ أمثلة مختلفة والتحقق من هذا الاختبار.

اختبار القسمة لـ 3:

لنفترض أننا حصلنا على عدد كبير ونريد التحقق مما إذا كان هذا الرقم المعين يقبل القسمة على 3. نلخص جميع أرقام العدد. إذا كان مجموع كل الأرقام قابلاً للقسمة على 3 ، فإن الرقم نفسه قابل للقسمة أيضًا على 3.

مثال: نريد التحقق مما إذا كان 12789 يقبل القسمة على 3 أم لا. نجمع كل أرقام 12789 (1 + 2 + 7 + 8 + 9 = 27). مجموع الأرقام الذي يساوي 27 ، يقبل القسمة على 3. وهذا يعني أن الرقم المعطى نفسه وهو 12789 يمكن أيضًا القسمة على 3. يمكنك التحقق من هذا الاختبار من خلال النظر في أمثلة مختلفة.

اختبار القسمة لـ 4:

لنفترض أننا حصلنا على عدد كبير ونريد التحقق مما إذا كان هذا الرقم المحدد قابل للقسمة على 4. نتحقق من آخر رقمين من الرقم. إذا كان آخر رقمين قابلين للقسمة على 4 ، فهذا يعني أن الرقم نفسه قابل للقسمة أيضًا على 4.

مثال: نريد التحقق مما إذا كان 128920 يقبل القسمة على 4 أم لا. نتحقق فقط من الرقمين الأخيرين من 128920 ، الرقمين الأخيرين يجعلهما 20 قابلاً للقسمة على 4. وهذا يعني أن الرقم نفسه وهو 128920 قابل للقسمة أيضًا على 4. يمكنك التحقق من هذا الاختبار من خلال النظر في أمثلة مختلفة.

اختبار القسمة على 5:

لنفترض أننا حصلنا على عدد كبير ونريد التحقق مما إذا كان هذا الرقم المعين يقبل القسمة على 5. إذا كان الرقم الأخير إما 0 أو 5 ، فإن الرقم المعطى يقبل القسمة على 5.

مثال: نريد التحقق مما إذا كان 154780 يقبل القسمة على 5 أم لا. نحن فقط نتحقق من الرقم الأخير من الرقم. إنه 0 مما يعني أن الرقم المعطى 154780 يقبل القسمة على 5.

اختبار القسمة لـ 6:

لنفترض أننا حصلنا على عدد كبير ونريد التحقق مما إذا كان هذا الرقم المعين قابل للقسمة على 6. رقم معين قابل للقسمة على 6 فقط إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على كل من 2 و 3. لذلك ، فإننا نطبق اختبارات القابلية للقسمة على كليهما 2 و 3 على رقم معين.

مثال: نريد التحقق مما إذا كان 154872 يقبل القسمة على 6 أم لا. نطبق اختبارات القابلية للقسمة على 2 و 3 على هذا الرقم.

وفقًا لاختبار القابلية للقسمة على 2 ، فإن الرقم الأخير قابل للقسمة على 2 مما يعني أن الرقم 154872 قابل للقسمة أيضًا على 2.

وفقًا لاختبار القابلية للقسمة على 3 ، فإن مجموع الأرقام (1 + 5 + 4 + 8 + 7 + 2 = 27) قابل للقسمة على 3 ، مما يعني أن الرقم 154872 قابل للقسمة أيضًا على 3.

لأن الرقم قابل للقسمة على كل من 2 و 3. وهذا يعني أن الرقم قابل للقسمة أيضًا على 6.

اختبار القسمة لـ 7:

لنفترض أننا حصلنا على عدد كبير ونريد التحقق مما إذا كان هذا الرقم المحدد يقبل القسمة على 7. فنحن نضرب الرقم الأخير من الرقم في 2 ثم نطرح النتيجة من باقي الرقم. نستمر في تكرار العملية حتى نحصل على رقم يمكننا القول مباشرة إنه قابل للقسمة أو غير قابل للقسمة على 7. سيكون الأمر أكثر وضوحًا من خلال مثال.

مثال: نريد التحقق مما إذا كانت 2401 قابلة للقسمة على 7 أم لا. نضرب الرقم الأخير في 2.

الرقم الأخير هو 1. ضربه في 2. نحصل على (1 × 2 = 2). نطرح الناتج من باقي العدد وهو 240.

نكرر العملية مرة أخرى. نضرب الرقم الأخير في 2 ثم نطرح النتيجة من باقي الرقم.

بضرب الرقم الأخير في 2 ، نحصل على (8 × 2 = 16). بطرح النتيجة من باقي العدد ، نحصل على (23-16 = 7).

الآن ، نحن على يقين من أن 7 قابلة للقسمة على 7. وهذا يعني أن الرقم الذي بدأنا منه (2401) قابل للقسمة أيضًا على 7.

لنفترض في النهاية أننا حصلنا على رقم 13. بعد ذلك ، سنكون على يقين من أنه غير قابل للقسمة على 7. فهذا يعني أن الرقم الذي بدأنا منه لن يقبل القسمة أيضًا على 7.

اختبار القسمة على 8:

لنفترض أننا حصلنا على عدد كبير ونريد التحقق مما إذا كان هذا الرقم المعين يقبل القسمة على 8. نتحقق من الأرقام الثلاثة الأخيرة من العدد. إذا كانت آخر ثلاثة أرقام قابلة للقسمة على 8 ، فهذا يعني أن الرقم نفسه قابل للقسمة أيضًا على 8.

مثال: نريد التحقق مما إذا كان 128160 يقبل القسمة على 8 أم لا. نتحقق فقط من الأرقام الثلاثة الأخيرة من 128160 ، والأرقام الثلاثة الأخيرة تجعل 160 الذي يقبل القسمة على 8. وهذا يعني أن الرقم المعطى نفسه وهو 128160 قابل للقسمة أيضًا على 8. يمكنك التحقق من هذا الاختبار من خلال النظر في أمثلة مختلفة.

اختبار القسمة على 9:

لنفترض أننا حصلنا على عدد كبير ونريد التحقق مما إذا كان هذا الرقم المعين يقبل القسمة على 9. نلخص جميع أرقام رقم معين. إذا كان مجموع كل الأرقام قابلاً للقسمة على 9 ، فإن الرقم المعطى نفسه قابل للقسمة أيضًا على 9.

مثال: نريد التحقق مما إذا كان 12789 يقبل القسمة على 9 أم لا. نجمع كل أرقام 12789 (1 + 2 + 7 + 8 + 9 = 27). مجموع الأرقام الذي يساوي 27 ، يقبل القسمة على 9. وهذا يعني أن الرقم نفسه وهو 12789 يمكن أيضًا القسمة على 9. يمكنك التحقق من هذا الاختبار من خلال النظر في أمثلة مختلفة.

اختبار القسمة على 10:

الرقم المعطى قابل للقسمة على 10 إذا كان الرقم الأخير لرقم معين هو 0. على سبيل المثال ، لدينا رقم 48750 ونريد التحقق مما إذا كان يقبل القسمة على 10 أم لا. نحن فقط نتحقق من الرقم الأخير من الرقم. إنه صفر مما يعني أن الرقم 48750 قابل للقسمة على 10. إذا لم يكن صفرًا فلن يقبل الرقم المعطى القسمة على 10.

اختبار القسمة على 11:

فقط افهم اختبار القابلية للقسمة لـ 11 على سبيل المثال. لنفترض أننا نريد التحقق مما إذا كان الرقم 14641 يقبل القسمة على 11 أم لا.

الخطوة 1: نبدأ من أعلى رقم على اليسار ونلخص الأرقام التي تتخطى رقمًا واحدًا في كل مرة أثناء الانتقال إلى الاتجاه الصحيح.

الرقم في أقصى اليسار هو 1. نأخذ الرقم 1 في الاعتبار. نتخطى رقمًا واحدًا الآن وهو 4. الرقم التالي هو 6. نأخذ 6 في الاعتبار. نتخطى التالي وهو 4. نعتبر التالي وهو 1.

نلخص جميع الأرقام التي تم اعتبارها: (1 + 6 + 1 = 8). المجموع يساوي 8.

الخطوة 2: نلخص جميع الأرقام التي تم تخطيها في الخطوة 1. المجموع هو (4 + 4 = 8).

الخطوه 3: نطرح المبلغ المحسوب في الخطوة 2 من المجموع المحسوب في الخطوة 1. نحصل على (8 - 8 = 0).

الآن ، نعلم أن الرقم 0 يقبل القسمة على 11 ، مما يعني أن الرقم 14641 من حيث بدأنا ، قابل للقسمة أيضًا على 11.

على سبيل المثال ، في الخطوة 3 ، نحصل على نتيجة تساوي 22. نعلم أن الرقم 22 يقبل القسمة على 11. وهذا يعني أن الرقم الذي بدأناه سيكون أيضًا قابلًا للقسمة على 11.

على سبيل المثال ، في الخطوة 3. نحصل على نتيجة تساوي 7. نعلم أن الرقم 7 لا يقبل القسمة على 11. وهذا يعني أن الرقم الذي بدأناه لن يقبل القسمة على 11.


القسمة على 9

الرقم قابل للقسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9. بالنسبة للأعداد الكبيرة ، يمكن تطبيق هذه القاعدة مرة أخرى على النتيجة. بالإضافة إلى ذلك ، سينتج عن التكرار النهائي 9.

أ) 2،880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18 ، 1 + 8 = 9 ، لذا 9 | 2880.

ب) 3564.213: 3 + 5 + 6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 24 ، 2 + 4 = 6 ، لذلك 9 يفعل ليس قسّم 3564.213.

إن إثبات قاعدة التجزئة لـ 9 هو في الأساس نفس إثبات قاعدة التجزئة لـ 3.

لأي عدد صحيح س مكتوب على شكل أن· · · أ3أ2 أ1أ0 سنثبت أنه إذا كان 9 | (أ0 + أ1+ أ2+ أ3 . + أن) ، ثم 9 | x والعكس صحيح.

بعد ذلك ، إذا سمحنا أن نكون مجموع أرقامها

إذا سمحنا بك = 10 ك - 1 ، ثم بك = 9. 9 (9 تحدث ك مرات) و بك= 9 (1… 1) ويمكننا إعادة كتابة المعادلة السابقة كـ

ويترتب على ذلك أن جميع الأعداد بك قابلة للقسمة على 9 ، لذا فإن الأرقام أك× بك هي أيضًا قابلة للقسمة على 9. لذلك ، فإن مجموع كل الأرقام أك× بك (وهو x-s) يقبل القسمة أيضًا على 9.

بما أن x-s يقبل القسمة على 9 ، إذا كانت x تقبل القسمة على 9 ، فإن s والعكس صحيح كذلك.


دليل على القسمة من قبل أي رئيس

أولاً ، أعد كتابة الرقم الأصلي في صورة 10t + u حيث تمثل u الرقم المقطوع و t هو الرقم الجديد الآخر. إذن فالعدد الأصلي هو 10t + u. الرقم الذي تم إنشاؤه بطرح & quot (p-n) × u ​​& quot ، حيث (p-n) = 2 ، من الرقم الآخر يعطي t-2u. ادعاء الاختبار هو أنه إذا كان 7 | (t-2u) ثم 7 | (10t + u). لذلك من خلال معالجة المعادلة بضربها في أعداد أولية نسبيًا إلى 10 وإضافة مضاعفات 7 (كلاهما لا يغيران القابلية للقسمة):

7 | 10 (t-2u) أو 7 | (10t-20u) إذا وفقط إذا

لذلك فإن 7 | (t-2u) إذا وفقط إذا كان 7 | (10t + u) والعكس صحيح.

أعد كتابة الرقم الأصلي مرة أخرى كـ 10t + u حيث تمثل u الرقم المقطوع و t هو الرقم الجديد الآخر. إذن فالعدد الأصلي هو 10t + u. الرقم الذي تم إنشاؤه بطرح & quot (p-n) × u ​​& quot ، حيث (p-n) = 1 ، من الرقم الآخر يعطي t-u. ادعاء الاختبار هو أنه إذا كان 11 | (t-u) ثم 11 | (10t + u). لذا ، مرة أخرى ، عن طريق معالجة المعادلة بضربها في أعداد أولية نسبيًا مع 10 وإضافة مضاعفات 11:

11 | 10 (t-u) أو 11 | (10t-10u) إذا وفقط إذا

لذلك 11 | (t-u) إذا وفقط إذا 11 | (10t + u) والعكس صحيح.

أعد كتابة الرقم الأصلي مرة أخرى كـ 10t + u حيث تمثل u الرقم المقطوع و t هو الرقم الجديد الآخر. إذن فالعدد الأصلي هو 10t + u. الرقم الذي تم إنشاؤه بإضافة & quotn × u & quot ، حيث n = 4 ، من الرقم الآخر يعطي t + 4u. ادعاء الاختبار هذه المرة هو أنه إذا كان 13 | (t + 4u) إذن 13 | (10t + u). إذن ، من خلال معالجة المعادلة بضربها في أعداد أولية نسبيًا حتى 10 وطرح مضاعفات 13:

13 | 10 (t + 4u) أو 13 | (10t + 40u) إذا وفقط إذا

لذلك 13 | (t + 4u) إذا وفقط إذا 13 | (10t + u) والعكس صحيح.

. كما ترى ، يصبح الدليل متكررًا ويمكن بسهولة تكييفه مع الأعداد الأولية الأخرى.


مشاريع الرياضيات العميقة

مشاريع الرياضيات العميقة هي مشاريع ذات نهايات مفتوحة يمكنك تمديدها بالاستمرار في طرح أسئلة جديدة. غالبًا ما يكون للمشكلات حلول متعددة و / أو مسارات حل. الأنشطة ذاتية التمييز. يمكن للطلاب الدخول والخروج منها عند نقاط تناسب مستوى فهمهم. تعد مستويات الدرجات بمثابة اقتراحات تقريبية ، لأن الطلاب يمكنهم التفكير في المشكلات والأسئلة على العديد من المستويات.

نصائح لاستخدام المشاريع

  • كن صبورا. هذه طريقة جديدة للتفكير في الرياضيات لمعظم الأطفال والبالغين. يستغرق الأمر وقتًا لتعتاد عليه!
  • انضم بروح المغامرة مع تلميذك أو طفلك! كن مستعدا لما هو غير متوقع. استمتع بالضياع والعثور على طريق العودة.
  • استمتع بنفسك! قم بإنشاء قصص وشخصيات و / أو صور لتلائم مسائل الرياضيات. إذا قمت بمشاركتها معي ، فقد أتمكن من نشر بعضها على هذه الصفحة.
  • ننفصل. ليس عليك القيام بهذا النشاط دفعة واحدة. إذا تعثرت بعد بضعة أيام (أو أسابيع!) ، فعد إليها مرة أخرى لاحقًا في العام الدراسي.
  • لا تقلق بشأن الانتهاء. هذه المشاريع صعبة! من الأفضل قضاء بعض الوقت في البحث بعمق في سؤال أو سؤالين بدلاً من التسرع في إكمال كل شيء. هذا هو أحد تلك المواقف "يتعلق الأمر بالرحلة أكثر من الوجهة".

يتم تنزيل كل نشاط مجانًا. فقط اضغط على عنوان المشروع!

يقوم الطلاب بحل المسائل واستكشاف الأنماط التي تتضمن خصائص الجمع والطرح. يمكن أن تؤدي الأنماط إلى استراتيجيات حسابية جديدة وحتى اكتشافات حول الأرقام الزوجية والفردية والكسور والأرقام السالبة وما إلى ذلك.

جدول الضرب هو كنز دفين من الأنماط تنتظر من يكتشفها. يطور الطلاب حس الأعداد والجبر والاستدلال ومهارات الاتصال أثناء عملهم واختبارهم للتنبؤات حول هذه الأنماط.

يستكشف الطلاب خصائص العدد والصلات بين الضرب والقسمة كما هي "القفز" من رقم إلى آخر باستخدام عمليتين فقط.

يرسم الطلاب صورًا تُظهر طرقًا إبداعية متعددة لتمثيل الكسور البسيطة. أثناء بحثهم عن العديد من الطرق لتكوين وحدة كاملة ، قد يبدؤون حتى في اكتشاف استراتيجيات لجمع وطرح الكسور — مع وبدون نفس القواسم.

يقوم الطلاب بإنشاء ومقارنة مجموعة متنوعة من المضلعات التي تبلغ مساحتها 4. يستكشفون الروابط بين محيط المنطقة.

يستخدم الطلاب التصورات لاكتشاف الاختصارات لإضافة سلاسل طويلة من الأرقام التي تتبع الأنماط.

يستكشف الطلاب الخصائص والأنماط في القابلية للقسمة والباقي أثناء تخيلهم طرقًا مختلفة لمشاركة الرخام بين مجموعات من الأشخاص.


كيف تتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3

دعونا نتحدث الآن عن كيفية اختبار ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3. نصيحة سريعة وقذرة للتحقق من القابلية للقسمة على 3 هو معرفة ما إذا كان مجموع كل الأرقام في الرقم يقبل القسمة على 3. إذا كان الأمر كذلك ، يجب أيضًا أن يكون الرقم نفسه قابلاً للقسمة على 3. على سبيل المثال ، هل 1529 قابل للقسمة على 3؟ حسنًا ، مجموع أرقام 1،529 هو 1 + 5 + 2 + 9 = 17. بما أن الرقم 17 غير قابل للقسمة على 3 ، فيمكننا أن نستنتج أن 1529 أيضًا لا تقبل القسمة على 3. وماذا عن 1530؟ حسنًا ، المجموع هذه المرة هو 1 + 5 + 3 + 0 = 9. بما أن الرقم 9 يقبل القسمة على 3 ، فإننا نعلم أن 1،530 يقبل القسمة على 3 أيضًا.


قطاع

الوصف: هذه ورشة عمل عبر الإنترنت تتيح للطلاب العمل من خلال مشاكل التقسيم المطول خطوة بخطوة ، مع توجيهات وإرشادات من الكمبيوتر لكل خطوة على الطريق. البرنامج قابل للتخصيص.

معايير CC: 4.NBT.B.4، 4.NBT.B.5، 4.NBT.B.6

قسم التصور - اون لاين

الوصف: سيساعدك هذا البرنامج على تصور مفهوم التقسيم. اختر رقمًا واجعل أكبر عدد ممكن من مسائل القسمة من هذا الرقم. استخدم أداة الرسم اليدوية لإنشاء مجموعات من النجوم. على سبيل المثال ، إذا اخترت 16 نجمة ، فسترى 16 نجمة على المسرح. ما عليك سوى رسم دوائر حول أربع مجموعات من أربعة نجوم لجعل المشكلة 16 (مقسومة على الرمز) 4 = 4. انظر إلى المدة التي تستغرقها في قسمة 16 على أكبر عدد ممكن من الأرقام التي تقسم بالتساوي. اطبع شهادتك عند الانتهاء. شاهد الفيديو التعليمي لمزيد من المعلومات.

معايير CC: 3.OA.A.1 ، 3.OA.A.2 ، 3.OA.B.6 ، 3.OA.C.7

الوصف: Drag & # 039N & # 039 Drop Math عبارة عن ورشة عمل عبر الإنترنت يمكن للطلاب من خلالها إكمال عمليات الجمع والطرح متعددة الأرقام (مع إعادة التجميع) والضرب والقسمة ، باستخدام أرقام كبيرة وصغيرة قابلة للسحب. ورشة العمل قابلة للتخصيص بالكامل وتقدم ملاحظات فورية. هذا واحد من أكثر عشرة برامج شعبية على mrnussbaum.com

معايير CC: 2.NBT.B.5 ، 2.NBT.B.6 ، 2.NBT.B.7 ، 2.NBT.B.8 ، 3.OA.A.4 ، 3.OA.C.7 ، 3.NBT.A.2، 3.NBT.A.3

ألعاب تقسيم ممتعة - من فئران الكمبيوتر

الوصف: هل تحتاج إلى ممارسة حقائق القسمة؟ ألعاب تقسيم المرح من فئران الكمبيوتر هي الحل الأمثل. يمكنك ممارسة الطلاقة في القسمة من خلال لعب أي من 15 لعبة مضمنة بما في ذلك ألعاب التدريب على الهدف وألعاب الأطفال النينجا وألعاب عجلة الغزل وغيرها الكثير. ابحث في قسم الألعاب والرياضيات وفنون اللغة لدينا لمزيد من الألعاب من Computer Mice قريبًا.

الوصف: Math Machine هي أداة مرئية لتعليم الجمع أو الطرح أو الضرب أو الكسور أو القسمة أو القيمة المكانية. يتم تمكين الطلاب من خلال عجلات دوارة تحدد الأرقام في المشكلات! انظر الفيديو التعليمي لمزيد من المعلومات.

معايير CC: 1.OA.A.1 ، 1.OA.A.2 ، 1.OA.B.3 ، 1.OA.C.5 ، 1.OA.C.6 ، 2.OA.A.1 ، 2.OA.B.2 ، 2.OA.C.3 ، 2.OA.C.4 ، 2.NBT.A.1 ، 2.NBT.B.5 ، 3.OA.A.1 ، 3 .OA.A.2 ، 3.OA.C.7 ، 3.NF.A.3

الوصف: اختر أولاً مهارتك لممارستها (الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة). ثم اختر الأرقام التي تريد التدرب عليها. أخيرًا ، وضح ما إذا كنت ستسمح بالأرقام السالبة أم لا. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد التدرب على إضافة 1 و 2 و 3 ، فانقر فوق الفقاعة 1 والفقاعة 2 والفقاعة 3. أخيرًا ، اضبط العد التنازلي على عدد الثواني التي تريدها وشاهد عدد المشكلات التي يمكنك الإجابة عليها بشكل صحيح ، أو حدد هدفًا للإنجاز ، وانظر إلى الوقت الذي تستغرقه للوصول إلى هدفك! إذا وصلت إلى هدفك ، يمكنك طباعة شهادة الإنجاز الخاصة بك.

معايير CC: K.OA.A.5، 1.OA.C.6، 2.OA.B.2، 3.OA.C.7، 6.NS.C.6.A، 7.NS.A .1

The Ultimate Teacher & # 039s Lounge - لعبة على الإنترنت

الوصف: لماذا تنتظر حتى أسبوع تقدير المعلم لتكريم معلمك؟ استخدم مهاراتك المذهلة في بطاقة الفلاش لكسب أكبر عدد ممكن من "الخلايا العصبية". استخدم مفتاح "tab" للانتقال من بطاقة فلاش إلى بطاقة فلاش. بعد ذلك ، اقض "الخلايا العصبية" في متجر صالة المدرس وسجل حوض استحمام ساخن وقاعة رقص وشاشة كبيرة وماكينة صنع الفشار وغير ذلك الكثير لجعل استراحة معلمك الأفضل في التاريخ.

معايير CC: 1.OA.C.6 ، 2.OA.B.2 ، 3.OA.C.7 ، K.OA.A.5

الكعك تاي كوون - لعبة على الإنترنت

الوصف: لسنوات عديدة ، حارب Tae Kwon Donuts و Subninjas ضد بعضهما البعض. الآن ، لجأ subninjas إلى اختطاف Munchquins من Tae Kwon Donuts! يجب عليك استخدام مهارات الجمع والطرح والضرب والقسمة لكل من الأرقام الموجبة والسالبة لتحديد الحلقة الضعيفة بين صفوف السناجين الفرعية المرعبة لإنقاذ الجيل المستقبلي من Tae Kwon Donuts! يجب عليك مهاجمة subninja بمسألة الرياضيات التي تنتج إجابة مختلفة عن البقية! استخدم أسهم لوحة المفاتيح لتحريك Tae Kwon Donut وشريط المسافة للهجوم. كلما تقدمت في غرف القلعة ، ستربح أحزمتك الملونة وأنماط هجوم جديدة! يمكنك أيضًا الحصول على كلمة مرور للعودة إلى أي غرفة في القلعة.

أن تصبح لورد فولديماث - لعبة على الإنترنت

الوصف: تتيح هذه اللعبة للطلاب ممارسة مخصصة مع حواجز محددة ومثل بالإضافة إلى الطرح والضرب والقسمة. يتنافس الطلاب & quot؛ & quot؛ & quot؛ للإجابة على المشكلات بشكل أسرع في كل من الجولات الخمس التي تبلغ مدتها 90 ثانية. إذا حصل الطلاب على درجة أعلى من المعالج ، ينتقل هو أو هي إلى الجولة التالية ويكتسب قوة & quot؛ جديدة. & quot ؛ يحب الطلاب هذه اللعبة التي تعد بمثابة تعزيز سريع للرياضيات.

معايير CC: K.OA.A.5 ، 1.OA.C.6 ، 2.OA.B.2 ، 3.OA.C.7

الوصف: تتطلب هذه اللعبة فائقة السرعة من الطلاب التزلج عبر البوابات التي تكمل المعادلة ، ولكن لتجنب تلك التي تجعل المعادلة غير صحيحة. على سبيل المثال ، إذا اختار الطالب × 8 للتدرب ، فسوف يتزلج عبر بوابات تظهر 2 و 16 ، ولكن حول البوابات التي تظهر 4 و 30. اللعبة قابلة للتخصيص وتسمح للاعبين باختيار العملية والأرقام المحددة.

كأس العالم للرياضيات - لعبة على الإنترنت

الوصف: تتطلب ركلات الترجيح عبر الإنترنت من الطلاب اختيار فريق ومحاربة الآخرين في دور الستة عشر باستخدام مهارات الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

هزيمة وحش المايا الرياضيات - لعبة الرياضيات على الإنترنت

الوصف: هذه لعبة ممتعة حيث يستخدم الطلاب مهاراتهم في الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة لإحباط وحش Mayan Math Monster المروع لإتاحة الفرصة لاستكشاف غرفة مليئة بالذهب والثروات

هزيمة وحش المايا الرياضيات - لعبة الرياضيات على الإنترنت - باللغة الإسبانية

الوصف: هذه لعبة ممتعة حيث يستخدم الطلاب مهاراتهم في الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة لإحباط وحش Mayan Math Monster المروع لإتاحة الفرصة لاستكشاف غرفة مليئة بالذهب والثروات

عامل لم شمل الأسرة - لعبة على الإنترنت

الوصف: العوامل تجري لم شمل الأسرة وأنت تستضيفه. إن مهمتك هي التأكد من جلوس كل فرد من أفراد عائلة العامل على الطاولة الصحيحة ، أو ستسمع ذلك منهم! ما عليك سوى سحب وإفلات كل عامل في جدوله الصحيح. إذا تمكنت من الحصول عليها جميعًا ، فيمكنك طباعة صورة شخصية لهم بالكامل في لم شملهم.


مقدمة في الحساب النمطي

تنتقل الأرقام من 1 دولار إلى 12 دولارًا ، ولكن عندما تصل إلى "الساعة 13 دولارًا" ، فإنها في الواقع تصبح الساعة 1 دولارًا مرة أخرى (فكر في كيفية عمل ترقيم الساعة 24 دولارًا). لذا ، يصبح 13 دولارًا أمريكيًا 1 دولار أمريكي ، ويصبح 14 دولار أمريكي 2 دولار أمريكي ، وهكذا.

يمكن أن يستمر هذا ، لذلك عندما تصل إلى "25 $ o'clock" ، فأنت في الواقع تعود إلى حيث تكون الساعة 1 $ على وجه الساعة (وأيضًا حيث كانت الساعة 13 $ أيضًا).

لذلك في عالم الساعة هذا ، أنت تهتم فقط بمكان وجودك بالنسبة للأرقام من 1 دولار إلى 12 دولارًا. في هذا العالم ، يُنظر إلى $ 1 ، 13 ، 25 ، 37 ، ldots $ على أنها نفس الشيء ، مثل $ 2 ، 14 ، 26 ، 38 ، ldots $ وما إلى ذلك.

ما نقوله هو "$ 13 = 1 + $ بعض مضاعفات $ 12 $" ، و "$ 38 = 2 + $ بعض مضاعفات $ 12 $" ، أو ، بدلاً من ذلك ، "الباقي عند قسمة $ 13 $ على $ 12 $ هو $ 1 $ "و" الباقي عند قسمة 38 دولارًا على 12 هو 2 ". الطريقة التي نكتب بها هذا حسابًا هي $ 13 equiv 1 text 12 $ ، $ 38 equiv 2 text 12 $ ، وهكذا يتم قراءة هذا كـ "$ 13 $ مطابق لـ $ 1 $ mod (أو modulo) $ 12 $" و "$ 38 $ مطابق لـ $ 2 text 12 $".

لكن لا يتعين عليك العمل فقط بمبلغ 12 دولارًا أمريكيًا (هذا هو المصطلح الفني لذلك). على سبيل المثال ، يمكنك العمل على mod $ 7 $ ، أو mod $ 46 $ بدلاً من ذلك إذا أردت (فكر فقط في الساعات المرقمة من $ 1 $ إلى $ 7 $ و $ 1 $ إلى $ 46 $ على التوالي في كل مرة تتجاوز فيها الرقم الأكبر ، تقوم بإعادة التعيين إلى 1 دولار مرة أخرى).

دعنا نعود إلى وجه الساعة العادي بالأرقام من 1 دولار إلى 12 دولارًا للحظة. يفضل علماء الرياضيات عادةً وضع $ حيث يكون $ 12 $ عادةً ، بحيث تكتب عادةً (على سبيل المثال) $ 24 equiv 0 text 12 $ بدلاً من $ 24 equiv 12 text 12 $، على الرغم من أن كلاهما صحيح. أي أننا نفكر في وجه الساعة العادي على أنه مرقّم من $ إلى 11 $ بدلاً من ذلك. هذا منطقي: نقول عادةً أن 24 دولارًا أمريكيًا تترك الباقي من دولار أمريكي عندما نقسم على 12 دولارًا أمريكيًا ، بدلاً من أن نقول إنه يترك الباقي من 12 دولارًا أمريكيًا عندما نقسم على 12 دولارًا أمريكيًا!

لنكن أكثر رسمية قليلاً. بشكل عام ، إذا كنت تعمل في mod $ n $ (حيث $ n $ هو أي رقم صحيح) ، نكتب $ a equiv b text n $ if $ a $ و $ b $ اترك الباقي نفسه عندما تقسمهم على $ n $. هذا هو نفس القول بأننا نكتب $ a equiv b text n $ if $ n $ divides $ a-b $. (انظر إلى ما فعلناه سابقًا لترى أن هذا التعريف يتناسب مع الأمثلة أعلاه.)

حتى الآن ، تحدثنا فقط عن التدوين. لنقم الآن ببعض العمليات الحسابية ، ونرى كيف يمكن لأوجه التطابق (التي وصفناها أعلاه) أن تجعل الأمور أكثر وضوحًا.

فيما يلي بعض الخصائص المفيدة. يمكننا إضافة التطابق. بمعنى ، إذا كان $ a equiv b text n $ و $ c equiv d text n $ ، فإن $ a + c equiv (b + d) text n $. لماذا هذا؟ حسنًا ، يعني $ a equiv b text n $ أن $ a = b + k n $ ، حيث $ k $ هو عدد صحيح. وبالمثل ، يعني $ c equiv d text n $ أن $ c = d + l n $ ، حيث $ l $ هو عدد صحيح. إذن $ a + c = (b + kn) + (d + ln) = (b + d) + (k + l) n $ ، لذا $ a + c equiv (b + d) text n $. على سبيل المثال ، $ 17 equiv 4 text 13 $ ، و $ 42 equiv 3 text 13 $ ، لذا $ 17 + 42 equiv 4 + 3 equiv 7 text 13 $. لاحظ أن كلا التطابقين اللذين نضيفهما هما mod $ n $ ، وكذلك الإجابة - نحن لا نضيف المعاملات.

أنت الآن تثبت أنه إذا كان $ a equiv b text n $ و $ c equiv d text n $ ثم $ a-c equiv (b-d) text n $. أثبت أيضًا أنه يمكننا فعل شيء مشابه لعملية الضرب: إذا كان $ a equiv b text n $ و $ c equiv d text n $ ، ثم $ ac equiv bd text ن $. يمكنك إثبات ذلك بنفس الطريقة التي استخدمناها أعلاه للإضافة. مرة أخرى ، كلا التطابقين اللذين نضربهما هما mod $ n $ ، وكذلك الإجابة - نحن لا نضرب القيمتين. Can you come up with an example to disprove the claim that $aequiv b ext < mod >n$ and $cequiv d ext < mod >m$ means that $a c equiv bd ext < mod >mn$?

Division is a bit more tricky: you have to be really careful. Here's an example of why. $10equiv 2 ext < mod >8$. But if we "divide both sides by 2", we'd have $5equiv 1 ext < mod >8$, which is clearly nonsense! To get a true congruence, we'd have to divide the $8$ by $2$ as well: $5equiv 1 ext < mod >4$ is fine. Why? Well, $aequiv b ext < mod >n$ means that $a=b+k n$ for some integer $n$. But now this is a normal equation, and if we're going to divide $a$ by something, then we have to divide all of the right-hand side by $2$ as well, including $k n$. In general, it's best not to divide congruences instead, think about what they really mean (rather than using the shorthand) and work from there.

Things are quite special if we work mod $p$, where $p$ is prime, because then each number that isn't 0 mod $p$ has what we call an inverse (or a multiplicative inverse , if we're being fancy). What that means is that for each $a otequiv 0 ext < mod >p$, there is a $b$ such that $a bequiv 1 ext < mod >p$.

Let's think about an example. We'll work mod $7$. Then really the only non-zero things are $1, 2, 3, 4, 5$ and $6$ (because every other whole number is equivalent to one of them or $). So let's find inverses for them. Well, $1$ is pretty easy: $1 imes 1equiv 1 ext < mod >7$. What about $2$? $2 imes 4equiv 1 ext < mod >7$. So $4$ is the inverse of $2$. In fact, we can also see from this that $2$ is the inverse of $4$ - so that's saved us some work! $3 imes 5equiv 1 ext < mod >7$, so $3$ and $5$ are inverses. And finally, $6 imes 6equiv 1 ext < mod >7$, so $6$ is the inverse of itself. So yes, each of the non-zero elements mod $7$ has an inverse. Try some primes out yourself: $11$ and $13$ are fairly small! If you're feeling confident, see whether you can discover which numbers have inverses mod $4$, or mod $6$, or mod $8$. What about mod $15$? Do you notice any patterns?

To prove this, things are going to get a tiny bit more tricky, so I'm going to save the proof for the end and first give an example of using congruences to do useful mathematics.

$ a_n10^n+a_10^+ldots+10a_1+a_0equiv a_n+a_+ldots+a_1+a_0 ext < mod >3 $ So if our number is divisible by $3$ (that is, if $a_n10^n+a_10^+ldots+10a_1+a_0equiv 0 ext < mod >3$), then certainly so is the sum of its digits, and vice versa, as we wanted! The congruence notation hasn't really done any of the maths for us, but it's hopefully made it a bit easier to write out the proof clearly. See whether you can use the notation to prove any of the other divisibility tests in that article.

Now for the proof I promised you earlier. We're going to show that if $a$ and $n$ have no common factors, then $a$ has a multiplicative inverse mod $n$ (reminder: that means a number $b$ such that $a imes bequiv 1 ext < mod >n$). In particular, if $n$ is prime, then its only factor apart from 1 is itself, so saying "$a$ and $n$ share no common factors'' is just the same as saying "$a$ isn't divisible by $n


شاهد الفيديو: الرياضيات: القسمة الإقليدية المستوى السادس الخامس الرابع إبتدائي للأعداد الصحيحة والعشرية (شهر نوفمبر 2021).