مقالات

8.3: استكمال الساحة


في مقدمة إلى التدوين الجذري ، أوضحنا كيفية حل المعادلات مثل (x ^ 2 = 9 ) جبريًا ورسميًا.

[ start {align} x ^ {2} & = 9 x & = pm 3 end {align} nonumber ]

لاحظ أنه عندما نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة ، تكون هناك إجابتان ، واحدة سالبة والأخرى موجبة.

المربع المثالي جميل ، لكن ليس مطلوبًا. في الواقع ، قد نضطر إلى إخراج مربع كامل إلى عوامل لوضع إجابتنا النهائية في صورة بسيطة.

[ begin {align} x ^ {2} & = 8 x & = pm sqrt {8} x & = pm sqrt {4} sqrt {2} x & = م 2 sqrt {2} end {align} nonumber ]

يجب على القراء استخدام الآلات الحاسبة الخاصة بهم للتحقق من أن (- 2 sqrt {2} حوالي -2.8284 ) و (2 sqrt {2} حوالي 2.8284 ).

الآن ، دعنا نوسع أسلوب الحل هذا إلى فئة أوسع من المعادلات.

مثال ( PageIndex {1} )

حل من أجل (x: (x-4) ^ {2} = 9 )

حل

تشبه إلى حد كبير حلول ​​(س ^ 2 = 9 ) (س = ± 3 ) ، نستخدم نهجًا مشابهًا في ((س − 4) ^ 2 = 9 ) للحصول على:

[ start {array} {rlrl} {(x-4) ^ {2}} & {= 9} & {} & color {Red} { text {Original equation. }} {x-4} & {= pm 3} & {} & color {Red} { text {هناك نوعان من الجذور التربيعية. }} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

لإكمال الحل ، أضف (4 ) إلى طرفي المعادلة.

[x = 4 pm 3 quad color {Red} text {Add} 3 text {إلى كلا الجانبين. } لا يوجد رقم ]

علما أن هذا يعني أن هناك إجابتين ، وهما:

[ start {array} {l} {x = 4-3} {x = 1} end {array} nonumber ]

أو

[ start {array} {l} {x = 4 + 3} {x = 7} end {array} nonumber ]

الشيك: افحص كل حل بتعويضه في المعادلة الأصلية.

استبدل (1 ) بـ (x ):

[ start {align} (x-4) ^ {2} & = 9 (1-4) ^ {2} & = 9 (- 3) ^ {2} & = 9 end {بمحاذاة } لا يوجد رقم ]

استبدل (7 ) بـ (x ):

[ start {align} (x-4) ^ {2} & = 9 (7-4) ^ {2} & = 9 (3) ^ {2} & = 9 end {align} لا يوجد رقم ]

لأن العبارة الأخيرة في كل تحقق عبارة صحيحة ، فإن كلا من (x = 1 ) و (x = 7 ) حلان صالحان لـ ((x − 4) ^ 2 = 9 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حل من أجل (x: (x + 6) ^ {2} = 10 )

إجابه

(-2), (-10)

في المثال ( PageIndex {1} ) ، كان الجانب الأيمن من المعادلة ((x − 4) ^ 2 = 9 ) مربعًا كاملاً. ومع ذلك ، هذا ليس مطلوبًا ، كما سيظهر المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} )

حل من أجل (x: (x + 5) ^ {2} = 7 )

حل

باستخدام نفس الأسلوب كما في المثال ( PageIndex {1} ) ، نحصل على:

[ start {array} {rlrl} {(x + 5) ^ {2}} & {= 7} & {} & color {Red} { text {Original equation. }} {x + 5} & {= pm sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {هناك نوعان من الجذور التربيعية. }} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

لإكمال الحل ، اطرح 5 من طرفي المعادلة.

[x = -5 pm sqrt {7} quad color {Red} text {Subtract} 5 text {من كلا الجانبين.} nonumber ]

علما أن هذا يعني أن هناك إجابتين ، وهما:

[x = -5- sqrt {7} quad text {or} quad x = -5 + sqrt {7} nonumber ]

الشيك: افحص كل حل بتعويضه في المعادلة الأصلية.

استبدل (- 5- sqrt {7} ) بـ (x ):

[ begin {align} (x + 5) ^ {2} & = 7 ((- 5- sqrt {7}) + 5) ^ {2} & = 7 (- sqrt {7 }) ^ {2} & = 7 end {align} nonumber ]

استبدل (- 5+ sqrt {7} ) بـ (x ):

[ start {align} (x + 5) ^ {2} & = 7 ((- 5+ sqrt {7}) + 5) ^ {2} & = 7 ( sqrt {7} ) ^ {2} & = 7 end {align} nonumber ]

نظرًا لأن العبارة الأخيرة في كل تحقق عبارة صحيحة ، فإن كلا من (x = -5- sqrt {7} ) و (x = -5 + sqrt {7} ) هما حلين صالحين لـ ((x +5) ^ {2} = 7 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

حل من أجل (x: (x-4) ^ {2} = 5 )

إجابه

(4+ sqrt {5} ، 4- sqrt {5} )

في بعض الأحيان ، سيتعين عليك تحديد مربع كامل لوضع إجابتك في شكل بسيط.

مثال ( PageIndex {3} )

حل من أجل (x: (x + 4) ^ {2} = 20 )

حل

باستخدام نفس الأسلوب كما في المثال ( PageIndex {1} ) ، نحصل على:

[ start {array} {rlrl} {(x + 4) ^ {2}} & {= 20} & {} & color {Red} { text {Original equation. }} {x + 4} & {= pm sqrt {20}} & {} & color {Red} { text {هناك نوعان من الجذور التربيعية. }} {x + 4} & {= pm sqrt {4} sqrt {5}} & {} & color {Red} { text {أخرج مربعًا كاملًا. }} {x + 4} & {= pm 2 sqrt {5}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {4} = 2} end {array} لا يوجد رقم ]

لإكمال الحل ، اطرح (4 ) من طرفي المعادلة.

[x = -4 pm 2 sqrt {5} quad color {Red} text {Subtract} 4 text {من كلا الجانبين. } لا يوجد رقم ]

علما أن هذا يعني أن هناك إجابتين ، وهما:

[x = -4-2 sqrt {5} quad text {or} quad x = -4 + 2 sqrt {5} nonumber ]

الشيك: على الرغم من أنه من الممكن التحقق من الإجابات الدقيقة ، فلنستخدم الآلة الحاسبة بدلاً من ذلك. أولاً ، خزّن (- 4-2 sqrt {5} ) في ( mathbf {X} ). بعد ذلك ، أدخل الجانب الأيسر من المعادلة ((x + 4) ^ 2 = 20 ) (انظر الصورة على اليسار في الشكل ( PageIndex {3} )). لاحظ أن (x + 4) 2 تبسط إلى 20 ، مما يوضح أن (- 4-2 sqrt {5} ) هو حل ((x + 4) ^ 2 = 20 ).

بطريقة مماثلة ، فإن الحل (- 4 + 2 sqrt {5} ) يتحقق أيضًا ((x + 4) ^ 2 = 20 ) (انظر الصورة على اليمين في الشكل ( PageIndex {3} )).

تمرين ( PageIndex {3} )

حل من أجل (x: (x + 7) ^ {2} = 18 )

إجابه

(- 7 + 3 sqrt {2}، - 7-3 sqrt {2} )

تمت إعادة النظر في المثلثات الثلاثية المربعة المثالية

أذكر تربيع ذات الحدين الاختصار.

تربيع ذو الحدين

إذا كان (a ) و (b ) أي أرقام حقيقية ، إذن: [(a ± b) ^ 2 = a ^ 2 ± 2ab + b ^ 2 nonumber ] أي أنك تربّع المصطلح الأول ، خذ حاصل ضرب الحدين الأول والثاني وضاعف النتيجة ، ثم قم بتربيع الحد الثالث.

أمثلة للتذكير:

[ start {align} (x + 3) ^ {2} & = x ^ {2} +2 (x) (3) + 3 ^ {2} & = x ^ {2} +6 x + 9 نهاية {محاذاة} غير رقم ]

[ start {align} (x-8) ^ {2} & = x ^ {2} -2 (x) (8) + 8 ^ {2} & = x ^ {2} -16 x + 64 نهاية {محاذاة} غير رقم ]

نظرًا لأن التخصيم هو "عدم الضرب" ، فمن السهل عكس عملية الضرب وتحليلها ثلاثي الحدود المربع الكامل.

[x ^ {2} +6 x + 9 = (x + 3) ^ {2} nonumber ]

[x ^ {2} -16 x + 64 = (x-8) ^ {2} nonumber ]

لاحظ كيف نأخذ الجذر التربيعي للحدين الأول والأخير في كل حالة.

مثال ( PageIndex {4} )

حلل كل من القيم الثلاثية التالية إلى عوامل:

  1. (× ^ {2} -12 × + 36 )
  2. (س ^ {2} +10 س + 25 )
  3. (× ^ {2} -34 × + 289 )

حل

عندما تكون الحدين الأول والأخير من ثلاثي الحدود مربعين كاملين ، يجب أن نشك في أن لدينا ثلاثي حدود مربع كامل.

  1. الحد الأول والثالث من (x ^ {2} -12 x + 36 ) مربعان كاملان. ومن ثم ، فإننا نأخذ جذورها التربيعية ونحاول: [x ^ {2} -12 x + 36 = (x-6) ^ {2} nonumber ] لاحظ أن (2 (x) (6) = 12 x ) ، وهو الحد الأوسط على اليسار. يتحقق الحل.
  2. الحد الأول والثالث من (x ^ {2} +10 x + 25 ) مربعان كاملان. ومن ثم ، فإننا نأخذ جذورها التربيعية ونحاول: [x ^ {2} +10 x + 25 = (x + 5) ^ {2} nonumber ] لاحظ أن (2 (x) (5) = 10 x ) ، وهو الحد الأوسط على اليسار. يتحقق الحل.
  3. الحد الأول والثالث من (x ^ {2} -34 x + 289 ) مربعان كاملان. ومن ثم ، فإننا نأخذ جذورها التربيعية ونحاول: [x ^ {2} -34 x + 289 = (x-17) ^ {2} nonumber ] لاحظ أن (2 (x) (17) = 34 x ) ، وهو الحد الأوسط على اليسار. يتحقق الحل.

تمرين ( PageIndex {4} )

العامل: (x ^ 2 + 30x + 225 )

إجابه

((س + 15) ^ {2} )

استكمال الساحة

في هذا القسم نبدأ بالحدين (x ^ 2 + bx ) ونطرح السؤال "ما هي القيمة الثابتة التي يجب أن نضيفها إلى (x ^ 2 + bx ) بحيث يكون الناتج ثلاثي الحدود هو مربع كامل ثلاثي الحدود؟" الجواب يكمن في هذا الإجراء.

استكمال المربع

لحساب الثابت المطلوب لجعل (x ^ 2 + bx ) ثلاثي حدود مربع كامل:

  1. خذ نصف معامل (x: dfrac {b} {2} )
  2. قم بتربيع نتيجة الخطوة الأولى: ( left ( dfrac {b} {2} right) ^ {2} = dfrac {b ^ {2}} {4} )
  3. أضف نتيجة الخطوة الثانية إلى (x ^ {2} + b x: x ^ {2} + b x + dfrac {b ^ {2}} {4} )

إذا اتبعت هذه العملية ، فستكون النتيجة ثلاثي حدود مربع كامل والذي سيعمل على النحو التالي:

[x ^ {2} + b x + dfrac {b ^ {2}} {4} = left (x + dfrac {b} {2} right) ^ {2} nonumber ]

مثال ( PageIndex {5} )

معطى (x ^ 2 + 12 x ) ، أكمل المربع لإنشاء مربع كامل ثلاثي الحدود.

حل

قارن (x ^ 2 + 12x ) بـ (x ^ 2 + bx ) ولاحظ أن (b = 12 ).

  1. خذ نصف (12: 6 )
  2. قم بتربيع نتيجة الخطوة الأولى: (6 ^ 2 = 36 )
  3. أضف نتيجة الخطوة الثانية إلى (x ^ 2 + 12x: x ^ 2 + 12x + 36 )

الشيك: لاحظ أن الحدين الأول والأخير لـ (x ^ 2 + 12x + 36 ) مربعان كاملان. خذ الجذور التربيعية للحدين الأول والأخير والعامل على النحو التالي:

[x ^ {2} +12 x + 36 = (x + 6) ^ {2} nonumber ]

لاحظ أن (2 (x) (6) = 12x ) ، لذا فإن الحد الأوسط يتحقق.

تمرين ( PageIndex {5} )

معطى (x ^ 2 + 16x ) ، أكمل المربع لإنشاء مربع كامل ثلاثي الحدود.

إجابه

(x ^ {2} +16 x + 64 = (x + 8) ^ {2} )

مثال ( PageIndex {6} )

معطى (x ^ 2−3x ) ، أكمل المربع لإنشاء مربع كامل ثلاثي الحدود.

حل

قارن (x ^ 2 −3x ) بـ (x ^ 2 + bx ) ولاحظ أن (b = −3 ).

  1. خذ نصف (- 3: - dfrac {3} {2} )
  2. قم بتربيع نتيجة الخطوة الأولى: ( left (- dfrac {3} {2} right) ^ {2} = dfrac {9} {4} )
  3. أضف نتيجة الخطوة الثانية إلى (x ^ {2} -3 x: x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} )

الشيك: لاحظ أن الحد الأول والأخير من (x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} ) يمثلان مربعين كاملين. خذ الجذور التربيعية للحدين الأول والأخير والعامل على النحو التالي:

[x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} = left (x- dfrac {3} {2} right) ^ {2} nonumber ]

لاحظ أن (2 (x) left ( dfrac {3} {2} right) = 3 x ) ، لذا فإن الحد الأوسط يتحقق.

تمرين ( PageIndex {6} )

معطى (x ^ 2 −5x ) ، أكمل المربع لإنشاء مربع كامل ثلاثي الحدود.

إجابه

(x ^ {2} -5 x + dfrac {10} {4} = left (x- dfrac {5} {2} right) ^ {2} )

حل المعادلات بإكمال المربع

ضع في اعتبارك المعادلة غير الخطية التالية.

[س ^ 2 = 2 س +2 بلا رقم ]

تتمثل الطريقة القياسية في جعل جانب واحد صفرًا وعاملًا. [x ^ 2 −2x − 2 = 0 nonumber ] ومع ذلك ، يدرك المرء بسرعة أنه لا يوجد زوج صحيح يكون منتجه (ac = −2 ) و مجموعهم (ب = −2 ). إذن ، ماذا يفعل المرء في هذه الحالة؟ الجواب هو "أكمل المربع".

مثال ( PageIndex {7} )

استخدم إكمال المربع للمساعدة في حل (x ^ 2 = 2x + 2 ).

حل

أولاً ، انقل (2x ) إلى الجانب الأيسر من المعادلة ، مع الاحتفاظ بالثابت (2 ) في الجانب الأيمن من المعادلة. [x ^ 2 −2x = 2 nonumber ] تشغيل على اليسار ، خذ نصف معامل (x: left ( dfrac {1} {2} right) (- 2) = - 1 ). قم بتربيع النتيجة: ((- 1) ^ {2} = 1 ). أضف هذه النتيجة إلى طرفي المعادلة.

[ start {array} {l} {x ^ {2} -2 x + 1 = 2 + 1} {x ^ {2} -2 x + 1 = 3} end {array} nonumber ]

يمكننا الآن تحليل الطرف الأيسر كمربع كامل ثلاثي الحدود.

[(x-1) ^ {2} = 3 nonumber ]

الآن ، كما في الأمثلة ( PageIndex {1} ) و ( PageIndex {2} ) و ( PageIndex {3} ) ، يمكننا أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. تذكر أن هناك جذران تربيعان.

[x-1 = pm sqrt {3} nonumber ]

أخيرًا ، أضف (1 ) إلى طرفي المعادلة.

[x = 1 pm sqrt {3} nonumber ]

وبالتالي ، فإن المعادلة (x ^ 2 = 2x + 2 ) لها إجابتان ، (x = 1- sqrt {3} ) و (x = 1 + sqrt {3} ).

الشيك: دعنا نستخدم الآلة الحاسبة للتحقق من الحلول. أولاً ، قم بتخزين (1- sqrt {3} ) في ( mathbf {X} ) (انظر الصورة على اليسار في الشكل ( PageIndex {4} )). ثم أدخل الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة (x ^ 2 = 2 x + 2 ) وقارن النتائج (انظر الصورة على اليسار في الشكل ( PageIndex {4} )). بطريقة مماثلة ، تحقق من الإجابة الثانية (1+ sqrt {3} ) (انظر الصورة على اليمين في الشكل ( PageIndex {4} )).

في كلتا الحالتين ، لاحظ أن الجانبين الأيسر والأيمن من (x ^ 2 = 2x + 2 ) ينتجان نفس النتيجة. ومن ثم ، فإن كلا من (1- sqrt {3} ) و (1+ sqrt {3} ) يعدان حلين صالحين لـ (x ^ 2 = 2x + 2 ).

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم إكمال المربع للمساعدة في حل (x ^ 2 = 3−6x ).

إجابه

(- 3 + 2 sqrt {3}، - 3-2 sqrt {3} )

مثال ( PageIndex {8} )

حل المعادلة (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ) جبريًا وبيانيًا. قارن إجابتك من كل طريقة.

حل

أولاً ، انقل الثابت (12 ) إلى الجانب الأيمن من المعادلة.

[ begin {align} x ^ {2} -8 x-12 = 0 & quad color {Red} text {Original equation. } x ^ {2} -8 x = 12 & quad color {Red} text {Add} 12 text {إلى كلا الجانبين. } نهاية {محاذاة} غير رقم ]

خذ نصف المعامل (س: (1/2) (- 8) = - 4 ). مربع: ((- 4) ^ {2} = 16 ). أضف الآن (16 ) إلى طرفي المعادلة.

[ start {align} x ^ {2} -8 x + 16 & = 12 + 16 quad color {Red} text {Add} 16 text {على كلا الجانبين. } (x-4) ^ {2} & = 28 quad color {Red} text {عامل الجانب الأيسر. } x-4 & = pm sqrt {28} quad color {Red} text {هناك جذران تربيعان. } نهاية {محاذاة} غير رقم ]
لاحظ أن الإجابة ليست بصيغة جذرية بسيطة.

[ start {array} {rlrl} {x-4} & {= pm sqrt {4} sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {أخرج مربعًا كاملًا. }} {x-4} & {= pm 2 sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {4} = 2} {x} & {= 4 pm 2 sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Add} 4 text {على كلا الجانبين. }} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

الحل الرسومي: أدخل المعادلة (y = x ^ 2 - 8x - 12 ) في ( mathbf {Y1} ) من ص = القائمة (انظر الصورة الأولى في الشكل ( PageIndex {5} )). بعد بعض التجارب ، استقرنا على نافذة او شباك المعلمات الموضحة في الصورة الوسطى من الشكل ( PageIndex {5} ). بمجرد أن تدخل هذه نافذة او شباك المعلمات ، دفع رسم بياني زر لإنتاج الصورة الموجودة في أقصى اليمين في الشكل ( PageIndex {5} ).

نحن نبحث عن حلول ​​(x ^ 2 −8x − 12 = 0 ) ، لذلك نحتاج إلى تحديد مكان الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 −8x − 12 ) يقاطع (x ) -محور. أي أننا نحتاج إلى إيجاد أصفار (y = x ^ 2 −8x − 12 ). يختار 2: صفر من CALC القائمة ، حرك المؤشر قليلاً إلى يسار أول (x ) - اعتراض واضغط أدخل ردًا على "Left bound." حرك المؤشر قليلاً إلى يمين أول (x ) - اعتراض واضغط أدخل ردا على "الحق ملزم". اترك المؤشر في مكانه واضغط أدخل ردًا على "Guess". تستجيب الآلة الحاسبة بإيجاد (x ) - إحداثي التقاطع (x ) - كما هو موضح في الصورة الأولى في الشكل ( PageIndex {6} ).

كرر العملية للعثور على (x ) الثاني - تقاطع (y = x ^ 2−8x − 12 ) الموضح في الصورة الثانية في الشكل ( PageIndex {6} ).

الإبلاغ عن الحل في واجبك المنزلي: قم بتكرار الصورة في نافذة عرض الآلة الحاسبة في صفحة الواجب المنزلي. استخدم المسطرة لرسم كل الخطوط ، لكن حرّك أي منحنيات.

  • قم بتسمية المحاور الأفقية والعمودية بـ (x ) و (y ) ، على التوالي (انظر الشكل ( PageIndex {7} )).
  • ضع الخاص بك نافذة او شباك المعلمات في نهاية كل محور (انظر الشكل ( PageIndex {7} )).
  • قم بتسمية الرسم البياني بمعادلته (انظر الشكل ( PageIndex {7} )).
  • قم بإسقاط خطوط عمودية متقطعة خلال كل (س ) - تقاطع. ظلل وقم بتسمية (x ) - قيم النقاط التي يتقاطع فيها الخط العمودي المتقطع مع (x ) - المحور. هذه هي حلول المعادلة (x ^ 2−8x − 12 = 0 ) (انظر الشكل ( PageIndex {7} )).

وبالتالي ، تشير الآلة الحاسبة للرسوم البيانية إلى أن حلول ​​(x ^ 2 −8x − 12 = 0 ) هي (x حوالي 1.291503 ) و (x حوالي 9.2915026 ).

مقارنة التقريبات الدقيقة والآلة الحاسبة: ما مدى جودة حلول حاسبة الرسوم البيانية مع الحلول الدقيقة ، (x = 4-2 sqrt {7} ) و (x = 4 + 2 sqrt {7} )؟ بعد إدخال كل منها في الآلة الحاسبة (انظر الشكل ( PageIndex {8} )) ، تكون المقارنة ممتازة!

تمرين ( PageIndex {8} )

حل المعادلة (x ^ 2 + 6x + 3 = 0 ) جبريًا ورسميًا ، ثم قارن إجاباتك.

إجابه

(- 3- sqrt {6}، - 3+ sqrt {6} )


شاهد الفيديو: Прохождение элитной главы 8-3 на 3 короны Хранитель клятвы - Lords Mobile Россия. #92 (شهر نوفمبر 2021).