مقالات

4.10: نظرية ستوكس - الرياضيات


في هذا القسم نرى تعميم نظرية مألوفة ، نظرية جرين. تمامًا كما كان من قبل ، نحن مهتمون بالمساواة التي تسمح لنا بالانتقال بين التكامل على منحنى مغلق إلى التكامل المزدوج للسطح. بعض التعريفات المهمة التي يجب معرفتها قبل المتابعة هي: منحنى بسيط مغلق ، وتباعد ، وتدفق ، وحليقة ، ومتجه عادي. إن معرفة كيفية حساب محدد المصفوفات 2 × 2 و 3 × 3 سيساعد أيضًا في تعميق فهمك للاختلاف والتفاف.

مناقشة نظرية

الضفيرة: دع ( mathbf {F} = M (x، y، z) hat {i} + N (x، y، z) hat {j} + P (x، y، z) hat { ك} ) و ( nabla = قبعة {i} frac { جزئي} { جزئي x} + قبعة {j} frac { جزئي} { جزئي y} + قبعة {k} frac { جزئية} { جزئية z} ) فإن تجعيد ( mathbf {F} ) هو ببساطة محدد المصفوفة 3x3 ( nabla times mathbf {F} ). هناك العديد من الطرق لأخذ المحدد ، ولكن ما يلي هو مثال لتوسيع العامل المساعد.

[ start {align} nabla times mathbf {F} & = begin {vmatrix} hat {i} & hat {j} & hat {k} frac { part} { جزء x} & frac { جزئي} { جزئي y} & frac { جزئي} { جزئي z} M & N & P end {vmatrix} & = hat {i} ابدأ {vmatrix} frac { جزئي} { جزئي y} & frac { جزئي} { جزئي z} N & P end {vmatrix} - hat {j} begin {vmatrix} frac { جزئي} { جزئي x} & frac { جزئي} { جزئي z} M & P end {vmatrix} + hat {k} begin {vmatrix} frac { جزئي} { جزئي x} & frac { جزئي} { جزئي y} M & N end {vmatrix} & = hat {i} ( frac { part P} { جزئي y} - frac { جزئي N} { جزئي z}) - قبعة {j} ( frac { جزئي P} { جزئي x} - frac { جزئي M} { جزئي z}) + قبعة {ك} ( frac { جزئي N} { جزئي x} - frac { جزئي M} { جزئي y}) & = hat {i} ( frac { جزئي P} { جزئي y} - frac { جزئي N} { جزئي z}) + قبعة {j} ( frac { جزئي M} { جزئي z} - frac { جزئي P} { جزئي x}) + قبعة {k} ( frac { جزئي N} { جزئي x} - frac { جزئي M} { جزئي y}) & = curl mathbf {F} end {محاذاة} ]

نظرية ستوكس

لنفترض أن ( mathbf {n} ) متجهًا عاديًا (متعامد ، عمودي) على السطح S الذي يحتوي على حقل متجه ( mathbf {F} ) ، ثم يتم تعريف المنحنى البسيط المغلق C في اتجاه عكس عقارب الساعة حول ( mathbf {n} ). التدوير على C يساوي السطح لا يتجزأ من التفاف ( mathbf {F} = nabla times mathbf {F} ) المنقطة بـ ( mathbf {n} ).

[ oint _C mathbf {F} cdot d mathbf {r} = iint_ {S} nabla times mathbf {F cdot n} d sigma ]

تفشل هذه النظرية عندما تكون دالة أو حقل متجه أو مشتق غير متصل.

نظرية جرين من Stokes

إذا كان الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة C في مستوى x-y فقط ، وكان يحدد منطقة ، فسمها R ، مع حقل المتجه ( mathbf {F} ) ، يكون الاتجاه z طبيعيًا للمستوى. هكذا

[ start {align} oint _C mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = iint_ {S} nabla times mathbf {F cdot n} d sigma & = iint_ {R} nabla times mathbf {F cdot k} dx dy & = iint_ {R} frac { جزئي N} { جزئي x} - frac { جزئي M} { جزئية ص} dx dy نهاية {محاذاة} ]

كملاحظة ،

[ frac { جزئي N} { جزئي x} - frac { جزئي M} { جزئي y} ]

هو محدد مصفوفة 2x2

[ start {vmatrix} frac { جزئي} { جزئي x} & frac { جزئي} { جزئي y} M & N end {vmatrix}. ]

مثال ( PageIndex {1} )

قيم معادلة نظرية ستوكس لنصف الكرة (S: x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9، z geq 0 ) ، الدائرة المحيطة بها (C: x ^ 2 + y ^ 2 = 0، z = 0 ) والحقل ( textbf {F} = y hat { textbf {i}} - x hat { textbf {j}} ).

تلميحات: تذكر أن الطريقة البسيطة لوضع معلمات لدائرة هي إذا (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) ثم (r ( theta) = r cos theta + r sin theta ) لـ ( theta in [0، 2 pi] ). حاول أيضًا رسم صورة لنصف الكرة والدائرة المحيطة بها لفهم النظرية الكامنة وراء المشكلة. يجب أن يعرف كيفية تسوية المتجه وماذا يعني (| nabla f | ). ابحث عن الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة باستخدام الجانب الأيسر من نظرية ستوكس ، ثم ابحث عن التكامل الحلقي باستخدام الجانب الأيمن من نظرية ستوكس وقارن النتائج.

حل

يشبه نصف الكرة إلى حد كبير الصورة أدناه ، حيث يكون محيط القاع الوردي هو الدائرة المحيطة (C ) في (xy ) - الطائرة. يمكننا حساب الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة حول (C ) (المشاهد من الأعلى) باستخدام المعلمات (r ( theta) = (3 cos theta) hat { textbf {i}} + (3 sin theta) hat { textbf {j}}، 0 leq theta leq 2 pi ):

[d textbf {r} = (-3 sin theta d theta) hat { textbf {i}} + (3 cos theta d theta) hat { textbf {j}} ]

[ textbf {F} = y hat { textbf {i}} - x hat { textbf {j}} = (3 sin theta) hat { textbf {i}} - (3 cos theta) hat { textbf {j}} ]

[ textbf {F} cdot d textbf {r} = -9 sin ^ 2 theta d theta - 9 cos ^ 2 theta d theta = -9 d theta ]

[ oint_C textbf {F} cdot d textbf {r} = int_0 ^ 2 pi -9 d theta = -18 theta. ]

هذا هو الجانب الأيسر المقدر من نظرية ستوكس. الآن نريد أن نظهر أن الطرف الأيمن متساوي من خلال حساب تكامل الضفيرة.

بالنسبة لتكامل الضفيرة ( textbf {F} ) ، لدينا

[ nabla times textbf {F} = left ( frac { جزئي P} { جزئي y} - frac { جزئي N} { جزئي z} يمين) قبعة { textbf {i }} + يسار ( frac { جزئي M} { جزئي z} - frac { جزئي P} { جزئي x} يمين) قبعة { textbf {j}} + left ( frac { جزئي N} { جزئي x} - frac { جزئي M} { جزئي y} صحيح) قبعة { textbf {k}} ]

من أخذ محدد مصفوفة 3X3 من الضفيرة (موضحة في المناقشة النظرية). إذا نظرنا إلى مصفوفة 3X3:

[ start {vmatrix} hat { textbf {i}} & hat { textbf {j}} & hat { textbf {k}} frac { جزئي} { جزئي x} & frac { جزئي} { جزئي y} & frac { جزئي} { جزئي z} y & -x & 0 end {vmatrix} ]

بتقييم الضفيرة ، نرى ذلك

[ nabla times textbf {F} = (0-0) hat { textbf {i}} + (0-0) hat { textbf {j}} + (- 1-1) hat { textbf {k}} = -2 hat { textbf {k}}. ]

سيكون المتجه الطبيعي وحدتنا الخارجية

[ start {align} textbf {n} & = frac {x hat { textbf {i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}}} {| x hat { textbf {i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}} |} & = frac {x hat { textbf { i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & = frac { x hat { textbf {i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}}} { sqrt {9 cos ^ 2 theta + 9 sin ^ 2 theta}} & = frac {x hat { textbf {i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}}} {3}. نهاية {محاذاة} ]

ثم

[d sigma = frac {| nabla f |} {| nabla f cdot textbf {k} |} dA = frac {3} {z} dA. ]

أخيرًا ، يمكننا تجميع كل شيء معًا للعثور على ما يلي:

[ nabla times textbf {F} cdot textbf {n} d sigma = - frac {2z} {3} frac {3} {z} dA = -2dA ]

و

[ int int_S nabla times textbf {F} cdot textbf {n} d sigma = int int_ {x ^ 2 + y ^ 2 leq 9} -2dA = -18 pi ]

ونرى أن الدوران حول الدائرة يساوي تكامل التجعيد فوق نصف الكرة ، كما ينبغي.


4.9: نظرية ستوكس

  • بمساهمة ستيفن دبليو إلينجسون
  • أستاذ مشارك (الهندسة الكهربائية وهندسة الحاسبات) في معهد فيرجينيا بوليتكنيك وجامعة الولاية
  • مصدره مبادرة التعليم المفتوح لمكتبات فرجينيا التقنية

نظرية ستوكس و rsquo يربط تكاملاً على سطح مفتوح بتكامل فوق المنحنى الذي يحيط بالسطح. لهذه العلاقة عدد من التطبيقات في النظرية الكهرومغناطيسية. ها هي النظرية:

حيث ( mathcal) هو السطح المفتوح الذي يحده المسار المغلق ( mathcal). يرتبط اتجاه السطح الطبيعي (d < bf s> = hat < bf n> ds ) باتجاه التكامل على طول (< mathcal C> ) بواسطة حكم اليد اليمنى، موضح في الشكل ( فهرس الصفحة <1> ). في هذه الحالة ، تنص القاعدة اليمنى على أن الوضع الطبيعي الصحيح هو الذي يشير عبر السطح في نفس اتجاه أصابع اليد اليمنى عند محاذاة إبهام يدك اليمنى على طول (< mathcal C> ) في اتجاه التكامل.

الشكل ( PageIndex <1> ): الاتجاهات النسبية لاتجاه التكامل ( mathcal C ) والسطح العادي ( vec < mathbf> ) في نظرية ستوكس و rsquo. (CC BY SA 3.0 Cronholm144).

نظرية ستوكس و rsquo هي نتيجة رياضية بحتة وليست مبدأ الكهرومغناطيسية في حد ذاته. أهمية النظرية للنظرية الكهرومغناطيسية هي في المقام الأول كأداة في التحليل الرياضي المصاحب. عادةً ما يتم استخدام النظرية لتحويل مشكلة معبر عنها من حيث التكامل على سطح ما إلى تكامل على مسار مغلق أو العكس. لمزيد من المعلومات حول النظرية واشتقاقها ، راجع & ldquo قراءة إضافية & rdquo في نهاية هذا القسم.


4.9: نظرية ستوكس

  • بمساهمة ستيفن دبليو إلينجسون
  • أستاذ مشارك (الهندسة الكهربائية وهندسة الحاسبات) في جامعة فيرجينيا بوليتكنيك وجامعة ولاية أمب
  • مصدره مبادرة التعليم المفتوح لمكتبات فرجينيا التقنية

نظرية ستوكس و rsquo يربط تكاملاً على سطح مفتوح بتكامل فوق المنحنى الذي يحيط بالسطح. لهذه العلاقة عدد من التطبيقات في النظرية الكهرومغناطيسية. ها هي النظرية:

حيث ( mathcal) هو السطح المفتوح الذي يحده المسار المغلق ( mathcal). يرتبط اتجاه السطح الطبيعي (d < bf s> = hat < bf n> ds ) باتجاه التكامل على طول (< mathcal C> ) بواسطة حكم اليد اليمنى، موضح في الشكل ( فهرس الصفحة <1> ). في هذه الحالة ، تنص القاعدة اليمنى على أن الوضع الطبيعي الصحيح هو الذي يشير عبر السطح في نفس اتجاه أصابع اليد اليمنى عند محاذاة إبهام يدك اليمنى على طول (< mathcal C> ) في اتجاه التكامل.

الشكل ( PageIndex <1> ): الاتجاهات النسبية لاتجاه التكامل ( mathcal C ) والسطح العادي ( vec < mathbf> ) في نظرية ستوكس و rsquo. (CC BY SA 3.0 Cronholm144).

نظرية ستوكس و rsquo هي نتيجة رياضية بحتة وليست مبدأ الكهرومغناطيسية في حد ذاته. أهمية النظرية للنظرية الكهرومغناطيسية هي في المقام الأول كأداة في التحليل الرياضي المصاحب. عادةً ما يتم استخدام النظرية لتحويل مشكلة معبر عنها من حيث التكامل على سطح ما إلى تكامل على مسار مغلق أو العكس. لمزيد من المعلومات حول النظرية واشتقاقها ، راجع & ldquo قراءة إضافية & rdquo في نهاية هذا القسم.


4.10: نظرية ستوكس - الرياضيات

MATH 439-001 55949 ST: مقدمة إلى مشعب التباين ومقدمة عن المشعبات المختلفة - 51950 - MATH 536-001

موعد الحصة 11:00 صباحًا - 12: 15 مساءً الموقع SMLC 352.

المدرب: مكتب ديميتر فاسيليف: إس إم إل سي ، مكتب 326 البريد الإلكتروني: [email protected] رقم الهاتف : 505 277 2136

ساعات العمل: الأربعاء 1:30 مساءً - 2:30 مساءً ، الثلاثاء وأمبير الخميس 2-3 مساءً. نرحب بك أيضًا للتوقف في أي وقت.

الاختبار النهائي: 10 مايو ، 12:30 مساءً - 2:30 مساءً ، تحقق مرة أخرى من جدول الامتحان النهائي.

يجب على الطلاب الذين يتعارضون مع جدول الامتحانات هذا إخطار المعلم المناسب قبل 5 أبريل 2016. يجوز لأي طالب لديه أكثر من ثلاثة اختبارات مقررة في أي يوم واحد إخطار المعلم بالاختبار الأخير المدرج. إذا تم الإخطار قبل بريل 5 ، 2016 ، يجب على المدرب اتخاذ الترتيبات اللازمة لإجراء اختبار خاص. يجب حل التعارضات التي تنشأ نتيجة للجدولة خارج نمط ساعات العمل العادي أو التسلسل اليومي بواسطة مدرس الدورات التدريبية غير النمطية. لا يُسمح بإجراء تغييرات في جدول الاختبار هذا إلا بموافقة رسمية من المعلم وعميد الكلية # 8217s.

الكتاب المدرسي المطلوب : مقدمة في الفتحات التفاضلية (2015) ، المؤلفون: جاك لافونتين

موضوع الدورة : الفصول 1-6 من كتاب لافونتين & # 8217s. الوصف: مفهوم التراكيب المتشعبة ، التفاضلية ، حزم الظل والظل ، التضمين ، الانغماس والغمر ، العرضية ، الأشكال التفاضلية والتكامل ، نظرية ستوكس ، مجموعات لي.

كتب مدرسية أخرى قد تجدها مفيدة:

لي ج. مقدمة في الفتحات الملساء (سبرينغر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات)

موريتا س. هندسة الأشكال التفاضلية (ترجمات الدراسات الرياضية ، المجلد. 201).

بوثبي ، دبليو ، مقدمة للتشعبات المتشعبة والهندسة الريمانية.

تو، L. ، مقدمة في الفتحات.

يرجى ملاحظة الإرشادات التالية للدورة:

المتطلبات الأساسية : الجبر الخطي (MATH321) ، حساب التفاضل والتكامل الثالث (MATH264) واثنان من الدورات التالية على الأقل: الطبولوجيا (MATH431) ، التحليل (MATH401) ، التحليل (MATH402).

درجات: تحدد الدرجة النهائية بواجب منزلي (100 نقطة) ، وامتحان نصفي (100 نقطة) وامتحان نهائي (200 نقطة). سيتم نشر جميع الدرجات على UNM Learn.

الواجب المنزلي: يمكنك العمل معًا في الواجب المنزلي ، لكنك تحتاج إلى كتابة الحلول الخاصة بك بأسلوبك الخاص. لمساعدة الصف ، من فضلك كتابة حلولك بدقة ووضوح و تدبيس الأوراق. يحتوي كل واجب منزلي على 5 مسائل (4 نقاط لكل منها) ليصبح المجموع 20 نقطة. مشاكل الائتمان الإضافي ليست مستحقة وهي حقًا رصيد إضافي (8 نقاط لكل منهما). من الأفضل أن تعمل وتناقش المشاكل معي ومع ظهور أسئلة. سيتم احتساب أعلى 10 واجبات منزلية.

الامتحانات الفائتة: يمكن ترتيب الاختبارات التعويضية للامتحانات الفائتة بعذر صالح (المرض ، طوارئ الأسرة ، المشاركة النشطة في الأنشطة الأكاديمية أو الرياضية) ، وفقط إذا تم إعطاء إشعار مسبق.

بيان الإعاقة: سوف نستوعب الطلاب ذوي الإعاقات الموثقة. خلال الأسبوعين الأولين من الفصل الدراسي ، يجب على هؤلاء الطلاب إبلاغ المعلم باحتياجاتهم الخاصة ، كما يجب عليهم الاتصال بخدمات إمكانية الوصول في Mesa Vista Hall ، Room 2021 ، الهاتف 277-3506. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن يراجعوا CATS - Counselling and Therapy Services Student Health Centre (277-4537). (يمكنهم المساعدة إذا كنت تعاني من قلق الامتحان).

استضافت الواجب المنزلي على تعلم UNM

(يرجى التحقق بعد انتهاء الفصل الدراسي حيث يمكن أن تتغير الإعلانات المتقدمة للواجب المنزلي)

واجب منزلي يوم الخميس الذي يلي الأسبوع في بداية الفصل.

1. التفاضل ، نظرية الرتب - اختلاف الأشكال.

2. نظرية الرتبة ، الغمر ، الغمر. عديدات الطيات الجزئية الملساء لـ Rn.

3. مجموعات المستوى والرسوم البيانية والمعاملات. أمثلة.

4. الفضاء المماس. مجموعات قياس الصفر وصورها تحت خرائط متجانسة. النقاط والقيم الحرجة.

5. نظرية سارد. عرضية. الفتحات الطوبولوجية والسلسة.

6. بناء الفتحات. خرائط سلسة - هياكل ناعمة غير مكافئة ، هياكل ناعمة مختلفة الأشكال. أمثلة - المساحات الإسقاطية.

7. اهتزازات F ، اهتزاز هوبف. النظرية الأساسية في الجبر.

29 فبراير ، جلسة الواجب المنزلي SMLC 352 9: 45-10: 45

8. مساحة الظل. الاختلافات المحلية ، الغمر ، الغمر ، عديدات الطيات الجزئية.


الصياغة الصحيحة لمشكلة نظرية ستوكس

أنا مهتم بتطبيق نظرية ستوكس على حقل سرعة ناتج عن تدفق عدد لا نهائي من اللوالب ، حيث يتدفق كل حلزون في الاتجاه الأفقي $ x $ ، ويكون له نفس قطر الدورة ، وكل خط مركزي لولبي يقع على $ y $ datum ، وتتناسب سرعات الحلزون مع المسافة التي يقع فيها خط الوسط عن الأرض. افتراضي الرئيسي هو أن سرعة heilix تتناسب مع خط الوسط اللولبي $ z_0 $ ، لذا فإن السرعة هي $ c z_0 $ ، حيث $ c $ ثابت يساوي $ frac <1>

حاولت القيام بذلك باستخدام المعادلات البارامترية ، أولًا وصف الموضع $ P $:

$ P (t، z_0) = c z_0 t hat + كوس (ج z_0 t) قبعة + (z_0 + sin (c z_0 t)) قبعة$

$ فارك

= ج z_0 قبعة - z_0 sin (c z_0 t) hat + (z_0 cos (c z_0 t)) قبعة$

حيث $ z_0 $ هو الخط المركزي اللولبي و $ c $ هو ثابت متعلق بسرعة الجسيم بارتفاع خط اللولب المركزي ، بوحدات $ frac <1>

أطلق على حقل السرعة $ V $ ، بافتراض أنه يساوي $ frac

$. يمكنني الآن التكامل عبر $ z_0 $ للعثور على مجال السرعة الناتج عن عدد لا نهائي من اللوالب:

$ V (t) = int (c z_0 hat - z_0 sin (c z_0 t) hat + (z_0 cos (c z_0 t)) قبعة) dz_0 = c frac<2> قبعة - فارك قبعة + فارك قبعة $

يبدو أن هناك خطأ في صياغتي. هل فعلت هذا بشكل صحيح؟ أريد تطبيق نظرية ستوكس على هذا ، الأمر الذي يتطلب عمل حجم تحكم في نفس نظام الإحداثيات. لست متأكدًا من كيفية القيام بحجم التحكم باستخدام صيغتي البارامترية لأشكال الحلزون.

تعديل هنا رسم تخطيطي يظهر بعض اللوالب. تمثل الألوان الأكثر احمرارًا سرعات رياح أكبر وتمثل الألوان الأكثر أرجوانية سرعات رياح أقل.


4.10: نظرية ستوكس - الرياضيات

مدرب: الدكتور جانتومور تسوجتغيرل

المتطلبات المسبقة: MATH 580 (PDE1) أو MATH 355 (تحليل مرتبة الشرف 4) أو ما يعادلها

ملحوظة: إذا كنت تخطط لأخذ هذه الدورة دون أخذ MATH 580 ، فيرجى استشارة المدرب.

وصف التقويم: أنظمة قوانين الحفظ وثوابت ريمان. نظرية Cauchy-Kowalevskaya تدعم الحلول المتسلسلة. التوزيعات والتحولات. مقدمة حلول ضعيفة لمساحات سوبوليف مع التطبيقات. المعادلات الإهليلجية ونظرية فريدهولم وأطياف العوامل الإهليلجية. معادلات القطع المكافئ والقطع الزائد من الدرجة الثانية. قد يتم تضمين المزيد من الموضوعات المتقدمة.

الواجب المنزلي: يتم تعيينه وتصنيفه كل أسبوعين تقريبًا.

ندوات ضعيفة: سننظم ندوات أسبوعية حول النتائج القياسية من التحليل والهندسة ، والأشياء الأخرى المتعلقة بالدورة.

مشروع الدورة: يتكون مشروع الدورة من قراءة الطالب لورقة أو دراسة عن موضوع متقدم ، وكتابة الملاحظات ، وإلقاء محاضرة.

وضع العلامات: ستكون الدرجة النهائية هي المتوسط ​​المرجح للواجب المنزلي 20٪ ، والامتحان النصفي لأخذ المنزل 30٪ ، ومشروع الدورة 50٪.


الرياضيات 234

تم الانتهاء من الدورة الآن! أشكركم على مشاركتكم. سيكون الاختبار النهائي يوم الأربعاء القادم (6/6/07) من 7 إلى 9 مساءً في Lunt 105.
سيكون هناك ساعات عمل استثنائية يوم الاثنين المقبل (6/4/07) من الساعة 1:30 ظهرًا حتى 3 مساءً. العمل قبل ذلك اليوم ، والراحة يوم الثلاثاء! حظا سعيدا.

تبدو زجاجة كلاين كما يلي: زجاجة كلاين.

المنهج :

سيساعدك الواجب المنزلي على فهم الدورة التدريبية. سوف تعتمد الاختبارات عليها.

الفصل 11: التكاملات المتعددة (قسم واحد كل يوم) [واجب منزلي]

11.1 تكاملات مزدوجة [9،11،13،17،19،26،31،33،43،47،49،51]
11.2 المساحة والحجم ومركز الكتلة [مثال 2.2 ، 7 ، 15 ، 26 ، 28]
11.3 التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية [مثال 3.3 ، مثال 3.5 ، 9 ، 12 ، 16 ، 26 ، 30]
11.4 مساحة السطح [2 ، 3 ، 9 ، 17]
11.5 التكاملات الثلاثية [مثال 5.1 ، مثال 5.3 ، مثال 5.5 ، 22 ، 37]
11.6 إحداثيات أسطوانية [مثال 6.5 ، 13 ، 17 ، 25 ، 33 ، 37]
11.7 الإحداثيات الكروية [مثال 7.3 ، 25 ، 31 ، 33 ، 37 ، 39 ، 53 ، 57]
11.8 تغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة [1 ، 5 ، 11 ، 13 ، 17 ، 27 ، 29]
مراجعة: 4/13/07

الفصل 11: متجه حساب التفاضل والتكامل (تقريبًا يوم ونصف حسب القسم) [واجب منزلي]

12.1 حقول المتجهات [3 ، 5 ، 9 ، 11 ، 13 ، 17 ، 27 ، 29 ، 35 ، 39 ، 47 ، 51]
12.2 الضفيرة والتباعد [1 ، 5 ، 9 , 13, 19, 27, 31, 33, 35, 41, 45, 49]
12.3 تكاملات الأسطر [1 ، 7 ، 11 ، 17 ، مثال 3.7 ، مثال 3.9 ، 25 ، 27 ، 29 ، 37 ، 39 ، 41 ، 55 الشكل 13 -> ، 57]
12.4 الاستقلال على المسار وحقول المتجهات المحافظة [1 ، 3 ، 7 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 27 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47]
12.5 نظرية جرين [1 ، 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، 25 ، 33 ، 35]
المراجعة: 5/9/07
امتحان منتصف الفصل الثاني: 5/14/07
12.6 تكاملات السطح [مثال 6.3 (ب) ، مثال 6.5 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 17 ، 19 ، 21 ، 25 ، 27 ، 29 ، 33 ، مثال 6.7 ، 37 ، 39 ، 41]
12.7 نظرية الاختلاف [مثال 7.2 ، 1 ، 5 ، 7 ، 9 ، 17 ، 19 ، 25]
12.8 نظرية ستوكس [مثال 8.2 ، مثال 8.3 ، 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 17 ، 21]
12.9 تطبيقات حساب المتجهات [لا يوجد واجب منزلي]

أسبوع القراءة (مراجعة): 5/30/07 و 6/1/07

الاختبار النهائي: 6/6/07 7:00 - 9:00 مساءً Lunt 105

المعلم: برونو فاليت

مساعدو التدريس:

كتب نصية:

حساب التفاضل والتكامل: المفاهيم والصلات ، الفصول 11-12 ، بقلم ر. سميث و آر. مينتون ، ماكجرو هيل.

جلسات الاختبار:

ستكون هناك 6 اختبارات قصيرة ولكن سيتم أخذ أفضل 5 فقط في الاعتبار.
1: 00-1: 50 مساءً الخميس ، Lunt 105 (Qian Ding) ، Lunt 103 (Randy Qian)

وضع العلامات:

الامتحان النهائي 200 نقطة ، امتحانات نصف الفصل 100 نقطة لكل منهما ، اختبارات قصيرة 20 نقطة لكل منهما.

الامتحانات:

لكي يتم إعفاؤك من الاختبار ، باستثناء المرض المفاجئ ، يجب عليك الترتيب قبل 24 ساعة على الأقل من موعد الاختبار. أي شخص يفقد الاختبار دون الترتيب مسبقًا لذلك سيحصل على 0 نقطة. أنا لا أعطي الامتحانات التعويضية.

100 تكامل:

يجب أن تكون قادرًا على اتباع 100 تكامل. نظرًا لأن الهدف من هذه الدورة هو تعلم تكاملات متعددة ، فسنستخدم جميع أساليب الوقت للتكاملات ذات البعد الواحد.


4.10: نظرية ستوكس - الرياضيات

مدرب: الدكتور جانتومور تسوجتغيرل

المتطلبات المسبقة: MATH 580 (PDE1) أو MATH 355 (تحليل مرتبة الشرف 4) أو ما يعادلها

ملحوظة: إذا كنت تخطط لأخذ هذه الدورة دون أخذ MATH 580 ، فيرجى استشارة المدرب.

المواضيع: سيكون التركيز الرئيسي للدورة على المشاكل غير الخطية. سيتم استخدام مساحات سوبوليف وتحويل فورييه والطرق التحليلية الوظيفية بكثافة.

وصف التقويم: أنظمة قوانين الحفظ وثوابت ريمان. نظرية Cauchy-Kowalevskaya تدعم الحلول المتسلسلة. التوزيعات والتحولات. مقدمة حلول ضعيفة لمساحات سوبوليف مع التطبيقات. المعادلات الإهليلجية ونظرية فريدهولم وأطياف العوامل الإهليلجية. معادلات القطع المكافئ والقطع الزائد من الدرجة الثانية. قد يتم تضمين المزيد من الموضوعات المتقدمة.

الواجب المنزلي: يتم تعيينه وتصنيفه كل أسبوعين تقريبًا.

ندوات ضعيفة: سننظم ندوات أسبوعية حول النتائج القياسية من التحليل والهندسة ، والأشياء الأخرى المتعلقة بالدورة.

مشروع الدورة: يتكون مشروع الدورة من قراءة الطالب لورقة أو دراسة عن موضوع متقدم ، وكتابة الملاحظات ، وإلقاء محاضرة.


حساب التفاضل والتكامل الثالث:

في هذا القسم ، سنحدد تكاملات الخط بالنسبة إلى x أو y أو كلاهما x و y.

دع & # 39s تبدأ بمنحنى ثنائي الأبعاد C مع المعلمات:

تكامل خط f بالنسبة إلى x هو:

تكامل خط f بالنسبة إلى y هو:

مع x & # 39 (t) = dx (t) / dt ، و y & # 39 (t) = dy (t) / dt

لاحظ أن الفرق الوحيد بين هذين الخطين وبين الخط المتكامل فيما يتعلق بطول القوس هو التفاضل. هذه لها dx أو dy بينما الخط المتكامل بالنسبة لطول القوس له ds.

لذا عند تقييم تكاملات الخط ، كن حريصًا على ملاحظة التفاضل الذي حصلت عليه أولاً حتى لا تستخدم النوع الخاطئ من التكامل الخطي.

غالبًا ما يظهر هذان التكاملان معًا في الشكل:

مثال 1

دع & # 39s نقيم ∫ج x 2 y dx + cos (y / 2) dy حيث C هي القطعة المستقيمة من (0،1) إلى (2،4).

معلمات المنحنى هي:

س (ر) = 0 (1 - ر) + ر (2) = 2 ت
ص (ر) = 1 (1 - ر) + ر (4) = 3 ت + 1

ج x 2 y dx + cos (y / 2) dy =
0 1 4 طن 2 (3 طن + 1) (2 دي تي) + كوس ((3 طن + 1) π / 2) (3 دي تي) =
8 ∫0 1 (3t 3 + t 2) dt + 30 1 cos ((3t + 1) π / 2) dt =
8 ((3/4) ر 4 + (1/3) ر 3) |0 1 + 3 (2 / 3π) الخطيئة ((3t + 1) π / 2) |0 1 =
8 ((3/4) + (1/3)) + (2 / π) [sin ((3 + 1) π / 2) - sin ((1) π / 2)] =
26/3 + (2 / π) [0-1] =
26/3 - 2 /.

ج x 2 y dx + cos (y / 2) dy = 26/3 - 2 / π

مثال 2

نعلم أن تغيير اتجاه المنحنى لخط متكامل فيما يتعلق بطول القوس لا يغير قيمة التكامل. لنرى ما يحدث مع التكاملات الخطية بالنسبة إلى x و / أو y. دع & # 39s نقيم ∫ج x 2 y dx + cos (y / 2) dy حيث C هي القطعة المستقيمة من (2،4) إلى (0،1).

معلمات المنحنى هي:

x (t) = 2 (1 - t) + t (0) = 2 - 2t
y (t) = 4 (1 - t) + t (1) = 4 - 3t

ج x 2 y dx + cos (y / 2) dy =
0 1 (2 - 2 طن) 2 (4 - 3 طن) (- 2 ديت) + كوس ((4 - 3 طن) π / 2) (- 3 دي تي) =
8 ∫0 1 (t - 1) 2 (3t - 4) dt - 3 cos ((3t - 4) π / 2) dt =
8 ((3/4) t 4 - (10/3) t 3 - (11/2) t 2 - 4t] |0 1) dt - 3 (2 / 3π) الخطيئة ((3t - 4) π / 2) |0 1 =
8 ((3/4) t 4 - (10/3) t 3) - (11/2) t 2 - 4t] |0 1 dt - 3 (2 / 3π) sin ((3t - 4) π / 2) |0 1 =
8 (- 13/12) - (2 / π) [- 1 - 0] =
- 26/3 + 2 /

ج x 2 y dx + cos (y / 2) dy = - 26/3 + 2 / π

لذا ، فإن تبديل اتجاه المنحنى يؤدي إلى الإشارة المعاكسة للقيمة من المثال الأول 1. في الواقع ، سيحدث هذا دائمًا مع هذه الأنواع من تكاملات الخط:

مع الشكل المركب لهذين التكاملين ، لدينا:

P (x، y) dx + Q (x، y) dy = -ج P (x، y) dx + Q (x، y) dy

2. تكاملات الخط على منحنيات ثلاثية الأبعاد

يمكننا تمديد معادلات تكامل الخط إلى منحنيات ثلاثية الأبعاد

تكامل خط f بالنسبة إلى x هو:

تكامل خط f بالنسبة إلى y هو:

تكامل خط f بالنسبة إلى z هو:

x & # 39 (t) = dx (t) / dt ، y & # 39 (t) = dy (t) / dt ، و z & # 39 (t) = dz (t) / dt
أ ≤ ر ≤ ب

كما هو الحال مع الفضاء ثنائي الأبعاد ، غالبًا ما تحدث هذه الثلاثة معًا ولها الشكل:


أعلى مراجعة من الهند

كانت هناك مشكلة في تصفية الاستعراضات الآن. الرجاء معاودة المحاولة في وقت لاحق.

أعلى التقييمات من البلدان الأخرى

يتبع هذا النص بروتوكول حساب التفاضل والتكامل المتقدم النموذجي لتقديم نظريات حساب التفاضل والتكامل المتجه في لغة الأشكال التفاضلية ، دون الحاجة إلى المبالغة في النظرية المتشعبة ، أو الهندسة التفاضلية التقليدية ، أو تدوين الموتر القائم على الفيزياء أو أي شيء آخر يتطلب كومة من المتطلبات المسبقة بعد المبادئ التوجيهية المعتادة للجبر والنضج الخطي.

على الرغم من عدم امتلاكه لشمولية مجلدات Callahan أو Bressoud البارع حول هذا الموضوع ، فإن هذا الكتاب المدرسي يخدم جيدًا تلك البرامج التي لا تحتاج إلى مستوى متسلسل رفيع من العمق لهذه الموضوعات والتي ليست في أعلى نسبة مئوية من المستوى الأعلى من الجامعات التي يمكنها التعامل مع Steenrod أو Sternberg. ومع ذلك ، لا يزال هذا المجلد الأقصر والمكتوب جيدًا يملأ دور التفاضل والتكامل الحديث المتقدم بمقدمة ألطف للمساحات المماسية والأشكال وكل شيء آخر "من المجموعات إلى Stokes".

إنه بمستوى أعلى من "حساب التفاضل والتكامل الثاني" في Flanigan / Kazdan ، ولكنه لا يزال مناسبًا لدورة Calculus III على مستوى مرتبة الشرف أو كنص حلوى Tagalong يتم تقديمه على طول هيكل المقدمة النموذجية / مادة التحليل التي تمت مواجهتها في "مقدمة إلى البراهين "ظهرت الدورات التدريبية في الوقت الحاضر. أحب قراءة هذا جنبًا إلى جنب مع "نظرية الكذب السذاجة" لـ Stillwell من أجل النغمة المريحة ومشاكل جودة النوم ، ولكن هذا النص هو الأنسب لدورة على مستوى البكالوريوس ويجب استكماله إذا تم استخدامه كدليل تمهيدي لنظرية متعددة للباحث المستقل (ومع ذلك ، فأنا لست محرجًا على الإطلاق من الاعتراف بأن هذا لا يزال موجودًا على رف البحث الرئيسي في دراستي!).

باختصار ، يجب التعامل مع هذا النص الرائع من قبل المدرسين الذين يبحثون عن نص حساب التفاضل والتكامل الثالث مع مرتبة الشرف أو مقدمة ذات عيار منخفض لفصل دراسي واحد للنماذج والتشعبات (على الرغم من أنه يجب استكماله بنظرية ساذجة الكذبة من ستيلويل أو نص تاب المشابه إذا تم استخدامه لهذا الغرض ).


شاهد الفيديو: برهان نظرية ستوكس (شهر نوفمبر 2021).