مقالات

6.6: وظائف معكوسة


أ انحراف هي دالة على حد سواء واحد لواحد وعلى. بطبيعة الحال ، إذا كانت الوظيفة هي انحياز ، فإننا نقول إنها كذلك متحيز. دعونا ننقح هذه الفكرة في تعريف أكثر واقعية.

التعريف: دالة عكسية

لنفترض أن (f: {A} to {B} ) دالة ثنائية. انها وظيفة عكسية هي الوظيفة ({f ^ {- 1}}: {B} to {A} ) بالخاصية التي [f ^ {- 1} (b) = a Leftrightarrow b = f (a). ] يتم نطق الترميز (f ^ {- 1} ) بالشكل " (f ) معكوس." راجع الشكل ( PageIndex {1} ) للحصول على عرض تصويري للدالة العكسية.

لماذا (f ^ {- 1}: B to A ) دالة محددة جيدًا؟ لكي يتم تعريفه جيدًا ، يجب أن يكون لكل عنصر (ب في ب ) صورة فريدة. هذا يعني أنه بالنظر إلى أي عنصر (ب في ب ) ، يجب أن نكون قادرين على العثور على عنصر واحد فقط (أ في أ ) بحيث (و (أ) = ب ). مثل هذا (a ) موجود ، لأن (f ) قيد التشغيل ، ولا يوجد سوى عنصر واحد (a ) لأن (f ) هو واحد لواحد. لذلك ، فإن (f ^ {- 1} ) دالة محددة جيدًا.

إذا تم تحديد دالة (f ) بواسطة قاعدة حسابية ، فإن قيمة الإدخال (x ) وقيمة الإخراج (y ) مرتبطة بالمعادلة (y = f (x) ). في دالة عكسية ، يتم تبديل دور المدخلات والمخرجات. لذلك يمكننا إيجاد الدالة العكسية (f ^ {- 1} ) باتباع الخطوات التالية:

  1. بدّل دور (x ) و (y ) في المعادلة (y = f (x) ). أي اكتب (x = f (y) ).
  2. حل من أجل (ص ). وهذا يعني التعبير عن (ص ) بدلالة (س ). التعبير الناتج هو (f ^ {- 1} (x) ).

تأكد من كتابة الإجابة النهائية بالصيغة (f ^ {- 1} (x) = ldots ، ). لا تنس تضمين المجال والمجال ، ووصفهما بشكل صحيح.

مثال ( PageIndex {1} label {invfcn-01} )

لإيجاد الدالة العكسية لـ (f: { mathbb {R}} to { mathbb {R}} ) المعرفة بواسطة (f (x) = 2x + 1 ) ، نبدأ بالمعادلة ( ص = 2 س + 1 ). بعد ذلك ، استبدل (x ) مع (y ) للحصول على المعادلة الجديدة [x = 2y + 1. nonumber ] حل من أجل (y ) ، نجد (y = frac {1} {2} ، (x-1) ). لذلك ، فإن الوظيفة العكسية هي [{f ^ {- 1}}: { mathbb {R}} to { mathbb {R}} ، qquad f ^ {- 1} (x) = frac {1 } {2} ، (س -1). nonumber ] من المهم وصف المجال والمجال البرمجي ، لأنهما قد لا يتطابقان مع الوظيفة الأصلية.

مثال ( PageIndex {2} label {eg: invfcn-02} )

الوظيفة (s: { big [- frac { pi} {2}، frac { pi} {2} big]} to {[- 1،1]} ) محددة بواسطة ( s (x) = sin x ) هو انحراف. وظيفتها العكسية هي

[s ^ {- 1}: [- 1،1] to { big [- frac { pi} {2}، frac { pi} {2} big]}، qquad s ^ {-1} (x) = arcsin x. لا يوجد رقم]

تتم كتابة الوظيفة ( arcsin x ) أيضًا كـ ( sin ^ {- 1} x ) ، والتي تتبع نفس الترميز الذي نستخدمه للوظائف العكسية.

تمرين عملي ( PageIndex {1} label {he: invfcn-01} )

يتم تعريف الدالة (f: {[- 3، infty)} to {[، 0، infty)} ) على أنها (f (x) = sqrt {x + 3} ). أظهر أنه انحراف ، وابحث عن وظيفته العكسية

تمرين عملي ( PageIndex {2} label {he: invfcn-02} )

ابحث عن الدالة العكسية لـ (g: { mathbb {R}} to {(0، infty)} ) المحددة بواسطة (g (x) = e ^ x ).

ملاحظة

توخي الحذر مع التدوين. افترض أن الدالة (f: { mathbb {Z}} to { mathbb {Z}} ) هي عارض. الترميز (f ^ {- 1} (3) ) يعني صورة 3 ضمن الدالة العكسية (f ^ {- 1} ). إذا كان (f ^ {- 1} (3) = 5 ) ، فإننا نعلم أن (f (5) = 3 ). الترميز (f ^ {- 1} ( {3 }) ) يعني الصورة المسبقة للمجموعة ( {3 } ). في هذه الحالة ، نجد (f ^ {- 1} ( {3 }) = {5 } ). النتائج هي نفسها في الأساس إذا كانت الوظيفة حيوية.

إذا كانت الدالة (g: { mathbb {Z}} to { mathbb {Z}} ) هي واحد إلى واحد ، فلن يكون لها دالة عكسية. هذا يجعل التدوين (g ^ {- 1} (3) ) بلا معنى. ومع ذلك ، فإن (g ^ {- 1} ( {3 }) ) محدد جيدًا ، لأنه يعني الصورة الأولية لـ ( {3 } ). إذا كان (g ^ {- 1} ( {3 }) = {1،2،5 } ) ، فإننا نعلم (g (1) = g (2) = g (5) = 3 ).

بشكل عام ، يعني (f ^ {- 1} (D) ) الصورة الأولية للمجموعة الفرعية (D ) ضمن الوظيفة (f ). هنا ، يمكن أن تكون الوظيفة (f ) أي وظيفة. إذا كان (f ) عبارة عن انحراف ، فإن (f ^ {- 1} (D) ) يمكن أن يعني أيضًا صورة المجموعة الفرعية (D ) ضمن الدالة العكسية (f ^ {- 1} ). لا يوجد لبس هنا ، لأن النتائج هي نفسها.

مثال ( PageIndex {3} label {eg: invfcn-03} )

يتم تعريف الوظيفة (f: { mathbb {R}} to { mathbb {R}} ) على أنها [f (x) = cases {3x & if $ x leq 1 $، cr 2x +1 & if $ x> 1 $. cr} nonumber ] أوجد الدالة العكسية.

حل

نظرًا لأن (f ) دالة متعددة التعريف ، نتوقع أن تكون وظيفتها العكسية معرفة متعددة التعريف أيضًا. أولاً ، نحتاج إلى إيجاد نطاقي قيم الإدخال في (f ^ {- 1} ). صور (x leq1 ) هي (y leq3 ) ، وصور (x> 1 ) هي (y> 3 ). ومن ثم ، فإن المجال المشترك لـ (f ) ، الذي يصبح نطاق (f ^ {- 1} ) ، ينقسم إلى نصفين عند 3. يجب أن تبدو الدالة العكسية مثل [f ^ {- 1} ( x) = cases { mbox {؟؟؟} & if $ x leq 3 $، cr mbox {؟؟؟} & if $ x> 3 $. cr} nonumber ] بعد ذلك ، نحدد الصيغ في النطاقين. نجد

[f ^ {- 1} (x) = cases { textstyle frac {1} {3} ، x & if $ x leq 3 $، cr textstyle frac {1} {2} ( x-1) وإذا كان $ x> 3 $. cr} nonumber ] يتم ترك التفاصيل لك كتمرين.

تمرين عملي ( PageIndex {3} label {he: invfcn-03} )

ابحث عن الدالة العكسية لـ (g: { mathbb {R}} to { mathbb {R}} ) المحددة بواسطة [g (x) = cases {3x + 5 & if $ x leq 6 $ ، cr 5x-7 و إذا $ x> 6 $. cr} nonumber ] تأكد من وصف (g ^ {- 1} ) بشكل صحيح.

مثال ( PageIndex {4} label {eg: mod10fcn} )

يتم تعريف الوظيفة (g: { mathbb {Z} _ {10}} to { mathbb {Z} _ {10}} ) من خلال (g (x) equiv 7x + 2 ) (تعديل 10). أوجد وظيفتها العكسية.

حل

من (x = g (y) equiv7y + 2 ) (mod 10) ، نحصل على [y equiv 7 ^ {- 1} (x-2) equiv 3 (x-2) pmod {10 }. nonumber ] ومن ثم ، يتم تحديد الدالة العكسية (g ^ {- 1}: { mathbb {Z} _ {10}} to { mathbb {Z} _ {10}} ) بواسطة (g ^ {- 1} (x) equiv 3 (x-2) ) (mod 10).

تمرين عملي ( PageIndex {4} label {he: invfcn-04} )

الدالة (h: { mathbb {Z} _ {57}} to { mathbb {Z} _ {57}} ) محددة بواسطة (h (x) equiv 49x-3 ) (mod 57 ). أوجد وظيفتها العكسية.

مثال ( PageIndex {5} label {eg: invfcn-05} )

حدد (h: { mathbb {Z} _ {10}} إلى { mathbb {Z} _ {10}} ) وفقًا لـ (h (x) = 2 (x + 3) bmod10 ) . هل (h ^ {- 1} ) موجود؟

حل

نظرًا لعدم وجود (2 ^ {- 1} ) ، نشك في أن الإجابة هي لا. في الواقع ، (h (x) ) دائمًا زوجي ، ومن السهل التحقق من أن ( text {im} h = {0،2،4،6،8 } ). بما أن (h ) غير متصل ، فإن (h ^ {- 1} ) غير موجود.

مثال ( PageIndex {6} label {eg: invfcn-06} )

ابحث عن الدالة العكسية لـ (f: { mathbb {Z}} to { mathbb {N} cup {0 }} ) المحددة بواسطة [f (n) = cases {2n & if $ n geq0 $ ، cr -2n-1 & if $ n <0 $. cr} nonumber ]

حل

في دالة عكسية ، يتم تبديل المجال والمجال ، لذلك علينا أن نبدأ بـ (f ^ {- 1}: mathbb {N} cup {0 } to mathbb {Z} ) من قبل نصف الصيغة التي تحدد (f ^ {- 1} ). عند الكتابة (n = f (m) ) ، نجد [n = cases {2m & if $ m geq0 $ ، cr -2m-1 & if $ m <0 $. cr} nonumber ] نحن بحاجة للنظر في حالتين.

  1. إذا كان (n = 2m ) ، إذن (n ) زوجي ، و (m = frac {n} {2} ).
  2. إذا كان (n = -2m-1 ) ، إذن (n ) غريب ، و (m = - frac {n + 1} {2} ).

لذلك ، يتم تحديد الوظيفة العكسية بواسطة (f ^ {- 1}: mathbb {N} cup {0 } to mathbb {Z} ) من خلال:

[f ^ {- 1} (n) = cases { frac {2} {n} & if $ n $ زوجي ، cr - frac {n + 1} {2} & if $ n $ is الفردية. cr} nonumber ]

تحقق من ذلك ببعض الأمثلة الرقمية.

تمرين عملي ( PageIndex {5} label {he: invfcn-05} )

يتم تعريف الوظيفة (f: { mathbb {Z}} to { mathbb {N}} ) على أنها [f (n) = cases {-2n & if $ n <0 $، cr 2n +1 إذا $ n geq0 $. cr} nonumber ] أوجد معكوسه.

لنفترض أن (أ ) و (ب ) مجموعات محدودة. إذا كان هناك انحياز (f: {A} {B} ) ، فعندئذٍ تكون عناصر (A ) و (B ) في المراسلات الفردية عبر (f ). ومن ثم ، (| A | = | B | ). توفر هذه الفكرة الأساس لبعض البراهين المثيرة للاهتمام.

مثال ( PageIndex {7} label {eg: invfcn-07} )

لنكن (A = {a_1، a_2، ldots، a_n } ) مجموعة عناصر (n ). تذكر أن مجموعة الطاقة ( wp (A) ) تحتوي على جميع المجموعات الفرعية من (A ) و [ {0،1 } ^ n = {(b_1، b_2، ldots، b_n) mid b_i in {0،1 } mbox {لكل $ i $ ، حيث $ 1 leq i leq n $} }. nonumber ] حدد (F: { wp (A)} إلى { {0،1 } ^ n} ) وفقًا لـ (F (S) = (x_1، x_2، ldots، x_n) ) ، حيث [x_i = cases {1 & if $ a_i in S $، cr 0 & if $ a_i notin S $. cr} nonumber ] ببساطة ، (F (S) ) هو ترتيب (n ) - tuple يكون (i ) الإدخال إما 1 أو 0 ، مما يشير إلى ما إذا كان (S ) يحتوي العنصر (i ) من (A ) (1 لنعم ، و 0 لا).

من الواضح أن (F ) هو انحراف. بالنسبة إلى (n = 8 ) ، لدينا ، على سبيل المثال ، [F ( {a_2، a_5، a_8 }) = (0،1،0،0،1،0،0،1)، nonumber ] و [F ^ {- 1} big ((1،1،0،0،0،1،1،0) big) = {a_1، a_2، a_6، a_7 }. غير رقم ] تحدد الوظيفة (F ) تطابق واحد لواحد بين مجموعات فرعية من (A ) والمرتبة (n ) - مجموعات في ( {0،1 } ^ n ). نظرًا لوجود خيارين لكل إدخال في هذه (n ) مرتبة ، لدينا (2 ^ n ) مرتبة (n ) - مجموعات. هذا يثبت أن (| wp (A) | = 2 ^ n ) ، أي ، (A ) به (2 ^ n ) مجموعات فرعية.

تمرين عملي ( PageIndex {6} label {he: invfcn-06} )

ضع في اعتبارك الوظيفة (F ) المحددة في المثال 6.6.7. افترض (n = 8 ). ابحث عن (F ( emptyset) ) و (F ^ {- 1} big ((1،0،1،1،1،0،0،0) big) ).

ملخص ومراجعة

  • الانحراف هو وظيفة واحد لواحد وعلى حد سواء.
  • معكوس الانحراف (f: {A} {B} ) هو الوظيفة ({f ^ {- 1}}: {B} to {A} ) بالخاصية التي [f (x ) = y Leftrightarrow x = f ^ {- 1} (y). لا يوجد رقم]
  • باختصار ، تعكس الدالة العكسية قاعدة التخصيص (f ). يبدأ بالعنصر (y ) في المجال المشترك لـ (f ) ، ويستعيد العنصر (x ) في مجال (f ) بحيث (f (x) = y ) .

تمرين ( PageIndex {1} label {ex: invfcn-01} )

أي من الوظائف التالية هي bijections؟ يشرح!

  1. (f: { mathbb {R}} to { mathbb {R}} )، (f (x) = x ^ 3-2x ^ 2 + 1 ).
  2. (g: {[، 2، infty)} to { mathbb {R}} )، (g (x) = x ^ 3-2x ^ 2 + 1 ).
  3. (h: { mathbb {R}} to { mathbb {R}} )، (h (x) = e ^ {1-2x} ).
  4. (p: { mathbb {R}} to { mathbb {R}} )، (p (x) = | 1-3x | ).
  5. (q: {[، 2، infty)} إلى {[، 0، infty)} )، (q (x) = sqrt {x-2} ).

تمرين ( PageIndex {2} label {ex: invfcn-02} )

بالنسبة لتلك الوظائف التي ليست تحيزات في المشكلة الأخيرة ، هل يمكننا تعديل مجالاتها المشتركة لتغييرها إلى تحيزات؟

تمرين ( PageIndex {3} label {ex: invfcn-03} )

لنفترض أن (f ) و (g ) هما الدالتان من ((1،3) ) إلى ((4،7) ) المحددة بواسطة [f (x) = frac {3} { 2} ، x + frac {5} {2}، qquad mbox {and} qquad g (x) = - frac {3} {2} ، x + frac {17} {2}. nonumber ] أوجد دوالهما العكسية. تأكد من وصف المجالات والمجالات المشتركة الخاصة بهم.

تمرين ( PageIndex {4} label {ex: invfcn-04} )

ابحث عن الدالة العكسية (f: { mathbb {R}} to { mathbb {R}} ) المحددة بواسطة [f (x) = cases {3x + 5 & if $ x leq 6 $، cr 5x-7 & إذا $ x> 6 $. cr} nonumber ]

تأكد من وصف (f ^ {- 1} ) بشكل صحيح وصحيح.

تمرين ( PageIndex {5} label {ex: invfcn-05} )

يتم تعريف الوظيفة (g: {[، 1،3 ،]} to {[، 4، ، 7]} ) وفقًا لـ [g (x) = Cases {x + 3 & إذا كان $ 1 leq x <2 $ ، cr 11-2x & if $ 2 leq x leq 3 $. cr} nonumber ] أوجد الدالة العكسية. تأكد من وصفها بشكل صحيح وصحيح.

تمرين ( PageIndex {6} label {ex: invfcn-06} )

أوجد معكوس الدالة (r: {(0، infty)} to { mathbb {R}} ) المعرفة بواسطة (r (x) = 4 + 3 ln x ).

تمرين ( PageIndex {7} label {ex: invfcn-07} )

أوجد معكوس الدالة (s: { mathbb {R}} to {(- infty، -3)} ) المحددة بواسطة (s (x) = 4-7e ^ {2x} ).

تمرين ( PageIndex {8} label {ex: invfcn-08} )

أوجد معكوس كل من الاحتمالات التالية.

  1. (h: { {1،2،3،4،5 }} to { {a، b، c، d، e }} )، (h (1) = e )، (ح (2) = ج ) ، (ح (3) = ب ) ، (ح (4) = أ ) ، (ح (5) = د ).
  2. (k: { {1،2،3،4،5 }} to { {1،2،3،4،5 }} )، (k (1) = 3 ) ، (ك (2) = 1 ) ، (ك (3) = 5 ) ، (ك (4) = 4 ) ، (ك (5) = 2 ).

تمرين ( PageIndex {9} label {ex: invfcn-09} )

أوجد معكوس كل من الاحتمالات التالية.

  1. (u: { mathbb {Q}} to { mathbb {Q}} )، (u (x) = 3x-2 ).
  2. (v: { mathbb {Q} - {1 }} to { mathbb {Q} - {2 }} )، (v (x) = frac {2x} {x- 1} ).
  3. (w: { mathbb {Z}} إلى { mathbb {Z}} ) ، (w (n) = n + 3 ).

تمرين ( PageIndex {10} label {ex: invfcn-10} )

أوجد معكوس كل من الاحتمالات التالية.

  1. (r: { mathbb {Z} _ {12}} to { mathbb {Z} _ {12}} ) ، (r (n) equiv 7n ) (mod 12).
  2. (s: { mathbb {Z} _ {33}} to { mathbb {Z} _ {33}} ) ، (s (n) equiv 7n + 5 ) (mod 33).
  3. (t: { mathbb {Z}} to { mathbb {N} cup {0 }} )، (t (n) = cases {2n-1 & if $ n> 0 $ ، cr -2n & if $ n leq0 $ ، cr} )

تمرين ( PageIndex {11} label {ex: invfcn-11} )

صور الطرح ({ alpha}: { {1،2،3،4،5،6،7،8 }} to { {a، b، c، d، e، f، g، h }} ) أدناه. [ start {array} {| c || * {8} {c |}} hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 hline alpha (x) & g & a & d & h & b & e & f & c hline end {array} nonumber ] ابحث عن وظيفتها العكسية.

تمرين ( PageIndex {12} label {ex: invfcn-12} )

يوجد أدناه مصفوفة حدوث الانحراف ({ beta}: { {a، b، c، d، e، f }} to { {x، y، z، u، v، w } } ). [ start {array} [t] {cc} & begin {array} {cccccc} u & v & w & x & y & z end {array} begin {array} {c} a b c d e f end {array} & left ( start {array} {cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 end {array} right) end {array} nonumber ] أوجد وظيفتها العكسية.


استعلامات الوظائف

تمكّنك الاستعلامات الوظيفية من إنشاء درجة صلة باستخدام القيمة الفعلية لواحد أو أكثر من الحقول الرقمية.

يتم دعم الاستعلامات الوظيفية من قبل محللي DisMax و Extended DisMax والاستعلام القياسي.

استخدام الاستعلامات الوظيفية المهام. يمكن أن تكون الدالات ثابتًا (رقميًا أو سلسلة حرفية) ، أو حقلًا ، أو دالة أخرى ، أو وسيطة استبدال معلمة. يمكنك استخدام هذه الوظائف لتعديل ترتيب النتائج للمستخدمين. يمكن استخدام هذه لتغيير ترتيب النتائج بناءً على موقع المستخدم & # 8217s ، أو بعض الحسابات الأخرى.


وظائف معكوسة

استخدم هذه البطاقات التعليمية للمساعدة في حفظ المعلومات. انظر إلى البطاقة الكبيرة وحاول أن تتذكر ما يوجد على الجانب الآخر. ثم انقر فوق البطاقة لقلبها. إذا كنت تعرف الإجابة ، فانقر فوق مربع المعرفة الأخضر. خلاف ذلك ، انقر فوق المربع الأحمر لا أعرف.

عند وضع سبع بطاقات أو أكثر في المربع "لا أعرف" ، انقر فوق "إعادة المحاولة" لتجربة هذه البطاقات مرة أخرى.

إذا وضعت البطاقة عن طريق الخطأ في الصندوق الخطأ ، فما عليك سوى النقر فوق البطاقة لإخراجها من الصندوق.

يمكنك أيضًا استخدام لوحة المفاتيح لتحريك البطاقات على النحو التالي:

  • مفتاح المسافة - اقلب البطاقة الحالية
  • السهم الأيسر - انقل البطاقة إلى كومة لا أعرف
  • السهم الأيمن - تحريك البطاقة لمعرفة الكومة
  • BACKSPACE - التراجع عن الإجراء السابق

إذا قمت بتسجيل الدخول إلى حسابك ، فسوف يتذكر موقع الويب هذا البطاقات التي تعرفها ولا تعرفها حتى تكون في نفس المربع في المرة التالية التي تقوم فيها بتسجيل الدخول.

عندما تحتاج إلى استراحة ، جرب أحد الأنشطة الأخرى المدرجة أسفل البطاقات التعليمية مثل Matching أو Snowman أو Hungry Bug. على الرغم من أنك قد تشعر وكأنك تلعب لعبة ، إلا أن دماغك لا يزال يقوم بمزيد من الاتصالات بالمعلومات لمساعدتك.


ما هو معكوس الدالة الكمية في سلسلة الباندا؟

كان لدي نفس السؤال كما فعلت! لقد وجدت طريقة سهلة للحصول على معكوس الكم باستخدام scipy.

يمكن أن يكون الفرز مكلفًا ، إذا كنت تبحث عن قيمة واحدة أعتقد أنك ستكون أفضل في حسابها باستخدام:

من المحتمل أن تكون هناك طريقة لتجنب شنيجان int (bool).

ليس هناك خط واحد أعرفه ، لكن يمكنك تحقيق ذلك باستخدام scipy:

يمكننا الآن ملاحظة أن الوظيفتين مقلوبتان لبعضهما البعض.

يمكن أن يأخذ interp أيضًا قائمة ، أو مصفوفة numpy ، أو سلسلة بيانات pandas ، أي مكرر حقًا!

من الناحية الحسابية ، أنت تحاول العثور على CDF أو إرجاع احتمال أن تكون s أصغر من أو تساوي قيمة أو كمية q:

يمكن للمرء استخدام numpy وتجربة هذا الرمز المكون من سطر واحد:

جئت للتو عبر نفس المشكلة. هنا سنتي.

الحل 1 (عندما لا يتم فرز s):

عد عدد السجلات في s أقل من x - O (n)

الحل 2 (عندما يتم فرز s): - O (تسجيل (ن))

يمكنك استخدام وظيفة ECDF من statsmodels. يرمز ECDF إلى دالة التوزيع التجريبية ، & quot ؛ تجريبية & quot ؛ للإشارة إلى حقيقة أن الوظيفة التي تنشئها تستند إلى ما يتم ملاحظته في بياناتك.


6.6: وظائف معكوسة

قرر ما إذا كان يتم تعريف الوظيفة المحددة على أنها 1-1.

باستخدام تعريف 1-1 وظيفة لدينا

لذلك، F هو 1-1.

قرر ما إذا كان يتم تعريف الوظيفة المحددة على أنها 1-1.

منذ قيمتين من x تسفر عن نفس القيمة ذ، ومن بعد F ليس 1-1.

مع الأخذ في الاعتبار أن العملية العكسية "تبطل" ما تفعله العملية ،
صف معكوس النشاط المحدد.

العملية العكسية للبراغي في المصباح الكهربائي هي فك المصباح الكهربائي.

حدد ما إذا كانت الدوال المعينة معكوسة.

x و (خ)   x ز (س)
3 – 4 – 4 3
2 – 6 – 6 2
5 8 8 5
1 9 9 1
4 3 3 4

لكل نقطة (س ، ص) في F، هناك نقطة (ص ، س) في ز.
لذلك، F و ز هي انعكاسات لبعضها البعض.

حدد ما إذا كانت الدوال المعينة معكوسة.

حيث ( 3, 5 ) و ( 4, 5 ) هي نقاط في F,
لكن ( 5, 3 ) و ( 5, 4 ) ليست نقاط في ز,
ومن بعد F و ز ليست انعكاسات لبعضها البعض.

استخدم تعريف المنعكسات لتحديد ما إذا كان F و ز هي انعكاسات.

(f & omicron g) (x) = 2 [(1 & frasl2 ) x & # 150 2] + 4 = x & # 150 4 + 4 = x

(g & omicron f) (x) = (1 & frasl2 ) [2 x + 4] & # 150 2 = x + 2 & # 150 2 = x

حيث (f & omicron g) (x) = (g & omicron f) (x) = x,
ومن بعد F و ز هي انعكاسات لبعضها البعض.

استخدم تعريف المنعكسات لتحديد ما إذا كان F و ز هي انعكاسات.

(f & omicron g) (x) = & # 150 3 [(1 & frasl3 ) x & # 150 12] + 12 = & # 150 x + 36 + 12 = & # 150 x + 48

حيث (f & omicron g) (x) & ne x، ومن بعد F و ز ليست انعكاسات لبعضها البعض.

استخدم تعريف المنعكسات لتحديد ما إذا كان F و ز هي انعكاسات.

و (س) = & # 160 x + 1
–––––
x & # 150 2

ز (س) = & # 160 2 × + 1
–––––––
x & # 150 1

(f & omicron g) (x) = & # 160 2 × + 1
–––––––
x & # 150 1
+ 1  =  2 x + 1 + x & # 150 1
––––––––––––
x & # 150 1
–––––––––––––––
2 × + 1 & # 150 2 × + 2
––––––––––––––
x & # 150 1
 =  3 ×
––––
3
& # 160 = س
–––––––––––
2 × + 1
–––––––
x & # 150 1
– 2

(g & omicron f) (x) = & # 160 2 ( x + 1
–––––
x & # 150 2
) + 1  =  2 س + 2 + س & # 150 2
––––––––––––
x & # 150 2
–––––––––––––––
x + 1 & # 150 x + 2
––––––––––––––
x & # 150 2
 =  3 ×
––––
3
& # 160 = س
––––––––––––––
x + 1
–––––
x & # 150 2
– 1

حيث (f & omicron g) (x) = (g & omicron f) (x) = x,
ومن بعد F و ز هي انعكاسات لبعضها البعض.

استخدم تعريف المنعكسات لتحديد ما إذا كان F و ز هي انعكاسات.

(f & omicron g) (x) = [& radic & # 160x & # 150 3 & # 160] 2 + 3 = x & # 150 3 + 3 = x

حيث (f & omicron g) (x) = (g & omicron f) (x) = x,
ومن بعد F و ز هي انعكاسات لبعضها البعض.

إذا كانت الوظيفة المعطاة هي 1-1، أوجد المعكوس.

لأن كل قيمة ص يتوافق مع واحد فقط قيمة س,
ثم هذه الوظيفة 1-1 و
معكوسها .

إذا كانت الوظيفة المعطاة هي 1-1، أوجد المعكوس.

حيث ص = & # 150 3 يتوافق مع اثنين قيم-X,
هذه الوظيفة ليست كذلك 1-1.

لوظيفة معينة F,

تحديد ما إذا كان F هو 1-1.

إذا 1-1، ثم قم بما يلي:

    اكتب معادلة للدالة العكسية في صورة ص = و & # 1501 (س)

    تبادل x و ذ

س (ص & # 150 3) = ص + 1
س ص & # 150 3 س = ص + 1
س ص & # 150 ص = 3 س + 1
(س & # 150 1) ص = 3 س + 1

ص = 1 & # 160 خط مقارب أفقي.

لا يوجد خط مقارب مائل.

الرسم البياني لـ و (خ) لا يتقاطع مع خطه المقارب الأفقي.

ص = 3 & # 160 خط مقارب أفقي.

لا يوجد خط مقارب مائل.

3 س + 1 = 0
3 س = & # 150 1
س = & # 150 0.33

3 (x & # 150 1) = 3 x + 1
3 × & # 150 3 = 3 × + 1
0 & ني 4

الرسم البياني لـ f & # 1501 (x) لا يتقاطع مع خطه المقارب الأفقي.

مصدر مشاكل التمرين للمهمة: & # 160 College Algebra and Trigonometry بقلم ليال ، هورنسي ، شنايدر ، دانيلز ، الإصدار الخامس ، القسم 4.1 ، ص 393-397


6.6: وظائف معكوسة

1. صف لماذا يعتبر اختبار الخط الأفقي طريقة فعالة لتحديد ما إذا كانت الوظيفة واحدة لواحد؟

2. لماذا نقيد مجال الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) =^ <2> [/ لاتكس] للعثور على معكوس الوظيفة؟

3. هل يمكن للدالة أن تكون معكوسها الخاص؟ يشرح.

4. هل الدالات الفردية تتزايد دائمًا أم تتناقص دائمًا؟ لما و لما لا؟

5. كيف تجد معكوس الدالة جبريًا؟

6. أظهر أن الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = a-x [/ latex] هي مقلوبها الخاص لجميع الأعداد الحقيقية [اللاتكس] a [/ latex].

للتمارين التالية ، ابحث عن [اللاتكس]^ <-1> left (x right) [/ latex] لكل وظيفة.

بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن مجال تكون فيه كل وظيفة [لاتكس] و [/ لاتكس] واحدة لواحد وغير متناقصة. اكتب المجال في تدوين الفترة. ثم ابحث عن معكوس [latex] f [/ latex] المقيّد بهذا المجال.

16. معطى [اللاتكس] f left (x right) = frac<2> + x [/ latex] و [latex] g left (x right) = frac <2x> <1-x> [/ latex]

أ. ابحث عن [اللاتكس] f left (g left (x right) right) [/ latex] و [latex] g left (f left (x right) right) [/ latex]

ب. ماذا تخبرنا الإجابة عن العلاقة بين [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] و [latex] g left (x right)؟ [/ latex]

بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم تكوين الوظيفة للتحقق من أن [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] و [latex] g left (x right) [/ latex] هي وظائف عكسية.

17. [اللاتكس] f left (x right) = sqrt [3][/ لاتكس] و [لاتكس] ز يسار (س يمين) =^ <3> +1 [/ لاتكس]

18. [اللاتكس] f left (x right) = - 3x + 5 [/ latex] و [اللاتكس] g left (x right) = frac<-3> [/ لاتكس]

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم الأداة المساعدة للرسوم البيانية لتحديد ما إذا كانت كل وظيفة واحدة لواحد.

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان الرسم البياني يمثل دالة رأس برأس أم لا.

23.

24.

للتمارين التالية ، استخدم الرسم البياني لـ [اللاتكس] f [/ اللاتكس] الموضح أدناه.

25. ابحث عن [اللاتكس] f left (0 right) [/ latex].

26. حل [اللاتكس] f left (x right) = 0 [/ latex].

27. البحث عن [اللاتكس]^ <-1> يسار (0 يمين) [/ لاتكس].

28- حل [اللاتكس].^ <-1> يسار (x يمين) = 0 [/ لاتكس].

للتمارين التالية ، استخدم الرسم البياني لوظيفة واحد لواحد الموضح أدناه.

29. رسم رسم بياني [اللاتكس]^ <-1> [/ لاتكس].

30. ابحث عن [اللاتكس] و يسار (6 يمين) نص <و>^ <-1> يسار (2 يمين) [/ لاتكس].

31. إذا تم عرض الرسم البياني الكامل لـ [latex] f [/ latex] ، فابحث عن مجال [latex] f [/ latex].

32. إذا تم عرض الرسم البياني الكامل لـ [latex] f [/ latex] ، فابحث عن نطاق [latex] f [/ latex].

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بالتقييم أو الحل ، بافتراض أن الوظيفة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] هي وظيفة واحد لواحد.

33. إذا كانت [اللاتكس] f left (6 right) = 7 [/ latex] ، ابحث عن [latex]^ <-1> يسار (7 يمين) [/ لاتكس].

34. إذا كانت [اللاتكس] f left (3 right) = 2 [/ latex] ، ابحث عن [latex]^ <-1> يسار (2 يمين) [/ لاتكس].

35. إذا [لاتكس]^ <-1> left (-4 right) = - 8 [/ latex] ، ابحث عن [latex] f left (-8 right) [/ latex].

36. إذا [لاتكس]^ <-1> left (-2 right) = - 1 [/ latex] ، ابحث عن [latex] f left (-1 right) [/ latex].

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم القيم المدرجة في الجدول أدناه للتقييم أو الحل.

[لاتكس] x [/ لاتكس] [اللاتكس] f left (x right) [/ latex]
0 8
1 0
2 7
3 4
4 2
5 6
6 5
7 3
8 9
9 1

37. ابحث عن [اللاتكس] f left (1 right) [/ latex].

38. حل [اللاتكس] f left (x right) = 3 [/ latex].

39. البحث عن [اللاتكس]^ <-1> يسار (0 يمين) [/ لاتكس].

40. حل [اللاتكس]^ <-1> يسار (x يمين) = 7 [/ لاتكس].

41. استخدم التمثيل المجدول لـ [اللاتكس] f [/ اللاتكس] لإنشاء جدول لـ [اللاتكس]^ <-1> يسار (x يمين) [/ لاتكس].

[لاتكس] x [/ لاتكس] 3 6 9 13 14
[اللاتكس] f left (x right) [/ latex] 1 4 7 12 16

للتمارين التالية ، أوجد الدالة العكسية. ثم ارسم الدالة وعكسها بيانيًا.

44. أوجد الدالة العكسية لـ [اللاتكس] f left (x right) = frac <1>[/ لاتكس]. استخدم أداة الرسوم البيانية للعثور على مجالها ونطاقها. اكتب المجال والمدى في تدوين الفترة.

45. للتحويل من [لاتكس] س [/ لاتكس] درجات مئوية إلى [لاتكس] ص [/ لاتكس] درجات فهرنهايت ، نستخدم الصيغة [اللاتكس] f left (x right) = frac <9> <5 > x + 32 [/ لاتكس]. أوجد الدالة العكسية ، إن وجدت ، واشرح معناها.

46. ​​محيط [اللاتكس] C [/ اللاتكس] للدائرة هو دالة لنصف قطرها المعطى بواسطة [اللاتكس] C left (r right) = 2 pi r [/ latex]. عبر عن نصف قطر الدائرة كدالة لمحيطها. استدعاء هذه الوظيفة [اللاتكس] r left (C right) [/ latex]. ابحث عن [اللاتكس] r left (36 pi right) [/ latex] وفسر معناها.

47. تتحرك السيارة بسرعة ثابتة تبلغ 50 ميلاً في الساعة. المسافة التي تقطعها السيارة بالأميال هي دالة للوقت ، [اللاتكس] t [/ اللاتكس] ، بالساعات المحددة بواسطة [اللاتكس] د اليسار (t اليمين) = 50 طن [/ لاتكس]. أوجد الدالة العكسية عن طريق التعبير عن وقت السفر بدلالة المسافة المقطوعة. استدعاء هذه الوظيفة [لاتكس] t يسار (د يمين) [/ لاتكس]. ابحث عن [اللاتكس] t left (180 right) [/ latex] وفسر معناها.


عكس الوظيفة

أدرك أن هذا التبديل بين x و y هو كم عدد الكتب (الأكثر؟) التي تقدم هذه العملية ،
لكنها في الحقيقة ليست ضرورية ويمكن أن تؤدي إلى بعض الارتباك من جانب الطلاب. السبب الوحيد للقيام بهذا التبديل بين المتغيرات هو أنه يمكن كتابة كل من الدالة الأصلية ومعكوسها كـ y = f (x) و y = f -1 (x). بمعنى آخر ، مع y كمتغير تابع و x كمتغير مستقل.

هذه الراحة تعترض طريقك ، IMO ، في الكثير مما تفعله مع الانعكاسات في وقت لاحق. بالنسبة للدالة التي لها معكوس ، فإن أهم علاقة بين الوظيفتين هي:
[itex] y = f (x) Leftrightarrow x = f ^ <-1> (y) [/ itex]

يشير هذا إلى أنه إذا أعطتك إحدى الوظائف قيمة y المرتبطة بقيمة إدخال x ، فإن الأخرى ، المعكوسة ، تمنحك قيمة x إذا كنت تعرف قيمة y. نظرًا لعدم وجود تبديل بين المتغيرات ، فإن الرسم البياني لكلتا الوظيفتين هو نفسه تمامًا - لا يوجد انعكاس عبر الخط y = x.

أ جدا المثال الشائع الاستخدام هو:
[itex] y = e ^ x Leftrightarrow x = ln (y) [/ itex]


ما معكوس دالة تكعيبية؟

اكتشف كل ما تحتاج لمعرفته حول هذا الموضوع هنا. بهذه الطريقة ، هل للدالة التكعيبية معكوس؟

بشكل عام ، لا يوجد معكوس ، إذا لم يكن واحدًا لواحد وظيفة. ، لأن هذا فقط المهام قابلة للعكس. ؟ ولكن إذا أ مكعب الوظيفة هي بالشكل التالي / يمكن تحويلها إلى الشكل التالي ، وهي قابلة للعكس: (i) f (x) = (ax + b) & sup3 + c ، a & ne0 ، b ، c & isin | R ، بمجالها الطبيعي ، x & isin | R أو مجال مخفض.

تعرف أيضًا ، هل هناك صيغة تكعيبية؟ أ معادلة تكعيبية هو معادلة والتي يمكن تمثيلها في ال شكل ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 ax3 + bx2 + cx + d = 0 ، حيث أ ، ب ، ج ، دا ، ب ، ج ، دا ، b ، c ، d هي أعداد مركبة ، و a ليست صفرية. بواسطة ال النظرية الأساسية في الجبر ، معادلة تكعيبية دائمًا ما يكون له 3 جذور ، قد يكون بعضها متساويًا.

يجب معرفة ما هو عكس الجذر التكعيبي؟

ال عكس من التربيع والتكعيب تسمى مربع جذر و الجذر التكعيبي. هناك المزيد من القواعد التي يمكننا استخدامها مع المؤشرات.


حساب التفاضل CLP-1

هناك شيء أخير علينا مراجعته قبل أن ندخل في المادة الرئيسية للدورة وهو الدوال العكسية. كما رأينا أعلاه ، فإن الوظائف هي في الحقيقة مجرد قواعد لأخذ إدخال (رقم دائمًا تقريبًا) ، ومعالجته بطريقة ما (عادةً بواسطة صيغة) ثم إرجاع ناتج (مرة أخرى ، دائمًا رقم).

في كثير من الحالات ، سيكون مفيدًا للغاية إذا تمكنا من التراجع عن كل ما قامت به وظيفتنا. بمعنى آخر

عندما تكون موجودة ، يتم العثور على الوظيفة "التي تتراجع" عن الوظيفة (f (x) ) من خلال حل (y = f (x) ) من أجل (x ) كدالة لـ (y ) و تسمى الوظيفة العكسية لـ (f text <.> ) واتضح أنه ليس من الممكن دائمًا حل (y = f (x) ) لـ (x ) كدالة لـ (y text <.> ) حتى عندما يكون ذلك ممكنًا ، قد يكون من الصعب حقًا القيام بذلك 1 في الواقع ، يستغل الكثير من التشفير حقيقة أنه يمكنك العثور على وظائف سريعة جدًا ، ولكن من الصعب جدًا التراجع عنها. على سبيل المثال - من السريع جدًا ضرب عددين أوليين كبيرين معًا ، ولكن من الصعب جدًا أخذ هذه النتيجة وإعادتها إلى الأعداد الأولية الأصلية. يجب على القارئ المهتم أن يبحث عن وظائف الباب المسحور. .

على سبيل المثال - موضع الجسيم ، (s text <،> ) في الوقت (t ) مُعطى بالصيغة (s (t) = 7t ) (المرسوم أدناه). عند إعطاء آلة حاسبة وأي رقم معين (t text <،> ) يمكنك بسرعة تحديد المواضع المقابلة (s text <.> ) ومع ذلك ، إذا طُلب منك السؤال "متى يصل الجسيم (s = 4 text <؟> ) "ثم للإجابة عليه نحتاج إلى أن نكون قادرين على" التراجع " (s (t) = 4 ) لعزل (t text <.> ) في هذا الحالة ، نظرًا لأن (s (t) ) يتزايد دائمًا ، يمكننا دائمًا التراجع عن (s (t) ) للحصول على إجابة فريدة:

ومع ذلك ، فإن هذا السؤال ليس دائمًا بهذه السهولة. ضع في اعتبارك رسم (y = sin (x) ) أدناه عندما يكون (y = half text <؟> ) أي القيم (x ) هي ( sin (x) = half text <؟> ) لإعادة صياغته مرة أخرى ، عند أي قيم (x ) يقوم المنحنى (y = sin x ) (الذي تم رسمه في النصف الأيمن من الشكل 0.6.1) عبور الخط الأفقي المستقيم (y = frac <1> <2> ) (والذي تم رسمه أيضًا في نفس الشكل)؟

يمكننا أن نرى أنه سيكون هناك عدد لا حصر له من (x ) - القيم التي تعطي (y = sin (x) = half text <> ) لا توجد إجابة فريدة.

تذكر (من التعريف 0.4.1) أنه لأي إدخال معين ، يجب أن تعطي الوظيفة مخرجات فريدة. لذلك إذا أردنا العثور على وظيفة هذا يلغي (s (t) text <،> ) ثم تكون الأشياء جيدة - لأن كل (s ) - قيمة تتوافق مع (t ) - قيمة فريدة. من ناحية أخرى ، فإن الموقف مع (y = sin x ) يمثل مشكلة - أي قيمة معطاة (y ) - يتم تعيينها بواسطة العديد من قيم (x ) - المختلفة. لذلك عندما نبحث عن ملف فريدة من نوعها الإجابة على السؤال "متى ( الخطيئة س = نصف نص <؟> )" لا يمكننا الإجابة عليه.

يمكن جعل هذا الشرط "الفريد" أكثر دقة:

التعريف 0.6.2

الدالة (f ) هي واحد لواحد (حقنة) عندما لا تأخذ نفس قيمة (ص ) أكثر من مرة. هذا هو

هناك طريقة سهلة لاختبار ذلك عندما يكون لديك قطعة أرض للوظيفة - اختبار الخط الأفقي.

التعريف 0.6.3 اختبار الخط الأفقي

تكون الوظيفة واحدة لواحد إذا وفقط إذا لم يتقاطع خط أفقي (y = c ) مع الرسم البياني (y = f (x) ) أكثر من مرة.

أي أن كل خط أفقي يتقاطع مع الرسم البياني إما صفر أو مرة واحدة. أبدا مرتين أو أكثر. يخبرنا هذا الاختبار أن (y = x ^ 3 ) هو واحد لواحد ، لكن (y = x ^ 2 ) ليس كذلك. ومع ذلك ، لاحظ أنه إذا قصرنا مجال (y = x ^ 2 ) على (x geq 0 ) ، فسيتم اجتياز اختبار الخط الأفقي. هذا هو أحد الأسباب التي تجعلنا حريصين على مراعاة مجال الوظيفة.

عندما تكون الوظيفة واحد لواحد ، يكون لها وظيفة عكسية.

التعريف 0.6.4

لنفترض أن (f ) دالة فردية مع المجال (A ) والنطاق (B text <.> ) ثم يتم الإشارة إلى وظيفتها العكسية (f ^ <-1> ) و له المجال (B ) والمدى (A text <.> ) يتم تعريفه بواسطة

لذلك إذا (f ) خرائط (x ) إلى (y text <،> ) ثم (f ^ <-1> ) خرائط (y ) إلى (x text <. > ) هذا هو (f ^ <-1> ) "التراجع" (f text <.> ) بسبب هذا لدينا

يجب أن نكون حريصين على عدم الخلط بين (f ^ <-1> (x) ) و ( ds frac <1> text <.> ) " (- 1 )" ليس أسًا.

مثال 0.6.5 معكوس (x ^ 5 + 3 )

دع (f (x) = x ^ 5 + 3 ) في المجال ( mathbb text <.> ) لإيجاد معكوسه نقوم بما يلي

  • اكتب (y = f (x) text <> ) وهذا هو (y = x ^ 5 + 3 text <.> )
  • حل من أجل (x ) بدلالة (y ) (هذا ليس بالأمر السهل دائمًا) - (x ^ 5 = y-3 text <،> ) لذا (x = (y-3) ^ <1/5> نص <.> )
  • الحل هو (f ^ <-1> (y) = (y-3) ^ <1/5> text <.> )
  • تذكر أن “ (y )” في (f ^ <-1> (y) ) متغير وهمي. بمعنى ، (f ^ <-1> (y) = (y-3) ^ <1/5> ) يعني أنه إذا قمت بإدخال الرقم (y ) في الوظيفة (f ^ <- 1 > ) ينتج الرقم ((y-3) ^ <1/5> text <.> ) يمكنك استدعاء متغير الإدخال بأي شيء تريده. لذلك إذا كنت ترغب في استدعاء متغير الإدخال " (x )" بدلاً من " (y )" ، فما عليك سوى استبدال كل (y ) في (f ^ <-1> (y) ) بعلامة (س نص <.> )
  • هذا هو (f ^ <-1> (x) = (x-3) ^ <1/5> text <.> )
مثال 0.6.6 معكوس ( sqrt)

دع (g (x) = sqrt) في المجال (x geq 1 text <.> ) يمكننا إيجاد المعكوس بنفس الطريقة:

دعنا ننتقل الآن إلى إيجاد معكوس ( sin (x) ) - الأمر أكثر تعقيدًا وعلينا التفكير مليًا في المجالات.

مثال 0.6.7 معكوس ( sin (x) )

لقد رأينا (في الشكل 0.6.1) أن ( sin (x) ) يأخذ كل قيمة (y ) بين (- 1 ) و (+ 1 ) لعدد لا نهائي من القيم المختلفة لـ (x ) (انظر الرسم البياني الأيسر في الشكل أدناه). وبالتالي فإن ( sin (x) text <،> ) بالمجال (- infty lt x lt infty ) ليس له دالة عكسية.

لكن لاحظ أن (x ) يمتد من (- frac < pi> <2> ) إلى (+ frac < pi> <2> text <،> ) ( sin ( x) ) يزيد من (- 1 ) إلى (+ 1 نص <.> ) (انظر الرسم البياني الأوسط في الشكل أعلاه.) على وجه الخصوص ، ( sin (x) ) يأخذ كل قيمة (- 1 le y le 1 ) لواحد بالضبط (- frac < pi> <2> le x le frac < pi> <2> text <.> ) لذا إذا نحن نقيد ( sin x ) أن يكون المجال (- frac < pi> <2> le x le frac < pi> <2> text <،> ) لديه معكوس وظيفة ، والتي تسمى تقليديا القوسين (انظر الملحق أ 9).

هذا هو ، حسب التعريف ، لكل (- 1 le y le 1 text <،> ) ( arcsin (y) ) الفريد (- frac < pi> <2> le x le frac < pi> <2> ) طاعة ( sin (x) = y text <.> ) بشكل مكافئ ، تبادل المتغيرات الوهمية x و y خلال الجملة الأخيرة يعطي ذلك لكل (-1le xle 1 ext<,>) (arcsin(x)) is the unique (-frac<2>le yle frac<2>) obeying (sin(y)=x ext<.>)

It is an easy matter to construct the graph of an inverse function from the graph of the original function. We just need to remember that

which is (y=f(x)) with (x) renamed to (Y) and (y) renamed to (X ext<.>)

Start by drawing the graph of (f ext<,>) labelling the (x)– and (y)–axes and labelling the curve (y=f(x) ext<.>)

Now replace each (x) by (Y) and each (y) by (X) and replace the resulting label (X=f(Y)) on the curve by the equivalent (Y=f^<-1>(X) ext<.>)

Finally we just need to redraw the sketch with the (Y) axis running vertically (with (Y) increasing upwards) and the (X) axis running horizontally (with (X) increasing to the right). To do so, pretend that the sketch is on a transparency or on a very thin piece of paper that you can see through. Lift the sketch up and flip it over so that the (Y) axis runs vertically and the (X) axis runs horizontally. If you want, you can also convert the upper case (X) into a lower case (x) and the upper case (Y) into a lower case (y ext<.>)

Another way to say “flip the sketch over so as to exchange the (x)– and (y)–axes” is “reflect in the line (y=x)”. In the figure below the blue “horizontal” elliptical disk that is centred on ((a,b)) has been reflected in the line (y=x) to give the red “vertical” elliptical disk centred on ((b,a) ext<.>)

Example 0.6.8 Sketching inverse of (y=x^2)

As an example, let (f(x) = x^2) with domain (0le x lt infty ext<.>)

  • When (x=0 ext<,>) (f(x)=0^2=0 ext<.>)
  • As (x) increases, (x^2) gets bigger and bigger.
  • When (x) is very large and positive, (x^2) is also very large and positive. (For example, think (x=100 ext<.>))

The graph of (y=f(x)=x^2) is the blue curve below. By definition, (Y=f^<-1>(X)) if (X=f(Y)=Y^2 ext<.>) That is, if (Y=sqrt ext<.>) (Remember that, to be in the domain of (f ext<,>) we must have (Yge 0 ext<.>)) So the inverse function of “square” is “square root”. The graph of (f^<-1>) is the red curve below. The red curve is the reflection of the blue curve in the line (y=x ext<.>)


More Questions with Solutions

Use the table below to find the following if possible:
1) g -1 (0) , b) g -1 (-10) , c) g -1 (- 5) , d) g -1 (-7) , e) g -1 (3)

حل
a) According to the the definition of the inverse function:
a = g -1 (0) إذا وفقط إذا g(a) = 0
مما يعنى أ is the value of x مثل g(x) = 0.
Using the table above for x = 11, g(x) = 0. Hence a = 11 and therefore g -1 (0) = 11
b) a = g - 1 (- 5) إذا وفقط إذا g(a) = - 5
The value of x for which g(x) = - 5 is equal to 0 and therefore g -1 ( - 5) = 0
c) a = g -1 (-10) إذا وفقط إذا g(a) = - 10
There is no value of x for which g(x) = -10 وبالتالي g -1 (-10) is undefined.
d) a = g -1 (- 7) if and only if g(a) = - 7
There no value of x for which g(x) = - 7 وبالتالي g -1 (- 7) is undefined.
e) a = g -1 (3) إذا وفقط إذا g(a) = 3
The value of x for which g(x) = 3 is equal to - 2 and therefore g -1 (3) = - 2


شاهد الفيديو: How To Find The Inverse of a Function (شهر نوفمبر 2021).