مقالات

2.6: التمايز الضمني


في الأقسام السابقة تعلمنا إيجاد المشتق ، ( frac {dy} {dx} ) ، أو (y ^ prime ) ، عندما يتم إعطاء (y ) صراحة كدالة في (س ). بمعنى ، إذا علمنا (y = f (x) ) لبعض الوظائف (f ) ، فيمكننا إيجاد (y ^ prime ). على سبيل المثال ، بالنظر إلى (y = 3x ^ 2-7 ) ، يمكننا بسهولة العثور على (y ^ prime = 6x ). (نذكر هنا صراحة كيفية ارتباط (x ) و (y ). بمعرفة (x ) ، يمكننا العثور مباشرة على (y ).)

في بعض الأحيان تكون العلاقة بين (ص ) و (س ) غير صريحة ؛ بل هو كذلك ضمني. على سبيل المثال ، قد نعرف أن (x ^ 2-y = 4 ). تحدد هذه المساواة العلاقة بين (س ) و (ص ) ؛ إذا علمنا (س ) ، يمكننا معرفة (ص ). هل مازلنا نجد (y ^ prime )؟ في هذه الحالة ، بالتأكيد ؛ قمنا بالحل من أجل (y ) للحصول على (y = x ^ 2-4 ) (ومن هنا نعرف الآن (y ) صراحة) ثم نفرق للحصول على (y ^ prime = 2x ).

في بعض الأحيان ضمني العلاقة بين (س ) و (ص ) معقدة. لنفترض أننا حصلنا على ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ). يوجد رسم بياني لهذه الوظيفة الضمنية في الشكل 2.19. في هذه الحالة ، لا توجد طريقة على الإطلاق لحل (y ) من حيث الوظائف الأولية. لكن الشيء المدهش هو أنه لا يزال بإمكاننا العثور على (y ^ prime ) عبر عملية تعرف باسم الاشتقاق الضمني.

التمايز الضمني هو أسلوب يعتمد على قاعدة السلسلة التي تستخدم لإيجاد مشتق عندما يتم إعطاء العلاقة بين المتغيرات ضمنيًا وليس صريحًا (يتم حلها لمتغير واحد من حيث الآخر).

نبدأ بمراجعة قاعدة السلسلة. لنفترض أن (f ) و (g ) هما من وظائف (x ). ثم [ frac {d} {dx} Big (f (g (x)) Big) = f ^ prime (g (x)) cdot g '(x). ] افترض الآن أن ( ص = ز (س) ). يمكننا إعادة كتابة ما ورد أعلاه كـ [ frac {d} {dx} Big (f (y)) Big) = f ^ prime (y)) cdot y ^ prime، quad text {or} quad frac {d} {dx} Big (f (y)) Big) = f ^ prime (y) cdot frac {dy} {dx}. label {2.1} tag {2.1} ] تبدو هذه المعادلات غريبة. المفهوم الأساسي الذي يجب تعلمه هنا هو أنه يمكننا العثور على (y ^ prime ) حتى لو كنا لا نعرف بالضبط كيف يرتبط (y ) و (x ).

نوضح هذه العملية في المثال التالي.

مثال 67: استخدام التفاضل الضمني

أوجد (y ^ prime ) بالنظر إلى أن ( sin (y) + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ).

حل

نبدأ بأخذ مشتق من كلا الجانبين (وبالتالي الحفاظ على المساواة). لدينا:

[ frac {d} {dx} Big ( sin (y) + y ^ 3 Big) = frac {d} {dx} Big (6-x ^ 3 Big). ]

الجانب الأيمن سهل. تقوم بإرجاع (- 3x ^ 2 ).

يتطلب الجانب الأيسر مزيدًا من الاهتمام. نأخذ المصطلح المشتق على حدة. باستخدام التقنية المشتقة من المعادلة 2.1 أعلاه ، يمكننا أن نرى أن [ frac {d} {dx} Big ( sin y Big) = cos y cdot y ^ prime. ]

نطبق نفس العملية على المصطلح (y ^ 3 ).

[ frac {d} {dx} Big (y ^ 3 Big) = frac {d} {dx} Big ((y) ^ 3 Big) = 3 (y) ^ 2 cdot y ^ رئيس. ]

وضع هذا مع الجانب الأيمن ، لدينا

[ cos (y) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime = -3x ^ 2. ]

حل الآن من أجل (y ^ prime ).

[ start {align *} cos (y) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime & = -3x ^ 2. big ( cos y + 3y ^ 2 big) y ^ prime & = -3x ^ 2 y ^ prime & = frac {-3x ^ 2} { cos y + 3y ^ 2} end {align *} ]

ربما تبدو هذه المعادلة لـ (y ^ prime ) غير عادية لأنها تحتوي على كلا المصطلحين (x ) و (y ). كيف يتم استخدامها؟ سنتناول ذلك بعد ذلك.

عادة ما يكون التعامل مع الوظائف الضمنية أصعب من التعامل مع الوظائف الصريحة. مع وظيفة صريحة ، بالنظر إلى قيمة (x ) ، لدينا صيغة صريحة لحساب القيمة المقابلة (y ). مع وظيفة ضمنية ، غالبًا ما يتعين على المرء العثور على قيم (x ) و (y ) في نفس الوقت التي تفي بالمعادلة. من الأسهل بكثير إثبات أن نقطة معينة تفي بالمعادلة بدلاً من إيجاد مثل هذه النقطة بالفعل.

على سبيل المثال ، يمكننا أن نؤكد بسهولة أن النقطة (( sqrt [3] {6}، 0) ) تقع على الرسم البياني للدالة الضمنية ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ). بالتعويض (0 ) من أجل (ص ) ، نرى الجانب الأيسر هو (0 ). ضبط (x = sqrt [3] 6 ) ، نرى الجانب الأيمن أيضًا (0 ) ؛ تم استيفاء المعادلة. المثال التالي يجد معادلة خط المماس لهذه الوظيفة في هذه المرحلة.

مثال 68: استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد خط المماس

أوجد معادلة المماس لمنحنى الدالة المعرفة ضمنيًا ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ) عند النقطة (( sqrt [3] 6،0) ).

حل

في المثال 67 وجدنا أن [y ^ prime = frac {-3x ^ 2} { cos y + 3y ^ 2}. ] وجدنا ميل خط الظل عند النقطة (( sqrt [ 3] 6،0) ) بالتعويض عن ( sqrt [3] 6 ) عن (x ) و (0 ) عن (y ). وهكذا عند النقطة (( sqrt [3] 6،0) ) ، لدينا الميل مثل [y ^ prime = frac {-3 ( sqrt [3] {6}) ^ 2} { cos 0 + 3 cdot0 ^ 2} = frac {-3 sqrt [3] {36}} {1} almost -9.91. ]

لذلك فإن معادلة خط المماس للدالة المعرفة ضمنيًا ( sin y + y ^ 3 = 6-x ^ 3 ) عند النقطة (( sqrt [3] {6}، 0) ) هي [y = -3 sqrt [3] {36} (x- sqrt [3] {6}) + 0 almost -9.91x + 18. ] يظهر المنحنى وهذا الخط المماس في الشكل 2.20.

هذا يشير إلى طريقة عامة للتفاضل الضمني. بالنسبة للخطوات أدناه ، افترض أن (y ) دالة لـ (x ).

  1. خذ مشتق كل حد في المعادلة. تعامل مع المصطلحات (x ) كالمعتاد. عند أخذ مشتقات المصطلحات (y ) ، تنطبق القواعد المعتادة باستثناء أنه بسبب قاعدة السلسلة ، نحتاج إلى ضرب كل حد في (y ^ prime ).
  2. احصل على جميع حدود (y ^ prime ) على جانب واحد من علامة المساواة وضع الحدود المتبقية على الجانب الآخر.
  3. أخرج العامل (y ^ prime ) ؛ حل من أجل (y ^ prime ) بالقسمة.

ملاحظة عملية: عند العمل باليد ، قد يكون من المفيد استخدام الرمز ( frac {dy} {dx} ) بدلاً من (y ^ prime ) ، حيث يمكن الخلط بسهولة بين الرمز (y ) أو (ص ^ 1 ).

مثال 69: استخدام التفاضل الضمني

بالنظر إلى الوظيفة المعرفة ضمنيًا (y ^ 3 + x ^ 2y ^ 4 = 1 + 2x ) ، ابحث عن (y ^ prime ).

حل

سنأخذ المشتقات الضمنية بمصطلح. مشتق (y ^ 3 ) هو (3y ^ 2y ^ prime ).

المصطلح الثاني (x ^ 2y ^ 4 ) صعب بعض الشيء. يتطلب قاعدة المنتج لأنها نتاج وظيفتين من (x ): (x ^ 2 ) و (y ^ 4 ). مشتقها هو (x ^ 2 (4y ^ 3y ^ prime) + 2xy ^ 4 ). يتطلب الجزء الأول من هذا التعبير a (y ^ prime ) لأننا نأخذ مشتقًا من الحد (y ). الجزء الثاني لا يتطلب ذلك لأننا نأخذ مشتق (x ^ 2 ).

يمكن العثور بسهولة على مشتق الجانب الأيمن ليكون (2 ). بشكل عام ، نحصل على:

[3y ^ 2y ^ prime + 4x ^ 2y ^ 3y ^ prime + 2xy ^ 4 = 2. ]

حرك المصطلحات بحيث يتكون الجانب الأيسر فقط من (y ^ prime ) ويتكون الجانب الأيمن من جميع المصطلحات الأخرى:

[3y ^ 2y ^ prime + 4x ^ 2y ^ 3y ^ prime = 2-2xy ^ 4. ]

أخرج العامل (y ^ prime ) من الطرف الأيسر وحل لتحصل على

[y ^ prime = frac {2-2xy ^ 4} {3y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 3}. ]

لتأكيد صحة عملنا ، دعنا نوجد معادلة خط المماس لهذه الدالة عند نقطة ما. من السهل التأكد من أن النقطة ((0،1) ) تقع في الرسم البياني لهذه الوظيفة. في هذه المرحلة ، (y ^ prime = 2/3 ). إذن ، معادلة خط الظل هي (y = 2/3 (x-0) +1 ). يتم رسم الدالة وخط المماس الخاص بها في الشكل 2.21.

لاحظ كيف تبدو وظيفتنا مختلفة كثيرًا عن الوظائف الأخرى التي رأيناها. أولاً ، فشل في اختبار الخط العمودي. هذه الوظائف مهمة في العديد من مجالات الرياضيات ، لذا فإن تطوير أدوات للتعامل معها مهم أيضًا.

مثال 70: استخدام التفاضل الضمني

بالنظر إلى الوظيفة المعرفة ضمنيًا ( sin (x ^ 2y ^ 2) + y ^ 3 = x + y ) ، ابحث عن (y ^ prime ).

حل

عند التفريق بين المصطلح والمصطلح ، نجد الصعوبة الأكبر في المصطلح الأول. يتطلب كلاً من قواعد السلسلة والمنتج.

[ begin {align *} frac {d} {dx} Big ( sin (x ^ 2y ^ 2) Big) & = cos (x ^ 2y ^ 2) cdot frac {d} { dx} Big (x ^ 2y ^ 2 Big) & = cos (x ^ 2y ^ 2) cdot big (x ^ 2 (2yy ^ prime) + 2xy ^ 2 big) & = 2 (x ^ 2yy ^ prime + xy ^ 2) cos (x ^ 2y ^ 2). النهاية {محاذاة *} ]

نترك مشتقات المصطلحات الأخرى للقارئ. بعد أخذ مشتقات كلا الطرفين ، لدينا

[2 (x ^ 2yy ^ prime + xy ^ 2) cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2y ^ prime = 1 + y ^ prime. ]

علينا الآن توخي الحذر لحل مسألة (y ^ prime ) بشكل صحيح ، خاصةً بسبب حاصل الضرب على اليسار. من الأفضل مضاعفة الناتج. عند القيام بذلك ، نحصل عليه

[2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) y ^ prime + 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2y ^ prime = 1 + y ^ prime. ]

من هنا يمكننا التنقل بأمان حول الشروط للحصول على ما يلي:

[2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) y ^ prime + 3y ^ 2y ^ prime - y ^ prime = 1 - 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2). ]

ثم يمكننا إيجاد قيمة (y ^ prime ) للحصول عليها

[y ^ prime = frac {1 - 2xy ^ 2 cos (x ^ 2y ^ 2)} {2x ^ 2y cos (x ^ 2y ^ 2) + 3y ^ 2-1}. ]

يوجد رسم بياني لهذه الوظيفة الضمنية في الشكل 2.22. من السهل التحقق من أن النقاط ((0،0) ) ، ((0،1) ) و ((0 ، -1) ) كلها تقع على الرسم البياني. يمكننا إيجاد ميل خطي المماس عند كل نقطة من هذه النقاط باستخدام صيغة (y ^ prime ).

عند ((0،0) ) ، يكون الميل هو (- 1 ).

عند ((0،1) ) ، يكون الميل هو (1/2 ).

عند ((0، -1) ) ، يكون الميل أيضًا (1/2 ).

تمت إضافة خطوط الظل إلى الرسم البياني للوظيفة في الشكل 2.23.

عدد قليل جدًا من المنحنيات "الشهيرة" لها معادلات معطاة ضمنيًا ، ويمكننا استخدام التفاضل الضمني لإيجاد المنحدر عند نقاط مختلفة في تلك المنحنيات ، ونبحث في اثنين من هذه المنحنيات في الأمثلة التالية.

مثال 71: إيجاد ميل لخطوط مماس لدائرة

أوجد ميل خط المماس للدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) عند النقطة ((1/2، sqrt {3} / 2) ).

حل

بأخذ المشتقات ، نحصل على (2x + 2yy ^ prime = 0 ). يعطي حل (y ^ prime ): [y ^ prime = frac {-x} {y}. ]

هذه صيغة ذكية. تذكر أن ميل الخط عبر الأصل والنقطة ((x، y) ) على الدائرة سيكون (y / x ). لقد وجدنا أن ميل خط المماس للدائرة عند تلك النقطة هو المقابل المقابل للمقلوب (y / x ) ، أي (- x / y ). ومن ثم يكون هذان الخطان دائمًا متعامدين.

عند النقطة ((1/2، sqrt {3} / 2) ) ، لدينا ميل خط الظل

[y ^ prime = frac {-1/2} { sqrt {3} / 2} = frac {-1} { sqrt {3}} almost -0.577. ]

يوضح الشكل 2.24 رسمًا بيانيًا للدائرة وخطها المماس عند ((1/2، sqrt {3} / 2) ) ، جنبًا إلى جنب مع خط متقطع رفيع من الأصل الذي يكون متعامدًا على خط المماس. (اتضح أن جميع الخطوط العادية للدائرة تمر عبر مركز الدائرة.)

يوضح هذا القسم كيفية العثور على مشتقات وظائف محددة ضمنيًا ، والتي تشتمل رسومها البيانية على مجموعة متنوعة من الأشكال المثيرة للاهتمام وغير العادية. يمكن أيضًا استخدام التفاضل الضمني لتعزيز فهمنا للتمايز "العادي".

أحد الثغرات في فهمنا الحالي للمشتقات هو: ما مشتق دالة الجذر التربيعي؟ أي [ frac {d} {dx} big ( sqrt {x} big) = frac {d} {dx} big (x ^ {1/2} big) = text { ؟} ]

نلمح إلى حل ممكن ، حيث يمكننا كتابة دالة الجذر التربيعي كدالة أس لها قوة عقلانية (أو كسرية). نميل بعد ذلك إلى تطبيق قاعدة الطاقة والحصول على [ frac {d} {dx} big (x ^ {1/2} big) = frac12x ^ {- 1/2} = frac {1} {2 sqrt {x}}. ]

تكمن المشكلة في ذلك في أن قاعدة الطاقة تم تعريفها في البداية فقط لقوى الأعداد الصحيحة الموجبة ، (n> 0 ). على الرغم من أننا لم نبرر ذلك في ذلك الوقت ، فقد تم إثبات قاعدة القوة بشكل عام باستخدام شيء يسمى نظرية ذات الحدين ، والتي تتعامل فقط مع الأعداد الصحيحة الموجبة. سمحت لنا قاعدة الحصص بتوسيع قاعدة القوة إلى قوى الأعداد الصحيحة السالبة. يسمح لنا التفاضل الضمني بتوسيع قاعدة القوة لتشمل القوى المنطقية ، كما هو موضح أدناه.

لنفترض (y = x ^ {m / n} ) ، حيث (m ) و (n ) عبارة عن أعداد صحيحة بدون عوامل مشتركة (لذلك (m = 2 ) و (n = 5 ) لا بأس ، لكن (م = 2 ) و (ن = 4 ) ليس كذلك). يمكننا إعادة كتابة هذه الوظيفة الصريحة ضمنيًا كـ (y ^ n = x ^ m ). الآن قم بتطبيق التفاضل الضمني.

[ start {align *} y & = x ^ {m / n} y ^ n & = x ^ m frac {d} {dx} big (y ^ n big) & = frac {d} {dx} big (x ^ m big) n cdot y ^ {n-1} cdot y ^ prime & = m cdot x ^ {m-1} y ^ prime & = frac {m} {n} frac {x ^ {m-1}} {y ^ {n-1}} quad text {(استبدل الآن (x ^ {m / n} ) ) لـ (y ))} & = frac {m} {n} frac {x ^ {m-1}} {(x ^ {m / n}) ^ {n-1}} رباعي نص {(تطبيق الكثير من الجبر)} & = frac {m} nx ^ {(mn) / n} & = frac {m} nx ^ {m / n -1}. end {محاذاة *} ]

الاشتقاق أعلاه هو مفتاح البرهان على توسيع قاعدة القوة إلى القوى المنطقية. باستخدام الحدود ، يمكننا توسيع هذا مرة أخرى ليشمل الكل القوى ، بما في ذلك القوى غير العقلانية (حتى المتجاوزة!) ، مع إعطاء النظرية التالية.

نظرية 21: قاعدة القوة للتفاضل

لنفترض (f (x) = x ^ n ) ، حيث (n neq 0 ) هو رقم حقيقي. ثم (f ) دالة تفاضلية ، و (f ^ prime (x) = n cdot x ^ {n-1} ).

تسمح لنا هذه النظرية بقول مشتق (x ^ pi ) هو ( pi x ^ { pi -1} ).

نطبق الآن هذا الإصدار الأخير من قاعدة القوة في المثال التالي ، التحقيق الثاني لمنحنى "مشهور".

مثال 72: استخدام قاعدة القوة

أوجد ميل (x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = 8 ) عند النقطة ((8،8) ).

حل

هذا منحنى مثير للاهتمام بشكل خاص يسمى أسترويد. إنه الشكل الذي تتبعه نقطة على حافة دائرة تدور داخل دائرة أكبر ، كما هو موضح في الشكل 2.25.

لإيجاد منحدر الأسترويد عند النقطة ((8،8) ) ، نأخذ المشتق ضمنيًا.

[ start {align *} frac23x ^ {- 1/3} + frac23y ^ {- 1/3} y ^ prime & = 0 frac23y ^ {- 1/3} y ^ prime & = - frac23x ^ {- 1/3} y ^ prime & = - frac {x ^ {- 1/3}} {y ^ {- 1/3}} y ^ prime & = - frac {y ^ {1/3}} {x ^ {1/3}} = - sqrt [3] { frac {y} x}. النهاية {محاذاة *} ]

بالتعويض (س = 8 ) و (ص = 8 ) ، نحصل على منحدر (- 1 ). يظهر الأسترويد ، مع خطه المماس عند ((8،8) ) ، في الشكل 2.26.

الاشتقاق الضمني والمشتق الثاني

يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقات ذات رتبة أعلى. من الناحية النظرية ، هذا بسيط: أولاً ، ابحث عن ( frac {dy} {dx} ) ، ثم خذ مشتقها بالنسبة إلى (x ). من الناحية العملية ، هذا ليس صعبًا ، لكنه غالبًا ما يتطلب القليل من الجبر. نوضح هذا في مثال.

مثال 73: إيجاد المشتق الثاني

بالنظر إلى (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ، ابحث عن ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = y ^ { prime prime} ).

حل

وجدنا أن (y ^ prime = frac {dy} {dx} = -x / y ) في المثال 71. لإيجاد (y ^ { prime prime} ) ، نطبق اشتقاق ضمني على (ذ ^ رئيس الوزراء ).

[ start {align *} y ^ { prime prime} & = frac {d} {dx} big (y ^ prime big) & = frac {d} {dx} left (- frac xy right) qquad text {(استخدم الآن قاعدة الحاصل.)} & = - frac {y (1) - x (y ^ prime)} {y ^ 2} end {محاذاة *} ]

استبدل (y ^ prime ) بـ (- x / y ):

[ begin {align *} & = - frac {yx (-x / y)} {y ^ 2} & = - frac {y + x ^ 2 / y} {y ^ 2}. نهاية {محاذاة *} ]

في حين أن هذا ليس تعبيرًا بسيطًا بشكل خاص ، إلا أنه قابل للاستخدام. يمكننا أن نرى ذلك (y ^ { prime prime}> 0 ) عندما (y <0 ) و (y ^ { prime prime} <0 ) عندما (y> 0 ). في القسم 3.4 ، سنرى كيف يرتبط هذا بشكل الرسم البياني.

التفاضل اللوغاريتمي

ضع في اعتبارك الوظيفة (y = x ^ x ) ؛ هو رسم بياني في الشكل 2.27. إنه محدد جيدًا لـ (x> 0 ) وقد نكون مهتمين بإيجاد معادلات للخطوط المماس والعادي للرسم البياني الخاص بها. كيف نأخذ مشتقها؟

الوظيفة ليست دالة طاقة: لها "قوة" تساوي (x ) ، وليست ثابتة. إنها ليست دالة أسية: لها "قاعدة" من (x ) ، وليست ثابتة .

تقنية التمايز المعروفة باسم التمايز اللوغاريتمي يصبح مفيدًا هنا. المبدأ الأساسي هو: خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي المعادلة (y = f (x) ) ، ثم استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد (y ^ prime ). نوضح هذا في المثال التالي.

مثال 74: استخدام التفاضل اللوغاريتمي

بالنظر إلى (y = x ^ x ) ، استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد (y ^ prime ).

حل

كما هو مقترح أعلاه ، نبدأ بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين ثم تطبيق الاشتقاق الضمني.

[ begin {align *} y & = x ^ x ln (y) & = ln (x ^ x) text {(تطبيق قاعدة اللوغاريتم)} ln (y) & = x ln x text {(استخدم الآن التمايز الضمني)} frac {d} {dx} Big ( ln (y) Big) & = frac {d} {dx} Big (x ln x كبير) frac {y ^ prime} {y} & = ln x + x cdot frac1x frac {y ^ prime} {y} & = ln x + 1 y ^ رئيس & = y كبير ( ln x + 1 كبير) نص {(بديل (y = x ^ x ))} y ^ prime & = x ^ x big ( ln x +1 كبير). النهاية {محاذاة *} ]

من أجل "اختبار" إجابتنا ، دعنا نستخدمها لإيجاد معادلة خط الظل عند (x = 1.5 ). النقطة على الرسم البياني التي يجب أن يمر بها خط الظل هي ((1.5، 1.5 ^ {1.5} ) تقريبًا (1.5، 1.837) ). باستخدام معادلة (y ^ prime ) ، نجد المنحدر كما يلي

[y ^ prime = 1.5 ^ {1.5} big ( ln 1.5 + 1 big) حوالي 1.837 (1.405) حوالي 2.582. ]

وبالتالي فإن معادلة خط الظل هي (y = 1.6833 (x-1.5) +1.837 ). الشكل 2.28 الرسوم البيانية (y = x ^ x ) جنبًا إلى جنب مع هذا الخط المماس.

يثبت التفاضل الضمني أنه مفيد لأنه يسمح لنا بالعثور على معدلات التغيير اللحظية لمجموعة متنوعة من الوظائف. على وجه الخصوص ، وسعت قاعدة القوة لتشمل الأسس المنطقية ، والتي قمنا بعد ذلك بتوسيعها لتشمل جميع الأعداد الحقيقية. في القسم التالي ، سيتم استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقات معكوس الدوال ، مثل (y = sin ^ {- 1} x ).


2.6: التمايز الضمني

كلية المجتمع برونكس

من جامعة مدينة نيويورك

قسم الرياضيات وعلوم الحاسب

SYLLABUS: MTH 31 - الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل 1 (4 ساعات معتمدة / 6 ساعات في الأسبوع)

المتطلبات الأساسية: MTH 30 أو ما يعادلها ، وإذا لزم الأمر ، ENG 2 و RDL 2

نص: حساب التفاضل والتكامل (الطبعة الثامنة) بواسطة جيمس ستيوارت ، Cengage Learning. ردمك 978-1285740621

يمكن للطلاب الذين لا يحتاجون إلى MTH 33 استخدامها

حساب متغير واحد (الطبعة الثامنة) بقلم جيمس ستيوارت ، Cengage Learning ISBN 978-1305266636

هذه الدورة هي أ دورة Pathways Core B (التفكير الرياضي والكمي):
يجب أن تلبي الدورة التدريبية في هذا المجال جميع مخرجات التعلم التالية. الطالب سوف:

أ) تفسير واستخلاص الاستنتاجات المناسبة من التمثيلات الكمية ، مثل الصيغ أو الرسوم البيانية أو الجداول.

ب) استخدام الطرق الجبرية أو العددية أو الرسومية أو الإحصائية لاستخلاص استنتاجات دقيقة وحل المسائل الرياضية.

ج) تمثيل المشكلات الكمية معبراً عنها بلغة طبيعية بصيغة رياضية مناسبة.

د) التواصل الفعال للتحليل الكمي أو الحلول للمشاكل الرياضية في شكل كتابي أو شفهي.

ه) تقييم الحلول للمشاكل من أجل المعقولية باستخدام مجموعة متنوعة من الوسائل ، بما في ذلك التقدير المستنير.

و) تطبيق الأساليب الرياضية على مشاكل في مجالات الدراسة الأخرى.

مخرجات تعلم الدورة (ساهمت نتائج تعلم Pathways في)

عند الانتهاء بنجاح من هذه الدورة ، سيتمكن الطالب من:

1. قم بتقييم الحدود عند قيمة ولانهاية باستخدام قوانين الحدود ونظرية الضغط (أ ، ب ، ج ، هـ)

2. التفريق بين الدوال الجبرية والمثلثية بما في ذلك عن طريق استخدام تعريف الحد المنتج ، والحاصل ، وقواعد السلسلة والتفاضل الضمني (أ ، ب)

3. استخدم التفاضل لحساب المعدلات اللحظية للتغيير وخطوط الظل (ج ، د ، هـ ، و)

4. حساب القيم القصوى والدنيا للدوال باستخدام حساب التفاضل والتكامل لحل مشاكل التحسين & # 8232 البارزة في التطبيقات ومجالات الدراسة الأخرى & # 8232 (ب ، ج ، د ، هـ ، و)

5. نمذجة وحل مشاكل المعدلات ذات الصلة (ب ، ج ، د ، و)

6. تطبيق طرق حساب التفاضل والتكامل على رسم المنحنى (أ ، ب ، هـ)

7. ضد التفاضل الدوال الجبرية والمثلثية (أ ، ب)

8. التكاملات التقريبية بمجموع ريمان (ب ، د ، هـ)

9. تقييم التكاملات الأولية ، بما في ذلك عن طريق استخدام التعويض والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (ب ، د ، هـ)

10. حساب التكاملات المحددة هندسيًا أو باستخدام حساب التفاضل والتكامل لتحديد المناطق المحاطة بالمنحنيات (أ ، ب ، ج ، د ، و)

القطاع الثامن عنوان تمارين مقترحة

الفصل 1: الوظائف والحدود

1.4 مشاكل الظل والسرعة 49/1 ، 3 ، 5 ، 7

1.5 حدود الوظيفة 59 / 1-5 ، 12-14 ، 17 ، 23-28

1.6 حساب الحدود باستخدام قوانين النهاية 70/1 ، 3-23 فردي

1.8 الاستمرارية 91/3 ، 7 ، 9 ، 15-21 فردي ، 25 ، 33 ، 37 ، 39 ، 41 ، 44 ، 45 ،

إعادة النظر 96 / 1-11 فردي و 17 و 23 و 27 و 29

2.1 المشتقات 113/1، 3، 7، 21-31 فردي، 39-47 فردي، 53، 57، 59

2.2 المشتق كدالة 125/1، 3، 4، 7، 19، 20، 21، 25-33 فردي، 39-51 فردي

2.3 صيغ التمايز 140 / 1-43 فردي ، 51 ، 53 ، 69 ، 77

2.4 مشتقات الدوال المثلثية 150 / 1-17 فردي ، 25 ، 29 ، 39-49 فردي

2.5 قاعدة السلسلة 158 / 1-45 فردي ، 47 ، 51 ، 55 ، 69 ، 71

2.6 التمايز الضمني 166 / 1-19 فردي ، 25 ، 27 ، 31 ، 35 ، 43 ، 45

2.7 معدلات التغيير في الطبيعي و 178 / 1-9 فردي ، 15 ، 18

2.8 الأسعار ذات الصلة 185/1 ، 3 ، 9 ، 10 ، 11 ، 13-33 فردي

2.9 التقريبات والتفاضلات الخطية 192/1 ، 3 ، 5 ، 7-25 فردية ، 31

إعادة النظر 196/ 3, 5, 11, 13-37, 45, 51, 59, 61, 75, 77, 79, 82

الفصل الثالث: تطبيقات التمايز

3.1 القيم القصوى والدنيا 211/3 ، 5 ، 15-27 فردية ، 29-55 فردية

3.2 نظرية القيمة المتوسطة 219/1 ، 11 ، 13 ، 17 ، 21

3.3 كيف تؤثر المشتقات في شكل الرسم البياني 227/1 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9-17 فردي ، 33-41 فردي

3.4 الحدود عند الخطوط المقاربة الأفقية اللانهائية 241/3 ، 9-29 فرديًا ، 37 ، 41

3.5 ملخص رسم المنحنى 250 / 1-35 فردي

3.7 مشاكل التحسين 256/3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 17 ، 21 ، 27 ، 31

3.8 طريقة نيوتن 276/5 ، 7 ، 13-19 فردي ، 29

3.9 المشتقات العكسية 282 / 1-41 الفردية ، 43 ، 45 ، 47

إعادة النظر 286 / 1-27 فردي ، 38 ، 41 ، 46 ، 49 ، 55 ، 57

4.1 المناطق والمسافات 303/1 ، 3 ، 5 ، 13 ، 15 ، 21 ، 25

4.2 المحدد المتكامل 316/3 ، 5 ، 9 ، 17 ، 21-25 فردي ، 31 ، 33 ، 37

4.3 النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل 327/3 ، 7-35 فردي ، 45 ، 51 ، 53

4.4 التكاملات غير المحددة ونظرية التغيير الصافي 336 / 1-11 فردي ، 19-41 فردي ، 55 ، 57


وفر الوقت مع المهام الجاهزة للاستخدام التي أنشأها خبراء في الموضوع خصيصًا لهذا الكتاب المدرسي. يمكنك تخصيص وجدولة أي من الواجبات التي تريد استخدامها.

تتوفر موارد تعليمية وتعليمية إضافية مع الكتاب المدرسي ، وقد تشمل بنوك الاختبار وعروض الشرائح التقديمية والمحاكاة عبر الإنترنت ومقاطع الفيديو والمستندات.

معاينة حزمة الدورة التدريبية

وفر الوقت مع المهام الجاهزة للاستخدام التي أنشأها خبراء في الموضوع خصيصًا لهذا الكتاب المدرسي. يمكنك تخصيص وجدولة أي من الواجبات التي تريد استخدامها.

معاينة حزمة الدورة التدريبية

وفر الوقت مع المهام الجاهزة للاستخدام التي أنشأها خبراء في الموضوع خصيصًا لهذا الكتاب المدرسي. يمكنك تخصيص وجدولة أي من الواجبات التي تريد استخدامها.

معاينة حزمة الدورة التدريبية

وفر الوقت مع المهام الجاهزة للاستخدام التي أنشأها خبراء في الموضوع خصيصًا لهذا الكتاب المدرسي. يمكنك تخصيص وجدولة أي من الواجبات التي تريد استخدامها.

معاينة حزمة الدورة التدريبية

وفر الوقت مع المهام الجاهزة للاستخدام التي أنشأها خبراء في الموضوع خصيصًا لهذا الكتاب المدرسي. يمكنك تخصيص وجدولة أي من الواجبات التي تريد استخدامها.

الوصول مشروط باستخدام هذا الكتاب المدرسي في الفصل الدراسي للمدرس.

  • الفصل DT: الاختبارات التشخيصية
    • DT.A: الجبر (46)
    • DT.B: الهندسة التحليلية (13)
    • DT.C: الوظائف (20)
    • DT.D: علم المثلثات (14)
    • QP.1: تعريف الوظائف وتمثيلاتها (13)
    • QP.2: التعامل مع تمثيلات الوظائف (14)
    • QP.3: ترميز الوظيفة (13)
    • QP.4: مجال ومدى الوظيفة (12)
    • QP.5: حل المعادلات الخطية (14)
    • QP.6: الوظائف الخطية (15)
    • QP.7: القطع المكافئ (13)
    • QP.8: تحليل المعادلات التربيعية وإيجادها x- مفاهيم دالة تربيعية (12)
    • QP.9: كثيرات الحدود (17)
    • QP.10: المزيد حول معاملات متعددة الحدود (12)
    • QP.11: إيجاد الجذور (14)
    • QP.12: قسمة كثيرات الحدود (14)
    • QP.13: الوظائف المنطقية (19)
    • QP.14: وظائف الجذر (15)
    • QP.15: تبرير البسط أو المقام (11)
    • QP.16: الوظائف الأسية (13)
    • QP.17: الوظائف اللوغاريتمية (15)
    • QP.18: الدوال المثلثية ودائرة الوحدة (15)
    • QP.19: رسوم بيانية للدوال المثلثية (15)
    • QP.20: المتطابقات المثلثية (18)
    • QP.21: الوظائف الخاصة (12)
    • QP.22: المجموعات الجبرية للوظائف (14)
    • QP.23: تكوين الوظائف (13)
    • QP.24: تحويلات الوظائف (12)
    • QP.25: وظائف معكوسة (17)
    • 1.1: أربع طرق لتمثيل وظيفة (113)
    • 1.2: النماذج الرياضية: فهرس الوظائف الأساسية (51)
    • 1.3: وظائف جديدة من الوظائف القديمة (108)
    • 1.4: مشاكل الظل والسرعة (26)
    • 1.5: حد الوظيفة (82)
    • 1.6: حساب الحدود باستخدام قوانين الحدود (99)
    • 1.7: التعريف الدقيق للحد (50)
    • 1.8: الاستمرارية (77)
    • 1: فحص المفهوم
    • 1: اختبار الصواب والخطأ (27)
    • 1: مراجعة التمارين
    • 1: مبادئ حل المشكلات (11)
    • 1: مشاكل إضافية
    • 1: أسئلة في الوقت المناسب
    • 2.1: المشتقات ومعدلات التغيير (104)
    • 2.2: المشتق كدالة (101)
    • 2.3: صيغ التمايز (177)
    • 2.4: مشتقات الدوال المثلثية (96)
    • 2.5: قاعدة السلسلة (126)
    • 2.6: التمايز الضمني (97)
    • 2.7: معدلات التغيير في العلوم الطبيعية والاجتماعية (62)
    • 2.8: معدلات ذات صلة (79)
    • 2.9: التقريبات والتفاضلات الخطية (69)
    • 2: فحص المفهوم
    • 2: اختبار الصواب والخطأ (15)
    • 2: تمارين المراجعة (1)
    • 2: مشاكل زائد (11)
    • 2: مشاكل اضافية
    • 2: أسئلة في الوقت المناسب
    • 3.1: القيم القصوى والدنيا (125)
    • 3.2: نظرية القيمة المتوسطة (53)
    • 3.3: ما الذي تخبرنا به المشتقات عن شكل الرسم البياني (110)
    • 3.4: الحدود عند الخطوط المقاربة الأفقية اللانهاية (85)
    • 3.5: ملخص رسم المنحنى (83)
    • 3.6: الرسوم البيانية باستخدام التفاضل والتكامل والتكنولوجيا (36)
    • 3.7: مشاكل التحسين (103)
    • 3.8: طريقة نيوتن (77)
    • 3.9: المشتقات العكسية (126)
    • 3: فحص المفهوم
    • 3: اختبار الصواب والخطأ (20)
    • 3: تمارين المراجعة
    • 3: مشاكل زائد (7)
    • 3: مشاكل إضافية
    • 3: أسئلة في الوقت المناسب
    • 4.1: مشاكل المنطقة والمسافة (55)
    • 4.2: التكامل المحدد (125)
    • 4.3: النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (136)
    • 4.4: التكاملات غير المحددة ونظرية التغيير الصافي (102)
    • 4.5: قاعدة الاستبدال (133)
    • 4: فحص المفهوم
    • 4: اختبار الصواب والخطأ (16)
    • 4: تمارين المراجعة
    • 4: مشاكل زائد (6)
    • 4: مشاكل إضافية
    • 4: أسئلة في الوقت المناسب
    • 5.1: المناطق بين المنحنيات (69)
    • 5.2: مجلدات (99)
    • 5.3: مجلدات بأصداف أسطوانية (64)
    • 5.4: العمل (45)
    • 5.5: متوسط ​​قيمة الوظيفة (36)
    • 5: فحص المفهوم
    • 5: اختبار صواب خطأ
    • 5: تمارين المراجعة
    • 5: مشاكل زائد (3)
    • 5: مشاكل اضافية
    • 5: أسئلة في الوقت المناسب
    • 6.1: وظائف عكسية (36)
    • 6.2: الدوال الأسية ومشتقاتها (81)
    • 6.2 *: الوظيفة اللوغاريتمية الطبيعية (41)
    • 6.3: الوظائف اللوغاريتمية (40)
    • 6.3 *: الوظيفة الأسية الطبيعية (62)
    • 6.4: مشتقات الدوال اللوغاريتمية (89)
    • 6.4 *: الوظائف اللوغاريتمية والأسية العامة (37)
    • 6.5: النمو الأسي والانحطاط (36)
    • 6.6: الدوال المثلثية المعكوسة (38)
    • 6.7: الوظائف الزائدية (57)
    • 6.8: النماذج غير المحددة وقاعدة المستشفى (96)
    • 6: فحص المفهوم
    • 6: اختبار الصواب والخطأ (7)
    • 6: تمارين المراجعة
    • 6: مشاكل زائد (1)
    • 6: مشاكل اضافية
    • 6: أسئلة في الوقت المناسب
    • 7.1: التكامل بالأجزاء (93)
    • 7.2: التكاملات المثلثية (89)
    • 7.3: التعويض المثلثي (57)
    • 7.4: تكامل الدوال المنطقية بواسطة الكسور الجزئية (84)
    • 7.5: استراتيجية التكامل (87)
    • 7.6: التكامل باستخدام الجداول والتكنولوجيا (62)
    • 7.7: تكامل تقريبي (67)
    • 7.8: تكاملات غير صحيحة (105)
    • 7: فحص المفهوم
    • 7: اختبار الصواب والخطأ (13)
    • 7: تمارين المراجعة
    • 7: مشاكل زائد (3)
    • 7: مشاكل اضافية (33)
    • 7: أسئلة في الوقت المناسب
    • 8.1: طول القوس (48)
    • 8.2: مساحة سطح الدوران (44)
    • 8.3: تطبيقات في الفيزياء والهندسة (53)
    • 8.4: تطبيقات في علم الاقتصاد وعلم الأحياء (29)
    • 8.5: الاحتمالية (33)
    • 8: فحص المفهوم
    • 8: اختبار الصواب والخطأ
    • 8: تمارين المراجعة
    • 8: مشاكل زائد (2)
    • 8: مشاكل اضافية (11)
    • 8: أسئلة في الوقت المناسب
    • 9.1: النمذجة باستخدام المعادلات التفاضلية (29)
    • 9.2: مجالات الاتجاه وطريقة أويلر (42)
    • 9.3: معادلات قابلة للفصل (60)
    • 9.4: نماذج النمو السكاني (35)
    • 9.5: المعادلات الخطية (50)
    • 9.6: أنظمة المفترس الفريسة (23)
    • 9: فحص المفهوم
    • 9: اختبار الصواب والخطأ (7)
    • 9: تمارين المراجعة
    • 9: مشاكل زائد (2)
    • 9: مشاكل إضافية (5)
    • 9: أسئلة في الوقت المناسب
    • 10.1: منحنيات محددة بواسطة المعادلات البارامترية (50)
    • 10.2: حساب التفاضل والتكامل مع منحنيات حدودية (71)
    • 10.3: الإحداثيات القطبية (75)
    • 10.4: حساب التفاضل والتكامل في الإحداثيات القطبية (60)
    • 10.5: المقاطع المخروطية (74)
    • 10.6: المقاطع المخروطية في الإحداثيات القطبية (34)
    • 10: فحص المفهوم
    • 10: اختبار الصواب والخطأ (10)
    • 10: تمارين المراجعة
    • 10: مشاكل زائد (1)
    • 10: مشاكل اضافية (33)
    • 10: أسئلة في الوقت المناسب
    • 11.1: المتتاليات (86)
    • 11.2: مسلسل (97)
    • 11.3: الاختبار المتكامل وتقديرات المجاميع (51)
    • 11.4: اختبارات المقارنة (53)
    • 11.5: المتسلسلة المتناوبة والتقارب المطلق (59)
    • 11.6: اختبارات النسبة والجذر (46)
    • 11.7: إستراتيجية سلسلة الاختبار (50)
    • 11.8: سلسلة الطاقة (56)
    • 11.9: تمثيلات الوظائف كسلسلة طاقة (46)
    • 11.10: سلسلة تايلور وماكلورين (79)
    • 11.11: تطبيقات Taylor Polynomials (45)
    • 11: فحص المفهوم
    • 11: اختبار الصواب والخطأ (20)
    • 11: تمارين المراجعة
    • 11: مشاكل زائد (2)
    • 11: مشاكل اضافية (15)
    • 11: أسئلة في الوقت المناسب
    • 12.1: أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد (51)
    • 12.2: نواقل (51)
    • 12.3: المنتج النقطي (66)
    • 12.4: المنتج المتقاطع (57)
    • 12.5: معادلات الخطوط والمستويات (76)
    • 12.6: الأسطوانات والأسطح الرباعية (69)
    • 12: فحص المفهوم
    • 12: اختبار الصواب والخطأ (22)
    • 12: تمارين المراجعة
    • 12: مشاكل زائد (2)
    • 12: مشاكل اضافية (12)
    • 12: أسئلة في الوقت المناسب
    • 13.1: دالات المتجهات ومنحنيات الفضاء (48)
    • 13.2: مشتقات وتكامل دوال المتجهات (55)
    • 13.3: طول القوس والانحناء (58)
    • 13.4: الحركة في الفضاء: السرعة والتسارع (47)
    • 13: فحص المفهوم
    • 13: اختبار الصواب والخطأ (14)
    • 13: تمارين المراجعة
    • 13: مشاكل زائد (1)
    • 13: مشاكل إضافية (5)
    • 13: أسئلة في الوقت المناسب
    • 14.1: وظائف عدة متغيرات (75)
    • 14.2: الحدود والاستمرارية (50)
    • 14.3: المشتقات الجزئية (94)
    • 14.4: المستويات المماسية والتقريب الخطي (45)
    • 14.5: قاعدة السلسلة (65)
    • 14.6: المشتقات الاتجاهية ومتجه التدرج (78)
    • 14.7: القيم القصوى والدنيا (65)
    • 14.8: مضاعفات لاجرانج (54)
    • 14: فحص المفهوم
    • 14: اختبار الصواب والخطأ (12)
    • 14: تمارين المراجعة
    • 14: مشاكل زائد (3)
    • 14: مشاكل اضافية (19)
    • 14: أسئلة في الوقت المناسب
    • 15.1: التكاملات المزدوجة على المستطيلات (78)
    • 15.2: تكاملات مزدوجة فوق مناطق عامة (81)
    • 15.3: التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية (52)
    • 15.4: تطبيقات التكاملات المزدوجة (48)
    • 15.5: المساحة (23)
    • 15.6: تكاملات ثلاثية (65)
    • 15.7: التكاملات الثلاثية في إحداثيات أسطوانية (44)
    • 15.8: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية (64)
    • 15.9: تغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة (39)
    • 15: فحص المفهوم
    • 15: اختبار الصواب والخطأ (9)
    • 15: تمارين المراجعة
    • 15: مشاكل زائد (2)
    • 15: مشاكل إضافية (4)
    • 15: أسئلة في الوقت المناسب
    • 16.1: الحقول المتجهة (41)
    • 16.2: تكاملات الخط (61)
    • 16.3: النظرية الأساسية لتكامل الخط (50)
    • 16.4: نظرية جرين (44)
    • 16.5: الضفيرة والتباعد (53)
    • 16.6: الأسطح البارامترية ومساحاتها (74)
    • 16.7: تكاملات السطح (62)
    • 16.8: نظرية ستوكس (34)
    • 16.9: نظرية الاختلاف (41)
    • 16.10: ملخص
    • 16: فحص المفهوم
    • 16: اختبار الصواب والخطأ (13)
    • 16: تمارين المراجعة
    • 16: مشاكل زائد (2)
    • 16: مشاكل اضافية (9)
    • 16: أسئلة في الوقت المناسب
    • 17.1: معادلات خطية من الدرجة الثانية
    • 17.2: معادلات خطية غير متجانسة
    • 17.3: تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية
    • 17.4: حلول متسلسلة
    • 17: فحص المفهوم
    • 17: اختبار الصواب والخطأ
    • 17: تمارين المراجعة
    • 17: مشاكل اضافية
    • 17: أسئلة في الوقت المناسب
    • أ: الأعداد ، وعدم المساواة ، والقيم المطلقة (71)
    • AB: تنسيق الهندسة والخطوط (61)
    • AC: الرسوم البيانية لمعادلات الدرجة الثانية (40)
    • م: علم المثلثات (83)
    • A.E: تدوين سيجما (49)
    • ألف: البراهين على النظريات
    • A.G: إجابات على التمارين ذات الأرقام الفردية

    يضع Stewart Calculus الأساس للطلاب في STEM من خلال التأكيد على حل المشكلات وتقديم المفاهيم بوضوح ودقة لا مثيل لهما. تم اختياره وتوجيهه من قبل جيمس ستيوارت ودانييل كليج وسليم واتسون لمواصلة إرثه.

    التعرف على المؤلفين الجدد لحساب ستيوارت التفاضل والتكامل

    الاقتراب من الإصدار الجديد من Stewart Calculus

    تحديثات منصة WebAssign

    • كتاب إلكتروني جديد لقارئ MindTap مدعوم الآن بواسطة HTML5 (غير قائم على وميض) يتضمن أصول وسائط مدمجة لتجربة دراسة أكثر تكاملاً ويوفر وصولاً للهاتف المحمول
    • تمكّن تجربة مستخدم الطالب الجديدة من التعلم على جميع المستويات من خلال واجهة طالب حديثة ومحدثة

    ميزات WebAssign

    • اقرأها الروابط الموجودة أسفل كل سؤال تنتقل بسرعة إلى القسم المقابل في صفحة تفاعلية كاملة الكتاب الاليكتروني يتيح للطلاب إبراز الملاحظات وتدوينها أثناء قراءتهم.
    • حزم الدورات مع مهام جاهزة للاستخدام تم إنشاؤها بواسطة خبراء متخصصين خصيصًا لهذا الكتاب المدرسي لتوفير الوقت ، ويمكن تخصيصها بسهولة لتلبية أهدافك التعليمية.
    • شاهد هذه توفر الروابط إرشادات خطوة بخطوة مع مقاطع فيديو قصيرة وجذابة مثالية للمتعلمين المرئيين.
    • جميع الأسئلة تحتوي على تفاصيل حلول to the problem, available to students at your discretion.
    • Select questions contain student تعليق designed to help guide them to the correct answer.
    • Lecture videos are available as a textbook resource.

    WebAssign Question Types

    • Explore It (EI) modules help students visualize the course's complex topics through hands-on exploration and interactive simulation.
    • Master It Tutorials (MI) show how to solve a similar problem in multiple steps by providing direction along with derivation so students understand the concepts and reasoning behind the problem solving.
    • Video Examples (VE) ask students to watch a section level video segment and then answer a question related to that video. Consider assigning the video example as review prior to class or as a lesson review prior to a quiz or test.
    • Just In Time (JIT) problems are ideal for students who need to remediate their algebra and trigonometry skills. They are carefully selected prerequisite review problems tied to specific calculus problems and assignable at the section level.
    • QuickPrep (QP) questions review the concepts of linear functions to help improve student readiness for calculus. Assign any of these QuickPrep modules early in the course or whenever the review is most needed.
    • Active Examples (AE) guide students through the process needed to master a concept.

    Pi and Phi in the Great Pyramid of Egypt

    Another interesting relationship between Pi and Phi is related to the geometry of the Great Pyramid of Giza. This relationship connects dimensions of the Great Pyramid to both Pi and Phi, but it is not known with certainty whether this was an intentional aspect of its design, whether its design was based on Pi or Phi but not both, or whether it is a simple coincidence. It relates to the fact that 4 divided by square root of phi is almost exactly equal to Pi:

    The square root of Phi (1.6180339887…) = 1.2720196495…

    4 divided by 1.2720196495… = 3.14460551103…

    The difference of these two numbers is less than a 10th of a percent.

    See the Phi, Pi and the Great Pyramid page for more details.


    We derive explicit and new implicit finite-difference formulae for derivatives of arbitrary order with any order of accuracy by the plane wave theory where the finite-difference coefficients are obtained from the Taylor series expansion. The implicit finite-difference formulae are derived from fractional expansion of derivatives which form tridiagonal matrix equations. Our results demonstrate that the accuracy of a (2ن + 2)th-order implicit formula is nearly equivalent to that of a (6ن + 2)th-order explicit formula for the first-order derivative, and (2ن + 2)th-order implicit formula is nearly equivalent to (4ن + 2)th-order explicit formula for the second-order derivative. In general, an implicit method is computationally more expensive than an explicit method, due to the requirement of solving large matrix equations. However, the new implicit method only involves solving tridiagonal matrix equations, which is fairly inexpensive. Furthermore, taking advantage of the fact that many repeated calculations of derivatives are performed by the same difference formula, several parts can be precomputed resulting in a fast algorithm. We further demonstrate that a (2ن + 2)th-order implicit formulation requires nearly the same memory and computation as a (2N + 4)th-order explicit formulation but attains the accuracy achieved by a (6ن + 2)th-order explicit formulation for the first-order derivative and that of a (4ن + 2)th-order explicit method for the second-order derivative when additional cost of visiting arrays is not considered. This means that a high-order explicit method may be replaced by an implicit method of the same order resulting in a much improved performance. Our analysis of efficiency and numerical modelling results for acoustic and elastic wave propagation validates the effectiveness and practicality of the implicit finite-difference method.

    Many scientific and engineering problems involve numerically solving partial differential equations. A variety of differ- ence techniques, such as the finite-difference (FD), the pseudospectral (PS) and the finite-element (FM) methods, have been developed. However, because of the straightforward implementation, requiring small memory and computation time, the FD is the most popular and has been widely utilized in seismic modelling (Kelly وآخرون 1976, Dablain 1986, Virieux 1986, Igel وآخرون 1995, Etgen and O'Brien 2007, Bansal and Sen 2008) and migration (Claerbout 1985, Larner and Beasley 1987, Li 1991, Ristow and Ruhl 1994, Zhang وآخرون 2000, Fei and Liner 2008). In order to improve the efficiency, the accuracy and the stability of a FDM in numerical modelling, several variants of FD methods have been developed.

    A conventional FD needs a fixed number of grid points per wavelength in any one layer. In fact, a coarse mesh can be used in the high-velocity layer for its large wavelength. Therefore, variable grid schemes are proposed to significantly reduce computational time and memory requirements. When there is an abrupt transition from the adaptive region of a coarse mesh to a much finer mesh, large amplitude artificial reflections from the adaptive zone may occur. To overcome these problems, the scheme of interpolating the field variables in the adaptive region has been developed (Wang and Schuster 1996, Hayashi and Burns 1999). Other advanced methods include the PS-2 method for regular grids (Zahradník and Priolo 1995) and a simple case of so-called rectangular irregular grids. This method is developed further and applied to both nonplanar topography and internal discontinuities (Opršal and Zahradník 1999).

    To save computational cost, besides optimizing mesh sizes according to the local parameters, different temporal sampling in different parts of the numerical grid is introduced by Falk وآخرون ( 1996). Since the method is restricted to ratios of time steps between the different domains of 2ن, a new method is proposed to handle any positive integer ratio and does not depend on the time-step ratio by Tessmer ( 2000).

    To improve the modelling accuracy of the first-order elastic and viscoelastic wave equations, staggered-grid FD schemes that involve defining different components of one physical parameter at different staggered points are usually applied to compute the derivatives in the equations (Virieux 1986, Levander 1988, Robertsson وآخرون 1994, Graves 1996). However, boundary conditions of the elastic wave field at a free surface, i.e. the high-contrast discontinuity between vacuum and rock, must be defined in the FD algorithm (Robertsson 1996, Graves 1996, Opršal and Zahradník 1999, Saenger and Bohlen 2004). To avoid this problem, a rotated staggered-grid technique (Gold وآخرون 1997, Saenger وآخرون 2000) is presented where high contrast discontinuities can be incorporated without using explicit boundary conditions and without averaging elastic moduli. A velocity–stress rotated staggered-grid algorithm is used to simulate seismic waves in an elastic and viscoelastic model with 3D topography of the free surface (Saenger and Bohlen 2004). The accuracy for modelling Rayleigh waves utilizing the standard staggered-grid and the rotated staggered-grid method is also investigated by Bohlen and Saenger ( 2006).

    A conventional method uses FD operators with low-order accuracy to calculate space derivatives therefore, it needs small processor memory and less computation time, but leads to low accuracy results. High-order FD schemes are developed to improve the accuracy of the conventional finite-difference method. The FD scheme with any order accuracy has been derived for the first-order derivatives and used to solve the wave equations (Dablain 1986, Fornberg 1987, Crase 1990, Visbal and Gaitonde 2001, Hestholm 2007). The FD coefficients are determined by the Taylor series expansion (Dablain 1986) or by an optimization (Fornberg 1987). Using the Taylor series expansion also, the FD method with any even-order accuracy is presented for any order derivatives (Liu وآخرون 1998) and utilized to simulate wave propagation in two-phase anisotropic media (Liu and Wei 2008).

    However, most of these methods make use of the explicit finite-difference method (EFDM). Some development on the implicit finite-difference method (IFDM) has also been reported in the literature. To yield good modelling results, implicit finite-difference formulae are skilfully derived for the elastic wave equation (Emerman وآخرون 1982). These formulae express the value of a variable at some point at a future time in terms of the value of the variable at that point and at its neighbouring points at present time, past times and future times. An IFDM for time derivatives has also been implemented in seismic migration algorithms (Ristow and Ruhl 1997, Shan 2007, Zhang and Zhang 2007).

    Here, we focus on the space derivative calculation by a FDM. In our formulation, an EFDM directly calculates the derivative value at some point in terms of the function values at that point and at its neighbouring points. However, an IFDM expresses the derivative value at some point in terms of the function values at that point and at its neighbouring points and the derivative values at its neighbouring points. For example, a compact finite-difference method (CFDM) is one such IFDM (Lele 1992). In areas other than geophysics and seismology, several variants of the IFDM have been widely studied (Ekaterinaris 1999, Meitz and Fasel 2000, Lee and Seo 2002, Nihei and Ishii 2003). Zhang and Chen ( 2006) proposed a new numerical method, named the traction image method, to accurately and efficiently implement the traction-free boundary conditions in finite-difference simulation in the presence of surface topography. In this method, the physical traction-free boundary conditions provide a constraint on the derivatives of the velocity components along the free surface, which leads to a solution to calculate the derivative of the velocity components by a compact scheme.

    In this paper, we derive both explicit and implicit finite-difference formulae with even-order accuracy for any order derivative. Further, we develop a practical IFDM and demonstrate its efficiency and applicability with some numerical results.


    4.5 Substitution Method

    From the Fundamental Theorem, we see that differentiation and integration are as inverse process to each other. If we reverse the rule of differentiation, we will get a method to integrate a function.

    Theorem 4.7 (The Substitution Rule) If (u=g(x)) is a differentiable function whose range is an interval (I) and (f) is continuous on (I) , then [ int f(g(x))g'(x)mathrmx=int f(u)mathrmu. ]

    For a definite integral, we also need to substitute limits of integration when applying the substitution rule.

    Theorem 4.8 (The Substitution Rule for Definite Integral) If (g'(x)) is continuous on ([a, b]) and (f(x)) is continuous on the range of (u=g(x)) , ([g(a), g(b)]) , then [ int_a^bf(g(x))g'(x)mathrmx=int_^f(u)mathrmu. ]

    Applying the chain rule to functions with symmetries will simplify the calculation.

    Proposition 4.1 Suppose that (f) is a continuous function on ([-a, a]) .

    1. If (f) is an odd function, that is (f(-x)=-f(x)) , then [displaystyle int_<-a>^af(x)mathrmx =0.]
    2. If (f) is an even function, that is (f(-x)=f(x)) , then [displaystyle int_<-a>^af(x)mathrmx =2int_0^af(x)mathrmx.]

    Exercise 4.31 Evaluate the following integral. [ displaystyle int xsqrtmathrm x. ]

    ملحوظة: You may also try the substitution (u=sqrt) .

    Exercise 4.32 Evaluate the following integral. [ displaystyle int frac>mathrm x. ]

    Here, I would like to show you another way. Let (u=sqrt<1-x^3>) . Then (u^2=1-x^3) and (mathrmx=frac<2umathrmu><-3x^2>) . Therefore, [ egin int frac>mathrm x=&int fracfrac<2umathrmu><-3x^2> =& -frac23int mathrmu =&-frac23u+C =&-frac23sqrt<1-x^3>+C end ]

    Exercise 4.33 Evaluate the following integral. [ displaystyle int(sin hetacos^2 heta)mathrm heta. ]

    Let (u=cos heta) . Then (mathrm heta=fracu><-sin theta>) . Therefore, [ egin int (sin hetacos^2 heta)mathrm heta=&int((sin heta) u^2) fracu><-sin heta> =& -int u^2 mathrmu =&-frac13u^3+C =&-frac13cos^2 heta+C end ]

    Exercise 4.34 Evaluate the following integral. [ displaystyle intsec^2 t an tmathrm ر. ]

    Let (u= an t) . Then (mathrmt=fracu>) . Therefore, [ egin intsec^2 t an tmathrm t=&int umathrmu =&frac12u^2+C =&frac12 an^2t+C end ]

    Exercise 4.35 Evaluate the following integral. [ displaystyle int sqrt[3] <2x+1>mathrm x. ]

    Exercise 4.36 Evaluate the following integral. [ displaystyle int (3x-2)^5 mathrm ر. ]

    One way is to use the binomial formula the expand the integrand and then integrate.

    Here we use a substitution to make the calculation easier.

    Exercise 4.37 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_1^4 frac)>>mathrm x. ]

    ملحوظة: To avoid the mistake of forgetting substitute the integral limits, it will be better to find the indefinite integral first.

    Exercise 4.38 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_1^2 fracmathrm x. ]

    Exercise 4.39 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_0^ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta. ]

    There are different ways to find this integral.

    One way is to let (u=sin(2 heta)) . Then (mathrm u=2cos(2 heta)mathrm heta) and [ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta=frac12umathrmu ] Therefore, [ egin int_0^ sin(2 heta)cos(2 heta)mathrm heta =&int_^frac12umathrmu =&frac12 int_<0>^ <1>umathrmu =&frac14 u^2|_<0>^<1>=frac14. نهاية ]

    Exercise 4.40 Evaluate the following integral. [ displaystyle int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x. ]

    Note that the function (f(x)=x^3+xsec^2x) is an odd function, that is (f(-x)=-f(x)) . If we let (u=-x) ,then (mathrmx=-mathrmu) and
    [ egin int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=&-int_<2>^<-2>((-u)^3+(-u)sec^2(-u))mathrm u =&-int_<-2>^<2>(u^3+usec^2u)mathrm u =&-int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x end ] Add to both sides the definite integral, we get [ 2int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=0. ] Therefore, [ int_<-2>^<2>(x^3+xsec^2x)mathrm x=0. ]


    2.6: Implicit Differentiation

    This page will be updated as the semester progresses.

    Appendix D (Trigonometry) Completed notes
    Section 1.1 (Vectors) Completed notes
    Section 1.2 (The dot product) Completed notes
    Section 1.3 (Vector functions) Completed notes
    Section 2.2 (The limit of a function) Completed notes
    Section 2.3 (Calculating limits using the limit laws) Completed notes
    Section 2.5 (Continuity) Completed notes
    Section 2.6 (Limits at infinity horizontal asymptotes) Completed notes
    Section 2.7 (Tangents, velocities, and the other rates of change) Completed notes
    Section 3.1 (Derivatives) Completed notes
    Section 3.2 (Differentiation formulas) Partially completed notes
    Section 3.4 (Derivatives of trigonometric functions) Completed notes
    Review for Test 1

    Section 3.5 (The chain rule) Completed notes
    Section 3.6 (Implicit differentiation) Completed notes
    Section 3.7 (Derivatives of vector functions) Completed notes
    Section 3.8 (Higher derivatives) Completed notes
    Section 3.9 (Slopes and tangents to parametric curves) Completed notes
    Section 3.10 (Related rates) Completed notes
    Section 3.11 (Differentials linear and quadratic approximations) Completed notes
    Section 4.1 (Exponential functions and their derivatives) Completed notes
    Section 4.2 (Inverse functions) Completed notes
    Section 4.3 (Logarithmic functions) Completed notes
    Review for Test 2

    Section 4.4 (Derivatives of logarithmic functions) Completed notes
    Section 4.5 (Exponential growth and decay) Completed notes
    Section 4.6 (Inverse trigonometric functions) Completed notes
    Section 4.8 (L'Hospital's Rule) Completed notes
    Section 5.1 (What does f' say about f?) Completed notes
    Section 5.2 (Maximum and minimum values) Completed notes
    Section 5.3 (Derivatives and the shapes of curves) Completed notes
    Section 5.5 (Applied maximum and minimum problems) Completed notes
    Section 5.7 (Antiderivatives) Completed notes
    Section 6.1 (Sigma notation) Completed notes
    Section 6.2 (Area) Completed notes
    Section 6.3 (Definite integral) Completed notes
    Section 6.4 (The fundamental theorem of calculus) Completed notes


    3 THE PURPOSE OF FREE WILL

    The prevalent endorsement of the belief in free will raises an important fundamental question – Why would anyone believe in free will? If one believes in free will – then what is free will meant for?

    One group of scholars views free will beliefs as a mechanism that allows the self to pursue self-enhancing desired states and goals and seek own wants and needs (Hume, 1748 Edwards, 1754 ). Put more simply – free will is only worth having if it enables the individual to get what she or he wants (Dennett, 2003 ).

    A second view often referred to as the “action-control perspective” argues that the concept of free will has evolved to allow the self to coexist with others in society as to override inherent immediate biological urges that mainly focus on the self (Kant, 1797/1967 ) thus allowing for prospection, long-term planning, action control, and coordination with others in society (Baumeister, 2005 , 2008a ). The belief in free will could have possibly evolved so that people would be able to a deal with a world of increasingly complicated choices and complex societal interactions that require coordination and inhibition of self (Baumeister, 2008a Laurene, Rakos, Tisak, Robichaud, & Horvath, 2011 Rakos et al., 2008 ).

    The close conceptual relationship that free will holds with moral responsibility supports the view that free will is a notion embedded in societal considerations. The concept of free will may be regarded by societies and religions as a solution to the predicament of laypersons that associate determinism with inevitability, reduced accountability, and thus lower action control over socially undesirable behaviors. Based on the idea of free will as a social tool, the belief that a person could make different free choices in a given situation is considered essential to legal, moral, and political judgments (Juth & Lorentzon, 2010 Searle, 2007 ). More broadly, society often regards it appropriate to adjust legal and moral judgments based on the assessment of whether a wrongdoer acted out of his or her own free will (Greene & Cohen, 2004 Roskies, 2006 ). In order to legally hold a person accountable and bring a person to trial, it is now commonly expected that it be proven that the person could have done otherwise, meaning that there were no external influences coercing the person to act in this way (e.g., having a gun to the person's head) or that the person did not merely act out of uncontrollable urges (e.g., temporary insanity Burns & Bechara, 2007 ). Similarly, a contract between two people is only considered valid if the two sides have entered the contract out of their own free will, meaning that both sides were free from any coercion (Cohen, 1933 ).

    A developmental perspective argues free will to be rooted in the perception people experience in their everyday choices while growing up – even if such a perception is illusory, serving as a self-indicator regarding the ability to execute and increasing one's motivation to enter difficult choice situations (Bandura, 2006 Rakos, 2004 Wegner, 2004 ). Nichols ( 2004 ) showed that children between the ages of three and five typically endorse free will and reject determinism by making the claim that a person in a given scenario could have chosen to act differently, much more so than a physical object could have. Nichols goes on further to argue that the perception of having free will in kids is innate rather than learned – that freedom of an agent is inferred by native evidence to form the belief that humans are different than objects in their ability to act otherwise. Other studies have extended these findings by demonstrating that not only do kids at the age of five perceive people to have the capacity to choose more freely than objects do but that they also clearly distinguish between free and un-free actions by the same human agent (Chernyak, Kushnir, & Wellman, 2010 Kushnir, Wellman, & Chernyak, 2009 ).

    To summarize, the role of free will in people's beliefs could be the pursuit of own goals and desires or in the evolutionary role of free will as overcoming self to allow people to coexist with others in society. This belief could also be rooted in an innate intuitive perception developed by people while growing up to self-motivate when faced with making choices.


    2.6: Implicit Differentiation

    MATH 180: ELEMENTS OF CALCULUS I
    University of New Mexico, Spring 2015

    مدرب: Janet Vassilev
    E-mail:
    [email protected]
    Webpage:
    http://math.unm.edu/

    jvassil
    Phone: 277-2214
    Office: SMLC 324
    Office Hours:
    Monday and Friday 1-1:50
    , Wednesday 10-10:50 or by appointment.

    المتطلبات المسبقة: Grade of C or better in MATH 121

    كتاب مدرسي: APPLIED CALCULUS for the Managerial, Life and Social Sciences, Ninth Edition, Brooks / Cole 2014, S. T. Tan
    Hardcover for both Math 180 and Math 181: ISBN-10: 1-133-60771-3 ISBN-13: 978-1-133-60771-7
    UNM Custom Edition Softcover for Math 180 only: ISBN-10: 1-305-02608-X ISBN-13: 978-1-305-02608-7

    Calculator: Calculators will not be allowed on any of the exams. A scientific calculator may be necessary for some homework assignments or quizzes.

    Homework: Your daily homework is your most important effort in this course. It is imperative that you do all of the assigned problems, especially the hard ones, because this is how you actually learn the material. Expect 2-3 hours of homework for every hour of class meeting time (on average 6-9 hours per week). Keep all of your homework together in a folder so that if you are having trouble in the course, you can bring it with you when you go to see me or get tutoring.

    Quizzes: There will be weekly quizzes. The quiz problems will be very similar to the homework problems, if not the same. Most of the quizzes will be in-class and announced, but occasionally there may be a pop quiz. No make-up quizzes will be given, even if you have an excused absence. The two lowest quiz scores will be dropped at the end of the semester.

    Exams: There will be three in-class exams, 100 points each. You have to show all your work and use proper mathematical notation to receive full credit. A correct answer without work will receive no more than 1 point. I do not give make up exams. If you are ill or have some form of excused absence, you must contact me on or before the day of the exam in order to have your final grade calculated without this test. I typically replace the score for this exam by your average on the final.

    Final Exam: The final exam, comprehensive and worth 200 points, will be held on Monday, May 4 th between 7:30 am and 9:30 am. The location of the exam will be announced near the end of the semester.

    Important Note: Notes of any kind, 3x5 cards, books, cell phones, computers, headphones etc. are not allowed on any tests, including the Final Exam.

    Grading : To get full credit on graded work, students must address all mathematical components presented by the problem, showing all steps and calculations. The use of proper notation, well-structured procedures, and legibility will be taken into account when assigning points. Your grade will be determined based on your performance on the following:

    Grading: The grades will for the most part be assigned as follows: 90% to 100% = A 80% to 89% = B 70% to 79% = C below 70% D or F
    However, there may be a slight curve. If so, the curve will be announce for each test. There will be no extra credit. Students who withdraw after week 3 will receive the grade W. No W’s will be given to students who have not withdrawn.

    Communication: Please check your UNM e-mail regularly or make sure to forward your e-mail from that address to an account that you check at least daily. I may send you important information and updates to your UNM e-mail address. If you e-mail me, include your full name and that you are a student in my 180 class.

    Attendance: Attendance is mandatory. A student with three or more unexcused absences may be dropped from the course. Tardiness or early departure may be regarded as absence. It is the student’s responsibility to withdraw from the course if he/she stops attending. A failing grade of “F” will be assigned if the student stops attending and does not withdraw.

    Student Behavior: According to the Code of Conduct as stated in the Policies and Regulations for UNM, student activities that interfere with the rights of others to pursue their education or to conduct their University duties and responsibilities will lead to disciplinary action. This includes any activities that are disruptive to the class and any acts of academic dishonesty. Students are expected to behave in a courteous and respectful manner toward the instructor and their fellow students. Students should turn off their cell-phones before the beginning of each class, and be prepared to remain seated the entire class. Students may be dropped from a class for inappropriate behavior.

    Students with Disabilities: We accommodate students with documented disabilities. During the first two weeks of the semester, those students should inform the instructor of their particular needs.

    Help: If you are struggling, seek help immediately. In addition to your instructor's office hours, there is extra help available at:
    - The Calculus Tutoring Table, staffed by instructors every day, 3 rd floor DSH near the elevator
    - CAPS: Center for Academic Program Support, 3rd floor Zimmerman Library, 277-4560

    - MEP Engineering Annex, room 210, or call the study group at 277-8795
    - CATS: Counseling and Therapy Services, Student Health Center, 277-4537 (for test anxiety, etc.)


    Class 11th Maths - Video Tutorials in Hindi

    We warmly welcome you to our online courses. Maths is a subject that most of us don't like because it is very difficult to understand isn't it? What if learning maths becomes easy?

    Yes, I am here to help you to do maths in an easy way. I will make sure that you learn the formulas and easy tricks to solve all your maths assignments and prepare perfectly for your examinations.

    I will make sure that the dear students score great marks in their examinations and leave everyone shockingly amazed.

    In this course, you will be receiving

    1. Ebooks
    2. Live sessions
    3. Video tutorials that will be present in Hindi so that it becomes easy for you to understand
    4. Online course study materials
    5. Tips and tricks to learn the formulas
    6. Solve question papers
    7. Mock tests
    8. Doubt clearing sessions

    In this course, you will be learning about

    1. Complex numbers and every chapter related to it
    2. Quadrant arguments
    3. The principal value of an argument
    4. Cube root of unity
    5. Properties of modulus
    6. Properties of conjugate
    7. DE Moivre's theorem
    8. Questions on Nth root
    9. Questions based on complex numbers ( part 1 to part 16 )
    10. Binomial coefficient
    11. Odd terms sum And questions on it
    12. Sequences and series
    13. Arithmetic progression and questions on it
    14. Sum of arithmetic progression and questions on it
    15. Sum of n terms of G.P
    16. Chain rule
    17. Existence of limit
    18. Limits using trigonometric identities
    19. L' Hospital's rule
    20. Introduction to differentiation
    21. Parametric equations and many more chapters will be covered from the syllabus.

    class 11 maths ncert solutions, class 11 maths, class 11 maths syllabus 2020-21, cbse class 11 maths solutions, cbse class 11 maths ncert solutions, class 11th maths chapter 1, class 11th maths chapter 2, math class 11 ncert solutions, math class 11 ncert, class 11th maths syllabus 2021, class 11th maths syllabus in hindi, class 11th math in hindi, class 11th math solution in hindi pdf, class 11th math solution in pdf, class 11th math book in hindi, 11th class math formula in hindi, class 11th math solution of ncert, ncrt class 11 maths, ncert class 11 maths pdf, ncert class 11 maths syllabus 2020-21


    شاهد الفيديو: Derivatives. Implicit Differentiation الاشتقاق الضمني (ديسمبر 2021).