مقالات

11.3: الإحداثيات القطبية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حدد النقاط في مستوى باستخدام الإحداثيات القطبية.
  • تحويل النقاط بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية.
  • ارسم المنحنيات القطبية من معادلات معينة.
  • تحويل المعادلات بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية.
  • تحديد التناظر في المنحنيات والمعادلات القطبية.

يوفر نظام الإحداثيات المستطيل (أو المستوي الديكارتية) وسيلة لتعيين النقاط للأزواج المرتبة والأزواج المرتبة للنقاط. وهذا ما يسمى ب تعيين واحد لواحد من نقاط في الطائرة إلى أزواج مرتبة. يوفر نظام الإحداثيات القطبية طريقة بديلة لتعيين النقاط إلى الأزواج المرتبة. نرى في هذا القسم أنه في بعض الحالات ، يمكن أن تكون الإحداثيات القطبية أكثر فائدة من الإحداثيات المستطيلة.

تحديد الإحداثيات القطبية

للعثور على إحداثيات نقطة في نظام الإحداثيات القطبية ، ضع في الاعتبار الشكل ( PageIndex {1} ). النقطة (P ) لها إحداثيات ديكارتية ((س ، ص) ). مقطع الخط الذي يربط الأصل بالنقطة (P ) يقيس المسافة من الأصل إلى (P ) وطوله (r ). الزاوية بين المحور x الموجب والقطعة المستقيمة لها قياس (θ ). تشير هذه الملاحظة إلى تطابق طبيعي بين زوج الإحداثيات ((س ، ص) ) والقيم (r ) و (θ ). هذه المراسلات هي أساس نظام الإحداثيات القطبية. لاحظ أن كل نقطة في المستوى الديكارتي لها قيمتان (ومن هنا جاء المصطلح زوج مرتب) مرتبطة بها. في نظام الإحداثيات القطبية ، تحتوي كل نقطة أيضًا على قيمتين مرتبطتين به: (r ) و (θ ).

باستخدام حساب المثلثات للمثلث الأيمن ، تكون المعادلات التالية صحيحة للنقطة (P ):

[ cos θ = dfrac {x} {r} text {so} x = r cos θ ]

[ sin θ = dfrac {y} {r} text {so} y = r sin θ. ]

علاوة على ذلك،

[r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ]

و

[ tan θ = dfrac {y} {x}. ]

يمكن بالتالي تمثيل كل نقطة ((x ، y) ) في نظام الإحداثيات الديكارتية كزوج مرتب ((r ، θ) ) في نظام الإحداثيات القطبية. يسمى الإحداثي الأول تنسيق شعاعي والإحداثي الثاني يسمى تنسيق الزاوي. يمكن تمثيل كل نقطة في المستوى بهذا الشكل.

لاحظ أن المعادلة ( tan θ = y / x ) بها عدد لا نهائي من الحلول لأي زوج مرتب ((x، y) ). ومع ذلك ، إذا قصرنا الحلول على القيم بين (0 ) و (2π ) ، فيمكننا تعيين حل فريد للربع الذي توجد فيه النقطة الأصلية ((س ، ص) ). ثم تكون القيمة المقابلة لـ (r ) موجبة ، لذلك (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ).

تحويل النقاط بين أنظمة الإحداثيات

بالنظر إلى نقطة (P ) في المستوى مع الإحداثيات الديكارتية ((x ، y) ) والإحداثيات القطبية ((r ، θ) ) ، فإن صيغ التحويل التالية صحيحة:

[ start {align} x & = r cos θ label {eq1} [4pt] y & = r sin θ label {eq2} end {align} ]

و

[ start {align} r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 label {eq3} [4pt] tan θ & = dfrac {y} {x} label {eq4} end { محاذاة}. ]

يمكن استخدام هذه الصيغ للتحويل من إحداثيات مستطيلة إلى قطبية أو من إحداثيات قطبية إلى مستطيلة. لاحظ أن المعادلة ref {eq3} هي نظرية فيثاغورس. (الشكل ( PageIndex {1} )).

مثال ( PageIndex {1} ): التحويل بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية

حول كل من النقاط التالية إلى إحداثيات قطبية.

  1. ((1,1))
  2. ((−3,4))
  3. ((0,3))
  4. ((5 sqrt {3}، - 5) )

حول كل من النقاط التالية إلى إحداثيات مستطيلة.

  1. ((3 ، π / 3) )
  2. ((2،3π / 2) )
  3. ((6، −5π / 6) )

حل

أ. استخدم (x = 1 ) و (y = 1 ) في المعادلة المرجع {eq3}:

[ start {align *} r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 [4pt] & = 1 ^ 2 + 1 ^ 2 r & = sqrt {2} end {align *} ]

وعبر المعادلة المرجع {eq4}

[ start {align *} tan θ & = dfrac {y} {x} = dfrac {1} {1} = 1 [4pt] θ & = dfrac {π} {4}. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة كـ (( sqrt {2}، dfrac {π} {4}) ) في الإحداثيات القطبية.

ب. استخدم (x = −3 ) و (y = 4 ) في المعادلة المرجع {eq3}:

[ start {align *} r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 = (- 3) ^ 2 + (4) ^ 2 [4pt] r & = 5 end {align *} ]

وعبر المعادلة المرجع {eq4}

( tan θ = dfrac {y} {x} = - dfrac {4} {3} )

(θ = arctan (- dfrac {4} {3}) + π≈2.21. )

لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة كـ ((5،2.21) ) في الإحداثيات القطبية.

ج. استخدم (x = 0 ) و (y = 3 ) في المعادلة المرجع {eq3}:

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 = (3) ^ 2 + (0) ^ 2 = 9 + 0 ) (r = 3 )

وعبر المعادلة المرجع {eq4}

( tan θ = dfrac {y} {x} = dfrac {3} {0} ).

يؤدي التطبيق المباشر للمعادلة الثانية إلى القسمة على صفر. يوضح الرسم البياني للنقطة ((0،3) ) على نظام الإحداثيات المستطيل أن النقطة تقع على المحور y الموجب. الزاوية بين المحور x الموجب والمحور y الموجب هي ( dfrac {π} {2} ). لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة كـ ((3، dfrac {π} {2}) ) في الإحداثيات القطبية.

د. استخدم (x = 5 sqrt {3} ) و (y = −5 ) في المعادلة المرجع {eq3}:

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 = (5 sqrt {3}) ^ 2 + (- 5) ^ 2 = 75 + 25 )

(ص = 10 )

وعبر المعادلة المرجع {eq4}

( tan θ = dfrac {y} {x} = dfrac {−5} {5 sqrt {3}} = - dfrac { sqrt {3}} {3} )

(θ = - dfrac {π} {6} ).

لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة كـ ((10، - dfrac {π} {6}) ) في الإحداثيات القطبية.

ه. استخدم (r = 3 ) و (θ = dfrac {π} {3} ) في المعادلة المرجع {eq1}:

(x = r cos θ = 3 cos ( dfrac {π} {3}) = 3 ( dfrac {1} {2}) = dfrac {3} {2} )

و

(y = r sin θ = 3 sin ( dfrac {π} {3}) = 3 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) = dfrac {3 sqrt {3}} { 2} ).

لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة كـ (( dfrac {3} {2}، dfrac {3 sqrt {3}} {2}) ) بإحداثيات مستطيلة.

F. استخدم (r = 2 ) و (θ = dfrac {3π} {2} ) في المعادلة المرجع {eq1}:

(x = r cos θ = 2 cos ( dfrac {3π} {2}) = 2 (0) = 0 )

و

(y = r sin θ = 2 sin ( dfrac {3π} {2}) = 2 (−1) = - 2. )

لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة كـ ((0 ، −2) ) في إحداثيات مستطيلة.

ز. استخدم (r = 6 ) و (θ = - dfrac {5π} {6} ) في المعادلة المرجع {eq1}:

(x = r cos θ = 6 cos (- dfrac {5π} {6}) = 6 (- dfrac { sqrt {3}} {2}) = - 3 sqrt {3} )

و

(y = r sin θ = 6 sin (- dfrac {5π} {6}) = 6 (- dfrac {1} {2}) = - 3 ).

لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة كـ ((- 3 sqrt {3}، - 3) ) بإحداثيات مستطيلة.

تمرين ( PageIndex {1} )

حول ((- 8، −8) ) إلى إحداثيات قطبية و ((4، dfrac {2π} {3}) ) إلى إحداثيات مستطيلة.

تلميح

استخدم المعادلة المرجع {eq3} والمعادلة المرجع {eq1}. تأكد من فحص الربع عند حساب (θ ).

إجابه

((8 sqrt {2}، dfrac {5π} {4}) ) و ((- 2،2 sqrt {3}) )

التمثيل القطبي للنقطة ليس فريدًا. على سبيل المثال ، يمثل كل من الإحداثيات القطبية ((2، dfrac {π} {3}) ) و ((2، dfrac {7π} {3}) ) النقطة ((1، sqrt {3}) ) في النظام المستطيل. أيضًا ، يمكن أن تكون قيمة r سالبة. لذلك ، فإن النقطة ذات الإحداثيات القطبية ((- 2، dfrac {4π} {3}) ) تمثل أيضًا النقطة ((1، sqrt {3}) ) في النظام المستطيل ، كما نرى باستخدام المعادلة المرجع {eq1}:

[x = r cos θ = −2 cos ( dfrac {4π} {3}) = - 2 (- dfrac {1} {2}) = 1 ]

و

[y = r sin θ = −2 sin ( dfrac {4π} {3}) = - 2 (- dfrac { sqrt {3}} {2}) = sqrt {3}. ]

كل نقطة في المستوى لها عدد لا حصر له من التمثيلات في الإحداثيات القطبية. ومع ذلك ، فإن كل نقطة في المستوى لها تمثيل واحد فقط في نظام الإحداثيات المستطيلة.

لاحظ أن التمثيل القطبي لنقطة في المستوى له أيضًا تفسير مرئي. على وجه الخصوص ، (r ) هي المسافة الموجهة التي تقع فيها النقطة من الأصل ، و (θ ) تقيس الزاوية التي يصنعها مقطع الخط من الأصل إلى النقطة مع المحور الموجب (س ) - . تُقاس الزوايا الموجبة في اتجاه عكس عقارب الساعة وتُقاس الزوايا السالبة في اتجاه عقارب الساعة. يظهر نظام الإحداثيات القطبية في الشكل ( PageIndex {2} ).

المقطع الخطي الذي يبدأ من مركز الرسم البياني المتجه إلى اليمين (يسمى المحور x الموجب في النظام الديكارتي) هو المحور القطبي. نقطة المركز هي عمود، أو أصل نظام الإحداثيات ، ويتوافق مع (r = 0 ). تحتوي الدائرة الداخلية الموضحة في الشكل ( PageIndex {2} ) على جميع النقاط على مسافة وحدة واحدة من القطب ، ويتم تمثيلها بالمعادلة (r = 1 ). ثم (r = 2 ) هي مجموعة النقاط بوحدتين من القطب ، وهكذا. تتوافق مقاطع الخط المنبثقة من القطب مع الزوايا الثابتة. لرسم نقطة في نظام الإحداثيات القطبية ، ابدأ بالزاوية. إذا كانت الزاوية موجبة ، فقم بقياس الزاوية من المحور القطبي في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت سالبة ، فقم بقياسها في اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت قيمة r موجبة ، فحرك تلك المسافة على طول الشعاع النهائي للزاوية. إذا كانت سالبة ، تحرك على طول الشعاع المقابل للشعاع الطرفي للزاوية المعطاة.

مثال ( PageIndex {2} ): رسم النقاط في المستوى القطبي

ارسم كلًا من النقاط التالية على المستوى القطبي.

  1. ((2، dfrac {π} {4}) )
  2. ((- 3، dfrac {2π} {3}) )
  3. ((4، dfrac {5π} {4}) )

حل

تم رسم النقاط الثلاث في الشكل ( PageIndex {3} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

ارسم ((4، dfrac {5π} {3}) ) و ((- 3، - dfrac {7π} {2}) ) على المستوى القطبي.

تلميح

ابدأ بـ (θ ) ، ثم استخدم (r ).

إجابه

المنحنيات القطبية

الآن بعد أن عرفنا كيفية رسم النقاط في نظام الإحداثيات القطبية ، يمكننا مناقشة كيفية رسم المنحنيات. في نظام إحداثيات المستطيل ، يمكننا رسم دالة (y = f (x) ) وإنشاء منحنى في المستوى الديكارتي. بطريقة مماثلة ، يمكننا رسم منحنى تم إنشاؤه بواسطة دالة (r = f (θ) ).

الفكرة العامة وراء رسم دالة في الإحداثيات القطبية هي نفسها رسم دالة في إحداثيات مستطيلة. ابدأ بقائمة قيم المتغير المستقل ( (θ ) في هذه الحالة) واحسب القيم المقابلة للمتغير التابع (r ). تنشئ هذه العملية قائمة بالأزواج المرتبة ، والتي يمكن رسمها في نظام الإحداثيات القطبية. أخيرًا ، قم بتوصيل النقاط ، واستفد من أي أنماط قد تظهر. قد تكون الوظيفة دورية ، على سبيل المثال ، مما يشير إلى الحاجة إلى عدد محدود فقط من القيم للمتغير المستقل.

إستراتيجية حل المشكلات: رسم منحنى في الإحداثيات القطبية

  1. قم بإنشاء جدول بعمودين. العمود الأول لـ (θ ) ، والعمود الثاني لـ (r ).
  2. أنشئ قائمة بقيم (θ ).
  3. احسب القيم المقابلة (r ) لكل (θ ).
  4. ارسم كل زوج مرتب ((r، θ) ) على محاور الإحداثيات.
  5. قم بتوصيل النقاط وابحث عن نمط.

مثال ( PageIndex {3} ): رسم دالة في الإحداثيات القطبية

ارسم المنحنى المحدد بالدالة (r = 4 sin θ ). حدد المنحنى وأعد كتابة المعادلة في إحداثيات مستطيلة.

حل

نظرًا لأن الوظيفة هي مضاعف دالة الجيب ، فهي دورية بنقطة (2π ) ، لذا استخدم قيم (θ ) بين (0 ) و (2π ). تظهر نتيجة الخطوات من 1 إلى 3 في الجدول التالي. يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) الرسم البياني بناءً على هذا الجدول.

(θ ) (ص = 4 خطيئة θ ) (θ ) (ص = 4 خطيئة θ )
00 (π )0
( dfrac {π} {6} )2 ( dfrac {7π} {6} )(-2)
( dfrac {π} {4} ) (2 الجذر التربيعي {2} ≈2.8 ) ( dfrac {5π} {4} ) (- 2 الجذر التربيعي {2} ≈ − 2.8 )
( dfrac {π} {3} ) (2 الجذر التربيعي {3} ≈3.4 ) ( dfrac {4π} {3} ) (- 2 الجذر التربيعي {3} ≈ − 3.4 )
( dfrac {π} {2} )4 ( dfrac {3π} {2} )(-4)
( dfrac {2π} {3} ) (2 الجذر التربيعي {3} ≈3.4 ) ( dfrac {5π} {3} ) (- 2 الجذر التربيعي {3} ≈ − 3.4 )
( dfrac {3π} {4} ) (2 الجذر التربيعي {2} ≈2.8 ) ( dfrac {7π} {4} ) (- 2 الجذر التربيعي {2} ≈ − 2.8 )
( dfrac {5π} {6} )2 ( dfrac {11π} {6} )−2
(2π )0

هذا هو الرسم البياني لدائرة. يمكن تحويل المعادلة (r = 4 sin θ ) إلى إحداثيات مستطيلة بضرب كلا الجانبين أولاً في (r ). هذا يعطي المعادلة (r ^ 2 = 4r sin θ. ) استخدم بعد ذلك الحقائق (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) و (y = r sin θ ). هذا يعطينا (x ^ 2 + y ^ 2 = 4y ). لوضع هذه المعادلة في الشكل القياسي ، اطرح (4y ) من كلا طرفي المعادلة وأكمل المربع:

[ start {align *} x ^ 2 + y ^ 2−4y & = 0 [4pt] x ^ 2 + (y ^ 2−4y) & = 0 [4pt] x ^ 2 + (y ^ 2−4y + 4) & = 0 + 4 [4pt] x ^ 2 + (y − 2) ^ 2 & = 4 end {align *} ]

هذه معادلة دائرة نصف قطرها 2 ومركزها ((0،2) ) في نظام إحداثيات المستطيل.

تمرين ( PageIndex {3} )

قم بإنشاء رسم بياني للمنحنى المحدد بواسطة الوظيفة (r = 4 + 4 cos θ ).

تلميح

اتبع استراتيجية حل المشكلات لإنشاء رسم بياني في الإحداثيات القطبية.

إجابه

اسم هذا الشكل هو شكل قلبي ، وسوف ندرسه لاحقًا في هذا القسم.

الرسم البياني في المثال ( PageIndex {3} ) هو رسم الدائرة. يمكن تحويل معادلة الدائرة إلى إحداثيات مستطيلة باستخدام صيغ تحويل الإحداثيات في المعادلة المرجع {eq1}. يقدم المثال ( PageIndex {4} ) بعض الأمثلة الإضافية للدوال للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المستطيلة.

مثال ( PageIndex {4} ): تحويل المعادلات القطبية إلى إحداثيات مستطيلة

أعد كتابة كل من المعادلات التالية في إحداثيات مستطيلة وحدد الرسم البياني.

  1. (θ = dfrac {π} {3} )
  2. (ص = 3 )
  3. (r = 6 cos θ − 8 خطيئة θ )

حل:

أ. خذ الظل من كلا الجانبين. هذا يعطي ( tan θ = tan (π / 3) = sqrt {3} ). بما أن ( tan θ = y / x ) يمكننا استبدال الجانب الأيسر من هذه المعادلة بـ ( ص / س ). يعطي هذا (y / x = sqrt {3} ) ، والذي يمكن إعادة كتابته كـ (y = x sqrt {3} ). هذه معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر الأصل بميله ( sqrt {3} ). بشكل عام ، أي معادلة قطبية على الشكل (θ = K ) تمثل خطًا مستقيمًا عبر القطب بميل يساوي ( tan K ).

ب. أولاً ، قم بتربيع طرفي المعادلة. هذا يعطي (r ^ 2 = 9. ) بعد ذلك استبدل (r ^ 2 ) بـ (x ^ 2 + y ^ 2 ). هذا يعطي المعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) ، وهي معادلة الدائرة المتمركزة في الأصل مع نصف القطر 3. بشكل عام ، أي معادلة قطبية بالصيغة (r = k ) حيث ك هو ثابت موجب يمثل دائرة نصف قطرها ك تتمحور في الأصل. (ملاحظة: عند تربيع جانبي المعادلة ، من الممكن إدخال نقاط جديدة بدون قصد. يجب أن يؤخذ هذا في الاعتبار دائمًا. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، لا نقدم نقاطًا جديدة. على سبيل المثال ، ((- 3 ، dfrac {π} {3}) ) هي نفس النقطة ((3، dfrac {4π} {3}) ).)

ج. اضرب طرفي المعادلة في (r ). هذا يؤدي إلى (r ^ 2 = 6r cos θ − 8r sin θ ). بعد ذلك ، استخدم الصيغ

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2، x = r cos θ، y = r sin θ. )

هذا يعطي

(r ^ 2 = 6 (r cos θ) −8 (r sin θ) )

(س ^ 2 + ص ^ 2 = 6 س − 8 ص. )

لوضع هذه المعادلة في الصورة القياسية ، انقل أولاً المتغيرات من الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر ، ثم أكمل المربع.

(س ^ 2 + ص ^ 2 = 6 س − 8 ص )

(س ^ 2−6 س + ص ^ 2 + 8 ص = 0 )

((س ^ 2−6 س) + (ص ^ 2 + 8 ص) = 0 )

((س ^ 2−6 س + 9) + (ص ^ 2 + 8 ص + 16) = 9 + 16 )

((س − 3) ^ 2 + (ص + 4) ^ 2 = 25. )

هذه هي معادلة الدائرة التي يقع مركزها عند ((3، −4) ) ونصف قطرها 5. لاحظ أن الدائرة تمر عبر نقطة الأصل لأن المركز يبعد عن المركز بمقدار 5 وحدات.

تمرين ( PageIndex {4} )

أعد كتابة المعادلة (r = sec θ tan θ ) في إحداثيات مستطيلة وحدد الرسم البياني الخاص بها.

تلميح

حول إلى الجيب وجيب التمام ، ثم اضرب كلا الطرفين في جيب التمام.

إجابه

(y = x ^ 2 ) ، وهي معادلة انفتاح القطع المكافئ لأعلى.

لقد رأينا الآن العديد من الأمثلة لرسم الرسوم البيانية للمنحنيات المحددة بواسطة المعادلات القطبية. ويرد ملخص لبعض المنحنيات الشائعة في الجداول أدناه. في كل معادلة ، أ و ب ثوابت اعتباطية.

أ قلبي هي حالة خاصة من ليماكون (تُنطق "lee-mah-son") ، وفيها (a = b ) أو (a = −b ). ال ارتفع أنامنحنى مثير جدا للاهتمام. لاحظ أن الرسم البياني لـ (r = 3 sin 2θ ) به أربع بتلات. ومع ذلك ، فإن الرسم البياني لـ (r = 3 sin 3θ ) يحتوي على ثلاث بتلات كما هو موضح.

إذا كان معامل (θ ) زوجيًا ، فإن الرسم البياني يحتوي على ضعف عدد بتلات المعامل. إذا كان معامل (θ ) فرديًا ، فإن عدد البتلات يساوي المعامل. نشجعك على استكشاف سبب حدوث ذلك. تظهر الرسوم البيانية الأكثر إثارة للاهتمام عندما لا يكون معامل (θ ) عددًا صحيحًا. على سبيل المثال ، إذا كان ذلك منطقيًا ، فسيتم إغلاق المنحنى ؛ أي أنه ينتهي في النهاية من حيث بدأ (الشكل ( PageIndex {8a} )). ومع ذلك ، إذا كان المعامل غير منطقي ، فلن يغلق المنحنى أبدًا (الشكل ( PageIndex {8b} )). على الرغم من أنه قد يبدو أن المنحنى مغلق ، إلا أن الفحص الدقيق يكشف أن البتلات الموجودة فوق المحور x الموجب مباشرة تكون أكثر سمكًا قليلاً. هذا لأن البتلة لا تتطابق تمامًا مع نقطة البداية.

نظرًا لأن المنحنى المحدد بواسطة الرسم البياني (r = 3 sin (πθ) ) لا يغلق أبدًا ، فإن المنحنى الموضح في الشكل ( PageIndex {8b} ) ليس سوى تصوير جزئي. في الواقع ، هذا مثال على ملف منحنى يملأ الفراغ. منحنى ملء الفراغ هو منحنى يشغل في الواقع مجموعة فرعية ثنائية الأبعاد من المستوى الحقيقي. في هذه الحالة ، يحتل المنحنى دائرة نصف قطرها 3 متمركزة في نقطة الأصل.

مثال ( PageIndex {5} ): وصف لولب

أذكر نوتيلوس غرفة المقدمة في مقدمة الفصل. يعرض هذا المخلوق دوامة عندما يتم قطع نصف الغلاف الخارجي. من الممكن وصف اللولب باستخدام إحداثيات مستطيلة. يوضح الشكل ( PageIndex {9} ) حلزونيًا في إحداثيات مستطيلة. كيف يمكننا وصف هذا المنحنى رياضيا؟

حل

كنقطة ص ينتقل حول اللولب في اتجاه عكس عقارب الساعة ، وتزداد المسافة d من الأصل. افترض أن المسافة d هي مضاعف ثابت k للزاوية (θ ) التي يصنعها مقطع الخط OP مع المحور x الموجب. لذلك (d (P، O) = kθ ) حيث (O ) هو الأصل. الآن استخدم صيغة المسافة وبعض حساب المثلثات:

(د (ف ، س) = كθ )

( sqrt {(x − 0) ^ 2 + (y − 0) ^ 2} = k arctan ( dfrac {y} {x}) )

( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = k arctan ( dfrac {y} {x}) )

( arctan ( dfrac {y} {x}) = dfrac { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {k} )

(y = x tan ( dfrac { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {k}) ).

على الرغم من أن هذه المعادلة تصف اللولب ، إلا أنه لا يمكن حلها مباشرة لأي منهما x أو ذ. ومع ذلك ، إذا استخدمنا الإحداثيات القطبية ، تصبح المعادلة أبسط بكثير. على وجه الخصوص ، (د (P ، O) = r ) ، و (θ ) هو الإحداثي الثاني. لذلك تصبح معادلة اللولب (r = kθ ). لاحظ أنه عندما (θ = 0 ) لدينا أيضًا (r = 0 ) ، فإن اللولب ينبثق من الأصل. يمكننا إزالة هذا القيد عن طريق إضافة ثابت إلى المعادلة. ثم تصبح معادلة اللولب (r = a + kθ ) للثوابت التعسفية (a ) و (k ). يشار إلى هذا باسم أرخميدس الحلزونية، بعد عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس.

نوع آخر من اللولب هو اللولب اللوغاريتمي ، الموصوف بالدالة (r = a⋅b ^ θ ). يوجد رسم بياني للوظيفة (r = 1.2 (1.25 ^ θ) ) في الشكل ( PageIndex {10} ). يصف هذا الشكل الحلزوني شكل صدفة نوتيلوس الحجري.

لنفترض أن المنحنى موصوف في نظام الإحداثيات القطبية عبر الوظيفة (r = f (θ) ). نظرًا لأن لدينا صيغ تحويل من الإحداثيات القطبية إلى المستطيلة التي قدمها

[x = r cos θ ]

[y = r sin θ ] ،

من الممكن إعادة كتابة هذه الصيغ باستخدام الوظيفة

[x = f (θ) cos θ ]

[y = f (θ) الخطيئة θ. ]

تعطي هذه الخطوة معلمات للمنحنى في إحداثيات مستطيلة باستخدام (θ ) كمعامل. على سبيل المثال ، تصبح الصيغة الحلزونية (r = a + bθ ) من الشكل

[س = (أ + ب) كوس θ ]

[y = (a + bθ) الخطيئة θ. ]

إن ترك (θ ) يتراوح من (- ∞ ) إلى (∞ ) يولد اللولب بأكمله.

التناظر في الإحداثيات القطبية

عند الدراسة تناظر من الوظائف في إحداثيات مستطيلة (على سبيل المثال ، في الشكل (y = f (x) )) ، نتحدث عن التناظر فيما يتعلق ذ-المحور والتماثل فيما يتعلق بالأصل. على وجه الخصوص ، إذا (f (−x) = f (x) ) للجميع (x ) في مجال (f ) ، إذن (f ) هي وظيفة زوجية ورسمها البياني متماثل فيما يتعلق ذ-محور. إذا (f (−x) = - f (x) ) للجميع x في مجال (f ) ، إذن f هي دالة فردية ويكون الرسم البياني الخاص بها متماثلًا فيما يتعلق بالأصل. من خلال تحديد أنواع التناظر التي يعرضها الرسم البياني ، يمكننا معرفة المزيد عن شكل ومظهر الرسم البياني. يمكن أن يكشف التناظر أيضًا عن خصائص أخرى للدالة التي تنشئ الرسم البياني. يعمل التناظر في المنحنيات القطبية بطريقة مماثلة.

التناظر في المنحنيات والمعادلات القطبية

ضع في اعتبارك منحنى تم إنشاؤه بواسطة الوظيفة (r = f (θ) ) في الإحداثيات القطبية.

  1. يكون المنحنى متماثلًا حول المحور القطبي إذا كانت النقطة ((r، ) ) موجودة أيضًا على الرسم البياني لكل نقطة ((r، θ) ) على الرسم البياني. وبالمثل ، فإن المعادلة (r = f (θ) ) لم تتغير باستبدال (θ ) بـ (- θ ).
  2. يكون المنحنى متماثلًا حول القطب إذا كانت النقطة ((r، π + ) ) لكل نقطة ((r، θ) ) على الرسم البياني موجودة أيضًا على الرسم البياني. وبالمثل ، فإن المعادلة (r = f (θ) ) لم تتغير عند استبدال (r ) بـ (- r ) ، أو (θ ) بـ (π + θ. )
  3. المنحنى متماثل حول الخط العمودي (θ = dfrac {π} {2} ) إذا كان لكل نقطة ((r، θ) ) على الرسم البياني ((r،، − θ) ) موجود أيضًا على الرسم البياني. وبالمثل ، فإن المعادلة (r = f (θ) ) لم تتغير عندما يتم استبدال (θ ) بـ (π − θ ).

يوضح الجدول التالي أمثلة على كل نوع من أنواع التناظر.

مثال ( PageIndex {6} ): استخدام التناظر لرسم معادلة قطبية لرسم بياني

ابحث عن تناظر الوردة المحددة بالمعادلة (r = 3 sin (2θ) ) وقم بإنشاء رسم بياني.

حل

افترض أن النقطة ((r، θ) ) موجودة على الرسم البياني لـ (r = 3 sin (2θ). )

أنا. لاختبار التماثل حول المحور القطبي ، حاول أولاً استبدال (θ ) بـ (- θ ). هذا يعطي (r = 3 sin (2 (−θ)) = - 3 sin (2θ) ). نظرًا لأن هذا يغير المعادلة الأصلية ، فإن هذا الاختبار غير راضٍ. ومع ذلك ، العودة إلى المعادلة الأصلية واستبدال (r ) بـ (- r ) و (θ ) بـ (π − θ )

[ start {align *} −r & = 3 sin (2 (π − θ)) [4pt] −r & = 3 sin (2π − 2θ) [4pt] −r & = 3 الخطيئة (−2θ) [4pt] −r & = - 3 sin2θ. النهاية {محاذاة *} ]

ضرب طرفي هذه المعادلة في (- 1 ) يعطي (r = 3 sin 2θ ) ، وهي المعادلة الأصلية. يوضح هذا أن الرسم البياني متماثل فيما يتعلق بالمحور القطبي.

ثانيا. لاختبار التماثل فيما يتعلق بالقطب ، استبدل أولاً (r ) بـ (- r ) ، والذي ينتج (- r = 3 sin (2θ) ). ضرب كلا الجانبين في (- 1 ) يعطي (r = −3 sin (2θ) ) ، وهو ما لا يتفق مع المعادلة الأصلية. لذلك لا تجتاز المعادلة اختبار هذا التناظر. ومع ذلك ، فإن العودة إلى المعادلة الأصلية واستبدال (θ ) بـ (θ + π ) يعطي

[ start {align *} r & = 3 sin (2 (θ + π)) [4pt] & = 3 sin (2θ + 2π) [4pt] & = 3 ( sin 2θ cos 2π + cos 2θ sin 2π) [4pt] & = 3 sin 2θ. النهاية {محاذاة *} ]

بما أن هذا يتفق مع المعادلة الأصلية ، فإن الرسم البياني متماثل حول القطب.

ثالثا. لاختبار التماثل فيما يتعلق بالخط العمودي (θ = dfrac {π} {2} ) ، استبدل أولاً كلاً من (r ) بـ (- r ) و (θ ) بـ (- θ ).

[ start {align *} −r & = 3 sin (2 (−θ)) [4pt] −r & = 3 sin (−2θ) [4pt] −r & = - 3 الخطيئة 2θ. لذلك فإن الرسم البياني متماثل حول الخط العمودي (θ = dfrac {π} {2} ).

هذا الرسم البياني له تماثل فيما يتعلق بالمحور القطبي والأصل والخط العمودي الذي يمر عبر القطب. لرسم الدالة ، قم بجدولة قيم (θ ) بين (0 ) و (π / 2 ) ثم عكس الرسم البياني الناتج.

00
( dfrac {π} {6} ) ( dfrac {3 sqrt {3}} {2} ≈2.6 )
( dfrac {π} {4} )3
( dfrac {π} {3} ) ( dfrac {3 sqrt {3}} {2} ≈2.6 )
( dfrac {π} {2} )0

هذا يعطي بتلة واحدة من الوردة ، كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

يعكس انعكاس هذه الصورة في الأرباع الثلاثة الأخرى الرسم البياني بأكمله كما هو موضح.

تمرين ( PageIndex {5} ) التناظر

حدد تناسق الرسم البياني الذي تحدده المعادلة (r = 2 cos (3θ) ) وقم بإنشاء رسم بياني.

تلميح

استخدام الملاحظة.

إجابه

متماثل بالنسبة للمحور القطبي.

المفاهيم الرئيسية

  • يوفر نظام الإحداثيات القطبية طريقة بديلة لتحديد النقاط في المستوى.
  • تحويل النقاط بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية باستخدام الصيغ

[x = r cos θ text {and} y = r sin θ ]

و

[r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} text {and} tan θ = dfrac {y} {x}. ]

  • لرسم منحنى قطبي من دالة قطبية معينة ، قم بعمل جدول للقيم واستفد من الخصائص الدورية.
  • استخدم معادلات التحويل لتحويل المعادلات بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية.
  • حدد التماثل في المنحنيات القطبية ، والذي يمكن أن يحدث من خلال القطب أو المحور الأفقي أو المحور الرأسي.

قائمة المصطلحات

تنسيق الزاوي
(θ ) الزاوية المكونة من مقطع خطي يربط الأصل بنقطة في نظام الإحداثيات القطبية مع المحور الشعاعي الموجب (س) ، مقاسة عكس اتجاه عقارب الساعة
قلبي
منحنى مستوي ترسمه نقطة على محيط دائرة تدور حول دائرة ثابتة من نفس نصف القطر ؛ معادلة القلب هي (r = a (1+ sin θ) ) أو (r = a (1+ cos θ) )
ليماكون
الرسم البياني للمعادلة (r = a + b sin θ ) أو (r = a + b cos θ. ) إذا (a = b ) فإن الرسم البياني هو شكل قلبي
المحور القطبي
المحور الأفقي في نظام الإحداثيات القطبية المقابل لـ (r≥0 )
نظام الإحداثيات القطبية
نظام لتحديد المواقع في الطائرة. الإحداثيات هي (r ) والإحداثيات الشعاعية و (θ ) الإحداثي الزاوي
المعادلة القطبية
معادلة أو وظيفة تتعلق بالإحداثيات الشعاعية بالإحداثيات الزاوية في نظام الإحداثيات القطبية
عمود
النقطة المركزية لنظام الإحداثيات القطبية ، أي ما يعادل أصل النظام الديكارتي
تنسيق شعاعي
(r ) الإحداثيات في نظام الإحداثيات القطبية الذي يقيس المسافة من نقطة في المستوى إلى القطب
ارتفع
رسم بياني للمعادلة القطبية (r = a cos 2θ ) أو (r = a sin 2θ ) لثابت موجب (a )
منحنى يملأ الفراغ
منحنى يشغل بالكامل مجموعة فرعية ثنائية الأبعاد من المستوى الحقيقي

إثبات معادلات كوشي ريمان في الإحداثيات القطبية

كيف يمكن للمرء أن يوضح أن النسخة القطبية من معادلات كوشي ريمان كافية للحصول على تفاضل لدالة قيمة معقدة لها مشتقات جزئية مستمرة؟

لم أجد أي دليل على ذلك عبر الإنترنت.

كانت إحدى أفكاري كتابة $ r $ و $ theta $ بدلالة $ x $ و $ y $ ، ثم أخذ المشتقات الجزئية بالنسبة إلى $ x $ و $ y $ وإظهار معادلات كوشي ريمان في الديكارتي. راضون عن نظام الإحداثيات. مشكلة في هذا النهج هي أن المشتقات تصبح فوضوية.

ما هي بعض الطرق الأخرى للقيام بذلك؟


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

يُطلق على نظام الإحداثيات المألوف لدينا نظام الإحداثيات الديكارتية ، وهو مستوى مستطيل مقسم إلى أربعة أرباع بواسطة محاور أفقية ورأسية. تحدد الإحداثيات الديكارتية نقطة على هذا المستوى من خلال مدى أقصى اليسار أو اليمين التي تقع من الأصل (الإحداثي (س )) وإلى أي مدى تقع أعلى أو أسفل الأصل (الإحداثي (ص )).

في الفصول السابقة ، وجدنا الإحداثيات الديكارتية لنقطة على دائرة الوحدة بزاوية معينة من المحور الأفقي الموجب. في بعض الأحيان ، توفر الزاوية جنبًا إلى جنب مع مسافة النقطة من الأصل طريقة أكثر فائدة لوصف موقع النقطة من الإحداثيات الديكارتية التقليدية.

الإحداثيات القطبية الفرعية

تتكون نقطة من زوج مرتب ، ((r، theta) text <،> ) حيث (r ) هي المسافة من النقطة إلى الأصل و ( theta ) هي الزاوية تقاس في الوضع القياسي.

لاحظ أنه إذا أردنا "شبكة" مستوى الإحداثيات القطبية ، فسيبدو مثل الرسم البياني أدناه ، مع الدوائر في أنصاف الأقطار المتزايدة والأشعة المرسومة بزوايا متزايدة.

مثال 77

ارسم النقطة القطبية ( displaystyle left (3، frac <5 pi> <6> right))

ستكون هذه النقطة على مسافة 3 من الأصل بزاوية (5 pi / 6 text <.> ) برسم هذه النقطة نحصل على الرسم البياني الموضح أدناه.

مثال 78

ارسم النقطة القطبية ( displaystyle left (2، - frac < pi> <4> right))

ستكون هذه النقطة على مسافة 2 من الأصل بزاوية (- pi / 4 text <.> ) برسم هذه النقطة نحصل على الرسم البياني الموضح أدناه.

الملاحظة 79

في المثال السابق ، رسمنا النقطة القطبية ((2، - pi / 4) text <.> ) لاحظ أن النقطة الناتجة على الرسم البياني هي نفسها النقطة القطبية

يمكن تمثيل أي نقطة ديكارتية بعدد لا حصر له من الإحداثيات القطبية المختلفة عن طريق إضافة أو طرح استدارة كاملة لقيمة ( theta ) لهذه النقاط. على سبيل المثال ، يمكن أيضًا تمثيل نفس النقطة كـ

عدد الطرق المختلفة لتمثيل نقطة قطبية لانهائي.

قسم التحويل بين الإحداثيات القطبية والديكارتي

للتحويل بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية ، يمكننا استخدام العلاقات المثلثية التي واجهناها في الفصل الأول.

للتحويل بين الإحداثيات القطبية ((r ، theta) ) والديكارتي ((س ، ص) ) ، يمكننا استخدام العلاقات التالية

من هذه العلاقات ومعرفتنا بدائرة الوحدة ، إذا (r = 1 ) و ( ثيتا = بي / 3 نص <،> ) ستكون الإحداثيات القطبية

وستكون الإحداثيات الديكارتية المقابلة

الملاحظة 80

سيكون تذكر قيم دائرة الوحدة مفيدًا جدًا عند التحويل بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية.

مثال 81

أوجد الإحداثيات الديكارتية لنقطة ذات الإحداثيات القطبية

باستخدام العلاقات المذكورة أعلاه ، فإن إحداثيات (س ) و (ص ) للنقطة هي

وهكذا ، فإن الإحداثيات الديكارتية هي

لاحظ أنه نظرًا لأن (2 pi / 3 ) زاوية شائعة في دائرة الوحدة ، يمكننا إيجاد الإحداثيات الديكارتية بدلاً من استخدام الآلة الحاسبة للعثور على القيم التقريبية لـ (س ) و (ص نص <. > )

مثال 82

أوجد الإحداثيات الديكارتية لنقطة ذات الإحداثيات القطبية

باستخدام العلاقات المذكورة أعلاه ، فإن إحداثيات (س ) و (ص ) للنقطة هي

نظرًا لأن ( theta = 4.3 ) الراديان ليس زاوية شائعة في دائرة الوحدة ، فنحن بحاجة إلى استخدام الآلات الحاسبة الخاصة بنا لإيجاد القيم التقريبية لـ (س ) و (ص نص <.> ) باستخدام الآلات الحاسبة الخاصة بنا ، نحن نحصل

وبالتالي ، فإن الإحداثيات الديكارتية هي

مثال 83

أوجد الإحداثيات القطبية لنقطة ذات الإحداثيات الديكارتية

لنبدأ برسم النقطة ((x، y) = (3، -4) ) على الرسم البياني واستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد نصف القطر المقابل للنقطة. لقد حصلنا على ذلك

الآن بعد أن عرفنا نصف القطر ، يمكننا إيجاد الزاوية باستخدام أي من العلاقات المثلثية الثلاث. ضع في اعتبارك أنه قد يكون هناك أكثر من حل عند حل ( theta ) وسنحتاج إلى النظر في الربع الذي توجد فيه نقطة ((س ، ص) ) لتحديد الحل الذي يجب استخدامه.

باستخدام دالة جيب التمام ، نحصل على ذلك

نظرًا لأن قيمة جيب التمام هذه لا تتوافق مع الزاوية المشتركة في دائرة الوحدة ، يجب علينا استخدام دالة جيب التمام العكسي لحل قيمة ( theta text <،> ) التي تعطينا

نظرًا لأن (0.927 ) أكبر من 0 وأقل من ( pi / 2 حوالي 1.571 نص <،> ) نعلم أن ( theta = 0.927 ) يقع في الربع الأول. بما أن النقطة ( (x، y) = (3، -4) ) يقع في الربع الرابع ، يجب أن نجد الزاوية الأخرى في دائرة الوحدة مع ( cos ( theta) = 0.6 )

تذكر من الدوال المثلثية المعكوسة أنه يمكننا استخدام تماثل دائرة الوحدة لإيجاد الزاوية الثانية. بالتناظر ، تكون مقادير الزاويتين الموضحتين أدناه متساوية. وبالتالي ، فإن ( theta = -0.927 ) هي زاوية أخرى تحقق ( cos ( theta) = 0.6 )

لذلك ، فإن الإحداثيات القطبية للنقطة هي

مثال 84

أوجد الإحداثيات القطبية لنقطة ذات الإحداثيات الديكارتية

لنبدأ برسم النقطة ((x، y) = (- 4 sqrt <2>، 4 sqrt <2>) ) على الرسم البياني واستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد نصف القطر المقابل للنقطة. لقد حصلنا على ذلك

الآن بعد أن عرفنا نصف القطر ، يمكننا إيجاد الزاوية باستخدام أي من العلاقات المثلثية الثلاث. ضع في اعتبارك أنه قد يكون هناك أكثر من حل عند حل ( theta ) وسنحتاج إلى النظر في الربع الذي توجد فيه نقطة ((س ، ص) ) لتحديد الحل الذي يجب استخدامه.

باستخدام دالة الجيب ، نحصل على ذلك

بما أن (y = sqrt <2> / 2 ) يتوافق مع زاوية مشتركة في دائرة الوحدة ، يمكننا إيجاد زاوية محددة. الزاويتان اللتان لهما قيمة جيب ( sqrt <2> 2 ) على دائرة الوحدة هما

نظرًا لأن النقطة ((x، y) = (- 4 sqrt <2>، 4 sqrt <2>) ) تقع في Quadrant II ، يمكننا تحديد ذلك ( theta = 3 pi / 4 نص <.> ) وبالتالي ، فإن الإحداثيات القطبية

مثال 85

حول الإحداثيات القطبية ((r، theta) = (2، pi) ) إلى الإحداثيات الديكارتية.

حول الإحداثيات الديكارتية ((س ، ص) = (0 ، -4) ) إلى الإحداثيات القطبية.

باستخدام العلاقات المذكورة أعلاه ، فإن إحداثيات (س ) و (ص ) للنقطة هي

لذلك فإن إحداثيات كارتيسان هي ((س ، ص) = (2،0) نص <.> )

لنبدأ برسم النقطة ((س ، ص) = (0 ، -4) ) على الرسم البياني.

منحنيات القسم الفرعي الموصوفة باستخدام المعادلات القطبية

تمامًا كما تصف المعادلة الديكارتية مثل (y = x ^ 2 ) العلاقة بين قيم (x ) و (y ) على شبكة ديكارتي ، يمكن كتابة معادلة قطبية تصف العلاقة بين (r ) ) و ( theta ) على شبكة قطبية.

هناك العديد من أنواع المنحنيات التي يمكن رسمها باستخدام الدوال المثلثية. في هذا القسم نركز على رسم الدوائر والأشعة.

مثال 86

ارسم رسمًا بيانيًا للمعادلة القطبية (r = 2 text <.> )

Recall that when a variable does not show up in the equation, it does not matter what value that variable has. The output for the equation will remain the same.

For example, the Cartesian equation (y=2) describes all the points where (y=2 ext<,>) no matter what the (x) values are, which produces a horizontal line.

Likewise, this polar equation describes all points at a distance of 2 from the origin, no matter the value of angle ( heta ext<.>) Therefore, this equation produces a circle of radius 2 on a polar graph.

Note that we graphed the polar equation (r=2) on a polar grid. However, polar graphs are often graphed on a Cartesian coordinate system, as shown below. We will use both types of graphs in future examples.

Example 87

Sketch a graph of the polar equation

Like the previous example, this polar equation involves only one variable, ( heta ext<.>) Therefore, ( heta=pi/3) describes all points at an angle of (pi/3) from the origin, regardless of the value of the radius, (r ext<.>) This equation produces a ray through the origin which makes an angle of (pi/3) with the positive horizontal axis.

Subsection Describing Regions with Polar Inequalities

In addition to graphing polar equations, we can also write polar inequalities to describe regions in the plane. Sometimes, this is not easily done with Cartesian coordinates.

Example 88

Shade the region described by the polar inequalities

In the shaded region below, ( heta) is restricted to be between (pi/6) and (pi/3) (including those angles). Within that range for ( heta ext<,>) all positive (r) values are allowed. Thus, the shaded region shown below is represented by the polar inequalities

Example 89

Shade the region described by the polar inequalities

In the shaded region below, (r) is restricted to be between (1) and (2.5 ext<.>) Notice that we do not want to include the points corresponding to (r=1) and (r=2.5) so we use dashed lines instead of solid ones. Any value of ( heta) between (0) and (2pi) is allowed. Thus, the washer shaped region shaded below is represented by the polar inequalities

Example 90

Write a set of polar inequalities to describe the shaded region shown below.

The shaded region begins at the origin and has an outer radius of 2. Therefore,

The shaded region stretches from the angle (pi/2) to the angle (4pi/3 ext<,>) so

Putting together these bounds for (r) and ( heta) gives us the polar inequalities

Example 91

Write a set of polar inequalities to describe the shaded region shown below.

The shaded region has an inner radius of 2 and an outer radius of 3. Since there are dotted lines at these two radii, we need to use strict inequalities. لذلك،

The shaded region stretches from the angle (3pi/2) to the angle (5pi/6 ext<.>) However, (3pi/2) is greater than (5pi/6 ext<,>) so in order to describe the shaded region, ( heta) cannot be greater than (3pi/2) and less than (5pi/6 ext<.>) Instead, we can use the angle (-pi/2) as our lower bound. This gives us the inequality

Notice that ( heta) can equal (-pi/2) and (5pi/6 ext<,>) as represented by the solid lines. Putting together the bounds for (r) and ( heta) gives us the polar inequalities


Difference Between Cartesian Coordinates and Polar Coordinates

In Geometry, a coordinate system is a reference system, where numbers (or coordinates) are used to uniquely determine the position of a point or other geometric element in space. The coordinate systems allow the geometrical problems to be converted into a numerical problem, which provides the basis for Analytic Geometry.

Cartesian coordinate system and the Polar coordinate systems are two of the common coordinate systems used in mathematics.

Cartesian Coordinates

Cartesian coordinate system uses the real number line as the reference. In one dimension, the number line extends from negative infinity to positive infinity. Considering the point 0 as the start, the length to each point can be measured. This provides a unique way of identifying a position on the line, with a single number.

The concept can be extended into two and three dimensions where number lines perpendicular to each other are used. They all share the same point 0 as the start. The number lines are termed as axes, and often called X axis, Y axis, and Z axis. The distance to a point along each axis starting from (0, 0, 0), which is also known as the origin, and given as a tuple is known as the coordinate of the point. A general point in this space can be represented by the coordinate (x,y,z). In a plane system where there are only two axes, coordinates are given as (x,y). A plane created by the axes are known as a Cartesian plane, and often referred to by the letters of the axes. على سبيل المثال XY plane.

This general point can be used to describe different geometrical elements by constraining the general point to behave in specific ways. For example, equation x^2+y^2=a^2 represents a circle. Rather than drawing a circle with radius a it is possible to denote the circle with more abstract way shown above.

Polar Coordinates

Polar coordinates use a difference reference system to denote a point. Polar coordinates system uses the counter clockwise angle from the positive direction of x axis and the straight line distance to the point as the coordinates.

The polar coordinates can be represented as above in the two dimensional Cartesian coordinates system.

The transformation between polar and Cartesian systems is given by following relations:

r = √(x 2 + y 2 ) ↔ x = r cosθ, y = r sinθ

What is the difference between Cartesian and Polar Coordinates?

• Cartesian coordinates use number lines as the axes, and it can be used in one, two or three dimensions. Therefore has the ability to represent linear, planar, and solid geometries.

• Polar coordinates use an angle and a length as the coordinates, and it can represent only linear and planar geometries, though it can be developed into cylindrical coordinates system, to represent solid geometries.


Polar Plots

When plotting in polar, we typically take (r) to be a function of ( heta) . In doing so, we get curves that are كثير different than the curves we get as functions of (x) in rectangular coordinates. Here are a couple examples animated as ( heta) goes from (0) to (2pi) (you won't be responsible for knowing these):

Let's start more simply by just consider what happens when we plot the curves corresponding to equations of the form (r = ext<[constant]>) and ( heta = ext<[constant]>) .

مثال 4

Consider the equation (r=3) . We want to plot all the points in the plane with an (r) -coordinate of 3. Since (r) measures distance from the origin, this means that we want all points that are 3 units from the origin: its a circle. Below, (r=3) is plotted and animated as ( heta) goes from (0) to (2pi) .

Example 5

What if we set ( heta) equal to a constant, say, ( heta=pi/6) ? Then we want all points of the form ((r,pi/6)) , where (r) can be any value, positive or negative. In this case, we get a line. Below, ( heta = pi / 6) is plotted and animated as (r) goes from (-4) to (4) .

Example 6

Now let's look at some functions of ( heta) . For example, consider (r = 2cos heta) . Let's start by making a table of some values.

( heta) ص
(0) 2
(pi/6) (sqrt3)
(pi/4) (sqrt2)
(pi/3) (1)
(pi/2) (0)
(2pi/3) (-1)
(3pi/4) (-sqrt2)
(5pi/6) (-sqrt3)
(pi) (-2)

Notice that we're already back to where we started! If we carefully plot these points we get the following picture:

Here I've animated the graph for (0leq hetaleq 2pi) , so it goes around the circle twice. This will be important when we talk about integrating functions in polar.

We can show that this is definitely a circle by manipulating the equation (r = 2cos heta) a bit. First, multiply both sides by (r) . إذن لدينا

We saw earlier that (r^2 = x^2 + y^2) and (rcos heta = x) . So we have:

This is the equation for a circle with radius 1, centered at (1,0).

Generalizing a bit, we'll find that any equation of the form (r = acos heta) creates a circle centered at ((a/2, 0)) with radius (a/2) .

Example 7

A similar thing happens when we consider equations of the form (r = asin heta) . For example, let consider (r = -2 sin heta) . Repeating our اضرب في (r) and complete the square trick, we get

Here it is plotted and animated:

Again, we go around the circle مرتين over (0leq hetaleq 2pi) .

Example 8: Cardioid

One important polar curve that you've probably never encountered before is the Cardioid. Consider the equation (r = 1 + cos heta) . Let's start by plotting some points:

( heta) ص
(0) 2
(pi/6) (1+sqrt3/2)
(pi/4) (1+sqrt2/2)
(pi/3) (3/2)
(pi/2) (1)
(2pi/3) (1/2)
(3pi/4) (1-sqrt2/2)
(5pi/6) (1-sqrt3/2)
(pi) (0)

Because (cos heta) is even (i.e (cos- heta = cos heta) ), we'll get the mirror images of these points over the (y) -axis. Here it is plotted and animated for (0leq hetaleq 2pi) .

Generalizing: cardioids take the form (r=a(1+cos heta)) and (r=a(1+sin heta))

An application: The cardioid is a common polar pattern in microphones. The polar pattern of a microphone describes how sensitive it is to sound coming from various angles.


How do you convert rectangular coordinates to polar coordinates?

Basically, if you are given an #(r,theta)# -a polar coordinate- , you can plug your #r# and #theta# into your equation for #x=rcos theta # and #y=rsin theta# to get your #(x,y)# .

The same holds true for if you are given an #(x,y)# -a rectangular coordinate- instead. You can solve for #r# in #r^2=x^2+y^2# to get #r=sqrt(x^2+y^2)# and solve for #theta# in #tan theta= y/x# to get #theta=arctan (y/x)# (arctan is just tan inverse, or #tan^-1# ). Note that there can be infinitely many polar coordinates that mean the same thing. For example, #(5, pi/3)=(5,-5pi/3)=(-5,4pi/3)=(-5,-2pi/3)# . However, by convention, we are always measuring positive #theta# COUNTERCLOCKWISE from the x-axis, even if our #r# is negative.

Let's look at a couple examples.

( 1)Convert #(4,2pi/3)# into Cartesian coordinates.

So we just plug in our #r=4# and #theta= 2pi/3# into

#x=4cos 2pi/3=-2#
#y=4sin 2pi/3=2sqrt3#

The cartersian coordinate is #(-2,2sqrt3)#

(2) Convert #(1,1)# into polar coordinates. ( since there are many posibilites of this, the restriction here is that #r# must be positive and #theta# must be between 0 and #pi# )

So, #x=1# and #y=1# . We can find # r# and #theta# from:
#r=sqrt(1^2+1^2)=sqrt2#
#theta=arctan (y/x)=arctan(1)=pi/4#


11.3: Polar Coordinates - Mathematics

There are two directions: the ص direction is the direction of a vector from the origin to the point in question
a unit vector in this direction has representation:

شص = أنا cos+ ي الخطيئة

thedirection is normal to this:

ش = -أنا sin + ي كوس

The vector r is represented in this coordinate system by ص = rشص , where r = (x 2 +y 2 ) 1/2
since we have

ص(t) = x(t) أنا + y(t) ي

Taking derivatives we find

verify by differentiating yourself that

We can compute the second derivative in polar coordinates by continued accurate use of the product and chain rules and

The second and fourth terms here are sometimes referred to in physics as the centrifugal and Coriolis forces. Thus if an object is subject to no external force, so that

you will find that it obeys

The former causes the radial velocity to grow if there is angular motion: the latter slows down the angular motion if the object is moving away from the origin.


Coolidge: Origin of Polar Coordinates

Polar coordinates were used for special purposes and for the study of particular curves before they were appreciated as a general geometrical tool. The first writer to employ them was Bonaventura Cavalieri, who used them to find the area within an Archimedian spiral by relating it to that outside a parabola. Pascal used the same transformation to calculate the length of a parabolic are, a problem previously solved by Roberval, but his solution was not universally accepted as valid. James Gregory had a similar transformation between two individual curves, where the areas were related, while Pierre Varignon used a slightly different transformation for the study of spirals.

The first writer who looked on polar coordinates as a means of fixing any point in the plane was Newton. He, however, considered them alongside Cartesian, bipolar, and other systems, his only interest at that point being to show how the tangent could be determined when the equation of the curve was given in the one or the other system. A deeper interest was shown by Jacob Bernoulli, who went so far as to write the expression for the radius of curvature when the equation of the curve was given in polar form.

The first writer to think of polar coordinates in 3 -space was Clairaut, but he merely mentions the possibility of such things. The first to develop them was Euler to whom we owe both polar and radio-angular coordinates. An interesting modification of the latter was developed by Ossian Bonnet.


Convert Polar to Cartesian Coordinates

To convert a point from the polar coordinate system to cartesian coordinate system the trigonometric functions sine and cosine are used to solve for the and coordinate of the point. A point in the polar coordinate system is in the form of and a point in the cartesian coordinate system is in the form of . The formulas for the conversion are shown below:

Note, by convention, radians are used to measure angles in polar coordinates. A full rotation in radians is equal to (tau) radians and a full rotation in degrees is equal to . The substitution can be used to translate between the two systems.


مساعدة! integral using polar coordinates

I am not sure why there is a question mark at the end of the 1st line. Also, what is a pudding in this problem?

Can you please post the exact question? A picture of the problem would be best.

Also if you want help you need to follow the posting guidelines by showing us your work so we know what type of help you need. شكرا!

Mknoow

New member

Mknoow

New member

LCKurtz

Full Member

I have made a couple of assumptions about what you really want and plugged it into a Maple worksheet. It calculates the volume of a single cake 2cm high with the shape given (which is my best guess at what you want):


Edit, added: I was thinking this was a real world problem, not a homework problem. If I'm wrong, c'est la vie.

Mknoow

New member

I have made a couple of assumptions about what you really want and plugged it into a Maple worksheet. It calculates the volume of a single cake 2cm high with the shape given (which is my best guess at what you want):

View attachment 19798
Edit, added: I was thinking this was a real world problem, not a homework problem. If I'm wrong, c'est la vie.


شاهد الفيديو: 1-الاحداثيات القطبيه للصف الحادي عشر المتقدم والثاني عشر العام (شهر نوفمبر 2021).