مقالات

3.8: مصفوفة الأسي


3.8.1 التعريف

نقدم في هذا القسم طريقة مختلفة لإيجاد حل المصفوفة الأساسي لنظام ما. افترض أن لدينا معادلة المعامل الثابت

[ vec {x} '= P vec {x} ]

كل عادة. افترض الآن أن هذه كانت معادلة واحدة ( (P ) عبارة عن رقم أو (1 مرات 1 ) مصفوفة). ثم سيكون الحل لهذا

[ vec {x} = e ^ {Pt}. ]

اتضح أن نفس الحساب يعمل مع المصفوفات عندما نحدد (e ^ {Pt} ) بشكل صحيح. أولاً ، دعنا نكتب سلسلة Taylor لـ (e ^ {at} ) لبعض الأرقام (a ).

[e ^ {at} = 1 + at + frac {(at) ^ 2} {2} + frac {(at) ^ 3} {6} + frac {(at) ^ 4} {24} + cdots = sum_ {k = 0} ^ { infty} frac {(at) ^ k} {k!} ]

استدعاء (k! = 1 cdot 2 cdot 3 cdots k ) هو العامل ، و (0! = 1 ). نحن نفرق مصطلح هذه السلسلة من حيث الحد

[ frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} e ^ {at} = a + a ^ 2 t + frac {a ^ 3 t ^ 2} {2} + frac {a ^ 4 t ^ 3} {6} + cdots = a left (1 + at frac {(at) ^ 2} {2} + frac {(at) ^ 3} {6} + cdots right ) = ae ^ {at}. ]

ربما يمكننا تجربة نفس الحيلة مع المصفوفات. افترض أنه بالنسبة إلى (n times n ) مصفوفة (A ) قمنا بتعريف أسي المصفوفة كـ

[e ^ A = mathit {I} + A + frac {1} {2} A ^ 2 + frac {1} {6} A ^ 3 + cdots + frac {1} {k!} أ ^ ك + cdots ]

دعونا لا نقلق بشأن التقارب. تتلاقى السلسلة دائمًا. نكتب عادةً (Pt ) كـ (tP ) بالتوافق عندما يكون (P ) مصفوفة. مع هذا التغيير الصغير وبنفس الحساب بالضبط كما هو مذكور أعلاه ، لدينا ذلك

[ frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} left (e ^ {tP} right) = P e ^ {tP}. ]

الآن (P ) وبالتالي (e ^ {tP} ) عبارة عن مصفوفة (n times n ). ما نبحث عنه هو ناقل. نلاحظ أنه في حالة (1 times 1 ) سنضرب في هذه المرحلة بثابت عشوائي للحصول على الحل العام. في حالة المصفوفة ، نضرب في متجه العمود ( vec {c} ).

نظرية 3.8.1. دع (P ) يكون (n times n ) مصفوفة. إذن الحل العام لـ ( vec {x} '= P vec {x} ) هو

[ vec {x} = e ^ {tP} vec {c}، ]

حيث ( vec {c} ) متجه ثابت تعسفي. في الواقع ( vec {x} (0) = vec {c} ).

دعنا نتحقق.

[ frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} vec {x} = frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} left (e ^ {tP} vec {c} right) = P e ^ {tP} vec {c} = P vec {x}. ]

ومن ثم فإن (e ^ {tP} ) هو ملف حل المصفوفة الأساسي للنظام المتجانس. إذا وجدنا طريقة لحساب أسي المصفوفة ، سيكون لدينا طريقة أخرى لحل أنظمة متجانسة ذات معامل ثابت. كما أنه يجعل من السهل حل الشروط الأولية. لحل ( vec {x} '= A vec {x} ) ، ( vec {x} (0) = vec {b} ) نأخذ الحل

[ vec {x} = e ^ {tA} vec {b} ]

تتبع هذه المعادلة لأن (e ^ {0A} = mathit {I} ) ، لذلك ( vec {x} (0) = e ^ {0A} vec {b} = vec {b} ) .

نذكر عيب المصفوفة الأسية. بشكل عام (e ^ {A + B} neq e ^ A e ^ B ). المشكلة هي أن المصفوفات لا تنتقل ، أي بشكل عام (AB neq BA ). إذا حاولت إثبات (e ^ {A + B} neq e ^ A e ^ B ) باستخدام سلسلة Taylor ، فسترى سبب تحول نقص التبادلية إلى مشكلة. ومع ذلك ، لا يزال صحيحًا أنه إذا (AB = BA ) ، أي إذا (A ) و (B ) يسافر يوميا الى العمل، ثم (e ^ {A + B} = e ^ A e ^ B ). سنجد هذه الحقيقة مفيدة. دعونا نعيد صياغة هذا كنظرية لإثبات وجهة نظرنا.

نظرية 3.8.2. إذا كان (AB = BA ) ، إذن (e ^ {A + B} = e ^ Ae ^ B ). بخلاف ذلك (e ^ {A + B} neq e ^ Ae ^ B ) بشكل عام.

3.8.2 حالات بسيطة

في بعض الحالات ، قد يكون من المفيد فقط الدخول في تعريف السلسلة. افترض أن المصفوفة قطرية. على سبيل المثال ، (D = begin {bmatrix} a & 0 0 & b end {bmatrix} ). ثم

[D ^ k = begin {bmatrix} a ^ k & 0 0 & b ^ k end {bmatrix} ]

و

[e ^ D = mathit {I} + D + frac {1} {2} D ^ 2 + frac {1} {6} D ^ 3 + cdots = begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 نهاية {bmatrix} + begin {bmatrix} a & 0 0 & b end {bmatrix} + frac {1} {2} begin {bmatrix} a ^ 2 & 0 0 & b ^ 2 end {bmatrix} + frac { 1} {6} begin {bmatrix} a ^ 3 & 0 0 & b ^ 3 end {bmatrix} + cdots = begin {bmatrix} e ^ a & 0 0 & e ^ b end {bmatrix} ]

لذلك من خلال هذا الأساس المنطقي لدينا ذلك

[e ^ { mathit {I}} = begin {bmatrix} e & 0 0 & e end {bmatrix} ~~~~ { rm ~ {and ~}} ~~~~ e ^ {a mathit { I}} = begin {bmatrix} e ^ a & 0 0 & e ^ a end {bmatrix} ]

هذا يجعل من السهل حساب مصفوفات أخرى أسية. لاحظ على سبيل المثال أن المصفوفة (A = start {bmatrix} 5 & 4 - 1 & 1 end {bmatrix} ) يمكن كتابتها كـ (3 mathit {I + B} ) حيث ( mathit {B } = start {bmatrix} 2 & 4 - 1 & -2 end {bmatrix} ). لاحظ أن ( mathit {B ^ 2} = begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {bmatrix} ). لذلك ( mathit {B ^ k} = 0 ) للجميع (k geq 2 ). لذلك ، (e ^ B = mathit {I + B} ). لنفترض أننا نريد بالفعل حساب (e ^ {tB} ). المصفوفات (3 mathit {tI} ) و (tB ) تنقل (تمرين: تحقق من ذلك) و (e ^ {tB} = mathit {I + tB} ) ، منذ ( left ( tB right) ^ 2 = t ^ 2 B ^ 2 = 0 ). نحن نكتب

[e ^ {tA} = e ^ { mathit {3t I} + t mathit {B}} = e ^ {3t mathit {I}} e ^ {t mathit {B}} = begin { bmatrix} e ^ {3t} & 0 0 & e ^ {3t} end {bmatrix} left (I + tB right) = begin {bmatrix} e ^ {3t} & 0 0 & e ^ {3t} النهاية {bmatrix} start {bmatrix} 1 + 2t & 4t - t & 1-2t end {bmatrix} = begin {bmatrix} left (1 + 2t right) e ^ {3t} & 4te ^ {3t} -te ^ {3t} & left (1-2t right) e ^ {3t} end {bmatrix} ]

لذلك وجدنا حل المصفوفة الأساسي للنظام ( vec {x} '= A vec {x} ). لاحظ أن هذه المصفوفة لها قيمة ذاتية متكررة مع وجود عيب ؛ يوجد متجه واحد فقط للقيمة الذاتية 3. لذلك وجدنا طريقة أسهل للتعامل مع هذه الحالة. في الواقع ، إذا كانت المصفوفة (A ) هي (2 مرات 2 ) ولها قيمة ذاتية ( لامدا ) من التعددية 2 ، إذن إما (A ) قطري ، أو (A = lambda mathit {I} + B ) حيث (B ^ 2 = 0 ). هذا تمرين جيد.

تمرين ( PageIndex {1} ):

افترض أن (A ) هو (2 times 2 ) و ( lambda ) هي القيمة الذاتية الوحيدة. ثم بيّن أن ( left (A - lambda mathit {I} right) ^ 2 = 0 ). ثم يمكننا كتابة (A = lambda mathit {I} + B ) حيث (B ^ 2 = 0 ). تلميح: اكتب أولاً ما الذي يعنيه أن تكون قيمة eigenvalue ذات تعدد 2. ستحصل على معادلة للمدخلات. الآن احسب مربع (ب ).

المصفوفات (B ) مثل (B ^ k = 0 ) لبعض K. لا قوة. يعد حساب المصفوفة الأسية للمصفوفات غير الفعالة أمرًا سهلاً بمجرد كتابة أول مصطلحات K من سلسلة تايلور.

3.8.3 المصفوفات العامة

بشكل عام ، ليس من السهل حساب الأسي كما هو مذكور أعلاه. لا يمكننا عادةً كتابة مصفوفة كمجموع مصفوفات التنقل حيث يكون الأسي بسيطًا لكل منها. لكن لا تخف ، لا يزال الأمر صعبًا للغاية بشرط أن نتمكن من إيجاد متجهات ذاتية كافية. نحتاج أولاً إلى النتيجة المثيرة التالية حول الأس المصفوفة. لمصفوفتين مربعتين (أ ) و (ب ) ، مع (ب ) غير قابل للعكس، نحن لدينا

[e ^ {BAB ^ {- 1}} = Be ^ AB ^ {- 1}. ]

يمكن ملاحظة ذلك من خلال تدوين سلسلة تايلور. أولا لاحظ ذلك

[ left (BAB ^ {- 1} right) ^ 2 = BAB ^ {- 1} BAB ^ {- 1} = BA mathit {I} AB ^ {- 1} = BA ^ 2B ^ {- 1 } ]

ومن ثم بنفس المنطق ( left (BAB ^ {- 1} right) ^ k = B A ^ k B ^ {- 1} ). اكتب الآن سلسلة Taylor لـ (e ^ {BAB ^ {- 1}} ).

[e ^ {BAB ^ {- 1}} = mathit {I} + BAB ^ {- 1} + frac {1} {2} left (BAB ^ {- 1} right) ^ 2 + frac {1} {6} left (BAB ^ {- 1} right) ^ 3 + cdots = BB ^ {- 1} + BAB ^ {- 1} + frac {1} {2} BA ^ 2 B ^ {- 1} + frac {1} {6} BA ^ 3 B ^ {- 1} + cdots = B left ( mathit {I} + A + frac {1} { 2} A ^ 2 + frac {1} {6} A ^ 3 + cdots right) B ^ {- 1} = Be ^ AB ^ {- 1}. ]

بالنظر إلى مصفوفة مربعة (A ) ، يمكننا أحيانًا كتابة (A = EDE ^ {- 1} ) ، حيث (D ) قطري و (E ) معكوس. هذا الإجراء يسمى قطري. إذا تمكنا من القيام بذلك ، فإن حساب الأسي يصبح سهلاً. بإضافة (t ) إلى المزيج ، نرى أنه يمكننا بسهولة حساب الأسي

[e ^ {tA} = Ee ^ {tD} E ^ {- 1}. ]

لقطر (أ ) سنحتاج (n ) مستقل خطيا المتجهات الذاتية لـ (أ ). وإلا فإن طريقة حساب الأسي هذه لن تعمل ونحتاج إلى أن نكون أكثر تعقيدًا ، لكننا لن ندخل في مثل هذه التفاصيل. تركنا (E ) المصفوفة مع المتجهات الذاتية كأعمدة. لنفترض أن ( lambda_1، cdots، lambda_n ) هي قيم eigenvalues ​​واجعل ( vec {v} _1، cdots، vec {v} _n ) هي المتجهات الذاتية ، ثم (E = start { bmatrix} vec {v} _1 ~~ vec {v} _2 ~~ cdots ~~ vec {v} _n end {bmatrix} ). لنفترض (D ) أن تكون المصفوفة المائلة مع القيم الذاتية على القطر الرئيسي. هذا هو

[D = begin {bmatrix} lambda_1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambda end {bmatrix} ]

نحن نحسب

[AE = A begin {bmatrix} vec {v} _1 & vec {v} _2 & cdots & vec {v} _n end {bmatrix} = begin {bmatrix} A vec {v} _1 & A vec {v} _2 & cdots & A vec {v} _3 end {bmatrix} = begin {bmatrix} lambda_1 vec {v} _1 & lambda_2 vec {v} _2 & cdots & lambda_n vec {v} _n end {bmatrix} = begin {bmatrix} vec {v} _1 & vec {v} _2 & cdots & vec {v} _n end {bmatrix} D = ED. ]

أعمدة (E ) مستقلة خطيًا لأنها متجهات ذاتية مستقلة خطيًا لـ (A ). ومن ثم فإن (E ) هو غير قابل للعكس. منذ (AE = ED ) ، نضرب بشكل صحيح في (E ^ {- 1} ) ونحصل على

[A = EDE ^ {- 1}. ]

هذا يعني ذاك . (e ^ A = E e ^ D E ^ {- 1} ) ضرب المصفوفة في (t ) نحصل عليها

[e ^ {tA} = E e ^ {tD} E ^ {- 1} = E begin {bmatrix} e ^ { lambda_1 t} & 0 & cdots & 0 0 & e ^ { lambda_2 t} & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & e ^ { lambda_n t} end {bmatrix} E ^ {- 1} ]

وبالتالي ، فإن الصيغة (3.8.21) تعطي صيغة حساب حل المصفوفة الأساسي (e ^ {tA} ) للنظام ( vec {x} '= A vec {x} ) ، في الحالة التي يكون لدينا فيها (n ) متجهات ذاتية مستقلة خطيًا.

لاحظ أن هذا الحساب لا يزال يعمل عندما تكون قيم eigenvalues ​​و eigenvectors معقدة ، على الرغم من أنه سيتعين عليك بعد ذلك الحساب بأرقام معقدة. يتضح من التعريف أنه إذا كان (A ) حقيقيًا ، فإن (e ^ {tA} ) حقيقي. لذلك ستحتاج فقط إلى أرقام معقدة في الحساب وقد تحتاج إلى تطبيق صيغة أويلر لتبسيط النتيجة. إذا تم التبسيط بشكل صحيح ، فلن تحتوي المصفوفة النهائية على أي أعداد مركبة.

مثال ( PageIndex {1} ):

احسب حل المصفوفة الأساسي باستخدام الأس المصفوفة للنظام

[ start {bmatrix} x y end {bmatrix} '= begin {bmatrix} 1 & 2 2 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} x y end {bmatrix}. ]

ثم احسب الحل المحدد للشروط الأولية (x (0) = 4 ) و (y (0) = 2 ).

لنفترض أن (A ) يكون مصفوفة المعامل ( start {bmatrix} 1 & 2 2 & 1 end {bmatrix} ). نحسب أولاً (تمرين) أن قيم eigenvalues ​​هي 3 و -1 والمتجهات الذاتية المقابلة هي ( begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix} ) و ( begin {bmatrix} 1 - 1 نهاية {bmatrix} ). ومن هنا نكتب
[e ^ {tA} = begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix} begin {bmatrix} e ^ {3t} & 0 0 & e ^ {- t} end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix} ^ {- 1} ]

[= begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix} begin {bmatrix} e ^ {3t} & 0 0 & e ^ {- t} end {bmatrix} frac {-1} { 2} start {bmatrix} -1 & -1 - 1 & 1 end {bmatrix} ]

[= frac {-1} {2} begin {bmatrix} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & - e ^ {- t} end {bmatrix} begin {bmatrix} -1 & -1 - 1 & 1 end {bmatrix} ]

[= frac {-1} {2} begin {bmatrix} -e ^ {3t} -e ^ {- t} & - e ^ {3t} + e ^ {- t} - e ^ { 3t} + e ^ {- t} & - e ^ {3t} -e ^ {- t} end {bmatrix} ]

[= begin {bmatrix} frac {e ^ {3t} + e ^ {- t}} {2} & frac {e ^ {3t} -e ^ {- t}} {2} frac {e ^ {3t} -e ^ {- t}} {2} & frac {e ^ {3t} + e ^ {- t}} {2} end {bmatrix} ]

الشروط الأولية هي (x (0) = 4 ) و (y (0) = 2 ). ومن ثم ، من خلال الخاصية التي (e ^ {0A} = mathit {I} ) نجد أن الحل المحدد الذي نبحث عنه هو (e ^ {tA} vec {b} ) حيث ( vec {b} ) هو ( begin {bmatrix} 4 2 end {bmatrix} ). ثم الحل الخاص الذي نبحث عنه هو

[ start {bmatrix} x y end {bmatrix} = begin {bmatrix} frac {e ^ {3t} + e ^ {- t}} {2} & frac {e ^ {3t} -e ^ {- t}} {2} frac {e ^ {3t} -e ^ {- t}} {2} & frac {e ^ {3t} + e ^ {- t}} { 2} end {bmatrix} begin {bmatrix} 4 2 end {bmatrix} = begin {bmatrix} 2e ^ {3t} + 2e ^ {- t} + e ^ {3t} -e ^ {- t} 2e ^ {3t} -2e ^ {- t} + e ^ {3t} + e ^ {- t} end {bmatrix} = begin {bmatrix} 3e ^ {3t} + e ^ {- t} 3e ^ {3t} -e ^ {- t} end {bmatrix} ]

3.8.4 حلول المصفوفة الأساسية

نلاحظ أنه إذا كان بإمكانك حساب حل المصفوفة الأساسي بطريقة مختلفة ، فيمكنك استخدام هذا لإيجاد أسي المصفوفة (e ^ {tA} ). إن حل المصفوفة الأساسي لنظام من المعادلات التفاضلية الجزئية ليس فريدًا. الأسي هو حل المصفوفة الأساسي مع خاصية (t = 0 ) نحصل على مصفوفة الوحدة. إذن علينا إيجاد حل المصفوفة الأساسي الصحيح. لنفترض أن (X ) هو أي حل مصفوفة أساسي لـ ( vec {x} '= A vec {x} ). ثم ندعي

[e ^ {tA} = X (t) [X (0)] ^ {- 1}. ]

من الواضح أننا إذا أدخلنا (t = 0 ) في (X (t) [X (0)] ^ {- 1} ) نحصل على الهوية. يمكننا ضرب حل مصفوفة أساسي على اليمين في أي مصفوفة ثابتة قابلة للانعكاس وما زلنا نحصل على حل مصفوفة أساسي. كل ما نقوم به هو تغيير الثوابت العشوائية في الحل العام ( vec {x} (t) = X (t) vec {c} ).

3.8.5 التقريبات

إذا فكرت في الأمر ، فإن حساب أي حل مصفوفة أساسي (X ) باستخدام طريقة eigenvalue يكون بنفس صعوبة حساب (e ^ {tA} ). لذلك ربما لم نربح الكثير من هذه الأداة الجديدة. ومع ذلك ، فإن توسع سلسلة تايلور يمنحنا في الواقع طريقة سهلة للغاية لتقريب الحلول ، وهو ما لم تفعله طريقة القيمة الذاتية.

أبسط شيء يمكننا فعله هو حساب المتسلسلة حتى عدد معين من الحدود. هناك طرق أفضل لتقريب الأسي1. ومع ذلك ، في كثير من الحالات ، يعطي عدد قليل من المصطلحات في سلسلة Taylor تقريبًا معقولًا للأسي وقد يكون كافياً للتطبيق. على سبيل المثال

احسب أول 4 حدود من المتسلسلة للمصفوفة. (A = begin {bmatrix} 1 & 2 2 & 1 end {bmatrix} )

[e ^ {tA} almost mathit {I} + tA + frac {t ^ 2} {2} A ^ 2 = mathit {I} + t begin {bmatrix} 1 & 2 2 & 1 end { bmatrix} + t ^ 2 begin {bmatrix} frac {5} {2} & 2 2 & frac {5} {2} end {bmatrix} + t ^ 3 begin {bmatrix} frac {13} {6} & frac {7} {3} frac {7} {3} & frac {13} {6} end {bmatrix} = start {bmatrix} 1 + t + frac {5 } {2} t ^ 2 + frac {13} {6} t ^ 3 & 2t + 2t ^ 2 + frac {7} {3} t ^ 3 2t + 2t ^ 2 + frac {7} { 3} t ^ 3 & 1 + t + frac {5} {2} t ^ 2 + frac {13} {6} t ^ 3 end {bmatrix} ]

تمامًا مثل النسخة العددية لتقريب سلسلة Taylor ، سيكون التقريب أفضل بالنسبة لـ t الصغيرة وأسوأ بالنسبة لـ t الأكبر. بالنسبة إلى t الأكبر ، سيتعين علينا عمومًا حساب المزيد من المصطلحات. دعونا نرى كيف نكافئ الحل الحقيقي بـ (t = 0.1 ). الحل التقريبي تقريبًا (مقربًا إلى 8 منازل عشرية)

[e ^ {0.1A} almost mathit {I} + 0.1A + frac {0.1 ^ 2} {2} + frac {0.1 ^ 3} {6} A ^ 3 = begin {bmatrix} 1.12716667 & 0.22233333 0.22233333 & 1.12716667 end {bmatrix} ]

ونحصل على (t = 0.1 ) في الحل الحقيقي (مقربًا إلى 8 منازل عشرية)

[e ^ {0.1A} = begin {bmatrix} 1.12734811 & 0.22251069 0.22251069 & 1.12734811 end {bmatrix} ]

ليس سيئا على الإطلاق! على الرغم من أننا إذا أخذنا نفس التقريب لـ (t = 1 ) نحصل عليه

[ mathit {I} + A + frac {1} {2} A ^ 2 + frac {1} {6} A ^ 3 = begin {bmatrix} 6.66666667 & 6.33333333 6.33333333 & 6.66666667 نهاية {bmatrix} ]

بينما القيمة الحقيقية هي (مرة أخرى مقربة إلى 8 منازل عشرية)

[e ^ A = begin {bmatrix} 10.22670818 & 9.85882874 9.85882874 & 10.22670818 end {bmatrix} ]

لذا فإن التقريب لن يكون جيدًا بمجرد وصولنا إلى (t = 1 ). للحصول على تقدير تقريبي جيد عند (t = 1 ) (لنقل ما يصل إلى منزلتين عشريتين) ، نحتاج إلى الصعود إلى (11 ^ {th} ) القوة (تمرين).

1مولير وسي. فان لوان ، تسعة عشر طريقة مشكوك فيها لحساب الأسي لمصفوفة ، بعد خمسة وعشرين عامًا ، مراجعة SIAM 45 (1) ، 2003 ، 3-49


شاهد الفيديو: Up tgt maths classes. GIC exponential series चरघतकय शरण tgt math classes tgt pgt maths (شهر نوفمبر 2021).