مقالات

5.3: حلول دورية ثابتة


5.3.1 سلسلة اهتزازية قسرية.

الشكل 5.3: سلسلة تهتز.

المشكلة تحكمها المعادلات

[y_ {tt} = a ^ 2y_ {xx} y (0، t) = 0، ~~~~~~~ y (L، t) = 0، y (x، 0) = f (x)، ~~ y_t (x، 0) = g (x). ]

رأينا سابقًا أن الحل على شكل

[y = sum_ {n = 1} ^ { infty} left (A_n cos left ( frac {n pi a} {L} t right) + B_n sin left ( frac { n pi a} {L} t right) right) sin left ( frac {n pi} {L} x right) ، ]

حيث تم تحديد (A_n ) و (B_n ) من خلال الشروط الأولية. الترددات الطبيعية للنظام هي الترددات (الدائرية) ( frac {n pi a} {L} ) للأعداد الصحيحة (n geq 1 ).

لكن هذه اهتزازات حرة. ماذا لو كانت هناك قوة خارجية تؤثر على الوتر. لنفترض أن اهتزازات الهواء (ضوضاء) ، على سبيل المثال سلسلة ثانية. أو ربما محرك نفاث. للتبسيط ، افترض وجود صوت نقي لطيف وافترض أن القوة موحدة في كل موضع على الوتر. دعنا نقول (F (t) = F_0 cos ( omega t) ) كقوة لكل وحدة كتلة. ثم تصبح معادلة الموجة (تذكر أن القوة هي تسارع الكتلة مضروبة في الحركة)

[y_ {tt} = a ^ 2y_ {xx} + F_0 cos ( omega t)، ]

مع نفس شروط الحدود بالطبع.

نريد أن نجد هنا الحل الذي يلبي المعادلة أعلاه و

[y (0، t) = 0، ~~~~~ y (L، t) = 0، ~~~~~ y (x، 0) = 0، ~~~~~ y_t (x، 0) = 0. ]

وهذا يعني أن الخيط في البداية في حالة سكون. أولاً نجد حلاً معينًا (y_p ) من (5.3.3) يرضي (y (0، t) = y (L، t) = 0 ). نحدد الدالات (f ) و (g ) كـ

[f (x) = - y_p (x، 0)، ~~~~~ g (x) = - frac { جزئي y_p} { جزئي t} (x، 0). ]

ثم نجد الحل (y_c ) من (5.3.1). إذا أضفنا الحلين ، فسنجد أن (y = y_c + y_p ) يحل (5.3.3) بالشروط الأولية.

تمرين ( PageIndex {1} ):

تحقق من أن (y = y_c + y_p ) يحل (5.3.3) والشروط الجانبية (5.3.4).

لذا فإن المشكلة الكبيرة هنا هي إيجاد الحل المحدد (y_p ). نحن ننظر إلى المعادلة ونقوم بتخمين متعلم

[y_p (x، t) = X (x) cos ( omega t). ]

نحن ندخل للحصول على

[- omega ^ 2X cos ( omega t) = a ^ 2X '' cos ( omega t)، ]

أو (- omega X = a ^ 2X '' + F_0 ) بعد إلغاء جيب التمام. نحن نعرف كيفية إيجاد حل عام لهذه المعادلة (إنها معادلة معامل ثابت غير متجانسة). الحل العام هو

[X (x) = A cos left ( frac { omega} {a} x right) + B sin left ( frac { omega} {a} x right) - frac { F_0} { omega ^ 2}. ]

تشير شروط نقطة النهاية إلى (X (0) = X (L) = 0 ). وبالتالي

[0 = X (0) = A- frac {F_0} { omega ^ 2}، ]

أو (A = frac {F_0} { omega ^ 2} ) وأيضًا

[0 = X (L) = frac {F_0} { omega ^ 2} cos left ( frac { omega L} {a} right) + B sin left ( frac { omega L} {a} right) - frac {F_0} { omega ^ 2}. ]

بافتراض أن ( sin left ( frac { omega L} {a} right) ) ليس صفرًا يمكننا حله للحصول على (B )

[B = frac {-F_0 left ( cos left ( frac { omega L} {a} right) -1 right)} {- omega ^ 2 sin left ( frac { omega L} {a} right)}. ]

لذلك،

[X (x) = frac {F_0} { omega ^ 2} left ( cos left ( frac { omega} {a} x right) - frac { cos left ( frac { omega L} {a} right) -1} { sin left ( frac { omega L} {a} right)} sin left ( frac { omega} {a} x يمين) -1 يمين). ]

الحل المحدد الذي نبحث عنه هو

[y_p (x، t) = frac {F_0} { omega ^ 2} left ( cos left ( frac { omega} {a} x right) - frac { cos left ( frac { omega L} {a} right) -1} { sin left ( frac { omega L} {a} right)} sin left ( frac { omega} {a} x right) -1 right) cos ( omega t). ]

تمرين ( PageIndex {2} ):

تأكد من أن (y_p ) يعمل.

الآن نصل إلى النقطة التي تخطيناها. افترض أن ( sin left ( frac { omega L} {a} right) = 0 ). ما يعنيه هذا هو أن ( omega ) يساوي أحد الترددات الطبيعية للنظام ، أي مضاعف ( frac { pi a} {L} ). نلاحظ أنه إذا لم يكن ( omega ) مساويًا لمضاعف التردد الأساسي ، ولكنه قريب جدًا ، فسيبدو المعامل (B ) في (5.3.11) كبيرًا جدًا. لكن دعونا لا ننتقل إلى الاستنتاجات بعد. عندما ( omega = frac {n pi a} {L} ) لـ (n ) حتى ، ثم ( cos left ( frac { omega L} {a} right) = 1 ) ومن ثم حصلنا على ذلك (B = 0 ). لذلك لا يحدث الرنين إلا عندما ( cos left ( frac { omega L} {a} right) = - 1 ) و ( sin left ( frac { omega L} {a} يمين) = 0 ). هذا هو الوقت ( omega = frac {n pi a} {L} ) للفرد (n ).

يمكننا مرة أخرى إيجاد حل الرنين إذا أردنا ذلك ، لكنه ، بالمعنى الصحيح ، حدود الحلول حيث يقترب ( omega ) من تردد الرنين. في الحياة الواقعية ، لا يحدث الرنين الخالص أبدًا على أي حال.

توضح العملية الحسابية أعلاه سبب بدء اهتزاز الوتر إذا تم انتزاع الخيط المتطابق بالقرب منه. في حالة عدم وجود احتكاك ، سيصبح هذا الاهتزاز أعلى وأعلى مع مرور الوقت. من ناحية أخرى ، من غير المحتمل أن تحصل على اهتزاز كبير إذا لم يكن تردد التأثير قريبًا من تردد الرنين حتى لو كان لديك محرك نفاث يعمل بالقرب من السلسلة. أي أن السعة لن تستمر في الزيادة إلا إذا قمت بضبط التردد الصحيح فقط.

تحدث ظواهر رنين مماثلة عندما تكسر كأسًا من النبيذ باستخدام صوت بشري (نعم هذا ممكن ، لكن ليس سهلاً2) إذا وصلت إلى التردد الصحيح فقط. تذكر أن الكأس يتمتع بصوت أنقى كثيرًا ، أي أنه يشبه إلى حد كبير الفيبرافون ، لذلك هناك ترددات رنين أقل بكثير للوصول إليها.

عندما تكون وظيفة التأثير أكثر تعقيدًا ، يمكنك تحليلها وفقًا لسلسلة فورييه وتطبيق النتيجة أعلاه. قد تحتاج أيضًا إلى حل المشكلة المذكورة أعلاه إذا كانت وظيفة التأثير شرطًا وليس جيبًا ، ولكن إذا فكرت في الأمر ، فإن الحل هو نفسه تقريبًا.

مثال ( PageIndex {1} ):

دعونا نقوم بحساب قيم محددة. افترض (F_0 = 1 ) و ( omega = 1 ) و (L = 1 ) و (أ = 1 ). ثم

[y_p (x، t) = left ( cos (x) - frac { cos (1) -1} { sin (1)} sin (x) -1 right) cos (t ). ]

اكتب (B = frac { cos (1) -1} { sin (1)} ) للتبسيط.

ثم قم بتوصيل (t = 0 ) للحصول على

[f (x) = - y_p (x، 0) = - cos x + B sin x + 1، ]

وبعد التفريق في (t ) نرى أن (g (x) = - frac { جزئي y_P} { جزئي t} (x، 0) = 0 ).

ومن ثم لإيجاد (y_c ) نحتاج إلى حل المشكلة

[y_ {yy} = y_ {xx}، y (0، t) = 0، ~~~~ y (1، t) = 0، y (x، 0) = - cos x + ب الخطيئة س + 1 ، y_t (س ، 0) = 0. ]

لاحظ أن الصيغة التي نستخدمها لتعريف (y (x، 0) ) ليست غريبة ، وبالتالي فليس من السهل إدخالها لتطبيق صيغة D’Alembert مباشرة! يجب تعريف (F ) ليكون الامتداد الفردي ، 2-الدوري لـ (y (x ، 0) ). ثم سيبدو حلنا

[y (x، t) = frac {F (x + t) + F (xt)} {2} + left ( cos (x) - frac { cos (1) -1} { الخطيئة (1)} sin (x) -1 right) cos (t). ]

الشكل 5.4: قطعة أرض (y (x، t) = frac {F (x + t) + F (xt)} {2} + left ( cos (x) - frac { cos (1) -1 } { sin (1)} sin (x) -1 right) cos (t). ).

ليس من الصعب حساب قيم محددة لتمديد فردي لوظيفة ، وبالتالي (5.3.17) يعد حلاً رائعًا للمشكلة. على سبيل المثال ، من السهل جدًا أن يكون لديك جهاز كمبيوتر يقوم بذلك ، بخلاف الحل المتسلسل. يتم إعطاء مؤامرة في الشكل 5.4

5.3.2 تقلبات درجة حرارة الأرض

لنفترض (u (x ، t) ) أن تكون درجة الحرارة في موقع معين على العمق (x ) تحت الأرض في الوقت (t ). انظر الشكل 5.5.

درجة الحرارة (u ) تفي بمعادلة الحرارة (u_t = ku_ {xx} ) ، حيث (k ) هي انتشار التربة. نحن نعرف درجة الحرارة على السطح (u (0 ، t) ) من سجلات الطقس. دعونا نفترض أن البساطة

الشكل 5.5: درجة حرارة الأرض.

[u (0، t) = T_0 + A_0 cos ( omega t)، ]

حيث (T_0 ) هو متوسط ​​درجة الحرارة السنوي ، و (t = 0 ) هو منتصف الصيف (يمكنك وضع علامة سلبية أعلاه لجعله منتصف الشتاء إذا كنت ترغب في ذلك). (A_0 ) يعطي الاختلاف النموذجي للسنة. أي أن أعلى درجة حرارة هي (T_0 + A_0 ) وأبردها (T_0-A_0 ). للتبسيط ، سنفترض أن (T_0 = 0 ). يتم اختيار التردد ( omega ) اعتمادًا على وحدات (t ) ، بحيث يكون (t = 1 ) ، ثم ( omega t = 2 pi ). على سبيل المثال ، إذا كان (t ) بالسنوات ، إذن ( omega = 2 pi ).

يبدو من المعقول أن درجة الحرارة في العمق (س ) سوف تتأرجح أيضًا بنفس التردد. هذا ، في الواقع ، سيكون الحل الدوري الثابت ، بغض النظر عن الشروط الأولية. لذلك نحن نبحث عن حل للصيغة

[u (x، t) = V (x) cos ( omega t) + W (x) sin ( omega t). ]

للمشكلة

[u_t = ku_ {xx،} ~~~~~~ u (0، t) = A_0 cos ( omega t). ]

سنستخدم الأسي المركب هنا لتبسيط العمليات الحسابية. افترض أن لدينا دالة قيمة معقدة

[h (x، t) = X (x) e ^ {i omega t}. ]

سنبحث عن (h ) بحيث ({ rm Re} h = u ). للعثور على (h ) ، الذي يرضي جزءه الحقيقي (5.3.20) ، نبحث عن (h ) بحيث

[h_t = kh_ {xx،} ~~~~~~ h (0، t) = A_0 e ^ {i omega t}. ]

تمرين ( PageIndex {3} ):

افترض أن (ح ) يرضي (5.3.22). استخدم صيغة أويلر للأسي المركب للتحقق من أن (u = { rm Re} h ) يرضي (5.3.20).

عوّض (h ) في (5.3.22).

[i omega Xe ^ {i omega t} = kX''e ^ {i omega t}. ]

لذلك،

[kX '' - i omega X = 0، ]

أو

[X '' - alpha ^ 2 X = 0، ]

حيث ( alpha = pm sqrt { frac {i omega} {k}} ). لاحظ أن ( pm sqrt {i} = pm frac {1 = i} { sqrt {2}} ) لذا يمكنك التبسيط إلى ( alpha = pm (1 + i) sqrt { frac { omega} {2k}} ). ومن هنا فإن الحل العام هو

[X (x) = Ae ^ {- (1 + i) sqrt { frac { omega} {2k} x}} + Be ^ {(1 + i) sqrt { frac { omega} { 2 ك} س}}. ]

نفترض أن (X (x) ) الذي يحل المشكلة يجب أن يتم تقييده كـ (x rightarrow infty ) حيث يجب تقييد (u (x، t) ) (نحن لا نقلق بشأن لب الأرض!). إذا استخدمت صيغة أويلر لتوسيع الأسس المعقدة ، فستلاحظ أن المصطلح الثاني سيكون غير محدود (if (B neq 0 )) ، بينما يكون المصطلح الأول مقيدًا دائمًا. ومن ثم (ب = 0 ).

التمرين ( PageIndex {4} ):

استخدم صيغة أويلر لتوضيح أن (e ^ {(1 + i) sqrt { frac { omega} {2k} x}} ) غير مقيد كـ (x rightarrow infty ) ، بينما (e ^ {- (1 + i) sqrt { frac { omega} {2k} x}} ) مقيد كـ (x rightarrow infty ).

علاوة على ذلك ، (X (0) = A_0 ) منذ (h (0، t) = A_0e ^ {i omega t} ). وهكذا (A = A_0 ). هذا يعني ذاك

[h (x، t) = A_0e ^ {- (1 + i) sqrt { frac { omega} {2k} x}} e ^ {i omega t} = A_0e ^ {- (1 + i ) sqrt { frac { omega} {2k}} x + i omega t} = A_0e ^ {- sqrt { frac { omega} {2k}} x} e ^ {i ( omega t- sqrt { frac { omega} {2k}} x)}. ]

سنحتاج إلى الحصول على الجزء الحقيقي من (h ) ، لذلك نطبق صيغة أويلر للحصول عليها

[h (x، t) = A_0e ^ {- sqrt { frac { omega} {2k}} x} left ( cos left ( omega t - sqrt { frac { omega} { 2k} x} right) + i sin left ( omega t - sqrt { frac { omega} {2k} x} right) right). ]

و أخيرا

[u (x، t) = { rm Re} h (x، t) = A_0e ^ {- sqrt { frac { omega} {2k}} x} cos left ( omega t- sqrt { frac { omega} {2k}} x right). ]

ياي!

لاحظ أن المرحلة مختلفة في أعماق مختلفة. في العمق تأخرت المرحلة بمقدار (x sqrt { frac { omega} {2k}} ). على سبيل المثال في وحدات cgs (سنتيمترات - جرام - ثانية) لدينا (k = 0.005 ) (القيمة النموذجية للتربة) . ثم إذا حسبنا مكان تحول الطور (x sqrt { frac { omega} {2k}} = pi ) فسنجد العمق بالسنتيمتر حيث تنعكس الفصول. أي أننا نحصل على العمق الذي يكون فيه الصيف أبرد والشتاء هو الأكثر دفئًا. نحصل على (700 ) سم تقريبًا ، أي ما يقرب من (23 ) قدمًا تحت الأرض.

احرص على عدم القفز إلى الاستنتاجات. تتأرجح درجة الحرارة بسرعة كلما تعمقت في الحفر. سعة تقلبات درجات الحرارة هي (A_0e ^ {- sqrt { frac { omega} {2k}} x} ). تتحلل هذه الوظيفة بسرعة كبيرة مع نمو (x ) (العمق). دعونا مرة أخرى نأخذ المعايير النموذجية على النحو الوارد أعلاه. سنفترض أيضًا أن تأرجح درجة حرارة سطحنا هو ( pm 15 ^ { circ} ) مئوية ، أي (A_0 = 15 ). إذًا فإن الحد الأقصى لتغير درجة الحرارة عند (700 ) سم هو فقط ( pm 0.66 ^ { circ} ) مئوية.

لا تحتاج إلى الحفر بعمق كبير للحصول على "ثلاجة" فعالة بدرجة حرارة ثابتة تقريبًا. هذا هو سبب الاحتفاظ بالخمور في قبو. أنت بحاجة إلى درجة حرارة ثابتة. يمكن أيضًا استخدام فرق درجات الحرارة للطاقة. يمكن تدفئة المنزل أو تبريده من خلال الاستفادة من الحقيقة المذكورة أعلاه. حتى بدون قلب الأرض ، يمكنك تدفئة المنزل في الشتاء وتبريده في الصيف. يجعل قلب الأرض درجة الحرارة أعلى كلما تعمقت في الحفر ، على الرغم من أنك تحتاج إلى الحفر عميقًا إلى حد ما لتشعر بالفرق. لم نأخذ ذلك في الاعتبار أعلاه.

2Mythbusters ، الحلقة 31 ، قناة ديسكفري ، تم بثها في الأصل في 18 مايو 2005.


شاهد الفيديو: الدوال الدورية. The Periodic Functions (شهر نوفمبر 2021).