مقالات

3.6.6E: مجمع الأصفار (تمارين) - الرياضيات


القسم 3.6 التمرين

بسّط كل تعبير إلى رقم مركب واحد.

1. ( sqrt {-9} )

2. ( sqrt {-16} )

3. ( sqrt {-6} sqrt {-24} )

4. ( sqrt {-3} sqrt {-75} )

5. ( dfrac {2+ sqrt {-12}} {2} )

6. ( dfrac {4+ sqrt {-20}} {2} )

بسّط كل تعبير إلى رقم مركب واحد.

7. ( يسار (3 + 2i يمين) + (5-3i) )

8. ( يسار (-2-4i يمين) + يسار (1 + 6i يمين) )

9. ( يسار (-5 + 3i يمين) - (6-i) )

10. ( يسار (2-3i يمين) - (3 + 2 ط) )

11. ( يسار (2 + 3i يمين) (4i) )

12. ( يسار (5-2i يمين) (3i) )

13. ( يسار (6-2i يمين) (5) )

14. ( يسار (-2 + 4i يمين) يسار (8 يمين) )

15. ( يسار (2 + 3i يمين) (4-i) )

16. ( يسار (-1 + 2 ي يمين) (- 2 + 3 ط) )

17. ( يسار (4-2i يمين) (4 + 2 ط) )

18. ( يسار (3 + 4i يمين) يسار (3-4i يمين) )

19. ( dfrac {3 + 4i} {2} )

20. ( dfrac {6-2i} {3} )

21. ( dfrac {-5 + 3i} {2i} )

22. ( dfrac {6 + 4i} {i} )

23. ( dfrac {2-3i} {4 + 3i} )

24. ( dfrac {3 + 4i} {2-i} )

أوجد جميع أصفار كثير الحدود ثم حللها بالكامل على الأعداد الحقيقية وعالجها بالكامل على الأعداد المركبة.

25. (f (x) = x ^ {2} -4x + 13 )

26. (f (x) = x ^ {2} -2x + 5 )

27. (f (x) = 3x ^ {2} + 2x + 10 )

28. (f (x) = x ^ {3} -2x ^ {2} + 9x-18 )

29. (f (x) = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 6x + 5 )

30. (f (x) = 3x ^ {3} -13x ^ {2} + 43x-13 )

31. (f (x) = x ^ {3} + 3x ^ {2} + 4x + 12 )

32. (f (x) = 4x ^ {3} -6x ^ {2} -8x + 15 )

33. (f (x) = x ^ {3} + 7x ^ {2} + 9x-2 )

34. (f (x) = 9x ^ {3} + 2x + 1 )

35. (f (x) = 4x ^ {4} -4x ^ {3} + 13x ^ {2} -12x + 3 )

36. (f (x) = 2x ^ {4} -7x ^ {3} + 14x ^ {2} -15x + 6 )

37. (f (x) = x ^ {4} + x ^ {3} + 7x ^ {2} + 9x-18 )

38. (f (x) = 6x ^ {4} + 17x ^ {3} -55x ^ {2} + 16x + 12 )

39. (f (x) = - 3x ^ {4} -8x ^ {3} -12x ^ {2} -12x-5 )

40. (f (x) = 8x ^ {4} + 50x ^ {3} + 43x ^ {2} + 2x-4 )

41. (f (x) = x ^ {4} + 9x ^ {2} +20 )

42. (f (x) = x ^ {4} + 5x ^ {2} -24 )

إجابه

1. 3 (أنا )

3. -12

5. (1 + sqrt {3} i )

7. (8 - أنا )

9. (- 11 + 4 ط )

11. (- 12 + 8 ط )

13. (30-10 ط )

15. (11 + 10 ط )

17. 20

19. ( dfrac {3} {2} + 2i )

21. ( dfrac {3} {2} + dfrac {5} {2} i )

23. (- dfrac {1} {25} - dfrac {18} {25} i )

25. (f (x) = x ^ 2 - 4x + 13 = (x - (2 + 3i)) (x - (2 - 3i)) ). الأصفار: (x = 2 pm 3i )

27. (f (x) = 3x ^ 2 + 2x + 10 = 3 (x - (- dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {29}} {3} i)) (x - (- dfrac {1} {3} - dfrac { sqrt {29}} {3} i)) ). الأصفار: (x = - dfrac {1} {3} pm dfrac { sqrt {29}} {3} i )

29. (f (x) = x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 5 = (x + 5) (x ^ 2 + x + 1) = (x + 5) (x - (- dfrac {1) } {2} + dfrac { sqrt {3}} {2} i)) (x - (- dfrac {1} {2} - dfrac { sqrt {3}} {2} i)) ) الأصفار: (x = -5 ) ، (x = - dfrac {1} {2} pm dfrac { sqrt {3}} {2} i )

31. (f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 4x + 12 = (x + 3) (x ^ 2 + 4) = (x + 3) (x + 2i) (x - 2i) ). الأصفار: (x = -3 ، pm 2i )

33. (f (x) = x ^ 3 + 7x ^ 2 + 9x - 2 = (x + 2) (x - (- dfrac {5} {2} + dfrac { sqrt {29}} { 2})) (x - (- dfrac {5} {2} - dfrac { sqrt {29}} {2})) ) الأصفار: (x = -2 ) ، (x = - dfrac {5} {2} pm dfrac { sqrt {29}} {2} )

35. (f (x) = 4x ^ 4 - 4x ^ 3 + 13x ^ 2-12x + 3 = (x - dfrac {1} {2}) ^ 2 (4x ^ 2 + 12) = 4 (x - dfrac {1} {2}) ^ 2 (x + i sqrt {3}) (x - i sqrt {3}) ) الأصفار: (x = dfrac {1} {2}، x = pm sqrt {3} i )

37. (f (x) = x ^ 4 + x ^ 3 + 7x ^ 2 + 9x - 18 = (x + 2) (x - 1) (x ^ 2 + 9) = (x + 2) (x - 1) (x + 3i) (x - 3i) ) الأصفار: (x = -2 ، 1 ، pm 3i )

39. (f (x) = -3x ^ 4-8x ^ 3-12x ^ 2-12x - 5 = (x + 1) ^ 2 (-3x ^ 2 - 2x - 5) = -3 (x + 1 ) ^ 2 (x - (- dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {14}} {3} i)) (x - (- dfrac {1} {3} - dfrac { sqrt {14}} {3} i)) ) الزوايا: (x = -1 ) ، (x = - dfrac {1} {3} pm dfrac { sqrt {14}} {3 } أنا)

41. (f (x) = x ^ 4 + 9x ^ 2 + 20 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 + 5) = (x - 2i) (x + 2i) (x - i sqrt {5}) (x + i sqrt {5}) ) الأصفار: (x = pm 2i، pm i sqrt {5} )


تمرين سطوح ريمان

لنفترض أن $ U $ هو منحنى المستوى الأفقي المحدد بواسطة $ x ^ 2 = 3 + 10t ^ 4 + 3t ^ 8 $ و $ V $ المحدد بواسطة $ w ^ 2 = z ^ 6-1 $ ، أظهر أن الدالة $ F : U rightarrow V $، $ F (x، t) = left ( frac <1 + t ^ 2> <1-t ^ 2>، frac <2tx> <(1-t ^ 2) ^ 3 > right) $ هو صورة كاملة ولا يتشعب في أي مكان عندما $ t neq pm 1 $.

حسنًا ، لإثبات أن هذا هو شكل كامل ، لقد فصلت ببساطة في حالات 4 دولارات للمخططات الإحداثية التي كان بإمكاننا الحصول عليها والتحقق من أن التمثيل المحلي لهذه الوظائف كان متماثلًا. لإثبات هذا الجزء حول النقاط غير المؤطرة وكنت أحاول التحقق من مشتق هذه التمثيلات ومعرفة أين ستكون صفرًا ، آمل ألا تكون النتيجة التي أردناها في أي مكان ، ولكن باستخدام هذا وحقيقة أننا نعرف المشتق من الوظيفة الضمنية لم أتمكن من إثبات ذلك ، لذا سؤالي هو ما إذا كانت هذه هي الطريقة الصحيحة للتفكير في هذه المشكلة ، أو هل يجب أن أتخذ نهجًا آخر ، هل يجب أن أحاول أن أوضح بشكل صريح ما هي الوظائف الضمنية التي ينطوي عليها هذا مشكلة؟ شكرا لك مقدما.

تعديل جديد: تمكنت من إثبات أن هذا كان صحيحًا بالنسبة لاثنين من التمثيلات ، والآن أحاول إثبات ذلك بالنسبة إلى التمثيلين الآخرين ، حيث نفترض في أحدهما أن $ t $ مُعطى بواسطة $ h (x) $ و $ z $ يُعطى بواسطة $ k (w) $ ، والآخر حيث يُعطى $ x $ بواسطة $ j (t) $ و $ z $ يُعطى بواسطة $ k (w) $. يبدو أن حساب الخرائط ومشتقاتها غير قادر على الحصول على تناقض حول سبب عدم إمكانية تساوي المشتقة صفرًا.

في هذه المرحلة ، يبدو أن ما لا يمكنني فعله هو هذا

افترض الآن أن الرسوم البيانية هي $ t = h (x) $ ، لذا $ frac

neq 0 $ و $ z $ يعتمدان على $ w $ بواسطة دالة هولومورفيك k ، لذا $ frac neq 0 $ ، لدينا في الإحداثيات المحلية $ psi_2 circ f circ phi_1 (x) = frac <2h (x) x> <(1-h (x) ^ 2) ^ 3> $ مع المشتق $ frac <2 (5xh (x) ^ 2h '(x) + xh' (x) -h (x) ^ 3 + h (x))> <(1-h (x) ^ 2) ^ 4> يبدو أن $ وأنا غير قادر على إيجاد تناقض حول سبب عدم إمكانية أن تكون هذه المشتقة صفراً باستخدام حقيقة أن هذه المشتقات لا يمكن أن تكون صفراً ، لذا فإن أي تلميحات بشأن شيء قد أنساه ستكون مفيدة.


حدد دالة $ g $ على $ D (0،1) $ على $ g (0) = 0 $ و $ g (z) = frac<>>، z in D (0،1) setminus <0 >. $

إذن ، $ g $ هو صورة كاملة في $ D (0،1) $ و $ g (0) = 0 $. وهكذا ، بواسطة schwarz lemma $ | g (z) | leq | z | $ لكل $ z في D (0،1) $ ، أي $ | f (z) | leq | z | ^ n $ لكل $ z في D (0،1) setminus <0 >. $

علاوة على ذلك ، بما أن $ f (0) = 0 $ ، فإن $ | f (z) | leq | z | ^ n $ لكل $ z في D (0،1). $

دع $ displaystyle f (z) = g (z) z ^ n $ and $ displaystyle g (z) = frac$ so $ g (z): D to D $ هو صورة كاملة ثم قم بتطبيق schewarz lemma.


في تمرينات 27-48 ، أوجد كل أصفار كثير الحدود ثم حللها بالكامل على الأعداد الحقيقية واتضح تمامًا

في التدريبات 27-48 ، أوجد كل أصفار كثير الحدود ثم حللها بالكامل على الأعداد الحقيقية وعالجها بالكامل على الأعداد المركبة. 28. f (x) = 22-2x +5 31. f (1) = 2.3 +682 + 6x + 5 37. f (x) = 4.rº - 4x2 + 13x2 - 12x +3 39. f (x) = 2 ° + 2 ° + 7x² +92-18 47. f (x) = x4 - 2.23 + 27x2 - 2x + 26 (تلميح: x = i هو أحد الأصفار.)

أوجد كل القيم الممكنة للتعبيرات التالية: (i) √ (x ^ 2-4) (ii) √ (9-x ^ 2) (iii) √ (x ^ 2-2x + 10)

إذا كانت جذور المعادلة التربيعية x2 + x + 1 = 0 هي α و فإن المعادلة التي جذورها α ^ 2000 و β ^ 2000 هي: A. x2 + x + 2 = 0 B.x2 + x - 1 = 0 C.x2 + 2x + 1 = 0 D.x2 + x + 1 = 0

أ) pr = 9 (B) qrup Herpai 1 + a 6-2 Ifa، B & amp y هي جذور المعادلة x - x - 1 = 0 ثم ، 1-a (A) صفر (B) -1 (0 ) -7 + (D) لا شيء من هذه 1 + B 1+ Y له قيمة مساوية لـ: 1-B 1-1 (D) 1 B-3 لنفترض أن a ، b ، y هي جذور (x - a) (x -b) (x - C) = d، d0 ثم جذور المعادلة


1.3 الأعداد المركبة

من بين عمليات الضرب عملية تربيع رقم. هذه هي عملية ضرب رقم في نفسه. وهكذا (5 ) مرات (5 ) هي (25 ). يمكننا أن نطلب معكوس عملية التربيع هذه. هذه عملية تعمل على (25 ) يجب أن تعيد (5 ). هذه العملية لها اسم: تسمى الجذر التربيعي. الجذر التربيعي لـ (25 ) هو (5 ).

هناك نوعان من التعقيدات الرائعة هنا. الأول هو أن (- 5 ) مرات (- 5 ) هي أيضًا (25 ) ، لذلك (25 ) لها جذرين مربعين ، (5 ) و (- 5 ). وينطبق الشيء نفسه على أي عدد حقيقي موجب. أي عدد حقيقي موجب له جذور تربيعية.

التعقيد الثاني هو: ما هو الجذر التربيعي لرقم سالب على الأرض؟

حسنًا ، لا يوجد رقم حقيقي به مربع يساوي (- 2 ) أو (- 1 ) أو ناقص أي شيء موجب.

عندما وجدنا أن الطرح ، وهو شيء من العمليات العكسية إلى الجمع ، من بين الأعداد الطبيعية أدى إلى أعداد غير طبيعية ، قمنا بتوسيع الأعداد الطبيعية عن طريق تحديد أعداد صحيحة لتضمين كل من الأعداد الطبيعية وسلبياتها وصفر أيضًا.

عندما نظرنا إلى القسمة ، وهي عملية عكسية للضرب ، قمنا بتوسيع الأعداد مرة أخرى لتشملها كسور.

حسنًا ، لملاءمة العملية العكسية لتربيع عدد ، يمكننا أيضًا توسيع الأعداد لتشمل كيانات جديدة يمكننا من بينها إيجاد الجذور التربيعية للأرقام السالبة.

اتضح أنه للقيام بذلك ، نحتاج فقط إلى إدخال رقم جديد واحد ، عادةً ما يتم تعيينه كـ أنا، والذي تم تعريفه على أنه يحتوي على مربع معطى بواسطة (- 1 ). بعبارة أخرى ، نحدد الرقم الجديد i لكي نطيع المعادلة (i * i = -1. ) يمكننا الحصول على أرقام تكون مربعاتها أي عدد سالب آخر ، على سبيل المثال (- 5 ) ، بضرب (i ) برقم حقيقي مناسب ، هنا بالجذر التربيعي لـ (5 ). الرقم (أنا) هو بالتأكيد ليس رقمًا حقيقيًا ، لذلك نسميه رقم وهمي هذه التسمية سخيفة في الواقع. الأرقام الخيالية لها نفس القدر من الوجود في خيالنا مثل الأرقام الحقيقية. بالطبع هي ليست أعدادًا طبيعية أو أعدادًا صحيحة أو حتى كسورًا أو أرقامًا حقيقية على الإطلاق.

اتضح أنه إذا نظرنا إلى أرقام النموذج (أ + ثنائية ) حيث (أ ) و (ب ) أرقام حقيقية ، نحصل على ما يسمى الأعداد المركبة ويمكننا تحديد عمليات الجمع والطرح والقسمة على هذه الأشياء تمامًا كما يمكننا تحديد الأعداد المنطقية أو الحقيقية.

إذا كنت تريد معرفة ما هي هذه القواعد ، انقر هنا.

لذا بالأرقام سنعني أشياء مثل الأعداد المنطقية أو الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة ، من بينها عمليات الجمع والطرح والقسمة معرّفة ولها جميع الخصائص المعيارية.

بالمناسبة ، غالبًا ما نمثل الأعداد المركبة بالنقاط في المستوى. تتوافق الأرقام الحقيقية مع نقاط على المحور x ، ويمكن اعتبار الأرقام التخيلية نقاطًا على المحور y. الرقم (i ) هو مسافة (1 ) أعلى نقطة الأصل على المحور ص. يحتوي الرقم المركب العام على جزء حقيقي موصوف بواسطة مكون (x ) والجزء المركب الموصوف بواسطة مكون (y ).


3.6.6E: مجمع الأصفار (تمارين) - الرياضيات

هدفنا هو إيجاد جذر حقيقي للمعادلة التكعيبية

يمكن إيجاد الجذور الأخرى (الحقيقية أو المعقدة) عن طريق قسمة كثير الحدود والصيغة التربيعية. يستمر الحل في خطوتين. أولاً ، تكون المعادلة التكعيبية "مضغوطة" ثم يحل المكعب المنخفض.

إلى المعادلة التكعيبية للحصول على:

بالضرب والتبسيط ، نحصل على المكعب "المنخفض"

لنجرب هذا على سبيل المثال

سيكون التعويض س = ص +5 بالتوسيع والتبسيط ، نحصل على المعادلة التكعيبية المنخفضة

تم اكتشاف كيفية القيام بذلك في وقت سابق من قبل Scipione del Ferro (1465-1526).

سنجد s و t لذلك

اتضح أن y = s - t سيكون محلولًا للمكعب المنخفض. دعنا نتحقق مما يلي: استبدال A و B و y كما هو موضح يحول المعادلة إلى

هذا صحيح حيث يمكننا تبسيط الطرف الأيسر باستخدام صيغة ذات الحدين من أجل:

كيف يمكننا إيجاد s و t مرضيين (1) و (2)؟ حل المعادلة الأولى لـ s والتعويض في (2) عوائد:

تبسيطًا ، يتحول هذا إلى معادلة "ثلاثية تربيعية"

التي باستخدام التعويض u = t 3 تصبح المعادلة التربيعية

من هذا ، يمكننا إيجاد قيمة لـ u بالصيغة التربيعية ، ثم نحصل على t ، وبعد ذلك s ، وقد انتهينا.

لنقم بالحسابات لمثالنا

نحن بحاجة إلى s و t للإرضاء

حل من أجل s في (3) واستبدال النتيجة في (4) عوائد:

الذي يضرب في t 3 يصبح

باستخدام الصيغة التربيعية ، نحصل على ذلك

سنتجاهل الجذر السالب ، ثم نأخذ الجذر التكعيبي لنحصل على t:

حلنا y للمعادلة التكعيبية المنخفضة هو الفرق بين s و t:

حل المعادلة التكعيبية الأصلية

بعد وقت قصير من اكتشاف طريقة لحل المعادلة التكعيبية ، وجد لودوفيكو فيراري (1522-1565) ، طالب في كاردانو ، طريقة مماثلة لحل المعادلة الرباعية.

يعتمد هذا القسم بشكل فضفاض على فصل في كتاب رحلة عبر العبقرية بقلم ويليام دنهام.

ثم ابحث عن الجذور الأخرى. أي من الجذور يساوي الحل

(هذا لأغراض التدريب فقط لجعل العمليات الحسابية أقل فوضوية ، سيصبح الجذر عددًا صحيحًا ، لذلك يمكن للمرء استخدام اختبار الصفر المنطقي بدلاً من ذلك.)


تمارين NumPy ، الممارسة ، الحل

NumPy عبارة عن حزمة Python توفر هياكل بيانات سريعة ومرنة ومعبرة مصممة لجعل العمل مع بيانات "العلاقة" أو "المسمى" أمرًا سهلاً وبديهيًا. يهدف إلى أن يكون لبنة أساسية عالية المستوى لإجراء تحليل عملي وواقعي للبيانات في بايثون.

أفضل طريقة لتعلم أي شيء هي من خلال التدريب وأسئلة التمرين. هنا لديك الفرصة لممارسة مفاهيم NumPy من خلال حل التمارين بدءًا من التمارين الأساسية إلى التدريبات الأكثر تعقيدًا. يتم توفير حل نموذجي لكل تمرين. يوصى بإجراء هذه التمارين بنفسك أولاً قبل التحقق من الحل.

نأمل أن تساعدك هذه التمارين على تحسين مهاراتك في ترميز NumPy. حاليًا ، الأقسام التالية متوفرة ، نحن نعمل جاهدين لإضافة المزيد من التمارين. ترميز سعيد!

قائمة تمارين NumPy:

مشروع بايثون:

أساسيات NumPy

المشغل أو العامل وصف
np.array ([1،2،3]) مجموعة 1d
np.array ([(1،2،3)، (4،5،6)]) مجموعة 2d
np.arange (بدء ، توقف ، خطوة) مجموعة النطاق

العناصر النائبة

المشغل أو العامل وصف
np.linspace (0،2،9) أضف قيمًا متباعدة بشكل متساوٍ مقارنةً بالفاصل الزمني لمصفوفة الطول
np.zeros ((1،2)) إنشاء وصفيف مليء بالأصفار
np.ones ((1،2)) ينشئ مصفوفة مليئة بتلك
np.random.random ((5،5)) يخلق مجموعة عشوائية
np. فارغة ((2،2)) ينشئ مصفوفة فارغة
بناء الجملة وصف
صفيف الأبعاد (صفوف ، أعمدة)
لين (مجموعة) طول المصفوفة
صفيف عدد أبعاد المصفوفة
array.dtype نوع البيانات
array.astype (نوع) يحول إلى نوع البيانات
نوع (مجموعة) نوع المصفوفة

نسخ / فرز

العاملين وصف
np.copy (مجموعة) ينشئ نسخة من مجموعة
آخر = array.copy () يقوم بإنشاء نسخة عميقة من المصفوفة
array.sort () يفرز المصفوفة
array.sort (المحور = 0) يفرز محور المصفوفة

التلاعب بالصفيف

إضافة أو إزالة العناصر

المشغل أو العامل وصف
np.append (أ ، ب) إلحاق العناصر بالمصفوفة
np.insert (صفيف ، 1 ، 2 ، محور) أدخل العناصر في صفيف عند المحور 0 أو 1
np.resize ((2،4)) تغيير حجم الصفيف للشكل (2،4)
np.delete (صفيف ، 1 ، محور) يحذف العناصر من المجموعة

الجمع بين المصفوفات

المشغل أو العامل وصف
np.concatenate ((أ ، ب) ، المحور = 0) تسلسل صفيفتين ، يضيف إلى النهاية
np.vstack ((أ ، ب)) كومة صف حكيم
np.hstack ((أ ، ب)) عمود صفيف المكدس الحكيم

تقسيم المصفوفات

المشغل أو العامل وصف
numpy.split () قسّم مصفوفة إلى مصفوفات فرعية متعددة.
np.array_split (مجموعة ، 3) قسّم مصفوفة في مصفوفات فرعية ذات حجم متطابق (تقريبًا)
numpy.hsplit (مجموعة ، 3) قسّم المصفوفة أفقيًا عند الفهرس الثالث
المشغل أو العامل وصف
آخر = ndarray.flatten () تسطيح مجموعة ثنائية الأبعاد إلى 1 د
مجموعة = np.transpose (أخرى)
مجموعة T.
مجموعة تبديل
معكوس = np.linalg.inv (مصفوفة) معكوس مصفوفة معينة

الرياضيات

المشغل أو العامل وصف
np.add (x، y)
س + ص
إضافة
np.substract (x، y)
س - ص
الطرح
np. قسمة (س ، ص)
س / ص
قسم
مضاعفة (س ، ص)
س @ ص
عمليه الضرب
np.sqrt (x) الجذر التربيعي
np.sin (x) عنصر الجيب الحكيم
np.cos (x) جيب التمام العنصر
np.log (x) اللوغاريتم الطبيعي للعنصر
np.dot (س ، ص) المنتج نقطة
np.roots ([1،0، -4]) جذور معاملات كثيرة الحدود

الإحصاء الأساسي

المشغل أو العامل وصف
np.mean (مجموعة) تعني
np.median (مجموعة) الوسيط
array.corrcoef () معامل الارتباط
np.std (مجموعة) الانحراف المعياري
المشغل أو العامل وصف
array.sum () مجموع حكيم
array.min () الحد الأدنى لقيمة المصفوفة
array.max (المحور = 0) الحد الأقصى لقيمة المحور المحدد
array.cumsum (المحور = 0) المجموع التراكمي للمحور المحدد

التقطيع والتقطيع

المشغل أو العامل وصف
مجموعة [i] صفيف 1d في الفهرس الأول
مجموعة [i، j] صفيف 2d في الفهرس [i] [j]
مجموعة [أنا ( مجموعة [1. ]
مجموعة [:: -1] يعكس المصفوفة

[هل تريد المساهمة في تمارين Python Pandas؟ أرسل الكود الخاص بك (مرفق مع ملف .zip) إلينا على w3resource [at] yahoo [dot] com. يرجى تجنب المواد المحمية بحقوق الطبع والنشر.]


محتويات

ان متنوعة أفيني على حقل مغلق جبريًا هو من الناحية المفاهيمية أسهل نوع من التنوع للتعريف ، والذي سيتم القيام به في هذا القسم. بعد ذلك ، يمكن تعريف الأصناف الإسقاطية وشبه الإسقاطية بطريقة مماثلة. يتم الحصول على التعريف الأكثر عمومية للصنف من خلال ترقيع الأصناف الأصغر شبه الإسقاطية معًا. ليس من الواضح أنه يمكن للمرء أن يبني أمثلة جديدة حقًا من الأصناف بهذه الطريقة ، لكن Nagata أعطى مثالًا على هذا التنوع الجديد في الخمسينيات.

أصناف أفيني تحرير

لحقل مغلق جبريًا ك وعدد طبيعي ن، يترك أ ن كن أفيني ن- مسافة ك. كثيرات الحدود F في الحلقة ك[x1, . xن] يمكن أن ينظر إليه على أنه ك- وظائف ذات قيمة أ ن بالتقييم F في النقاط أ ن ، أي عن طريق اختيار القيم في ك لكل xأنا. لكل مجموعة س من كثيرات الحدود في ك[x1, . xن] ، حدد موضع الصفر ض(س) لتكون مجموعة النقاط في أ ن التي تعمل فيها الوظائف س تتلاشى في نفس الوقت ، وهذا يعني

مجموعة فرعية الخامس من أ ن يسمى مجموعة جبرية أفيني لو الخامس = ض(س) بالنسبة للبعض س. [1]: 2 مجموعة جبرية فرعية غير فارغة الخامس يسمى غير القابل للاختزال إذا كان لا يمكن كتابته على أنها اتحاد بين مجموعتين فرعيتين جبريتين مناسبتين. [1]: 3 مجموعة جبرية أفيني غير قابلة للاختزال تسمى أيضًا متنوعة أفيني. [1]: 3 (يستخدم العديد من المؤلفين هذه العبارة متنوعة أفيني للإشارة إلى أي مجموعة جبرية أفينية ، غير قابلة للاختزال أو غير قابلة للاختزال [الملاحظة 1])

يمكن إعطاء الأصناف الأقرب طوبولوجيا طبيعية من خلال إعلان المجموعات المغلقة لتكون بالضبط المجموعات الجبرية الأفينية. تسمى هذه الطوبولوجيا طوبولوجيا زاريسكي. [1]: 2

نظرا لمجموعة فرعية الخامس من أ ن ، نحدد أنا(الخامس) لتكون مثالية لجميع وظائف كثيرة الحدود التي تتلاشى الخامس:

لأي مجموعة جبرية أفيني الخامس، ال تنسيق الحلقة أو حلقة الهيكل من الخامس هو حاصل الحلقة متعددة الحدود من خلال هذا المثال. [1]: 4

الأصناف الإسقاطية والأصناف شبه الإسقاطية

لنفترض أن k حقل مغلق جبريًا ودع ص ن كن الإسقاط ن- مسافة فوق k. يترك F في ك[x0, . xن] أن تكون متعددة الحدود متجانسة من الدرجة د. ليس محددًا جيدًا للتقييم F بالنقاط في ص ن في إحداثيات متجانسة. ومع ذلك ، لأن F متجانسة ، وهذا يعني أن F (λx0, . λxن) = λ د F (x0, . xن) ، هو - هي هل من المنطقي أن نسأل عما إذا كان F يختفي عند نقطة معينة [x0 : . : xن]. لكل مجموعة س من كثيرات الحدود المتجانسة ، حدد موضع الصفر لـ س لتكون مجموعة النقاط في ص ن التي تعمل فيها الوظائف س تلاشى:

مجموعة فرعية الخامس من ص ن يسمى أ مجموعة جبرية إسقاطية لو الخامس = ض(س) بالنسبة للبعض س. [1]: 9 تسمى المجموعة الجبرية الإسقاطية غير القابلة للاختزال أ متنوعة الإسقاط. [1] : 10

تم تجهيز الأصناف الإسقاطية أيضًا بطوبولوجيا زاريسكي من خلال إعلان إغلاق جميع المجموعات الجبرية.

نظرا لمجموعة فرعية الخامس من ص ن ، يترك أنا(الخامس) يكون النموذج المثالي الذي تم إنشاؤه بواسطة جميع كثيرات الحدود المتجانسة التي تتلاشى في الخامس. لأي مجموعة جبرية إسقاطية الخامس، ال تنسيق الحلقة من الخامس هو حاصل الحلقة متعددة الحدود من خلال هذا المثال. [1]: 10

أ متنوعة شبه الإسقاط هي مجموعة فرعية من Zariski مفتوحة من مجموعة إسقاطية. لاحظ أن كل صنف أفيني هو شبه إسقاطي. [2] لاحظ أيضًا أن تكملة المجموعة الجبرية في الصنف الأفيني هو صنف شبه إسقاطي في سياق الأصناف الأفينية ، مثل هذا الصنف شبه الإسقاطي لا يُطلق عليه عادةً مجموعة متنوعة ولكن مجموعة قابلة للبناء.

أصناف مجردة تحرير

في الهندسة الجبرية الكلاسيكية ، كانت جميع الأصناف بحكم التعريف أصنافًا شبه إسقاطية ، مما يعني أنها كانت أنواعًا فرعية مفتوحة من الأنواع الفرعية المغلقة للفضاء الإسقاطي. على سبيل المثال ، في الفصل 1 من Hartshorne a تشكيلة يتم تعريف الحقل المغلق جبريًا على أنه نوع شبه إسقاطي ، [1]: 15 ولكن بدءًا من الفصل 2 فصاعدًا ، فإن المصطلح تشكيلة (وتسمى أيضًا ملف متنوعة مجردة) يشير إلى كائن أكثر عمومية ، والذي يعتبر محليًا نوعًا شبه إسقاطي ، ولكن عندما يُنظر إليه ككل ليس بالضرورة شبه إسقاطي ، أي أنه قد لا يحتوي على تضمين في الفضاء الإسقاطي. [1]: 105 بشكل تقليدي ، يتطلب تعريف الصنف الجبري التضمين في الفضاء الإسقاطي ، وقد تم استخدام هذا التضمين لتحديد طوبولوجيا الصنف والوظائف المنتظمة للصنف. عيب مثل هذا التعريف هو أنه ليس كل الأصناف تأتي مع زخارف طبيعية في الفضاء الإسقاطي. على سبيل المثال ، بموجب هذا التعريف ، المنتج ص 1 × ص 1 ليس تنوعًا حتى يتم تضمينه في الفضاء الإسقاطي ، ويتم ذلك عادةً عن طريق تضمين Segre. ومع ذلك ، فإن أي تنوع يسمح بالتضمين في الفضاء الإسقاطي يسمح بالعديد من الأنواع الأخرى من خلال تكوين التضمين باستخدام تضمين Veronese. وبالتالي ، فإن العديد من المفاهيم التي يجب أن تكون جوهرية ، مثل مفهوم الوظيفة المنتظمة ، ليست كذلك بشكل واضح.

أول محاولة ناجحة لتعريف صنف جبري بشكل تجريدي ، بدون تضمين ، قام بها أندريه ويل. في أسس الهندسة الجبرية، حدد Weil مجموعة متنوعة جبرية مجردة باستخدام التقييمات. قدم كلود شوفالي تعريفًا للمخطط ، والذي يخدم غرضًا مشابهًا ، لكنه كان أكثر عمومية. ومع ذلك ، فإن تعريف ألكسندر غروتينديك للمخطط لا يزال أكثر عمومية وحظي بالقبول الأكثر انتشارًا. في لغة غروتينديك ، يُعرَّف التنوع الجبري المجرد عادةً على أنه مخطط متكامل ومنفصل من النوع المحدود فوق حقل مغلق جبريًا ، [ملاحظة 2] على الرغم من أن بعض المؤلفين يتخلون عن عدم القابلية للاختزال أو الاختزال أو حالة الانفصال أو يسمحون للحقل الأساسي لا تكون مغلقة جبريا. [ملحوظة 3] الأصناف الجبرية الكلاسيكية هي مخططات من النوع المحدود شبه هدفي متكامل على حقل مغلق جبريًا.

وجود أصناف جبرية مجردة غير شبه هدمية

واحدة من أقدم الأمثلة على مجموعة متنوعة جبري غير شبه هدف قدمها Nagata. [3] لم يكن مثال ناجاتا كاملاً (التناظرية للاكتناز) ، ولكن بعد ذلك بوقت قصير وجد سطحًا جبريًا مكتملًا وغير إسقاطي. [4] ومنذ ذلك الحين تم العثور على أمثلة أخرى.

تحرير التخريب

أ التخريب هي مجموعة فرعية من مجموعة متنوعة هي في حد ذاتها متنوعة (فيما يتعلق بالبنية المستحثة من التنوع المحيط). على سبيل المثال ، كل مجموعة فرعية مفتوحة من مجموعة متنوعة. انظر أيضا الانغماس المغلق.

يقول Nullstellensatz من Hilbert أن الأنواع الفرعية المغلقة من صنف أفيني أو إسقاطي تتطابق مع المثل العليا أو المثل العليا المتجانسة للحلقة الإحداثية للصنف.

تحرير متنوعة أفيني

مثال 1 تحرير

يترك ك = ج ، و أ 2 يكون الفضاء الأفيني ثنائي الأبعاد أكثر ج. كثيرات الحدود في الحلبة ج[x, ذ] يمكن أن ينظر إليها على أنها دوال ذات قيمة معقدة أ 2 بالتقييم عند النقاط في أ 2. اسمحوا مجموعة فرعية س من ج[x, ذ] تحتوي على عنصر واحد F (x, ذ) :

نقطة الصفر F (x, ذ) هي مجموعة النقاط في أ 2 حيث تختفي هذه الوظيفة: إنها مجموعة كل أزواج الأعداد المركبة (x, ذ) مثل ذلك ذ = 1 − x. يسمى هذا الخط في المستوى الأفيني. (في ال الطوبولوجيا الكلاسيكية من طوبولوجيا الأعداد المركبة ، الخط المركب هو متشعب حقيقي للبعد الثاني.) هذه هي المجموعة ض( F ) :

وهكذا المجموعة الفرعية الخامس = ض( F ) من أ 2 مجموعة جبرية. مجموعة الخامس ليس فارغا. إنه غير قابل للاختزال ، حيث لا يمكن كتابته كوحدة بين مجموعتين فرعيتين جبريتين. وبالتالي فهو صنف جبري أفيني.

مثال 2 تحرير

يترك ك = ج ، و أ 2 يكون الفضاء الأفيني ثنائي الأبعاد أكثر ج. كثيرات الحدود في الحلبة ج[x, ذ] يمكن اعتبارها وظائف ذات قيمة معقدة في أ 2 بالتقييم عند النقاط في أ 2. اسمحوا مجموعة فرعية س من ج[x, ذ] تحتوي على عنصر واحد ز(x, ذ):

نقطة الصفر ز(x, ذ) هي مجموعة النقاط في أ 2 التي تختفي فيها هذه الوظيفة ، هذه هي مجموعة النقاط (x,ذ) مثل ذلك x 2 + ذ 2 = 1. كما ز(x, ذ) هي كثيرة حدود غير قابلة للاختزال على الإطلاق ، وهذا صنف جبري. مجموعة نقاطها الحقيقية (تلك هي النقاط التي x و ذ هي أرقام حقيقية) ، تُعرف بدائرة الوحدة ، وغالبًا ما يُعطى هذا الاسم أيضًا إلى المجموعة الكاملة.

مثال 3 تحرير

المثال التالي ليس فوق السطح ، ولا مساحة خطية ، ولا نقطة واحدة. يترك أ 3 يكون الفضاء الأفيني ثلاثي الأبعاد أكثر ج. مجموعة النقاط (x, x 2 , x 3) من أجل x في ج هو صنف جبري ، وبصورة أدق هو منحنى جبري غير موجود في أي مستوى. [ملحوظة 4] إنه المكعب الملتوي الموضح في الشكل أعلاه. يمكن تعريفه بواسطة المعادلات

يحتاج عدم اختزال هذه المجموعة الجبرية إلى برهان. نهج واحد في هذه الحالة هو التحقق من أن الإسقاط (x, ذ, ض) → (x, ذ) حقنة في مجموعة الحلول وأن صورتها عبارة عن منحنى مستو غير قابل للاختزال.

بالنسبة للأمثلة الأكثر صعوبة ، قد يتم تقديم دليل مماثل دائمًا ، ولكنه قد يتضمن حسابًا صعبًا: أولاً ، حساب على أساس Gröbner لحساب البعد ، متبوعًا بتغيير خطي عشوائي للمتغيرات (ليست هناك حاجة دائمًا) ثم حساب Gröbner الأساسي لآخر أمر أحادي الحد لحساب الإسقاط وإثبات أنه حقني بشكل عام وأن صورته عبارة عن سطح زائد ، وأخيراً عامل متعدد الحدود لإثبات عدم اختزال الصورة.

متنوعة الإسقاط تحرير

الصنف الإسقاطي هو مجموعة فرعية مغلقة من الفضاء الإسقاطي. أي أن الموضع الصفري لمجموعة من كثيرات الحدود المتجانسة هو الذي يولد نموذجًا أوليًا أوليًا.

مثال 1 تحرير

المنحنى الإسقاطي المستوي هو الموضع الصفري لكثيرات الحدود المتجانسة غير القابلة للاختزال في ثلاثة غير محددة. الخط الإسقاطي ص الشكل 1 هو مثال لمنحنى إسقاطي يمكن رؤيته على أنه منحنى في المستوى الإسقاطي ص 2 = <[x, ذ, ض]> محدد بواسطة x = 0. لمثال آخر ، ضع في اعتبارك أولاً المنحنى التكعيبي الأفيني

في الفضاء الأفيني ثنائي الأبعاد (على مجال من الخصائص وليس اثنين). لها المعادلة التكعيبية المتجانسة متعددة الحدود المرتبطة بها:

الذي يحدد منحنى في ص 2 يسمى المنحنى الإهليلجي. يحتوي المنحنى على الجنس الأول (صيغة الجنس) على وجه الخصوص ، فهو ليس متماثلًا مع الخط الإسقاطي ص 1 ، التي لديها جنس صفر. يعد استخدام الجنس لتمييز المنحنيات أمرًا أساسيًا للغاية: في الواقع ، فإن الجنس هو أول ثابت يستخدمه المرء لتصنيف المنحنيات (انظر أيضًا بناء نماذج المنحنيات الجبرية).

مثال 2 تحرير

يترك الخامس يكون فضاء متجهًا محدود الأبعاد. مجموعة Grassmannian جين(الخامس) هي مجموعة الكل نفضاءات فرعية الأبعاد من الخامس. إنه تنوع إسقاطي: يتم تضمينه في مساحة إسقاطية عبر تضمين Plücker:

أين بأنا هي أي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا في الخامس، ∧ n V < displaystyle wedge ^V> هو ملف نالقوة الخارجية من الخامس، والقوس [ث] يعني الخط الممتد بواسطة متجه غير صفري ث.

يأتي الصنف Grassmannian مع حزمة ناقلات طبيعية (أو حزمة مجانية محلية في مصطلحات أخرى) تسمى الحزمة الحشو ، وهي مهمة في دراسة الفئات المميزة مثل فئات Chern.

تحرير المثال غير الأفيني وغير الإسقاطي

لا يمكن أن يكون الصنف الجبري أفينيًا ولا إسقاطيًا. لإعطاء مثال ، دعونا X = ص 1 × أ 1 و ص: Xأ 1 الإسقاط. إنه صنف جبري لأنه نتاج أصناف. إنه ليس أفيني منذ ذلك الحين ص 1 هو نوع فرعي مغلق من X (مثل موضع الصفر من ص) ، ولكن لا يمكن أن يحتوي الصنف الأفيني على مجموعة متنوعة إسقاطية من الأبعاد الإيجابية كتنوع مغلق. إنه ليس إسقاطيًا أيضًا ، نظرًا لوجود وظيفة منتظمة غير ثابتة في X يسمى، ص.

مثال آخر على الصنف غير الإسقاطي غير الأفيني هو X = أ 2 - (0 ، 0) (راجع. التشكل من الأصناف أمثلة.)

  • مجموعة جبرية أفيني الخامس هي مجموعة متنوعة إذا وفقط إذاأنا(الخامس) هو مثال أولي مكافئ ، الخامس هو تنوع إذا وفقط إذا كانت حلقة الإحداثيات مجالًا متكاملًا. [5]: 52 [1]: 4
  • يمكن كتابة كل مجموعة جبرية أفقية غير فارغة بشكل فريد كاتحاد محدود من الأصناف الجبرية (حيث لا يكون أي من الأصناف في التحلل هو نوع من أنواع التحلل الأخرى). [15
  • ال البعد من مجموعة متنوعة بطرق مكافئة مختلفة. انظر أبعاد مجموعة متنوعة جبرية للحصول على التفاصيل.
  • منتج من العديد من الأصناف الجبرية (فوق حقل مغلق جبريًا) هو نوع جبري.

يترك الخامس1, الخامس2 تكون من الأصناف الجبرية. نحن نقول الخامس1 و الخامس2 هي متشابهة ، وتكتب الخامس1الخامس2 ، إذا كانت هناك خرائط منتظمة φ : الخامس1الخامس2 و ψ : الخامس2الخامس1 مثل أن التراكيب ψφ و φψ هي خرائط الهوية الخامس1 و الخامس2 على التوالى.

تتيح التعريفات والحقائق الأساسية أعلاه للفرد القيام بالهندسة الجبرية الكلاسيكية. لتكون قادرًا على فعل المزيد - على سبيل المثال ، للتعامل مع أنواع مختلفة عن الحقول غير المغلقة جبريًا - يلزم إجراء بعض التغييرات الأساسية. إن المفهوم الحديث للصنف أكثر تجريدية بكثير من المفهوم أعلاه ، على الرغم من أنه مكافئ في حالة الأصناف على الحقول المغلقة جبريًا. ان مجموعة متنوعة جبرية مجردة هو نوع خاص من المخططات ، يتيح التعميم على المخططات على الجانب الهندسي تمديد المراسلات الموصوفة أعلاه إلى فئة أوسع من الحلقات. المخطط هو مساحة ذات حلق محلي بحيث يكون لكل نقطة حي ، كمساحة ذات حلق محلي ، يتشابه مع طيف من الحلقة. في الأساس ، التنوع على k هو مخطط يكون هيكله عبارة عن حزمة من k -algebras مع خاصية الحلقات ص التي تحدث أعلاه هي جميع المجالات المتكاملة وجميعها متولدة بشكل نهائي k -algebras ، وهذا يعني أنها قواسم الجبر متعدد الحدود من خلال المثل العليا.

هذا التعريف يعمل على أي مجال k. يسمح لك بلصق أصناف أفيني (على طول مجموعات مفتوحة مشتركة) دون القلق بشأن ما إذا كان يمكن وضع الكائن الناتج في بعض المساحة الإسقاطية. يؤدي هذا أيضًا إلى صعوبات حيث يمكن للمرء إدخال أشياء مرضية إلى حد ما ، على سبيل المثال خط أفيني مع صفر مضاعف. عادة لا تعتبر مثل هذه الأشياء أصنافًا ، ويتم التخلص منها باشتراط وجود المخططات التي تقوم عليها مجموعة متنوعة فصل. (بالمعنى الدقيق للكلمة ، هناك أيضًا شرط ثالث ، وهو أن المرء يحتاج فقط إلى عدد محدود من البقع الملتفة في التعريف أعلاه).

يقوم بعض الباحثين المعاصرين أيضًا بإزالة القيود المفروضة على مجموعة متنوعة لها مخططات أفينية ذات نطاق متكامل ، وعند الحديث عن مجموعة متنوعة تتطلب فقط أن تحتوي المخططات الأفينية على nilradical تافهة.

التنوع الكامل هو مجموعة متنوعة بحيث يمكن تمديد أي خريطة من مجموعة فرعية مفتوحة لمنحنى غير موحد فيه بشكل فريد إلى المنحنى بأكمله. كل مجموعة متنوعة إسقاطية كاملة ، ولكن ليس العكس.

وقد أُطلق على هذه الأصناف اسم "أصناف بمعنى سيري" ، منذ أن تمت كتابة الورقة التأسيسية لـ "سيري" FAC حول علم تعاطي الحزم. تظل كائنات نموذجية لبدء الدراسة في الهندسة الجبرية ، حتى لو تم استخدام كائنات أكثر عمومية أيضًا بطريقة مساعدة.

إحدى الطرق التي تؤدي إلى التعميمات هي السماح للمجموعات الجبرية القابلة للاختزال (والحقول k غير المغلقة جبريًا) ، وبالتالي فإن الحلقات ص قد لا تكون مجالات متكاملة. التعديل الأكثر أهمية هو السماح للصفوف في حزمة الحلقات ، أي الحلقات التي ليست مخفض. هذا هو أحد التعميمات العديدة للهندسة الجبرية الكلاسيكية المضمنة في نظرية مخططات غروتينديك.

إن السماح بعناصر عديمة الفعالية في الحلقات مرتبط بتتبع "التعددية" في الهندسة الجبرية. على سبيل المثال ، النظام الفرعي المغلق للخط الأفيني المحدد بواسطة x 2 = 0 يختلف عن النظام الفرعي المحدد بواسطة x = 0 (الأصل). بشكل أعم ، ألياف تشكل المخططات Xص في نقطة ص قد تكون غير مخفضة ، حتى لو X و ص يتم تقليلها. هندسيًا ، يشير هذا إلى أن ألياف التعيينات الجيدة قد يكون لها بنية "متناهية الصغر" غير بسيطة.

هناك تعميمات أخرى تسمى الفراغات والمكدسات الجبرية.

المشعب الجبري هو نوع جبري وهو أيضًا ممتعدد الأبعاد ، وبالتالي فإن كل رقعة محلية صغيرة بما فيه الكفاية تكون متشابهة لـ كم . بالتساوي ، الصنف سلس (خالٍ من النقاط الفردية). عندما k هي الأرقام الحقيقية ، ص، المشعبات الجبرية تسمى مشعبات ناش. يمكن تعريف المشعبات الجبرية على أنها المجموعة الصفرية لمجموعة محدودة من الدوال الجبرية التحليلية. المشعبات الجبرية الإسقاطية هي تعريف مكافئ للأصناف الإسقاطية. إن كرة ريمان هي أحد الأمثلة.

  1. ^ Hartshorne ، p.xv ، يلاحظ أن اختياره ليس تقليديًا ، انظر على سبيل المثال ، Harris ، p.3
  2. ^Hartshorne 1976، pp. 104–105 harvnb error: no target: CITEREFHartshorne1976 (مساعدة)
  3. ^ ليو ، تشينغ. الهندسة الجبرية والمنحنيات الحسابية، ص. 55 التعريف 2.3.47 ، ص. 88 مثال 3.2.3
  4. ^ هاريس ، ص 9 ، أنه غير قابل للاختزال مذكور كتمرين في Hartshorne p.7
  1. ^ أبجدهFزحأنايكلمهارتشورن ، روبن (1977). الهندسة الجبرية. Springer-Verlag. ردمك0-387-90244-9.
  2. ^ Hartshorne ، تمرين I.2.9 ، صفحة 12
  3. ^
  4. Nagata ، Masayoshi (1956) ، "حول إشباع مشكلة الأصناف المجردة في الأصناف الإسقاطية" ، مذكرات كلية العلوم ، جامعة كيوتو. السلسلة أ: الرياضيات, 30: 71-82 ، MR0088035
  5. ^
  6. ناجاتا ، ماسايوشي (1957) ، "على تشريب الأسطح المجردة في الأصناف الإسقاطية" ، مذكرات كلية العلوم ، جامعة كيوتو. السلسلة أ: الرياضيات, 30: 231-235 ، MR0094358
  7. ^
  8. هاريس ، جو (1992). الهندسة الجبرية - دورة أولى. Springer-Verlag. ردمك0-387-97716-3.
  • كوكس ، ديفيد جون ليتل دون أوشيا (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (الطبعة الثانية). Springer-Verlag. ISBN0-387-94680-2 .
  • Eisenbud, David (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN0-387-94269-6 .
  • Milne, James S. (2008). "Algebraic Geometry" . Retrieved 2009-09-01 .

This article incorporates material from Isomorphism of varieties on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.


3.6.6E: Complex Zeros (Exercises) - Mathematics

Our objective is to find two roots of the quartic equation

The other two roots (real or complex) can then be found by polynomial division and the quadratic formula. The solution proceeds in two steps. First, the quartic equation is "depressed" then one reduces the problem to solving a related cubic equation.

We apply the substitution

to the quartic equation (1) to obtain:

Multiplying out and simplifying, we obtain the "depressed" quartic

Let's try this for the example

Our substitution will be x = y -2 expanding and simplifying, we obtain the depressed quartic equation

We are left with solving a depressed quartic equation of the form

We will first move the y -term to the other side.

Next, we "complete the square" on the left side, but we want to end up with . To accomplish that, we add the term

Simplifying the left side results in

Now here comes the crucial trick: Using a new unknown z , we want to change the left side of (5) to

which means we have to add to both sides of (5) to obtain:

ما هذه الفوضى! Let's see what we get for our concrete example Equation (2):

"Completing the square" in the fashion indicated above yields:

adding the term to both sides of (7) results in

The left side is a "perfect square". ستكون الخطوة التالية هي تحديد z بحيث يبدو الجانب الأيمن أيضًا كمربع كامل.

Note that the right side is a quadratic polynomial in y . Ending up with a perfect square is just another way of saying that this polynomial has a repeated factor. A quadratic polynomial has a repeated factor if its discriminant is 0. Let's compute the discriminant in our example:

This polynomial is called the resolvent cubic polynomial for the quartic equation.

We can find a real root of the resolvent cubic in this case, the Rational Zero Test reveals that z =-5 is such a root.

is supposed to be a perfect square. Let's check that.

بنغو! By now, Equation (7) looks like this:

We're nearly done. Let's take square roots on both sides:

We discard one of the two choices and end up with

This is a quadratic equation! Its roots are

Using the substitution x = y -2, we see that our original equation

has two roots of the form

يمكن إيجاد الجذور الأخرى عن طريق القسمة المطولة لكثيرات الحدود وتطبيق الصيغة التربيعية.

Let me finish by convincing you that making the right side a perfect square always amounts to solving a cubic equation: In the last general step (Equation (6)), we had written our depressed quartic equation as

Writing the right side neatly as a polynomial in y , we obtain

The discriminant of the right side is therefore

Thus the procedure outlined will work in general. One word of caution: A quartic equation may have four complex roots so you should expect complex numbers to play a much bigger role in general than in my concrete example. In my discussion of the general case, I have, for example, tacitly assumed that C is positive.

For an interesting account of Euler's approach to solving quartic equations, see the article The quartic equation: invariants and Euler s solution revealed by RWD Nickalls.

Check that z =3 is a root of the resolvent cubic for the equation, then find all roots of the quartic equation.


First Grade Math Worksheets and Printables

You may not remember the first time you understood how and why 2 + 2 = 4, but rest assured, it was a monumental moment for your young self. It was also the first time you realized how challenging first grade math can be. Thankfully, your child has one advantage you didn’t: access to our first grade math worksheets. What makes these worksheets particularly worthwhile is the variety of concepts that are offered, not to mention the way in which they are presented.

From basic addition and subtraction activities to measurement worksheets to puzzles where solving math problems unlocks the answer to a “What’s the word?” question, there is no end to the number of ways your child can improve his math skills. What’s particularly great about our first grade math worksheets is they inject some fun into what can be an overwhelming challenge (learning math). So if your child struggles with reading a clock, print out our Telling Time with Clockwork Cat worksheet. Or access The Pet Store Tally worksheet to help your student better understand sorting and counting.

With dozens of unique activities and alluring graphics/characters, your child will inevitably discover the joy of learning first grade math — something you may have never thought possible as a kid!


شاهد الفيديو: اجمل واروع التمارين من اولمبياد الرياضياتفكرة روعة (شهر نوفمبر 2021).