مقالات

12.3: فضاءات Eigenspaces - الرياضيات


في المثال السابق ، وجدنا اثنين من المتجهات الذاتية

[ begin {pmatrix} -1 1 0 end {pmatrix} mbox {and} begin {pmatrix} 1 0 1 end {pmatrix} ]

لـ (L ) ، كلاهما مع القيمة الذاتية (1 ). لاحظ أن

[ start {pmatrix} -1 1 0 end {pmatrix} + begin {pmatrix} 1 0 1 end {pmatrix} = begin {pmatrix} 0 1 1 نهاية {pmatrix} ]

هو أيضًا متجه ذاتي لـ (L ) مع قيمة ذاتية (1 ). في الواقع ، أي تركيبة خطية

[r start {pmatrix} -1 1 0 end {pmatrix} + s begin {pmatrix} 1 0 1 end {pmatrix} ]

من هذين المتجهين الذاتيين سيكون متجهًا ذاتيًا آخر له نفس القيمة الذاتية.

بشكل عام ، لنكن ( {v_ {1}، v_ {2}، ldots } ) متجهات ذاتية لبعض التحويلات الخطية (L ) بنفس القيمة الذاتية ( lambda ). يمكن كتابة ( textit {تركيبة خطية} ) من (v_ {i} ) (c ^ {1} v_ {1} + c ^ {2} v_ {2} + cdots ) لبعض الثوابت ( {c ^ {1}، c ^ {2}، ldots } ). ثم:

ابدأ {eqnarray *}
L (c ^ {1} v_ {1} + c ^ {2} v_ {2} + cdots) & = & c ^ {1} Lv_ {1} + c ^ {2} Lv_ {2} + cdots textit {بخطي L}
& = & c ^ {1} lambda v_ {1} + c ^ {2} lambda v_ {2} + cdots textit {since (Lv_ {i} = lambda v_ {i} )}
& = & lambda (c ^ {1} v_ {1} + c ^ {2} v_ {2} + cdots).
نهاية {eqnarray *}

لذا فإن كل تركيبة خطية من (v_ {i} ) هي متجه ذاتي لـ (L ) بنفس القيمة الذاتية ( لامدا ). بعبارات بسيطة ، أي مجموع من المتجهات الذاتية هو مرة أخرى متجه eigenvector ( textit {إذا كانوا يشتركون في نفس القيمة الذاتية} ).

تسمى مساحة جميع المتجهات التي تحتوي على قيمة eigenvalue ( lambda ) بـ ( textit {eigenspace} ). إنها ، في الواقع ، مساحة متجهة موجودة داخل مساحة المتجه الأكبر (V ): تحتوي على (0_ {V} ) ، منذ (L0_ {V} = 0_ {V} = lambda 0_ {V } ) ، ويتم إغلاقها تحت عملية الجمع والضرب القياسي بالحساب أعلاه. يتم توريث جميع خصائص مساحة المتجه الأخرى من حقيقة أن (V ) نفسه هو مساحة متجه. بعبارة أخرى ، تضمن نظرية الفضاء الجزئي ، 9.1.1 الفصل 9 ، أن (V _ { lambda}: = {v in V | Lv = 0 } ) هو فضاء فرعي لـ (V ).


مسافة eigenspace المرتبطة بقيمة eigenvalue $ lambda $ ستكون مجموعة كل الحلول للمعادلة $ (A- lambda I) x = 0 $

إحدى قيم eigenvalues ​​الخاصة بك هي 3 دولارات ، فلنلقِ نظرة على ذلك.

ما علينا فعله هنا هو حل $ (A-3I) x = 0 $

نحل الآن معادلة المصفوفة المعززة:

من هنا نرى أن $ z $ هو المتغير المجاني الخاص بنا. لذا دع $ z = t ، t in Bbb R $. الآن يمكننا كتابة الحل:

لذلك فإن eigenspace المرتبطة بـ eigenvalue $ 3 $ هي $ operatorname(-1,1,1)$.

حل معادلتين متشابهتين لإيجاد مساحتي eigens space الأخريين لهذه المصفوفة.


حل.

حسب التعريف ، فإن eigenspace $ E_2 $ المقابل لـ eigenvalue $ 2 $ هو المساحة الخالية للمصفوفة $ A-2I $.
هذا هو ، لدينا
[E_2 = كالن (A-2I). ]

وهكذا فإن الحلول $ mathbf$ من $ (A-2I) mathbf= mathbf <0> $ إرضاء $ x_1 = 2x_2 + x_3 $.
وبالتالي ، فإن الفضاء الفارغ $ calN (A-2I) $ يتكون من متجهات
[ mathbf= ابدأ
2x_2 + x_3
x_2
x_3
نهاية= x_2 ابدأ
2 \
1 \
0
نهاية+ x_3 ابدأ
1 \
0 \
1
نهاية] لأي حجم قياسي $ x_2 ، x_3 $.

من السهل أن نرى أن المتجهات تبدأ $
2 \
1 \
0
نهاية، يبدأ
1 \
0 \
1
نهاية$ مستقلة خطيًا ، ومن ثم فهي تشكل أساسًا لـ $ E_2 $.


كيف تجد قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية المقابلة لمصفوفة؟

الخطوة 2: احسب محدد # (lambdaI_n-A) #. أستخدم مصفوفة من 5 أعمدة وقاعدة Sarrus لحساب المحددات.

# | (اللون (أحمر) (لامدا) ، اللون (أخضر) (- 4) ، اللون (أزرق) (0) ، لامدا ، -4) ، (1 ، اللون (أحمر) (لامدا + 4) ، اللون (أخضر) ( 0) ، اللون (أزرق) (1) ، لامدا + 4) ، (0،0 ، اللون (أحمر) (لامدا + 2) ، اللون (أخضر) (0) ، اللون (أزرق) (0)) | = #

اطرح الأقطار الصغيرة:

# | (لامدا ، -4 ، اللون (أزرق) (0) ، اللون (أخضر) (لامدا) ، اللون (أحمر) (- 4)) ، (1 ، اللون (أزرق) (لامدا + 4) ، اللون (أخضر) ( 0) ، اللون (أحمر) (1) ، لامدا + 4) ، (اللون (أزرق) (0) ، اللون (أخضر) (0) ، اللون (أحمر) (لامدا + 2) ، 0 ، اللون (أزرق) ( 0)) | = #

# اللون (أحمر) (لامدا (لامدا + 4) (لامدا + 2)) + اللون (أخضر) (4 (0) (0)) + اللون (أزرق) (0 (1) (0)) - اللون (أزرق) ) (0 (لامدا + 4) (0)) - اللون (أخضر) (لامدا (0) (0)) - اللون (أحمر) (- 4 (1) (لامدا + 2)) = لامدا ^ 3 + 6 لامبدا ^ 2 + 12lambda + 8 #

الخطوه 3: اضبط كثير الحدود المميز على صفر وحل من أجل قيمة (قيم) Eigenvalue:

# lambda ^ 3 + 6lambda ^ 2 + 12lambda +8 = 0 #

المعادلة المميزة هي مكعب مثالي ، لذا فهي لها جذر واحد فقط:

#lambda = -2 larr # هذه هي القيمة الذاتية.

الخطوة الرابعة: اضبط المصفوفة مضروبة في متجه ثلاثي الأبعاد يساوي قيمة (ق) Eigenvalue مضروبة في هذا المتجه:

هذا هو مجموع متجهين:

# vecv = a [(- 2)، (1)، (0)] + b [(0)، (0)، (1)] a، binRR larr # هذا هو فضاء Eigenvector


المعادلات التفاضلية

التكامل ، xy + $ frac <1> <2> $ y 2 & ndash $ frac <1> <2> $ x 2 = c & rsquo.

أو d (xy) + xy.dx = 0 [x.dy + y.dx = d (xy)]

أو ، (x 2 & ndash ay) .dx & ndash (ax & ndash y 2) .dy = 0

أو x 2 .dx + y 2 .dy & ndash a (y.dx + x.dy) = 0

أو ، $ frac <1> <3> $ .dx 3 + $ frac <1> <3> $ dy 3 & ndash ad (xy) = 0

لذا ، x 3 & ndash 3axy + y 3 = C [C = 3C & rsquo]

أو sinx.cosx.dx + siny.cosy.dy = 0

التكامل، sin 2 x + sin 2 y = 0

التكامل، sin 2 x + sin 2 y = 0.

أو sec 2 y.dy = cosec 2 x.dx

التكامل ، tany = -cotx + c

أو (x + 2y & ndash 3) .dy & ndash (2x & ndash y + 1) .dx = 0

أو ، x.dy + 2y.dy & ndash 3.dy & ndash 2x.dx + y.dx & ndash dx = 0

أو (xdy + ydx) + 2ydy & ndash 3dy & ndash 2xdx & ndash dx = 0

أو d (xy) + d (y 2) & ndash 3dy & ndash d (x 2) & ndash dx = 0

أو d (xy + y 2 & ndash 3y & ndash x 2 & ndash x) = 0

أو ، xy + y 2 & ndash 3y & ndash x 2 & ndash x = c.

لذا ، xy + y 2 & ndash x 2 & ndash 3y & ndash x = c.

أو y.dy & ndash xdy + 5dy = ydx & ndash xdx + dx

أو ، $ frac <1> <2> $ dy 2 & ndash (xdy + ydx) + $ frac <1> <2> $ .dx 2 + 5dy & ndash dx = 0.


12.3: فضاءات Eigenspaces - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

يحدد مدى المتجهات الذاتية المرتبطة بقيمة eigenvalue الثابتة مساحة eigenspace المقابلة لتلك القيمة الذاتية.

لاحظ أن أبعاد eigenspace المطابقة لقيمة eigenvalue معينة يجب أن تكون 1 على الأقل ، حيث يجب أن تحتوي مسافات eigenspace على متجهات غير صفرية حسب التعريف.

بشكل عام ، إذا كان تحويلًا خطيًا ، وكان قيمة ذاتية لـ ، فإن مساحة eigenspace المقابلة لـ هي

بهذه الطريقة ، تحديد أساس لتعريف فضاءات eigenspaces لـ (in) مع فضاءات eigens لتمثيل المصفوفة لـ (in).


درس: الدرس 12.3

ب. أعلم أن الكسر يمكن أن يُظهر أجزاء من الكل وأجزاء من مجموعة.

ج. أعلم أنه عند تقطيع الكل إلى أجزاء متساوية ، فإن المقام يمثل عدد الأجزاء المتساوية.

د. أعرف أن بسط الكسر هو عدد الأجزاء المتساوية المظللة أو المختلفة عن الأجزاء الأخرى.

2. يمكنني استخدام خط الأعداد لتمثيل الكسور.

3. يمكنني مقارنة الكسور بالنظر إلى حجم الأجزاء وعدد الأجزاء.

4 ا. يمكنني استخدام خط الأعداد لتحديد ما إذا كان كسرين متساويين

ب. يمكنني استخدام النماذج المرئية لمعرفة الكسور المتكافئة.

ج. يمكنني شرح سبب تكافؤ الكسور باستخدام النماذج المرئية

5. أ. يمكنني كتابة عدد صحيح في صورة كسر.

ب. أعلم أن الكسر هو نفسه القسمة

6. أ. يمكنني مقارنة حجم كسرين لهما نفس المُرقم أو نفس المقام.

ب. أعلم أنه لا يمكنني مقارنة الكسور إلا عندما تكون من نفس الكل.


في مرحلة ما ، جلس الكثير منا في فصل الرياضيات وسألنا أنفسنا ، & ldquo متى سأستخدم هذا؟ & rdquo ربما لم نصدق ذلك ، لكن الإجابة في مجموعة متنوعة من المهن هي ، & ldquo كل يوم! & rdquo تدابير تقييم الرياضيات التطبيقية التفكير النقدي والتفكير الرياضي وتقنيات حل المشكلات للمواقف التي تحدث بالفعل في مكان العمل اليوم و rsquos. بينما قد يستخدم الأفراد الآلات الحاسبة وجداول التحويل للمساعدة في حل المشكلات في التقييم ، لا تزال هناك حاجة إلى مهارات الرياضيات للتفكير فيها.

هناك خمسة مستويات من الصعوبة. المستوى 3 هو الأقل تعقيدًا ، والمستوى 7 هو الأكثر تعقيدًا. تعتمد المستويات على بعضها البعض ، كل منها يشتمل على المهارات التي تم تقييمها في المستويات السابقة. على سبيل المثال ، في المستوى 5 ، يحتاج الأفراد إلى المهارات من المستويات 3 و 4 و 5. يتم تضمين الأمثلة مع كل وصف مستوى.

مستوى 3

خصائص العناصر

  • ترجم بسهولة من مسألة كلمة إلى معادلة رياضية
  • يتم تقديم جميع المعلومات المطلوبة بترتيب منطقي
  • لا توجد معلومات إضافية

مهارات

  • حل المسائل التي تتطلب نوعًا واحدًا من العمليات الحسابية. يقومون بجمع أو طرح أرقام موجبة أو سالبة (مثل 10 أو -2). يضرب أو يقسم باستخدام أرقام موجبة فقط (مثل 10).
  • قم بتحويل كسر مألوف (مثل & frac12 أو & frac14 إلى رقم عشري) وتحويله من كسر عشري إلى كسر مشترك أو التحويل بين الكسور العشرية إلى نسب مئوية (مثل 0.75 إلى 75٪).
  • قم بالتحويل بين الوحدات المألوفة من المال والوقت (مثل الساعة الواحدة تساوي 60 دقيقة أو & frac12 للدولار يساوي 0.50).
  • اجمع أسعار العديد من المنتجات معًا للعثور على الإجمالي ، واحسب التغيير الصحيح للعميل.

مستوى 4

خصائص العناصر

  • قد يتم تقديم المعلومات خارج الترتيب
  • قد تتضمن معلومات إضافية غير ضرورية
  • قد يتضمن مخططًا بسيطًا أو رسمًا بيانيًا أو رسمًا بيانيًا

مهارات

  • حل المسائل التي تتطلب عملية حسابية واحدة أو اثنتين. يمكنهم الجمع أو الطرح أو الضرب باستخدام أرقام موجبة أو سالبة (مثل 10 أو -2) ، ويمكنهم قسمة الأرقام الموجبة (مثل 10).
  • احسب متوسط ​​أو متوسط ​​مجموعة من الأرقام (مثل (10 + 11 + 12) / 3)). لهذا ، يمكنهم استخدام الأعداد الصحيحة والكسور العشرية.
  • اكتشف النسب البسيطة (مثل & frac34) ، أو النسب البسيطة (مثل 10/100 حالة) ، أو المعدلات (مثل 10 ميل في الساعة).
  • أضف الكسور أو الكسور العشرية أو النسب المئوية المعروفة (مثل & frac12 أو 0.75 أو 25٪).
  • جمع أو طرح كسور ذات مقام مشترك (مثل & frac14 + & frac34 + & frac14).
  • اضرب عددًا كسريًا (مثل 12 1/8) في رقم صحيح أو رقم عشري.
  • ضع المعلومات بالترتيب الصحيح قبل إجراء العمليات الحسابية.

مستوى 5

خصائص العناصر

  • تتطلب المشكلات عدة خطوات للمنطق والحساب (على سبيل المثال ، قد تتضمن المشكلة إكمال نموذج طلب عن طريق تجميع الأمر ثم حساب الضريبة)

مهارات

  • حدد المعلومات أو الحسابات أو تحويلات الوحدات التي ستستخدمها للعثور على إجابة لمشكلة ما.
  • جمع وطرح الكسور ذات المقامات غير المتشابهة (مثل & frac12 - & frac14).
  • تحويل الوحدات داخل أو بين أنظمة القياس (على سبيل المثال ، الوقت والقياس والكمية) حيث يتم إعطاء عامل التحويل إما في المشكلة أو في ورقة الصيغة.
  • حل المسائل التي تتطلب عمليات حسابية باستخدام وحدات مختلطة (مثل إضافة 6 أقدام و 4 بوصات إلى 3 أقدام و 10 بوصات ، أو طرح 4 ساعات و 30 دقيقة من 3.5 ساعة).
  • حدد أفضل صفقة باستخدام حسابات من خطوة أو خطوتين تفي بالشروط المذكورة.
  • احسب محيط الشكل الأساسي أو محيطه ، أو احسب مساحة الشكل الأساسي.
  • احسب نسبة مئوية معينة من رقم معين ثم استخدم تلك النسبة لإيجاد حل لمشكلة ما (على سبيل المثال ، ابحث عن النسبة المئوية ثم استخدمها للعثور على الخصم أو الترميز أو الضريبة).
  • حدد مكان حدوث الخطأ في عملية حسابية (مثل تحديد الصف في جدول البيانات حيث حدثت مشكلة).

المستوى 6

خصائص العناصر

  • قد يتطلب ترجمة كبيرة من الصيغة اللفظية إلى التعبير الرياضي
  • تتطلب عمومًا إعدادًا كبيرًا وتتضمن حسابات متعددة الخطوات

مهارات

  • استخدم الكسور ذات المقامات المختلفة وحساب النسب المئوية العكسية.
  • تحويل الوحدات داخل أو بين أنظمة القياس (على سبيل المثال ، الوقت والقياس والكمية) حيث تكون التحويلات متعددة الخطوات مطلوبة ويتم توفير الصيغ مثل التحويل من كيلومترات إلى متر إلى قدم.
  • حدد سبب حدوث خطأ في الحل.
  • ابحث عن أفضل صفقة من مجموعة من الحلول ثم استخدم النتيجة في عملية حسابية أخرى.
  • ابحث عن مساحة الأشكال الأساسية عندما يكون من الضروري إعادة ترتيب معادلة أو تحويل وحدات القياس في العمليات الحسابية أو استخدام النتيجة في عمليات حسابية أخرى.
  • احسب حجم المواد الصلبة المستطيلة (مثل المكعبات).
  • احسب المعدلات ومعدلات الإنتاج والمعدل حسب الوقت (على سبيل المثال ، معدل الإنتاج هو 59 كوبًا يتم إنتاجها في الساعة ، وكم سيتم إنتاجها في وردية 8 ساعات).
  • حدد المعادلة الصحيحة لحل مشكلة.

المستوى 7

خصائص العناصر

  • قد يكون المحتوى أو التنسيق غير عادي
  • قد تكون المعلومات غير كاملة أو ضمنية
  • غالبًا ما تتضمن المشكلات خطوات متعددة للمنطق والحساب

مهارات

  • حل المسائل التي تتضمن النسب أو المعدلات أو النسب مع واحدة على الأقل من الكميات هي كسر.
  • حدد سبب الخطأ.
  • التحويل بين وحدات القياس باستخدام الكسور والأرقام الكسرية والكسور العشرية والنسب المئوية.
  • احسب أحجام المجالات أو الأسطوانات أو المخاريط.
  • احسب الحجم عندما يكون من الضروري إعادة ترتيب الصيغة أو تحويل وحدات القياس في العمليات الحسابية أو استخدام النتيجة في عمليات حسابية أخرى.
  • قم بإعداد النسب أو المعدلات أو النسب ومعالجتها حيث تكون إحدى الكميات على الأقل كسرًا.
  • تحديد القيمة الاقتصادية الأفضل للعديد من البدائل باستخدام الرسومات ، أو تحديد فرق النسبة المئوية ، أو عن طريق تحديد تكلفة الوحدة.
  • قم بتطبيق المفاهيم الإحصائية الأساسية على سبيل المثال حساب المتوسط ​​المرجح أو تفسير مقاييس الاتجاه المركزي أو تفسير مقياس الانتشار والتسامح.

12.3: فضاءات Eigenspaces - الرياضيات

إليك سؤال تبين أن إجابته مفيدة جدًا: عند وجود متجهين ، ما الزاوية بينهما؟

قد لا يكون من الواضح على الفور ما إذا كان السؤال منطقيًا ، ولكن ليس من الصعب تحويله إلى سؤال مفيد. نظرًا لأن النواقل ليس لها موقع ، فنحن كالعادة أحرار في وضع المتجهات أينما نريد. إذا تم وضع المتجهين ذيلًا إلى آخر ، فهناك الآن تفسير معقول للسؤال: نسعى إلى قياس أصغر زاوية بين المتجهين ، في المستوى الذي يقعان فيه. يوضح الشكل 12.3.1 الوضع.

نظرًا لأن الزاوية $ theta $ تقع في مثلث ، يمكننا حسابها باستخدام القليل من حساب المثلثات ، أي قانون جيب التمام. أطوال أضلاع المثلث في الشكل 12.3.1 هي $ | < bf A> | $ ، $ | < bf B> | $ ، و $ | < bf A> - < bf B> | $ . دع $ ds < bf A> = langle a_1، a_2، a_3 rangle $ و $ ds < bf B> = langle b_1، b_2، b_3 rangle $ ثم $ eqalign <| < bf A > - < bf B> | ^ 2 & = | < bf A> | ^ 2 + | < bf B> | ^ 2-2 | < bf A> || < bf B> | cos ثيتا cr 2 | < bf A> || < bf B> | cos theta & = | < bf A> | ^ 2 + | < bf B> | ^ 2- | < bf A> - < bf B> | ^ 2 cr & = a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 + b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2- (a_1-b_1) ^ 2- (a_2-b_2) ^ 2 - (a_3-b_3) ^ 2 cr & = a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 + b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2 cr & qquad- (a_1 ^ 2-2a_1b_1 + b_1 ^ 2) - (a_2 ^ 2-2a_2b_2 + b_2 ^ 2) - (a_3 ^ 2-2a_3b_3 + b_3 ^ 2) cr & = 2a_1b_1 + 2a_2b_2 + 2a_3b_3 cr | < bf A> || < bf B> | cos theta & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 cr cos theta & = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) / (| < bf A> || < bf B> |) cr> $ لذا القليل من تسمح لنا عملية حسابية بسيطة بإحداثيات $ bf A $ و $ bf B $ بحساب جيب تمام الزاوية بينهما. إذا لزم الأمر ، يمكننا استخدام arccosine للحصول على $ theta $ ، ولكن في العديد من المشكلات ، يتبين أن $ cos theta $ هو كل ما نحتاجه حقًا.

يظهر بسط الكسر الذي يعطينا $ cos theta $ كثيرًا ، لذلك نمنحه اسمًا وترميزًا أكثر إحكاما: نسميه المنتج نقطة، واكتبه كـ $ < bf A> cdot < bf B> = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3. $ هذا هو نفس الرمز الذي نستخدمه في الضرب العادي ، ولكن لا ينبغي أبدًا أن يكون هناك أي ارتباك يمكنك تمييزه من السياق نحن "نضاعف" المتجهات أو الأرقام. (قد نستخدم النقطة أيضًا في الضرب القياسي: $ a cdot < bf V> = a < bf V> $ مرة أخرى ، من الواضح ما هو المقصود من السياق.)

مثال 12.3.1 أوجد الزاوية بين المتجهات $ < bf A> = langle 1،2،1 rangle $ و $ < bf B> = langle 3،1، -5 rangle $. نعلم أن $ cos theta = < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = (1 cdot3 + 2 cdot1 + 1 cdot (-5)) / (| < bf A> || < bf B> |) = 0 $ ، لذا $ theta = pi / 2 $ ، أي أن المتجهات متعامدة.

مثال 12.3.2 أوجد الزاوية بين المتجهات $ < bf A> = langle 3،3،0 rangle $ و $ < bf B> = langle 1،0،0 rangle $. نحسب $ eqalign < cos theta & = (3 cdot1 + 3 cdot0 + 0 cdot0) / ( sqrt <9 + 9 + 0> sqrt <1 + 0 + 0>) cr & = 3 / sqrt <18> = 1 / sqrt2 cr> $ so $ theta = pi / 4 $.

مثال 12.3.3 بعض الحالات الخاصة تستحق النظر فيها: ابحث عن الزوايا بين $ < bf A> $ و $ < bf A> $ < bf A> $ و $ < bf -A> $ $ < bf A> $ و $ < bf 0> = langle 0،0،0 rangle $.

$ ds cos theta = < bf A> cdot < bf A> / (| < bf A> || < bf A> |) = (a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 ) / ( sqrt مربع) = 1 دولار ، لذا فإن الزاوية بين $ < bf A> $ ونفسها هي صفر ، وهذا بالطبع صحيح.

$ ds cos theta = < bf A> cdot < bf -A> / (| < bf A> || < bf -A> |) = (- a_1 ^ 2-a_2 ^ 2- a_3 ^ 2) / ( sqrt مربع) = - 1 دولار ، إذن الزاوية هي $ pi $ ، أي أن المتجهات تشير في اتجاهين متعاكسين ، كما نعلم بالطبع.

$ ds cos theta = < bf A> cdot < bf 0> / (| < bf A> || < bf 0> |) = (0 + 0 + 0) / ( sqrt sqrt <0 ^ 2 + 0 ^ 2 + 0 ^ 2>) $ ، وهو غير معرف. من ناحية أخرى ، لاحظ أنه نظرًا لأن $ < bf A> cdot < bf 0> = 0 $ يبدو في البداية كما لو أن $ cos theta $ سيكون صفرًا ، وهو ما يعني كما رأينا أن المتجهات متعامدة فقط عندما نلاحظ أن المقام يساوي صفرًا ، فإننا نواجه مشكلة فقط. طريقة واحدة "لإصلاح" هذا هو اعتماد اصطلاح أن المتجه الصفري $ < bf 0> $ متعامد على جميع المتجهات ، فيمكننا القول بشكل عام أنه إذا كان $ < bf A> cdot < bf B> = 0 $ ، $ bf A $ و $ bf B $ عمودي.

بتعميم الأمثلة ، لاحظ الحقائق المفيدة التالية:

1. إذا كان $ bf A $ موازيًا أو غير موازٍ لـ $ bf B $ فإن $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> | ) = pm1 $ ، والعكس ، إذا كان $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = 1 $ ، $ bf A $ و $ bf B $ متوازي ، بينما إذا كان $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = - 1 $ ، $ bf A $ و $ bf B $ معادون للتوازي. (تكون المتجهات متوازية إذا كانت تشير في نفس الاتجاه ، ومضادة للتوازي إذا كانت تشير في اتجاهين متعاكسين.)

2. إذا كان $ bf A $ عموديًا على $ bf B $ فإن $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = 0 $ ، وبالعكس إذا كان $ < bf A> cdot < bf B> / (| < bf A> || < bf B> |) = 0 $ فإن $ bf A $ و $ bf B $ هما عمودي.

بالنظر إلى متجهين ، من المفيد غالبًا العثور على تنبؤ متجه على الآخر ، لأنه يتبين أن هذا له معنى مهم في العديد من الظروف. بتعبير أدق ، بالنظر إلى $ < bf A> $ و $ < bf B> $ ، فإننا نبحث عن متجه موازٍ لـ $ bf B $ ولكن مع تحديد الطول بواسطة $ bf A $ بطريقة طبيعية ، كما هو موضح في الشكل 12.3.2. يتم اختيار $ bf V $ بحيث يتكون المثلث من $ bf A $ و $ bf V $ و $ < bf A> - < bf V> $ مثلث قائم الزاوية.

باستخدام القليل من علم المثلثات ، نرى أن $ | < bf V> | = | < bf A> | cos theta = | < bf A> | << bf A> cdot < bf B> أكثر من | < bf A> || < bf B> |> = << bf A> cdot < bf B> over | < bf B> |> $ وهذا يسمى أحيانًا إسقاط قياسي بقيمة $ bf A $ على $ bf B $. للحصول على $ bf V $ نفسه ، نضرب هذا الطول في متجه بطول واحد موازٍ لـ $ bf B $: $ < bf V> = << bf A> cdot < bf B> over | < bf B> |> << bf B> over | < bf B> |> = << bf A> cdot < bf B> over | < bf B> | ^ 2> < bf ب>. تأكد من أنك تفهم لماذا $ < bf B> / | < bf B> | $ هو متجه لطول واحد (يسمى أيضًا a حتى النصر) بالتوازي مع $ bf B $.

افترضت المناقشة حتى الآن ضمنيًا أن le theta le pi / 2 $. إذا كان $ pi / 2 الشكل 12.3.3. $ bf V $ هو إسقاط $ bf A $ على $ bf B $.

لاحظ أن عبارة "الإسقاط على $ bf B

12.3: فضاءات Eigenspaces - الرياضيات

المكتب: 125C، Rettaliata Engg.
الهاتف: (312) 567-3128
البريد الإلكتروني: kaul [at] iit.edu

الوقت: 11:25 صباحًا ، الثلاثاء والخميس.
المكان: 152 مركز بريتزكر للعلوم.

ساعات العمل: 1:15 مساءً - 2:15 مساءً الثلاثاء والخميس ، وعن طريق الموعد (إرسال بريد إلكتروني).
كما يتم تشجيع الأسئلة عبر البريد الإلكتروني.
فضلا عن منتدى المناقشة في بيازا.

ساعات مكتب الرياضيات TA: Quinn Stratton في الساعة 10 صباحًا - 12 مساءً يوم الاثنين و 4:45 مساءً - 5:45 مساءً كل ثلاثاء في 129 ، Retalliata Engg.
خدمة دروس ARC: دروس الرياضيات في مركز الموارد الأكاديمية.

ممارسة المشكلات عبر الإنترنت: كتاب الجبر الخطي في COW (حساب التفاضل والتكامل على الويب).

ال نشرة معلومات الدورة يحتوي على وصف شامل للدورة التدريبية - الموضوعات ، والكتب المدرسية ، وسياسة تقييم الطلاب ، بالإضافة إلى المعلومات الأخرى ذات الصلة. اقرأها بعناية!

رسالة نهاية الفصل الدراسي للطلاب: ماذا بعد؟

نصيحة ممتازة من دوغ ويست حول كيفية كتابة حلول الواجب المنزلي للمشكلات القائمة على الإثبات.
نصيحة ممتازة من فرانسيس سو حول الكتابة الرياضية الجيدة.

لماذا علينا تعلم البراهين؟
فهم الرياضيات - دليل دراسة
في ملاحظة أكثر تجريدًا ، إليك مناقشة حول اللغة والقواعد النحوية للرياضيات - وهو ما ستبدأ في تعلمه في دورة مثل هذه.

نصيحة ممتازة لتخصصات الرياضيات ، خاصة أولئك الذين يخططون للذهاب إلى الدراسات العليا ، بقلم تيري تاو ، الحائز على ميدالية 2006 فيلدز. القراءة المطلوبة.

اقرأ هذا الكتاب عن مجموعة متنوعة من التجارب في رحلة تعلم الرياضيات: إثبات حي

بعض المصادر الأساسية للمعلومات / المناقشة للمهن في العلوم الرياضية:
MAA - وظائف
SIAM - وظائف
المعلومات - الوظائف
AMS - وظائف

  • الخميس 24/10 : لاحظ موعد الاختبار النهائي أدناه.
  • الثلاثاء 9/10 : تم الإعلان عن جميع مواعيد الاختبارات أدناه.
  • الثلاثاء 8/20 : تحقق من صفحة الويب هذه بانتظام لمعرفة الواجبات المنزلية والإعلانات وما إلى ذلك.
  • الامتحان رقم 1 : الخميس 26/9. المواضيع: جميع المواضيع المقابلة لـ HW # 1، HW # 2، HW # 3، HW # 4.
  • الامتحان رقم 2 : الخميس 24/10. المواضيع: جميع المواضيع المقابلة لـ HW # 5، HW # 6، HW # 7.
  • الامتحان رقم 3 : الثلاثاء 11/19. المواضيع: جميع المواضيع المقابلة لـ HW # 8، HW # 9، HW # 10.
  • إمتحان نهائي : الثلاثاء ، 12/3 ، 10:30 صباحًا - 12:30 مساءً. المواضيع: جميع الموضوعات التي تمت دراستها خلال الفصل الدراسي.

ما عليك سوى تقديم الحلول إلى "مشاكل التقديم".
ومع ذلك ، فإن حل غالبية اقترح مشاكل يتم تشجيعه بشدة. سيؤدي حل هذه المشكلات إلى تحسين فهمك لمواد الدورة وإعدادك بشكل أفضل للامتحانات.
اعمل على حل مشاكل المخلفات الخطرة خلال عطلة نهاية الأسبوع حتى تطلب المساعدة خلال ساعات العمل يوم الاثنين مع TA ويوم الثلاثاء مع المدرب و TA.

تستند أرقام المشكلات أدناه إلى الإصدار الحادي عشر من الكتاب المدرسي. إذا كنت تستخدم إصدارًا سابقًا ، فيرجى التأكد من حل المشكلات الصحيحة. (الأقسام 1.1. ، 1.2 ، 1.3 من الكتاب المدرسي متوفرة في معاينة الكتاب المدرسي على Amazon.)

تذكر: يجب تقديم الواجب المنزلي في بداية الفصل الدراسي في تاريخ الاستحقاق. يجب أن تكون الحلول مكتوبة بشكل واضح ومقروء ومختصر ، وسيتم تصنيفها وفقًا للصحة الرياضية والعرض التقديمي. سيتم خصم النقاط بسبب الإهمال أو التفسير غير المترابط أو غير الكافي ، أو لعدم وجود خطوات وسيطة.
تأكد من تدبيس الصفحات معًا وكتابة اسمك (واسم أي متعاون) ورقم الدورة التدريبية ورقم المهمة وتاريخ الإرسال على المقدمة.

  • الثلاثاء 8/20 : اقرأ المثال 6 في القسم 1.1 وأمثلة لنماذج صف Echelon وخفض مستوى الصفوف في القسم 1.2.
  • الخميس 8/22 : اقرأ الأمثلة من 1 إلى 6 في القسم 1.3
    أوجد المصفوفتين 2 × 2 (و 3 × 3) أ و ب بحيث لا يساوي AB BA.
    اقرأ عن المصفوفات المقسمة والأمثلة 7 و 8 و 9 و 10 و 11 و 12 في القسم 1.3.
  • الواجب المنزلي # 1 : يوم الخميس الموافق 29/8. تم توزيع حلول HW # 1 في الفصل في 8/29.
    المشكلات المقترحة: القسم 1.1: 1 ، 5 ، 7 ، 9 ، 21 و 26 ، TF. القسم 1.2: 1 ، 3 ، 15 ، 19 ، 35 ، TF. القسم 1.3: 23 ، 30.
    مشاكل التقديم: [تعليق: عند حل نظام ما ، قم بإعداد المصفوفة المعززة ثم قم بتطبيق عمليات الصف ، وقم بتسمية كل عملية صف تم تطبيقها وأظهر جميع الخطوات الوسيطة.]. القسم 1.1: 12 ، 16 ب ، 20 ب ، TF (هـ) (و) (ز). القسم 1.2: 18 ، 24 أ ، 26 ، 31 ، 34 ، 43 أ. القسم 1.3: 27 ، 30 أ.


شاهد الفيديو: Finding eigenvectors and eigenspaces example. Linear Algebra. Khan Academy (شهر نوفمبر 2021).