مقالات

3.2: خصائص المحددات


هناك العديد من الخصائص الهامة للمحددات. نظرًا لأن العديد من هذه الخصائص تتضمن عمليات الصف التي تمت مناقشتها في الفصل 1 ، فإننا نتذكر هذا التعريف الآن.

التعريف ( PageIndex {1} ): عمليات الصفوف

تتكون عمليات الصف مما يلي

  1. بدّل صفين.

  2. اضرب صفًا في رقم غير صفري.

  3. استبدل صفًا بمضاعفات صف آخر تمت إضافته إلى نفسه.

سننظر الآن في تأثير عمليات السطر على محدد المصفوفة. في الأقسام المستقبلية ، سنرى أن استخدام الخصائص التالية يمكن أن يساعد بشكل كبير في إيجاد المحددات. سيستخدم هذا القسم النظريات كدافع لتقديم أمثلة مختلفة لفائدة الخصائص.

تشرح النظرية الأولى التأثير على محدد المصفوفة عند تبديل صفين.

Theorem ( PageIndex {1} ): تبديل الصفوف

لنكن (A ) (n times n ) مصفوفة ودع (B ) يكون مصفوفة ناتجة عن تبديل صفين من (A. ) ثم ( det left (B ) يمين) = - det يسار (أ يمين). )

عندما نبدل صفين من المصفوفة ، يتم ضرب المحدد في (- 1 ). تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {1} ): تبديل صفين

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] ) والسماح (B = left [ start {array} {rr } 3 & 4 1 & 2 end {array} right] ). مع العلم أن ( det left (A right) = -2 ) ، ابحث عن ( det left (B right) ).

المحلول

بالتعريف [def: twobytwodeterminant] ، ( det left (A right) = 1 times 4 - 3 times 2 = -2 ). لاحظ أن صفوف (B ) هي صفوف (A ) لكنها تم تبديلها. حسب النظرية [thm: switchingrows] حيث تم تبديل صفين من (A ) ، ( det left (B right) = - det left (A right) = - left (-2 ) يمين) = 2 ). يمكنك التحقق من ذلك باستخدام التعريف [def: twobytwodeterminant].

توضح النظرية التالية التأثير على محدد المصفوفة عندما نضرب صفًا في عدد قياسي.

Theorem ( PageIndex {2} ): ضرب صف في عددي

لنفترض أن (A ) يكون (n times n ) مصفوفة ودع (B ) يكون مصفوفة ناتجة عن ضرب بعض الصفوف من (A ) في عدد (ك ). ثم ( det left (B right) = k det left (A right) ).

لاحظ أن هذه النظرية صحيحة عند الضرب واحد صف المصفوفة بواسطة (ك ). إذا كنا سنضرب اثنين صفوف (A ) بواسطة (k ) للحصول على (B ) ، سيكون لدينا ( det left (B right) = k ^ 2 det left (A right) ) . افترض أننا سنضرب جميع (n ) صفوف (A ) في (k ) للحصول على المصفوفة (B ) ، بحيث (B = kA ). ثم ، ( det left (B right) = k ^ n det left (A right) ). هذا يعطي النظرية التالية.

Theorem ( PageIndex {3} ): الضرب العددي

لنفترض أن (A ) و (B ) يكونان (n times n ) مصفوفات و (k ) عددًا ، بحيث يكون (B = kA ). ثم ( det (B) = ك ^ n det (A) ).

تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} ): ضرب صف في 5

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right]، B = left [ begin {array} {rr} 5 & 10 3 & 4 end {array} right]. ) مع العلم أن ( det left (A right) = -2 ) ، ابحث عن ( det left (B right) ).

المحلول

بالتعريف [def: twobytwodeterminant] ، ( det left (A right) = -2. ) يمكننا أيضًا حساب ( det left (B right) ) باستخدام تعريف [def: twobytwodeterminant] ، ونرى أن ( det يسار (ب يمين) = -10 ).

الآن ، دعونا نحسب ( det left (B right) ) باستخدام النظرية [thm: multiplyingrowbyscalar] ونرى ما إذا كنا سنحصل على نفس الإجابة. لاحظ أن الصف الأول من (B ) يساوي (5 ) مرات الصف الأول من (A ) ، بينما الصف الثاني من (B ) يساوي الصف الثاني من (A ) . من خلال النظرية [thm: مضاعفة قيم الصفوف] ، ( det left (B right) = 5 times det left (A right) = 5 times -2 = -10. )

يمكنك أن ترى أن هذا يطابق إجابتنا أعلاه.

أخيرًا ، ضع في اعتبارك النظرية التالية لعملية الصف الأخير ، وهي إضافة مضاعفات صف إلى صف آخر.

Theorem ( PageIndex {3} ): إضافة مضاعف صف إلى صف آخر

دع (A ) يكون (n times n ) مصفوفة ودع (B ) يكون مصفوفة ناتجة عن إضافة مضاعف صف إلى صف آخر. ثم ( det يسار (أ يمين) = det يسار (ب يمين) ).

لذلك ، عندما نضيف مضاعفات صف إلى صف آخر ، فإن محدد المصفوفة لا يتغير. لاحظ أنه إذا كانت المصفوفة (A ) تحتوي على صف هو مضاعف لصف آخر ، فإن ( det left (A right) ) سيساوي (0 ). لرؤية هذا ، افترض أن الصف الأول من (A ) يساوي (- 1 ) ضرب الصف الثاني. حسب النظرية [thm: addmultipleofrow] ، يمكننا إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، ولن يتغير المحدد. ومع ذلك ، ستؤدي عملية الصف هذه إلى ظهور صف من الأصفار. باستخدام توسيع لابلاس على طول صف الأصفار ، نجد أن المحدد هو (0 ).

تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {3} ): إضافة صف إلى صف آخر

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] ) والسماح (B = left [ start {array} {rr } 1 & 2 5 & 8 end {array} right]. ) ابحث عن ( det left (B right) ).

المحلول

بالتعريف [def: twobytwodeterminant] ، ( det left (A right) = -2 ). لاحظ أن الصف الثاني من (B ) هو ضعف الصف الأول من (A ) المضاف إلى الصف الثاني. حسب النظرية [thm: switchingrows] ، ( det left (B right) = det left (A right) = -2 ). كالعادة ، يمكنك التحقق من هذه الإجابة باستخدام التعريف [def: twobytwodeterminant].

مثال ( PageIndex {4} ): مضاعف صف

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 1 & 2 2 & 4 end {array} right] ). أظهر أن ( det left (A right) = 0 ).

المحلول

باستخدام التعريف [def: twobytwodeterminant] ، يتم إعطاء المحدد بواسطة [ det left (A right) = 1 مرات 4 - 2 times 2 = 0 ]

ومع ذلك ، لاحظ أن الصف الثاني يساوي (2 ) مرات الصف الأول. ثم بالمناقشة أعلاه باتباع النظرية [thm: addedmultipleofrow] فإن المحدد سوف يساوي (0 ).

حتى الآن ، كان تركيزنا في المقام الأول على عمليات التجديف. ومع ذلك ، يمكننا تنفيذ نفس العمليات باستخدام الأعمدة بدلاً من الصفوف. يمكن إجراء العمليات الثلاث الموضحة في التعريف [تعريف: عمليات] باستخدام أعمدة بدلاً من الصفوف. في هذه الحالة ، في النظريات [thm: switchingrows] ، [thm: multiplyingrowbyscalar] ، و [thm: addedmultipleofrow] يمكنك استبدال كلمة "row" بكلمة "عمود".

هناك العديد من الخصائص الرئيسية الأخرى للمحددات التي لا تتضمن عمليات الصف (أو العمود). الأول هو محدد حاصل ضرب المصفوفات.

Theorem ( PageIndex {4} ): محدد للمنتج

لنفترض أن (A ) و (B ) يكونان (n times n ) مصفوفتين. ثم [ det left (AB right) = det left (A right) det left (B right) ]

لإيجاد محدد حاصل ضرب المصفوفات ، يمكننا ببساطة أخذ حاصل ضرب المحددات.

تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {4} ): محدد المنتج

قارن ( det left (AB right) ) و ( det left (A right) det left (B right) ) بـ [A = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 -3 & 2 end {array} right]، B = left [ start {array} {rr} 3 & 2 4 & 1 end {array} right] ]

المحلول

احسب أولاً (AB ) ، المعطى بواسطة [AB = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 -3 & 2 end {array} right] left [ begin { صفيف} {rr} 3 & 2 4 & 1 end {array} right] = left [ begin {array} {rr} 11 & 4 -1 & -4 end {array} right ] ] وهكذا بالتعريف [def: twobytwodeterminant] [ det left (AB right) = det left [ begin {array} {rr} 11 & 4 -1 & -4 end { صفيف} يمين] = -40 ]

الآن [ det left (A right) = det left [ start {array} {rr} 1 & 2 -3 & 2 end {array} right] = 8 ] و [ det left (B right) = det left [ start {array} {rr} 3 & 2 4 & 1 end {array} right] = -5 ]

الحساب ( det left (A right) times det left (B right) ) لدينا (8 times -5 = -40 ). هذه هي الإجابة نفسها المذكورة أعلاه ويمكنك أن ترى أن ( det left (A right) det left (B right) = 8 times left (-5 right) = -40 = det يسار (AB يمين) ).

النظر في الخاصية الهامة التالية.

Theorem ( PageIndex {5} ): محدد التحويل

لنفترض (A ) أن تكون مصفوفة حيث (A ^ T ) هو تبديل (A ). ثم ، [ det left (A ^ T right) = det left (A right) ]

يتم توضيح هذه النظرية في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {5} ): محدد تبديل الموضع

لنفترض [A = left [ start {array} {rr} 2 & 5 4 & 3 end {array} right] ] Find ( det left (A ^ T right) ) .

المحلول

أولاً ، لاحظ أن [A ^ {T} = left [ begin {array} {rr} 2 & 4 5 & 3 end {array} right] ]

باستخدام التعريف [def: twobytwodeterminant] ، يمكننا حساب ( det left (A right) ) و ( det left (A ^ T right) ). يتبع ذلك ( det left (A right) = 2 مرات 3-4 مرات 5 = -14 ) و ( det left (A ^ T right) = 2 مرات 3-5 مرات 4 = -14 ). ومن ثم ، ( det left (A right) = det left (A ^ T right) ).

يوفر ما يلي خاصية أساسية للمُحدد ، بالإضافة إلى طريقة مفيدة لتحديد ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس.

Theorem ( PageIndex {6} ): محدد المعكوس

دع (A ) يكون (n times n ) مصفوفة. إذن ، يكون (A ) قابلاً للعكس إذا وفقط إذا ( det (A) neq 0 ). إذا كان هذا صحيحًا ، فسيتبع ذلك [ det (A ^ {- 1}) = frac {1} { det (A)} ]

تأمل المثال التالي.

مثال ( PageIndex {6} ): محدد المصفوفة المعكوسة

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 3 & 6 2 & 4 end {array} right]، B = left [ begin {array} {rr} 2 & 3 5 & 1 نهاية {مجموعة} يمين] ). لكل مصفوفة ، حدد ما إذا كانت قابلة للعكس. إذا كان الأمر كذلك ، فأوجد محدد المعكوس.

المحلول

ضع في اعتبارك المصفوفة (A ) أولاً. باستخدام التعريف [def: twobytwodeterminant] يمكننا إيجاد المحدد على النحو التالي: [ det left (A right) = 3 مرات 4 - 2 times 6 = 12-12 = 0 ] حسب النظرية [thm: detinverse ] (A ) غير قابل للعكس.

الآن ضع في اعتبارك المصفوفة (ب ). مرة أخرى بالتعريف [def: twobytwodeterminant] لدينا [ det left (B right) = 2 times 1-5 times 3 = 2-15 = -13 ] حسب النظرية [thm: detinverse] (B ) قابل للانعكاس ومحدد المعكوس مُعطى بواسطة [ start {align} det left (A ^ {- 1} right) & = & frac {1} { det (A)} & = & frac {1} {- 13} & = & - frac {1} {13} end {align} ]

يتضمن هذا القسم بعض الأدلة المهمة على المحددات والعوامل المساعدة.

أولا نتذكر تعريف المحدد. إذا كان (A = left [a_ {ij} right] ) عبارة عن (n times n ) مصفوفة ، فإن ( det A ) يتم تعريفه عن طريق حساب التوسيع على طول الصف الأول: [ label {E1} det A = sum_ {i = 1} ^ n a_ {1، i} mathrm {cof} (A) _ {1، i}. ] إذا (n = 1 ) إذًا ( det A = a_ {1،1} ).

المثال التالي واضح ومباشر ويوصى به بشدة كوسيلة للتعود على التعريفات.

مثال ( PageIndex {7} ):

(1) لنفترض أن (E_ {ij} ) هي المصفوفة الأولية التي تم الحصول عليها عن طريق تبادل (i ) th و (j ) الصفوف من (I ). ثم ( det E_ {ij} = - 1 ).

(2) لنفترض أن (E_ {ik} ) هي المصفوفة الأولية التي تم الحصول عليها بضرب الصف (i ) من (I ) في (ك ). ثم ( det E_ {ik} = k ).

(3) لنفترض أن (E_ {ijk} ) هو المصفوفة الأولية التي تم الحصول عليها بضرب (i ) الصف الخامس من (I ) في (ك ) وإضافته إلى صفه (ي ) . ثم ( det E_ {ijk} = 1 ).

(4) إذا كان (C ) و (B ) على هذا النحو الذي تم تعريف (CB ) والصف (i ) من (C ) يتكون من أصفار ، ثم (i ) ) الصف العاشر من (CB ) يتكون من الأصفار.

(5) إذا كانت (E ) مصفوفة أولية ، إذن ( det E = det E ^ T ).

تستخدم العديد من البراهين في القسم مبدأ الاستقراء الرياضي. تمت مناقشة هذا المفهوم في الملحق A.2 ومراجعته هنا للراحة. أولاً نتحقق من صحة التأكيد لـ (n = 2 ) (الحالة (n = 1 ) إما تافهة تمامًا أو لا معنى لها).

بعد ذلك ، نفترض أن التأكيد صحيح لـ (n-1 ) (حيث (n geq 3 )) ونثبت ذلك لـ (n ). بمجرد أن يتم تحقيق ذلك ، يمكننا من خلال مبدأ الاستقراء الرياضي أن نستنتج أن العبارة صحيحة لجميع (n times n ) المصفوفات لكل (n geq 2 ).

إذا كان (A ) عبارة (n مرات n ) مصفوفة و (1 leq j leq n ) ، فإن المصفوفة التي تم الحصول عليها بإزالة (1 ) العمود الأول و (ي ) صف من (A ) هو (n-1 times n-1 ) مصفوفة (سنشير إلى هذه المصفوفة ب (A (j) ) أدناه). نظرًا لاستخدام هذه المصفوفات في حساب العوامل المساعدة ( mathrm {cof} (A) _ {1، i} ) ، لـ (1 leq i neq n ) ، ينطبق الافتراض الاستقرائي على هذه المصفوفات.

ضع في اعتبارك اللمة التالية.

Lemma ( PageIndex {1} ):

إذا كانت (A ) عبارة عن (n times n ) مصفوفة بحيث يتكون أحد صفوفها من أصفار ، إذن ( det A = 0 ).

دليل - إثبات

سنثبت هذه اللمة باستخدام الاستقراء الرياضي.

إذا (n = 2 ) هذا سهل (تحقق!).

لنفترض (n geq 3 ) أن تكون كل مصفوفة بالحجم (n-1 times n-1 ) مع صف يتكون من أصفار لها محدد يساوي الصفر. لنفترض (i ) أن الصف (i ) من (A ) يتكون من الأصفار. ثم لدينا (a_ {ij} = 0 ) لـ (1 leq j leq n ).

إصلاح (j in {1،2، dots، n } ) مثل (j neq i ). ثم المصفوفة (A (j) ) المستخدمة في حساب ( mathrm {cof} (A) _ {1، j} ) تحتوي على صف يتكون من أصفار ، وبافتراضنا الاستقرائي ( mathrm {cof } (أ) _ {1 ، ي} = 0 ).

من ناحية أخرى ، إذا (j = i ) ثم (a_ {1، j} = 0 ). لذلك (a_ {1، j} mathrm {cof} (A) _ {1، j} = 0 ) للجميع (j ) وبواسطة [E1] لدينا [ det A = sum_ { j = 1} ^ n a_ {1، j} mathrm {cof} (A) _ {1، j} = 0 ] حيث أن كل مجموع يساوي 0.

Lemma ( PageIndex {2} ):

افترض أن (A ) و (B ) و (C ) هي (n times n ) المصفوفات التي تلبي ما يلي بالنسبة لبعض (1 leq i leq n ).

  1. (j ) الصفوف من جميع المصفوفات الثلاثة متطابقة ، من أجل (j neq i ).

  2. كل إدخال في الصف (ي ) من (أ ) هو مجموع الإدخالات المقابلة في (ي ) الصفوف من (ب ) و (ج ).

ثم ( det A = det B + det C ).

دليل - إثبات

ليس من الصعب التحقق من هذا (n = 2 ) (تحقق من ذلك!).

افترض الآن أن عبارة Lemma صحيحة لـ (n-1 times n-1 ) المصفوفات وإصلاح (A ، B ) و (C ) كما في العبارة. تنص الافتراضات على أن لدينا (a_ {l، j} = b_ {l، j} = c_ {l، j} ) لـ (j neq i ) ومن أجل (1 leq l leq n ) و (a_ {l، i} = b_ {l، i} + c_ {l، i} ) للجميع (1 leq l leq n ). لذلك (A (i) = B (i) = C (i) ) و (A (j) ) له خاصية أن صفه (i ) هو مجموع (i ) الصفوف من (B (j) ) و (C (j) ) لـ (j neq i ) بينما الصفوف الأخرى لجميع المصفوفات الثلاثة متطابقة. لذلك من خلال افتراضنا الاستقرائي لدينا ( mathrm {cof} (A) _ {1j} = mathrm {cof} (B) _ {1j} + mathrm {cof} (C) _ {1j} ) لـ (j neq i ).

من خلال [E1] لدينا (باستخدام جميع المساواة المحددة أعلاه) [ begin {align} det A & = sum_ {l = 1} ^ n a_ {1، l} mathrm {cof} (A) _ {1 ، l} & = sum_ {l neq i} a_ {1، l} ( mathrm {cof} (B) _ {1، l} + mathrm {cof} (C) _ {1، l }) + (b_ {1، i} + c_ {1، i}) mathrm {cof} (A) _ {1، i} & = det B + det C end {align} ] هذا يثبت أن التأكيد صحيح للجميع (n ) ويكمل الإثبات.

النظرية ( PageIndex {7} ):

دع (A ) و (B ) يكونان (n times n ) مصفوفات.

  1. إذا تم الحصول على (A ) بالتبادل (i ) th و (j ) الصفوف من (B ) (مع (i neq j )) ، ثم ( det A = - det ب ).

  2. إذا تم الحصول على (A ) بضرب (i ) الصف الخامس من (B ) في (k ) ثم ( det A = k det B ).

  3. إذا كان صفان من (A ) متطابقين ، فإن ( det A = 0 ).

  4. إذا تم الحصول على (A ) بضرب (i ) الصف الخامس من (B ) في (ك ) وإضافته إلى (ي ) الصف العاشر من (ب ) ( (أنا neq j )) ثم ( det A = det B ).

دليل - إثبات

نحن نثبت كل البيانات عن طريق الاستقراء. يتم فحص الحالة (n = 2 ) بسهولة مباشرة (ونقترح بشدة أن تقوم بفحصها).

نحن نفترض (n geq 3 ) و (1) - (4) صحيحًا لجميع مصفوفات الحجم (n-1 times n-1 ).

(1) نثبت الحالة عندما (j = i + 1 ) ، أي أننا نتبادل صفين متتاليين.

دعنا (l in {1، dots، n } setminus {i، j } ). ثم (A (l) ) يتم الحصول عليها من (B (l) ) عن طريق تبادل اثنين من صفوفها (ارسم صورة) وبافتراضنا [ label {E2} mathrm {cof} (A) _ {1، l} = - mathrm {cof} (B) _ {1، l}. ]

الآن ضع في اعتبارك (a_ {1، i} mathrm {cof} (A) _ {1، l} ). لدينا هذا (a_ {1، i} = b_ {1، j} ) وكذلك (A (i) = B (j) ). منذ (j = i + 1 ) ، لدينا [(- 1) ^ {1 + j} = (- 1) ^ {1 + i + 1} = - (- 1) ^ {1 + i} ] وبالتالي (a_ {1i} mathrm {cof} (A) _ {1i} = - b_ {1j} mathrm {cof} (B) _ {1j} ) و (a_ {1j} mathrm {cof} (A) _ {1j} = - b_ {1i} mathrm {cof} (B) _ {1i} ). بوضع هذا مع [E2] في [E1] ، نرى أنه إذا قمنا في صيغة ( det A ) بتغيير علامة كل من التلخيص ، فسنحصل على صيغة ( det B ). [ det A = sum_ {l = 1} ^ n a_ {1l} mathrm {cof} (A) _ {1l} = - sum_ {l = 1} ^ n b_ {1l} B_ {1l} = det ب ]

لذلك فقد أثبتنا حالة (1) عندما (j = i + 1 ). من أجل إثبات الحالة العامة ، يحتاج المرء إلى الحقيقة التالية. إذا كان (i

بما أن (2 (ji) +1 ) هو رقم فردي ((- 1) ^ {2 (ji) +1} = - 1 ) ولدينا ذلك ( det A = - det B ) ).

(2) هذا يشبه (1) ... ولكنه أسهل بكثير. افترض أن (2) صحيح لجميع المصفوفات (n-1 times n-1 ). لدينا هذا (a_ {ji} = k b_ {ji} ) لـ (1 leq j leq n ). على وجه الخصوص (a_ {1i} = kb_ {1i} ) ، وبالنسبة لـ (l neq i ) المصفوفة (A (l) ) يتم الحصول عليها من (B (l) ) بضرب أحد صفوفها بـ (ك ). لذلك ( mathrm {cof} (A) _ {1l} = k mathrm {cof} (B) _ {1l} ) لـ (l neq i ) ، وللجميع (l ) نحن have (a_ {1l} mathrm {cof} (A) _ {1l} = k b_ {1l} mathrm {cof} (B) _ {1l} ). بواسطة [E1] ، لدينا ( det A = k det B ).

(3) هذا نتيجة (1). إذا كان صفان من (A ) متطابقين ، فإن (A ) يساوي المصفوفة التي تم الحصول عليها عن طريق تبادل هذين الصفين وبالتالي بواسطة (1) ( det A = - det A ). هذا يعني ( det A = 0 ).

(4) افترض أن (4) صحيح لجميع المصفوفات (n-1 times n-1 ) وإصلاح (A ) و (B ) بحيث يتم الحصول على (A ) بضرب ( i ) الصف الثالث من (B ) بواسطة (k ) وإضافته إلى (j ) الصف الخامس من (B ) ( (i neq j )) ثم ( det A = det B ). إذا (ك = 0 ) ثم (أ = ب ) وليس هناك ما يثبت ، لذلك قد نفترض (ك neq 0 ).

لنفترض أن (C ) هي المصفوفة التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال (j ) الصف العاشر من (B ) بالصف (i ) من (B ) مضروبًا في (ك ). بواسطة Lemma [lem: L2] ، لدينا هذا [ det A = det B + det C ] وعلينا "فقط" إظهار ذلك ( det C = 0 ). لكن الصفين (i ) th و (j ) من (C ) متناسبان. إذا تم الحصول على (D ) بضرب الصف (j ) من (C ) في ( frac 1k ) ثم في (2) لدينا ( det C = frac 1k det د ) (تذكر أن (ك neq 0 )!). لكن (i ) th و (j ) الصفوف من (D ) متطابقان ، ومن ثم (3) لدينا ( det D = 0 ) وبالتالي ( det C = 0 ) ).

النظرية ( PageIndex {8} ):

إذا كانت (A ) عبارة عن (n times n ) مصفوفة بحيث يتكون أحد صفوفها من أصفار ، إذن ( det A = 0 ).

دليل - إثبات

سنثبت هذه اللمة باستخدام الاستقراء الرياضي.

إذا (n = 2 ) هذا سهل (تحقق!).

لنفترض (n geq 3 ) أن تكون كل مصفوفة بالحجم (n-1 times n-1 ) مع صف يتكون من أصفار لها محدد يساوي الصفر. لذلك (a_ {1، j} mathrm {cof} (A) _ {1، j} = 0 ) للجميع (j ) وبواسطة [E1] لدينا [ det A = sum_ { j = 1} ^ n a_ {1، j} mathrm {cof} (A) _ {1، j} = 0 ] حيث أن كل مجموع يساوي 0.

نظرية ( PageIndex {9} ):

لنفترض أن (A ) و (B ) يكونان (n times n ) مصفوفتين. ثم [ det left (AB right) = det left (A right) det left (B right) ]

دليل - إثبات

إذا كانت (A ) عبارة عن مصفوفة أولية من أي نوعين ، فإن الضرب في (A ) على اليسار له نفس تأثير تنفيذ عملية الصف الأولية المقابلة. لذلك فإن المساواة ( det (AB) = det A det B ) في هذه الحالة تتبع المثال [exa: EX1] والنظرية [thm: T1].

إذا كان (C ) هو من (A ) فيمكننا كتابة (A = E_1 cdot E_2 cdot dots cdot E_m cdot C ) لبعض المصفوفات الأولية (E_1 ، النقاط ، E_m ).

الآن نحن ننظر في حالتين.

افترض أولاً أن (C = I ). ثم (A = E_1 cdot E_2 cdot dots cdot E_m ) و (AB = E_1 cdot E_2 cdot dots cdot E_m B ). من خلال تطبيق المساواة أعلاه (م ) مرة ، ثم (م-1 ) مرة ، لدينا ذلك [ ابدأ {محاذاة} det AB & = det E_1 det E_2 cdot det E_m cdot det B & = det (E_1 cdot E_2 cdot dots cdot E_m) det B & = det A det B. end {align} ]

افترض الآن (C neq I ). نظرًا لأنه في ، يتكون صفه الأخير من الأصفار وبواسطة (4) من المثال [exa: EX1] يتكون الصف الأخير من (CB ) من الأصفار. بواسطة Lemma [lem: L1] لدينا ( det C = det (CB) = 0 ) وبالتالي [ det A = det (E_1 cdot E_2 cdot E_m) cdot det (C) = det (E_1 cdot E_2 cdot E_m) cdot 0 = 0 ] وأيضًا [ det AB = det (E_1 cdot E_2 cdot E_m) cdot det (CB) = det (E_1 cdot E_2 cdot dots cdot E_m) 0 = 0 ] وبالتالي ( det AB = 0 = det A det B ).

سيتم استخدام "الآلة" نفسها المستخدمة في الإثبات السابق مرة أخرى.

النظرية ( PageIndex {10} ):

لنفترض (A ) أن تكون مصفوفة حيث (A ^ T ) هو تبديل (A ). ثم ، [ det left (A ^ T right) = det left (A right) ]

دليل - إثبات

لاحظ أولاً أن الاستنتاج يكون صحيحًا إذا كان (A ) أوليًا بواسطة (5) من المثال [exa: EX1].

دع (C ) يكون من (A ). ثم يمكننا كتابة (A = E_1 cdot E_2 cdot dots cdot E_m C ). ثم (A ^ T = C ^ T cdot E_m ^ T cdot dots cdot E_2 ^ T cdot E_1 ). حسب النظرية [thm: T2] لدينا [ det (A ^ T) = det (C ^ T) cdot det (E_m ^ T) cdot dots cdot det (E_2 ^ T) cdot det (E_1). ] بقلم (5) من المثال [exa: EX1] لدينا هذا ( det E_j = det E_j ^ T ) للجميع (j ). أيضًا ، ( det C ) إما 0 أو 1 (اعتمادًا على ما إذا كان (C = I ) أم لا) وفي كلتا الحالتين ( det C = det C ^ T ). لذلك ( det A = det A ^ T ).

تتيح لنا المناقشات أعلاه إثبات النظرية [thm: welldefineddeterminant]. هو معاد ذكره أدناه.

النظرية ( PageIndex {11} ):

يؤدي توسيع (n times n ) مصفوفة على طول أي صف أو عمود إلى الحصول على نفس النتيجة دائمًا ، وهي المحددات.

دليل - إثبات

نوضح أولاً أنه يمكن حساب المحدد على طول أي صف. الحالة (n = 1 ) لا تنطبق وبالتالي دعونا (n geq 2 ).

دع (A ) يكون (n times n ) مصفوفة وإصلاح (j> 1 ). نحتاج إلى إثبات ذلك [ det A = sum_ {i = 1} ^ n a_ {j، i} mathrm {cof} (A) _ {j، i}. ] دعنا نثبت القضية عندما (ي = 2 ).

لنفترض أن (B ) هي المصفوفة التي تم الحصول عليها من (A ) عن طريق تبديل الصفوف (1 ) st و (2 ) nd. ثم حسب النظرية [thm: T1] لدينا [ det A = - det B. ] الآن لدينا [ det B = sum_ {i = 1} ^ n b_ {1، i} mathrm { cof} (B) _ {1، i}. ] بما أنه تم الحصول على (B ) عن طريق تبادل (1 ) الصفوف (2 ) nd من (أ ) لدينا ذلك ( ب_ {1، i} = أ_ {2، i} ) للجميع (i ) ويمكن للمرء أن يرى أن (قاصر (ب) _ {1، i} = قاصر (أ) _ {2، i} ).

علاوة على ذلك ، [ mathrm {cof} (B) _ {1، i} = (- 1) ^ {1 + i} طفيف B_ {1، i} = - (-1) ^ {2 + i} قاصر ( أ) _ {2، i} = - mathrm {cof} (A) _ {2، i} ] ومن ثم ( det B = - sum_ {i = 1} ^ n a_ {2، i} mathrm {cof} (A) _ {2، i} ) ، وبالتالي ( det A = - det B = sum_ {i = 1} ^ n a_ {2، i} mathrm {cof} ( أ) _ {2، i} ) حسب الرغبة.

الحالة عندما تكون (j> 2 ) متشابهة جدًا ؛ لا يزال لدينا (قاصر (B) _ {1، i} = قاصر (أ) _ {j، i} ) لكننا نتحقق من ذلك ( det B = - sum_ {i = 1} ^ n a_ {j ، i} mathrm {cof} (A) _ {j، i} ) أكثر مشاركة.

الآن توسع العامل المساعد على طول العمود (ي ) من (أ ) يساوي تمدد العامل المساعد على طول الصف (ي ) من (أ ^ تي ) ، والتي من خلال النتيجة أعلاه أثبتت أنها تساوي توسيع العامل المساعد على طول الصف 1 من (A ^ T ) ، والذي يساوي تمدد العامل المساعد على طول العمود (1 ) من (A ). وبالتالي فإن العامل المساعد على طول أي عمود ينتج نفس النتيجة.

أخيرًا ، بما أن ( det A = det A ^ T ) بواسطة النظرية [thm: TT] ، نستنتج أن توسع العامل المساعد على طول الصف (1 ) من (A ) يساوي توسع العامل المساعد على طول صف (1 ) من (A ^ T ) ، وهو ما يساوي توسع العامل المساعد على طول العمود (1 ) من (أ ). وهكذا فإن الدليل كامل.


6.4 - محدد مصفوفة مربعة

المحدد هو رقم حقيقي مرتبط بكل مصفوفة مربعة. لم أجد بعد تعريفًا جيدًا باللغة الإنجليزية لما هو المحدد. كل ما يمكنني العثور عليه إما يعرّفها من حيث الصيغة الرياضية أو يقترح بعض الاستخدامات لها. حتى أن هناك تعريفًا للمُحدد يحدده من حيث ذاته.

يُرمز إلى محدد المصفوفة المربعة A بواسطة & quotdet A & quot أو | أ |. الآن ، هذا الأخير يشبه القيمة المطلقة لـ A ، لكن عليك تطبيق السياق. إذا كانت الخطوط الرأسية حول مصفوفة ، فهذا يعني المحدد.

يوضح السطر أدناه طريقتين لكتابة المحدد.


محتويات

مربع ن& مراتن تتكون المصفوفة من ن& sup2 أاي جاي (عناصر ) مكتوبة في المصفوفة التالية ،

محدد هذه المصفوفة هو مجموع ن! (مضروب ن) ، حيث يكون كل مصطلح منتج موقع (& plusmn) لـ ن العوامل المختلفة لعناصر المصفوفة. يقال أن المحدد هو طلب. لأن الحقل مغلق تحت الجمع والضرب ، فإن المحدد ينتمي إلى نفس الحقل كعناصر أ: عندما تكون عناصر المصفوفة أعدادًا مركبة ، يكون المحدد عددًا مركبًا ، وعندما تكون العناصر حقيقية يكون المحدد حقيقيًا.

منذ ن! ينمو بسرعة كدالة لـ ن، صيغة det (أ) يصبح سريعًا طويلًا ومملًا للزيادة ن. على سبيل المثال ، يحتوي محدد الأمر 5 على 120 شرطًا من خمسة أضعاف المنتجات من النوع

يحتوي محدد الأمر 6 على 720 شرطًا من ستة أضعاف المنتجات.

دخلت المحددات الرياضيات في بداية القرن الثامن عشر (بشكل غريب بما فيه الكفاية قبل المصفوفات بأكثر من قرن) في دراسة المعادلات الخطية المتزامنة في مجاهلين أو أكثر. في لغة المصفوفة ، يمكن كتابة مثل هذا النظام من المعادلات الخطية المتزامنة كـ

حيث متجه العمود x يحتوي على ن مجهولة وناقل العمود ذ الجوانب اليمنى (المعروفة) من المعادلات.

استخدم عالم الرياضيات الاسكتلندي كولين ماكلورين محددات الترتيب المنخفض (حتى المرتبة الرابعة) في حوالي عام 1730 وقدم السويسري غابرييل كرامر في عام 1750 قاعدة عامة (قاعدة كرامر) لحل هذه المعادلة الخطية المتزامنة. تستند قاعدة كرامر على المحددات وتتطلب شرط det (أ) & ne 0 أن هناك حلًا فريدًا. تلعب المحددات في الفيزياء الحديثة دورًا في وصف أنظمة العديد من الفرميون (انظر على سبيل المثال ، محدد سلاتر) وفي الرياضيات الحديثة تظهر في تمويه الأشكال القابلة للتفاضل على المشعبات والتطبيقات الأخرى.


محدد الدرجة الثانية

تُعرف المصفوفة المكونة من صفين وعمودين بمصفوفة الدرجة الثانية. ويُرمز إلى ترتيبها بـ (2 مرات 2. ) يحتوي محدد مصفوفة الرتبة الثانية على حدين ، كل منهما هو حاصل ضرب عنصرين.
مثال:
دع المصفوفة المربعة من الرتبة الثانية ، (A = left [< begin<> <>> hfill & amp <>> hfill <>> hfill & amp <>> hfill end > right] ) ثم يتم حساب محدد المصفوفة (A ) على النحو التالي:
( det ، A = يسار | < ابدأ<> <>> hfill & amp <>> hfill <>> hfill & amp <>> hfill end > حق | = >> – >>)


العوامل المساعدة

العامل المساعد لأي عنصر هو إما ثانوي أو عكس العنصر الثانوي ، اعتمادًا على مكان العنصر في المحدد الأصلي. إذا تم الجمع بين صف وعمود العنصر ليكونا عددًا زوجيًا ، فسيكون العامل المساعد هو نفسه الصغير. إذا تم الجمع بين صف وعمود العنصر ليكونا عددًا فرديًا ، فإن العامل المساعد يكون عكس الصغرى.

أوه - هل فهمت ذلك؟ علامات التغييرات الفردية ، حتى هي نفس العلامة. ديجا فو. لقد كنا نتحدث عن ذلك منذ القسم 3.2 حول كثيرات الحدود.

تسجيل المخطط

بدلاً من إضافة صف وعمود العنصر لمعرفة ما إذا كان فرديًا أم زوجيًا ، يفضل العديد من الأشخاص استخدام مخطط تسجيل. مخطط الإشارة هو إما + أو - لكل عنصر في المصفوفة. العنصر الأول (الصف 1 ، العمود 1) هو دائمًا + ويتناوب من هناك.

ملحوظة: + لا تعني موجب و- سالب. + تعني نفس علامة القاصر و- تعني عكس القاصر. فكر في الأمر الجمع والطرح بدلاً من الإيجابي أو السلبي.

هنا مخطط تسجيل لمُحدد 2 & times2.

هنا مخطط تسجيل لمُحدد 3 و 3 مرات.

ج1 ج2 ج3
ص1 + - +
ص2 - + -
ص3 + - +

مصفوفة العوامل المساعدة

مرة أخرى ، إذا كان كل ما تحاول القيام به هو العثور على المحدد ، فلن تحتاج إلى القيام بهذا القدر من العمل.

مصفوفة العوامل المساعدة هي المصفوفة التي تم العثور عليها عن طريق استبدال كل عنصر من عناصر المصفوفة بعاملها المساعد. هذه هي مصفوفة القاصرين مع تغيير الإشارات على العناصر الموجودة في المواضع.

ج1 ج2 ج3
ص1 -13 -2 18
ص2 4 -2 1
ص3 7 5 -11


3.2: خصائص المحددات

هنالك الكثير خصائص المحددات. المدرجة هنا هي بعض الخصائص التي قد تكون مفيدة في حساب محدد المصفوفة.

ملاحظة عامة: خصائص المحددات

  1. إذا كانت المصفوفة في شكل مثلث علوي ، فإن المحدد يساوي حاصل ضرب المدخلات أسفل القطر الرئيسي.
  2. عندما يتم تبادل صفين ، علامة تغييرات المحدد.
  3. إذا كان هناك صفان أو عمودان متطابقان ، فإن المحدد يساوي صفرًا.
  4. إذا احتوت المصفوفة على صف من الأصفار أو عمود من الأصفار ، فإن المحدد يساوي صفرًا.
  5. محدد المصفوفة العكسية [لاتكس] ^ <-1> [/ لاتكس] هو مقلوب محدد المصفوفة [لاتكس] أ [/ لاتكس].
  6. إذا تم ضرب أي صف أو عمود في ثابت ، فسيتم ضرب المحدد في نفس العامل.

مثال 7: توضيح خصائص المحددات

وضح كل من خصائص المحددات.

المحلول

تنص الخاصية 1 على أنه إذا كانت المصفوفة في شكل مثلث علوي ، فإن المحدد هو حاصل ضرب المدخلات أسفل القطر الرئيسي.

زيادة [لاتكس] أ [/ لاتكس] مع أول عمودين.

تنص الخاصية 2 على أن الصفوف المتبادلة تغير العلامة. معطى

تنص الخاصية 3 على أنه في حالة تطابق صفين أو عمودين ، فإن المحدد يساوي صفرًا.

تنص الخاصية 4 على أنه إذا كان الصف أو العمود يساوي صفرًا ، فإن المحدد يساوي صفرًا. هكذا،

تنص الخاصية 5 على أن محدد المصفوفة المعكوسة [لاتكس] ^ <-1> [/ لاتكس] هو مقلوب المحدد [لاتكس] أ [/ لاتكس]. هكذا،

تنص الخاصية 6 على أنه إذا تم ضرب أي صف أو عمود في مصفوفة في ثابت ، فسيتم ضرب المحدد في نفس العامل. هكذا،

مثال 8: استخدام قاعدة كريمر والخصائص المحددة لحل نظام

أوجد الحل لنظام 3 × 3 الآتي.

المحلول

استخدام قاعدة كريمر، لدينا

لاحظ أن العمودين الثاني والثالث متطابقان. وفقًا للخاصية 3 ، سيكون المحدد صفرًا ، لذلك لا يوجد حل أو عدد لا نهائي من الحلول. علينا القيام بالقضاء لمعرفة ذلك.

    اضرب المعادلة (3) في -2 وأضف النتيجة إلى المعادلة (1).

الحصول على بيان بأنه تناقض يعني أن النظام ليس لديه حل.


3.2: خصائص المحددات

التباديل إما حتى في أو غريب. التقليب هو حتى في إذا استغرق الأمر عددًا زوجيًا من التقاطعات لإعادة الأرقام بالترتيب (1. n) ، وهو غريب إذا استغرق الأمر عددًا فرديًا منهم. نحدد علامة الوظيفة (p) لتكون +1 إذا كانت p هي تبديل زوجي ، و -1 إذا كانت p فردية. يتم إعطاء علامة (p) لكل تبديل أعلاه في الجدول التالي.

تعريف المحدد

حيث يكون المجموع فوق جميع التباديل في بيرم (ن). مرة أخرى لـ n = 4 ، لدينا ذلك

يعد تعريف التقليب ضروريًا للأغراض النظرية ، ولكنه غير عملي لإيجاد det (A) رقميًا عندما يكون n على الإطلاق كبيرًا. حتى بالنسبة إلى n = 4 ، فإنها تتطلب حساب 24 حدًا. بالنسبة إلى n = 10 ، يزيد هذا إلى ثلاثة ملايين ونصف المليون حد! هو - هي هل يعطي طريقة سهلة للحصول على صيغ بسيطة لبعض المحددات.

محددات المصفوفات الخاصة.

الخصائص الأساسية للمحددات

    التجانس (الضرب الأولي). يمكن أخذ العدد القياسي الذي يضاعف صفًا واحدًا من المحدد في الاعتبار. اليك مثال بسيط.

يتم توضيح هذه الخاصية مع الصف الثاني في المحددات أدناه.

خصائص مفيدة للمحددات

  • إذا كان الصف A يحتوي على جميع 0 ، فإن det (A) = 0.
  • إذا تساوي صفان من A ، فإن det (A) = 0.
  • يكون A قابلًا للعكس فقط إذا كان det (A) & ne 0.
  • يكون A مفردًا فقط إذا كان det (A) = 0.
  • سيادة المنتج
    إذا كانت A و B عبارة عن مصفوفتين n & timesn ، إذن det (AB) = det (A) det (B).
  • det (A -1) = (det (A)) -1
  • det (A T) = det (A) ، لذا فإن جميع العبارات أعلاه تنطبق على الأعمدة وكذلك الصفوف.

توسعات العامل المساعد

يمكن العثور على محدد A عن طريق التوسيع حول الصف الأول:
det (A) = & سيجمايأاي جايأاي جاي وبالمثل ، يمكن استخدام توسيع العمود:
det (A) = & سيجماأناأاي جايأاي جاي هذه متطابقة تقريبًا ، باستثناء أن فهرس التجميع مختلف في الصيغتين ، الأولى فوق فهرس العمود j ، والثانية فوق فهرس الصف i. المثال أدناه هو توسيع حول الصف 3. (det (A) = & Sigmaيأ3 يأ3 ي.)

طرق فعالة لإيجاد المحددات

إليك ما فعلناه في الخطوات أدناه. We start with the determinant D. We apply elementary modification to zero out entries below (1,1) in the first column. We then factor three (-1)'s and (-2) out from various rows. The result is the last determinant in the first line. The initial determinant in the second line is obtained by using elementary modification to zero out entries below (2,2). To get the next, we factor out three (-1)'s. the final matrix in the second line is gotten by using elementary modification to zero out the entries below (3,3). We then interchange rows 4 and 5 to arrive at first determinant on the third line. The next determinant, which is upper triangular, is obtained by elementary modification. Since determinants of upper triangular matrices are just products of the diagonal entries, we find D by doing this task.

Cramer's rule

Cramer's rule for the inverse of A. Recall that the cofactor Ai,j for the (i,j) entry of A is (-1) i+j Mi,j, where Mi,j is the (i,j) minor that is obtained from A by finding the determinant of the matrix with row i and column j removed. We define the adjugate أو classical adjoint of A, which we denote by adj(A), to be the matrix whose (i,j) component is Aj,i. In other words, it is the transpose of the matrix whose entries are the cofactors of A. The formula for the inverse is then
A -1 = adj(A)/det(A).


The determinant of a square matrix

It is defined via its behavior with respect to row operations this means we can use row reduction to compute it. We will give a recursive formula for the determinant in Section 4.2. We will also show in this subsection that the determinant is related to invertibility, and in Section 4.3 that it is related to volumes.

تعريف

ال determinant is a function

satisfying the following properties:

    Doing a row replacement on

multiplies the determinant by

In other words, to every square matrix

in a way that satisfies the above properties.

In each of the first three cases, doing a row operation on a matrix scales the determinant by a nonzero عدد. (Multiplying a row by zero is not a row operation.) Therefore, doing row operations on a square matrix

does not change whether or not the determinant is zero.

The main motivation behind using these particular defining properties is geometric: see Section 4.3. Another motivation for this definition is that it tells us how to compute the determinant: we row reduce and keep track of the changes.

مثال

First we row reduce, then we compute the determinant in the opposite order:

The reduced row echelon form of the matrix is the identity matrix

The second-last step in the row reduction was a row replacement, so the second-final matrix also has determinant

The previous step in the row reduction was a row scaling by

since (the determinant of the second matrix times

the determinant of the second matrix must be

The first step in the row reduction was a row swap, so the determinant of the first matrix is negative the determinant of the second. Thus, the determinant of the original matrix is

Note that our answer agrees with this definition of the determinant.

مثال
مثال

Here is the general method for computing determinants using row reduction.

Recipe: Computing determinants by row reducing

be a square matrix. Suppose that you do some number of row operations on

is the number of row swaps performed.

In other words, the determinant of

is the product of diagonal entries of the row echelon form

coming from the number of row swaps you made, divided by the product of the scaling factors used in the row reduction.

ملاحظة

This is an efficient way of computing the determinant of a large matrix, either by hand or by computer. The computational complexity of row reduction is

by contrast, the cofactor expansion algorithm we will learn in Section 4.2 has complexity

which is much larger. (Cofactor expansion has other uses.)

مثال
مثال
Example (The determinant of a

Let us use the recipe to compute the determinant of a general

In either case, we recover the formula in Section 3.5:

If a matrix is already in row echelon form, then you can simply read off the determinant as the product of the diagonal entries. It turns out this is true for a slightly larger class of matrices called الثلاثي.

تعريف

    ال قطري entries of a matrix

Proposition

has a zero row or column, then

is upper-triangular or lower-triangular, then

دليل - إثبات

be the matrix obtained by negating the zero row. ثم

Putting these together yields

is not invertible by the invertible matrix theorem in Section 3.6, so its reduced row echelon form has a zero row. Since row operations do not change whether the determinant is zero, we conclude

is upper-triangular, and that one of the diagonal entries is zero, say

We can perform row operations to clear the entries above the nonzero diagonal entries:

In the resulting matrix, the

is upper-triangular, now suppose that all of the diagonal entries of

can be transformed to the identity matrix by scaling the diagonal entries and then doing row replacements:

and we scaled by the reciprocals of the diagonal entries, this implies

is the product of the diagonal entries.

The same argument works for lower triangular matrices, except that the the row replacements go down instead of up.

مثال

A matrix can always be transformed into row echelon form by a series of row operations, and a matrix in row echelon form is upper-triangular. Therefore, we have completely justified the recipe for computing the determinant.

The determinant is characterized by its defining properties, since we can compute the determinant of any matrix using row reduction, as in the above recipe. However, we have not yet proved the existence of a function satisfying the defining properties! Row reducing will compute the determinant if it exists, but we cannot use row reduction to prove existence, because we do not yet know that you compute the same number by row reducing in two different ways.

Theorem (Existence of the determinant)

There exists one and only one function from the set of square matrices to the real numbers, that satisfies the four defining properties.

We will prove the existence theorem in Section 4.2, by exhibiting a recursive formula for the determinant. Again, the real content of the existence theorem is:

No matter which row operations you do, you will always compute the same value for the determinant.


Uses of Determinant

  1. Determinants are useful as a result of they tell us whether a matrix is inverted or not.
  2. It plays a vital role in solving the linear equation.
  3. The use of determinants in calculus includes the Jacobian determinant in the change of variables rule for integrals of functions of several variables.
  4. Determinant has wide application in engineering, science, economics, social science, etc.

To every square matrix of order , we can associate a number [real or complex] called determinant of the square matrix A, where element of A. It is denoted by |A| or det A.

If then the determinant of A is written as = det (A).

  1. For matrix A, |A| is read as the determinant of A and not modulus of A.
  2. Only square matrices have determinants.

On some properties of the determinants of tensors ☆

We use the Hilbertʼs Nullstellensatz (Hilbertʼs Zero Point Theorem) to give a direct proof of the formula for the determinants of the products of tensors. By using this determinant formula and using tensor product to represent the transformations of the slices of tensors, we prove some basic properties of the determinants of tensors which are the generalizations of the corresponding properties of the determinants for matrices. We also study the determinants of tensors after two types of transposes. We use the permutational similarity of tensors to discuss the relation between weakly reducible tensors and the triangular block tensors, and give a canonical form of the weakly reducible tensors.


شاهد الفيديو: MEETKUNDE: DIE VIERKANT (ديسمبر 2021).