مقالات

9.3: الصيغة التربيعية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حل المعادلات التربيعية ذات الحلول الحقيقية باستخدام الصيغة التربيعية.

الصيغة التربيعية

في هذا القسم ، سنطور معادلة تقدم الحلول لأي معادلة من الدرجة الثانية في الشكل القياسي. للقيام بذلك ، نبدأ بمعادلة تربيعية عامة في الصورة القياسية ونحلها x بإكمال المربع. هنا أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية و أ ≠ 0:

( begin {align} ax ^ {2} + b x + c & = 0 color {black} { frac {ax ^ {2} + b x + c} { color {Cerulean} {a} }} & = color {black} { frac {0} { color {Cerulean} {a}}} quad quad quad color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : أ.} x ^ {2} + frac {b} {a} x + frac {c} {a} & = 0 quad quad quad : : color {Cerulean} {Subtract : frac {c} {a} : from : both : sides.} x ^ {2} + frac {b} {a} x & = - frac {c} {a} end {بمحاذاة } )

أوجد الثابت الذي يكمل المربع: خذ معامل x، اقسمها على 2 ، ثم قم بتربيعها.

[ left ( color {black} { frac { color {OliveGreen} {b / a}} {2}} right) ^ {2} = left ( frac {b} {2 a} right) ^ {2} = color {Cerulean} { frac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}}} ]

أضف هذا إلى طرفي المعادلة والعامل.

حل عن طريق استخراج الجذور.

يعطينا هذا الاشتقاق صيغة تحل أي معادلة تربيعية في الصورة القياسية. معطى (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) ، أين أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية و أ ≠ 0، ثم يمكن حساب الحلول باستخدام الصيغة التربيعية:

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية (2x ^ {2} −7x + 3 = 0 ). يمكن حلها عن طريق التحليل على النحو التالي:

( start {array} {rrr} {2 x-1 = 0} & { text {or} x-3 = 0} {2 x = 1} & {x = 3} {x = frac {1} {2}} end {array} )

الحلان هما 1/2 و 3. يوضح المثال التالي أنه يمكننا الحصول على نفس النتائج باستخدام الصيغة التربيعية.

مثال ( PageIndex {1} )

حل باستخدام الصيغة التربيعية:

(2x ^ {2} -7x + 3 = 0 ).

حل

ابدأ بالتعريف أ, ب، و ج كمعامِلات لكل مصطلح.

عوّض بهذه القيم في الصيغة التربيعية ثم بسّطها.

افصل "زائد أو ناقص" إلى معادلتين وتبسيط كل منهما على حدة.

( start {array} {ll} {x = frac {7-5} {4}} & { text {or}} & {x = frac {7 + 5} {4}} { x = frac {2} {4}} && {x = frac {12} {4}} {x = frac {1} {2}} && {x = 3} end {array} )

إجابه:

الحلول هي 1/2 و 3.

بالطبع ، إذا كانت العوامل التربيعية ، فمن أفضل الممارسات لحلها عن طريق التحليل. ومع ذلك ، ليس كل عامل متعدد الحدود من الدرجة الثانية ؛ ومع ذلك ، فإن الصيغة التربيعية توفر لنا وسيلة لحل مثل هذه المعادلات.

مثال ( PageIndex {2} )

حل باستخدام الصيغة التربيعية:

(5x ^ {2} + 2x − 1 = 0 ).

حل:

ابدأ بالتعريف أ, ب، و ج.

(أ = 5 كواد ب = 2 كواد ج = -1 )

عوّض بهذه القيم في الصيغة التربيعية.

إجابه:

الحلول هي ( frac {-1 pm sqrt {6}} {5} )

غالبًا ما تكون المصطلحات مفقودة. عندما تكون هذه هي الحالة ، استخدم 0 كمعامل.

مثال ( PageIndex {3} )

حل باستخدام الصيغة التربيعية:

(س ^ {2} −18 = 0 ).

حل:

فكر في هذه المعادلة بالمعاملات التالية:

(1 × ^ {2} +0 × 18 = 0 )

هنا

(أ = 1 كواد ب = 0 كواد ج = -18 )

عوّض بهذه القيم في الصيغة التربيعية.

إجابه:

الحلول هي ( pm 3 sqrt {2} )

منذ معامل x كان 0 ، كان بإمكاننا حل المعادلة باستخراج الجذور. كتمرين ، قم بحل المثال السابق باستخدام هذه الطريقة وتحقق من تطابق النتائج.

مثال ( PageIndex {4} )

حل باستخدام الصيغة التربيعية:

(9x ^ {2} −12x + 4 = 0 ).

حل:

في هذه الحالة،

عوّض بهذه القيم في الصيغة التربيعية ثم بسّطها.

في هذا المثال ، لاحظ أن الجذر التربيعي للجذر التربيعي يساوي 0. ينتج عن هذا حل واحد فقط لهذه المعادلة التربيعية. عادة ، نتوقع حلين. عندما نجد حلًا واحدًا فقط ، يسمى الحل بالجذر المزدوج. إذا حللنا هذه المعادلة بالتحليل ، فسيظهر الحل مرتين.

( start {array} {rlr} {3 x-2 = 0} & { text {or}} & {3 x-2 = 0} {3 x = 2} && {3 x = 2} {x = frac {2} {3}} && {x = frac {2} {3}} end {array} )

إجابه: ( frac {2} {3} ) ، جذر مزدوج

مثال ( PageIndex {5} )

حل باستخدام الصيغة التربيعية:

(س ^ {2} + س + 1 = 0 ).

حل:

في هذه الحالة،

(أ = 1 كواد ب = 1 كواد ج = 1 )

عوّض بهذه القيم في الصيغة التربيعية.

يتضمن الحل الجذر التربيعي لعدد سالب ؛ ومن ثم فإن الحلول ليست حقيقية. هذه المعادلة التربيعية لها حلين غير حقيقيين وستتم مناقشتها بمزيد من التفصيل بينما نواصل دراستنا للجبر. في الوقت الحالي ، قل ببساطة أن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.

إجابه:

لا توجد حلول حقيقية

تمرين ( PageIndex {1} )

حل (x ^ {2} -2x-2 = 0 ).

إجابه

(1 م مربع {3} )

من المهم وضع المعادلة التربيعية في الشكل القياسي قبل استخدام الصيغة التربيعية.

مثال ( PageIndex {6} )

حل باستخدام الصيغة التربيعية:

((2 × + 1) (2 × -1) = 24 × + 8 )

حل:

ابدأ باستخدام خاصية التوزيع لتوسيع الجانب الأيسر والجمع بين المصطلحات المتشابهة للحصول على معادلة في الشكل القياسي ، تساوي 0.

بمجرد أن تصبح المعادلة في شكل قياسي ، حدد أ, ب، و ج. هنا

عوّض بهذه القيم في الصيغة التربيعية ثم بسّطها.

إجابه:

الحلول هي ( frac {6 pm 3 sqrt {5}} {2} )

تمرين ( PageIndex {2} )

حل (3x (x-2) = 1 )

إجابه

( frac {3 pm 2 sqrt {3}} {3} )

الماخذ الرئيسية

  • استخدم الصيغة التربيعية لحل أي معادلة تربيعية في الصورة القياسية.
  • لحل أي معادلة من الدرجة الثانية ، أعد الكتابة أولاً بالشكل القياسي ، (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) ، استبدل المعاملات المناسبة في الصيغة التربيعية ، (x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} ) ، ثم قم بالتبسيط.

تمرين ( PageIndex {3} ) على الصيغة التربيعية

حدد المعاملات أ ، ب ، ج المستخدمة في الصيغة التربيعية. لا تحل.

  1. (س ^ {2} −x + 5 = 0 )
  2. (س ^ {2} −3x − 1 = 0 )
  3. (3x ^ {2} −10 = 0 )
  4. (- ص ^ {2} + 5 = 0 )
  5. (5t ^ {2} −7t = 0 )
  6. (- ص ^ {2} + ص = 0 )
  7. (- س ^ {2} + س = −6 )
  8. (- 2x ^ {2} −x = −15 )
  9. ((3 س + 1) (2 س + 5) = 19 س + 4 )
  10. ((4x + 1) (2x + 1) = 16x + 4 )
إجابه

1. أ = 1 ، ب = -1 ، ج = 5

3. أ = 3 ، ب = 0 ، ج = 10

5. أ = 5 ، ب = 7 ، ج = 0

7. أ = -1 ، ب = 1 ، ج = 6

9. أ = 6 ، ب = -2 ، ج = 1

تمرين ( PageIndex {4} ) على الصيغة التربيعية

حل بالتحليل إلى عوامل ثم حل باستخدام الصيغة التربيعية. تحقق من الإجابات.

  1. (س ^ {2} −10 س + 24 = 0 )
  2. (س ^ {2} −3 س − 18 = 0 )
  3. (t ^ {2} + 6t + 5 = 0 )
  4. (t ^ {2} + 9t + 14 = 0 )
  5. (2x ^ {2} −7x − 4 = 0 )
  6. (3x ^ {2} −x − 2 = 0 )
  7. (- 2x ^ {2} −x + 3 = 0 )
  8. (- 6 س ^ {2} + س + 1 = 0 )
  9. (ص ^ {2} −2 ص + 1 = 0 )
  10. (ص ^ {2} −1 = 0 )
إجابه

1. 4, 6

3. −5, −1

5. −1/2, 4

7. −3/2, 1

9. 1 ، جذر مزدوج

تمرين ( PageIndex {5} ) على الصيغة التربيعية

استخدم الصيغة التربيعية لحل الآتي.

  1. (س ^ {2} −6 س + 4 = 0 )
  2. (س ^ {2} −4 س + 1 = 0 )
  3. (س ^ {2} + 2 س − 5 = 0 )
  4. (س ^ {2} + 4x − 6 = 0 )
  5. (t ^ {2} −4t − 1 = 0 )
  6. (t ^ {2} −8t − 2 = 0 )
  7. (- ص ^ {2} + ص + 1 = 0 )
  8. (- ص ^ {2} −3y + 2 = 0 )
  9. (- س ^ {2} + 16x − 62 = 0 )
  10. (- س ^ {2} + 14 س − 46 = 0 )
  11. (2t ^ {2} −4t − 3 = 0 )
  12. (4t ^ {2} −8t − 1 = 0 )
  13. (- 4y ^ {2} + 12y − 9 = 0 )
  14. (- 25x ^ {2} + 10x − 1 = 0 )
  15. (3x ^ {2} + 6x + 2 = 0 )
  16. (5x ^ {2} + 10x + 2 = 0 )
  17. (9 طن ^ {2} + 6 ر −11 = 0 )
  18. (8 طن ^ {2} + 8 طن + 1 = 0 )
  19. (س ^ {2} - 2 = 0 )
  20. (س ^ {2} −18 = 0 )
  21. (9x ^ {2} - 3 = 0 )
  22. (2x ^ {2} - 5 = 0 )
  23. (ص ^ {2} + 9 = 0 )
  24. (ص ^ {2} + 1 = 0 )
  25. (2x ^ {2} = 0 )
  26. (س ^ {2} = 0 )
  27. (- 2 س ^ {2} + 5 ص = 0 )
  28. (- 3y ^ {2] + 7y = 0 )
  29. (t ^ {2} - t = 0 )
  30. (t ^ {2] + 2 t = 0 )
  31. (س ^ {2} −0.6x −0.27 = 0 )
  32. (س ^ {2} −1.6x −0.8 = 0 )
  33. (ص ^ {2} −1.4y −0.15 = 0 )
  34. (ص ^ {2} −3.6y +2.03 = 0 )
  35. (12 طن ^ {2} + 5 ر +32 = 0 )
  36. (- t ^ {2} + 3 ر − 34 = 0 )
  37. (3y ^ {2} + 12y −13 = 0 )
  38. (- 2y ^ {2} + 13y +12 = 0 )
  39. (2x ^ {2} −10 × + 3 = 4 )
  40. (3x ^ {2} + 6x + 1 = 8 )
  41. (- 2 س ^ {2} = 3 (ص - 1) )
  42. (3y ^ {2} = 5 (2y - 1) )
  43. ((t + 1) ^ {2} = 2 ر + 7 )
  44. ((2 طن - 1) ^ {2} = 73-4 طن )
  45. ((س + 5) (س - 1) = 2 س + 1 )
  46. ((س + 7) (س − 2) = 3 (س + 1) )
  47. (س (س + 5) = 3 (س − 1) )
  48. (س (س + 4) = - 7 )
  49. ((5x + 3) (5x − 3) −10 (x − 1) = 0 )
  50. ((3x + 4) (3x − 1) −33x = −20 )
  51. (27y (y + 1) +2 (3y − 2) = 0 )
  52. (8 (4y ^ {2} +3) −3 (28y − 1) = 0 )
  53. ((س + 2) ^ {2} −2 (س + 7) = 4 (س + 1) )
  54. ((س + 3) ^ {2} −10 (س + 5) = - 2 (س + 1) )
إجابه

1. (3 م مربع {5} )

3. (- 1 م مربع {6} )

5. (2 م مربع {5} )

7. ( frac {1 pm sqrt {5}} {2} )

9. (8 م مربع {2} )

11. ( frac {2 pm sqrt {10}} {2} )

13. ( frac {3} {2} ) ، جذر مزدوج

15. ( frac {-3 pm sqrt {3}} {3} )

17. ( frac {-1 pm 2 sqrt {3}} {3} )

19. ( pm sqrt {2} )

21. ( pm sqrt { frac {1} {3}} )

23. لا توجد حلول حقيقية

25. (0 ) جذر مزدوج

27. (0، frac {5} {2} )

29. (0, 1)

31. (−0.3, 0.9)

33. (−0.1, 1.5)

35. لا توجد حلول حقيقية

37. ( frac {-6 pm 5 sqrt {3}} {3} )

39. ( frac {5 pm 3 sqrt {3}} {2} )

41. ( frac {-3 pm sqrt {33}} {4} )

43. ( pm sqrt {6} )

45. (- 1 م مربع {7} )

47. لا توجد حلول حقيقية

49. ( frac {1} {5} ) ، جذر مزدوج

51. (- frac {4} {3} ) ، ( frac {1} {9} )

53. (1 م 2 مربع {10} )

تمرين ( PageIndex {6} ) على لوحة المناقشة

  1. عند الحديث عن معادلة تربيعية في الشكل القياسي ، (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) ، لماذا من الضروري ذكر أن ≠ 0؟ ماذا يحدث إذا كان a يساوي 0؟
  2. بحث ومناقشة تاريخ الصيغة التربيعية وحلول المعادلات التربيعية.
إجابه

1. قد تختلف الإجابات


CBSE Class 10 الرياضيات: الفصل 3 معادلات من الدرجة الثانية

في الجبر ، تشير المعادلة التربيعية إلى أي معادلة يمكن إعادة ترتيبها في شكل قياسي أو بعبارة أخرى ، إنها معادلة الدرجة الثانية. بمعنى ، سيحتوي على مصطلح واحد على الأقل مربّع. على سبيل المثال: في المعادلة ax 2 + bx + c = 0 ، يمثل x عددًا غير معروف ، بينما يمثل a و b و c أرقامًا معروفة أو معاملات رقمية ، حيث يمثل a & # x2260 0. & # xA0

المعادلات التربيعية هو الفصل الثالث وهو جزء من الوحدة الثانية: الجبر ومتوفر ضمن الموضوعات ذات الأولوية العالية لأن الوحدة الكاملة تجمع لـ 20 علامة. لأنه من السهل حلها وفهمها وتمكن التلميذ من تحقيق نتائج أفضل دون مشكلة.

ما هي المعادلات التربيعية؟

إنها معادلات كثيرة الحدود بدرجة المعادلة = 2 في شكل متغير واحد. على سبيل المثال:

& # xA0f (x) = ax 2 + bx + c حيث a و b و c و # x2208 r و a & # x2260 0

تسمى القيم التي تحقق معادلة تربيعية معينة بالجذور ولكل معادلة جذران على الأقل. قد تكون الجذور فعلية أو خيالية. عندما تكون كثيرة الحدود التربيعية مساوية للصفر فإنها ستصبح معادلة من الدرجة الثانية.

جذور معادلة من الدرجة الثانية

يشار إلى قيم المتغيرات التي تحقق معادلة تربيعية بالجذور.

إذا كانت f (a) = صفر ، فإن a هو جذر f (x). يمكن أن تكون الجذور حقيقية أو تخيلية حيث تكون الجذور الحقيقية للمعادلة هي نقاط الإحداثيات التي تتقاطع عندها مع المحور x والمحور y ، على التوالي.

إذا كان a = c ، فإن الجذور تكون متبادلة لبعضها البعض

إذا كانت c = صفر ، فإن أحد الجذور يساوي صفرًا ، والجذر المقابل سيكون = -b / a.

العوامل الحاسمة

  1. جذور المعادلة التربيعية: x = (-b & # xB1 & # x221Ad) / 2a ، حيث d = b 2 & # x2013 4ac
  2. طبيعة الجذور
  • D & gt zero ، الجذور حقيقية ورائعة (غير متساوية)
  • D = 0 ، الجذور حقيقية ومتساوية (مصادفة)
  • D & lt 0 ، الجذور خيالية وغير متساوية
  1. الجذور (& # x3B1 + i & # x3B2) ، (& # x3B1 & # x2013 i & # x3B2) هي أزواج مترافقة من بعضها البعض.
    & # xA0
  2. مجموع ومنتج الجذور:

إذا كانت & # x3B1 و & # x3B2 هي جذور المعادلة التربيعية ، إذن

S = & # x3B1 + & # x3B2 = -b / a = معامل x / معامل x 2

P = & # x3B1 & # x3B2 = c / a = مصطلح ثابت / معامل x 2


  1. المعادلة التربيعية على شكل جذور: x 2 - (& # x3B1 + & # x3B2) x + (& # x3B1 & # x3B2) = 0
  2. المعادلات التربيعية أ1x2 + ب1س + ج1 = 0 و أ2 x2 + ب2س + ج2 = 0 لديك:
  • جذر مشترك واحد إذا (ب1ج2 & # x2013 ب2ج1) / (ج1أ2 & # x2013 ج2أ1) = (ج1أ2 & # x2013 ج2أ1)/(أ1ب2 & # x2013 أ2ب1)
  • كلا الجذور شائع إذا أ12 = ب12 = ج1/ ج2
  1. في المعادلة التربيعية ax 2 + ب س + ج = 0 أو [(س + ب / 2 أ) 2 & # x2013 د / 4 أ 2 ]
  • إذا كانت a & gt صفر ، فإن أدنى قيمة = 4ac & # x2013 ب 2 / 4 أ عند x = -b / 2a.
  • إذا كانت a & lt 0 ، فإن معظم التكلفة 4ac & # x2013 ب 2 / 4 أ عند x = -b / 2a.
  1. إذا كانت & # x3B1، & # x3B2، & # x3B3 جذور المعادلة التكعيبية ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ، ثم ، & # x3B1 + & # x3B2 + & # x3B3 = -b / a ، & # x3B1 & # x3B2 + & # x3B2 & # x3B3 + & # x3BB & # x3B1 = c / a ، و & # x3B1 & # x3B2 & # x3B3 = -d / a
  2. ستصبح المعادلة التربيعية متطابقة (أ ، ب ، ج = صفر) إذا تم حل المعادلة باستخدام أكثر من رقمين ، أي أن لها أكثر من جذرين حقيقيين أو معقدين.

تمييز المعادلة

يمثل المصطلح المحسوب من خلال الصيغة المحددة مميزًا لمعادلة تربيعية معينة.

  • إذا كانت قيمة المميز (د) = صفر أي ب 2 & # x2013 4ac = 0
  • سيكون للمعادلة التربيعية نفس الجذور ، أي & # x3B1 = & # x3B2 = -b / 2a
  • إذا د & lt 0 أي ب 2 & # x2013 4ac & lt 0
  • سيكون للمعادلة التربيعية جذور خيالية i.E. ، & # x3B1 = (p + iq) و & # x3B2 = (p & # x2013 iq).
  • إذا (D) & gt صفر i.E. ، ب 2 & # x2013 4ac & GT Zero
  • يمكن أن تمتلك المعادلة التربيعية جذورًا حقيقية
  • إذا كانت قيمة d & gt صفر وهي مربع كامل
  • يمكن أن تمتلك المعادلة التربيعية جذورًا عقلانية
  • إذا كانت قيمة (d) & gt 0 و d ليست مربعًا كاملاً
  • ستمتلك المعادلة التربيعية جذورًا غير منطقية أي & # x3B1 = (p + & # x221Aq) و & # x3B2 = (p & # x2013 & # x221Aq)
  • إذا كانت قيمة d & gt 0 ، فإن d هي مربع كامل ، و a = 1 ، و b و c أعداد صحيحة
  • سيكون للمعادلة التربيعية جذور متكاملة

طرق حل المعادلة التربيعية:

استخدام الصيغة التربيعية
& # xA0

تُستخدم الصيغة التربيعية لحساب جذور المعادلة التربيعية مباشرة من الصيغة العامة. من السهل استبدال القيم من المعادلة المعطاة في هذا النظام بسهولة واكتساب الجذور. تشير علامتا (+) & amp (-) إلى وجود جذرين للمعادلة.

Ques: اكتشف جذور المعادلة x 2 -5x + 6 = 0 باستخدام الطريقة التربيعية.

الحل: مقارنة المعادلة مع ax 2 + bx + c = صفر عروض ،

الجذور = & # x2212b + b 2 & # x2212 4ac & # x221A2a = 5 + 12 = 62 = 3 and & # x2212b & # x2212 b 2 & # x2212 4ac & # x221A2a = 5 & # x2212 12 = 42 = 2

التخصيم

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية 2x 2 & # x22125x + 3 = 0

هذه الخطوة هي تقسيم الحد الأوسط

نقسم الحد الأوسط عن طريق الحصول على رقمين (-2 و -3) بحيث يكون مجموعهما هو نفسه معامل x وحاصل ضربهما يساوي الناتج المصنع من معامل x 2 والثابت.

إذن ، 1 و 3/2 هما جذور المعادلة الآتية

استكمال المربع

يتم التعبير عن المعادلة التربيعية داخل النموذج (x & # xB1ok) 2 = p 2.

وتجدر الإشارة إلى أن المعادلة التربيعية 2x 2 & # x22128x = 10 تعبر عن المعادلة التربيعية في صورة معروفة.

(اقسم المعادلة عن طريق معامل x 2 لتجعل معامل x 2 يساوي واحدًا على الأقل.

قم بتحميل مستطيل 1/2 من معامل x على جانبي المعادلة للحصول على تعبير عن الشكل x2 & # xB12kx + k2.

اعزل التعبير أعلاه ، (x & # xB1ok) 2 على LHS للحصول على معادلة الشكل (x & # xB1okay) 2 = p 2

خذ الجذور التربيعية الرائعة والفقيرة.

نهج رسومي

اسمح لنا بدراسة هذه الطريقة بنمط السؤال التالي

Ques: أفتاب يخبر ابنته ، & # x201Cs منذ سبع سنوات ، كنت أكبر سبع مرات مما كنت عليه في ذلك الوقت. بالإضافة إلى ذلك ، بعد ثلاث سنوات من الآن ، سأكون أثريًا بثلاث مرات. & # x201D يمثل هذا المثال جبريًا ورسميًا.

الحل: السماح بالعمر السائد لـ Aftab = x

يتم تمثيل العمر الحالي لابنته كـ = y

عمر أفتاب وابنة أبوس = y & # x2013 7

بناءً على السؤال ، (x & # x2013 7) = 7 (y & # x2013 7)

بوضع ص = 5 ، و 6 ، وسبعة ، نحصل على

x = 7 & # xD7 6 & # x2013 42 = 42 & # x2013 42 = صفر

3 سنوات من الآن ، عمر أفتاب & # x2019 = x + 3

عمر الفتاب & # x2019s الابنة = ص + 3

حسب السؤال (س + 3) = 3 (ص + 3)

الإعداد ، y = & # x2013 2 ، & # x20131 ، والصفر ، نحصل عليه

x = 3 & # xD7 & # x2013 1 + 6 = & # x2013 3 + 6 = ثلاثة

س = ثلاثة & # xD7 0 + 6 = صفر + 6 = 6

عينة الأسئلة

Ques: ابحث عن قيم x التي يكون التعبير (x 2 & # x2013 4x + 3) / (x 2 + x + 1) & # x2264 صفرًا.

الجواب: دع f (x) = x 2 & # x2013 4x + 3 و g (x) = x 2 + x + 1.

معامل x 2 في g (x) فعال ورسم المميز (d) & lt صفر. نتيجة لذلك ، فإن g (x) مفيدة لجميع قيم x.

بسبب الحقيقة ، f (x) / g (x) & lt 0. لذلك ، يجب أن تكون f (x) أقل بكثير من 0.


Ques: المعادلات التربيعية x 2 & # x2013 ax + b = 0 و x 2 & # x2013 px + q = صفر لها جذر شائع والمعادلة الثانية لها جذور متساوية ، تعرض أن b + q = ap / 2.

الحل: بمساعدة التفكير في & # x3B1 و & # x3B2 ليكونا جذور المعادلة (i) و & # x3B1 ليكونا الجذر المشترك ، يمكننا حل المشكلة عن طريق استخدام المجموع وملفقة من نظام الجذور.

المعادلات التربيعية المعطاة هي

من المعادلة (i) ، & # x3B1 + & # x3B2 = a ، & # x3B1 = b

من المعادلة (ii) ، 2 & # x3B1 = p ، & # x3B1 2 = q

Ques: حدد قيم m التي قد تحتوي المعادلات التربيعية 3x 2 + 4mx + 2 = 0 و 2x 2 + 3x & # x2013 2 = 0 على جذر غير عادي.


الحل: اعتبر أن & # x3B1 هو الجذر غير المعتاد للمعادلات المعطاة.

ثم ، 3 & # x3B1 2 + 4m & # x3B1 + 2 = 0 و 2 & # x3B1 2 + 3 & # x3B1 & # x2013 2 = صفر

باستخدام طريقة الضرب go ، سنضع

وبالتالي ، فإن قيم m التي يمكن أن يكون للمعادلات التربيعية المعطاة لها جذور مشتركة = -11 / 8 و 7/4.

السنوات السابقة & # x2019 الأسئلة

أسئلة إجابة قصيرة جدًا

Ques: إذا كان 1 هو جذر معادلات ay 2 + ay + 3 = 0 و y 2 + y + b = 0 ، فما قيمة ab؟ (2012 د)

Ques: إذا كانت x = - & # xBD ، هي حل للمعادلة التربيعية 3x 2 + 2kx - 3 = 0 ، اكتشف قيمة k. (2015 د)

الحل: يمكن كتابة المعادلة التربيعية على النحو التالي: 3x 2 + 2kx - 3 = 0

أسئلة ذات إجابة قصيرة

Ques: حل المعادلة التربيعية التالية لـ x: x 2 - 2ax - (4b 2 - a 2) = 0 (2015OD)

الحل: يمكن كتابة المعادلة التربيعية كـ x 2 - 2ax - (4b 2 - a 2) = 0

أو x 2 - 2ax - 4b 2 + a 2 = 0

أو x 2 - 2ax + a 2-4b 2 = 0

إذن ، x = a - 2b أو a + 2b

Ques: إذا كانت x =؟ و x = -3 جذور المعادلة التربيعية ، ax 2 + 7x + b = 0 ، ما قيمة a و b؟ (2016 د)

Ques: أوجد قيمة p التي يكون فيها جذر المعادلة التربيعية px2 - 14x + 8 = 0 هو 6 أضعاف الآخر. (2017OD)

الحل: معطى ، px 2-14x + 8 = 0 & # xA0

دع الجذور تكون أ و 6 أ.

Ques: حل وابحث عن قيمة x: & # x221A3x2 - 2 & # x221A23x - 2 & # x221A3 = 0 (2015OD)


جينا ويلسون كل الأشياء الجبر حل المعادلات التربيعية

حل المعادلات التربيعية عن طريق الرسوم البيانية والعوامل (ص 40-45). حل المعادلات التربيعية بواسطة. ذ & # 39. Y2: 0.5X2. @ 2012 ، TESCCC 09/06/12 الهزيل -1. 6 هل يولد هذا التعبير نفس جدول القيم؟ استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بك.

  • حجم الملف: 12.237 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: ١٢ ديسمبر ٢٠١٥
  • تمت المشاهدة: 2،133 مرة

رياضيات التفاضل والتكامل للصف الحادي عشر (30S) -

Contentsv الوحدة 4: حل المعادلات التربيعية والعقلانية 1 الوحدة 4 مقدمة 3 الدرس 1: حل المعادلات التربيعية بيانياً 7 الدرس 2: حل المعادلات التربيعية.

  • حجم الملف: 1،075 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: ٢٧ نوفمبر ٢٠١٥
  • تمت المشاهدة: 5،130 مرة

9.3 حل المعادلات التربيعية باستخدام الرباعي

694 الفصل التاسع المعادلات التربيعية والوظائف وعدم المساواة باستخدام الصيغة التربيعية حل باستخدام الصيغة التربيعية

  • حجم الملف: 611 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: 28 نوفمبر 2015
  • عدد المشاهدات: 1،582 مرة

10-4 حل المعادلات التربيعية باستخدام. -

حل المعادلات التربيعية باستخدام. تمرن 10-4 أجوبة: 1. 4، 2 2. 4، 8 3. لا جذور حقيقية 4.. الصيغة التربيعية x 2b b 4ac.

  • حجم الملف: 334 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: ١٢ ديسمبر ٢٠١٥
  • تمت المشاهدة: 1،355 مرة

الوحدة الخامسة وظائف تربيعية - مدارس مقاطعة هنري

يوليو 2013 الصفحة 2 من 76. جميع الحقوق محفوظة. الوحدة 5. وظائف من الدرجة الثانية. طاولة . تطبيق شكل رأس دالة تربيعية لإيجاد حلول حقيقية للمعادلات التربيعية. اشرح سبب كون الرسم البياني لكل دالة تربيعية ترجمة للرسم البياني لـ. يمكن العثور على نسخة PDF من المهمة على الرابط أدناه :.

  • حجم الملف: 819 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: 11 ديسمبر 2015
  • تمت المشاهدة: 5،493 مرة

الجبر 2 - 5 1 إلى 5 3 معادلات تربيعية وأمبير تربيعي

. 5.1 إلى 5.3 المعادلات التربيعية والوظائف التربيعية أمبير مراجعة الاختيار من متعدد حدد الخيار الذي.

  • حجم الملف: 1،396 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: 15 ديسمبر 2015
  • تمت المشاهدة: 1،396 مرة

10-2 حل المعادلات التربيعية بالرسم البياني - جلينكو

8 12 4 2 حل المعادلات التربيعية بالرسم البياني. صف الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية.

  • حجم الملف: 312 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: 6 ديسمبر 2015
  • تمت المشاهدة: 2،115 مرة

حل الأنظمة التربيعية - ClassZone

10.7 حل الأنظمة التربيعية 633 حل نظام بالتعويض. حل نظام تربيعي.

  • حجم الملف: 534 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: ١٤ ديسمبر ٢٠١٥
  • تمت المشاهدة: 1،144 مرة

10-2 حل المعادلات التربيعية بالرسم البياني - جلينكو

& # 169 Glencoe / McGraw-Hill 76 Glencoe Algebra 1. 8 12 4 2 حل المعادلات التربيعية بواسطة. تمرن 10-2 الإجابات: 1. 5 ، 2 2. 4 3. 4. 3 ، 1 5. 4 6. 7. 1 8.

  • حجم الملف: 312 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: ١٢ ديسمبر ٢٠١٥
  • عدد المشاهدات: 960 مرة

الوحدة 10: وظائف من الدرجة الثانية - معهد مونتيري ل.

الوحدة 10: وظائف تربيعية. رسم مخططات من مشاكل الكلمات. الموضوع 3: حل المعادلات التربيعية باستخدام الدرجة التربيعية:.


MAT 009 الجبر المتوسط ​​(3 وحدات).

هذا نموذج منهج فقط. اسأل مدرسك عن المنهج الدراسي الرسمي لدورتك الدراسية.

معلم:
مكتب:
ساعات العمل:
هاتف:
بريد إلكتروني:

وصف الدورة التدريبية

كثيرات الحدود ، التحليل ، التعابير المنطقية ، المعادلات التربيعية ، الجذور ، الجذور ، التعبيرات الجذرية ، الأسس ، اللوغاريتمات ، الرسوم البيانية ، التطبيقات. لا تحتسب لدرجة البكالوريوس. تصنيف CR / NC.

المتطلبات الأساسية

MAT 003 أو درجة مرضية في اختبار ELM.

تمهيدي ومتوسط ​​الجبر بواسطة روبرت بليتسر ، الإصدار الرابع ، مع MyMathLab Access.

المواد الأخرى المطلوبة

متطلبات الدورة ، والجدول الزمني المؤقت لاجتماعات الفصل والموضوعات ، والقراءات ، والواجبات وتواريخ الاستحقاق ، والامتحانات

سيتم توفير جدول اجتماعات الفصل والموضوعات والمهام وتواريخ الاستحقاق ومواعيد الامتحانات وما إلى ذلك من قبل المعلم. انظر منهج فصلك.

هنا مخطط نموذج لهذه الدورة. تشير الأرقام إلى أقسام في الكتاب المدرسي.

  • الأسبوع 1
    • 8.1 مقدمة في الوظائف
    • 8.2 الرسوم البيانية للوظائف
    • 8.3 الجبر من الوظائف
    • 9.1 مراجعة المتباينات الخطية واستخدام المتباينات في تطبيقات الأعمال
    • 9.2 المتباينات المركبة
    • 9.3 المعادلات والمتباينات التي تنطوي على قيمة مطلقة
    • إعادة النظر
    • امتحان
    • 6.5 استراتيجية العوملة العامة
    • 6.6 حل المعادلات التربيعية بالتحليل
    • 7.1 التعبيرات المنطقية وتبسيطها
    • 7.2 ضرب وتقسيم التعبيرات المنطقية
    • 7.3 جمع وطرح التعبيرات النسبية التي لها نفس المقام
    • 7.4 جمع وطرح التعبيرات النسبية ذات المقامات المختلفة
    • 7.5 التعبيرات المنطقية المعقدة
    • 7.6 حل المعادلات النسبية
    • 7.7 تطبيقات باستخدام المعادلات المنطقية والنسب
    • إعادة النظر
    • امتحان
    • 10.1 التعبيرات والوظائف الجذرية
    • 10.2 الأسس العقلانية
    • 10.3 ضرب وتبسيط التعبيرات الجذرية
    • 10.4 جمع وطرح وقسمة التعبيرات الجذرية
    • 10.5 الضرب في أكثر من مصطلح وترشيد المقامات
    • 10.6 المعادلات الجذرية
    • 11.1 خاصية الجذر التربيعي وإكمال معادلات المسافة المربعة ونقطة المنتصف
    • 11.2 الصيغة التربيعية
    • 11.3 الوظائف التربيعية والرسوم البيانية الخاصة بها
    • 11.4 المعادلات التربيعية في الصورة
    • 11.5 المتباينات متعددة الحدود والعقلانية
    • إعادة النظر
    • امتحان
    • إعادة النظر
    • إمتحان نهائي

    يتم إجراء الاختبار النهائي في التاريخ والوقت المعلنين في جدول الحصص.

    أهداف التعلم

    بعد الانتهاء من اختبار MAT 009 ، سيتمكن الطلاب من:

    • جمع وطرح وضرب وقسم التعبيرات المنطقية البسيطة.
    • حل المسائل بما في ذلك المسائل الكلامية باستخدام التعبيرات المنطقية.
    • استخدم الأسس المنطقية.
    • حل مسائل بسيطة تتضمن جذورًا.
    • جمع وطرح وقسم التعبيرات الجذرية.
    • حل المعادلات الجذرية البسيطة.
    • حل ورسم المتباينات.
    • حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية.
    • حل المسائل الكلامية التي تؤدي إلى المعادلات التربيعية.
    • رسم بيانيًا للوظائف التربيعية والقطع المكافئ.

    أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة ، محو الأمية الحاسوبية

    يشجع معظم المدربين على استخدام الآلات ، والحاسبات ، وأجهزة الكمبيوتر ، والهواتف ، وما إلى ذلك ، لتحليل البيانات. قد يتم تقييد استخدام الآلات أثناء الاختبارات أو في أوقات أخرى معينة. اسأل مدرسك عن السياسة في فصلك.

    لا يُتوقع من الطلاب أن يكونوا مبرمجين أو يعرفون أي لغة كمبيوتر معينة قبل بدء هذا الفصل. يتوقع المعلمون أن يتمكن الطلاب من الوصول إلى المعلومات الموجودة على الإنترنت ، على سبيل المثال MyMathLab ، واستخدام الآلات الحاسبة ، وربما تعلم استخدام بعض البرامج الخاصة الأخرى مع التعليمات. ستكون المهارات الأساسية في الجبر واستخدام الرموز الرياضية وترتيب العمليات وما إلى ذلك ، والاستعداد لقراءة ومتابعة أدلة التعليمات وملفات المساعدة كافية.

    سياسة الدرجات ، مقياس الدرجات ، القيمة المرجحة للواجبات والامتحانات

    تعتمد درجات الطلاب على الواجبات المنزلية والمشاركة في الفصل والاختبارات القصيرة والامتحانات المجدولة التي تغطي فهم الطلاب للموضوعات التي يتم تناولها في هذه الدورة. يحدد المدرب الأوزان النسبية لهذه العوامل ومقياس التقدير. انظر المنهج الدراسي لصفك الخاص.

    MAT 009 هي فئة CR / NC. يجب أن تكسب 70٪ في الدورة لكسب رصيد.

    10٪ من الدرجة = تعليمات تكميلية
    10٪ من الدرجة = الواجبات (العمل في الفصل ، الواجبات المنزلية)
    10٪ من الدرجة = الاختبارات
    45٪ من الدرجة = الامتحانات (3 امتحانات ، 15٪ لكل منها)
    25٪ من الدرجة = الامتحان النهائي

    موقع اجتماعات الفصل

    تلتقي الفصول في التواريخ والغرفة المعلنة في الجدول الرسمي للفصول. هذا فصل دراسي تقليدي وجهًا لوجه.

    متطلبات الحضور

    الحضور والمشاركة مهمان لنجاحك في هذا الفصل. الطلاب الذين يتخطون الصفوف يفشلون بشكل عام اسأل مدرسك عن متطلبات الحضور في صفك الخاص.

    التعليمات التكميلية (SI)

    سيكون معلمو SI متاحين خلال جلسات الفصل لتقديم المساعدة للطلاب. سيعقد مدرسو SI ورش عمل يوم الجمعة. يتوقع من الطلاب حضور ورش العمل يوم الجمعة. خلال هذه الجلسات ، سيقوم مدرس SI بمراجعة الواجبات المنزلية وإعطاء الاختبارات والاستعداد للدروس القادمة.

    تهيئة الظروف للتعلم الناجح:

    تظهر الأبحاث أن النجاح في فصل الرياضيات يعتمد إلى حد كبير على عاملين: مقدار الوقت الذي يقضيه في العمل على المادة ، ومعتقدات الطالب حول الرياضيات وما يعنيه فهم الرياضيات وممارستها. مع وضع ذلك في الاعتبار ، إليك بعض الاقتراحات:

    • كن في الفصل ، وفي كل فصل ، وكن في الوقت المحدد.
    • كن مستعدًا للمشاركة في العمل الجماعي والمناقشات كل يوم.
    • اقض ساعة واحدة على الأقل كل يوم ، لا يشمل ذلك وقت الفصل والعمل في الواجبات المنزلية والدراسة.
    • أدرك أن النجاح في الرياضيات لا يتعلق "بالقدرة" بقدر ما يتعلق بالرغبة في التفكير والعمل الجاد لفهم الأشياء.

    سياسة مواعيد الاستحقاق والعمل التعويضي والامتحانات الفائتة وتعيينات الدرجات الإضافية

    تعيينات:يتم إعطاء مهام عمل الفصل في الفصل وتساعدك المناقشة حولها على الاستعداد للواجب المنزلي. نحن نشجعك على العمل مع زملائك في الفصل لإكمال المهام. سيساعدك الواجب المنزلي على الاستعداد للمحاضرة والاختبارات والامتحانات. يتم الإعلان عن تواريخ الاستحقاق للواجبات عبر الإنترنت عبر الإنترنت. يجب تقديم التعيينات عبر الإنترنت بحلول تاريخ الاستحقاق للحصول على ائتمان كامل ، ولكن يمكن إرسالها في أي وقت للحصول على ائتمان جزئي.

    الإختبارات: يتم استخلاصها في الغالب من الواجب المنزلي. لن يكون هناك تعويض عن الاختبارات داخل الفصل أو اختبارات المراجعة عبر الإنترنت.

    الامتحانات: سيكون هناك 3 امتحانات نصفية ، كل منها يساوي 15٪ من الدرجة الإجمالية. لن يكون هناك امتحانات ماكياج. يجب إجراء جميع الاختبارات في كتاب مغلق وملاحظات مغلقة. الاختبار النهائي تراكمي ويستحق 25٪ من درجتك.

    قد يختار المدرسون ، أو لا ، تقديم تعيينات درجات إضافية. إذا تم تقديم مهام درجات إضافية ، فستكون متاحة لجميع الطلاب.

    النزاهة الأكاديمية

    قسم الرياضيات لا يتسامح مع الغش. يجب على الطلاب الذين لديهم أسئلة أو مخاوف بشأن النزاهة الأكاديمية أن يسألوا أساتذتهم أو المستشارين في مكتب تطوير الطلاب ، أو الرجوع إلى كتالوج الجامعة للحصول على مزيد من المعلومات. (انظر في الفهرس تحت عنوان "النزاهة الأكاديمية".)

    مساكن للطلاب ذوي الإعاقة

    تلتزم Cal State Dominguez Hills بجميع القوانين واللوائح والإرشادات الفيدرالية والولائية والمحلية المعمول بها فيما يتعلق بتوفير أماكن إقامة معقولة للطلاب ذوي الإعاقات المؤقتة والدائمة. إذا كانت لديك إعاقة قد تؤثر سلبًا على عملك في هذا الفصل ، فأنا أشجعك على التسجيل في خدمات الطلاب المعوقين (DSS) والتحدث معي حول أفضل السبل التي يمكننا مساعدتك بها. سيتم الاحتفاظ بجميع عمليات الكشف عن الإعاقات في سرية تامة. يرجى ملاحظة: يجب عليك التسجيل في DSS لترتيب عدم الإقامة. للحصول على معلومات ، اتصل بالرقم (310) 243-3660 أو أرسل رسالة بريد إلكتروني إلى [email protected] أو قم بزيارة موقع DSS على الويب http://www4.csudh.edu/dss/contact-us/index أو قم بزيارة مكتبهم WH D-180

    التوقعات السلوكية

    أهم قاعدة لهذا الفصل هي احترام حقوق زملائك الطلاب. لذلك ، لن يُسمح بأي سلوك تخريبي خلال وقت الفصل ، ويشمل ذلك على سبيل المثال لا الحصر القدوم إلى الفصل متأخرًا أو المغادرة مبكرًا أو استخدام الهواتف المحمولة أو أجهزة الاتصال الأخرى (مثل رنين الهواتف أو أجهزة الإنذار). يجب أن تظل جميع الهواتف المحمولة بعيدة عن الأنظار.

    من إعداد إدغار بيريز ، 23/7/2012. الإصدارات السابقة من إعداد J. Wilkins 2/17/00 ، تمت مراجعتها في 7/7/01 ، 7/25/06 بواسطة G. Jennings ، 08/28/08 بواسطة D. Post ، 7/23/12 بواسطة E. Perez ، 16/1/16 بواسطة C.Luchard و G. Jennings


    9.3: الصيغة التربيعية - الرياضيات

    قبل الشروع في هذا القسم ، يجب أن نلاحظ أن موضوع حل المعادلات التربيعية سيتم تناوله في قسمين. يتم ذلك لصالح أولئك الذين يشاهدون المواد على الويب. هذا موضوع طويل ولتقليل أوقات تحميل الصفحة إلى الحد الأدنى ، تم تقسيم المادة إلى قسمين.

    إذن ، سنحل المعادلات التربيعية. لأول مرة النموذج القياسي المعادلة التربيعية هي

    الشرط الوحيد هنا هو أن لدينا () في المعادلة. نحن نضمن أن هذا المصطلح سيكون موجودًا في المعادلة من خلال المطالبة (a ne 0 ). لاحظ مع ذلك ، أنه لا بأس إذا كانت (b ) و / أو (c ) صفرًا.

    توجد طرق عديدة لحل المعادلات التربيعية. سننظر في أربعة منهم على مدار القسمين التاليين. لن تعمل الطريقتان الأوليان دائمًا ولكن ربما يكون استخدامهما أبسط قليلاً عندما يعملان. سيغطي هذا القسم هاتين الطريقتين. ستعمل الطريقتان الأخيرتان دائمًا ، ولكن غالبًا ما تتطلب مزيدًا من العمل أو الاهتمام لتصحيح الأمر. سنغطي هذه الأساليب في القسم التالي.

    الحل عن طريق التخصيم

    كما يوحي العنوان ، سنحل المعادلات التربيعية هنا عن طريق تحليلها. للقيام بذلك سنحتاج إلى الحقيقة التالية.

    هذه الحقيقة تسمى خاصية عامل الصفر أو مبدأ العامل الصفري. كل ما تقوله الحقيقة هو أنه إذا كان حاصل ضرب حدين يساوي صفرًا ، فيجب أن يبدأ أحدهما على الأقل بصفر.

    لاحظ أن هذه الحقيقة لن تنجح إلا إذا كان المنتج يساوي صفرًا. ضع في اعتبارك المنتج التالي.

    في هذه الحالة لا يوجد سبب للاعتقاد بأن إما (أ ) أو (ب ) سيكون 6. يمكن أن يكون لدينا (أ = 2 ) و (ب = 3 ) على سبيل المثال. لذا ، لا تسيء استخدام هذه الحقيقة!

    لحل معادلة تربيعية بالتحليل ، يجب أولاً تحريك كل الحدود إلى أحد طرفي المعادلة. القيام بذلك يخدم غرضين. أولاً ، يضع التربيعات في شكل يمكن تحليله إلى عوامل. ثانيًا ، وربما الأهم من ذلك ، من أجل استخدام خاصية عامل الصفر ، يجب أن يكون لدينا صفر في أحد طرفي المعادلة. إذا لم يكن لدينا صفر في أحد طرفي المعادلة ، فلن نتمكن من استخدام خاصية عامل الصفر.

    دعونا نلقي نظرة على مثالين. لاحظ أنه من المفترض أنه يمكنك إجراء العوملة في هذه المرحلة ، وبالتالي لن نقدم أي تفاصيل حول التخصيم. إذا كنت بحاجة إلى مراجعة العوملة ، فيجب عليك الرجوع وإلقاء نظرة على قسم العوملة في الفصل السابق.

    1. ( - س = 12 )
    2. ( + 40 = - 14x )
    3. ( + 12y + 36 = 0 )
    4. (4 - 1 = 0)
    5. (3 = 2x + 8 )
    6. (10 + 19 ع + 6 = 0 )
    7. (5 = 2x )

    الآن ، كما أشرنا سابقًا ، لن نضع أي تفاصيل في عملية العوملة ، لذا تأكد من أنه يمكنك إجراء العوملة هنا.

    أولاً ، ضع كل شيء في جانب المعادلة ثم العامل.

    الآن في هذه المرحلة لدينا حاصل ضرب حدين يساوي صفرًا. هذا يعني أن واحدًا على الأقل مما يلي يجب أن يكون صحيحًا.

    لاحظ أن كلًا من هذه المعادلات عبارة عن معادلة خطية يسهل حلها بدرجة كافية. يخبرنا هذا أن لدينا حلين للمعادلة ، (س = 4 ) و (س = - 3 ). كما هو الحال مع المعادلات الخطية ، يمكننا دائمًا التحقق من الحلول عن طريق إعادة الحل في المعادلة. سوف نتحقق من (س = - 3 ) ونترك الآخر لك للتحقق.

    [يبدأ < left (<- 3> right) ^ 2> - left (<- 3> right) & mathop = limits ^؟ 12 9 + 3 & mathop = limits ^؟ 12 12 & = 12 ، ، ، ، < mbox> النهاية]

    لذلك ، كان هذا في الواقع حلاً.

    كما هو الحال مع أول واحد ، نحصل أولاً على كل شيء بجانب علامة التساوي ثم العامل.

    الآن ، لدينا مرة أخرى حاصل ضرب حدين يساوي صفرًا ، لذا نعرف أن أحدهما أو كليهما يجب أن يكون صفرًا. إذن ، من الناحية الفنية ، علينا أن نساوي كل واحد بصفر ونحل. ومع ذلك ، عادة ما يكون هذا سهلاً بما يكفي في أذهاننا ، ومن الآن فصاعدًا سنقوم بهذا الحل في رؤوسنا.

    حلول هذه المعادلة هي ،

    لتوفير مساحة ، لن نتحقق من أي حلول أخرى هنا ، ولكن يجب عليك القيام بذلك للتأكد من أننا لم نرتكب أي أخطاء.

    في هذه الحالة ، لدينا صفر بالفعل في جانب واحد ، وبالتالي لا نحتاج إلى إجراء أي معالجة للمعادلة ، كل ما نحتاجه هو العامل. أيضًا ، لا تكن متحمسًا لحقيقة أن لدينا الآن (ص ) في المعادلة. لن نتعامل دائمًا مع (س ) لذلك لا تتوقع رؤيتهم دائمًا.

    لذا ، فلنعمل على تحليل هذه المعادلة.

    في هذه الحالة لدينا مربع كامل. لقد قسمنا المربع للإشارة إلى أن لدينا بالفعل تطبيقًا لخاصية عامل الصفر. ومع ذلك ، فإننا عادة لا نفعل ذلك. عادة ما ننتقل مباشرة إلى الإجابة من الجزء التربيعي.

    حل المعادلة في هذه الحالة هو

    لدينا فقط قيمة واحدة هنا على عكس الحلين اللذين وصلناهما إلى هذه النقطة. غالبًا ما نسمي هذا الحل أ جذر مزدوج أو يقول أن لديه تعدد 2 لأنها جاءت من مصطلح كان مربّعًا.

    كما هو الحال دائمًا ، فلنعمل على المعادلة أولاً.

    الآن قم بتطبيق خاصية عامل الصفر. تخبرنا خاصية عامل الصفر أن ،

    مرة أخرى ، سنقوم عادةً بحل هذه المشكلات في رؤوسنا ، لكننا احتجنا إلى حل واحد على الأقل بالتفصيل الكامل. إذن ، لدينا حلان للمعادلة.

    الآن وقد أنجزنا عددًا قليلاً من هذه ، لن نضع الكثير من التفاصيل عن المشكلتين التاليتين. هذا هو العمل لهذه المعادلة.

    مرة أخرى ، استخدم عامل الصفر لهذه الخاصية واستخدمها.

    يبدو دائمًا أن هذا الشخص يسبب المتاعب للطلاب على الرغم من أنه ليس سيئًا للغاية.

    أولا. لا تلغي AN (x ) من كلا الجانبين. هل لديك فكرة قد تكون سيئة؟ أنه. إذا قمت بإلغاء (س ) من كلا الجانبين ، فسوف تفوتك حلاً لذلك لا تفعل ذلك. تذكر أننا نقوم بالحل من خلال التحليل هنا ، لذلك دعونا أولاً نحصل على كل شيء على جانب واحد من علامة التساوي.

    الآن ، لاحظ أن كل ما يمكننا فعله للتحليل هو إخراج (x ) من كل شيء. القيام بهذا يعطي ،

    من العامل الأول نحصل على ذلك (x = 0 ) ومن الثاني نحصل على ذلك (x = frac <2> <5> ). هذان هما الحلان لهذه المعادلة. لاحظ أنه إذا ألغينا (x ) في الخطوة الأولى ، فلن نحصل على (x = 0 ) كإجابة!

    دعونا نعمل على نوع آخر من المشاكل هنا. لقد رأينا بعضًا منها في قسم حل المعادلات الخطية وبما أنها يمكن أن تحدث أيضًا مع المعادلات التربيعية ، يجب أن نمضي قدمًا ونعمل على التأكد من أنه يمكننا القيام بها هنا أيضًا.

    حسنًا ، تمامًا كما هو الحال مع المعادلات الخطية ، فإن أول شيء يتعين علينا القيام به هنا هو إزالة المقامات عن طريق الضرب في شاشة LCD. تذكر أننا سنحتاج أيضًا إلى ملاحظة قيمة (قيم) (x ) التي ستعطي القسمة على صفر حتى نتمكن من التأكد من عدم تضمينها في الحل.

    شاشة LCD لهذه المشكلة هي ( يسار ( right) left (<2x - 4> right) ) وسنحتاج إلى تجنب (x = - 1 ) و (x = 2 ) للتأكد من عدم القسمة على الصفر. هذا هو العمل لهذه المعادلة.

    [يبدأمتبقى( right) left (<2x - 4> right) left (< frac <1> <>> يمين) & = يسار ( يمين) يسار (<2x - 4> يمين) يسار (<1 - فارك <5> << 2x - 4 >>> يمين) 2x - 4 & = يسار ( يمين) يسار (<2x - 4> يمين) - 5 يسار ( صحيح) 2x - 4 & = 2 - 2x - 4 - 5x - 5 0 & = 2 - 9x - 5 0 & = left (<2x + 1> right) left ( حق) نهاية]

    لذا ، يبدو أن حلين هذه المعادلة هما ،

    لاحظ أيضًا أن أيًا من هاتين القيمتين لا يمثلان قيم (x ) التي نحتاج إلى تجنبها ، وبالتالي كلاهما حلان.

    في هذه الحالة ، تكون شاشة LCD هي (x - 1 ) وسنحتاج إلى تجنب (x = 1 ) حتى لا نحصل على القسمة على الصفر. هنا العمل لهذه المشكلة.

    [يبدأمتبقى( يمين شمال( <>> right) & = left (< frac << 4 - x >> <>> يمين) يسار ( يمين شمال( يمين شمال( يمين) + 3 & = 4 - س + 2x - 3 + 3 & = 4 - x + 3x - 4 & = 0 يسار ( يمين شمال( حق) & = 0 نهاية]

    إذن ، المعادلة التربيعية التي حللناها وحلناها لها حلين ، (س = 1 ) و (س = - 4 ). ومع ذلك ، عندما وجدنا شاشة LCD ، رأينا أيضًا أننا بحاجة إلى تجنب (x = 1 ) لذلك لم نحصل على القسمة على الصفر. لذلك ، هذه المعادلة لها حل واحد ،

    قبل الانتقال إلى الموضوع التالي ، يجب أن نتناول فكرة إمكانية استخدام فكرة التحليل هذه لحل المعادلات ذات الدرجة الأكبر من اثنين أيضًا. تأمل المثال التالي.

    أول شيء يجب فعله هو تحليل هذه المعادلة بأكبر قدر ممكن. في هذه الحالة ، يعني ذلك إخراج العامل المشترك الأكبر إلى عوامل أولاً. ها هي الصيغة المحللة إلى عوامل لهذه المعادلة.

    [يبدأ5x يسار (<- س - 2> يمين) & = 0 5 س يسار ( يمين شمال( حق) & = 0 نهاية]

    الآن ، ستظل خاصية عامل الصفر قائمة هنا. في هذه الحالة ، لدينا حاصل ضرب ثلاثة حدود وهو صفر. الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يكون بها هذا المنتج تساوي صفرًا هي إذا كان أحد الحدود هو صفر. هذا يعني ذاك،

    [يبدأ5x & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow & x & = 0 x - 2 & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow & x & = 2 x + 1 & = 0 hspace <0.25 في> Rightarrow & x & = - 1 end]

    إذن ، لدينا ثلاثة حلول لهذه المعادلة.

    لذلك ، بشرط أن نتمكن من تحليل كثير الحدود ، يمكننا دائمًا استخدام هذا كأسلوب حل. تكمن المشكلة بالطبع في أنه ليس من السهل أحيانًا إجراء العوملة.

    خاصية الجذر التربيعي

    الطريقة الثانية لحل المعادلات التربيعية التي سننظر فيها تستخدم خاصية الجذر التربيعي,

    هناك رمز جديد (محتمل) هنا يجب علينا تحديده أولاً في حالة عدم رؤيته بعد. يُقرأ الرمز " ( pm )" على النحو التالي: "زائد أو ناقص" وهذا بالضبط ما يخبرنا به. هذا الرمز هو اختصار يخبرنا أن لدينا بالفعل رقمين هنا. واحد هو (ع = مربع د ) والآخر (ع = - مربع د ). تعتاد على هذا الترميز حيث سيتم استخدامه بشكل متكرر في القسمين التاليين حيث نناقش تقنيات الحل المتبقية. وسوف تظهر أيضًا في أقسام أخرى من هذا الفصل وحتى في فصول أخرى.

    هذه خاصية سهلة الاستخدام إلى حد ما ، ومع ذلك لا يمكن استخدامها إلا في جزء صغير من المعادلات التي من المحتمل أن نواجهها على الإطلاق. دعونا نرى بعض الأمثلة على هذا العقار.

    في الحقيقة ليس هناك الكثير من هذه المشاكل. لاستخدام خاصية الجذر التربيعي ، كل ما علينا فعله هو الحصول على الكمية المربعة في الطرف الأيسر بمفردها بمعامل 1 والرقم في الطرف الآخر. بمجرد الانتهاء من ذلك ، يمكننا استخدام خاصية الجذر التربيعي.

    هذه مشكلة بسيطة إلى حد ما ، فإليك طريقة عمل هذه المعادلة.

    إذن ، هناك حلان لهذه المعادلة ، (x = pm 10 ). تذكر أن هذا يعني أن هناك حلين هنا ، (x = - 10 ) و (x = 10 ).

    حسنًا ، الاختلاف الرئيسي بين هذا والسابق هو 25 أمام الحد التربيعي. تريد خاصية الجذر التربيعي أن يكون هناك معامل واحد. هذا سهل بما يكفي للتعامل معه ولكننا سنقسم كلا الجانبين على 25. هذا هو العمل لهذه المعادلة.

    في هذه الحالة تكون الحلول فوضوية بعض الشيء ، ولكن لا تقلق بشأن ذلك الكثير من هذه الحلول. لاحظ أيضًا أنه نظرًا لأننا عرفنا الجذر التربيعي لـ 25 ، فقد تقدمنا ​​وقسمنا الجذر التربيعي للكسر لأعلى كما هو موضح. مرة أخرى ، تذكر أن هناك حلين هنا ، أحدهما موجب والآخر سلبي.

    هذا مطابق تقريبًا للجزء السابق مع اختلاف واحد سنراه في نهاية المثال. هذا هو العمل لهذه المعادلة.

    إذن ، هناك حلان لهذه المعادلة: (z = pm frac <7> <2> i ). لاحظ أيضًا أنها حلول معقدة. سيحدث هذا مع حل العديد من المعادلات التربيعية ، لذا تأكد من أنه يمكنك التعامل معها.

    هذا يبدو مختلفًا عن الأجزاء السابقة ، لكنه يعمل بنفس الطريقة. يمكن استخدام خاصية الجذر التربيعي في أي وقت لدينا شيئا ما تربيع يساوي عددًا. هذا ما لدينا هنا. الاختلاف الرئيسي بالطبع هو أن الشيء الذي يتم تربيعه ليس متغيرًا واحدًا بل هو شيء آخر. إذن ، هذا هو تطبيق خاصية الجذر التربيعي لهذه المعادلة.

    الآن ، نحتاج فقط إلى إيجاد قيمة (t ) وعلى الرغم من "زائد أو ناقص" في المعادلة ، فإنه يعمل بنفس الطريقة التي نحل بها أي معادلة خطية. سنضيف 9 لكلا الطرفين ثم نقسم على 2.

    لاحظ أننا ضربنا الكسر في الأقواس للإجابة النهائية. سنفعل هذا عادة في هذه المشاكل. أيضًا ، لا تقم بتحويل هذه الكسور العشرية إلا إذا طُلب منك ذلك. هذا هو النموذج القياسي لهذه الإجابات. مع هذا ، يجب علينا تحويلها إلى أرقام عشرية فقط للتأكد من أنك تستطيع ذلك. فيما يلي القيم العشرية للحلين.

    في هذا الجزء الأخير لن نضع الكثير في طريق التفاصيل في العمل.

    [يبدأ < left (<3x + 10> right) ^ 2> & = - 81 3x + 10 & = pm ، 9 ، i 3x & = - 10 pm ، 9 ، i x & = - frac <<10>> <3> pm 3 ، i end]

    لذا حصلنا على حلين مركبين مرة أخرى ولاحظنا أيضًا أنه في الجزءين السابقين وضعنا الجزء "زائد أو ناقص" أخيرًا. هذه هي الطريقة التي تكتب بها عادة.

    كما ذكرنا في بداية هذا القسم ، سنقوم بتقسيم هذا الموضوع إلى قسمين لصالح أولئك الذين يشاهدونه على الويب. يتم إعطاء الطريقتين التاليتين لحل المعادلات التربيعية ، إكمال الصيغة التربيعية والمربعة ، في القسم التالي.


    جينا ويلسون كل شيء الجبر 2012 المعادلات التربيعية

    يوليو 2013 الصفحة 2 من 76. جميع الحقوق محفوظة. الوحدة 5. وظائف من الدرجة الثانية. طاولة . تطبيق شكل رأس دالة تربيعية لإيجاد حلول حقيقية للمعادلات التربيعية. اشرح سبب كون الرسم البياني لكل دالة تربيعية ترجمة للرسم البياني لـ. يمكن العثور على نسخة PDF من المهمة على الرابط أدناه :.

    • حجم الملف: 819 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: 11 ديسمبر 2015
    • تمت المشاهدة: 5،493 مرة

    الجبر 2 - 5 1 إلى 5 3 معادلات تربيعية وأمبير تربيعي

    . 5.1 إلى 5.3 المعادلات التربيعية والوظائف التربيعية أمبير مراجعة الاختيار من متعدد حدد الخيار الذي.

    • حجم الملف: 1،396 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: 15 ديسمبر 2015
    • تمت المشاهدة: 1،396 مرة

    9.3 حل المعادلات التربيعية باستخدام الرباعي

    694 الفصل التاسع المعادلات التربيعية والوظائف وعدم المساواة باستخدام الصيغة التربيعية حل باستخدام الصيغة التربيعية

    • حجم الملف: 611 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: 28 نوفمبر 2015
    • عدد المشاهدات: 1،582 مرة

    الدوال التربيعية والمعادلات والمتباينات

    حل المعادلات التربيعية عن طريق الرسوم البيانية والعوامل (ص 40-45). حل المعادلات التربيعية بواسطة. ذ & # 39. Y2: 0.5X2. @ 2012 ، TESCCC 09/06/12 الهزيل -1. 6 هل يولد هذا التعبير نفس جدول القيم؟ استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بك.

    • حجم الملف: 12.237 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: ١٢ ديسمبر ٢٠١٥
    • تمت المشاهدة: 2،133 مرة

    القسم 2 3: وظائف تربيعية

    هذه المعادلات في سياق مجموعة الوظائف التالية: الوظائف التربيعية. . أبسط دالة تربيعية هي f (x) = x2 ، ويظهر الرسم البياني أدناه. الارتفاع بالأقدام لصاروخ نموذجي فوق الأرض بعد t ثانية من الإقلاع هو. في التدريبات 31 - 36 ، حل المعادلة التربيعية للمتغير المشار إليه.

    • حجم الملف: 374 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: ٢٧ نوفمبر ٢٠١٥
    • عدد المشاهدات: 1،097 مرة

    الوحدة 10: وظائف من الدرجة الثانية - معهد مونتيري ل.

    الوحدة 10: وظائف تربيعية. رسم مخططات من مشاكل الكلمات. الموضوع 3: حل المعادلات التربيعية باستخدام الدرجة التربيعية:.

    • حجم الملف: 1،126 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: 19 ديسمبر 2015
    • تمت المشاهدة: 1،536 مرة

    سباق التتابع المعادلات - home d47 org

    سباق التتابع المعادلات! الجواب: المشكلة 1 الإجابة: م = _____. منتجات جينا ويلسون (كل الأشياء.

    • حجم الملف: 2،006 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: 25 تشرين الثاني (نوفمبر) 2015
    • تمت المشاهدة: 3،333 مرة

    المعادلات والوظائف التربيعية - كلية دوجلاس

    تقنيات حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية والتحليل. . (مشاكل الكلمات.

    • حجم الملف: 388 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: 25 تشرين الثاني (نوفمبر) 2015
    • تمت المشاهدة: 1،649 مرة

    رياضيات التفاضل والتكامل للصف الحادي عشر (30S) -

    Contentsv الوحدة 4: حل المعادلات التربيعية والعقلانية 1 الوحدة 4 مقدمة 3 الدرس 1: حل المعادلات التربيعية بيانياً 7 الدرس 2: حل المعادلات التربيعية.

    • حجم الملف: 1،075 كيلو بايت
    • اللغة الإنجليزية
    • تاريخ النشر: ٢٧ نوفمبر ٢٠١٥
    • تمت المشاهدة: 5،130 مرة

    الوحدة 5: المعادلات التربيعية ووظائف أمبير

    تحليل المقادير التربيعية. 3: حل المعادلات التربيعية. 4 تبسيط الأعداد المركبة


    9.3: الصيغة التربيعية - الرياضيات

    مشروع تحسين تعليم الرياضيات في المدارس (TIMES)

    العدد والجبر: الوحدة 34سنوات: 9-10

    • مرفق مع حل المعادلات الخطية
    • كل محتوى الوحدة ، العوامل.
    • مرفق مع حساب الأعداد الموجبة والسالبة

    في الوحدة النمطية ، المعادلات الخطية ، رأينا كيفية حل أنواع مختلفة من المعادلات الخطية. تنشأ مثل هذه المعادلات بشكل طبيعي جدًا عند حل المشكلات اليومية الأساسية.

    تتضمن المعادلة الخطية الكمية غير المعروفة التي تحدث للقوة الأولى ، وبالتالي ،
    فمثلا،

    2 × & ناقص 7 & # 61 9

    3 (x & # 43 2) & ناقص 5 (x & # 8) & # 61 16

    = 8

    كلها أمثلة على المعادلات الخطية.

    بشكل تقريبي ، المعادلات التربيعية تتضمن مربع المجهول. وهكذا ، على سبيل المثال ، 2 × 2 & ناقص 3 & # 61 9 ، × 2 & ناقص 5 × & # 43 6 & # 61 0 ، و & ناقص 4 x & # 61 2 x & ناقص 1 كلها أمثلة على المعادلات التربيعية. المعادلة = هي أيضًا معادلة من الدرجة الثانية.

    الفكرة الأساسية لحل المعادلة الخطية هي عزل المجهول. نستمر في إعادة ترتيب المعادلة بحيث تكون جميع المصطلحات التي تتضمن المجهول في جانب واحد من المعادلة وجميع المصطلحات الأخرى في الجانب الآخر. تعد عمليات إعادة الترتيب التي استخدمناها للمعادلات الخطية مفيدة ولكنها ليست كافية لحل معادلة تربيعية. سنطور في هذه الوحدة عددًا من طرق التعامل مع هذه الأنواع المهمة من المعادلات.

    في حين أن المعادلات التربيعية لا تظهر بشكل واضح في الحياة اليومية ، إلا أنها لا تقل أهمية وستظهر في كثير من الأحيان في العديد من مجالات الرياضيات عند مواجهة مشاكل أكثر تعقيدًا. في كل من الرياضيات العليا والرياضيات الجامعية والهندسية ، سيحتاج الطلاب إلى أن يكونوا قادرين على حل المعادلات التربيعية بثقة وسرعة. من المثير للدهشة ، أنه عندما يتم استخدام الرياضيات لحل مشاكل العالم الواقعي المعقدة والمهمة ، غالبًا ما تظهر المعادلات التربيعية كجزء من الحل الشامل.

    سيتم استكشاف تاريخ التربيعية بشكل أكبر في قسم التاريخ ، لكننا نلاحظ هنا أن هذه الأنواع من المعادلات تم حلها من قبل كل من البابليين والمصريين في مرحلة مبكرة جدًا من تاريخ العالم. تم تنقيح تقنيات الحل من قبل الإغريق والعرب والهنود ، وفي النهاية تم الانتهاء من معالجة كاملة ومتماسكة بمجرد فهم فكرة الأعداد المركبة. وهكذا كانت المعادلات التربيعية مركزية لتاريخ الرياضيات وتطبيقاتها لفترة طويلة جدًا.

    التربيعية هي تعبير للنموذج ax 2 & # 43 bx & # 43 c ، حيث يتم إعطاء a و b و c أرقام و a & ne 0.

    الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة

    ax 2 & # 43 bx & # 43 c & # 61 0 ، حيث يتم إعطاء أرقام a و b و c و a & ne 0.

    نسعى للعثور على القيمة (القيم) التي تجعل العبارة صحيحة ، أو لإظهار عدم وجود مثل هذه القيم.

    وهكذا ، على سبيل المثال ، القيمتان x & # 61 3 و x & # 61 2 تحققان المعادلة ، x 2 & ناقص 5 x & # 43 6 & # 61 0. يمكن التحقق من هذا بسهولة عن طريق الاستبدال.

    تسمى هذه القيم حلول المعادلة. المعادلات الخطية المكتوبة بالصيغة القياسية ، ax & # 43 b & # 61 0 ، a & ne 0 ، لها حل واحد. قد لا تحتوي المعادلات التربيعية على حلول ، أو حل واحد ، أو ، كما في المثال أعلاه ، حلين.

    هناك نوعان خاصان من المعادلات التربيعية ، من الأفضل التعامل معهما بشكل منفصل.

    معادلات من الدرجة الثانية بدون حد في x

    عندما لا يوجد حد في x ، يمكننا نقل الثابت إلى الطرف الآخر.

    × 2 وناقص 9 = 0
    × 2 = 9
    x = 3 أو x & # 61 & minus3.

    (لاحظ أنه يمكن أيضًا حل هذه المعادلة عن طريق التحليل إلى عوامل باستخدام اختلاف هوية المربعات. في حين أن هذا نهج صحيح ، فإنه يجعل المشكلة البسيطة تبدو معقدة ، وهي ، بشكل عام ، ليست طريقة جيدة للقيام بالرياضيات.)

    معادلات من الدرجة الثانية بدون حد ثابت

    في هذه الحالة ، يمكننا الكتابة

    /> x 2 & ناقص 9 & # 61 0
    /> x (x & ناقص 9) & # 61 0

    بما أن حاصل ضرب العاملين هو 0 ، فإن أحد العاملين أو كليهما هو صفر ، x (x) & ناقص 9 & # 61 0.

    وبالتالي x & # 61 0 أو x & ناقص 9 & # 61 0

    ومن ثم فإن الحلين هما x & # 61 0 أو x & # 61 9.

    تعمل هاتان الطريقتان أيضًا عندما لا يكون معامل x 2 واحدًا.

    كان المثالان السابقان سهلين نسبيًا لأنه في الحالة الأولى كان من السهل عزل المجهول بينما في الحالة الثانية ، مكن العامل المشترك الجانب الأيسر من التحليل بسهولة.

    حل المعادلات التربيعية بثلاثة حدود

    سنتعامل الآن مع المعادلة ax 2 & # 43 bx & # 43 c & # 61 0 حيث لا تكون a و b و c صفرًا.

    هناك ثلاث طرق أساسية لحل مثل هذه المعادلات التربيعية & # 58

    كل طريقة مهمة وتحتاج إلى إتقان. تتطلب المواقف المختلفة طرقًا مختلفة ، وبينما تعمل الطريقتان الأخيرتان دائمًا ، فإن طريقة التحليل سريعة ودقيقة للغاية ، بشرط أن يكون للمعادلة حلول منطقية.

    حل المعادلات التربيعية بالتحليل

    تعتمد طريقة حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل على حقيقة بسيطة ، مستخدمة في المثال (2) أعلاه ، وهي أنه إذا حصلنا على صفر كمنتج من رقمين ، فيجب أن يكون أحد الأرقام على الأقل صفرًا.

    أي إذا كان AB & # 61 0 ثم A & # 61 0 أو B & # 61 0

    في الوحدة النمطية ، التحليل إلى عوامل ، رأينا أولاً كيفية تحليل المعادلات التربيعية الأحادية ، ثم تعلمنا كيفية تحليل المعادلات التربيعية غير الأحادية إلى عوامل.

    لتحليل x 2 & # 43 bx & # 43 c ، نحاول إيجاد عددين مجموعهما b وحاصل ضربهما c. نطبق هذه الفكرة الآن على حل المعادلات التربيعية.

    نحلل الطرف الأيسر من خلال إيجاد عددين حاصل ضربهما 12 وجمعهما & سالب 7. بوضوح ، & ناقص 4 ، & ناقص 3 هي الأرقام المرغوبة. يمكننا بعد ذلك أن نأخذ في الاعتبار:

    /> x 2 & ناقص 7 x & # 43 12 & # 61 0
    /> (س & ناقص 4) (س & ناقص 3) & # 61 0

    بما أن حاصل ضرب العاملين هو صفر ، فإن أحد العوامل هو صفر.

    هكذا x & ناقص 4 & # 61 0 ، أو x & ناقص 3 & # 61 0
    وبالتالي x & # 61 4 أو x & # 61 3

    يمكن أيضًا تطبيق نفس الطريقة على المعادلات التربيعية غير الأحادية. المعادلة التربيعية غير أحادية هي معادلة من الشكل ax 2 & # 43 bx & # 43 c & # 61 0 ، حيث يتم إعطاء أرقام ، و a & ne 1 أو 0. هذه هي الحالة العامة.

    وبالتالي فإن 2 × 2 & # 43 5 × & # 43 3 & # 61 0 مثال على معادلة تربيعية غير أحادية.

    حل المعادلة 2 x 2 & # 43 5 x & # 43 3 & # 61 0.

    باستخدام طريقة التحليل من الوحدة النمطية إلى العوامل ، نضرب 2 و 3 لنحصل على 6 ونجد عددين يتم ضربهما لنحصل على 6 ونجمعهما لنحصل على 5. الأرقام المرغوبة هي 2 و 3. نستخدم هذه الأرقام لتقسيم الحد الأوسط و عامل في أزواج.

    2 × 2 & # 43 5 × & # 43 3 & # 61 0
    2 × 2 & # 43 2 × & # 43 3 × & # 43 3 & # 61 0 (تقسيم الحد الأوسط)
    2 x (x & # 43 1) & # 43 3 (x & # 43 1) & # 61 0
    (x & # 43 1) (2 x & # 43 3) & # 61 0

    يمكننا الآن أن نساوي كل عامل بالصفر وأن نحصل عليه

    x & # 43 1 & # 61 0 ، أو 2 x & # 43 3 & # 61 0
    x & # 61 & minus1، أو x & # 61 & minus .

    كما أشير في الوحدة النمطية ، العوامل ، فإن الترتيب الذي تكتب به المصطلحات الوسطى لا يؤثر على العامل النهائي ، وبالتالي لا يؤثر على حلول المعامل التربيعي.

    أ 4 × 2 & ناقص 20 & # 61 0 ب x 2 & ناقص x & ناقص 12 & # 61 0 ج 3 × 2 & # 43 2 × & ناقص 8 & # 61 0

    Note & # 58 بينما القيم التي تحقق 2 x 2 & # 43 5 x & # 43 3 & # 61 0 هي x & # 61 & minus1 or x & # 61 & minus ، غالبًا ما نقول أن حل 2 x 2 & # 43 5 x & # 43 3 & # 61 0 هو x & # 61 & minus1 و x & # 61 & minus .

    التبسيط المشترك للمبدأ التربيعي

    غالبًا ما يكون من الملائم تبسيط المعادلة التربيعية قبل تطبيق أي طريقة للحل.

    • إذا كان معامل x 2 سالبًا ، اضرب في & سالب 1.
      & ناقص x 2 & # 43 5 x & ناقص 6 & # 61 0 يصبح x 2 & ناقص 5 x & # 43 6 & # 61 0
    • "ضرب الكسور"
      &ناقص & # 43 3 يصبح x 2 & ناقص 5 x & # 43 6 & # 61 0
    • إذا كان هناك عامل مشترك قسّم عليه.
      3 x 2 & ناقص 15 x & # 43 18 & # 61 0 يصبح x 2 & ناقص 5 x & # 43 6 & # 61 0

    المعادلات التي يمكن إعادة ترتيبها لتكون معادلة من الدرجة الثانية في الشكل القياسي

    الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية هي ax 2 & # 43 bx & # 43 c & # 61 0، a & ne 0.

    ومع ذلك ، قد يتم إعطاؤنا معادلة تربيعية ليست بهذه الصورة ، وبالتالي فإن خطوتنا الأولى هي إعادة كتابة المعادلة في هذه الصيغة القياسية.

    يحل = .

    =
    س (س & ناقص 2) = 3 مرات 5 (الضرب التبادلي)
    × 2 ناقص 2 × = 15
    × 2 & ناقص 2 × & ناقص 15 = 0 (إعادة ترتيب)
    (س & # 43 3) (س & ناقص 5) = 0
    x & # 43 3 = 0 أو س & ناقص 5 & # 61 0
    x = & ناقص 3 أو س & # 61 5

    يحل &ناقص = .

    المستطيل له جانب أطول بمقدار 3 سم من الآخر. تبلغ مساحة المستطيل 28 سم 2.
    ما هو طول الضلع الأقصر؟

    لنفترض أن x cm هي طول الضلع الأقصر. طول الضلع الآخر (x & # 43 3) سم.

    المساحة & # 61 x (x & # 43 3) & # 61 28 سم 2
    x 2 & # 43 3 x & ناقص 28 & # 61 0
    (س & ناقص 4) (س & # 43 7) & # 61 0
    x & ناقص 4 & # 61 0 أو x & # 43 7 & # 61 0
    x & # 61 4 أو x & # 61 & minus7

    نظرًا لأن الطول يجب أن يكون موجبًا ، فإن حل المشكلة هو x & # 61 4. طول الجانب الأقصر 4 سم.

    يتم الحصول على كل رقم في التسلسل 5 ، 9 ، 13 ، 17 ، ... عن طريق إضافة 4 إلى الرقم السابق. يتم إعطاء مجموع S لأول عدد من الأرقام في التسلسل بواسطة S & # 61 2 n 2 & # 43 3 n.

    كم عدد الأرقام التي يجب إضافتها لجعل المجموع يساوي 152؟

    المعادلات التربيعية التي تمت مواجهتها حتى الآن ، لها حل أو حلان منطقيان. هناك العديد من المعادلات التربيعية التي لها حلول غير منطقية ، أو في بعض الحالات لا توجد حلول حقيقية على الإطلاق.

    على سبيل المثال ، ليس من السهل على الإطلاق معرفة كيفية تحليل المعادلة التربيعية x 2 & ناقص 5 x & ناقص 3 & # 61 0.
    في الواقع ليس لديها حلول عقلانية. سنرى قريبًا أن الحلول هي x & # 61
    و x & # 61 .

    للتعامل مع المعادلات التربيعية الأكثر عمومية ، نستخدم تقنية تُعرف باسم إكمال المربع. تاريخيا ، كانت هذه هي الطريقة الأكثر استخدامًا للحل.

    يتم استخدام تقنية إكمال المربع ليس فقط لحل المعادلات التربيعية ، ولكن أيضًا في الرياضيات الإضافية لأشياء مثل:

    • إيجاد مركز دائرة ونصف قطرها & ناقص بالنظر إلى معادلتها الجبرية ،
    • إيجاد الحد الأقصى أو الأدنى للدالة التربيعية ،
    • إيجاد محور تناظر القطع المكافئ ،
    • وضع التكاملات في الشكل القياسي في حساب التفاضل والتكامل.

    هذه تقنية مهمة ستظهر في أماكن أخرى وكذلك هي مهارة أساسية يحتاجها الطلاب الذين ينوون المضي قدمًا في الرياضيات العليا لإتقانها.

    في المراحل المبكرة ، سيحتاج الطلاب إلى إخبارهم بموعد تطبيق أي طريقة ، مع الخبرة ، سيستخدمون إكمال المربع عندما لا يستطيعون رؤية كيفية تطبيق طريقة العوامل الموضحة أعلاه. تعمل طريقة إكمال المربع في كل حالة ، بما في ذلك الحالة التي يتم فيها تطبيق طريقة العامل.

    في الوحدات السابقة رأينا الهويتين المشار إليهما بالمربعات الكاملة:

    أ 2 & # 43 2 أب & # 43 ب 2 & # 61 (أ & # 43 ب) 2 و 2 & ناقص 2 أب & # 43 ب 2 & # 61 (أ & ناقص ب) 2.

    وهكذا ، على سبيل المثال ، x 2 & # 43 6 x & # 43 9 & # 61 (x & # 43 3) 2 و x 2 & ناقص 4 x & # 43 4 & # 61 (x & # 2) 2.

    لاحظ أنه في المعادلات التربيعية أعلاه ، الحد الثابت في كل حالة هو مربع نصف معامل x. تتضمن طريقة إكمال المربع ببساطة إضافة رقم لعمل تعبير تربيعي معين في مربع كامل.

    إكمال المربع في التعبير

    نبدأ بإكمال المربع على التعبير التربيعي x 2 & # 43 2 x & ناقص 6.

    نركز على x 2 & # 43 2 x ونسأل & # 58 ما هو الرقم الذي يجب إضافته إلى x 2 & # 43 2 x لجعل التعبير في مربع كامل؟

    الخطوة الأساسية هي أخذ نصف المعامل وتربيعه. تنطبق نفس القاعدة عندما يكون معامل x سالب.

    في هذه الحالة ، الإجابة هي 1 ، بما أن x 2 & # 43 2 x & # 43 1 & # 61 (x & # 43 1) 2.

    يمكن رؤية هذا بشكل تخطيطي ، حيث تتم إضافة مربع إلى "إكمال المربع".

    x 2 & # 43 2 x & ناقص 6 = (x 2 & # 43 2 x & # 43 1) & ناقص 1 & ناقص 6 (اجمع واطرح 1)
    = (x & # 43 1) 2 & ناقص 7.

    في الحالة التي يكون فيها معامل x فرديًا ، سنحتاج إلى استخدام الكسور. فمثلا،
    لإكمال المربع على x 2 & ناقص 3 x & # 43 1 ، نلاحظ أن نصف & ناقص 3 هو & ناقص و . ومن ثم لدينا x 2 & ناقص 3 x & # 43 1 & # 61 x 2 & ناقص 3 x & # 43 &ناقص & # 43 1 & # 61 x & ناقص 2 & ناقص .

    حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

    يمكننا الآن تطبيق طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية. لإكمال مربع المعادلة ، سنضيف عاملًا على كل جانب للحصول على مربع.

    من الأسهل تحريك الحد الثابت إلى الجانب الآخر أولاً ثم إكمال المربع.

    /> x 2 & # 43 2 x & ناقص 6 = 0
    × 2 & # 43 2 × = 6
    x 2 & # 43 2 x & # 43 1 = 7 /> (أضف 1 إلى كلا الجانبين للحصول على مربع)
    (س & # 43 1) 2 = 7

    يمكننا الآن أخذ الجذور التربيعية الموجبة والسالبة للحصول عليها

    x & # 43 1 & # 61 أو x & # 43 1 & # 61 & ناقص,
    وبالتالي، x & # 61 & ناقص 1 & # 43 أو x & # 61 & ناقص 1 & ناقص

    لاحظ أن الحلول غير منطقية ، وبالتالي لا يمكن حل هذه المعادلة بسهولة باستخدام طريقة العوملة.

    × 2 وناقص 6 × وناقص 2 = 0
    × 2 & ناقص 6 × & # 43 9 & ناقص 9 & ناقص 2 = 0 (اكمل المربع.)
    (س & ناقص 3) 2 = 11
    س & ناقص 3 = أو x & ناقص 3 & # 61 & ناقص
    بالتالي x = 3 + أو x & # 61 3 & ناقص .

    هناك بالطبع معادلات من الدرجة الثانية لا يمكن حلها باستخدام الأعداد الحقيقية.
    على سبيل المثال ، إذا طبقنا الطريقة على المعادلة x 2 & ناقص 6 x & # 43 12 & # 61 0 ، نحصل عليها
    (س & ناقص 3) 2 & # 61 & ناقص 3 و (س & ناقص 3) 2 ≥ & ناقص 3 حيث لا يمكن حل المعادلة.

    حل x 2 & ناقص 5 x & ناقص 3 & # 61 0 بإكمال المربع وإظهار أن x 2 & ناقص 5 x & # 43 7 & # 61 0 لديها
    لا توجد حلول.

    ستلاحظ أننا لم نحل أي تربيعات غير أحادية بإكمال المربع. يعد هذا أمرًا صعبًا إلى حد ما بالنسبة للطلاب لإكمال التربيعات غير النقدية التي لا يمكن حلها عن طريق التخصيم يمكن دائمًا حلها باستخدام الصيغة التربيعية.

    لحل المعادلة التربيعية غير أحادية المستوى بإكمال المربع ، يكون من الأسهل قسمة المعادلة على المعامل الرئيسي ومن ثم تكوين monic من الدرجة الثانية. سيؤدي هذا إلى الكسور كما يوضح المثال التالي.

    قسّم المعادلة على 3 وانقل الحد الثابت للطرف الآخر.

    3 × 2 ناقص 5 × & # 43 1 = 0
    × 2 وناقص x = & ناقص
    × 2 وناقص س & # 43 = &ناقص
    =
    وبالتالي، x = أو x & # 61 .

    كما ذكر أعلاه ، يمكن أيضًا إيجاد هذه الحلول باستخدام الصيغة التربيعية.

    طريقة إكمال المربع تعمل دائمًا. بتطبيقه على المعادلة التربيعية العامة ax 2 & # 43 bx & # 43 c & # 61 0 نحصل على الصيغة التربيعية المعروفة.

    لاشتقاق الصيغة ، سنبدأ بضرب المعادلة في 4 أ ، والتي على الرغم من أنها ليست الخطوة الأولى المعتادة لإكمال المربع ، إلا أنها ستجعل الجبر أسهل كثيرًا.

    الفأس 2 & # 43 bx & # 43 c & # 61 0

    4 أ 2 × 2 & # 43 4 أبكس & # 43 4 تيار متردد & # 61 0

    نلاحظ الآن أن (2 فأس + ب) 2 & # 61 4 أ 2 × 2 & # 43 4 أبكس & # 43 ب 2 لذا فإن إضافة ب 2 سينتج مربعًا.

    4 أ 2 × 2 & # 43 4 أبكس & # 61 وناقص 4 تيار متردد

    4 أ 2 × 2 & # 43 4 أبكس & # 43 ب 2 & # 61 ب 2 & ناقص 4 تيار متردد

    (2 فأس + ب) 2 & # 61 ب 2 & ناقص 4 تيار متردد.

    نتوقف في هذه المرحلة لنلاحظ أنه إذا كانت قيمة b 2 & ناقص 4 ac سالبة ، فلا يوجد حل.
    إذا كانت b 2 & ناقص 4 ac موجبة ، فإننا ننتقل إلى حساب الجذور التربيعية الموجبة والسالبة لإيجاد قيمة x. إذا كانت b 2 & ناقص 4 ac تساوي 0 ، فسيكون هناك حل واحد فقط. نفترض إذن أن b 2 & ناقص 4 ac موجب وننتقل لإيجاد الحلول.

    (2 فأس + ب) 2 & # 61 ب 2 & ناقص 4 تيار متردد

    2 فأس + ب & # 61 أو 2 فأس + ب & # 61 & ناقص

    س & # 61 أو x & # 61 & ناقص .

    تسمى هذه الصيغة الأخيرة بالصيغة التربيعية ، وتكتب أحيانًا كـ x & # 61 .

    إذا كانت الكمية b 2 & ناقص 4 ac & # 61 0 ، فسيكون هناك حل واحد فقط ، x & # 61 & ناقص .

    في هذه الحالة ، ستكون المعادلة التربيعية مربعًا كاملاً. تلعب الكمية b 2 & ناقص 4 ac دورًا مهمًا في نظرية المعادلات التربيعية وتسمى المميز.

    وبالتالي ، باختصار ، عند حل ax 2 & # 43 bx & # 43 c & # 61 0 ، قم أولاً بحساب المميز b 2 & ناقص 4 ac. ثم،

    • إذا كانت قيمة b 2 & ناقص 4 ac سالبة ، فلا يوجد حل.
    • إذا كانت b 2 & ناقص 4 ac موجبة ، فإن الحلول هي x & # 61 ، x & # 61 & ناقص .
    • إذا كانت b 2 & ناقص 4 ac تساوي صفرًا ، فهناك حل واحد فقط x & # 61 & minus .

    بينما لا يحتاج الطلاب إلى تعلم اشتقاق الصيغة ، فإنهم بحاجة إلى تذكر الصيغة نفسها.

    Note & # 58 إذا كانت b 2 & ناقص 4 ac تساوي صفرًا ، فإن التربيعية هي مربع كامل.

    أ باستخدام الصيغة. ب استكمال المربع.

    أ هنا & # 61 1 ، ب = & ناقص 10 ، ج & # 61 & ناقص 3 ،
    لذلك ب 2 وناقص 4 تيار متردد = 100 + 12
    = 112.
    س & # 61 أو س & # 61
    س & # 61 أو س & # 61
    س & # 61 أو س & # 61 (بسّط الجذور الصماء).
    س & # 61 أو س & # 61
    x & # 61 5 & # 43 2 أو x & # 61 5 & ناقص 2
    ب × 2 وناقص 10 × وناقص 3 = 0
    × 2 وناقص 10 × & # 43 25 وناقص 25 وناقص 3 = 0
    (س & ناقص 5) 2 = 28
    س & ناقص 5 = أو x & ناقص 5 & # 61 & ناقص
    x = 5 + 2 أو x & # 61 5 & ناقص 2

    أعد حل المعادلة التربيعية 3 x 2 & ناقص 5 x & # 43 1 & # 61 0 باستخدام الصيغة التربيعية.

    يتضمن أحد التطبيقات المثيرة للاهتمام عددًا معروفًا عند الإغريق باسم النسبة الذهبية.

    المستطيل الذهبي هو مستطيل مثل ACDF مرسوم أدناه ، مع جوانب بطول 1 و x ، وبخاصية أنه إذا تمت إزالة مربع 1 × 1 (BCDE) ، فإن المستطيل الناتج (ABEF) يكون مشابهًا للمستطيل الأصلي. وهذا يعني أن ACDF هو توسيع لـ ABEF.

    اعتبر الإغريق الأبعاد النسبية للمستطيل ABEF "الأكثر إرضاءً
    للعين. للواجهة الأمامية للبارثينون جوانبها في هذه النسبة.

    نظرًا لأن المستطيلات متشابهة ، فإن جوانبها متناسبة. الآن EF & # 61 x & minus ED & # 61 x & minus 1 ،
    و = . هكذا، = .

    يمكننا ضرب كلا الطرفين في وإعادة الترتيب لتشكيل معادلة تربيعية.

    =

    بتطبيق الصيغة التربيعية ، مع a & # 61 1، b & # 61 & minus1، c & # 61 & minus1 and b 2 & minus 4 ac & # 61 5 ، لدينا

    س & # 61 أو س & # 61 .

    الرقم الثاني من هذه الأرقام سالب وبالتالي لا يمكن أن يكون حل المشكلة المعطاة. ومن ثم فإن قيمة x هي وهو تقريبًا ، صحيح لأقرب ثلاث منازل عشرية. يُطلق على هذا الرقم اسم النسبة الذهبية وينشأ في عدة أماكن في الرياضيات ، وبعضها غير متوقع تمامًا.

    معادلات قابلة للاختزال إلى تربيعية

    نختتم المناقشة بذكر المعادلات التي ليست تربيعية بشكل صارم ، ولكن يمكن اختزالها إلى معادلة من الدرجة الثانية عن طريق استبدال بسيط.

    حل 2 2 x & ناقص 5 & 2 x & ناقص 24 & # 61 0.

    ضع u & # 61 2 x ثم تصبح المعادلة u 2 & ناقص 5 u & ناقص 24 & # 61 0.

    عوامل هذه المعادلة مثل (u & ناقص 8) (u & # 43 3) & # 61 0

    استبدال u ، لدينا 2 x & # 61 8، 2 x & # 61 & minus3.

    لا يوجد حل للمعادلة الثانية ، حيث أن 2 x & gt 0 ، بينما تحتوي المعادلة الأولى على الحل x & # 61 3.

    حل المعادلة (x 2 & ناقص 2 x) 2 & ناقص 11 (x 2 & ناقص 2 x) & # 43 24 & # 61 0.

    في الوحدة النمطية ، الوظيفة التربيعية ، سننظر بالتفصيل في الرسوم البيانية للدالة التربيعية y & # 61 ax 2 & # 43 bx & # 43 c ، والتي تمثل القطع المكافئ. سيتم استخدام تقنية إكمال المربع التي مررنا بها في هذا الفصل لإيجاد محور تناظر القطع المكافئ.

    استبدال العلامة & # 61 بعلامة عدم المساواة ينتج متباينة تربيعية. هذه لها العديد من التطبيقات بما في ذلك العثور على المجال ونطاق وظيفة معينة.

    طريقة الحل مشابهة لطريقة حل المعادلات التربيعية.

    تحليل المعادلة ، لدينا (x & ناقص 2) (x & # 43 1) & lt 0

    الآن إذا كان حاصل ضرب عددين سالبًا ، فيجب أن يكون للأرقام إشارة معاكسة. نظرًا لأن (س & ناقص 2) أصغر من (س & # 43 1) ، لدينا (س & ناقص 2) & لتر 0 و (س & # 43 1) & ز 0 يعطي س & لوت 2
    و x & gt & ناقص 1.

    يمكننا دمجها لكتابة ، & ناقص 1 & lt x & lt 2.

    لا يتم تغطية المعادلات التكعيبية بشكل عام بالتفصيل في منهج المدرسة ، ولكنها تنشأ كتعميم طبيعي للمعادلات التربيعية.

    على سبيل المثال ، x 3 & ناقص x & # 43 2 & # 61 0 مثال على معادلة تكعيبية.

    في الوحدة النمطية ، كثيرات الحدود ، سيتم تطوير طريقة العوملة لحل المعادلات التكعيبية التي لها جذور منطقية.

    مثلما توجد صيغة تربيعية لحل المعادلات التربيعية ، توجد أيضًا صيغة تكعيبية لحل المعادلات التكعيبية. هناك إجراء بسيط لأخذ معادلة تكعيبية عامة وإزالة المصطلح الذي يتضمن هكذا ، قد نفترض أن المكعب الخاص بنا في الصورة x 3 & minus px & # 43 q & # 61 0. (هذا يسمى أحيانًا مكعب منخفض ، أو مكعب في شكل Weierstrass).

    في هذه الحالة ، يمكننا إجراء ذكي ، يعود إلى القرن الخامس عشر ، من حل المكعب وكتابة الحل على النحو التالي

    س & # 61 + .

    الكمية + تحت علامة الجذر التربيعي أعلاه تسمى مميز التكعيب. يمكن أن تحتوي المعادلات التكعيبية على جذور حقيقية 1 أو 2 أو 3. الصيغة أعلاه تنتج 1 جذر حقيقي فقط.

    طبق المعادلة لإيجاد جذر حقيقي لـ x 3 & ناقص x & ناقص 1 & # 61 0. (باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، يمكن إظهار أن هذه المعادلة لها جذر حقيقي واحد فقط.)

    ربما من المدهش أن المعادلات التربيعية معروفة منذ وقت مبكر جدًا في تاريخ الرياضيات. كان البابليون يحلون المعادلات التربيعية منذ عام 2000 قبل الميلاد. كانت طريقتهم في الحل مختلفة عن طريقتنا وتم التعبير عنها شفهيًا كسلسلة من الخطوات (بدون دليل). كما قاموا بحل المعادلات المتزامنة غير الخطية التي تؤدي في الجبر القياسي إلى التربيعية. على سبيل المثال ، x & # 43 y & # 61 10، xy & # 61 5.

    الطريقة البابلية في الحل

    يجب التأكيد على أن الطريقة التالية ، على الرغم من كونها ممتعة ، غير موصى بها للفصل الدراسي.

    نوضح باستخدام المعادلة x 2 & ناقص 2 x & ناقص 8 & # 61 0.

    الخطوة 1 خذ الحد الثابت على الجانب الآخر وحلل الطرف الأيسر.
    س (س & ناقص 2) & # 61 8.
    الخطوة 2 ضع مساويًا لمتوسط ​​هذه المصطلحات ، أي & # 61 x & ناقص 1.
    ثم x & # 61 a & # 43 1 ، (x & ناقص 2) & # 61 a & ناقص 1.
    الخطوه 3 عوّض وحل من أجل استخدام متطابقة فرق المربعات.
    س (س & ناقص 2) & # 61 8
    (أ & # 43 1) (أ & ناقص 1) & # 61 8
    أ 2 & ناقص 1 & # 61 8
    أ 2 & # 61 9.

    الآن لم يستخدم البابليون الأعداد السالبة ، لذا فإن الحل الوحيد بالنسبة لهم هو & # 61 3 ، وهكذا x & # 61 4.

    يمكن أيضًا استخدام هذه الطريقة لإيجاد حلول غير منطقية.

    استخدم الطريقة البابلية لحل x 2 & # 43 2 x & ناقص 6 & # 61 0.

    حدث أول ظهور معروف لمعادلة تربيعية في الرياضيات المصرية في بردية برلين ، التي يرجع تاريخها إلى المملكة الوسطى في مصر (حوالي 2160 و 1700 ناقص). المشكلة هي:

    لتقسيم 100 مربع إلى مربعين بحيث يكون جانب أحد المربعات ثلاثة أرباع ضلع الآخر.

    تترجم هذه المسألة إلى تدوين حديث ، وتتطلب منا حل المعادلات الآنية

    x 2 & # 43 y 2 & # 61100 و y & # 61 x.

    قدم المصريون الحل كسلسلة من الخطوات غير المبررة التي تستخدم أساسًا الأفكار المتناسبة.

    حل الإغريق أيضًا معادلات تربيعية ، لكنهم استخدموا طرقًا رسومية / هندسية للقيام بذلك.

    قام إقليدس (الكتاب 2 ، الاقتراح 11) بحل التربيعية x 2 & # 43 ax & # 61 a 2 هندسيًا. كانت الطريقة المستخدمة في الأساس شكلاً من أشكال إكمال المربع.

    في كتب لاحقة في العناصر (مثل الاقتراح 11 في الكتاب الرابع) ، يعطي إقليدس تركيبات هندسية مكافئة لحل معادلة تربيعية عامة. لا يوجد حل جبري في إقليدس.

    في العصور القديمة ، تم وضع قواعد مختلفة للحالات الخاصة وأنواع التربيعية.

    أعطت Sridhara ما يسمى بالقاعدة الهندوسية لأول مرة في حوالي 1025. وقالت:

    اضرب كلا طرفي المعادلة في رقم يساوي أربعة أضعاف [co -effective] للمربع ، وأضف إليهما عددًا مساويًا لمربع [المشاركة الفعالة] للكمية غير المعروفة. [ثم استخراج الجذر].

    وهذا يعني أن ax 2 & # 43 bx & # 61 c اضرب في 4 a وأضف إلى b 2 احصل على 4 a 2 x 2 & # 43 4 abx & # 43 b 2 & # 61 b ​​2 & # 43 4 ac ، من أين 2 فأس & # 43 ب & # 61 + وبالتالي يمكن حل المعادلة. لاحظ أن هذا هو أساسًا اشتقاقنا للصيغة التربيعية.

    يحل الخوارزمي (القرن التاسع الميلادي) ، في أول كتاب نصي عربي عن الجبر ، تربيعات الشكل × 2 & # 43 فأس & # 61 ب بإكمال المربع.

    هو يضيف أ 2 لكلا الجانبين ويحصل على x & # 43 أ & # 61 ، والتي يمكنه استخراج x.

    ظهرت العديد من الأساليب العامة الأخرى أيضًا.

    ومن المثير للاهتمام أن أول ظهور مكتوب للطريقة باستخدام التحليل لم يحدث حتى عام 1631 ، ولم يظهر الشكل الواضح للصيغة التربيعية حتى فيتا عام 1580.

    على الرغم من ظهور أمثلة معينة من المعادلات التكعيبية في العصور القديمة ، إلا أن المعادلة التكعيبية العامة لم يتم حلها حتى القرن الخامس عشر ، كما كانت المعادلة الرباعية. محاولات إيجاد صيغة لحل المعادلات الخماسية (معادلات الدرجة 5) والدرجات الأعلى ، بنفس روح الصيغة التربيعية ، تبين في القرن التاسع عشر أنها مستحيلة. هذا يعني أنه لا توجد صيغة عامة لحل المعادلات من الدرجة 5 أو أعلى من حيث الجذور ، أي باستخدام مجموعات من الجذور التربيعية أو المكعبة أو الرابعة أو الأعلى وحدها.

    أ س = أو x = - ب س = 4 أو س = –3 ج س = –2 أو س =

    س = 2 أو س =

    س = أو x =

    س 2-5 س + 7 = +

    س = أو x =

    x = –2 أو x = –1 أو x = 3 أو x = 4

    س = –1 + أو x = –1 -

    تم تمويل مشروع تحسين تعليم الرياضيات في المدارس (TIMES) 2009-2011 من قبل وزارة التعليم والتوظيف وعلاقات مكان العمل التابعة للحكومة الأسترالية.

    الآراء المعبر عنها هنا هي آراء المؤلف ولا تمثل بالضرورة وجهات نظر وزارة التعليم والتوظيف وعلاقات مكان العمل بالحكومة الأسترالية.


    حلول معادلة من الدرجة الثانية

    يتكون حل المعادلة من جميع الأرقام (الجذور) التي اجعل المعادلة صحيحة.

    جميع المعادلات التربيعية لها حلين (أي جذران). يستطيعون:

    مثال 1

    المعادلة التربيعية x 2 وناقص 7x + 10 = 0 له جذور

    `س = 2` و` س = 5`. (سنوضح أدناه كيفية العثور على هذه الجذور.)

    يمكن ملاحظة ذلك من خلال استبدال المعادلة:

    (يمكن عرض هذا بالمثل لـ x = 5). في هذا المثال ، الجذور هي حقيقة و خامد.

    مثال 2

    المعادلة التربيعية x 2 وناقص 6 x + 9 = 0 لديها جذور مزدوجة من x = 3 (كلا الجذور متماثلان)

    يمكن ملاحظة ذلك عن طريق الاستبدال x = 3 في المعادلة:

    مثال 3

    لديها جذور خيالية من


    أوراق عمل الدالة التربيعية بالرسوم البيانية

    استخدم هذه المجموعة من أوراق العمل القابلة للطباعة لتقييم إدراك الطالب لوظائف الرسم البياني التربيعية. تشتمل صفحة الويب هذه على مجموعة متنوعة من الموضوعات مثل تحديد الأصفار من الرسم البياني ، وكتابة الوظيفة التربيعية للقطع المكافئ ، والرسم البياني للوظيفة التربيعية من خلال استكمال جدول الوظائف ، وتحديد الخصائص المختلفة للقطع المكافئ ، وعدد كبير من MCQs. هذا يشكل موردا ممتازا لطلاب المدارس الثانوية. الوصول إلى بعض أوراق العمل هذه مجانًا!

    تعليمات الطباعة - الرجاء عدم طباعة أوراق عمل وظائف الرسوم البيانية التربيعية مباشرة من المستعرض. يرجى تحميلها وطباعتها.

    تحتوي كل ورقة عمل بتنسيق pdf على تسعة مشاكل في تحديد الأصفار من الرسم البياني. اقرأ القطع المكافئ وحدد موقع تقاطعات x. تقاطعات x للقطع المكافئ هي أصفار الدالة التربيعية.

    تتطلب هذه المجموعة من أوراق العمل القابلة للطباعة أن يكتب طلاب المدارس الثانوية الدالة التربيعية باستخدام المعلومات الواردة في الرسم البياني. إذا كانت تقاطعات x معروفة من الرسم البياني ، فقم بتطبيق صيغة التقاطع للعثور على الدالة التربيعية. إذا كان الرأس ونقطة على القطع المكافئ معروفين ، فقم بتطبيق شكل الرأس.

    أكمل جدول كل دالة بتعويض قيم x في دالة تربيعية لإيجاد f (x). ارسم النقاط على الشبكة ورسم الدالة التربيعية بيانيًا. ينتج الرسم البياني منحنى يسمى القطع المكافئ الذي قد يكون على شكل حرف U أو مقلوب.

    اكتسب ميزة تنافسية على زملائك من خلال حل هذه المجموعة من أسئلة الاختيار من متعدد ، حيث يُطلب من المتعلمين تحديد الرسم البياني الصحيح الذي يمثل الوظيفة التربيعية المقدمة في شكل قمة الرأس أو شكل اعتراض.

    تم تجهيز هذا المورد بـ 15 MCQs ، وتم تصميم هذا المورد من قبل خبراء الرياضيات ليتوافق بسلاسة مع CCSS. اطلب من الطلاب تحويل النموذج القياسي لوظيفة تربيعية إلى شكل قمة أو شكل اعتراض باستخدام التحليل إلى عوامل أو إكمال طريقة التربيع ثم اختيار الرسم البياني الصحيح من الخيارات المحددة.

    تعتمد أوراق عمل pdf الخاصة بالمدرسة الثانوية هذه على تحديد الوظيفة التربيعية الصحيحة للرسم البياني المحدد. يجب على الطلاب جمع المعلومات الضرورية مثل الأصفار وتقاطع y والرأس وما إلى ذلك من الرسم البياني لتحديد الوظيفة التربيعية.

    اقرأ كل رسم بياني واكتب خصائص الدالة التربيعية. يُطلب من متعلمي الجبر العثور على المجال ، والمدى ، وتقاطعات x ، وتقاطع y ، والرأس ، والقيمة الدنيا أو القصوى ، ومحور التناظر ، والفتح لأعلى أو لأسفل. توجد أربعة رسوم بيانية في كل ورقة عمل.


    معادلات الوحدة. الوحدات

    وحدة (قيمة مطلقة) من رقم موجب أو صفر هو الرقم نفسه والوحدة النمطية للرقم السالب تسمى الرقم المعاكس ، أي

    يتضح من التعريف أن القيمة المطلقة لكل رقم منطقي يختلف عن الصفر هو رقم موجب. لذلك فإن الأرقام المعاكسة لها وحدات متساوية. سنلاحظ المعادلات التالية | ax + b | = ج

    المشكلة 1 حل المعادلة:
    أ) | x | = 5
    ب) | 3x + 4 | = 7
    ج) | 1 / 3x + 4 | = 0
    د) | 2-5x | = - 3
    هـ) - | 3x - 1 | = - 11
    و) | 3 س - 3 (س - 1) | = 3

    لحل هذه المعادلات ، سنستخدم تعريف الوحدة النمطية للرقم المنطقي.

    أ) إذا كان | x | = 5 ، ثم x = 5 أو x = - 5 ، لأن كلا من 5 و -5 لهما وحدة 5.
    بالإضافة إلى عدم وجود أرقام أخرى مع هذه الوحدة

    ب) من | 3x + 4 | = 7 نحصل على 3 س + 4 = 7 أو 3 س + 4 = -7
    من المعادلة الأولى نجد 3 س = 7-4 3 س = 3 س = 1 ،
    ومن 3x الثاني = - 7-4 3x = -11 x = -11/3

    ج) | 1 /3x + 4 | = 0 يعني ذلك
    1 /3س + 4 = 0
    1 /3س = -4 س = -12

    د) | 2-5x | = -3 ليس له حل ، لأنه من النظرية نجد أنه لا يوجد رقم له رقم سالب للوحدة.

    هـ) - | 3x - 1 | = - 11 | 3 س - 1 | = 11 ،
    التي تحصل على 3 س - 1 = 11 أو 3 س - 1 = -11
    من حل المعادلتين الأخيرتين نجد
    س = 4 أو س = -10/3

    و) | 3 س - 3 س + 3 | = 3 | 3 | = 3 ، وهي الهوية.
    لذلك كل س هو الحل

    المشكلة 2 حل المعادلة:
    أ) 3 | 5x | + 4 | 5x | = 35
    ب) | 2x | / 3 + 3 | 2x | / 2 = 1/2
    ج) 3.7 | س | - 2.2 | x | = 22.5
    د) | (س + 1) / 3 | = 5

    أ) 3 | 5x | + 4 | 5x | = 35
    (3 + 4) | 5x | = 35
    7 | 5x | = 35
    | 5x | = 35/7 | 5x | = 5
    من المعادلة الأخيرة نحصل على 5x = 5 أو 5x = - 5.
    ونوجد x = 1 أو x = -1

    ب) | 2x | / 3 + 3 | 2x | / 2 = 1/2
    2 | 2x | + 9 | 2x | = 3
    11 | 2x | = 3 يساوي | 2x | = 3/11
    لذلك 2x = 3/11 أو 2x = - 3/11 ،
    من حيث x = 3/22 أو x = - 3/22

    ج) 3.7 | س | - 2،2 | x | = 22.5
    (3.7 - 2،2) | x | = 22.5
    1.5 | س | = 22.5
    | x | = 22.5 / 1.5 | س | = 15 ،
    من حيث x = 15 أو x = - 15

    د) | (س + 1) / 3 | = 5 نحصل على (x + 1) / 3 = 5 أو (x + 1) / 3 = -5.
    إذن ، x + 1 = 15 x = 14 أو x + 1 = -15 x = -16

    مشكلة 3 دليل على أن المعادلة ليس لها حل:
    أ) - | (2x + 3) / 14 | = 5
    ب) | 8x - 4 (2x + 3) | = 15

    أ) - | (2x + 3) / 14 | = 5 | (2x + 3) / 14 | = -5
    التي ليس لها حل لأنه لا يوجد رقم مع رقم سالب للوحدة.

    ب) | 8x - 4 (2x + 3) | = 15 | 8 س - 8 س - 12 | = 15
    | -12 | = 15 12 = 15 ، مما يدل على استحالة حدوث أي قيمة س

    المشكلة 4 حل المعادلة:
    أ) 2 | س - 1 | + 3 = 9 - | س - 1 |
    ب) 3 | س | - (س + 1) 2 = 4 | س | - (× 2 -1) - 2 (× - 5)
    ج) | -3 - 5x | = 3
    د) 2 | س - 1 | = 9 - | س - 1 |
    هـ) | x | - (3 - x) / 4 = (2x - 1) / 8

    أ) 2 | س - 1 | + | س -1 | = 9 - 3 (2 + 1) | س -1 | = 6
    3 | س - 1 | = 6 | س - 1 | = 2
    لذلك س - 1 = 2 أو س - 1 = - 2 ،
    من حيث x = 3 أو x = - 1

    ب) 3 | س | - (س + 1) 2 = 4 | س | - (× 2-1) - 2 (× - 5)
    س 2 - 1 + 2 (س - 5) - (س + 1) 2 = 4 | س | - 3 | x |
    س 2 - 1 + 2 س - 10 - (س 2 + 2 س + 1) = (4 - 3) | س |
    س 2 + 2 س - 11 - س 2 - 2 س - 1 = | س |
    -12 = | س | ، الذي ليس له حل

    ج) من | -3 - 5x | = 3 نحصل على -3 - 5 س = 3 أو -3 - 5 س = - 3.
    إذن -3 - 3 = 5x x = - 6/5 أو -3 + 3 = 5x
    0 = 5 س س = 0

    د) 2 | س - 1 | = 9 - | س - 1 |
    2 | س - 1 | + | س - 1 | = 9
    (2 + 1) | س - 1 | = 9 3 | س - 1 | = 9
    | س - 1 | = 3 نحصل على x - 1 = 3 أو x - 1 = -3 ،
    أي x = 4 أو x = - 2

    هـ) | x | = (2x - 1) / 8 + (3 - x) / 4
    | x | = [2x - 1 +2 (3 - x)] / 8
    | x | = 5/8 ، من حيث x = 5/8 أو x = -5/8

    المشكلة 5 حل المعادلة:
    أ) | 4 - | x || = 2
    ب) | 9 + | س || = 5

    أ) | 4 - | x || = 2 نحصل على 4 - | x | = 2 أو 4 - | x | = -2
    نجد 4-2 = | x |
    | x | = 2 أو 4 + 2 = | س | | x | = 6
    إذن الحلول هي x = 2 ، -2 6 ، -6

    ب) | 9 + | س || = 5 نحصل على 9 + | x | = 5 أو 9 + | س | = - 5
    نجد | x | = -4 أو | x | = -13 ، ولكن لا يوجد حل للمعادلتين الأخيرتين.

    المشكلة 6 حل المعادلة:
    | (2x + 1) 2 - 4x 2 - 2 | - 3 | 4x - 1 | = - 6

    | (2x + 1) 2 - 4x 2 - 2 | - 3 | 4x -1 | = - 6
    | 4x 2 + 4x + 1 - 4x 2 - 2 | - 3 | 4x - 1 | = - 6
    | 4x - 1 | - 3 | 4x - 1 | = - 6 -2 | 4x - 1 | = - 6
    | 4x - 1 | = 3 4x - 1 = 3 أو 4x - 1 = -3
    لذلك س = 1 أو س = -1/2

    المشكلة 7 حل المعادلة:
    أ) | 2x - (3x + 2) | = 1
    ب) | س | / 3-2 | س | / 2 = - 1
    ج) | 3x - 1 | = 2 | 3x - 1 | - 2

    أ) | 2x - 3x - 2 | = 1 | -x - 2 | = 1
    -x - 2 = 1 أو –x - 2 = -1
    من المعادلة الأولى نحصل على -2 - 1 = س س = -3 ،
    ومن الثانية -2 + 1 = س س = -1

    ب) | س | / 3 - 2 | س | / 2 = -1 نختزل إلى قاسم مشترك ونحصل على
    2 | س | - 3.2. | x | = - 6
    2 | س | - 6 | x | = - 6
    - 4 | x | = -6 | س | = 3/2
    س = 3/2 أو س = - 3/2

    ج) | 3x - 1 | = 2 | 3x - 1 | - 2
    2 = 2 | 3 س - 1 | - | 3x - 1 |
    2 = | 3 س - 1 |
    3 س - 1 = 2 أو 3 س - 1 = - 2 ،
    من حيث 3 س = 3 س = 1 أو 3 س = - 1 س = - 1/3


    شاهد الفيديو: استنتاج القانون العام للمعادلة التربيعية Quadratic Formula Substitution (شهر نوفمبر 2021).