مقالات

6.4: القروض


في القسم الأخير ، تعرفت على الأقساط السنوية للدفع.

في هذا القسم ، ستتعرف على القروض التقليدية (تسمى أيضًا القروض المطفأة أو قروض التقسيط). تشمل الأمثلة قروض السيارات والرهون العقارية. لا تنطبق هذه الأساليب على قروض يوم الدفع أو القروض الإضافية أو أنواع القروض الأخرى حيث يتم احتساب الفائدة مقدمًا.

أحد الأشياء الرائعة في القروض هو أنها تستخدم نفس المعادلة تمامًا مثل الأقساط السنوية للدفع. لمعرفة السبب ، تخيل أنك استثمرت 10000 دولار في أحد البنوك ، وبدأت في تحصيل المدفوعات أثناء جني الفوائد كجزء من دفع الأقساط السنوية ، وبعد 5 سنوات أصبح رصيدك صفراً. اقلب ذلك ، وتخيل أنك تتصرف بصفتك البنك ، وأن مقرض السيارات يتصرف مثلك. مقرض السيارة يستثمر فيك 10000 دولار. نظرًا لأنك تعمل كمصرف ، فأنت تدفع فائدة. يأخذ مقرض السيارة المدفوعات حتى يصبح الرصيد صفراً.

صيغة القروض

(P = frac {PMT left (1- left (1+ frac {r} {k} right) ^ {- tk} right)} { left ( frac {r} {k} حق)})

(P ) هو الرصيد في الحساب في البداية (رأس المال أو مبلغ القرض).

(PMT ) هي دفعة القرض (دفعتك الشهرية ، الدفعة السنوية ، إلخ)

(r ) هو معدل الفائدة السنوي بشكل عشري.

(k ) هو عدد الفترات المركبة في سنة واحدة.

(t ) هي مدة القرض بالسنوات

كما هو الحال من قبل ، لا يتم دائمًا تقديم التردد المركب بشكل صريح ، ولكن يتم تحديده من خلال عدد المرات التي تقوم فيها بالدفع.

متى تستخدم هذا

تفترض صيغة القرض أنك تسدد دفعات القرض وفقًا لجدول منتظم (كل شهر ، سنة ، ربع سنة ، إلخ.) ويدفعون فائدة على القرض.

الفائدة المركبة: واحد الوديعة

دخل سنوي: كثير الودائع.

راتب سنوي: العديد من عمليات السحب

القروض: العديد من المدفوعات

مثال 1

يمكنك تحمل 200 دولار شهريًا كدفعة للسيارة. إذا كان بإمكانك الحصول على قرض سيارة بفائدة 3٪ لمدة 60 شهرًا (5 سنوات) ، فما هي تكلفة السيارة التي يمكنك تحملها؟ بمعنى آخر ، ما هو مبلغ القرض الذي يمكنك سداده بمبلغ 200 دولار شهريًا؟

المحلول

في هذا المثال،

( begin {array} {ll} PMT = $ 200 & text {دفع القرض الشهري} r = 0.03 & 3 ٪ text {Annual rate} k = 12 & text {بما أننا نقوم بدفعات شهرية ، سنقوم بتجميعها شهريًا} t = 5 & text {نظرًا لأننا نجري دفعات شهرية لمدة 5 سنوات} end {array} )

نحن نبحث عن (P ) ، مبلغ البداية للقرض.

[ begin {align *} P & = frac {200 left (1- left (1+ frac {0.03} {12} right) ^ {- 5 (2)} right)} { left ( frac {0.03} {12} right)} P & = frac {200 left (1- (1.0025) ^ {- 60} right)} {(0.0025)} P & = فارك {200 (1-0.861)} {(0.0025)} = $ 11،120 end {align *} ]

يمكنك تحمل قرض ($ 11،120 ).

ستدفع ما مجموعه 12000 دولار (200 دولار شهريًا لمدة 60 شهرًا) لشركة القرض. الفرق بين المبلغ الذي تدفعه ومبلغ القرض هو الفائدة المدفوعة. في هذه الحالة ، ستدفع إجمالي الفائدة ( 12000 - 11،120 = $ 880 ) إجمالي الفائدة.

مثال 2

تريد الحصول على قرض عقاري بقيمة 140 ألف دولار (قرض سكني). معدل الفائدة على القرض 6٪ ، والقرض لمدة 30 سنة. كم ستكون دفعاتك الشهرية؟

المحلول

في هذا المثال،

نحن نبحث عن (PMT ).

( begin {array} {ll} r = 0.06 & 6 ٪ text {Annual rate} k = 12 & text {بما أننا نقوم بدفعات شهرية ، فسنقوم بالتجميع شهريًا} t = 30 & text {بما أننا نسدد دفعات شهرية لمدة 30 عامًا} P = $ 140،000 & text {the بدئ مبلغ القرض} end {array} )

في هذه الحالة ، سيتعين علينا إعداد المعادلة وحلها من أجل (PMT ).

[ begin {align *} 140،000 & = frac {PMT left (1- left (1+ frac {0.06} {12} right) ^ {- 30 (12)} right)} { يسار ( frac {0.06} {12} right)} 140.000 & = frac {PMT left (1- (1.005) ^ {- 360} right)} {(0.005)} 140.000 & = PMT (166.792) PMT & = frac {140،000} {166.792} = $ 839.37 end {align *} ]

ستدفع 839.37 دولارًا شهريًا لمدة 30 عامًا.

أنت تدفع ما مجموعه ( 302،173.20 ) لشركة القرض: ( 839.37 دولارًا ) شهريًا لمدة 360 شهرًا. أنت تدفع ما مجموعه ( 302،173.20 ) ( 140،000 دولار = 162،173.20 ) فائدة على مدار فترة القرض.

لمعرفة ما يحدث لرصيد القرض بمرور الوقت ، يمكننا إنشاء ملف الجدول الزمني للاستهلاك، وهو جدول بيانات يعرض تفاصيل المردود. لإنشاء نموذج للمثال السابق ، قمنا بحساب رسوم الفائدة كل شهر على أنها 3٪ / 12 = 0.25٪ فائدة على رصيد القرض المتبقي. يذهب الدفع بعد رسوم الفائدة إلى رأس المال ويقلل من رصيد القرض المتبقي. تظهر الأشهر العديدة الأولى هنا:

شهر

قسط

تهمة الفائدة

جزء من الرئيسي

رصيد القرض المتبقي

0

--

--

--

$140,000.00

1

$839.37

$350.00

$489.37

139,510.63

2

839.37

348.78

490.59

139,020.04

3

839.37

347.55

491.82

138,528.22

4

839.37

346.32

493.05

138,035.17

لاحظ أن رسوم الفائدة تنخفض كل شهر مع انخفاض رصيد القرض.

التمرين 1

اشترت جانين ثلاثة آلاف دولار من الأثاث الجديد عن طريق الائتمان. نظرًا لأن درجتها الائتمانية ليست جيدة جدًا ، فإن المتجر يفرض عليها سعر فائدة مرتفعًا إلى حد ما على القرض: 16٪. إذا وافقت على سداد قيمة الأثاث على مدار عامين ، فما المبلغ الذي ستدفعه شهريًا؟

إجابه

( begin {array} {ll} PMT = text {unknown} & r = 0.16 & 16 ٪ text {Annual rate} k = 12 & text {بما أننا نقوم بدفعات شهرية ، سنركب شهريًا} t = 2 & text {2 year to repay} P = 3،000 & text {مبلغ القرض المبدئي $ 3،000 قرض} end {array} )

(3،000 = frac {PMT left (1- left (1+ frac {0.16} {12} right) ^ {- 2 cdot 12} right)} { frac {0.16} {12} } )

يعطي حل (PMT ) ( $ 146.89 ) دفعات شهرية.

في المجموع ، ستدفع ( 3525.36 دولارًا ) إلى المتجر ، مما يعني أنها ستدفع ( 525.36 دولارًا ) فائدة على مدار العامين.

مثال ( PageIndex {3} )

انظر إلى الرهن العقاري البالغ 140 ألف دولار بنسبة 6٪ من المثال السابق. إذا زاد صاحب المنزل مدفوعاته إلى 1000 دولار شهريًا ، فكم من الوقت سيستغرق الأمر لسداد القرض؟

المحلول

( begin {array} {ll} r = 0.06 & 6 ٪ text {Annual rate} k = 12 & text {بما أننا ندفع شهريًا} P = $ 140،000 & text {البداية مبلغ القرض} PMT = $ 1000 & text {مبلغ الدفع المعطى} end {array} )

نحن بصدد إيجاد (t ) ، مقدار الوقت المستغرق للسداد.

[ begin {align *} 140،000 & = frac {1000 left (1 - left (1 + frac {0.06} {12} right) ^ {- 12t} right)} { left ( frac {0.06} {12} right)} 140.000 & = frac {1000 left (1 - left (1.005 right) ^ {- 12t} right)} { left (0.005 right)} النهاية {محاذاة *} ]

اضرب كلا الطرفين في 0.005

[700 = 1000 left (1 - left (1.005 right) ^ {-12t} right) nonumber ]

اقسم كلا الجانبين على 1000

[0.7 = 1 - left (1.005 right) ^ {- 12t} nonumber ]

اطرح 1 من كلا الطرفين

[- 0.3 = - left (1.005 right) ^ {- 12t} nonumber ]

اضرب ب -1

[0.3 = left (1.005 right) ^ {- 12t} nonumber ]

خذ السجل من كلا الجانبين

[ log left (0.3 right) = log left ( left (1.005 right) ^ {- 12t} right) nonumber ]

استخدم خاصية الأس السجلات

[ log left (0.3 right) = - 12t log left (1.005 right) nonumber ]

قسّم على (- 12 تسجيل (1.005) )

[t = frac { log left (0.3 right)} {- 12 log left (1.005 right)} حوالي 20.12 nonumber ]

سيتم سداد القرض في غضون 20 عامًا تقريبًا.

من خلال زيادة السداد بنحو 20٪ ، تمكنوا من تقليص مدة القرض بنحو 33٪ ، وتقليل الفائدة المدفوعة بأكثر من 60 ألف دولار.

تمرين ( PageIndex {2} )

يفكر جويل في شراء جهاز كمبيوتر محمول بقيمة 1000 دولار أمريكي على بطاقته الائتمانية ، والتي يبلغ معدل الفائدة عليها 12٪ شهريًا. كم من الوقت سيستغرقه لسداد عملية الشراء إذا قام بدفع 30 دولارًا شهريًا؟

إجابه

( begin {array} {ll} PMT = $ 30 & text {الدفعات الشهرية} r = 0.12 & 12 ٪ text {Annual rate} k = 12 & text {بما أننا نجريها شهريًا payments} P = 1،000 & text {بدأنا بـ $ 1،000 قرض} end {array} )

نحن بصدد إيجاد الوقت المناسب لسداد القرض

[1،000 = frac {30 left (1 - left (1 + frac {0.12} {12} right) ^ {- 12t} right)} { frac {0.12} {12}} nonumber ]

حل (t ) يعطي 3.396. سوف يستغرق سداد الشراء حوالي 3.4 سنوات.

رصيد القرض المتبقي

بالنسبة للقروض ، غالبًا ما يكون من المرغوب فيه تحديد رصيد القرض المتبقي بعد عدد من السنوات. على سبيل المثال ، إذا اشتريت منزلًا وخططت لبيعه في غضون خمس سنوات ، فقد ترغب في معرفة مقدار رصيد القرض الذي ستدفعه والمبلغ الذي يتعين عليك دفعه من البيع.

لتحديد رصيد القرض المتبقي بعد عدد من السنوات ، نحتاج أولاً إلى معرفة مدفوعات القرض ، إذا لم نكن نعرفها بالفعل. تذكر أن جزءًا فقط من مدفوعات القرض الخاص بك يذهب نحو رصيد القرض ؛ جزء يذهب نحو الفائدة. على سبيل المثال ، إذا كانت مدفوعاتك 1000 دولار شهريًا ، فستفعل ذلك بعد عام ليس سددوا 12000 دولار من رصيد القرض.

لتحديد رصيد القرض المتبقي ، يمكننا التفكير في "ما مقدار القرض الذي ستتمكن مدفوعات القرض هذه من سداده في الوقت المتبقي على القرض؟"

مثال 4

إذا كان الرهن العقاري بمعدل فائدة 6٪ يحتوي على دفعات 1000 دولار شهريًا ، فكم سيكون رصيد القرض 10 سنوات من نهاية القرض؟

المحلول

لتحديد ذلك ، نبحث عن مبلغ القرض الذي يمكن سداده بمقدار 1000 دولار شهريًا في دفعات 10 سنوات. بمعنى آخر ، نحن نبحث عن (P ) متى

( begin {array} {ll} PMT = $ 1،000 & text {دفع القرض الشهري} r = 0.06 & 6 ٪ text {Annual rate} k = 12 & text {بما أننا ' إعادة سداد دفعات شهرية ، سنقوم بتجميعها شهريًا} t = 10 & text {نظرًا لأننا نجعل دفعات شهرية لمدة 10 سنوات أخرى} end {array} )

[ begin {align *} P = frac {1000 left (1- left (1+ frac {0.06} {12} right) ^ {- 10 (2)} right)} { left ( frac {0.06} {12} right)} P = frac {1000 left (1- (1.005) ^ {- 120} right)} {(0.005)} P = frac { 1000 يسار (1- (1.005) ^ {- 120} right)} {(0.005)} P = frac {1000 (1-0.5496)} {(0.005)} = $ 90،073.45 end {align *} ]

سيكون رصيد القرض المتبقي على القرض 10 سنوات هو ( 90،073.45 دولارًا )

غالبًا ما تتطلب الإجابة عن أسئلة الرصيد المتبقي خطوتين:

  1. احتساب الأقساط الشهرية على القرض
  2. احتساب رصيد القرض المتبقي على أساس الوقت المتبقي على القرض

مثال 5

قام زوجان بشراء منزل برهن ( 180،000 دولار ) بسعر (4 ٪ ) لمدة 30 عامًا بدفعات شهرية. يكون رهنهم العقاري بعد 5 سنوات؟

المحلول

أولاً سنقوم بحساب مدفوعاتهم الشهرية.

نحن نبحث عن (PMT ).

( start {array} {ll} r = 0.04 & 4 ٪ text {Annual rate} k = 12 & text {بما أنهم يدفعون شهريًا} t = 30 & text {30 عامًا} P = $ 180،000 & text {مبلغ القرض المبدئي} end {array} )

قمنا بإعداد المعادلة وحلها من أجل (PMT ).

[ begin {align *} 180،000 & = frac {PMT left (1- left (1+ frac {0.04} {12} right) ^ {- 30 (12)} right)} { يسار ( frac {0.04} {12} right)} 180.000 & = frac {PMT left (1- (1.00333) ^ {- 360} right)} {(0.00333)} 180.000 & = PMT (209.562) PMT & = frac {180،000} {209.562} = $ 858.93 end {align *} ]

الآن بعد أن عرفنا الدفعات الشهرية ، يمكننا تحديد الرصيد المتبقي. نريد الرصيد المتبقي بعد 5 سنوات ، حيث سيتبقى 25 عامًا على القرض ، لذلك نقوم بحساب رصيد القرض الذي سيتم سداده بالدفعات الشهرية على مدى تلك السنوات الـ 25.

( begin {array} {ll} PMT = $ 858.93 & text {دفعة القرض الشهرية التي حسبناها أعلاه} r = 0.04 & 4 ٪ text {Annual rate} k = 12 & text { نظرًا لأنهم يدفعون شهريًا} t = 25 & text {لأنهم سيدفعون دفعات شهرية لمدة 25 عامًا أخرى} end {array} )

[ begin {align *} P & = frac {858.93 left (1- left (1+ frac {0.04} {12} right) ^ {- 25 (12)} right)} { يسار ( frac {0.04} {12} right)} P & = frac {858.93 left (1- (1.00333) ^ {- 300} right)} {(0.00333)} P & = frac {858.93 (1-0.369)} {(0.00333)} almost $ 162،758 end {align *} ]

سيكون رصيد القرض بعد 5 سنوات ، مع بقاء 25 سنة على القرض ، ( 162،758 دولارًا )

على مدار هذه السنوات الخمس ، سدد الزوجان (180.000 دولار أمريكي - 162.758 دولار أمريكي = 17.242 دولار ) من رصيد القرض. لقد دفعوا ما مجموعه ($ 858.93 ) شهريًا لمدة 5 سنوات (60 شهرًا) ، بإجمالي ( $ 51،535.80 ) ، لذلك ( $ 51،535.80 - $ 17،242 = $ 34،292.80 ) مما دفعوه حتى الآن كان فائدة.

موضوعات مهمة في هذا القسم

أوجد مبلغ القرض في ضوء المدفوعات

ابحث عن المدفوعات المطلوبة في ضوء مبلغ القرض

أوجد الرصيد المتبقي للقرض


شاهد الفيديو: بالتفاصيل. شريف دلاور يشرح كيف يصل الاقتصاد المصري إلى تريليون دولار في 2030 (شهر نوفمبر 2021).