مقالات

تمارين للقسم 12.5 - الرياضيات


إيجاد مكونات التسريع وقوانين كبلر

1) ابحث عن المكونات العرضية والعادية للتسريع لـ ( vecs r (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf {i}} + 2t ، hat { mathbf {j}} ) عندما (ر = 1 ).

إجابه:
(a_ vecs {T} = sqrt {2}، quad a_ vecs {N} = sqrt {2} )

في الأسئلة من 2 إلى 8 ، أوجد العنصرين المماسي والطبيعي للتسارع.

2) ( vecs r (t) = ⟨ cos (2t)، sin (2t)، 1⟩ )

3) ( vecs r (t) = ⟨e ^ t cos t، e ^ t sin t، e ^ t⟩ ). يظهر الرسم البياني هنا:

إجابه:
(a_ vecs {T} = sqrt {3} e ^ t، quad a_ vecs {N} = sqrt {2} e ^ t )

4) ( vecs r (t) = ⟨ frac {2} {3} (1 + t) ^ {3/2} ، frac {2} {3} (1-t) ^ {3/2 } ، sqrt {2} t⟩ )

5) ( vecs r (t) = ⟨2t، t ^ 2، frac {t ^ 3} {3}⟩ )

إجابه:
(a_ vecs {T} = 2t ، quad a_ vecs {N} = 2 )

6) ( vecs r (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf {i}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} + t ^ 3 ، hat { mathbf {k}} )

7) ( vecs r (t) = ⟨6t، 3t ^ 2،2t ^ 3⟩ )

إجابه:
(a_ vecs {T} = frac {6t + 12t ^ 3} { sqrt {1 + t ^ 2 + t ^ 4}} ، quad a_ vecs {N} = 6 sqrt { frac { 1 + 4t ^ 2 + t ^ 4} {1 + t ^ 2 + t ^ 4}} )

8) ( vecs r (t) = 3 cos (2πt) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (2πt) ، hat { mathbf {j}} )

إجابه:
(a_ vecs {T} = 0، quad a_ vecs {N} = 12 pi ^ 2 )

9) أوجد المكوّنات العرضية والطبيعية للتسارع من أجل ( vecs r (t) = a cos (ωt) ، hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) ، hat { mathbf {j}} ) في (t = 0 ).

إجابه:
(a_ vecs {T} = 0 ، quad a_ vecs {N} = aω ^ 2 )

10) افترض أن وظيفة الموضع لكائن في ثلاثة أبعاد يتم تقديمها من خلال المعادلة ( vecs r (t) = t cos (t) ، hat { mathbf {i}} + t sin (t ) ، hat { mathbf {j}} + 3t ، hat { mathbf {k}} ).

أ. أظهر أن الجسيم يتحرك على مخروط دائري.

ب. أوجد الزاوية بين متجهي السرعة والتسارع عند (t = 1.5 ).

ج. أوجد المكونين المماسي والطبيعي للتسارع عند (t = 1.5 ).

إجابه:
ج. (a_ vecs {T} = 0.43 ، text {m / sec} ^ 2، quad a_ vecs {N} = 2.46 ، text {m / sec} ^ 2 )

11) تُعطى القوة المؤثرة على الجسيمات بواسطة ( vecs f (t) = (cost) ، hat { mathbf {i}} + (sint) ، hat { mathbf {j}} ) . يقع الجسيم عند النقطة ((ج ، 0) ) عند (t = 0 ). يتم الحصول على السرعة الابتدائية للجسيم من خلال ( vecs v (0) = v_0 ، hat { mathbf {j}} ). أوجد مسار جسيم الكتلة (م ). (أذكر ، ( vecs F = m vecs a ).)

إجابه:
( vecs r (t) = left ( frac {-1} {m} cos t + c + frac {1} {m} right) ، hat { mathbf {i}} + يسار ( frac {- sin t} {m} + left (v_0 + frac {1} {m} right) t right) ، hat { mathbf {j}} )

12) سيارة تزن 2700 رطل تقوم بالدوران على طريق مسطح أثناء السير بسرعة 56 قدم / ثانية. إذا كان نصف قطر الدوران 70 قدمًا ، فما هي قوة الاحتكاك المطلوبة لمنع السيارة من الانزلاق؟

13) باستخدام قوانين كبلر ، يمكن إثبات أن (v_0 = sqrt { frac {2GM} {r_0}} ) هي الحد الأدنى للسرعة المطلوبة عندما ( theta = 0 ) بحيث يهرب كائن من سحب قوة مركزية ناتجة عن الكتلة (M ). استخدم هذه النتيجة لإيجاد الحد الأدنى للسرعة عند ( theta = 0 ) لكبسولة فضائية للهروب من جاذبية الأرض إذا كان المسبار على ارتفاع 300 كم فوق سطح الأرض.

إجابه:
10.94 كم / ثانية

14) أوجد الوقت الذي يستغرقه الكوكب القزم بلوتو بالسنوات ليصنع مدارًا واحدًا حول الشمس إذا كان a = 39.5 A.U.


تمارين للقسم 12.5 - الرياضيات

أنظمة التنسيق هي أدوات تتيح لنا استخدام الأساليب الجبرية لفهم الهندسة. بينما ال مستطيلي (وتسمى أيضا ديكارتي) الإحداثيات التي كنا نناقشها هي الأكثر شيوعًا ، وبعض المشاكل أسهل في التحليل في أنظمة إحداثيات بديلة.

نظام الإحداثيات هو مخطط يسمح لنا بتحديد أي نقطة في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد من خلال مجموعة من الأرقام. في الإحداثيات المستطيلة ، يتم تفسير هذه الأرقام ، تقريبًا ، على أنها أطوال جوانب "مربع" مستطيل.

في بعدين قد تكون على دراية بالفعل ببديل يسمى الإحداثيات القطبية. في هذا النظام ، يتم تحديد كل نقطة في المستوى بزوج من الأرقام $ (r، theta) $. الرقم $ theta $ يقيس الزاوية بين المحور الموجب $ x $ والمتجه مع الذيل في الأصل والرأس عند النقطة ، كما هو موضح في الشكل 12.6.1 ، الرقم $ r $ يقيس المسافة من الأصل إلى النقطة. قد يكون أي من هذين الأمرين سالبًا ، ويشير $ theta $ السالب إلى أن الزاوية تقاس في اتجاه عقارب الساعة من المحور الموجب $ x $ بدلاً من عكس اتجاه عقارب الساعة ، ويشير السالب $ r $ إلى النقطة على مسافة $ | r | $ في عكس الاتجاه الذي قدمه $ theta $. يوضح الشكل 12.6.1 أيضًا النقطة ذات الإحداثيات المستطيلة $ ds (1، sqrt3) $ والإحداثيات القطبية $ (2، pi / 3) $ ، وحدتان من الأصل و $ pi / 3 $ راديان من محور موجب $ x $.

يمكننا تمديد الإحداثيات القطبية إلى ثلاثة أبعاد ببساطة عن طريق إضافة إحداثي $ z $ وهو ما يسمى إحداثيات أسطوانية . يتم تمثيل كل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بثلاثة إحداثيات $ (r، theta، z) $ بالطريقة الواضحة: هذه النقطة $ z $ وحدة أعلى أو أسفل النقطة $ (r، theta) $ في $ x $ - $ y $ plane ، كما هو موضح في الشكل 12.6.2. النقطة ذات الإحداثيات المستطيلة $ ds (1، sqrt3، 3) $ والإحداثيات الأسطوانية $ (2، pi / 3،3) $ موضحة أيضًا في الشكل 12.6.2.

سيتم تمثيل بعض الأشكال ذات المعادلات المعقدة نسبيًا في إحداثيات مستطيلة بمعادلات أبسط في إحداثيات أسطوانية. على سبيل المثال ، تحتوي الأسطوانة في الشكل 12.6.3 على المعادلة $ ds x ^ 2 + y ^ 2 = 4 $ في إحداثيات مستطيلة ، لكن المعادلة $ r = 2 $ في إحداثيات أسطوانية.

بالنظر إلى النقطة $ (r، theta) $ في الإحداثيات القطبية ، فمن السهل أن نرى (كما في الشكل 12.6.1) أن الإحداثيات المستطيلة لنفس النقطة هي $ (r cos theta، r sin theta ) $ ، وبالتالي فإن النقطة $ (r، theta، z) $ في الإحداثيات الأسطوانية هي $ (r cos theta، r sin theta، z) $ في إحداثيات مستطيلة. هذا يعني أنه من السهل عادةً تحويل أي معادلة من إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات أسطوانية: ببساطة استبدل $ eqalign $ واترك $ z $ بمفرده. على سبيل المثال ، بدءًا من $ ds x ^ 2 + y ^ 2 = 4 $ واستبدال $ x = r cos theta $ ، يعطي $ y = r sin theta $ $ eqalign $ بالطبع ، من السهل أن ترى بشكل مباشر أن هذا يحدد الأسطوانة كما هو مذكور أعلاه.

الإحداثيات الأسطوانية هي امتداد واضح للإحداثيات القطبية إلى ثلاثة أبعاد ، لكن استخدام الإحداثيات $ z $ يعني أنها ليست مماثلة للإحداثيات القطبية مثل نظام إحداثيات قياسي آخر. في الإحداثيات القطبية ، نحدد نقطة من خلال الاتجاه والمسافة من الأصل في ثلاثة أبعاد يمكننا أن نفعل الشيء نفسه ، بعدة طرق. السؤال هو: كيف نمثل الاتجاه؟ إحدى الطرق هي إعطاء زاوية الدوران ، $ theta $ ، من المحور الموجب $ x $ ، تمامًا كما هو الحال في الإحداثيات الأسطوانية ، وكذلك زاوية الدوران ، $ phi $ ، من المحور الموجب $ z $. تقريبًا ، $ theta $ يشبه خط الطول و $ phi $ مثل خط العرض. (يقاس خط طول الأرض كزاوية موجبة أو سالبة من خط الزوال الرئيسي ، ويكون دائمًا بين 0 و 180 درجة ، الشرق أو الغرب يمكن أن يكون $ theta $ أي زاوية موجبة أو سالبة ، ونستخدم الراديان إلا في الظروف غير الرسمية. الأرض يقاس خط العرض شمالًا أو جنوبًا من خط الاستواء $ phi $ يقاس من القطب الشمالي لأسفل.) يسمى هذا النظام إحداثيات كروية يتم سرد الإحداثيات بالترتيب $ ( rho، theta، phi) $ ، حيث $ rho $ هي المسافة من الأصل ، ومثل $ r $ في الإحداثيات الأسطوانية ، قد تكون سالبة. يتم تصوير الحالة العامة ومثال في الشكل 12.6.4 والطول الذي تم تحديده $ r $ هو $ r $ للإحداثيات الأسطوانية.

كما هو الحال مع الإحداثيات الأسطوانية ، يمكننا بسهولة تحويل المعادلات في إحداثيات مستطيلة إلى ما يعادلها في الإحداثيات الكروية ، على الرغم من صعوبة اكتشاف البدائل المناسبة. يوضح الشكل 12.6.5 النقطة النموذجية في الإحداثيات الكروية من الشكل 12.6.4 ، والتي يتم عرضها الآن بحيث يظهر السهم الذي تم وضع علامة عليه $ r $ في الرسم البياني الأصلي على أنه "المحور" الأفقي في الرسم البياني الأيسر. من السهل ملاحظة أن إحداثي $ z $ هو $ rho cos phi $ ، وأن $ r = rho sin phi $ ، كما هو موضح. وبالتالي ، عند التحويل من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات الكروية ، سنحل محل $ z $ بواسطة $ rho cos phi $. لمشاهدة الاستبدالات لـ $ x $ و $ y $ ، نرى الآن نفس النقطة من أعلى ، كما هو موضح في الرسم البياني الأيمن. وتر المثلث في الرسم البياني الأيمن هو $ r = rho sin phi $ ، لذا فإن جوانب المثلث ، كما هو موضح ، هي $ x = r cos theta = rho sin phi cos theta $ and $ y = r sin theta = rho sin phi sin theta $. فالنتيجة هي أنه للتحويل من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات الكروية ، نجري هذه الاستبدالات: $ eqalign $

مثال 12.6.1 نظرًا لأن الأسطوانة تحتوي على معادلة بسيطة في إحداثيات أسطوانية ، فإن الكرة في الإحداثيات الكروية: $ rho = 2 $ هي كرة نصف القطر 2. إذا بدأنا بالمعادلة الديكارتية للكرة واستبدلناها ، احصل على المعادلة الكروية: $ eqalign $

مثال 12.6.2 أوجد معادلة للأسطوانة $ ds x ^ 2 + y ^ 2 = 4 $ في الإحداثيات الكروية.


المنهج

الفصل 7

الفصل 10

القسم 10.1 المعادلات البارامترية: لم ير الطلاب عادة المعادلات البارامترية قبل هذا الفصل. يستفيد الطلاب من الأمثلة البسيطة التي تُظهر حذف المعلمة.

القسم 10.2 حساب التفاضل والتكامل مع المنحنيات البارامترية: هذا عرض قياسي. عند أخذ مشتقات المنحنيات البارامترية ، يجب على الطلاب عدم الخلط بين dx / dt و dy / dt و dy / dx. يرجى العلم أن التكاملات في هذا القسم يمكن أن تكون صعبة. يمكن أن يصبح طول القوس ومساحة سطح تكاملات الثورة بسهولة كوابيس غير أولية. إن مطالبة الطلاب بإعداد التكاملات هو حل شائع لهذه المشكلة.

القسم 10.3 الإحداثيات القطبية: هذا القسم هو إعادة مقدمة مفيدة للإحداثيات القطبية. هذا ليس اختياريا. لن يرى الطلاب الإحداثيات القطبية منذ فترة. علاوة على ذلك ، يحصل معظم الطلاب على معاملة سطحية للغاية في الدورات الدنيا. يستفيدون من تجاوز هذا القسم. يتم عرض منحنيات الظل إلى المنحنيات القطبية في هذا القسم. يجب أن يشرح المعلم هذا الموضوع بعناية لأنه يربك العديد من الطلاب. اعلم أن العديد من الطلاب سيواجهون مشكلة في حل المعادلات المثلثية.

القسم 10.4 المناطق والأطوال في الإحداثيات القطبية: يواجه الطلاب صعوبة في هذا القسم لأنهم لا يستطيعون تحديد المناطق المطلوبة. تعد حدود التكامل ، التي يتم الحصول عليها بشكل متكرر عن طريق حل المعادلات المثلثية ، نقطة مشكلة دائمة.

القسم 10.5 المقاطع المخروطية: هذا موضوع شائع والعرض التقديمي غير ملحوظ. تعتبر الخصائص الانعكاسية للمخروطات ، والتي تم ذكرها فقط في التمارين ، مثيرة للاهتمام وتوفر مثالًا للمخروطيات المستخدمة في إعدادات العالم الحقيقي.

الفصل 11

القسم 11.1 التسلسلات: يواجه الطلاب صعوبة في تحديد التسلسل كوظيفة ذات مجال مقيد. وبالتالي ، فهم لا يرون حد التسلسل كخط مقارب أفقي للدالة. نظرًا لأن هذا هو الفصل الخاص بالسلسلة ، وهو حجر الزاوية لدورة التفاضل والتكامل الثانية للجميع ، فقد يرغب المعلم في قضاء المزيد من الوقت في هذا الفصل مقارنة بالفصول الأخرى. إنها تجربتي أن الطلاب بحاجة إلى المضي قدمًا ببطء من خلال المواد الموجودة في السلسلة.

القسم 11.2 سلسلة: يتضمن هذا القسم تعريف التقارب للسلسلة. يواجه الطلاب صعوبة كبيرة في اختبار الاختلاف. يجب أن يدرك الطلاب أن شروط السلسلة التي تميل إلى الصفر ليست كافية لضمان التقارب. تظهر السلسلة الهندسية وسلسلة التلسكوب في هذا الفصل.

القسم 11.3 الاختبار المتكامل: يتضمن القسم الاختبار المتكامل ومناقشة حول التقدير المتبقي للاختبار المتكامل. يتم تقديم السلسلة p وسلسلة p اللوغاريتمية.

القسم 11.4 اختبارات المقارنة: يجب أن يقدم المدرب العديد من الأمثلة على استخدام اختبار المقارنة. يحتاج الطلاب إلى معرفة كيفية اختيار السلسلة التي تستخدمها للمقارنة.

القسم 11.5 سلسلة بالتناوب: هذا عرض قياسي. يميل الطلاب إلى استخدام سلسلة الاختبارات المتناوبة على سلسلة لا تتناوب. يجب مناقشة نتيجة تقدير المتسلسلة بالتناوب.

القسم 11.6 التقارب المطلق والنسبة واختبارات الجذر: يجب أن يدرك الطلاب أن التقارب المطلق يعني التقارب. سوف يزعمون أيضًا أن السلسلة متقاربة بشكل مشروط دون اختبار التقارب المطلق على الإطلاق. يعد اختبار النسبة أكثر فائدة من الاختبارين الموجودين في هذا القسم. سيحتاج الطلاب إلى مقدمة لمفهوم العوامل.

القسم 11.7 استراتيجية لسلسلة الاختبار: يجمع هذا القسم سلاسل مختلفة ويسمح للطلاب بمحاولة تحديد التقارب. سيوفر هذا ملخصًا مفيدًا لطرق تحليل تقارب سلسلة من الثوابت ، قبل القفز إلى سلسلة القوة.

القسم 11.8 سلسلة الطاقة: يقدم هذا القسم فكرة الفاصل الزمني للتقارب لسلسلة الطاقة. كثيرًا ما ينسى الطلاب التحقق من نقاط نهاية فترة التقارب ، لذا يُنصح ببعض الاهتمام بهذه التفاصيل.

القسم 11.9 تمثيلات الوظائف كسلسلة سلطة: تتعلق هذه المادة ببناء سلسلة الطاقة بناءً على المتسلسلة الهندسية. يظهر أيضًا تمايز وتكامل السلاسل على أساس مصطلح على حدة ويستخدمان لإنشاء سلسلة مألوفة للوغاريتم و قوس ظل التمام.

البند 11.10 سلسلة تايلور وماكلورين: يجب أن يكون الطلاب قادرين على إنتاج بعض سلسلة Maclaurin الأكثر بساطة من التعريف. يجب أيضًا تعليمهم استخدام الاستبدال لاشتقاق تمثيلات متسلسلة من سلسلة يعرفونها بالفعل. من المهم تغطية عدم المساواة في تايلور في هذا القسم. يرى العديد من المدرسين أن عملية ضرب وتقسيم السلاسل اختيارية.

القسم 11.11 تطبيقات تايلور متعدد الحدود: يرجى العلم أن العديد من التمارين تتطلب إنشاء رسوم بيانية يتم التعامل معها بشكل أفضل باستخدام تقنية الرسوم البيانية. إذا لم يكن لدى طلابك حق الوصول إلى أجهزة الرسوم البيانية ، فيجب تحرير التمارين لإزالة مكون الرسوم البيانية.

الفصل الثاني عشر

القسم 12.1 أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد: يغطي العديد من المدربين هذا الفصل بعد المواد الخاصة بتقنيات التكامل. المنطق هو أن الطلاب في الفيزياء سيستفيدون من رؤية النواقل في وقت مبكر. هذا القسم أساسي وسهل لمعظم الطلاب. تعد معادلة المسافة في ثلاث مسافات ، ومعادلات المجالات وتحديد مناطق الفضاء مهمة ولكن يسهل استيعابها.

.القسم 12.2 ثلاثة أبعاد: يقدم هذا القسم متجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد ، وحساب المتجهات ، وحجم المتجهات ، ومتجهات الوحدة ، ومتجهات التطبيع. هذه مادة أساسية جدًا لمعظم الطلاب.

القسم 12.3 المنتج النقطي: عرض قياسي. شدد على استخدامات المنتج النقطي في حساب الزوايا والإسقاطات. يمكن النظر في بعض أمثلة الفيزياء الأساسية.

القسم 12.4 المنتج المتقاطع: يحدد المؤلف المنتج المتقاطع ثم يستخدم المحدد لمساعدة الطلاب على تذكر الصيغة. ثم يثبت بعد ذلك الجوانب الهندسية لحاصل الضرب التبادلي. يمكن حساب حجم خط متوازي السطوح المستطيل على أنه حجم المنتج الثلاثي القياسي.

القسم 12.5 معادلات الخطوط والمستويات: الموضوع قياسي ولا يمثل عادة مشكلة للطلاب.

القسم 12.6 الأسطوانات والأسطح الرباعية: يتم تقديم هذا الموضوع بشكل أساسي لصالح الطلاب الذين سيذهبون إلى الرياضيات 2057. لا يرسم الطلاب عادةً بشكل جيد. يتم تشجيع المدرب على محاولة رسم الأشكال بعناية. سيحتاج الطلاب إلى أن يكونوا قادرين على رسم الأرقام بشكل جيد بما يكفي لاستخدام هذه الأرقام في تطبيقات متكاملة في الرياضيات 2057.

الفصل 13

القسم 13.1 وظائف المتجهات ومنحنيات الفضاء: يواجه الطلاب مشاكل في الرسم أو حتى تصور منحنيات ثلاثية المساحات. يتم تشجيع المدرب على محاولة رسم العديد من الأمثلة. تعد الأسئلة التي تتضمن تحديد معلمات مقاطع الخطوط مهمة جدًا للطلاب الذين ينتقلون إلى الرياضيات 2057.

القسم 13.2 مشتقات وتكامل وظائف المتجهات: يتضمن هذا القسم البسيط الحدود والمشتقات والتكاملات للدوال ذات القيمة المتجهة.

القسم 13.3 طول القوس والانحناء: يعتبر جزء لا يتجزأ من طول القوس مألوفًا للطلاب. تعتبر فكرة تحديد معلمات منحنى باستخدام طول القوس صعبة بالنسبة لمعظم الطلاب. يقدم النص الصيغ المختلفة للانحناء ويجب أن يكون الطلاب على دراية بها جميعًا. تظهر الوحدة العادية ومركز الانحناء والدائرة المتذبذبة في هذا القسم.

القسم 13.4 الحركة في الفضاء:يقدم النص السرعة والتسارع والحركة الدائرية المنتظمة والحركة الباليستية. يمكن للمدرس معالجة تحلل التسارع إلى المتجهات العادية والماسية كموضوع اختياري.

الفصل 14

القسم 14.3 المشتقات الجزئية: يجب أن يقدم المعلم هذا الموضوع لصالح الطلاب الذين ينتقلون إلى الرياضيات 2090. يمكن تدريس المادة من وجهة نظر ميكانيكية.


تمارين 12.1

مثال 12.1.1 قم برسم موقع النقاط $ (1،1،0) $ و $ (2،3، -1) $ و $ (- 1،2،3) $ على مجموعة واحدة من المحاور.

المثال 12.1.2 صِف هندسيًا مجموعة النقاط $ (x، y، z) $ التي تحقق $ z = 4 $.

مثال 12.1.3 صف هندسيًا مجموعة النقاط $ (x، y، z) $ التي تحقق $ y = -3 $.

مثال 12.1.4 صف هندسيًا مجموعة النقاط $ (x، y، z) $ التي تحقق $ x + y = 2 $.

مثال 12.1.5 تصف المعادلة $ x + y + z = 1 $ بعض تجميع النقاط في $ ds R ^ 3 $. صف ورسم النقاط التي تحقق $ x + y + z = 1 $ والموجودة في المستوى $ x $ - $ y $ ، في المستوى $ x $ - $ z $ ، وفي $ y $ - $ z $ طائرة.

المثال 12.1.6 أوجد أطوال أضلاع المثلث برؤوس $ (1،0،1) $، $ (2،2، -1) $، $ (- 3،2، -2) $. (إجابه)

المثال 12.1.7 أوجد أطوال أضلاع المثلث برؤوس $ (2،2،3) $ ، $ (8،6،5) $ ، $ (- 1،0،2) $. لماذا تخبرك النتائج أن هذا ليس مثلثًا حقًا؟ (إجابه)

مثال 12.1.8 أوجد معادلة للكرة ذات المركز عند $ (1،1،1) $ ونصف القطر 2. (الإجابة)

المثال 12.1.9 أوجد معادلة للكرة ذات المركز عند $ (2، -1،3) $ ونصف القطر 5. (الإجابة)

مثال 12.1.10 أوجد معادلة للكرة ذات المركز $ (3، -2، 1) $ والتي تمر بالنقطة $ (4، 2، 5) $. (إجابه)

المثال 12.1.11 أوجد معادلة للكرة ذات المركز عند $ (2،1، -1) $ ونصف القطر 4. ابحث عن معادلة تقاطع هذه الكرة مع المستوى $ y $ - $ z $ وصِف هذا التقاطع هندسيًا. (إجابه)

المثال 12.1.12 ضع في اعتبارك كرة نصف القطر 5 المتمركزة عند $ (2،3،4) $. ما هو تقاطع هذا المجال مع كل مستوى من مستويات الإحداثيات؟

المثال 12.1.13 أظهر أنه بالنسبة لجميع قيم $ theta $ و $ phi $ ، فإن النقطة $ (a sin phi cos theta، a sin phi sin theta، a cos phi) $ تقع على كرة مُعطاة بواسطة $ ds x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 $.

المثال 12.1.14 إثبات أن نقطة منتصف مقطع الخط الذي يربط $ ds (x_1، y_1، z_1) $ و $ ds (x_2، y_2، z_2) $ عند $ ds left (,, حق) $.

مثال 12.1.15 أي ثلاث نقاط $ P_1 (x_1 ، y_1 ، z_1) $ ، $ P_2 (x_2 ، y_2 ، z_2) $ ، $ P_3 (x_3 ، y_3 ، z_3) $ ، تقع في مستوى وتشكل مثلثًا. ال عدم المساواة في المثلث تقول أن $ ds d (P_1، P_3) le d (P_1، P_2) + d (P_2، P_3) $. إثبات عدم مساواة المثلث باستخدام إما الجبر (فوضوي) أو قانون جيب التمام (أقل فوضوية).

المثال 12.1.16 هل من الممكن أن يتقاطع المستوى مع كرة في نقطتين بالضبط؟ نقطة واحدة بالضبط؟ يشرح.


تمارين للقسم 12.5 - الرياضيات

أوراق عمل الرياضيات وتمارين عبر الإنترنت
اللغة: انجليزي الموضوع: رياضيات

الأعداد من 1 إلى 20
مستوى الصف: الصف الثاني
بواسطة laissisousa

وقت
مستوى الصف: 2
بواسطة Hamnasiddique

التعرف على الأرقام 6-10
مستوى الصف: روضة أطفال
بواسطة صحيح

الكسور 2
مستوى الصف: مقدمة
بواسطة مرسلة

المباراة 1-10
مستوى الصف: روضة أطفال
بواسطة KG أولدمان

الأشكال: مطابقة الاسم
مستوى الصف: ما قبل الحضانة
بواسطة شب 1207

ورقة عمل القسم العام 2 (SK CBN 1)
مستوى الصف: عام 2
بواسطة ام اس_فانيثا_هاندران

الكسور - ربط مع الأسهم
مستوى الصف: الصف الثالث الصف الرابع
بواسطة المنتصر

إخبار الوقت بالساعة
مستوى الصف: روضة أطفال
بواسطة monikdswastika

تفسير الرسم البياني الشريطي
مستوى الصف: الصف الرابع
بواسطة سينثياسميث

عد وأضف ما يصل إلى 20
مستوى الصف: الصف ك ، 1
بواسطة تيكيلاركد

المكان القيمة 1
مستوى الصف: 3
بواسطة كبار السن


تمارين 4.9

مثال 4.9.1 لماذا تكون نظرية شر وأوملدر-برنشتاين سهلة إذا كان $ A $ و $ B $ مجموعات محدودة؟

مثال 4.9.2 لنفترض أن $ f Colon A to B $ عبارة عن حقنة وأن $ g Colon A إلى B $ عبارة عن تخمين. أظهر أن هناك انحرافًا $ h Colon A إلى B $.

مثال 4.9.3 في بداية إثبات نظرية Schr & oumlder-Bernstein قلنا ، "قد نفترض أن $ A $ و $ B $ مجموعتان منفصلتان." لماذا؟ بعبارة أخرى ، ماذا سنفعل إذا كان $ A $ و $ B $ ليست مفككة؟

مثال 4.9.4 إثبات المطالبة $ 1 '$ من نظرية 4.9.1.

مثال 4.9.5 إثبات المطالبة $ 2 '$ من نظرية 4.9.1.

مثال 4.9.6 إثبات أن الدالة $ h $ المحددة في نهاية إثبات نظرية Schr & oumlder-Bernstein هي انحياز.

مثال 4.9.7 استخدم نظرية Schr & oumlder-Bernstein لاستنتاج أن $ overline << [0،1] >> = c $. (انظر التمرين 3 من القسم 4.7.)

مثال 4.9.8 ابحث عن حقن بسيطة من $ [0،1] $ إلى $ R $ ومن $ R $ إلى $ [0،1] $. ثم ابحث عن انحياز صريح من $ [0،1] $ إلى $ R $.

مثال 4.9.9 لاحظ أنه إذا كان $ A $ يحتوي على $ m $ و $ B $ يحتوي على $ n $ من العناصر ، فإن $ A مرة B $ يحتوي على $ mn $ من العناصر. نستخدم هذا لتعريف ناتج اثنين من الكاردينال بالصيغة $ overline A cdot overline B = overline $. أظهر أن هذا التعريف مستقل عن المجموعتين $ A $ و $ B $ ، أي إذا كان $ A تقريبًا A '$ و $ B تقريبًا $ ، ثم $ A times B almost A ' times B' $.

مثال 4.9.10 أظهر أن $ aleph_0 cdot aleph_0 = aleph_0 $. (تلميح: التمرين 6 من القسم 4.7.) (انظر التمرين 9.)

مثال 4.9.11 أظهر أنه إذا كان $ overline A le overline B $ ثم $ overline A cdot overline C le overline B cdot overline C $. (انظر التمرين 9.)


12.5 نظرية الاصطدام

لا ينبغي أن نتفاجأ من أن الذرات أو الجزيئات أو الأيونات يجب أن تتصادم قبل أن تتفاعل مع بعضها البعض. يجب أن تكون الذرات قريبة من بعضها لتكوين روابط كيميائية. هذه الفرضية البسيطة هي الأساس لنظرية قوية للغاية تشرح العديد من الملاحظات المتعلقة بالحركية الكيميائية ، بما في ذلك العوامل التي تؤثر على معدلات التفاعل.

تستند نظرية الاصطدام على الافتراضات التالية:

معدل التفاعل يتناسب مع معدل تصادمات المادة المتفاعلة:

يجب أن تتصادم الأنواع المتفاعلة في اتجاه يسمح بالاتصال بين الذرات التي ستصبح مرتبطة ببعضها البعض في المنتج.

يجب أن يحدث التصادم بطاقة كافية للسماح بالاختراق المتبادل لقذائف التكافؤ للأنواع المتفاعلة بحيث يمكن للإلكترونات إعادة ترتيب وتشكيل روابط جديدة (وأنواع كيميائية جديدة).

يمكننا أن نرى أهمية العاملين الفيزيائيين المذكورين في الافتراضين 2 و 3 ، اتجاه وطاقة الاصطدامات ، عندما نفكر في تفاعل أول أكسيد الكربون مع الأكسجين:

أول أكسيد الكربون هو ملوث ينتج عن احتراق الوقود الهيدروكربوني. لتقليل هذا الملوث ، تحتوي السيارات على محولات حفازة تستخدم محفزًا لتنفيذ هذا التفاعل. إنه أيضًا رد فعل جانبي لاحتراق البارود الذي ينتج عنه وميض كمامة للعديد من الأسلحة النارية. إذا كان أول أكسيد الكربون والأكسجين موجودًا بكميات كافية ، فسيحدث التفاعل عند درجة حرارة وضغط مرتفعين.

تتمثل الخطوة الأولى في تفاعل الطور الغازي بين أول أكسيد الكربون والأكسجين في حدوث تصادم بين الجزيئين:

على الرغم من وجود العديد من الاتجاهات الممكنة المختلفة للجزيئين بالنسبة لبعضهما البعض ، ضع في اعتبارك الاثنين المقدمين في الشكل 12.13. في الحالة الأولى ، يصطدم جانب الأكسجين من جزيء أول أكسيد الكربون بجزيء الأكسجين. في الحالة الثانية ، يصطدم جانب الكربون في جزيء أول أكسيد الكربون بجزيء الأكسجين. من الواضح أن الحالة الثانية من المرجح أن تؤدي إلى تكوين ثاني أكسيد الكربون ، الذي يحتوي على ذرة كربون مركزية مرتبطة بذرتين من الأكسجين (O = C = O). (O = C = O). هذا مثال بسيط إلى حد ما على مدى أهمية اتجاه الاصطدام من حيث إنشاء المنتج المطلوب للتفاعل.

إذا حدث التصادم بالاتجاه الصحيح ، فلا يوجد حتى الآن ضمان بأن التفاعل سيستمر لتكوين ثاني أكسيد الكربون. بالإضافة إلى التوجيه الصحيح ، يجب أن يحدث التصادم أيضًا مع طاقة كافية لينتج عنه تكوين المنتج. عندما تصطدم الأنواع المتفاعلة مع كل من التوجيه الصحيح والطاقة الكافية ، فإنها تتحد لتشكل نوعًا غير مستقر يسمى المركب النشط أو الحالة الانتقالية. هذه الأنواع قصيرة العمر وعادة لا يمكن اكتشافها بواسطة معظم الأدوات التحليلية. في بعض الحالات ، تم استخدام قياسات طيفية معقدة لمراقبة حالات الانتقال.

تشرح نظرية الاصطدام سبب زيادة معدلات التفاعل مع زيادة التركيزات. مع زيادة تركيز أي مادة متفاعلة ، تزداد فرص التصادم بين الجزيئات نظرًا لوجود عدد أكبر من الجزيئات لكل وحدة حجم. المزيد من الاصطدامات تعني معدل تفاعل أسرع ، بافتراض أن طاقة التصادمات كافية.

طاقة التنشيط ومعادلة أرهينيوس

يُطلق على الحد الأدنى من الطاقة اللازمة لتكوين منتج أثناء الاصطدام بين المتفاعلات طاقة التنشيط (هأ). كيف تقارن هذه الطاقة بالطاقة الحركية التي توفرها جزيئات المتفاعلات المتصادمة هي عامل أساسي يؤثر على معدل التفاعل الكيميائي. إذا كانت طاقة التنشيط أكبر بكثير من متوسط ​​الطاقة الحركية للجزيئات ، فسيحدث التفاعل ببطء لأن عددًا قليلاً فقط من الجزيئات سريعة الحركة سيكون لديها طاقة كافية للتفاعل. إذا كانت طاقة التنشيط أصغر بكثير من متوسط ​​الطاقة الحركية للجزيئات ، فسيكون جزء كبير من الجزيئات نشطًا بشكل كاف وسيستمر التفاعل بسرعة.

يوضح الشكل 12.14 كيف تتغير طاقة نظام كيميائي أثناء خضوعه لتفاعل يحول المتفاعلات إلى منتجات وفقًا للمعادلة

تُستخدم مخططات التفاعل هذه على نطاق واسع في الخواص الحركية الكيميائية لتوضيح الخصائص المختلفة للتفاعل محل الاهتمام. عند عرض المخطط من اليسار إلى اليمين ، يتألف النظام مبدئيًا من المواد المتفاعلة فقط ، أ + ب. يمكن أن تتصادم جزيئات المفاعل ذات الطاقة الكافية لتكوين حالة معقدة أو حالة انتقالية عالية الطاقة. يمكن أن تتحلل حالة الانتقال غير المستقرة لاحقًا لإنتاج منتجات مستقرة ، ج + د. يوضح الرسم البياني طاقة تنشيط التفاعل ، هأ، كفرق الطاقة بين المواد المتفاعلة وحالة الانتقال. باستخدام طاقة محددة ، فإن الطاقة الداخلية الكامنة (انظر الفصل الخاص بالكيمياء الحرارية) ، التغير في المحتوى الحراري للتفاعل ، Δح، على أنه فرق الطاقة بين المواد المتفاعلة والمنتجات. في هذه الحالة ، يكون التفاعل طاردًا للحرارة (Δح & lt 0) لأنه ينتج عنه انخفاض في المحتوى الحراري للنظام.

تتعلق معادلة أرهينيوس بطاقة التنشيط وثابت المعدل ، ك، للعديد من التفاعلات الكيميائية:

في هذه المعادلة ، ص هو ثابت الغاز المثالي ، الذي قيمته 8.314 J / mol / K ، T هي درجة الحرارة على مقياس كلفن ، هأ هي طاقة التنشيط بالجول لكل مول ، ه هو الثابت 2.7183 ، و أ هو ثابت يسمى عامل التردد ، والذي يرتبط بتكرار التصادمات واتجاه الجزيئات المتفاعلة.

يتم استيعاب افتراضات نظرية التصادم بشكل جيد بواسطة معادلة أرهينيوس. عامل التردد أ، يعكس مدى جودة ظروف التفاعل في الاصطدامات الموجهة بشكل صحيح بين الجزيئات المتفاعلة. ينتج عن زيادة احتمال الاصطدامات الموجهة بشكل فعال قيم أكبر لـ أ ومعدلات رد فعل أسرع.

المصطلح الأسي ، ه −Ea / RT ، يصف تأثير طاقة التنشيط على معدل التفاعل. وفقًا للنظرية الجزيئية الحركية (انظر فصل الغازات) ، فإن درجة حرارة المادة هي مقياس لمتوسط ​​الطاقة الحركية للذرات أو الجزيئات المكونة لها. يتم وصف توزيع الطاقات بين الجزيئات المكونة لعينة من المادة عند أي درجة حرارة معينة من خلال الرسم الموضح في الشكل 12.15 (أ). تمثل منطقتان مظللتان أسفل المنحنى عدد الجزيئات التي تمتلك طاقة كافية (RT) للتغلب على حواجز التنشيط (هأ). ينتج عن طاقة التنشيط المنخفضة جزء أكبر من الجزيئات النشطة بشكل كافٍ وتفاعل أسرع.

يصف المصطلح الأسي أيضًا تأثير درجة الحرارة على معدل التفاعل. تمثل درجة الحرارة الأعلى جزءًا أكبر من الجزيئات التي تمتلك طاقة كافية (RT) للتغلب على حاجز التنشيط (هأ) ، كما هو موضح في الشكل 12.15 (ب). ينتج عن هذا قيمة أكبر لثابت المعدل ومعدل تفاعل أسرع.

نهج مناسب لتحديد هأ لرد فعل ينطوي على قياس ك عند درجتي حرارة مختلفتين أو أكثر وباستخدام نسخة بديلة من معادلة أرهينيوس التي تأخذ شكل معادلة خطية


تمارين الهندسة

تعليمات:جرب مشاكل ممارسة الهندسة أدناه. يتم إعطاء الإجابات في القسم التالي. قد ترغب في مراجعة الصيغ والتوضيحات في الجزء الثاني من هذه الصفحة قبل القيام بالتمارين.

1. أوجد إحداثيات (س ، ص) لنقطة منتصف القطعة المستقيمة على الرسم البياني الذي يربط النقطتين (4 ، 8) و (2 ، 6).

2. أوجد نقاط المنتصف لخط يمر بالنقطتين (1 ، 3) و (4 ، 5).

3. ما هو تقاطع x و y لـ 9x 2 + 4y 2 = 36؟

4. ما هي معادلة الخط المستقيم الذي ميله 5 ويمر بالنقطة (س ، ص) ويقطعه ص 3؟

5. إذا كان نصف قطر الدائرة 4 ، فما محيط الدائرة؟

6. ما نوع الزوايا التي لها نفس القياس بالدرجات؟

7. ما هو مثلث متساوي الساقين؟

8. ما هو المثلث متساوي الأضلاع؟

9. ما هو متوازي الأضلاع؟

10. مجموع زاويتين يصل مجموعهما إلى 180 درجة ويشكلان خطًا مستقيمًا. أي نوع من الزوايا هم؟

إجابات لمشاكل ممارسة الهندسة

7. لها جانبان متساويان وزاويتان متساويتان.

8. جميع الجوانب الثلاثة متساوية في الطول وجميع الزوايا الثلاث متساوية.

9. هو شكل رباعي الأضلاع له جوانب متقابلة متوازية ومتساوية في الطول.

تفسيرات لمشاكل ممارسة الهندسة

1. علينا إيجاد نقطة المنتصف (4، 8) و (2، −6). استخدم صيغة النقطة المتوسطة لحلها.

2. هنا نحتاج إلى نقطة الوسط (1 ، 3) و (4 ، 5).

3. علينا إيجاد تقاطع x و y لـ 9x 2 + 4y 2 = 36.

عوّض بـ 0 عن x لإيجاد تقاطع y:

عوّض بـ 0 عن y لإيجاد تقاطع x:

4. لدينا خط ميله 5 يمر بالنقطة (x ، y) وتقاطع y عند 3.

ضع القيم في معادلة الخط لحلها.

5. دائرة نصف قطرها 4 ونحتاج إلى محيطها.

استخدم صيغة المحيط:

6. تسمى الزوايا التي لها نفس القياس بالدرجات الزوايا المتطابقة.

7. المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان وبالتالي زاويتان متساويتان.

8. مثلث متساوي الأضلاع له ثلاثة أضلاع متساوية وثلاث زوايا متساوية.

9. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع يكون فيه الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول. ستكون الزوايا المتقابلة متساوية أيضًا.

10. عندما يكون مجموع الزاويتين 180 درجة وتشكلان خطًا مستقيمًا ، فإنهما زاويتان مكملتان.

الهندسة على ACT

عادةً ما تتضمن تمارين الهندسة ومشكلات التدريب الخاصة بـ ACT مفاهيم هندسية مختلفة في كل من هندسة الإحداثيات وهندسة المستوى.

نقاط المنتصف:

يتم حساب نقاط المنتصف لنقطتين على رسم بياني ثنائي الأبعاد باستخدام هذه الصيغة:

ميل:

ها هي صيغة الميل: y = mx + b

تذكر أن m هو الميل ، و b هو تقاطع y (النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع المحور y) ، و x و y هما نقطتان على الرسم البياني.

تقاطعات x و y:

تطلب منك الأسئلة حول تقاطع x و y إيجاد النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع محوري x أو y في رسم بياني ثنائي الأبعاد.

Substitute 0 for x to find the y intercept.

Then substitute 0 for y to find the x intercept.

Area of a circle:
Area of a square or rectangle:
Circumference of a circle:
Rules for Angle Measurement

The sum of all three angles in any triangle must be equal to 180 degrees.

An isosceles triangle has two equal sides and two equal angles.

An equilateral triangle has three equal sides and three equal angles.

Angles that have the same measurement in degrees are called congruent angles.

Equilateral triangles are sometimes called congruent triangles.

Two angles are supplementary if they add up to 180 degrees. This means that when the two are placed together, they will form a straight line on one side.

Two angles are complementary (sometimes called adjacent angles) if they add up to 90 degrees. This means that they will form a right triangle.

When two parallel lines are cut by a transversal (a straight line that runs through both of the parallel lines), 4 pairs of opposite (non-adjacent) angles are formed and 4 pairs of corresponding angles are formed. The opposite angles will be equal in measure, and the corresponding angles will also be equal in measure.

A parallelogram is a four-sided figure in which opposite sides are parallel and equal in length. Each angle will have the same measurement as the angle opposite to it.

ACT Math Download

The download covers all of the geometry problems that you will see on the exam.

Geometry Practice Problems

The formulas you will need in order to work out ACT geometry practice problems are given above.

Please also refer to our free sample math test and our math formula sheet to see further examples and illustrations of practice math problems for geometry.

Geometry Questions on the ACT

Coordinate Geometry

You will need to know coordinate geometry for two-dimensional graphic representations of geometry problems like:

  • Calculating the slope of the line
  • Determining the midpoint between two points
  • Using the distance formula to find the distance between two points on a line

Coordinate geometry is included in the algebra section of the math test.

That is because you need to understand how to use certain algebraic principles in order to solve coordinate geometry problems.

You will also need to know plane geometry for other geometry problems.

Plane Geometry

Plane geometry includes calculations relating to geometric figures such as:

    • Triangles
    • Squares
    • Rectangles
    • الدوائر
    • Cones
    • Arcs
    • Chords
    • Cylinders

    More Math Practice

    Copyright © 2018-2020. Exam SAM Study Aids & Media.
    كل الحقوق محفوظة.

    ACT is a trademark of ACT, Inc, which is not affiliated with nor endorses this website.


    Exercises for Section 12.5 - Mathematics

    We feature over 2,000 free math printables that range in skill from grades K-12. Many teachers are looking for common core aligned math work. Please use all of our printables to make your day easier. Great for students, teachers, parents, and tutors. We feature well over 12,000 printable sheets. This includes all major subject areas, templates, teacher timesavers, and forms. For a complete teacher curriculum resource please check out our math subject center.

    1. Addition - One, two, and three digit practice sheets.
    2. Algebra - Equations involving addition, division, multiplication, and subtraction.
    3. Area and Perimeter - Area and perimeter of a rectangle.
    4. Basic Arithmetic - Over 200 Addition, Counting, Division, Multiplication, and Subtraction Sheets.
    5. Counting Worksheets - Through coloring, drawing, fill ins, and money.
    6. Decimals - Addition, Counting, Division, Multiplication, and Subtraction Sheets.
    7. Division - One, two, and three digit practice sheets.
    8. Do Now! (Grade Specific) - Over 240 warm-up worksheets. Great for starting of classes.
    9. Estimation - Estimate a wide variety of variables.
    10. Even And Odd Numbers - Students identify even and odd numbers.
    11. Exponents - Exponent conversion and order of operations with exponents.
    12. Fractions - Greatest common factors and least common multiple worksheets.
    13. Geometry - Practice sheet include identifying congruent shapes and intersecting lines.
    14. Graphing - Exercises in Making Bar, Line, and Pie Graphs.
    15. Greater Than, Less Than, Or Equal - Comparisons of integers, decimals, visuals, and objects.
    16. Grid (Graph) Paper - Printable grid paper in all sizes. A great idea is to laminate these pages.
    17. Fun With Mathematics - These sheets help review the basics. Fun for all occasions.
    18. In Class Labs - Students work through a range of problem solving strategies.
    19. Logarithmic Equations - You find basic to advanced skills covered in this section.
    20. Magic Numbers - Fun activities that display patterns in numbers. - Created by grade level and aligned to the Common Core Math Curriculum.
    21. Math Worksheet Generator - Make your own arithmetic, algebra, comparison, order of operations, and rounding worksheets.
    22. Mathematics Puzzles - Fun Puzzles that cover both logic and basic skills!
    23. Measurement - Great sheets for learn base 10 measurements. Also includes metric - U.S. conversion.
    24. Money - Counting and money word problems to help student grasp real world concepts.
    25. Multiplication - This area was recently upgraded vastly. You will find times tables, facts, and too many to list.
    26. Multiplication Chart - These multiplication times table charts are colorful and a great resource for teaching kids their multiplication times tables. A complete set of free printable times tables for 1 to 12 in Adobe PDF format.
    27. Order Of Operations - Three levels of ordering sheets based on PEMDAS. - Students use logic to solve shape and number patterns.
    28. Place Value - A wide array of place value exercises and activities.
    29. Ratios and Proportions - This long awaited section was just added. We cover basics to use in word problems.
    30. Reading Tables - Helps students interpret data tables. Also check the charts as well.
    31. Rounding - Two, three, and four digit practice sheets. New dollar, hundreds, hundredths, tenths, thousands.
    32. Statistics / Probability - Mean, Median, Mode and dice.
    33. Stock Market - Learn the Stock Market with these sheets.
    34. Subtraction- Your everyday this minus this equals this.
    35. Surveys - Five ready-to-go survey labs that involve data collection, sorting, and graphing.
    36. Telling Time - Great for learning analog clocks.
    37. Tic Tac Toe Puzzles - A fun cooperative game. Featuring addition, division, multiplication, and subtraction.
    38. Word Problems - Basic and intermediate level word problems.

    New - Worksheets Listed By Grade Level

    We have worksheets that are specifically grade leveled for students based on math learning standards.


    شاهد الفيديو: مبادئ الرياضيات- تمارين 1-1 ريض 100 -محاظرة رقم 1 (شهر نوفمبر 2021).