مقالات

1.2: قواعد أخرى - رياضيات


هيا نلعب لعبة النقاط والمربعات ، لكن غيّر القاعدة.

القاعدة 1 ← 3

عندما تكون هناك ثلاث نقاط في المربع الواحد ، فإنها "تنفجر" وتختفي وتصبح نقطة واحدة في المربع الموجود على اليسار.

مثال ( PageIndex {1} ): خمس عشرة نقطة في نظام 1 ← 3

إليك ما يحدث مع الخمس عشرة نقطة:

إجابه

الكود 1 ← 3 لخمس عشرة نقطة هو: 120.

المشكلة 2

  1. بيّن أن الكود 1 ← 3 لعشرين نقطة هو 202.
  2. ما هو الرمز 1 ← 3 لثلاث عشرة نقطة؟
  3. ما هو الرمز 1 ← 3 لخمسة وعشرين نقطة؟
  4. ما عدد النقاط التي تحتوي على 1 ← 3 كود 1022؟
  5. هل من الممكن أن تحتوي مجموعة النقاط على 1 ← 3 كود 2031؟ اشرح اجابتك.

مشكلة 3

  1. صف كيف ستعمل القاعدة 1 ← 4.
  2. ما هو رمز 1 ← 4 لثلاث عشرة نقطة؟

المشكلة 4

  1. ما هو الكود 1 ← 5 للنقاط الثلاثة عشر؟
  2. ما هو الكود 1 ← 5 لخمس نقاط؟

المشكلة 5

  1. ما هو الكود 1 ← 9 لثلاث عشرة نقطة؟
  2. ما هو الرمز 1 ← 9 لثلاثين نقطة؟

المشكلة 6

  1. ما هو الرمز 1 × 10 لثلاث عشرة نقطة؟
  2. ما هو رمز 1 ← 10 لـ 37 نقطة؟
  3. ما هو الكود 1 ← 10 لمائتين وثمانية وثلاثين نقطة؟
  4. ما هو رمز 1 ← 10 لخمس آلاف وثمانمائة وثلاث وثلاثين نقطة؟

أعتقد حصة الزوج

بعد أن تعمل على حل المشكلات بنفسك ، قارن أفكارك مع شريك. هل يمكنك وصف ما يحدث في المشكلة 6 ولماذا؟


عند تقريب الأرقام ، يجب أولاً فهم مصطلح "تقريب الأرقام". عند العمل مع الأعداد الصحيحة والتقريب لأقرب 10 ، فإن التقريب هو الرقم الثاني من اليمين - أو خانة العشرات. عند التقريب لأقرب مائة ، يكون المكان الثالث من اليمين هو رقم التقريب - أو خانة المائة.

أولاً ، حدد رقم التقريب ثم انظر إلى الرقم الموجود في الجانب الأيمن.

  • إذا كان الرقم 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 ، فلا تغير رقم التقريب. تصبح جميع الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من رقم التقريب المطلوب 0.
  • إذا كان الرقم 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9 ، فإن الرقم التقريبي يتم تقريبه بمقدار واحد. ستصبح جميع الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من الرقم التقريبي المطلوب 0.

توقيع القواعد

عدد هو كائن رياضي يستخدم للقياس والتسمية والعمليات الرياضية الأخرى. العمليات الحسابية الأساسية هي الجمع والطرح والضرب والقسمة.

ال إضافة من عددين صحيحين هو المبلغ الإجمالي لتلك الكميات مجتمعة.

تتم كتابة الإضافة باستخدام علامة الجمع & # 8220 + & # 8221 بين المصطلحات ، في تدوين infix. يتم التعبير عن النتيجة بعلامة يساوي. فمثلا،

(& # 8220one زائد واحد يساوي اثنين & # 8221) (& # 8220two plus two يساوي أربعة & # 8221) وما إلى ذلك ،

قواعد التوقيع الإضافية:

إذا كانت العلامات متطابقة ، أضف العلامة واحتفظ بها كما هي:

حالة 1: إذا كانت إشارة كلا الرقمين موجبة ، فستكون النتيجة موجبة.

الحالة 2: إذا كانت الإشارات o كلا الرقمين سالبين ، فسيكون للنتيجة إشارة سالبة.

إذا كانت العلامات مختلفة ، فقم بطرحها واحتفظ بعلامة القيمة الأكبر.

حالة 1: إذا كانت علامة على القيمة الأكبر لنا علامة إيجابية ، إذن ، سيكون للنتيجة إشارة إيجابية.

الحالة 2: إذا كانت علامة القيمة الأكبر لنا علامة سالبة ، إذن ، سيكون للنتيجة إشارة سلبية.

الطرح:

الطرح هو عملية إزالة كائنات من مجموعة. هو مكتوب باستخدام العلامة & # 8220 - & # 8221 بين المصطلحات. يتم التعبير عن النتيجة بعلامة يساوي. فمثلا،

2 & # 8211 1 = 1 (& # 8220two ناقص واحد يساوي 1 & # 8221) 5 & # 8211 3 = 2 (& # 8220 خمسة ناقص ثلاثة يساوي اثنين & # 8221) وما إلى ذلك.

قواعد توقيع الطرح:

فمثلا،

= (-10) + (-8) = (-18) [غيرت الإشارة من (+8) إلى (-8) ، ثم اتبعت قاعدة علامة الجمع]

= (-10) + (+8) = (-2) [غيرت الإشارة من (-8) إلى (+8) ، ثم اتبعت قاعدة علامة الجمع]

= (+10) + (+8) = (+18) [غيرت الإشارة من (+8) إلى (-8) ، ثم اتبعت قاعدة علامة الجمع]

= (+10) + (-8) = (+2) [غيرت الإشارة من (+8) إلى (-8) ، ثم اتبعت قاعدة علامة الجمع]

عمليه الضرب:

يمكن اعتبار الضرب على أنه إضافة متكررة أي أن ضرب رقمين يعادل إضافة أكبر عدد من نسخ أحدهما ، المضاعفة، كقيمة الآخر ، فإن مضاعف.

& # 8220 بشكل طبيعي ، يتم كتابة المضاعف أولاً ومضاعف الثانية. & # 8221

يُكتب الضرب باستخدام العلامة & # 8220x & # 8221 بين المصطلحين. يتم التعبير عن النتيجة بعلامة يساوي. فمثلا،

على سبيل المثال ، يمكن حساب 4 مضروبًا في 3 (غالبًا ما يتم كتابته كـ 3 × 4 ويقال كـ & # 82203 مرات 4 & # 8221) عن طريق إضافة 3 نسخ من 4 معًا:

إذا كانت العلامات متشابهة ، فقم بتعددها ووضع إشارة إيجابية.

الحالة 1: إذا كانت الإشارات موجبة ، فاضرب وضع علامة موجبة.

الحالة 2: إذا كانت الإشارات سلبية ، فاضرب وضع علامة موجبة.

إذا كانت العلامات مختلفة ومتعددة ومتعددة وتوقيع سلبية لا تتناسب مع قيمة الرقم.

قسم هو عكس الضرب. هو مكتوب باستخدام العلامة & # 8220 ÷ أو / & # 8221 بين المصطلحات. يتم التعبير عن النتيجة بعلامة يساوي.

عندما نعرف حقيقة الضرب ، يمكننا إيجاد aقطاع حقيقة:

قاعدة توقيع الانقسام:

قاعدة علامة الانقسام هي نفسها التعدد ، لذا اتبع قواعد توقيع التعدد.

(أ) (-15) /3 = (-5) [قاعدة علامة الضرب: إذا اختلفت الإشارات ، ضع إشارة السالب]

(ب) (15) /(-3) = (-5) [قاعدة علامة الضرب: إذا اختلفت الإشارات ، ضع إشارة السالب]

(ج) (-15) /(-3) = (+5) [قاعدة علامة الضرب: إذا كانت الإشارات هي نفسها فضع إشارة موجبة]

(د) (+15) /(+3) = (+5) [قاعدة علامة الضرب: إذا كانت الإشارات هي نفسها فضع إشارة موجبة]


قواعد أخرى

دع & # 8217s نلعب لعبة النقاط والمربعات ، لكن غيّر القاعدة.

القاعدة 1 ← 3

عندما تكون هناك ثلاث نقاط في المربع الواحد ، فإنها "تنفجر ، & # 8221 تختفي ، وتصبح نقطة واحدة في المربع الموجود على اليسار.

مثال: خمس عشرة نقطة في نظام 1 ← 3

إليك & # 8217s ما يحدث مع خمس عشرة نقطة:

المحلول: الكود 1 ← 3 لخمس عشرة نقطة هو: 120.

المشكلة 2

  1. بيّن أن الكود 1 ← 3 لعشرين نقطة هو 202.
  2. ما هو الرمز 1 ← 3 لثلاث عشرة نقطة؟
  3. ما هو الرمز 1 ← 3 لخمسة وعشرين نقطة؟
  4. ما عدد النقاط التي تحتوي على 1 ← 3 كود 1022؟
  5. هل من الممكن أن تحتوي مجموعة النقاط على 1 ← 3 كود 2031؟ اشرح اجابتك.

مشكلة 3

المشكلة 4

المشكلة 5

المشكلة 6

  1. ما هو الرمز 1 × 10 لثلاث عشرة نقطة؟
  2. ما هو رمز 1 ← 10 لـ 37 نقطة؟
  3. ما هو الكود 1 ← 10 لمائتين وثمانية وثلاثين نقطة؟
  4. ما هو رمز 1 ← 10 لخمس آلاف وثمانمائة وثلاث وثلاثين نقطة؟

أعتقد حصة الزوج

بعد أن تعمل على حل المشكلات بنفسك ، قارن أفكارك مع شريك. هل يمكنك وصف ما يحدث & # 8217s في المشكلة 6 ولماذا؟


قم بإنشاء قاعدة لتوليد نمط رقم



مقاطع الفيديو والحلول وأوراق العمل والأمثلة لمساعدة طلاب الصف الخامس على تعلم كيفية إنشاء قاعدة لإنشاء نمط رقمي ورسم النقاط.

وحدة الرياضيات الأساسية العامة المشتركة لولاية نيويورك 6 ، الصف الخامس ، الدرس 12

1. اكتب قاعدة للخط الذي يحتوي على النقاط (0 ، 4) و (2 1/2 ، 2 3/4).
أ. حدد نقطتين إضافيتين على هذا الخط ، ثم ارسمهما على الشبكة أدناه.
ب. اكتب قاعدة لخط يوازي BC ويمر بالنقطة (1 ، 2 1/4)

2. اكتب قاعدة الخط الذي يحتوي على النقاط (1 ، 2 1/2) ، (2 1/2 ، 2 1/2)
أ. حدد نقطتين إضافيتين على هذا الخط ، ثم ارسمهما على الشبكة أعلاه.
ب. اكتب قاعدة للخط الذي يوازي GH.

3. أعط قاعدة الخط الذي يحتوي على النقطة (3/4 ، 1 1/2) ، باستخدام العملية أو الوصف أدناه. بعد ذلك ، قم بتسمية نقطتين أخريين تقعان في كل سطر.
أ. إضافة: _________
ب. خط مواز للمحور x: _________
ج. عمليه الضرب: _________
د. خط مواز للمحور y: _________
ه. الضرب مع الجمع: ________

(مجموعة المشاكل) 4. طلبت السيدة بويد من طلابها إعطاء قاعدة يمكن أن تصف خطًا يحتوي على النقطة (0.6 ، 1.8). قال آفي إن القاعدة يمكن ضربها في 3. يدعي عزرا أن هذا يمكن أن يكون خطًا رأسيًا ، ويمكن أن تكون القاعدة دائمًا 0.6. يعتقد إريك أن القاعدة يمكن أن تضيف 1.2 إلى السيدة. يقول بويد أن جميع الأسطر التي يصفونها يمكن أن تصف السطر الذي يحتوي على النقطة التي أعطتها. اشرح كيف يكون ذلك ممكنًا ، وارسم الخطوط على مستوى الإحداثيات لدعم استجابتك.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


1.2: قواعد أخرى - رياضيات

مقدمة في المنطق

في المناظرات ، غالبًا ما أجد أن الناس غير مستعدين لقبول قواعد المنطق ، ويقومون بتعليقات حمقاء مثل ، & # 8220 جيدًا أنت & # 8217re يحق لك إبداء رأيك. & # 8221 في الواقع ، قواعد المنطق مثل قواعد الرياضيات. إنها خاصية متأصلة وثابتة للوجود وليست آراء. مثلما يساوي 2 + 2 أربعة دائمًا ، فإن قواعد المنطق صحيحة دائمًا ويجب اتباعها دائمًا. للتوضيح ، تُعرف القاعدة الأساسية التي تعتمد عليها جميع القواعد الأخرى باسم قانون عدم التناقض. تنص على أن شيئًا ما لا يمكن أن يكون A وليس A في وقت واحد. بعبارة أخرى ، لا يمكن أن يوجد شيئان متنافيان في وقت واحد. على سبيل المثال ، لا يمكن أن يكون لديك مثلث دائري ، لأن الدائرة ، بحكم التعريف ، ليس لها خطوط مستقيمة ولا زوايا ، والمثلث ، بحكم التعريف ، له ثلاثة خطوط مستقيمة وثلاث زوايا. لا يمكن أن يكون للكائن زوايا صفرية وخطوط صفرية وثلاث زوايا وثلاثة أسطر في نفس الوقت. هذا ليس رأيًا ، إنه خاصية غير قابلة للتغيير. إذا رفضت قواعد المنطق ، فأنت قد اعترفت للتو بإمكانية وجود دائرة مثلثة ، وفي الواقع ، كل الفكر العقلاني يتفكك. كما ترى ، نعلم جميعًا بشكل فطري وبديهي أن قواعد العمل المنطقي ، ونطبقها في حياتنا اليومية ، فنحن لا نفكر فيها كثيرًا من الناحية الفنية. على سبيل المثال ، افترض أن مقياس الوقود الخاص بك يوضح أنك تعاني من انخفاض في الغاز ، وأنك تعلم أن مقياس الوقود الخاص بك يعمل ، فماذا تستنتج؟ من الواضح أنك ستستنتج أنك تعاني من نقص في الوقود ، لكن لماذا توصلت إلى هذا الاستنتاج؟ دون أن تعرف ذلك ، قام دماغك بما يلي:

  1. تم تصميم مقياس الوقود الخاص بي ليخبرني بكمية الوقود التي لدي
  2. أعلم أن مقياس الوقود الخاص بي يعمل
  3. مقياس الوقود الخاص بي يقول إن الوقود منخفض
  4. لذلك أنا منخفض في الوقود.

هذا منطق استنتاجي بسيط وبسيط. ومع ذلك ، إذا أنكرت قوانين المنطق ، وادعت أنها مجرد آراء ، فإنك قد أنكرت للتو هذا القياس المنطقي. بمعنى آخر ، إذا لم تعمل قواعد المنطق & # 8217t ، فإن حقيقة أن مقياس الوقود الخاص بك يعمل ويظهر حاليًا أنك & # 8217re وقود منخفض لا يعني أنك تعاني من انخفاض في الوقود. تعمل علاقات السبب والنتيجة بسبب قواعد المنطق. لذا ، إذا أنكرت قواعد المنطق ، فإنك تنكر السبب والنتيجة.

ذكرت سابقًا أن قواعد المنطق تشبه قواعد الرياضيات. في الواقع ، هم & # 8217t مثل الرياضيات ، تعتمد عليهم الرياضيات. على سبيل المثال ، من المحتمل أن أي شخص درس الهندسة قد تعرّف على البراهين. هذه قياسات منطقية بسيطة. فمثلا،

  1. مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة
  2. بالنسبة للمثلث ABC ، ​​الزاوية A = 90
  3. بالنسبة للمثلث ABC ، ​​الزاوية B = 45
  4. لذلك ، بالنسبة للمثلث ABC ، ​​الزاوية C = 45

لاحظ ، الاستنتاج ضروري للغاية من قبل المبنى. إذا كانت 1–3 صحيحة ، فيجب أن تكون 4 صحيحة تمامًا. لا يمكن أن تكون الزاوية C أي شيء بخلاف 45. هذا هو المنطق. إنه ليس رأيًا ، إنه خاصية متأصلة في الكون يجب قبولها تمامًا. إذا رفضت قواعد المنطق ، فيجب عليك أيضًا رفض قواعد الرياضيات.

هل يجب على المسيحيين اتباع قواعد المنطق؟

قد يبدو غريباً أنني أفرد المسيحيين في مدونة عن العلوم ، ولكن في قضايا علمية مثل تغير المناخ والتطور ، أجد غالبًا أن المسيحيين يترددون في قبول الحجج المنطقية وغالبًا ما يردون عليها بعبارات مثل ، & # 8220Logic is مجرد حكمة بشرية ، لكن الله أعلى من الإنسان ، لذلك لا ينبغي أن نثق بمنطق الإنسان ويجب أن نعتمد على الله بدلاً من ذلك. & # 8221 أريد أن أتطرق إلى هذه الحجة ، لأنني أواجهها كثيرًا ، وغالبًا ما يبدو ليكون سببًا أساسيًا لرفض العلم. لكي أكون واضحًا ، لن أدخل في نقاش حول الإيمان بالله أو الإلحاد ، بل سأقوم ببساطة بمعالجة مسألة ما إذا كان الإيمان بالله بطريقة ما يجعلك مستثنى من قواعد المنطق أم لا.

أولاً ، من الواضح أن هذه الحجة تعتمد على الاعتقاد بأن الله حقيقي بالفعل. لذا فإن الحجة مبنية على الإيمان ، وهو أمر صعب على أقل تقدير (مرة أخرى ، لا أخبرك بما تؤمن به ، لكن يجب أن تدرك أن هذه الحجة تستند إلى فرضية لا يمكن إثباتها ، مما يعني أنها ستكون غير مقنعة تمامًا لأي شخص لا يشاركك إيمانك). ومع ذلك ، من أجل الجدل ، دعونا نفترض للحظة أن المسيحيين على حق ، وأن الله موجود بالفعل. إذا كان حقيقيًا ، فيجب عليه ، مثل كل شيء آخر ، الالتزام بقوانين المنطق. يمكنني إثبات ذلك من خلال قانون عدم التناقض. تأمل في الحوار الافتراضي التالي بين اثنين من المسيحيين:

1. (مسيحي 1) & # 8220 هل يستطيع الله فعل أي شر؟ & # 8221
2. (كريستيان 2) & # 8220 لا & # 8221 3. (مسيحي 1) & # 8220 لماذا لا؟
4. (كريستيان 2) & # 8220 لأن طبيعته المتأصلة جيدة تمامًا. & # 8221
5. (مسيحي 1) & # 8220 لماذا تمنع طبيعته الفطرية من فعل أي شيء شر؟ & # 8221
6. (كريستيان 2) & # 8220 لأنه من المستحيل أن تكون جيدًا تمامًا وتفعل شيئًا شريرًا. & # 8221

هل يبدو رقم 6 مألوفًا؟ إنه تأكيد لقانون عدم التناقض. إذا لم يكن الله ملزمًا بقوانين المنطق ، فقد يكون شريرًا وخيرًا تمامًا في نفس الوقت ، لكن كل مسيحي يوافق على أنه لا يستطيع فعل أي شيء شر ، لذلك إذا كان موجودًا ، فيجب أن يكون ملزمًا بقوانين المنطق (ملاحظة: هذا: هو أيضًا الرد المناسب على الخلقيين & # 8217 السخيفة و مخصصة الادعاء بأن المنطق لا وجود له بدون الله ، فمن الواضح أنه سيكون ، إذا كان موجودًا ، يجب أن يكون ملزماً به).

ما جادلتُ به للتو غالبًا ما يجعل المسيحيين غاضبين لأنهم يرون أن هذا اعتداء على قدرة الله المطلقة ، لكن هذا فقط لأنهم أساءوا فهم مفهوم القدرة المطلقة. يتفق الفلاسفة عالميًا على أن & # 8220 القدرة على فعل أي شيء & # 8221 هو تعريف رهيب للقدرة المطلقة. التعريف الأكثر قبولًا هو & # 8220 القدرة على فعل أي شيء ممكن منطقيًا إذا أراد المرء. & # 8221 يصبح سبب هذا التعريف واضحًا إذا عدنا إلى مثال الدائرة المثلثية. بغض النظر عن مدى قوة الكائن ، فلن يكون قادرًا على تكوين دائرة مثلثة لأنه & # 8217s ليس من الممكن منطقيًا وجود مثل هذا الكائن.

لذا ، باختصار ، حتى الكائن كلي القدرة يجب أن يكون ملزمًا بقوانين المنطق ، ولن يكون قادرًا على فعل أي شيء غير ممكن منطقيًا. لذلك ، تدعي أننا لا يجب أن نتبع قوانين المنطق لأن & # 8220 هم مجرد آراء ، & # 8221 أو & # 8220 هم حكمة بشرية & # 8217s ، & # 8221 أو & # 8220 ، كل الأشياء ممكنة عند الله ، & # 8221 سخيفة وغير صالحة. دائمًا ما تكون قوانين المنطق صحيحة ويجب اتباعها دائمًا في جميع الأحاديث والمناقشات العقلانية ، بغض النظر عن معتقداتك الدينية.


حقائق الضرب - نصائح وقواعد وحيل لمساعدتك على التعلم

قد يبدو حفظ جدول الضرب بأكمله أمرًا صعبًا في البداية. مفتاح تعلم حقائق الضرب هو تقسيم العملية إلى دروس يمكن التحكم فيها. يتم ذلك من خلال سلسلة من القواعد أو "الحيل" التي يمكن تعلمها. بمجرد إتقان هذه الأمور ، سترى أنه من الضروري فقط حفظ عشر حقائق عن الضرب! أولاً ، ومع ذلك ، هناك العديد من المفاهيم الأساسية التي يجب فهمها. [caption align = "aligncenter" width = "640"] يمكن إجراء الضرب مع الجمع والطرح الأساسيين [/ caption]

  • الأول هو أن الضرب هو ببساطة طريقة سريعة للانضمام إلى مجموعات متساوية الحجم من خلال الجمع المتكرر. دعونا نلقي نظرة على المشكلة معًا:

سارة لديها 4 علب من أقلام التلوين. يوجد 3 أقلام تلوين في كل صندوق. كم عدد الطباشير الملون التي تمتلكها سارة؟ يمكن حل هذه المشكلة من خلال الإضافة المتكررة:

نسخة مختصرة من هذا ستكون استخدام جملة الضرب:

  • المفهوم الثاني الذي يجب فهمه هو ما يمثله كل رقم في مسألة الضرب. دعونا نلقي نظرة على نفس المشكلة مرة أخرى:

سارة لديها 4 علب من أقلام التلوين. يوجد 3 أقلام تلوين في كل صندوق. كم عدد الطباشير الملون التي تمتلكها سارة؟

في هذه الحالة ، تمثل (4) عدد المجموعات في المشكلة. (كان هناك 4 صناديق.) تمثل (3) عدد العناصر / العناصر الموجودة في كل مجموعة. (كان هناك 3 أقلام تلوين في كل صندوق).

  • المفهوم الثالث الذي سيساعدك في تعلم حقائق الضرب هو خاصية تبادلية الضرب. هذا ينص على أن عند ضرب رقمين معًا ، يكون المنتج (أو الإجابة) هو نفسه بغض النظر عن ترتيب الأرقام. على سبيل المثال:

3 × 2 = 2 × 3


قواعد القسمة الأساسية

فيما يلي بعض الأمثلة على الأسئلة التي يمكن حلها باستخدام بعض قواعد القابلية للقسمة أعلاه.

  • بما أن الرقم الأخير 65973390 هو 0 ، فإنه يقبل القسمة على 2.
  • بما أن 6 + 5 + 9 + 7 + 3 + 3 + 9 + 0 = 42 6 + 5 + 9 + 7 + 3 + 3 + 9 + 0 = 42 6 + 5 + 9 + 7 + 3 + 3 + 9 + 0 = 4 2 ، وهي قابلة للقسمة على 3 ، يترتب على ذلك أن 65973390 يقبل القسمة على 3.
  • بما أن الرقم الأخير 65973390 هو 0 ، فإنه يقبل القسمة على 5.
  • للتحقق من القابلية للقسمة على 7 ، كخطوة أولية ، نحسب 6597339-2 (0) = 6597339 6597339-2 (0) = 6597339 6 5 9 7 3 3 9 - 2 (0) = 6 5 9 7 3 3 9. ومع ذلك ، لا يزال هذا الرقم كبيرًا جدًا بالنسبة لنا لمعرفة ما إذا كان يقبل القسمة على 7. في مثل هذه الحالات ، نستمر في تطبيق قاعدة القسمة مرارًا وتكرارًا حتى نحصل على رقم صغير بما يكفي للعمل معه: 659733 - 2 (9) = 659715 65971 - 2 (5) = 65961 6596-2 (1) = 6594659-2 (4) = 651 65-2 (1) = 63. ابدأ659733-2 (9) & amp = 659715 65971-2 (5) & amp = 65961 6596-2 (1) & amp = 6594 659-2 (4) & amp = 651 65-2 (1) & أمبير = 63. نهاية 6 5 9 7 3 3 - 2 (9) 6 5 9 7 1 - 2 (5) 6 5 9 6 - 2 (1) 6 5 9 - 2 (4) 6 5 - 2 (1) = 6 5 9 7 1 5 = 6 5 9 6 1 = 6 5 9 4 = 6 5 1 = 6 3. يمكننا أن نرى الآن أنه يتبقى لنا 63 ، 63 ، 6 3 ، والذي يمكننا تحديده بسهولة كمضاعف للعدد 7. ومن ثم فإن 65973390 هو أحد مضاعفات 7 أيضًا.

جرب بعض المشاكل بنفسك لترى ما إذا كنت تفهم هذا الموضوع:

إذا علمنا أن العدد الصحيح هو مضاعف 5 ، فكم عدد الاحتمالات الموجودة لآخر رقمين من العدد الصحيح؟


1.2 الأعداد العشرية والأرقام الحقيقية

لدينا طريقة رائعة لتمثيل الأعداد بما في ذلك الكسور ، وهي عبارة عن توسعات عشرية. لنفترض أننا نعتبر أرقامًا مثل ( frac <1> <10> ) ، ( frac <2> <10> ) ، (وهو نفس ( frac <1> <5> )) ، ( frac <3> <10> ) ، وهكذا.

نكتبها كـ (. 1 ، .2 ، .3 ) ، وهكذا. النقطة العشرية هي رمز يخبرنا أن الرقم الذي يقع خلفه يجب قسمة على عشرة.

يمكننا توسيع هذا إلى الأعداد الصحيحة مقسومة على مائة ، بإضافة رقم ثانٍ بعد الفاصلة العشرية. وبالتالي (. 24 ) تعني ( frac <24> <100> ). ويمكننا الاستمرار في وصف الأعداد الصحيحة مقسومة على ألف أو على مليون وهكذا ، على سلاسل أطول وأطول من الأعداد الصحيحة بعد الفاصلة العشرية.

ومع ذلك ، لا نحصل على جميع الأعداد المنطقية بهذه الطريقة إذا توقفنا. لن نحصل إلا على الأعداد النسبية التي مقاماتها قوى العدد عشرة. رقم مثل 1/3 سيصبح (. 33333. ) ، حيث تستمر الثلاثيات إلى الأبد. (يُكتب هذا غالبًا كـ (. 3 * ) ، تشير النجمة إلى أن ما يسبقها مباشرة يتكرر إلى ما لا نهاية)

للحصول على جميع الأعداد المنطقية باستخدام هذا الرمز العشري ، يجب أن تكون على استعداد للاستمرار إلى الأبد. إذا قمت بذلك ، فستحصل على أكثر من الأرقام المنطقية. تمنحك مجموعة كل متواليات الأرقام التي تبدأ بعلامة عشرية جميع الأعداد المنطقية بين 0 و 1 وحتى أكثر. ما تحصل عليه يسمى أرقام حقيقية بين 0 و 1. تبين أن الأرقام المنطقية هي تلك التي تتكرر بلا نهاية ، مثل (. 33333. ) ، أو (. 1000. ) ، أو (. 14141414. ) ، (المعروف أيضًا باسم (. (. 14) * )).

الآن لا أنت ولا أنا ولا أي جهاز كمبيوتر سنستمر حقًا في كتابة رقم إلى الأبد ، لذلك هناك شعور بعدم الواقعية حول فكرة الأرقام الحقيقية ، ولكن ماذا في ذلك؟ في مخيلتك يمكنك أن تتخيل دفقًا من الأرقام يستمر إلى الأبد. سيمثل ذلك رقمًا حقيقيًا.

إذا قمت بإيقاف رقم حقيقي بعد عدد محدود من الأرقام ، فستحصل على رقم منطقي (لأن جميع إدخالاته بعد المكان الذي توقفت فيه عبارة عن أصفار). نتيجة لذلك ، يمكن استخدام قواعد الجمع والطرح والضرب والقسمة التي تعمل مع الأعداد المنطقية للقيام بنفس الأشياء للأرقام الحقيقية أيضًا. لحسن الحظ ، فإن الأرقام الموجودة في أقصى يمين الفاصلة العشرية في رقم ما لها تأثير ضئيل على العمليات الحسابية عندما تكون هناك أرقام غير صفرية أقرب بكثير إلى الفاصلة العشرية.

نظرًا لأنه لا يمكننا في الحياة الواقعية الاستمرار إلى الأبد في وصف رقم حقيقي غير منطقي ، للقيام بذلك علينا أن نصفه بطريقة أخرى. فيما يلي مثال على طريقة مختلفة لوصف رقم.
نحدد الرقم الذي يحتوي على توسيع عشري (. 1101001000100001. ) بين كل زوج متتالي من (1 ) يوجد عدد من (0 ) أي أكثر من زوج متتالي من الآحاد.هذا الرقم ليس عقلانيًا فهو لا يكرر نفسه.

لسنا مضطرين لذلك ، ولكن من أجل المتعة فقط ، سنذهب خطوة أخرى إلى الأمام ونوسع أعدادنا مرة أخرى ، إلى الأعداد المركبة. هذا مطلوب إذا كنت تريد تحديد انعكاسات لعملية تربيع رقم. (الأرقام المركبة هي كيانات من النموذج (أ + ثنائية ) حيث (أ ) و (ب ) أرقام حقيقية و (أنا ) تربيع هو (- 1 ).)


قواعد الجبر للأسس

حاصل ضرب قوتين لهما نفس الأساس يساوي ذلك الأساس مرفوعًا إلى مجموع الأسين.

كما هو الحال مع العديد من القواعد المتعلقة بالأسس ، فإن كتابة الأس على شكل عمليات ضرب يوضح سبب صحة القاعدة

العدد المرفوع إلى قوة مرفوعة إلى أس يساوي ذلك الرقم المرفوع إلى حاصل ضرب الأسين.

مثل القاعدة السابقة ، يمكن توضيح هذه القاعدة ببساطة عن طريق فك الأسس إلى سلسلة من المضاعفات

حوّل عملية ضرب بأس إلى حاصل ضرب عاملين مرفوعين إلى الأس.

بفضل الخاصية التبادلية لعملية الضرب ، يمكن إعادة ترتيب أي سلسلة من المضاعفات دون تغيير قيمتها. هذا يعني أنه يمكننا أخذ عملية ضرب مرفوعة إلى أس وإعادة ترتيب سلسلة الضرب الناتجة للحصول على أسين

نتيجة الأس السالب هي معكوس نفس الأس الموجب.

قد يبدو من الغريب أن يكون لديك أس سالب (حيث لا يمكنك ضرب شيء ما في نفسه عددًا سالبًا). ومع ذلك ، إذا ألقينا نظرة فاحصة على القاعدة `` a ^ na ^ m = a ^`` يمكننا أن نرى أنه يشير إلى أن '' a ^ <-n> `يجب أن يساوي` `<1 over a ^ n>` `، المعكوس الضربي أو متبادل من `` a ^ n ''.

يصبح هذا واضحًا عند النظر إلى ملف `` a ^`` جانب المعادلة من القاعدة 11. ماذا يحدث إذا كان `` m '' سالبًا؟ من الواضح أن هذا سيقلل من القيمة المجمعة للأس (على سبيل المثال ، `` 2 ^ <4-2> = 2 ^ 2 ''). ماذا يعني هذا بالنسبة لـ متبقى جانب اليد من `` a ^ na ^ m = a ^"المعادلة؟ هذا يعني أنه يجب تقليل قيمة ، على سبيل المثال ، `` 2 ^ 4 '' إلى `` 2 ^ 2 '' عند ضربها بـ `` 2 ^ <-2> ''. إذا كان ، كما تنص هذه القاعدة ، `` a ^ <-n> = <1 over a ^ n> `` ، فإن هذا يعمل بشكل مثالي: "2 ^ 4 * 2 ^ <-2> = 2 ^ 4 * < 1 أكثر من 2 ^ 2> = 16 * <1 أكثر من 4> = 4 = 2 ^ 2 = 2 ^ <4-2> ``

الكسر المرفوع إلى الأس السالب يساوي معكوس الكسر المرفوع إلى الأس الموجب.

مقلوب الكسر هو الكسر المقلوب على رأسه: مقلوب '<2 over 3> `` هو `` <3 over 2> ``. نعلم من القاعدة السابقة أن `` a ^ <-n> '' هو مقلوب `` a ^ n '' ، لذلك يمكننا ببساطة تحويل الكسر إلى مقلوبه عن طريق تبادل البسط والمقام ، ثم الأس يصبح إيجابيا. الإيجابية شيء جميل!

الكسر ذو الأس يساوي نفس الكسر مع الأس على البسط والمقام.

يبدو هذا غريبًا في البداية ، لكن الأسباب الكامنة وراءه بسيطة جدًا. إذا كنا ننتبه عندما أخبرنا أحدهم بكيفية ضرب الكسور (هذا أمر مشكوك فيه ، لكننا سنستمر على أي حال) فسوف نتذكر أنه لضرب كسرين ، فإنك ببساطة تضرب البسط مع بعضها البعض وتضرب المقامات ببعضها البعض للحصول على الكسر الناتج. هذه القاعدة تتبع من تلك الحقيقة.

إذا كان الجزء العلوي والسفلي من الكسر أسًا لهما نفس القاعدة ، فإن الكسر يساوي القاعدة المرفوعة إلى الأس البسط مطروحًا منه الأس المقام.

هذا هو واحد بسيط جدا. نظرًا لأن القسمة هي معكوس الضرب ، فإن ضرب رقم في نفسه عدة مرات ثم قسمة الرقم على نفسه مضروبًا بضع مرات هو نفسه مجرد ضربه في نفسه بضع مرات أقل.

أي عدد مرفوع للقوة الأسية يساوي 1.

قد تبدو هذه القاعدة اعتباطية ، لكنها ضرورية للحفاظ على التناسق مع الخصائص الأخرى للأسس. ضع في اعتبارك القاعدة `` a ^ na ^ m = a ^". ماذا يحدث إذا كان `` م = 0 ''؟ سيكون الجانب الأيمن من المعادلة هو `` أ ^أو `` a ^ n ''. هذا يعني أنه في الجانب الأيسر ، يجب ضرب `` a ^ n '' بقيمة `` a ^ 0 '' ، لكن يبقى دون تغيير. الطريقة الوحيدة لذلك هي إذا كان `` a ^ 0 = 1 ''. (للاطلاع على بعض المناقشات حول الحالة الغريبة لـ `` 0 ^ 0 '' ولماذا (على الأرجح) يجب أن تساوي `` 1 '' ، راجع هذه المقالة.)


شاهد الفيديو: أساسيات الرياضيات la base لطلبة لبكالوريا الجزء الأول (ديسمبر 2021).