مقالات

7.2: الخطوط المتوازية - الرياضيات


7.2: الخطوط المتوازية - الرياضيات

7.2: الخطوط المتوازية - الرياضيات

2.7.2 المسلمة المتوازية الزائدية اطبع
من لا شيء خلقت عالمًا جديدًا غريبًا.
يانوس بولياي (1802–1860)

المسلمة المتوازية الزائدية. من خلال نقطة ليست على خط يوجد أكثر من خط موازٍ للخط المحدد.

كما هو الحال مع المسلمة الموازية الإقليدية ، هناك العديد من العبارات التي تعادل المسلسل المتوازي الزائدي. يتم إعطاء قائمة عينة أدناه. لاحظ التشابه مع الافتراضات الإقليدية المكافئة من هذا النمط ، يجب أن نكون قادرين على رؤية العديد من العبارات المكافئة الأخرى. إن نصف مستوي بوانكاريه هو نموذج للهندسة الزائدية ، والتي أكملنا بها العديد من الأمثلة في الأقسام السابقة. قرص بوانكاريه هو نموذج آخر للهندسة الزائدية. انقر هنا للحصول على رسم توضيحي لقرص Poincaré أو تحقق من قرص Poincaré باستخدام برنامج java تفاعلي غير إقليدي . لن تطور دورة المسح هذه أو تثبت أيًا من المفاهيم في الهندسة الزائدية. تهدف التدريبات أدناه إلى استكشاف المبادئ الأساسية بدون دليل. تعمل العديد من الكتب حول الهندسة غير الإقليدية على تطوير مفاهيم الهندسة الزائدية تمامًا ، انظر تلك للحصول على البراهين.


العرض الزائدي 2.1. مجموع قياسات زوايا المثلث أقل من 180.

العرض الزائدي 2.2. المثلثات المتشابهة مثلثات متطابقة.

العرض الزائدي 2.3. من خلال نقطة معينة ليست على خط هناك عدد لانهائي من الخطوط الموازية للخط المعطى.

العرض الزائدي 2.4. قياس زوايا قمة ساكيري رباعي الأضلاع أقل من 90.

العرض الزائدي 2.5. لا يوجد شكل رباعي مستطيل.

استخدم برنامج الهندسة الديناميكية مع Poincaré Half-plane لتحقيقات البناء (Geometer's Sketchpad أو GeoGebra أو غير إقليدي). يوجد البرنامج النصي الخاص بلوحة رسم Geometer أو GeoGebra Poincaré Half-plane في الملحق B من صفحة العنوان والفهرس. تأكد من استخدام أدوات البناء نصف المستوية Poincaré للخطوط والأشعة والمقاطع والزوايا والدوائر وما إلى ذلك. لا تستخدم الأدوات الإقليدية.

تمرين 2.68. بناء مثلث في Poincaré Half-plane. (أ) أوجد مجموع قياسات الزوايا. (ب) أوجد مثلثًا حيث يكون مجموع قياسات الزوايا أقل من 5. (ج) أوجد مثلثًا يكون مجموع قياساته أكبر من 175.

تمرين 2.69. (أ) قم ببناء خطين متعامدين في نصف مستوي بوانكاريه ، كما هو موضح على اليمين. (ب) إثبات أن الخطين متعامدين. (ج) هل هذا البناء صالح للهندسة المحايدة (أو الهندسة الإقليدية)؟ يشرح.

تمرين 2.70.استخدم الإجراء من التمرين 2.69 لهذا التمرين. (أ) قم ببناء Saccheri الرباعي في نصف المستوى Poincaré الذي يحتوي على القاعدة والجوانب كلها متطابقة. (ب) هل يمكننا أن نقول أنه في العالم القطعي ، & quot ؛ لا يوجد جسم يمثل & quot؛ مربع & quot؛ & quot؟ يشرح.

تمرين 2.71. (أ) قم ببناء رباعي الأضلاع في Poincaré Half-plane الذي يحتوي على ثلاث زوايا قائمة. (يسمى هذا الرباعي بعده لامبرت الرباعي يوهان لامبرت (1728-1777).) (ب) ما هو قياس الزاوية الرابعة؟ (ج) إثبات أو دحض أن رباعي لامبرت هو متوازي أضلاع. (د) هل نتيجة الجزء (ج) صالحة للهندسة المحايدة (أو الهندسة الإقليدية)؟

تمرين 2.72.(أ) قم ببناء خطين متوازيين في Poincaré Half-plane عن طريق بنائهما بشكل عمودي على نفس الخط. (ب) ماذا يحدث للمسافة بين الخطين المتوازيين عندما تبتعد عن الخط العمودي؟

تمرين 2.73. تحقق من السؤال: في نصف مستوي بوانكاريه ، هل يوجد دائمًا خطان متوازيان لديهما عمودي مشترك؟ إذا لم يكن لديهم دائمًا عمودي مشترك ، فكيف يرتبط الخطان المتوازيان؟

تمرين 2.74. استخدم تعريفات النماذج ، ليس Geometer & # 39s Sketchpad أو GeoGebra لهذا التمرين. معطى أ(0 ، 2) ، ب(0, 1), ج ، و د في بوانكاريه نصف الطائرة. (أ) عرض رباعي ا ب ت ث هو رباعي الأضلاع Saccheri. (ب) كيف يقارن أطوال القمة والقاعدة؟


لوحة ماهاراشترا - الدرجة 9 - حلول الرياضيات - الفصل السابع - مجموعة ممارسة الهندسة التنسيقية 7.2

السؤال رقم 1.
على ورقة الرسم البياني ، ارسم النقاط أ (3 ، 0) ، ب (3 ، 3) ، ج (0 ، 3). انضم إلى أ ، ب ، ب ، ج. ما هو الشكل المكون؟
Soiution:

د (O ، A) = 3 سم ، د (أ ، ب) = 3 سم ، د (ب ، ج) = 3 سم ، د (O ، ج) = 3 سم وكل زاوية من □ OABC تساوي 90 درجة
∴ □ OABC مربع.

السؤال 2.
اكتب معادلة الخط الموازي للمحور ص على مسافة 7 وحدات منه إلى يساره.
المحلول:
معادلة الخط الموازي للمحور Y هي x = a.
بما أن الخط على مسافة 7 وحدات يسار المحور ص ،
∴ أ = -7
∴ س = -1 هي معادلة الخط المطلوب.

السؤال 3.
اكتب معادلة الخط الموازي للمحور السيني على مسافة 5 وحدات منه وتحت المحور السيني.
المحلول:
معادلة الخط الموازي للمحور السيني هي ص = ب.
منذ ذلك الحين ، يقع الخط على مسافة 5 وحدات أسفل المحور السيني.
∴ ب = -5
∴ y = -5 هي معادلة الخط المطلوب.

السؤال 4.
النقطة Q (-3 ، -2) تقع على خط موازٍ للمحور ص. اكتب معادلة الخط وارسم الرسم البياني الخاص به.
المحلول:
معادلة الخط الموازي للمحور Y هي x = a.
هنا ، أ = -3
∴ س = -3 هي معادلة الخط المطلوب.

السؤال 5.
المحور Y والخط x = & # 8211 4 خطوط متوازية. ما هي المسافة بينهما؟
المحلول:
معادلة المحور ص هي س = 0.
معادلة الخط الموازي للمحور Y هي x = & # 8211 4. & # 8230 [معطى]
∴ المسافة بين المحور Y والخط x = & # 8211 4 هي 0 & # 8211 (- 4) & # 8230 [0 & gt -4]
= 0 + 4 = 4 وحدات
∴ المسافة بين المحور ص والخط x = & # 8211 4 هي 4 وحدات.
[ملاحظة: تم تعديل السؤال لأن المحور X لا يمكن أن يكون موازيًا للخط x = & # 8211 4.]

السؤال 6.
أي من المعادلات الواردة أدناه بها رسوم بيانية موازية للمحور X وأي منها بها رسوم بيانية موازية للمحور ص؟ [1 ضع علامة على كل منها]
أنا. س = 3
ثانيا. y & # 8211 2 = 0
ثالثا. س + 6 = 0
رابعا. ص = -5
المحلول:
أنا. معادلة الخط الموازي للمحور Y هي x = a.
∴ الخط x = 3 يوازي المحور Y.

ثانيا. y & # 8211 2 = 0
∴ ص = 2
معادلة الخط الموازي للمحور السيني هي ص = ب.
∴ الخط y & # 8211 2 = 0 موازٍ للمحور السيني.

ثالثا. س + 6 = 0
∴ س = -6
معادلة الخط الموازي للمحور Y هي x = a.
∴ الخط x + 6 = 0 يوازي المحور ص.

رابعا. معادلة الخط الموازي للمحور السيني هي ص = ب.
∴ الخط y = & # 8211 5 يوازي المحور X.

السؤال 7.
على ورقة الرسم البياني ، ارسم النقاط أ (2 ، 3) ، ب (6 ، -1) وج (0 ، 5). إذا كانت هذه النقاط على خط واحد ، فقم برسم الخط الذي يتضمنها. اكتب إحداثيات النقاط التي يتقاطع عندها الخط مع المحور السيني والمحور الصادي.
المحلول:

من الرسم البياني ، يتقاطع الخط المرسوم مع المحور X عند D (5 ، 0) والمحور Y عند C (0 ، 5).

السؤال 8.
ارسم الرسوم البيانية للمعادلات التالية على نفس نظام الإحداثيات. اكتب إحداثيات نقاط تقاطعها.
س + 4 = 0 ،
ذ & # 8211 1 = 0 ،
2 س + 3 = 0 ،
3 س & # 8211 15 = 0
المحلول:
أنا. س + 4 = 0
∴ س = & # 8211 4

ثالثا. 2 س + 3 = 0
∴2x = -3
∴ س = ( فارك <-3> <2> )
∴ س = -1.5

رابعا. 3 س - 15 = 0
3 ص = 15
ص = ( فارك <15> <3> )
∴ ص = 5

إحداثيات نقطة تقاطع x + 4 = 0 و y & # 8211 1 = 0 هي A (-4، 1).
إحداثيات نقطة التقاطع لـ & # 8211 1 = 0 و 2 س + 3 = 0 هي ب (-1.5 ، 1).
إحداثيات نقطة تقاطع 3y & # 8211 15 = 0 و 2x + 3 = 0 هي C (-1.5، 5).
إحداثيات نقطة تقاطع x + 4 = 0 و 3y & # 8211 15 = 0 هي D (-4 ، 5).

السؤال 9.
ارسم الرسوم البيانية للمعادلات الواردة أدناه.
أنا. س + ص = 2
ثانيا. 3 س & # 8211 ص = 0
ثالثا. 2 س + ص = 1
المحلول:
أنا. س + ص = 2
∴ ص = 2 & # 8211 س
عندما x = 0 ،
ص = 2 & # 8211 س
= 2 – 0
= 2
عندما س = 1 ،
ص = 2 & # 8211 س
= 2 – 1
= 1
عندما س = 2 ،
ص = 2 & # 8211 س
= 0

ثانيا. 3 س & # 8211 ص = 0
∴ ص = 3 س
عندما x = 0 ،
ص = 3 س
= 3(0)
= 0

عندما س = -1 ،
ص = 3 س
= 3(-1)
= -3

ثالثا. 2 س + ص = 1
∴ ص = 1 & # 8211 2 س
عندما x = 0 ،
ص = 1 & # 8211 2 س
= 1 – 2(0)
= 1 & # 8211 س
عندما س = 1 ،
ص = 1 & # 8211 2 س
= 1- 2(1)
= 1 – 2
= -1
عندما س = -1 ،
ص = 1 & # 8211 2 س
= 1 – 2(-1)
= 1 + 2
= 3

لوحة ماهاراشترا ، الفصل 9 ، الرياضيات ، الفصل 7 ، مجموعة ممارسة الهندسة المنسقة ، 7.2 أسئلة وأنشطة مهمة

السؤال رقم 1.
أنا. هل يمكننا رسم خط موازٍ للمحور السيني على مسافة 6 وحدات منه وتحت المحور السيني؟
ثانيا. هل ستكون جميع النقاط (-3 ، -6) ، (10 ، -6) ، ( ( frac <1> <2> ) ، -6) على هذا السطر؟
ثالثا. ما هي معادلة هذا الخط؟ (كتاب مدرسي ، الصفحة رقم 94)
المحلول:

أنا. نعم فعلا.
سيمر هذا الخط بالنقطة (0 ، -6).

ثانيا. نعم فعلا.
هنا ، الإحداثي y للنقاط (-3 ، -6) ، (10 ، -6) ، ( ( frac <1> <2> ) ، -6) هو نفسه ، وهو -6.
∴ جميع النقاط المذكورة أعلاه تقع على نفس الخط.

ثالثا. منذ ذلك الحين ، يقع الخط على مسافة 6 وحدات أسفل المحور السيني.
∴ ب = -6
∴ معادلة الخط هي y = -6.

السؤال 2.
أنا. هل يمكننا رسم خط موازٍ للمحور Y & # 8211 على مسافة وحدتين من ¡t وإلى اليمين؟
ثانيا. هل ستكون جميع النقاط (2 ، 10) ، (2 ، 8) ، (2 ، -) على هذا الخط؟
ثالثا. ماذا ستكون معادلة هذا الخط؟ (كتاب مدرسي الصفحة رقم 95)
المحلول:

أنا. نعم فعلا.
(2, 10)
سيمر هذا الخط بالنقطة (2 ، 0).
(2,8)
ثانيا. نعم فعلا.
هنا ، الإحداثي x للنقاط (2 ، 10) ، (2 ، 8) ، (2 ، - ( frac <1> <2> )) هو نفسه ، وهو 2.
∴ جميع النقاط المذكورة أعلاه تقع على نفس الخط.

ثالثا. منذ ذلك الحين ، الخط على مسافة 2 وحدة على يمين المحور ص.
أ = 2
∴ معادلة الخط هي x = 2.

السؤال 3.
على ورقة الرسم البياني ، ارسم النقاط (0 ، 1) ، (1 ، 3) ، (2 ، 5). هل هم على علاقة خطية؟ إذا كان الأمر كذلك ، ارسم الخط الذي يمر من خلالها.
أنا. من أي أرباع يمر هذا الخط؟
ثانيا. اكتب إحداثيات النقطة التي تتقاطع عندها مع المحور ص.
ثالثا. اعرض أي نقطة في الربع الثالث تقع على هذا الخط. اكتب إحداثيات النقطة. (كتاب مدرسي ، الصفحة رقم 96)
المحلول:
أنا. يمر الخط عبر الأرباع الأول والثاني والثالث.
ثانيا. يتقاطع الخط مع المحور ص عند (0 ، 1).
ثالثا. (-1 ، -1)


المستقيمات المتوازية والعمودية

عند تمديد خطين في الطائرة ، إما يلتقيان أو لا يلتقيان على الإطلاق.

خطوط متوازية
خطان على نفس المستوى متوازيان إذا لم يتقاطع أحدهما مع الآخر حتى لو قمنا بتمديدهما. المسافة بينهما هي نفسها دائمًا ولديهما نفس الانحدار تمامًا مما يعني أن منحدراتهما متطابقة. والفرق الوحيد بين خطين متوازيين هو الجزء المقطوع من المحور y.

خطوط متعامدة
يكون خطان في نفس المستوى متعامدين إذا تقاطعا ويشكلان زاوية قائمة (90 درجة) عند نقطة التقاطع. الخطوط العمودية ليس لها نفس الانحدار. تختلف منحدرات الخطوط المتعامدة عن بعضها البعض. ميل أحد الخطين هو سالب مقلوب ميل الخط الآخر.

نذكر حقيقة كيفية تغير الانحدار والانحدار لخطين اعتمادًا على موضعهما.

حقيقة أن خطين متوازيين مع بعضهما البعض ، متعامدين مع بعضهما البعض أو أحدهما يعتمد على ميلهما ، وبالتالي فإن قيمة انحدارهما.

إذا كان لدينا سطرين في المستوى $ displaystyle <_ <1>> $ و $ displaystyle <_ <2>> $ مع التدرج اللوني على التوالي $ displaystyle <_ <1>> $ و $ displaystyle <_<2>>$

1. الخطوط $ displaystyle <_ <1>> $ و $ displaystyle <_ <2>> $ متوازي إذا كان لهما نفس الميل $ displaystyle <_<1>>=<_<2>>$

2. الخطوط $ displaystyle <_ <1>> $ و $ displaystyle <_ <2>> $ متعامدة إذا كانت منحدراتها سلبية متبادلة مع بعضها البعض $ displaystyle <_ <1>> = - فارك <1> <<<_<2>>>>$

عندما نضرب تدرجات خطين متعامدين ، يكون الناتج دائمًا ناقص واحد._ <1>> cdot <_<2>>=-1$

مثال 1: حدد أي الخطوط متوازية وأيها عمودي.

المستقيمات المتوازية لها نفس الميل. بما أن الدالتين $ displaystyle y = 3x + 1 $ و $ displaystyle y = 3x + 12 $ لكل منهما نفس الميل 3 ، فهما يمثلان خطوطًا متوازية.

الخطوط العمودية لها ميل سالب مقلوب. بما أن -4 و -1/4 مقلوبان سالبان ، فإن المعادلات $ displaystyle y = frac <1> <4> x-5 $ و $ displaystyle y = -4x + 1 $ ، فهما يمثلان خطوطًا متعامدة.

مثال 2: ابحث عن معادلة الخط العمودي على الخط $ displaystyle y = 2x-2 $ ويمر بالنقطة (1،3).

نعلم أن المعادلة العامة للخط المستقيم هي $ displaystyle y = mx + c $

أولًا ، علينا إيجاد التدرج اللوني للخط $ displaystyle y = 2x-2 $

إذا قمنا بتسمية التدرج اللوني للخط على أنه $ displaystyle <_ <1>> $ وتدرج الخط العمودي مع السطر $ displaystyle <_ <2>> $ ثم نعلم أن حاصل ضرب هذين التدرجين يجب أن يكون -1.
انحدار خطنا هو $ displaystyle <_<1>>=2$.
وفي الوقت نفسه ، فإن ميل الخط العمودي على الخط هو: $ displaystyle <_ <2>> = - فارك <1> <<<_<1>>>>$
$ displaystyle <_ <2>> = - فارك <1> <2> دولار

بعد إيجاد التدرج اللوني ، تأخذ معادلة الخط الذي نريد إيجاده الصيغة $ displaystyle y = - frac <1> <2> x + c $.

لإيجاد قيمة c ، نعوض بالنقطة (1،3) في معادلتنا ، لأن التمثيل البياني لهذا الخط يمر عبر هذه النقطة.

$ displaystyle 3 = - frac <1> <2> cdot 1 + c $

الشكل النهائي للخط المتعامد مع السطر المعطى هو: $ displaystyle y = - frac <1> <2> x + frac <7> <2> $


7.2: الخطوط المتوازية - الرياضيات

تشير التدريبات من 1 إلى 5 إلى هندسة فانو.

1. الشكل الهندسي له نفس عدد النقاط تمامًا مثل الخطوط.

الجواب: حقيقي. المحلول: هناك 7 نقاط و 7 خطوط.

2.يتقاطع كل زوج من الخطوط في الهندسة في نقطة في الهندسة.

الجواب: حقيقي. المحلول: اكسيوم 5 يقول ذلك.

3. تحدد كل نقطتين مميزتين في الهندسة خطًا فريدًا في الهندسة..

الجواب: حقيقي. المحلول: هذا هو اكسيوم 4.

4. يؤدي تغيير بديهية واحدة إلى هندسة يونغ.

الجواب: حقيقي. المحلول: تحصل على هندسة يونغ من خلال تغيير اكسيوم 5.

5. تحتوي الهندسة على ثمانية أسطر على الأقل.

الجواب: خاطئة. المحلول: تنص النظرية 1.8 على وجود سبعة أسطر بالضبط في الهندسة.

10. اشرح لماذا لا تعطي C (7،2) عدد الخطوط في هندسة Fano ، ولكن يمكن استخدامها لاشتقاق العدد الصحيح من الخطوط.

المحلول: C (7،2) = 21 ، تحسب عدد أزواج النقاط في الهندسة. بينما يحدد كل زوج خطًا ، فليس صحيحًا أن كل سطر به نقطتان فقط. ينص Axiom 2 على أن كل سطر به 3 نقاط ، وبالتالي ، فإن سطرًا واحدًا يتعارض مع C (3،2) = 3 أزواج من النقاط إلى العدد الإجمالي. قسمة 21 على 3 ستعطي العدد الصحيح من الأسطر ، أي 7.

11. بالنسبة إلى هندسة فانو ، أثبت أن كل نقطة تقع على ثلاثة خطوط بالضبط.

  1. (بدون استخدام Thm. 1.8) اختر سطرًا ل (موجود بواسطة اكسيوم 1). اختر أي نقطة P ليست قيد التشغيل ل (موجود في اكسيوم 3). نظرًا لأن l لديها 3 نقاط (Axiom 2) ، فإن ربط P لكل منها يعطي ثلاثة خطوط مميزة عبر P (بواسطة Axiom 4 يوجد خط من خلال gh P وكل نقطة من هذه النقاط. إذا احتوى أحد هذه الخطوط على نقطتين من ل، لا بد ان تكون كذلك ل بواسطة Thm 1.7 ، لكن هذا يتعارض مع حقيقة أن P ليس قيد التشغيل ل.) إذا كان هناك خط آخر عبر P ، فلن يلتقي ل، شارك في تداول Axiom 5 ، لذلك هناك 3 أسطر بالضبط من خلال P. هذه الوسيطة تهتم بجميع النقاط غير الموجودة في ل، للتعامل مع نقطة ل، قل Q ، اختر خطًا عبر P لا يحتوي على Q وكرر الوسيطة باستخدام Q وهذا الخط.
  2. (باستخدام Thm. 1.8) فليكن P أي نقطة. هناك 6 نقاط أخرى في الهندسة بجانب P (Thm. 1.8). يتم ربط P بكل خط (اكسيوم 4). نظرًا لأن كل سطر يحتوي على 3 نقاط (بديهية 2) ، فإن كل سطر من هذه الخطوط يحتوي على نقطتين إلى جانب P. وهكذا ، هناك ما لا يقل عن 3 خطوط عبر P. يجب أن يحتوي أي خط آخر عبر P على نقطتين ، واحدة على كل من نقطتين. الخطوط المختلفة التي قمنا بإنشائها بالفعل من خلال P (وإلا تم انتهاك Axiom 4) ، ولكن هذا ينتهك Axiom 4. لذلك ، هناك ثلاثة أسطر بالضبط من خلال P.

المحلول: عند إعطاء نقطة P ، من خلال Axiom 4 ، يتم ربط أي نقطة أخرى في الهندسة بـ P بواسطة خط. وبالتالي ، فإن جميع النقاط موجودة على الخطوط عبر P.

13. بالنسبة لهندسة فانو ، أثبت أنه بالنسبة لأي زوج من النقاط في الهندسة ، يوجد سطرين بالضبط لا يحتويان على أي من النقطتين.

المحلول: من خلال التمرين 11 ، هناك ثلاثة خطوط في كل نقطة من نقاط الهندسة. بالنظر إلى نقطتين مميزتين ، P و Q ، يوجد الخط الذي يربط بينهما وخطين آخرين عبر كل نقطة من هذه النقاط. هذا هو إجمالي 5 أسطر. نظرًا لوجود 7 خطوط في الهندسة (Thm 1.8) ، فهناك خطان بالضبط لا يمران عبر P أو Q.

14. بالنسبة لهندسة فانو ، أثبت أنه بالنسبة لمجموعة من ثلاثة خطوط لا تحتوي جميعها على نفس النقطة ، توجد نقطة واحدة بالضبط في الهندسة ليست على أي من الخطوط الثلاثة.

المحلول: خذ سطرين ودع النقطة التي يلتقيان فيها تسمى P (توجد بواسطة Thm. 1.7). لا يمر السطر الثالث عبر P من خلال الافتراض ، لذلك يجب أن يفي بالخطين الأصليين في نقاط مختلفة عن P ، لنقل Q على سطر واحد و R على الآخر. الخطوط الثلاثة ، PQ و PR و QR ، ثم تشكل مثلثًا. نظرًا لأن كل سطر من هذه الأسطر له بالفعل نقطة مشتركة ، فلا يمكن أن يشترك أي منهما في نقطة أخرى (Thm. 1.7). نظرًا لأن كل سطر يحتوي على 3 نقاط (بديهية 2) ، فهناك نقطة أخرى في كل سطر من هذه الخطوط. وهكذا نحصل على ثلاث نقاط أخرى إلى جانب P و Q و R على هذه الخطوط بإجمالي 6 نقاط. بواسطة Thm 1.8 ، هناك 7 نقاط في الهندسة ، لذلك هناك نقطة واحدة بالضبط ليست على أي من الخطوط الثلاثة.

15. ارسم نموذجًا للهندسة التي ترضي الأكسيوم 1 و 2 لهندسة فانو ولكن ليس أكسيوم 3.

16. ارسم نموذجًا للهندسة التي ترضي الأكسيوم 1 و 3 لهندسة فانو ولكن ليس أكسيوم 2.

19. بالنسبة إلى هندسة يونج ، أثبت أن سطرين متوازيين مع خط ثالث متوازيان. تلميح: استخدم اكسيوم 5 واثبت بالتناقض.

المحلول: افترض ذلك ، للخطوط المميزة ل ، م ، ن، لدينا ل || م و م || ن. لو ل || ن، لا يوجد شيء لإثباته ، لذا افترض ذلك ل و ن يجتمع عند نقطة P. منذ P على ل و ل || م، P ليس قيد التشغيل م. لدينا الآن تناقض مع Axiom 5 (لهندسة يونج) نظرًا لوجود خطين عبر P لا يتقاطعان م. وبالتالي ، يجب أن يكون لدينا ل || ن.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك وموقعه الدقيق ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


7.2: الخطوط المتوازية - الرياضيات

أنظمة المعادلات الخطية: تحذيرات (صفحة 3 من 7)

تعمل معظم المسائل & quots عن طريق الرسم البياني & quot بشكل جيد ، ولكنها في بعض الأحيان ستمنحك نظامًا غير متسق (أي خطين متوازيين) أو نظامًا تابعًا (أي شكلين من نفس معادلة الخط). هذا ما ستبدو عليه هذه الحالات:

ذ = 36 & ndash 9x
3
x + ذ/3 = 12

كالعادة ، سأحل أولاً معادلات & quot ذ = & مثل. المعادلة الأولى ، في هذه الحالة ، تم حلها بالفعل ، لذا الآن سأحل المعادلة الثانية: حقوق الطبع والنشر ونسخ إليزابيث ستابيل 2003-2011 جميع الحقوق محفوظة

3x + ذ /3 = 12
9x + ذ = 36
ذ = 36 & ndash 9x

مع حل المعادلتين لـ & quot ذ = & quot ، أستطيع أن أرى أن هاتين المعادلتين هما في الواقع نفس السطر! يخبرني الجبر أن هذا نظام تابع ، والحل هو الخط بأكمله. بالطبع ، هذا هو & quotsolving من خلال الرسم البياني & quot المشكلة ، لذلك لا يزال يتعين علي القيام بالرسم البياني ، لكنني أعرف الإجابة بالفعل.

المحلول: ذ = 36 & ndash 9x

الحل لهذا النظام هو الخط بأكمله ، لذلك ، في لي الصفوف ، يمكنك إعطاء الإجابة على أنها & quot ذ = 36 & ndash 9x & مثل. ومع ذلك ، فإن معظم الكتب تفعل شيئًا كالتالي: أنت تبحث عن ملف x,ذ - الحل ، وفي هذه الحالة ، x = x و ذ = 36 & ndash 9x لذا فإن الحل & quot؛ & quot هو من الشكل (xو 36 و - 9x). ولكن بعد ذلك يقوم الكتاب بهذا الشيء الغريب بـ & quot أ & quot (أو & quot ر & quot أو & quot س & quot أو بعض المتغيرات الأخرى). بدلا من استخدام ملفات x ، وهو متغير جيد تمامًا ، يسحبون هذا المتغير الجديد من خلف أذنهم اليسرى ويعطون الحل كـ & quot (أو 36 و - 9أ) & مثل. ليس لدي أي فكرة عن سبب قيامهم بذلك ، ولكن إذا كان كتابك يفعل ذلك ، فإن (تحذير!) هذا هو التنسيق الذي يريده معلمك في الاختبار. تأكد من حفظ المتغير الذي يستخدمه كتابك الخاص (والذي كان & quot أ & quot في هذا المثال).

7x + 2ذ = 16
& ndash21
x & - 6ذ = 24

كالعادة ، سأحل أولاً كل معادلة لـ & quot ذ = & مثل:

7x + 2ذ = 16
2ذ = & ndash7x + 16
ذ = & ndash (7 /2 )x + 8

& ndash21x & - 6ذ = 24
& ndash21x & - 24 = 6ذ
& ndash (21 /6 )x & - 4 = ذ
& - نداش (7 /2 )x & - 4 = ذ

هذه الخطوط لها نفس المنحدر و [مدش] أي ، م = & ndash7 /2 و [مدش] لكن مختلفة ذ - التداخلات ، لذا فهي متوازية. نظرًا لأن الخطوط المتوازية لا تتقاطع أبدًا ، يخبرني الجبر أن هذا نظام غير متسق ، فلا يوجد حل. ولكن هذا هو & quotsolving من خلال الرسم البياني & quot المشكلة ، لذلك لا يزال يتعين علي رسم الصورة.

الحل: لا يوجد حل (نظام غير متناسق)

تحذير: عندما يخبرك الجبر أن لديك خطين متوازيين ، من أجل الجنة ، ارسم الخطوط على الرسم البياني الخاص بك بحيث بحث موازى!

ملاحظة: الحل لنظام تابع ، كونه جميع النقاط على طول الخط ، يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط. لكن لا تخطئ في التفكير في أن & quot؛ العديد بلا حدود & quot؛ تعني & quotall & quot. أي نقطة خارج الخط هي ليس حل فقط عدد لا نهائي من النقاط في الواقع على الخط سوف يحل النظام التابع.


لاحظ أيضًا: الصور الموجودة في الصفحة الأولى من هذا الدرس مفيدة جدًا لشرح & quot ما يحدث & quot مع الأنظمة الخطية ، لكن الصور ليست مفيدة بشكل رهيب لإيجاد حلول فعلية للأنظمة. على سبيل المثال ، في الصورة على اليمين ، هل نقطة الحل عند (& ndash3، 2) أم عند (& ndash3.15، 1.97)؟

أو ، في الصورة على اليمين ، هل الخطوط متوازية حقًا ، لذا لا يوجد حل؟

أم أنك تنظر فقط إلى جزء غير مفيد من الرسم البياني؟

في هذه الحالة ، يُظهر التصغير أن الخطوط الموجودة في الصورة السابقة تتقاطع بالفعل عند النقطة (450 ، 449.5). لكن هذا لم يكن واضحًا على الإطلاق في نافذة العرض & quotstandard & quot الموضحة أعلاه.

لذلك يمكنك أن ترى أن الصور يمكن أن تكون مفيدة ، خاصة بالنسبة للمفاهيم ، ولكن يجب أن تأخذ & quotsolving من خلال الرسم البياني & quot بحذر من الملح ، ويجب أن تضع في اعتبارك أن التقنيات الجبرية (بدلاً من الصور المجردة) هي الأدوات التي تحتاجها من أجل إجابات صلبة.

كانت المناقشة أعلاه خاصة بالمعادلة ذات المتغيرين ، لأنه يمكنك رسم صور للحالة ذات المتغيرين لتوضيح ما يجري. لكن المصطلحات والمفاهيم الأساسية هي نفسها ، بغض النظر عن عدد المتغيرات التي لديك. يمكن أن يكون لديك أربع معادلات في أربعة متغيرات أو اثنتي عشرة معادلة في اثني عشر متغيرًا ، وستظل تبحث عن مكان & quotlines & quot & quotintersect & quot & quot & mdash حيث لا يمكنك رسم صورة له.

ملاحظة التنسيق: للأسباب التي ستظهر عند بدء العمل بالمصفوفات ، تتم كتابة المعادلات في أنظمة المعادلات بشكل عام بالمتغيرات الموجودة على الجانب الأيسر من علامة & quotequals & quot ، والأرقام الموجودة على الجانب الأيمن. ستجد أحيانًا سؤالاً بتنسيق مختلف ، لكن المتغيرات على اليسار ستكون هي القاعدة.


كيف تكتب معادلة لخط يوازي # y + 3x = 7 # ويمر بالنقطة # (7،2) #؟

سأستخدم معادلتك أولاً للعثور على ميل خطك. المنحدر أساسًا هو رقم يخبرك بميل خطك.
لذا ، لإيجاد موازٍ للخط ، تحتاج إلى خط بنفس الميل. نفس المنحدر:
خطك: # y + 3x = 7 # يمكن كتابتها (عزل # y # على اليسار) على النحو التالي:
# y = -3x + 7 # يتيح لك هذا "قراءة" ميل الخط على الفور ، وهو معامل # x # ، وهو في حالتك # -3 #.

الآن الجزء الصعب.
يمثل المنحدر ميل خطك ويخبرك بشكل أساسي كيف يتغير # y # عندما يتغير # x #!

على سبيل المثال ، يعني المنحدر الكبير أنه عند كل تغيير ثابت في # x # ، تتغير قيمة # y # كثيرًا وأن خطك شديد الانحدار.
الق نظرة على هذه الصورة:

المنحدر # 5 # أكثر حدة من المنحدر # 2 #!

للعثور على منحدرك ، ما عليك سوى إجراء التغيير في # y # مقسومًا على التغيير في # x #:

# منحدر = (Deltay) / (Deltax) = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # لكنك تريد ميلًا يساوي خطك الأصلي: # -3 #
جنبًا إلى جنب مع إحداثيات نقطتك ، يمكنك كتابة:
# ميل = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #
# -3 = (ص -2) / (س -7) #
# -3x + 21 = y-2 # وأخيرًا الخط الخاص بك:
# ص + 3 س = 23 #
بيانيا:


أوراق عمل ذات خطوط متوازية & # 8211 جديد & # 038 تفاعل

أوراق عمل الزوايا على الخطوط المتوازية للسنوات 7 و 8 و 9 و 10. أوراق عمل الزوايا في الخطوط المتوازية للطلاب العاملين في مستوى gcse التأسيسي والمرحلة الرئيسية 3. تحتوي ورقة عمل الزوايا على الخطوط المتوازية على أسئلة في الصف 2 أو الصف 3 أو الصف 4 للرياضيات 9-1 GCSE في المناهج الوطنية في المملكة المتحدة.

الزوايا على خطوط متوازية

الخطوط المتوازية هي خطوط لا تلمس أبدًا. هناك طريقة أخرى لوصف الخطوط المتوازية وهي القول إن الخطوط لا تتقاطع أبدًا. عندما يقطع الخط زوجًا من الخطوط المتوازية ، تحدث أشياء مثيرة للاهتمام. توجد زوايا متساوية على الخطوط المتوازية عندما يقطع خط ما زوجًا من الخطوط المتوازية. تسمى أسماء هذه الزوايا الزوايا المتناوبة والزوايا المقابلة والزوايا المتقابلة عموديًا والزوايا الداخلية. الطريقة السريعة والسهلة لتذكر هذه الأسماء وخصائصها هي بقول "زاوية Z" و "زاوية F" و "زاوية X".

أنواع الزوايا على الخطوط المتوازية

فيما يلي مثال على أزواج من الزوايا المتكافئة المكونة على خطوط متوازية.

حقائق عن الزوايا على الخطوط المتوازية

بالنسبة إلى الزوايا الموجودة على الخطوط المتوازية ، فإن أوراق العمل الموجودة في هذه الصفحة ، سيرغب الطلاب في تذكر القواعد الأساسية للزاوية وهي:

  1. مجموع الزوايا على خط مستقيم 180 درجة.
  2. مجموع الزوايا في المثلثات يصل إلى 180 درجة.
  3. مجموع الزوايا في الأشكال الرباعية يصل إلى 360 درجة.

أسئلة الزوايا

يوجد أدناه زوايا على الخطوط المتوازية بداية ورقة العمل. يطلب منك بادئ ورقة عمل الزوايا على الخطوط المتوازية إيجاد الزاوية المفقودة في الخطوط المستقيمة وداخل المثلثات وداخل الأشكال الرباعية. الإجابات في أسفل الصفحة.


ملخص

لإيجاد التقاطع بين خطين y = ax + b و y = cx + d ، فإن الخطوة الأولى التي يجب القيام بها هي تعيين ax + b مساويًا لـ cx + d. ثم حل هذه المعادلة من أجل x. سيكون هذا هو الإحداثي x لنقطة التقاطع. يمكنك بعد ذلك إيجاد إحداثي y للتقاطع بملء إحداثي x في التعبير عن أي من الخطين. نظرًا لأنها نقطة تقاطع ، فسيعطي كلاهما نفس إحداثي y.

من الممكن أيضًا حساب التقاطع بين الوظائف الأخرى ، والتي ليست خطوطًا. في هذه الحالات قد يحدث أن يكون هناك أكثر من تقاطع. تظل طريقة الحل كما هي: اجعل كلا التعبيرين متساويين وحل من أجل x. ثم حدد y بملء x بأحد التعابير.

هذا المحتوى دقيق وصحيح لأفضل ما لدى المؤلف ولا يُقصد به أن يحل محل النصائح الرسمية والفردية من محترف مؤهل.


شاهد الفيديو: المستقيمات (شهر نوفمبر 2021).