مقالات

7.6: قياس المسافات. المزيد عن المقاييس الخارجية - الرياضيات


أنا. في الفقرة 5 ، درسنا المساحات السابقة للقياس ، مع التركيز بشكل أساسي على فكرة ( sigma ) - فرعي (الملاحظة 5 في §5). الآن يجب أن نؤكد ( سيجما ) - الجمع.

التعريف 1

قبل القياس

[m: mathcal {M} rightarrow [0، infty] ]

يسمى مقياس (in (S )) iff ( mathcal {M} ) هو ( سيجما ) - حلقة (في (S )) ، و (م ) هو ( سيغما ) - مادة مضافة على ( mathcal {M}. )

إذا كان الأمر كذلك ، فإن النظام

[(S، mathcal {M}، m) ]

يسمى مساحة القياس ؛ (m X ) يسمى مقياس (X in mathcal {M} ) ؛ ( mathcal {M} ) - تسمى المجموعات (م ) - مجموعات قابلة للقياس.

لاحظ أن (m ) غير سلبي و (m emptyset = 0 ، ) كما (m ) هو اختبار مسبق (التعريف 2 في §5).

نتيجة طبيعية ( PageIndex {1} )

القياسات هي ( سيغما ) - مضافة ، ( سيغما ) - مضافة فرعية ، رتيبة ، ومستمرة.

دليل - إثبات

استخدم النتيجة الطبيعية 2 في §5 والنظرية 2 في §4 ، مع ملاحظة أن ( mathcal {M} ) هو ( sigma ) - ring. ( quad square )

نتيجة طبيعية ( PageIndex {2} )

في أي مساحة قياس ((S، mathcal {M}، m)، ) اتحاد وتقاطع أي تسلسل (م ) - المجموعات القابلة للقياس (م ) - قابلة للقياس بحد ذاتها. وكذلك الحال أيضًا (X-Y ) if (X، Y in mathcal {M}. )

هذا واضح لأن ( mathcal {M} ) عبارة عن حلقة ( سيجما ).

نظرًا لأن الإجراءات والتدابير الأولية الأخرى نفهم أنها ( geq 0 ، ) نكتب غالبًا

[m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ]

إلى عن على

[m: mathcal {M} rightarrow [0، infty]. ]

نقول أيضًا بإيجاز "قابل للقياس" لـ " (م ) - قابل للقياس".

لاحظ أن ( emptyset in mathcal {M}، ) ولكن ليس دائمًا (S in mathcal {M} ).

أمثلة

(أ) حجم الفواصل الزمنية في (E ^ {n} ) هو ( سيجما ) - إجراء مضاف ، ولكن ليس مقياسًا نظرًا لأن مجاله (الفواصل الزمنية) ليس ( سيغما ) - جرس.

(ب) دع ( mathcal {M} = 2 ^ {S}. ) حدد

[( forall X subseteq S) quad m X = 0. ]

ثم (م ) هو مقياس تافه (قياس الصفر). هنا كل مجموعة (X مجموعة فرعية S ) قابلة للقياس ، مع (م X = 0 ).

(ج) دع مرة أخرى ( mathcal {M} = 2 ^ {S}. ) لنفترض أن (m X ) هو عدد العناصر في (X ، ) إذا كانت محدودة ، و (m X = infty ) خلاف ذلك.

ثم (م ) هو مقياس ("قياس العد"). يؤكد!

(د) دع ( mathcal {M} = 2 ^ {S}. ) إصلاح بعض (p in S. ) دعنا

[m X = left { begin {array} {ll} {1} & { text {if} p in X}، {0} & { text {else}}. end { مجموعة} صحيح. ]

ثم (م ) هو مقياس (يصف "كتلة وحدة" مركزة عند (ع )).

(هـ) مساحة الاحتمال هي مساحة قياس ((S، mathcal {M}، m )) ، مع

[S in mathcal {M} text {and} m S = 1. ]

في نظرية الاحتمالات ، تسمى المجموعات القابلة للقياس الأحداث ؛ يُطلق على (م س ) احتمال (س ، ) غالبًا ما يُشار إليه بـ (ص س ) أو رموز مشابهة.

في الأمثلة (ب) و (ج) و (د) ،

[ mathcal {M} = 2 ^ {S} text {(جميع المجموعات الفرعية من} S text {).} ]

في كثير من الأحيان ، ومع ذلك ،

[ mathcal {M} neq 2 ^ {S}، ]

على سبيل المثال ، هناك مجموعات غير قابلة للقياس (X مجموعة فرعية S ) لم يتم تعريف (م X ) لها.

تحظى المجموعات (X in mathcal {M}، ) ذات الأهمية الخاصة (m X = 0، ) ومجموعاتها الفرعية. نسميهم (م ) - مجموعات فارغة أو فارغة. يرغب المرء في أن تكون قابلة للقياس ، لكن هذا ليس هو الحال دائمًا لمجموعات فرعية من (X. )

وهذا يقودنا إلى التعريف التالي.

التعريف 2

يُطلق على المقياس (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) اسم كامل إذا كانت جميع المجموعات الفارغة (مجموعات فرعية من مجموعات القياس صفر) قابلة للقياس.

نطور الآن طريقة عامة لبناء مقاييس كاملة.

II. من الفقرة 5 (الملاحظة 5) تذكر أن المقياس الخارجي في (S ) هو ( سيجما ) - مقياس فرعي محدد في كل (2 ^ {S} ) (حتى لو لم يتم اشتقاقه عبر التعريف 3 في الفقرة 5). في الأمثلة (ب) و (ج) و (د) ، يكون (م ) مقياسًا ومقياسًا خارجيًا. (لماذا ا؟)

مقياس خارجي

[m ^ {*}: 2 ^ {S} rightarrow E ^ {*} ]

لا يلزم أن تكون مضافة ؛ لكن ضع في اعتبارك هذه الحقيقة:

[ text {أي مجموعة} A subseteq S text {splits} S text {إلى جزأين:} A text {نفسه و} -A. ]

كما أنه يقسم أي مجموعة أخرى (X ) إلى (X cap A ) و (X-A ؛ ) في الواقع ،

[X = (X cap A) cup (X-A) text {(مفكك).} ]

نريد تحديد تلك المجموعات (A ) التي يتصرف (m ^ {*} ) معها "بشكل إضافي" ، أي بحيث

[m ^ {*} X = m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (X-A). ]

هذا يحفز تعريفنا التالي.

التعريف 3

بالنظر إلى المقياس الخارجي (m ^ {*}: 2 ^ {S} rightarrow E ^ {*} ) ومجموعة (A subseteq S ، ) نقول أن (A ) هو (m ^ {*} ) - قابل للقياس إذا تم تقسيم جميع المجموعات (X subseteq S ) "بشكل إضافي" على (A ؛ ) أي ،

[( forall X subseteq S) quad m ^ {*} X = m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (X-A). ]

كما يمكن رؤيته بسهولة (انظر المشكلة 1) ، هذا يعادل

[( forall X subseteq A) ( forall Y subseteq-A) quad m ^ {*} (X cup Y) = m ^ {*} X + m ^ {*} Y. ]

عادةً ما يُرمز إلى عائلة جميع (m ^ {*} ) - المجموعات القابلة للقياس بواسطة ( mathcal {M} ^ {*}. ) النظام ( left (S، mathcal {M} ^ { *} ، m ^ {*} right) ) يسمى مساحة القياس الخارجية.

ملاحظة 1. التعريف 3 ينطبق على التدابير الخارجية فقط. بالنسبة للمقاييس ، " (م ) - قابل للقياس" تعني ببساطة "عضو في مجال (م )" (التعريف 1).

ملاحظة 2. في (1) و (2) ، قد نستبدل علامة المساواة بالتساوي ((=) ) بـ (( geq). ) في الواقع ، يتم تغطية (X ) بواسطة

[ {X cap A، X-A }، ]

و (X cup Y ) مغطى بـ ( {X، Y }؛ ) لذا فإن عدم المساواة العكسية (( leq) ) تبقى على أي حال من خلال إضافة فرعية.

هدفنا الرئيسي هو إثبات النظرية الأساسية التالية.

نظرية ( PageIndex {1} )

في أي مساحة خارجية

[ left (S، mathcal {M} ^ {*}، m ^ {*} right)، ]

العائلة ( mathcal {M} ^ {*} ) من الكل (m ^ {*} ) - المجموعات القابلة للقياس هي حقل ( سيغما ) - في (S ، ) و (م ^ {*}، ) عندما يقتصر على ( mathcal {M} ^ {*}، ) هو مقياس كامل (يُشار إليه بـ (m ) ويسمى (m ^ {*} ) - مستحث قياس ؛ لذلك (m ^ {*} = m ) على ( mathcal {M} ^ {*} )).

دليل - إثبات

قسمنا البرهان إلى عدة خطوات (lemmas).

ليما 1

( mathcal {M} ^ {*} ) مغلق تحت التكملة:

[ left ( forall A in mathcal {M} ^ {*} right) quad-A in mathcal {M} ^ {*}. ]

في الواقع ، معيار القابلية للقياس (2) هو نفسه بالنسبة (A ) و (- A ) على حد سواء.

ليما 2

( emptyset ) و (S ) عبارة عن مجموعات ( mathcal {M} ^ {*} ). كذلك كل مجموعات القياس الخارجي 0.

دليل - إثبات

دع (m ^ {*} A = 0. ) لإثبات (A in mathcal {M} ^ {*}، ) استخدم (2) والملاحظة 2.

وبالتالي ، خذ أي (X subseteq A ) و (Y subseteq-A. ) ثم من خلال الرتابة ،

[م ^ {*} س leq م ^ {*} أ = 0 ]

و

[m ^ {*} Y leq m ^ {*} (X cup Y). ]

هكذا

[m ^ {*} X + m ^ {*} Y = 0 + m ^ {*} Y leq m ^ {*} (X cup Y)، ]

كما هو مطلوب.

على وجه الخصوص ، مثل (m ^ {*} emptyset = 0، emptyset ) (m ^ {*} ) - قابل للقياس ( left ( emptyset in mathcal {M} ^ {*} حق)).

هكذا هو (S ) (مكمل ( emptyset) ) بواسطة Lemma 1. ( quad square )

ليما 3

( mathcal {M} ^ {*} ) مغلق تحت اتحادات محدودة:

[ left ( forall A، B in mathcal {M} ^ {*} right) quad A cup B in mathcal {M} ^ {*}. ]

دليل - إثبات

هذه المرة سنستخدم الصيغة (1). بالملاحظة 2 ، يكفي إظهار ذلك

[( forall X subseteq S) quad m ^ {*} X geq m ^ {*} (X cap (A cup B)) + m ^ {*} (X- (A cup B) )). ]

إصلاح أي (X subseteq S؛ ) كـ (A in mathcal {M} ^ {*}، ) لدينا

[m ^ {*} X = m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (X-A). ]

وبالمثل ، مثل (B in mathcal {M} ^ {*}، ) لدينا (استبدال (X ) بـ (X-A ) في (1))

[ start {align} m ^ {*} (XA) & = m ^ {*} ((XA) cap B) + m ^ {*} (XAB) & = m ^ {*} (X cap-A cap B) + m ^ {*} (X- (A cup B)) ، end {align} ]

منذ

[X-A = X cap-A ]

و

[X-A-B = X- (أ كوب ب). ]

بدمج (4) مع (3) نحصل على

[m ^ {*} X = m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (X cap-A cap B) + m ^ {*} (X- (A cup B )). ]

الآن تحقق من ذلك

[(X cap A) كوب (X cap-A cap B) supseteq X cap (A cup B). ]

نظرًا لأن (م ) هو مضاف ثانوي ، فإن هذا ينتج عنه

[m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (X cap-A cap B) geq m ^ {*} (X cap (A cup B)). ]

بالاقتران مع (5) ، نحصل على

[m ^ {*} X geq m ^ {*} (X cap (A cup B)) + m ^ {*} (X- (A cup B))، ]

بحيث يكون (A cup B in mathcal {M} ^ {*}، ) بالفعل. ( quad square )

يمتد الاستقراء Lemma 3 ليشمل جميع الاتحادات المحدودة لمجموعات ( mathcal {M} ^ {*} ).

لاحظ أنه من خلال المشكلة 3 في §3 ، فإن ( mathcal {M} ^ {*} ) هو حقل محدد ، ومن ثم فهو بالتأكيد حلقة. وبالتالي فإن النتيجة الطبيعية 1 في §1 تنطبق عليها. (نستخدمه أدناه).

ليما 4

يترك

[X_ {k} subseteq A_ {k} subseteq S، quad k = 0،1،2، ldots، ]

مع الكل (A_ {k} ) مفككين زوجيًا.

دع (A_ {k} in mathcal {M} ^ {*} ) لـ (k geq 1. ) ( (A_ {0} ) و (X_ {k} ) بحاجة لا يكون ( mathcal {M} ^ {*} ) - مجموعات.) ثم

[m ^ {*} left ( bigcup_ {k = 0} ^ { infty} X_ {k} right) = sum_ {k = 0} ^ { infty} m ^ {*} X_ {k }. ]

دليل - إثبات

نبدأ بمجموعتين ، (A_ {0} ) و (A_ {1} ؛ ) لذلك

[A_ {1} in mathcal {M} ^ {*}، A_ {0} cap A_ {1} = emptyset، X_ {0} subseteq A_ {0}، text {and} X_ { 1} المجموعة الفرعية A_ {1}. ]

نظرًا لأن (A_ {0} cap A_ {1} = emptyset ، ) لدينا (A_ {0} subseteq-A_ {1} ؛ ) وبالتالي أيضًا (X_ {0} subseteq-A_ { 1} ).

منذ (A_ {1} in mathcal {M} ^ {*}، ) نستخدم الصيغة (2) ، مع

[X = X_ {1} subseteq A_ {1} text {and} Y = X_ {0} subseteq-A، ]

ليحصل

[m ^ {*} left (X_ {0} cup X_ {1} right) = m ^ {*} X_ {0} + m ^ {*} X_ {1}. ]

وهكذا (6) يحمل لمجموعتين.

الحث الآن ينتج بسهولة

[( forall n) sum_ {k = 0} ^ {n} m ^ {*} X_ {k} = m ^ {*} left ( bigcup_ {k = 0} ^ {n} X_ {k } right) leq m ^ {*} left ( bigcup_ {k = 0} ^ { infty} X_ {k} right) ]

عن طريق رتابة (م ^ {*}. ) دعنا الآن (n rightarrow infty ) وانتقل إلى الحد الأقصى للحصول على

[ sum_ {k = 0} ^ { infty} m ^ {*} X_ {k} leq m ^ {*} left ( bigcup_ {k = 0} ^ { infty} X_ {k} حق).]

نظرًا لأن ( bigcup X_ {k} ) تمت تغطيته بواسطة (X_ {k} ، ) فإن ( sigma ) - ينتج عن إضافة (m ^ {*} ) عدم المساواة العكسية أيضًا. هكذا ثبت (6). ( رباعي مربع )

إثبات النظرية 1. كما أشرنا ، ( mathcal {M} ^ {*} ) حقل. لإظهار أنه مغلق أيضًا ضمن اتحادات معدودة (حقل ( سيغما ) -) ، دع

[U = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} A_ {k}، quad A_ {k} in mathcal {M} ^ {*}. ]

علينا إثبات أن (U in mathcal {M} ^ {*}؛ ) أو عن طريق (2) والملاحظة 2 ،

[( forall X subseteq U) ( forall Y subseteq-U) quad m ^ {*} (X cup Y) geq m ^ {*} X + m ^ {*} Y. ]

قد نفترض بأمان أن (A_ {k} ) مفككة. (إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاستبدلها بمجموعات منفصلة (B_ {k} in mathcal {M} ^ {*}، ) كما في Corollary 1 §1.)

لإثبات (7) ، قم بإصلاح أي (X subseteq U ) و (Y subseteq-U ، ) ودع

[X_ {k} = X cap A_ {k} subseteq A_ {k}، ]

(A_ {0} = - U، ) و (X_ {0} = Y، ) تلبية جميع افتراضات Lemma 4. وبالتالي من خلال (6) ، كتابة المصطلح الأول بشكل منفصل ، لدينا

[m ^ {*} left (Y cup bigcup_ {k = 1} ^ { infty} X_ {k} right) = m ^ {*} Y + sum_ {k = 1} ^ { infty } م ^ {*} X_ {k}. ]

ولكن

[ bigcup_ {k = 1} ^ { infty} X_ {k} = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} left (X cap A_ {k} right) = X cap bigcup_ {k = 1} ^ { infty} A_ {k} = X cap U = X ]

(مثل (X مجموعة فرعية U). ) أيضًا ، بواسطة ( سيجما ) - فرعي ،

[ sum m ^ {*} X_ {k} geq m ^ {*} bigcup X_ {k} = m ^ {*} X. ]

لذلك ، (8) يعني (7) ؛ لذلك ( mathcal {M} ^ {*} ) هو حقل ( سيجما ) -.

علاوة على ذلك ، (m ^ {*} ) هو ( sigma ) - مضافة على ( mathcal {M} ^ {*}، ) كما يلي من Lemma 4 من

[X_ {k} = A_ {k} in mathcal {M} ^ {*}، A_ {0} = emptyset. ]

وهكذا يعمل (m ^ {*} ) كإجراء على ( mathcal {M} ^ {*} ).

بواسطة Lemma 2 ، اكتمل (m ^ {*} ) ؛ إذا كان (X ) "فارغًا" ( (X subseteq A ) و (m ^ {*} A = 0 )) ، إذن (m ^ {*} X = 0 ؛ ) (X in mathcal {M} ^ {*}، ) كما هو مطلوب.

وهكذا ثبت كل شيء. ( رباعي مربع )

وبالتالي لدينا طريقة معيارية لبناء المقاييس: من القياس المسبق

[ mu: mathcal {C} rightarrow E ^ {*} ]

في (S ، ) نحصل على ( mu ) - المقياس الخارجي المستحث

[m ^ {*}: 2 ^ {S} rightarrow E ^ {*} text {(§5)؛} ]

وهذا بدوره يستحث قياسًا كاملاً

[m: mathcal {M} ^ {*} rightarrow E ^ {*}. ]

لكننا نحتاج إلى المزيد: نريد أن يكون (م ) امتدادًا لـ ( مو ، ) أي ،

[m = mu text {on} mathcal {C}، ]

مع ( mathcal {C} subseteq mathcal {M} ^ {*} ) (بمعنى أن جميع المجموعات ( mathcal {C} ) - قابلة للقياس). نحن الآن نستكشف هذا السؤال.

ليما 5

لنفترض أن ((S، mathcal {C}، mu) ) و (m ^ {*} ) كما في التعريف 3 من §5. ثم بالنسبة للمجموعة (A subseteq S ) لتكون (m ^ {*} ) - قابلة للقياس ، يكفي ذلك

[m ^ {*} X geq m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (x-A) quad text {for all} X in mathcal {C}. ]

دليل - إثبات

يجب أن نبين أن (9) يحمل أي مجموعة (X subseteq S ، ) حتى لا ( mathcal {C} ) - مجموعة.

هذا أمر تافه إذا (m ^ {*} X = infty. ) لذا افترض (m ^ {*} X < infty ) وأصلح أي ( varepsilon> 0 ).

من خلال الملاحظة 3 في §5 ، يجب أن يحتوي (X ) على غطاء أساسي ( left {B_ {n} right } subseteq mathcal {C} ) بحيث

[X مجموعة فرعية bigcup_ {n} B_ {n} ]

و

[m ^ {*} X + varepsilon> sum mu B_ {n} geq sum m ^ {*} B_ {n}. ]

(يشرح!)

الآن ، مثل (X subseteq cup B_ {n}، ) لدينا

[X cap A subseteq bigcup B_ {n} cap A = bigcup left (B_ {n} cap A right). ]

بصورة مماثلة،

[X-A = X cap-A subseteq bigcup left (B_ {n} -A right). ]

ومن ثم ، نظرًا لأن (m ^ {*} ) هو ( sigma ) - إضافة فرعية ورتيبة ، نحصل على

[ start {align} m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (XA) & leq m ^ {*} left ( bigcup left (B_ {n} cap A right) right) + m ^ {*} left ( bigcup left (B_ {n} -A right) right) & leq sum left [m ^ {*} left ( B_ {n} cap A right) + m ^ {*} left (B_ {n} -A right) right]. نهاية {محاذاة} ]

ولكن من خلال الافتراض ، (9) ينطبق على أي مجموعة ( mathcal {C} ) - وبالتالي لكل (B_ {n}. ) وبالتالي

[m ^ {*} left (B_ {n} cap A right) + m ^ {*} left (B_ {n} -A right) leq m ^ {*} B_ {n} ، ]

و (11) غلة

[m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (XA) leq sum left [m ^ {*} left (B_ {n} cap A right) + m ^ {*} left (B_ {n} -A right) right] leq sum m ^ {*} B_ {n}. ]

لذلك ، بحلول (10) ،

[m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (X-A) leq m ^ {*} X + varepsilon. ]

جعل ( varepsilon rightarrow 0، ) نثبت (10) لأي (X subseteq S، ) بحيث يكون (A in mathcal {M} ^ {*}، ) كما هو مطلوب. ( رباعي مربع )

نظرية ( PageIndex {2} )

دع ما قبل القياس

[ mu: mathcal {C} rightarrow E ^ {*} ]

يكون ( سيغما ) - مضافة على ( mathcal {C} ، أ ) semning in (S. ) دع (m ^ {*} ) يكون ( mu ) - الخارجي المستحث قياس و

[m: mathcal {M} ^ {*} rightarrow E ^ {*} ]

يكون المقياس المستحث (م ^ {*} ). ثم

(i) ( mathcal {C} subseteq mathcal {M} ^ {*} ) و

(ii) ( mu = m ^ {*} = m ) في ( mathcal {C} ).

وبالتالي (m ) هو ( سيجما ) - الامتداد الإضافي لـ ( mu ) (يسمى امتداد Lebesgue الخاص به) إلى ( mathcal {M} ^ {*} ).

دليل - إثبات

من خلال النتيجة الطبيعية 2 في §5 ، ( mu ) هي أيضًا ( sigma ) - إضافة فرعية على semiring ( mathcal {C}. ) وبالتالي من خلال النظرية 2 في §5 ، ( mu = m ^ {*} ) في ( mathcal {C}. )

لإثبات أن ( mathcal {C} subseteq mathcal {M} ^ {*}، ) أصلح (A in mathcal {C} ) ونوضح أن (A ) يرضي (9) ، بحيث يكون (A in mathcal {M} ^ {*}. )

وبالتالي ، خذ أي (X in mathcal {C}. ) حيث إن ( mathcal {C} ) عبارة عن نصوص ، (X cap A in mathcal {C} ) و

[X-A = bigcup_ {k = 1} ^ {n} A_ {k} text {(disjoint)} ]

لبعض المجموعات (A_ {k} in mathcal {C}. ) وبالتالي

[ start {align} m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (XA) & = m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} bigcup_ {k = 1} ^ {n} A_ {k} & leq m ^ {*} (X cap A) + sum_ {k = 1} ^ {n} m ^ {*} A_ {k}. نهاية {محاذاة} ]

كما

[X = (X cap A) cup (X-A) = (X cap A) cup bigcup A_ {k} text {(disjoint)،} ]

إضافة ( mu ) والمساواة ( mu = m ^ {*} ) في العائد ( mathcal {C} )

[m ^ {*} X = m ^ {*} (X cap A) + sum_ {k = 1} ^ {n} m ^ {*} A_ {k}. ]

ومن ثم بحلول (12) ،

[m ^ {*} X geq m ^ {*} (X cap A) + m ^ {*} (X-A)؛ ]

لذلك بواسطة Lemma 5 ، (A in mathcal {M} ^ {*} ، ) كما هو مطلوب.

أيضًا ، حسب التعريف ، (m = m ^ {*} ) في ( mathcal {M} ^ {*} ، ) وبالتالي على ( mathcal {C}. ) وبالتالي

[ mu = m ^ {*} = m text {on} mathcal {C}، ]

كما ادعى. ( رباعي مربع )

ملاحظة 3. على وجه الخصوص ، تنطبق النظرية 2 إذا

[ mu: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ]

هو مقياس (بحيث يكون ( mathcal {C} = mathcal {M} ) حلقة ( سيجما )).

وبالتالي يمكن تمديد أي ( mu ) إلى مقياس كامل (m ) (امتداد Lebesgue الخاص به) في حقل ( sigma ) -

[ mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {M} ]

عبر ( mu ) - المقياس الخارجي المستحث (أطلق عليه ( mu ^ {*} ) هذه المرة) ، مع

[ mu ^ {*} = m = mu text {on} mathcal {M}. ]

وعلاوة على ذلك،

[ mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {M} supseteq mathcal {M} _ { sigma} ]

(انظر الملاحظة 2 في الفقرة 3) ؛ لذا ( mu ^ {*} ) هو ( mathcal {M} ) - عادي و ( mathcal {M} ^ {*} ) - عادي (النظرية 3 من §5).

ملاحظة 4. إعادة تطبيق هذه العملية على (م ) لا يغير (م ) (المشكلة رقم 16).


رياضيات 720: قياس النظرية والتكامل

هذه أول دورة للخريجين حول نظرية القياس ، وستغطي أساسيات المقاييس ، وتكامل Lebesgue ، والتمايز ، ومقاييس المنتج ، ومسافات $ L ^ p $. إذا سمح الوقت ، فسوف نقدم أيضًا أساسيات تحليل فورييه.

أهداف التعلم

  • تطوير الإلمام بالمقاييس والتكامل والتمايز والتقارب في Lebesgue.
  • تعتاد على مستوى وصعوبة دورات الدراسات العليا في الرياضيات.

المتطلبات المسبقة

منهج مبدئي

  • المقاييس الخارجية ، المقاييس ، $ sigma $ -algebras ، Carathéodory & rsquos extension theorem. مقاييس بوريل ، مقاييس ليبيسغ.
  • دوال قابلة للقياس ، تكامل ليبيج (نظرية التقارب أحادية اللون ، فاتو و rsquos Lemma ، نظرية التقارب المهيمن).
  • طرق التقارب (نظرية إيجوروف ورسكووس ، نظرية لوسين ورسكووس)
  • مقاييس المنتج (نظريات Fubini-Tonelli) ، تكامل Lebesgue $ n $
  • المقاييس الموقعة (تحليل هان ، تحلل الأردن ، نظرية الرادون-نيكوديم ، تغيير المتغيرات)
  • التفاضل (نظرية التمايز Lebesgue)
  • $ L ^ p $ مسافات ، Hölder & rsquos عدم المساواة ، عدم المساواة Minkowskii & rsquos ، الكمال ، التكامل الموحد ، نظرية التقارب Vitali & rsquos.
  • سيتبع ذلك بعض الموضوعات الخاصة (مثل تحليل فورييه).

بالطبع مخطط

  • ستبدأ الدورة بتكوين مقياس Lebesgue على $ mathbb^ n $ ، يتبع Bartle تقريبًا ، الفصول 11 & ndash16.
  • بعد ذلك ، سنطور التكامل على مساحات قياس مجردة تقريبًا بعد Cohn ، الفصول 1 & ndash6 أو Folland.
  • إذا سمح الوقت ، سأستمر في بعض تحليل فورييه بعد الفصل الثامن من فولاند تقريبًا.

مراجع

نظرًا لأن نظرية القياس أساسية للتحليل الحديث ، فلا يوجد ندرة في المراجع (الترجمة: أنا & rsquom لا أكتب ملاحظات المحاضرة). & rsquom قائمة ببعض المراجع الجيدة هنا. إذا كنت لا تعرف أيهما تختار ، أقترح عليك تجربة Cohn أو Folland.

  • تحليل حقيقي بواسطة G.B Folland. (من خلال العلاج الحديث مع بعض الموضوعات الإضافية اللطيفة (الطوبولوجيا ، والتحليل الوظيفي ، وتحليل فورييه والاحتمالات). يوصى بشدة إذا كنت ستقوم بالحصول على درجة الدكتوراه في شيء يتعلق بالتحليل.)
  • قياس النظرية بواسطة D.L Cohn. (أسهل قليلاً في القراءة وأكثر تركيزًا من [فولاند])
  • تحليل حقيقي ومعقد بواسطة W. Rudin. (كلاسيكي. ممتاز ، باستثناء بناء مقياس Lebesgue.)
  • تكامل Lebesgue في الفضاء الإقليدي بقلم F. Jones. (مطول قليلاً ، وسهل القراءة ، ولكن بمستوى أقل قليلاً من هذه الدورة.)
  • تحليل حقيقي بواسطة H.L Royden. (مرة أخرى قراءة رائعة ، ولكن بمستوى أقل قليلاً من هذه الدورة.)
  • إذا كنت تفضل التعلم من ملاحظات المحاضرة ، فإليك بعضًا من Lenya Ryzhik و Terry Tao. آخرها متاح كملف PDF وأيضًا ككتاب منشور بشكل منتظم.

أخيرًا ، عندما قمت بتدريس هذه الدورة في 2013/14 ، قام طالبان بكتابة ملاحظاتهما ومشاركتها. ملاحظاتهم هنا:

إذا كنت & rsquod ترغب في نسخ / تحرير هذه الملاحظات ، فإن مصدر اللاتكس الكامل متاح هنا ، أو يمكن استنساخه عبر git في git.math.cmu.edu/pub/201312-measure. إذا قمت بتحرير هذه الملاحظات ، فيرجى التفكير في إتاحة التغييرات الخاصة بك.


الرفع

ويرنر شتراوس. Kazimierz Musiat، in Handbook of Measure Theory، 2002

الاقتراح 4.11

إذا كانت (Ω ، T ، B ، μ) عبارة عن مساحة قياس Baire بمقياس محدود وطوبولوجيا منتظمة تمامًا T ، فإن ASLP يشير إلى أن المقياس μ هو مضاف وإكمال منتظم. لأي مساحة قياس طوبولوجي (Ω ، T ، B ، μ) باستخدام ASLP ، يكون المقياس μ بالضرورة τ مضافة.

ويترتب على ذلك ، على سبيل المثال ، أن مقياس Wiener يقتصر على إكمال Baire σ-algebra في ℝ ¯ [0 ، 1] لا يحتوي على ASLP. لكن مقياس Wiener الذي تم النظر فيه عند الانتهاء من Borei-algebra يحتوي على USLP (انظر ، على سبيل المثال ، Macheras and Strauss (1996b)).

من الواضح أن الاقتراح الأخير يثير مشكلة ما إذا كانت الشروط اللازمة لـ ASLP نظرا لوجود ما يكفي؟ بواسطة Babiker and Knowles (1978) ، توجد مساحة قياس Baire (Ω ، T ، B ، μ) مع الاتفاق Ω، محدود وغير ذري ميكرومتر من الدعم الكامل ، وهذا هو τ-مضيف ولكن ليس إكمال منتظم. هذه المساحة هي مثال على مساحة قياس Baire مضغوطة بدون ASLP.

أعطى Fremlin (1979) مثالًا لمساحة قياس الرادون على مجموعة مضغوطة بإكمال μ منتظم من الدعم الكامل ولكن بدون ASLP، وتحسين نتيجة Losert (1979) التي تفتقر إلى انتظام الإكمال. يعد انتظام الإكمال أمرًا مهمًا هنا لأنه في الحالات المهمة المعروفة حيث يكون ASLP صحيح ، يتم تحقيق انتظام الإكمال أيضًا. Mokobodzki (1975) و Fremlin (1977) تحدثا عن الاقتراح 4.11. لاحظ Dalgas أن هذه النتيجة هي الخطوة الرئيسية نحو نتيجة على رافعات Borei القوية التي تحسن نتيجة Mokobodzki و Fremlin. في النظرية اللاحقة لدالغاس (199؟) ج لتقف على الكاردينال من مجموعة الريالات. تم تقديم مناهج مختلفة بواسطة Musial (1973) و Lloyd (1974).


إحصائيات متعددة المتغيرات

لقد قدمنا ​​حتى الآن MDS الكلاسيكي على أنه يبدأ بمصفوفة مسافة (أو اختلاف) ( mathbf D = (d_)_^ n ). في هذا الإعداد ، أكبر (d_) هو ، كلما كان الكائن (i ) بعيدًا ، أو غير متماثل ، عن الكائن (ي ). ثم نقوم بتحويل ( mathbf D ) إلى مصفوفة منتج داخلية مركزية ( mathbf B ) ، حيث نفكر في ( mathbf B ) على أنها مصفوفة تشابه. أخيرًا ، وجدنا تحللًا طيفيًا مقطوعًا لـ ( mathbf B ):

[ mathbf D longrightarrow mathbf B longrightarrow mathbf Z = mathbf U boldsymbol Lambda ^ < frac <1> <2>>. ]

بدلاً من استخدام مصفوفة التشابه ( mathbf B ) المشتقة من ( mathbf D ) ، يمكننا استخدام مفهوم أكثر عمومية لـ تشابه في MDS.

التعريف 6.4 أ مصفوفة التشابه تم تعريفه على أنه (n times n ) مصفوفة (< mathbf F> = (f_)_^ n ) بالخصائص التالية:

لاحظ أنه عند العمل بأوجه التشابه (f_) ، أكبر (f_) هو ، كلما كانت الكائنات الأكثر تشابهًا (i ) و (j ) هي.

يشير الشرط 1. إلى أن الكائن (i ) يشبه الكائن (j ) مثل الكائن (j ) هو الكائن (i ) (التناظر).

يشير الشرط 2. إلى أن الكائن على الأقل مشابه لنفسه كما هو الحال مع أي كائن آخر.

أحد الخيارات الشائعة للتشابه بين متجهين هو جيب التمام التشابه ، والذي يُعرَّف بأنه جيب تمام الزاوية بين المتجهات. بالمقابل ، يكون الناتج الداخلي للمتجهات بعد تطبيعها بطول واحد:

[ cos theta = frac < mathbf x ^ top mathbf y> <|| mathbf x || _2 || mathbf y || _2> = langle frac < mathbf x> <| | mathbf x || _2> ، frac < mathbf y> <|| mathbf y || _2> rangle ] هذا متماثل (لذا يلبي الخاصية 1. لأوجه التشابه) ، وتشابه المتجه ( mathbf x ) بحد ذاته هو (1 ) ، وبالتالي فإن الخاصية 2. مستوفاة أيضًا (مثل ( cos theta leq 1 )).

لاحظ أنه نظرًا لأن تشابه جيب التمام يستخدم المنتج الداخلي للمتجهات الطبيعية ، فإنه يعطي فقط مقارنة نسبية لمتجهين ، وليس متجهًا مطلقًا: تشابه جيب التمام بين ( mathbf x ) و ( mathbf y ) هو مثل التشابه بين ( mathbf x ) و (a mathbf y ) لأي ثابت موجب (a ). وبالتالي ، يجب ألا نستخدم مقياس التشابه هذا إلا عندما تكون الاختلافات المطلقة غير مهمة.

MDS مع مصفوفات التشابه

في هذا القسم ، نعتبر MDS باستخدام مقاييس تشابه على عكس مقاييس المسافة / الاختلاف. نبدأ بإظهار أنه يمكننا تحويل مصفوفة تشابه شبه محددة موجبة ( mathbf F ) إلى مصفوفة مسافة ( mathbf D ) ثم إلى مصفوفة منتج داخلية مركزية ( mathbf B ) ، مما يسمح علينا استخدام نهج MDS الكلاسيكي من القسم السابق.

دليل - إثبات. أولاً ، لاحظ أن ( mathbf F ) هي مصفوفة تشابه ، (f_+ f_-2f_ geq 0 ) حسب الشرط 2. ، وبالتالي فإن (d_) محددة جيدًا (أي حقيقية وليست خيالية). من السهل ملاحظة أن ( mathbf D ) عبارة عن مصفوفة مسافة على النحو المحدد في التعريف 6.1.

سوف نظهر الآن أن المعادلة (6.7) صامدة. دع ( mathbf A = - frac <1> <2> mathbf D odot mathbf D ) كما في المعادلة (6.4). ثم_= - فارك <1> <2> د_^ 2 = f_- فارك <1> <2> (f_+ f_). ]

لذلك أظهرنا أن ( mathbf B = mathbf H mathbf F mathbf H ). يبقى فقط إظهار ( mathbf D ) هو إقليدي. بما أن ( mathbf F ) موجب شبه محدد بالافتراض ، و ( mathbf H ^ top = mathbf H ) ، يتبع ذلك ( mathbf B = mathbf H mathbf F mathbf H ) يجب أن يكون موجبًا شبه محدد. إذن من خلال النظرية 6.1 ( mathbf D ) هي مصفوفة مسافة إقليدية.

يخبرنا هذا بكيفية عمل MDS بمصفوفة تشابه ( mathbf F ). نطبق أولاً تمركزًا مزدوجًا على المصفوفة للحصول على [ mathbf B = mathbf H mathbf F mathbf H ] ثم نجد التحلل الطيفي لـ ( mathbf B ) تمامًا كما فعلنا في القسم السابق .

6.2.1 السمات الثنائية

إحدى فئات المشاكل المهمة هي عندما يقاس التشابه بين أي كائنين بعدد السمات المشتركة. البيانات الأساسية لكل كائن عبارة عن متجه ثنائي مكون من 0 و 1 يشير إلى عدم وجود سمة أو وجودها. يتم تحويل هذه المتجهات الثنائية بعد ذلك إلى أوجه تشابه من خلال مقارنة السمات التي يشترك فيها كائنان.

نوضح هذا من خلال مثالين.

مثال 4

افترض أن هناك 4 سمات نرغب في أخذها في الاعتبار.

  1. السمة 1: كارنيفور؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، ضع (x_1 = 1 ) إذا كانت الإجابة لا ، ضع (x_1 = 0 ).
  2. السمة 2: الثدييات؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، ضع (x_2 = 1 ) إذا كانت الإجابة لا ، ضع (x_2 = 0 ).
  3. السمة 3: الموائل الطبيعية في أفريقيا؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، ضع (x_3 = 1 ) إذا كانت الإجابة لا ، ضع (x_3 = 0 ).
  4. السمة 4: هل تستطيع تسلق الأشجار؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، ضع (x_4 = 1 ) إذا كانت الإجابة لا ، ضع (x_4 = 0 ).

فكر في الأسد. كل سمة موجودة لذا (x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 1 ). متجه السمة الخاص به هو ( begin 1 & amp1 & amp1 & amp1 النهاية^ أعلى ).

ماذا عن النمر؟ في هذه الحالة ، 3 من السمات موجودة (1 و 2 و 4) ولكن 3 غائبة. لذلك بالنسبة للنمر ، (x_1 = x_2 = x_4 = 1 ) و (x_3 = 0 ) أو في شكل متجه ، سماته هي ( start 1 & amp1 & amp0 & amp1 النهاية^ أعلى ).

كيف يمكننا قياس تشابه الأسود والنمور على أساس وجود أو عدم وجود هذه الصفات الأربع؟

قم أولاً بتشكيل جدول (2 مرات 2 ) على النحو التالي. [ يبدأ & amp1 & amp0 1 & amp a & amp b 0 & amp c & amp d end ] هنا (أ ) يحسب عدد السمات المشتركة لكل من الأسد والنمر (ب ) يحسب عدد السمات التي يمتلكها الأسد ولكن النمر لا يمتلك (ج ) يحسب عدد السمات التي يمتلكها النمر لديه أن الأسد لا يمتلك و (د ) يحسب عدد الصفات التي لا يمتلكها الأسد ولا النمر. في ما سبق ، (أ = 3 ) ، (ب = 1 ) و (ج = د = 0 ).

كيف يمكننا الاستفادة من المعلومات الموجودة في جدول (2 مرات 2 ) لبناء مقياس للتشابه؟ هناك نوعان من مقاييس التشابه شائعة الاستخدام.

ال معامل المطابقة البسيط (SMC) يحسب الغياب المتبادل أو الوجود ويقارنه بإجمالي عدد السمات: [ start فارك. tag <6.8> end] لها قيمة (0.75 ) لهذا المثال.

ال معامل تشابه الجاكار يحسب فقط الوجود المتبادل ويقارن ذلك بعدد السمات الموجودة في واحد على الأقل من الكائنين: [ frac. ] هذا أيضًا 0.75 في هذا المثال.

على الرغم من أن مؤشر Jaccard و SMC متماثلان في هذه الحالة ، إلا أن هذا ليس صحيحًا بشكل عام. يمكن أن يكون للاختلاف بين وجهتي التشابه أهمية. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تحليل سلة السوق حيث نقارن بين المتسوقين. إذا كان المتجر يبيع (ع ) منتجات مختلفة ، فقد نسجل المنتجات التي اشتراها كل متسوق (سلةهم) كمتجه للطول (ع ) ، مع (1 ) في الموضع (أنا) ) إذا اشترى المتسوق الكائن (i ) و (0 ) بطريقة أخرى.

قد تحتوي سلة معظم المتسوقين على جزء صغير فقط من جميع المنتجات المتاحة (أي في الغالب 0 ثانية في متجه السمة). في هذه الحالة ، عادةً ما يكون SMC مرتفعًا عند مقارنة أي متسوقين اثنين ، حتى عندما تكون سلالهم مختلفة تمامًا ، حيث تكون متجهات السمات في الغالب (0 ) s. في هذه الحالة ، سيكون مؤشر Jaccard مقياسًا أكثر ملاءمة للتشابه لأنه ينظر فقط إلى الفرق بين المتسوقين على أساس البضائع في سلالهم المجمعة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك متجرًا به 100 منتج وعميلان. إذا اشترى العميل A الخبز والبيرة والعميل B اشترى الفول السوداني والبيرة ، فإن معامل تشابه Jaccard هو (1/3 ) ، لكن SMC هو ((1 + 97) /100=0.98 ).

في الحالات التي يحمل فيها 0 و 1 معلومات مكافئة مع توازن أكبر عبر المجموعتين ، قد يكون SMC مقياسًا أفضل للتشابه. على سبيل المثال ، نواقل المتغيرات الديموغرافية المخزنة في متغيرات وهمية ، مثل الجنس ، ستكون أفضل مقارنة بـ SMC مقارنة بمؤشر Jaccard لأن تأثير الجنس على التشابه يجب أن يكون متساويًا ، بغض النظر عما إذا كان يتم تعريف الذكر على أنه 0 وأنثى ك 1 أو العكس.

هناك العديد من الطرق الممكنة الأخرى لقياس التشابه. على سبيل المثال ، يمكننا النظر في الإصدارات الموزونة لما سبق إذا كنا نرغب في تقييم سمات مختلفة بشكل مختلف.

مثال 5

دعونا الآن ننظر في مثال مشابه ولكنه أكثر تعقيدًا مع 6 سمات غير محددة (ليست نفس السمات كما في المثال 1) و 5 أنواع من الكائنات الحية ، مع مصفوفة البيانات التالية ، التي تتكون من الأصفار والآحاد. [ يبدأ & amp1 & amp2 & amp2 & amp3 & amp4 & amp5 & amp6 Lion & amp1 & amp1 & amp0 & amp0 & amp1 & amp1 Giraffe & amp1 & amp1 & amp1 & amp0 & amp0 & amp1 Cow & amp1 & amp0 & amp0 & amp1 & amp0 & amp1 Sheep & amp0 & amp0 & amp0 & amp0 & amp1 ] لنفترض أننا قررنا استخدام معامل المطابقة البسيط (6.8) لقياس التشابه. ثم يتم الحصول على مصفوفة التشابه التالية. [ mathbf F = ابدأ & أمبير نص& أمبير نص& أمبير نص& أمبير نص& أمبير نص الأسد & amp1 & amp2 / 3 & amp1 / 2 & amp1 / 2 & amp1 / 2 الزرافة & amp2 / 3 & amp1 & amp1 / 2 & amp1 / 2 & amp1 / 6 Cow & amp1 / 2 & amp1 / 2 & amp1 & amp1 & amp1 / 3 الأغنام & amp1 / 2 & amp1 / 2 & amp1 & amp1 & amp1 3 & amp1 النهاية ] يمكن التحقق منه بسهولة من التعريف أن (< mathbf F> = (f_)_^ 5 ) هي مصفوفة تشابه.

دعونا نرى كيف سنفعل ذلك في R.

يمكننا استخدام وظيفة dist في R لحساب هذا بسهولة أكبر. تتطلب منا وظيفة التوزيع تحديد المقياس الذي يجب استخدامه. هنا ، نستخدم المسافة (L_1 ) ، والتي تُعرف أيضًا باسم مسافة مانهاتن. علينا طرح هذا من أكبر مسافة ممكنة ، وهي 6 في هذه الحالة ، للحصول على التشابه ، ثم نقسم على 6 للحصول على SMC.

يمكن حساب مؤشر Jaccard على النحو التالي:

مرة أخرى ، يمكننا حساب ذلك باستخدام dist ، لكن هذه المرة باستخدام مقياس المسافة الثنائية. انظر صفحة المساعدة؟ dist لفهم السبب.

لإجراء MDS على هذه البيانات ، نحتاج أولاً إلى التحويل من مصفوفة التشابه (F ) إلى مصفوفة المسافة (D ). يمكننا استخدام الوظيفة التالية للقيام بذلك:

لنفعل الآن MDS ، ونقارن النتائج من استخدام مؤشر SMC و Jaccard. يمكننا القيام بذلك عن طريق حساب ( mathbf B = mathbf H mathbf F mathbf H ) وإيجاد تحللها الطيفي ، لكننا سنترك R يقوم بالعمل نيابةً عنا ، ونستخدم الأمر cmdscale الذي يأخذ مصفوفة مسافة كمدخل. فلنكتب دالة للتحويل من مصفوفة تشابه إلى مصفوفة مسافات.

لذلك يمكننا أن نرى أن اختيار المؤشر قد أحدث فرقًا في النتائج.

6.2.2 مثال: MDS الكلاسيكي مع بيانات MNIST

في القسم 4.3.1 ، رأينا نتائج إجراء PCA على الأرقام المكتوبة بخط اليد MNIST. في الجزء الأخير من هذا القسم ، قمنا بعمل PCA على مجموعة مختارة من جميع الأرقام ، وقمنا برسم نتيجتي الكمبيوتر الرائدين ، ملونين بالرقم الذي يمثلونه.

لنفعل الآن MDS على نفس البيانات. نحن نعلم أنه إذا استخدمنا المسافة الإقليدية بين متجهات الصورة ، فسنقوم بنفس الشيء مثل PCA. لذلك دعونا نحول أولاً كل بكسل في الصورة إلى ثنائي ، بقيمة 0 إذا كانت الكثافة أقل من 0.3 ، و 1 بخلاف ذلك. يمكننا بعد ذلك حساب مصفوفة تشابه باستخدام مؤشرات SMC و Jaccard.

سنفعل كما فعلنا من قبل ، ونرسم الإحداثيات الملونة بالرقم الذي من المفترض أن تمثله كل نقطة. لاحظ أننا لم نستخدم تسميات الأرقام هذه في أي وقت.

يمكنك أن ترى أننا نحصل على تمثيلين مختلفين للبيانات يختلفان عن بعضهما البعض ، ومن تمثيل PCA الذي قمنا بحسابه في الفصل 4.


ننتقل هذا الأسبوع إلى الفصل 4.2 في ELA. على عكس المرة السابقة ، أتابع الآن ELA بشكل أكثر أو أقل تحديدًا. نظرًا لوجود محاضرة واحدة فقط هذا الأسبوع ، فلن أعطي تمارين هذا الأسبوع ، لكنني أجّلها إلى الأسبوع المقبل.

Lecture 23: Orthonormal bases

  • 23.1 Introduction
  • 23.2 Examples of orthonormal bases
  • 23.3 The Gram Schmidt Process
  • 23.4 Two lemmas (The statement of the second lemma should be that <y, u_k>=c_k for all k, NOT that <y, u_k>=0).
  • 23.5 Characterizations of when an orthonormal set is an orthonormal basis
  • 23.6 Illustration of Theorem

1 إجابة 1

Maybe I am missing something, but the following seems to suffice.

By the definition of the product measure (or Tonelli's Theorem if you prefer), $ (mu imes u)(E)=int 1_Ed(mu imes u)=int left(int 1_E(x,y)dmu(x) ight) d u(y). $ But $1_E(x,y)=1_(x)$, so $ int left(int 1_E(x,y)dmu(x) ight) d u(y)=int mu(E^y)d u(y)=sum_mu(E^y). $ Clearly $ sum_mu(E^y)=sum_mu(E^y), $ which was what you wanted.

EDIT: My measure theory, as you may have already noticed, is a bit rusty. Hopefully, there are not too many errors in the following. I follow the notation of 'Real Analysis and Probability' by Dudley. From page 134, the set $mathcal R$ of rectangles $A imes B$ with $A,B$ measurable is a semi-ring, and $ ho(A imes B)=mu(A) u(B)$ is countably additive on $mathcal R$. Then $ ho$ can be extended uniquely to a countably additive function (still denoted $ ho$) on the algebra $mathcal A$ generated by $mathcal R$. The product measure, $mu imes u$, you have defined, as far as I can tell, is then the outer measure (Caratheodory extension) generated by this $ ho$. Another extension would be $m(E)=sum_mu(E^y)$.

Observation: Any extension $alpha$ of $ ho$ satisfies $mleqalphaleq (mu imes u)$: Let $Esubsetigcup_A_k imes B_k$. Then $ alpha(E)leq sum_k alpha(A_k imes B_k)=sum_k mu(A_k) u(B_k). $ Taking the infimum yeilds $alpha(E)leq(mu imes u)(E)$. As for the other inequality, observe that if $F$ is a finite set such that $Esupsetigcup_E^y imes $, then $ alpha(E)geq sum_ alpha(E^y imes)=sum_ mu(E^y). $ Taking the supremum over finite sets $F$ yeilds $alpha(E)geq m(E)$. As a consequence, $m=(mu imes u)$ if and only if the product measure is unique (which may already indicate that the assertion may not hold in general).

If we use your example from update 1, $m(E)=0$ but $(mu imes u)(E)=infty$. In this relation, see the answer to this question. I will now argue that $(mu imes u)(E)=infty$ indeed holds. Given any $A_k,B_k$ such that $Esubsetigcup_^infty A_k imes B_k$, consider the family $ . $ This family must cover uncountably many of the points of $E$ (since $mu(igcup A_k)leqsummu(A_k)=0$ when the union/sum ranges over those $k$ such that $mu(A_k)=0$, and the complement of a Lebesgue-measure-zero set in [0,1] is uncountable). It follows that there is some $k$ such that $mu(A_k)>0$ and $B_k$ is uncountable, which in particular implies $ u(B_k)=infty$. But then $ sum_k mu(A_k) u(B_k)=infty. $

EDIT: Since counting measure is strictly localizable and Lebesgue measure is $sigma$-finite, Theorem 252B of 'Measure Theory Vol 2' by Fremlin applies. Perhaps Bogachev is talking about the c.l.d. product measure (in the words of Fremlin) when he says 'the' product measure.

EDIT: Using Lemma 417B from Fremlin Vol IV, one sees also that we can define an extension $alpha$ of $ ho$ by $alpha(E)=∫ν(E_x)dμ(x).$ Here, $xmapsto ν(E_x)$ is measurable by the lemma. As for $sigma$-additivity, note that if $E_n$ are disjoint sets, then $(E_n)_x$ are disjoint sets as well. Using that $mleqalphaleq (mu imes u)$, we see again that $m eq (mu imes u)$, by considering your example from update 1.


The best I can think of, are: Given a metric space $(X,d)$ , we can assign sigma-algebras.

1) Borel Measure: This is the sigma algebra generated by the open sets generated by the open balls in the metric.

Or, 2)Looking at some of the linked questions are that of a Hausdorff measure associated with a metric space:

But yours is an interesting question: given a measure triple (X, A, $mu$), where $A$ is a sigma algebra and $X$ is the underlying space, can this be the Borel algebra resulting from a metric space? I don't have a full answer but some obvious requirements are that $X$ must be metric , or at least metrizable. Still, while outside of the scope of your question, one can define measures on non-metric, non-metrizable spaces using the Borel sigma algebra.


Measure Theory

(Chapter 3 from G14FTA Further Topics in Analysis 2011-12)

Suitable for students with some knowledge of metric and topological spaces.

Brief description: In Measure Theory we look carefully at various ways to measure the size of a set. The theory makes rigorous the notions of length, area and volume, and generalises these notions. Measure Theory, along with the associated theory of (Lebesgue) integration, has important applications in many areas, including Functional Analysis, Harmonic Analysis and Probability Theory.


Besicovitch–Federer projection theorem.

Often, one is faced with the task of showing that some set, which is a solution to the problem under investigation, is in fact rectifiable, and hence possesses some smoothness. A major concern in geometric measure theory is finding criteria which guarantee rectifiability. One of the most striking results in this direction is the Besicovitch–Federer projection theorem, which illustrates the stark difference between rectifiable and unrectifiable sets. A basic version of it states that if $E subset <f R>^ < n >$ is a purely $m$-unrectifiable set of finite $m$-dimensional Hausdorff measure, then for almost every orthogonal projection $P$ of $ <f R>^ < n >$ onto an $m$-dimensional linear subspace, $mathcal ^ < m >( P ( E ) ) = 0$. (It is not particularly difficult to show that in contrast, $m$-rectifiable sets have projections of positive measure for almost every projection.) This deep result was first proved for $1$-unrectifiable sets in the plane by A.S. Besicovitch, and later extended to higher dimensions by H. Federer. Recently (1998), B. White [a19] has shown how the higher-dimensional version of this theorem follows via an inductive argument from the planar version.


Passenger Turning Path - 90°

The 90° turning path of a passenger vehicle measures the minimum possible turning radius needed when designing parking, loading, and drop-off spaces.

Measuring the inner and outer radii of the 90° turn, a minimum inner radius of 11’6” (3.5 m) and minimum outer radius of 19’2” (5.85 m) should be provided. Though the turning path requires a width of only 7’6” (2.3 m), additional clearances should be provided whenever possible to accommodate a larger variety of car sizes and driver abilities.

The 90° turning path of a passenger vehicle measures the minimum possible turning radius needed when designing parking, loading, and drop-off spaces.

Measuring the inner and outer radii of the 90° turn, a minimum inner radius of 11’6” (3.5 m) and minimum outer radius of 19’2” (5.85 m) should be provided. Though the turning path requires a width of only 7’6” (2.3 m), additional clearances should be provided whenever possible to accommodate a larger variety of car sizes and driver abilities.


Boundedness of Calderón–Zygmund Operators on Non-homogeneous Metric Measure Spaces

Let $left( ext< >!!chi!! ext< ,>,d,,mu ight)$ be a separable metric measure space satisfying the known upper doubling condition, the geometrical doubling condition, and the non-atomic condition that $mu left( left < x ight> ight),=,0$ for all $x,in , ext< >!!chi!! ext< >$ . In this paper, we show that the boundedness of a Calderón–Zygmund operator $T$ on $<^<2>>left( mu ight)$ is equivalent to that of $T$ on $<^

>left( mu ight)$ for some $p,in ,left( 1,,infty ight)$ , and that of $T$ from $<^<1>>left( mu ight)$ to $<^<1,,infty >>left( mu ight)$ . As an application, we prove that if $T$ is a Calderón–Zygmund operator bounded on $<^<2>>left( mu ight)$ , then its maximal operator is bounded on $<^

>left( mu ight)$ for all $p,in ,left( 1,,infty ight)$ and from the space of all complex-valued Borel measures on $ ext< >!!chi!! ext< >$ to $<^<1,,infty >>left( mu ight)$ . All these results generalize the corresponding results of Nazarov et al. on metric spaces with measures satisfying the so-called polynomial growth condition.


شاهد الفيديو: قياس المسافات علي سطح الارض (شهر نوفمبر 2021).