مقالات

3.7.E: مشاكل في المساحات المترية (تمارين)


يجب ملاحظة مشاكل "الأسهم" للعمل في وقت لاحق.

تمرين ( PageIndex {1} )

أظهر أن (E ^ {2} ) يصبح مسافة مترية إذا تم تحديد المسافات ( rho ( overline {x} ، overline {y}) ) بواسطة
(أ) ( rho ( overline {x} ، overline {y}) = left | x_ {1} -y_ {1} right | + left | x_ {2} -y_ {2} حق | ) أو
(ب) ( rho ( overline {x} ، overline {y}) = max left { left | x_ {1} -y_ {1} right | ، left | x_ {2} -y_ {2} right | right } ) ،
حيث ( overline {x} = left (x_ {1}، x_ {2} right) ) و ( overline {y} = left (y_ {1}، y_ {2} right) . ) في كل حالة ، صِف (G _ { overline {0}} (1) ) و (S _ { overline {0}} (1). ) افعل الشيء نفسه بالنسبة للمساحة الفرعية للنقاط التي تحتوي على غير سالب إحداثيات.

تمرين ( PageIndex {2} )

إثبات التأكيدات الواردة في النص حول الكرات الأرضية في مساحة منفصلة. ابحث عن كرة فارغة في مثل هذه المساحة. هل يمكن للكرة أن تحتوي على الفضاء بأكمله؟

تمرين ( PageIndex {3} )

أظهر أن ( rho ) في الأمثلة ((3) ) و ((5) ) يطيع البديهيات المترية.

تمرين ( PageIndex {4} )

لنفترض أن (M ) مجموعة من جميع الأعداد الصحيحة الموجبة مع "النقطة" ( infty. ) Metrize (M ) عن طريق الإعداد
[
rho (m، n) = left | frac {1} {m} - frac {1} {n} right |، text {مع الاصطلاح} frac {1} { infty} = 0.
]
تحقق من البديهيات المترية. صِف (G _ { infty} left ( frac {1} {2} right) و S _ { infty} left ( frac {1} {2} right) و ) و (G_ { 1} (1) ).

تمرين ( PageIndex {5} )

( Rightarrow 5. ) حدد نظام الرقم الحقيقي الممتد (E ^ {*} ) بمقدار
[
rho ^ { prime} (x، y) = | f (x) -f (y) | ،
]
حيث الوظيفة
[
f: E ^ {*} underet { text {on}} { longrightarrow} [- 1،1]
]
يتم تعريفه بواسطة
[
f (x) = frac {x} {1+ | x |} text {if} x text {محدود ،} f (- infty) = - 1 ، text {and} f (+ infty ) = 1.
]
احسب ( rho ^ { prime} (0، + infty)، rho ^ { prime} (0، - infty)، rho ^ { prime} (- infty، + infty)، rho ^ { prime} (0،1) ، rho ^ { prime} (1،2) ، ) و ( rho ^ { prime} (n، + infty). ) وصف (G_ {0} (1)، G _ {+ infty} (1)، ) و (G _ {- infty} left ( frac {1} {2} right). ) تحقق من المقياس البديهيات (أيضًا عند تضمين اللانهائيات).

تمرين ( PageIndex {6} )

( Rightarrow 6. ) في المشكلة (5، ) أظهر أن الوظيفة (f ) هي واحد لواحد ، على ([- 1،1] ، ) وتتزايد ؛ بمعنى آخر.
[
x ]
أظهر أيضًا أن (f ) -صورة الفاصل ((a، b) subseteq E ^ {*} ) هي الفاصل ((f (a)، f (b)). ) وبالتالي استنتج أن الكرات الأرضية في (E ^ {*} ) (مع ( rho ^ { prime} ) كما في المشكلة 5) هي فترات في (E ^ {*} ) (ربما لانهائية).
[تلميح: لوضع حد (س ، )
[
y = f (x) = frac {x} {1+ | x |}.
]
يُظهر حل (x ) (بشكل منفصل في الحالات (x geq 0 ) و (x <0) ، ) ذلك
[
( forall y in (-1،1)) quad x = f ^ {- 1} (y) = frac {y} {1- | y |} ؛
]
وبالتالي ، يتم تحديد (x ) بشكل فريد من خلال (y ، ) أي ، (f ) هو واحد لواحد وعلى كل (y in (-1،1) ) يتوافق مع بعض (x في E ^ {1}. ) (ماذا عن ( pm 1؟) )
لإثبات أن (f ) يتزايد ، ضع في اعتبارك الحالات الثلاث بشكل منفصل (x <0

تمرين ( PageIndex {7} )

استمرار المشاكل 5 و (6، ) ضع في الاعتبار ( left (E ^ {1}، rho ^ { prime} right) ) كمسافة فرعية لـ ( left (E ^ {*}، rho ^ { prime} right) ) مع ( rho ^ { prime} ) كما في المشكلة (5. ) أظهر أن الكرات الأرضية في ( left (E ^ {1} ، rho ^ { prime} right) ) هي جميع الفواصل الزمنية المفتوحة في (E ^ {*}. ) على سبيل المثال ، ((0،1) ) عبارة عن كرة أرضية. ما هو مركزها ونصف قطرها تحت ( rho ^ { prime} ) وتحت المقياس القياسي ( rho؟ )

تمرين ( PageIndex {8} )

قياس الفاصل الزمني المغلق ([0، + infty] ) في (E ^ {*} ) عن طريق الإعداد
[
rho (x، y) = left | frac {1} {1 + x} - frac {1} {1 + y} right | و
]
مع الاصطلاحات (1 + (+ infty) = + infty ) و (1 / (+ infty) = 0. ) تحقق من البديهيات المترية. صِف (G_ {p} (1) ) للإشارة إلى (p geq 0 ).

تمرين ( PageIndex {9} )

أثبت أنه إذا كان ( rho ) مقياسًا لـ (S ، ) ، فسيتم إعطاء مقياس آخر ( rho ^ { prime} ) لـ (S ) بواسطة
(i) ( rho ^ { prime} (x، y) = min {1، rho (x، y) } ) ؛
(ii) ( rho ^ { prime} (x، y) = frac { rho (x، y)} {1+ rho (x، y)} ).
في حالة (( mathrm {i}) ، ) أظهر أن الكرات الأرضية (G_ {p} ( varepsilon) ) من نصف القطر ( varepsilon leq 1 ) هي نفسها ضمن ( rho ) و ( rho ^ { prime}. ) في الحالة (ii) ، أثبت أن أي (G_ {p} ( varepsilon) ) في ((S، rho) ) هو أيضًا كرة أرضية (G_ {p} left ( varepsilon ^ { prime} right) ) في ( left (S ، rho ^ { prime} right) ) من نصف القطر
[
varepsilon ^ { prime} = frac { varepsilon} {1+ varepsilon} ،
]
وأي كرة نصف قطرها ( varepsilon ^ { prime} <1 ) في ( left (S، rho ^ { prime} right) ) هي أيضًا كرة أرضية في ((S ، rho ). ) (ابحث عن الصيغة العكسية لـ ( varepsilon ) أيضًا!)
[تلميح عن عدم المساواة في المثلث في (ii): دع (a = rho (x، z)، b = rho (x، y)، ) و (c = rho (y، z) ) بحيث (a leq b + c. ) المتباينة المطلوبة هي
[
frac {a} {1 + a} leq frac {b} {1 + b} + frac {c} {1 + c}.
]
بسّطها وأظهر أنها تتبع من (a leq b + c.] )

تمرين ( PageIndex {10} )

أثبت أنه إذا كانت ( left (X، rho ^ { prime} right) ) و ( left (Y، rho ^ { prime prime} right) ) مسافات مترية ، إذن يتم الحصول على القياس ( rho ) للمجموعة (X مرات Y ) من خلال الإعداد ، لـ (x_ {1} ، x_ {2} في X ) و (y_ {1} ، y_ { 2} في Y ) ،
(i) ( rho left ( left (x_ {1}، y_ {1} right)، left (x_ {2}، y_ {2} right) right) = max left { rho ^ { prime} left (x_ {1} ، x_ {2} right) ، rho ^ { prime prime} left (y_ {1} ، y_ {2} right) right } ؛) أو
(ii) ( rho left ( left (x_ {1}، y_ {1} right)، left (x_ {2}، y_ {2} right) right) = sqrt { rho ^ { prime} left (x_ {1} ، x_ {2} right) ^ {2} + rho ^ { prime prime} left (y_ {1} ، y_ {2} right) ^ {2}} ).
[تلميح: للإيجاز ، ضع ( rho_ {12} ^ { prime} = rho ^ { prime} left (x_ {1} ، x_ {2} right) ، rho_ {12} ^ { prime prime} = rho ^ { prime prime} left (y_ {1} ، y_ {2} right) ، ) إلخ. متباينة المثلث في (ii) ،
[
sqrt { left ( rho_ {13} ^ { prime} right) ^ {2} + left ( rho_ {13} ^ { prime prime} right) ^ {2}} leq sqrt { left ( rho_ {12} ^ { prime} right) ^ {2} + left ( rho_ {12} ^ { prime prime} right) ^ {2}} + sqrt { يسار ( rho_ {23} ^ { prime} right) ^ {2} + left ( rho_ {23} ^ { prime prime} right) ^ {2}} ،
]
يتم التحقق من تربيع كلا الجانبين ، وعزل الجذر التربيعي المتبقي على الجانب الأيمن ، والتبسيط ، والتربيع مرة أخرى. بسّط باستخدام متباينات المثلث الصالحة في (X ) و (Y ، ) أي ،
[
rho_ {13} ^ { prime} leq rho_ {12} ^ { prime} + rho_ {23} ^ { prime} text {and} rho_ {13} ^ { prime prime} leq rho_ {12} ^ { prime prime} + rho_ {23} ^ { prime prime}.
]
اعكس كل الخطوات ، بحيث تصبح المتباينة المطلوبة هي الخطوة الأخيرة. (] )

تمرين ( PageIndex {11} )

اثبت ذلك
[
| rho (y، z) - rho (x، z) | leq rho (س ، ص)
]
في أي مساحة مترية ((S ، rho). )
[تحذير: لا يمكن استخدام الصيغة ( rho (x، y) = | x-y |، ) الصالحة في (E ^ {n}، ) في ((S، rho). ) لماذا؟ (] )

تمرين ( PageIndex {12} )

اثبت ذلك
[
rho left (p_ {1} ، p_ {2} right) + rho left (p_ {2} ، p_ {3} right) + cdots + rho left (p_ {n-1} ، p_ {n} right) geq rho left (p_ {1} ، p_ {n} right).
]
[تلميح: استخدم الحث. (] )


شاهد الفيديو: تمارين المساحات 2 - تمرين يحتوي على جملة معادلتين (شهر نوفمبر 2021).