مقالات

9.3: تبسيط الأعداد الفاصلة - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تكون قادرة على تحويل وحدة قياس غير مبسطة إلى وحدة قياس مبسطة
  • أن تكون قادرًا على جمع وطرح الأرقام المحددة
  • تكون قادرة على ضرب وقسمة عدد محدد على عدد صحيح

التحويل إلى وحدات متعددة

التعريف: تسمية الأعداد

يتم استدعاء الأرقام التي لها وحدات قياس مرتبطة بها أرقام تسمية. غالبًا ما يكون من الملائم ، أو حتى من الضروري ، تبسيط رقم محدد.

التعريف: أرقام فاصلة مبسطة

الرقم المسمى هو مبسط عندما لا يتجاوز عدد وحدات القياس القياسية المرتبطة بها النوع الأعلى التالي للوحدة.

تم تبسيط الرقم 55 دقيقة لأنه أصغر من النوع الأعلى التالي للوحدة ، 1 ساعة. رقم الفئة 65 دقيقة هو ليس مبسطة لأنها ليست أصغر من النوع الأعلى التالي للوحدة ، ساعة واحدة. يمكن تبسيط الرقم 65 دقيقة ليصبح 1 ساعة 5 دقائق. يتم تبسيط القيمة رقم 1 ساعة 5 دقائق لأن النوع الأعلى التالي للوحدة هو اليوم ، وساعة واحدة لا تتجاوز يومًا واحدًا.

مجموعة العينة أ

بسّط 19 بوصة.

المحلول

بما أن ( نص {12 بوصة = 1 قدم} ) و (19 = 12 + 7 ).

( start {array} {rcl} { text {19 in.}} & = & { text {12 in. + 7 in.}} {} & = & { text {1 ft + 7 في.}} {} & = & { text {1 قدم 7 بوصة.}} end {array} )

مجموعة العينة أ

بسّط 4 جالون 5 كيو تي.

المحلول

بما أن ( text {4 qt = 1 gal} ) و (5 = 4 + 1 ).

( start {array} {rcl} { text {4 gal 5 qt}} & = & { text {4 gal + 4 qt + 1 qt}} {} & = & { text {4 gal + 1 غال + 1 qt}} {} & = & { text {5 gal + 1 qt}} {} & = & { text {5 gal 1 qt}} end {array} )

مجموعة العينة أ

بسّط 2 ساعة 75 دقيقة.

المحلول

بما أن ( text {60 min = 1 hr} ) ، و (75 = 60 + 15 ).

( start {array} {rcl} { text {2 hr 75 min}} & = & { text {2 hr + 60 min + 15 min}} {} & = & { text {2 hr + 1 ساعة + 15 دقيقة}} {} & = & { text {3 ساعات + 15 دقيقة}} {} & = & { text {3 hr 15 min}} end {array} )

مجموعة العينة أ

بسّط 43 أونصة سائلة.

المحلول

بما أن ( text {8 fl oz = 1 c} ) (1 كوب) ، و (43 div 8 = text {5R3} ).

( start {array} {rcl} { text {43 fl oz}} & = & { text {40 fl oz + 3 fl oz}} {} & = & {5 cdot 8 text { fl oz + 3 fl oz}} {} & = & {5 cdot 1 text {c + 3 fl oz}} {} & = & { text {5 c + 3 fl oz}} نهاية {مجموعة} )

لكن ( text {2c = 1 pt} ) و (5 div 2 = text {2R1} ). وبالتالي،

( start {array} {rcl} { text {5 c + 3 fl oz}} & = & {2 cdot 2 text {c + 1 c + 3 fl oz}} {} & = & {2 cdot 1 text {pt + 1 c + 3 fl oz}} {} & = & { text {2 pt + 1 c + 3 fl oz}} end {array} )

لكن ( text {2 pt = 1 qt} ) ، حسنًا

( نص {2 pt + 1 c + 3 fl oz = 1 qt 1 c 3 fl oz} )

مجموعة الممارسة أ

بسّط كل رقم محدد. الرجوع إلى جداول التحويل الواردة في [حلقة الوصل]، اذا كان ضروري.

18 بوصة.

إجابه

1 قدم 6 بوصة.

مجموعة الممارسة أ

8 جالون 9 كيو تي

إجابه

10 جالون 1 كيو تي

مجموعة الممارسة أ

5 ساعات 80 دقيقة

إجابه

6 ساعات 20 دقيقة

مجموعة الممارسة أ

8 أسبوع 11 يوم

إجابه

9 أسبوع 4 يوم

مجموعة الممارسة أ

86 دا

إجابه

12 أسبوعًا 2 يوم

جمع وطرح الأعداد الفاصلة

جمع وطرح الأعداد الفاصلة
يمكن إضافة أو طرح الأرقام الفاصلة عن طريق:

  1. كتابة الأرقام رأسيًا بحيث تظهر الوحدات المتشابهة في نفس العمود.
  2. إضافة أو طرح أجزاء الأرقام مع حمل الوحدة.
  3. تبسيط المجموع أو الفرق.

مجموعة العينة ب

أضف 6 أقدام 8 بوصات إلى 2 قدم 9 بوصات.

المحلول

( start {array} {r} { text {6 ft 8 in.}} { underline { text {+ 2 ft 9 in.}}} { text {8 ft 17 in. }} end {array} ) بسّط هذا الرقم.

منذ ( النص {12 بوصة = 1 قدم} )

( start {array} {rcl} { text {8 ft + 12 in. + 5 in.}} & = & { text {8 ft + 1 ft + 5 in.}} {} & = & { text {9 ft + 5 in.}} {} & = & { text {9 ft 5 in.}} end {array} )

مجموعة العينة ب

اطرح 5 da 3 hr من 8 da 11 hr.

المحلول

( start {array} {r} { text {8 da 11 hr}} { underline { text {- 5 da 3 hr}}} { text {3 da 8 hr}} نهاية {مجموعة} )

مجموعة العينة ب

اطرح 3 أرطال 14 أونصة من 5 أرطال 3 أونصات.

المحلول

( start {array} {r} { text {5 lb 3 oz}} { underline { text {- 3 lb 14 oz}}} end {array} )

لا يمكننا طرح 14 أونصة مباشرة من 3 أونصات ، لذلك علينا استعارة 16 أونصة من الجنيهات.

( start {array} {rcl} { text {5 lb 3 oz}} & = & { text {5 lb + 3 oz}} {} & = & { text {4 lb + 1 lb + 3 أوقية}} {} & = & { text {4 lb + 16 oz + 3 oz (بما أن 1 lb = 16 oz.)}} {} & = & { text {4 lb + 19 oz}} {} & = & { text {4 lb 19 oz}} end {array} )

( start {array} {r} { text {4 lb 19 oz}} { underline { text {- 3 lb 14 oz}}} { text {1 lb 5 oz}} نهاية {مجموعة} )

مجموعة العينة ب

اطرح 4 da 9 hr 21 min من 7 da 10 min.

المحلول

( start {array} {r} { text {7 da 0 hr 10 min}} { underline { text {- 4 da 9 hr 21 min}}} end {array} ) استعارة 1 دا من 7 دا.

( start {array} {r} { text {6 da 24 hr 10 min}} { underline { text {- 4 da 9 hr 21 min}}} end {array} ) استعارة 1 ساعة من 24 ساعة.

( start {array} {r} { text {6 da 23 hr 70 min}} { underline { text {- 4 da 9 hr 21 min}}} { text {2 da 14 ساعة 49 دقيقة}} نهاية {مجموعة} )

مجموعة الممارسة ب

نفذ كل عملية. قم بالتبسيط عندما يكون ذلك ممكنًا.

أضف 4 جالون 3 كوارت إلى 1 جالون 2 كوارت.

إجابه

6 جالون 1 كيو تي

مجموعة الممارسة ب

أضف 9 ساعات و 48 دقيقة إلى 4 ساعات و 26 دقيقة.

إجابه

14 ساعة 14 دقيقة

مجموعة الممارسة ب

اطرح 2 قدم 5 بوصة من 8 قدم 7 بوصة.

إجابه

6 قدم 2 بوصة.

مجموعة الممارسة ب

اطرح 15 كم 460 م من 27 كم 800 م.

إجابه

12 كم 340 م

مجموعة الممارسة ب

اطرح 8 min 35 sec من 12 min 10 sec.

إجابه

3 دقائق و 35 ثانية

مجموعة الممارسة ب

أضف 4 ياردة و 2 قدم 7 بوصة إلى 9 ياردة و 2 قدم 8 بوصات.

إجابه

14 ياردة 2 قدم 3 بوصة

مجموعة الممارسة ب

اطرح 11 دقيقة 55 ثانية من 25 دقيقة 8 ثوانٍ.

إجابه

13 دقيقة و 13 ثانية

ضرب رقم مقام في عدد صحيح

دعنا نفحص المجموع المكرر

( underbrace { text {4 ft 9 in. + 4 ft 9 in. + 4 ft 9 in.}} _ { text {3 times}} = text {12 ft 27 in.} )

مع التذكير بأن الضرب هو وصف للجمع المتكرر من خلال خاصية التوزيع لدينا

( start {array} {rcl} { text {3 (4 ft 9 in.)}} & = & { text {3 (4ft + 9 in.)}} {} & = & {3 cdot 4 text {ft} + 3 cdot 9 text {in.}} {} & = & { text {12 ft + 27 in. Now، 27 in. = 2 ft 3 in.}} {} & = & { text {12 قدم + 2 قدم + 3 بوصة.}} {} & = & { text {14 ft + 3 in.}} {} & = & { نص {14 قدم 3 بوصة.}} نهاية {مجموعة} )

من هذه الملاحظات ، يمكننا اقتراح القاعدة التالية.

ضرب رقم مقام في عدد صحيح
لضرب رقم فئة في رقم صحيح ، اضرب الجزء الرقمي لكل وحدة في العدد الصحيح وألصق الوحدة بهذا المنتج.

مجموعة العينة ج

نفذ عمليات الضرب التالية. بسّط إذا لزم الأمر.

( start {array} {rcl} {6 cdot text {(2 ft 4 in.)}} & = & {6 cdot 2 text {ft + 6} cdot 4 text {in.} } {} & = & { text {12 ft + 24 in.}} end {array} )

بما أن ( text {3 ft = 1 yd} ) و ( text {12 in. = 1 ft.} )

( start {array} {rcl} { text {12 ft + 24 in.}} & = & { text {4 yd + 2 ft}} {} & = & { text {4 yd 2 ft}} end {array} )

مجموعة العينة ج

( start {array} {rcl} {8 cdot text {(5 hr 21 min 55 sec)}} & = & {8 cdot 5 text {hr} + 8 cdot 21 text {min} + 8 cdot 55 text {sec}} {} & = & { text {40 ساعة + 168 دقيقة + 440 ثانية}} {} & = & { text {40 ساعة + 168 دقيقة + 7 min + 20 sec}} {} & = & { text {40 hr + 175 min + 20 sec}} {} & = & { text {40 hr + 2 hr + 55 min + 20 sec} } {} & = & { text {42 ساعة + 55 دقيقة + 20 ثانية}} {} & = & { text {24 ساعة + 18 ساعة + 55 دقيقة + 20 ثانية}} {} & = & { text {1 da + 18 hr + 55 min + 20 sec}} {} & = & { text {1 da 18 hr 55 min 20 sec}} end {array} )

مجموعة الممارسة ج

نفذ عمليات الضرب التالية. تبسيط.

(2 cdot text {(10 دقائق)} )

إجابه

20 دقيقة

مجموعة الممارسة ج

(5 cdot نص {(3 qt)} )

إجابه

( نص {15 qt = 3 جالون 3 qt} )

مجموعة الممارسة ج

(4 cdot text {(5 قدم 8 بوصة)} )

إجابه

( text {20 قدمًا 32 بوصة = 7 ياردة 1 قدم 8 بوصة} )

مجموعة الممارسة ج

(10 ​​ cdot text {(ساعتان و 15 دقيقة و 40 ثانية)} )

إجابه

( text {20 ساعة 150 دقيقة 400 ثانية = 22 ساعة 36 دقيقة و 40 ثانية} )

قسمة عدد محدد على عدد صحيح

قسمة عدد محدد على عدد صحيح
لقسمة رقم فائض على رقم صحيح ، قسّم جزء الرقم من كل وحدة على العدد الصحيح الذي يبدأ بأكبر وحدة. ألصق الوحدة بهذا الحاصل. احمل الباقي إلى الوحدة التالية.

مجموعة عينة د

قم بإجراء الأقسام التالية. بسّط إذا لزم الأمر.

( text {(12 دقيقة و 40 ثانية)} div 4 )

المحلول

وبالتالي ( text {(12 min 40 sec)} div 4 = text {3 min 10 sec} )

مجموعة عينة د

( نص {(5 ياردة 2 قدم 9 بوصة)} div 3 )

المحلول

( start {array} {c} { text {التحويل إلى القدمين: 2 yd 2 ft = 8 ft}} { text {التحويل إلى البوصات: 2 قدم 9 بوصة = 33 بوصة}} النهاية {مجموعة مصفوفة})

وبالتالي ( text {(5 yd 2 قدم 9 بوصة)} div 3 = text {1 yd 2 ft 11 in.} )

مجموعة الممارسة د

قم بإجراء الأقسام التالية. بسّط إذا لزم الأمر.

( text {(18 ساعة و 36 دقيقة)} div 9 )

إجابه

ساعتان و 4 دقائق

مجموعة الممارسة د

( text {(36 ساعة 8 دقائق)} div 8 )

إجابه

4 ساعات و 18 دقيقة

مجموعة الممارسة د

( نص {(13 ياردة 7 بوصة)} div 5 )

إجابه

2 ياردة 1 قدم 11 بوصة

مجموعة الممارسة د

( نص {(47 جالون 2 qt 1 نقطة)} div 3 )

إجابه

15 جالون 3 كوارت 1 قرش

تمارين

بالنسبة للمسائل الخمسة عشر التالية ، بسّط الأعداد الفاصلة.

تمرين ( PageIndex {1} )

16 بوصة.

إجابه

1 قدم و 4 بوصات

تمرين ( PageIndex {2} )

19 قدم

تمرين ( PageIndex {3} )

85 دقيقة

إجابه

ساعة و 25 دقيقة

تمرين ( PageIndex {4} )

90 دقيقة

تمرين ( PageIndex {5} )

17 دا

إجابه

2 أسابيع 3 أيام

تمرين ( PageIndex {6} )

25 أوقية

تمرين ( PageIndex {7} )

240 أوقية

إجابه

15 مليون جنيه

تمرين ( PageIndex {8} )

3500 رطل

تمرين ( PageIndex {9} )

26 كيو تي

إجابه

6 جالون 2 ليتر

تمرين ( PageIndex {10} )

300 ثانية

تمرين ( PageIndex {11} )

135 أوقية

إجابه

8 جنيهات و 7 أونصات

تمرين ( PageIndex {12} )

14 ملعقة صغيرة

تمرين ( PageIndex {13} )

18 نقطة

إجابه

2 جالون 1 لتر

تمرين ( PageIndex {14} )

3500 م

تمرين ( PageIndex {15} )

16300 مل

إجابه

16 لترًا 300 مليلتر (أو 1 دالت 6 لترات 3 ديسيلتر)

بالنسبة للمشكلات الـ 15 التالية ، قم بإجراء العمليات المشار إليها وقم بتبسيط الإجابات إن أمكن.

تمرين ( PageIndex {16} )

أضف 6 دقائق و 12 ثانية إلى 5 دقائق و 15 ثانية.

تمرين ( PageIndex {17} )

أضف 14 يوم 6 ساعات إلى 1 يوم 5 ساعات.

إجابه

15 يوم 11 ساعة

تمرين ( PageIndex {18} )

أضف 9 جالون 3 كوارت إلى 2 جالون 3 كوارت.

تمرين ( PageIndex {19} )

أضف 16 رطلاً و 10 أونصات إلى 42 رطلاً و 15 أونصة.

إجابه

59 جنيه 9 أونصات

تمرين ( PageIndex {20} )

اطرح 3 جالون 1 ربع جالون من 8 جالون 3 كوارت.

تمرين ( PageIndex {21} )

اطرح 3 قدم 10 بوصة من 5 قدم 8 بوصة.

إجابه

1 قدم و 10 بوصات

تمرين ( PageIndex {22} )

اطرح 5 أرطال 9 أونصات من 12 رطلاً و 5 أونصات.

تمرين ( PageIndex {23} )

اطرح 10 ساعة 10 دقيقة من 11 ساعة 28 دقيقة.

إجابه

ساعة و 18 دقيقة

تمرين ( PageIndex {24} )

أضف 3 أونصات سائلة 1 ملعقة كبيرة 2 ملعقة صغيرة إلى 5 أونصات سائلة 1 ملعقة كبيرة 2 ملعقة صغيرة.

تمرين ( PageIndex {25} )

أضف 4 أيام و 7 ساعات و 12 دقيقة إلى يوم واحد و 8 ساعات و 53 دقيقة.

إجابه

5 أيام 16 ساعة 5 دقائق

تمرين ( PageIndex {26} )

اطرح 5 ساعات 21 ثانية من 11 ساعة 2 دقيقة 14 ثانية.

تمرين ( PageIndex {27} )

اطرح 6 T 1300 رطل 10 أونصات من 8 T 400 رطل 10 أونصات.

إجابه

1 طن 1100 رطل (أو 1 تيرابايت 1100 رطل)

تمرين ( PageIndex {28} )

اطرح 15 ميل 10 بوصة من 27 ميل 800 قدم 7 بوصة.

تمرين ( PageIndex {29} )

اطرح 3 أسابيع و 5 أيام و 50 دقيقة و 12 ثانية من 5 أسابيع و 6 أيام و 20 دقيقة و 5 ثوانٍ.

إجابه

أسبوعان ، 23 ساعة ، 29 دقيقة ، 53 ثانية

تمرين ( PageIndex {30} )

اطرح 3 جالون 3 qt 1 pt 1 oz من 10 gal 2 qt 2 oz.

تمارين للمراجعة

تمرين ( PageIndex {31} )

أوجد القيمة: (( dfrac {5} {8}) ^ 2 + dfrac {39} {64} ).

إجابه

1

تمرين ( PageIndex {32} )

أوجد المجموع: (8 + 6 dfrac {3} {5} ).

تمرين ( PageIndex {33} )

حوّل (2.05 dfrac {1} {11} ) إلى كسر.

إجابه

(2 dfrac {14} {275} )

تمرين ( PageIndex {34} )

يتكون المحلول الحمضي من 3 أجزاء من الحمض إلى 7 أجزاء من الماء. كم عدد أجزاء الحمض الموجودة في المحلول الذي يحتوي على 126 جزءًا من الماء؟

تمرين ( PageIndex {35} )

حول 126 كجم إلى جرامات.

إجابه

126000 جرام


حاسبة الكسر

الكسور - استخدم الشرطة المائلة "/" بين البسط والمقام ، على سبيل المثال ، لخمس مائة ، أدخل 5/100. إذا كنت تستخدم أرقامًا مختلطة ، فتأكد من ترك مسافة واحدة بين الجزء الكامل والجزء الكسري.
تفصل الشرطة المائلة البسط (الرقم فوق خط الكسر) والمقام (الرقم أدناه).

أرقام مختلطة (كسور مختلطة أو أرقام مختلطة) اكتب في صورة عدد صحيح غير صفري مفصولة بمسافة واحدة وكسر أي ، 1 2/3 (تحمل نفس العلامة). مثال على كسر سالب مختلط: -5 1/2.
نظرًا لأن الشرطة المائلة هي علامتان لخط الكسر والقسمة ، فإننا نوصي باستخدام النقطتين (:) كعامل تشغيل لكسور القسمة ، أي ، 1/2 : 3.

يتم إدخال الكسور العشرية (الأرقام العشرية) بعلامة عشرية . ويتم تحويلها تلقائيًا إلى كسور - أي 1.45.

القولون : وشرطة مائلة / هو رمز الانقسام. يمكن استخدامها لقسمة الأرقام المختلطة 1 2/3 : 4 3/8 أو يمكن استخدامها لكتابة الكسور المعقدة ، أي 1/2 : 1/3.
علامة النجمة * أو × هو رمز الضرب.
زائد + هو إضافة ، ناقص - هو الطرح و ()[] هي أقواس رياضية.
رمز الأس / القوة هو ^ - فمثلا: (7/8-4/5)^2 = (7/8-4/5) 2

أمثلة:

تتبع الآلة الحاسبة القواعد المعروفة لـ ترتيب العمليات. أكثر فن الإستذكار شيوعًا لتذكر ترتيب العمليات هذا هو:
بمداس - الأقواس ، الأس ، الضرب ، القسمة ، الجمع ، الطرح.
سرير - الأقواس ، الأس ، القسمة ، الضرب ، الجمع ، الطرح
بودماس - الأقواس ، أو الترتيب ، أو القسمة ، أو الضرب ، أو الجمع ، أو الطرح.
جيمداس - تجميع الرموز - الأقواس () <> ، الأس ، الضرب ، القسمة ، الجمع ، الطرح.
كن حذرا ، دائما افعل الضرب والقسمة قبل جمع وطرح. بعض عوامل التشغيل (+ و -) و (* و /) لها نفس الأولوية ومن ثم يجب تقييمها من اليسار إلى اليمين.


لإيجاد ذلك ، سنستخدم العدد الصحيح الذي حسبناه في الخطوة الأولى (3) ونضربه في المقام الأصلي (3). ثم يتم طرح نتيجة هذا الضرب من البسط الأصلي:

لقد بسطنا الآن 9/3 إلى عدد كسري. لرؤيتها ، نحتاج فقط إلى وضع العدد الصحيح مع البسط الجديد والمقام الأصلي:

ربما لاحظت هنا أن البسط الجديد لدينا هو في الواقع 0. نظرًا لعدم وجود باقي ، يمكننا حذف جزء الكسر بالكامل من هذا العدد الكسري ، مما يترك لنا إجابة نهائية:

نأمل أن يكون هذا البرنامج التعليمي قد ساعدك في فهم كيفية تحويل أي كسر غير حقيقي لديك إلى كسر مختلط ، مكتمل برقم صحيح وكسر مناسب. أنت حر في استخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا أدناه لممارسة المزيد ، ولكن حاول وتعلم كيفية القيام بذلك بنفسك. إنها أكثر متعة مما تبدو ، أعدك!


هناك بعض الطرق المختلفة لتبسيط الكسر أو تصغيره. انظر بعض الأمثلة أدناه:

الطريقة الأولى - الحفاظ على القسمة على رقم صغير

ابدأ بقسمة الرقمين العلوي والسفلي للكسر على نفس الرقم ، وكرر هذا إذا لزم الأمر حتى يستحيل القسمة. ابدأ بالقسمة على رقم صغير مثل 2 ، 3 ، 5 ، 7. على سبيل المثال ،

بسّط الكسر 12/60

  • قسّم أولًا (البسط / المقام) على 2 لتحصل على 6/30.
  • اقسم كلاهما على 2 لتحصل على 3/15 ، إذن ،
  • اقسم كلاهما على 3 لتحصل على 1/5.

في الكسر 1/5 ، 1 يقبل القسمة على نفسه فقط ، و 5 لا يقبل القسمة على أرقام أخرى غير نفسه و 1 ، لذلك تم تبسيط الكسر قدر الإمكان. لا يوجد تخفيض إضافي ممكن ، لذا فإن الإجابة هي 1/5.

الطريقة الثانية

لتقليل الكسر إلى أدنى حد (يسمى أيضًا أبسط صورة) ، ما عليك سوى قسمة كل من البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر (GCF أو GCD). على سبيل المثال ، 2/3 في أدنى شكل ، لكن 4/6 ليست في أدنى شكل (GCD لـ 4 و 6 هي 2) ويمكن التعبير عن 4/6 كـ 2/3. يمكنك القيام بذلك لأن قيمة الكسر لا تتغير إذا تم ضرب أو تقسيم كل من البسط والمقام على نفس الرقم (بخلاف الصفر).

أنظر أيضا:

مبسط الكسور - تبسيط حاسبة الكسور

الرجاء الارتباط بهذه الصفحة! فقط انقر بزر الماوس الأيمن على الصورة أعلاه ، واختر نسخ عنوان الرابط ، ثم الصقه في HTML الخاص بك.


أشياء غامضة اعتاد تسلا القيام بها

  • تجول حول مبنى 3 مرات قبل دخول المبنى
  • اختر فقط غرف الفندق & # 8217s ، التي كان رقم غرفتها قابل للقسمة على 3
  • كان يغسل أطباقه بـ 18 منديل فقط

قال البعض إنه مصاب بالوسواس القهري والبعض يعتقد أنه مؤمن بالخرافات ، لكن ما قاله تسلا كان & # 8211

إذا كنت تعرف عظمة 3 6 و 9 ، فسيكون لديك مفتاح للكون.

ربما صادفنا هذا الاقتباس الذي يزعم أن تسلا قاله عبر الإنترنت ، ولكن لا توجد إشارة في أي مكان يقالها حقًا. على الرغم من عدم وجود دليل ، إلا أن الحقائق والأشياء التي اعتاد تسلا القيام بها تجعل الأمر أكثر تصديقًا أنه كان مهووسًا بهذه الأرقام ويمكن أن يستنتج الاقتباس ليكون حقيقيًا.

علاوة على ذلك ، فإن أهمية الرقم ثلاثة لا يعرفها تسلا ولكن الكثير من الأشخاص الآخرين في هذا العصر تتعلق بالرقم ثلاثة. قد يكون من المنطقي أكثر أخذ أمثلة واقعية ، من ذرة تتكون من ثلاث جسيمات دون ذرية (بروتون ، نيوترون ، والإلكترون)، إلى الثالوث الأقدس (الله ، يسوع ، والروح القدس) من الكتاب المقدس. ظهرت الأساطير المصرية أيضًا في ثلاثة آلهة مثلت السماء والأرض والهاوية.

علاوة على ذلك ، فإن تطور أفكارنا من الماضي ، وتجربتنا دائمًا هي الحاضر ، وكل خيالنا وتطلعاتنا هي من المستقبل مما يجعل الكلال الثلاثة (السنسكريتية للوقت)


موارد الوحدة

نماذج المنطقة للممتلكات التوزيعية

كتاب مرجع الطالب الصفحات 248 ، 249

خاصية التوزيع

كتاب مرجع الطالب الصفحات 248 ، 249

الوصول إلى واحد
(كتاب مرجع الطالب، الصفحة 321)

تبسيط التعبيرات: تجميع الحدود المتشابهة

كتاب مرجع الطالب صفحة 252

كتاب مرجع الطالب الصفحات 95 ، 96

تبسيط التعبيرات: إزالة الأقواس

كتاب مرجع الطالب الصفحات 248 ، 249 ، 251 ، 252

تبسيط وحل المعادلات

كتاب مرجع الطالب الصفحات 251 ، 252

استخدام المعادلات لحل مشاكل المحمول

كتاب مرجع الطالب الصفحات 240-241

كتاب مرجع الطالب الصفحات 140 ، 213 ، 218

صيغ المنطقة مع التطبيقات

كتاب مرجع الطالب الصفحات 215-2177

صيغ الحجم مع التطبيقات

كتاب مرجع الطالب الصفحات 221 ، 222 ، 224

كتاب مرجع الطالب الصفحة 219

حل المعادلات عن طريق التجربة والخطأ

كتاب مرجع الطالب الصفحات 241-243

كتاب مرجع الطالب الصفحات 245 ، 246

كتاب مرجع الطالب الصفحات 167 ، 285 ، 286

كتاب مرجع الطالب صفحة 247

مشاكل القياس غير المباشر

كتاب مرجع الطالب الصفحات 251 ، 252

الوصول إلى واحد
(كتاب مرجع الطالب، الصفحة 321)

الرياضيات اليومية لأولياء الأمور: ما تحتاج إلى معرفته لمساعدة طفلك على النجاح

مشروع الرياضيات في مدرسة جامعة شيكاغو

مطبعة جامعة شيكاغو


حدث استخدام ثلاثة أسطر للإشارة إلى الرقم 3 في العديد من أنظمة الكتابة ، بما في ذلك بعض (مثل الأرقام الرومانية والصينية) التي لا تزال قيد الاستخدام. كان هذا أيضًا التمثيل الأصلي للرقم 3 في التدوين العددي البراهمي (الهندي). ومع ذلك ، خلال إمبراطورية جوبتا ، تم تعديل العلامة بإضافة منحنى على كل سطر. قام Nagari بتدوير الخطوط في اتجاه عقارب الساعة [ التوضيح المطلوب ] ، تنتهي كل سطر بضربة قصيرة نزولية على اليمين. في النص المتصل ، تم ربط الحدود الثلاثة في النهاية لتشكيل حرف رسومي يشبه ⟨3⟩ مع ضربة إضافية في الأسفل: .

انتشرت الأرقام الهندية في الخلافة في القرن التاسع. تم إسقاط الضربة السفلية في حوالي القرن العاشر في الأجزاء الغربية من الخلافة ، مثل المغرب العربي والأندلس ، عندما تم تطوير متغير مميز ("العربية الغربية") من الرموز الرقمية ، بما في ذلك الغربية الحديثة. احتفظ العرب الشرقيون بهذه الضربة وقاموا بتكبيرها ، وقاموا بتدوير الرقم مرة أخرى للحصول على الرقم العربي الحديث ("الشرقي") "٣". [1]

في معظم الخطوط الغربية الحديثة ، فإن الرقم 3 ، مثله مثل الأرقام العشرية الأخرى ، له ارتفاع حرف كبير ، ويوجد على خط الأساس. في الخطوط ذات الأشكال النصية ، من ناحية أخرى ، عادةً ما يكون للحرف الرسومي ارتفاع الحرف الصغير "x" والسليل: "". على الرغم من ذلك ، في بعض محارف النص الفرنسية ، لها صاعد بدلاً من سليل.

يحتوي الشكل الرسومي الشائع للرقم ثلاثة على قمة مسطحة ، على غرار الحرف Ʒ (ezh). يستخدم هذا النموذج أحيانًا لمنع تزوير الرقم 3 باعتباره 8. وهو موجود في الرموز الشريطية UPC-A والطوابق القياسية المكونة من 52 بطاقة.

  • تقريب تقريبي لـ π (3.1415.) وتقريب تقريبي جدًا لـ ه (2.71828 ..) عند عمل تقديرات سريعة.
  • عدد النقاط غير الخطية اللازمة لتحديد مستوى ودائرة.
  • أول عدد أولي فردي وثاني أصغر عدد أولي.
  • أول رئيس فيرما (2 2 ن + 1 ).
  • أول رئيس Mersenne (2 ن − 1 ).
  • ثاني برايم صوفي جيرمان.
  • الأس الأول لمرسين الثاني.
  • الثانية العاملية (2! + 1).
  • رئيس لوكاس الثاني.
  • الرقم الثلاثي الثاني. إنه الرقم الثلاثي الأساسي الوحيد.
  • رقم فيبوناتشي الرابع.
  • أصغر عدد من الأضلاع يمكن أن يكون لمضلع بسيط (غير متقاطع ذاتيًا).

ثلاثة هو العدد الأولي الوحيد الذي يقل بمقدار واحد عن مربع كامل. أي رقم آخر ن 2 - 1 لبعض الأعداد الصحيحة ن ليس أوليًا ، لأنه (ن − 1)(ن + 1). هذا صحيح بالنسبة لـ 3 أيضًا (مع ن = 2) ، ولكن في هذه الحالة يكون العامل الأصغر هو 1. إذا ن أكبر من 2 ، كلاهما ن - 1 و ن + 1 أكبر من 1 لذا حاصل ضربها ليس أوليًا.

الرقم الطبيعي يقبل القسمة على ثلاثة إذا كان مجموع أرقامه في الأساس 10 يقبل القسمة على 3. على سبيل المثال ، الرقم 21 يقبل القسمة على ثلاثة (3 مضروب في 7) ومجموع أرقامه هو 2 + 1 = 3. لأن من هذا ، فإن عكس أي رقم يقبل القسمة على ثلاثة (أو في الواقع ، أي تبديل لأرقامه) هو أيضًا قابل للقسمة على ثلاثة. على سبيل المثال ، 1368 والعكس 8631 كلاهما يقبل القسمة على ثلاثة (وكذلك 1386 ، 3168 ، 3186 ، 3618 ، إلخ). انظر أيضًا قاعدة القسمة. يعمل هذا في الأساس 10 وفي أي نظام عددي موضعي يترك قاعدته مقسومة على ثلاثة يترك الباقي (القواعد 4 ، 7 ، 10 ، إلخ).

ثلاثة من المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة لها وجوه مثلثة - رباعي السطوح ، ثماني السطوح ، وعشروني الوجوه. أيضًا ، ثلاثة من المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة لها رؤوس حيث تلتقي ثلاثة وجوه - رباعي الوجوه ، سداسي الوجوه (مكعب) ، وثنائي الوجوه. علاوة على ذلك ، هناك ثلاثة أنواع مختلفة فقط من المضلعات تشكل وجوه المواد الصلبة الأفلاطونية الخمسة - المثلث ، والمربع ، والبنتاغون.

لا يوجد سوى ثلاثة مربعات مختلفة 4 × 4 panmagic.

وفقًا لفيثاغورس ومدرسة فيثاغورس ، الرقم 3 الذي أطلقوا عليه ثالوث، هو الأنبل من بين جميع الأرقام ، لأنه الرقم الوحيد الذي يساوي مجموع كل الحدود الموجودة أسفله ، والرقم الوحيد الذي يساوي مجموعهم مع تلك الموجودة أدناه حاصل ضربهم ونفسه. [2]

كان تقسيم الزاوية أحد المشاكل الثلاثة الشهيرة في العصور القديمة.

أثبت Gauss أن كل عدد صحيح هو مجموع 3 أعداد مثلثة على الأكثر.

تعديل الأنظمة العددية

هناك بعض الأدلة التي تشير إلى أن الإنسان الأقدم ربما استخدم أنظمة العد التي تتكون من "واحد ، اثنان ، ثلاثة" وبعد ذلك "كثير" لوصف حدود العد. كان لدى الشعوب المبكرة كلمة لوصف كميات واحد واثنين وثلاثة ولكن أي كمية بعد ذلك كان يُشار إليها ببساطة على أنها "كثيرة". يعتمد هذا على الأرجح على انتشار هذه الظاهرة بين الناس في مناطق متباينة مثل غابات الأمازون وبورنيو العميقة ، حيث يمتلك مستكشفو الحضارة الغربية سجلات تاريخية لمواجهاتهم الأولى مع هؤلاء السكان الأصليين. [3]

قائمة الحسابات الأساسية تحرير

عمليه الضرب 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1000 10000
3 × x 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 150 300 3000 30000
قسم 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 ÷ x 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 0. 428571 0.375 0. 3 0.3 0. 27 0.25 0. 230769 0.2 142857 0.2 0.1875 0.1 7647058823529411 0.1 6 0.1 57894736842105263 0.15
x ÷ 3 0. 3 0. 6 1 1. 3 1. 6 2 2. 3 2. 6 3 3. 3 3. 6 4 4. 3 4. 6 5 5. 3 5. 6 6 6. 3 6. 6
الأس 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 x 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441 1594323 4782969 14348907 43046721 129140163 387420489 1162261467 3486784401
x 3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000
  • يرمز الرقم الروماني III إلى النجم العملاق في مخطط التصنيف الطيفي لـ Yerkes.
  • ثلاثة هو العدد الذري لليثيوم.
  • ثلاثة هو رمز ASCII "نهاية النص".
  • ثلاثة هو عدد الأبعاد التي يمكن للبشر إدراكها. يدرك البشر أن للكون ثلاثة أبعاد مكانية ، لكن بعض النظريات ، مثل نظرية الأوتار ، تشير إلى وجود المزيد.
  • ثلاثة هو عدد أجيال الفرميون الأولية وفقًا للنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات.
  • المثلث ، المضلع بثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس ، هو الشكل المادي الأكثر استقرارًا. لهذا السبب يتم استخدامه على نطاق واسع في البناء والهندسة والتصميم. [4]
  • تعتمد قدرة العين البشرية على تمييز الألوان على الحساسية المتغيرة للخلايا المختلفة في شبكية العين للضوء ذي الأطوال الموجية المختلفة. نظرًا لكون الإنسان ثلاثي الألوان ، تحتوي شبكية العين على ثلاثة أنواع من خلايا مستقبلات اللون أو المخاريط.
  • هناك ثلاثة ألوان أساسية في النماذج المضافة والطرح.

تحرير العلوم الأولية

  • في الكيمياء الأوروبية ، الأعداد الأولية الثلاثة (اللاتينية: تريا بريما) كان الملح () والكبريت () والزئبق (). [5] [6]
  • الدوشا الثلاثة (نقاط الضعف) ومضاداتها هي أساس الطب الهندي القديم.

تحرير العلوم الزائفة

  • قام الفلاسفة مثل الأكويني وكانط وهيجل وسي إس بيرس وكارل بوبر بتقسيم ثلاثة أضعاف ، أو تكسير الشعر، والتي كانت مهمة في عملهم. جدلية الأطروحة + نقيض = التوليف يخلق ثلاث مرات من اثنين.

تحتوي العديد من ديانات العالم على آلهة ثلاثية أو مفاهيم الثالوث ، بما في ذلك:

تحرير المسيحية

  • وظيفة المسيح الثلاثية هي عقيدة مسيحية تنص على أن المسيح يؤدي وظائف النبي والكاهن والملك.
  • استمرت خدمة يسوع حوالي ثلاث سنوات. [8]
  • خلال فترة العذاب في الجنة ، طلب المسيح ثلاث مرات أن يؤخذ منه الكأس.
  • قام يسوع من بين الأموات في اليوم الثالث بعد موته.
  • جرّب الشيطان يسوع ثلاث مرات. أنكر يسوع ثلاث مرات وأكد إيمانه بيسوع ثلاث مرات.
  • المجوس - الحكماء الذين كانوا علماء الفلك / المنجمين من بلاد فارس [بحاجة لمصدر] - أعطى يسوع ثلاث هدايا. [9] [10]
  • توجد ثلاثة أناجيل إجمالية وثلاث رسائل ليوحنا. فقد أعمى لمدة ثلاثة أيام بعد تحوله إلى المسيحية.

اليهودية تحرير

    كان له ثلاثة بنين حام وسام ويافث
  • الآباء الثلاثة: إبراهيم وإسحق ويعقوب
  • وضرب النبي بلعام على حماره ثلاث مرات.
  • أمضى النبي يونان ثلاثة أيام وليال في بطن سمكة كبيرة
  • ثلاثة أقسام من التوراة المكتوبة: التوراة (خمسة كتب لموسى) ، نفيئيم (الأنبياء) ، كتوفيم (كتابات) [11]
  • ثلاث فرق من الشعب اليهودي: كوهين ، لاوي ، يسرائيل
  • ثلاث صلوات يومية: شاحاريت, مينشا, معاريف
  • ثلاث وجبات يوم السبت
  • ينتهي يوم السبت عندما تظهر ثلاث نجوم في سماء الليل [12]: عيد الفصح ، شافوت ، سوكوت
  • ثلاثة ماتزوس على مائدة عيد الفصح [13] ، فترة حداد تجسير أيام صيام السابع عشر من تموز وتيشا بآف.
  • ثلاث خطايا كاردينالية يجب أن يموت بسببها اليهودي بدلاً من الاعتداء عليها: عبادة الأصنام والقتل والزنا [14] ، أول قصة شعر لطفل يهودي في سن 3 [15]
  • يتكون بيت الدين من ثلاثة أعضاء
  • عادةً ما يتم إبعاد المتحولين المحتملين ثلاث مرات لاختبار صدقهم.
  • في التقليد الصوفي اليهودي في الكابالا ، يُعتقد أن الروح تتكون من ثلاثة أجزاء ، مع وجود أعلى نشامة ("التنفس") ، الكائن الأوسط روتش ("الريح" أو "الروح") والكائن الأدنى نفيش ("راحة"). [17] في بعض الأحيان عنصرا تشايا ("الحياة" أو "الحيوان") و يشيدا ("الوحدة") مذكورة بالإضافة إلى ذلك.
  • في الكابالا شجرة الحياة (بالعبرية: إتس هاييم، עץ החיים) يشير إلى 3 عمود تمثيل بياني الأخير من رمز باطني المركزي، والمعروفة باسم 10 سيفروت.

تحرير البوذية

  • الثلاثية بودي (طرق فهم نهاية الولادة) هي بودو وباسبودهو وماهاراهث.
  • الجواهر الثلاثة ، الأشياء الثلاثة التي يلجأ إليها البوذيون.

تحرير شنتو

تحرير الطاوية

  • الكنوز الثلاثة (الصينية: 三寶 بينيين: سانبو وايد جايلز: سان باو) ، الفضائل الأساسية في الطاوية.
  • الثلاثة دانتيان
  • ثلاثة خطوط من المثلث: الجنة فو Xi (اليد - الرأس - 3º عين) ، الإنسانية شين نونغ (الوحدة 69) ، هيل نووا (القدم - البطن - أومبيكولوس).

الهندوسية تحرير

  • تريمورتي: براهما الخالق ، فيشنو الحافظ ، وشيفا المدمر.
  • تم العثور على ثلاثة Gunas في مدرسة Samkhya للفلسفة الهندوسية. [18]
  • الطرق الثلاثة للخلاص في غيتا غيتا اسمه Karma Yoga و Bhakti Yoga و Jnana Yoga.

تحرير الزرادشتية

  • الفضائل الثلاث هوماتا, هوختا و هوفارشتا (الأفكار الجيدة والكلمات الطيبة والأعمال الصالحة) هي عقيدة أساسية في الزرادشتية.

تحرير الأساطير الإسكندنافية

ثلاثة هو رقم مهم للغاية في الميثولوجيا الإسكندنافية ، إلى جانب قوته 9 و 27.

  • قبل Ragnarök ، سيكون هناك ثلاثة فصول شتاء قاسية بدون فصل صيف ، Fimbulwinter.
  • تحمل أودين ثلاث مصاعب على شجرة العالم في سعيه للحصول على الأحرف الرونية: شنق نفسه ، وجرح نفسه بحربة ، وعانى من الجوع والعطش. كان لديه ثلاثة أبناء ، أودين ، وفيلي ، وفي.

الديانات الأخرى تحرير

  • قاعدة الويكا الثلاثة.
  • الإلهة الثلاثية: العذراء ، الأم ، كرون المصائر الثلاثة.
  • وبنو كرونوس زيوس وبوسيدون وهادس.
  • للإله السلافي تريغلاف ثلاثة رؤوس.

تحرير التقليد الباطني

  • للجمعية الثيوصوفية ثلاثة شروط للعضوية. المراكز الثلاثة وقانون الثلاثة.
  • Liber AL vel Legisيتألف الكتاب المركزي لدين ثليمة من ثلاثة أبواب تقابل ثلاثة رواة إلهي على التوالي: نويت وحديث ورع حور خوت.
  • العظمة الثلاثية لـ Hermes Trismegistus هو موضوع مهم في Hermeticism.

كرقم محظوظ أو غير محظوظ تحرير

ثلاثة (三 ، كتابة رسمية: 叁 ، بينيين سان، الكانتونية: صام 1) يعتبر رقمًا جيدًا في الثقافة الصينية لأنه يبدو مثل كلمة "على قيد الحياة" (生 بينيين شونجالكانتونية: سانج 1) ، مقارنة بأربعة (四 ، بينيين: الكانتونية: ساي 1) ، والتي تبدو مثل كلمة "الموت" (死 بينيين الكانتونية: ساي 2 ).

يعد العد إلى ثلاثة أمرًا شائعًا في المواقف التي ترغب فيها مجموعة من الأشخاص في تنفيذ إجراء متزامن: الآن ، عند العد إلى ثلاثة ، يسحب الجميع! بافتراض أن العداد يسير بمعدل موحد ، فإن العددين الأولين ضروريان لتحديد المعدل ، ويتم توقع عدد "ثلاثة" بناءً على توقيت "واحد" و "اثنين" قبله. من المحتمل أن يتم استخدام الرقم ثلاثة بدلاً من رقم آخر لأنه يتطلب الحد الأدنى من عدد المبالغ أثناء تحديد المعدل.

هناك خرافة أخرى مفادها أنه من سوء الحظ أن تأخذ ضوءًا ثالثًا ، أي أن تكون الشخص الثالث الذي يشعل سيجارة من نفس الكبريت أو الولاعة. يتم التأكيد في بعض الأحيان على أن هذه الخرافة نشأت بين الجنود في خنادق الحرب العالمية الأولى عندما يرى القناص الضوء الأول ويسدد على الثاني ويطلق النار على الثالث. [ بحاجة لمصدر ]

تشير عبارة "سحر المرة الثالثة" إلى الخرافة القائلة بأنه بعد فشلين في أي مسعى ، من المرجح أن تنجح المحاولة الثالثة. يُنظر إلى هذا أيضًا في بعض الأحيان بشكل معكوس ، كما هو الحال في "يُقبض على الرجل الثالث [أن يفعل شيئًا ، يُفترض أنه ممنوع]". [ بحاجة لمصدر ]


وهذا ما يسمى رمز التنوير!

إذا ذهبنا إلى الهرم الأكبر بالجيزة ، فليس فقط هناك ثلاثة أهرامات أكبر في الجيزة ، كلها جنبًا إلى جنب ، تعكس مواقع النجوم في حزام أوريون ، ولكننا أيضًا نرى مجموعة من ثلاثة أهرامات أصغر على الفور بعيدًا عن ثلاثة أهرامات أكبر.

نجد الكثير من الأدلة على أن الطبيعة تستخدم تناظرًا ثلاثيًا وستة أضعاف ، بما في ذلك شكل البلاط السداسي لقرص العسل المشترك.

هذه الأشكال في الطبيعة ، وقد حاكى القدماء هذه الأشكال في بناء هندستهم المقدسة.

هل من الممكن أن يكون هناك شيء مميز بخصوص الرقم الغامض ثلاثة؟ هل من الممكن أن يكون تسلا قد كشف هذا السر العميق واستخدم هذه المعرفة لدفع حدود العلم والتكنولوجيا؟


9.3: تبسيط الأعداد الفاصلة - الرياضيات

إحدى المشكلات التي ظهرت على الإنترنت في أوائل عام 2011 هي "ما قيمة 48/2 (9 + 3)؟"

اعتمادًا على ما إذا كان المرء يفسر التعبير على أنه (48/2) (9 + 3) أو 48 / (2 (9 + 3)) يحصل المرء على 288 أو 2. لا توجد اصطلاح قياسي بشأن أي من هاتين الطريقتين للتعبير يجب تفسيره ، لذلك ، في الواقع ، 48/2 (9 + 3) غامض. لجعلها لا لبس فيها ، يجب على المرء أن يكتبها إما (48/2) (9 + 3) أو 48 / (2 (9 + 3)). هذا ينطبق بشكل عام على أي تعبير عن النموذج أ / قبل الميلاد : يحتاج المرء إلى إدراج أقواس لبيان ما إذا كان يعني (أ / ب)ج أو أ/(قبل الميلاد).

في المقابل ، بموجب اصطلاح قياسي ، فإن التعبيرات مثل أب+ج لا لبس فيها: هذا التعبير يعني فقط (أب)+ج وبالمثل ، أ+قبل الميلاد يعني فقط أ+(قبل الميلاد). الاصطلاح هو أنه عندما لا يتم استخدام الأقواس لإظهار العكس ، فإن الضرب يسبق الجمع (والطرح) ، أي في أب+ج، واحد أول يتكاثر بها أب, من ثم يضيف ج إلى النتيجة ، بينما في أ+قبل الميلاد، واحد يتضاعف أولاً قبل الميلاد، ثم يضيف النتيجة إلى أ. لتعبيرات مثل أ&ناقصب+ج، أو أ+ب&ناقصج، أو أ&ناقصب&ناقصج, there is also a fixed convention, but rather than saying that one of addition and subtraction is always done before the other, it says that when one has a sequence of these two operations, one works from left to right: One starts with أ, then adds or subtracts ب, and finally adds or subtracts ج.

Why is there no fixed convention for interpreting expressions such as a/bc ؟ I think that one reason is that historically, fractions were written with a horizontal line between the numerator and denominator. When one writes the above expression that way, one either puts bc under the horizontal line, making that whole product the denominator, or one just makes ب the denominator and puts ج after the fraction. Either way, the meaning is clear from the way the expression is written. The use of the slant in writing fractions is convenient in not creating extra-high lines of text but for that convenience, we pay the price of losing the distinction that came from how the terms were arranged horizontally and vertically.

Probably another reason why there is not a fixed convention for order of multiplication and division, as there is for addition and subtraction, is that while people frequently do calculations that involve adding and subtracting lengthy strings of numbers, the numbers of multiplications and divisions that come into everyday calculations tends to be smaller so there is less need for a convention, and none has evolved.

Finally, the convention in algebra of denoting multiplication by juxtaposition (putting symbols side by side), without any multiplication symbol between them, has the effect that one sees something like ab as a single unit, so that it is natural to interpret ab+ج أو أ+bc as a sum in which one of the summands is the product ab أو bc. Without that typographic convention, the order-of-operations convention might never have evolved. When one has numbers rather than letters, one can't use juxtaposition, since it would give the appearance of a single decimal number, so one must insert a symbol such as ×, and there is less natural reason for interpreting 2 × 3 + 4 as (2 × 3) + 4 rather than 2 × (3 + 4), but I suppose that we do so by extension of the convention that arose in the algebraic context. Likewise, because addition and subtraction constitute one "family" of operations, and multiplication and division another, and perhaps also because the slant "/" doesn't seem to separate two expressions as much as a + or &minus does, we are ready to read a/b+ج etc. as involving division before addition. But when it comes to a/bc, where the operations belong to the same family, the left-to-right order suggests doing the division first, while the "unseparated letters" notation suggests doing the multiplication first so neither choice is obvious.

It is interesting that in the 48/2(9+3) problem, the last element was written 9+3 rather than 12. If the latter had been used, it would have been necessary to insert a multiplication sign, 48/2×12, and I would guess that a large majority of people would have then made the interpretation (48/2)×12. Perhaps we will never know where this puzzle originated perhaps it was cunningly designed so that one interpretation would seem as likely as the other or perhaps it came up as a real expression that someone happened to write down, not thinking of it as ambiguous, but that other people did have trouble with.

From correspondence with people on the the 48/2(9+3) problem, I have learned that in many schools today, students are taught a mnemonic "PEMDAS" for order of operations: Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. If this is taken to mean, say, that addition should be done before subtraction, it will lead to the wrong answer for أ&minusب+ج. Presumably, teachers explain that it means "Parentheses &mdash then Exponents &mdash then Multiplication and Division &mdash then Addition and Subtraction", with the proviso that in the "Addition and Subtraction" step, and likewise in the "Multiplication and Division" step, one calculates from left to right. This fits the standard convention for addition and subtraction, and would provide an unambiguous interpretation for a/bc, namely, (a/b)ج. But so far as I know, it is a creation of some educator, who has taken conventions in real use, and extended them to cover cases where there is no accepted convention. So it misleads students and moreover, if students are taught PEMDAS by rote without the proviso mentioned above, they will not even get the standard interpretation of أ&minusب+ج.


13. Aristotle and the Evidence for the History of Mathematics

As philosophers usually do, Aristotle cites simple or familiar examples from contemporary mathematics, although we should keep in mind that even basic geometry such as we find in Euclid's Elements would have been advanced studies. The average education in mathematics would have been basic arithmetical operations (possibly called logistikê) and metrological geometry (given certain dimensions of a figure, to find other dimensions), such as were also taught in Egypt. Aristotle does allude to this sort of mathematics on occasion, but most of his examples come from the sort of mathematics which we have come to associate with Greece, the constructing of figures from given figures and rules, and the proving that figures have certain properties, and the &lsquodiscovery&rsquo of numbers with certain properties or proving that certain classes of numbers have certain properties. If we attend carefully to his examples, we can even see an emerging picture of elementary geometry as taught in the Academy. In the supplement are provided twenty-five of his favorite propositions (the list is not exhaustive).

Aristotle also makes some mathematical claims that are genuinely problematic. Was he ignorant of contemporary work? Why does he ignore some of the great problems of his time? Is there any reason why Aristotle should be expected, for example to refer to conic sections? Nonetheless, Aristotle does engage in some original and difficult mathematics. Certainly, in this Aristotle was more an active mathematician than his mentor, Plato.

For more information, see the following supplementary document:


شاهد الفيديو: الخامس: الرياضيات: ترتيب الأعداد العشرية (شهر نوفمبر 2021).