مقالات

1.26: حل المعادلات الكسرية


أ معادلة كسرية هي معادلة تتضمن كسورًا لها المجهول في مقامها واحد أو أكثر من شروطها.

مثال 24.1

فيما يلي أمثلة على المعادلات الكسرية:

أ) ( frac {3} {x} = frac {9} {20} )

ب) ( frac {x-2} {x + 2} = frac {3} {5} )

ج) ( frac {3} {x-3} = frac {4} {x-5} )

د) ( frac {3} {4} - frac {1} {8 x} = 0 )

هـ) ( frac {x} {6} - frac {2} {3 x} = frac {2} {3} )

يمكن استخدام خاصية Cross-Product لحل المعادلات الكسرية.

خصائص المنتجات المشتركة

If ( frac {A} {B} = frac {C} {D} ) ثم (A cdot D = B cdot C ).

باستخدام هذه الخاصية ، يمكننا تحويل المعادلات الكسرية إلى معادلات غير كسرية. يجب أن نتوخى الحذر عند تطبيق هذه الخاصية ونستخدمها فقط عندما يكون هناك كسر واحد في كل جانب من جوانب المعادلة. لذلك ، يمكن تقسيم المعادلات الكسرية إلى فئتين.

I. الكسور الفردية على كل جانب من المعادلة

تقع المعادلات أ) و ب) و ج) في المثال 24.1 ضمن هذه الفئة. نحل هذه المعادلات هنا.

أ) حل ( frac {3} {x} = frac {9} {20} )

[ start {array} {ll} text {Cross-Product} & 3 cdot 20 = 9 cdot x text {Linear Equation} & 60 = 9 x text {قسّم على 9 كلا الجانبين } & frac {60} {9} = x end {array} nonumber ]

الحل هو (x = frac {60} {9} = frac {20} {3} ).

ب) ( frac {x-2} {x + 2} = frac {3} {5} )

[ start {array} {ll} text {Cross-Product} & 5 cdot (x-2) = 3 cdot (x + 2) text {إزالة الأقواس} & 5 x-10 = 3 x + 6 text {المعادلة الخطية: عزل المتغير} & 5 x-3 x = 10 + 6 & 2 x = 16 text {قسمة على 2 كلا الجانبين} & frac {2 x} {2} = frac {16} {2} end {array} nonumber ]

الحل هو (س = 8 ).

ج) ( frac {3} {x-3} = frac {4} {x-5} )

[ start {array} {ll} text {Cross-Product} & 3 cdot (x-5) = 4 cdot (x-3) text {إزالة الأقواس} & 3 x-15 = 4 x-12 text {المعادلة الخطية: عزل المتغير} & 3 x-4 x = 15-12 & -x = 3 text {قسمة على 2 كلا الجانبين} & frac {-x} {-1} = frac {3} {- 1} end {array} nonumber ]

الحل هو (x = -3 )

ملحوظة: إذا كان لديك معادلة كسرية وكان أحد المصطلحات ليس كسرًا ، فيمكنك دائمًا حساب ذلك بوضع 1 في المقام. فمثلا:

يحل

[ frac {3} {x} = 15 nonumber ]

نعيد كتابة المعادلة بحيث تكون كل الحدود كسورًا.

[ frac {3} {x} = frac {15} {1} nonumber ]

[ begin {array} {ll} text {Cross-Product} & 3 cdot 1 = 15 cdot x text {المعادلة الخطية: عزل المتغير} & 3 = 15 x text {Divide بمقدار 15 من كلا الجانبين} & frac {3} {15} = frac {15 x} {15} end {array} nonumber ]

الحل هو (x = frac {3} {15} = frac {3 cdot 1} {3 cdot 5} = frac {1} {5} ).

II. كسور متعددة على جانبي المعادلة

تقع المعادلتان د) و هـ) في المثال 24.1 ضمن هذه الفئة. نحل هذه المعادلات هنا.

نستخدم أسلوب الجمع بين التعبيرات المنطقية التي تعلمناها في الفصل 23 لتقليل المشكلة إلى مشكلة بها كسر واحد على كل جانب من جوانب المعادلة.

د) حل ( frac {3} {4} - frac {1} {8 x} = 0 )

أولاً ، ندرك أن هناك كسرين في LHS للمعادلة ، وبالتالي لا يمكننا استخدام خاصية Cross-Product على الفور. لدمج LHS في جزء واحد نقوم بما يلي:

[ start {array} {ll} text {ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للمقام} & 8 x text {أعد كتابة كل كسر باستخدام LCM} & frac {3 cdot 2 x} {8 x} - frac {1} {8 x} = 0 text {دمج في كسر واحد} & frac {6 x-1} {8 x} = 0 text {أعد كتابة المعادلة بحيث تصبح جميع المصطلحات هي كسور} & frac {6 x-1} {8 x} = frac {0} {1} text {Cross-Product} & (6 x-1) cdot 1 = 8 x cdot 0 text {إزالة الأقواس} & 6 x-1 = 0 text {المعادلة الخطية: عزل المتغير} & 6 x = 1 text {قسمة على 6 كلا الجانبين} & frac {6 x} {6} = frac {1} {6} end {array} nonumber ]

الحل هو (x = frac {1} {6} ).

هـ) حل ( frac {x} {6} + frac {2} {3 x} = frac {2} {3} )

[ start {array} {ll} text {ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقاومات LHS} & 6x text {أعد كتابة كل كسر على LHS باستخدام LCM} & frac {x cdot x} {6 x } + frac {2 cdot 2} {6 x} = frac {2} {3} frac {x ^ {2} +4} {6 x} = frac {2} {3} نص {دمج في كسر واحد} & يسار (x ^ {2} +4 right) cdot 3 = 6 x cdot 2 text {Cross-Product} & 3 x ^ {2} + 12 = 12 x text {إزالة الأقواس} & 3 x ^ {2} -12 x + 12 = 0 text {المعادلة التربيعية: النموذج القياسي} & 3 x ^ {2} -12 x + 12 = 0 text {المعادلة التربيعية: العامل} & 3 cdot x ^ {2} -3 cdot 4 x + 3 cdot 4 = 0 & 3 left (x ^ {2} -4 x + 4 right) = 0 & 3 (x-2) (x-2) = 0 text {قسّم على 3 كلا الجانبين} & frac {3 (x-2) (x-2)} {3} = frac {0} {3} & (x-2) (x-2) = 0 text {المعادلة التربيعية: خاصية Zero-Product} & (x-2) = 0 text {or} (x -2) = 0 نهاية {مجموعة} غير رقم ]

بما أن كلا العاملين متماثلان ، فإن (x-2 = 0 ) يعطي (x = 2 ). الحل هو (x = 2 )

ملحوظة: هناك طريقة أخرى لحل المعادلات التي تحتوي على عدة كسور في كلا الجانبين. يستخدم المضاعف المشترك الأصغر لجميع القواسم في المعادلة. نوضحها هنا لحل المعادلة التالية: ( frac {3} {2} - frac {9} {2 x} = frac {3} {5} )

[ start {array} text {ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لجميع القواسم في المعادلة} & 10x text {اضرب كل كسر (كلاهما LHS و RHS) في LCM} & 10 x cdot frac {3} {2} -10 x cdot frac {9} {2 x} = 10 x cdot frac {3} {5} & frac {10 x cdot 3} {2} - frac {10 x cdot 9} {2 x} = frac {10 x cdot 3} {5} text {تبسيط كل جزء} & frac {5 x cdot 3} {1} - frac {5 cdot 9} {1} = frac {2 x cdot 3} {1} text {شاهد كيف أصبحت جميع الفئات الآن 1 ، وبالتالي يمكن تجاهلها} & 5 x cdot 3-5 cdot 9 = 2 x cdot 3 text {حل كما تفعل مع أي معادلة أخرى} & 15 x-45 = 6 x text {المعادلة الخطية: عزل المتغير} & 15 x-6 x = 45 & 9 x = 45 & x = frac {45} {9} & x = 5 end {array} nonumber ]

الحل هو (x = 5 )

مشكلة الخروج

حل: ( frac {2} {x} + frac {1} {3} = frac {1} {2} )


حساب التفاضل والتكامل الكسري

وتطوير حساب التفاضل والتكامل لمثل هؤلاء المشغلين مع تعميم المعامل الكلاسيكي.

في هذا السياق ، فإن مصطلح القوى يشير إلى التطبيق التكراري لمشغل خطي د إلى وظيفة F، أي التأليف بشكل متكرر د مع نفسها ، كما في D n (f) = (D ∘ D ∘ D ∘ ⋯ ∘ D ⏟ n) (f) = D (D (D (⋯ D ⏟ n (f) ⋯))) (و) = (دعامة _) (و) = دعامة _(و) cdots)))>.

على سبيل المثال ، قد يطلب المرء تفسيرًا ذا مغزى لـ

كتناظرية للجذر التربيعي الوظيفي لمشغل التمايز ، أي تعبير لبعض المشغل الخطي الذي عند تطبيقه مرتين إلى أي وظيفة سيكون لها نفس تأثير التفاضل. بشكل عام ، يمكن للمرء أن ينظر إلى مسألة تعريف عامل التشغيل الخطي

لكل رقم حقيقي بهذه الطريقة ، عندما يأخذ a قيمة عدد صحيح ن ∈ ℤ ، يتزامن مع التمايز المعتاد n -fold D إذا ن & gt 0 ، ومع (-ن) -th قوة J عندما ن & lt 0.

أحد الدوافع وراء تقديم ودراسة هذه الأنواع من الامتدادات لعامل التمايز D هو أن مجموعات قوى المشغل < د أ | أ ∈ ℝ> المعرفة بهذه الطريقة هي مستمر نصف مجموعات مع المعلمة أ ، منها الأصل منفصلة نصف مجموعة من < د ن | ن ∈ ℤ> بالنسبة للعدد الصحيح n هي مجموعة فرعية قابلة للعدد: نظرًا لأن المجموعات شبه المستمرة لديها نظرية رياضية متطورة جيدًا ، فيمكن تطبيقها على فروع أخرى من الرياضيات.

المعادلات التفاضلية الكسرية ، والمعروفة أيضًا باسم المعادلات التفاضلية غير العادية ، [1] هي تعميم للمعادلات التفاضلية من خلال تطبيق حساب التفاضل والتكامل الكسري.


الكلمات الدالة

K. Krishnaveni باحث في قسم الرياضيات ، جامعة ساسترا ، ثانجافور ، الهند. يشمل مجال أبحاثها المعادلات التفاضلية الكسرية والتحليل العددي والتحسين التوافقي.

د. كنعان يعمل حاليًا كأستاذ بجامعة ساسترا ، ثانجافور ، الهند. يعمل في المجال الأكاديمي منذ 25 عامًا. اهتماماته البحثية هي التحسين الاندماجي ، والشبكات العصبية الاصطناعية ، ومعالجة الصور المعتمدة على الرسم البياني الفائق ، والمعادلات التفاضلية.

د. س. رجا بالاتشاندر يعمل حاليًا كأستاذ مساعد في قسم الرياضيات ، جامعة ساسترا ، ثانجافور ، الهند. اهتماماته البحثية هي النمذجة الرياضية ، التحسين التوافقي ، التحليل العددي ، المعادلات التفاضلية الجزئية وتحويلات المويجات.


Aronson D.G. ، Weinberger HF: الانتشار غير الخطي متعدد الأبعاد الناشئ في علم الوراثة السكانية. حال. رياضيات. 30, 33–76 (1978)

Berestycki H. ، Roquejoffre J.-M ، Rossi L: نموذج التصحيح الدوري لديناميات السكان مع الانتشار الجزئي. قرص. تابع دين. النظام. سر. س 4, 1–13 (2011)

Bony J.-M.، Courrège P.، Priouret P.: Semi-groupes de Feller sur une variété à bord compacte et problèmes aux limites intégro-différentiels du second ordre donnant بدلاً من المبدأ الأساسي الأقصى. آن. إنست. فورييه 18, 369–521 (1968)

برامسون ، م: تقارب حلول معادلة كولموغوروف للموجات المتنقلة. مذكرات AMS 44، بروفيدنس، RI: عامر. رياضيات. المجتمع ، 1983

Cabré X. ، Roquejoffre J.M .: Propagation de fronts dans les équations de Fisher-KPP avec diffusion fractionnaire. سي آر أكاد. علوم. باريس 347, 1361–1366 (2009)

كازناف ، ت. ، هاروكس ، أ: مقدمة لمعادلات التطور شبه الخطي. سلسلة محاضرات أكسفورد في الرياضيات وتطبيقاتها 13. نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد ، 1998

Del-Castillo-Negrete D. ، Carreras BA ، Lynch V.E: الانتشار الأمامي والفصل في نموذج التفاعل والانتشار مع الانتشار المتقاطع. فيز. د 168/169, 45–60 (2002)

Del-Castillo-Negrete D. ، Carreras B.A. ، Lynch V.E: Front Dynamics in Reaction-Diffusion Systems with Levy Flights: A Fractional Diffusion Approach. فيز. القس ليت. 91(1), 018302 (2003)

إنجلر ، هـ.: حول سرعة انتشار معادلات الانتشار والتفاعل الجزئي. كثافة العمليات J. ديف. مكافئ. 2010 فن. رقم تعريف 315421، 16 صفحة (2010)

Garnier J: تسريع الحلول في المعادلات التكاملية التفاضلية. SIAM J. Math. شرجي. 43, 1955–1974 (2011)

Hamel F.، Roques L: الانتشار السريع لمعادلات KPP مع الظروف الأولية المتحللة ببطء. J. ديف. مكافئ. 249, 1726–1745 (2010)

جونز سي كي آر تي: السلوك المقارب لمعادلة التفاعل-الانتشار في أبعاد الفضاء الأعلى. Rocky Mountain J. Math. 13, 355–364 (1983)

Kolmogorov A.N.، Petrovskii I.G.، Piskunov NS: Etude de l’équation de diffusion avec accroissement de la quantité de matière، et son application in un problème biologique. بجول. Moskowskogo Gos. جامعة. 17, 1–26 (1937)

كولوكولتسوف في إن: قوانين ثابتة متماثلة وانتشار ثابت يشبه القفز. لندن للرياضيات. شركة 80, 725–768 (2000)

Lamperti J: العمليات العشوائية شبه المستقرة. عبر. عامر. رياضيات. شركة 104, 62–78 (1962)

Mancinelli R. ، Vergni D. ، Vulpiani A: التكاثر الأمامي في الأنظمة التفاعلية مع الانتشار الشاذ. فيز. د 185, 175–195 (2003)

بازي ، أ: أنصاف مجموعات المعاملات الخطية وتطبيقات المعادلات التفاضلية الجزئية. العلوم الرياضية التطبيقية ، 44. نيويورك: Springer-Verlag ، 1983

تايرا ، ك .: عمليات الانتشار والمعادلات التفاضلية الجزئية. بوسطن ، ماساتشوستس: Academic Press ، Inc. ، 1988


اختبار وحدة الرياضيات 3

أي من المعادلات أدناه يمكن استخدامها لحل المسألة؟

ما هو الرقم الأصلي؟

ما المعادلة التي لا يمكن استخدامها لإيجاد تكلفة لوح الرسم؟

ما هي تكلفة لوح الرسم؟

كم ساعة عمل مارك؟

أي من المعادلات التالية يمكن أن تستخدمه لحل المسألة؟

ما المعادلة التي يمكنك استخدامها لإيجاد تكلفة القميص قبل ضريبة المبيعات؟

ما المعادلة التي يمكنك استخدامها لمعرفة المدة التي سيستغرقها توفير الجيتار؟

كم عدد الأسابيع التي ستستغرقها لتوفير المال الكافي؟

إلى أقرب بوصة ، كم يبلغ طول عظم الفخذ لرجل يبلغ طوله 71 بوصة؟

أي من المعادلات التالية يمكنك استخدامها لمعرفة عدد الرحلات التي يمكن لـ "ديلان" القيام بها؟

كم عدد الجولات التي يمكنه القيام بها؟

دع S يمثل عمر سارة.

ما هي عدم المساواة التي تصف عمر سارة؟

دع f يمثل عدد أصدقاء Blake.

ما هي عدم المساواة التي تصف عدد أصدقاء بليك؟

دع "ب" يمثل عدد الكتب في المكتبة.

أي متباينة تصف عدد الكتب؟

ما هي عدم المساواة التي يمكن استخدامها لإيجاد عدد الساعات التي تحتاجها صوفيا للعمل لكسب ما يكفي من المال لشراء دراجة جديدة؟


المعادلات الكسرية



الرياضيات في المدرسة الثانوية بناءً على الموضوعات المطلوبة لامتحان Regents الذي أجرته NYSED.

كيف تحل المعادلات الكسرية؟

1. أوجد القاسم المشترك الأصغر (LCD).
2. اضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD (لإزالة الكسور).
3. حل المعادلة.
4. تحقق من الحل.

يعطي الرسم البياني التالي مثالاً على حل المعادلة الكسرية. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول لحل المعادلات الكسرية.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


1.3 الكسور

يمكن العثور على مقدمة أكثر شمولاً للموضوعات التي يتم تناولها في هذا القسم في الجبر الابتدائي 2 هـ الفصل ، أسس.

بسّط الكسور

جزء

أ جزء مكتوب أ ب ، أ ب ، حيث ب ≠ 0 ب ≠ 0 و

أ هل البسط و ب هل المقام - صفة مشتركة - حالة.

الكسور التي لها نفس القيمة هي كسور متساوية. الكسور المتكافئة

تتيح لنا الخاصية إيجاد الكسور المتكافئة وكذلك تبسيط الكسور.

خاصية الكسور المتكافئة

لو أ, ب، و ج هي أرقام حيث ب ≠ 0 ، ج ≠ 0 ، ب 0 ، ج ≠ 0 ،

يعتبر الكسر مبسطًا إذا لم يكن هناك عوامل مشتركة ، بخلاف 1 ، في البسط والمقام.

نبسط كسرًا أو نبسطه بإزالة العوامل المشتركة للبسط والمقام. لا يتم تبسيط الكسر حتى تتم إزالة جميع العوامل المشتركة. إذا كان التعبير يحتوي على كسور ، فلا يتم تبسيطه تمامًا حتى يتم تبسيط الكسور.

قد لا يكون من السهل أحيانًا إيجاد العوامل المشتركة للبسط والمقام. عندما يحدث هذا ، من الجيد تحليل البسط والمقام إلى أعداد أولية. ثم قسّم العوامل المشتركة باستخدام خاصية الكسور المتكافئة.

مثال 1.24

كيفية تبسيط الكسر

المحلول

نلخص الآن الخطوات التي يجب عليك اتباعها لتبسيط الكسور.

كيف

بسّط الكسر.

  1. الخطوة 1. أعد كتابة البسط والمقام لإظهار العوامل المشتركة.
    إذا لزم الأمر ، حلل البسط والمقام إلى أعداد أولية أولاً.
  2. الخطوة 2. بسّط استخدام خاصية الكسور المتكافئة بقسمة العوامل المشتركة.
  3. الخطوة 3. اضرب أي عوامل متبقية.

اضرب وقسم الكسور

يجد الكثير من الناس أن ضرب الكسور وقسمتها أسهل من جمع الكسور وطرحها.

لضرب الكسور ، نضرب البسط ونضرب المقامات.

ضرب الكسر

لضرب الكسور ، اضرب البسط واضرب المقامات.

عند ضرب الكسور ، تظل خصائص الأعداد الموجبة والسالبة سارية بالطبع. من الجيد تحديد علامة المنتج كخطوة أولى. في المثال 1.25 ، سنضرب سالب في سالب ، وبالتالي سيكون حاصل الضرب موجبًا.

عند ضرب كسر في عدد صحيح ، قد يكون من المفيد كتابة العدد الصحيح في صورة كسر. أي عدد صحيح ، أ، يمكن كتابتها على هيئة 1. أ 1. لذلك ، على سبيل المثال ، 3 = 3 1. 3 = 3 1.

مثال 1.25

المحلول

الخطوة الأولى هي العثور على علامة المنتج. نظرًا لأن العلامات متطابقة ، يكون المنتج إيجابيًا.

حدد علامة المنتج. العلامات
هي نفسها ، وبالتالي فإن المنتج إيجابي.
اكتب 20x ككسر.
تتضاعف.
أعد كتابة 20 لإظهار العامل المشترك 5
وتقسمها.
تبسيط.

الآن بعد أن عرفنا كيفية ضرب الكسور ، أصبحنا جاهزين تقريبًا للقسمة. قبل أن نتمكن من فعل ذلك ، نحتاج إلى بعض المفردات. يمكن إيجاد مقلوب الكسر بقلب الكسر ، ووضع البسط في المقام والمقام في البسط. مقلوب 2 3 2 3 هو 3 2. 3 2. بما أن 4 مكتوبة في صورة كسر في صورة 4 1 ، 4 1 ، فإن مقلوب 4 هو 1 4. 1 4.

لقسمة الكسور ، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني.

تقسيم الكسر

لقسمة الكسور ، نضرب الكسر الأول في متبادل من الثانية.

مثال 1.26

أوجد حاصل القسمة: - 7 18 ÷ (- 14 27). - 7 18 (- 14 27).

المحلول

للقسمة ، اضرب الكسر الأول في
متبادل من الثانية.
تحديد علامة المنتج ، و
ثم اضرب.
أعد كتابة موضحًا العوامل المشتركة.
تخلص من العوامل المشتركة.
تبسيط.

تحتوي البسط أو القواسم في بعض الكسور على كسور بحد ذاتها. يسمى الكسر الذي يكون فيه البسط أو المقام كسرًا كسرًا مركبًا.

جزء معقد

أ جزء معقد هو كسر يحتوي فيه البسط أو المقام على كسر.

بعض الأمثلة على الكسور المعقدة هي:

لتبسيط كسر مركب ، تذكر أن شريط الكسر يعني القسمة. على سبيل المثال ، الكسر المركب 3 4 5 8 3 4 5 8 يعني 3 4 ÷ 5 8. 3 4 ÷ 5 8.

مثال 1.27

المحلول

جمع وطرح الكسور

عندما قمنا بضرب الكسور ، قمنا بضرب البسطين وضربنا المقام في الجهة المقابلة. لجمع أو طرح الكسور ، يجب أن يكون لها مقام مشترك.

الجمع والطرح

لإضافة الكسور أو طرحها ، اجمع أو اطرح البسط وضع النتيجة فوق المقام المشترك.

القاسم المشترك الأصغر (LCD) لكسرين هو أصغر عدد يمكن استخدامه كمقام مشترك للكسرين. شاشة LCD للكسرين هي المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقامتيهما.

القاسم المشترك الأصغر

ال القاسم المشترك الأصغر (LCD) لكسرين هو المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقامهما.

بعد إيجاد المقام المشترك الأصغر لكسرين ، نقوم بتحويل الكسور إلى كسرين متساويين باستخدام شاشة LCD. يتيح لنا وضع هذه الخطوات معًا جمع الكسور وطرحها لأن مقاماتها ستكون هي نفسها!

مثال 1.28

كيفية جمع أو طرح الكسور

المحلول

كيف

اجمع أو اطرح الكسور.

  1. الخطوة 1. هل لديهم قاسم مشترك؟
    • نعم ، انتقل إلى الخطوة 2.
    • لا — أعد كتابة كل كسر باستخدام شاشة LCD (المقام المشترك الأصغر).
      • ابحث عن شاشة LCD.
      • قم بتغيير كل كسر إلى كسر مكافئ بحيث تكون شاشة LCD مقامه.
  2. الخطوة 2. اجمع أو اطرح الكسور.
  3. الخطوة 3. التبسيط ، إن أمكن.

لدينا الآن أربع عمليات للكسور. يلخص الجدول 1.3 عمليات الكسر.

عند بدء التمرين ، حدد دائمًا العملية ثم استرجع الطرق اللازمة لتلك العملية.

مثال 1.29

المحلول

اسأل أولاً ، "ما هي العملية؟" سيحدد تحديد العملية ما إذا كنا بحاجة إلى قاسم مشترك أم لا. تذكر أننا نحتاج إلى مقام مشترك لجمعه أو طرحه ، ولكن ليس للضرب أو القسمة.

ما هي العملية؟ العملية هي الطرح.
هل الكسور لها مقام مشترك؟ رقم. ٥ × ٦ - ٣ ١٠ ٥ × ٦ - ٣ ١٠
أوجد LCD للرقم 6 و 10 شاشة LCD هي 30.
6 = 2 · 3 10 = 2 · 5 ___________ شاشة LCD = 2 · 3 · 5 شاشة LCD = 30 6 = 2 · 3 10 = 2 · 5 ___________ شاشة LCD = 2 · 3 · 5 شاشة LCD = 30
أعد كتابة كل كسر في صورة كسر مكافئ باستخدام شاشة LCD. 5 x · 5 6 · 5-3 · 3 10 · 3 5 x · 5 6 · 5-3 · 3 10 · 3
25 × 30 - 9 30 25 × 30 - 9 30
اطرح البسط وضع الفرق على القواسم المشتركة. 25 × - 9 30 25 × - 9 30
بسّط ، إن أمكن. لا توجد عوامل مشتركة. تم تبسيط الكسر.

استخدم ترتيب العمليات لتبسيط الكسور

يعمل شريط الكسر في الكسر كرمز تجميع. ثم يخبرنا ترتيب العمليات أن نبسط البسط ثم المقام. ثم نقسم.

كيف

بسّط تعبيرًا بشريط كسر.

  1. الخطوة 1. بسّط التعبير في البسط. بسّط التعبير في المقام.
  2. الخطوة 2. بسّط الكسر.

أين تذهب الإشارة السالبة في الكسر؟ عادةً ما تكون العلامة السالبة أمام الكسر ، لكنك سترى أحيانًا كسرًا ببسط سالب ، أو أحيانًا بمقام سالب. تذكر أن الكسور تمثل قسمة. عندما يكون للبسط والمقام إشارات مختلفة ، يكون حاصل القسمة سالبًا.

وضع العلامة السلبية في كسر

لأية أرقام موجبة أ و ب,

مثال 1.30

بسّط: 4 (- 3) + 6 (- 2) - 3 (2) - 2. 4 (- 3) + 6 (- 2) - 3 (2) - 2.

المحلول

يعمل شريط الكسر كرمز تجميع. لذا بسّط البسط والمقام كليًا بشكل منفصل.

بسّط: 8 (- 2) + 4 (- 3) - 5 (2) + 3. 8 (- 2) + 4 (- 3) - 5 (2) + 3.

بسّط: 7 (- 1) + 9 (- 3) - 5 (3) - 2. 7 (- 1) + 9 (- 3) - 5 (3) - 2.

سننظر الآن إلى الكسور المعقدة حيث يحتوي البسط أو المقام على تعبير يمكن تبسيطه. لذا علينا أولًا تبسيط البسط والمقام بشكل كامل على حدة باستخدام ترتيب العمليات. ثم نقسم البسط على المقام لأن شريط الكسر يعني القسمة.

مثال 1.31

كيفية تبسيط الكسور المعقدة

المحلول

كيف

بسّط الكسور المعقدة.

  1. الخطوة 1. بسّط البسط.
  2. الخطوة 2. بسّط المقام.
  3. الخطوة 3. اقسم البسط على المقام. بسّط إن أمكن.

مثال 1.32

بسّط: 1 2 + 2 3 3 4 - 1 6. 1 2 + 2 3 3 4-1 6.

المحلول

قد يكون من المفيد وضع أقواس حول البسط والمقام.

بسّط: 1 3 + 1 2 3 4 - 1 3. 1 3 + 1 2 3 4-1 3.

بسّط: 2 3 - 1 2 1 4 + 1 3. 2 3 - 1 2 1 4 + 1 3.

احسب قيمة التعبيرات المتغيرة ذات الكسور

لقد قمنا بتقييم المقادير من قبل ، ولكن يمكننا الآن إيجاد قيمة المقادير ذات الكسور. تذكر ، لإيجاد قيمة تعبير ، نعوض بقيمة المتغير في التعبير ثم نبسطه.

مثال 1.33

المحلول

عوّض القيم في التعبير.

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة مع الكسور.

تمارين البند 1.3

مع التدريب يأتي الإتقان

بسّط الكسور

في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

اضرب وقسم الكسور

في التدريبات التالية ، قم بإجراء العملية المشار إليها.

في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

جمع وطرح الكسور

في التدريبات التالية ، أضف أو اطرح.

استخدم ترتيب العمليات لتبسيط الكسور

في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

7 · 4 − 2 ( 8 − 5 ) 9 · 3 − 3 · 5 7 · 4 − 2 ( 8 − 5 ) 9 · 3 − 3 · 5

9 · 7 − 3 ( 12 − 8 ) 8 · 7 − 6 · 6 9 · 7 − 3 ( 12 − 8 ) 8 · 7 − 6 · 6

9 ( 8 − 2 ) − 3 ( 15 − 7 ) 6 ( 7 − 1 ) − 3 ( 17 − 9 ) 9 ( 8 − 2 ) − 3 ( 15 − 7 ) 6 ( 7 − 1 ) − 3 ( 17 − 9 )

8 ( 9 − 2 ) − 4 ( 14 − 9 ) 7 ( 8 − 3 ) − 3 ( 16 − 9 ) 8 ( 9 − 2 ) − 4 ( 14 − 9 ) 7 ( 8 − 3 ) − 3 ( 16 − 9 )

الممارسة المختلطة

في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

احسب قيمة التعبيرات المتغيرة ذات الكسور

في التدريبات التالية ، قم بتقييم.

تمارين الكتابة

لماذا تحتاج إلى مقام مشترك لجمع أو طرح الكسور؟ يشرح.

كيف تجد شاشة LCD لكسرين؟

اشرح كيف تجد مقلوب الكسر.

اشرح كيف تجد مقلوب عدد سالب.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ ماذا تخبرك قائمة المراجعة هذه عن إتقانك لهذا القسم؟ ما هي الخطوات التي ستتخذها للتحسين؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-3-fractions

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    نبذة مختصرة

    نقترح مخططًا رقميًا عالي الترتيب لمعادلات الانتشار والتفاعل الجزئي للوقت غير الخطي مع التفرد الأولي ، حيث إل2- مخطط 1 على شبكة متدرجة يستخدم لتقريب مشتق Caputo الجزئي ويتم تطبيق طريقة Legendre الطيفية على المتغير المكاني المنفصل. نعطي التقدير المسبق ووجود وتفرد الحل العددي. ثم يتم إثبات الاستقرار غير المشروط والتقارب. معدل التقارب هو O (M - min ⁡ + N - m) ، والذي يتم الحصول عليه دون افتراض انتظام إضافي على الحل الدقيق. يتم إعطاء النتائج العددية لتأكيد دقة تحليل الخطأ.


    مسح معادلات الكسور العشرية

    لمسح معادلة الكسور العشرية ، اضرب كل حد من كلا الطرفين في قوة العدد عشرة التي تجعل كل الكسور العشرية أعدادًا صحيحة. في المثال أعلاه ، إذا ضربنا 0.25 في 100 ، فسنحصل على 25 ، وهو عدد صحيح. بما أن كل عدد عشري يقع في خانة الجزء من مائة ، فإن العدد 100 مناسب لجميع الحدود الثلاثة.

    لذلك دعونا نضرب كل حد في 100 لمسح الكسور العشرية:

    (100) 0.25x + (100) 0.35 = (100) (-0.29)

    الآن يمكننا حل المعادلة كالمعتاد:

    x = -2.56 نظرًا لأن الأصل كان في صورة عشرية ، فمن المرجح أن تكون الإجابة أيضًا في صورة عشرية.

    علينا أن نفكر مليًا في مضاعفات العشرة لاستخدامها هنا. 6.2 تحتاج فقط إلى الضرب في 10 ، لكن 1.25 تحتاج 100 ، لذلك سنضرب كل حد في 100. لا تنس أن تضرب 4 في 100 أيضًا.

    كان علينا توخي مزيد من الحذر لأننا ضربنا في 100. الآن يمكننا حل المعادلة كالمعتاد:

    ممارسة: امسح كل معادلة من الكسور العشرية ، ثم حلها. قرب كل إجابة لأقرب خانة من مائة.


    منشورات جي شين

    (مع Duo Cao و Jie Xu) واجهة حوسبة شبه دورية. J. كومبوت. فيز. 424: 109863 ، 2021.

    (مع Fukeng Huang و Zhiguo Yang) نهج SAV جديد عالي الكفاءة ودقيق لتدفقات التدرج. SIAM J. Sci. حاسوب. 42: A2514-A2536 ، 2020.

    (مع Xiaofeng Yang) نهجا IEQ و SAV وامتداداتهما لفئة من أنظمة التدفق غير الخطية للغاية. وقائع الاحتفال بمرور 75 عامًا على رياضيات الحساب ، Contemp. رياضيات. 754: 217-245 ، 2020.

    (مع Qing Cheng و Chun Liu) نهج Lagrange Multiplier الجديد لتدفقات التدرج. CMAME 367: 113070 ، 2020.

    مخططات الحفاظ على البنية الفعالة والدقيقة للأنظمة غير الخطية المعقدة. كتيب التحليل العددي ، خامسًا 20: معالجة الصور والأشكال والنماذج وتعلمها ، الجزء 2 ، تم تحريره بواسطة R. Kimmel و X.C. تاي ، 647-669 ، إلسفير ، 2019.

    (مع Yingwei Wang و Jianlin Xia) تحولات Jacobi-Jacobi سريعة التنظيم. رياضيات. شركات 88: 1743-1772 ، 2019.

    (مع Changtao Sheng) الطرق الطيفية للمعادلات التفاضلية الكسرية باستخدام وظائف جاكوبي المعممة. 127-156 in Handbook of Fractional Calculus with Applications، V3: Numerical Methods، محرر بواسطة G. Karniadakis، De Gruyter، 2019.

    (مع Weizhu Bao و Xinran Ruan و Changtao Sheng) الفجوات الأساسية لمشغل شرودنجر الكسري. بالاتصالات رياضيات. علوم. 17: 447-471 ، 2019.

    (مع Qingcheng Yang و Arkadz Kirshtein و Yanzhou Ji و Chun Liu و Long-Qing Chen) نموذج حقل متناسق ديناميكيًا للتلبيد اللزج. جمعية الخزف الأمريكية ، 102: 674-685 ، 2019.


    شاهد الفيديو: الفصل الثالث حل المعادلات الكسرية (شهر نوفمبر 2021).