مقالات

14.7: القيم القصوى والدنيا


أهداف التعلم

  • استخدم المشتقات الجزئية لتحديد النقاط الحرجة لدالة من متغيرين.
  • قم بتطبيق اختبار مشتق ثانٍ لتحديد نقطة حرجة كنقطة قصوى محلية ، أو صغرى محلية ، أو نقطة سرج لوظيفة من متغيرين.
  • افحص النقاط الحرجة والنقاط الحدودية لإيجاد القيم القصوى والدنيا المطلقة لدالة من متغيرين.

أحد أكثر التطبيقات المفيدة لمشتقات دالة لمتغير واحد هو تحديد الحد الأقصى و / أو القيم الدنيا. هذا التطبيق مهم أيضًا لوظائف متغيرين أو أكثر ، ولكن كما رأينا في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، يؤدي إدخال المزيد من المتغيرات المستقلة إلى المزيد من النتائج المحتملة للحسابات. لا تزال الأفكار الرئيسية لإيجاد النقاط الحرجة واستخدام الاختبارات المشتقة سارية ، ولكن تظهر تجاعيد جديدة عند تقييم النتائج.

نقاط حرجة

بالنسبة إلى وظائف المتغير الفردي ، قمنا بتعريف النقاط الحرجة على أنها قيم المتغير الذي يكون فيه مشتق الوظيفة مساويًا للصفر أو غير موجود. بالنسبة للدوال ذات المتغيرين أو أكثر ، فإن المفهوم هو نفسه بشكل أساسي ، باستثناء حقيقة أننا نعمل الآن مع المشتقات الجزئية.

التعريف: النقاط الحرجة

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين قابلين للتفاضل في مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). النقطة ((x_0، y_0) ) تسمى أ نقطة حرجة لدالة ذات متغيرين (f ) إذا كان أحد الشرطين التاليين ينطبق:

  1. (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 )
  2. إما (f_x (x_0، y_0) ؛ text {or} ؛ f_y (x_0، y_0) ) غير موجود.

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن النقاط الحرجة

ابحث عن النقاط الحرجة لكل من الوظائف التالية:

  1. (f (x، y) = sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36} )
  2. (ز (س ، ص) = س ^ 2 + 2 س ص − 4 ص ^ 2 + 4x − 6 ص + 4 )

المحلول

أ. أولاً ، نحسب (f_x (x، y) ؛ text {and} ؛ f_y (x، y): )

[ begin {align *} f_x (x، y) & = dfrac {1} {2} (- 18x + 36) (4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36) ^ {- 1 / 2} [4pt] & = dfrac {−9x + 18} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} end {align *} ]

[ begin {align *} f_y (x، y) & = dfrac {1} {2} (8y + 24) (4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36) ^ {- 1/2 } [4pt] & = dfrac {4y + 12} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} end {align *}. ]

بعد ذلك ، نضع كل تعبير من هذه التعبيرات مساويًا للصفر:

[ begin {align *} dfrac {−9x + 18} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} & = 0 [4pt] dfrac {4y + 12} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، اضرب كل معادلة في قاسمها المشترك:

[ start {align *} −9x + 18 & = 0 [4pt] 4y + 12 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (x = 2 ) و (y = −3 ، ) لذا ((2 ، −3) ) هي نقطة حرجة في (f ).

يجب أن نتحقق أيضًا من احتمال أن مقام كل مشتق جزئي يمكن أن يساوي صفرًا ، مما يتسبب في عدم وجود المشتق الجزئي. بما أن المقام هو نفسه في كل مشتقة جزئية ، فسنحتاج إلى القيام بذلك مرة واحدة فقط:

[4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36 = 0. تسمية {حرجة 1} ]

المعادلة المرجع {حرجة 1} تمثل القطع الزائد. يجب أن نلاحظ أيضًا أن مجال (f ) يتكون من نقاط تحقق المتباينة

[4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36≥0. ]

لذلك ، فإن أي نقاط على القطع الزائد ليست فقط نقاط حرجة ، بل هي أيضًا على حدود المجال. لوضع القطع الزائد في الشكل القياسي ، نستخدم طريقة إكمال المربع:

[ start {align *} 4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36 & = 0 [4pt] 4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x & = - 36 [4pt] 4y ^ 2 + 24y − 9x ^ 2 + 36x & = - 36 [4pt] 4 (y ^ 2 + 6y) −9 (x ^ 2−4x) & = - 36 [4pt] 4 (y ^ 2 + 6y + 9) −9 (x ^ 2−4x + 4) & = - 36−36 + 36 [4pt] 4 (y + 3) ^ 2−9 (x − 2) ^ 2 & = - 36 . end {محاذاة *} ]

قسمة كلا الجانبين على (- 36 ) يضع المعادلة في الشكل القياسي:

[ begin {align *} dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {- 36} - dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {- 36} & = 1 [4pt] dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} - dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} & = 1. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن النقطة ((2، −3) ) هي مركز القطع الزائد.

وبالتالي ، فإن النقاط الحرجة للدالة (f ) هي ((2، -3) ) وجميع النقاط الموجودة على القطع الزائد ، ( dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} - dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1 ).

ب. أولاً ، نحسب (g_x (x، y) ) و (g_y (x، y) ):

[ start {align *} g_x (x، y) & = 2x + 2y + 4 [4pt] g_y (x، y) & = 2x − 8y − 6. نهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، قمنا بتعيين كل من هذه التعبيرات على الصفر ، مما يعطي نظامًا من المعادلات في (x ) و (y ):

[ start {align *} 2x + 2y + 4 & = 0 [4pt] 2x − 8y − 6 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

ينتج عن طرح المعادلة الثانية من الأولى (10y + 10 = 0 ) ، لذلك (y = −1 ). استبدال هذا في المعادلة الأولى يعطي (2x + 2 (−1) + 4 = 0 ) ، لذلك (x = −1 ).

لذلك ((- 1 ، −1) ) هي نقطة حرجة في (ز ). لا توجد نقاط في ( mathbb {R} ^ 2 ) تجعل أيًا من المشتقات الجزئية غير موجود.

يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) سلوك السطح عند النقطة الحرجة.

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد النقطة الحرجة للدالة (f (x، y) = x ^ 3 + 2xy − 2x − 4y. )

تلميح

احسب (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) ، ثم اضبطهما على الصفر.

إجابه

النقطة الحرجة الوحيدة في (f ) هي ((2، −5) ).

الغرض الرئيسي من تحديد النقاط الحرجة هو تحديد الحدود القصوى والدنيا النسبية ، كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. عند العمل مع دالة لمتغير واحد ، فإن تعريف الحد الأقصى المحلي يتضمن إيجاد فاصل زمني حول النقطة الحرجة بحيث تكون قيمة الوظيفة إما أكبر من أو أقل من جميع قيم الوظائف الأخرى في تلك الفترة الزمنية. عند العمل بدالة من متغيرين أو أكثر ، فإننا نعمل مع قرص مفتوح حول النقطة.

التعريف: إكستريما العالمية والمحلية

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين محددين ومستمرين على مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0). ) ثم (f ) لديه الحد الأقصى المحلي في ((x_0، y_0) ) إذا

[f (x_0، y_0) ≥f (x، y) ]

لجميع النقاط ((x، y) ) داخل بعض الأقراص المتمركزة في ((x_0، y_0) ). الرقم (f (x_0، y_0) ) يسمى قيمة قصوى محلية. إذا كانت المتباينة السابقة صحيحة لكل نقطة ((x، y) ) في مجال (f ) ، فإن (f ) لديها الحد الأقصى العالمي (وتسمى أيضًا الحد الأقصى المطلق) عند ((x_0، y_0). )

الدالة (f ) لها حد أدنى محلي عند ((x_0، y_0) ) إذا

[f (x_0، y_0) ≤f (x، y) ]

لجميع النقاط ((x، y) ) داخل بعض الأقراص المتمركزة في ((x_0، y_0) ). الرقم (f (x_0، y_0) ) يسمى قيمة دنيا محلية. إذا كانت المتباينة السابقة صحيحة لكل نقطة ((x، y) ) في مجال (f ) ، فإن (f ) لديها الحد الأدنى العالمي (يسمى أيضًا الحد الأدنى المطلق) عند ((x_0، y_0) ).

إذا كانت (f (x_0، y_0) ) قيمة قصوى محلية أو قيمة دنيا محلية ، فيُطلق عليها الحد الأقصى المحلي (انظر الشكل التالي).

في حساب التفاضل والتكامل 1 ، أظهرنا أن الدوال القصوى لمتغير واحد تحدث عند النقاط الحرجة. وينطبق الشيء نفسه على وظائف أكثر من متغير واحد ، كما هو مذكور في النظرية التالية.

نظرية فيرمات لوظائف متغيرين

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين محددين ومستمرين على مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). افترض (f_x ) و (f_y ) وجود كل منهما في ((x_0، y_0) ). إذا كان f يحتوي على حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0) ) ، فإن ((x_0، y_0) ) هي نقطة حرجة في (f ).

اختبار المشتق الثاني

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 3. ) هذه الوظيفة لها نقطة حرجة عند (x = 0 ) ، منذ (f '(0) = 3 (0) ^ 2 = 0 ) . ومع ذلك ، لا يحتوي (f ) على قيمة قصوى عند (x = 0 ). لذلك ، فإن وجود قيمة حرجة عند (x = x_0 ) لا يضمن حدًا أقصى محلي عند (x = x_0 ). وينطبق الشيء نفسه على دالة من متغيرين أو أكثر. طريقة واحدة يمكن أن يحدث هذا هو في نقطة سرج. يظهر مثال على نقطة السرج في الشكل التالي.

الشكل ( PageIndex {3} ): رسم بياني للدالة (z = x ^ 2 − y ^ 2 ). هذا الرسم البياني له نقطة سرج عند نقطة الأصل.

الأصل في هذا الرسم البياني هو نقطة سرج. هذا لأن المشتقات الجزئية الأولى لـ f ((x، y) = x ^ 2 − y ^ 2 ) تساوي صفرًا في هذه المرحلة ، لكنها ليست حدًا أقصى أو أدنى للدالة. علاوة على ذلك ، فإن التتبع العمودي المقابل لـ (y = 0 ) هو (z = x ^ 2 ) (قطع مكافئ يفتح لأعلى) ، لكن التتبع الرأسي المقابل لـ (x = 0 ) هو (z = −y ^ 2 ) (قطع مكافئ يفتح لأسفل). لذلك ، فهو يمثل حدًا أقصى عالميًا لتتبع واحد وحد أدنى عالمي لآخر.

التعريف: نقطة السرج

بالنظر إلى الوظيفة (z = f (x، y)، ) النقطة ( big (x_0، y_0، f (x_0، y_0) big) ) هي نقطة سرج إذا كان كلاهما (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، لكن (f ) ليس له حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0). )

يوفر اختبار المشتق الثاني لوظيفة متغير واحد طريقة لتحديد ما إذا كان الحد الأقصى يحدث عند نقطة حرجة للدالة. عند توسيع هذه النتيجة إلى دالة من متغيرين ، تنشأ مشكلة تتعلق بحقيقة أن هناك ، في الواقع ، أربعة مشتقات جزئية مختلفة من الدرجة الثانية ، على الرغم من أن المساواة في الأجزاء المختلطة تقلل هذا إلى ثلاثة. يستخدم اختبار المشتق الثاني لوظيفة من متغيرين ، مذكور في النظرية التالية ، a مميز (D ) الذي يحل محل (f '(x_0) ) في اختبار المشتق الثاني لوظيفة ذات متغير واحد.

اختبار المشتق الثاني

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة لمتغيرين حيث تكون المشتقات الجزئية من الرتبتين الأولى والثانية متصلة على بعض الأقراص التي تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). افترض (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0. ) حدد الكمية

[D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2. ]

ثم:

  1. إذا كان (D> 0 ) و (f_ {xx} (x_0، y_0)> 0 ) ، فإن f لها حد أدنى محلي عند ((x_0، y_0) ).
  2. إذا كان (D> 0 ) و (f_ {xx} (x_0، y_0) <0 ) ، فإن f لها حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0) ).
  3. إذا كان (D <0 ) ، إذن (f ) به نقطة سرج عند ((x_0، y_0) ).
  4. إذا كان (D = 0 ) ، فإن الاختبار غير حاسم.

راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

لتطبيق اختبار المشتق الثاني ، من الضروري أن نجد أولاً النقاط الحرجة للدالة. هناك العديد من الخطوات المتضمنة في الإجراء بأكمله ، والتي تم تحديدها في استراتيجية حل المشكلات.

إستراتيجية حل المشكلات: استخدام الاختبار المشتق الثاني لوظائف متغيرين

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة من متغيرين حيث تكون المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى والثانية متصلة على بعض الأقراص التي تحتوي على النقطة ((x_0، y_0). ) للتطبيق اختبار المشتق الثاني للعثور على القيم القصوى المحلية ، استخدم الخطوات التالية:

  1. حدد النقاط الحرجة ((x_0، y_0) ) للوظيفة (f ) حيث (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0. ) تجاهل أي نقاط يكون فيها واحد على الأقل من المشتقات الجزئية غير موجودة.
  2. احسب المميز (D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 ) لكل نقطة حرجة من (F).
  3. قم بتطبيق الحالات الأربع للاختبار لتحديد ما إذا كانت كل نقطة حرجة هي الحد الأقصى المحلي ، أو الحد الأدنى المحلي ، أو نقطة السرج ، أو ما إذا كانت النظرية غير حاسمة.

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام اختبار المشتق الثاني

أوجد النقاط الحرجة لكل من الوظائف التالية ، واستخدم اختبار المشتق الثاني لإيجاد القيم القصوى المحلية:

  1. (و (س ، ص) = 4x ^ 2 + 9y ^ 2 + 8x − 36y + 24 )
  2. (g (x، y) = dfrac {1} {3} x ^ 3 + y ^ 2 + 2xy − 6x − 3y + 4 )

المحلول

أ. الخطوة 1 من استراتيجية حل المشكلات تتضمن إيجاد النقاط الحرجة لـ (و ). للقيام بذلك ، نحسب أولاً (f_x (x ، y) ) و (f_y (x ، y) ) ، ثم نضع كلًا منهما يساوي صفرًا:

[ start {align *} f_x (x، y) & = 8x + 8 [4pt] f_y (x، y) & = 18y − 36. النهاية {محاذاة *} ]

جعلها تساوي الصفر ينتج نظام المعادلات

[ start {align *} 8x + 8 & = 0 [4pt] 18y − 36 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

حل هذا النظام هو (x = −1 ) و (y = 2 ). لذلك ((- 1،2) ) هي نقطة حرجة في (و ).

الخطوة 2 من استراتيجية حل المشكلات تتضمن حساب (د ) للقيام بذلك ، نحسب أولاً المشتقات الجزئية الثانية لـ (f: )

[ start {align *} f_ {xx} (x، y) & = 8 [4pt] f_ {xy} (x، y) & = 0 [4pt] f_ {yy} (x، y ) & = 18. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (D = f_ {xx} (- 1،2) f_ {yy} (- 1،2) - big (f_ {xy} (- 1،2) big) ^ 2 = (8) ( 18) - (0) ^ 2 = 144. )

الخطوه 3 تنص على تطبيق الحالات الأربع للاختبار لتصنيف سلوك الوظيفة في هذه المرحلة الحرجة.

بما أن (D> 0 ) و (f_ {xx} (- 1،2)> 0 ، ) يتوافق هذا مع الحالة 1. لذلك ، (f ) لديه حد أدنى محلي عند ((- 1 ، 2) ) كما هو موضح في الشكل التالي.

الشكل ( PageIndex {5} ): الوظيفة (f (x، y) ) لها حد أدنى محلي عند ((- 1،2، −16). ) لاحظ المقياس على المحور (y ) - في هذا المخطط بالآلاف.

ب. إلى عن على الخطوة 1، نحسب أولاً (g_x (x ، y) ) و (g_y (x، y) ) ، ثم نضع كل منهما مساوياً للصفر:

[ start {align *} g_x (x، y) & = x ^ 2 + 2y − 6 [4pt] g_y (x، y) & = 2y + 2x − 3. نهاية {محاذاة *} ]

جعلها تساوي الصفر ينتج نظام المعادلات

[ start {align *} x ^ 2 + 2y − 6 & = 0 [4pt] 2y + 2x − 3 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لحل هذا النظام ، قم أولاً بحل المعادلة الثانية لـ (y ). هذا يعطي (y = dfrac {3−2x} {2} ). استبدال هذا في المعادلة الأولى يعطي

[ start {align *} x ^ 2 + 3−2x − 6 & = 0 [4pt] x ^ 2−2x − 3 & = 0 [4pt] (x − 3) (x + 1) & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (x = −1 ) أو (x = 3 ). ينتج عن استبدال هذه القيم في المعادلة (y = dfrac {3−2x} {2} ) النقاط الحرجة ( left (−1، frac {5} {2} right) ) و ( يسار (3، - فارك {3} {2} يمين) ).

الخطوة 2 يتضمن حساب المشتقات الجزئية الثانية لـ (g ):

[ start {align *} g_ {xx} (x، y) & = 2x [4pt] g_ {xy} (x، y) & = 2 [4pt] g_ {yy} (x، y ) & = 2. النهاية {محاذاة *} ]

ثم نجد صيغة عامة لـ (D ):

[ begin {align *} D (x_0، y_0) & = g_ {xx} (x_0، y_0) g_ {yy} (x_0، y_0) - big (g_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 [4pt] & = (2x_0) (2) −2 ^ 2 [4pt] & = 4x_0−4. end {align *} ]

بعد ذلك ، نستبدل كل نقطة حرجة في هذه الصيغة:

[ start {align *} D left (−1، tfrac {5} {2} right) & = (2 (−1)) (2) - (2) ^ 2 = −4−4 = −8 [4pt] D left (3، - tfrac {3} {2} right) & = (2 (3)) (2) - (2) ^ 2 = 12−4 = 8. النهاية {محاذاة *} ]

في الخطوة 3 ، نلاحظ أن تطبيق الملاحظة على النقطة ( left (−1، frac {5} {2} right) ) يؤدي إلى الحالة (3 ) ، مما يعني أن ( left ( −1 ، frac {5} {2} right) ) نقطة سرج. يؤدي تطبيق النظرية على النقطة ( left (3، - frac {3} {2} right) ) إلى الحالة (1 ) ، مما يعني أن ( left (3، - frac {3) } {2} right) ) يتوافق مع الحد الأدنى المحلي كما هو موضح في الشكل التالي.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم اختبار المشتق الثاني لإيجاد القيمة القصوى المحلية للدالة

[f (x، y) = x ^ 3 + 2xy − 6x − 4y ^ 2. لا يوجد رقم]

تلميح

اتبع استراتيجية حل المشكلات لتطبيق اختبار المشتق الثاني.

إجابه

( left ( frac {4} {3}، frac {1} {3} right) ) نقطة سرج ، ( left (- frac {3} {2}، - frac {3} {8} right) ) هو الحد الأقصى المحلي.

الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق

عند إيجاد القيم القصوى العالمية لوظائف متغير واحد في فترة زمنية مغلقة ، نبدأ بالتحقق من القيم الحرجة عبر تلك الفترة ثم نقوم بتقييم الوظيفة عند نقاط نهاية الفترة. عند العمل بدالة من متغيرين ، يتم استبدال الفاصل الزمني المغلق بمجموعة مغلقة محدودة. يتم تقييد المجموعة إذا كان من الممكن احتواء جميع النقاط في تلك المجموعة داخل كرة (أو قرص) من نصف قطر محدود. أولًا ، علينا إيجاد النقاط الحرجة داخل المجموعة وحساب القيم الحرجة المقابلة. بعد ذلك ، من الضروري إيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى لقيمة الوظيفة على حدود المجموعة. عندما يكون لدينا كل هذه القيم ، فإن أكبر قيمة للدالة تتوافق مع الحد الأقصى العالمي وتوافق أصغر قيمة للدالة مع الحد الأدنى المطلق. أولاً ، ومع ذلك ، نحن بحاجة إلى التأكد من وجود مثل هذه القيم. النظرية التالية تفعل هذا.

نظرية القيمة القصوى

تصل الدالة المستمرة (f (x ، y) ) على مجموعة مغلقة ومحدودة (D ) في المستوى إلى قيمة قصوى مطلقة في نقطة ما من (D ) وقيمة دنيا مطلقة عند نقطة ما من (د).

الآن بعد أن علمنا أن أي دالة متصلة (f ) محددة في مجموعة مغلقة ومحدودة تصل إلى قيمها القصوى ، نحتاج إلى معرفة كيفية العثور عليها.

إيجاد القيم القصوى لوظيفة من متغيرين

افترض أن (z = f (x، y) ) دالة قابلة للتفاضل لمتغيرين محددين في مجموعة مغلقة ومحدودة (D ). ثم (f ) سيصل إلى القيمة القصوى المطلقة والحد الأدنى المطلق للقيمة ، وهما ، على التوالي ، أكبر وأصغر القيم الموجودة بين القيم التالية:

  1. قيم (f ) عند النقاط الحرجة (f ) في (D ).
  2. قيم (و ) على حدود (د ).

إن إثبات هذه النظرية هو نتيجة مباشرة لنظرية القيمة القصوى ونظرية فيرما. على وجه الخصوص ، إذا كان أي من الطرفين غير موجود على حدود (D ) ، فإنه يقع عند نقطة داخلية من (D ). لكن النقطة الداخلية ((x_0، y_0) ) من (D ) التي تعتبر حدًا مطلقًا هي أيضًا حد أقصى محلي ؛ ومن ثم ، فإن ((x_0، y_0) ) هي نقطة حرجة في (f ) بواسطة نظرية فيرمات. لذلك ، فإن القيم الوحيدة الممكنة للنقطة القصوى العامة لـ (f ) في (D ) هي القيم القصوى لـ (f ) على الجزء الداخلي أو الحد لـ (D ).

إستراتيجية حل المشكلات: إيجاد القيم القصوى والدنيا المطلقة

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة مستمرة لمتغيرين محددين في مجموعة مغلقة ومحدودة (D ) وافترض أن (f ) قابل للتفاضل في (D ). للعثور على القيم القصوى والدنيا المطلقة لـ (f ) في (D ) ، قم بما يلي:

  1. حدد النقاط الحرجة لـ (f ) في (د ).
  2. احسب (f ) عند كل نقطة من هذه النقاط الحرجة.
  3. حدد القيم القصوى والدنيا لـ (f ) على حدود مجالها.
  4. ستحدث القيم القصوى والدنيا لـ (f ) بإحدى القيم التي تم الحصول عليها في الخطوات (2 ) و (3 ).

يمكن أن يكون العثور على القيم القصوى والدنيا لـ (f ) على حدود (D ) أمرًا صعبًا. إذا كانت الحدود عبارة عن مستطيل أو مجموعة من الخطوط المستقيمة ، فمن الممكن تحديد معلمات أجزاء الخط وتحديد الحد الأقصى لكل مقطع من هذه الأجزاء ، كما هو موضح في المثال ( PageIndex {3} ). يمكن استخدام نفس الأسلوب لأشكال أخرى مثل الدوائر والأشكال البيضاوية.

إذا كانت حدود المجموعة (D ) عبارة عن منحنى أكثر تعقيدًا تحدده دالة (g (x ، y) = c ) لبعض الثابت (c ) ، والمشتقات الجزئية من الدرجة الأولى لـ (g ) موجودة ، فإن طريقة مضاعفات لاغرانج يمكن أن تكون مفيدة في تحديد الحد الأقصى لـ (و ) على الحدود التي يتم تقديمها في مضاعفات لاجرانج.

مثال ( PageIndex {3} ): البحث عن Absolute Extrema

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لإيجاد القيمة القصوى المطلقة للدالة لتحديد القيمة القصوى المطلقة لكل من الوظائف التالية:

  1. (f (x، y) = x ^ 2−2xy + 4y ^ 2−4x − 2y + 24 ) في المجال المحدد بواسطة (0≤x≤4 ) و (0≤y≤2 )
  2. (g (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 + 4x − 6y ) في المجال المحدد بواسطة (x ^ 2 + y ^ 2≤16 )

المحلول

أ. باستخدام استراتيجية حل المشكلات ، تتضمن الخطوة (1 ) إيجاد النقاط الحرجة لـ (f ) في مجالها. لذلك ، نحسب أولاً (f_x (x ، y) ) و (f_y (x ، y) ) ، ثم نضع كل منهما يساوي صفرًا:

[ start {align *} f_x (x، y) & = 2x − 2y − 4 [4pt] f_y (x، y) & = - 2x + 8y − 2. النهاية {محاذاة *} ]

جعلها تساوي الصفر ينتج نظام المعادلات

[ start {align *} 2x − 2y − 4 & = 0 [4pt] −2x + 8y − 2 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

حل هذا النظام هو (س = 3 ) و (ص = 1 ). لذلك ((3،1) ) هي نقطة حرجة في (و ). حساب (f (3،1) ) يعطي (f (3،1) = 17. )

تتضمن الخطوة التالية إيجاد الحد الأقصى لـ (f ) على حدود مجالها. تتكون حدود مجالها من أربعة أجزاء خطية كما هو موضح في الرسم البياني التالي:

(L_1 ) هو الجزء المستقيم الذي يربط ((0،0) ) و ((4،0) ) ، ويمكن تحديد معلماته بواسطة المعادلات (x (t) = t ، y (t ) = 0 ) لـ (0≤t≤4 ). حدد (g (t) = f big (x (t)، y (t) big) ). هذا يعطي (g (t) = t ^ 2−4t + 24 ). يؤدي التمايز (g ) إلى (g ′ (t) = 2t − 4. ) لذلك ، (g ) له قيمة حرجة في (t = 2 ) ، والتي تتوافق مع النقطة (( 2،0) ). يعطي حساب (f (2،0) ) (z ) - القيمة (20 ).

(L_2 ) هو مقطع الخط الذي يربط ((4،0) ) و ((4،2) ) ، ويمكن تحديد معلماته بواسطة المعادلات (x (t) = 4 ، y (t ) = t ) لـ (0≤t≤2. ) مرة أخرى ، حدد (g (t) = f big (x (t) ، y (t) big). ) هذا يعطي (g (ر) = 4 طن ^ 2−10 طن + 24. ) ثم ، (ز ′ (ر) = 8 طن − 10 ). g له قيمة حرجة عند (t = frac {5} {4} ) ، والتي تتوافق مع النقطة ( left (0، frac {5} {4} right). ) الحساب ( f left (0، frac {5} {4} right) ) يعطي (z ) - القيمة (27.75 ).

(L_3 ) هو الجزء المستقيم الذي يربط ((0،2) ) و ((4،2) ) ، ويمكن تحديد معلماته بواسطة المعادلات (x (t) = t ، y (t ) = 2 ) لـ (0≤t≤4. ) مرة أخرى ، حدد (g (t) = f big (x (t) ، y (t) big). ) هذا يعطي (g (t) = t ^ 2−8t + 36. ) تتوافق القيمة الحرجة مع النقطة ((4،2). ) لذا ، فإن حساب (f (4،2) ) يعطي (z ) ) -قيمة (20 ).

(L_4 ) هو قطعة الخط التي تربط ((0،0) ) و ((0،2) ) ، ويمكن تحديد معلماتها بواسطة المعادلات (x (t) = 0 ، y (t ) = t ) لـ (0≤t≤2. ) هذه المرة ، (g (t) = 4t ^ 2−2t + 24 ) والقيمة الحرجة (t = frac {1} {4 } ) يتوافق مع النقطة ( left (0، frac {1} {4} right) ). يؤدي حساب (f left (0، frac {1} {4} right) ) إلى (z ) - القيمة (23.75. )

نحتاج أيضًا إلى إيجاد قيم (f (x، y) ) عند زوايا مجالها. تقع هذه الزوايا في ((0،0) و (4،0) و (4،2) ) و ((0،2) ):

[ start {align *} f (0،0) & = (0) ^ 2−2 (0) (0) +4 (0) ^ 2−4 (0) −2 (0) + 24 = 24 [4pt] f (4،0) & = (4) ^ 2−2 (4) (0) +4 (0) ^ 2−4 (4) −2 (0) + 24 = 24 [ 4pt] f (4،2) & = (4) ^ 2−2 (4) (2) +4 (2) ^ 2−4 (4) −2 (2) + 24 = 20 [4pt] f (0،2) & = (0) ^ 2−2 (0) (2) +4 (2) ^ 2−4 (0) −2 (2) + 24 = 36. النهاية {محاذاة *} ]

القيمة القصوى المطلقة هي (36 ) ، والتي تحدث عند ((0،2) ) ، والحد الأدنى للقيمة العالمية هو (20 ) ، والذي يحدث عند كل من ((4،2) ) و ((2،0) ) كما هو موضح في الشكل التالي.

ب. باستخدام استراتيجية حل المشكلات ، تتضمن الخطوة (1 ) إيجاد النقاط الحرجة لـ (ز ) في مجالها. لذلك ، نحسب أولاً (g_x (x ، y) ) و (g_y (x ، y) ) ، ثم نضع كل منهما يساوي صفرًا:

[ start {align *} g_x (x، y) & = 2x + 4 [4pt] g_y (x، y) & = 2y − 6. النهاية {محاذاة *} ]

جعلها تساوي الصفر ينتج نظام المعادلات

[ start {align *} 2x + 4 & = 0 [4pt] 2y − 6 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

حل هذا النظام هو (x = −2 ) و (y = 3 ). لذلك ، ((- 2،3) ) نقطة حرجة في (ز ). نحسب (g (−2،3)، ) نحصل عليها

[ز (−2،3) = (- 2) ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 (−2) −6 (3) = 4 + 9−8−18 = −13. ]

تتضمن الخطوة التالية إيجاد القيمة القصوى لـ ز على حدود مجالها. تتكون حدود مجالها من دائرة نصف قطرها (4 ) تتمحور في الأصل كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

يمكن تحديد حدود مجال (g ) باستخدام الدوال (x (t) = 4 cos t ، ، y (t) = 4 sin t ) لـ (0≤t≤2π ). حدد (h (t) = g big (x (t)، y (t) big): )

[ start {align *} h (t) & = g big (x (t)، y (t) big) [4pt] & = (4 cos t) ^ 2 + (4 sin t) ^ 2 + 4 (4 cos t) −6 (4 sin t) [4pt] & = 16 cos ^ 2t + 16 sin ^ 2t + 16 cos t − 24 sin t [4pt] & = 16 + 16 cos t − 24 sin t. النهاية {محاذاة *} ]

ضبط (ح ′ (ر) = 0 ) يؤدي إلى

[ start {align *} −16 sin t − 24 cos t & = 0 [4pt] −16 sin t & = 24 cos t [4pt] dfrac {−16 sin t } {- 16 cos t} & = dfrac {24 cos t} {- 16 cos t} [4pt] tan t & = - dfrac {3} {2}. النهاية {محاذاة *} ]

هذه المعادلة لها حلين في الفترة (0≤t≤2π ). أحدهما (t = π− arctan ( frac {3} {2}) ) والآخر (t = 2π− arctan ( frac {3} {2}) ). للزاوية الأولى ،

[ start {align *} sin t & = sin (π− arctan ( tfrac {3} {2})) = sin ( arctan ( tfrac {3} {2})) = dfrac {3 sqrt {13}} {13} [4pt] cos t & = cos (π− arctan ( tfrac {3} {2})) = - cos ( arctan ( tfrac {3} {2})) = - dfrac {2 sqrt {13}} {13}. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (x (t) = 4 cos t = - frac {8 sqrt {13}} {13} ) و (y (t) = 4 sin t = frac {12 sqrt { 13}} {13} ) ، لذلك ( left (- frac {8 sqrt {13}} {13} ، frac {12 sqrt {13}} {13} right) ) هو نقطة حرجة على الحدود و

[ start {align *} g left (- tfrac {8 sqrt {13}} {13}، tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) & = left (- tfrac {8 sqrt {13}} {13} right) ^ 2 + left ( tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) ^ 2 + 4 left (- tfrac {8 sqrt {13}} {13} right) −6 left ( tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) [4pt] & = frac {144} {13} + frac {64} {13} - frac {32 sqrt {13}} {13} - frac {72 sqrt {13}} {13} [4pt] & = frac {208−104 sqrt { 13}} {13} ≈ 12.844. النهاية {محاذاة *} ]

للزاوية الثانية ،

[ start {align *} sin t & = sin (2π− arctan ( tfrac {3} {2})) = - sin ( arctan ( tfrac {3} {2})) = - dfrac {3 sqrt {13}} {13} [4pt] cos t & = cos (2π− arctan ( tfrac {3} {2})) = cos ( arctan ( tfrac {3} {2})) = dfrac {2 sqrt {13}} {13}. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (x (t) = 4 cos t = frac {8 sqrt {13}} {13} ) و (y (t) = 4 sin t = - frac {12 sqrt { 13}} {13} ) ، لذلك ( left ( frac {8 sqrt {13}} {13} ، - frac {12 sqrt {13}} {13} right) ) هو نقطة حرجة على الحدود و

[ start {align *} g left ( tfrac {8 sqrt {13}} {13}، - tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) & = left ( tfrac {8 sqrt {13}} {13} right) ^ 2 + left (- tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) ^ 2 + 4 left ( tfrac {8 sqrt {13}} {13} right) −6 left (- tfrac {12 sqrt {13}} {13} right) [4pt] & = dfrac {144} {13} + dfrac {64} {13} + dfrac {32 sqrt {13}} {13} + dfrac {72 sqrt {13}} {13} [4pt] & = dfrac {208 + 104 sqrt { 13}} {13} 44.844. النهاية {محاذاة *} ]

الحد الأدنى المطلق لـ (g ) هو (- 13، ) الذي يتم الوصول إليه عند النقطة ((- 2،3) ) ، وهي نقطة داخلية لـ (D ). الحد الأقصى المطلق لـ (g ) يساوي تقريبًا 44.844 ، والذي تم الوصول إليه عند نقطة الحدود ( left ( frac {8 sqrt {13}} {13}، - frac {12 sqrt {13) }} {13} right) ). هذه هي القيمة القصوى المطلقة لـ (g ) في (D ) كما هو موضح في الشكل التالي.

تمرين ( PageIndex {3} ):

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لإيجاد القيمة القصوى المطلقة للدالة لإيجاد القيمة القصوى المطلقة للدالة

[f (x، y) = 4x ^ 2−2xy + 6y ^ 2−8x + 2y + 3 non Number ]

على المجال المحدد بواسطة (0≤x≤2 ) و (- 1≤y≤3. )

تلميح

احسب (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) واضبطهما على الصفر. بعد ذلك ، احسب (f ) لكل نقطة حرجة وابحث عن الحد الأقصى لـ (f ) على حدود (د ).

إجابه

الحد الأدنى المطلق يحدث عند ((1،0): f (1،0) = - 1. )

الحد الأقصى المطلق يحدث عند ((0،3): f (0،3) = 63. )

مثال ( PageIndex {4} ): كرات جولف مربحة

طورت شركة Pro - (T ) نموذجًا للربح يعتمد على عدد (x ) كرات الجولف المباعة شهريًا (تقاس بالآلاف) ، وعدد الساعات شهريًا للإعلان (y ) ، حسب الوظيفة

[z = f (x، y) = 48x + 96y − x ^ 2−2xy − 9y ^ 2، ]

حيث (ض ) يقاس بآلاف الدولارات. الحد الأقصى لعدد كرات الجولف التي يمكن إنتاجها وبيعها هو (50،000 ) ، والحد الأقصى لعدد ساعات الإعلان التي يمكن شراؤها هو (25 ). ابحث عن قيم (x ) و (y ) التي تزيد الربح إلى أقصى حد ، وابحث عن أقصى ربح.

المحلول

باستخدام استراتيجية حل المشكلات ، تتضمن الخطوة (1 ) إيجاد النقاط الحرجة لـ (f ) في مجالها. لذلك ، نحسب أولاً (f_x (x ، y) ) و (f_y (x ، y) ، ) ثم نضع كل منهما يساوي صفرًا:

[ start {align *} f_x (x، y) & = 48−2x − 2y [4pt] f_y (x، y) & = 96−2x − 18y. النهاية {محاذاة *} ]

جعلها تساوي الصفر ينتج نظام المعادلات

[ start {align *} 48−2x − 2y & = 0 [4pt] 96−2x − 18y & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

حل هذا النظام هو (س = 21 ) و (ص = 3 ). لذلك ((21،3) ) هي نقطة حرجة في (f ). حساب (f (21،3) ) يعطي (f (21،3) = 48 (21) +96 (3) −21 ^ 2−2 (21) (3) −9 (3) ^ 2 = 648. )

مجال هذه الوظيفة هو (0≤x≤50 ) و (0≤y≤25 ) كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

(L_1 ) هو الجزء المستقيم الذي يربط ((0،0) ) و ((50،0)، ) ويمكن تحديد معلماته بواسطة المعادلات (x (t) = t، y (t ) = 0 ) من أجل (0≤t≤50. ) ثم نحدد (g (t) = f (x (t)، y (t)): )

[ start {align *} g (t) & = f (x (t)، y (t)) [4pt] & = f (t، 0) [4pt] & = 48t + 96 ( 0) −y ^ 2−2 (t) (0) −9 (0) ^ 2 [4pt] & = 48t − t ^ 2. النهاية {محاذاة *} ]

ينتج عن الإعداد (g ′ (t) = 0 ) النقطة الحرجة (t = 24، ) التي تتوافق مع النقطة ((24،0) ) في مجال (f ). حساب (f (24،0) ) يعطي (576. )

(L_2 ) هو الجزء المستقيم الذي يربط ((50،0) ) و ((50،25) ) ، ويمكن تحديد معلماته بواسطة المعادلات (x (t) = 50، y (t ) = t ) لـ (0≤t≤25 ). مرة أخرى ، نحدد (g (t) = f big (x (t) ، y (t) big): )

[ start {align *} g (t) & = f big (x (t)، y (t) big) [4pt] & = f (50، t) [4pt] & = 48 (50) + 96 طن − 50 ^ 2−2 (50) تي − 9 طن ^ 2 [4pt] & = - 9 طن ^ 2−4 طن − 100. النهاية {محاذاة *} ]

هذه الوظيفة لها نقطة حرجة عند (t = - frac {2} {9} ) ، والتي تتوافق مع النقطة ((50، −29) ). هذه النقطة ليست في مجال (f ).

(L_3 ) هو الجزء المستقيم الذي يربط ((0،25) ) و ((50،25) ) ، ويمكن تحديد معلماته بواسطة المعادلات (x (t) = t ، y (t ) = 25 ) لـ (0≤t≤50 ). نحدد (g (t) = f big (x (t)، y (t) big) ):

[ start {align *} g (t) & = f big (x (t)، y (t) big) [4pt] & = f (t، 25) [4pt] & = 48 طن + 96 (25) −t ^ 2−2 طن (25) −9 (25 ^ 2) [4pt] & = - t ^ 2−2t − 3225. النهاية {محاذاة *} ]

هذه الوظيفة لها نقطة حرجة عند (t = −1 ) ، والتي تتوافق مع النقطة ((- 1،25) ، ) التي ليست في المجال.

(L_4 ) هو الجزء المستقيم الذي يربط ((0،0) ) بـ ((0،25) ) ، ويمكن تحديد معلماته بواسطة المعادلات (x (t) = 0 ، y (t ) = t ) لـ (0≤t≤25 ). نحدد (g (t) = f big (x (t)، y (t) big) ):

[ start {align *} g (t) & = f big (x (t)، y (t) big) [4pt] & = f (0، t) [4pt] & = 48 (0) + 96t (0) ^ 2−2 (0) t − 9t ^ 2 [4pt] & = 96t − 9t ^ 2. النهاية {محاذاة *} ]

هذه الوظيفة لها نقطة حرجة عند (t = frac {16} {3} ) ، والتي تتوافق مع النقطة ( left (0، frac {16} {3} right) ) ، وهي على حدود المجال. يؤدي حساب (f left (0، frac {16} {3} right) ) إلى (256 ).

نحتاج أيضًا إلى إيجاد قيم (f (x، y) ) عند زوايا مجالها. تقع هذه الزوايا في ((0،0) و (50،0) و (50،25) ) و ((0،25) ):

[ start {align *} f (0،0) & = 48 (0) +96 (0) - (0) ^ 2−2 (0) (0) −9 (0) ^ 2 = 0 [4 نقطة] f (50،0) & = 48 (50) +96 (0) - (50) ^ 2−2 (50) (0) −9 (0) ^ 2 = −100 [4pt] f (50،25) & = 48 (50) +96 (25) - (50) ^ 2−2 (50) (25) −9 (25) ^ 2 = −5825 [4pt] f (0،25 ) & = 48 (0) +96 (25) - (0) ^ 2−2 (0) (25) −9 (25) ^ 2 = −3225. النهاية {محاذاة *} ]

القيمة القصوى هي (648 ) والتي تحدث عند ((21،3) ). لذلك ، يتحقق أقصى ربح قدره (648000 دولار ) عند بيع (21000 ) كرة جولف و (3 ) ساعات من الإعلان شهريًا كما هو موضح في الشكل التالي.

المفاهيم الرئيسية

  • النقطة الحرجة للدالة (f (x، y) ) هي أي نقطة ((x_0، y_0) ) حيث إما (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، أو واحد على الأقل من (f_x (x_0، y_0) ) و (f_y (x_0، y_0) ) غير موجود.
  • نقطة السرج هي نقطة ((x_0، y_0) ) حيث (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، ولكن (f (x_0، y_0) ) ليست كذلك الحد الأقصى ولا الحد الأدنى في تلك المرحلة.
  • لإيجاد الدوال القصوى لمتغيرين ، أوجد أولاً النقاط الحرجة ، ثم احسب المميز وطبق اختبار المشتق الثاني.

المعادلات الرئيسية

  • مميز

(D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - (f_ {xy} (x_0، y_0)) ^ 2 )

قائمة المصطلحات

نقطة حرجة لدالة من متغيرين

النقطة ((x_0، y_0) ) تسمى النقطة الحرجة (f (x، y) ) إذا كان أحد الشرطين التاليين ينطبق:

1. (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 )

2. لا يوجد واحد على الأقل من (f_x (x_0، y_0) ) و (f_y (x_0، y_0) )

مميز
يتم إعطاء مميز الدالة (f (x، y) ) بالصيغة (D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - (f_ {xy} (x_0 ، y_0)) ^ 2 )
نقطة سرج
بالنظر إلى الوظيفة (z = f (x، y)، ) النقطة ((x_0، y_0، f (x_0، y_0)) ) هي نقطة سرج إذا كان كلاهما (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، لكن (f ) لا يحتوي على قيمة قصوى محلية عند ((x_0، y_0) )

المساهمون والسمات

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


شاهد الفيديو: Absolute Maximum and Minimum Values of Multivariable Functions - Calculus 3 (شهر نوفمبر 2021).