مقالات

3: تكاملات متعددة


التكاملات المتعددة هي تعميم للتكامل المحدد لوظائف أكثر من متغير واحد.

  • 3.1: التكاملات المزدوجة والمتكررة على المستطيلات
    وبالتالي ، يمكننا أن نستنتج أن التكامل هو دالة التراكم حيث إنه يجمع عددًا لا حصر له من الشرائط في مجال معين لحساب المنطقة. وبالمثل ، فإن التكامل المزدوج هو أيضًا دالة للتراكم. يقوم بتجميع عدد لا حصر له من الشرائط ثلاثية الأبعاد الصغيرة لحساب حجم الكائنات ثلاثية الأبعاد.
  • 3.2: منطقة عن طريق التكامل المزدوج
    في هذا القسم ، سنتعلم حساب مساحة المنطقة المحددة باستخدام التكاملات المزدوجة ، وباستخدام هذه الحسابات يمكننا إيجاد متوسط ​​قيمة دالة ذات متغيرين.
  • 3.3: التكاملات المزدوجة على المناطق العامة
    في 15.1 ، نلاحظ أن جميع قواعد الكائنات مستطيلة. في الشكل 15.2 ، المنطقة الواقعة تحت هذه الأشياء غير مستطيلة. ومع ذلك ، فإن طريقة التراكم لا تزال تعمل.
  • 3.4: تكاملات مزدوجة في شكل قطبي
    إذا كان المجال له خصائص الدائرة أو القلب ، فمن الأسهل حل التكامل باستخدام الإحداثيات القطبية.
  • 3.5: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات المستطيلة
    مثلما يحتوي التكامل الفردي على مجال ذي بعد واحد (خط) وتكامل مزدوج مجال ثنائي الأبعاد (منطقة) ، فإن التكامل الثلاثي له مجال ثلاثي الأبعاد (حجم). علاوة على ذلك ، نظرًا لأن التكامل الفردي ينتج قيمة ثنائية الأبعاد وقيمة تكاملية مزدوجة ثلاثية الأبعاد ، فإن التكامل الثلاثي ينتج قيمة ذات بُعد أعلى يتجاوز الأبعاد الثلاثية ، أي 4D.
  • 3.6: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية
    في بعض الأحيان ، قد ينتهي بك الأمر إلى حساب حجم الأشكال التي لها أشكال أسطوانية ، أو مخروطية ، أو كروية ، وبدلاً من تقييم مثل هذه التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الديكارتية ، يمكنك تبسيط التكاملات عن طريق تحويل الإحداثيات إلى إحداثيات أسطوانية أو كروية. في هذا الموضوع ، سوف نتعلم كيفية إجراء مثل هذه التحولات ثم تقييم التكاملات الثلاثية.
  • 3.7: لحظات ومراكز القداس
    يوضح هذا القسم كيفية حساب كتل ولحظات الأجسام ثنائية وثلاثية الأبعاد في الإحداثيات الديكارتية (س ، ص ، ع).
  • 3.8: اليعاقبة
    الهدف من هذا القسم هو أن تكون قادرًا على إيجاد "العامل الإضافي" لتحول أكثر عمومية. نحن نسمي هذا "العامل الإضافي" اليعقوبي للتحول. يمكننا إيجادها بأخذ محدد الاثنين في مصفوفة اثنين من المشتقات الجزئية.
  • 3.9: الاستبدالات في التكاملات المتعددة
    يناقش هذا القسم ترجمة رسم بياني من المستوى الديكارتي xy إلى المستوى الديكارتي للأشعة فوق البنفسجية ويحدد اليعقوبي. يقيس Jacobian مقدار تغير الحجم عند نقطة معينة عند التحويل من نظام إحداثي إلى آخر.

3. التكاملات المزدوجة وتكاملات الخط في المستوى

تبدأ هذه الوحدة دراستنا لتكامل وظائف عدة متغيرات. لتقليل صعوبات التصور إلى الحد الأدنى ، سننظر فقط في وظائف متغيرين. (سننظر في وظائف ثلاثة متغيرات في الوحدة التالية.)

ستكون أهدافنا الرئيسية في الدراسة نوعين من التكاملات:

  1. التكاملات المزدوجة ، وهي تكاملات على المناطق المستوية.
  2. تكاملات الخط أو المسار ، وهي تكاملات على المنحنيات.

يمكن اعتبار جميع التكاملات كمجموع ، تقنيًا حد لمجموع ريمان ، ولن تكون هذه استثناءات. إذا تأكدت من إتقان هذه الفكرة البسيطة ، فستجد أن التطبيقات والأدلة التي تتضمن هذه التكاملات واضحة ومباشرة.

سننهي الوحدة بتعلم نظرية جرين التي تتعلق بنوعين من التكاملات وهي تعميم للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل. على طول الطريق سوف نقدم مفاهيم العمل والتدفق ثنائي الأبعاد وأيضًا نوعين من مشتقات الوظائف ذات القيمة المتجهية لمتغيرين ، الضفيرة والتباعد.


هل تريد معرفة المزيد عن حساب التفاضل والتكامل 3؟ لدي دورة تدريبية خطوة بخطوة لذلك. :)

استخدم قاعدة النقطة المتوسطة لتقريب الحجم أسفل المنحنى.

إذا عوضنا بالقيم المعطاة في صيغة قاعدة النقطة المتوسطة ، نحصل عليها

. int_0 ^ 4 int_0 ^ 2x + y ^ 2 + 2 dx dy almost sum ^ 2_ مجموع ^ 2_f يسار ( overline، overline حق) دلتا.

لاحظ التكامل المزدوج في الجانب الأيسر من المعادلة. حولناه إلى تكامل متكرر (حيث يمكننا التكامل فيما يتعلق بمتغير واحد في كل مرة) عن طريق إرفاق. x. - الفاصل الزمني إلى الداخل لا يتجزأ و. ذ. - الفاصل الزمني لا يتجزأ من الخارج. منذ وضعنا حدود التكامل ل. x. في الفترة الداخلية ، هذا يعني أنه يتعين علينا أيضًا وضع. dx. من الداخل من قبل. دى. الذي يأتي في المرتبة الثانية منذ حدود التكامل ل. ذ. على التكامل الخارجي.

يمكننا إيجاد التكامل المتكرر لإيجاده بالضبط حجم تحت المنحنى فوق المستطيل. R = [0،2] times [0،4]. ولكن طُلب منا استخدام قاعدة النقطة المتوسطة من أجل تقريبي الحجم ، لذلك سنستخدم الجانب الأيمن من الصيغة بدلاً من ذلك.

سنحتاج إلى تحديد المستطيل. R. ثم قسّمها إلى مستطيلات أصغر بناءً على. م. و . ن. ثم نوجد نقطة المنتصف لكل مستطيل حتى نتمكن من التعويض عن نقاط المنتصف في الدالة. و (س ، ص) = س + ص ^ 2 + 2. ثم أدخل مجموع النتائج في صيغة التقريب لـ. f يسار ( overline، overlineحق).

المستطيل. R = [0،2] times [0،4]. يعني أننا نريد التكامل على. x. -فاصلة . [0،2]. وعلى مدى. ذ. -فاصلة . [0،4].


CLP-3 حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

تعتبر التكاملات المزدوجة مفيدة لأكثر من مجرد مناطق وأحجام الحوسبة. فيما يلي بعض التطبيقات الأخرى التي تؤدي إلى تكاملات مزدوجة.

القسم الفرعي 3.3.1 المتوسطات

في القسم 2.2 من نص CLP-2 ، حددنا متوسط ​​قيمة دالة لمتغير واحد. سنقوم الآن بتوسيع هذه المناقشة لتشمل دوال متغيرين. أولًا ، نتذكر تعريف متوسط ​​مجموعة محدودة من الأعداد.

التعريف 3.3.1.

متوسط ​​(متوسط) مجموعة من (n ) الأرقام (f_1 text <،> ) (f_2 text <،> ) ( cdots text <،> ) (f_n ) يكون

يتم استخدام الرموز ( bar f ) و ( llt f rgt ) بشكل شائع لتمثيل المتوسط.

افترض الآن أننا نريد أن نأخذ متوسط ​​دالة (f (x، y) ) مع ((x، y) ) تعمل بشكل مستمر فوق بعض المناطق ( cR ) في (xy ) -طائرة. النهج الطبيعي لتحديد ما نعنيه بمتوسط ​​قيمة (f ) over ( cR ) هو

  • قم أولاً بإصلاح أي رقم طبيعي (n text <.> )
  • قسّم المنطقة ( cR ) إلى مربعات صغيرة (تقريبية) لكل عرض ( De x = frac <1>) والارتفاع ( De y = frac <1> text <.> ) يمكن القيام بذلك ، على سبيل المثال ، عن طريق تقسيم الشرائط الرأسية إلى مربعات صغيرة ، كما في المثال 3.1.11.
  • قم بتسمية المربعات (بأي ترتيب ثابت) (R_1 text <،> ) (R_2 text <،> ) ( cdots text <،> ) (R_N text <،> ) حيث (N ) هو العدد الإجمالي للمربعات.
  • حدد ، لكل (1 le i le N text <،> ) نقطة واحدة في رقم المربع (i ) وقم بتسميتها ((x_i ^ *، y_i ^ *) text <.> ) إذن ((x_i ^ *، y_i ^ *) in R_i text <.> )
  • متوسط ​​قيمة (f ) عند النقاط المحددة هو

بمجرد أن نحصل على مبالغ Riemann ، يصبح من الواضح ما يجب فعله بعد ذلك. أخذ الحد (n rightarrow infty text <،> ) نحصل بالضبط ( frac < dblInt_ cR f (x، y) ، dee ، دي> < dblInt_ cR دي ، دي> text <.> ) هذا هو سبب تعريفنا

التعريف 3.3.2.

لنفترض أن (f (x، y) ) دالة قابلة للتكامل محددة في المنطقة ( cR ) في (xy ) - الطائرة. متوسط ​​قيمة (f ) في ( cR ) هو

مثال 3.3.3. متوسط.

لنفترض (a gt 0 text <.> ) جبل ، نسميه Half Dome 1 ، له ارتفاع (z (x ، y) = sqrt) فوق كل نقطة ((س ، ص) ) في المنطقة الأساسية ( cR = مجموعة <(س ، ص)> text <.> ) أوجد متوسط ​​ارتفاعه.


3: تكاملات متعددة

يُطلق على تكامل دالة من ثلاثة متغيرات ، w = f (x ، y ، z) ، على منطقة ثلاثية الأبعاد R في مساحة xyz ، التكامل الثلاثي ويُشار إليه

تحتوي هذه الصفحة على الأقسام التالية:

افترض أن R هو المربع الذي يحتوي على a & lt = x & lt = b و c & lt = y & lt = d و r & lt = z & lt = s.

التكامل الثلاثي معطى بواسطة

لحساب التكامل المتكرر على اليسار ، يتكامل المرء بالنسبة إلى z أولاً ، ثم y ، ثم x. عندما يتكامل المرء فيما يتعلق بمتغير واحد ، يفترض أن تكون جميع المتغيرات الأخرى ثابتة. بالنسبة لمنطقة تشبه الصندوق ، يكون التكامل مستقلاً عن ترتيب التكامل ، بافتراض أن f (x ، y ، z) متصلة. وبالتالي ، هناك إجمالي 6 طرق لطلب عمليات الدمج. على سبيل المثال ، يمكننا التكامل بالنسبة إلى x ، ثم z ، ثم y. في هذه الحالة لدينا

خذ بعين الاعتبار المثال التالي:

نحصل على التكامل فيما يتعلق بـ z ، ونعامل x و y كثوابت

لاحظ أن z اختفى تمامًا من التعبير الموجود على اليمين. التكامل الأوسط بالنسبة إلى y ، ويتم التعامل مع x على أنه ثابت. لدينا

لاحظ أن y قد اختفى من التعبير الموجود على اليمين. التكامل الخارجي بالنسبة إلى x. لدينا

يجب عليك التحقق من الحصول على نفس الإجابة إذا تم تغيير ترتيب التكامل.

للحصول على فهم أفضل للتكاملات الثلاثية ، دعونا ننظر في المثال التالي حيث ينشأ التكامل الثلاثي في ​​حساب الكتلة. افترض أن المنطقة R في مساحة xyz تتوافق مع كائن وأن f (x ، y ، z) هي الكثافة لكل وحدة حجم عند النقطة (x ، y ، z). إذا كانت الكثافة ثابتة ، فإن كتلة الجسم هي حاصل ضرب الكثافة وحجم R. إذا اختلفت الكثافة باختلاف الموضع ، فلا يمكننا تطبيق هذه الصيغة العامة.

يمكننا حساب الكتلة عن طريق تقسيم R إلى مجموعة من الصناديق متناهية الصغر. ضع في اعتبارك المربع بين x و x + dx و y و y + dy و z و z + dz. هنا dx و dy و dz هي لامتناهية في الصغر. في هذا الصندوق الصغير ، تكون الكثافة ثابتة بشكل أساسي وتساوي f (x ، y ، z). كتلة الصندوق الصغير هي نتاج الكثافة والحجم. حجم الصندوق هو dxdydz. ومن ثم فإن كتلة الصندوق الصغير هي f (x ، y ، z) dxdydz. يعطي التكامل الثلاثي الكتلة الإجمالية للكائن ويساوي مجموع كتل كل المربعات متناهية الصغر في R.

تنشأ التكاملات الثلاثية أيضًا في حساب

  • الحجم (إذا كانت f (x ، y ، z) = 1 ، فإن التكامل الثلاثي يساوي حجم R)
  • فرض على كائن ثلاثي الأبعاد
  • متوسط ​​دالة على منطقة ثلاثية الأبعاد
  • مركز الكتلة و لحظة القصور الذاتي

نود أن نكون قادرين على دمج التكاملات الثلاثية لمناطق أكثر عمومية. يتم تصنيف المناطق العامة إلى ثلاثة أنواع. افترض أن المنطقة R هي مثل g_1 (x ، y) & lt = z & lt = g_2 (x ، y) ، حيث (x ، y) تقع في المنطقة D في المستوى xy ، كما هو موضح في الشكل:

المنطقة D هي إسقاط R على المستوى xy. التكامل الثلاثي معطى بواسطة

هو فيما يتعلق z. والنتيجة هي دالة في المتغير x و y. ما تبقى من الحساب

هو تكامل مزدوج على المنطقة D في المستوى xy.

إذا تم تحديد المنطقة R بحيث تقع g_1 (x، z) & lt = y & lt = g_2 (x، z)، (x، z) في المنطقة D في المستوى xz ، إذن

التكامل الداخلي بالنسبة لـ y. يتضمن باقي الحساب تكاملًا مزدوجًا فوق المنطقة D في المستوى xz.

أخيرًا افترض أن R هي أن g_1 (y ، z) & lt = x & lt = g_2 (y ، z) ، حيث (y ، z) تقع في منطقة D في مستوى yz ، ثم

التكامل الداخلي بالنسبة لـ x. يتضمن باقي الحساب تكاملًا مزدوجًا فوق المنطقة D في مستوى yz.

فكر في التكامل الثلاثي

حيث R هي المنطقة الرباعية السطوح التي تحدها المستويات x = 0 ، y = 0 ، z = 0 و x + y + z = 2 (انظر الشكل أدناه).

هناك عدة طرق لحساب التكامل. يمكننا إعادة كتابة معادلة المستوى x + y + z = 2 بالشكل z = 2-x-y. لاحظ أن 0 & lt = z = & lt2-x-y. ومن ثم لدينا

التكامل الداخلي هو (تذكر أن x و y ثوابت في هذا التكامل)

إسقاط المنطقة R على المستوى xy هو المثلث D الموضح في الشكل أدناه:

ومن ثم ، يتبقى لدينا التكامل المزدوج

يمكننا أيضًا إيجاد التكامل المزدوج بالتكامل بالنسبة إلى x أولًا ، ثم y. في هذه الحالة


ستيوارت حساب التفاضل والتكامل 7e حلول الفصل 15 تمرين التكاملات المتعددة 15.4

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 1E

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 2E

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 3E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 4E

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 5E

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 6E

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 7E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 8E




الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 9E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 10E




الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 11E




الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 12E


.

الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 13E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 14E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 15E




الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.416E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 17E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 18E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 19E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 20E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 21E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 22E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 23E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 24E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 25E






الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 26E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 27E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 28E




الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 29E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 30E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 31E



الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 32E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 33E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 34E






الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 35E


الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 36E







الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 39E





الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 40E










الفصل 15 التكاملات المتعددة 15.4 41E






8.4: التكاملات المزدوجة والثلاثية

  • بمساهمة مارسيا ليفيتوس
  • أستاذ مشارك (معهد Biodesign) بجامعة ولاية أريزونيا

يمكننا توسيع فكرة التكامل المحدد إلى المزيد من الأبعاد. إذا كان (f (x، y) ) مستمرًا فوق المستطيل (R = [a، b] times [c، d] ) إذن ،

إذا كان (f (x، y) geq0 ) ، فإن التكامل المزدوج يمثل حجم (V ) من المادة الصلبة التي تقع فوق المستطيل (R ) وتحت السطح (z = f (x) ، y) ) (الشكل ( PageIndex <1> )).

الشكل ( PageIndex <1> ): تفسير هندسي لتكامل مزدوج (CC BY-NC-SA Marcia Levitus)

يمكننا حساب التكامل المزدوج للمعادلة المرجع كما:

مما يعني أننا سنحسب أولاً

عقد (س ) ثابتًا ومتكاملًا بالنسبة إلى (ص ). ستكون النتيجة دالة تحتوي فقط على (س ) ، والتي سندمجها بين (أ ) و (ب ) فيما يتعلق (س ).

على سبيل المثال ، دع & rsquos يحل ( int_ <0> ^ <3> int_ <1> ^ <2>). & rsquoll نبدأ بحل ( int_ <1> ^ <2>) عقد ثابت (س ):

نقوم الآن بدمج هذه الوظيفة من 0 إلى 3 بالنسبة إلى (x ):

يمكنك بالطبع التكامل من 0 إلى 3 أولاً فيما يتعلق بـ (x ) الاحتفاظ (y ) ثابتًا ، ثم دمج النتيجة فيما يتعلق بـ (y ) من 1 إلى 2. جربها بهذه الطريقة وتحقق تحصل على نفس النتيجة.

تعمل التكاملات الثلاثية بنفس الطريقة. إذا كان (f (x، y، z) ) مستمرًا على المربع المستطيل (B = [a، b] times [c، d] times [r، s] ) ، إذن

يعني هذا التكامل المتكرر أننا نتكامل أولاً فيما يتعلق بـ (x ) (الحفاظ على (y ) و (z ) ثابتًا) ، ثم نتكامل فيما يتعلق بـ (y ) (الاحتفاظ (z ) ثابت) ، وأخيرًا نتكامل فيما يتعلق بـ (ض ). هناك خمسة أوامر أخرى محتملة يمكننا فيها التكامل ، وكلها تعطي نفس القيمة.

هل تحتاج إلى تجديد معلومات عن التكاملات المزدوجة والثلاثية؟ تحقق من مقاطع الفيديو أدناه قبل الانتقال إلى أمثلة الكيمياء الفيزيائية.

  • المثال 1: http://www.youtube.com/watch؟v=RqD89-afGS0
  • مثال 2: http://www.youtube.com/watch؟v=CPR0ZD0IYVE (تحقق من المثال الذي يبدأ حوالي 3:45 دقيقة وينتهي في 5:07 دقيقة)

تستخدم التكاملات الثلاثية في كثير من الأحيان في الكيمياء الفيزيائية لتطبيع دوال كثافة الاحتمال. على سبيل المثال ، في ميكانيكا الكم ، يتم تفسير المربع المطلق للدالة الموجية ، ( left | psi (x ، y ، z) right | ^ 2 ) ، على أنه كثافة الاحتمال، احتمالية وجود الجسيم داخل الحجم (dx.dy.dz ). نظرًا لأن احتمال العثور على الجسيم في مكان ما في الفضاء هو 1 ، فإننا نطلب ما يلي:

لقد ذكرنا بالفعل وظائف الموجة في القسم 2.3 ، حيث أظهرنا ذلك

[ اليسار | psi (x، y، z) right | ^ 2 = psi ^ * (x، y، z) psi (x، y، z) nonumber ]

لذلك ، يمكن أيضًا كتابة حالة التطبيع كـ

في ميكانيكا الكم ، يتم تمثيل أدنى حالة طاقة لجسيم محصور في صندوق ثلاثي الأبعاد

( psi (x، y، z) = 0 ) وإلا (خارج الصندوق).

هنا ، (A ) هو ثابت التطبيع ، و (أ ) ، (ب ) و (ج ) هي أطوال جوانب الصندوق. نظرًا لأن احتمال العثور على الجسيم في مكان ما في الفضاء هو 1 ، فنحن نطلب ذلك

أوجد ثابت التسوية (A ) بدلالة (أ ، ب ، ج ) والثوابت الأخرى.


مثال

مثال على سؤال: احسب التكامل المزدوج التالي:

تكشف نظرة سريعة على هذا التكامل أ مشكلة: يتطلب التكامل & # 8220inside & # 8221 (التكامل فيما يتعلق بـ x) إيجاد المشتق العكسي لـ 1 / & radic (x 3 + 1). لا توجد & # 8217t قاعدة تكامل يمكن أن تساعد في ذلك ، لذلك سنقوم بتبديل ترتيب التكامل لإيجاد حل.

الخطوة 1: اكتب حدود التكامل على هيئة متباينات:

الخطوة 2: ابحث عن مجموعة جديدة من المتباينات يصف المنطقة بالمتغيرات بترتيب معاكس. ملحوظة: هذه الخطوة كثير أسهل إذا قمت برسم رسم بياني للمنطقة.

في مجموعة المتباينات من الخطوة 1 ، جاءت y أولاً. لذلك أولا، تحديد المنطقة من حيث x في حين أن.

تحد المنطقة المظللة من اليسار واليمين بقيم س بين 0 و 1. رسم بياني باستخدام Desmos.com.

بعد ذلك ، أنت & # 8217ll تريد حدد الشكل من حيث المتغير y هذه هي المنطقة التي يحدها من أعلى وأسفل.
يحد المنطقة الخط y = 0 (أي المحور x) في الأسفل والمعادلة y = x 2 في الأعلى ، لذلك:
(0 & le y & le x 2).

المجموعة الجديدة من المتباينات ، بالنظر إلى أننا كذلك عكس ترتيب التكامل، يكون:
(0 & le x & le 1)
(0 & le y & le x 2).

الخطوة 3: اكتب التكامل الجديد مع المتباينات من الخطوة 2. لا تنسَ عكس & # 8220dx & # 8221 و & # 8220dy & # 8221.

الخطوة الرابعة: دمج كالمعتاد. بالنسبة لهذا التكامل المزدوج ، ستحتاج & # 8217 إلى التكامل مرتين: مرة بالنسبة إلى y ، ثم بالنسبة إلى x.


تغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة

التعويض (أو تغيير المتغيرات) هو أسلوب قوي لتقييم التكاملات في حساب التفاضل والتكامل الفردي المتغير. تحويل مكافئ متاح للتعامل مع تكاملات متعددة. الفكرة هي استبدال المتغيرات الأصلية للتكامل بمجموعة جديدة من المتغيرات. بهذه الطريقة يتم تغيير التكامل وكذلك حدود التكامل. إذا كنا محظوظين بما يكفي لإيجاد تغيير مناسب للمتغيرات ، فيمكننا تبسيط التكامل أو الحدود بشكل ملحوظ.

تغيير صيغة المتغيرات

الصور ثنائية الأبعاد هي الأسهل في الرسم ، لذا سنبدأ بوظائف متغيرين. مهمتنا الأولى هي التعرف على تحولات المناطق ثنائية الأبعاد.

التحولات في ( mathbb R ^ 2 )

افترض أن (S ) منطقة في ( mathbb R ^ 2 ). نريد دراسة الطرق التي يمكن بها تحويل هذه المنطقة إلى منطقة أخرى (T ).

هذا هو أسهل شرح من خلال النظر في مثال. دعونا (S = [0،2] مرات [0،2] ). ضع في اعتبارك الدالات (u: S to mathbb R ) و (v: S to mathbb R ) المحددة بالطريقة التالية: start u (x، y) & = & x + 2y v (x، y) & = & x-y. end لكل نقطة ((س ، ص) في S ) ( (S ) باللون الأزرق في الرسم التخطيطي على اليسار) يمكننا تعيين نقطة خضراء جديدة مع الإحداثيات ((u (س ، ص) ، ت (س ، ص)) ). بهذه الطريقة نحصل على منطقة خضراء (T ).

التعيين ((x، y) mapsto (u (x، y)، v (x، y)) ) هو واحد لواحد وعليه ، ومن ثم يكون الانحراف (قد ترغب في مراجعة هذه المصطلحات في وظائف القسم). يمكننا أيضًا كتابة التحويل العكسي ، الذي يعيّن كل نقطة ((u ، v) في T ) إلى النقطة ((x (u ، v) ، y (u ، v)) ) بالطريقة التالية : يبدأ س (ش ، ت) & = & فارك3 y (u، v) & = & frac3. النهاية

تغيير المتغيرات في التكاملات المزدوجة

افترض أن (S subseteq mathbb R ^ 2 ) منطقة في المستوى. لنفترض أن (T subseteq mathbb R ^ 2 ) منطقة أخرى وافترض أن هناك وظائف قابلة للتفاضل باستمرار (X: T to mathbb R ) و (Y: T to mathbb R ) ، بحيث يكون التعيين ( Phi (u، v) = (X (u، v)، Y (u، v)) ) هو انحراف بين (T ) و (S ).

لقد حذفنا الدليل - أنت & # 8217 ستبلي بلاءً حسنًا في حساب التفاضل والتكامل دون معرفة هذا الدليل.

يكون التحويل ((x، y) mapsto (2x + 3y، x-3y) ) خطيًا ، ويجب أن تكون صورة متوازي الأضلاع الأصلية متوازي أضلاع أيضًا. يتم تعيين الرأس ((0،0) ) إلى الرأس ((0،0) ) من متوازي الأضلاع الجديد. وبالمثل ، يتم تعيين ( left (1، frac13 right) ) إلى ((3،0) )، ( left ( frac43، frac19 right) mapsto (3،1) ) و ( left ( frac13، - frac29 right) mapsto (0،1) ).

من أجل العثور على اليعقوبي ، نحتاج إلى التعبير عن (x ) و (y ) من حيث (u ) و (v ). نقوم بذلك عن طريق حل النظام (u = x + 3y ) ، (v = y ) ، ونحصل على:

دلالة بواسطة (E ) متوازي الأضلاع مع الرؤوس ((0،0) ) ، ((3،0) ) ، ((3،1) ) ، و ((0،1) ). لقد بدأنا iint_D e ^ <2x + 3y> cdot cos (x-3y) ، dxdy & = & iint_E e ^ u cdot cos v cdot left | - frac19 right | ، dudv = frac19 iint_Ee ^ u cos v ، dudv & = & frac19 int_0 ^ 1 int_0 ^ 3e ^ u cos v ، dudv = frac19 int_0 ^ 1 left. left ( cos v cdot e ^ u right) right | _^، dv & = & frac19 int_0 ^ 1 left (e ^ 3-1 right) cdot cos v ، dv = frac9 cdot اليسار. الخطيئة ضد اليمين | _^ & = & frac < left (e ^ 3-1 right) cdot sin 1> <9>. end

تغيير المتغيرات في التكاملات الثلاثية

افترض أن (S، T subseteq mathbb R ^ 3 ) منطقتان في الفضاء. افترض أن هناك وظائف قابلة للتفاضل باستمرار (X: T to mathbb R ) ، (Y: T to mathbb R ) ، و (Z: T to mathbb R ) ، مثل تعيين ( Phi: T to S ) معرّف على أنه ( Phi (u، v، w) = (X (u، v، w)، Y (u، v، w)، Z (u، v ، w)) ) هو انحراف.

محذوف. رؤية أي كتاب تحليل حقيقي.

الاستبدالات القطبية والاسطوانية والكروية

سنقوم الآن بدراسة الاستبدالات المهمة جدًا التي تُستخدم لتبسيط عمليات التكامل على المجالات الدائرية والكروية والأسطوانية والبيضاوية. أحدهما قابل للتطبيق على التكامل المزدوج ويسمى التغيير القطبي للمتغيرات والآخران ، الأسطواني والكروي ، يستخدمان في التكامل الثلاثي.

الاستبدال القطبي

التغيير التالي للمتغيرات يسمى الاستبدال القطبي: start x & = & r cos theta y & = & r sin theta. نهاية اليعقوبي للاستبدال القطبي يساوي: [ فارك < جزئي (س ، ص)> < جزئي (ص ، ثيتا)> = ديت يسار | ابدأ cos theta & -r sin theta sin theta & r cos theta end الحق | = r cos ^ 2 ثيتا + r الخطيئة ^ 2 ثيتا = r. ]

المتغيرات (r ) و ( theta ) لها المعنى الهندسي في (س ص ) - نظام الإحداثيات. المسافة بين ((س ، ص) ) والأصل بدقة (r ) ، بينما ( ثيتا ) هي الزوايا بين (س ) - المحور والخط الذي يربط ((س ، y) ) مع ((0،0) ).

لنستخدم البديل التالي: start x & = & r cos theta y & = & r sin theta 0 leq & r & leq 3 0 leq & theta && lt 2 pi. نهاية التحويل ((r، theta) mapsto (r cos theta، r sin theta) ) هو انحياز بين المستطيل ([0،3] times [0،2 pi] ) في ((r، theta) ) - الطائرة وقرص نصف القطر (3 ).

بما أن (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 ) ، يصبح التكامل: start iint_D cos left (x ^ 2 + y ^ 2 right) ، dxdy & = & int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ 3 cos left (r ^ 2 right) cdot r ، drd ثيتا. نهاية للتكامل ( int_0 ^ 3 cos left (r ^ 2 right) r ، dr ) نستخدم الاستبدال (r ^ 2 = u ). ثم لدينا (r = sqrt u ) و (dr = frac1 <2 sqrt u> ، du ). تصبح حدود التكامل (0 leq u leq 9 ) ، والتكامل هو [ int_0 ^ 3 cos (r ^ 2) r ، dr = int_0 ^ 9 cos u cdot sqrt u cdot frac1 <2 sqrt u> ، du = frac12 int_0 ^ 9 cos u ، du = frac < sin 9> 2. ] لذلك ، [ iint_D cos left ( x ^ 2 + y ^ 2 right) ، dxdy = int_0 ^ <2 pi> frac < sin9> 2 ، d theta = sin 9 cdot pi. ]

عند التعامل مع الأشكال البيضاوية ، من الشائع جدًا استخدام الاستبدال القطبي المعدل. إذا كانت معادلة القطع الناقص هي ( frac+ فارك= 1 ) ، يتم استخدام الاستبدال التالي لوصف الجزء الداخلي: start x & = & ar cos theta y & = & br sin theta 0 leq & r & leq 1 0 leq & theta & leq 2 pi. نهاية

لنستخدم البديل التالي: start x & = & r cos theta y & = & r sin theta z & = & z 0 leq & r & leq 2 0 leq & theta && lt frac < pi> 4 0 leq & z & leq 4-r ^ 2. نهاية التحويل ((r، theta، z) mapsto (r cos theta، r sin theta، z) ) هو انحياز بين المادة الصلبة (B ) المعرفة على النحو التالي: [B = يسار <(r، theta، z): 0 leq r leq 2، 0 leq theta leq frac < pi> 4، 0 leq z leq 4-r ^ 2 right > ] في ((r، theta، z) ) - الفضاء والصلب (D ) من صياغة المشكلة.

بما أن (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 ) ، يصبح التكامل: start iiint_D e ^، dxdydz & = & int_0 ^ <2> int_0 ^ < frac < pi> 4> int_0 ^ <4-r ^ 2> e ^ cdot r ، dzd ثيتا dr & = & int_0 ^ <2> int_0 ^ < frac < pi> 4> e ^ cdot r (4-r ^ 2) ، d theta dr & = & frac < pi> 4 cdot int_0 ^ 2 r (4-r ^ 2) e ^،الدكتور. نهاية في التكامل الأخير نستخدم الاستبدال (r ^ 2 = u ). ثم لدينا (r = sqrt u ) و (dr = frac1 <2 sqrt u> ، du ). تصبح حدود التكامل (0 leq u leq 4 ) ، والتكامل هو [ int_0 ^ 2 r (4-r ^ 2) e ^، dr = int_0 ^ 4 sqrt u cdot (4-u) cdot e ^ u cdot frac1 <2 sqrt u> ، du = frac12 int_0 ^ 44e ^ u ، du- frac12 int_0 ^ 4ue ^ u ، du. ] المصطلح الأول على الجانب الأيمن يساوي (2 left (e ^ 4-1 right) ) ، وفي الثانية نستخدم التكامل بالأجزاء. نأخذ (f = u ) ، (dg = e ^ udu ) ، والذي يعطينا (g = e ^ u ) ويصبح التكامل: [ int_0 ^ 4ue ^ u ، du = left.ue ^ u right | _0 ^ 4- int_0 ^ 4e ^ u ، du = 4e ^ 4-e ^ 4 + 1. ] لذلك [ int_0 ^ 2r (4-r ^ 2) e ^، dr = 2e ^ 4-2-2e ^ 4 + frac2- frac12 = frac2، ] وبالتالي [ iiint_D e ^، dxdydz = frac < left (e ^ 4-5 right) pi> 8. ]

استبدال كروي

يعني الاستبدال الكروي استبدال المتغيرات الأصلية ((x، y، z) ) بالمتغيرات (( rho، theta، phi) ) ، حيث ( rho ) هي مسافة النقاط ((x، y، z) ) من الأصل ((0،0،0) ) ( theta ) هي الزاوية التي يربطها الخط ((0،0،0) ) و ((x ، y ، 0) ) النماذج ذات المحور (x ) ، و ( phi ) هي الزاوية بين (z ) - المحور والخط الذي يربط ((x ، y ، z) ) مع ((0،0،0) ). رياضيا ، المعادلات هي: ابدأ x & = & rho cos theta sin phi y & = & rho sin theta sin phi z & = & rho cos phi. نهاية يمكننا إيجاد اليعقوبي من خلال حساب المحدد المناسب: ابدأ فارك < جزئي (س ، ص ، ض)> < جزئي ( rho ، ثيتا ، phi)> & = & det يسار | ابدأ cos theta sin phi & - rho sin theta sin phi & rho cos theta cos phi sin theta sin phi & rho cos theta sin phi & rho sin theta cos phi cos phi & 0 & - rho sin phi end الحق | & = & - rho ^ 2 cos ^ 2 theta sin ^ 3 phi- rho ^ 2 sin ^ 2 theta sin phi cos ^ 2 phi- rho ^ 2 cos ^ 2 ثيتا الخطيئة phi cos ^ 2 phi- rho ^ 2 sin ^ 2 theta sin ^ 3 phi & = & - rho ^ 2 sin ^ 3 phi- rho ^ 2 sin phi cos ^ 2 phi = - rho ^ 2 sin phi. end نظرًا لأننا نستخدم القيمة المطلقة لـ Jacobian في تقييم التكامل ، و ( phi in left (0، frac < pi> 2 right) ) يكفي وأكثر ملاءمة لتذكر ذلك [ يسار | فارك < جزئي (س ، ص ، ض)> < جزئي ( rho ، ثيتا ، phi)> يمين | = rho ^ 2 sin phi. ]

لنستخدم البديل التالي: start x & = & rho cos theta sin phi y & = & rho sin theta sin phi z & = & rho cos phi 0 leq & rho & leq 3 0 leq & theta && lt frac < pi> 4 0 leq & phi & leq frac < pi> 2. نهاية أصبح تقييم التكامل الآن سهلاً لأنه أصبح مكملاً متكررًا في المتغيرات ( rho ) ، ( theta ) ، و ( phi ). يبدأ iiint_D e ^ < sqrt> ، dV & = & int_0 ^ <3> int_0 ^ < frac < pi> 4> int_0 ^ < frac < pi> 2> e ^ < rho> cdot rho ^ 2 cdot sin phi ، d phi d theta d rho = int_0 ^ 3 int_0 ^ < frac < pi> 4> e ^ < rho> cdot rho ^ 2 cdot left. يسار (- cos phi right) right | _ < phi = 0> ^ < phi = frac < pi> 2> ، d theta d rho & = & int_0 ^ 3 int_0 ^ < frac < pi> 4> e ^ < rho> cdot rho ^ 2 cdot 1 ، d theta d rho = frac < pi> 4 cdot int_0 ^ 3 rho ^ 2e ^ < rho> ، d rho. end في التكامل الأخير يمكننا استخدام التكامل بالأجزاء مع الوظائف (u = rho ^ 2 ) ، (d v = e ^ < rho> ، d rho ). ثم لدينا (du = 2 rho ، d rho ) ويمكننا أن نأخذ (v = e ^ < rho> ). يصبح التكامل: start int_0 ^ 3e ^ < rho> rho ^ 2 ، d rho = left. rho ^ 2e ^ < rho> right | _0 ^ 3-2 int_0 ^ 3 rho e ^ < rho > ، d rho & = & 9e ^ 3- left.2 rho e ^ < rho> right | 0 ^ <3> +2 int_0 ^ 3e ^ < rho> ، d rho = 9e ^ 3-6e ^ 3 + 2e ^ 3-2 = 5e ^ 3-2. نهاية وبالتالي فإن النتيجة النهائية هي: start iiint_D e ^ < sqrt> ، dV & = & frac < pi cdot left (5e ^ 3-2 right)> 4. نهاية


كيف تعمل الآلة الحاسبة المزدوجة المتكاملة

الآلة الحاسبة في هذه الصفحة تحسب التكامل المزدوج الخاص بك بشكل رمزي باستخدام نظام الجبر الحاسوبي. في التكامل الرمزي ، يستخدم الكمبيوتر قواعد الجبر والتكامل لأخذ المشتقة العكسية للدالة قبل تطبيق النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. من حيث الجوهر ، فإن التكامل الرمزي يتبع نفس الخطوات التي يتبعها الإنسان مع الورق والقلم الرصاص. لديها القدرة على تحقيق دقة الحلول شبه المثالية. الآلة الحاسبة في هذه الصفحة دقيقة إلى الحد الأدنى من الخانة العشرية الخامسة!

يسمى بديل استخدام التكامل الرمزي لحل التكاملات بالطرق العددية / التكامل. يؤدي الروتين العددي إصدارًا تقريبيًا صغيرًا نسبيًا من المشكلة عدة مرات حسب الضرورة للوصول إلى حل دقيق. بشكل عام ، يمكن للإجراءات العددية أن تحل مجموعة أكبر من المشكلات ولكنها قد تستغرق وقتًا أطول وربما تكون أقل دقة.


شاهد الفيديو: Triple Integrals - Calculus 3 (شهر نوفمبر 2021).