مقالات

10.3: حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية - الرياضيات


بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية
  • استخدم المميز للتنبؤ بعدد حلول المعادلة التربيعية
  • حدد أنسب طريقة لاستخدامها في حل المعادلة التربيعية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: ( frac {−20−5} {10} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. بسّط: (4+ sqrt {121} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. بسّط: ( sqrt {128} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

عندما حللنا المعادلات التربيعية في القسم الأخير بإكمال المربع ، اتخذنا نفس الخطوات في كل مرة. بنهاية مجموعة التمرين ، ربما كنت تتساءل "ألا توجد طريقة أسهل للقيام بذلك؟" الإجابة هي "نعم". في هذا القسم ، سنشتق ونستخدم صيغة للعثور على حل معادلة من الدرجة الثانية.

لقد رأينا بالفعل كيفية حل معادلة لمتغير معين "بشكل عام" بحيث نقوم بالخطوات الجبرية مرة واحدة فقط ثم نستخدم الصيغة الجديدة لإيجاد قيمة المتغير المحدد. الآن ، سنتناول خطوات إكمال المربع بشكل عام لحل معادلة تربيعية من أجل x. قد يكون من المفيد إلقاء نظرة على أحد الأمثلة في نهاية القسم الأخير حيث حللنا معادلة من النموذج (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) بينما تقرأ من خلال الخطوات الجبرية أدناه ، لذلك أنت رؤيتها بالأرقام وكذلك "بشكل عام".

نبدأ بالصيغة القياسية للمعادلة التربيعية ونحلها من أجل x بإكمال المربع. (فأس ^ 2 + ب س + ج = 0 )
افصل الحدود المتغيرة على جانب واحد. (فأس ^ 2 + ب س = − ج )
اجعل المعامل الأول 1 عن طريق القسمة على أ. ( frac {ax ^ 2} {a} + frac {b} {a} x = - frac {c} {a} )
تبسيط. (x ^ 2 + frac {b} {a} x = - frac {c} {a} )

لإكمال المربع ، ابحث عن (( frac {1} {2} · frac {b} {a}) ^ 2 ) وأضفه إلى جانبي المعادلة. (( frac {1} { 2} frac {b} {a}) ^ 2 = frac {b ^ 2} {4a ^ 2} )

(x ^ 2 + frac {b} {a} x + frac {b ^ 2} {4a ^ 2} = - frac {c} {a} + frac {b ^ 2} {4a ^ 2} )
الجانب الأيسر مربع كامل ، عامله. ((x + frac {b} {2a}) ^ 2 = - frac {c} {a} + frac {b ^ 2} {4a ^ 2} )
أوجد المقام المشترك للطرف الأيمن واكتب الكسور المتكافئة ذات المقام المشترك. ((x + frac {b} {2a}) ^ 2 = - frac {c · 4a} {a · 4a} + frac {b ^ 2} {4a ^ 2} )
تبسيط. ((x + frac {b} {2a}) ^ 2 = frac {b ^ 2} {4a ^ 2} - frac {4ac} {4a ^ 2} )
اجمع في كسر واحد. ((x + frac {b} {2a}) ^ 2 = frac {b ^ 2−4ac} {4a ^ 2} )
استخدم خاصية الجذر التربيعي. ((x + frac {b} {2a}) = pm sqrt { frac {b ^ 2−4ac} {4a ^ 2}} )
تبسيط. ((x + frac {b} {2a}) = pm frac { sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )
أضف (- frac {b} {2a} ) إلى طرفي المعادلة. (x = - frac {b} {2a} pm frac { sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )
اجمع الحدود على الجانب الأيمن. (x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )

هذه المعادلة الأخيرة هي الصيغة التربيعية.

التعريف: الصيغة التربيعية

يتم إعطاء حلول المعادلة التربيعية بالصيغة (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) ، (a ge 0 ) من خلال الصيغة:

(x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )

لاستخدام الصيغة التربيعية ، نعوض بقيم a و b و c في التعبير الموجود على الجانب الأيمن من الصيغة. بعد ذلك ، نقوم بكل العمليات الحسابية لتبسيط التعبير. تعطي النتيجة الحل (الحلول) للمعادلة التربيعية.

كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة التربيعية

مثال ( PageIndex {1} )

حل (2x ^ 2 + 9x − 5 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

مثال ( PageIndex {2} )

حل (3y ^ 2−5y + 2 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(y = frac {2} {3} ) ، (y = 1 )

مثال ( PageIndex {3} )

حل (4z ^ 2 + 2z − 6 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(z = - frac {3} {2} ) ، (z = 1 )

التعريف: حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة التربيعية

  1. اكتب الصيغة التربيعية في الصورة القياسية. حدد قيم aa و bb و cc.
  2. اكتب الصيغة التربيعية. ثم عوض بالقيم a و b و c.
  3. تبسيط.
  4. تحقق من الحلول.

إذا قلت المعادلة أثناء كتابتها في كل مسألة ، فستحفظها في لمح البصر. وتذكر أن الصيغة التربيعية هي معادلة. تأكد من البدء بـ " (x = )".

مثال ( PageIndex {5} )

حل (a ^ 2−2a − 15 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(أ = -3 ) (أ = 5 )

مثال ( PageIndex {6} )

حل (b ^ 2 + 10b + 24 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(ب = -6 ) (ب = -4 )

عندما حللنا المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي ، حصلنا أحيانًا على إجابات لها جذور. يمكن أن يحدث هذا أيضًا عند استخدام الصيغة التربيعية. إذا حصلنا على حل جذري ، فلا بد أن يكون الجذر في صورته المبسطة في الإجابة النهائية.

مثال ( PageIndex {8} )

حل (2p ^ 2 + 8p + 5 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(p = frac {−4 pm sqrt {6}} {2} )

مثال ( PageIndex {9} )

حل (5q ^ 2−11q + 3 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(q = frac {11 pm sqrt {61}} {10} )

مثال ( PageIndex {11} )

حل (3 م ^ 2 + 12 م + 7 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(m = frac {−6 pm sqrt {15}} {3} )

مثال ( PageIndex {12} )

حل (5n ^ 2 + 4n − 4 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(n = frac {−2 pm2 sqrt {6}} {5} )

لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. لذلك ، عندما نعوض بـ a و b و c في الصيغة التربيعية ، إذا كانت الكمية داخل الجذر سالبة ، فليس للمعادلة التربيعية حل حقيقي. سنرى هذا في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {14} )

حل (4a ^ 2−3a + 8 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

لا يوجد حل حقيقي

مثال ( PageIndex {15} )

حل (5b ^ 2 + 2b + 4 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

لا يوجد حل حقيقي

تمت كتابة جميع المعادلات التربيعية التي حللناها حتى الآن في هذا القسم بالشكل القياسي ، (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). في بعض الأحيان ، سنحتاج إلى القيام ببعض الجبر لتحويل المعادلة إلى الصيغة القياسية قبل أن نتمكن من استخدام الصيغة التربيعية.

مثال ( PageIndex {17} )

حل (x (x + 2) −5 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(س = −1 م sqrt {6} )

مثال ( PageIndex {18} )

حل (y (3y − 1) −2 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(y = - frac {2} {3} ) ، (y = 1 )

عندما حللنا المعادلات الخطية ، إذا كانت المعادلة تحتوي على عدد كبير جدًا من الكسور ، فإننا "مسحنا الكسور" بضرب جانبي المعادلة في شاشة LCD. أعطانا هذا معادلة مكافئة - بدون كسور - لحلها. يمكننا استخدام نفس الاستراتيجية مع المعادلات التربيعية.

مثال ( PageIndex {20} )

حل ( frac {1} {4} c ^ 2− frac {1} {3} c = frac {1} {12} ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(c = frac {2 pm sqrt {7}} {3} )

مثال ( PageIndex {21} )

حل ( frac {1} {9} d ^ 2− frac {1} {2} d = - frac {1} {2} ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(د = فارك {3} {2} ) ، (د = 3 )

فكر في المعادلة ((x − 3) ^ 2 = 0 ). نعلم من مبدأ المنتجات الصفرية أن هذه المعادلة لها حل واحد فقط: (س = 3 ).

سنرى في المثال التالي كيف أن استخدام الصيغة التربيعية لحل معادلة بمربع كامل يعطي أيضًا حلًا واحدًا فقط.

مثال ( PageIndex {23} )

حل (r ^ 2 + 10r + 25 = 0 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(ص = −5 )

مثال ( PageIndex {24} )

حل (25t ^ 2−40t = −16 ) باستخدام الصيغة التربيعية.

إجابه

(t = فارك {4} {5} )

استخدم التمييز للتنبؤ بعدد حلول معادلة من الدرجة الثانية

عندما حللنا المعادلات التربيعية في الأمثلة السابقة ، حصلنا أحيانًا على حلين ، وأحيانًا حل واحد ، وأحيانًا لا توجد حلول حقيقية. هل هناك طريقة للتنبؤ بعدد حلول المعادلة التربيعية دون حل المعادلة فعليًا؟

نعم ، الكمية الموجودة داخل الجذر في الصيغة التربيعية تجعل من السهل علينا تحديد عدد الحلول. هذه الكمية تسمى مميز.

التعريف: التمييز

في الصيغة التربيعية (x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ) ، تسمى الكمية (b ^ 2−4ac ) مميز.

دعونا نلقي نظرة على مميز المعادلات في مثال, مثال، و مثال، وعدد حلول تلك المعادلات التربيعية.

معادلة من الدرجة الثانية (في شكل قياسي)مميز (ب ^ 2−4ac )علامة التمييزرقم الحل الحقيقي
مثال (2 س ^ 2 + 9 س − 5 = 0 )(9^2−4·2(−5)=121)+2
مثال (4x ^ 2−20x + 25 = 0 )((−20)^2−4·4·25=0)01
مثال (3 ص ^ 2 + 2 ص + 9 = 0 )(2^2−4·3·9=−104)0

عندما يكون المميز إيجابي (x = frac {−b pm sqrt {+}} {2a} ) تحتوي المعادلة التربيعية على حلين.

عندما يكون المميز صفر (x = frac {−b pm sqrt {0}} {2a} ) تحتوي المعادلة التربيعية على حل واحد.

عندما يكون المميز نفي (x = frac {−b pm sqrt {-}} {2a} ) تحتوي المعادلة التربيعية على لا توجد حلول حقيقية.

التعريف: استخدم المحدد ، (b ^ 2−4ac ) ، لتحديد عدد حلول المعادلة التربيعية

للمعادلة التربيعية بالصيغة (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) ، (a ge 0 ) ،

  • إذا (b ^ 2−4ac> 0 ) ، فإن المعادلة لها حلين.
  • إذا كان (b ^ 2−4ac = 0 ) ، فإن المعادلة لها حل واحد.
  • إذا (b ^ 2−4ac <0 ) ، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.

مثال ( PageIndex {25} )

حدد عدد الحلول لكل معادلة تربيعية:

  1. (2v ^ 2−3v + 6 = 0 )
  2. (3 س ^ 2 + 7 س − 9 = 0 )
  3. (5 ن ^ 2 + ن + 4 = 0 )
  4. (9y ^ 2−6y + 1 = 0 )
إجابه

1.

(2v ^ 2−3v + 6 = 0 )
المعادلة في شكل قياسي ، حدد أ ، ب ، ج. (أ = 2 ) (ب = -3 ) (ج = 6 )
اكتب المميز. (ب ^ 2−4ac )
عوّض بقيم a، b، c.((3)^2−4·2·6)
تبسيط.

(9−48)

(−39)

نظرًا لأن المميز سالب ، فلا توجد حلول حقيقية للمعادلة.

2.

(3 س ^ 2 + 7 س − 9 = 0 )
المعادلة في شكل قياسي ، حدد أ ، ب ، ج. (أ = 3 ) ، (ب = 7 ) ، (ج = -9 )
اكتب المميز. (ب ^ 2−4ac )
عوّض بقيم a، b، c.((7)^2−4·3·(−9))
تبسيط.

(49+108)

(157)

نظرًا لأن المميز موجب ، فهناك حلان للمعادلة.

3.

(5 ن ^ 2 + ن + 4 = 0 )
المعادلة في شكل قياسي ، حدد أ ، ب ، ج. (أ = 5 ) (ب = 1 ) (ج = 4 )
اكتب المميز. (ب ^ 2−4ac )
عوّض بقيم a، b، c.((1)^2−4·5·4)
تبسيط.

(1−80)

(−79)

نظرًا لأن المميز سالب ، فلا توجد حلول حقيقية للمعادلة.

4.

(9y ^ 2−6y + 1 = 0 )
المعادلة في شكل قياسي ، حدد أ ، ب ، ج. (أ = 9 ) (ب = -6 ) (ج = 1 )
اكتب المميز. (ب ^ 2−4ac )
عوّض بقيم a، b، c.((−6)^2−4·9·1)
تبسيط.

(36−36)

(0)

نظرًا لأن المميز هو 0 ، فهناك حل واحد للمعادلة.

مثال ( PageIndex {26} )

حدد عدد الحلول لكل معادلة تربيعية:

  1. (8 م ^ 2−3 م + 6 = 0 )
  2. (5z ^ 2 + 6z − 2 = 0 )
  3. (9 واط ^ 2 + 24 واط + 16 = 0 )
  4. (9u ^ 2−2u + 4 = 0 )
إجابه
  1. لا توجد حلول حقيقية
  2. 2
  3. 1
  4. لا توجد حلول حقيقية

مثال ( PageIndex {27} )

حدد عدد الحلول لكل معادلة تربيعية:

  1. (ب ^ 2 + 7 ب − 13 = 0 )
  2. (5a ^ 2−6a + 10 = 0 )
  3. (4r ^ 2−20r + 25 = 0 )
  4. (7 طن ^ 2−11 طن + 3 = 0 )
إجابه
  1. 2
  2. لا توجد حلول حقيقية
  3. 1
  4. 2

حدد الطريقة الأنسب لاستخدامها في حل معادلة من الدرجة الثانية

استخدمنا أربع طرق لحل المعادلات التربيعية:

  • التخصيم
  • خاصية الجذر التربيعي
  • استكمال الساحة
  • الصيغة التربيعية

يمكنك حل أي معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة التربيعية ، لكن هذه ليست دائمًا أسهل طريقة للاستخدام.

التعريف: حدد الطريقة الأكثر ملاءمة لحل معادلة من الدرجة الثانية.

  1. يحاول التخصيم أول. إذا كانت العوامل التربيعية سهلة ، فهذه الطريقة سريعة جدًا.
  2. جرب ال خاصية الجذر التربيعي التالي. إذا كانت المعادلة تناسب النموذج (ax ^ 2 = k ) أو (a (x − h) ^ 2 = k ) ، فيمكن حلها بسهولة باستخدام خاصية الجذر التربيعي.
  3. استخدم ال الصيغة التربيعية. يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام الصيغة التربيعية.

ماذا عن طريقة استكمال المربع؟ يجد معظم الناس أن هذه الطريقة مرهقة ويفضلون عدم استخدامها. احتجنا إلى تضمينه في هذا الفصل لأننا أكملنا المربع بشكل عام لاشتقاق الصيغة التربيعية. ستستخدم أيضًا عملية إكمال المربع في مناطق الجبر الأخرى.

مثال ( PageIndex {28} )

حدد الطريقة الأنسب لاستخدامها في حل كل معادلة من الدرجة الثانية:

  1. (5 ز ^ 2 = 17 )
  2. (4x ^ 2−12x + 9 = 0 )
  3. (8 ش ^ 2 + 6 ش = 11 )
إجابه

1. (5z ^ 2 = 17 )

نظرًا لأن المعادلة موجودة في (ax ^ 2 = k ) ، فإن الطريقة الأنسب هي استخدام خاصية الجذر التربيعي.

2. (4x ^ 2−12x + 9 = 0 )

ندرك أن الجانب الأيسر من المعادلة عبارة عن مربع كامل ثلاثي الحدود ، وبالتالي فإن التحليل هو الطريقة الأنسب.

3. (8 ش ^ 2 + 6 ش = 11 )

ضع المعادلة في الشكل القياسي. (8 ش ^ 2 + 6 ش − 11 = 0 )

في حين أن فكرتنا الأولى قد تكون محاولة التحليل ، فإن التفكير في كل احتمالات التجربة والخطأ يقودنا إلى اختيار الصيغة التربيعية باعتبارها الطريقة الأكثر ملاءمة.

مثال ( PageIndex {29} )

حدد الطريقة الأنسب لاستخدامها في حل كل معادلة من الدرجة الثانية:

  1. (س ^ 2 + 6 س + 8 = 0 )
  2. ((ن − 3) ^ 2 = 16 )
  3. (5 ص ^ 2−6 ع = 9 )
إجابه
  1. عامل
  2. خاصية الجذر التربيعي
  3. الصيغة التربيعية

مثال ( PageIndex {30} )

حدد الطريقة الأنسب لاستخدامها في حل كل معادلة من الدرجة الثانية:

  1. (8 أ ^ 2 + 3 أ − 9 = 0 )
  2. (4 ب ^ 2 + 4 ب + 1 = 0 )
  3. (5c2 = 125 )
إجابه
  1. الصيغة التربيعية
  2. التخصيم
  3. خاصية الجذر التربيعي

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية باستخدام الصيغة التربيعية:

  • حل المعادلات التربيعية: حل المعادلات التربيعية
  • كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية في شكل قياسي باستخدام الصيغة التربيعية (مثال)
  • حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية - مثال 3
  • حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية

المفاهيم الرئيسية

  • الصيغة التربيعية يتم إعطاء حلول المعادلة التربيعية بالصيغة (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) ، (a ge 0 ) من خلال الصيغة:

    (x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )

  • حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة التربيعية
    لحل معادلة تربيعية باستخدام الصيغة التربيعية.
    1. اكتب الصيغة التربيعية في الصورة القياسية. حدد قيم أ ، ب ، ج.
    2. اكتب الصيغة التربيعية. ثم عوض بقيم أ ، ب ، ج.
    3. تبسيط.
    4. تحقق من الحلول.
  • باستخدام المميز ، (b ^ 2−4ac ) ، لتحديد عدد حلول معادلة من الدرجة الثانية
    للمعادلة التربيعية بالصيغة (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) ، (a ge 0 ) ،
    • إذا (b ^ 2−4ac> 0 ) ، فإن المعادلة لها حلين.
    • إذا (b ^ 2−4ac = 0 ) ، فإن المعادلة لها حل واحد.
    • إذا (b ^ 2−4ac <0 ) ، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.
  • لتحديد أنسب طريقة لحل المعادلة التربيعية:
    1. جرب التخصيم أولاً. إذا كانت العوامل التربيعية سهلة فهذه الطريقة سريعة جدًا.
    2. جرب خاصية الجذر التربيعي بعد ذلك. إذا كانت المعادلة تناسب النموذج (ax ^ 2 = k ) أو (a (x − h) ^ 2 = k ) ، فيمكن حلها بسهولة باستخدام خاصية الجذر التربيعي.
    3. استخدم الصيغة التربيعية. من الأفضل حل أي معادلة تربيعية أخرى باستخدام الصيغة التربيعية.

قائمة المصطلحات

مميز
في الصيغة التربيعية ، (x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ) تسمى الكمية (b ^ 2−4ac ) المميز.


شاهد الفيديو: حل المعادلة التربيعية بالتحليل (شهر نوفمبر 2021).