مقالات

2.4: الوظيفة المشتقة - الرياضيات


لقد رأينا كيفية إنشاء أو اشتقاق دالة جديدة (f '(x) ) من دالة (f (x) ) ، وأن هذه الوظيفة الجديدة تحمل معلومات مهمة. في أحد الأمثلة ، رأينا أن (f '(x) ) يخبرنا بمدى انحدار الرسم البياني لـ (f (x) ) ؛ في حالة أخرى رأينا أن (f '(x) ) يخبرنا بسرعة الجسم إذا كان (f (x) ) يخبرنا عن موضع الكائن في الوقت (x ). كما قلنا سابقًا ، هذه الفكرة الرياضية نفسها مفيدة عندما تمثل (f (x) ) كمية متغيرة ونريد أن نعرف شيئًا عن كيفية تغيرها ، أو تقريبًا ، "المعدل" الذي تتغير به. معظم الوظائف التي تمت مصادفتها في الممارسة العملية يتم إنشاؤها من مجموعة صغيرة من الوظائف "البدائية" بعدة طرق بسيطة ، على سبيل المثال ، عن طريق إضافة أو مضاعفة الوظائف معًا للحصول على وظائف جديدة أكثر تعقيدًا. للاستفادة الجيدة من المعلومات التي قدمتها (f '(x) ) ، نحتاج إلى أن نكون قادرين على حسابها لمجموعة متنوعة من هذه الوظائف.

سنبدأ في استخدام رموز مختلفة لمشتقة الدالة. على الرغم من كونه محيرًا في البداية ، إلا أنه غالبًا ما يكون مفيدًا ، لذا من المفيد الاحتفاظ بنسخ متعددة من نفس الشيء.

ضع في اعتبارك مرة أخرى الوظيفة (f (x) = sqrt {625-x ^ 2} ). لقد حسبنا المشتق (f '(x) = - x / sqrt {625-x ^ 2} ) ، ولاحظنا بالفعل أننا إذا استخدمنا الترميز البديل (y = sqrt {625-x ^ 2} ) ثم نكتب (y '= - x / sqrt {625-x ^ 2} ). هناك طريقة أخرى مختلفة تمامًا ، وسيتضح مع مرور الوقت سبب كونها مفيدة في كثير من الأحيان. تذكر أنه لحساب مشتق (f ) قمنا بحساب ( lim _ { Delta x to0} { sqrt {625- (7+ Delta x) ^ 2} - 24 over Delta x} . ) يقيس المقام هنا المسافة في اتجاه (س ) ، تسمى أحيانًا "الجري" ، ويقيس البسط المسافة في اتجاه (ص ) ، والتي تسمى أحيانًا "الارتفاع" ، و "الارتفاع على المدى" هو منحدر الخط.

تذكر أنه في بعض الأحيان يتم اختصار هذا البسط ( Delta y ) ، مع استبدال الإيجاز بتعبير أكثر تفصيلاً. بشكل عام ، يتم إعطاء المشتق بواسطة (y '= lim _ { Delta x to0} { Delta y over Delta x}. ) لاستدعاء شكل الحد ، نقول أحيانًا بدلاً من ذلك ({dy over dx} = lim _ { Delta x to0} { Delta y over Delta x}. ) بعبارة أخرى ، (dy / dx ) هو رمز آخر للمشتق ، وهو يذكرنا أنه مرتبط بميل فعلي بين نقطتين. هذا التدوين يسمى تدوين لايبنيز، بعد جوتفريد لايبنيز ، الذي طور أساسيات حساب التفاضل والتكامل بشكل مستقل ، في نفس الوقت تقريبًا الذي فعله إسحاق نيوتن. مرة أخرى ، نظرًا لأننا غالبًا ما نستخدم (f ) و (f (x) ) للإشارة إلى الوظيفة الأصلية ، فإننا نستخدم أحيانًا (df / dx ) و (df (x) / dx ) للإشارة إلى مشتق. إذا كانت الوظيفة (f (x) ) مكتوبة بالكامل ، فغالبًا ما نكتب آخرها شيئًا مثل هذا (f '(x) = {d over dx} sqrt {625-x ^ 2} ) بوظيفة مكتوبة على الجانب ، بدلاً من محاولة وضعها في البسط.

مثال 2.4.1

أوجد مشتق (y = f (t) = t ^ 2 ).

المحلول

نحن نحسب

[ eqalign {y '= lim _ { Delta t to0} { Delta y over Delta t} & = lim _ { Delta t to0} {(t + Delta t) ^ 2-t ^ 2 over Delta t} cr & = lim _ { Delta t to0} {t ^ 2 + 2t Delta t + Delta t ^ 2-t ^ 2 over Delta t} cr & = lim _ { Delta t to0} {2t Delta t + Delta t ^ 2 over Delta t} cr & = lim _ { Delta t to0} 2t + Delta t = 2t. cr} ]

تذكر أن ( Delta t ) هي كمية مفردة ، وليست " ( Delta ) '' ضرب" (t ) '' ، وبالتالي ( Delta t ^ 2 ) هي ( ( Delta t) ^ 2 ) ليس ( Delta (t ^ 2) ).

مثال 2.4.2

أوجد مشتق (y = f (x) = 1 / x ).

المحلول

الحساب:

[ eqalign {y '= lim _ { Delta x to0} { Delta y over Delta x} & = lim _ { Delta x to0} {{1 over x + Delta x} - { 1 over x} over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {{x over x (x + Delta x)} - {x + Delta x over x (x + Delta x )} over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {{x- (x + Delta x) over x (x + Delta x)} over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {xx- Delta x over x (x + Delta x) Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {- Delta x over x (x + Delta x) Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {-1 over x (x + Delta x)} = {- 1 over x ^ 2} cr} ]

ملحوظة

إذا كنت تعرف بعض "الصيغ المشتقة" من دورة سابقة ، فيجب أن تتظاهر في الوقت الحالي أنك لا تعرفها. في أمثلة مثل تلك المذكورة أعلاه والتمارين أدناه ، أنت مطالب بمعرفة كيفية العثور على صيغة مشتقة تبدأ من المبادئ الأساسية. سنقوم لاحقًا بتطوير بعض الصيغ بحيث لا نحتاج دائمًا إلى إجراء مثل هذه الحسابات ، لكننا سنظل بحاجة إلى معرفة كيفية القيام بالحسابات الأكثر ارتباطًا.

أحيانًا يصادف المرء نقطة في مجال الوظيفة (y = f (x) ) حيث توجد لا مشتق، لأنه لا يوجد خط مماس. من أجل أن يكون مفهوم خط المماس عند نقطة ما منطقيًا ، يجب أن يكون المنحنى "سلسًا" عند هذه النقطة. وهذا يعني أنه إذا تخيلت جسيمًا يسير بسرعة ثابتة على طول المنحنى ، فإن الجسيم لا يفعل ذلك تجربة تغيير مفاجئ في الاتجاه. هناك نوعان من المواقف التي يجب أن تكون على دراية بها - الزوايا والشرفات - حيث يكون هناك تغيير مفاجئ في الاتجاه وبالتالي لا يوجد مشتق.

مثال 2.4.3

ناقش مشتق دالة القيمة المطلقة (y = f (x) = | x | ).

المحلول

إذا كانت (x ) موجبة ، فهذه هي الوظيفة (y = x ) ، مشتقها هو الثابت 1. (تذكر ذلك عندما (y = f (x) = mx + b ) ، المشتق هو المنحدر (م ).)

إذا كانت (x ) سالبة ، فإننا نتعامل مع الدالة (y = -x ) ، مشتقها هو الثابت (- 1 ).

إذا كان (س = 0 ) ، فإن الوظيفة لها زاوية ، أي لا يوجد خط مماس. يجب أن يشير خط المماس في اتجاه المنحنى - ولكن هناك اثنين اتجاهات المنحنى التي تجتمع في الأصل. يمكننا تلخيص هذا على النحو

[y '= cases {1 & text {if $ x> 0 $؛} cr -1 & text {if $ x <0 $؛} cr text {undefined} & text {if $ x = 0 دولار.} cr} ]

مثال 2.4.4

ناقش مشتق الدالة (y = x ^ {2/3} ) الموضحة في الشكل 2.4.1.

المحلول

سنرى لاحقًا كيفية حساب هذا المشتق ؛ نستخدم الآن حقيقة أن (y '= (2/3) x ^ {- 1/3} ). من الناحية المرئية ، تبدو هذه إلى حد كبير مثل دالة القيمة المطلقة ، لكنها من الناحية الفنية لها حد ، وليس زاوية. لا تحتوي دالة القيمة المطلقة على خط مماس عند 0 لأن هناك (على الأقل) متنافسان واضحان - الخط المماس للجانب الأيسر من المنحنى والخط المماس للجانب الأيمن. لا تحتوي الدالة (y = x ^ {2/3} ) على خط مماس عند 0 ، ولكن على عكس دالة القيمة المطلقة ، يمكن القول أن لها اتجاهًا واحدًا: عندما نقترب من الصفر من أي جانب ، فإن خط الظل يصبح أقرب وأقرب إلى الخط العمودي ؛ يكون المنحنى عموديًا عند 0. ولكن كما في السابق ، إذا تخيلت السفر على طول المنحنى ، فإن التغيير المفاجئ في الاتجاه مطلوب عند 0: دوران كامل بمقدار 180 درجة.

الشكل 2.4.1. حد على (x ^ {2/3} ).

من الناحية العملية ، لن نقلق كثيرًا بشأن التمييز بين هذه الأمثلة ؛ في كلتا الحالتين ، يكون للوظيفة "نقطة حادة" حيث لا يوجد خط مماس ولا مشتق.


المشتق الثاني

اقرأ المزيد عن المشتقات إذا كنت لا تعرف بالفعل ما هي!

"المشتق الثاني" هو مشتق من مشتق دالة. وبالتالي:

غالبًا ما يتم عرض المشتق بعلامة تجزئة صغيرة: و (س)

يظهر المشتق الثاني مع اثنين علامات التجزئة مثل هذا: و '' (x)

مثال: f (x) = x 3

إذن ، المشتق الثاني لـ f (x) هو 6x:

يمكن أيضًا إظهار المشتق على شكل دىdx
والمشتق الثاني موضح بالشكل د 2 ذDX 2

مثال: (تابع)

يمكن كتابة المثال السابق على النحو التالي:

دىdx = 3 س 2

د 2 ذDX 2 = 6x


محتويات

أمثلة.

1) $ theta ^ prime = delta $ ، حيث $ theta $ هو دالة Heaviside و $ delta $ هو دالة Dirac (راجع Delta-function لكليهما).

2) الحل العام للمعادلة $ u ^ prime = 0 $ في الصنف $ D ^ prime $ هو ثابت عشوائي.

$ sum _ ^ infty a _ ه ^ ، | أ _ | leq A (1 + | ك |) ^ , $

يتقارب في $ D ^ prime $ ويمكن تمييزه مصطلحًا تلو الآخر في $ D ^ prime $ بلا حدود مرات عديدة.


تمارين 2.4

مثال 2.4.1 أوجد مشتق $ ds y = f (x) = sqrt <169-x ^ 2> $. (إجابه)

المثال 2.4.2 أوجد مشتق $ ds y = f (t) = 80-4.9t ^ 2 $. (إجابه)

مثال 2.4.3 أوجد مشتق $ ds y = f (x) = x ^ 2- (1 / x) $. (إجابه)

مثال 2.4.4 أوجد مشتق $ ds y = f (x) = ax ^ 2 + bx + c $ (حيث $ a $ و $ b $ و $ c $ ثوابت). (إجابه)

مثال 2.4.5 أوجد مشتق $ ds y = f (x) = x ^ 3 $. (إجابه)

تمرين أوجد مشتق $ ds y = f (x) = 2 / sqrt <2x + 1> $ answer $ ds -2 / (2x + 1) ^ <3/2> $ endanswer

تمرين أوجد مشتق $ y = g (t) = (2t-1) / (t + 2) $ answer $ ds 5 / (t + 2) ^ 2 $ endanswer

تمرين أوجد معادلة لخط المماس للرسم البياني $ ds f (x) = 5-x-3x ^ 2 $ عند النقطة $ x = 2 $ answer $ y = -13x + 17 $ endanswer

تمرين أوجد قيمة $ a $ بحيث يكون للرسم البياني $ ds f (x) = x ^ 2 + ax-3 $ خط مماس أفقي عند $ x = 4 $. answer $ -8 $ endanswer


مشتقات الدوال الأسية - المشكلة 2

كانت نورم في المركز الرابع في بطولة الولايات المتحدة الأمريكية لرفع الأثقال لعام 2004! لا يزال يتدرب ويتنافس من حين لآخر ، على الرغم من جدول أعماله المزدحم.

تذكر أن مشتق e x هو نفسه e x. لذلك ، باستخدام قاعدة الجمع ، يمكنك حساب مشتق دالة تتضمن مصطلحًا أسيًا. على سبيل المثال ، دع f (x) = 7x 3 -8x 2 + 2 + 4e x. باستخدام قاعدة الأس ، يكون مشتق 7x 3 هو 3 * 7x 2 = 21x 2 ، ومشتق -8x 2 هو 2 * (- 8) x = -16x ، ومشتق 2 هو 0. ثم ، باستخدام what نعرف عن مشتقة ex ، فنحن نعلم أن مشتقة 4e x هي ببساطة 4e x. إذن ، مشتق الدالة بأكملها هو f '(x) = 21x 2 -16x + 4e x.

دعنا نتحدث عن مشتق دالة أسية خاصة من e إلى x. تتذكر الآن أن مشتقة الدالة الأسية a أس x هي lna في a أس x. بالنسبة للأساس e ، سيكون هذا ln لـ e في e أس x. بالطبع Ln لـ e هو 1 لأن e هو أساس اللوغاريثم الطبيعي.

إذن هذه هي الدالة التي يكون مشتقها هو نفسه. مشتق e أس x هو e أس x. هذا شيء مهم جدًا بخصوص e أس x. لنأخذ هذا ونستخدمه في المشكلة. تقول المشكلة ، لإيجاد معادلة الخط المماس لمنحنى f (x) تساوي e أس x عند x يساوي 0 ورسم خط المماس.

إذا كنت تريد العثور على خط ظل ، فأنت بحاجة إلى شيئين. تحتاج أولاً إلى نقطة التماس وثانيًا المنحدر. لذلك دعونا نجد نقطة التماس أولاً. نعلم أننا أردنا x يساوي 0 ، سنحتاج إلى f لـ 0 إذن. وهذا هو e إلى 0. سيكون هذا فقط 1.

إذن ، نقطة التماس هي x يساوي 0 ، و y يساوي 1. ثانيًا ، نحتاج إلى الميل ، وبالتالي نحتاج إلى مشتقة e أس x. بالطبع هذا مجرد حرف e إلى x. ومن ثم فإن الميل عند x يساوي 0 سيكون e أس 0 ، وهو ما يساوي 1. وهذا هو الميل.

ومن أجل الحصول على معادلة المماس ، أستخدم نقطة الميل. ص ناقص إحداثي ص يساوي الميل مضروبًا في س ناقص إحداثي س. وهذه هي المعادلة على منحدر النقطة. يمكن تبسيط هذا كثيرًا إذا وضعته في تقاطع الميل. إذن هذا سيكون س ولدي زائد 1. ص يساوي س زائد 1.

هذه هي معادلة خط المماس. اسمحوا لي فقط أن أريكم كيف يبدو الرسم البياني للخط. هذا هو التمثيل البياني لـ y يساوي e أس x. نقطة التماس هي 0.1 ، هذه النقطة هنا. لذا اسمحوا لي أن أرسم الخط.

هناك خط المماس الخاص بي هناك. هناك نذهب. Y يساوي x زائد 1 ، وهذا هو مماس y يساوي e أس x عند 0،1.


2.4: الوظيفة المشتقة - الرياضيات

قبل الانتقال إلى القسم حيث نتعلم كيفية حساب المشتقات عن طريق تجنب الحدود التي كنا نقيمها في القسم السابق ، نحتاج إلى إلقاء نظرة سريعة على بعض تفسيرات المشتقات. تنشأ كل هذه التفسيرات من تذكر كيفية ظهور تعريفنا للمشتق. جاء التعريف من خلال ملاحظة أن جميع المشكلات التي عملناها في القسم الأول في فصل "تحديدات" تطلبت منا تقييم نفس الحد.

معدل التغيير

التفسير الأول للمشتق هو معدل التغيير. لم تكن هذه هي المشكلة الأولى التي بحثناها في فصل Limits ، لكنها أهم تفسير للمشتق. إذا كان (f left (x right) ) يمثل كمية في أي (x ) فإن المشتق (f ' left (a right) ) يمثل معدل التغيير اللحظي لـ (f ) يسار (س يمين) ) في (س = أ ).

  1. هل حجم الماء في الخزان يتزايد أم يتناقص عند (t = 1 ) دقيقة؟
  2. هل حجم الماء في الخزان يتزايد أم يتناقص عند (t = 5 ) دقيقة؟
  3. هل يتغير حجم الماء في الخزان بشكل أسرع عند (t = 1 ) أو (t = 5 ) دقيقة؟
  4. هل حجم الماء في الخزان لا يتغير أبدًا؟ إذا كان الأمر كذلك ، فمتى؟

في حل هذا المثال ، سنستخدم كلا الترميزين للمشتق لمجرد تعريفك بالرموز المختلفة.

سنحتاج إلى معدل تغير الحجم للإجابة على هذه الأسئلة. هذا يعني أننا سنحتاج إلى مشتق هذه الوظيفة لأن ذلك سيعطينا صيغة لمعدل التغيير في أي وقت (t ). الآن ، لاحظ أن الوظيفة التي تعطي حجم الماء في الخزان هي نفس الوظيفة التي رأيناها في المثال 1 في القسم الأخير باستثناء الأحرف التي تغيرت. لن يؤثر التغيير في الأحرف بين الوظيفة في هذا المثال مقابل الوظيفة في المثال من القسم الأخير على العمل ولذا يمكننا فقط استخدام الإجابة من هذا المثال مع تغيير مناسب في الأحرف.

تذكر من عملنا في قسم الحدود الأول أننا قررنا أنه إذا كان معدل التغيير موجبًا ، فإن الكمية تتزايد وإذا كان معدل التغيير سالبًا فإن الكمية تتناقص.

يمكننا الآن حل المشكلة.

في هذه الحالة كل ما نحتاجه هو معدل تغير الحجم عند (t = 1 ) أو ،

لذلك ، عند (t = 1 ) يكون معدل التغيير سالبًا وبالتالي يجب أن ينخفض ​​الحجم في هذا الوقت.

مرة أخرى ، سنحتاج إلى معدل التغيير عند (t = 5 ).

في هذه الحالة يكون معدل التغيير موجبًا وبالتالي يجب أن يزداد الحجم عند (t = 5 ).

للإجابة على هذا السؤال كل ما ننظر إليه هو حجم معدل التغيير ولا نقلق بشأن علامة معدل التغيير. كل ما نحتاج إلى معرفته هنا هو أنه كلما زاد العدد زادت سرعة معدل التغيير. لذلك ، في هذه الحالة ، يتغير مستوى الصوت بشكل أسرع عند (t = 1 ) منه عند (t = 5 ).

لن يتغير الحجم إذا كان معدل التغير فيه صفرًا. من أجل الحصول على معدل تغير يساوي صفرًا ، هذا يعني أن المشتق يجب أن يكون صفرًا. إذن ، للإجابة على هذا السؤال ، سنحتاج بعد ذلك إلى الحل

هذا من السهل القيام به.

[4t - 16 = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> t = 4 ]

لذلك في (t = 4 ) لا يتغير حجم الصوت. لاحظ أن كل ما يقوله هذا هو أن الحجم لا يتغير للحظة وجيزة. لا يذكر أنه في هذه المرحلة سيتوقف مستوى الصوت عن التغيير بشكل دائم.

إذا رجعنا إلى إجاباتنا من الجزأين (أ) و (ب) ، فيمكننا الحصول على فكرة عما يجري. عند (t = 1 ) يتناقص الحجم وعند (t = 5 ) يتزايد الحجم. لذلك ، في وقت ما يحتاج الحجم للتبديل من التناقص إلى الزيادة. هذا الوقت هو (t = 4 ).

هذا هو الوقت الذي ينتقل فيه الحجم من التناقص إلى الزيادة ، وهكذا لأقصر لحظة من الزمن ، سيتوقف مستوى الصوت عن التغيير حيث يتغير من التناقص إلى الزيادة.

لاحظ أن أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا التي يرتكبها الطلاب في هذه الأنواع من المشكلات هو محاولة تحديد الزيادة / النقصان من قيم الوظيفة بدلاً من المشتقات. في هذه الحالة ، إذا أخذنا قيم الوظيفة في (t = 0 ) ، (t = 1 ) و (t = 5 ) فسنحصل على ،

[V left (0 right) = 35 hspace <0.5in> V left (1 right) = 21 hspace <0.5in> V left (5 right) = 5 ]

من الواضح أننا ننتقل من (t = 0 ) إلى (t = 1 ) انخفض مستوى الصوت. قد يقودنا هذا إلى أن نقرر أن مستوى الصوت في (t = 1 ) آخذ في الانخفاض. ومع ذلك ، لا يمكننا قول ذلك. كل ما يمكننا قوله هو أنه بين (t = 0 ) و (t = 1 ) انخفض مستوى الصوت في وقت ما. الطريقة الوحيدة لمعرفة ما يحدث في (t = 1 ) هي حساب (V ' left (1 right) ) والنظر إلى علامته لتحديد الزيادة / النقصان. في هذه الحالة (V ' left (1 right) ) سالب وبالتالي فإن الحجم يتناقص بالفعل عند (t = 1 ).

الآن ، إذا قمنا بالتعويض بالدالة بدلاً من المشتق ، فسنحصل على الإجابة الصحيحة لـ (t = 1 ) على الرغم من أن منطقنا سيكون خاطئًا. من المهم ألا تدع هذا يعطيك فكرة أن هذا هو الحال دائمًا. لقد حدث للتو في حالة (t = 1 ).

لنرى أن هذا لن يعمل دائمًا ، دعنا الآن نلقي نظرة على (t = 5 ). إذا قمنا بتوصيل (t = 1 ) و (t = 5 ) في وحدة التخزين ، يمكننا أن نرى ذلك مرة أخرى عندما ننتقل من (t = 1 ) إلى (t = 5 ) انخفض مستوى الصوت. مرة أخرى ، ولكن كل ما يقوله هذا هو أن الحجم قد انخفض في مكان ما بين (t = 1 ) و (t = 5 ). لا تقول أن الحجم يتناقص عند (t = 5 ). الطريقة الوحيدة لمعرفة ما يجري على اليمين عند (t = 5 ) هي حساب (V ' left (5 right) ) وفي هذه الحالة (V' left (5 right) ) موجب وبالتالي فإن الحجم يتزايد بالفعل عند (t = 5 ).

لذا كن حذرا. عندما يُطلب منك تحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أو تتناقص عند نقطة ما ، فتأكد من المشتق وانظر إليه. إنها الطريقة الوحيدة المؤكدة للحصول على الإجابة الصحيحة. نحن لا نتطلع إلى تحديد ما إذا كانت الوظيفة قد زادت / انخفضت بحلول الوقت الذي نصل فيه إلى نقطة معينة. نحن نتطلع إلى تحديد ما إذا كانت الوظيفة تتزايد / تتناقص في تلك النقطة المعنية.

منحدر خط الظل

هذا هو التفسير الرئيسي التالي للمشتق. ميل خط الظل إلى (f left (x right) ) عند (x = a ) هو (f ' left (a right) ). ثم يتم إعطاء خط المماس بواسطة ،

[y = f left (a right) + f ' left (a right) left ( حق)]

نحتاج أولاً إلى مشتقة الدالة ووجدنا ذلك في المثال 3 في القسم الأخير. المشتق هو ،

كل ما نحتاجه الآن هو قيمة الدالة ومشتقتها (للميل) عند (z = 3 ).

[R left (3 right) = sqrt 7 hspace <0.5in> m = R ' left (3 right) = frac <5> << 2 sqrt 7 >> ]

السرعة الاتجاهية

تذكر أنه يمكن اعتبار هذا كحالة خاصة لمعدل تفسير التغيير. إذا تم تحديد موضع كائن بواسطة (f left (t right) ) بعد (t ) وحدات زمنية ، يتم إعطاء سرعة الكائن عند (t = a ) بواسطة (f ' يسار (أ يمين) ).

أجب عن كل مما يلي حول هذا الكائن.

  1. هل يتحرك الجسم إلى اليمين أو اليسار عند (t = 10 ) ساعة؟
  2. هل توقف الجسم عن الحركة؟

مرة أخرى ، نحتاج إلى المشتقة ووجدنا ذلك في المثال 2 في القسم الأخير. المشتق هو ،

لتحديد ما إذا كان الجسم يتحرك إلى اليمين (السرعة موجبة) أو اليسار (السرعة سلبية) نحتاج إلى المشتق عند (t = 10 ).

إذن ، السرعة عند (t = 10 ) موجبة وبالتالي يتحرك الجسم إلى اليمين عند (t = 10 ).

سيتوقف الجسم عن الحركة إذا كانت السرعة تساوي صفرًا. مع ذلك ، لاحظ أن الطريقة الوحيدة التي سيكون بها التعبير المنطقي صفرًا هي إذا كان البسط صفرًا. بما أن بسط المشتق (ومن ثم السرعة) ثابت فلا يمكن أن يكون صفرًا.

لذلك ، لن يتوقف الكائن عن الحركة أبدًا.

في الواقع ، يمكننا أن نقول المزيد هنا. سيتحرك الجسم دائمًا إلى اليمين لأن السرعة دائمًا موجبة.

لقد رأينا ثلاثة تفسيرات رئيسية للمشتق هنا. ستحتاج إلى تذكر هذه ، خاصة معدل التغيير ، حيث ستظهر باستمرار خلال هذه الدورة التدريبية.

قبل أن نغادر هذا القسم ، فلنعمل على مثال آخر يشمل بعض الأفكار التي تمت مناقشتها هنا وهو مجرد مثال جيد للعمل.

للوهلة الأولى ، يبدو أن هذه مهمة شبه مستحيلة. ومع ذلك ، إذا كان لديك بعض المعرفة الأساسية لتفسيرات المشتق ، يمكنك الحصول على رسم تخطيطي للمشتق. لن يكون رسمًا مثاليًا في الغالب ، ولكن يجب أن تكون قادرًا على الحصول على معظم الميزات الأساسية للمشتق في الرسم التخطيطي.

لنبدأ بالرسم التخطيطي التالي للوظيفة مع بعض الإضافات.

لاحظ أنه عند (x = - 3 ) و (x = - 1 ) و (x = 2 ) و (x = 4 ) يكون خط الظل للوظيفة أفقيًا. هذا يعني أن ميل خط المماس يجب أن يكون صفرًا. الآن ، نعلم أن ميل خط المماس عند نقطة معينة هو أيضًا قيمة مشتقة الدالة عند تلك النقطة. لذلك ، نحن نعلم الآن ،

[f ' left (<- 3> right) = 0 hspace <0.5in> f' left (<- 1> right) = 0 hspace <0.5in> f ' left (2 right ) = 0 hspace <0.5in> f ' left (4 right) = 0 ]

هذه نقطة انطلاق جيدة بالنسبة لنا. يعطينا بضع نقاط على التمثيل البياني للمشتقة. كما أنه يقسم مجال الوظيفة إلى مناطق تتزايد فيها الوظيفة وتتناقص. نعلم ، من مناقشاتنا أعلاه ، أنه إذا كانت الدالة تتزايد عند نقطة ما ، فيجب أن يكون المشتق موجبًا عند هذه النقطة. وبالمثل ، نعلم أنه إذا كانت الدالة تتناقص عند نقطة ما ، فيجب أن يكون المشتق سالبًا عند هذه النقطة.

يمكننا الآن إعطاء المعلومات التالية عن المشتق.

تذكر أننا نعطي إشارات المشتقات هنا وهذه فقط دالة على ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص. علامة الوظيفة نفسها غير مادية تمامًا هنا ولن تؤثر بأي شكل من الأشكال على علامة المشتق.

قد يبدو هذا وكأننا لا نملك معلومات كافية للحصول على رسم تخطيطي ، ولكن يمكننا الحصول على مزيد من المعلومات حول المشتق من الرسم البياني للدالة. في النطاق (x & lt - 3 ) ، نعلم أن المشتق يجب أن يكون سالبًا ، ولكن يمكننا أيضًا أن نرى أن المشتق يحتاج إلى زيادة في هذا النطاق. إنها سالبة هنا حتى نصل إلى (x = - 3 ) وعند هذه النقطة يجب أن يكون المشتق صفراً. الطريقة الوحيدة لكي يكون المشتق سالبًا إلى يسار (x = - 3 ) وصفر عند (x = - 3 ) هو زيادة المشتق كلما زاد (x ) باتجاه (x) = - 3 ).

الآن ، في النطاق (- 3 & lt x & lt - 1 ) ، نعلم أن المشتق يجب أن يكون صفراً عند نقطتي النهاية وموجباً بين نقطتي النهاية. مباشرة إلى يمين (x = - 3 ) يجب أن يكون المشتق أيضًا متزايدًا (لأنه يبدأ من الصفر ثم يصبح موجبًا - لذلك يجب أن يتزايد). لذلك ، يجب أن يبدأ المشتق في هذا النطاق في الزيادة ويجب أن يعود في النهاية إلى الصفر عند (x = - 1 ). لذلك ، في مرحلة ما من هذه الفترة ، يجب أن يبدأ المشتق في التناقص قبل أن يصل إلى (س = - 1 ). الآن ، علينا توخي الحذر هنا لأن هذا مجرد سلوك عام هنا عند نقطتي النهاية. لن نعرف إلى أين ينتقل المشتق من الزيادة إلى النقصان وقد يتغير جيدًا بين الزيادة والنقصان عدة مرات قبل أن نصل إلى (x = - 1 ). كل ما يمكننا قوله حقًا هو أنه على يمين (x = - 3 ) سيتزايد المشتق مباشرة وعلى يسار (x = - 1 ) سيتناقص المشتق.

بعد ذلك ، بالنسبة للنطاقات (- 1 & lt x & lt 2 ) و (2 & lt x & lt 4 ) ، نعلم أن المشتق سيكون صفراً عند نقاط النهاية وسالب بينهما. أيضًا ، باتباع نوع التفكير الموضح أعلاه ، يمكننا أن نرى في كل من هذه النطاقات أن المشتق سينخفض ​​إلى يمين نقطة النهاية اليسرى ويزداد إلى يسار نقطة النهاية اليمنى.

أخيرًا ، في المنطقة الأخيرة (x & gt 4 ) نعلم أن المشتق هو صفر عند (x = 4 ) وموجب على يمين (x = 4 ). مرة أخرى ، باتباع المنطق أعلاه ، يجب أن يتزايد المشتق أيضًا في هذا النطاق.

إن وضع كل هذه المواد معًا (واتخاذ أبسط الخيارات دائمًا لزيادة و / أو تقليل المعلومات) يعطينا المخطط التالي للمشتق.

لاحظ أن هذا تم باستخدام المشتق الفعلي ولذا فهو دقيق في الواقع. من المحتمل ألا يبدو أي رسم تقوم به متماثلًا تمامًا. قد تكون "الحدبات" في كل منطقة في أماكن مختلفة و / أو ارتفاعات مختلفة على سبيل المثال. لاحظ أيضًا أننا توقفنا عن المقياس الرأسي لأنه بالنظر إلى المعلومات التي حصلنا عليها في هذه المرحلة ، لم تكن هناك طريقة حقيقية لمعرفة هذه المعلومات.

هذا لا يعني مع ذلك أنه لا يمكننا الحصول على بعض الأفكار الخاصة بنقاط معينة على المشتق بخلاف ما نعرفه عن أن المشتقة تساوي صفرًا. لرؤية هذا دعونا نتحقق من الرسم البياني التالي للدالة (ليس المشتق ، ولكن الوظيفة).

في (x = - 2 ) و (x = 3 ) قمنا برسم خطين مماسين. يمكننا استخدام مفهوم ميل الارتفاع / التشغيل الأساسي لتقدير قيمة المشتق عند هذه النقاط.

لنبدأ عند (x = 3 ). لدينا نقطتان على الخط هنا. يمكننا أن نرى أن كل منها يبدو وكأنه يقع على مسافة ربع المسافة تقريبًا من خط الشبكة. لذا ، مع أخذ ذلك في الاعتبار وحقيقة أننا نمر عبر شبكة واحدة كاملة ، يمكننا أن نرى أن ميل خط المماس ، ومن ثم المشتقة ، يساوي تقريبًا -1.5.

عند (x = - 2 ) يبدو (مع بعض التقدير الثقيل) أن النقطة الثانية تقع على بعد حوالي 6.5 شبكة فوق النقطة الأولى ، وبالتالي فإن ميل خط المماس هنا ، ومن ثم المشتق ، هو 6.5 تقريبًا.

هنا رسم تخطيطي للمشتق مع تضمين المقياس الرأسي ومن هذا يمكننا أن نرى أن تقديراتنا في الواقع قريبة جدًا من الواقع.

لاحظ أن فكرة تقدير قيم المشتقات يمكن أن تكون عملية صعبة وتتطلب قدرًا لا بأس به من التقديرات التقريبية (السيئة المحتملة) ، لذلك بينما يمكن استخدامها ، يجب أن تكون حريصًا معها.

سنختتم هذا القسم بالإشارة إلى أنه بينما لن نقوم بتضمين مثال هنا ، يمكننا أيضًا استخدام الرسم البياني للمشتق لتزويدنا برسم تخطيطي للدالة نفسها. في الواقع ، في الفصل التالي حيث نناقش بعض تطبيقات المشتق ، سنبحث باستخدام المعلومات التي يقدمها لنا المشتق لرسم مخطط دالة.


أمثلة

طريقة الاشتقاق الضمني يسمح لنا بإيجاد مشتق دالة ضمنية. يسمح لنا بالتفريق ذ دون حل المعادلة صراحة. يمكننا ببساطة اشتقاق طرفي المعادلة ثم الحل من أجل ذ". عند التفريق بين مصطلح مع ذ، تذكر ذلك ذ هي وظيفة x. المصطلح هو تركيبة من الدوال ، لذلك نستخدم قاعدة السلسلة للاشتقاق. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد التمييز بين المصطلح 3ذ 4 سيصبح (12ذ 3 )(ذ').

ملحوظة: للحصول على عرض أكثر واقعية حول كيفية التمييز بين الوظائف الضمنية ، انظر المثال رقم 14 أدناه.


مشتقات كثيرات الحدود - متوسط

lim ⁡ h → 0 (x + h) n - xnh = lim ⁡ h → 0 [xn + nxn - 1 h + n (n - 1) xn - 2 h 2 + ⋯ + hn] - xnh = lim ⁡ h → 0 nxn - 1 + n (n - 1) xn - 2 h + + hn - 1 = nxn - 1. يبدأ lim_ frac <(x + h) ^ n - x ^ n> & amp = lim_ frac < left [x ^ n + n x ^ح + ن (ن -1) س ^ h ^ 2 + cdots + h ^ n right] - x ^ n> & amp = lim_ ن س ^ + ن (ن -1) س ^ ح + cdots + ح ^ & amp = n x ^. نهاية h → 0 lim h (x + h) n - xn = h → 0 lim h [xn + nxn - 1 h + n (n - 1) xn - 2 h 2 + + hn] - xn = h → 0 lim nxn - 1 + n (n - 1) xn - 2 h + ⋯ + hn - 1 = nxn - 1.

من خلال خطية التفاضل نستنتج أنه إذا كانت f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f (x) = a_n x ^ n + a_ س ^ + cdots + a_2 x ^ 2 + a_1 x + a_ 0 f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ثم

احسب مشتق الدالة f (x) = 2 x 2 f (x) = 2x ^ <2> f (x) = 2 x 2 عند النقطة x = 2048 x = 2048 x = 2 0 4 8.


المشتقات ومقدمة في حساب التفاضل

يعتمد أحد المفاهيم الرئيسية التي تمت دراستها في مجال التفاضل والتكامل على مفهوم التغيير - على وجه التحديد ، كيف تتغير كمية واحدة مقارنة بأخرى. ربما تكون الصيغة الأكثر إيجازًا لهذا التعريف المادي هي "معدل التغيير". بالتناوب ، يمكن أن يكون التعريف الهندسي ببساطة هو ميل منحنى عند نقطة معينة. المفتاح الأساسي لهذا الفرع من الرياضيات هو مفهوم المشتق. في هذا المنشور ، سأقدم لك جوانب مختلفة من المشتق - الرجاء النقر فوق الزر "أعجبني على Facebook" إذا كان هذا مفيدًا لك!

أولًا ، لنفكر في المشتقة بدلالة معدل التغيير. ولفعل ذلك ، فلنتحدث عن السرعة. نعلم أن السرعة تساوي المسافة لكل وحدة زمنية. ومع ذلك ، هذا وصف عام جدًا لها. إذا كنت تقود سيارتك من منزلك إلى متجر البقالة في الجانب الآخر من المدينة ، فيمكنك إجراء الحساب بقسمة إجمالي المسافة المقطوعة على الوقت الذي استغرقته للوصول إلى هناك ، ولكن ماذا يخبرك هذا الرقم؟ إنه يخبرك في الواقع بـ متوسط ​​السرعة من رحلتك. فكر في الأمر. كان عليك التوقف عند الضوء الأحمر ، وعلامات التوقف ، والمشاة. ربما سرعت لتمرير سائق بطيء. لا تنسى التسارع الفعلي لسيارتك من حالة التوقف التام ، ثم التباطؤ كلما احتجت إلى التوقف. كل هذه العوامل في حساب السرعة المتوسطة الخاصة بك ، والتي هي ببساطة المسافة التي تقطعها في فترة زمنية مُقاسة.

الآن ، دعنا نفكر في كيفية حساب متوسط ​​سرعة سيارتك بين منزلك وعلامة التوقف الأولى ، بينما في طريقك إلى متجر البقالة. لم يعد لديك عدة نقاط توقف للتعامل معها. تركب سيارتك ، وتسارع ، ثم كلما اقتربت من علامة التوقف ، تتباطأ حتى تتوقف. يتم حساب سرعتك المتوسطة من فترة زمنية أقصر بكثير ، وسيكون لها اختلاف أقل بكثير عنها. لذا ، فإن سرعتك المتوسطة ستكون أكثر تمثيلاً لسرعتك الفعلية في أي وقت.

لتوسيع هذا العرض التوضيحي إلى أبعد من ذلك ، دعنا نفكر في الجزء الصغير من رحلتك الذي يتم قياسه بين مصباحي شارعين تفصل بينهما مسافة 10 أمتار وأنت تمر أثناء حركتك الكاملة. أي ، لنفترض أننا نريد قياس السرعة دون الحاجة إلى حساب علامات التوقف ، وما إلى ذلك. الفاصل الزمني للقياس أصغر بكثير ، وحساب السرعة بقسمة المسافة على الوقت الذي يستغرقه الانتقال من ضوء واحد إلى الآخر هو أكثر تمثيلا لسرعتك في أي نقطة بينهما.

ما أحاول إظهاره هو مفهوم السرعة اللحظية. إذا قمت بتقليص الفاصل الزمني للقياس بشكل لا متناهي في الصغر ، فإن النقطتين الزمنيتين تقتربان من بعضهما البعض في نقطة واحدة ، وهكذا معدل تقترب السرعة بين نقطتي القرب الفائق من فوريا سرعة النقطة الواحدة.

من الناحية التخطيطية ، هذا هو الشيء نفسه الذي تفعله عند حساب ميل خط المماس لمنحنى. أنت تختار خطين على المنحنى وتحسب ميل الخط الفاصل بينهما ، ثم تستخدم الحدود لجعل النقاط تقترب أكثر فأكثر من بعضها البعض حتى تصبح متماثلة تقريبًا ، وميل الخط الذي يربط بين هاتين النقطتين اللتين تقتربان بشكل لا نهائي هو الظل. (راجع رسالتي السابقة حول استخدام الحدود للعثور على الظل إذا كنت ترغب في تجديد معلومات هذا الموضوع: http://sk19math.blogspot.ca/2012/06/using-limits-to-find-tangents.html)

نظرًا لحدوث هذا النوع من الحدود بشكل متكرر في الرياضيات والعلوم والهندسة ، يتم إعطاؤه اسمًا خاصًا "المشتق،"وتحسب المشتقات من خلال عملية"التفاضل." لذا ، فإن أحد التفسيرات للمشتق هو تعبير عن معدل التغير اللحظي (السرعة) عند نقطة معينة على المنحنى - مشتق كبير يتوافق مع معدل تغيير مرتفع (منحنى حاد) ، وعلى العكس من ذلك مشتق صغير يتوافق مع معدل تغير منخفض (منحنى مسطح نسبيًا). As a specific example, if you actually have a graph of position (displacement) of an object vs. time, the derivative of the curve at any time point represents the velocity of that object at that specific time. This may take a little practice to become comfortable with the concept, but suffice it to say at this point that learning how to use derivatives is incredibly important to be able to work out more complex concepts relatively easily.

Let's look at this now in the more formal terms of mathematical symbols and equations. Consider any curve y = f(x).

Now, let us identify the point P on the curve f(x) for when x = a. That is to say, the point (a, f(a)).

Now, let's go a step further, and identify a point Q that is h units away from a on the x-axis. If it is h units away from a, we can call it "a + h". (If this is confusing, think about it with numbers instead. Start at, say, x = 3 (instead of a). Now we want to know what is going on 5 units (instead of h) away from x = 3. In other words, we have 3, and we have 3 + 5.) As such, we can therefore identify a point Q ((a + h), f(a + h)).

Now that we have two arbitrary points, let's determine the slope of the straight line that would connect the two. We can use the same slope formula that we always use, slope = rise/run, but substitute in our variables that we identified above. So, we have:

"Find the derivative (or, determine the slope of the tangent) of the function f(x) = x 2 - 4 at a number أ."

To do this, write the provided equation into the definition, and reduce until you have an answer. Notice below how I combine terms and recognize the identity of a difference of squares.

Here's a more visual exercise that you may soon encounter.

"If you are provided a graph of a function f(x) - not necessarily the equation - sketch out what the graph of the derivative f'(x) would look like."

When you actually have the numbers and equation, this becomes much easier. assuming you know how to easily recognize derivatives from the original equations. However, if provided ONLY the picture of the curve, this becomes a bit more abstract, but not really that challenging. It DOES require you to understand the concept of derivatives and rate of change though. Here is why. Take some random curve that you can draw. Any curve will do for this exercise:

The key is rate of change. We have seen that slope is equal to rate of change, so we want to pay particular attention to the slope at several points. And the easiest points to notice are those where the slope is equal to 0. These are all the peaks and valleys of the curve. What I have done next is highlight with red bars all of the zero-slopes:

Now, to proceed with sketching the graph of the derivative f'(x) vs x, you can start by plotting the points where f'(x) is equal to zero. From there you can then go on to say where the curve of f(x) has a positive, increasing slope, and then sketch that into your f'(x) graph accordingly. Similarly, decreasing slopes on the f(x) curve will be negative values on the f'(x) curve. For the sake of this exercise, don't worry so much about how high or low the slopes are. Just focus on whether they are positive or negative at the various parts of the graph. I have gone ahead and plotted out the actual curve of the derivative below in green, alongside the original curve of f(x). You can see that the f'(x) curve crosses zero wherever the curve for f(x) has peaks or valleys, and the steeper the f(x) curve, the more extreme the f'(x) curve at that same point.

Of course, having a mathematical definition wouldn't be any fun if there were no conditions or rules associated with it - and the definition of derivatives is no exception. One such rule states that a function is differentiable at a point أ if the derivative f'(a) exists. Seems intuitive enough. If a derivative at a point exists, then the base function is differentiable at that point. Probably one of those rules that doesn't really even need to be said. :)

I'm not going to graph this one out, but it is for you to think on. Consider the case of f(x) = |x|. Where is it differentiable?

If you consider the derivative of the left hand side, it equals -1. The f'(x) on the right hand side is 1. This function then is obviously differentiable when x < 0, and when x > 0. But what about when x = 0? In this case, since the right hand limit approaches 1 as x approaches 0 from the right, and the left hand limit approaches -1 as x approaches 0 from the left, one must conclude that f'(0) does not exist because both of the one-sided limits approach different numbers.

An extension of this example actually describes a second rule for limits: if f'(a) exists, then the function f(x) is continuous كما أ. Recall that continuity of a curve is based on the notion that as you approach a point from both the left and the right, the limit of each side approaches the same value. In the example above, approaching 0 from either side resulted in different limits, and hence the graph is not continuous at 0.

Keep this in mind as you see various graphs of functions. Curves that have a sharp point will not be differentiable at the point, for the reason given above. Similarly, discontinuous curves (i.e. curves with gaps in them) will not have a derivative at the break point either because the one-sided limits do not agree. If f(x) is not continuous as point أ, then f'(a) does not exist. A third condition to watch out for is where a graph has a vertical tangent line, in which case the slope is infinite.

Now, I'm going to wrap up this mammoth of a maths post with something a bit easier to talk about: notation of derivatives. I have already described a few ways to express these values. I talked about expressing them as limits, and using infinitesimally smaller intervals, and that is a good way to work through them. Symbolically, I said that you can write f'(x) to denote the derivative of the functions f(x). This will likely be the easiest way for you to use it and to recognize it, though here are a few others that mean the same thing:

Each of these terms means the exact same thing. In particular, the D and d/dx are specifically called the differentiation operators, and you can see they have a few variations. Similarly, dy/dx is symbolic of derivatives for historical reasons. Read up on Gottfried Wilhelm Leibniz to learn more about the origins of calculus, where you will see that he introduced this way of representing it. Sometimes, you may see dy/dx referred to as "Leibniz notation."

And with that final tidbit of mathematical goodness, I am going to end this post. I intend to follow this with another post in the near future that introduces differentiation methods and strategies. Much like the exponent rules, there are also several differentiation rules, and I hope to be able to explain them for you as well. If you have made it to this point of my post, thanks for reading, and please be sure to click the Facebook Like button below or at the top, and I'd appreciate a Google +1 as well below if this was helpful!


Derivative Plotter

Have fun with derivatives!
Type in a function and see its slope below (as calculated by the program).
Then see if you can figure out the derivative yourself.

It plots your function in blue , and plots the slope of the function on the graph below in red (by calculating the difference between each point in the original function, so it does not know the formula for the derivative).

You also have the option to plot another function in green beneath that calculated slope . if the lines coincide there is a good chance you have found the derivative!


شاهد الفيديو: الصف الثاني عشر المسار التكنولوجي الرياضيات تعريف المشتقة 5 (شهر نوفمبر 2021).