مقالات

2.E: دوال عدة متغيرات (تمارين) - رياضيات


2.1: وظائف متغيرين أو ثلاثة

أ

2.1.1. (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 −1 )

2.1.2. (f (x، y) = frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.1.3. (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 −4} )

2.1.4. (f (x، y) = frac {x ^ 2 +1} {y} )

2.1.5. (و (س ، ص ، ض) = خطيئة (س ص) )

2.1.6. (f (x، y، z) = sqrt {(x − 1) (yz −1)} )

بالنسبة للتمارين من 7 إلى 18 ، قم بتقييم الحد المحدد.

2.1.7. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} cos (x y) )

2.1.8. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} e ^ {x y} )

2.1.9. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} frac {x ^ 2 - y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.1.10. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} frac {x y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 4} )

2.1.11. ( lim limits _ {(x، y) → (1، −1)} frac {x ^ 2 −2x y + y ^ 2} {x− y} )

2.1.12. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} frac {x y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.1.13. ( lim limits _ {(x، y) → (1،1)} frac {x ^ 2 - y ^ 2} {x− y} )

2.1.14. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} frac {x ^ 2 −2x y + y ^ 2} {x− y} )

2.1.15. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} frac {y ^ 4 sin (x y)} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.1.16. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} (x ^ 2 + y ^ 2) cos left ( frac {1} {x y} right) )

2.1.17. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} frac {x} {y} )

2.1.18. ( lim limits _ {(x، y) → (0،0)} cos left ( frac {1} {x y} right) )

ب

2.1.19. أظهر أن (f (x، y) = frac {1} {2πσ ^ 2} e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2) / 2σ ^ 2} ) ، لـ (σ> 0 ) ، ثابت على دائرة نصف القطر (r> 0 ) المتمركزة في الأصل. تسمى هذه الوظيفة أ التمويه الضبابي، ويتم استخدامه كمرشح في برامج معالجة الصور لإنتاج تأثير "ضبابي".

2.1.20. افترض أن (f (x، y) ≤ f (y، x) text {for all} (x، y) ) في ( mathbb {R} ^ 2 ). أظهر أن (f (x، y) = f (y، x) text {for all} (x، y) ) في ( mathbb {R} ^ 2 ).

2.1.21. استخدم الاستبدال (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) لإظهار ذلك

[ lim limits _ {(x، y) → (0،0)} frac { sin sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} = 1. ]

(تلميح: ستحتاج إلى استخدام قاعدة L’Hôpital للحدود ذات المتغير الفردي.)

ج

2.1.22. إثبات نظرية 2.1 (أ) في حالة الإضافة. (تلميح: تعريف الاستخدام 2.1.)

2.1.23. إثبات نظرية 2.1 (ب).

2.2 المشتقات الجزئية

أ

بالنسبة للتمارين من 1 إلى 16 ، ابحث عن ( frac {∂f} {∂x} text {and} frac {∂f} {∂y} ).

2.2.1. (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 )

2.2.2. (و (س ، ص) = كوس (س + ص) )

2.2.3. (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y + 4} )

2.2.4. (f (x، y) = frac {x + 1} {y + 1} )

2.2.5. (f (x، y) = e ^ {x y} + x y )

2.2.6. (f (x، y) = x ^ 2 - y ^ 2 + 6x y + 4x − 8y + 2 )

2.2.7. (و (س ، ص) = س ^ 4 )

2.2.8. (و (س ، ص) = س + 2 ص )

2.2.9. (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.2.10. (و (س ، ص) = خطيئة (س + ص) )

2.2.11. (f (x، y) = sqrt [3] {x ^ 2 + y + 4} )

2.2.12. (f (x، y) = frac {x y + 1} {x + y} )

2.2.13. (f (x، y) = e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} )

2.2.14. (و (س ، ص) = ln (س ص) )

2.2.15. (و (س ، ص) = خطيئة (س ص) )

2.2.16. (و (س ، ص) = تان (س + ص) )

بالنسبة للتمارين 17-26 ، ابحث عن ( frac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2}، ، frac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} text {and} frac {∂ ^ 2 و} {∂y∂x} ) (استخدم التمارين 1-8 ، 14 ، 15).

2.2.17. (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 )

2.2.18. (و (س ، ص) = كوس (س + ص) )

2.2.19. (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y + 4} )

2.2.20. (f (x، y) = frac {x + 1} {y + 1} )

2.2.21. (f (x، y) = e ^ {x y} + x y )

2.2.22. (f (x، y) = x ^ 2 - y ^ 2 + 6x y + 4x − 8y + 2 )

2.2.23. (و (س ، ص) = س ^ 4 )

2.2.24. (و (س ، ص) = س + 2 ص )

2.2.25. (و (س ، ص) = ln (س ص) )

2.2.26. (و (س ، ص) = خطيئة (س ص) )

ب

2.2.27. أظهر أن الوظيفة (f (x، y) = sin (x + y) + cos (x− y) ) تحقق معادلة الموجة

[ frac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2} - frac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} = 0. ]

معادلة الموجة هي مثال على أ المعادلة التفاضلية الجزئية.

2.2.28 لنفترض أن (u text {and} v ) دوال قابلة للتفاضل مرتين لمتغير واحد ، ولجعل (c neq 0 ) ثابتًا. أظهر أن (f (x، y) = u (x + c y) + v (x− c y) ) هو حل عام أحادي البعد معادلة الموجة

[ frac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2} - frac {1} {c ^ 2} frac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} = 0 ]

2.3: مستوى الظل إلى سطح

أ

بالنسبة للتدريبات 1-6 ، أوجد معادلة المستوى المماس للسطح (z = f (x، y) ) عند النقطة (P ).

2.3.1. (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 3 ، ، ف = (1،1،2) )

2.3.2. (و (س ، ص) = س ص ، ، ف = (1 ، −1 ، −1) )

2.3.3. (و (س ، ص) = س ^ 2 ص ، ، ف = (−1،1،1) )

2.3.4. (و (س ، ص) = س ^ ص ، ، ف = (1،0،1) )

2.3.5. (و (س ، ص) = س + 2 ص ، ، ف = (2،1،4) )

2.3.6. (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، ، P = (3،4،5) )

بالنسبة للتمارين 7-10 ، أوجد معادلة المستوى المماس للسطح المحدد عند النقطة (P ).

2.3.7. ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} + frac {z ^ 2} {16} = 1، ، P = left (1،2، frac {2 sqrt {11}} {3} right) )

2.3.8. (س ^ 2 + ص ^ 2 + ض ^ 2 = 9 ، ، ف = (0،0،3) )

2.3.9. (س ^ 2 + ص ^ 2 - ض ^ 2 = 0 ، ، ف = (3،4،5) )

2.3.10. (x ^ 2 + y ^ 2 = 4، ، P = ( sqrt {3}، 1،0) )

2.4: المشتقات الاتجاهية والتدرج

أ

بالنسبة للتمارين 1-10 ، احسب التدرج (∇f ).

2.4.1. (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 −1 )

2.4.2. (f (x، y) = frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.4.3. (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 +4} )

2.4.4. (و (س ، ص) = س ^ 2 هـ ^ ص )

2.4.5. (و (س ، ص) = ln (س ص) )

2.4.6. (و (س ، ص) = 2 س + 5 ص )

2.4.7. (و (س ، ص ، ض) = خطيئة (س ص) )

2.4.8. (f (x، y، z) = x ^ 2 e ^ {yz} )

2.4.9. (و (س ، ص ، ض) = س ^ 2 + ص ^ 2 + ع ^ 2 )

2.4.10. (f (x، y، z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} )

بالنسبة للتدريبات 11-14 ، ابحث عن المشتق الاتجاهي لـ (f ) عند النقطة (P ) في اتجاه (v = left ( frac {1} { sqrt {2}}، frac {1} { sqrt {2}} right) ).

2.4.11. (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 −1 ، ، ف = (1،1) )

2.4.12. (f (x، y) = frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2}، ، P = (1،1) )

2.4.13. (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 +4}، ، P = (1،1) )

2.4.14. (و (س ، ص) = س ^ 2 هـ ^ ص ، ، ف = (1،1) )

بالنسبة للتدريبات 15-16 ، ابحث عن المشتق الاتجاهي لـ (f ) عند النقطة (P ) في اتجاه (v = left ( frac {1} { sqrt {3}}، frac {1} { sqrt {3}} ، frac {1} { sqrt {3}} right) ).

2.4.15. (و (س ، ص ، ض) = الخطيئة (س ص) ، ، ف = (1،1،1) )

2.4.16. (f (x، y، z) = x ^ 2 e ^ {yz}، ، P = (1،1،1) )

2.4.17. كرر المثال 2.16 عند النقطة ((2،3) ).

2.4.18. كرر المثال 2.17 عند النقطة ((3،1،2) ).

ب

بالنسبة إلى التدريبات 19-26 ، دع (f (x، y) text {and} g (x، y) ) هي دوال ذات قيمة حقيقية قابلة للتفاضل باستمرار ، دع (c ) يكون ثابتًا ، واجعل ( v ) يكون متجه وحدة في ( mathbb {R} ^ 2 ). اظهر ذلك:

2.4.19. (∇ (ج و) = c∇f )

2.4.20. (∇ (f + g) = ∇f + g )

2.4.21. (∇ (f g) = f g + g∇f )

2.4.22. (∇ (f / g) = frac {g∇f - f ∇g} {g ^ 2} text {if} g (x، y) neq 0 )

2.4.23. (D _ {- v} f = −D_v f )

2.4.24. (D_v (ج و) = ج D_v و )

2.4.25. (D_v (f + g) = D_v f + D_v g )

2.4.26. (D_v (f g) = f D_v g + g D_v f )

2.4.27. الدالة (r (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) هي طول متجه الموضع ( textbf {r} = x textbf {i} + y textbf { j} ) لكل نقطة ((x، y) ) في ( mathbb {R} ^ 2 ). أظهر أن (∇r = frac {1} {r} textbf {r} ) عندما ((x، y) neq (0،0) ) ، وأن (∇ (r ^ 2) = 2 textbf {r} ).

2.5: الحد الأقصى والحد الأدنى

أ

في التدريبات 1-10 ، أوجد كل القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة (f (x، y) ).

2.5.1. (و (س ، ص) = س ^ 3 −3x + ص ^ 2 )

2.5.2. (f (x، y) = x ^ 3 −12x + y ^ 2 + 8y )

2.5.3. (f (x، y) = x ^ 3 −3x + y ^ 3 −3y )

2.5.4. (f (x، y) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + y ^ 3 −3y ^ 2 )

2.5.5. (f (x، y) = 2x ^ 3 + 6x y + 3y ^ 2 )

2.5.6. (و (س ، ص) = 2 س ^ 3 −6 س ص + ص ^ 2 )

2.5.7. (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.5.8. (و (س ، ص) = س + 2 ص )

2.5.9. (f (x، y) = 4x ^ 2 −4x y + 2y ^ 2 + 10x − 6y )

2.5.10. (f (x، y) = −4x ^ 2 + 4x y − 2y ^ 2 + 16x − 12y )

ب

2.5.11. للحصول على مستطيل صلب بحجم 1000 متر مكعب ، ابحث عن الأبعاد التي ستقلل من مساحة السطح. (تلميح: استخدم شرط الحجم لكتابة مساحة السطح كدالة لمتغيرين فقط.)

2.5.12. أثبت أنه إذا كان ((أ ، ب) ) هو الحد الأقصى المحلي أو الحد الأدنى المحلي لدالة سلسة (f (x ، y) ) ، ثم المستوى المماس للسطح (z = f (x ، y) ) عند النقطة ((a، b، f (a، b)) ) موازية للطائرة (xy ). (تلميح: استخدم نظرية 2.5.)

ج

2.5.13. أوجد ثلاثة أرقام موجبة (x، y، z ) مجموعها 10 بحيث يكون (x ^ 2 y ^ 2 z ) حدًا أقصى.

2.6: التحسين غير المقيد: الطرق العددية

ج

2.6.1. تذكر المثال 2.21 من القسم السابق ، حيث أوضحنا أن النقطة ((2،1) ) كانت الحد الأدنى العام للدالة (f (x، y) = (x −2) ^ 4 + (x - 2 ص) ^ 2 ). لاحظ أنه يمكن تعديل برنامج الكمبيوتر الخاص بنا بسهولة إلى حد ما لاستخدام هذه الوظيفة (فقط قم بتغيير قيم الإرجاع في تعريفات الدالة fx و fy و fxx و fyy و fxy لاستخدام المشتق الجزئي المناسب). إما أن تعدل هذا البرنامج أو تكتب برنامجًا خاصًا بك بلغة برمجة من اختيارك لإظهار أن خوارزمية نيوتن تؤدي بالفعل إلى النقطة ((2،1) ). استخدم أولاً النقطة الأولية ((0،3) ) ، ثم استخدم النقطة الأولية ((3،2) ) ، وقارن النتائج. تأكد من أن برنامجك يحاول إجراء 100 تكرار للخوارزمية. هل حدث أي شيء غريب عندما تم تشغيل برنامجك؟ إذا كان الأمر كذلك ، كيف تشرح ذلك؟ (تلميح: يجب أن يحدث شيء غريب.)

2.6.2. هناك نسخة من خوارزمية نيوتن لحل نظام من معادلتين

[f_1 (x، y) = 0 quad text {and} quad f_2 (x، y) = 0، ]

حيث (f_1 (x، y) text {and} f_2 (x، y) ) هي دوال سلسة ذات قيمة حقيقية:

اختر نقطة أولية ((x_0، y_0) ). بالنسبة إلى (n = 0،1،2،3 ، ... ، ) حدد:

[x_ {n + 1} = x_n - frac { begin {vmatrix} f_1 (x_n، y_n) & f_2 (x_n، y_n) frac {∂f_1} {∂y} (x_n، y_n) & frac {∂f_2} {∂y} (x_n، y_n) end {vmatrix}} {D (x_n، y_n)} ، quad y_ {n + 1} = y_n + frac { start {vmatrix } f_1 (x_n، y_n) & f_2 (x_n، y_n) frac {∂f_1} {∂x} (x_n، y_n) & frac {∂f_2} {∂x} (x_n، y_n) نهاية {vmatrix}} {D (x_n، y_n)}، text {where} ]

[D (x_n، y_n) = frac {∂f_1} {∂x} (x_n، y_n) frac {∂f_2} {∂y} (x_n، y_n) - frac {∂f_1} {∂y} (x_n، y_n) frac {f_2} {∂x} (x_n، y_n). ]

ثم يتقارب تسلسل النقاط ((x_n، y_n) _ {n = 1} ^ { infty} ) إلى حل. اكتب برنامج كمبيوتر يستخدم هذه الخوارزمية لإيجاد حلول تقريبية لنظام المعادلات

[f_1 (x، y) = sin (x y) - x− y = 0 quad text {and} quad f_2 (x، y) = e ^ {2x} −2x + 3y = 0. ]

أظهر أنك تحصل على حلين مختلفين عند استخدام ((0،0) text {and} (1،1) ) للنقطة الأولية ((x_0، y_0) ).

2.7: التحسين المقيد: مضاعفات لاغرانج

أ

2.7.1. أوجد القيمة العظمى والصغرى المقيدة لـ (f (x، y) = 2x + y ) إذا علمنا أن (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ).

2.7.2. أوجد القيمة العظمى والصغرى المقيدة لـ (f (x، y) = x y ) إذا علمنا أن (x ^ 2 + 3y ^ 2 = 6 ).

2.7.3. أوجد النقاط الموجودة على الدائرة (x ^ 2+ y ^ 2 = 100 ) الأقرب إلى النقطة الأبعد عنها ((2،3) ).

ب

2.7.4. أوجد القيمة العظمى والصغرى المقيدة لـ (f (x، y، z) = x + y ^ 2 + 2z ) إذا علمنا أن (4x ^ 2 + 9y ^ 2 - 36z ^ 2 = 36 ).

2.7.5. أوجد حجم أكبر متوازي سطوح مستطيل يمكن كتابته في الشكل الإهليلجي

[ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} + frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1. ]


تمرين آخر من وظائف Fleming & # 39s للعديد من المتغيرات.

أنا أستخدم كتاب Flemming's Function of Multiple Variables.

في ذلك ، يعرّف المؤلف المتشعبات مثل هذا: دع $ 1 le r lt n ، q ge1 $. مجموعة غير فارغة $ M subset mathbb^ n $ متنوع الأبعاد $ r $ والفئة $ C ^ <(q)> $ إذا كان $ M $ لها الخاصية التي لكل نقطة $ mathbf في M $ ، يوجد حي $ U $ من $ mathbf$ و $ mathbf < Phi> = ( Phi ^ 1 ، dots ، Phi ^) $ من الفئة $ C ^ <(q)> $ على $ U $ ، مثل أن $ D mathbf < Phi> ( mathbf) حصل $ على رتبة $ n-r $ لكل $ mathbf في U $ و

التمرين كالتالي: دع $ Psi ^ l ( mathbf) = ز ^ ل ( mathbf) Phi ^ l ( mathbf) $ ، حيث $ g ^ l ( mathbf) neq 0 $ وهو من الفئة C ^ 1 ، لـ $ l = 1 ، dots ، n-r $. يجب أن نظهر أن $ D mathbf < Psi> ( mathbf) حصل $ على رتبة $ n-r $ لكل $ mathbf في U $.

نعلم أن صفوف $ D mathbf < Psi> ( mathbf) $، $ d Psi ^ l ( mathbf) = دج ^ ل ( mathbf) cdot Phi ^ l ( mathbf) + ز ^ ل ( mathbf) cdot d Phi ^ l ( mathbf) $. وبهذا التعريف للمنوع ، $ d Phi ^ l ( mathbf) $ مستقلة خطيًا. إذًا ، كيف يمكنني إثبات أن $ d Psi ^ l ( mathbf) $ هل هي مستقلة خطيًا؟


1 إجابة 1

من بين العديد من التعريفات المتكافئة للتعددية التوافقية ، كونها دون التوافقية في كل سطر معقد ، أي $ f: Omega rightarrow mathbb$ هو plurisubharmonic إذا كانت الوظيفة $ zeta rightarrow f (a + b zeta) $ ، تقتصر على $ < zeta in mathbb | a + b zeta in Omega > $ هو صوت فرعي ، لأي $ a ، b in mathbb^ ن $. بنفس الطريقة التي يمكننا بها تحديد وظائف pluriharmonic ، أي التوافقية في كل سطر معقد.

لذا نريد أن نظهر الآن أن $ f $ عبارة عن plurisubharmonic. خذ السطر المعقد $ l $ الذي يتقاطع مع $ Omega $ وخذ بعض النقاط $ z in Omega cap l $. نظرًا لأن التوافقية الفرعية هي خاصية محلية ، إذا أظهرنا أن هناك حيًا قيمته $ z $ في $ Omega cap l $ ، حيث $ f $ غير متناسق ، فقد انتهينا. خذ أي كرة صغيرة $ B (z، r) $ تتوافق نسبيًا مع $ Omega $ وأي كرة بلوريهارمونيك $ h $ تهيمن على $ f $ على $ جزئي B (z، r) $. ثم $ Omega cap l cap B (z، r) $ مرة أخرى كرة على هذا الخط ، $ h $ متناسق ويسيطر $ f $ على الحدود. من الافتراض أن هذا يعني أن $ h ge f $ على $ Omega cap l cap B (z، r) $ وهذا يعني ضمناً عدم توافق $ f $ على هذا السطر.


2.E: دوال عدة متغيرات (تمارين) - رياضيات

الغرض من هذا المعمل هو تزويدك بالخبرة في تطبيق تقنيات التفاضل والتكامل المتعلقة بإيجاد الدوال القصوى لمتغيرين.

هناك ثلاث مشاكل ، لكل منها مناقشة في الخلفية ، ومثال توضيحي ، وتمرين عليك القيام به. تمت تغطية معظم الخلفية النظرية الأساسية التي ستحتاجها في المختبر 3 ، ولكن سيكون هناك القليل من التكرار هنا للتأكد من اكتمالها. تمت تغطية معظم إجراءات Maple التي ستحتاجها في المختبرات السابقة ، ولكن سيتم تقديم عدد قليل منها أدناه.

بالنسبة لبعض الوظائف البسيطة لمتغيرين ، ليس من الصعب تحديد القيم القصوى النسبية الخاصة بهم عن طريق إيجاد النقاط الحرجة أولاً ثم تطبيق اختبار الجزئيات الثاني (SPT) للتمييز بين الحد الأقصى النسبي ، والحد الأدنى النسبية ، ونقاط السرج. تذكر أنه إذا كانت الدالة f (x ، y) قابلة للاشتقاق ، فإن (x 0 ، y 0) هي نقطة حرجة إذا. مع D = f xx (x 0، y 0) f yy (x 0، y 0) - [f xy (x 0، y 0)] 2 ، تكون SPT كما يلي:

يمكن دراسة العديد من التطبيقات الموصوفة بوظائف متغيرين بوسائل تحليلية بحتة ، ولكن قد تكون برامج الكمبيوتر مثل Maple مفيدة للغاية في اكتساب مزيد من البصيرة أو الحصول على معلومات لا يمكن العثور عليها تحليليًا. في المعمل 3 ، استخدمت أدوات Maple مثل فرق وحل و fsolve لإيجاد النقاط الحرجة والحالات القصوى وتطبيق SPT. في هذا المعمل ، سنشجع على استخدام أدوات Maple أكثر قوة ، مثل أمر grad المذكور في Lab 3 ، جنبًا إلى جنب مع أدوات التصور مثل المؤامرة و plot3d.

لإيجاد القيمة القصوى النسبية لـ f (x، y) = - x 3 + 4 xy - 2 y 2 + 1 ، أوجد أولًا النقاط الحرجة بتحديد أين f x (x، y) = f y (x، y) = 0. يؤدي حل هذه المعادلات بشكل تحليلي إلى النقطتين الحرجتين (0،0) و (4 / 3،4 / 3). عند تطبيق SPT على النقاط الحرجة ، تجد أن (0،0) يتوافق مع نقطة سرج f ، بينما f لها حد أقصى نسبي عند (4 / 3،4 / 3).

تنفذ الأوامر التالية إجراء الحل في Maple:

إذا كنت تريد أن ترى ما هو ، يمكنك الكتابة

بعد استخدام Maple لحل المشكلة تحليليًا ، يمكنك أيضًا استخدامها لعرض f -surface باستخدام plot3d ، على سبيل المثال ، يمكنك استخدام الماوس لضبط زاوية الرؤية والحصول على الكثير من الأفكار حول الشكل الذي يبدو عليه السطح f . ومع ذلك ، بالنسبة لهذا السطح ، سيكون من الصعب جدًا تحديد النقاط الحرجة بواسطة أدوات الفحص التحليلية التي لا تزال ضرورية.

تعمل شركة عسكرية في الميدان باستخدام رادار تحت سطح الأرض للكشف عن الألغام الصغيرة المضادة للأفراد المقيدة بموجب اتفاقية دولية. العنصر النشط في الرادار عبارة عن صفيف هوائي مستطيل الشكل يستخدم لاستكشاف منطقة من الأرض (المستوى xy) لتحديد إشارة إعلامية S = f (x، y). في حالة عدم وجود ألغام ، لا يحصل الرادار على إشارة إعلامية و S = f (x، y) = 0. في حالة وجود مناجم ، فإن وظيفة الإشارة S لها حد أقصى في تلك النقاط (x 0 ، y 0) التي تحدد إحداثيات xy للمراكز الهندسية للمناجم.

لنفترض أن المصفوفة قد تم تطبيقها على منطقة مشتبه بها من الأرض ، وأن الرادار يستقبل إشارة يتم تمثيلها ، بعد المعالجة الإلكترونية المناسبة لنسبة الإشارة إلى الضوضاء.
S = (x 2 + 4 y 2) e (1- x 2 - y 2) ، حيث x و y إحداثيات مستطيلة للمنطقة التي تغطيها المصفوفة (بوحدات الأمتار). كم عدد الألغام التي تم العثور عليها بواسطة هذا التطبيق؟ ما المسافة بين المناجم أي بين مراكزها؟

تعد الدالات المتطرفة للعديد من المتغيرات مهمة في العديد من التطبيقات في الاقتصاد والأعمال. المتغيرات المهمة بشكل خاص هي الربح والإيرادات والتكلفة. يشار إلى معدلات التغيير (أي المشتقات) فيما يتعلق بعدد الوحدات المنتجة أو المباعة على أنها الربح الهامشي والإيرادات والتكلفة. هذه هي مركزية للعديد من التطبيقات التي تنطوي على القيم القصوى. على سبيل المثال ، للعثور على الحد الأقصى للربح ، يتم تحليل دالة الربح P = R - C. في الصيغة ، R = xp هو إجمالي الإيرادات من بيع وحدات x ، حيث p هو السعر لكل وحدة ، و C هي التكلفة الإجمالية لإنتاج وحدات x. يتم التفريق بين دالة الربح فيما يتعلق بـ x. بافتراض أن نتيجة التفاضل تساوي الصفر ، يمكن للمرء أن يرى أن الحد الأقصى للربح يحدث عندما تكون الإيرادات الحدية (أي ، dR / dx) مساوية للتكلفة الحدية (أي ، dC / dx).

عادة ما تتضمن مشاكل الربح العملية عدة نماذج لنوع واحد من المنتجات ، مع اختلاف أسعار الوحدة والأرباح لكل وحدة من نموذج إلى آخر ، والطلب على كل نموذج وهو دالة لسعر النماذج الأخرى بالإضافة إلى سعره الخاص ، إلخ.

يتم تقريب الربح الناتج عن إنتاج x من وحدات المنتج A و y من المنتج B بواسطة النموذج

الفوسفور (س ، ص) = 8 س + 10 ص - (0.001) (س 2 + س ص + ص 2) - 10000.

لإيجاد مستوى الإنتاج الذي ينتج عنه أقصى ربح ، يتم تعيين المشتقات الجزئية لدالة الربح على 0 ، ويتم حل النظام الناتج من معادلتين فيما يتعلق بـ x و y وهذا يعطي x = 2000 و y = 4000. توضح SPT أن P xx & lt0 و P xx P yy - P xy 2 & gt0 ، مما يعني أن مستوى الإنتاج الذي تم الحصول عليه (x = 2000 وحدة ، y = 4000 وحدة) يحقق بالفعل أقصى ربح. إجراء الحل باستخدام Maple مشابه لذلك في المشكلة 1.

ج 1 = 0.002 × 1 2 + 4 × 1 + 500 ،

وتكلفة إنتاج x 2 شيبس في كوالالمبور (ماليزيا) هي

ج 2 = 0.005 × 2 2 + 4 × 2 + 275.

تشتريها الشركة الكورية المصنعة لأجهزة الكمبيوتر مقابل 150 دولارًا لكل شريحة. ابحث عن الكمية التي يجب إنتاجها في كل موقع آسيوي لتحقيق أقصى قدر من الربح إذا تم وصفها بالتعبير ، وفقًا لقسم التسويق في Intel:

الفوسفور (س 1 ، س 2) = 150 (س 1 + س 2) - ج 1 - ج 2.

احصل على الإجابة أولاً بوسائل تحليلية ثم قم بتأكيدها من خلال تصور الوظيفة P (x ، y) وتحديد القيمة القصوى.

2 كرر نفس العملية كما في الجزء أ ، ولكن هذه المرة سنستخدم أرقامًا أكثر واقعية. نعلم أيضًا أن الحد الأقصى لعدد الرقائق التي يمكن للمصنع الثاني شحنها إلى مصنع التصنيع في كوريا هو 11000 شريحة.

ج 1 = 0.001998 × 1 2 + 3.813 × 1 + 531.6

ج 2 = 0.005698 × 2 2 + 4.045 × 2 + 349.6

الفوسفور (س 1 ، س 2) = 148.6 (س 1 + س 2) - ج 1 - ج 2

تتضمن العديد من التطبيقات نماذج رياضية تصف ظاهرة مثيرة للاهتمام. غالبًا ما تستند هذه النماذج إلى بعض الأشكال الرياضية. على سبيل المثال ، يمكن نمذجة المتغير التابع y بواسطة دالة y = f (x) من نوع معين ، والتي يمكن أن تكون خطًا مستقيمًا ، أو متعدد الحدود ذو رتبة أعلى ، أو دالة أسية ، أو نوعًا آخر محددًا من الوظائف. في بناء نموذج لتمثيل ظاهرة معينة ، تكون الأهداف هي البساطة والدقة. تتعارض هذه الأهداف في كثير من الأحيان في اختيار نوع الوظيفة التي سيتم استخدامها في النموذج.

غالبًا ما تتضمن أنواع الوظائف المستخدمة في النماذج معلمات يتم تحديدها بحيث `` تناسب '' وظيفة النموذج البيانات المرصودة بالطريقة المثلى. طريقة المربعات الصغرى هي طريقة شائعة بشكل خاص لتحديد المعلمات من أجل `` ملاءمة '' البيانات. في هذا ، إذا كانت y = f (x) هي دالة النموذج ومجموعة من البيانات المرصودة ، فإن مقياس `` ملاءمة الملاءمة '' هو مجموع التربيع المتبقي

بيانياً ، يمكن تفسير S على أنه مجموع مربعات المسافات الرأسية بين الرسم البياني لـ f والنقاط المحددة في المستوى. أصغر حجمًا ، كان الملاءمة أفضل. إذا كان النموذج مثاليًا ، فعندئذ يكون S = 0. على الأرجح ، ليس كذلك ، لذا فأنت تقبل اختيار المعلمات التي تقلل S.

ربما تكون أبسط دالة في النموذج هي النموذج الخطي y = f (x) = mx + b. في هذه الحالة،

مع اختيار m و b لتقليل هذا S ، يُطلق على النموذج الخطي الناتج خط انحدار المربعات الصغرى (LSR). من السهل أن نرى (كما هو موضح في النص في الصفحة 801) أن S لديها نقطة حرجة واحدة بالضبط ، معطاة

وهذا m و b يقلل من S. النموذج التربيعي y = f (x) = ax 2 + bx + c ، مع اختيار a و b و c لتقليل

ليس من الصعب إظهار أن هذا S يحتوي أيضًا على نقطة حرجة واحدة بالضبط ، معطاة من قبل a و b و c التي تحل النظام الخطي

المنحنى الناتج يسمى منحنى LSR التربيعي. ->

ملاحظات: تاريخيًا ، كانت طريقة المربعات الصغرى شائعة لأنها غالبًا (إن لم يكن دائمًا) سهلة التنفيذ ، وغالبًا (إن لم يكن دائمًا) تعطي نتائج مرضية ، ولها تفسيرات جذابة بشكل خاص في بعض السياقات ، لا سيما الانحدار والاحتمالية القصوى التقدير في الإحصاء. يمكن للمرء أن يوضح أنه إذا ظهرت المعلمات التي تحدد دالة النموذج بشكل خطي في الوظيفة ، كما هو الحال في النماذج الخطية والتربيعية أعلاه ، عندئذٍ ، كما هو مذكور أعلاه ، يمكن الحصول على المعلمات التي تقلل من مجموع القيم التربيعية المتبقية عن طريق حل نظام خطي معين ، والتي عادة ما تكون مهمة سهلة نسبيًا. غالبًا ما يكون هناك إغراء بنمذجة المربعات الصغرى للانتقال إلى وظائف النموذج المعقدة بشكل متزايد من أجل الحصول على ملاءمة أفضل بشكل متزايد ، كما تم قياسها بمجموع المربعات المتبقية. على سبيل المثال ، سيعطي النموذج التربيعي مجموعًا أصغر من القيم التربيعية المتبقية من النموذج الخطي ، وسيعطي النموذج التكعيبي مجموعًا أصغر من القيم التربيعية المتبقية ، وهكذا. ومع ذلك ، بالإضافة إلى زيادة تعقيد النموذج ، قد يؤدي هذا النوع من الأشياء إلى مخاطر خفية ، على سبيل المثال ، قد تصبح الطرق العددية لحل الأنظمة الخطية غير دقيقة. على وجه الخصوص ، إذا كان النموذج سيستخدم للاستقراء ، أي التنبؤ بما يتجاوز نطاق قيم البيانات المرصودة ، فغالبًا ما تكون النماذج الأكثر تعقيدًا أقل موثوقية من النماذج الأبسط.

باستخدام Maple ، يمكن للمرء تنفيذ إجراء الحل بناءً على المعادلات أعلاه بطريقة مباشرة.

أولاً يجب علينا إدخال البيانات في مصفوفات ملائمة.

الآن قم بإنشاء الوظيفة التي هي خط LSR.

أخيرًا ، سنقوم برسم بيانات (x ، y) مع خط LSR. قم أولاً بتحميل البيانات (x ، y) في شكل مناسب

الآن ارسم البيانات مع خط LSR (يبدو ما يلي أفضل كثيرًا على الشاشة).

ملاحظة: لا تنس استخدام مساعدة Maple لمعرفة المزيد عن هذه الأوامر والعديد من الاحتمالات الأخرى لتخصيص المؤامرات ، وما إلى ذلك.


2.E: دوال عدة متغيرات (تمارين) - رياضيات

نظرية القيمة المتوسطة لـ قيمة حقيقية الوظائف تنص على أنه إذا كانت المجموعة المفتوحة يحتوي على المقطع المستقيم إل الانضمام إلى النقاط أ و ب، و F : يو & rarr قابل للتفاضل ، إذن

لبعض النقاط ج &في داخل إل (النظرية II.3.4). لقد رأينا (التمرين 1.1.12) أن هذه النتيجة المهمة لا تعمم على الدوال ذات القيمة المتجهة. ومع ذلك ، في العديد من تطبيقات نظرية القيمة المتوسطة ، كل ما هو مطلوب بالفعل هو التقدير العددي

الذي يتبع مباشرة من (1) وعدم مساواة كوشي-شوارتز (if F يكون لذلك يوجد الحد الأقصى على اليمين). لحسن الحظ فإن عدم المساواة (2) تعمم على حالة تعيينات من ن ل م ، وسنرى أن هذه النتيجة ، نظرية القيمة المتوسطة متعددة المتغيرات ، تلعب دورًا رئيسيًا في التعميم على أبعاد أعلى لنتائج القسم 1.

نذكر من القسم I.3 أن أ معيار على الفضاء المتجه الخامس هي دالة ذات قيمة حقيقية x & rarr x مثل ذلك x > 0 إذا x & ني 0 ، فأس = أ و middot x، و للجميع x,ذ &في داخل الخامس و a & isin . نظرا لقاعدة على الخامس، بواسطة كرة نصف القطر ص فيما يتعلق بهذه القاعدة ، تتمحور حول أ &في داخل الخامس، هو المقصود بالمجموعة .

حتى الآن استخدمنا بشكل أساسي القاعدة الإقليدية

على ن . في هذا القسم ، سنجد أنه من الأنسب استخدام "معيار sup"

الذي تم تقديمه في المثال 3 من القسم I.3. "كرة الوحدة" فيما يتعلق بمعيار sup هي المكعب ، وهو متماثل فيما يتعلق بمستويات الإحداثيات في ن ، ولها النقطة (1 ، 1 ،. ، 1) كأحد رؤوسها. المكعب سيشار إليه باسم "مكعب نصف القطر ص"متمركزة في 0. سنقوم بحذف الأحرف المرتفعة ذات الأبعاد عندما لا تكون هناك حاجة إليها من أجل الوضوح.

سنرى في القسم السادس. 1 أن أي معيارين على ن متكافئة ، بمعنى أن كل كرة فيما يتعلق بأحد المعايير تحتوي على كرة فيما يتعلق بالآخر ، تتمحور حول نفس النقطة. بالطبع هذا "واضح" بالنسبة للقاعدة الإقليدية وقاعدة sup (الشكل 3.5). وبالتالي ، لا يوجد فرق بين المعيار الذي نستخدمه في تعريفات الحدود والاستمرارية وما إلى ذلك (لماذا؟)

سنحتاج أيضًا إلى مفهوم معيار التعيين الخطي إل : ن & rarr م . ال معيار إل من إل يتم تعريفه بواسطة

سوف نظهر ذلك في الوقت الحاضر هو بالفعل معيار على الفضاء المتجه مليون لجميع التعيينات الخطية من ن ل م & [مدش] الخاصية الوحيدة لقاعدة غير واضحة هي عدم مساواة المثلث.

لقد رأينا (في القسم I.7) أن كل رسم خرائط خطي مستمر. هذه الحقيقة مع حقيقة أن الوظيفة x & rarr x0 من الواضح أنه مستمر في م ، يعني أن المركب x & rarr إل(x)0 مستمر على المجموعة المدمجة & جزء ج1 ن ، وبالتالي فإن القيمة القصوى إل موجود. لاحظ أن ، إذا ، من ثم ، وبالتالي

هذا هو نصف النتيجة التالية ، والتي توفر تفسيرًا مهمًا لـ />إل />.

الاقتراح 2.1 لو إل : ن & rarr م هو رسم خرائط خطي ، إذن إل هو أقل عدد م مثل ذلك للجميع .

إثبات يبقى فقط أن يظهر ، إذا للجميع ، من ثم . لكن هذا يأتي مباشرة من حقيقة أن المتباينة يقلل ل ، في حين إل = ماكس إل(x)0 إلى عن على .

في إثباتنا لنظرية القيمة المتوسطة ، سنحتاج إلى حقيقة أولية مفادها أن قاعدة دالة مكونة للتعيين الخطي إل ليس أكبر من القاعدة />إل /> من إل بحد ذاتها.

Lemma 2.2.2 تحديث لو إل = (إل1, . . . , إلم): ن & rarr م خطي ، إذن لكل أنا = 1, . . . , م.

PROOF Let x0 يكون الهدف من & جزء ج1 فيه />إلأنا(x) /> هو الحد الأقصى. ثم

بعد ذلك نعطي صيغة لحساب المعيار الفعلي لرسم خرائط خطية معينة. لهذا نحتاج إلى مفهوم معين عن "معيار" المصفوفة. لو أ = (أاي جاي) هو م & مرات ن مصفوفة ، نحدد لها معيار />أ /> بقلم

لاحظ أنه من حيث "1-معيار" المحدد في ن بواسطة

/>أ /> هو ببساطة الحد الأقصى لمعايير 1 لمتجهات الصف أ1, . . . , أم من أ,

لنرى أن هذا هو في الواقع معيار على الفضاء المتجه مليون للجميع م & مرات ن المصفوفات ، دعونا نحدد مليون مع مليون بالطريقة الطبيعية:

بمعنى آخر ، إذا x1, . . . , xم هي نواقل الصف من م & مرات ن مصفوفة X = (xاي جاي) ، نحدد X مع هذه النقطة

مع هذا الترميز ، ما نريد أن نظهره هو ذلك

يحدد القاعدة على مليون . ولكن هذا يأتي بسهولة من حقيقة ذلك 1 هو معيار على ن (تمرين 2.2). بخاصة، يرضي متباينة المثلث. تم تصوير الكرة فيما يتعلق بالمعيار 1 في الشكل 3.6 (للحالة ن = 2) كرة فيما يتعلق بالمعيار أعلاه على مليون هو المنتج الديكارتي لـ م هذه الكرات ، واحدة في كل منهما ن عامل.

سوف نوضح الآن أن قاعدة التعيين الخطي تساوي قاعدة المصفوفة الخاصة بها. على سبيل المثال ، إذا إل : 3 و rarr 3 يتم تعريفه بواسطة إل(x, ذ, ض) = (x & ناقص 3ض, 2س & ناقص ص & ناقص 2ض, س + ص)، من ثم إل = ماكس <4 ، 5 ، 2> = 5.

نظرية 2.3 يترك أ = (أاي جاي) أن تكون مصفوفة التعيين الخطي إل : ن & rarr م ، هذا هو، إل(x) = أx للجميع . ثم

إثبات معطى ، الاحداثيات (ذ1, . . . , ذم) من ذ = إل(x) من خلال

دع />ذك /> تكون أكبر القيم المطلقة لهذه الإحداثيات ذ. ثم

هكذا للجميع ، لذلك يتبع من الاقتراح 2.1 أن .

لإثبات أن ، يكفي عرض نقطة لأي منهم . افترض أن ملف كناقلات الصف ال أك = (أك1 . . . أكن) هو الذي يكون معياره الأول هو الأكبر ، لذلك

لكل ي = 1, . . . , ن، حدد & إبسيلوني = & plusmn1 بواسطة أكيلوجول = & إبسيلونيأكيلوجول. لو x = (& إبسيلون1, & إبسيلون2, . . . , & إبسيلونن)، من ثم x0 = 1 و

وبالتالي حسب الرغبة.

دع & فاي: مليون & rarr مليون يكون التماثل الطبيعي من الفضاء المتجه لجميع التعيينات الخطية ن & rarr م إلى الفضاء المتجه للجميع م & مرات ن المصفوفات و Phi (إل) كونها مصفوفة . ثم تقول النظرية 2.3 ببساطة أن تماثل الشكل و Phi "يحافظ على القاعدة". منذ أن رأينا ذلك على مليون يرضي متباينة المثلث ، ويترتب على ذلك بسهولة أن نفس الشيء صحيح على مليون. هكذا هو بالفعل معيار على مليون.

من الآن فصاعدًا سوف نحدد مساحة رسم الخرائط الخطية مليون ومساحة المصفوفة مليون بمساحة إقليدية مليون ، من خلال تحديد كل تخطيط خطي بمصفوفته ، وكل مصفوفة m & n مع نقطة مليون (على النحو الوارد أعلاه). بمعنى آخر ، يمكننا اعتبار أي من الرموز مليون كما مليون كما تدل مليون مع القاعدة

أين .

لو F : ن & rarr م هو رسم خرائط قابل للتفاضل ، إذن ، و ، لذلك قد نعتبر F& رئيسيّ كنموذج رسم خرائط ن ل مليون,

وبالمثل مدافع كتعيين من ن ل مليون. أذكر ذلك F : ن & rarr م يكون في إذا وفقط إذا كانت المشتقات الجزئية الأولى للوظائف المكونة لـ F كلها موجودة في حي أ ومتواصلة عند أ. النتيجة التالية هي نتيجة مباشرة لهذا التعريف.

الاقتراح 2.4 التفاضل التفاضلي F : ن & rarr م يكون في إذا وفقط إذا F& رئيسيّ: ن & rarr مليون مستمر في أ.

نحن مستعدون أخيرًا لنظرية القيمة المتوسطة.

نظرية 2.5 يترك F : يو & rarr م يكون رسم الخرائط ، أين هو حي للقطعة المستقيمة إل مع نقاط النهاية أ و ب. ثم

PROOF Let ح = ب & ناقص أ ، وحدد ال منحنى وجاما : [0، 1] & rarr م بواسطة

لو F 1 , . . . , و م هي وظائف المكون من F، من ثم وجاماأنا(ر) = و أنا (أ + رح) هل أناوظيفة المكون ال وجاما، و

إذا كان الحد الأقصى (بالقيمة المطلقة) إحداثيات F(ب) &ناقص F(أ) هل كال واحد ، إذن

لو يو هي مجموعة محدبة مفتوحة (أي أن كل قطعة خطية تنضم إلى نقطتين من يو تقع في يو)، و F : يو & rarr م هو رسم الخرائط من هذا القبيل لكل x &في داخل يو، فإن نظرية القيمة المتوسطة تقول ذلك

لو . يتحدث بخشونة ، هذا يقول ذلك F(أ + ح) يساوي تقريبًا الثابت F(أ) متي ح0 هي صغيرة جدا. تقول النتيجة الطبيعية المهمة التالية لنظرية القيمة المتوسطة (مع & لامدا = مدافعأ) أن الفرق الفعلي والدلتاFأ(ح) = F(أ + ح) &ناقص F(أ) يساوي تقريبًا الاختلاف الخطي مدافعأ(ح) متي ح هي صغيرة جدا.

النتيجة الطبيعية 2.6 يترك F : يو & rarr م يكون رسم الخرائط ، أين هو حي من الخط إل مع نقاط النهاية أ و أ + ح. لو & لامدا : ن & rarr م هو رسم خرائط خطي ، إذن

PROOF تطبيق نظرية القيمة المتوسطة على رسم الخرائط ز : يو & rarr م المعرفة من قبل ز(x) = F(x) &ناقص & لامدا(x) مشيرا إلى ذلك مدافعx = مدافعx &ناقص & لامدا لان د & لامداx = & لامدا (بالمثال 3 من القسم II.2) ، وذاك

كتطبيق نموذجي لـ Corollary 2.6 ، يمكننا إثبات ذلك في هذه الحالة م = ن هذا لو يو يحتوي على المكعب جص نصف القطر ص تتمحور في 0, و مدافعx قريب (في المعتاد) من تعيين الهوية أنا : ن & rarr ن للجميع ، ثم الصورة الموجودة تحتها Fمن المكعب جص موجود في مكعب أكبر قليلاً (الشكل 3.7). هذا يبدو طبيعيا بما فيه الكفاية و [مدشف] مدافع قريب بما فيه الكفاية من الهوية ، إذن F يجب أن يكون أيضًا ، لذلك لا ينبغي نقل أي نقطة بعيدًا جدًا.

النتيجة الطبيعية 2.7 يترك يو كن مجموعة مفتوحة في ن تحتوي على المكعب جص، و F : يو & rarr ن أ رسم خرائط من هذا القبيل F(0) = 0 و مدافع0 = أنا. لو

للجميع ، من ثم

إثبات تطبيق النتيجة الطبيعية 2.6 مع أ = 0 ، & لامدا = مدافع0 = أنا، و ، نحصل

ولكن من خلال متباينة المثلث ، يتبع ذلك

النتيجة الطبيعية التالية هي تطبيق أعمق إلى حد ما لنظرية القيمة المتوسطة. في الوقت نفسه ، يوضح ظاهرة عامة أساسية لنهج التقريب الخطي لحساب التفاضل والتكامل و [مدش] حقيقة أن الخصائص البسيطة للتفاضل للدالة غالبًا ما تعكس الخصائص العميقة للدالة نفسها. النقطة هنا هي أن السؤال عما إذا كان التعيين الخطي هو واحد لواحد ، هو مسألة بسيطة إلى حد ما ، بينما بالنسبة إلى أمر تعسفي قد يكون تعيين هذا سؤالًا معقدًا للغاية.

النتيجة الطبيعية 2.8 يترك F : ن & rarr م يكون في أ. لو مدافعأ : ن & rarr م هو واحد لواحد ، إذن F نفسه هو واحد لواحد في بعض الأحياء من أ.

PROOF Let م تكون القيمة الدنيا لـ مدافعأ(x)0 إلى عن على من ثم م > 0 بسبب مدافعأ هو واحد لواحد [وإلا ​​فستكون هناك نقطة س & ني 0 مع مدافعأ(x) = 0]. اختر رقمًا موجبًا & إبسيلون 0 من هذا القبيل

لو x و ذ أي نقطتين مميزتين في الحي

ثم تطبيق Corollary 2.6 ، مع & لامدا = مدافعأ و إل قطعة خط من x ل ذ ، عائدات

ثم تعطي متباينة المثلث

هكذا F(x) & ني F(ذ) لو س & ني ص.

انظر Corollary 2.8 له نتيجة مثيرة للاهتمام ، إذا F : ن & rarr ن يكون مع مدافعأ واحد لواحد (لذلك F هو 1 وناقص 1 في حي أ)، و إذا F "مضطرب قليلاً" عن طريق إضافة مصطلح "صغير" ز : ن & rarr ن ، ثم التعيين الجديد ح = و + ز لا يزال واحد لواحد في حي أ. التمرين 2.9 للحصول على بيان دقيق لهذه النتيجة.

في هذا القسم ، تناولنا نظرية القيمة المتوسطة ونتائجه الطبيعية من حيث معايير sup على ن و م والقاعدة الناتجة

هذا سيكون كافيا لأغراضنا. لكن القواعد التعسفية م على م و ن على ن يمكن استخدامها في نظرية القيمة المتوسطة ، بشرط أن نستخدم القاعدة

على مليون، أين د ن هي وحدة الكرة ن فيما يتعلق بالقاعدة ن. إذن ، فإن استنتاج نظرية القيمة المتوسطة هو عدم المساواة المتوقعة

في التمرينين 2.5 و 2.6 نحدد دليلًا بديلاً لنظرية القيمة المتوسطة التي تؤسسها في هذه العمومية.

2.1يترك م و ن كن على القواعد م و ن على التوالى. اثبت ذلك

يحدد القاعدة على م + ن . بالمثل يثبت ذلك (س ، ص)1 = xم + ذن يحدد القاعدة على م + ن .

2.2اظهر ذلك ، على النحو المحدد بواسطة Eq. (3) هو معيار في الفضاء مليون من م & مرات ن المصفوفات.

2.3معطى ، للدلالة به إلأ الدالة الخطية

ضع في اعتبارك معايير إلأ فيما يتعلق بقاعدة sup 0 و 1-القاعدة 1 على ن ، كما هو موضح في الفقرة الأخيرة من هذا القسم. اظهر ذلك إلأ1 = أ0 في حين إلأ0 = أ1.

2.4يترك إل : ن & rarr م يكون مخططًا خطيًا باستخدام مصفوفة (أاي جاي). إذا استخدمنا معيار 1 في ن و sup على القاعدة م ، تبين أن المعيار المقابل في مليون يكون

وهذا هو ، معيار sup على مليون .

2.5يترك وجاما : [أ, ب] & rarr م يكون رسم الخرائط باستخدام للجميع , كونها قاعدة تعسفية على م . اثبت ذلك

الخطوط العريضة: معطى & إبسيلون > 0 ، تدل بواسطة س& إبسيلون مجموعة النقاط مثل ذلك

للجميع . يترك ج = لوب س& إبسيلون. لو ج 0 من هذا القبيل

نستنتج من هذا أن ، تناقض. وبالتالي ج = ب، وبالتالي

2.6قم بتطبيق التمرين السابق لإنشاء نظرية القيمة المتوسطة فيما يتعلق بالمعايير التعسفية في ن و م . على وجه الخصوص ، معطى F : يو & rarr م أين يو هو حي في ن للقطعة المستقيمة إل من أ ل أ + ح ، قم بتطبيق التمرين 2.5 مع وجاما(ر) = F(أ + رح).

2.7(أ) أظهر أن التعيين الخطي تي : ن & rarr م هو واحد لواحد إذا وفقط إذا هو إيجابي.

(ب) استنتاج أن التعيين الخطي تي : ن & rarr م هو واحد لواحد إذا وفقط في حالة وجوده أ > 0 من هذا القبيل للجميع .

2.8يترك تي: ن & rarr م يكون مخططًا خطيًا واحدًا لواحد مع للجميع ، أين أ > 0. إذا ، اظهر ذلك للجميع ، وبالتالي س هو أيضًا واحد لواحد. وبالتالي مجموعة كل التعيينات الخطية من واحد إلى واحد ن & rarr م تشكل مجموعة فرعية مفتوحة من مليون مليون .

2.9قم بتطبيق Corollary 2.8 والتمرين السابق لإثبات ما يلي. يترك F : ن & rarr ن يكون رسم الخرائط من هذا القبيل مدافعأ : ن & rarr ن هو واحد لواحد ، لذلك F واحد لواحد في حي أ. ثم يوجد & إبسيلون > 0 مثل هذا إذا ز : ن & rarr ن هو رسم الخرائط باستخدام ز(أ) = 0 و دأ ن & rarr ن ، من تحديد ح(x) = F(x) + ز(x) ، هو أيضًا واحد لواحد في حي أ.

إذا كنت مالك حقوق الطبع والنشر لأي مادة واردة على موقعنا وتعتزم إزالتها ، فيرجى الاتصال بمسؤول الموقع للحصول على الموافقة.


أهلا بك!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


خيارات الشراء

أيها الطلاب ، نحن ملتزمون بتزويدك بحلول دورات تدريبية عالية القيمة مدعومة بخدمة رائعة وفريق يهتم بنجاحك. انظر علامات التبويب أدناه لاستكشاف الخيارات والأسعار. لا تنس ، نحن نقبل أموال المساعدات المالية والمنح الدراسية على شكل بطاقات ائتمان أو خصم.

طباعة / كتاب إلكتروني

نسخة ورقية

رقم ISBN 10: 007054235X | ردمك 13: 9780070542358

يعتمد المقدار المقدر للوقت الذي سيكون فيه هذا المنتج في السوق على عدد من العوامل ، بما في ذلك مدخلات أعضاء هيئة التدريس في التصميم التعليمي ودورة المراجعة السابقة والتحديثات على البحث الأكاديمي - والتي تؤدي عادةً إلى دورة مراجعة تتراوح من كل اثنين إلى أربعة سنوات لهذا المنتج. التسعير عرضة للتغيير في أي وقت.

يعتمد المقدار المقدر للوقت الذي سيكون فيه هذا المنتج في السوق على عدد من العوامل ، بما في ذلك مدخلات أعضاء هيئة التدريس في التصميم التعليمي ودورة المراجعة السابقة والتحديثات على البحث الأكاديمي - والتي تؤدي عادةً إلى دورة مراجعة تتراوح من كل اثنين إلى أربعة سنوات لهذا المنتج. التسعير عرضة للتغيير في أي وقت.


الامتحان النهائي الاختياري

يرجى مراسلتي عبر البريد الإلكتروني على [email protected] إذا كنت تريد المشاركة في النهائي بحلول يوم الثلاثاء الساعة 5 مساءً.

إذا قررت أن تأخذ النهائي ، فإنك تخسر جميع درجاتك السابقة.

-> الوقت: الثلاثاء ، الجمعة ، من الساعة 12 ظهراً حتى الساعة 1:50 مساءً
الغرفة: دارين 232
المدرب: جريجور كوفاسيتش
المكتب: 420 Amos Eaton
الهاتف: 276-6908
البريد الإلكتروني: kovacg at rpi dot edu
ساعات العمل: اضغط هنا.

المواضيع

المتسلسلات العددية والوظيفية: صيغة تايلور وسلسلة تايلور ، وباقي لاغرانج وكوشي ، وتوسيع تايلور للوظائف الأولية ، والتعبيرات غير المحددة ، وقاعدة لمستشفى ، والمتسلسلة العددية ، ومعيار كوشي ، والتقارب المطلق والمشروط ، وإضافة وضرب السلاسل ، والتسلسلات الوظيفية والمتسلسلة ، ونقطة وموحدة التقارب ، اختبار Weierstrass ، التكامل والتمايز بين السلاسل الوظيفية ، سلسلة القدرة ونصف قطر التقارب ، الأسي المعقدة. لن يكون هناك سوى واجب منزلي حول هذا الموضوع هذا العام ، لأنه تم تدريسه في التحليل الأول.

طوبولوجيا الفضاء المترية: المساحات المترية والمجموعات المفتوحة والمغلقة وتسلسلات كوشي والاكتمال والمساحات القابلة للفصل والمجموعات المدمجة والمتصلة والاكتناز ونقاط الحد من المجموعات الفرعية والتسلسلات اللانهائية ونظريات Heine-Borel و Bolzano-Weierstrass والصور المستمرة والصور المسبقة لمختلف أنواع المجموعات ، الاستمرارية والاكتناز في مساحة الوظائف المستمرة ، نظرية Arzela-Ascolli ، فضاءات معيارية و Banach ، نظرية رسم خرائط الانكماش ، وجود حلول المعادلات التفاضلية العادية وتفردها.

المتسلسلة المثلثية: الدوال الدورية ، الدوال المتعامدة والمتعامدة المتعامدة ، تعامد الدوال المثلثية ، سلسلة فورييه وتقاربها للوظائف المستمرة متعددة الأجزاء ، التمايز والتكامل بين سلسلة فورييه ، ظاهرة جيبس ​​، سلسلة فورييه وتقارب متوسط ​​المربع ، حلول كلاسيكية المعادلات التفاضلية الجزئية بواسطة سلسلة فورييه.

تقريب الدوال المستمرة: التقريب المنتظم بواسطة كثيرات الحدود ، نظرية Weierstrass وقابلية فصل فضاء الدوال المستمرة على فاصل مضغوط ، تقريب المشتقات ، نظرية Stone-Weierstrass.

دوال عدة متغيرات: مراجعة الجبر الخطي ، المشتقات الاتجاهية ، المشتقات الجزئية والتفاضل الكلي ، التدرج ، قاعدة السلسلة ، المساواة في المشتقات الجزئية المختلطة ، سلسلة تايلور في عدة أبعاد ، نظرية القيمة المتوسطة ، القيم القصوى ، نظريات الدالة المعكوسة والضمنية ، متعدد الأسطح ذات الأبعاد وتمثيلاتها ، ومضاعفات لاغرانج القصوى الشرطية.

تكامل متعدد المتغيرات: تكامل ريمان في عدة أبعاد ، وظائف قابلة للتكامل ، نظرية Fubini ، تكاملات مع معلمات ، تعيينات مركبة ، أقسام الوحدة ، تغيير المتغيرات ، تكاملات متعددة غير صحيحة ، تكامل فورييه.

التكامل في المتشعبات: الأشكال التفاضلية ومشتقاتها ، Poincare lemma ، نظرية Stokes للمستطيل ، المتشعبات والمخططات ، الاتجاه والحدود ، نظرية Stokes في المشعبات ، تكاملات الخط ، التكاملات السطحية ، تكاملات الحجم ، تحليل المتجه الكلاسيكي ، صيغة جرين ، نظريات جاوس وستوكس ، تطبيقات في الكهرومغناطيسية.
انقر هنا للعثور على عرض بديل أكثر سهولة لتكاملات الصيغ التفاضلية.

يتم إيداع الإصدار اليومي من الملاحظات هنا.

لملاحظاتي حول التحليل الرياضي 1 ، انظر هنا.

كتب مدرسية

ت.م.أبوستول ، حساب التفاضل والتكامل ، المجلد. 1: حساب متغير واحد مع مقدمة في الجبر الخطي، وايلي.
ت.م.أبوستول ، حساب التفاضل والتكامل ، المجلد. 2: حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والجبر الخطي مع التطبيقات، وايلي.
ت.م.أبوستول ، التحليل الرياضي ، الطبعة الثانية، أديسون ويسلي.
أرنولد ، الطرق الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية، Springer-Verlag.
أ. براودر ، التحليل الرياضي: مقدمة، Springer-Verlag.
آر سي باك ، حساب التفاضل والتكامل المتقدم، ويفلاند.
ر.كورانت ، حساب التفاضل والتكامل ، 2 مجلد.، Springer-Verlag.
R. Courant و F. John ، مقدمة في حساب التفاضل والتكامل والتحليل ، 2 مجلد.، Springer-Verlag.
ب.أ.دوبروفين ، وأ.ت.فومينكو ، وس.ب.نوفيكوف ، الهندسة الحديثة - الطرق والتطبيقات: الجزء الأول: هندسة الأسطح ومجموعات التحويل والحقول، Springer-Verlag.
ب.أ.دوبروفين ، وأ.ت.فومينكو ، وس.ب.نوفيكوف ، الهندسة الحديثة. الأساليب والتطبيقات: الجزء 2: هندسة وطوبولوجيا الفتحات ، Springer-Verlag.
فلاندرز ، النماذج التفاضلية مع تطبيقات في العلوم الفيزيائيةدوفر.
دبليو فليمينغ ، وظائف عدة متغيرات، Springer-Verlag.
جيه دي جاكسون ، الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية، وايلي.
O. D. Kellogg ، أسس النظرية المحتملةدوفر.
عامية، التحليل الجامعي، Springer-Verlag.
R. Larson ، R.P. Hostetler ، و B. H. Edwards ، حساب التفاضل والتكامل: الدوال التجاوزية المبكرة، هوتون ميفلين.
لوفلوك وإتش روند ، الموترات والصيغ التفاضلية والمبادئ المتغيرةدوفر.
جيه إي مارسدن و إم جيه هوفمان ، التحليل الكلاسيكي الابتدائي، دبليو إتش فريمان.
جي سي ماكسويل ، رسالة في الكهرباء والمغناطيسيةدوفر.
ج. مونكرس ، تحليل على الفتحات، ويستفيو.
M. Rosenlicht ، مقدمة في التحليلدوفر.
دبليو رودين ، مبادئ التحليل الرياضي، ماكجرو هيل.
جي إي شيلوف ، التحليل الأولي الحقيقي والمعقددوفر.
إم سبيفاك ، حساب التفاضل والتكاملأو نشر أو يموت.
إم سبيفاك ، حساب التفاضل والتكامل على المشعبات: نهج حديث للنظريات الكلاسيكية لحساب التفاضل والتكامل المتقدمهاربر كولينز.
ستيوارت ، حساب التفاضل والتكامل: الدوال التجاوزية المبكرة ، 2 مجلد ، الطبعة الخامسة.، بروكس كول.
R. S. Strichartz ، طريقة التحليل، جونز وبارتليت.
إي تي ويتاكر وج.ن.واتسون ، دورة التحليل الحديث، كامبريدج.
في. ر. زوريش ، التحليل الرياضي 1، Springer-Verlag.
في. ر. زوريش ، التحليل الرياضي II، Springer-Verlag.

تحتوي الكتب المدرسية التالية من سلسلة Schaum Outline على تمارين ذات صلة بهذه الدورة:

م. ر. شبيغل ، مخطط Schaum لتحليل فورييه مع تطبيقات لمشاكل القيمة الحدودية، ماكجرو هيل.
م. ر. شبيغل ، مخطط Schaum لتحليل المتجهات، ماكجرو هيل.
آر سي وريدي و إم آر شبيغل ، مخطط Schaum لحساب التفاضل والتكامل المتقدم ، الطبعة الثانية، ماكجرو هيل.


التحليل الرياضي

يقدم هذا النص الأفكار الأساسية ، والهياكل ، ونتائج حساب التفاضل والتكامل التفاضلي للوظائف ذات المتغيرات المتعددة. العرض التقديمي يشرك القارئ ويحفزه بالعديد من الأمثلة والملاحظات والرسوم التوضيحية والتمارين.

التحليل الرياضي: يمكن استخدام مقدمة لوظائف المتغيرات المتعددة في إعداد الفصل الدراسي لطلاب البكالوريوس والدراسات العليا المتقدمين أو كدراسة ذاتية. كما أنه مرجع قيم للباحثين في معظم التخصصات الرياضية. يُبرز الملحق علماء الرياضيات والعلماء الذين قدموا مساهمات مهمة في تطوير النظريات في هذا الموضوع.

تشمل الكتب الأخرى التي نشرها المؤلفون مؤخرًا: التحليل الرياضي: وظائف متغير واحد ، والتحليل الرياضي: التقريب والعمليات المنفصلة ، والتحليل الرياضي: الهياكل والاستمرارية الخطية والمتري ، وكلها توفر للقارئ أساسًا قويًا في العصر الحديث التحليلات.

تقييمات الأحجام السابقة في التحليل الرياضي:

يتم ترتيب عرض النظرية بوضوح ، وجميع النظريات لها أدلة صارمة ، ويختتم كل فصل بتلخيص للنتائج والتمارين ذات المتطلبات المختلفة. . . . هذا الكتاب مناسب بشكل ممتاز لطلاب الرياضيات والفيزياء والهندسة وعلوم الكمبيوتر وجميع طلاب الكليات التكنولوجية والعلمية. —مجلة التحليل وتطبيقاتها

يتطلب العرض معرفة جيدة بحساب التفاضل والتكامل ووظائف متغير واحد. السمة الرئيسية لهذه المعالجة الحيوية والصرامة والمنهجية هي الروايات التاريخية للأفكار والأساليب الخاصة بالموضوع. تتطور الأفكار في الرياضيات في السياقات الثقافية والتاريخية والاقتصادية ، وبالتالي قدم المؤلفون تقارير موجزة عن تلك الجوانب واستخدموا عددًا كبيرًا من الرسوم التوضيحية الجميلة. —Zentralblatt الرياضيات

"هذه مقدمة شاملة لدراسة وظائف العديد من المتغيرات التي تتضمن العديد من المجالات التي لا يتم تضمينها بشكل شائع في الكتب المدرسية المماثلة. ... الكتاب الحالي له نطاق أوسع بشكل عام ... هناك قدر هائل من الرياضيات هنا ، تم تقديمه بعناية وبأسلوب ... تتم معالجة الوظائف المتشابهة هنا بشكل جيد…. في النهاية ، أجد أن هذا النص سيكون مصدرًا مقبولًا لمعظم موضوعاته الفردية…. " (وليام ج.ساتزر ، الرابطة الرياضية الأمريكية ، أغسطس 2009)

"هذا كتاب مدرسي كلاسيكي عن وظائف متعددة المتغيرات. ويغطي 348 صفحة محتوى مقرر الدراسات العليا للتحليل الرياضي المخصص للمساحات ذات الأبعاد الأعلى. ... الكتاب المدرسي مناسب لطلاب الرياضيات والفيزياء والهندسة والتكنولوجيا ، وكذلك للباحثين. " (فلاديمير جانيس ، Zentralblatt MATH ، المجلد 1177 ، 2010)

“هذا جزء من مشروع أكبر للمؤلفين…. التطبيقات والأمثلة الواردة في الكتاب تجعله أكثر جاذبية. هناك أيضًا تمارين في نهاية كل فصل. … يزود القارئ بحساب كامل إلى حد ما للنتائج الأساسية في التحليل والتطبيقات الرياضية ، بما في ذلك تكامل Lebesgue في R n والتحليل المعقد لمتغير واحد. ... يمكن استخدامها للدورات التدريبية في التحليل الحقيقي أو المعقد وتطبيقاتها. " (Tiberiu Trif ، Studia Universitatis Babes-Bolyai ، Mathematica ، المجلد LV (4) ، ديسمبر ، 2010)

"هذا كتاب مدرسي عن تحليل وظائف العديد من المتغيرات الحقيقية ووظائف متغير معقد واحد. ... الكتاب موجز ومكتوب بشكل جيد ويمكن استخدامه كمصدر لدورات (الدراسات العليا) في المجالات التي تمت تغطيتها بالإضافة إلى كتاب مدرسي للطلاب وككتاب مرجعي لعالم الرياضيات العامل. " (ر.شتاينباور ، Monatshefte für Mathematik ، المجلد. 165 (3-4) ، مارس ، 2012)


تمارين البرمجة C ، الممارسة ، الحل: الوظيفة

1. اكتب برنامجًا بلغة C لإظهار البنية البسيطة للدالة ، ثم انتقل إلى المحرر
الناتج المتوقع :

2. اكتب برنامجًا في C لإيجاد مربع أي رقم باستخدام الدالة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل أي رقم للمربع: 20
الناتج المتوقع :

3. اكتب برنامجًا في C لمبادلة رقمين باستخدام الوظيفة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
رقم الإدخال الأول: 2
رقم الإدخال الثاني: 4
الناتج المتوقع :

4. اكتب برنامجًا في C للتحقق من أن رقمًا معينًا زوجي أو فردي باستخدام الوظيفة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل أي رقم: 5
الناتج المتوقع :

5. اكتب برنامجًا بلغة C لإيجاد مجموع المتسلسلة 1! / 1 + 2! / 2 + 3! / 3 + 4! / 4 + 5! / 5 باستخدام الدالة. اذهب إلى المحرر
الناتج المتوقع :

6. اكتب برنامجًا في C لتحويل رقم عشري إلى رقم ثنائي باستخدام الوظيفة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل أي رقم عشري: 65
الناتج المتوقع :

7. اكتب برنامجًا في لغة C للتحقق مما إذا كان الرقم عددًا أوليًا أم لا باستخدام الدالة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل رقمًا موجبًا: 5
الناتج المتوقع :

8. اكتب برنامجًا بلغة C للحصول على أكبر عنصر في المصفوفة باستخدام الدالة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل عدد العناصر التي سيتم تخزينها في المصفوفة: 5
أدخل 5 عناصر في المصفوفة:
العنصر - 0: 1
العنصر - 1: 2
العنصر - 2: 3
العنصر - 3: 4
العنصر - 4: 5
الناتج المتوقع :

9. اكتب برنامجًا في C لفحص armstrong والأرقام المثالية باستخدام الوظيفة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل أي رقم: 371
الناتج المتوقع :

10. اكتب برنامجًا في C لطباعة جميع الأرقام المثالية في نطاق معين باستخدام الوظيفة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل أقل حد بحث لأرقام كاملة: 1
أدخل أقل حد بحث لأرقام كاملة: 100
الناتج المتوقع :

11. اكتب برنامجًا بلغة C لتتحقق مما إذا كانت هناك سلسلتان متماثلتان. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل السلسلة الأولى: الغيار
أدخل السلسلة الثانية: الكمثرى
الناتج المتوقع :

12. اكتب برمجة C لمعرفة الحد الأقصى والحد الأدنى لبعض القيم باستخدام الدالة التي ستعيد مصفوفة. اذهب إلى المحرر
بيانات الاختبار:
أدخل 5 قيم
25
11
35
65
20
الناتج المتوقع :

محرر كود البرمجة C:

المزيد قادم !

لا ترسل أي حل للتمارين المذكورة أعلاه هنا ، إذا كنت ترغب في المساهمة انتقل إلى صفحة التمرين المناسبة. 


شاهد الفيديو: الأشتقاق الجزئي حصة 1 Partil Derivatives (شهر نوفمبر 2021).